Hacim Hesapları. 2.1 Dönel Cisimleri Hacimlerin

Transkript

1 54

2 Bölüm 2 Hcim Hesplrı Üç boyutlu uzyd bir cismin hcmini tek ktlı integrlle hesplmk için kullnıln yöntemleri bşlıc üçe yırbiliriz. Cimin yüzeyi bir dönme sonund oluşn düzgün bir biçimde ise dönel cimin hcmini bulm yöntemi en uygun yöntemdir. Am cismin tüzeyi bir dönme sonund oluşmmış göreli olrk dh krmşık ypıd ise dilimleme y d kbuk yöntemi kullnılır. Her durumd cismin yüzeyini belirleyen fonksiyonlrın integrlleri vr olck kdr düzgünlüğe ship olmlrı gerekir. 2.1 Dönel Cisimleri Hcimlerin Düzlemsel bir R bölgesinin, kendisini kesmeyen bir doğru etrfınd dönmesiyle oluşn cisme dönel ktı cisim denilir. Bu cisim gerçekte uxyd vr olmyn m hyl ettiğimiz bir cisimdir. Düzlemsel R bölgesinin D doğrusun göre üst sınırı f (x) fonksiyonu ile belirlensin. R bölgesinin her noktsındn onu kesmeyen D doğrusun dikmeler inelim. R bölgesi prçlı değilse, dikmelerin yklrı D doğrusu üzerinde bir [, b] rlığı oluşturur. D doğrusunu koordint ekseni olrk lırsk, [, b] rlığı f fonksiyonunun tnım bölgesi içinde olcktır. Dikmelerin yklrını içeren [, b] rlığının bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b (2.1) x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1,2,...,n} (2.2) olsun. Her bölüntü içinde bir x i 1 t i x i olck şekilde bir t i noktsı seçelim. Şimdi tbnı x i ve yüksekliğ h i = f (t i ) oln dikörtgenin D doğrusu etrfınd bir tm dönüş yptığını vrsylım. Yrıçpı h i oln bir silindir oluşur. Bu silindirin hcmi πh 2 i x i = πf (t i ) 2 x i (2.3) olcktır. Bunlrın toplmı d sıl S cisminin hcmine ykın olcktır. V πf (t i ) 2 x i (2.4) Eğer M = mx{ x i } 0 iken (2.4) toplmının limiti vrs, bu limit V = π f 2 (x)dx = π y 2 dx (2.5)

3 56 BÖLÜM 2. HACİM HESAPLARI integrli ile ifde edilir ve bu intgrl S cisminin hcmine eşit olur. Dönme ekseni değişirse, Ox ile O y eksenlerini yer değiştirebiliriz: d d V = π g 2 (y)d y = π x 2 d y (2.6) c c Şimdi dönen R düzlemsel bölgesinin üstten y = f (x), lttn y = g (x) fonksiyonlrı ile sınırlı olduğunu düşünelim. Bu düzlem prçsının bir tm dönüş ypmsıyl oluşn dönel ktı cismin hcmı f ile g fonksiyonlrın krşılık gelen iki dönel ktı cismin hcimleri frkıdır. Dolyısıyl; V = V f V g = π ( f 2 (x) g 2 (x) ) dx (2.7) 2.2 Dilimleme Yöntemiyle Hcim Bulm Şekilde hcmi hesplnck bir cisim görülüyor. Uygun bir Ox- ekseni seçelim. Eksenin hngi konumd seçildiği nck prtik değer tşır. Cismin her noktsındn D doğrusun dikmeler inildiğini vrsylım. Dikmelerin yklrını içeren [,b] rlığının bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b (2.8) x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1,2,...,n} (2.9) olsun. x i noktsındn D doğrusun dikey olck biçimde çizilen düzlem S cismiyle kesişir ve onunl rkesiti düzlemsel bir R i bölgesi oluşturur. R i bölgesinin lnın A(x i ) diyelim. Bölüntünün rdışık x i 1, x i noktlrındn deçen dikey düzlemlerin S ile rkesitleri rsınd kln dilimi düşünelim. Bu dilimin hcmı yklşık olrk, x i = x i x i 1 olmk üzere, V (x i ) A(x i ). x i (2.10) olcktır. Bu yklşık hcimlerin toplmı S cisminin V hcmine ykın olur: V V (x i ) = A(x i ) x i (2.11) i=0 i=0 x i bölüntü rlıklrının M mksimum uzunluğu sifır giderken (2.11) toplmının limiti vrs söz konusu limit V = A(x)dx (2.12) integrline eşit olur. Bu değer S cismini hcmidir. 2.3 Silindirik Kbuklr Yöntemi y = f (x), x =, x = b ve Ox ekseni ile çevrili düzlemsel bölgenin Oy ekseni çevresinde bir tm dönüş yptığını düşünelim. [,b] rlığının bir bölüntüsünü (prtition) P ile gösterelim: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b (2.13)

4 2.3. SİLİNDİRİK KABUKLAR YÖNTEMİ 57 x i = x i x i 1, M = mx{ x i i = 1,2,...,n} (2.14) t i (xi, xi + xi ) oln bir t i noktsı seçelim. her t i [,b] için t i noktsındn geçen silindirin ynl lnı A(t i ) olsun. Tbnı [x i, x i + x i ] ve yüksekliği y i = f (t i ) oln dikdötgen biçimindeki R i bölgesinin Oy ekseni çevresinde dönmesiyle, klınlığı en çok x i oln silindirik bir cisim oluşur. Bun kbuk diyelim. Bu silindirin simetri ekseni Oy ekseni, iç yrıçı x ve dış yrıçpı t i dir. Sözkonusu dönüş esnsınd t i [,b] noktsının çizdiği çemberin uzunluğu 2πt i olcktır. O hlde t i in çizdiği çember üzerinde kuruln silindirin ynl yüzey lnı 2πt i f (t i ) = 2πt i y i olur. Ynl yüzeyi çıp bir düzlem prçsı hline getirelim. Kbuğun klınlığı en çok x i olduğun göre, kbuğun hcmı en çok V i = A(t i ). x i = 2πt i y i x i olur. Bütün [x i, x i + x i ] bölüntü rlıklrı için elde edilen kbuklrın toplmı yklşık olrk cismin V hcmine eşit olmlıdır: V V i A(t i ). x i = 2πt i y i x i (2.15) Eğer, bölüntü rlıklrının en uzunu sıfır yklşırkek, yni mx M = mx{ x i } 0 iken (2.15) toplmının limiti vrs, o limit V = 2π x y dx (2.16) integrlidir. Bu integrlin değeri cismin V hcmine eşit olur. Şimdi R düzlemsel bölgesinin üstten y = f (x), lttn y = g (x), soldn x =, sğdn x = b ile sınırlndığını vrsylım. R bölgsi O y ekseni etrfınd bir tm dönme yptığınd oluşn cismin hcmi üstten y = f (x) eğrisi, lttn Ox ekseni, soldn x =, sğdn x = b ile sınırlı bölgenin bir tm dönüşü esnsınd oluşn V f hcmi ile üstten y = g (x) eğrisi, lttn Ox ekseni, soldn x =, sğdn x = b ile sınırlı bölgenin bir tm dönüşü esnsınd oluşn V g hcminin frkın eşit olcktır: olur. V = V f V g = 2π x ( f (x) g (x) ) dx (2.17)

5 58 BÖLÜM 2. HACİM HESAPLARI