KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız."

Transkript

1 KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının ortaya konulmasıyla sayılar ve şekiller dışındaki nesnelerin birbirleriyle ilişkilerini düzenleyen kuralların da en azından sayılar ve şekiller kadar geçerli matematiksel yapılar oluşturabildiği görüldü. ir matematiksel yapı, kendi içerisindeki problemlerin ve matematiksel modelleri kurulan gerçek yaşam problemlerinin çözümlerinin gerçekleştirildiği bir usa vurma ortamıdır. Kümeler kuramı da temel tanımları, aksiyomları ve bunlardan çıkarılan sonuçları ile bir matematiksel yapıdır. u kuramın temellerini 19. yüzyılda Rus asıllı lman matematikçisi Georg antor ( ) ortaya koymuştur. Kuramın yetkinleşmesi, diğer matematiksel yapılarda olduğu gibi yüzyıllar almamış, bir kaç yıl gibi kısa bir sürede gerçekleşmiştir Kümeler kuramı bağımsız bir matematiksel yapı olmasının yanında diğer yapıları da etkiledi. Diğer matematiksel yapılar kümeler kuramının kavram ve ilkeleri ile yeniden ele alındı; yeniden yapılandırıldı. u yeniden yapılanma ile matematiğin gücü arttı, ufukları genişledi. Matematiğin günümüzdeki güçlü ve görkemli varlığında kümeler kuramının payı büyüktür. iz bu bölümde kümeler kuramına, gelecek matematik konularının aktarılmasında gerekli olacağı ölçüde gireceğiz. 1

2 2.1 Temel Kavramlar Küme Kavramı Küme sözcüğü topluluk, sınıf veya yığın anlamlarına gelir. Matematikteki küme terimi de bu anlamlara gelen kavramın adıdır. Georg antor kümeyi belirli ve birbirinden farklı nesnelerin topluluğu olarak tanımlamıştır. ncak bu tanım, örneğin, bir doğru parçasının tanımı gibi zihinde kesin bir tasarım oluşturmaz. öyle, zihinde kesin bir tasarım oluşturacak küme tanımı yapılamamıştır. Tanımsız terim olarak alacağımız küme terimini örnekler ve açıklamalarla sezdirmeye çalışacağız. Kümenin elirtilmesi Etkinlik 2.1 Sınıfınızdan iki arkadaşınızla, aşağıda özelikleri belirtilen elemanların adlarını, aranızda fikir alışverişi yapmadan ayrı ayrı yazınız. Yazdıklarınızı karşılaştırarak, hangi maddelere karşılık farklı adlar yazdığınızı görünüz. Farklılıkların nedenlerini belirtiniz a. Sınıfınızdaki gözlüklü öğrenciler. b. Sınıfınızdaki en sıcakkanlı üç öğrenci. c. Sınıfınızdaki öğrencilerden dördü. d. Okulunuzdaki yaşlı öğretmenler. e. 1 den küçük bir doğal sayı. f. 8 den küçük bir doğal sayı. Örnek 2.1 şağıda belirtilen toplulukların her biri bir küme oluşturur. a. Sınıfınızdaki öğrenciler. b. İki basamaklı doğal sayılar. c. Güneş sistemindeki gezegenler. d. Evrendeki yıldızlar. e. 1 x < 10 eşitsizliğini sağlayan gerçek sayılar. f. a,,, 3, 5 ten oluşan semboller topluluğu. g. M. K. tatürk, İsmet İnönü h. 1, 2, 3, 4, 5 sayıları +Elemanları tek tek belirtilen her topluluk bir küme oluşturur. ncak, bir küme elemanlarının ortak özelikleri ile belirtilmişse, bu özelikler ayırt edici biçimde açıklanmış olmalıdır. Öyle ki, aynı koşullardaki herkes o açıklamaya dayanarak aynı kümeyi yazabilmeli Hangi nesnelerin kümenin içinde olacağının böyle kesinlikle belirtilmesine kümenin iyi tanımlanması denir. Örneğin; ursa, İzmir, Muğla bir küme oluşturduğu hâlde, Türkiye deki illerden üçü. Tanım 2.1 ir kümeyi oluşturan nesnelere bu kümenin elemanları (ögeleri) denir. Kümeler,,,... gibi büyük harflerle adlandırılırlar. Kümenin elemanları da a, b, c,... gibi küçük harflerle temsil edilirler. ir a nesnesi bir kümesinin elemanı ise bu a biçiminde, değilse bu da a biçiminde gösterilir. u ifadeler sırasıyla a eleman ve a eleman değil biçiminde okunur. ifadesi bir küme belirtmez. Çünkü bu ifadeye dayanılarak çok sayıda değişik kümeler yazılabilir. Kümelerin Gösterilmesi Kümeler, ortak özelik yöntemi, liste yöntemi ve şema yöntemi olmak üzere üç değişik yöntemle gösterilir. Kümelerin gösterilmesi derken, bunların kağıt, ekran, tahta,... üzerinde gösterilmesinden söz ettiğimiz açıktır. 2

3 Ortak Özelik Yöntemi ir kümenin bütün elemanlarının sağladığı, bu kümenin elemanı olmayan nesnelerin sağlamadığı bir özelik varsa; bu küme o özeliği belirten açık önermeden yararlanılarak yazılır. Örneğin; bir kümesinin elemanları bir p(x) açık önermesini doğru yapan elemanlardan oluşmuşsa bu küme, x p x veya x : px biçiminde gösterilir. ve : sembolleri öyle ki deyimi yerine kullanılır. kümesi, x öyle ki p x doğrudur. veya kısaca x öyle ki p x diye okunur. x p x ifadesinin içerisine yazıldığı büyük ayıraca küme ayıracı denir. Örnek 2.2 İki basamaklı doğal sayıların kümesi ise, bu küme ortak özelik yöntemi ile x x N, x iki basamaklıdır. biçiminde gösterilir. px önermesinin belirttiğine göre, örneğin, 23 ve 5 dır. Liste Yöntemi Kümenin elemanları küme ayıracının içine tek tek yazılır; elemanların arasına virgül konulur. Elemanlar istenilen sıra ile yazılabilir. ir kümede her eleman yalnız bir kere yazılır. Örnek 2.3 KZK sözcüğündeki harflerin kümesi H ise, bu küme liste yöntemi ile H K,,Z biçiminde gösterilir. Daha önce bir kümenin elemanlarının küçük harflerle gösterildiğini söylemiştik. ncak burada elemanların temsilcilerini değil, doğrudan doğruya kendi sembollerini kullandık. ir kümenin elemanlarının sayısı bunların tek tek yazılmasına olanak vermiyorsa, küme zorunlu olarak ortak özelik yöntemi ile gösterilir. ununla birlikte, bazı kümelerde kümelerin elemanlarının ortak özelikleri liste yöntemi ile de sezdirilebilir. Örnek 2.5 a. N x x bir doğal sayıdır. kümesi liste yöntemi ile N 0,1,2,3,... biçiminde yazılabilir. b. Ç x x çift tam sayıdır. kümesi Ç..., 4, 2,0,2, 4,... biçiminde yazılabilir. c. x x N, 9 x 100 kümesi 10,11,12,...,99 biçiminde yazılabilir. yıraçlar içindeki yan yana üç noktalar, elemanların sıralamasında gözlenen özeliğin aynen sürdürüleceğini belirtir. Şema Yöntemi Ortak özelik yöntemi ya da liste yöntemi ile yazılmış kümeleri şemalarla da göstermek, bu kümeler arasındaki ilişkileri kavramada kolaylık sağlar. u amaçla kullanılan şemalar, kapalı eğrilerle sınırlandırılmış düzlemsel bölgeler biçiminde seçilirler. Kümenin elemanları bu kapalı bölgeye serpiştirilmiş noktalarla temsil edilirler. u şemalar İngiliz mantıkçısı John Venn ( ) tarafından önerildiğinden Venn Şeması diye adlandırılırlar. Örnek 2.6 a. {0, 2, 4, 6, 8} kümesi Venn şeması ile yandaki gibi gösterilir Örnek 2.4 Haftanın P harfi ile başlayan günlerinin kümesi liste yöntemi ile Pazartesi,Perşembe,Pazar biçiminde yazılır. b. 0,2,4,6,8 ve 2,3,5,7 kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilir

4 Etkinlik 2.2 MTEMTİK sözcüğündeki harflerin ve NLİTİK sözcüğündeki harflerin kümelerini bildiğiniz yöntemlerle gösteriniz. Eleman Sayılarına Göre Kümeler Etkinlik 2.3 şağıda ortak özelik yöntemi ile verilmiş kümeleri liste yöntemi ile gösteriniz. g. x 90 x 96, x asal sayı h. x x R, x 2 0 i. x x 9 ve x tek doğal sayıdır. j. D x x 9 ve x tek doğal sayıdır. ir kümenin eleman sayısı hesaplama yoluyla da bulunabilir. Örneğin, x x dört basamaklı çift sayıdır. kümesi liste yöntemi ile yazılırsa, 1000,1002,1004,...,9998 olur. u kümenin eleman sayısının s() olduğunu bulabilirsiniz. Peki, örneğin x x 10, x N kümesinin elemanlarını sayabilir misiniz? Eleman sayıları bir doğal sayı ile belirtilebilen kümelere sonlu kümeler; sonlu olmayan kümelere sonsuz kümeler adı verilir. oş Küme Tanım 2.2 Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. oş küme, ve sembollerinden biri ile gösterilir. Örneğin; x x 4 metre boyunda insandır. kümesi liste yöntemi ile yazılırsa küme parantezinin içine yazılabilecek bir eleman bulunamaz. ya da olur. Örnek 2.7 a. x 2 x 9, x N kümesi sonlu küme b. x 3 x 7, x R kümesi sonsuz küme kümesi 3, 7 biçiminde de gösterilir. Örneğin; 7 kümeye dahil olmasaydı, o zaman küme 3, 7 ya da 3, 7 biçiminde gösterilecekti. c. x x yeryüzünde bir canlıdır. kümesinin elemanlarını saymak olanaksız olsa da bu küme sonlu küme d. D x x asal sayıdır. kümesi sonsuz küme Sonlu Kümeler, Sonsuz Kümeler ir kümesinin elemanlarının sayısı s sembolü ile gösterilir. Örneğin, x x 10, x N kümesi liste yöntemi ile yazılırsa; 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 olur. Kümenin elemanları sayılırsa, s 10 olduğu görülür. Doğal sayı ve sayma kavramlarını sezgisel olarak öğrenmiştiniz. Şimdi de sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını yine sezgisel olarak kavratmaya çalıştık. u kavramlar matematiğin tanımlanmış kavramlarıdır. ncak, tanımlarda 3. bölümde tanıtacağımız terimler geçecektir. u yüzden, bu tanımları 4. bölümde verebileceğiz. 4

5 Eşit Kümeler, Denk Kümeler Tanım 2.3 ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Örnek 2.9 a. Sınıfınızdaki gözlüklü kız öğrencilerin kümesi, sınıfınızdaki öğrencilerin kümesinin bir alt kümesi b. 1,2,3 ve 0,1,2,3,5 ise kümesi kümesine eşit ise bu, biçiminde; değilse bu da, biçiminde gösterilir. ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler Örnek ve x 2x 5, x N x x 7, x N kümeleri liste yöntemi ile yazılırsa, bunların aynı elemanlardan oluştuğu görülür. 0,1,2 ve 0,1,2 olup ynı sayıda elemandan oluşan kümeler denk kümeler kümesi kümesine denk ise bu biçiminde; değilse bu da biçiminde gösterilir. Eşit olan kümelerin denk olacakları açıktır. Denk kümeler teriminin tam bir tanımı 4. bölümde verilecektir. Örneğin; a,b, 12,23 ve 1,2, 3 ise ve c. a,b, c ve b, c,d,e ise ve dır. ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler. önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x,x x x,x x yazılabilir. Teorem 2.1 Her küme kendisinin alt kümesi a b c e d Teorem 2.1 i sembollerle kısaca lt Küme Tanım 2.4 ir kümesinin her elemanı bir kümesinin de elemanı ise, kümesine kümesinin bir alt kümesi denir. u durumda kümesi kümesini kapsar. ir kümesi bir kümesinin alt kümesi ise bu veya biçiminde gösterilir. İlki alt küme, ikincisi kapsar diye okunur. kümesinin kümesinde olmayan en az bir elemanı varsa, bu durum da veya biçiminde gösterilir. dır. biçiminde ifade edebiliriz. Teorem 2.2 oş küme her kümenin alt kümesi Teorem 2.2 nin sembollerle ifadesi dır. biçiminde olur. Etkinlik 2.4 şağıdaki teoremleri niceleme mantığında sembolleştirerek ispatlayınız. a. b. 5

6 Teorem 2.3 Teorem 2.3, sözle şöyle ifade edilebilir: ve kümelerinin eşit olması için gerek ve yeter koşul bu kümelerden her birinin diğerinin alt kümesi olmasıdır. Etkinlik 2.5 ve birer küme olmak üzere önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı Teorem 2.4 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı Etkinlik 2.6 da Teorem 2.4 ü sezdiğinizi düşünüyoruz. u teoremin ispatı 8. sınıfta öğrendiğiniz 11. sınıfta daha geniş biçimde incelenecek olan permütasyon, kombinasyon, binom açılımı kavramlarını gerektirmekte Konumuzu dağıtmamak için burada bu kavramlarla ilgili ispatlamaları yapmayacağız. n 2 x, x x una göre, teoremini x x x önermesinden yararlanarak ispatlayınız. ir Kümenin lt Kümelerinin Sayısı Etkinlik 2.6 a. olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. b. {a} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. c. {a, b} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. d. D {a, b, c} olduğuna göre, D kümesinin alt kümelerini yazınız. e. E {a, b, c, d} olduğuna göre, E kümesinin alt kümelerini yazınız. f. ulduğunuz sonuçları kullanarak yandaki tabloyu doldurunuz. Tablodan yararlanarak n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısını tahmin ediniz. Kümenin eleman sayısı Kümenin alt kümelerinin sayısı n Elemanlı ir Kümenin r Elemanlı lt Kümelerinin Sayısı n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n in r li bir kombinasyonu denildiğini; n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının,! n n n,r r n r! r! olduğunu 8. sınıfta öğrendiniz. Örneklerle uygulamaları hatırlatalım: Örnek elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 8! 8! ! 56 5 (8 5)! 5! 3! 5! ! bulunur. n n! r (n r)! r! formülü incelenirse; n n olduğu kolayca görülür. r n r 6

7 Örnek elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Çözüm Küme n elemanlı olsun. n n 3 6 olduğundan n 3 6 n 9 olur. 9 9! 9! ! (9 4)! 4! 5! 4! 5! bulunur. Çözüm 7 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı u toplamdaki terimleri ayrı ayrı hesaplamak yerine, eşitliğinden yararlanacağız. una göre, bulunur. 7 n r olarak alındığında n 2 r kolaylaştırılabilir. Örneğin; sayısının hesabı eşitliğinde payda ve paydada tane (r tane) çarpan olduğuna dikkat ediniz. Örnek elemanlı bir kümenin 7 elemanlı alt kümelerinin sayısını, yukarıda verdiğimiz kolaylıktan yararlanarak bulalım: Öz lt Kümeler Tanım 2.5 ir kümenin, kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n olduğuna göre, öz alt kümelerinin sayısı da n 2 1 olur Kombinasyon tanımına göre, n n n n... n n n Kuvvet Kümesi Tanım 2.6 ir kümesinin alt kümelerinin kümesine, kümesinin kuvvet kümesi denir. kümesinin kuvvet kümesi P ile gösterilir. Örnek elemanlı bir kümenin, en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. Örneğin, a,b, c ise P(), a, b, c, a,b, a, c, b, c, a,b, c olur. 7

8 Etkinlik 2.7 a,b,c,d, e, f kümesinin, a. üç elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. b. dört elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. c. öz alt kümelerinin sayısını bulunuz. d. kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısını bulunuz. lıştırmalar ve Problemler şağıdaki ifadelerden hangileri bir küme belirtir? elirtilen kümeleri bildiğiniz yöntemlerle gösteriniz. a. Türkiye nin büyük kentleri. b. ilenizdeki erkekler. c. İki basamaklı üç doğal sayı. d. oş kümenin alt kümeleri. Etkinlik 2.8 a,b,c,d, e, f kümesinin alt kümelerin kaç tanesinde a. a bulunmaz? b. b bulunur? c. a ve b bulunur? d. a veya b bulunur? e. a veya b bulunur ve c bulunur. f. a veya b bulunur veya c bulunmaz. Etkinlik 2.9 a,b, c ve a,b,c, d,e, f, g olduğuna göre, D E koşulunu sağlayan a. kaç değişik D kümesi vardır? b. kaç değişik E kümesi vardır? c. 4 elemanlı kaç değişik E kümesi vardır? d. 5 elemanlı kaç değişik E kümesi vardır? Etkinlik 2.10 a,b, c ve a,b,c,d, e, f kümeleri veriliyor. kümesinin alt kümelerinin kaçında kümesinin, e. yalnız bir elemanı bulunur? f. yalnız iki elemanı bulunur? g. üç elemanı da bulunur? h. en az bir elemanı bulunur? e. ütün kümelerin kümesi. f tarihinde doğan çocuklar. 2. şağıdaki kümelerin eleman sayılarını belirtiniz. a. b. 0 c. 2 a,b, ab e. d. a,2a, a f. m,n, m g. a, b,c, a,b, c h. a,b, a, b, a,b 3. şağıdaki ifadelerde? işaretlerinin yerine uygun semboller koyarak doğru önermeler elde ediniz. a. a,c? a, b,c b.?,, c. 2, 3? 1,2,3, 4 d. a,b, c? b, c,d,e e. a, a,b,b, c? a,b, a,b f. a, a,b? a,b, b,a 4. şağıdaki önermelerin doğru olması için ve sembollerinin yerine hangi elemanlar konulmalıdır? a. a,,b,k,a b. 1,3,,9 3,5,,9 c.,3,5 3,5, d. 2, 4,6, 2,, 4,6 e. 2,5, 1,2,3, 4,5, 6 f. a,b, b,c,d, 5., a, a kümesinin tüm alt kümelerini yazınız. 8

9 6., a, a,b, c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? a. a b. a,b c. d. e. a f. c g. a,b, c h., a 7. Yandaki Venn şeması ile verilen,, kümelerini liste yöntemi ile yazınız. 8. şağıda verilen kümeleri birlikte Venn şemaları ile gösteriniz. a. 1,2,3, 4, 2,3,5, 1,2,5 b. 1,2, 4, 2, 3, 4,5, 4,5, 6 c. a,b,c, b,c,d, a,d d. 3,5, 6, 1,2,5, 2, 4,5 9. şağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. 10. {a, b, c, d, e, f} kümesinin a. bir elemanlı b. iki elemanlı c. üç elemanlı d. beş elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz ,2,3, 4,5,6,7 kümesinin alt kümelerinin kaçında, a. 2 bulunur? b. 5 bulunmaz? c. 2 ve 3 bulunur? d. 3 veya 5 bulunur? e. 3 bulunmaz veya 5 bulunmaz? f. 2 bulunur veya 3 ile 5 bulunur? a b c d f e 12. a,b, c 2,4,5, c,d,e 1,3,5, a,c,e 3, 4,5 olduğuna göre a, b, c, d, e değerlerini bulunuz. 13. şağıda öz alt kümelerinin sayıları verilen kümelerin, iki elemanlı alt kümelerinin sayılarını bulunuz. a. 7 b. 31 c. 63 d ,2 ve 1,2,3, 4,5,6,7 olduğuna göre K koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? 15. 1,3,5,6, 2, 3, 4,5 ve 1,2,3, 4,5,6, 7, 8,9 kümeleri veriliyor. a. K ve K koşulunu sağlayan kaç K kümesi vardır? b. R ve R koşullarını sağlayan kaç R kümesi vardır? 16. ir kümesinin alt kümelerinin sayısı bir kümesinin alt kümelerinin sayısının 3 katından 80 fazladır. nın eleman sayısı nin eleman sayısından 3 fazla olduğuna göre, kümesi kaç elemanlıdır? 17. a,b, c ve a,b,c, d,e, f, g kümeleri veriliyor. kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaçında kümesinin a. yalnız iki elemanı bulunur? b. en çok iki elemanı bulunur? c. en az iki elemanı bulunur? d. en az bir elemanı bulunur? 18. ir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısının 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına oranı 2 : 3 tür. u kümenin en az üç elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 9

10 2.2 Kümelerde İşlemler u kısımda kesişme, birleşme, tümleme ve fark işlemlerini tanıtacağız irleşme ve Kesişme İşlemleri irleşme işlemi sembolü ile; ile kümelerinin birleşim kümesi de ile gösterilir. kümesinin elemanları ya nın ya nin ya da hem nın hem nin elemanlarıdır. una göre, kümesi ortak özelik yöntemi ile x x veya x biçiminde yazılır. Etkinlik 2.11 ir okul matematik ve fizik dallarında yarışmalara katılacaktır. Matematik takımı li, em, aşak ve Miray dan; fizik takımı da yine li ve em ile Mert ve Sinan dan oluşturulmuştur. Örnek 2.14 a. 1,3, 4 ve 0,1,2 ise 0,1,2,3, 4 olur M, matematik dalındaki yarışmacıların kümesi; F, fizik dalındaki yarışmacıların kümesi; b. a,b, c a,b,c a,b, c olur. Y, yarışmacıların kümesi; D, iki dalda da yarışacak olan yarışmacıların kümesi olduğuna göre; a. M ve F kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. b. Y kümesini şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. c. D kümesini, ayrıca çizeceğiniz şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. d. Yarışmacıların M ve F kümelerinden en az birinin ya da ikisinin de elemanları olmaları özeliklerine dayanarak, Y ve D kümelerini ortak özelik yöntemi ile yazınız. c. a,b, c ve d, e ise a,b,c,d, e olur. d. 1,2,3, 4,5 ve 2,4 ise 1, 2,3, 4,5 olur. a c b d e Etkinlik 2.12 x x, 12'nin böleni ve x x, 18'in böleni olduğuna göre; a. ve kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. b. x x, 12'nin ve 18'in böleni kümesini şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. Tanım 2.7 İki kümenin tüm elemanlarının kümesine bu iki kümenin birleşim kümesi; birleşim kümesini veren işleme de birleşme işlemi denir. Tanım 2.8 İki kümenin ortak elemanlarının kümesine bu iki kümenin kesişim kümesi; kesişim kümesini veren işleme de kesişme işlemi denir. Kesişme işlemi sembolü ile; ile kümelerinin kesişim kümesi de ile gösterilir. kümesinin elemanları hem nın hem nin elemanlarıdır. una göre, kümesi ortak özelik yöntemi ile x x ve x biçiminde yazılır. 10

11 Tanım 2.9 Kesişim kümesi boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir. Teorem 2.6 a. dır. b. Örneğin, a,b ve d,e, f ise ile ayrık kümeler Örnek 2.15 a. a,b,c,d ve c,d, e ise c, d olur. b. 1,2,3 1,2,3 1,2,3 olur. c. 1,2,3 ve 7, 8 ise olur. ile ayrık kümeler d. a,b,c, d,e ve c,d ise c, d olur. a b b a c d d e f e a c d b e Etkinlik 2.14 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.6 yı ispatlayınız. ( x önermesinin daima yanlış olduğuna dikkat ediniz.) Değişme Özeliği Teorem 2.7 a. dır. (irleşimin değişme özeliği) b. dır. (Kesişimin değişme özeliği) Etkinlik 2.15 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.7 yi ispatlayınız.. irleşme ve Kesişme İşlemlerinin Özelikleri Tek Kuvvet Özeliği Teorem 2.5 a. dır. (irleşimin tek kuvvet özeliği) b. dır. (Kesişimin tek kuvvet özeliği) Etkinlik 2.13 x x veya x x x ve x tanımlarından ve önerme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.5 i ispatlayınız. irleşme Özeliği Teorem 2.8 a. (irleşimin birleşme özeliği) b. (Kesişimin birleşme özeliği) irleşme özeliğine dayanılarak parantezler kaldırılabilir: ; yazılabilir. Etkinlik 2.16 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.8 i ispatlayınız.. 11

12 Dağılma Özeliği Teorem 2.9 a. (irleşimin kesişim üzerine soldan dağılma öz.) b. (irleşimin kesişim üzerine sağdan dağılma öz.) c. (Kesişimin birleşim üzerine soldan dağılma öz.) d. (Kesişimin birleşim üzerine sağdan dağılma öz.) Etkinlik 2.17 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.9 u ispatlayınız.. Etkinlik 2.18 a. 0,1,2, 3 ve 1,2,3, 4 olduğuna göre, ( ) kümesini yazınız. b. a,b, c,d,e ve c, d,e, f olduğuna göre, kümesi en az kaç elemanlıdır? c. a,b,c,d, e c,d,e, f olduğuna göre, şemadaki taralı bölgeye karşılık gelen kümeyi liste yöntemi ile yazınız. Teorem 2.10 a. b. dır. c. dır. d. Etkinlik 2.19 önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x, x x ; önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x, x x u bilgileri kullanarak Teorem 2.10 u ispatlayınız. Etkinlik 2.20 Önerme işlemlerinden yararlanarak, a. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. b. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. c. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. d. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. Etkinlik 2.21 şağıdaki kümeleri birlikte Venn şeması ile gösteriniz. a. a,b,c, b,d, e, b, d,f b. 1,2, 2,3, 4,5, 5, 6 c. a,b,c, f, b,c, d,e, a,c,d, f d. 1,2,3, 3, 4,5,6, 2,5, 6, Evrensel Küme ve Tümleme İşlemi Etkinlik 2.22 Sınıfınızdaki kız öğrencilerin kümesi K olsun. a. Sınıfınızda K nın elemanı olmayan öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. b. Okulunuzda K nın elemanı olmayan kız öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. c. Okulunuzda K nın elemanı olmayan öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. d. Türkiye de K nın elemanı olmayan lise öğrencilerinin K kümesini ve K K kümesini yazınız. e. K nın elemanı olmayan tüm nesnelerin kümesini yazabilir misiniz? f. K nın elemanı olmayan nesnelerin kümesini yazabilmek için, K yı kapsayan bir kümenin verilmesi gerekli midir? Tartışınız. 12

13 Etkinlik x 3x 2x 3 0 denkleminin, a. çift doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. b. doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. c. tam sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. d. rasyonel sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. e. gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. Tanım 2.10 İncelenen bir konuda gerekli olabilecek tüm elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E ile gösterilir. ir evrensel küme istenildiği kadar geniş seçilebilir. Değişik konularda seçilebilecek evrensel kümeler farklı olabileceği gibi, aynı konuda da değişik kişilerin seçeceği evrensel kümeler farklı olabilir. Hatta aynı kişi aynı konuda daha dar ya da daha geniş evrensel kümelerle çalışabilir. Örneğin; iki basamaklı asal sayılarla ilgili bir uygulamada evrensel küme; İki basamaklı tek doğal sayılar. ; İki basamaklı doğal sayılar. ; Tek doğal sayılar. ; Doğal sayılar. ; Tam sayılar. ;. kümelerinden herhangi biri olarak seçilebilir. ncak bir uygulamada bir evrensel küme seçildikten sonra, artık bu kümenin elemanları dışındaki elemanlardan söz edilemez. u küme bu uygulama için evren sayılır. İlgilenilecek her nesne bu kümenin içerisinde aranmalıdır. Herhangi bir kümeden ayırt edilmesi için, evrensel küme genellikle dikdörtgen biçiminde bir Venn şeması ile gösterilir. E Teorem 2.11 E evrensel küme ve herhangi bir küme olmak üzere; a. E b. E dır. c. E E Etkinlik 2.24 Önerme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.11 i ispatlayınız. ( x E önermesinin daima doğru olduğuna dikkat ediniz.) Tanım 2.11 E evrensel kümesi ile bir kümesi verilmiş olsun. E de olan fakat da olmayan elemanların kümesine nın tümleyeni; kümesinin tümleyenini bulma işlemine de tümleme denir. kümesinin tümleyeni ile gösterilir. u tanıma göre, x x E x x, x E 1 ve 1 x x olduğundan x x yazılabilir. E, ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler. Örnek 2.16 E x x tam sayıdır. ve x x çift sayıdır. ise x x tek sayıdır. olur. Örnek 2.17 E 0,1,2,3, 4,5 ve 2,3,5 ise 0,1, 4 olur. Örnek 2.18 E {x x sınıfınızdaki bir öğrenci} ve {x x sınıfınızdaki gözlüklü bir öğrenci} ise {x x sınıfınızdaki gözlüksüz bir öğrenci} olur. E 13

14 Teorem 2.12 E evrensel küme ve ile herhangi bir küme olmak üzere; a. E b. c. dır. d. E e. E f. dür. Etkinlik 2.25 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak Teorem 2.12 yi ispatlayınız. irleşim ve Kesişim Kümelerinin Tümleyenleri De Morgan Kuralları Fark ve Simetrik Fark İşlemleri Tanım 2.12 ve herhangi iki küme olmak üzere, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanların kümesine kümesinin kümesinden farkı denir. kümesinin kümesinden farkı, veya \ biçiminde gösterilir; fark diye okunur. Tanım 2.12 ye göre, x x ve x Etkinlik 2.26 E Yandaki şemada ve kümelerine karşılık gelen bölgeleri farklı doğrultulardaki çizgilerle tarayarak a., ve kümeleri arasındaki bağıntıyı bulunuz. b., ve kümeleri arasındaki bağıntıyı bulunuz. Örnek 2.19 a,b,c,d ve c,d, e ise a,b, e a b c d e a b c d e Teorem 2.13 ve herhangi iki küme olmak üzere, a. dür. b. dür. Etkinlik 2.27 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak, Teorem 2.13 ü ispatlayınız. Etkinlik 2.28 E 1,2,3, 4,5,6,7, 3,7 ve 1,2,3,5,7 olduğuna göre; a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. Etkinlik 2.29 a. 1,2,3 ve 3, 4,5 kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise diyebilir misiniz? b. a,b, c ve d, e kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise ve eşitlikleri doğru mudur? c. a,b, c, d ve kümeleri için ve kümelerini yazınız. ve eşitlikleri doğru mudur? d. 2, 4 ve 1,2,3, 4,5 kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise eşitliği doğru mudur? 14

15 Teorem 2.14 E evrensel küme ve ile herhangi iki küme olmak üzere; a. dür. b. c. dır. d. e. E dür. f. Etkinlik 2.30 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak veya küme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.14 ü ispatlayınız. Etkinlik 2.31 şağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. c. d. dür. e. f. Etkinlik 2.32 ve birer küme olmak üzere, olduğunu küme işlemlerinden yararlanarak gösteriniz. Etkinlik 2.33 Kümelerde kesişim işleminin simetrik fark işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özeliği olduğunu ispatlayınız. Etkinlik 2.34 şağıda verilen Venn şemalarında taralı bölgelere karşılık gelen kümeleri,, türünden en sade biçimde ifade ediniz. a. b. Tanım 2.13 c. d. ve birer küme olmak üzere kümesi ile kümesinin birleşimine ile nin simetrik farkı denir. ve kümelerinin simetrik farkı ile gösterilir; simetrik fark diye okunur. Tanım 2.13 ün sembolik ifadesi e. f. dır. Örnek ,2,3, 6 ve 1,3,5 ise 2,6 ve 5 2,6 5 2,5,6 olur g. h. 15

16 Etkinlik 2.35 şağıda belirtilen kümeleri hem küme işlemlerinden hem de Venn şemasından yararlanarak, en sade biçimde yazınız. a. b. c. d. e. f. g. h. Etkinlik ,3, 4, 3, 4,7, 3, 4,6, 1,2,3, 4,6,7,8 ve 2,3, 4,5, 6,7, 8,9 olduğuna göre;,, kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. Teorem 2.15 ve herhangi iki küme olmak üzere, s s s s Etkinlik 2.38 olup, ve kümelerinin ayrık olması nedeniyle s s s s olacağını düşünerek Teorem 2.15 i ispatlayınız. Etkinlik 2.39 Yandaki Venn şemasından yararlanarak s sayısını veren bağıntıyı bulunuz. irleşim Kümesinin Eleman Sayısı Etkinlik 2.37 a. a,b, c ve d, e ayrık kümeleri için kümesini yazınız. ise s s s olduğunu gösteriniz. b. a,b,c, d,e d,e, f,g a kümeleri için d f b ve e c g kümelerini yazınız. s s s s olduğunu gösteriniz. a b c d e Teorem 2.16,, herhangi üç küme olmak üzere, s s s s s s s Etkinlik 2.40 Teorem 2.16 yı, Teorem 2.15 ten yararlanarak ispatlayınız. Etkinlik 2.41,, kümeleri için s 7, s 8, s 1, s 1 ve s Venn şemasından yararlanarak s sayısını bulunuz. 16

17 lıştırmalar ve Problemler şağıdaki şemalarda taralı bölgelerle belirtilen kümeleri sembollerle gösteriniz. 1. Evrensel küme E 0,1,2,3, 4,5,6,7, 8,9, 1,2,3, 2,3, 4,5 ve 3,5, 6 olduğuna göre; aşağıdaki kümeleri liste yöntemi ile yazınız. a. b. a. b. c. \ d. e. f. c. d. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. r. e. f. s. t. u. 2.,, kümeleri Venn şeması ile verilmiştir. d una göre, aşağıdaki kümeleri liste yöntemi ile yazınız. a b c e g. h. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. i. j. 3. şağıdaki kümeleri birlikte Venn şeması ile gösteriniz. a. a,b,c,d c,d,e, f, d, e, f,g b. 1,2,3, 2,3, 4,5, 5, 6 c. a,b,c, a,d, c,d, e d. 1,3,5,7, 2,5, 6, 3, 4,5, 6 e. a,b, c, d, e, f f. 2,3,5,7, 2,3, 4, 6,8 g. 1,2,3, 4, 1,2, 4,5, 6 2, h. a,d, d, c,d a, c,d,e, f, a,b,c,d,e 5.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. şağıdaki kümelerin her birine karşılık gelen bölgeleri, aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 17

18 6.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. 5. alıştırmada verilen kümelere karşılık gelen bölgeleri aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E 12. a,b, c ve b, c, d olduğuna göre, a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. c. kümesini yazınız. 7.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. 5. alıştırmada verilen kümelere karşılık gelen bölgeleri aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E 13. şağıdaki kümeleri en sade biçimde yazınız. (E evrensel küme) a. b. E c. E d. E e. f. 8. şağıda verilenlere göre, istenenleri bulunuz. a. a,b, c ve d,e ise? b. 1,2,3 ve 4 ise? c. 1,2,3, 4,5, 1,3 ve 2 ise? d. a,b,c, d, e, f ve a,c,e ise? 9. a. a,b, c ve b, c, d ise kümesini yazınız. b. 1,2,3, 4 ve 2, 4,5,6 ise kümesini yazınız. 14. şağıdaki kümeleri hem Venn şemasından hem de küme işlemlerinden yararlanarak en sade biçimde yazınız. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k ,2,3, 4,5 ve 3, 4,5, 6 ise kümesini yazınız. 11. a,b, d ve c, e ise kümesini yazınız ,2,3, 4 2,3, 4,5, 6 olduğuna göre, şemadaki taralı bölgeye karşılık gelen kümeyi yazınız. 18

19 16. 1,2,3, 4 ve 3, 4,5,6,7 olduğuna göre, a. en dar kümesini yazınız. b. en geniş kümesini yazınız. 20., ve kümeleri için; a. s 7, s 9, s 6, s 3, s 2 ve s 0 ise s kaçtır? b. s 5, s 6, s 8, s s 3, s 4 ve s 2 ise s kaçtır? 17. 1, 2,3, 4,5,7,9 ve 1,3,5,6,7,8,9 olduğuna göre kümesini yazınız ,2, 3, 4,5, 1,2,3, 4,5,6, = 3,4,5,7,8 olduğuna göre, kümesini yazınız. 19. ve kümeleri için; a., s 7 ve s 9 ise s en çok kaç olabilir? b., s 12 ve s 8 olduğuna göre, s en az kaç olabilir? c. s s 16 ve s s 10 olduğuna göre, s kaçtır? d.,, s 13 ve s 5 ise s() en çok kaçtır? e. s 5, s 3 ve s 9 ise s kaçtır? f. s 8, s 3 ve s 3 s ise s kaçtır? g. s 3, s 16 ve s 3 s ise s() kaçtır? h., s 8 ve s s 12 ise s() en az kaçtır? 21. 1,2,3, 4,5, 3, 4,5,6 ve 5,6,7 olduğuna göre; a. Şemadaki taralı bölgelerin birleşimine karşılık gelen kümeyi yazınız. b. Şemadaki taralı bölgelerin birleşimine karşılık gelen kümeyi yazınız ,3 ve 1,3,5 olduğuna göre; a. koşulunu sağlayan 3 elemanlı kümesini yazınız. b. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. c. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. d. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. 23. ve kümeleri için; s 30, s 10 ve 3 s 4 s 2 s olduğuna göre, s() kaçtır? 19

20 24. x x 400 ve x 4k; k Z x x 600 ve x 6k; k Z, kümeleri veriliyor. a. s kaçtır? b. s kaçtır? c. s kaçtır? d. s kaçtır? 2.3 Küme İşlemleri ile Problem Çözümü u kısımda küme kavramının, ilgili problemlere nasıl uygulandığını aşağıdaki etkinlikleri yaparak öğreneceksiniz. 25. ve kümeleri için; 3, 4,5, 6,7 ve 1,2,3,5,6,7 olduğuna göre; a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. 26. E evrensel küme;, ve birer küme olduğuna göre, aşağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. D D q. D D Etkinlik kişilik sınıfta Türkçe den geçenlerin sayısı 20, matematikten kalanların sayısı 15, bu derslerin en çok birinden geçenlerin sayısı 19 dur. İki dersten de kalan öğrenci sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn Şemasında K, sınıftaki tüm öğrencilerin kümesini; T, Türkçe den geçenlerin Kümesini; M, matematikten geçenlerin kümesini göstermekte a. sm, T M, sm T, st M sayılarını sırasıyla bularak ait oldukları alt kümelere karşılık gelen bölgelerin içine yazınız. b. İki dersten de kalan öğrenci sayısını bulunuz. Etkinlik kişilik bir sınıfta öğrencilerden her biri müzik ve resim kurslarından en az birine katılmaktadır. Müzik kursuna katılanların sayısı resim kursuna katılanların sayısından 4 fazla olup her iki kursa da katılan öğrenci sayısı 6 dır. Müzik kursuna katılan öğrenci sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn şemasında M, müzik kursuna; R, resim kursuna katılanların kümesi M a. sm x diyerek, sr yi ve sr M yi x türünden yazınız. b. sm, sr M ve sm R arasındaki bağıntıyı kullanarak x sayısını bulunuz. K T M R 20

21 Etkinlik 2.44 ir sınıftaki öğrencilerin kümesi ile bu sınıfta, ve derslerinden kalan öğrencilerin kümeleri yandaki Venn şemasında gösterilmiştir. yrık alt kümelere karşılık gelen bölgelerdeki harfler bu alt kümelerin eleman sayılarını göstermekte a. Yalnız bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. b. En çok bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. c. En az bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. d. Yalnız iki dersten kalan öğrencilerin sayısını ve- ren harfli ifadeyi yazınız. e. En çok iki dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. f. En az iki dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. g. Üç dersten de kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. h. En çok üç dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. E a y x k c z b t s s olduğundan bu kümelerin eleman sayıları aynı k harfi ile gösterilmiştir. a. Satılan gazetelerin toplam sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. b. Dairelerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. c. En az iki gazete alan dairelerin sayısını bulunuz. Etkinlik 2.46 Türk ve lman öğrencilerden oluşan bir grubun %30 u lman, %40 ı kızdır. lman erkeklerinin sa-yısı Türk kızlarının sayısından 3 eksik, Türk erkek-leri ile lman kızlarının toplam sayısı 19 dur. a. Gruptaki öğrencilerin kümesi yandaki şema ile gösterilirse; I, II, III, IV numaralı alt kümeler hangi öğrencilerden oluşur? Kız öğ. Erkek öğ. b. Gruptaki öğrencilerin sayısını 10x ile, Türk kızlarının sayısını y ile göstererek; I, II, III, IV numaralı alt kümelerin sayılarını veren harfli ifadeleri bunlara karşılık gelen bölgelere yazınız. c. Gruptaki öğrencilerin sayısını bulunuz. Türk lman I. II. d. Gruptaki Türk kızlarının sayısını bulunuz. III. IV. Etkinlik daireli bir apartmanda,, gazetelerinden toplam 70 tane satılmaktadır. Gazete almayan dai-relerin sayısı ile üç gazete alan dairelerin sayısı eşittir. En az iki gazete alan dairelerin sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn şemasında E dairelerin kümesini;,, bu gazeteleri alan dairelerin kümelerini; a, b, c, x, y, z, k ayrık alt kümelerin eleman sayılarını göstermekte (ynı türden bölgelere a, b, c,...; x, y, z,... gibi birbirlerini çağrıştıran harfler yazıldığına dikkat ediniz.) E a y x k c z b t 21

22 lıştırmalar ve Problemler Hasta ziyaretine giden 12 kişilik bir grupta herkesin elinde çiçek vardır. unlardan 9 unda gül, 7 sinde karanfil bulunduğuna göre kaçında hem gül hem de karanfil bulunur? 7. ir sınıfın bütün öğrencileri,, derslerinin en az birinden kalmıştır. ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 15, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 12, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 11 ve her üç dersten de kalan öğrenci sayısı 5 olduğuna göre, bu üç dersin yalnız ikisinden kalan öğrenci sayısı kaçtır? 2. ir gazete dağıtıcısı ve gazetelerinden 32 tanesini 23 kişiye satmıştır. Okurlardan kaçı yalnız bir gazete almıştır? 8. ir sınıfta İngilizce bilen öğrenci sayısı lmanca bilen öğrenci sayısından 7 fazladır. İngilizce bilmeyen öğrenci sayısı 12 olduğuna göre, lmanca bilmeyen öğrenci sayısı kaçtır? 3. ir grupta İngilizce bilen 7 kişi, lmancı bilen 12 kişi, bu iki dili de bilen 6 kişi bulunduğuna göre, bu grup en az kaç kişidir? kişilik sınıfta, resim kursuna gidenlerin kümesi R, müzik kursuna gidenlerin kümesi M olmak üzere; sr 13, sm 16 ve sr M 8 ise bu kurslardan hiçbirine gitmeyen öğrenci sayısı kaçtır? 5. ir sınıftaki 32 kişiden 18 inin bisikleti, 17 sinin bilgisayarı vardır. unlardan; a. en az kaçının, b. en çok kaçının hem bisikleti, hem de bilgisayarı olabilir? 9. veya dilini bilenlerin oluşturduğu bir grupta yalnız dilini bilenlerin sayısı 6, yalnız dilini bilenlerin sayısı 8 Grubun üyelerinin sayısı, hem hem dillerini bilenlerin sayısının 3 katı olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? 10.,, dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu bir grupta, dilini bilenlerin her biri dilini de bilmekte; dilini bilmemekte dilini bilenlerin sayısı 8, dilini bilenlerin sayısı 13, dilini bilenlerin sayısı 11, ve dillerinden ikisini de bilenlerin sayısı 4 tür. una göre, grup kaç kişidir? 11. ve dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu kızlı erkekli bir grupta, gözlük kullananlar vardır. { dilini bilenler}; 6. ir sınıftaki öğrencilerden 17 si Matematik veya Türkçe derslerinden kalmıştır. Matematikten kalan öğrenci sayısı, Türkçeden kalan öğrenci sayısından 3 fazladır. Öğrencilerin 4 ü hem Türkçe hem de Matematikten kaldığına göre, yalnız Matematikten kalan öğrenci sayısı kaçtır? { dilini bilenler}; K {Gruptaki kızlar}; E {Gruptaki erkekler}; G {Gözlük kullananlar} olduğuna göre, { dilini bilmeyen dilini bilen gözlüksüz erkekler} kümesini,, K, E, G kümeleri ile ifade ediniz. 22

23 12. Kız veya erkek Türkler ile kız veya erkek lmanlardan oluşan bir grubun üyelerinden bir kısmı mavi gözlüdür. b. Verilen bilgilerle sınıftaki gözlüklü erkek öğrencilerin sayısı bulunabilir mi? K {Gruptaki kızlar}; E {Gruptaki erkekler}; T {Gruptaki Türkler}; {Gruptaki lmanlar}; M {Gruptaki mavi gözlüler} olduğuna göre, {Gruptaki mavi gözlü olmayan lman erkekler} kümesini K, E, T,, M kümeleri ile ifade ediniz daireli bir apartmanda her daire ve gazetelerinden en çok ikisini almaktadır. gazetesini alan daire sayısı, gazetesini alan daire sayısından 6 fazladır. İki gazete alanların sayısı 6, hiç gazete almayanların sayısı 12 olduğuna göre, gazetesini alan daire sayısı kaçtır? kişilik bir sınıfta öğrencilerin 10 u matematikten, 6 sı fizikten kalmıştır. u derslerin ikisinden de geçen öğrenci sayısı, ikisinden de kalan öğrenci sayısının 5 katıdır. Yalnız matematikten kalan öğrenci sayısı kaçtır? kişilik bir grupta İngilizce bilenlerin sayısı, lmanca bilenlerin sayısının 3 katıdır. u grupta her iki dili bilenler 4 kişi, bu dilleri bilmeyenler 6 kişi bulunduğuna göre, yalnız İngilizce bilenler kaç kişidir? 18. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 15 kişilik bir grupta; lmanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 2 katından 2 eksik olup iki dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır. u grupta yalnız Fransızca bilenlerin sayısı kaçtır? 19. ir sınıftaki 32 öğrenciden 18 inin bisikleti, 17 sinin bilgisayarı vardır. unlardan ikisine de sahip olanların sayısı, hiçbirine sahip olmayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, ikisine de sahip olanların sayısı kaçtır? 15. ir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı Matematik dersinden, % 80 i Türkçe dersinden başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olanların sayısı, bu iki dersten de başarısız olanların sayısından 12 fazladır. a. İki dersten de başarılı olanların sayısı en çok kaç olabilir? b. İki dersten de başarılı olanların sayısı en az kaçtır? 16. ir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız, % 30 u gözlüklüdür. Gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısından 3 fazla olduğuna göre, 20. ir sınıftaki 28 öğrencide kurşun kalem ve tükenmez kalemden en az biri bulunmaktadır. Kurşun kalemi bulunanların sayısı, tükenmez kalemi bulunanların sayısından 4 fazla olup hem kurşun hem tükenmez kalemi bulunanların sayısı, yalnız tükenmez kalemi bulunanların sayısına eşittir. Yalnız kurşun kalemi bulunanlar kaç kişidir? 21. ir sınıftaki öğrencilerin % 75 i müzik kursuna, % 60 ı resim kursuna, % 40 ı hem müzik hem resim kursuna gitmekte 2 öğrenci bu kursların hiçbirine gitmediğine göre, yalnız müzik kursuna giden öğrenci sayısı kaçtır? a. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? 23

24 22. lmanca ve İngilizce dillerinden en az birini 3 bilenlerin oluşturduğu bir grubun 4 ü lmanca, 2 ü İngilizce bilmekte 3 Yalnız lmanca bilenlerin sayısı 16 olduğuna göre, yalnız İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? 26. Piyano, gitar ve kemandan en az birini çalabilenlerin oluşturduğu bir toplulukta, piyano ve gitar çalabilen 7 kişi, gitar ve keman çalabilen 6 kişi, piyano ve keman çalabilen 5 kişi, piyano veya gitar çalabilen 21 kişi, gitar veya keman çalabilen 19 kişi, piyano veya keman çalabilen 18 kişi bulunmaktadır Türk ve 8 lmandan oluşan bir grupta 9 kadın vardır. unların üçünü de çalabilen 4 kişi bulunduğuna göre, toplulukta kaç kişi vardır? Türk kadınların sayısı, lman erkeklerin sayısından kaç fazladır? 24. ir köydeki evlerin % 45 inde televizyon, % 50 sinde telefon bulunmaktadır. hem televizyonu hem telefonu olan ev sayısı 16 dır. Telefonu olan ev sayısı, televizyonu olan ev sayısından 4 fazladır. a. Köyde kaç ev vardır? b. Kaç evde televizyon da, telefon da yoktur? 27. ir sınıfta dersinden kalan öğrencilerin hepsi veya dersinden de kalmıştır. Hem hem dersinden kalan öğrenci yoktur. Öğrencilerin 8 i yalnız dersinden, 7 si yalnız dersinden, % 50 si dersinden kalmış; % 20 si bu üç dersten geçmiştir. dersinden kalan öğrenci sayısı, dersinden kalan öğrenci sayısından 6 fazla olduğuna göre; dersinden kalan öğrenci sayısı kaçtır? kişilik bir sınıfta; dersinden kalan öğrenci sayısı 20, dersinden kalan öğrenci sayısı 23, dersinden kalan öğrenci sayısı 27, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 12, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 13, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 15 tir. u derslerin üçünden de geçen öğrenci sayısı 2 olduğuna göre, üçünden de kalan öğrenci sayısı kaçtır? 28. ir yazarlar grubunda roman yazmayanların sayısı 16, şiir yazmayanların sayısı 14, deneme yazmayanların sayısı 16 dır. u türlerden yalnız birini yazanların sayısı 11, en az ikisini yazanların sayısı 13 olduğuna göre; bu türlerden yazmayanların sayısı en az kaçtır? 24

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR

6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR 6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR ONDALIK SAYILAR TEST ) Aşağıdaki kesirleri ondalık sayıya çeviriniz. a) 3 b) 2 c) 9 d) 4 5 25 20 2) Aşağıdaki ondalık sayıların basamaklarındaki rakamların sayı ve basamak değerlerini

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir.

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Φ \ Є Ø ˆ KÜMELER Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Sınıf arkadaşlarınıza bakınız ve aşağıdaki gruplarda bulununanların isimlerini yazınız. a) Kızlar b) Erkekler

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir.

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir. Bölüm ONDALIK KESİRLER Paydası 0 un tam kuvveti olan veya bu duruma getirilebilen kesirlere ondalık kesirler denir. Örneğin, ondalık kesirdir. 0 ; 00 ; 000,... birer Paydaları 0 un tam kuvveti olmayan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

4.2.1 Sayma Sistemleri

4.2.1 Sayma Sistemleri . Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız. 1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)... Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8 İÇİNDEKİLER ORGNİZSYON ŞEMSI... 8 : SYILR VE EİR... 9 9.1 KÜMELER... 10 9.1.1 Kümelerde Temel Kavramlar... 11 Küme Kavramı... 11 Kümelerin Gösterilişi... 12 Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 15 Evrensel Küme...

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI . a 6 b a b 8 ifadesinin açılımında b çarpanının bulunmadığı terim aşağıdakilerden hangisidir?. Bir toplulukta en az iki kişinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı gününde doğduğu kesin bilindiğine göre,

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

Tüm S-olmayanlar, P dir önermesini temsil eden bir Venn diyagramı çiziniz.

Tüm S-olmayanlar, P dir önermesini temsil eden bir Venn diyagramı çiziniz. Venn Diyagramları Kategorik önermelerle ilgili işlemlerde kümeler arası ilişkileri göz önüne almak bu konuda bize yardımcı olur. Bir kategorik önerme, kesişen iki daire ile temsil edilir ve buradaki daireler

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE Kümeler KÜMELER... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 19 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 21 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video lü)... 23 KÜMELERLE ÝÞLEMLER... 25 Ölçme ve Deðerlendirme...

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız

b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız 1 b Üslü Sayılara Giriş b İşlem Önceliği b Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Dağılma Özelliği b Doğal Sayı Problemleri b Çarpanlar ve Katlar - Kalansız Bölünebilme Kuralları b Asal Sayılar, Asal Çarpanlar,

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Kümeler ve Küme İşlemleri

Kümeler ve Küme İşlemleri Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

ANTRENMAN YAYINCILIK

ANTRENMAN YAYINCILIK Sistematik, eksiksiz ve akıcı bir anlatım için Yeni müfredata uygun 9.Sınıf MTMTİK FTRİ Halil İbrahim KÜÇÜKKY u kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, Mekanik,

Detaylı

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D . 0,5, 0,5 0, 0,75 5 5. () 5 5 Verilenler arasında 0 a en yakın olan 0,5 yani.. 8 8 8 6 8 0,0006 0,08 0000 00 0,08 8 000 8 6 0 8 0 0 0 6 8 0 8 0 6 6. Not : a b a b a b 65 65 65 65 65 65 0 00 65 65 00 00

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 8. İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 31 MART 2012 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 150 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Kartezyen Çarpım Kümesi

Kartezyen Çarpım Kümesi ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Neler Öğreneceğiz? 1.2.4. Kartezyen Çarpım Kümesi Sıralı ikilileri ve iki kümenin kartezyen çarpım kümesini nahtar Terimler Sıralı ikili Kartezyen çarpım aşlarken ir sinema

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 01 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 10, 5,1 0,5 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7. a 1 8 b 7 18 olduğuna göre a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 5 E) 6 10, 5,1 105 1 41 1 5 0,

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı