Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve Ö re tim

Transkript

1 Mil li i tim kn l T lim ve Ter bi ye u ru lu fl kn l n n t rih ve s y l k r r ile k bul edi len ve 00-0 Ö re tim Y l n dn iti b ren uy gu ln ck oln prog r m gö re h z r ln m flt r.

2 Genel Müdür Temel te Genel oordintör kn te itim oordintörü - ditör Nevzt sm itim oordintör Yrdmcs Hlit yk izgi, Grfik, Tsrm sen izgi Servisi Görsel Tsrm rol ruk Yücel Vedt Polt u kitbn tmmnn y d bir ksmnn elektronik, meknik, fotokopi y d herhngi bir kyt sistemiyle çoltlms, yymlnms ve depolnms ysktr. u kitbn tüm hklr yzrlrn ve sen sn Yyn tm Limitet irketine ittir. steme dresi SN SIN YYIN ITIM LT.T. yndr. Sokk No.: / zly/nr tel.: (0) fks: (0) ISN : sk hçekp Mh. 0. Sok. Nu.:7 070 mz / NR Tel: (0) 78 8 (pb) sk Trihi 0 VIII

3 Sevgili Ö renciler, u kitp, Milli itim knl Tlim ve Terbiye urulu flknl nc kbul edilen rt Ö retim 9. S n f Geometri ersi Ö retim Progrm n uygun olrk hz rlnm flt r. u progrm; lise türlerinin hepsinde de ortk olup, yeni s nv sistemine göre üniversiteye girifl s nvlr nd soruln Geometri sorulr n kpsmktd r. y r c, rl kl ort ö retim bflr pun n n etkisi üniversiteye girifl pun n n he sp ln m s n d çok fz l olup bu nun te l fi si müm kün de il dir. u se bep ten do l y ; u ki tp, 9. s n f ö ren ci le ri için okul d ki Geometri dersine yr d m c ve üniversiteye girifl s n vlr n yö ne lik h z r ln m fl t r. 9. s n f Geometri dersinin ko nu l r için de yer ln te mel kv rm ve bil gi ler, ge rek siz de tylr dn uzk, ç k, n l fl l r ve öz lü bir n l t m flek li ile ve ril mifl tir. u ki tp, 5 bö lüm den olufl mk t d r. Her bir bö lüm de ko nu n l t m n dn son r; ko nu nun d h iyi n l fl l m s için çok s y d çö züm lü ör nek ler, l flt rmlr, yz l y hz rl k sorulr, üniversiteye girifl s nvlr n yö ne lik test ler ve ko nu ile il gi li üniversiteye girifl s nv lr n d ç k m fl so ru lr ve çözümleri bu lun mk t d r. Mut lu, s l k l ve bflr l bir hyt geçir meniz dile iy le... u kitb n hz rlnms nd kontrol yprk bize ktk d bulunn yflen kgönül ve Çi dem öken e teflekkür ederiz. Nevzt SM Hlit IYI

4 STLÂL MRI orkm, sönmez bu fklrd yüzen l snck; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ock. benim milletimin yldzdr, prlyck; benimdir, o benim milletimindir nck. Çtm, kurbn olym, çehreni ey nzl hilâl! hrmn rkm bir gül! Ne bu iddet, bu celâl? Sn olmz dökülen knlrmz sonr helâl... Hkkdr, Hkk tpn, milletimin istiklâl! en ezelden beridir hür ydm, hür yrm. Hngi çlgn bn zincir vurckm? rm! ükremi sel gibiyim, bendimi çiner, rm. Yrtrm dlr, enginlere smm, trm. Grbn âfâkn srms çelik zrhl duvr, enim imn dolu gösüm gibi serhddim vr. Ulusun, korkm! Nsl böyle bir imn bor, Medeniyet! dediin tek dii klm cnvr? rkd! Yurdum lçklr urtm, skn. Siper et gövdeni, dursun bu hyâszc kn. ocktr sn v dettii günler Hkk n... im bilir, belki yrn, belki yrndn d ykn. stn yerleri toprk! diyerek geçme, tn: üün ltndki binlerce kefensiz ytn. Sen ehit olusun, incitme, yzktr, tn: Verme, dünylr lsn d, bu cennet vtn. im bu cennet vtnn urun olmz ki fedâ? ühedâ fkrck topr sksn, ühedâ! ân, cânân, bütün vrm lsn d Hud, tmesin tek vtnmdn beni dünyd cüdâ. Ruhumun senden, lâhi, udur nck emeli: emesin mbedimin gösüne nâmhrem eli. u eznlr-ki hdetleri dinin temeli- bedî yurdumun üstünde benim inlemeli. zmn vecd ile bin secde eder -vrs- tm, Her cerîhmdn, lâhi, bonp knl ym, krr ruh- mücerred gibi yerden n m; zmn yükselerek r deer belki bm. lgln sen de fklr gibi ey nl hilâl! lsun rtk dökülen knlrmn hepsi helâl. bediyen sn yok, rkm yok izmihlâl: Hkkdr, hür ym, byrmn hürriyet; Hkkdr, Hkk tpn, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif RSY

5 T TÜR ÜN GNÇ L H T S y Türk gençlii! irinci vzifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudiyetinin ve istikblinin yegâne temeli budur. u temel, senin, en kymetli hzinendir. stikblde dhi, seni, bu hzineden, mhrum etmek isteyecek, dhilî ve hricî, bedhhlrn olcktr. ir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdf mecburiyetine düersen, vzifeye tlmk için, içinde buluncn vziyetin imkân ve eritini düünmeyeceksin! u imkân ve erit, çok nâmüsit bir mhiyette tezhür edebilir. stiklâl ve cumhuriyetine kstedecek dümnlr, bütün dünyd emsli görülmemi bir glibiyetin mümessili olbilirler. ebren ve hile ile ziz vtnn, bütün kleleri zpt edilmi, bütün tersnelerine girilmi, bütün ordulr dtlm ve memleketin her köesi bilfiil igl edilmi olbilir. ütün bu eritten dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketin dhilinde, iktidr ship olnlr gflet ve dlâlet ve httâ hynet içinde bulunbilirler. Httâ bu iktidr shipleri hsî menftlerini, müstevlilerin siysî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içinde hrp ve bîtp dümü olbilir. y Türk istikblinin evlâd! te, bu hvl ve erit içinde dhi, vzifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtrmktr! Muhtç olduun kudret, dmrlrndki sîl knd, mevcuttur!

6 . ÖLÜM Temel Geometrik vrmlr ve oordint Geometriye Giri...9 Nokt, o ru, o ru Prçs, Ifl n, üzlem ve Uzy...0 l flt rmlr... oordint o rusu...5 l flt rmlr...0 nlitik üzlem... l flt rmlr...5 nlitik üzlemde Vektörler... l flt rmlr...0 ç lr... l flt rmlr 5... o runun enklemi... l flt rmlr...5 Test,,,, 5,, 7, 8, 9, Yz l y Hz rl k Sorulr,...7 Üniversiteye Girifl S nv Sorulr ve leri ÖLÜM Çokgenler ve üzlemde plmlr...9 Çokgen ve Çokgende ç...9 l flt rmlr... Çokgenlerde Çevre ve ln...8 l flt rmlr...5 Üçgenlerin flli i...9 l flt rmlr... üzlemde önüflümler ve Çokgenlerle plmlr... l flt rmlr...55 Üçgenlerde enzerlik...58 l flt rmlr Test,,,, 5,, 7, 8, 9, 0,,,,, 5,...8 Yz l y Hz rl k Sorulr,...5 Üniversiteye Girifl S nv Sorulr ve leri...9

7 . ÖLÜM ik Prizmlr ve Pirmitler...5 zometrik ve ik Görüntü Çizimleri...5 l flt rmlr...5 ik Prizm ve ik Pirmit...57 l flt rmlr... ik Prizm ve ik Pirmidin ln... l flt rmlr...70 ik Prizm ve ik Pirmidin Hcmi...7 l flt rmlr...75 Test,,,...77 Yz l y Hz rl k Sorulr,...85 Üniversiteye Girifl S nv Sorulr ve leri ÖLÜM Çember ve ire...0 Çemberde ç lr ve Çemberin Çevresi...0 l flt rmlr... irenin ve ire iliminin ln... l flt rmlr...9 Test,,,... Yz l y Hz rl k Sorulr,...9 Üniversiteye Girifl S nv Sorulr ve leri...

8 5. ÖLÜM ik iresel Silindir ik iresel oni ve üre...9 Silindir...0 l flt rmlr... oni...8 l flt rmlr...55 üre...57 l flt rmlr... Test,,... Yz l y Hz rl k Sorulr,...9 Üniversiteye Girifl S nv Sorulr ve leri...7

9 . ÜNT Temel Geometrik vrmlr ve oordint Geometriye Giri. znm Nokt, oru, oru Prçs, In, üzlem ve Uzy. znm oordint orusu. znm ik oordint Sistemi. znm nlitik üzlemde Vektör 5. znm çlr. znm nlitik üzlemde ir orunun enklemi

10 NT, RU, RU PRÇSI, IIN, ÜZLM ve UZY NT Nokt, geometrideki tnmsz terimlerden biri olup sezgisel bir kvrmdr. Noktnn eni, boyu ve yükseklii yoktur. ir klemin kt üzerinde oluturduu iz nokt ile ilgili fikir verebilir. d nokt modelleri örneklenmitir. iz bu modellerden ilkini kullncz. RU PRÇSI ir dorunun ve gibi iki nokts ile bu noktlr rsndki noktlr kümesine doru prçs denir ve [] biçiminde gösterilir. Yukrd uç noktlr ve oln [] çizilmitir. ve noktlr rsndki uzkl doru prçsnn uzunluu denir ve biçiminde gösterilir. RU üz ve uzunluu sürekli iki yöne snrsz uztlbilen, klnl bulunmyn, tnmsz bir geometrik terimdir. SN YYINLRI IIN ir doru üzerindeki nokts ile noktsnn yn trfnd bulunn bütün noktlrn kümesine, blngç nokts oln n denir. ekilde blngç nokts ve üzerindeki bir nokts oln [ n çizilmitir. Yukrdki doru, dorusu vey l dorusudur. d doru modelleri örneklenmitir. iz bunlrdn ilkini kullncz. Yukrdki ekilde, ifde edilen [ ile [ yn ndr. u durum [ [ biçiminde gösterilir. rkl iki noktdn bir doru geçer. ir doru üzerinde en z iki nokt ve dnd en z bir nokt vrdr. Yukrdki ekilde ifde edilen [ ve [ nlrn zt nlr denir. 0

11 Nokt, oru, oru Prçs, In, üzlem ve Uzy ÖRN dki tblod doru, doru prçs ve nl ilgili gösterimler bir rd verilmitir. nceleyiniz. ÜZLM Uzunluu ve genilii, düz snrsz geniletilebilen fkt klnl bulunmyn, tnmsz bir geometrik terimdir. d bz düzlem modelleri verilmitir. iz bunlrdn ilkini kullncz. o ru d o ru prçs [] linizdeki kitp syfsnn yüzü odnzdki duvrn I n [ yüzü size düzlemle ilgili bir fikir verebilir. o ru prçs uzunlu u ir noktlr kümesinin elemnlr, bir doruy it ise bu noktlr kümesine dorusl (dorud) noktlr kümesi, yn düzleme it ise düzlemsel ÖRN SN YYINLRI noktlr kümesi denir. ÖRN Yukrdki doru ve üzerinde iretlenmi,, L M noktlrn göre ifde edilmi dki ilemleri inceleyiniz. [] [] = [] [ [ = [ N [] [] = {} [ [ = [] [ = [] [ = [] [] = [] Yukrdki ekilde,, N, noktlr hem dorusl hem de düzlemseldir. L, M, noktlr hem dorusl hem de düzlemseldir.,, L, noktlr düzlemseldir.,,, noktlr düzlemseldir.,,, M noktlr düzlemseldir.

12 Nokt, oru, oru Prçs, In, üzlem ve Uzy üzlem luturm oullr UZY orusl olmyn üç nokt, bir düzlem belirtir. ütün noktlrn kümesi uzydr. k bir deyile uzunluu, genilii ve yükseklii, düz snrsz geniletilebilen geometrik bir terimdir. Prlel iki doru bir düzlem belirtir. k d bz uzy modelleri çizilmitir. ir doru ile dndki bir nokt bir düzlem belirtir. esien iki doru bir düzlem belirtir. k iz çizgi prlelkenrsl bölge prizm d P nokts d do rusu vey P düzlemi uzy

13 Nokt, oru, oru Prçs, In, üzlem ve Uzy ir düzlem içindeki frkl n tne doru, bu düzlemi en z n +, en çok n + n + bölgeye yrr. Soru: ir düzlemdeki frkl doru düzlemi en z ve en çok kç bölgeye yrr? Yukrdki çklmy göre frkl doru bir düzlemi n z: + = 7 n çok: + + = bölgeye yrr. Herhngi üçü dorusl olmyn n noktdn (n, ) kdr doru geçer. Soru: Herhngi üçü dorusl olmyn noktdn kç doru geçer? Yukrdki çklmy göre,! (, ) = = olur. ( )!.! n tne doru en fzl, (n, ) noktd kesiir. Soru: doru en fzl kç noktd kesiir?! Yukrdki çklmy göre doru en fzl (, ) noktd kesiir. (, ) = = olur. ( )!.! Herhngi üçü dorusl olmyn n tne nokt (n, ) tne düzlem gösterir. Soru: orusl olmyn nokt en z kç düzlem gösterir? nokt yn düzlem içinde lnrs bir düzlem gösterecektir. Soru: orusl olmyn nokt en çok kç düzlem gösterir? Yndki ekilde görüldüü gibi nokt yn düzlemde lnmzs bu noktnn herhngi üçü bir düzlem göstereceinden;,, ve düzlemleri oluur. yrc yukrdki çklmy göre, nokt en fzl! (, ) = = tne düzlem gösterir. ( )!.!

14 LITIRMLR. 5. dki ifdelerden doru olnlr için bo kutulr ynl olnlr için Y yznz. Yukrdki sy dorusu üzerindeki noktlr göre dki ifdelerden doru olnlr için bo kutulr ynl olnlr için Y yznz. [ [ = [ [] [] = [] [ [ = [ ir doru ile dndki bir noktdn bir düzlem geçer. Prlel iki doru bir düzlem belirtir. Uzy tnmsz terimdir. esien iki düzlemin rkesiti bir düzlemdir. [ [ = [] [ [ = [ [ [] = [] SN YYINLRI orusl olmyn üç noktdn bir düzlem geçer. esien iki doru bir düzlem belirtir.. orusl olmyn 8 nokt en z kç düzlem gösterir?. frkl doru bir noktsndn ve bk frkl doru bir noktsndn geçmektedir. u dorulr en fzl kç noktd kesiir? ( ve dhil). orusl olmyn 7 nokt en çok kç düzlem gösterir? 7. rkl üç düzlem uzy en z kç lt uzy yrr?. Herhngi üçü dorusl olmyn 8 noktdn kç doru geçer? 8. rkl üç düzlem uzy en çok kç lt uzy yrr?.,,, Y,, ,, Y, Y,,

15 RNT RUSU Her noktsn bir reel sy elenen doruy sy dorusu y d koordint dorusu denir. ir dorunun herhngi bir noktsn krlk gelen reel sy ise, sysn noktsnn koordint denir ve () biçiminde gösterilir. 0 NT RSIN UZLI Sy dorusu üzerindeki iki nokt () ve (b) olmk üzere, bu noktlr rsndki uzklk d(, ) vey biçiminde gösterilip b, b> d(, ) = = ) b, b< d r. = = 0 dr. b = b olduundn = dr. ekildeki sy dorusu üzerinde bulunn,, noktlrn krlk gelen reel sylr srsyl, 0 ve olduundn ( ), (0) ve () biçiminde gösterilir. (0) nokts verilen sy dorusunun blngç noktsdr. ÖRN () ve (5) noktlr rsndki uzklk kç br dir? br 0 5 MUTL R oordint dorusund, iki nokt rsndki uzkl ve bir doru prçsnn uzunluunu bulurken mutlk deer ve mutlk deerin özelliklerinden yrrlncz. olysyl mutlk deer kvrmn ve özelliklerini htrlylm. gerçel sysnn mutlk deeri SN YYINLRI () ve (5) olduundn, d(, ) = = 5 = br olur. ÖRN 5 ( ) ve () noktlr rssndki uzklk kç br dir?, 0 = ), < 0 olrk tnmlnr. 5 br 0 ( ) ve () olduundn Mutlk eerin Özellikleri =.y =. y y =, (y 0) y n = n = = =, ( R + ) d(, ) = ( ) = + = 5 br olur. ÖRN ( ) ve () noktlr rsndki uzklk 5 br ise deerlerini bulunuz. = 5 ( ) = 5 + = 5 + = 5 + = 5 = = 7 olur. 5

16 oordint orusu ÖRN 7 Sy dorusu üzerinde, ( ) noktsn br uzklkt bulunn noktlr bulunuz. rdmz nokt () olsun. = ( ) = + = + = + = = = 5 olur. 5 5 c m, c m = = ( + ), ( ) = ( + ) = = (v ), (v + ) = v + (v ) ÖRN 0 = v + v + = ÖRN 8 Sy dorusu üzerinde, ( ) noktsn oln uzkl, () noktsn oln uzklnn kt oln ve [] üzerinde bulunn nokt nedir? rdmz nokt () olsun. = ( ) = + = +, ( + > 0) = =, ( > 0) = + = ( ) + = = = olur. Uç noktlrnn koordintlr () ve (b) oln doru prçsnn uzunluu, = b dr. ÖRN 9 d bz doru prçlrnn uç noktlrnn koordintlr ile bu doru prçlrnn uzunluklr verilmitir. nceleyiniz. (), () = = ( ), () = ( ) = 5 SN YYINLRI Sy dorusu üzerinde ( ) ve (7) olmk üzere, = eitliini slyn noktlrn bulunuz. noktsnn koordint olsun. = + ve = 7 = + = 7 + = ( 7) + = ( 7) + = + = + = = olur. hlde, () vey () bulunur. RU PRÇLRI Uzunluklr eit oln iki doru prçsn e doru prçlr denir. [] ve [] e doru prçlr [] [] biçiminde gösterilir. [] [] = dir. ÖRN (), ( + ), (5), ( ) olmk üzere, [] [] ise deerlerini bulunuz. [] [] = + = 5 = 8 = 8 = ( 8) = 7 = bulunur.

17 oordint orusu YÖNLÜ RU PRÇSI Uç noktlrdn biri blngç nokts, dieri de bitim nokts olrk seçilen doru prçs yönlü doru prçsdr. lngç nokts ve bitim nokts oln yönlü doru prçs eklinde gösterilir. yönlü doru prçsnn ve noktlr rsndki uzkl yönlü doru prçsnn uzunluudur ve eklinde gösterilir. Yönü yn oln e doru prçlrn e yönlü doru prçlr denir. (0) () () () ekilde = = br olduundn ile e yönlü doru prçlrdr. ir yönlü doru prçsn üzerinde bulundurn doruy, tyc denir. SN YYINLRI (0) () () yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = 0 = dir. yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = = dir. yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = 0 = tür. (0) () () yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = 0 = dir. yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = = dir. yönlü doru prçsnn blngç nokts, bitim nokts olup uzunluu = 0 = tür. ekilde nin tycs d dorusudur. d VTÖR oordint dorusu üzerinde e yönlü doru prçlrnn kümesine vektör denir. ÖRN vektörü vektörü (0) () () Uç noktlr,, oln yönlü doru prçlrn yzp uzunluklrn bulunuz. ir vektörün boyu bu vektörü temsil eden herhngi bir doru prçsnn uzunluun eittir. vektörünün uzunluu biçiminde gösterilir. Uzunluu br oln vektöre birim vektör denir. 7

18 oordint orusu ÖRN (0) () () () ir oru Prçsn çten ve tn elli rnd ölen Noktlr Vektörel lrk çten ölme ekilde verilenlere göre,, ve vektörlerinin uzunluklrn bulup birim vektör olnlr tespit ediniz. = 0 = = = = = = = > 0 olmk üzere, = ÖRN = = = + m + m = = = olup,, vektörlerinin her biri birim vektördür. SN YYINLRI () () () ekilde = ise kçtr? = = = olcndn, Yer Vektörü = + m + m = +. = bulunur. + lngç nokts koordint dorusunun orijininde oln P vektörüne P noktsnn yer vektörü denir. (0) P() Vektörel lrk tn ölme ekildeki P vektörü P noktsnn yer vektörüdür. (0) () () () ekildeki vektörü ve vektörlerinin yer vektörüdür., R + olmk üzere, = = = = m dir. m 8

19 oordint orusu ÖRN 5 ÖRN 7 ( ), () ve () olmk üzere () () () [] nn ort nokts ise kçtr? ekilde = ise kçtr? = = = olcndn, = m. = = bulunur. m ( ) () () + = = + = 5 bulunur. ÖRN 8 ( ), () ve ( ) olmk üzere, [] nn ort nokts ise kçtr? ir oru Prçsnn rt Nokts () (c) (b) + m = = eitliinde = lnrs + m nokts ort nokt olup = + b bulunur. SN YYINLRI = + ( ) ( ) () = = olur. (), (y) ve (z) olmk üzere < y < z ise, nokts ile rsnddr. ÖRN 9 ÖRN Uç noktlr ( ) ve (7) oln [] nn ort noktsnn koordintn bulunuz. ( 5), ( ) ve () olmk üzere, nokts ile rsnd ise in lbilecei tm sy deerlerini bulunuz. ( 5) ( ) () ( ) () (7) [] nn ort nokts () ise = + 7 = olur. hlde, () dir. ( ) nokts, ( 5) ve () rsnd ise 5 < < < < < < olur. ulunn koul uygun tm sylr 0, ve dir. 9

20 LITIRMLR. ( ), (0), c m, (v5) noktlrn sy. dorusu üzerinde gösteriniz. + + Yukrdki ekilde,. dki tblod uç noktlr verilen doru prçlrnn uzunluklrn bulunuz. = = = birimdir. un göre noktsnn koordint kçtr? ( ) () () ( ) ( ) (0) ( v) (5 v) ( + ) ( ) SN YYINLRI 7. dki tblod koordintlr verilen nokt çiftlerinin ort noktlrn bulunuz. () ( ) () (5) ile nin ort nokts ( ) ( + ). ( ) ve ( + ) olmk üzere = ise kçtr?. Sy dorusu üzerinde ( ) noktsn uzkl birim oln noktlr bulunuz. 8. ( + ), ( ) ve () olmk üzere nokts ile rsnd ise hngi rlkt deerler lr? 5. (), ( + ), () olmk üzere ile rsndki uzklk ile rsndki uzkl eit ise kçtr? 9. ( ), (), () ve () olmk üzere [] nn ort nokts, [] nn ort nokts P, [P] nin ort nokts T() ise kçtr?. 0 vey. vey (, ) 9. 0

21 NLT ÜZLM 0 (sfr) sysn krlk gelen noktsnd birbirine dik oln biri yty dieri düey iki sy dorusunun oluturduu sistem dik koordint sistemi; bu sy dorulrnn belirttii düzlem de nlitik düzlemdir. y (ordint) ÖRN 0 (, ), (, ), (, ) ve (5, ) noktlr nlitik düzlemde gösterilmitir. nceleyiniz. y (, ) (, ) 0 (psis) 5 0 (, ) (5, ) y ik koordint sistemini oluturn sy eksenlerinden; Yty oln () psisler eksenidir. üey oln (yy) ordintlr eksenidir. ksenlerin kesitii nokt orijindir. psis ve ordint eksenlerinin oluturduu sistem de koordint sistemidir. SN YYINLRI oordint sisteminde, ekseni üzerindeki noktlrn ordintlr sfrdr. y ekseni üzerindeki noktlrn psisleri sfrdr. ÖRN (, 0), ( 5, 0), (0, ) ve (0, ) noktlr nlitik düzlemde gösterilmitir. nceleyiniz. y (0, ) y b (, b) ( 5, 0) (, 0) (0, ) psis ordint ÖRN 0 ( b, ) nokts y ekseni üzerinde ve (, + ) nokts ekseni üzerinde ise ve b deerlerini bulunuz. (, b) srl ikilisine krlk gelen nokty ile gösterirsek nokts (, b) biçiminde yzlr. y noktsnn psisi, b ye noktsnn ordint, (, b) srl ikilisine noktsnn koordintlr denir. ( b, ) nokts y ekseni üzerinde ise b = 0 dr. (, + ) nokts ekseni üzerinde ise + = 0 = b = 0 b = 0 b = bulunur.

22 nlitik üzlem (, b) noktsnn eksenlere oln uzklklr toplm: + b dir. II. ÖLG < 0 y > 0 y I. ÖLG > 0 y > 0 ÖRN (, ) noktsnn eksenlere oln uzklklr toplmn bulunuz. < 0 y < 0 III. ÖLG > 0 y < 0 IV. ÖLG y oordint sistemini oluturn eksenler, nlitik düzlemi dört bölgeye yrr. (, y) noktsnn koordintlrnn iretleri yukrd ifde edilmitir. 0 ÖRN 5 ekilde görüldüü gibi noktsnn eksenine oln uzkl = ve y eksenine oln uzkl = tür. un göre, + = 5 olur. SN YYINLRI (, + ) nokts nlitik düzlemin II. bölgesinde ise nn lbilecei tm sy deerlerini bulunuz. (, +) nokts II. bölgede ise < 0 ve + > 0 < ve > olur. hlde < < bulunur. nn tm sy deerleri, 0,, dir. ÖRN (, ) noktsnn y eksenine oln uzkl br ise nn lbilecei deerleri bulunuz. ÖRN y (.b,.b) nokts nlitik düzlemin IV. bölgesinde ise (, b) nokts hngi bölgededir? 0 = = = = 5 = (.b,.b) nokts IV. bölgede ise.b > 0 ve.b < 0 olmldr..b < 0 b < 0 dr..b > 0 ve b < 0 < 0 bulunur. ve b negtif ise ve b pozitif olup (, b) nokts nlitik düzlemin I. bölgesindedir.

23 nlitik üzlem R RU PRÇSINI VRLN R RN ÖLN NTLRIN RNTLRI II. Yol: t t (, y ), (, y ) noktlr ve [] üzerinde = k eitliini slyn k R + verildiinde; (, ) (0, ) (, b) t de rt t de zlm doru prçsn, k ornnd içten bölen nokt ( 0, y 0 ) ise = ise = t ve = t lnbilir. (, y ) ( 0, y 0 ) (, y ) 0 = + k + k, y 0 = y + ky + k dir. doru prçsn, k ornnd dtn bölen nokt ( 0, y 0 ) ise (, y ) (, y ) ( 0, y 0 ) 0 = ÖRN 7 k, y k 0 = y ky dir. k (, ), (0, ) ve [] olmk üzere, I. Yol: = eitliini slyn noktsn bulunuz. doru prçsn ornnd dtn bölen nokt (, b) olduundn, (, ) (0, ) (, b) 0 = y 0 = y y 0 y 0 k = k y ky b = k. 0. hlde, (, ) bulunur. = = olur. SN YYINLRI ile noktlrnn psislerini krltrdmzd t için birim zlm olmu ( den 0 ) t için birim zlm olur. Yni noktsnn psisi, = 0 = tür. ile noktlrnn ordintlrn krltrdmzd t için birim rtm olmu ( ten y) t için birim rtm olur. Yni noktsnn ordint, b = + = bulunur. hlde, (, ) bulunur. ÖRN 8 (0, ), (5, ) ve [] olmk üzere, = ise noktsnn koordintlrn bulunuz. t (0, ) (?,?) (5, ) 5t de 5 rt t 5t de 0 zlm ile noktlrnn psisleri için 5t de 5 rt vrs, t de 9 rt olur. noktsnn psisi = 9 olur. ile noktlrnn ordintlr için 5t de 0 zlm vrs t de zlm olur. noktsnn ordint = 7 olur. hlde, (9, 7) bulunur.

24 nlitik üzlem TNL LTIN RN ltn orn, dod bir bütünün prçlr rsnd gözlemlenen, uyum ve estetik çdn en uygun boyutlr veren geometrik ve sysl bir orn ilikisidir. ltn orn, örnein bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenr ile ks kenr rsndki orndr. un benzer olrk, bir doru prçsnn ikiye yrldnd göze en ho gelen ikiye yrlm orndr. ltn orn, sdece dikdörtgen ve doru için deil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yplr için kullnlbilir. lsik mimride ve modern mimride in edilecek ypnn görünüü dim bir ltn dikdörtgen içine yerletirilmektedir. Uzunluu l kdr oln bir doru prçs llm ve bunu bir nokts yrdmyl uzunluklr ve b kdr oln ve gibi doru prçsn yrlm. b, + b, u bölme srsnd = yni = eitliini gerçekleyen y d b b b ornn ltn orn denir. + b + = eitliinde her iki trfn py ve pydsn b ile bölüp = lrsk, = y d b b = + denklemini elde ederiz. u denklemin kökleri 5 z = + =, ve + 5 ve 5 5 z l = olrk lrsk z+ zl = vey z. zl = yzbiliriz. dir. enrlrnn orn ltn orn eit oln bir dikdörtgene ltn dikdörtgen denir. ir dikdörtgenin, uzun kenr.8 birim, ks kenr birim ise bu dikdörtgen ltn dikdörtgendir. u dikdörtgenin ks kenrn kenr kbul eden bir kre ve hemen rdndn krenin iki köesi rsnd bir çeyrek çember çizilir. re çizildikten sonr ynd kln ksmd küçük bir kre ve tekrr çeyrek bir çember çizilerek bu ileme devm edilir. u ilem sl dikdörtgenin içinde kln tüm dikdörtgenler için yplrs, krmz ekildeki gibi bir ltn srml yp çkmktdr. ltn orn, tlyn mtemtikçi iboncci trfndn bulunn sy dizisinde gizlidir. iboncci sylr olrk d dlndrln = {,,,, 5, 8,,,, 55, 89,,,...} gibi sylrn özellii, dizideki sylrdn her birinin kendisinden önce gelen iki synn toplmndn olums ve büyük synn küçük syy oln ornnn, = = = =... =,8 ondlk sysn yklmsdr. 55 nsn vücudund d göbek ile yk rsndki mesfe birim olrk kbul edildiinde, insn boyu,8 e denk gelmektedir.

25 LITIRMLR. dki noktlr nlitik düzlemde gösteriniz. (, ) (, 0) (, ) (0, 0) 7. (.b,.b ) nokts nlitik düzlemin II. bölgesinde ise (.b,.b) nokts hngi bölgededir? (0, ) (, ) G(, ) H(5, 0) 8. (, ), (b, ) ve [] nn ort nokts (, ) ise + b kçtr?. (, + ) nokts nlitik düzlemin II. bölgesinde ise nn lbilecei tm sy deerlerini bulunuz. 9. (, ), (, 8) ve = dir. [] koulunu slyn noktsnn koordintlrn bulunuz.. ( +, ) nokts nlitik düzlemin IV. bölgesinde ise nn deer rln bulunuz. SN YYINLRI 0. (, ), ( 5, ) ve = dir. [] koulunu slyn noktsnn koordintlrn bulunuz.. ( +, ) ve (, b ) noktlr yn bölgede ise (, b) nokts kçnc bölgededir?. (0, ), (, ) ve = dir. [] koulunu slyn noktsnn koordintlrn bulunuz. 5. ( + b, ) ve (b, ) noktlr ordint ekseni üzerinde ise (, b) hngi bölgededir?. ( 7, ) (0, 8) (, ). (, b) nokts nlitik düzlemin IV. bölgesinde ise ( b, ) nokts hngi bölgededir? ekilde, [] be ve [] yedi eit prçy bölünmütür. Verilenlere göre noktsnn koordintlrn bulunuz.. {,, 0, }. (, ). II 5. I. III 7. III (, 0) 0. (, 0). (, ). ( 7, ) 5

26 NLT ÜZLM VTÖRLR y Yer (onum) Vektörü nlitik düzlemde (, y ) ve (, y ) noktlr verilsin. vektörüne eit ve blngç nokts orijin oln P vektörü, vektörünün yer (vey konum) vektörüdür. y M y T L y y y b P nlitik düzlemde çizilmi oln yönlü doru prçlr krltrlmtr. nceleyiniz. ile ve ile yn yönlü doru prçlrdr. ile nin yönleri ve dorultulr yn, uzunluklr eit olduundn e yönlü doru prçlrdr. olysyl dir. SN YYINLRI (, y ), (, y ) ve P(, b) olmk üzere, = P (, y y ) = (, b) olur. P = P = (, b) eklinde gösterilir. P vektörü yerine P vektörü de yzlbilir. P vektörünün, birinci bileeni ve ikinci bileeni b reel sysdr. LT yönlü doru prçs, ve yönlü doru prçlr ile ters (zt) yönlü doru prçsdr. ÖRN 9 ile LT nin dorultulr yn, uzunluklr eit olmsn krn yönleri zt olduundn, = LT dir. M = olmsn krlk, yönleri ve dorultulr frkl olduundn M _ dir. ve nin yönleri yn ve tyclr prlel (dorultulr yn) fkt uzunluklr frkl oldu- undn, _ dir. (, ) ve (, ) noktlr ile tnmlnn ve vektörlerinin yer (konum) vektörlerini bulunuz. (, y ), (, y ) olmk üzere, = P = (, y y ) olduundn, = P = ( ( ), ) = ( +, ) = (, ) = P = (, ) = (, ) olrk bulunur. urd, = olduun dikkt ediniz.

27 ir Vektörün Uzunluu (Normu) y P = (, b) vektörünün uzunluu (normu), P vey P ile b P H gösterilir. HP dik üçgeninden P = + b bulunur. ÖRN 0 nlitik üzlemde Vektörler ÖRN. (, ) ve ( 5, ) ise kç birimdir? b. (, ) ve (, 0) olmk üzere, = 5 br ise deerlerini bulunuz.. = ( 5 ) + ( + ) = + = 0 br olur. b. = 5 ( ) + ( 0+ ) = 5 (, 5) ve (5, 8) olmk üzere, nin yer vektörünü bulunuz. üzlemde gösterip uzunluunu hesplynz. = P = (5, 8 5) = (, ) P = + = 0 br bulunur. 8 5 y P 5 ki Vektörün itlii U = (, y ) ve V = (, y ) olmk üzere, U = V = ve y = y dir. SN YYINLRI ( ) + 9 = 5 ( ) = = = vey = = vey = bulunur. P = (, b) vektörüne P = (, b) vektörünün tersi denir. P ki Vektörün Toplm ve rk b y b P ÖRN U = (+b, ), V = (, b) olmk üzere, U = V ise.b kçtr? y (, y ) + (, y ) ( +, y +y ) U = V (+b, ) = (, b) + b = ve b = u iki denklemin ortk çözümünden = 5 ve b = bulunur. hlde,.b = 5.( ) = 5 olur. = (, y ) ve = (, y ) olmk üzere, + = ( +, y + y ) dir. = + ( ) = (, y ) + (, y ) (, y ) ve (, y ) noktlr rsndki uzkln = ( ) + ( y y ) olduunu gösteriniz. = (, y y ) olcndn, = = ( ) + ( y y ) bulunur. y = (, y y ) bulunur. = olduun dikkt ediniz. 7

28 nlitik üzlemde Vektörler ÖRN = (, ) ve = (, ) olmk üzere, + ve vektörlerini bulunuz. + = (+, +) = (9, ) olur. = (, ) = (, ) olur. ir Vektörün ir Reel Sy le Çrpm = (, y ) vektörü ve k R için k. = (k., k.y ) dir. ÖRN 5 = (, ) ve = (, ) ise vektörünü bulunuz. =.(, ).(, ) = (.,.) (.( ),.) ÖRN (, ) ve (, ) noktlr ve = (, ) vektörüne göre dkileri bulunuz. = (, ) (, ) = ( ( ), ) = (8, ) bulunur.. + ÖRN b. c. +. = = (, ( )) = (, ) + = (, ) + (, ) = ( + ( ), + ) = (, 8) SN YYINLRI (, ), (, ) ve (, 0) olmk üzere, vektörününün uzunluunu bulunuz. = = (, ) (, ) = (5, ) =.(5, ) = (0, 8) =.(, 0) = (, 0) = (0, 8) (, 0) = (, 8) olup = + ( 8) = 0 bulunur. b. c. = = (, ) = (, ) + = (, ) + (, ) = ( + ( ), + ( )) = (, 0) = (, ) ve = (, ) ise = (, ) = (, 0) urd, = olduundn, = + olduun dikkt ediniz. 8 ÖRN 7 = (, ) ve = (, ) vektörleri veriliyor.. + b. = 0 ise ve b reel sylrn bulunuz.. + b. = 0.(, ) + b.(, ) = (0, 0) (, ) + (b, b) = (0, 0) ( + b, + b) = (0, 0) + b = 0 = 0 ve b = 0 dr. + b = 0

29 nlitik üzlemde Vektörler irim Vektör Uzunluu birim oln vektöre, birim vektör denir. = br ise vektörü birim vektördür. nlitik düzlemde e = (, 0) ve e = (0, ) birim vektörlerine, stndrt (temel vey bz) birim vektörler denir. y e = (0, ) ÖRN 9 = c, m vektörünün birim vektör olduunu gösteriniz. 5 5 = c m + c m = = 5 5 olduundn vektörü birim vektördür. e = (, 0) ÖRN 0 e e yty birim vektörü, i ile düey birim vektörü, j ile gösterilir. = (, y ) vektörü ile yn dorultu ve yöndeki birim vektör, =. dir. ÖRN 8 SN YYINLRI = (, ) ile yn dorultu ve yönlü birim vektörü bulunuz. = + = 9+ = 5 = 5 olup ile yn dorultu ve yönlü birim vektör, =. =.(, ) = c, m olrk bulunur = c,nm vektörünün birim vektör olms için n hngi deerleri lbilir? = ise nün birim vektör olduunu biliyoruz. hlde, = c m + n = + n = + n = n = n = n =! bulunur. ÖRN = ( 5, ) ile yn dorultulu fkt zt yönlü birim vektörü bulunuz. = ( 5) + = 5 + = olup ile yn dorultulu fkt zt yönlü oln birim vektör, =. =.( 5, ) 5 = c, m vektörüdür. 9

30 LITIRMLR. nlitik düzlemde verilen (, ), (, ) ve (, ) noktlrn göre, ve vektörlerini nlitik düzlemde çiziniz. 9. = (, ), = (5, ) ise + ve + deerlerini bulunuz.. (, ), (, ), (, ) ve (, b) noktlrn göre = ise + b kçtr?. (n, ) ve (n+, ) noktlrndn geçen vektörünün yer vektörü nedir? 0. d verilenlerin doru vey ynl olduunu tespit ediniz. = (, 0) vektörü birim vektördür. = d, n vektörü birim vektördür. = c, m vektörü birim vektördür. 5 5 = c, m vektörü birim vektördür. = (, ) vektörü birim vektördür.. (, ), (, 5) ve (, 0) olmk üzere 5. ifdesinin eitini bulunuz. = (, ) ve = (, ) ise vektörü nedir? SN YYINLRI. = (n, n ) birim vektör ise n nin pozitif deeri kçtr?. = (, ) vektörü ile yn yönlü, yn dorultulu birim vektörü bulunuz.. = (, ) ile = (, b) vektörleri için. = (, ) ise + b kçtr?. = (, ) vektörüne zt yönde prlel oln birim vektörü bulunuz. 7. = (, 0) ve + = (, ) ise vektörü nedir? 8. (, ), (, ) olmk üzere, = 5 ise nn lbilecei deerleri bulunuz.. = e e ve = e + e ise dkileri bulunuz.. b. c. d. +.. (, ). (, 7) 5. (, ). 7. (, ) 8. vey 5 9. c7, 8 0.,,, Y, Y.. d, n. d, n.. v5 b. c0 c. c7 d. c 5 5 0

31 ÇILR ÇI Yönlü çlr çy, kenrlrnn yzl srsn göre iki deiik biçimde gösteririz. dki ekillerin birincisinde blngç kenrndn bitim kenrn st yönünün tersi yönde (pozitif yön), ikincisinde ise st yönü ile yn yönde (negtif yön) gidilmitir. lngç noktlr ortk oln iki nn birleimi çdr. çy oluturn nlr çnn kenrlr, nlrn ortk nokts d çnn köesidir. itim kenr Pozitif yön lng ç kenr lng ç kenr Negtif yön itim kenr Yukrd [ ve [ nlrnn oluturduu ç çizilmitir. u çy,,, W vey [ [ biçiminde gösteririz. SN YYINLRI çs pozitif yönlü bir ç olup biçiminde gösterilir. u çnn blngç kenr [, bitim kenr [ dr. çs negtif yönlü bir ç olup biçiminde gösterilir. u çnn blngç kenr [, bitim kenr [ dir. d bz çlrn yönü, blngç kenr, bitim kenr ve gösterilii ifde edilmitir. nceleyiniz. ç Yönü lng ç kenr itim kenr Gösterilii d bölge iç bölge Pozitif [LM [L ML L M ekilde görüldüü gibi çs, bu çnn iç bölgesi ve d bölgesi belirtilmitir. unlr yrk kümeler olup birleimleri düzlemidir. X Negtif [YX [YZ XYZ Y Z

32 çlr ir çnn Ölçüsü ir çsn krlk gelen R + sysn çsnn ölçüsü denir. m( ) = olrk gösterilir. irim Çember üzlemde sbit bir noktdn birim uzklkt oln noktlrn kümesine birim çember r= denir. ekilde merkezli = r = birim yrçpl birim çember çizilmitir. ÇI ÖLÇÜ RMLR Rdyn Merkezi, çnn blngç nokts oln birim çember ile çnn nlrnn çemberi kestii noktlr rsndki birim uzunluktki yy rdyn denir. yynn uzunluu çsnn rdyn cinsinden ölçüsüdür. SN YYINLRI ÖRN r rdyn kç derecedir? R r = eitliinde R = lnrs 80 r r = =.80 = 5 bulunur. 80 r irim Çember Üzerinde ir çnn Trigonometrik rnlr kotnjnt ekseni kosinüs ekseni S y sinüs ekseni P T tnjnt ekseni erece irim çemberin çevre uzunlu- unun 0 e prçsndn birini gören merkez çnn ölçüsüne derece denir ve biçiminde gösterilir. m( ) = P(, y) nokts birim çember üzerinde olup m( P ) = ise P noktsnn psisine gerçek sysnn kosinüsü denir ve cos biçiminde gösterilir. Herhngi bir çnn derece cinsinden ölçüsü ve rdyn cinsinden ölçüsü R ise ÖRN 0 kç rdyndr? R = dir. 80 r R = eitliinde = 0 lnrs 80 r 0 R R = = R = r bulunur. 80 r r P noktsnn ordintn gerçek sysnn sinüsü denir ve sin biçiminde gösterilir. T noktsnn ordintn gerçek sysnn tnjnt denir ve tn biçiminde gösterilir. noktsnn psisine gerçek sysnn kotnjnt denir ve cot biçiminde gösterilir. sin cos tn = ve cot = dr. cos sin

33 çlr ÖRN y (0,) 90 Yndki birim çemberden 80 0 (,0) (,0) (0, ) yrrlnrk 0, 90 ve 80 lik çlrn trigonometrik ornlrn bulunuz. 0 ye krlk gelen nokt (, 0) olduundn sin0 = 0, cos0 = dr. u durumd, sin 0 0 tn0 = = = 0 cos 0 cos 0 cot0 = = = tnmsz olur. sin ye krlk gelen nokt (0, ) olduundn sin90 =, cos90 = 0 0 tn90 = = tnmsz, cot90 = = 0 olur ye krlk gelen nokt (, 0) ile olduundn sin80 = 0, cos80 = SN YYINLRI ÖRN 5 dki üçgenden yrrlnrk 0 ve 0 lik çlrn trigonometrik ornlr bulunmutur. nceleyiniz. [] [] = br = br = br sin0 = cos0 = tn0 = = sin0 = = cos0 = = = tn0 = 0 = = 0 = = v tn80 = 0 = 0 ve cot80 = = tnmsz olur. 0 cot0 = = = cot0 = = = ik Üçgende r çlrn Trigonometrik rnlr üçgeninde m( X ) = 90 m( W ) = ise sin = cos = r dik kenr uzunlu u b = Hipotenüs c omu dik kenr uzunlu u = Hipotenüs c r dik kenr uzunlu u tn = omu dik kenr uzunlu u cot = b = omu dik kenr uzunlu u = r dik kenr uzunlu u b c b ÖRN dki üçgenden yrrlnrk 5 lik çnn trigonometrik ornlr bulunmutur. nceleyiniz. [] [] = = br = br sin5 = cos5 = = tn5 = cot5 = = 5 v 5

34 çlr + y = 90 ise sin = cosy ve tn = coty + y = 80 ise sin = siny, cos = cosy tn = tny, cot = coty ÇI ÇTLR r ç Ölçüsü 0 ile 90 rsnd oln çy dr ç denir. bir dr ç ise 0 < < 90 dir. Geni ç ÖRN 7 tn0, tn5 ve tn50 deerlerini bulunuz. irbirini 80 ye tmmlyn iki çnn tnjnt ters iretli olduu için Ölçüsü 90 ile 80 rsnd oln çy geni ç denir. bir geni ç ise 90 < < 80 dir. ik ç Ölçüsü 90 oln çy dik ç denir. tn50 = tn0 = oru ç tn5 = tn5 = 80 tn0 = tn0 = v olur. P ir dorunun eimini bulurken kullncmz bu özel çlrn tnjntn dki tbloyl ifde edebiliriz SN YYINLRI Ölçüsü 80 oln çy doru ç denir. ekildeki P çs doru ç olup, m(p ) = 80 dir. tn 0 v v tn ms z v v 0 Tm ç ÖRN 8 P 0 < < 90 olmk üzere, sin = 5 ise cos ve tn deerlerini bulunuz. Ölçüsü 0 oln çy tm ç denir. ekildeki ç tm çdr. dik üçgeninde sin = 5 kr dik kenr hipotenüs olduundn = 5 Tümler çlr Ölçüleri toplm 90 oln iki çy, tümler çlr denir. Tümler çlrn herbirine dierinin tümleyeni denir. ve = 5 lnrs = olur. komu dik kenr cos = = hipotenüs 5 kr dik kenr tn = = komu dik kenr ki ç hem tümler hem de komu ç ise bu çlr komu tümler çlr denir. ekilde, + = 90 oldu- undn, P ile P komu tümler çlrdr. P

35 çlr ÖRN 9 Tümler iki çdn birinin ölçüsü dierinin ölçüsünün ktndn 5 fzl ise bu çlrn ölçülerini bulunuz. Tümler iki çdn birinin ölçüsü olsun. u durumd dierinin ölçüsü 90 olcndn, ki ç hem komu hem de bütünler ise bu iki çy komu bütünler çlr denir. ekildeki P ve P çlr P komu bütünler iki ç olup + = 80 dir. 90 =. + 5 = 75 = 5 olur. hlde, çlrdn birinin ölçüsü 5 dierinin ölçüsü 90 = 90 5 = 5 olur. ÖRN 50 ÖRN 5 omu bütünler iki çnn çortylrnn birbirine dik olduunu gösteriniz. omu tümler iki çnn çortylr rsndki çnn ölçüsü kç derecedir? L P M P N SN YYINLRI ekilde görüldüü gibi P ve P çlr komu bütünler çlr olup, [P ve [PL bu çlrn çortylrdr. m(p ) = m(p) = m(pl ) = m(lp) = lnrs ekilde görüldüü gibi P ve P komu tümler çlr olup, [PM ve [PN bu çlrn çortylrdr. m(pm ) = m(mp) = m(pn ) = m(np) = lrsk + = 90 m(mpn ) = + = 5 olur. ütünler çlr Ölçüleri toplm 80 oln iki çy, bütünler çlr denir. ütünler iki çdn birine dierinin bütünleyeni denir. + = 80 + = 90 olur. hlde, m( PL ) = + = 90 bulunur. ÖRN 5 ir çnn tümleyeninin ölçüsü ile bütünleyeninin ölçüleri toplm 90 ise bu çnn ölçüsü kç derecedir? rdmz çnn ölçüsü olsun. u çnn tümleyeninin ölçüsü 90 bütünleyeninin ölçüsü 80 olur = = 90 = 0 bulunur. 5

36 çlr PRLL RUNUN R SNL YPTII ÇILR Prlel iki doruyu üçüncü bir doru kestiinde olun: ÖRN 5 Yönde çlr etir. ç ters çlr etir. ters çlr etir. 7 d d c b ekilde [ // [, m( ) =, m( ) = 7 ise m( ) = kç derecedir? n m e f l // k ve d bu iki doruyu kesiyors; = e b = f c = e b = n m = d = f k c = m d = n SN YYINLRI // [] çizilirse, ve çlr yönde çlr ile çlr iç ters çlr olur. u durumd m( ) = m( ) + m( ) ÖRN 5 = 7 + = bulunur [ // [ ekilde [ // [, m( ) = 00 ise + = 80 m( ) = 5, ise m() = kç derecedir? ile çlr iç ters çlr olduundn ölçüleri eittir. m( ) = m() 00 = + 5 = 55 bulunur. m( ) = m( ) = olcndn + = 80 bulunur.

37 çlr ÖRN 55 [ // [ ise + = + y olduunu gösterelim. y [ // [ ise + = olduunu gösteriniz. L // [ çizilirse m( L ) = m( ) = m( L ) = m( ) = L // [ ve L // [ çizilirse ekilde belirtilen çlr oluur. p p y L m( ) = + = + bulunur. + p = p + y = y = + = + y bulunur. y ÖRN 5 SN YYINLRI Yönleri yn oln çlrn ölçüleri toplmnn, bu çlr göre ters yönlü oln çlrn ölçüleri toplmn eit çktn dikkt ediniz. [ // [, [] ve [] çortylr ise ÖRN 57 m( ) kç derecedir? m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = olsun. // [ çizilirse, m( ) = m( ) = ekilde [ // [ dr. Verilenlere göre kç derecedir? m( ) = m( ) = olur. m( ) + m( ) = 80 + = 80 ki prlel doru rsn çizilen çlrdn yönleri yn + = 90 olur. hlde m( ) = + = 90 bulunur. olnlrn ölçüleri toplm, bu çlr göre ters yönlü oln çlrn ölçüleri toplmn eit olcndn = 80 + = 7 olur. 7

38 çlr ÖRN 58 ki prlel doru rsn çizilmi, yn yöne bkn çlrn ölçüleri toplm (ç sys ).80 dir ekilde [ // [, [] // [] dir. Verilenlere göre kç derecedir? [] // [] ise ile iç ters çlr olup ölçüleri eittir. m( ) = m( ) = lnrs, = + = 80 olur. ÖRN 59 b c 50 0 ekilde [ // [ ise + b + c = 0 olduunu gösteriniz. 80 b 80 c L c ekilde görüldüü gibi m( ) + m( L ) = m( ) c = b + b + c = 0 olur. SN YYINLRI b + b = ( ).80 b c = 80 d + b + c + d = ( ).80 = 50 ÖRN 0 b 0 c + b + c = ( ).80 b c d = 0 e + b + c + d + e = (5 ).80 = 70 0 ekilde [ // [, m( ) = 0, m( ) = 0 ise m( ) = kç derecedir? 0 0 [ // [ çizilirse, m( ) = m( ) (iç ters çlr) + 0 = 0 = 0 olur. m( ) + m( ) = 80 + = = 80 = 0 dir. 8

39 çlr ÖRN [ // [ çizilirse, ekilde [ // [, m( ) = 5, m( ) = 50 ise m( ) = kç derecedir? m( ) = m( ) = 5 olur. m( ) + m( ) = m( ) + 5 = 90 = bulunur. 5 ÖRN 5 50 M 50 [M // [ çizersek m( M ) = m( ) = 5 SN YYINLRI 50 0 m( M ) = m( ) = 50 olcndn m( ) = m( M ) + m( M) = = 95 bulunur. ekilde [ // [, m( ) = 50, m( ) = 0 ise m( ) = kç derecedir? ÖRN 0 ekilde görüldüü gibi ekilde [ // [, [] [, m( ) = 5 ise m( ) = kç derecedir? 5 m( ) = 80 m( ) = 0 dir. u durumd, m( ) + m( ) + m( ) = = 0 = 0 olur. 9

40 çlr ÖRN m( ) = m( ) = ekilde [ // [], [ // [], m( ) = 58 m( ) = 0 ise m( ) = kç derecedir? 58 m( ) = m( ) = olsun. m( ) + m( ) = m( ) + = 8 + = olur. m( ) + m( ) = m( ) + = = bulunur. L ÖRN // [] çizelim. ile L iç ters çlr, L ile L yönde çlr olcndn SN YYINLRI m( L ) = 58 ve m( L) = olur. m( ) = = 0 = bulunur. ekilde [ // [, m( ) = 0, m( ) = 5 m( ) = 55 ise m( ) = kç derecedir? ÖRN L noktsndn geçen L // [ çizelim. m( ) + m( ) = 80 m( ) = 70 olur. ekilde //, m( ) = m( ) m( ) = m( ), m( ) = 8 ise m( ) = kç derecedir? m( ) + m( ) + m( L) = m( L ) = 0 m( L) = 0 olur = 80 = 50 bulunur. 0

41 çlr TTÜR ve GMTR ttürk ölümünden bir buçuk yl kdr önce, Üçüncü Türk il urulty ndn (- ustos 9) hemen sonr 9-97 yl k ylrnd kendi eliyle Geometri dl bir kitp yzmtr. ttürk; bunu, birtkm rnszc geometri kitplrn okuduktn sonr hzrlmtr. Ypt ilk kez 97 ylnd; Geometri öretenlerle, bu konud kitp yzcklr klvuz olrk ültür knlnc yymlnmtr. syflk bu ypttki boyut, uzy, yüzey, düzey, çp, yrçp, kesen, kesit, yy, çember, teet, ç, çorty, içters ç, dters ç, tbn, eik, krk, çekül, yty, düey, yönde, konum, üçgen, dörtgen, begen, köegen, ekenr, ikizkenr, prlelkenr, ynl, ymuk, rt, eksi, çrp, bölü, eit, toplm, orn, ornt, türev, ln, vrsy, gerekçe gibi terimler ttürk trfndn türetilmitir. Ypttki tnmlrn tümünü ttürk yzmtr. Her tnm, ilgili kvrm tüm öeleriyle eksiksiz ve çk biçimde nltmkt, özel ve temelli nitelikleri içermektedir. Tnnm bilim trihçisi rd. Prof. r. ydn Syl, tm bir yetkiyle, bu Geometri kitbn, üçük fkt ntsl bir ypt. diye nitelendirmitir. ttürk, ymnn önemli bir bölümünü trihin en büyük svlrndn birinin içinde, ulusl ve evrensel sorumluluklr yüklenerek geçirdikten yllrc sonr, düzenli bir mntk ve bilgi disiplini gerektiren mtemtik lnnd, yeni türettii terimlerle böylesine özlü bir ypt yzmkl, dil ve mtemtikteki üstün yeteneini kntlmtr. ttürk ün ymnd çok belirgin bir örneini izlediimiz gibi, slnd dil ile mtemtiksel kültür rsnd sk bnt vrdr. ttürk ün dehsnd, dil ve mtemtik gibi kln deiik disiplinleri birbirini hep olumlu yönde etkilemi ve gelitirmitir. ttürk, en terimleri o suretle yplml ki nlmlr nck istenilen eyi ifde edebilsin demitir. ttürk, çok sydki smnlc terimin öz Türkçe krlklrn bryl türetmitir.

42 LITIRMLR 5 dki sorulrn her birinde verilenlere göre deerlerini bulunuz SN YYINLRI

43 . 50 çlr. Ölçüsü, tümleyeninin ölçüsünün ktndn 0 eksik oln çnn ölçüsü kç derecedir? 7. 0 kç rdyndr? r rdyn kç derecedir? SN YYINLRI 9. Tümler iki çdn birinin ölçüsü dierinin ölçüsünün ktndn 0 fzldr. u çlr bulunuz.. b b 0 0. ütünler iki çnn ölçülerinin toplm, frklrnn 9 ktn eittir. u çlr bulunuz ütünleyeninin yrs, tümleyeninin ktn eit oln ç kç derecedir? 7r , , 0. 0

44 RUNUN NLM R RUNUN M ÇISI V M ir dorunun ekseniyle pozitif yönde ypt ç dorunun eim çs, bu çnn tnjnt d dorunun eimidir. y y 0 k m k = tn = d d y im çs; [0, 80 ] rlnd bulunur. ekilde, d dorusunun eim çsnn ölçüsü 5 0 m l = tn = tn = 5 d dorusunun eim çsnn ölçüsü dr. ir dorunun eimi genellikle m ile gösterilir. d dorusunun eimi, m = tn y d dorusunun eimi, m = tn dr. ir dorunun eimini bulurken kullncmz özel çlrn tnjntlr dki tblod verilmitir. nce- SN YYINLRI 0 n m n = tn0 = 0 liyiniz y r tn 0 v v tn ms z v v 0 0 m r = tn90 = tnmsz ÖRN 7 dki ekillerin her birinde verilen dorulrn eimleri bulunmutur. nceleyiniz. y d m d = tn 5 = 5 im çs dr ç oln dorulrn eimleri pozitiftir. im çlr geni ç oln dorulrn eimleri negtiftir. eksenine prlel dorulrn (eim çlr sfr oln) eimleri sfrdr. eksenine dik oln dorulrn (eim çlr 90 oln) eimleri tnmszdr.

45 orunun enklemi TNL ki Nokts ilinen orunun imi y y ki nokts (, y ) ve (, y ) oln dorunun eimi m = dir. y y y y y 0 L y Yukrdki ekilde, m( ) = m( L) = olup dik üçgeninde tn = = y olduundn y y l dorusunun eimi; m = bulunur. ÖRN 8 Prlel iki dorunun eimleri eittir. y (, ) ve (, ) noktlrndn geçen dorunun eimi kçtr? k y m = y = ( ) 7 = = 7 olur. 0 ÖRN 9 (, ) ve (, ) noktlrndn geçen doru, ekseniyle pozitif yönlü 5 lik ç yptn göre kçtr? (, ) ve (, ) noktlrndn geçen dorunun y y eimi, m = m = = dr. u doru, ekseni ile pozitif yönlü 5 lik ç yptn göre, m = tn5 = olur. u durumd, = = 0 bulunur. SN YYINLRI m, = tn( ) = tn m = m bulunur. m = tn( ) = tn k ik iki dorunun eimleri çrpm dir. 0 y k m l = tn =, mk = tn = tn = dir. m k.m l =. f p m k.m l = bulunur. 5

46 orunun enklemi ÖRN 70 (, ) ve (0, ) noktlrndn geçen doru (, ) ve (0, ) noktlrndn geçen doruy prlel ise kçtr? y = dorulrnn eimi 0 (sfr) dr. = dorulrnn eimi tnmszdr. dorusu, dorusun prlel ise eimleri eittir. m = m ÖRN 7 = 0 0 = = bulunur. (, ) ve (, ) noktlrndn geçen doru (, ) ve (, ) noktlrndn geçen doruy dik ise kçtr? ÖRN 7 enklemi y = ( ) 5 oln dorunun eim çs geni ç ise hngi rlkt deer lr? im çs geni ç ise eim negtiftir. im < 0 < 0 < olur. hlde, (, ) olmldr. dorusu dorusun dik ise eimleri çrpm dir. m.m =. = ( ). = = 5 bulunur. SN YYINLRI RUNUN NLM b y (, y ) V y = m + n dorusunun eimi m dir. + by + c = 0 denklemi düzenlenerek c y = durumun getirildiinde bu do- b b runun eimi m = ÖRN 7 dir. b y = + 5 dorusunun eimi; m = dir. y = + dorusunun eimi; m = dir. y = dorusunun eimi; m = 0 dr. (y = 0. + ) + y = 0 dorusunun eimi ; m = = tür. + = 0 dorusunun eimi; m = 0 = tnmszdr. 0 (, y ) noktsndn geçen ve V = (, b) vektörüne prlel oln l dorusunun Vektörel denklemi: (, y) = + t. V = (, y ) + t(, b) V vektörü l dorusunun dorultmn vektörüdür. Prmetrik denklemi: = + t y = y + bt pl formdki denklemi: y y = dir. b

47 orunun enklemi ÖRN 7 ÖRN 75 (, ) noktsndn geçen ve V = (, ) vektörüne prlel oln dorunun. Vektörel b. Prmetrik c. pl formdki denklemlerini bulunuz.. (, y ) = (, ) ve V = (, ) olduundn (, y) = + t. V = (, ) + t(, ) = (+t, +t) b. = + t = + t y = y + bt y = + t olup dorunun prmetrik denklemi = + t dir. y = + t SN YYINLRI Prmetrik denklemi = t oln dorunun y = + t. Vektörel denklemini b. pl formdki denklemini bulunuz.. = t ve y = + t ise (, y) = ( t, +t) = (, ) + t(, ) olur. b. = t t = y = + t t = y olcndn, c. y y = y = + b 8 = y + y = = y 9 = y 8 y + 7 = 0 bulunur. TNL ki Nokts ilinen orunun enklemi (, y ) ve (, y ) noktlrndn geçen dorunun kpl formdki denklemini bulunuz. y (, y ) (, y ) 0 (, y ) ve (, y ) noktlrndn geçen dorunun dorultmn vektörü = (, y y ) olup üzerindeki bir nokt (, y ) olcndn ve noktlrndn geçen dorunun vektörel denklemi (, y) = + t. = (, y ) + t(, y y ) (, y) = ( + t( ), y + t(y y )) olup = + t( ) t = y y y = y + t(y y ) t = y y olduundn kpl formdki denklemi, y y = y y dir. 7

48 orunun enklemi ÖRN 7 (, ) ve (, 0) noktlrndn geçen dorunun kpl formdki denklemini bulunuz. (, y ) = (, ) (, y ) = (, 0) olduundn, y y = y + = y y 0 + = y y + = bulunur. ksenine Prlel orulrn enklemleri y y = y = 0 y = 0 y = y = y =, y =, y = 0, y =, y =,... dorulr eksenine prlel dorulrdr. y = 0 dorusu ekseninin denklemidir. ÖRN 78 y b 0 ksenleri; (, 0) ve (0, b) noktlrnd kesen y dorunun denklemi; + = dir. b ÖRN 77 y SN YYINLRI (, ) noktsndn geçen ve ekseni ile ortk nokts olmyn dorunun denklemini bulunuz. y (, ) y= 0 eksenine prlel olmldr. hlde, y = dorusudur. y ksenine Prlel orulrn enklemleri = = 0 = y = = 0 ekildeki dorunun denklemini bulunuz. oru eksenini (, 0), y eksenini (0, ) noktlrnd kestiinden denklemi y + = dir. 0 =, =, = 0, =, =,... dorulr y eksenine prlel dorulrdr. = 0 dorusu y ekseninin denklemidir. 8

49 orunun enklemi RUNUN RRN GÖR URUMLRI d dorusunun denklemi + by + c = 0 ve l dorusunun denklemi k + py + r = 0 olsun.. d // l ise, bu iki dorunun eimleri birbirine eit olcndn y d ÖRN 79 + y + = 0 ve y + = 0 dorulrnn ortk noktlrnn bulunmms için kç olmldr? Verilen iki dorunun ortk noktlr yoks, bu iki doru prleldir. u durumd, = = olmldr. ÖRN 80 m d = m l = b k p k b = bulunur. p y + = 0 dorusu ile + by = 0 dorulr çkk ise ve b deerlerini bulunuz.. y d Verilen iki doru çkk ise, = = olcndn, b d // l dorulr çkk ise, bu iki doru yn do- SN YYINLRI = = = b = bulunur. b ruyu göstereceinden ÖRN 8 k b c = = olmldr. p r y + = 0 ve + y = 0 dorulrnn kesim noktsn bulunuz.. y d u iki dorunun kesim nokts y + = 0 sisteminin çözüm kümesidir. + y = 0 d ve l dorulr bir noktd kesiiyors, b! olmldr. k p d ve l dorulrnn kesim nokts ise d l = {} dr. Yni, + by + c = 0 sisteminin çözüm k + py + r = 0 kümesi noktsdr. y + = 0 / + y = 0 y + = 0 + y = 0 + = 0 = olur. + y = 0 + y = 0 y = 5 bulunur. 5 Verilen dorulrn kesim nokts c, m tür. 9

50 orunun enklemi ÖRN 8 y d 0 kresinin köesi d dorusunun üzerindedir. (0, 0) olduun göre kresinin ln kç br dir? = = (0, 0), (0, ) d dorusunun denklemi; y + = + y = olup nokts denklemi slr. 0 + ( ) = = () = = = br dir. SN YYINLRI ÖRN 8 R olmk üzere, ( ) + ( + )y + = 0 dorulrndn eksenine prlel olnnn eksenine oln uzkl kç birimdir? eksenine prlel olcks, in kt sys 0 olmldr. = 0 = dir. ( ) + ( + )y + = 0 ( ) + ( + )y +. = 0 y = y = olup eksenine oln uzkl birimdir. y y = ÖRN 85 ÖRN 8 + y + 5 = 0 ve 5 + y + 7 = 0 dorulrnn kesim noktsndn geçen ve y eksenine dik oln dorunun denklemi nedir? y eksenine dik olcks ortk çözümde i yok etmeliyiz. 5 / + y + 5 = y + 7 = 0 5 0y 5 = y + 7 = 0 + 7y 8 = 0 y = 8 bulunur. 7 + y = 0 ve y = 0 dorulr ekseni üzerinde kesitiklerine göre kçtr? + y = 0 (y = 0) y = 0 eksenini kestii noktlr çkktr. hlde, + y = 0 dorusund y = 0 ise +.0 = 0 = (, 0) dr. nokts y = 0 dorusunun denklemini de slycndn,..0 = 0 9 = = bulunur. 50

51 LITIRMLR. d grfikleri verilen dorulrn eimlerini bulunuz.. y. d iki nokts verilen dorulrn eimlerini bulunuz.. (, ), (, ) b. (, ), (, ) c. (, ), (, ) 0 d. (0, 0), (, ) b. y. d denklemleri verilmi oln dorulrn 0 eimlerini bulunuz.. y = + b. + y + = 0 c. 0 y SN YYINLRI c. y = 0 d. y + 5 = 0 e. = 0 f. = y d. y. (, ) ve (, ) noktlrndn geçen 0 doru ekseniyle pozitif yönlü 0 lik ç ypyors kçtr? e. y 5. (, ) noktsndn geçen ve V = (, ) vektörüne prlel oln dorunun,. Vektörel b. Prmetrik 0 c. pl formdki denklemini bulunuz... b. c. d. tnmsz e. 0.. b. tnmsz c. 0 d... b. c. d. 0 e. tnmsz f (, y) = (, ) + t.(, ) b. = + t, y = + t c. y = 5 5

52 orunun enklemi. d iki nokts verilmi oln dorulrn denklemlerini bulunuz.. (0, ), (, ) b. (, ), (, ) 9. Prmetrik denklemi = t oln dorunun y = + t. Vektörel b. pl formdki denklemini bulunuz. 7. d grfikleri verilmi oln dorulrn denklemlerini bulunuz.. y 0 0. R olmk üzere, ( + ) + ( )y + = 0 dorusu y eksenine prlel ise kçtr? b. y. my + = 0 ve + y + = 0 dorulr prlel ise m kçtr? c. 0 y SN YYINLRI. + y + = 0 ve + y = 0 dorulr dik ise kçtr? 0 d. y 0. y + = 0, + y + 5 = 0 dorulrnn kesim noktsn bulunuz y = 0 dorusu ile by + = 0 dorulr çkk ise ve b deerlerini bulunuz.. + ny = 0 ve n y + = 0 dorulr y ekseni üzerinde kesitiklerine göre, n kçtr?.. y = + b. + y = 7.. y = b. y + = 0 c. = d. y = 8. =, b = 9.. (, y) = (, ) + t.(, ) b. + y = (, ). 5

53 TST Nokt, oru, üzlem ve Uzy. dkilerden kç tnesi tnmsz terimdir? I. Nokt II. oru III. üzlem IV. In V. oru Prçs 5. I. () vey ][ II. (] vey ]] ) ) ) ) ) 5 III. IV. ] Yukrdkilerden hngileri dorudur? ) I ve II ) II ve III ) I ve IV ) II ve IV ) I, II ve III. Yukrdki doru prçsnn gösterimi dkilerden hngisidir? ) ) () ) [] ) [ ) ][. dki önermelerden hngisi ynltr? SN YYINLRI. ir doru üzerindeki bir nokt ile bu noktnn bir trfndki noktlrn kümesine... denir. Yukrdki tnm göre, bo brkln yere - dkilerden hngisi gelmelidir? ) oru ) üzlem ) Uzy ) In ) oru prçs ) esien iki düzlemin rkesiti bir dorudur. ) rkl ve dorusl oln üç noktdn ylnz biri, dier ikisinin rsnddr. ) Her düzlemin dorusl olmyn en z üç nokts vrdr. ) Herhngi üç noktdn bir düzlem geçer. ) rkl iki noktdn ylnz bir doru geçer noktdn en fzl kç düzlem geçer? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). üzlemin içindeki bir doruy, düzlemin dndki belirli bir noktdn geçen kç tne prlel doru çizilebilir? 8. Prlel 5 doru, bulunduklr düzlemi kç bölgeye yrr? ) ) ) ) ) Sonsuz ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 5

54 Temel Geometrik vrmlr ve oordint Geometriye Giri 9. dkilerden kç tnesi bir doru ile bir düzlemin birbirine göre durumlrndndr? I. ykr olm II. Prlel olm III. Çkk olm IV. ik olm ) ) ) ) ) Yukrd bir d dorusu ile dnd bir nokts verilmitir. un göre dkilerden hngisi vey hngileri dorudur? I. noktsndn geçen sonsuz tne doru çizilebilir. II. noktsndn geçip, d dorusun prlel oln bir tne doru çizilebilir. III. noktsndn geçip, d dorusun dik oln bir tne doru çizilebilir. ) Ylnz I ) I ve II ) II ve III ) I ve III ) I, II ve III d Yukrdki üçgeninde kç tne doru prçs vrdr? ) ) 5 ) ) 7 ) 8 SN YYINLRI. ir düzlemdeki frkl doru, düzlemi en z kç yrk bölgeye yrr? ) ) ) 5 ) ) 7.. ir düzlemdeki frkl doru, düzlemi en çok kç yrk bölgeye yrr? I.,, noktlr dorusldr. II.,, noktlr düzlemseldir. III. Herhngi iki nokt dim dorusldr. Yukrdkilerden hngileri dorudur? ) Ylnz I ) Ylnz II ) I ve III ) II ve III ) I, II ve III ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 5. üzlemde verilen 7 frkl doru, en çok kç noktd kesiir? ) ) ) 5 ) 7 )

55 TST oordint orusu 7. Uç noktlr c m ve c m oln doru prçsnn ort noktsnn koordint kçtr? 5 ) ) ) ) ) 5. ekildeki sy dorusund = = = = birimdir. ve noktlrnn koordintlr srsyl ve ise noktsnn koordint kçtr? ) ) 5 ) ) ). Sy dorusu üzerinde () noktsn oln uzkl, c m noktsn oln uzklnn kt oln noktnn koordint dkilerden hngisi olbilir? 5 ) ) ) ) )., b R ve < b olmk üzere, ( b) ve ( b) noktlr için kç birimdir? SN YYINLRI ) ) b ) b ) b ) + b. = { : R ve } kümesine krlk gelen noktlr kümesi dkilerden hngisidir? ) [0, ] ) [, ] ) [, ] ) [, ] ) [, ] 7. Sy dorusu üzerinde, ( ) noktsn birim uzklktki noktlrdn birinin koordint dkilerden hngisidir? ) ) ) 0 ) ). Sy dorusu üzerinde (), () noktlr veriliyor. ile rsnd olup = 5 koulunu slyn noktsnn koordint kçtr? ) ) ) ) ) 5 8.,, noktlr dorusl ve koordintlr sr ile, +, tür. R + ve = 7 ise noktsnn koordint kçtr? ) ) ) 0 ) 9 ) 8 55

56 Temel Geometrik vrmlr ve oordint Geometriye Giri 9. ekilde, blngç nokts;,, ve noktlrndn herhngi biri oln ve noktsn içeren kç frkl n çizilebilir?. ( ) ve ( + ) noktlr rsndki uzklk, () ile (y + ) noktlr rsndki uzkl eit ise y dkilerden hngisi olbilir? ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 5 ). Uç noktlr, ( ) ve ( + ) oln [] nn ort noktsnn koordint kçtr? 0. [] olmk üzere, (), ( ) ve () noktlr için = eitliini slyn deeri kçtr? ) ) ) ) ) 5 ) ) ) 0 ) ) SN YYINLRI 5. = {: R ve } kümesine krlk gelen noktlr kümesinin sy ekseni üzerindeki ifdesi dkilerden hngisidir?. ( ), () ve (7) olmk üzere, ) ) + toplmnn en küçük deeri kçtr? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 0 ). ( ), () ve () olmk üzere, ifdesinin lbilecei en büyük + deer kçtr? ) ) ) ) 9 ) 0. (), ( ) ve (9) olmk üzere, nokts ile rsnd ise in lbilecei tm sy deerlerinin toplm kçtr? ) ) 5 ) ) 7 )