KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306"

Nuray Ünsal
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İSTANBUL GELİŞİM ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK VE ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ (EEMB) KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306 DOÇ. Dr. İndrİt Myderrİzİ XI ÖZET Nyquist Kararlılık Kriteri Giriş Kompleks Değişkenli Fonksiyonların Yer Eğrisi Çizimi Nyquist Kriteri Örnekler 1 1

2 Giriş Nyquist kararlılık kriteri, açık çevrim transfer fonksiyonu G(s)H(s) in ω domenindeki yer eğrisinden, kapalı çevrimli oluşturan lineer, zamanla değişmeyen bir giriş ve bir çıkışlı kontrol sisteminin kararlı olup olmadığını belirleyen grafik bir yöntemdir. Nyquist kriteri, transfer fonksiyonları e Ts gibi gecikme elemanlarının bulunması halinde de geçerlidir. Kompleks Değişkenli Fonksiyonların Yer Eğrisi Çizimi s kompleks bir değişken olmak üzere f(s) gibi kompleks değişkenli fonksiyonun grafiği ya da yer eğrisinin çizimi: s=σ+jω dir ve bunun σ gerçel kısmı, jω ise sanal kısımdır. Kompleks değişken s, iki değerle belirlenir: σ ve ω. σ ve ω ya belli değerler verilerek (σ,ω) düzleminde s nin ucunun geometrik yeri C eğrisi üzerinde gezdiğine göre f(s) in, Reel {f(ωj)}ve Im {f(ωj)} düzlemindeki yer eğrisi Г çizilir. Г eğrisinin çiziminde, her bir s için f(s) de s=σ+jω yazılır ve 2 sonra Reel f(σ+jω) ile Im f(σ+jω) belirlenir. Örnek: fonksiyonun yer eğrisini s nin ucunun şekildeki gösterilen karenin kenarları üzerinde değer alması halinde çizin. Şekildeki karede gösterilmiş olan belli noktalar göz önüne alınsın. s-düzleminde a,b,c,d,e,f,g,h, noktalarının ω düzleminde hangi noktalara dönüştüğünü bulunsun. 3 2

3 a,b,c,.. noktalarının koordinatları ve bu koordinatlara ilişkin olan ω düzlemi A,B,C, noktalarının koordinatları; 4 ω düzlemine ilişkin noktalar aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Not: 10 ölçek büyütülmüştür Böylece f(s)=1/(s+1) fonksiyonunun s ucunun şekilde gösterilen AFBGCHDEA kapalı şekli olmuş olur. Kompleks değişkenler teorisinde abcde den oluşan çevreye s düzleminde (C) çevresi ve ABCDE kapalı çevresine de bunun ω düzleminde gösterilişi denir. s-düzlemindeki C çevresi ω=f(s) fonksiyonu ile ω düzleminde Г çevresine dönüştürülüyor denir. 5 3

4 Nyquist Kriteri Kararlılık için gerek ve yeter koşul; karakteristik denklemin (s)=1+g(s)h(s) in köklerinin hepsinin de s düzleminin sol yarısında olması gerekir. Kararlılık için gerek ve yeter koşul karakteristik denklemin s düzleminin sağ yarısında hiçbir kökün bulunmamasıdır. Bundan dolayı s düzleminde tüm sağ yarısını örtecek kapalı bir C çevresi seçilir. Yandaki şekilde sağ yarı düzlemi örten kapalı çevre gösterilmiştir. Bu kapalı çevre BCA yarım çemberi tüm imajiner ekseni içerir. Şimdilik 0 başlangıç noktası bu yarım dairenin dışında bırakılacaktır. Bu amaç için başlangıç noktası etrafında sonsuz küçük bir daire çizilir. Şekilde görüldüğü gibi r sonsuza gittiğinde daire s düzleminin tüm sağ yarısını kaplar. Yukarıda yapılan açıklamalardan yararlanarak s, şekildeki kapalı çevre üzerinde değiştiğinde, ω=f(s) ya da q(s)=1+g(s)h(s) karakteristik fonksiyonunun ω düzleminde çizimi yapılabilir. 6 ω düzlemine kontrol sistemlerinde G(s)H(s) düzlemi de denilir. C kapalı çevresi üzerinde s nin değer alması matematik yönde ya da saat yönünün tersi yönünde olduğuna dikkat edilsin. Bu halde F(s)=1+G(s)H(s) in ω düzleminde 0 başlangıç noktasını yine saat yönünün tersine çevreleme sayısı N, 1+G(s)H(s) in C kapalı çevresi üzerinde bulunan sıfır ve kutupların farkına eşittir. N, 1+G(s)H(s) in, 0 başlangıç noktasını saat yönünün tersine çevreleme sayısını, Z, bunun C içindeki sıfırların sayısını P ise kutupların sayısını gösterir. Kararlı bir sistemde 1+G(s)H(s) in sağ yarı düzlemde C içinde hiçbir sıfır olmamalıdır. Z=0. ω düzleminde ω=f(s)=1+g(s)h(s) eğrisi 0 başlangıç noktasını, saat yönünde P kez çevrelerse sistem kararlıdır. Bu sonuç 1+G(s)H(s) yerine G(s)H(s) göz önüne alınarak da verilebilir. Şimdi 1+G(s)H(s) ten -1+j0 gerçek sabiti çıkaracak olursak; Bunun anlamı 1+G(s)H(s) yer eğrisini sola doğru bir birim kaydırırsak G(s)H(s) yer eğrisi elde edilir. 7 4

5 Aşağıdaki şekilde 1+G(s)H(s) ve G(s)H(s) yer eğrileri gösterilmiştir ve buradan görülür ki birincisi 0 başlangıç noktasını ve ikincisi -1+j0 noktasını çevrelemektedir. Kararlılık için verilebilir kriter: s nin ucu C kapalı çevresi üzerinde saat yönünün tersinde gezerken, eğer G(s)H(s) eğrisi -1+j0 noktasını, G(s)H(s) düzleminde saat yönünün tersinde N kez çevrelerse ve kararlı sistem için Z=0 olduğundan elde olunur. Bu kritere Nyquist kriteri denir ve sağ yarım düzlemi örten daireye de Nyquist yolu denir. Nyquist kriterinde GH nın kutupları kapalı çevrimin de kutuplarıdır. N grafik olarak bulunur; P ise GH den bulunur; N=Z-P den Z bulunur. 8 Sanal ya da jω ekseni üzerindeki tekil noktalar ve s=0 daki tekil nokta kolayca göz önüne alınabilir. Bu amaç için aşağıdaki şekil göz önüne alınsın. Tekil noktalar etrafında bu nokta merkez olmak üzere yarım daireler çizilir. Bu dairelerin yarıçapı ρ k sonsuz küçük alınır. Bu yarım dairenin denklemi; Bu ifade, merkezi jω k da bulunan daire denklemidir ve θ k, +π/2 den -π/2 ye kadar değişir. 9 5

6 Öte yandan merkezi 0 de yerleşmiş bulunan dairenin denklemi ise Burada ρ 0 sonsuz küçüktür. θ 0 da +π/2 den π/2 ye değişir. Öte yandan C çevresi üzerindeki d,e ve f noktalarındaki s nin ifadeleri 10 Nyquist kararlılık kriteri 2 durum için incelensin: 11 6

12 Eğer G(jω)H(jω) yer eğrisi -1+j0 noktasından geçiyorsa, o zaman karakteristik denklemin sıfırları veya kapalı-çevrim kutupları, jω ekseninde yerleştirilmişlerdir.

7 12 Eğer G(jω)H(jω) yer eğrisi -1+j0 noktasından geçiyorsa, o zaman karakteristik denklemin sıfırları veya kapalı-çevrim kutupları, jω ekseninde yerleştirilmişlerdir. Bu kontrol sistemleri tasarımı için istenen bir durum değildir. İyi tasarlanmış bir kapalı-çevrim sistem için, karakteristik denklemin hiçbir kökü jω ekseninde yer almamalıdır. 13 7

8 G(s)H(s) in imajiner eksende kutup veya sıfırının olduğu özel durum

10 Örnek: 18 Örnek: 19 10

11 Örnek: 20 Örnek: 21 11

12 Örnek: 22 12

Benzer belgeler

Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile sistemin kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir.

Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile sistemin kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir. Kök Yer Eğrileri Kök Yer Eğrileri Bir kontrol tasarımcısı sistemin kararlı olup olmadığını ve kararlılık derecesini bilmek, diferansiyel denklem çözmeden bir analiz ile sistem performansını tahmin etmek