MODELLEME ETKĠNLĠĞĠ SÜRECĠNE DÜġÜNME YAPILARININ ETKĠSĠ; KASET PROBLEMĠ

Transkript

1 MODELLEME ETKĠNLĠĞĠ SÜRECĠNE DÜġÜNME YAPILARININ ETKĠSĠ; KASET PROBLEMĠ Halil Ġbrahim TAġOVA Ali DELĠCE Marmara Üniversitesi, Atatürk Eğitim Fakültesi, O.Ö. Matematik Eğitimi Bölümü Özet: Matematiği farklı bağlamlarda uygulama becerilerinin gelişmesi amacıyla, geleneksel matematik öğretimine karşılık, gerçek hayattan bir durumun matematiksel olarak ifade edilme sürecini içeren modelleme yaklaşımı ortaya çıkmıştır. Matematik öğretmen adaylarının sahip olduğu analitik, geometrik ve harmonik düşünme yapılarının bir matematiksel modelleme etkinliğindeki süreci nasıl etkilediğini ortaya çıkarmayı amaçlayan bu çalışmada düşünme yapıları belirlenen 12 öğretmen adayıyla kaset problemi kapsamında yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Elde edilen nitel verilerin analizinde betimsel istatistik kullanılmıştır. Bir makaradan diğerine sarım yapan bir kasette makaraların yarıçaplarının ve hızının değişimini matematiksel olarak açıklamaları istenen, tüm öğretmen adayları, yarıçap değişimini doğru olarak ifade etmişlerdir. Analitik ve harmonik düşünme yapılarına sahip öğretmen adayları yarıçap değişimini semboller ve eşitsizliklerin yer aldığı ifadelerle, geometrik yapıdakilerse grafik kullanarak ifade etmişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarından biri hariç tümü kasetin yarıçap ve hız değişiminin doğrusal olarak arttığını veya azaldığını söylemişlerdir. Burada öğretmen adaylarının gerçek hayatta gözlemledikleri bir durumu cebrisel/geometrik olarak ifade etmede ve görsellemede güçlük çektikleri gözlenmektedir. Anahtar Kelimeler: Matematiksel Modelleme, Düşünme Yapıları 1. GĠRĠġ Gerçek hayattan ayrı ve sadece okullarda yapılan bir bilim olarak düşünülen matematik, bireylerin günlük yaşamda karşılaştığı problem durumlarını ve olayları iyi bir şekilde yorumlayabilme ve çözüm üretebilme, akıl yürütme, ilişkilendirme becerilerini geliştirmemektedir (Baki, 2006). Öğrencilerin matematiği farklı bağlamlarda uygulama becerilerinin gelişmemesi nedeniyle, geleneksel matematik öğretimine karşılık matematik eğitiminde modelleme yaklaşımı ortaya çıkmıştır (Lingefjard, 2006). Bu yaklaşım genel anlamda düşünüldüğünde, gerçek hayattan bir durumun matematiksel olarak ifade edilme sürecini içermektedir. Bu süreç, öğrencilerin matematiği daha iyi anlamalarına, özlü ve nitelikli problemleri çözebilmelerine, formüle etmelerine, eleştirel ve yaratıcı yönlerinin farkına varmalarına katkı sağlamaktadır (Blum ve ark., 2002). Dolayısıyla bu yaklaşım, matematik eğitiminin amacına daha uygun bir problem çözme aktivitesi olarak kabul edilmektedir (Lesh ve Doerr, 2003). Bireylerin gerçek dünya olaylarına, problemlerine modelleme yoluyla bir çözüm üretebilmesi için zihninde var olan veya sonradan oluşturacağı modelleri, şemaları, görsel öğeleri, kavram imaj ve tanımlarını kullanabilme becerilerinin yanında düşünme yapılarının da etkisi vardır. Buradan hareketle bu çalışmayla, matematik öğretmen adaylarının sahip olduğu analitik, geometrik ve harmonik düşünme yapıları (Krutetskii, 1976) belirlenip, bu yapıların bir matematiksel modelleme etkinliğindeki süreci nasıl etkilediğinin ortaya çıkarılması amaçlanmıştır. Bu çalışma, öğretmen adaylarının matematiksel modelleme sürecine girdiklerinde gözlemlenen görselleme beceri düzeylerinin nasıl olduğu, düşünme yapılarının matematiksel modelleme etkinliklerindeki sürece ve başarıya nasıl etki ettiği ve bu durumun bireysel veya grup şeklinde çalışıldığında nasıl değiştiğini ortaya çıkarmayı hedefleyen daha geniş bir çalışmanın bir parçasıdır (Taşova, 2011) Matematiksel Modelleme Modelleme, bir problem durumuyla karşılaşıldığında olayları tanımlama, açıklama veya problem durumlarını zihinde düzenleme, farklı şema ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir (Lesh ve Doerr, 2003). Gerçek dünya durumların temsil etmek üzere seçilen matematiksel oluşumların birleşimi olan matematiksel modelleme (Niss, 1988) ise genel anlamda düşünüldüğünde, gerçek hayattan bir durumun matematiksel olarak ifade edilme sürecidir (Kertil, 2008). Bu bağlamda modellemenin, matematik öğretim programında yer almasını öneren çeşitli çalışmalar vardır (McLone, 1973; Spanier, 1992; Maab, 2006; Akt. Özer Keskin, 2008). Bu öneri ve çalışmalar, ülkemizde matematik öğretim programındaki değişikliklerde de gözlenmektedir. Programdaki değişikliklerde matematiksel model ve modellemeye ilk kez ve kapsamlı bir şekilde yer verildiği görülmektedir. (Milli Eğitim Bakanlığı, 2005). Aynı durum birçok ülkenin öğretim programlarında da yer almaktadır (Australia Ministry of Education, 1992; NCTM, 1989, 2001; English version of the Swedish

2 Curriculum for the Gymnasium, 2000, The New German Educaional Strandards and Curricula; Akt. Bukova Güzel & Uğurel, 2010). Matematik eğitiminin hedefleri göz önüne alınarak düşünüldüğünde, bir öğrencinin günümüzde birçok alanda başarılı olabilmesi için müfredatta yer alan matematiği bilmenin yanında, problem çözme becerisi gelişmiş ve matematiksel modelleme yapabilme becerisine sahip olması gerekmektedir. Bu düşünceden hareketle geleneksel eğitim sisteminden yetişmiş matematik öğretmen adaylarının problem çözme becerileri matematiksel modelleme sürecinde incelenerek müfredatın uygulayıcısı olacak öğretmen adaylarının durumları hakkında bir fikir edinme bu çalışmayı önemli hale getirmektedir Krutetskii DüĢünme Yapıları Krutetskii ye (1976) göre öğrenciler, zihinsel aktivitelerinin sözel-mantıksal ve görsel-resimsel bileşenlerini kullanmalarına göre üç gruba ayrılmaktadır; analitik, geometrik ve harmonik. Matematiksel olarak soyut düşünce tarzına sahip olan öğrenciler analitik düşünme yapısına sahip (ADYS) olup soyut şemalar ile kolayca çalışabilirler. Problemde verilen matematiksel ilişkiler görsel kavramları önermesine rağmen, problem çözmede nesneleri veya modelleri görsellemek için görsel dayanaklara ihtiyaç duymazlar. Matematiksel olarak resimsel düşünce tarzına sahip olan öğrenciler geometrik düşünme yapısına sahip (GDYS) olup zihin yapıları çok iyi gelişmiş görsel-resimsel bir bileşene sahiptirler. Bu öğrenciler soyut matematiksel ilişkileri görsel olarak yorumlama ihtiyacı duyarlar ve bu konuda başarılıdırlar. Fakat problemleri çözmek için nesne ve diyagram gibi görsel destekleri oluşturmada başarılı olamazlarsa soyut şemalar üzerinde zorluklar yaşarlar. Problemi çözmek muhakeme yoluyla kolay olmasına ve görsel işaretler bulanık veya zor olmasına rağmen görsel şemaları kullanmada ısrarcıdırlar. Harmonik düşünme yapısına sahip (HDYS) olan öğrencilerde ise sözel-mantıksal ve görsel-resimsel bileşenler dengeli olarak gelişmişlik göstermektedir. Uzamsal kavramlar bu türün temsilcilerinde çok iyi gelişmiştir. Soyut ilişkilerin görsel yorumunda oldukça yeteneklidirler, fakat görsel görüntüleri ve şemaları, sözel-mantıksal analize göre ikinci plandadır. Birçok problemi çözmede hem analitik hem de resimsel-geometrik yaklaşımları uygulama eğilimi gösterirler. Bu çalışmayla, matematik öğretmen adaylarının sahip olduğu analitik, geometrik ve harmonik düşünme yapıları belirlenip, bu yapıların matematiksel modelleme etkinliklerindeki süreci nasıl etkilediğinin ortaya çıkarılması amaçlanmıştır Modelleme Etkinlikleri Geleneksel sözel problemlerin öğrencilerde problem çözme stratejilerini geliştirmediğini, öğrencilerin problem cümlelerindeki bazı kalıp kelimelere göre hareket ederek buldukları çözümün öğrenciler için anlamlı olmadığını ve çözüm sürecinde problemle ilgili gerçek hayat durumlarını göz önüne almadıkları yapılan çalışmalardan görülmektedir (Greer, 1997; Schoenfeld, 1992; Akt. Kertil, 2008). Açık uçlu, kalıp cümlelerle öğrenciyi yönlendirmeyen, rutin olmayan ve öğrencileri gerçek hayat durumları üzerinde düşünerek çalıştırmayı sağlayan problemlerin olmaması matematik eğitim programının önemli bir eksiğinin olduğunu göstermektedir. Bu eksiklik göz önünde bulundurulduğunda, öğretmen adaylarının sahip olduğu düşünme yapılarının herhangi bir matematiksel aktivite sürecine etkisi modelleme etkinlikleri yaptırılarak tespit edilmek istenmiştir. Çünkü modelleme problemleri, geleneksel problem özellikleri taşımakla birlikte bütün bu sınıflandırmaları içine alan daha geniş bir kavramdır. Açık uçlu olması tek bir doğru cevabının ve çözüm yolunun olmaması, hazır kalıpların olmaması (Kertil, 2008) modelleme problemlerini önemli hale getirmektedir. 2. YÖNTEM Çalışma bir grubun derinlemesine incelenmesinden dolayı özel durum niteliği taşımaktadır. Çalışma grubu bir devlet üniversitesinin, Tezsiz Yüksek Lisans Programında öğrenim gören 75 matematik öğretmen adayı arasından amaçlı örneklem belirleme stratejisi (Patton, 1990) kullanılarak seçilen 12 öğretmen adayından oluşmaktadır. Bu çalışma, 75 matematik öğretmen adayının matematiksel modelleme sürecine girdiklerinde gözlemlenen görselleme beceri düzeylerinin nasıl olduğu, düşünme yapılarının matematiksel modelleme etkinliklerindeki sürece ve başarıya nasıl etki ettiği ve bu durumun bireysel veya grup şeklinde çalışıldığında nasıl değiştiğini ortaya amaçlı daha geniş bir çalışmanın bir parçasıdır. Bundan dolayı bu araştırmanın çalışma grubu olarak belirlenen 12 öğretmen adayı, 75 öğretmen adayına uygulanan Modelleme Testi, Uzamsal Görselleme Testi ve Zihinde Döndürme Test lerinden sonra belirlenmiştir. Bahsedilen testlerden alınan puanların düşünme yapılarına göre o testten alınan ortalama puana yakın olması göz önünde bulundurularak çalışma

3 grubu olarak, dört tane analitik, dört tane harmonik ve dört tane de geometrik düşünme yapısına sahip 12 öğretmen adayı seçilmiştir. Öğretmen adaylarının analitik, geometrik veya harmonik düşünme yapılarından hangisine sahip olduğunu ölçmek için Presmeg in (1985) Matematiksel Süreç Anketi kullanılmıştır. Öğretmen adaylarının modelleme etkinliklerindeki yaşadığı süreçte kullandığı görsel ya da görsel olmayan ifadelerin nasıl ortaya çıktığının anlaşılması, düşünme yapılarının sürece olan etkilerinin daha yakından incelenmesi amacıyla öğretmen adaylarıyla nitel araştırmalarda en sık kullanılan veri toplama aracı olan görüşmeler yapılmıştır (Yıldırım ve Şimşek, 2005). Görüşme sırasında öğretmen adaylarına ne tür soruların ne şekilde sorulacağı daha önceden belli olması ve mülakatın gidişine göre başka soruların da sorulabilmesi açısından bu çalışmada görüşme türleri arasından yarı-yapılandırılmış görüşme türü kullanılmıştır. Çalışmanın etik olması açısından, öğretmen adaylarının isimleri hiçbir yerde kullanılmamıştır. Her öğretmen adayına belirli kodlar verilmiş ve çalışmanın sonuna kadar bu kodlar kullanılmıştır. Öğretmen adayları (ÖA): ÖA1, ÖA2, ÖA3 ÖA4, ÖA5, ÖA6 ÖA7, ÖA8, ÖA9, ÖA10, ÖA11, ÖA12 olarak kodlanmıştır. Görüşmeye seçilen ÖA1, ÖA2, ÖA3, ÖA4 analitik, ÖA5, ÖA6, ÖA7, ÖA8 harmonik, ÖA9, ÖA10, ÖA11, ÖA12 ise geometrik düşünme yapısına sahiptir. Bir modelleme etkinliği olan ve içeriği aşağıdaki görüşme sorularında ayrıntılı bir şekilde görülen kaset problemi kapsamında 12 öğretmen adayı ile yapılan görüşmeler sonunda, katılımcıların modelleme etkinliklerinde kâğıt üzerindeki gözlemlenemeyen süreci ortaya çıkarılmıştır. Veri kaybını asgariye indirmek için, görüşmeler, video kamera ile kaydedilmiştir. Görüşmelerde en genel olarak aşağıdaki sorulara yer verilmiş, yalnız, yarı yapılandırılmış görüşmenin doğası gereği her bir görüşme süreci içerisinde farklı sorular ortaya çıkmıştır. Görüşmelerde öğretmen adaylarına aşağıdaki sorular sorulmuştur; 1. Teyp, kasetteki makaraları döndürerek bir makaradan diğerine sarım yapmaktadır. Bu kasetin başlangıçtan ilk yüzü bitinceye kadar olan süreçte makaraların yarıçapları nasıl değişir? Matematiksel olarak açıklayabilir misin? 2. (Eğer yukarıdaki soruya verilen cevapta grafik kullanmadıysa) Yarıçapların zamanla değişimini grafikle gösterebilir misiniz? 3. Makaraların hızları sabit mi, değil mi? 4. Görüşme sorusu-3 e verilen cevaba göre; 4.1. (Eğer cevap sabitse) O halde bir teybe baktığımızda görüntü olarak küçük makaranın daha hızlı dönmesinin sebebi nedir? 4.2. (Eğer cevap sabit değilse) Teybin dönme hızı sabittir, eğer teyp değişken bir hızla dönseydi dinlediğimiz müziğin hızı da değişirdi. Teybin hızının sabit olduğunu bildiğimize göre makaraların hızlarının birbirlerinden farklı olduğunu nasıl açıklayabiliriz? 5. (Eğer fizik dersinden açısal ve çizgisel hız kavramları hatırlanmıyorsa, gerekli açıklamalar yapıldıktan sonra) Şimdi makaraların hızlarıyla ilgili ne düşünebiliriz? 6. Makaraların hızlarındaki değişim nasıldır? Matematiksel olarak açıklayabilir misin? Görüşmeler sonrasında oluşan çözüm süreçlerinin değerlendirilmesinde kategori yöntemi kullanılmıştır. Yukarıdaki sorulan sorulara 12 öğretmen adayının verdiği cevaplar kategoriler halinde sınıflandırılmıştır. Oluşturulan kategoriler etkinlik çözüm örnekleri ile birlikte, çözüm süreçlerinin bu kategorilere göre değerlendirlmesi için alanında uzman 5 kişiye verilmiştir. Ortaya çıkan sonuçta uzmanların yaptığı ile araştırmacının yaptığı kategorizasyon arasında %80 örtüşme görülmüştür. Bu da kategorilerin güvenirliğinin sağlandığını göstermektedir. Belirlenen bu kategorilere göre sınıflandırılan cevaplar değerlendirilerek öğrencilerin çözüm sürecinde yansıttıkları davranış dağılımları belirlenmiştir. Bu davranış dağılımlarına bakılarak öğrencilerin modelleme sürecinde başarılı ve başarısız oldukları aşamalar anlaşılmaya çalışılmış ve elde edilen bulgularla öğrencilerin düşünme yapıları görüşme sonuçları ile birlikte yorumlanmıştır. 3. BULGULAR Öğretmen adaylarının düşünme yapılarının çözüm sürecinde performansı ve kullanılan matematiksel ifadeleri nasıl etkilediği, görüşme sorularına verilen cevaplar bağlamında detaylı olarak aşağıda analiz edilmiştir. Görüşme sorularına verilen cevaplara göre oluşturulan kategoriler her bir görüşme sorusuna ait verilen cevapların bulunduğu tabloların alt kısmında yer almaktadır.

4 3.1. GörüĢme sorusu-1 Öğretmen adaylarından, bir kasetteki makaraları döndürerek bir makaradan diğerine sarım yapan bir teyp düşünmelerini ve bu kasetin başlangıçtan ilk yüzü bitinceye kadar olan süreçte makaraların yarıçaplarının nasıl değiştiğini matematiksel olarak açıklamalarını istediğimizde görüşmeye katılan öğretmen adaylarının verdiği cevaplar Tablo 1 de görülmektedir. Tablo 1: Öğretmen adaylarının 1. görüşme sorusuna verdiği cevaplar ve cevap kategorileri Analitik Harmonik Geometrik ÖA1 ÖA2 ÖA3 ÖA4 ÖA5 ÖA6 ÖA7 ÖA8 ÖA9 ÖA10 ÖA11 ÖA12 a b c d a b c d Yarıçapların biri azalırken diğeri artacaktır. İlk başta r 1 < r 2 olsun. Sarım yapmaya başladıktan bir süre sonra r 1 = r 2 olacaktır, daha sonra r 1 > r 2 olacaktır. Bir doğrusal bir grafik çizip yarıçapın değişimin gösterir. Bir eğrisel bir grafik çizip yarıçapın değişimin gösterir. Görüşme yapılan tüm öğretmen adayları, boş olan makaranın yarıçapının zamanla artacağını, dolu olan makaranın ise yarıçapının zamanla azalacağını ifade etmekte zorlanmamışlardır. Fakat yarıçap değişimini farklı gösterimler kullanarak ifade etmişlerdir. ADYS ve HDYS öğretmen adaylarından yarıçap değişimini sembollerin ve eşitsizliklerin yer aldığı ifadelerle açıklayan katılımcıların olmasıyla birlikte, GDYS öğretmen adaylarında grafik kullanarak yarıçap değişimini ifade eden katılımcıların görülmesi dikkat edilmesi gereken bir bulgudur GörüĢme sorusu-2 Öğretmen adaylarından makaraların yarıçap değişiminin matematiksel olarak açıklamalarını aldıktan sonra, eğer yarıçap değişimini grafikle göstermedilerse, makaraların zamana göre yarıçap değişimini grafikle ifade etmeleri istenmiştir. Tablo 2 de görüldüğü gibi, iki öğretmen adayı hariç (ÖA4 ve ÖA6) diğer öğretmen adayları yarıçap değişimini doğrusal bir grafik çizerek açıklamışlardır. Tablo 2: Öğretmen adaylarının 2. görüşme sorusuna verdiği cevaplar ve cevap kategorileri Analitik Harmonik Geometrik ÖA1 ÖA2 ÖA3 ÖA4 ÖA5 ÖA6 ÖA7 ÖA8 ÖA9 ÖA10 ÖA11 ÖA12 a b a b Doğrusal bir grafik çizer. Eğrisel bir grafik çizer GörüĢme sorusu-3 Öğretmen adaylarına makaraların hızlarının sabit mi, değil mi olduğu sorulduğunda, 6 öğretmen adayının (ÖA1, ÖA2, ÖA3, ÖA5, ÖA8, ÖA12) hızlarının sabit, ÖA7 nin makaralardan birinin hızının sabit, diğerinin sabit olmadığını ifade ettiği görülmektedir. 5 öğretmen adayı (ÖA4, ÖA6, ÖA7, ÖA9, ÖA10, ÖA11) ise hızlarının sabit olmadığını ifade etmiştir GörüĢme sorusu-4 Makaraların hızları sabittir diyen öğretmen adaylarına, teybe baktıklarında görüntü olarak küçük makaranın daha hızlı dönmesinin sebebi sorulduğunda (4.1. soru) ise Tablo 3 de görüldüğü üzere öğretmen adaylarından 3 tanesi (ÖA1, ÖA5, ÖA8) biraz düşündükten sonra kararlarını değiştirerek ilk başta yanlış düşündüklerini, aslında hızlarının sabit olmadığını ifade etmiştir. 2 tanesi (ÖA3 ve ÖA12) bu durumu hiç fark etmediklerini, 1 tanesi ise (ÖA2) bu durumun bir göz yanılgısı olduğunu, yarıçapları farklı olduğu için hızlarının farklıymış gibi göründüğünü ifade etmiştir.

5 Tablo 3: Öğretmen adaylarının 4. görüşme sorusuna verdiği cevaplar Soru Analitik Harmonik Geometrik No: ÖA1 ÖA2 ÖA3 ÖA4 ÖA5 ÖA6 ÖA7 ÖA8 ÖA9 ÖA10 ÖA11 ÖA12 a 4.1 b c a b 4.2 c d a Hiç fark etmedim 4.1 b Makaraların hızı sabittir. Yarıçapları farklı olduğu için biri diğerinden hızlı dönüyormuş gibi görünür. 4.2 c Yanlış düşünmüşüm, yarıçapları farklı olduğu için hızları da farklıdır. Hızlar yarıçaplarıyla orantılı olarak değişir. a Bir çelişki yaşıyorum. Teybin hızı sabitken makaraların hızı da sabit olması gerekir, ama değil. Makaralardan biri hızını azaltırken diğeri artırır. Birindeki azalma diğerindeki artmayla birbirini eşitler, bu yüzden teybin b hızı sabittir. c Makaraların çizgisel hızından bahsediliyorsa o sabittir. Açısal hızları farklıdır. d Yanlış düşünmüşüm, makaraların yarıçapları farklı olduğu için biri diğerinden hızlı dönüyormuş gibi görünür, halbuki makaraların hızı sabittir. Görüşme sorularında bahsi geçen teybin dönme hızı sabittir, eğer teyp değişken bir hızla dönseydi dinlediğimiz müziğin hızı da değişirdi. Makaraların hızlarının farklı olduğunu, sabit olmadığını söyleyen öğretmen adaylarına, teybin hızının sabit olmasına rağmen makaraların hızlarının birbirlerinden farklı olduğunu nasıl açıklayabilecekleri sorulduğunda (4.2. soru) verilen cevaplar Tablo 3 de yer almaktadır. Tablo 3 de yer alan bulgular incelendiğinde öğretmen adaylarının çoğunun (ÖA1, ÖA4, ÖA6, ÖA7, ÖA8, ÖA11) bu soru ile bir çelişki yaşadıklarını ifade etmeleri dikkat çekmektedir. Yani sonuçta burada, bu makaraları çeviren bant. Bandın hızı değişmiyorsa makaraların hızının değişmesi biraz saçma oluyor Yukarıdaki örnekte de görüldüğü gibi öğretmen adayları teybin makaraları döndürme hızının sabit olduğunu, yani makaraları çeviren bandın hızının sabit olduğunu düşündüklerinde, sahip oldukları makaraların hızı sabit değildir fikriyle çelişmektedirler. Öğretmen adaylarından biri (ÖA11) bu çelişki karşısında fikrini değiştirirken, ÖA9 fizik dersinden hatırladığı açısal hız ve çizgisel hız kavramlarını kullanarak açıklama yapmıştır. Bir diğer öğretmen adayı ise (ÖA5) aşağıdaki yorumda bulunarak kimsenin düşünmediği bir yöntemle makaraların hızındaki değişikliği ve teybin hızının sabit olmasını açıklamıştır. Makaralardan biri hızını azaltırken diğeri artırır. Birindeki azalma diğerindeki artmayla birbirini eşitler, bu yüzden teybin hızı sabittir 3.5. GörüĢme sorusu-5 Bandın hızı ile makaraların hızı arasındaki ilişkiyi kuramayan, yarıçaplara göre makaraların hızlarının nasıl değiştiğini doğru olarak ifade etmesine rağmen sonradan çelişkiye düşen öğretmen adaylarına, fizik dersinden hatırlanılması gereken açısal ve çizgisel hız kavramları verildi. Bir makaranın kendisini döndüren güç kaynağı ya da her hangi bir şeyden dolayı sahip olduğu bir hızı vardır ki, bu hız o makaranın çizgisel hızıdır. Bir de makaranın yarıçapıyla ters orantılı olarak değişen bir hızı vardır ki, bu da o makaranın açısal hızıdır. Yukarıdaki bilgiler verildikten sonra öğretmen adaylarına makaraların hızlarıyla ilgili şimdi ne düşündüklerini sorduğumuzda, ÖA2 ve ÖA10 farklı bir şey düşünemediklerini ifade etmişlerdir. Diğer öğretmen adayları, sabit olan hızın çizgisel hız, yarıçapa göre değişen hızın da açısal hız olduğunu ifade ederek aşağıda cevapların bir örneği görüldüğü gibi doğru sonuca ulaşmışlardır. şimdi bunların sarımı en fazla olan bu (büyük makarayı göstererek), sarımı en az olan bu, şimdi ilk başta yavaş dönecek olan, yani açısal hızı az olan

6 budur, açısal hızı fazla olan budur. Yalnız şöyle bir şey olacak, bunun (büyük makaranın) açısal hızı artmaya başlarken, bunun da (küçük makaranın) açısal hızı zamanla azalmaya başlayacak. Sarımları birbirine eşitlendiğinde de açısal hızları birbirine eşitlenecektir. Sonra durum tam tersine dönecektir GörüĢme sorusu-6 Bir kasetin başlangıçtan ilk yüzü bitinceye kadar olan süreçte makaraların hızının sabit olmadığını ifade eden öğretmen adaylarına, makaraların hızlarındaki değişimin nasıl olduğunu matematiksel olarak açıklamalarını istediğimizde görüşmeye katılan öğretmen adaylarının verdiği cevaplar Tablo 4 de görülmektedir. Bir öğretmen adayı hariç (ÖA2), görüşme yapılan tüm öğretmen adayları, boş olan makaranın yarıçapı zamanla artacağı için hızının azalacağını, dolu olan makaranın ise yarıçapı zamanla azalacağını için hızının artacağını ifade etmekte zorlanmamışlardır. Fakat hızlarının değişimini açıklarken farklı düşüncelerin olduğu görülmektedir. Farklı düşüncelerin olmasıyla birlikte bu soruya verilen cevaplarda değişik gösterimler de görülmektedir. Bazı öğretmen adayları istenilmemesine rağmen açıklamalarını grafikle ifade etmişlerdir. Tablo 4: Öğretmen adaylarının 6. görüşme sorusuna verdiği cevaplar ve cevap kategorileri Analitik Harmonik Geometrik ÖA1 ÖA2 ÖA3 ÖA4 ÖA5 ÖA6 ÖA7 ÖA8 ÖA9 ÖA10 ÖA11 ÖA12 a b c d e a Makaraların hızı düzgün hızlanan veya yavaşlayan bir şekilde değişir. b Zaten çizgisel hız sabittir. Açısal hız da düzgün hızlanır veya yavaşlar. c Zaten çizgisel hız sabittir. Açısal hız da artarak artar veya azalarak azalır d Doğrusal bir grafik çizerek hızın arttığını veya azaldığını söyler. e Eğrisel bir grafik çizerek hızın arttığını veya azaldığını söyler. Açısal ve çizgisel hız kavramlarını göz önünde bulundurmayan bir öğretmen adayı (ÖA10), yarıçap azaldıkça makaraların hızının düzgün bir şekilde artacağını ifade etmiştir. Makaraların çizgisel hızlarının sabit olduğunu fark eden öğretmen adaylarının ifadelerinde ise açısal hızlarının değişiminin nasıl olduğuna ilişkin farklı açıklamalar görülmektedir. ÖA1, ÖA3, ÖA5, ÖA8 ve ÖA12 açısal hızlarının düzgün hızlanan veya yavaşlayan olduğunu ifade etmişlerdir. bu makaranın (boş makaranın) hızı her seferinde azalacaktır. Çünkü her seferinde çevre büyüyor. Dolaşacağı sarım büyüdüğü için bir sarımı daha yavaş bitirir. Yarıçapla ters orantılı olduğu için, yarıçap da birinci dereceden olduğu için düzgün bir şekilde yavaşlar. Öğretmen adaylarına neden düzgün bir değişim olduğu sorulduğunda ise verilen cevapları en genel anlamda temsil eden yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, hızın birinci dereceden bir değişken olan yarıçapa göre değiştiğini ifade ederek cevap vermişlerdir. ÖA4 ve ÖA7 makaraların açısal hızlarının artarak arttığını veya azalarak azaldığını ifade etmelerinin yanında bu durumun sebebini açıklayıcı bir cevap verememişlerdir. Çoğu öğretmen adayı makaraların hız değişiminin nasıl olduğunu sözel ifadelerle açıklamış olmalarına rağmen, istenilmediği halde makaraların hız değişimini grafikle ifade eden öğretmen adaylarının olması da Tablo 4 de dikkat edilmesi gereken bir bulgudur. HDYS bir öğretmen adayı (ÖA6) ile GDYS iki öğretmen adayı (ÖA9 ve ÖA11) cevaplarını grafikle ifade etmeyi tercih etmişlerdir. Öğretmen adaylarından ÖA6 ve ÖA11, Şekil 5 de bir örneği görüldüğü gibi makaraların hız değişimini doğrusal bir grafik çizerek ifade etmişlerdir.

7 Şekil 51: Hız değişimini doğrusal olarak gösteren bir çözüm örneği Şekil 5 de bir örneği (ÖA6 ya ait) görüldüğü gibi makaraların hız değişimini doğrusal olarak değiştiğini grafikle gösteren öğretmen adaylarına bu durumun sebebini sorduğumuzda yukarıda da bahsedildiği gibi hızın birinci dereceden bir değişken olan yarıçapa göre değişmesini gerekçe olarak göstermişlerdir. GDYS bir öğretmen adayı (ÖA9), Şekil 6 da örneği görüldüğü üzere makaraların açısal hızlarının artarak arttığını veya azalarak azaldığını grafikle ifade etmiştir. Şekil 6: Hız değişimini eğrisel olarak gösteren bir çözüm örneği ÖA9 a neden doğrusal bir grafik çizmediğini sorduğumuzda ise verdiği cevap aşağıda yer aldığı gibi oldukça ilginç olduğu görülmektedir. Hız değişimini doğrusal çizebilmemiz için belli aralıklarda hmm... Elimizde düz bir şeyin olması lazım, yani doğrusal olduğunu düşünmek için düz bir şeyin olması lazım. ÖA9 makaraların dairesel bir şeklinin olmasını gerekçe göstererek hız değişimini eğrisel bir grafikle ifade edileceğini söylemiştir. Adayın makara ve grafik arasında görsel bir ilişkiyi anlamlandırdığı gözlenmektedir. 4. YORUM/TARTIġMA Öğretmen adaylarından, bir kasetteki makaraları döndürerek bir makaradan diğerine sarım yapan bir teyp düşünmelerini ve bu kasetin başlangıçtan ilk yüzü bitinceye kadar olan süreçte makaraların yarıçaplarının nasıl değiştiğini matematiksel olarak açıklamalarını istediğimizde görüşmeye katılan öğretmen adaylarının verdiği cevaplar tartışmaya değer bulgulardır. Görüşme yapılan tüm öğretmen adayları, boş olan makaranın yarıçapının zamanla artacağını, dolu olan makaranın ise yarıçapının zamanla azalacağını ifade etmekte zorlanmamışlardır. Fakat yarıçap değişimini farklı gösterimler kullanarak ifade etmişlerdir. ADYS ve HDYS öğretmen adaylarından yarıçap değişimini sembollerin ve eşitsizliklerin yer aldığı ifadelerle açıklayan katılımcıların olmasıyla birlikte, GDYS öğretmen adaylarında grafik kullanarak yarıçap değişimini ifade eden katılımcıların görülmesi etkinlik çözümlerinde görülen bulgularda da olduğu gibi zihnin görsel-resimsel bileşenini kullanma becerisinin getirisi şeklinde yorumlanabilir. Her ne kadar günümüzde artık teypler gündemden düşmüş gibi

8 görünse de, çalışma grubunun sahip olduğu yaş grubu sebebiyle, kasetlerden haberdar olduğu göz ardı edilemez. Bu durumda onların kendi hayat tecrübeleri, kaset problemine verilen bu cevabın altında yatan nedenlerden biri olabilir. Şekil 2: GDYS bir öğretmen adayının görüşme sorularından birincisine verdiği cevabı Şekil 2 deki cevapta görüldüğü üzere GDYS öğretmen adayı (ÖA11) öncelikle makaraları andıran daireler ve makaralara sarılı bandı resmetmiştir. Makaraların yarıçap değişiminin grafikle gösterimi istenmemesine rağmen, isimlendirdiği A makarasının yarıçap değişimini grafikle ifade ederek azaldığını söylemiştir. Neden eğrisel bir grafikle yarıçapının azaldığını ifade ettiği sorulduğunda ise açıklayıcı bir cevap verememiştir; neden olduğunu bilmiyorum ama (A makarasının) yarıçapın değişimi azalarak azalıyor bence, mesela bununki (A makarasının yarıçapı) ilk başta 10br azalırken sonraki adımda 8br, bir sonraki adımda 6br azalıyor olabilir. Çünkü bu (A makarası) küçülürken bu (B makarası) büyüyor. Görüşme sorularından birincisine verilen cevapta eğrisel bir grafiğin olmasının nedeni GDYS öğretmen adaylarına sorulduğunda açıklayıcı bir cevaba rastlanmaması, öğretmen adaylarının sezgisel olarak cevap verdiklerini, sonradan anlamlandırmaya çalıştıklarını düşündürmektedir. Yani öğretmen adayları, makara-grafik ilişkisinden çok makaradaki azalmaları koordinat ekseninde düşünerek, oluşturduğu noktaları birleştirip tahmini bir grafik ortaya koyduğunu soru üzerine anlamlandırmaya çalışmaktadır. Bir başka cevapta ise makaranın şeklinin dairesel bir yapıya sahip olmasını gerekçe göstererek hız değişimini eğrisel bir grafikle ifade edileceği söylenmiştir. Adayın makara ve grafik arasında görsel bir ilişkiyi anlamlandırması sonucu bu şekilde bir cevap verdiği düşünülmektedir. Öğretmen adaylarının grafik gösterimleri kullanma ve cebirsel ifadelerden yaralanma gibi bazı modelleme aşamalarında farklılıklar olduğu gibi, herhangi bir matematiksel modele ulaşma ve grafik veya cebirsel ifadeyi sözel ifadeleri kullanarak yorumlama gibi aşamalarda daha başarısız olduğu görülmektedir. Öğretmen adaylarının kullandıkları farklı temsiller arasındaki tutarsızlıklar, aynı problem durumunun farklı matematiksel temsilleri (Kaput 1987) arasında geçişlerinde problem yaşadıklarını göstermektedir. Öğretmen adayları bazı problemlerde, sözel açıklamaları doğru yaptıkları halde aynı problem durumunu ifade etmeye çalıştıkları grafik gösterimleri ve matematiksel modellerinin yanlış olduğu görülmektedir. Öğretmen adayları biçimsel olmayan (informal) matematiksel düşünme süreçlerini biçimsel (formal) matematiksel dile aktarırken, tıpkı biçimsel olmayan modellerden, biçimsel modellere geçişte (Gravemeijer & Stephan, 2002) olduğu gibi zorlandıkları gözlemlenmektedir (Akt. Kertil, 2008) Öğretmen adaylarının modelleme yaparken, soruyu görselleme süreciyle öncelikle zihninde resmetmesi sonra bütün parçaları uygun şekilde birleştirmesi ve 2 boyuttaki düşündüğü bir şeyi 3 boyuta çevirip hareketlilik katarak, zihin pasif şekilde değil de aktif bir şekilde sistem kurması gerekmektedir. O yüzden modelleme etkinliklerindeki başarı, özellikle öğrencinin görselleme süreci geçirdikten sonra zihninde problemle ilgili olan modelleyeceği durumu, düzeneği kurması ve kurduktan sonra da onu 3 boyutlu olarak çalıştırma becerisi ile ilgilidir. Yani dinamik zihinsel aktiviteler yapabilme becerisi öğrencilerin performansına etki eder. Öğretmen adaylarının görüşme sorularında ve etkinliklerin çözüm sürecinde verdiği cevaplardaki şekillerin zayıflığının sebebi zihinde bir döndürmenin tam olarak gerçekleştirilememesi ve uzamsal becerilerin zayıflığı ile açıklanabilir.

9 5. SONUÇ ve ÖNERĠLER Matematiksel modelleme etkinlikleri, matematik öğretmen adaylarının mevcut durumu hakkında önemli ipuçları vermektedir. Öğretmen adaylarının matematiksel modelleme yapabilme becerilerinde ve matematiksel bilgilerini kullanarak gerçek hayat durumlarını yorumlamada zorlandıkları gözlenmiştir. Bunun nedeni olarak, matematik eğitim sistemimizin tek bir doğru cevabı olan, minimum sürede maksimum soruyu çözmesine dayalı, kalıp cümlelerle öğrenciyi yönlendiren ölçme değerlendirme yöntemlerini kullanması ve bunun neticesi olarak eğitimin bu becerileri sağlamaya yönelik yapılması söylenebilir. Dolayısıyla öğretmen eğitimi ve ortaöğretim öğretim programlarında/ders kitaplarında, probleme çok farklı açılardan bakabilen, matematiği gerçek hayat durumlarını yorumlamada kıvrak bir şekilde kullanabilen bireyler yetiştirme amacını taşıyan matematiksel modelleme ve matematiksel modelleme etkinlikleri oluşturabilme becerilerini geliştirmeye yönelik kazanımlar oluşturulmalıdır (Kertil, 2008). Ayrıca üst düzey düşünme becerilerini geliştirdiği düşünülen proje tabanlı öğretim yaklaşımlarının (Aydın ve Delice, 2005) modelleme yaklaşımlı problem çözme becerilerine katkı sağlayabileceğinden dolayı, öğretmen yetiştirme programlarında bu tür yaklaşımlara daha fazla yer verilmelidir. Ayrıca bu çalışma bireylerin düşünme yapılarının modelleme etkinliklerindeki sürece ve başarıya çeşitli bağlamlarda etki yaptığını göstermektedir.

10 KAYNAKLAR: Aydın, E., ve Delice, A. (2005). Üst Düzey Düşünme Becerilerini Geliştirme Amaçlı Bir Matematik Dersi Tasarımı Sürecinin Değerlendirilmesi. II. Lisansüstü Eğitim Sempozyumu. İstanbul. Baki, A. (2006). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi. (3. Baskı). Trabzon: Derya Kitabevi Blum, W. et al. (2002). ICMI Study 14: Applications and modelling in mathematics education- Discussion document. Educational Studies in Mathematics, 51, Bukova Güzel, E., ve Uğurel, I. (2010). Matematik Öğretmen Adaylarının Analiz Dersi Akademik Başarıları İle Matematiksel Modelleme Yaklaşımları Arasındaki İlişki. Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi. 29 (1), Kaput, J. J., (1987). Representation Systems and Mathematics. In Problem of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, Edited by Claude Janvier, Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum Associates, pp Kertil, M. (2008). Matematik Öğretmen Adaylarının Problem Çözme Becerilerinin Matematiksel Modelleme Sürecinde İncelenmesi. Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi. İstanbul: Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago: University of Chicago Press. Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003). (Eds.). Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Lingefjärd, T. (2006). Faces of modelling. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), MEB (2005). Ortaöğretim (9-12. Sınıflar) matematik dersi öğretim programı. Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü Basım Evi. Niss, M. (1988). Theme group 3: Problem solving, modeling, and applications. In A. Hirst & K. Hirst (Eds.), Proceedings of the sixth International Congress on Mathematical Education. Budapest, Hungary: János Bolyai Mathematical Society, 237_252. Patton, M. Q. (1990). Qualitative evaluation and research methods (2nd Ed). Newbury Park, Calif: Sage Publication. Presmeg, N. C. (1985). The role of visually mediated processes in high school mathematics: A classroom investigation. Unpublished Ph.D. dissertation. Cambridge University, England. Taşova, H. İ. (2011). Matematik Öğretmen Adaylarının Modelleme Etkinlikleri ve Performansı Sürecinde Düşünme ve Görselleme Becerilerinin İncelenmesi. Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi. İstanbul: Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. Özer Keskin, Ö., (2008). Ortaöğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Matematik Modelleme Yapabilme Becerilerinin Geliştirilmesi Üzerine Bir Araştırma. Yayınlanmamış Doktora Tezi. Ankara: Gazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü. Yıldırım, A. & Şimşek, H. (2006). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri (6. Baskı). Ankara: Seçkin.