BÖLÜM 8 İNCE PROFİL TEORİSİ

Transkript

1 BÖÜM İNE PROİ TEORİSİ.- İe profil klşımı.- İe profil içi mtemtik moel.- Tşım ve uuslmı girp ğılımıl ilişkisi.- Sıır şrtlrı, ie profil içi itegro-ifersiel eklem.5- Direkt problem. Özel çözümler.6- İe profiller içi geel çözüm.7- lplı profil

2 .- İe profil klşımı: Üiform prlel kım içerisie er l bir kt profilie etkie tşım kuvveti; kışkı oğuluğu ρ ve serbest kımı hızı olmk üzere profil etrfı oluş Γ sirkülso şietie, ρ Γ şeklie bğlbilir. Kt profili etrfı sirkülso k simetrik olm bir kış hlie oluşbilir. kıştki simetrii boz usurlrı profili hüum çısı ve kmburluğu oluğu bilimekteir. Tşım üzerie profil klılığıı etkisi ise ikii mertebeeir. Yuuslm mometi e h zie tşımı veter bou ğılım kkl bir eroimik krkteristik olup, ı şekile profili kmburluğu ve hüum çısı bğlı oluğu, klılığı uuslm üzerieki etkisii ie ikii mertebee oluğu söleebilir. Bu göre, bir kt profilii tşım ve uuslm krkteristikleri ele eilmek isteiliğie oğru bu kt profili etrfıki kımı çözümlemek erie, bu profili see kmburluk eğrisi ess lırk tımlk kmburluk ı şeklieki bir profil etrfı ı hüum çısıki kımı ielemek, birii mertebee bir klşıml eterli olktır profil etrfı gerçek kım İe profil etrfı klşık kım k böle bir klşım pılırke, profili çok klı olmmsı, kmburluğuu ve hüum çısıı çok büük olmmsı gerekmekteir. ksi tktire klılık ğılımıı, büük kmburluğu ve üksek hüum çısıı sıır tbk gelişimi eeile rtğı ollı etkiler öemli ht ol çktır..- İe profil içi mtemtik moel Üiform kım er l kmburluk eğrisi şeklieki bir profili rttığı kım lı imi, sıkıştırılmz ve potsiel kbul eilerek, üiform kıml bu kmburluk eğrisi bou er l bir girp ğılımıı süperpozisou şeklie moelleebilir. Ie profil etrfı kım Mtemtik moel s γ(s UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

3 Bu moel kımı gerçek kımı temsil eebilmesi içi girp şietii veter bou ğılımıı ugu seçilmesi gerekliir. Girp şietleri üze üzerieki sıır şrtı ve Kutt şrtı birlikte kullılrk hesplır... Tşım ve uuslmı girp ğılımıl ilişkisi Kmburluk eğrisii sosuz küçük boki bir kısmıı ve buu temsil ee girp ğılımıı birlikte ele llım. Bu elemı heme üzerie ve heme ltıki sttik bsıçlr sırsıl p U ve p olsu. ızlrı ise, serbest kım hızıl ismi vrlığı (ve buu krşılığı olrk girp ğılımı kkl bozutu hızlrıı toplmı olrk sırsıl ( v U ve ( v şeklie üşümek mümküür. s s s p U v U p U v U p p v γ(s? p v Bu urum profile etkie tşım kuvveti ve hüum kerı etrfıki uuslm mometi eğrii lt üzü ile üst üzü rsıki bsıç frkıı veter bou ( p p M ( p p U şeklie itegrlleri lırk klşık biçime hesplbilir. U Diğer trft, kmburluk eğrisii heme üstüe ve heme ltı geçe birer kım çizgisi bou Beroulli eklemi ugulırs bsıç frklrı içi p ½ v ρ pu ½ ρ ( U p ½ v ρ p ½ ρ ( p p pu ρ v U v U v v p ρ ( v U v buluur. rı hızlrl girp şieti rsı γ δs ( vu δs ( v δs γ ( s γ ( v U v şeklie bir ilişki kurulbilir. ızlrl girp şieti rsıki ilişki içi h kpsmlı bir ieleme Ek-. e er lmktır. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

4 So iki bğıtı birleştirilerek bsıç frklrı girp şietlerie p( p p γ ( U ρ şeklie bğlır. Bölee tşım ve uuslm mometi içi verile bğıtılr sırsıl ρ γ ( şeklie gelir. M ρ γ (.- Sıır şrtlrı, ie profil içi itegro-ifersiel eklem... Yüze sıır şrtı Potsiel kım problemlerie üze üzerieki sıır şrtı "kımı üzee teğet olmsı" şeklie ife eilebilir. Bu göre, kım hızıı ve eksei bou bileşeleri sırsıl u ve v olmk ve üze eğrisi e ( olmk üzere sıır şrtı v u s u v os u si v os si Potsiel kım sıır şrtı İe profil içi sıır şrtı şeklie ife eilebilir: Bu sıır şrtı ie bir profile içi klşık olrk zılbilir: si v v v u v os u u u... v u u v v Burki v büüklüğü, kmburluk eğrisi üzerieki girp ğılımıı, sıır şrtıı ugulığı okt iükleiği bozutu hızıı üşe bileşei temsil etmekteir. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

5 İe profil klşımı hilie kmburluk eğrisi bou er l girp ğılımıı iüklemeleri erie bulrı veter bou izüşümü gibi üşüüle bir girp ğılımıı iüklemelerii lmk mümküür. s s γ(s v( γ( v( Bu göre, girpl ilgili bilgiler htırlrk v( γ ( ele eilir. Bu bğıtı sıır şrtı içi bulu ifee kullılrk, souçt γ ( şeklie bir bğıtı geliir. Bu so bğıtı, slı, ie profil erie lı kmburluk eğrisii geometrik şekli ile üzerieki girp ğılımı rsı ilişki kur bir eklemir. Prtikte krşılşıl problemleri bşlı iki sııft toplmk mümküür: - Direkt problem : Kmburluk eğrisi veriliğie girp ğılımı, tşım kuvvetii ve uuslm mometii hesplmsı - Ters problem : Isteile tşım kuvveti ve uuslm mometii ve girp ğılımıı sğlk kmburluk eğrisii bulumsı Yukrıki eklem irekt problem hlie γ( içi, ters problem hlie ise ( içi çözülür.... Kutt şrtı İe profil içi itegro-ifersiel eklemi Kutt şrtı ikkte lırk çözülmesi gerekliir. Kutt şrtı kımı kt profilii firr kerı üzgü bir biçime terk etmesi şeklie ife eilir. şğıki şekile Kutt şrtıı sğlmığı ve sğlığı kımlr rsıki frk gösterilmekteir. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

6 5 İe profil problemlerie Kutt şrtı girp şietii firr kerı sıfır olmsı şeklie orumlrk ugulır: γ (.5. Direkt problem. Özel çözümler İe profil içi ele eile itegro-ifersiel eklemi geel bir çözüm tekiğii bulumsı mıl bzı özel çözümleri ielemesie rr vrır. Bulr birisi hüum çısı etkisii içere e bsit ie profil ol üz levh hli, bir iğeri ise e bsit kmburluk eğrisi ol bir iresel profili hliir..5.. Düz levh içi çözüm: Düz bir levhı kmburluğu bulumığı içi kmburluk eğrisi eğimi sıfır olup, itegroifersiel eklem γ ( şeklii lır. Bur problem eklemi γ ( içi çözümüe ibrettir. Düz levh içi problemi çözümüü, bu eklem erie oğru Joukosk öüşümü rımıl pmk mümküür. Döüşümle çözümü sıl ele eilebileeği Ek-. e izh eilmekte olup, bur çözüm tekiği üzerie rı urulmrk see bu oll ele eilmiş çözümü oğruluğu kotrol eileektir. Düz levh içi Joukosk öüşümüle ele eile girp ğılımı, bir çısl koorit sistemie γ ( os şeklie verilmekteir. Burki çısl koorit, şekile e görülebileeği gibi / - / os / ( os / olrk tımlmktır. erile çözüm ukrıki eklemi sğ trfı kullılrk itegrl hesplırs I γ ( os ( os ( os ( os os os os os os os os UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

7 6 Burki itegrller birbirie bezemekte olup, litertüre Gluert itegrlleri olrk bilimekteir. Bu tip itegrller içi geel çözüm ( si( os G os os şeklie olup, geel çözümü ele eilişi Ek-. e izh eilmiştir. Bu göre ukrıki ifee er l itegrller sırsıl G ve G itegrlleri olup, bulrı çözümleri kullılrk I [ G G ] [ ] I ele eilir. Görülüğü gibi üz levh üzerieki girp ğılımı içi verile çözüm itegroifersiel eklemi sğlmktır. erile girp ğılımıı Kutt şrtıı sğlığıı görmek içi kooritı e, i çısl kooritı e gierke limit lıırs, firr kerı girp şietii im γ ( şeklie sıfır gittiği görülür. os im im os Öerile girp ğılımı kullılrk üz levhı tşım ktsısı içi os γ ( ρ ρ Si ρ ½ ρ ele eilir. Bu so bğıtı kt profilleri içi so ereee öemli olup, simetrik ie bir profili tşım ktsısıı hüum çısı ile lieer olrk eğiştiğii göstermekteir. Bu bğıtı göre tşım eğrisi eğimi 6. r mertebesieir. r büüklüğüü klşık 57 eree ivrı oluğu ve prtikte profillerii hüum çılrıı, özellikle ie profil teorisi çerçevesie çok küçük (e fzl 7-eree gibi oluğu htırlırs, tşım içi bulu bğıtıı, çılr eree ile belirtilmek üzere 6. r -. eg - 9. eg 9 şeklie üzelemesi ugu olur. üum kerı etrfıki uuslm ktsısı içi bezeri işlemlerle UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

8 7 M M os ρ γ ( ρ ( os Si ρ M M ½ ρ M ele eilir. Bu bğıtı hüum kerı etrfıki uuslm ktsısıı egtif eğerli (buru şğı oluğuu ve hüum çısı ile lieer olrk eğiştiğii göstermekteir. eter bou herhgi bir okt göre uuslm mometi M M M M M M olup, bu göre eroimik merkez ve bsıç merkezi içi sırsıl M Mp p ele eilir. eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı ise M M olrk bulubilir. Bu so bğıtılr so ereee öemli olup, simetrik ie profiller içi eroimik merkez ve bsıç merkezii çerek veter oktsı oluğuu ve eroimik merkez etrfıki uuslmı sıfır oluğuu göstermekteir..5.. Diresel profili içi çözüm: z kompleks üzlemie, merkezi imjier ekse üzerie bşlgıç oktsı g uzklığı er l ve z±b tekil oktlrı geçe rıçplı iree Joukosk öüşümü ugulığı ζ üzlemie b bou ve mksimum kmburluğu g ol iresel şeklie bir profil ele eileeği bilimekteir. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

9 i zre i r g - b b β i g ξ bos gsi - b b ξ Bu iresel profilii ie profil teorisi çerçevesie temsil eeek girp ğılımıı Ek-. e izh eiliği gibi γ os ( β şeklie ele etmek mümküür. Bu ğılımı ie profiller içi verile geel itegroifersiel eklemi ve Kutt şrtıı sğlığı gösterilebilir. Diresel profilii tşım ktsısı ve sıfır tşım hüum çısı os ρ β si ρ ( β ( β β şeklie hesplbilir. Joukosk öüşüm tekiği ieleirse slı bu bğıtılrki β prmetresii, iresel profilii γ kmburluk orı β γ şeklie bğlı oluğu görülür. Yi tşım ktsısı ve sıfır tşım hüum çısı içi kmburluk orı isie γ γ zılbilir. Bu bğıtılr tşım üzerie kmburluğu etkisii e kr öemli oluğuu göstermekteir. rı kmburluk, tşım eğrisi eğimii etkilememekteir. ve hüum kerı etrfı uuslm ktsısı M os ρ β si ( os Si M ρ β M ( γ Bu urum veter bou herhgi bir oktsı göre uuslm ktsısı M M ( γ ( γ UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

10 9 M ( γ γ M γ olup, profilii bsıç merkezi, eroimik merkezi, eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı içi sırsıl Mp p γ γ ( γ M M γ buluur..6. İe profiller içi geel çözüm Yukrı özel hller içi pıl ielemeler göstermiştir ki, tşım ve uuslm üzerie see hüum çısı etkisii buluuğu hli temsil ee üz levh içi bulu girp ğılımı, kmburluk etkisii içere siüs foksiou şeklieki bir terimi ilve eilmesile iresel profili hlieki girp ğılımı ele eilmekteir. Yi iresel profili, üz levhı h geelleştirilmiş bir hliir. Bu çözümlere hreketle e geel hle bir ie profil üzerieki girp ğılımıı, hüum çısıı içere üz levh hlieki girp ğılımı, kmburluk etkisii temsile siüs foksiolrı oluş bir ourier serisi ilvesile temsil eilebileeğii sölemek mümküür: os γ ( si ( Bu girp ğılımı ie profilleri geel eklemie kullılrk os ( ( os ( os si ve üzeleerek os si os os os os ilk terime G ve G Gluert itegrlleri oluğu htırlrk ve ikii terim içi si [ os( os( ] UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

11 öüşümü pılrk ( G G ( os( os os os os os ve so iki terimi e ie sırsıl G - ve G Gluert itegrlleri oluğu htırlrk ele eilir. rı si olup bu bğıtı ( si( ( si G G ( si ( os( os ( şeklie üzeleebilir. Bu so eşitlik kmburluk eğrisii eğimi ile ourier serisii ktsılrı rsıki ilşkii vermekteir. Bu ekleme ourier ktsılrıı ele etmek içi: er iki trfıı - rlığı itegrli lırk ( ( os er iki trfı os(k ile çrpımıı - rlığı itegrli lırk os ( k ( os( k os( k os( k os ( k buluur. İe profili tşım ktsısı ρ γ ( ρ si( os os si ρ ( UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

12 sıfır tşım hüum çısı os ( os hüum kerı etrfı uuslm ktsısı M M ρ ρ γ ( ρ si( ( os os ( os si( si( M os M ( os ( si si( si ( M M şeklie ele eilir. Yuuslm ktsısı tşım ktsısı isie M ( şeklie e üzeleebilir. Bu urum veter bou herhgi bir oktsı göre uuslm ktsısı M M ( M ( olup, bölee ie profili bsıç merkezi ve eroimik merkezi içi p ( Mp M UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

13 ve eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı içi e M ( ele eilir. Örek. Geel çözüm ötemii üz levh ve iresel profilleri içi ugulıız. Çözüm: Düz levh içi kmburluk eğrisi eğimi sıfır olup ourier ktsılrı,, olrk buluur. Bu göre ele eile profil krkteristikleri, h öe bulu eğerlerle ıır. Diresel profilii kooritlrı çısl koorit sistemie b os, g si olup, kmburluk eğrisi eğimi / / g os b g b os β os γ os olur. Bu göre ourier ktsılrı, γ, şeklie ele eilir ki, bu ktsılrl bulu profil krkteristikleri h öe bululrı oğrulr. Örek.. ereee poliom şeklie öle bir kmburluk eğrisi buluuz ki bu kmburluk eğrisie ship ie profili tşımsı - eree hüum çısı sıfır olsu. Profili eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısıı hesplıız. Çözüm:. ereee poliom şeklieki kmburluk eğrisi boutsuz bir koorit sistemie tımlırs:,, Uç şrtlrı: UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

14 Bölee ( e Türev lırk ( çısl kooritl ( os os olup os Bu göre ourier ktsılrı: os os os( k os os os( os os( Tşım ktsısı Sıfır tşım hüum çısı - içi. 9 Bu göre kmburluk eğrisi. 9 ( eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı M (. 9 M. 7 Örek., ( /, / şeklie öle bir kmburluk eğrisi buluuz ki, bu kmburluk eğrisie ship ie profili sıfır tşım hüum çısı - ve eroimik merkez etrfıki uuslm mometi e. olsu. Çözüm: Uç şrtlrı UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

15 UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı e ( Bu göre ( Türev lırk ( çısl kooritl ( os ( ( os os os os os Bölee türev os os ourier ktsılrı hesplrk: os os os os ourier ktsılrı kullılrk tşım ve eroimik merkez etrfıki uuslm ktsılrı içi sırl 7 ( M 6 5 M Bu ifelere sıfır tşım hüum çısı içi ereei r eğeri ve eroimik merkez ertrfıki uuslm ktsısı içi. eğeri kullılrk Deklemleri çözümüe ;. ( 96.

16 5 Bölee kmburluk eğrisi lplı profil lplı bir ie profili temsil ee girp ğılımı, hüum çılı hle üz levh üzerieki girp ğılımı, kmburluk eğrisi üzerie hüum çısız hle ele eile girp ğılımı ve flp çısıı etkisii ilvesile ele eilebilir. lp çısı etkisi, şekile görülüğü gibi hüum çısız hle üz levhı flb krşılık gele kısmıı öürülmesile buluur. üum çısı et Kmburluk etkis lp etkisi lp, slı profili kmburluğuu eğiştirmekteir. Bu ilve kmburluğu etkisii görmek içi, profili kmburluğuu bir ker bırkrk, şekile görülüğü gibi iki üz levhı birleştirilmesi suretile ele eile özel bir kmburluk eğrisii ielemek rrlı olur. (- Gözöüe lı bu ei profili veteri hüum kerıı flp firr kerı bğl oğruur. Bu vetere göre etki hüum çısı e olup, kmburluk eğrisi eğimi e ( (ve rlığı ( (ve rlığı şeklie tımlbilir. Bur ile flbı meset oktsıı çısl koorittki koumu belirtilmekteir. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

17 UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı 6 Bu bilgiler ie profil içi pıl geel çözümü souçlrı ugulrk ourier ktsılrı ele eilebilir: e ' ( ' ' ( ( ( os os os ( ( ( [ ] ( si si si si ( si ( si, si ele eilir. Bölee flplı profili tşım ve uuslm ktsılrı sırsıl: si ( si M ( M si si ( [ ] M os si olrk ele eilir. M -/ Şekile e görülüğü gibi flp çısıı tşım üzerieki etkisi tşımı her hüum çısı ı miktr rttırıı öeir. Yuuslm üzerieki etkisi ise her hüum çısı uuslmı egtif öe rttırıı trzır. lplı profili eroimik merkezi ie çerek veter oktsı olup, eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı içi

18 7 M M M [ ] si ( os ( os buluur. Görülüğü gibi eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısı sbit bir flp pozisou içi flp çısıl ortılı olrk buru şğı öe rtmktır. Örek. eter bouu % si orı flp bou ship ol bir profili eree flp çısıki performsıı hesplıız Çözüm: çısl koorit ( os os. içi os si os Tşım ktsısı (. 6 [ ] etrfı uuslm ( os M M M (. etrfı uuslm si ( os. (. 6 M M.6 /.75 içi. 66. M UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

19 Örek Sorulr İe profil klşımı pıl kbuller elerir? İe bir profil mtemtiksel olrk sıl moelleir? b Sıkıştırılmz iki boutlu potsiel kımlr içi üze sıır şrtıı zrk ie profiller içi klşık sıır şrtıı çıkrtıız. Bu sıır şrtıı kullrk ie bir profili kmburluk eğrisi ile ük ğılımıı birbirie bğl itegro-ifersiel eklemi çıkrtıız. eter bou girp ğılımı γ ( şeklie veriliğie ie bir profile etkie tşım kuvveti ve hüum kerı göre uuslm mometii sırsıl şğıki gibi hesplbileeğii gösteriiz. ρ γ (, M ρ γ ( İe bir profili kmburluk eğrisii geometrisi, serbest kım şrtlrı ve veter bou girp ğılımı rsı γ ( şeklie bir itegro-ifersiel eklem zmk mümküür. İe profili veter bou ük ğılımı ( os eğişke öüşümü ile geçile bir çısl koorit sistemie os γ ( si ( şeklieki bir ourier serisi ile tımlığı tktire bu serii ktsılrıı kmburluk eğrisii eğimi isie, k os(,,,,... k k şeklie hesplbileeğii gösteriiz. Not : Gluert itegrlleri içi şğıki bğıtı verilmiştir. ( si ( os G os os İe bir profili veteri bou girp ğılımı ( / ( os eğişke öüşümü ile tıml bir çısl koorit sistemie os γ ( si ( şeklieki bir ourier serisi ile tımlığı tktire profile etkie tşım ktsısı ve hüum kerı göre uuslm ktsısıı UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı

20 9 l M şeklie hesplbileeğii gösteriiz. 5 İe bir profili veteri bou girp ğılımı bir ourier serisi ile tımlığı tktire profile etkie tşım ktsısı ve hüum kerı göre uuslm ktsısıı ourier ktsılrı isie sırsıl l M şeklie hesplbileeği bilimekteir. Bu göre: eter bou herhgi bir oktki uuslm ktsısıı hesbı içi bir formül zıız. b Bsıç merkezii erii ourier ktsılrı isie vere bir formül çıkrtıız. eroimik merkezi erii buluuz. eroimik merkez etrfıki uuslm ktsısıı ourier ktsılrı isie vere bir formül buluuz. 6- Mksimum kmburluğu e ol öle bir kübik kmburluk eğrisi buluuz ki, bsıç merkezi çerek veter oktsı bulusu ve tşım ile er eğiştirmesi. Bu profili eroimik krkteristiklerii hesplıız. şeklie verilmiştir. Profili kmburluk orı. oluğu göre hüum çısıki tşım ktsısıı ve çerek veter oktsı göre uuslm mometi ktsısıı hesplıız. 7- Ie bir profili kmburluk eğrisi k ( (, ( /, / - Ie bir profili kmburluk eğrisi h (, ( /, / şeklie verilmiştir. hüum çısıki girp ğılımıı buluuz. Sıfır tşım hüum çısıı -h oluğuu gösteriiz. Bu hüum çısıki girp ğılımıı, hüum çısı etkisii ve kmburluk etkisii ırrk çiziiz. Bu profili tşım eğrisii oğru prçsı şeklieki profille krşılştırıız. şeklieki bir litik ife ile verile bir ie profili eroimik krkteristiklerii hesplıız. 9- Kmburluk eğrisi h ( ( λ, ( /, / - Kmburluk eğrisi şeklie verile bir ie profili, 5 ve hüum çılrıki tşım ve uuslm ktsılrıı ve bsıç merkezii veter bou koumuu hesplıız. UK 5 eroimik 6-7 Güz Yrıılı Ders Notlrı