Arzu Erdem. Kaynaklar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Arzu Erdem. Kaynaklar"

Transkript

1 Olasılık ve İstatistik Ders Notları Arzu Erdem c 03/04 Güz dönemi Matematik Bölümü notları Kaynaklar Probabilty and Statistic, Morris H. DeGroot, 98. Applied Probabilty and Statistic, Mario Lefebvre, 00. A Modern Introduction to Probability and Statistics, Frederik Michel Dekking, Cornelis Kraaikamp, Hendrik Paul Lopuhaä, Ludolf Erwin Meester, 005. A course in Probability and Statistics, Charles J. Stone, 99. INTRODUCTION TO PROBABILITY AND STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS, Sheldon M. Ross, 004. Probability & Statistics for Engineers & Scientists, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, 0. Theory and Problems of Probability and Statistics, Murray R. Spiegel, 998. Teori ve Problemlerle Olasılık, Seymour Lipschutz, Schaum Serisi, gmail.com ; December 3, 04

2

3

4 Contents List of Figures List of Tables v vii Chapter. Olasılık 0Olasılığın Tarihi Olasılığa Giriş Sayma Yöntemleri 4 3Olasılık Aksiyomları 4Koşullu Olasılık 5Bağımsız Olaylar (Independent Events) 8 Rasgele Değişkenler (Random Variables) 3 7Birleşik Olasılık Dağılımı (Joint Probability Distributions) 44 8Rasgele değişkenlerinin beklenen değeri (Mathematical Expextation of random variable) 4 9Rasgele değişkenlerinin varyansı ve kovaryansı (Variance and Covariance of Random Variables) 7 0 Rasgele değişkenlerinin lineer kombinasyonlarının varyansı ve ortalaması (Means and Variances of Linear Combination Moment ve Moment üreten fonksiyonlar (Moments and Moment-Generating Functions) 94 Chebysev Eşitsizliği ve Büyük Sayılar Yasası (CHEBYSHEV S INEQUALITY AND THE LAW OF LARGE NUMBE 3 Önemli Kesikli Dağılım Fonksiyonları 0 3. Binom Dağılımı (Binomial Distributions) 0 3. Hipergeometrik Dağılım (Hypergeometric Distribution) Poisson Dağılımı (Poisson Distribution) 08 4 Önemli Sürekli Dağılım Fonksiyonları 0 4. Düzgün Sürekli Dağılım (Continuous Uniform Distribution) 0 4. Normal Dağılım (Normal Distribution) Chapter. İstatistik Giriş - Örneklem Teorisi (Sampling Theory) Veri Düzenlemesi ve Analizi. Giriş ve Önbilgiler. Veri Düzenlemesi 7.3 Frenkans (Sıklık) Dağılımı 8 iii

5 iv CONTENTS 3Grafiksel Gösterimler 3 3. Çizgisel Grafik 3 3. Dairesel Grafik Poligon (Frekans Çokgeni) Eklemeli Frekans Çokgeni 33 4Merkezsel Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama Medyan (Orta değer Ortanca) Mod (Tepe Değer) Aritmetik Ortalama, Orta Değer ve Mod un özellikleri Aritmetik Ortalama Orta Değer Mod Geometrik Ortalama 4 4. Harmonik Ortalama 43 5Dağılım Ölçüleri Çarpıklık Ölçütü Sivrilik (basıklık ) ölçütü 50 Örnekleme Dağılımları ve Tahmin Etme 50 7Örneklem Ortlaması ve Varyansın Bazı Özellikleri 5

6 List of Figures. Denklemin grafiği 7 4.(a)Normal dağılım eğrisi, µ 50,σ 5, (b) σ σ,µ < µ olduğunda normal dağılım eğrisi 4.(a)µ µ,σ < σ olduğunda normal dağılım eğrisi, (b) µ < µ,σ < σ olduğunda normal dağılım eğrisi 4.3P (x < X < x ) 3 4.4Normal Dagilim Tablosu 9. Rasgele sayılar tablosu 4 v

7

8 List of Tables vii

9 Chapter Olasılık 0 Olasılığın Tarihi Belirsizliklervedeğişimkavramıinsalıktarihikadareskidir. İnsanoğluherzaman, havadurumundakibelisziliklerle, yiycek ihtiyaçlarının belirsizliğilerle veya diğer çevresel faktörlerdeki belirsiliklerle ilgilenmiş ve burdaki belirsizilikleri ve onların etkilerini indirgemek için uğraşmıştır. Kumar oyunları da bu belirsizliğe dahil olmaktadır. M.Ö yılında kemikler ile oynanan oyunlar varken, M.Ö. 00 yılarında Mısırda zar oyunları bulunmuştur. Zar ile oynanan kumar oyunları çok populer olmasının yanı sıra olasılık teorisinin gelişmesinde de önemli bir rol oynamaktadır. Genel anlamda olasılık teorisi, Fransız matematikçiler Blaise Pascal (3-) ve Pierre Fermat (0-5) tarafından ortaya çıkmıştır ve zar ile oynanan kumar oyunlarındaki olasılılk teorisini inşa etmişlerdir. Onların çözdüğü problemlerin geçerliliği 300 yıl kadar olsa da, zar kombinasyonlarının nümeriksel olasılıkları ilk defa Girolamo Cardano (50-57) ile Gelileo Galilei (54-4) tarafından verilmiştir. O zamandan bu yana oldukça hızlı bir gelişme göstermiş olup mühendislik, fen bilimleri ve sosyal bilimler alanlarında çok fazla uygulaması vardır. Olasılığa Giriş Tanım.. Sonuçları kesin olarak bilinemeyen yöntemlere deney denir. Örnek.. Bir deneyde, gözlemci, 0 kez sırayla atılan bir paranın en az 4 kez yazı gelmesini isteyebilir. Bir deneyde, 90 gün boyunca hava sıcaklığı ortalama olarak belirtilen bir sıcaklığın üztünde olması istenebilir. Bilimsel bir projede, projenin sonuçlarının beliritilen bir zamanda başarı olasılığının hesaplanması istenebilir. Tanım.3. Rastgele bir deneyin, olası tüm sonuçlarını içeren kümeye örneklem uzayı (sample space) denir ve S ile gösterilir. Örneklem uzayındaki herbir elemena örneklem noktası veya örnek (sample) denir. Örnek.4. Bir zarın atılmasını düşünelim. Zarın üztündeki rakamlar ile ilgileniyorsak örneklem uzayını S {,, 3, 4, 5, } olarak verebiliriz. Ancak sayıların tek veya çift gelmesi ile ilgileniyorsak örneklem uzayını S {tek,çif t} olarak yazarız. Ancak görüldüğü üzere. yazdığımız örenklem uzayı elemanların belirlenmesinde bize çok kesin bilgi verememektedir.

10 . OLASILIK Örnek.5. Bir başka deneyde, bir para atılıyor. Eğer para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliyorsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda örneklem uzayını aşağıdaki gibi verebiliriz. S {YY,YT,T,T,T3,T4,T5,T}. Örnek.. Diğer bir deney için, bir fabrikada üretilen ürünlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanları da N (nondefective) ile gösterelim. Bu ürünlerden 3 adet seçileceğine göre örneklem uzayını aşağıdaki gibi Örnek.7. Bir deneyde, popülasyonu mülyonun üztünde şehirler istenebilir ki bu durumda örneklem uzayını S {x : x, milyon nüfusu aşan bir şehir} Tanım.8. Bir örneklem uzayının alt kümelerine olay denir. Örnek.9. Yolda rastgele karşılaştığımız birinin hangi ayda doğduğunu merak ediyorsak, bu deneyin örneklem uzayı S {Ocak,Subat,Mart,Nisan,Mayıs,Haziran,Temmuz,Ağustos,Eylül,Ekim,Kasım,Aralık} dır. Bu deneyde, kişinin uzun ayda (3 günlük aylardan) doğma ihtimalini belirten olay

11 . OLASILIĞA GIRIŞ 3 L {Ocak,Mart,Mayıs,Temmuz,Ağustos,Ekim,Aralık}. Veya başka bir olay olarak, içinde i harfi olan aylardan birinde doğma ihtimali olarak belirtirsek, I {N isan, Haziran, Ekim}. Tanım.0. Bir olayın gerçekleşmemesi durumuna olanaksız (impossible) denir ve ile gösterilir. S örenklem uzayın kendisine de kesin (certain) olay denir. Örnek.. B {x : x,7 nin çift bölenleri} olayı imkansızdır yani B. Tanım.. S örneklem uzayında bir A olayının gerçekleşmediği kümeye Anın tümleyeni (complement) denir ve A ile gösterilir. A {x S : x / A}. Örnek.3. Bir zar atma deneyinde, asal sayıların geldiği olay A {, 3, 5} olmak üzere asal sayıların gelmediği olay A {,4,}. Tanım.4. A ve B olaylarında hem Anın hemde Bnin gereçekleştiği olaya A ve Bnin arakesiti (intersection) denir ve A B {x S : x A ve x B}. Örnek.5. E olayı bir sınavda mühendisliği seçen insanları göstermek üzere, F olayıda sınavda tercihte bulunan bayanları göstermek üzere sınavda bayan ve mühendisliği seçen kişileri E F ile gösteririz. Tanım.. A ve B olayları kesikli ise yani A B ise A ve B olayları birbirinin dışındadır denir. Örnek.7. Üç kez peşpeşe zar atma deneyinde, A olayını.de yazı gelmesi, B olayını da hiç yazı gelmemesi olarak belirtirsek:a {YYY,YYT,TYY,TYT},B {TTT} olma üzere A B olduğundan A ve B olayları birbirinin dışındadır. Tanım.8. A ve B olaylarında Anın veya Bnin gereçekleştiği olaya A ve Bnin birleşimi (union) denir ve A B {x S : x A veya x B}. Örnek.9. Bir zar atma deneyinde, asal sayıların geldiği olay A {,3,5} olmak üzere çift sayıların geldiği olay B {,4,} olmak üzere çift veya asal sayıların gelmesi olayı A B {,3,4,5,} Örnek.0. A, B, C olaylarının diyargaramını aşağıdaki gibi verebiliriz. A B AB C ABC A BC AB C ABC A BC A B C C A B C

12 4. OLASILIK Alıştırmalar () Aşağıdaki olaylardan hangileri eşittir? (i)a {,3} (ii)b {x : x,zarın üstündeki rakamlar} (iii)c {x : x 4x+3 0} () adet zarın atılmasındaki örneklem uzayını veriniz. (i) A {x : x,zarların sayılarının toplamı 8 den büyük ve eşit} (ii)b {x : x,zarlardan en az birinde gelmesi} (iii)c {x : x,zarların sayıları 4 ten büyük ve eşit} (iv) V enn şeması ile bu olayları gösteriniz. (3) Bir deneyde önce bir zar atılıyor. Zarın üstündeki rakam çift olduğunda kez para atılıyor, tek olduğunda ise para kez atılıyor. Buna göre örneklem uzayını yazınız. (i) A {Zarın üstündeki rakamlar 3 ten küçük ve eşit} (ii)b {Paranın kez atılması} (iii)a karşılık gelen olay (iv) A B olayı (v) A B olayı (4) 3 nehir sularından alınan örneklerde, nehirde balık avlanan durumları E ile avlanamayan durumları H ile gösterilecektir. Buna göre örneklem uzayı belirtiniz. (i)a {en az nehirde balık avlanabilir} (ii){eee, HEE, EEH, HEH} olayını sözlü olarak ifade ediniz. (. nehirin avlanabilir olduğu durum) (5) Bkz: D:\Work\lectures\03 04\probabilty&statistic\literaturs\Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th Edition) - Walpole.pdf (page 43) Sayma Yöntemleri Pek çok durumda bir olayın olasılığını hesaplamak için örneklem uzayını listelemeye gerek duymayız. Bunun temel ilkesi çarpım kuralı diye adlandırılır. (multiplication rule) Kural (). Eğer bir etkinlik n yol ile,. bir etkinlik ise n yol ile hazırlanıyorsa toplamda bu etkinliğin hazırlanması n.n kadar olur. Örnek.. adet zarın atılmasında örneklem uzayında toplam olarak kaç adet örnek vardır. Çözüm:. zarın atılması n çeşit yolla yapılırken.zarın atılması da n yolla gerçekleşmektedir. Buna göre adet zar toplam olarak n.n 3 yolla gerçekleşir. Örnek.. üyesi olan bir klüp, bir başkan bir de veznedar seçimi yapacaktır. Kaç farklı yollu seçim gerçekleşir.

13 . SAYMA YÖNTEMLERI 5 Çözüm: kişiden başkan seçilmesi n çeşit yolla yapılırken, başkan seçilminden sonra geriye kalan kişinin veznedar seçimi n yolla gerçekleşmektedir. Buna göre bir başkan bir de veznedar seçimi toplam olarak n.n 4 yolla gerçekleşir. Kural (). (Genelleşmiş çarpma kuralı) Eğer bir etkinlik n yol ile,. bir etkinlik ise n yol ile, 3. bir etkinlik ise n k yol ile ve bu şekilde devam ederek k. bir etkinlik n k yol ile hazırlanıyorsa toplamda bu etkinliğin hazırlanması n.n.n 3...n k kadar olur. Örnek.3. Bir sürücü kartında farklı harf ve birincisi 0 olmayan 3 rakamdan oluşmaktadır. Buna göre kaç farklı şekilde bir kart belirlemesi gerçekleşir. Çözüm: 9 harften harfin seçilmesi n 9 çeşit yolla yapılırken, bir harfin seçilminden sonra geriye kalan 8 harfin seçimi n 8 yolla gerçekleşmektedir.. rakamın 0 olmaması 3. seçimin n 3 9, diğer rakamın seçimleri ise n 4 0,n 5 0 şekilde gerçekleşir. Buna göre farklı harf ve birincisi 0 olmayan 3 rakamdan oluşan sürücü kartının seçimi toplam olarak n.n.n 3.n 4.n yolla gerçekleşir. Örnek.4. Sedat bilgisayar parçalarını kendisi toplayarak bir bilgsisayar almayı düşünmektedir.mikrodevre seçimini farklı markadan, hard drive seçimini 4 farklı markadan, aksesuarları ise 5 farklı markadan seçebilir. Buna göre Sedat kaç farklı şekilde bir bilgisayar belirler. Çözüm: Mikrodevre seçimi n çeşit yolla yapılırken, hard drive seçimi n 4 yolla, aksesuar seçimi ise n 3 9 şekilde gerçekleşir. Buna göre Sedat n.n.n yolla bir bilgisayar belirler. Örnek.5. {0,,, 5,, 9} rakamları kullanılarak 4 basamaklı çift sayı kaç farklı yolla oluşturulur. Çözüm: Sayıyı abcd olara gösterelim. d rakamı, sayı çift olacağından dolayı {0,, } sayılarından biri olmalıdır. Ancak 0 rakamı a da kullanılamayacağından d nin 0 olması veya olmaması durumlarını farklı yolla incelemeliyiz..yol: d 0 n 4 a : 5 farklı sayı olabilir n 5 b : 4 farklı sayı olabilir n 4 c : 3 farklı sayı olabilir n 3 3 Buna göre saymanın temel ilkesine göre n.n.n 3.n yol: d {,} n 4 a {,,5,9} 4 farklı sayı olabilir n 4 b : 4 farklı sayı olabilir n 4 c : 3 farklı sayı olabilir n 3 3

14 . OLASILIK Buna göre saymanın temel ilkesine göre n.n.n 3.n Buna göre toplamda farklı yolla 4 basamaklı çift sayı oluşturulur. Tanım.. Negatif olmayan n sayısı için n! gösterimine n faktoriyel denir. 0!,n! n.(n ).(n ) Tanım.7. n elemanın birbirinden farklı düzenlenmesine permütasyon denir. Örnek.8. a,b,c harflerinden oluşan 3 farklı kombinasyon abc,acb,bac,bca,cab,cba olmak üzere farklı şekildedir. Veya kısaca 3! olarak hesaplanır. Tanım.9. n elemandan r tane alınarak yapılan permütasyonu olarak tanımlarız. P n,r n! (n r)! Örnek.0. a,b,c,d harfleri kullanılarak harfli kombinasyonlar ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc olmak üzere şekildedir. Veya saymanın ilkesine göre n n 4 3 veya permütasyon kullanılarak P 4, 4! (4 )! Örnek.. Matematik bölümünde, 5 kişilik bir sınıfta, araştırma, öğrenim ve geliştirme adlarında 3 adet farklı ödül verilmektedir. Her bir öğrenci en fazla ödül alabildiğine göre, kaç olası seçim gerçekleşir? Çözüm: Ödüller birbirinden bağımsız olduğundan, permütasyon problemidir: P 5,3 5! (5 3)! Örnek.. 50 kişilik bir öğrenci klübünde bir başkan ve birde basın sorumlusu seçilecektir. (i) Hiç bir kısırlama olmadan, (ii) Atakan başkan seçilirse, seçimde oy kullanacaktır, (iii) Sercan ve Ece birlikte seçilmesi veya seçilmemesi durumunda (iv) Eslem veya Kubilayın birlite seçilmemesi durumunda kaç farklı seçim gerçekleşir? Çözüm: (i) P 50, 50! (50 )! (ii) Atakan başkan seçilirse, geriye 49 kişi kalmakatadır. Böylece 49 farklı olasılık vardır. Atakan başkan seçilmezse oy kullanmayacağından geriye 49 kişi kalmkatadır. Ve bu 49 kişiden adet kişi P 49, 49! 47! 35

15 . SAYMA YÖNTEMLERI 7 farklı yolla seçilir. (iii) Sercan ve Ece birlikte seçilmesi durumu şekildedir. Seçilmemesi durumunda ise seçim farklı şekilde yapılır. P 48, 48! 4! 5 (iv).y ol : Eslem başkan olduğunda, basından sorumlu aday seçimi Kubilay hariç 48 farklı yolla yapılır. Benzer şekilde Eslem basın sorumlusu olduğunda, başkanlık aday seçimi Kubilay hariç 48 farklı yolla yapılır. Buna göre Eslemin aday olması ve Kubilayın aday olmaması durumu 48 9 farklı şekilde ifade edilirken aynı yolla Kubilayın aday olması ve Eslemin aday olmaması da 48 9 farklı şekilde ifade edilir. Bununla birlikte ikisinin birlikte aday olmaması durumunda kalan 48 kişiden adaylık seçimleri P 48, 48! 4! 5 farklı şekilde yapılır. Buna göre toplamda farklı seçimle yapılır..yol : Eslem ve :Kubilayın seçilmesi durumu türlüdür. (Eslem:başkan, Kubilay:basın sorumlusu veya Eslem:basın sorumlusu, Kubilay:başkan). Toplam seçim türde olur. Teorem.3. n elemanın dairesel olarak birbirinden farklı düzenlenmesi (n )! şekilde olur. Îspat: A,B,C,D objelerinin yuvarlak bir masada aşağıdaki gibi sıralandığını söyleyebiliriz. Figure.. Denklemin grafiği fakat her bir objenin birbirine göre göreceli pozisyonları aynıdır! Böylece n elemanın, n şekilde pozisyonu ayarlanabilir. K permütasyonu gösteremek üzere, n farklı objenin dairesel olarak permütasyonunu K.n n! olarak verebiliriz. Buna göre K n! n (n )! Örnek.4. 5 çocuk, yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturur. Çözüm: Dairesel permütasyona göre (5 )! 4 farklı şekilde. Örnek.5. 3 Amerikalı, 4 Fransız, 4 Danimarkalı ve İtalyan aynı uyruklular yan yana gelmemek koşulu ile yuvaralak bir masa etrafında kaç türlü oturabilir.

16 8. OLASILIK Çözüm: 4 farklı uyruk yuvarlak masa etrafında (4 )! farklı şekilde sıralanırken, 3 Amerikalı 3! biçimde, 4Fransız4!biçimde, 4Danimarkalı4!biçimdeveİtalyan!biçimdesıralanırlar. Bunagöreçarpmanın temel ilkesine göre 3! 4! 4!! 447 şekilde farklu düzen oluşur. Teorem.. n benzer, n benzer,...,n k benzer nesneleri olan n toplam nesnenin permütasyonu olarak hesaplanır. n! n!n!...n k! Îspat: n benzer nesnenin permütasyonu n!,n benzer nesnenin permütasyonu n!,...,n k benzer nesnenin permütasyonu n k! olarak hesaplanırken n nesnenin permütasyonu ise n! olarak verilir. O halde sonuç permitasyonunu x ile gösterirsek: n!n!...n k!x n! x n! n!n!...n k! Örnek.7. DADDY harflerinden yararlanarak 5 harfli kaç türlü kelime türetilir? Çözüm: 3 adet D harfi olduğundan D harfleri tekrarlanacaktır. Bu durumda permütasyon şekilde kelime oluşturulabilir. 5! 3! 0 Örnek.8. 8 farklı kitabı öğrenci kendi arasında şu şekilde paylaştırıyor. öğrenci, herbirine 4 er kitap alıcak şekilde seçerken geri kalan 4 öğrenci herbirine 5 er kitap seçmektedir. Buna göre bu 8 kitap kaç farklı yolda dağıtılır? Çözüm:. ve. öğrenci için 4!, 3., 4., 5. öğrenciler için ise 5! farklı yolla kitap dağıtılabilirken toplamda değişik yolla kitap dağıtılabilir. 8! 4! 4! 5! 5! 5! Örnek.9. Bir futbol takımında, teknik direktörün 0 oyuncuya istiyacı bulunmaktadır. Bunlardan i.sınıftan, si.sınıftan, 4 ü 3.sınıftan, 3 ü de 4.sınıftan seçilecektir. Kaç farklı şekilde 0 oyuncu seçilebilir? Çözüm: farklı yolda 0 oyuncu seçilebilir. 0!!! 4! 3! 00 Örnek.0. 7 yüksek lisans öğrencisi, konferans boyunca üç kişilik odada ve adet çift kişilik odalarda kaç farklı şekilde kalabilir? Çözüm: 7 yüksek lisans öğrencisi farklı şekilde kalabilir 7! 3!!! 0

17 . SAYMA YÖNTEMLERI 9 Örnek.. Bir bridge masasında 5 kart 4 masaya eşit olarak kaç farklı durumda dağıtılır? Çözüm: Her bir masaya 3 kart düşmektedir. Buna göre yinelemeli permütasyonu olarak hesaplarız. 5! 3! 3! 3! 3! Tanım.. Birbirinden farklı n elemanın, r tanesi alınarak sıra gözetmeksizin yapılan seçimine kombinasyon denir ve C n,r n r ile gösterilir.örneğin pokerde elinizde A (karo as),5 (kupa 5),7 (sinek 7),0 (maca 0),K (papaz maca) olması ile 5 (kupa 5),0 (maca 0),7 (sinek 7),K (papaz maca),a (karo as) olması aynı anlama gelir. Örnek.3. a,b,c,d 4 harften 3 ü alınarak elde edilen permütasyonlar P 4,3 4! (4 3)! 4 adettir ve sırasıyla şöyledir: {abc,acb,bac,bca,cab,cba,abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca,bcd,bdc,cbd,cd Halbuki bunlardan {abc, acb, bac, bca, cab, cba} a,b,c elemanlarının farklı sıralanmasıyla, {abd, adb, bad, bda, dab, dba} a,b,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla, {acd, adc, cad, cda, dac, dca}, a,c,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla, {bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcd} ise b,c,d elemanlarının farklı sıralanmasıyla elde edilmiştir. Kombinasyon ise bunların eşit olduğu ve bunlardan birnin alınmasının yeterli olduğu düşünülmelidir. Buna göre 4 harften 3 lü kombinasyonların kümesini {abc, abd, acd, bcd} olarak düşünebiliriz. Kombinasyonlar Permütasyonlar abc abd acd abc,acb,bac,bca,cab,cba abd,adb,bad,bda,dab,dba acd,adc,cad,cda,dac,dca bcd bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcd Buna göre kombinasyonu C 4,3 3! P 4,3.olarak da verebiliriz. Teorem.4. C n,r P n,r r! n! (n r)!r! Îspat: n elemanlı S örneklem uzayında r farklı adet seçimi C n,r kombinasyonu ile yapılır. Seçilen bu elemanların sıralaması ise r! biçimde gereçekleşir. Buna göre r!c n,r çarpımı, n elamanın r adet seçimine yani P n,r ye eşittir. P n,r r!c n,r C n,r P n,r r! C n,r n! (n r)! r! n! (n r)!r! Örnek.5. Bir komitede, 9 kişilik bir gruptan 5 kişi kaç değişik yolla seçilir? Çözüm: C 9,5 9! 4! 5!

18 0. OLASILIK Örnek.. 3 erkek ve kızı içeren bir kuruk, 7 erkek ve 5 kız arasından kaç türlü seçilebilir? Çözüm: C 7,5 C 5, 7!! 5! 5! 3!! 0 Örnek.7. Bir okulda öğrenci birliği için her sene 4 üye seçiliyor. (i) öğrenci arasından birliğe kaç türlü öğrenci seçilebilir. (ii) Uygun öğrencilerden si birlikte seçilmediği takdirde kaç türlü üye seçilebilir. Çözüm: (i) C,4! 8! 4! 495 (ii).yol: öğrenciden birine A, diğerine B diyelim. A ve B nin seçime katılmadığı durumda 0 öğrenciden 4 seçim yapılacak demektir: C 0,4 0!! 4! 0 A nı seçildiği B ninde seçime katılmadığı durumda 0 kişiden 3 kişi seçim yapılacaktır: C 0,3 0! 7! 3! 0 Benzer şekilde B nı seçildiği A ninde seçime katılmadığı durumda 0 kişiden 3 kişi seçim yapılacaktır: C 0,3 0! 7! 3! 0 Toplamda farklı yolla seçim yapılır. (ii).yol : öğrenciden 4 kişilik seçim 495 türlü yapılabilirken. Hem A nın hemde B nin seçildği durumda C 0, 0! 8!! 45 türlü gerçekleşir. Buna göre A veya B nin aynı anda seçilmediği durum dir. Örnek.8. Bir öğrenci sınavda 0 sorudan 8 ini yanıtlayacaktır. (i) Kaç türlü seçeneği vardır. (ii) ilk 3 soruyu yanıtlama koşulu ile kaç türlü seçeneği gerçekleşir? (iii) ilk 5 sorudan en az 4 ünü yanıtlama koşulu ile kaç türlü seçeneği vardır? Çözüm: (i) C 0,8 0!! 8! 45 (ii) Eğer ilk 3 soruya yanıt vermişse geriye kalan 7 sorudan 5 soruyu cevaplamalıdır: C 7,5 7!! 5! (iii) İlk 5 sorudan 4 ünü yanıtlarsa bu soruları yanıtlama türü C 5,4 5!! 4! 5

19 . SAYMA YÖNTEMLERI şekildedir. Geriye kalan 5 sorudan da 4 ünü yine C 5,4 5!! 4! 5 farklı yolla yapar böylece yolla seçimini yapabilir. Diğer yandan en az 4 dediği için ilk 5 sorudan 5 ini cevaplayabilir. Geriye kalan 5 sorudan 3 ünü cevaplaması ise C 5,3 5!! 3! 0 şekilde gerçekleşir. Buna göre toplamda seçenekte soruları cevaplayabilir. Örnek.9. Bir öğretmen öğrenci arasından en az öğrenciyi kaç biçimde seçebilir? Çözüm:.yol: öğrenciden i öğrenci, C,! 5!! şekilde seçilir. öğrenciden i öğrenci, C,! 4!! 5 şekilde seçilir. öğrenciden 3 i öğrenci, C,3! 3! 3! 0 şekilde seçilir. öğrenciden 4 i öğrenci, C,4!! 4! 5 şekilde seçilir. öğrenciden 5 i öğrenci, C,5!! 5! şekilde seçilir. öğrenciden i öğrenci, C,! 0!! şekilde seçilir. Buna göre toplamda şekilde seçilir..yol: öğrencinin içeren kümenin toplam 4 alt kümesi vardır. Buna göre hiç seçilmemesi yani seçenği adet olduğundan 4 3 adet seçim yapılır. Lemma.30. Her r n için n r + n r n+ r Îspat: n r + n r n! (n r)!r! + n! (n r+)!(r )! n!(n r+)!(r )!+n!(n r)!r! (n r)!r!(n r+)!(r )! n!(n r)!(r )![(n r+)+r] (n r)!r!(n r+)!(r )! n![(n r+)+r] r!(n r+)! n![n+] r!(n r+)! (n+)! r!(n+ r)! (n+)! r!(n r+)! n+ r Teorem.3. (Binom Teoremi) n N,x,a R için (x+a) n n n a n k x k k k0

20 . OLASILIK Îspat: Tümevarım yöntemi ile ispatlayalım. Öncelikle n 0 ve n için doğruluğunu gösterelim: (i) n 0 olsun. 0 n k k0 (x+a) 0 a n k x k 0 0 k0 a 0 x 0 0! 0! 0! n (x+a) n n a n k x k,n 0 k (ii) n olsun. n k k0 (x+a) a n k x k x+a a x 0 + a 0 x 0!! a+! 0! 0!! x a+x n (x+a) n n a n k x k,n k k0 (iii) keyfi n için sağlansın. (n + ) içinde doğruluğunu göstermeliyiz. (x+a) n+ (x+a) n (x+a) n n a n k x k (x+a) k0 k n n n a n k x k+ + n k k k0 k0 a n k+ x k n k0 n k a n k x k+ ifadesinde k yerine k yazarsak (x+a) n+ n+ n n a n k+ x k + n a n k+ x k k 0 k k0 k n+ n n a n k+ x k + n a n k+ x k k k k0 k n n a 0 x n+ + n a n k+ x k + n n a n+ x 0 + n a n k+ x k n k k 0 k k n+ n a 0 x n+ + n + n a n k+ x k + n+ a n+ x 0 n+ k k 0 k

21 . SAYMA YÖNTEMLERI 3 Yukarıdaki lemmayı kullanırsak (x+a) n+ n+ n a 0 x n+ + n+ n+ k k n+ n+ a n k+ x k k k0 a n k+ x k + n+ 0 a n+ x 0 Böylece n+ içinde sağlanmış olur. Sonuç.3. n N,a,a,...,a k R için (a +a + +a k ) n n +n + +n k n n! n! n!... n k! an an...an k k Örnek.33. (x y) 4 ifadesinin açılımı nedir? Çözüm: (x y) 4 (x+( y)) (x) (x) 3 ( y)+ 4 (x) ( y) (x)( y) ( y) 4 x 4 3x 3 y +4x y 8xy 3 +y 4 Örnek.34. (x 3y) ifadesinin açılımıdaki x 3 y 3 teriminin katsayısı nedir? Çözüm: x 3 y 3 teriminin katsayısı k 3 durumudur. 3 (x) 3 ( 3y) 3! 3! 3! 8x3 ( 7)y 3 430x 3 y 3 Alıştırma.35. n N, için n n +n olduğunu gösteriniz.

22 4. OLASILIK Çözüm: n (n)! (n )!! (n)(n )! n n n(n )+n n(n ) +n! n +n Alıştırma.3. n N, için n 3 n 3 +n n olduğunu gösteriniz. Çözüm: n 3 +n n n(n )(n ) 3! +n n(n )! 4 3 n3 n + 3 n n( n 3n+ ) n(n )(n ) 3 n(n )(n ) 3! n 3 3 Alıştırma.37. n,r,k N, için n r r k n k n k r k olduğunu gösteriniz.

23 . SAYMA YÖNTEMLERI 5 Çözüm: n r r k n! r! (n r)!r!(r k)!k! n! (n k)! (n r)!(n k)!(r k)!k! n! (n k)! (n k)!k!(n r)!(r k)! n n k k r k Alıştırma.38. n,k N, için n k n k + n k olduğunu gösteriniz. Çözüm: n k + n k (n )! (n k)!(k )! + (n )! (n k)!k! (n )! (n k)(n k )!(k )! + (n )! (n k)!k(k )! [ (n )! (n k )!(k )! n k + ] k [ ] (n )! n (n k )!(k )! (n k)k n! (n k)!k! n k Alıştırma.39. n,k N, için olduğunu gösteriniz. n n k k0 n Çözüm: Binom teoreminden (x+a) n n n a n k x k k k0

24 . OLASILIK olduğuna göre x a olarak alırsak elde ederiz. n n n k k0 Alıştırma.40. Binom teorimini kullanarak 3 n ifadesini nin kuvvetleri cinsinden yazınız. Çözüm: 3 n (+) n k0 n n k k0 n n k k n k k 3 Olasılık Aksiyomları Tanım 3.. Olasılık rastlantı veya kesin olmayan olaylarla uğraşır. Bir zar atma deneyinde zarın yere düşeceği kesindir ancak zarın yüzeyinde görünen rakamın gelmesi kesin değildir. Olasılığı aslında bir fonksiyon gibi tanımlayabiliriz. S örneklem uzayı ve A S örneklem uzayında bir olay olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan P : A [0,] fonksiyonuna A olayının olasılığı denir, P (A) ile gösterilir ve P (A) n(a) n(s) Burada n(a) A da gerçekleşen olayların sayısı, n(s) S de gerçekleşen olayların sayısı (i) A olayı için 0 P (A) (ii) P (S) (iii) Eğer A ve B kesikli olaylar ise (A B ) P (A B) P (A)+P (B) ile tanımlanır.. (iv) Eğer A,A,A 3,... kesikli olaylar ise ( i A i ) P (A A A 3...) P (A )+P (A )+ Örnek 3.. Bir zar para iki kez atılıyor. En az bir yazı gelme olasılığı nedir? Çözüm: S {YY,YT,TY,TT},A {YY,YT,TY} olmak üzere P (A) % Örnek 3.3. Bir zar atma deneyinde çift rakamların gelme olasılığı, tek rakamlarınkinin katıdır olarak tanımlarsak 4 ten düşük rakamların gelem olasılığı nedir? Çözüm: S {,,3,4,5,} olmak üzere olasılığı x ile gösterelim. Buna göre tek rakamlar {,3,5} in toplam olasılığı 3x iken çift rakamların {,4,} olasılığı 3 x x dir. Toplam olasılık olması gerektiğine göre 9x x 9 A {,,3} ve3 gelme olasılıkları 9 iken gelme olasılığı 9. Olaslığın (iii) kuralına göre P (A) P ({})+P ({})+P ({3})

25 . OLASILIK AKSIYOMLARI 7 Örnek 3.4. Bir zar atma deneyinde, A olayını çift rakamların gelmesi, B olayını da 3 e tam bölünebilen sayıların gelmesi olarak tanımlarsak P (A),P (B) nedir. Çift rakam veya 3 e bölünebilme olasılığı ile çift ve 3 e bölünebilme olasılıkları nedir? Çözüm: S {,,3,4,5,} olmak üzere, A {,4,},B {3,} olmak üzere P (A) 3 50%,P (B) 3 Çift rakam veya 3 e bölünebilme olayı A B {,3,4,}, çift ve 3 e bölünebilme olayı A B {} olmak üzere P (A B) 4,P (A B) Örnek endüstri muhendisi, 0 makine, 0 elektrik ve 8 inşaat mühendisliği öğrencilerinin bulunduğu istatistik sınıfında rastgele endüstri muhendisliğinde birinin seçilmesi olasılığı nedir? Elektrik veya inşaat mühendisliği seçilmesi olasılığı nedir? Çözüm: n(s) 53,E {endüstri müh. öğrencisi} n(e) 5 B {inşşat veya elektirik mühendisliği} n(b) 8 P (E) 5 53 P (B) 8 53 Örnek 3.. Bir poker oyununda 5 karttan sinin as 3 ünün vale gelme olasılığı nedir? Çözüm: 4 renk astan as ı değişik yolla belirleriz. Benzer şekilde 4 valeden 3 ünü yolla seçeriz. 5 karttan 5 ini ise C 4, 4!!! C 4,3 4!! 3! 4 C 5,5 5! 47! 5! farklı yolla seçilir. Buna göre 5 karttan sinin as 3 ünün vale gelmesi çarpma ilkesine göre 4 4 farklı yolla seçilir. C {-as,3 vale} olmak üzere P (C) Önerme 3.7. P (A ) P (A)

26 8. OLASILIK Îspat: S A A ve A A olduğundan olasılığın (ii)&(iii) özelliklerinden P (S) P (A)+P (A ) P (A)+P (A ) P (A ) P (A) Önerme 3.8. P ( ) 0 Îspat: S, yukarıdkai önermeden P (S ) P ( ) P (S) ((ii)den) 0 Önerme 3.9. P (A B) P (A)+P (B) P (A B) Îspat: A B (A B ) (A B) (A B) (A B ) (A B) (A B) (iii) ten P (A B) P (A B )+P (A B)+P (A B) A (A B) (A B ), (3.) (A B) (A B ) P (A) P (A B)+P (A B ) P (A B ) P (A) P (A B) (3.) B (A B) (A B) (A B) (A B) P (B) P (A B)+P (A B) P (A B) P (B) P (A B) (3.3) (3.) - (3.) - (3.3) ten P (A B) P (A B )+P (A B)+P (A B) P (A) P (A B)+P (A B)+P (B) P (A B) P (A)+P (B) P (A B) Önerme 3.0. P (A B C) P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (A C) P (B C) +P (A B C)

27 . OLASILIK AKSIYOMLARI 9 Îspat: D B C olarak yazarsak yukarıdaki önerme den P (A D) P (A)+P (D) P (A D) P (D) P (B C) P (B)+P (C) P (B C) A D A (B C) (A B) (A C) P (A D) P ((A B) (A C)) P (A B)+P (A C) P ((A B) (A C)) P (A B)+P (A C) P (A B C) P (A D) P (A)+P (D) P (A D) P (A)+(P (B)+P (C) P (B C)) (P (A B)+P (A C) P (A B C)) P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (A C) P (B C) +P (A B C) Örnek 3.. Serhat endüstri mühendisliğinden bu dönem sonu mezun olacaktır. Beğendiği şirketle görüştükten sonra, A şirketinden tekrar görüşmeye çağrılma oranını %80, B şirketinden çağrılma oranını ise %0 olarak düşünmektedir. Her iki şirketten görüşmeye çağrılma olsaılığını ise %50 olarak değerlendirmektedir. Buna göre en az bir şirketten çağrılma olasılığı nedir? Çözüm: A {A şirketinden çağrılması} P (A) 0.8 B {B şirketinden çağrılması} P (B) 0. P (A B) 0.5 P (A B) P (A)+P (B) P (A B) Örnek 3.. Peşpeşe atılan bir zarda gelen rakamların toplamının 7 veya gelme olasılığı nedir? Çözüm: n(s) 3, A {rakamlar toplamı 7} {(,),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(,)} n(a) P (A) 3 B {rakamlar toplamı } {(5,),(,5)} n(b) P (B) 3,A B P (A B) Örnek 3.3. Bir kişinin yeşil, beyaz, kırmızı ve mavi araba seçme olasılığı sırasıyla 0.09,0.5,0.,0.3 olduğuna göre, galericinin bu renklerden birinden araba satma olasılığı nedir?

28 0. OLASILIK Îspat: Y {yeşil araba satılması} P (Y) 0.09 B {beyaz araba satılması} P (B) 0.5 K {kırmızı araba satılması} P (K) 0. M {mavi araba satılması} P (M) 0.3 P (Y B K M) P (Y)+P (B)+P (K)+P (M) Örnek 3.4. Bir araba teknisyeninin günde 3,4,5,,7, 8 ve daha fazlası araba tamir etme olasılığı sırasıyla 0.,0.9,0.8,0.4,0.0 ve 0.07 olmak üzere günde en az 5 araba tamir etme olsaılığı nedir? Çözüm: P (3)+P (4) P ({ 5 ten az araba tamir etme}) Örnek i yanmış olan 5 ampülden 3 ü rasgele seçiliyor. (i) Hiçbirinin yanmamış olma (ii) yanlız birinin yanmış olma (iii) en az birinin yanmış olma olasılıklarını bulunuz. Çözüm: (i) 5ampülden 3 ampülc 5,3 5!! 3! 455yollaseçilirken0sağlamampülden 3ünün seçilmesi C 0,3 0! 7! 3! 0 yolla belirlenir. Buna göre P ({ Hiçbirinin yanmamış olması }) (ii) 5 i yanmış olan ampülden ini 5 farklı yolla seçebiliriz. Geriye kalan 0 sağlam ampülden si C 0, 0! 8!! 45 türlü seçilir. Buna göre P ({ yanlız birinin yanmış olması }) (iii) en az birinin yanmış olması tüm olasılıktan hiç yanmamış olmasının çıkarılmasıdır. P ({ en az birinin yanmış olma }) P ({ Hiçbirinin yanmamış olması }) Örnek 3.. R reel sayılar düzelminde a ve b noktaları için b 0,0 a 3 koşulu sağlanmaktadır. Buna göre a ve b arasındaki uzaklığın 3 ten büyük olma olasılığı nedir? Çözüm: a ve b noktalarının sağladığı alanı S ile gösterirsekn(s) alan(s) 3, a b 3 koşulunu sağlayan bölge ise A taralı üçgeni ve x, y noktasında kesişir böylece n(a) alan(a). O halde P ({ a b 3, b 0,0 a 3}) 3

29 . OLASILIK AKSIYOMLARI Örnek 3.7. Bir zar 00 kez atılıyor. Aşağıdaki çizelgede zar sayısının ve her gelen sayının sıklığı gösteriliyor. Buna göre (i) 3 ün gelme (ii) 5 in gelme (iii) çift sayı gelme (iv) asal sayı gelme (v) çift ve asal sayı gelmemesi olasılıklarını bulunuz. SAyı Sıklık (ii) (iii) Çözüm: (i) P ({ 3 ün gelmesi }) P ({ 5 in gelmesi }) (iv) (v) P ({ çift sayı gelmesi }) P ({ ün gelmesi })+P ({ 4 ün gelmesi })+P ({ ün gelmesi }) P ({ asal sayı gelme }) P ({ ün gelmesi })+P ({ 3 ün gelmesi })+P ({ 5 ün gelmesi }) P ({ çift ve asal sayı gelmemesi }) P ({ ün gelmemesi }) P ({ ün gelmesi })

30 . OLASILIK Örnek kişilik bir sınıfta (i) en az kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı (ii) en az bir kişinin seninle aynı doğum gününe sahip olma olasılığı nedir? uzayı için Çözüm: Saymanın temel ilkesine göre 5 kişilik bir sınıftaki kişilerin doğum günlerini olduğu örenklem n(s) } {{ } tane 5 kişinin her birinin farklı günlerde doğma olayını A ile gösterirsek n(a) (35 (5 )) Buna göre en az kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı P (A ) P (A) ! (35 5)! (ii) Sen hariç geri kalan 4 kişinin seninle aynı günde doğmama olayını B ile gösterirsek n(b) } {{ } tane buna göre en az bir kişinin seninle aynı doğum gününe sahip olma olasılığı P (B ) P (B) Koşullu Olasılık Tanım 4.. Bir B olayı, A olayından sonra gerçekleşiyorsa B olayının gerçekleşmesi olasılığına koşullu olasılık denir ve P (B A) ile gösterilir, A dan sonra B nin gerçekleşmesi olasılığı diye adlandırlır ve ile tanımlanır. Buna göre ile de ifade edilir. P (B A) P (B A),P (A) > 0 P (A) P (A B) P (B A)P (A) Örnek 4.. Hileli bir zar atma deneyinde çift rakamların gelme olasılığı, tek rakamlarınkinin katıdır. Rakamların 3 ten büyük geldiği bilindiğine göre gelen sayının karekökü tam sayı olması olasılığı nedir? Çözüm: S {,,3,4,5,} olmak üzere olasılığı x ile gösterelim. Buna göre tek rakamlar {,3,5} in toplam olasılığı 3x iken çift rakamların {,4,} olasılığı 3 x x dir. Toplam olasılık olması gerektiğine göre 9x x 9

31 . KOŞULLU OLASILIK 3 Rakamların 3 ten büyük gelmesi olayı A {4,5,}, P (A) P ({4})+P ({5})+P ({}) sayının karekökü tam sayı olması olayı ise B {4} olmak üzere A B {4} P (A B) P ({4}) 9 P (B A) P (B A) P (A) /9 5/9 5 Önerme 4.3. P (B A) n(b A) n(a) Îspat: P (B A) P (B A) P (A) n(b A) n(s) n(a) n(s) n(b A) n(a) Örnek 4.4. olma olasılığı nedir? İki hilesiz zar atılma deneyinde, eğer gelen iki sayının toplamı ise, bir zarda gelen sayının Çözüm: A { iki sayının toplamı olması } {(,5),(,4),(3,3),(4,),(5,)}, A B {(,4),(4,)} P (B A) n(b A) n(a) 5 Örnek 4.5. Düzenli sefer yapan bir uçuş için uçağın zamanında kalkma olasılığı 0.83, zamanında varma olasılığı ise 0.8 olup hem zamanında varması hemde zamanında kalkma olasılığı 0.78 dir. Buna göre (i) uçağın kalkış saati verildiğine göre zamanında varma (ii) varış saati bilindiğine göre zamanında kalkma olasılıklarını bulunuz. Çözüm: K { uçağın zamanında kalkması } P (K) 0.83, V { uçağın zamanında varması } P (V) 0.8, P (K V) 0.78 (i) P (V K) (ii) P (K V) P (V K) P (K) P (V K) P (V)

32 4. OLASILIK Örnek 4.. Şeydanın çalıştığı şirketin Apple distribütörlüğünü yapma olasılığı %30 olup, bunun gerçekleşmesi durumunda Şeydanın şirketin yöneticisi olması ise %0 olaslıktadır.buna göre Şeydanın Apple distribütörlüğü yapan şirketin yöneticisi olması olasılığ nedir? Çözüm: A { şirketin Apple distribütörlüğünü yapma } P (A) 0.30,B { Şeydanın şirket yöneticisi olması } P (B A) 0.0 P (A B)? Önerme 4.7. Herhangi A,A,...,A n olayları için Îspat: P (A B) P (A)P (B A) P (A A... A n ) P (A )P (A A )P (A 3 A A )...P (A n A A... A n ) P (A A... A n ) P (A ) P (A A ) P (A ) P (A A A 3 ) P (A A ) P (A A... A n )... P (A A... A n ) P (A )P (A A )P (A 3 A A )...P (A n A A... A n ) Örnek 4.8. Bir kutuda 4 ü bozuk nesne vardır. 3 nesne kutudan ard arda çekiliyor. 3 nesnenin de bozuk olmama olasılığı neidr? Çözüm: A {.nesnenin seçilmesi}, nesneden 8 i bozuk olmadığı için P (A ) 8, A {.nesnenin seçilmesi}, kalan nesneden 7 i bozuk olmadığı için P (A A ) 7, A 3 {3.nesnenin seçilmesi}, kalan 0 nesneden i bozuk olmadığı için P (A 3 A A ) 0 P (A A A 3 ) P (A )P (A A )P (A 3 A A ) Önerme 4.9. A ve B P (A).P (B) > 0 koşulunu sağlayan olaylar olmak üzere P (A B) P (B A)P (A) P (B) Îspat: ifadesini yazdığımızda istenilen sonucu elde ederiz. P (A B) P (A B), P (B) P (A B) P (B A)P (A)

33 . KOŞULLU OLASILIK 5 Tanım 4.0. A,A,...,A n olayları için S n i A i ve A i A j,i j koşulunu sağlıyorsa A i olaylarına S örneklem uzayının parçalanması denir. Önerme 4.. A,A,...,A n olayları S nin parçalanması ve B S olmak üzere P (B) Îspat: n P (B A i )P (A i ) i B (B A ) (B A )... (B A n ) ve A,A,...,A n olayları S nin parçalanması olduğundan A i A j,i j koşulunu sağlanır. O halde (B A ) (B A )... (B A n ) olduğundan olasılık aksiyomundan P (B) P (B A )+P (B A )+...+P (B A n ) koşullu olaslık önermesinden: P (B A i ) P (B A i )P (A i ), i n bu ifadeleri kullandığımızda sonucunu elde ederiz. n P (B) P (B A i )P (A i ) i Örnek 4.. Bir torbada 4 beyaz 3 siyah top bulunmakta,. torbada ise 3 beyaz 5 siyah top bulunmaktadır.. torbadan bir top seçildiğinde rengi görülmeden. torbaya atılıyor. Buna göre. torbadan siyah top çekilme olasılığı nedir? Çözüm: A {.torbadan beyaz çekilmesi}, A {.torbadan siyah çekilmesi}, A A, B {.torbadan siyah çekilmesi} B (A B ) (A B ).torbadan beyaz.çekilme olasılığı 4/7 ve çekilen beyaz. torbaya konulduğunda toplam 9 top olmaktadır.

34 . OLASILIK buna göre 5 siyahtan birinin seçilmesi 5/9 oranındadır. Benzer şekilde.torbadan siyah çekilme olasılığı 3/7 olup çekilen siyah.tobaya atıldığında siyahların sayısı olup toplam top sayısı 9 dur. buna göre. torbadan siyah seçilme olasılığı /9 dur. P (B ) P (A )P (B A )+P (A )P (B A ) Örnek 4.3. A,B ve C gibi üç makine bir fabrikadaki ürünleri sırasıyla %50, %30 ve %0 sini üretmektedir. Bu makineler, %3, %4 ve %5 oranlarında bozuk ürün vermektedir. Buna göre rasgele seçilen bir ürünün bozuk olma olasılığı nedir? Çözüm: X { seçilen bir ürünün bozuk olması}, A{A makinesinin seçilmesi}, B{B makinesinin seçilmesi}, C{C makinesinin seçilmesi} P (X) P (A)P (X A)+P (B)P (X B)+P (C)P (X C) Örnek 4.4. Bir metalurji mühendisi A bölgesinde, şiddetli bir fırtına esnasında B kasabasının %0 oranında, B kasabasının %30, B 3 kasbasının ise %0 oranında zarar görebileceğini saptamıştır.fırtına esnasında şiddetli akım oranı B kasabasında yokken B kasabasında %0 oranında B 3 kasabasında ise %0 oranında olması tahmin ediliyor. Buna göre A bölgesindeki şiddetli akım oranı tahmini olarak kaçtır?

35 . KOŞULLU OLASILIK 7 Çözüm: X{A bölgesindeki şiddetli akımı} P (X) P (B )P (X B )+P (B )P (X B )+P (B 3 )P (X B 3 ) Teorem 4.5. (Bayes Teoremi) A,A,...,A n olayları S nin parçalanması, P (A i ) > 0, i n ve B S olmak üzere P (A i B) P (A i )P (B A i ) n i P (A i)p (B A i ) Îspat: P (A i B) P (A i B) P (B) P (A i B) P (A i )P (B A i ) ve yukarıdaki önermeden ifadelerini yerine yazdığımızda P (B) P (A i B) n P (B A i )P (A i ) i P (A i )P (B A i ) n i P (A i)p (B A i ) sonucunu elde ederiz. Örnek 4.. A,B ve C gibi üç makine bir fabrikadaki ürünleri sırasıyla %50, %30 ve %0 sini üretmektedir. Bu makineler, %3, %4 ve %5 oranlarında bozuk ürün vermektedir. Buna göre rasgele seçilen bir ürünün zouk olduğu bilindiğine göre A makinesinde üretilme olasılığı nedir? Çözüm: X { seçilen bir ürünün bozuk olması}, A{A makinesinin seçilmesi}, B{B makinesinin seçilmesi}, C{C makinesinin seçilmesi} Bayes formülüne göre P (A X)? P (A) 0.50,P (X A) 0.03 P (B) 0.30,P (X B) 0.04 P (C) 0.0,P (X C) 0.05 P (A)P (X A) P (A X) P (A)P (X A)+P (B)P (X B)+P (C)P (X C)

36 8. OLASILIK Örnek 4.7. Bir okuldaki ogrencilerden erkeklerin %4 ü, kızların % i80cm den uzundur. Öğrencilerden %0 ı kızdır. Rasgele seçilen bir öğrenci 80 cm den uzun ise bu öğrencinin kız olması olasılığı nedir? Çözüm: A{80cmden uzun olması}, K{kız öğrenci olması} P (K A)? P (K)P (A K) P (K A) P (K)P (A K)+P (E)P (A E) Örnek 4.8. İletişim sistemlerinde bir sinyalin gönderilmesi ile gönderilememesi ise 0 ile gösterilmektedir. E sinyal yayıcısının seçilme olasılığı %0, E sinyal yayıcısının ise seçilme olasılığı %40 tır. E sinyal yayıcısının sinyali düzgün gönderme olasılığı %70 iken E sinyal yayıcısının sinyali düzgün gönderme olasılığı %80 dır. İletişimde sinyalin varıldığı bilindiğine göre E sinyal alıcısından olma olasılığı nedir? Çözüm: X{Sinyalin başarılı gönderilmesi}, E { E sinyal yayıcısının sinyali }, E { E sinyal yayıcısının sinyali } P (E X)? P (E )P (X E ) P (E X) P (E )P (X E )+P (E )P (X E ) Bağımsız Olaylar (Independent Events) Tanım 5.. A ve B olayları P (B A) P (B) koşulunu sağlıyorsa bağımsız olaylardır denir. Önerme 5.. A ve B bağımsız olaylardır P (A B) P (A)P (B) Îspat: A ve B bağımsız olaylar P (B A) P (B) P(A B) P(A) P (B) P (A B) P (A)P (B) Önerme 5.3. A ve B bağımsız olaylardır P (A B) P (A) Îspat: A ve B bağımsız olaylar P (A B) P (A)P (B) P(A B) P(B) P (A) P (A B) P (A) Önerme 5.4. A ve B bağımsız olaylar ise olduğunu gösteriniz. P (A B) P (B)+P (A)P (B ) P (A)+P (B)P (A )

37 . BAĞIMSIZ OLAYLAR (INDEPENDENT EVENTS) 9 Îspat: P (A B) P (A)+P (B) P (A B) P (A)+P (B) P (A)P (B) P (B)+P (A)( P (B)) P (B)+P (A)P (B ) Önerme 5.5. A ve B olayları bağımsız ve P (A) 0,P (B) 0 koşullarını sağlıyorsa A B olduğunu gösteriniz. Îspat: Varsayım: A B olsun. O halde P (A B) 0 dır. Ayrıca A ve B olayları bağımsız olduğundan P (A B) P (A)P (B) 0. Bu ise P (A) 0 veya P (B) 0 demektir. Hipotezle çelişir. Önerme 5.. A ve B bağımsız olaylar ise A ve B de bağımsız olaydır. Gösteriniz. Îspat: P (A B ) P ( (A B) ) P (A B) (P (A)+P (B) P (A B)) P (A) P (B)+P (A)P (B) ( P (A))( P (B)) P (A )P (B ) Örnek 5.7. P (E) /3,P (F E) /,P (E F) /3 olduğuna göre E ve F olaylarının bağımsız olaylar olduğunu gösteriniz. Çözüm: P (F E) P (E F) P (F E) P (E) P (F E) P (F) P (F E) 3 P (F) / /3 P (F E) P (F) P (E) olduğundan E ve F olaylarının bağımsız olaylardır. Örnek 5.8. Bir kasabada itfaiye aracının ulaşılabilir olma olasılığı 0.98, ambulans aracının ulaşılabilir olması da 0.9 olasılıktadır. Bir yangın olayında ambulans ve itfaiyenin ulaşılabilir olması olasılığı nedir? Çözüm: I{itfaiye aracının ulaşılabilir olması}, A{ambulans aracının ulaşılabilir olması} P (A I) P (A)P (I)

38 30. OLASILIK Örnek 5.9. Bir para kez atılsın. İki kez de tura gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: A olduğundan {İlk atışta tura gelmesi},b {İkinci atışta tura gelmesi} olmak üzere iki olay bağımsız P (A B) P (A)P (B) 4 Diğer yandan S {YY,YT,TY,TT} olmak üzere P ({TT}) /4 aynı sonucu elde ederiz. Örnek 5.0. İki zarın tek bir atılışında iki birli gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: A {İlkzarüzerindegelmesi},B {İkincizarüzerindegelmesi}olmaküzereiki olaybağımsız olduğundan P (A B) P (A)P (B) 3 DiğeryandanS {(,),(,),...,(,),(,),(,),...,(,),...,(,),(,),...,(,)}olmaküzerep ({(,)}) /3 aynı sonucu elde ederiz. Örnek 5.. Şekildeki paralel devre sisteminde en az bir bileşenin kapalı olması durumunda sistem çalışmaktadır. Heri bileşenin çalışma olasılığı p i olduğuna göre sistemin çalışması olasılığı nedir? Çözüm: P (sistem çalışması) P (sistem çalışmıyor) P (tüm bileşenler açık) P (A A... A n) P (A )P (A )...P (A n ) ( p )( p )...( p n ) n ( p i ) i Örnek 5.. A kutusunda 3 ü bozuk 8 nesne B kutusunda si bozuk 5 nesne vardır. Her kutudan birer nesne seçiliyor. (i) Her iki nesneninde bozuk olma olasılığı (ii) birinin bozuk diğerinin sağlam olma olasılığı neidr?

39 . RASGELE DEĞIŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 3 (i) Çözüm: A{A kutusunda bozuk olması}, B{B kutusunda bozuk olması} P (A B) P (A)P (B) (ii) P (A B )+P (A B) P (A)P (B )+P (A )P (B) Örnek 5.3. Aynı anda iki zar atalım. A olayı zarların üstünde gelen sayılar toplamının olması, B olayı ise ilk zarda 5 gelmemesi olmak üzere A ve B olayları bağımsız olaylar mıdır? Çözüm: A{zarların üstünde gelen sayılar toplamının }{(5,),(,5)} P (A) /3 B{ilkzarda5gelmemesi}{(,),...,(,),(,),...,(,),(3,),...,(3,),(4,),...,(4,),(,),...,(,)} P (B) 30/3 A B {(,5)} P (A B) /3 P (A B) P (A)P (B) Tanım 5.4. A,A,...,A n olayları için P (A A... A n ) P (A )P (A )...P (A n ) koşulları sağlanıyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Rasgele Değişkenler (Random Variables) Tanım.. Örneklem uzayında her bir olaya karşılık bir sayının geldiğini varsayalım. Örneğin ard-arda atılan para deneyini ele alalım. Yazı gelmesi durumunu ile tura gelmesi durmunu da 0 ile gösterirsek Örneklem uzayı YY YT TY TT 0 sayısal değerlerini elde edebiliriz. Böylece X rasgele değişkeninden söz ederken örneklem uzayındaki her bir elemana, reel sayı karşılık gelen bir fonksiyon anlaşılır. Eğer X : S R reel değerli fonksiyonu ve x R reel sayısı için {s : X (s) x} bir olay tanımlıyorsa X (s) fonksiyonuna rasgele değişkeni denir.

40 3. OLASILIK Tüm rasgele değişkenleri X, Y, Z gibi büyük harfler ile gösterilirken, onlara karşılık gelen reel sayılar x, y, z gibi küçük harfler ile gösterilecektir. Örnek.. Bir depo görevlisi 3 kaskı sırasıyla üzerlerinde isimleri yazıcak şekilde Uğur, Murat ve Tarığa vermektedir. Bu kişilerin kasklarını doğru almaları durumundaki rasgele değişkenleri belirleyiniz. Çözüm: Doğru eşleme durumunu aksi durumu 0 ile gösterelim. Örneklem uzayı(s) UMT UTM TUM TMU MUT MTU Doğru eşleme(x(s)) Örneğin {s : X(s) } bir olay berlirler (en az bir doğru eşlenmesi olayı) Örnek.3. Bir kargo şirketinde ürünlerin hasarlı olup olmaması durumunu sırasıyla ve 0 ile gösterirsek rasgele seçilen bir ürünün rasgele değişkenini belirleyiniz. Çözüm: X ürünün rasgele seçilmesi olmak üzere, ürün hatalı ise X 0, ürün hatalı değilise rasgele değişkeni 0 ve olanlara Bernoulli rasgele değişkeni denir. Örnek.4. si hasarlı 00 parça ürün içinden 0 ürün seçilecektir. X hasarlı ürün seçilmesi durumunun rasgele değişkeni 0,,,3,...,9,0 sayılarından biridir. Örnek.5. Bir çağrı merkezi kişilerin taleplerini 0 ile arasındaki saylar ile sıralayarak cevaplandırmaktadır. X, kişinin talep oranı olmak üzere rasgele değişkeni [0, ] kapalı aralığıdır. Tanım.. Bir rasgele değişkeni sayılabilir sayıda reel sayıya karşılık geliyorsa kesikli rasgele değişkeni (discrete random variable) denir. Eğer bir rasgele değişkeni reel sayılarda bir aralığa karşılık geliyorsa sürekli rasgele değişkeni (continuous random variable) denir. Örnek.7. si hasarlı 00 parça ürün içinden 0 ürün seçilecektir. X hasarlı ürü seçilmesi durumunun rasgele değişkeni 0,,,3,...,9,0 sayılarından biridir. Buna göre X rasgele değişkeni kesikli rasgele değişkenidir. Bununla birlikte Bir çağrı merkezi kişilerin taleplerini 0 ile arasındaki saylar ile sıralayarak cevaplandırmaktadır. X, kişinin talep oranı olmak üzere rasgele değişkeni [0, ] kapalı aralığıdır. Buna göre X rasgele değişkeni sürekli rasgele değişkenidir.

41 . RASGELE DEĞIŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 33 Tanım.8. X kesikli rasgele değişkenine karşılık gelen sayısal değerler a,a,... olmak üzere, X kesikli rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (bazen sadece olasılık fonksiyonu veya olasılık dağılım fonksiyonu da denir) (probability function- probability mass function - pmf- probability distribution function - pdf) aşağıdaki koşulları sağlayan f : R [0,],f (a) P ({s S : X(s) a}) fonksiyonudur. (i) f (a i ) 0,i,,3,... (ii)f (a )+f (a )+ (iii) a a i, f (a i ) 0 Örnek.9. Bir zarın olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örneklem uzayı f () P (X ),f () P (X ) f (3) P (X 3),f (4) P (X 4) f (5) P (X 5),f () P (X ) y x Örnek.0. 3 kez ardardına atılan bir para atma deneyinde yazı gelmesi durumunu ile tura gelmesi durmunu da 0 ile gösterirsek X kesikli rasgele değişkenini ve bunların olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.

42 34. OLASILIK Çözüm: Örneklem uzayı YYY YYT YTY TYY YTT TYT TTY TTT 3 0 f (0) P (X 0) P (TTT) 8 f () P (X ) P (YTT)+P (TYT)+P (TTY) f () P (X ) P (YYT)+P (YTY)+P (TYY) f (3) P (X 3) P (YYY) 8 Örnek.. 3 ü bozuk 0 laptop içinden rastgele bilgisayar seçilecektir. Bozuk olma durumu için olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm: f (0) P (X 0) C 3,0 C 7, C 0, f () P (X ) C 3, C 7, C 0, f () P (X ) C 3, C 7,0 C 0, 3! 3! 0! 7! 5!! 0! 8!! 3!!! 7!!! 0! 8!! 3!!! 7! 7! 0! 0! 8!!

43 . RASGELE DEĞIŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 35 Tanım.. X kesikli rasgele değişkenine karşılık gelen sayısal değerler a,a,... olmak üzere, X kesikli rasgele değişkeninin birikimli olasılık dağılım fonksiyonu (cumulative distribution function) aşağıdaki koşulları sağlayan F : R [0,],F (a) P ({s S : X(s) a}) fonksiyonudur. (i) F (a i ) 0,i,,3,... (ii)f (a )+F (a )+ Olasılık dağılım fonksiyonu ile birikimli olasılık dağılım fonksiyonu arasında aşağıdaki eşitlik doğrudur: F (a) a i af (a i ) Uyarı.3. lim F (a) a lim F (a) 0 a a b F (a) F (b) F (a) F ( a +) lim ε 0 F (a+ε) Örnek.4. Bir zarın birikimli olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örneklem uzayı F () P (X ), F () P (X ) + F (3) P (X 3) + + 3, F (4) P (X 4) F (5) P (X 5) , F () P (X ) if x < F (x) if x < if x < 3 3 if 3 x < 4 4 if 4 x < 5 5 if 5 x < if x 0 if x < i if i x < i+,i,,3,4,5 if x

44 3. OLASILIK y x Örnek.5. 3 kez arıdardına atılan bir para atma deneyinde yazı gelmesi durumunu ile tura gelmesi durmunu da 0 ile gösterirsek X kesikli rasgele değişkeninin birikimli olasılık dağılım fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm: Örneklem uzayı YYY YYT YTY TYY YTT TYT TTY TTT 3 0 F (0) P (X 0) P (TTT) 8 F () P (X ) P (YTT)+P (TYT)+P (TTY)+P (TTT) F () P (X ) P (YYT)+P (YTY)+P (TYY)+F () F (3) P (X 3) P (YYY)+F () if x < 0 8 if 0 x < F (x) 4 8 if x < 7 8 if x < 3 if x 3

45 . RASGELE DEĞIŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 37 Örnek.. X kesikli rasgele değişkeni için olasılık dağılımı aşağıdaki gibi verilmiştir. Xx P(Xx) c Buna göre c değeri nedir? X in hangi değeri en büyük olasılığı alır?p(x>0) olasılığını bulunuz. P(X-) olasılığını bulunuz. X kesikli rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve birikimli olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz ve grafikle gösteriniz. Çözüm: c c 0.3 P (X 0.) 0.4 olduğundan X0. de en büyük olasılık P (X > 0) P (X )+P (X 3) P (X ) 0 0. if x 3 0. if x 0 f (x) 0.4 if x 0.3 if x 3

46 38. OLASILIK y x F ( 3) P (X 3) 0. F (0) P (X 0) F () P (X ) F (3) P (X 3) if x < 3 0. if 3 x < 0 F (x) 0.3 if 0 x < 0.7 if x < 3 if x 3 y x

47 . RASGELE DEĞIŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 39 Örnek.7. X rasgele değişkeni sırasıyla -,,,3 değerlerini almakta ve olasılıkları sırasıyla /4,/8,/8,/ değerleridir. Buna göre X kesikli rasgele değişkeninin birikimli olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f ( ) P (X ) 4 F ( ) P (X ) 4 f () P (X ) 8 F () P (X ) f () P (X ) 8 F () P (X ) f (3) P (X 3) F (3) P (X 3) if x < 4 if x < F (x) 3 8 if < x if x < 3 if x 3 y x Önerme.8. P ({s S : a < X(s) b}) F (b) F (a)

48 40. OLASILIK Îspat: {s S : X(s) b} {s S : a < X(s) b} {s S : X(s) a} {s S : a < X(s) b} {s S : X(s) a} P ({s S : X(s) b}) P ({s S : a < X(s) b})+p ({s S : X(s) a}) F (b) P ({s S : a < X(s) b})+f (a) P ({s S : a < X(s) b}) F (b) F (a) Sonuç.9. f (a) F (a) F ( a ),F ( a ) lim ε 0 F (a ε) Îspat: Yukarıdaki ispatta a yerine a ε b yerine de a seçersek: P ({s S : a ε < X(s) a}) F (a) F (a ε), ε 0 için limit alırsak f (a) P ({s S : X(s) a}) F (a) F ( a ) Tanım.0. X sürekli rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function) aşağıdaki koşulları sağlayan f : R [0,],P ({s S : a X(s) b}) b a f (x)dx fonksiyonudur. (i) f (x) 0, (ii) f (x)dx Örnek.. Hava sıcaklığı ölçümündeki hataların sürekli rastgele değişkenler olarak belirtirsek bunların olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x) x 3 if < x < 0 if x / (,) olarak veriliyor. Bu fonksiyonun olasılık yoğunlu fonksiyonu olduğunu kanıtlayınız ve P (0 < X ) olasılığını hesaplayınız. Çözüm: f (x) 0 olduğu açıktır. f (x)dx P (0 < X ) x 3 dx 9 x3 f (x)dx 0 0 x x x 9 (8+) 3 dx x 9 x3 x0 9

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= = OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150) PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}

Detaylı

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

3.Ders Rasgele Değişkenler

3.Ders Rasgele Değişkenler 3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 = 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken nedir? Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek

Detaylı

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1 Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo

Detaylı

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:

MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç 1. Rakamları toplamından büyük olan kaç tane doğal sayı vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç sayının toplamı (0) cc ise c nin alamayacağı en büyük değer kaçtır? A)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 3. (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır.

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 3. (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır. . A = {,,,4,5,6 } kümesinin boş olmayan bütün alt kümelerindeki en küçük elemanların aritmetik ortalaması kaçtır? 6 7 8 9 40 A) B) C) D) E) 9 0 0 ÖZEL EGE LİSESİ. MATEMATİK YARIŞMASI. (abc) üç basamaklı,

Detaylı

Ayrık Olasılık. Ayrık Olasılığa Giriş

Ayrık Olasılık. Ayrık Olasılığa Giriş Ayrık Olasılık CC-59 Ayrık Yaılar Konstantin Busch - LU Ayrık Olasılığa Giriş Hilesiz zar Örnek uzay: {,,3,4,5,6} Olası tüm sonuçlar olayının olasılığı: olay kümesinin buyuklugu örnek uzayin buyuklugu

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI x 5 6. 0 x 4x 5 x denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 4. 6 6... a ise, a kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B), C) 5, D) 5 E) 5. m 9m m m işleminin sonucu kaçtır?. (6) x x y y (4. ) eşitliği

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Cahit Arf Matematik Günleri 10

Cahit Arf Matematik Günleri 10 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. 04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI . a 6 b a b 8 ifadesinin açılımında b çarpanının bulunmadığı terim aşağıdakilerden hangisidir?. Bir toplulukta en az iki kişinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı gününde doğduğu kesin bilindiğine göre,

Detaylı

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 ) ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Olasılık ve Rastgele Değişkenler EEE214 4 3 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Olasılık ve Rastgele Değişkenler EEE214 4 3 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Olasılık ve Rastgele Değişkenler EEE214 4 3 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu /

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal

Detaylı

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste

Detaylı

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi: İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF TEST SORULARI 4. + :. 4 7 7 7 =? + : 6 4. x, y, z, a, b, c Z olmak üzere x+a = y+b = z+c= - bağıntısı vardır. x,y,z sayılarının aritmetik ortalaması olduğuna göre, a, b, c sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır? A)

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir. HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler Mühendislikte İstatistik Yöntemler Referans Kitaplar Türkçe : Mühendisler için İstatistik, Mehmetçik Bayazıt, Beyhan Oğuz, Birsen Yayınevi Mühendislikte İstatistik Metodlar, Erdem KOÇ,ÇÜ, Müh.Mim.Fak.

Detaylı

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı

Detaylı