Bir sayıyı 4 ile topladığımızda 6 oluyor anlamına gelir. 4 e eklendiğinde 6 veren tek

Transkript

1 EŞİTLİK ve DENKLEMLER GİRİŞ Cebirde sayıların yerine harfler kullanılır. Örnek: x + 4 = 6 Bir sayıyı 4 ile topladığımızda 6 oluyor anlamına gelir. 4 e eklendiğinde 6 veren tek sayı 2 olduğundan x, 2 ye eşittir. Cebirde şunu yazabiliriz: Eğer x + 4 = 6 ise o zaman x = 2 x + 4 = 6 bir denklemdir. x = 2 de bu denklemin çözümüdür. DENKLEM İki aritmetik veya cebirsel ifadenin eşitliğini belirten matematiksel ifadelere denklem denir. Denklemdeki değişkenler bilinmeyen bir değere karşılık gelir ve küçük harflerle gösterilirler.

2 Örnek: x + 3 = 5 Bu ifadede x değişkendir. x in alacağı değerlere göre eşitlik doğru veya yanlıştır. Eşitliğin doğru olduğu x değerini bulmak için yapılan işlemlere denklemi çözmek denir. Doğruluğu sağlayan x değerlerine ise çözüm kümesi denir. Örnek: x + 5 = 8 denklemini çözünüz. eğer x + 5 = 8 o zaman x = 3 ALIŞTIRMALAR Yukarıdaki örnekte gösterildiği gibi, aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) x + 6 = 8 11) x + 4 = 8 2) x + 2 = 5 12) x + 9 = 12 3) x + 3 = 10 13) x + 7 =8 4) x + 4 = 11 14) x 4 = 8 5) x + 1 = 9 15) x 3 = 6 6) x + 8 = 15 16) x 5 = 9 7) x + 7 = 10 17) x 1 = 7 8) x 2 = 5 18) x + 3 = 5 9) x + 7 = 14 19) x 7 = 9 10) x 1 = 9 20) x 3 = 10 x + x + x + x + x ifadesinin cebirdeki karşılığı 5x dir. 5 kere x anlamına gelir. y + y + y benzer şekilde 3y olarak yazılır.

3 Aşağıdaki sayıları yukarıda gösterildiği gibi cebirsel olarak yazınız. 1) z + z + z 7) n + n + n + n 2) y + y 8) t + t + t + t + t 3) t + t 9) m + m 4) p + p + p + p + p + p 10) s + s + s 5) a + a + a + a 11) b + b + b 6) r + r + r 12) c + c + c Cebir problemlerini çözerken denklemler sıkça kullanılır. Aşağıdaki problemi okuduğunuzda, zihinden çözülecek kadar kolay gelebilir ama bilinmeyen uzunluk ve nicelikleri temsilen sayıların yerine harflerin nasıl kullanılacağını gösteren güzel bir örnektir. Örnek: Bir karenin çevresi 36 cm uzunluğundadır. Karenin bir kenarı kaç cm dir? (Karenin çevresi, birbirine eşit 4 kenar uzunluğunun toplamıdır.) Karenin bir kenarının uzunluğuna x diyelim. Çevresi = x + x + x + x = 4x = 36 4 ile çarpıldığında 36 veren tek sayı 9 olduğundan karenin kenar uzunluğu 9 olur.

4 ALIŞTIRMA Aşağıdaki denklemleri zihinden çözünüz. 1) 5x = 20 7) 6z = 42 2) 9p = 27 8) 3t = 24 3) 3a = 12 9) 7z = 21 4) 5h = 25 10) 2t = 24 5) 3y = 18 11) 5y = 60 6) 3m = 12 12) 5s = 35 SADELEŞTİRME 7 havucu 8 havuç ile topladığımızda 15 havuç elde ederiz. Buna benzer şekilde cebirde 7c + 8c = 15c 8 havuçtan 7 havucu alırsak sadece 1 havuç kalır. 8c 7c = c

5 3 elmayla 7 havucun toplanması doğru değildir! Bunun gibi, 3d + 7c de sadeleşemez. Ancak bir sepette 3 elma ve 7 havuç halihazırda varsa, ve 2 elma ile 8 havuç sonradan sepete konduysa, sepette şimdi 5 elma ile 15 havuç olduğunu söyleyebiliriz. Bunun gibi, cebirde 3d + 7c + 2d + 8c = 5d + 15c d ler ve c ler kendi aralarında toplanmışlardır. Burada 7c ve 8c benzer terimler ve 3d ile 7c benzer olmayan terimlerdir. Örnek: 4c 5c + 3c ifadesini sadeleştiriniz. 4c ile 3c pozitif terimler, -5c negatif terimdir. Önce pozitif terimleri ve ardından da negatif terimleri gruplandırınız. 4c -5c + 3c = 4c + 3c 5c = 7c 5c = 2c Örnek: 7t 3 3t + 9 ifadesini sadeleştiriniz. Cevap: 7t 3 3t + 9 = 7t 3t = 4t + 6 Örnek: a 3b 2a + 3c + 5a + 6b ifadesini sadeleştiriniz. Cevap: a 3b 2a + 3c + 5a + 6b = a + 5a 2a + 6b 3b + 3c = 6a 2a + 3b + 3c = 4a + 3b + 3c

6 ALIŞTIRMA Aşağıdaki ifadeleri mümkün olduğunca sadeleştiriniz. 1) 3x + 6x 16) 3c +5d + 2c +d 2) 6d + 2d 17) 8m + 3n +m + 2n 3) 5c c 18) 13a + 2b +2a +3b 4) 5y + 11y 19) 15z 11z + 4y + 3y 5) 3h + 9h 20) a 2b + 4a + 5b 6) c + 6c 21) 7a + 5b 2a 3b 7) 11z 5z 22) 17y z - 2 8) 3s + 2s +s 23) 8p 2r + 3p + 8r 9) 3t 2t + 6t 24) 5x x )14j 6j 25) 2a + 3b + 3c + a + b + c 11) 4c + 3d 26) 7a b 4 + a 12) 8n 5n 27) 3a + 4b + 5c 13) 4p p + 3p 28) 13c + 5d 11c 5d 14) 5z 11z + 6z 29) 2x 2x + 3y 3y 15)9e + 5e 6e YERİNE KOYMA METODU V = a b h bir cebirsel formüle örnektir. Boyutları a, b, c olan bir kutunun kapladığı hacim (boşluk).

7 Boyu 5 cm, eni 4 cm ve yüksekliği 2 cm ise hacmi cm 3 olacaktır. = 20 2 cm 3 = 40 cm 3 Cebirde şöyle yazarız: V = a b h ve a = 4, b = 5 ve h = 2 ise V yi bulunuz. Harflere değer atayarak (Harflerin yerine sayıları koyarak) hesaplamalıyız. V = = 20 2 = 40 Örnek: p = 8 ve r = 2 ise 3p + 4r değerini bulunuz. 3p + 4r = = = 32 Örnek: s = 6, t = 8, ve v = 2 ise (s + t ) v kaçtır? (s + t ) v = (6 + 8) 2 = 14 2 = 7

8 ALIŞTIRMALAR Değişkenlerin yerine verilen değerleri koyarak ifadeyi hesaplayınız. 1) x = 11 ise x + 3 =? 11) p = 9 ve r = 6 ise (p + r) 3 2) z = 3 ise 5z 12) s = 10 ise 6s 5 3) a = 4 ise 5a ) p = 8 ise (4 + 3p) 2 4) s = 6 ise 5s 3 14) m = 6 ve n = 6 ise (3m + 2n) 5 5) c = 8 ise c 2 15) f = 15, g = 11 ve h = 2 ise (f + g) h 6) x = 1 ise 6 x 16) p = 2, t = 10 ve r = 8 ise (9p + 11t) r 7) p = 2 ve r = 3 ise 4p + 7r 17) s = 2, t = 3 ise (12s + 16t) 8 8) a = 7 ve b = 4 ise 3a 2b 18) p = 4, r = 3 ise (15p + 30r) 10 9) a = 10 ise 7a ) a = 2 ve b = 4 ise 28a + 20b 10)t = 6 ise 7t 5 20) x = 3 ise 12x 11 Cebirde a a a, a 3 olarak yazılır ve a küp olarak okunur. r r, r 2 olarak yazılır ve r kare olarak okunur. r r ifadesini r 2 olarak yazmak demek üslü şekilde yazmak demektir. Örnek: b b b b b ifadesini üslü şekilde yazınız. b b b b b = b 5 (b nin 5. kuvveti diye okunur.) ALIŞTIRMA Aşağıdaki ifadeleri üslü şekilde yeniden yazınız. 1) b b b 6) a a a a a a 2) m m m m 7) r r r 3) n n 8) b b b b b 4) p p p 9) z z z 5) s s

9 p = 2, a = 4, r = 10, s = 9 ve t = 11 ise aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. ( sorular için toplama ve çıkarmadan önce üslüler yapılacaktır.) 10) p 2 15) a 3 11) a 2 16) p 2 + a 2 12) s 2 17) t 2 r 2 13) t 2 18) s 2 + t 2 14) r 3 19) s 2 p 2 Cebirde çarpma işareti genellikle kullanılmaz. Örneğin u v r uvr olarak ve 3 a b 3ab olarak yazılır. ALIŞTIRMA Çarpma işaretini yok ederek yeniden yazınız. 1) p t r 7) 14 a b 2) 5 s t 8) 12 p t r 3) m n 9) 3 p t r 4) a b c 10) 11 x a b 5) 8 x y z 11) 3 a b c 6) 8 p t r 12) 2 p r a = 3, b = 5, ve c = 8 ise aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesaplayınız. 13) ab 19) abc 14) bc 20) bac 15) ac 21) bca 16) 3ab 22) 4abc 17) 5bc 23) 4bca 18) 7ca 24) 4cab

10 p = 4, t = 5 ve r = 6 ise aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. Unutmayın ki, önce üslüler, sonra çarpma ve bölme, daha sonra toplama ve çıkarma yapılır. 25) pt + r 33) rt + 3p + 2r 26) 6pr + 2pt 34) pt - r 27) ptr ) 6pt r 28) p 2 + tr 36) 2pt 3r 29) 2pr 2 37) (3pt r) - (2r 4) 30) 4t 3 38) 2pt r 31) pr + 2rtp 39) 8t p + tr 10 32) tr + pt DENKLEMLERİ ÇÖZMEK Denklem, eşitliğin ( = işaretinin) sol tarafında bulunan ifadeyle sağ tarafında bulunan ifadenin aynı değere sahip olduğunu anlatır. Verilen bir denklemin eşitliğini bozmamak için denklemin her iki tarafına da aynı işlemi yaparız. Denklemin sol tarafına ekleyip çıkardıysak sağ tarafına da aynı değerleri ekleyip çıkarmalıyız. Örnek : 7x + 5 = 26 7x = 26 5 (Her iki taraftan 5 çıkardık) 7x = 21 x = 21 7 (Her iki tarafı 7 ye böldük) x = 3

11 Denklem bir terazi gibidir. İki kefeden 5 er birim alırsak, denge bozulmaz. her iki tarafı da 7 eşit parçaya bölersek ve sadece 1 parçasını bırakırsak da denge bozulmaz. eğer: 1) her iki taraftan eşit miktarı toplarsak veya çıkarırsak 2) her iki tarafı eşit miktarla çarparsak veya bölersek. Terazi dengede duracaktır (ve denklemler doğru olacaktır.)

12 Örnek : 2x 3 = 17 denklemini çözünüz. Her iki tarafa 3 eklediğimizde 2x = elde ederiz ve sol taraftaki -3 ve + 3 birbirini götürür; 2x yalnız kalır. Çözüm: 2x 3 = 17 2x = (her iki tarafa 3 ekledik) 2x = 20 x = 20 2 (her iki tarafı 2 ye böldük) x = 10 Örnek: 12 = 4x denklemini çözünüz. Denklemleri çözerken herhangi bir adımda tarafları yer değiştirebiliriz. 4x = 12 x = 12 4 (tarafları yer değiştirdik) (her iki tarafı 4 e böldük) x = 3 Örnek: 5x + 3 = 3x + 7 denklemini çözünüz. x leri bir tarafa, sayıları öbür tarafa toplamalıyız. Her iki taraftan 3x çıkaralım : 2x + 3 = 7 Her iki taraftan 3 çıkaralım : 2x = 4 Her iki tarafı 2 ye bölelim : x = 2

13 ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) 4x 1 = 3 25) 20 = 5x 2) 7x 5 = 16 26) 25 = 5x 3) 8x 3 = 21 27) 14 = 2x 4) 9x 4 = 23 28) 15 = 5x 5) 6x 1 = 35 29) 7x + 5 = 5x + 7 6) 8x 11 = 5 30) 8x + 2 = 3x ) 4x 5 = 11 31) 5x + 4 = 2x ) 5x 5 = 35 32) 11x + 2 = 9x + 4 9) 2x 4 = 20 33) 8x + 3 = 6x ) 3x 7 = 17 34) 8x + 1 = 2x ) 9x 7 = 20 35) 7x + 5 = 5x ) 6x 2 = 40 36) 10x + 2 = 7x ) 3x + 2 = 8 37) 11x + 3 = 2x )5x + 7 = 17 38) 5x + 1 = x )6x + 3 = 51 39) 3x 2 = x )2x + 1 = 19 40) 7x 3 = 4x )7x + 5 = 40 41) 9x 7 = 5x )4x + 1 = 13 42) 11x 9 = 5x )7x + 8 = 36 43) 17x 11 = 10x )9x + 2 = 20 44) 6x 1 = x )11x + 2 = 35 45) 20x 9 = 14x )6x + 9 = 39 46) 9x 9 = 3x )5x + 4 = 39 47) 5x 10 = 2x )2x + 11 = 17 48) 6x 1 = 2x + 3

14 ALIŞTIRMA x değerini bulmak için aşağıdaki denklemleri çözünüz. Cevaplar:

15 PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ (eğitim portalı) 6. sınıf matematik öğrencileri için denklem yazmak, düzenlemek, ve çözmek çok önemli bir yetenektir. Denklemli bir cebir sorusunu çözmek için verilen zamanın %75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya, %8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız. Buna göre aşağıdaki alıştırmalardaki soruları çözerken dikkat etmeniz hususlar şöyledir: 1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur. 2) Verilenler matematik diline çevrilir. 3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür. 4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir. Soruyu çözerken değişkenlerin neyi temsil ettiklerini ve soru cümlesinde ne anlama geldiklerini de yazınız. ALIŞTIRMALAR (1-9 math.com) 1. Bir sayının 10 eksiği 5 ise sayı kaçtır? 2. Bir sayının 2 eksiği 4 ise sayı kaçtır? 3. Bir sayı ile 8 i topladığımızda 12 elde ediyoruz. Sayı kaçtır? 4. Bir sayının 3 katının 4 fazlası 13 ise sayı kaçtır? 5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 3z + 2 = 14 g) -3 x = -3 b) x 9 = 20 h) x = -6 c) p + 2p = 3 i) 3x = 27 d) -8 + x = -17 j) 3x = 0 e) x 4 = -2 k) x - 1 = -7 f) x + 8 = 1 l ) x + 5 = 9

16 6. Bir hafta sonunda harcadığım toplam paranın 2/3 ü 100 lira ise kaç lira harcadım? 7. Ahmet Cumartesi günü 7 saat çalışmış ve 3 bahçenin çimini tırpanlamıştır. Bahçelerin her birinde ortalama kaç saat çalışmıştır? 8. 9 un karesine bir sayıyı eklediğimizde 89 ediyor. Sayı kaçtır? 9. Bir çocuğun yaşı 4 yıl öncesindeki yaşının 2 katıdır. Çocuk bugün kaç yaşındadır? 10. (JB/s.2) Ceren in yaşı kardeşi Cemil in yaşının 2 katının 3 fazlasıdır. Ceren 17 yaşındaysa Cemil kaç yaşındadır? 11. (JB/s.2) Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 3x 7 = 8 b) 2 3x = 7 c) 2x 7 = 8 x d) 3(x 4) = 8 2x e) (x 7) 2 = 4 f) 2x 3 5 = (6 x) liranın yarısının 2 eksiğine bir kalem aldım. Kalemi kaç liraya aldım?

17 13. Sol tarafta verilen matematiksel cümleleri sağ tarafta verilen denklemlerle eşleştiriniz. Karşılık gelen harfleri? yerine yazınız.? Bir sayının 11 fazlası 14 eder. A 11n = 22? 7 bir sayının dörtte biridir. B n 14 = 7? 11 ile 9 un toplamının 6 eksiği 14 tür. C n + 11 = 14? Bir sayının 7 ye bölümü 2 dir. D 2n + 9 = 12? Bir sayının 11 katı 22 dir. E n 7 = 14? Bir sayının 2 katından 9 fazlası 12 dir. F = 14? 14 bir sayı ile 7 arasındaki farka eşittir. G 1 4n = 7? Bir sayı 7 den çıkarıldığında 14 eder. H n 7 = Aşağıdaki cümleler doğru mudur, yanlış mıdır? D 1) 2n + 4 ifadesinde n in katsayısı 4 tür. 2) "Bir sayının iki katından 5 fazlası 10 + n ifadesiyle yazılır. 3) 4) "Bir sayının 7 eksiği 9 eder cümlesi n - 7 = 9 denklemiyle gösterilir. Y 5) 6) "Bir sayının 4 katından 5 eksiği ifadesi 5 4n ile gösterilir.

18 Denklem Yazma (JB/s.3) Bir denklem yardımıyla ve bir değişken için çözülmesi gereken pek çok problem türü vardır. Ardışık sayı problemleri Örnek: 5 ardışık sayının toplamı 80 dir. Bu sayılardan en küçüğü kaçtır? Çözüm: En küçük sayıya x diyelim. Diğer sayılar şöyle sıralanır: x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 Toplamlarını 80 e eşitleyelim. x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 80 Bu denklemin x için çözümü bize cevabı verecek. Denklemde benzer terimleri birleştirsek 5x + 10 = 80 olur. Her iki taraftan 10 çıkartıp 5 e bölersek x = 14 bulunur. Çevre Problemleri Örnek : Bir dikdörtgenin boyu eninin 2 katından 3 cm fazladır. Dikdörtgenin çevresi 60 cm ise alanı kaç cm dir? Dikdörtgenin enine x diyelim. Boyu da problemde tanımlandığı gibi 2x + 3 olur. Dikdörtgenin çevresi boyu ile eninin toplamının 2 katıdır. Şimdi denklemi kurabiliriz. 2(x + (2x + 3)) = 60 (Her iki tarafı 2 ye bölelim) 3x + 3 = 30 3(x + 1) = 30 (Her iki tarafı 3 e bölelim) x + 1 = 10 (Her iki taraftan 1 çıkartalım) x = 9 bulunur. Dikdörtgenin boyu = 21 cm. dir. Alan = boy en olduğu için istenen cevap Alan = 9 21 = 189 cm 2 olur.

19 Yol - Hız - zaman problemleri Bir arabanın hızını kilometre/saat (km/sa) cinsinden ölçebiliriz. Bu birleşik bir ölçümdür çünkü mesafe ve zaman olmak üzere iki ölçümü ifade etmektedir. 50 km/saatlik hız demek, sabit hızla hareket eden bir arabanın 1 saatte 50 km yol alacağı anlamına gelir. Diğer hız birimleri santimetre/saniye (cm / s) ve metre/saniye (m/s) dir. Yol, hız ve zaman arasındaki ilişkiyi aşağıdaki diyagramda gösterebiliriz. Bu şekil üç ölçüm arasındaki formülü hatırlamanıza yardımcıdır. Ortalama hızı hesaplamak için gereken formül: Katedilen yol formülünü bulmak için şu düzenlemeyi yaparız

20 Yolculuk zamanını hesaplamak için formülü yeniden düzenleyelim: Örnek: 2,5 saatte 200 km yol alan bir arabanın ortalama hızını hesaplayınız. Hız = yol zaman = 200 2,5 = 80 Arabanın ortalama hızı 80 km/sa dir. Örnek: 120 km/sa ortalama hızla giden bir araba 3 ¼ saatte kaç km yol kateder? Yol = hız zaman = 120 3,25 = 390 Arabanın aldığı yol 390 km dir. Örnek: 160 km/sa lik hızla giden bir tren 720 km lik yolu ne kadar zamanda alır? Zaman = mesafe hız = = 4,5 Trenin yolculuk süresi 4 ½ saattir.

21 ALIŞTIRMALAR Hesap makinesi kullanmayınız. 1) 80 km yi 2 saatte 6) 400 m yi 25 saniyede 2) 300 km yi 4 saatte 7) 150 m yi 6 saniyede (cevabınız km/sa cinsinden olsun) 3) 650 km yi 5 saatte 8) 4 km yi 30 dakikada (cevabınız km/sa cinsinden olsun) 4) 70 m yi 5 saniyede 9) 2 km yi 2 dakikada (cevabınız km/sa cinsinden olsun) 5) 400 m yi 25 saniyede 10) 1,5 km yi 30 sn de (cevabınız km/sa cinsinden olsun) kat eden bir aracın ortalama hızını bulunuz. 11) 75 km/sa lik hızla 2 saat 16) 12 km/sa lik hızla 4 ½ saat 12) 80 km/sa lik hızla 6 ¼ saat 17) 60 km/sa lik hızla 30 dakika 13) 320 km/sa lik hızla 15 dakika 18) 120 km/sa lik hızla 1 dakika 14) 12 m/s lik hızla 10 saniye 19) 60 m/s lik hızla 45 saniye 15) 10 m/s lik hızla 2 dakika 20) 20 m/s lik hızla 30 dakika yolculuk eden bir araç ne kadar yol alır? Bir araç, 21) 5 km/sa lik hızla 20 km yi 22) 80 km/sa lik hızla 400 km yi 23) 30 km/sa lik hızla 15 km yi (cevap dakika cinsinden olsun) 24) 40 km/sa lik hızla 10 km yi (cevap dakika cinsinden olsun) 25) 100 km/sa lik hızla 50 km yi (cevap dakika cinsinden olsun) 26) 40 km/sa lik hızla 4 km yi (cevap dakika cinsinden olsun) 27) 4 m/s lik hızla 20 m yi 28) 80 m/s lik hızla 400 m yi 29) 40 m/s lik hızla 10 m yi 30) 40 m/s lik hızla 1 m yi ne kadar zamanda kat eder?

22 A) Karşılıklı Hareket Edenler Örnek: A ve B şehirlerinden birbirine doğru aynı anda hareket eden iki otobüsün saatteki hızları 45 km ve 60 km dir. İki şehir arası 420 km olduğuna göre bu iki otobüs kaç saat sonra karşılaşırlar? Çözüm: = 105 km 1 saatte alınan yol zaman = yol hız denkleminden z = = 4 saatte karşılaşırlar. Örnek: A ve B şehirlerinden aynı anda karşılıklı hareket eden iki otomobilden birinin hızı 70 km diğerinin hızı 80 km dir. Bu otomobiller hareketlerinden 4 saat sonra karşılaşıyorlar. İki şehir arası kaç km dir? Çözüm: (4 x 70 =280 km) + ( 4 x 80 = 320 km)=600 km olur Otomobillerin 1 saatteki hızları 4 ile çarpılıp bulunan sayılar toplanarak yolun uzunluğu bulunur.

23 Örnek: Aralarında 330 km yol olan iki şehirden aynı anda hareket eden iki otomobil 3 saat sonra karşılaşıyorlar.birinin hızı saatte 60 km ise diğerinin saatteki hızı kaç km dir? Çözüm: 3 x 60 =180 km 3 x? =150 km =150 km 150:3=50 km /sa olur. Hızı belli olanın aldığı yolu saat ile çarparız. Kalan yol diğerinin aldığı yoldur. Bunu da yolun tamamından çıkararak diğerinin yolunu buluruz. Bu yolu saate bölerek diğerinin saattekki hızını bulmuş oluruz. B) Ters yönde hareket edenler Örnek: Hızları saatte 75 km ve 80 km olan iki otomobil zıt yöne doğru hareket ettiklerinden 3 saat sonra aralarındaki uzaklık kaç km olur? Çözüm: (3 x 75=225 km) +(3 x 80 km=240 km)= 465 km Aralarındaki uzaklık saatteki hızlarının geçen zamanla çarpımlarının toplamıdır.

24 Örnek: Hızları saatte 60 ve 50 km olan iki otobüs aynı yerden ters yöne hareket ediyorlar.kaç saat sonra birbirlerinden 440 km uzakta olurlar? Çözüm: Saatteki hızları toplanıp yol uzunluğuna bölünerek zaman bulunur =110 km 440:110=4 saat sonra Örnek: Aynı noktadan zıt yönde hareket eden iki atlı 4 saat sonra birbirlerinden 120 km uzaklaşmışlardır.birinin hızı 12 km ise diğer atlının hızı kaç km dir? Çözüm: Birinci atlının aldığı yolu hızı ile zamanı çarparak buluruz. Sonra yol uzunluğundan çıkarıp diğer atlının gittiği yolu buluruz.bu yol zamana bölünerek diğer atlının hızını buluruz. 72 : 4 = 18 km/sa diğer atlının hızı 12x4=48 km 120 km-48 km=72 km diğer atlının aldığı yol C)Arka arkaya gidenler Örnek: Saate 60 km hızla giden bir otomobilin hareketinden 4 saat sonra aynı yöne doğru saatte 75 km hızla başka bir araba kalkıyor. Arkadaki öndekine kaç saat sonra yetişir? Çözüm : Birinci aracın aldığı yol farkını hız farklarına bölerek buluruz. 60x4=240 km ilk arabanın aldığı yol (aradaki fark budur) 75-60=15 km hız farkı (arkadaki her saatte bu kadar yol kapatır) 240:15=16 saat sonra yetişir.

25 Örnek: Bir şehirden saatteki hızı 60 km olan bir otobüsün hareketinden 6 saat sonra saatteki hızı 90 km olan ikinci bir otobüs aynı yönde hareket ediyor. İkinci otobüs birinci otobüse kaç km sonra yetişir? Çözüm: 1. otobüs 6x60=360 km yol fark yapar. Hız farkı 90-60=30 km dir 360:30=12 saat sonra yetişir. O zaman 90X12=1080 km sonra yetişmiş olur km Örnek: Saatte 40 km hızla giden bir kamyonun hareketinden 3 saat sonra aynı yerden aynı yöne doğru yola çıkan bir otobüs öndekine 4 saat sonra yetişiyor. Arkadaki arabanın saatteki hızı kaç km dir? Çözüm: 40 x 3=120 km yol farkı Bu yol farkı 4 saatte kapandığına göre 120 : 4=30 km (hız farkı) 40+30=70 km saatteki hızı

26 ALIŞTIRMALAR 1- Ali Bey 105 km hızla 4 saatte İstanbul dan Ankara ya gidiyor. İstanbul Ankara arası kaç km dir? km lik bir yolu 5 saatte giden bir aracın saatteki ortalama hızı kaç km dir? 3- İki şehir arası otobüs ile 9 saat,otomobil ile 5 saat sürmektedir. Otobüsün hızı saatte 162 km ise otobüsün hızı kaç km dir? 4- Saatte ortalama hızı 7 km olan bir yayanın hareketinden 5 saat sonra aynı yöne doğru saatteki hızı 12 km olan bir atlı hareket ediyor. 3 saat sonra yaya ile atlı arasındaki uzaklık kaç km olur? 5- Aralarında 480 km olan iki kentten karşılıklı olarak hareket eden iki trenden birinin hızı saatte 35 km dir. Diğerinin hızı saatte 45 km dir. Bu iki tren kaç saat sonra karşılaşırlar? 6- Ters yönde giden bir otobüs ile bir kamyonun hızları 80 km ve 60 km dir. 6 saat sonra aralarındaki uzaklık kaç km olur? 7- Saatte 80 km hızla giden bir motosikletli 255 km lik yolu 4 saatte gitmiştir. Acaba yolda kaç saat dinlenmiştir? 8- Saatteki hızı 80 km olan bir otobüs A şehrinden B şehrine 7 saatte gidiyor. Saatte 70 km giden bir kamyon bu yolu kaç saatte alır? 9- İki şehir arasını karşılıklı olarak yola çıkan otomobilden birinin hızı 70 km diğerinin hızı 85 km dir. İki otomobil 4 saat sonra karşılaştıklarına göre bu yol kaç km dir?

27 10- İki şehir arası 372 km dir. Bir otobüs bu yolu 6 saatte aldığına göre otobüsün saatteki hızı kaç km dir? 11- Bir uçak Atlantis okyanusu üzerinde batıdan doğuya doğru 3800 km yi 6 saat 12 dakikada katediyor. Hava akımı nedeniyle aynı yolu doğudan batıya alması 7 saat 18 dakika tutuyor. Uçağın gidiş-dönüş ortalama hızı nedir? İşçi Problemleri Örnek: (JB/s.7) 7 işçinin 7 kuyuyu kazması 7 dakika alırsa, 8 işçinin 8 kuyuyu kazması ne kadar zaman alır? Çözüm: 1 işçinin 1 kuyuyu belli bir zamanda kazdığını düşünün. Her işçi 1 kuyuyu 7 dakikada kazmaktadır. Şimdi bütün işçilerin 1 kuyu üzerinde çalıştıklarını düşünün. Bir işçi bir dakikada kuyunun 1/7 sini tamamlar. 8 kuyu üzerinde çalışan 8 işçiyi düşünürsek, her işçiye bir kuyu düşer. Bir kuyunun tamamlanması 7 dakika sürdüğüne göre 8 kuyunun tamamlanması da 8 işçiyle 7 dakika alır. Cevap: 7 olur. Örnek (JB/s.7): 5 işçi 3 dakikada 4 kuyu kazmaktadır. 9 işçinin 6 kuyu kazması ne kadar sürer? Çözüm: Kazılan kuyu sayısına k, işçi sayısına m, çalışma süresine t (dakika cinsinden) ve dakika başına kazılan kuyuya r dersek, yol = hız zaman formülüne benzer bir formül ederiz. k = r t (m). Bu formülde değişkenlerin yerine değerleri koyarız ve r için denklemi çözeriz. 4 = r 3 5 Buradan r = 4 15 (kuyu / dak./işçi) Şimdi de aynı denklemi m = 9 ve k = 6 için çözelim. 6 = 4 15 t 9 Buradan t= = 15 6 = 2,5 dakika. Cevap: 2,5 dakika olur.

28 Örnek: (JB/s.8) 5 su hortumu 10 küçük tankeri 80 dakikada ve 6 büyük tankeri 90 dakikada doldurmaktadır. 10 hortumun 8 küçük ve 8 büyük hortumu doldurması için gerekli en az zaman nedir? Cevap: 1 hortumun 1 tankeri doldurması için gerekli süreyi bilmeliyiz. Küçük tankerler için: 10 = r 80 5 Buradan r = küçük tanker 1 hortum tarafından 40 dakikada doldurulur. Büyük tankerler için: 6 = r 90 5 Buradan r = büyük tanker 1 hortum tarafından 75 dakikada doldurulur. Bir hortumun 8 büyük ve 8 küçük tankeri doldurması = 920 dakika alacaktır. 10 hortum da kullanılıyor ise tankerler = 92 dakikada dolar. Cevap: 92 dak. ALIŞTIRMA (JB / s.8) 1) 3 boyacı 4 odayı 9 saatte boyuyor ise, aynı hızda çalışan 1 boyacı bir odayı kaç saatte boyar? (Cevap: 6 sa, 45 dk) 2) 9 sincabın bir yuvayı yapması 5 saat alıyorsa 15 sincabın birlikte çalışarak 2 yuvayı yapması ne kadar zaman alır? (6 sa) 3) 4 öğrenciden oluşan bir takım, 30 dakikada 9 problemi doğru olarak çözmüştür. 40 dakikada 5 öğrenciden oluşan bir takım kaç problemi doğru olarak çözer? (Cevap: 15 problem) 4) Ceren bir bulmacayı 4 dakikada çözmektedir. Murat daha hızlıdır ve 5 bulmacayı 12 dakikada çözmektedir. Her ikisi birlikte çalışırlarsa 10 bulmacayı en az kaç dakikada çözerler? (Cevap: 15 dk)

29 TEST 1. Yandaki terazi dengede olduğuna göre x ağırlığı kaç kg dır? A) 6.B) 7 C) 8 D) 9 2. A) 1 B) 2.C) 3 D) yaşında bir babanın üç çocuğunun yaşları toplamı 20 ise kaç yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur? A) 5 B) 8.C) 10 D) (JB/s.4) Murat 2 km lik bir bir parkı 25 dakikada koşmuş ve dönüşte de 55 dakikada yürümüştür. Murat ın ortalama hızı ne kadardır? A) 4.B) 3 B) 5 D) 7 5. (JB/s.4) Bir bisikletçi 6 km/sa hızla bir tepenin en üst noktasına 30 dakikada gitmiştir. Tepenin en üst noktasından 18 km/sa lik hızla eve dönmüştür. Bisikletçinin bu yolculukta gidiş-dönüş ortalama hızı nedir? A) 12 B) 11 C) 10.D) 9

30 6. 5(x 3) = 35 denkleminde x kaçtır? A) 8 B)9.C) 10 D) Bir sayının 7 fazlasının 4 katı 64 ise sayı kaçtır? A) 8.B) 9 C) 10 D) (math.com) Aşağıdaki dikdörtgenin alanı 40 cm² dir. x kaçtır? 5 cm (2x+4) cm.a) 2 B) 3 C) 4 D) 5 9. (math.com) Aşağıdaki dikdörtgenin çevresi 28 m dir. x kaçtır? 3 m (x+4) m.a) 7 B)11 C) 2 D) (CP) Bir araba 2 saatte 90 km yol alıyor. Ortalama hızı nedir?.a) 45 B) 90 C) 180 D) (CP) Bir tren 280 km lik mesafeyi 3 saat 30 dakikada alıyor. Ortalama hızı nedir? A) 90.B) 80 C) 70 D) (CP) Bir bisikletçi 22 km/sa lik hızla pedal çeviriyor. 55 km yi kaç saatte alır? A) 3 B) 2.C) 2 ½ D) 4

31 13. (CP) 4 saat 15 dakikada bir kız çocuğu 6 km/sa lik hızla ne kadar uzağa gidebilir? A) 25.B) 25 ½ C) 24 D) 24 ½ 14. (ND/s.13) Ardışık iki tek sayının toplamı 200 dür. Bu sayılardan küçüğü kaçtır? A) 97.B) 99 C) 101 D) (JB/s.5) Bir yüzme havuzundan gölgede saatte 6 litre ve güneşte 19 litre su buharlaşmaktadır. Ağustos ayında eşit miktarda su buharlaştığına göre suyun ortalama buharlaşma hızı nedir?.a) 9,12 B) 9,5 C) 10 D) 12,5 16. (JB/s.9) Coşkun un yaşı, kızı Meltem in yaşının 3 katından 3 eksiktir. Coşkun bugün 33 yaşındaysa, kaç yıl sonra Coşkun un yaşı Meltem in yaşının iki katı olur? A) 7 B) 8.C) 9 D) (JB/s.9) Dört ardışık çift sayının toplamı, bu sayılardan en küçüğünün 3 katına eşittir. Sayıların toplamı nedir?.a) -36 B) 36 C) -28 D) (JB/s.9) Bir dikdörtgenin boyu eninin 3 katıdır. Dikdörtgenin çevresi 32 cm ise, alanı kaç cm 2 dir? A) 64 B) 36 C) 24.D) (JB/s.9) Anıl her sabah işe giderken otobanda arabayla ortalama 45 km/sa hız yapmaktadır. Anıl arka yolları takip ederse 36 km/sa hız yapabilmektedir. Arka yollarda kat ettiği yol mesafesi 3 km daha kısadır ve yolculuk 5 dakika daha fazla sürmektedir. Otoban kaç km dir? A) 40 B) 45.C) 30 D) 36

32 20. (JB/s.9) Bir altıgen ve bir beşgenin ortak özelliği kenar uzunluklarının ardışık sayılar olması ve çevrelerinin 45 er cm olmasıdır. Buna göre, beşgenin en kısa kenarı ile altıgenin en kısa kenarı arasındaki fark kaç cm dir? A) 4 B) 3.C) 2 D)1 21. (JB/s.9) Ekrem ev ile okul arasındaki mesafenin yarısını ortalama 6 km/sa hızla koşmuş, kalan yarısında ise 4 km/sa lik hızda yürümüştür. Yolculuk toplam 25 dakika sürdüyse, eve dönüş yolculuğu ortalama 8 km/sa hızla kaç dakika alır? A) 5.B) 15 C) 20 D) (JB/s.9) Orkun bir tarlayı 50 dakikada sürmektedir. Nedim ile beraber çalıştıklarında aynı tarlayı sürmeleri sadece 30 dakikayı aldığına göre Nedim tek başına tarlayı kaç dakikada sürer? A) 75 B) 70 C) 60 D) (ND/s.14) Birinci koşucu diğerinin 3 katı koşuyor. İkinci koşucu 30 m lik yolu 15 sn de koşarsa birinci koşucu 42 m lik yolu kaç saniyede koşar? A) 10 B) 11 C) 9.D) (ND/s.14) 1080 TL yı Cem ile Suat paylaşacaklar. Cem in aldığı her 50 TL ya karşılık Suat da 40 TL alacaktır. Her biri kaçar lira alacaktır?.a) B) C) D) (ND/s.14) Bir besicinin 8 mandasına 3 ay yetecek kadar besi yemi vardır. Bu yemin 4 ay yetmesi için besici kaç mandasını satmalıdır? A) 1.B) 2 C) 3 D) 4

33 26. (ND/s.14) Bir mal alındığı fiyatın 1/5 zararıyla satıldı. Zarar 148 lira olduğuna göre bu mal kaça alınmıştı? A) 840 B) 1000.C) 740 D) (ND/s.14) Bir otobüs İstanbul dan Ankara ya doğru saat de 60 km. hızla hareket etmiştir. Bir saat sonra hızı 80 km. olan ikinci bir otobüs aynı yönde hareket etmiştir. Birinci otobüse saat kaçta yetişecektir? A) B) 9.00 C) D) (ND/s.15) Meral, Hasan ve Hüseyin in paralarının toplamı 3360 TL dir. Hüseyin in parası Meral in parasının 3 katı, Meral in parası ise Hasan ın parasının ¼ ü kadardır. her birinin kaçar lirası vardır?.a) B) C) D) (ND/s.15) Bir depoda 900 liralık gazyağı bulunmaktadır. 48 lt gazyağı satılınca depoda 180 liralık gazyağı kalmıştır. Depoda kalan gazyağı kaç lt dir? A) 50 B) 6 C) 72 D) (ND/s.15) Ali nin Bekir den 5 misli parası olsa 3000 lirası olacaktı. Acaba Bekir in ne kadar parası vardır? A) 500.B) 600 C) 200 D) (HÖ/s.64) Bir memurun aylık geliri 2100 lira, ortalama masrafı da 2450 liradır. Bu memur 1 yılda kaç lira masrafa girmiştir? A) 4500 B) 4300.C) 4200 D) 4000

34 32. (HÖ/s.64) Paramın 1/6 sı ile tanesi 2,5 liradan 2 silgi ile tanesi 5,5 liradan 3 defter aldım. Paramın tümü kaç liradır?.a) 129 B) 130 C) 138 D) (HÖ/s.64) Bir memur işine gitmek için her gün 3 lira dolmuş parası ödemektedir. Ayda 4 Pazar işe gitmediğine göre 1 yılda kaç lira dolmuş parası öder? A) 940.B) 939 C) 955 D) (ND/s.81) Bir sınıfta bulunan 30 öğrencinin boy ortalaması 1,4 m dir. Bunlardan boy ortalamaları 1,2 m olan 10 kişi ayrılırsa kalan kişilerin boy ortalaması kaç m dir? A) 1,2 B) 1,3 C) 1,4.D) 1,5 35. (ND/s.81) Üç kardeş babalarının verdiği okul harçlığı olan 900 lirayı şu şekilde paylaşıyorlar. Küçük ortancadan 75 lira fazla, büyük de küçükten 150 lira fazla alıyor. Buna göre küçük kardeş kaç lira alacaktır?.a) 275 B) 200 C) 600 D) (ND/s.81) Bir yolun 84 metre olan kenarına her 6 metrede bir kazık çakılacaktır. Kaç kazık gereklidir?.a) 14 B) 15 C) 16 D) (ND/s.81) 9 öğrencinin ağırlıkları ortalaması 45 kg dır. Bu topluluğa 55 kg ağırlığında bir öğrenci daha katılınca, on öğrencinin ağırlıkları ortalaması kaç kg. olur? A) 45.B) 46 C) 50 D) (ND/s.82) Ali, kumbarasından çıkan 50 kr, 1 TL, 2,5 TL ve 5 TL lik madeni paraları saydığında 68 adet olduğunu gördü. Paraların sayısı birbirine eşit olduğuna göre kumbaradan kaç lira çıkmıştır? A) 260 B) 612.C) 153 D) 250

35 39. (ND/s.83) 46 öğrencisi bulunan bir sınıfta iki adaydan biri 6 oy daha fazla alarak sınıf başkanı seçilmiştir. Seçimi kaybeden kaç öğrencidir? A) 23.B) 20 C) 26 D) (ND/s.83) Bir paranın 1/6 sı 4 kişi arasında eşit olarak bölünmüştür. Her kişiye 400 lira düştüğüne göre paranın tamamı kaç liradır? A) 5400 B) 1600.C) 9600 D) 5000 (41-42.sorular için) Aşağıdaki eşitliğin doğruluğu için, a ve konulmalıdır? yerine sırası ile hangi sayı ve işaret 41. a + 6 = 3 7 A) 15, +.B) 15, C) 4, - D) 4, = 96 a A) 2,.B) 2, C) 4, + D) 4, 43. Yukarıdaki denge konumunda olan teraziye ait denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 5 = x + 6 B) 2x + 4 = x + 5.C) 2x + 4 = x + 6 D) 2x + 3 = x + 3