üzerinde tanımlı cyclic bir kod olduğu Wolfman tarafından 1999 da yaptığı bir çalışmayla gösterilmiştir. Daha sonra bu

Transkript

1 GİİŞ Kodl teors l olr 94 lı yıllrı solrı doğr zı ühedsl roleler le ğltılı olr orty çııştır B o erde tet vrlrı llılr elştrlş ve Cersel Kodl Teors dıı lıştır t düzelt odlr teors se l trsfer yd deolsı essıd orl lye yıl eler otze ve letle lde eyd elelee htlrı düzelte olrl ller Öreğ; r esı r l oy hızlı ve üvelr r şelde lete steyel l r telefo httı yüse freslı r rdyo ğltısı ollr E eslğ s htsı yd yıldırı seeyle l let essıd ht olşlr B htlrd esı or ç fzld ver eler Dtl r herleşe sste şğıd şelde österlr

2 İletşde ç yt öderle esı doğrlğ yüse r olsılıl letetr Mesı ödere ç lfe olr dldırıl sol üeler llılır B üe eellle sol r hl vey s olr lıır İletlee es olşlee htlrd or üzere şfreler Şfrelee es od elelrı ol od sözülerdr Kod sözüler l öderlr Bzı terler değşş y ht olş ollr Deoder ht ol oldığıı otrol eder ht vrs düzeltr ve orl es elde edl lııy öderlr Br od zlığı e dr üyü olrs o od o dr ht düzelteeğde zlılrı üyü odlrı elde edles öeldr Arştırılrı odlr üzere yış oldlrı çlışlrı r ısı q sol s üzerde ye odlr elde edles ve lr rşılı ele ersel od olştrlsı le lldr Belrl hllr üzerde tılı odlr llılr d sler üzerde odlr elde edlelr llr üzerde tılı leer odlrl ll çlışlr 97 lerde şlıştır

3 3 Ζ 4 üzerde tılı _ zlğd r leer eyl od Gry döüşüü ltıd örütüsüü üzerde tılı yl r od oldğ Wolf trfıd 999 d ytığı r çlışyl österlştr Dh sor çlış Ζ üzerde odlr eelleştrlştr hlsı üzerde yl ostyl odlrı Gry döüşüü ltıd örütüler J F Q L Zh S Zh trfıd 6 yılıd elrleştr B çlış ve hllrı yı r trfıd eelleştrlştr 8 yılıd MV Arr ve F Neezo trfıd hlsı üzerde tılı _ zlğd ostyl od Gry döüşüü ltıd örütüsüü _ zlğd ertees ol üzerde tılı r qs-yl od oldğ österlştr ol üzere hllrı üzerde ostyl od Gry döüşüü ltıd örütüsüü üzerde _ zlğd ertees ol qs-yl od oldğ P Udovh S Jt trfıd 9 d österlştr s Böylee elrl hllr ve hllrı elrlere llıl Glos sler rsıd y döüşüler tılsı yolyl elrl hllrd odlrl slerde odlr rsıd lşler elrleştr

4 4 I BÖLÜM ÖN BİLGİLE Kod Tıı ve Özelller Tı : Alfe olr dldırıl F λ λ λ } sol üesde lı q { q elelrı olştrdğ sol dzler üese q -ry od der Fq { Fq } ol üzere F q elelrı sözü der F herh r C lt üese _zlğd r q -ry od ve q C od elelrı d od sözüğü der Tı : er F ç ve rsıd zlığı d { } şelde tılır ve d : F F IN {} q d çde tıl döüşü q q F q ç d d F q ç d d F q ç d d d özelller sğlr ve r etrtr 3 Tı : Br C od zlığı d C { d y y y C } çde tılır Uzlğ ele syısı ve zlığı d ol r C od d _ oddr der Brd d C od retrelerdr

5 5 C d _ od ols B retreler rsıd şğıd lşler vrdır; yeter dr üyüse od fzl syıd esı şfreler d üyüse od dh fzl ht düzeltr üyüdüçe d üçülür v üçüldüçe es dh hızlı letlr Kod elrleye üç retrede s ell e dğer lleeğ e y değer elrlee öeldr 4 Tı : C r q ry d _ od ols Verle ve d değerler ç lleeğ e üyü değer A q d le österlr B C od sıırı der Öre : C {} r 4_oddr C {} r 543_oddr Teore : her ç A d q q Aq q dr o 99 d 7 ç A değerler şğıd verlştr Sloe 977 d d 3 d 5 d

6 6 Teore : Br -ry od ç d te ol üzere r d _ od vr olsı ç ere ve yeter oşl r d _ od vr olsıdır ll 986 Soç : d te syı se A d A dr ll 986 d d çft syı se A d A d Öre : A 53 4 oldğ öre yrıd soçt A 64 4 tür 644 _ od şğıd 543 _ odd elde edle C 543 _ od C {} d D 644_ od D { } olr 3 Teore : C d zlığ sh r od ols d se C od herh r od sözüğüde te htyı test eder d t se C od herh r od sözüğüde t te htyı düzeltr ll 986 Soç: d zlığ sh ol r C od herh r od sözüğüde d te htyı test etete yd L 4 d te htyı düzeltete llılır 5 Tı : C D q -ry odlr ols D od C odsözülerde yı yerde elelr yı erütsyo ylr elde edls D od C odsözülerde leşe yer değştres le elde edls oşllrıd e z r sğlıyors D od C od detr der

7 7 3 Öre : C {} 3-ry od ç σ erütsyo ç C od 3od seollere ylırs C {} olr Dh sor odlerle 4 odler yer değştrldğde C {} od elde edlr Brd C od C od detr 4 Teore : Br q - ry t _od q q t eştszlğ sğlr Leereyer 5 t q 6 Tı : Br q - ry t _od ç t t q q q se od üeel od der 4 Öre : Br q - ry _ od üeel r oddr

8 8 II BÖLÜM LİNEE KODLA ŞİFELEME VE ŞİFE ÇÖZÜMÜ Leer Kodlr s q sl Ζ s ol üzere G F q q q elelı Glos s ç f Ζ [] de s dereede sl r olo ol üzere Ζ [] q dr Özel olr sl syısı ç G F f Ζ dr Tı : r hl ol üzere üzerde r odüldür her lt odülüe üzerde r _ zlğd leer od der q q üzerde r vetör zyıdır Bezer şelde q her lt zyı üzerde _ zlğd r leer od der q Öre : C { } ües r lt zyı oldğ ç od üzerde _zlğd r leer oddr Öre : C { } 4 ües r lt zyıdır Dolyısıyl C 3 üzerde 4_zlğd r leer oddr Tı : de y y y y elelrı verls q ve y frlı leşeler syısı olr { y } d y çde tıl d fosyo zlığı der

9 9 C q üzerde _ zlğd r leer od se d C { d y y y C } ye C od zlığı der 3 Tı : C q vetör zyıı _ oytl r lt zyı se C ye r [ ]_ od dı verlr Eğer C od zlığı d C d le österlrse C r leer [ d]_ oddr der 4 Tı : vetör zyıı herh r eleıı q ğırlığı w { } şelde tılır q C q üzerde r leer od se w C { w C } ye C od ğırlığı der Öere : er y q ç d y w y dr o 99 Teore : C q üzerde r _ zlğd leer od se d C w C dr Kıt : y y y y C ol üzere d C { d y y y C } oldğd y C ç d C d y w y { w C } wc lr d C w C dr w C { w C } oldğd r C ç w C w lr C ç w C w w d { d y y y C } d C oldğ örülür w C d C dr

10 w C d C olr Yrıd teorede elelı leer r C od zlığıı elrlee ç te ıysl y yere sözüğüü ğırlığı yeterl oltır so elde edlr te od 5 Tı : C leer r [ ]_ od ols C tıd te eleı llr elde edle le österlr tde trse C od üret trs der ve G 3 Öre : üzerde C { } od r tı S { } oldğ ç G trsdr C od üzerde [ 3]_ oddr 3 trs C üret 4 Öre : C { q q q } q q üzerde _ zlğd r q _ ry od ols B od r tı S { } oldğd C üret trs G [ ] ol r [ ]_ oddr 6 Tı : v v v v ol üzere q : q q q v v v v çde tıl döüşüe r ç çrı der v se ve v rre dtr der

11 7 Tı : C r q _ ry [ ] _ od ols C { v v C q } üese C dl der Teore : C r [ ]_ od ve G C od üret trs ols Br v v v v q ols v C olsı ç erel ve yeterl oşl olsıdır [ Τ v v v ] G [ ] Kıt : : v v v v q ç v C ols B drd her C ç v dır ve ols G G Τ dır G C üret trs oldğd C dr v v v oldğd

12 [ Τ v v v ] G [ v v v ] [ v v v ] [ ] olr : v v q v v ol üzere [ e v C oldğ österel Τ v v v ] G [ ] [ oldğd Τ v v v ] G [ ] [ v v ] v ] [ dr v v v dır G v v v C v v v od üret trs oldğd her C ç λ λ λ ol çde λ λ λ q vrdır Eştlğ her trfı v le çrıldığıd v λ λ λ v

13 3 λ λ λ λ λ λ λ λ λ v v v λ λ λ λ λ λ λ λ λ v v v λ λ λ v λ λ λ v λ λ λ v λ v v v λ v v v λ v v v llılr λ λ λ lr v C dr Öere : C üzerde r leer [ ] _ od se C de üzerde r leer [ ] _ oddr ll 986 q q Not : C r [ ]_ od ol üzere C C dr 5 Öre : C { } üzerde r leer [3]_ od ols C od üret trs G 3 dr er v v v v C 3 se v v v olğıd [ 3 ] 3 [ ] 3

14 4 v v v v3 lr Brd v v v3 olr C { } üzerde leer [3] _ oddr 8 Tı : C r [ ]_ od se C üret trse rty-he trs der ve le österlr tde G Τ oşl sğly r trstr Br C leer [ ] _ od rty-he trs se Τ [ ] [] } C { q çde fde edlr 6 Öre : üzerde r C od rty-he trs 4 şelde se leer C od C { 3 4 elrler Τ [ ] [ ] 3 4 Τ [ ] 4 [ ] } çde C [ ] [ ] 3 4 dır Brd 3 4 { } oldğ örülür B örete 4 C C oldğd örüleeğde üret trstr rty-he trs C od ç yı zd r

15 5 7 Öre : üzerde r C od rty-he trs [ ] 3 çde se leer C od Τ [ ] 3 [] } 3 C { 3 3 çde elrler Τ [ ] [ ] 3 3 C [ ] [ ] 3 dır Brd 3 { } olr 3

16 6 Leer Kodlrd Şfrelee Tı : C q üzerde G üret trsl r [ ] _ od ols C q te eleı ldğd C q te frlı esı letete llıllr Meslr q ües q te eleıyl tılır er q ols Aşğıd φ ve ϕ fosyolrı yrdııyl es rşılı ele eleı şğıd çde şfreler ; q φ : q M q φ [ ] G [ ] [ ] ve ϕ : M q C [ ] ϕ [ ] fo syolrı yrdııyl ψ ϕ oφ çde tıl fosyo d şfrelee fosyo dı verlr Öre : C r -ry [74]_od ve C od r tı S { } se C od üret trs G çdedr 4 7

17 7 4 Br es rşılı etrle vetörü verls B eleı ψ ϕ oφ ϕ φ 3 4 ϕ [ ] olr şfreler Özel olr ; Mes rşılı şfrelee sod etrl e vetör şfrelee l od sözüğü ψ ψ ψ çde şfreledğ örülür

18 8 3 Leer Kodlrd Deodl 3 Tı : Br od sözüğüü r l oy letldğ ve y y y y şelde lııy lştığıı vrsylı e y e e e şelde tıl vetöre ht vetörü der Şfre çözüü y vetörüde od sözüğüü letldğ yd e ht vetörüü eyd eldğe rr vereldr B ölüde deodl yöte ltıltır Blrd r 96 yılıd Sle trfıd leer odlr ç elştrle r deodl yötedr Leer odlrd zlğ üyü ol odlr ç de sedro deodlsı elştrlştr 3 Teore : C üzerde r [ ]_ od ol üzere her q q ç ~ od C C şelde tıl ~ r del ğıtısıdır ll Teore : C q üzerde Lre r[ ]_ od ols B drd; er q ç C ol çde e z r q C vrdır C er I ç C q dır F q İ del sııfı y yrıtır yd çışıtır ll Öre : C üret trs G ol r -ry [4] _ od ols B od C { } çdedr 4 B C od öre elelrıı del sııflrı ; 4

19 9 C { } C { } C { } C { } dır C oldğ ç C del sııfı C sııfıyl çışır Bezer şelde C C dr Del sııfıı tesller olr ğırlığı e üçü ol od sözüler öz öüe lıır 3 Tı : Br del sııfıı çde e üçü ğırlığ sh ol vetöre del sııfıı lder der Eğer e üçü ğırlığ sh rde fzl ele vrs herh r del sııfıı lder olr seçlr Öreğ ; C del sııfıı lder olr vey lılr Sle ı deodl etod C r [ ]_ od ol üzere tü elelrı llılr q q te stır q te sütd olş şğıd tloy olştrlı ; Idı : Br stır vetörü e şt ol üzere C tü elelrı yzılır IIdı : Tlo r stırıd oly ğırlığ sh vetörü seçlr C elelrı ı ltı elelr ıı ll eleıı ltı stır olr yzılır C

20 IIIdı : Tlo r ve stırıd oly ğırlığ sh r Eleı seçlr ve C elelrı II dıd olğ şelde üçüü stır olr yzılır IVdı : B şelde tü sııflr lsteleeye dr dev edlr B tloy Sle ı stdrt tlos der Br vetörüü r C [ ]_ od yrdııyl şfreleere lııy y vetörü olr lştığıı düşüel Öelle C od ğlı olr Sle ı stdrt tlos olştrlr Tlod y vetörü lr y vetörüü ldğ süt l stırıd ve tör r vetörüdür e ht vetörü ol üzere y e lşs vrdır B yöte Sle ı deodl yöte olr dldırılır 4 3 Öre : 3 Öre ç C od yrdııyl şfreleş ve lııy lşış sözü y ols B h sözüte şfreledğ elrleyel Öelle C od ğlı olr Sle ı stdrt tlos olştrlr Sııf Lderler B tloy öre lı y vetörü od sözüğü olr deodlış olr Brd ht vetörü e dır

21 es rşılı lı şfres çözüle es rşılı ele vetör od sözüğü l vetör sözü ele vetör oldğd şfre çözüleez Brd od sözüğüü l üç leşe herh r yerde ht eyd elşse te r ht düzelteetr Eğer 4 leşede ht eyd elrse ht düzeltleeyeetr Sedro deodlsı 33 Tı : C q üzerde r [ d] _ od ve C od rty-he trs ols w : q M q y ve y y y [ ] T w y y y y [ ] w ı : M q q ı [ ] w [ ] ı ol üzere s w o w şelde q de q ye tıl r döüşü verls er y ç s y ye y sedro der q

22 Not : h h h h h h h h h h h h h h h h h h ve rty-he trs ol üzere h h h s y yh yh yh şelde de fde edlr s y y C dr 3 Öere : ve v yı del sııfı t vetör olsı ç ere ve yeter oşl s s v olsıdır Kıt : ve v yı del sııfı t vetör ols B drd C v C dr C v C v C v v C s v C v h v h v h h vh h vh h vh h h h vh vh vh h h h vh vh vh s s v 3 Öere : Del sııflrı le sedrolr rsıd re r rşılı vrdır ll 986

23 3 33 Öre : C üzerde tılı r [4]_ od ols C od üret trs G 4 verlyor B drd rty-he trs olr 4 C {} od ç Sle ı stdrt tlos çdedr B tlod tü vetörler sedrolrı s w ı o w w ı w ı T w [ ] ı w [ ] ı w [ ] s s s s s s s s s s s s s s s s dr

24 4 Eğer stdrt tlo çözüü ç lsyr rorı llıldığıd sdee süt htyç dylr Blsyr tü tlo verler re yere sııf lderler ve lr t sedrolrı rez yeterl oltır B tloy sedro r tlos dı verlr Br vetörüü r C [ ]_ od yrdııyl şfreleere lııy y vetörü olr lştığıı düşüel Deodl ç; I Adı : Del sııfı lderler sedrolrı heslır II Adı : Alı y vetörü ç sy heslır I II Adı : z sy lıır Sedro r tlosd z ldğ stırd z rşılı ele del sııfı lder f z vetörü elrler IV Adı : Ar od sözüğü y f z olr 4 34 Öre : 33 Öre ç C od yrdııyl şfreleş ve lııy lşış sözü y ols B h sözüte şfreledğ elrleyel Öelle del sııfı lderler sedrolrıı heslyı sedro r tlos olştrlı Sedro r tlos : del sııfı sedro z lderler f z

25 5 Dh sor lı y vetörüü sedro heslylı ı s w o w w ı w ı w [ ] T w ı [ ] ı w [ ] Sedro r tlosd s y e rşılı ele del sııfı lder f z dr Brd l od sözüğü - olr Kod yısı ğlı olr Sle ı deodl yöte y d sedro deodl yöte llılır Kod sözüğüü zlğ üçü se Sle ı stdrt tlos llılr deodl y ydr Kod sözüğüü zlğ üyü se Sedro deodlsı ll dh ydr

26 6 4 Cyl Kodlr 4 Tı : C r lt ües ols Eğer her q C e C olyors C üese yl üe der C leer od ol üzere C yl r üe se C ye yl od der 4 Öre : C } { C { } C 3 } { 5 3 odlrı verlyor C yl r oddr C ve C 3 üeler yl üe ollrı rğe leer od oldılrı ç yl od değldr Teore : q π üzerde [] q : q leer döüşüü verls < π < C lt ües yl od olsı ç erel ve yeterl oşl π C q q [ ] L 4 r del olsıdır <

27 7 4 Öre : C { } 3 üzerde yl od ele llı B drd [] 3 π : 3 oldğ ç < [ ] π C { } 3 < r ess deldr π C < dr Gerçetede [] { } 3 < deldr π C yı zd { } < { f f [ ] 3 < } 3 43 Öre : [ ] { } I 4 dele < rşılı ele yl od π C I sğly C od { } dr 4 Tı : r hl λ C leer od ol üzere ν : ν λ döüşüü ç v C C olyors C od üzerde r λ -ostyl od der

28 8 Ö zel olr λ olsı drd v C C olyors C od üzerde r eyl od der 4 Öere : C leer od ols C r yl od olsı ç erel ve yeterl oşl σ : C C σ çde tıl döüşüü r otoorfz olsıdır Kıt: : C _ zlğd r yl od ols σ : C C σ σ ı - oldğ österel d d d C ç σ σ d d d ols σ d d d d d d σ d d d d d d olr σ - dr σ ı örte oldğ österel C llı lıırs σ sğly C lş olr σ örte dr

29 9 σ ı hooorfz oldğ österel d d d C ç σ d d d σ d d d d d d d d d d d σ σ d d d sğlır Ayrı C ç σ σ σ dır σ r hooorfzdır σ r otoorfzdır : C e σ C oldğd C r yl od olr 4 Öere : C leer od ols C r λ yl od olsı ç erel ve yeterl oşl ν : C C ν λ çde tıl döüşüü r otoorfz olsıdır Kıt : 4 Öerede ezer çde ıtlır

30 3 III BÖLÜM BELİLİ ALKALA ÜZEİNDEKİ KODLA 3 B ısıd ve hllrı üzerde yl ostyl qs-yl odlr ve lşler eleeetr 3 lsı üzerde odlr sl IN ols [ ] { < } < hlsı ç olsı drd ; { [ ] } { } < olğıd { [ ] < { } } { } de r hldır lr ve B drd f : [ ] < f { } döüşüü r zoorfzdır B drd : [ ] < yzılır

31 3 3 Öere : [ ] döüşüü verls [ ] π : < π < C r yl od ol sı ç erel ve yeterl oşl π C < hlsıı r del olsıdır C r ostyl od olsı ç erel ve yeterl oşl π C [] hlsıı r del olsıdır < Kıt : : φ C C yl r od ols π C { } < C ües [ ] < hlsıı r del oldğ österel [] < C _ zlğd r leer od oldğd C oldğd π < π C olr π C dr π < C < π ç C C leer od oldğ llılr < < < π C oldğ örülür

32 3 C π < < f f f f [ ] < ç yl od oldğ llr; C f < < f f f < f f f f f < f f f < f π C oldğ örülür [ ] < π C hlsıı r deldr : C π [] < del ols C π [] < C C C olr π d C C d α α ç old österel ğ d C C d π π π C d π π π α α ç d π π α C d π α π C d α leer oddr C

33 33 C π [ ] C llı del oldğd < < π C [ ] < ç < < < < π C C C r yl oddr dr B d sor ısıd öe drd çlışıltır h lsı üzerde -ostyl odlr yl odlr ve rlrıd lş 3 Tı : C hlsı üzerde _ zlğd r od ols C od sözüğüü Lee ğırlığ ı w L w L w L w L ol üzere wl w L çde tılır er d ç d d w d çde tıl fosyo L L d L Lee zlığı der Br C od Lee zlığı d L C { w C \{ } } çde tılır L 3 Tı : C leer od ols σ : σ döüşüü ç σ C C sec od _ zlğd r yl od der

34 34 33 Tı : C leer od ols ν : ν döüşüü ç v C C se C od _ zlğd r ostyl od der 34 Tı : ol üzere Φ : z z z Φ z z z q q q q r q r z r q çde tıl döüşüe üzerde Gry döüşüü der olsı drd Gry döüşüü Φ : z r q Φ r q q q r çdedr 3 Öere : ol üzere üzerde Gry döüşüü r _ odül hooorfzsıdır ve r zoetrdr Kıt : Gry döüşüüü _ odül hooorfz oldğ österel Φ : z z Φ z z z q q q q r q r z z t α ç z r q t s Φ z t Φ z z t t Φ z t z t r q t s

35 35 Φ r q s r q s Φ r q s r q s q s q s q s r q s r q q q q r q r s s s s s Φ z Φ t sğlır Ayrı Φ α z Φ α z z Φ α z α z Φ α r q α r q Φ α r α q α r α q α q α q α r q α r q α q q r q r q α Φ z olr Φ _ odül hooorfzdır d d etr zylrdır Φ r zoetr oldğ öre ç L er ç d d Φ Φ oldğ österel L { } hlsıı elelrıı Lee ğırlılrı ; w w w L w L d L L Φ : r q Φ r q q q r döüşüü öz öüe l ıırs ; w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w dır

36 36 ç wl w Φ dr ç d L wl w L w L w L w Φ de w Φ Φ Φ _ odül hooorfz w d Φ Φ Φ Φ dr Φ döüşüü r zoetrdr olsı eretğde zlğ çft syı ol ostyl odlr yzılz te syı se çft syı se dr üzerde ütü odlrı zlğ te syı ol zorddır 33 Öere : te syı ol üzere [ ] μ : < [ ] μ döüşüü r zoorfzdır <

37 37 Kıt : < < < ç ] [ μ μ < < < < < < < < olr de dr μ O hl < < ] [ t ç ] [ t < < μ oldğ österel Öelle oldğ el te syı oldğ ç olğıd ldğ österel < < öster < < o

38 38 < llı [ ] dr [ ] yzılır < dr < < olr < llı [ ] dr [ ] yzılır < dr < < olr Brd < < sğlır O z μ t t < < < < < < < <

39 39 < < ] [ t ç ] [ t < < μ dır μ örtedr μ f ğ österel osyo r hooorfz old < < < ] [ ç < < μ μ < μ < < < μ μ < < μ μ < μ < < < μ μ <

40 4 ve de μ μ μ olr O hlde μ hooorfzdır μ r zoorfzdır 3 Soç : te syı ols [ ] hlsıı r I lt ües r del olsı ç erel ve yeterl < μ ües [] hlsıı r del olsıdır < oşl I Q 6 34 Öere : te syı ol üzere μ : μ çde tılı r erütsyo verls Br D od yl r od olsı ç erel ve yeterl oşl μ D ostyl od olsıdır Kıt : : D yl od ols er D μ ç μ D oldğ österel D yl od oldğd D D dr Brd μ D olr μ D μ D ostyl od olr

41 4 : er μ D ostyl od ols D se D oldğ österel μ oldğ llılr D se μ μ D lr ez yerdeğştrdğzde μ D ostyl od oldğd μ D lr Brd D oldğ örülür 35 Öere : Φ o ν σ oφ dr Kıt : Φ σ v Φ ols r q q r Φ Φ r q r σ Φ o q q q q q r q r q r ve q r q q q q r q r q r dr

42 4 ν ν r q r q r q o o r r q r q r q ve Φ ν q r q q q q r q r q r dr Φ ν σ Φ olr 3 T eore : C üzerde ostyl od ols C od Gry döüşüü ltıd örütüsü r yl odtr Kıt : C r ostyl od ols ν C C dr Φ ν C Φ C 35 Öere de Φ ν σ Φ oldğd ll ılr Φ ν σ Φ Φ C oldğ örülür Φ C r yl oddr { 3 } 35 Tı : te syı ol üzere üesde τ 3 3 erütsyo verls π : π çde tıl döüşüe Nehev erütsyo der τ τ τ

43 43 36 Öere : Φ o μ π o Φ dr Kıt : Φ π μ Φ ols μ dr ç ; çft syı se s q s q r te syı se s q ol üzere q r s Φ o μ s s s s s elde edlr ve π oφ π Φ r q r q o π q q q q r q r q r q q r q r dr Brd ç Φ o μ π oφ dr Φ o μ _ π o Φ dr

44 44 3 Soç : de r D yl od Gry döüşüü ltıd örütüsü Φ D Γ se π Γ r yl oddr Kıt : D de r yl od Φ D Γ ols 36 Öere de Φ _ μ D π Φ D π Γ olr 34 Öere de _ μ D _ ostyl oddr 3 Teore llılr Φ _ μ D r yl oddr 3 Öre : hlsı üzerde 3_zlğd C { } od yl ve ostyl oddr B od Gry döüşüü ltıd örütüsü Φ C {} 6 dır C od Lee zlığı ; d C 6 L ve ΦC od zlığı; Φ C 6 dır d μ ve μ oldğd μ C C olr σ Φ σ Φ Φv dır C çde sğlır σ o Φ Φ o v dr B od ç Nehev erütsyo π ve π oldğd Φ o _ μ π oφ olr C yl od ç π Φ C de yl oddr

45 45 Φ 6 π Φ 3 C μ I [ ] < μ 3 3 μ C 6 μ I [ ] < 3 de çl ışlr şğıd eelleştrleetr hlsı üzerde -ostyl yl odlr ve rlrıd lş 36 Tı : üzerde σ ~ : ~ σ döüşüü tılsı er ç ol üzere v e yzılsı B drd üzerde ~ σ döüşüü yrdııyl σ : σ ~ ~ σ ~ σ σ döüşüü tılır

46 46 D üzerde _ zlğd r od ve σ D D olyors D od ertees ol r qs-yl oddr der 37 Tı : C leer od ols ν : r r r ν r r r r r r döüşüü ç v C C se C od _ zlğd r der ostyl od 38 Tı : hlsı üzerde her r ç w ho r r \ r \ çde tıl fosyo r hooeos ğırlığı der er ; ; ; {} d ğer drlrd r r r r ç r hooeos ğırlığı d w ho r who r çde tılır er y ç d y w y çde tıl ho ho d fosyo hooeos zlığı der Br C od ho hooeos zlığı d ho C { w ho C \{}} çde tılır 39 Tı : sol r s ols s sıfırd frlı elelrıı olş trdğ r se devrl r rtr q devrl r ürete s eleı lel ele der q

47 47 er ele rşılı { } e Ζ γ e ol üzere γ e γ e γ e çde r _ d öster vrdır e Ζ eleı rşılı ele α lel r ele ol üzere α P e P γ e γ e α γ e α çde yzılı vrdır ve α e _ d öster α e r 37 Öere : hls ı ç üzerde Gry döüşüü Φ : y Φ y y α y α y çde tılır Φ Gry döüşüü r zoetrdr Brd rşılılı leşeler tolı şledr Arr Öere : Φ o ν σ o Φ dr Kıt : Φ σ v Φ r r r r ç r y ; y y y y Φ : r Φ r

48 48 ols ve σ Φ r σ ~ σ ~ σ lr Brd e e çdedr Dğer trft ; e e ; γ e ; r ç ν r r r r ; γ e ç r y ol üzere r y y olr ν r y y y olr lr Φ ν r şelde se e oltır γ α e γ α e γ α e her ç y y y ; ; γ ; γ e e oldğd her r ç Φ o ν r σ o Φ r dr Φ o ν σ o Φ sğlır

49 49 3 Teore : üzerde _ zlğd r C od ostyl od olsı ç erel ve yeterl oşl Φ C od e rtees ol qsyl od olsıdır Arr 8 39 Öer e : ve ç od ve ol üzere μ : [] < { } [ ] < r μ r r döüşüü r hl zoorfzsıdır Arr 8 33 Soç : I [] verls B drd I ı < [] [] hlsıı r del olsı ç erel ve yeterl oşl μ I ı < hlsıı r del olsıdır Arr 8 < 3 Öere : _ μ : _ r r r μ r r r r r r r erütsyo verls C ol üzere C yl r od olsı ç erel ve yeterl oşl μ C _ ostyl od olsıdır Arr 8 3 Tı : γ ol üzere τ erütsyo τ γ γ çde r erütsyo ve π : π çde r erütsyo verls B drd τ τ τ

50 5 π : o o π π π π çde tıl döüşüe Nehev erütsyo der 3 Öere : Φ o μ π o Φ dr Arr 8 Φ π μ Φ 34 Soç : üzerde r C yl od Gry döüşüü ltıd örütüsü ~ ~ Φ C C se π C _ zlğd üzerde ertees ol r qs-yl oddr Kıt : C üzerde r yl od ~ Φ C C ols 3 Öere de μ C ostyl oddr 3 Teore llılr Φ μ C ertees ol r qs-yl od oldğ söyler Brd ~ Φ μ C π Φ C π C ol r ~ π C ertees ol r qs-yl oddr

51 5 3 3 lsı üzerde odlr 3 hlsıı çde österel Bd öe ve hllrıd odlr ve lşler eleşt B ısıd de odlr eleeetr sl IN ols [ ] { < } < hlsı ç olsı drd ; < { } olğıd { [ ] lr ve < { } } { } r hldır B drd f : [ ] < f { } döüşüü r zoorfzdır B drd : [ ] < yzılır

52 5 3 Öere : ols [] π : < ol üzere π < C üzerde r yl od olsı ç erel ve yeterl oşl π C [ ] hlsıı del olsıdır < C üzerde r yeterl oşl π C [] _ ostyl od olsı ç erel ve hlsıı r del olsıdır < Kıt : 3 Öerede ezer çde ıtlır Bd sor ısıd öe ve drd çlışıltır hlsı üzerde -ostyl yl odlr ve rlrıd lş B ısıd hlsı hlsıdır 3 Tı : D üzerde zlğd r leer od ol üzere σ : σ otoorfzsı verls

53 53 s s Ζ ol üzere σ döüşüüe ğlı olr ψ s döüşüü : ψ s s s s ψ s s σ σ σ s s çde tılsı EğerC ç ψ s C C se C ye üzerde ertees s ol s _ zlğ d r qs-yl oddr der 3 Tı : C leer od ols ν : ν döüşüü ç v C C se C od _ zlğd r ostyl od der 33 Tı : hlsı üzerde _ zlğd r C od ç r od sözüğüü Lee ğırlığı ; w L w L w L w L w L w L w L 4 w L ol üzere her C ç w wl şeld e tılır L hlsıd her d ç d L d wl d ol üzere C od Lee zlığı d L C { wl C \{ } } çde tılır

54 54 34 Tı : hlsı üzerde α ç Φ : α Φ α α çde tıl döüşüe üzerde Gry döüşüü der hl sı üzerde Gry döüşüü; Φ : 4 Φ çdedr lıırs Φ döüşüü ye er ç ol üzere Φ : Φ 4 çde eşletlr 3 Öere : er ç ol üzere Φ : Φ 4 çde tıl Gry döüşü ü r _ odül hooorfzsıdır ve r zoetrdr Kıt : d α ç Φ d Φ d d d Φ d d d Φ d d d

55 55 d d d d d d d d d d d d d d d d Φ Φ d Φ α Φ α Φ α α α α α α α α α α α α α Φ Φ _ odül hooorfzdır 4 d d etr zylrdır Φ r zoetr oldğ öre ç L er ç d L d Φ Φ oldğ österel { } hlsıı elelrıı Lee ğırlılrı ; w w w L w L L w L w L w L oldğ lyorz L 4 w L Φ : 4

56 56 w w dır Φ w Φ w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w w Φ w Φ w ç w w Φ dr L ç d w L L w L w L w L w Φ w Φ Φ w Φ Φ d Φ Φ dr Φ döüşüü r zoetrdr

57 57 Bd sor ısıd dh öe hlsı ç verle zı tı ve teoreler hlsı çde eleştr 33 Öere : ve te syı ol üzere μ : [] < [ ] < μ döüşüü r hl zoorfzsıdır Kıt : ç 33 Öerede ezer çde ıtlır 3 Soç : te syı ols [ ] hlsıı r I lt ües r del olsı ç erel ve yeterl < oşl μ I ües [] hlsıı r del olsıdır < Q 6 34 Öere : te syı ol üzere μ : μ çde tılı r erütsyo verls Br D od yl r od olsı ç erel ve yeterl oşl μ D ostyl od olsıdır Kıt : 3 4 Öerede ezer çde ıtlır

58 58 35 Öere : Φ o ν ψ oφ dr Kıt : 4 Φ ψ v 4 Φ er ç Φ : 4 Φ ψ döüşüü yldığıızd ψ σ σ ol üzere ψ Φ ψ σ σ

59 59 σ σ dır Dğer trft ν ν ü yldığıızd oldğd Φ döüşü Φ ν Φ dır ve de ç Φ o o ψ ν Φ

60 6 olr Φ o ν ψ oφ dr 3 Teore : C üzerde ostyl od ols C od Gry döüşüü ltıd örütüsü ertees ol r qs-yl oddr Kıt : C r ostyl od ols ν : ν döüşüü otoorfzdır er C ç ν dr C Φ ν Φ olr 35 Öere de C ç Φ ν ψ Φ d Brd de Φ ν Φ ψ Φ olr O hlde C oldğd ΦC ertees ol r qs-yl oddr 3 6 Tı : te syı ol üzere 34 üesde { } τ erütsyo verls π : π 4 τ τ τ 4 çde tıl döüşüe Nehev erütsyo der

61 6 36 Öere : Φ o π oφ dr μ _ Kıt : 4 Φ π μ 4 Φ ç _ μ : μ _ Φ _ μ Φ s s s s s4 se ol üzere çft syı se s s s s3 te syı se s s Şelde olr Dğer trft ; s s 3

62 6 Φ : 4 Φ π : π 4 τ τ τ 4 Φ Nehev erütsyo ltıd örütüsü π Φ π s s s çde olr Soç : de r D yl od Gry döüşüü ltıd örütüsü Φ D Γ se π Γ ertees ol r qs-yl odtr oddr K ıt : Γ Φ D ols D yl od 36 Öere de Φ _ μ D π Φ D _ π Γ olr 34 Öere de μ D _ ostyl od oldğd μ D D dr _ Φ _ μ D Φ D π Γ olr Brd 3 Teore llılr ΦD ertees ol r qs-yl od oldğ ldğde r qs-yl oddr π Γ de ertees ol ç yrıd tı ve teoreler zılrı şğıd eleştr

63 63 3 lsı üzerde -ostyl yl Kodlr ve rlrıd lş 36 Tı : üzerde ϕ : : ϕ döüşüü tılsı er ol üzere üzerde ϕ döüşüüe ğlı olr σ : ϕ ϕ ϕ döüşüü tılır C ~ üzerde _ zlğd r od ve σ C ~ C ~ olyors C ~ od ertees ol r q s-yl oddr der 37 Tı : C leer od ols ν : r r r ν r r r r r r döüşüü ç v C C se C od _ zlğd r ostyl od der

64 Tı : hlsı üzerde er r ç w ho r - ; ; ; çde t ıl fosyo r hooeos ğırlığı der er r \ r \ d ğer drlrd {} r r r r ç r hooeos ğırlığı d w ho r who r çde tılır er r s ç d r s w r s çde tıl ho ho d fosyo hooeos zlığı der Br C od ho hooeos zlığı d ho C { who C \{}} çde tılır B ısıd hlsı ç yıl çlışlr dr ç eelleştrlere eleştr er e Ζ eleı rşılı e { } ε ol üzere ε e ε e ε e çde r _ d öster vrdır e Ζ eleı rşılı α P lel r ele ol üzere α e α e _ d öster α e ε e ε e α ε e α çdedr Bezer çde w { } ε l ol üzere l er w Ζ eleı rşılı ε w ε w _ d öster vrdır ε w P vrdır ve çde r

65 65 39 Tı : hlsı ç er r r r r r r r r ç üzerde Gry döüşüü Φ : r Φ r w e w e α er α ε r l w l l çde tılır r 3 Teore : d ve d rsıd Gry döüşüü r zoetrdr Udovh 9 ho 37 Öere : Φ o ν σ o Φ dr Kıt : Φ σ v Φ

66 66 r r r r ç ç Φ r ve e w l l w e e w r r r l α ε α dr ols Brd ç Φ σ r e w l ; ; ; e r r r e e r r r e r r r l l w l w l l w e e w l l ε α α ε ε α α ε α α ε ε ε çde olr Dğer trft ; ç l r r r r Φ d d d r ν ols Brd ç e w ; ; ; e r r r e e r r e r r r d l l w l w l w e e w l l l ε α α ε ε α α ε α α ε ε çdedr ç l ε r l her s s s oldğd er ç dr r r r Φ Φ o o σ ν h Φ Φ o o σ ν sğlır

67 67 33 Teore : üzerde _ zlğd r C od ostyl od olsı ç erel ve yeterl oşl Φ C od ertees ol qs-yl od olsıdır Kıt : C üzerde _ zlğd ostyl od ols v C C dr 37 Öer e de σ o ΦC Φ o ν C Φ C dr Brd Φ C erteede r qs-yl od oldğ örülür Terse ye 37 Öere r so olr C od r ostyl od olr 37 Öere : ve ç od ve { } ols Brd Ζ ve dr _ μ : r r r μ r r r r r r r erütsyo verls C ol ü zere C yl r od olsı ç erel ve yeterl oşl μ C ostyl od olsıdır Udovh 9 3 Tı : l ol üzere τ erütsyo τ l l çde r erütsyo ve π : π τ τ τ çde r erütsyo verls B drd π : o π π π çde tıl döüşüe Nehev erütsyo der o

68 68 38 Öer e : Φ μ π o Φ dr o _ Udovh 9 Φ π μ Φ C _ yl od se μ C ostyl oddr B _ μ C od Gry döü şüü ltıd örütüsü Φ μ C üzerde ertees ol r qs-yl oddr Dğer trft C yl od öe Gry döüşüü ltıd örütüsü lıı sor Nehev erütsyo yldığıızd d üzerde ertees ol r qs-yl od elde ederz Brd Φ _ μ C π ΦC dr

69 69 KAYNAKLA [] Arr MCV d Neezo F8 O _ yl odes over Aled Mthets Letters9-33 [] Çeelleş Y9 O -Cyl Codes over 3 Vo l 4No ItJCote Mth Sees [3] Çeelleş Y9 O -Cyl Codes over Jorl of Dsrete Mthetl Sees & CrytorhyVol No39-43 [4] Çeelleş Y9The Gry e of the yl odes over Jorl of Dsrete Mthetl Sees & CrytorhyVol No75-78 [ ] < [5] Çeelleş Y d Öe F 9 O -Cyl Codes over Adves d Altos Dsrete Mthets Vole 4Ner Pes -6 [6] ll 986 A Frst Corse Cod Theory Cleredo PresOford [7] Leereyer F5 Error-orret Codes htt://wwwfeletedtr/~frz/let/odesdf

70 7 [8] L S d Blford J T Ζ _ Leer Codes IEEE Trs O Ifor Theory Vol45No [9] L S d X C4 Cod Theory A Frst Corse Crde Uversty Press [] MWlls FJ Sloe NJA 977 The Theory of Error Corret CodesNorth-olld Plsh Coy [] Q J-F Zh LN d Zh SX 6 Costyl d yl odes over IEICE Trstos o Fdetls of Eletro Cotos d Coter SeesE89-A [] Q J-F Zh LN d Zh SX6 _ yl d yl odes over the r Aled Mthets Letters98-83 [3] Q J-F MA We- 9 Costyl d yl odes over fte h rs The Jorl of Ch Uverstes of Posts d Teleotos63:-5 [4] o S 99 Cod d Iforto Theory Grdte Tets Mthets Srer Verl [5] Udy P d Boeze A998Cyl Codes over Ler Coo of Ζ 4 CrdeMAUSA

71 7 [6] Udovh P d Jt S 9 O the Gry Ie of -Cyl Codes ItJCote Mth SeesVol4 No665-7 [7] Wolf J999Neyl d yl ode over Ζ 4 IEEE Trs Ifor Theory

72 7 ÖZGEÇMİŞ K İŞİSEL BİLGİLE Adı Soydı : Mstf ÖZKAN Uyrğ: TC Doğ Trh ve Yer: 8 Şt 985 Kdıöy-İstl Mede l: Ber e-l: stfoz@tryedtr E ĞİTİM DUUMU İlol: III Sel İlöğret Olİstl 996 Ortol: III Sel İlöğret Ol İstl 999 Lse: Brh Fele Lses İstl Lss: Try Üverstes Fe-Edeyt Fültes Mtet Bölüü 6 Yüse Lss: Try Üverstes Fe Bller Esttüsü 9 Yı Dl: İlze İ Ş TECÜBESİ Yıl Çlıştığı Kr Görev 6 - Try Ü Fe-Ed F Mtet Bölüü Arştır Görevls