Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar"

Transkript

1

2 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl k Say Oriji Etraf da Dödürülmesi Köklerii Bulma

3 KUfi BAKIfiI Saal Say Birimi Argümet Dödürme 0 Kavramlar Reel K s m majier K s m Kutupsal Koordiat Eflleik Modül

4 0 0 0 Bu üiteyi iceledi imizde; gerçek say lar ede geiflletti imizi, saal say birimii kuvvetlerii almay, karmafl k say y aalitik düzlemde göstermeyi, karmafl k say modülüü ve efllei ii bulmay, karmafl k say larda ifllem yapmay, karmafl k say lar aras daki uzakl bulmay, karmafl k say geometrik yerii bulmay, karmafl k say y kutupsal biçimde göstermeyi, karmafl k say y oriji etraf da dödürmeyi, karmafl k say lar köklerii bulmay kavram fl olaca z.

5 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Afla daki deklemleri reel (gerçek) say larda çözüm kümelerii bulal m. a) 9 = 0 b) + 9 = 0 a) 9 = 0 = 9 o halde çözüm kümesi {, } olur. b) + 9 = 9 R içi 0 oldu uda karesi 9 ola gerçek say yoktur. O halde gerçek say lar kümesi, her türlü deklemi çözmeye yetmemektedir. Yai karesi egatif say ola bir say ta mlamak gerekir. a + b + = 0 deklemii < 0 ( = b 4ac) ike reel köküü olmad hat rlayal m. Çözüm a. ò 4 = ó.4 = ói.4 = i b. ò 9 = ó.9 = ói.9 = i c. d. 48 = 48 = i 6 = 4 i 7 = 7 = i 6 = 6 i Örek i = ò olmak üzere, ó 49 ó 6 + ò 4 ifllemii soucuu bulal m. Çözüm ó 49 = ò. ò49 = 7i, ó 6 = ò. ò6 = 6i, ò 4 = ò. ñ4 = i 7i 6i + i = i buluur. Saal ( majier) Say Birimi ò = i olacak flekilde bir i say s ta mlayal m. i say s a saal (imajier) say birimi deir ve i = olur. Örek Etkilik Afla daki deklemleri reel say larda çözüm kümelerii olup olmad a bakal m. + = = = = 0 Afla da verile ifadeleri saal say birimi ile ifade edelim. a. ò 4 b. ò 9 c. ó 48 d. ó 7 Saal Birim Kuvvetleri (i i Kuvvetleri) i 0 = i = i (S f r hariç her say s f r c kuvveti dir.) (Her say. kuvveti kedie eflittir.) i = (Ta mda dolay ) i = i.i =.i = i (Üslü say larda çarpma ta m ) i 4 = ( ) = ( ) = i = i 4.i = i i 6 = i 4.i = Bu flekilde kuvvet almaya devam edildi ide, her dört ad mda bir ay de erler tekrar etmektedir. O halde, saal birimi kuvveti 4 ile bölüdü üde kala 0 ise de eri, i 4 = ( N) kala ise de eri i, i 4+ = i kala ise de eri, i 4+ = kala ise de eri i, i 4+ = i olur. Bir baflka ifadeyle, saal birimi kuvvetii mod 4 e göre de eri i i kuvveti olarak al r ve bua göre ifllem yap l r.

6 0 0 0 Örek Afla daki say lar de erlerii bulal m. a. i 0 b. i 0 c. i 0 d. i 9 Çözüm a. 0 (mod 4) i 0 = i = b. 0 (mod 4) i 0 = i = i c. 0 0 (mod 4) i 0 = i 0 = d. 9 (mod 4) i 9 = i = i Etkilik Tabloda verile say lar eflitlerii bulal m. i 88 i 0 i 9 i 6 i 0 Örek + i + i + i + i i 0 toplam soucu kaçt r? Çözüm 0 da 0 e kadar 0 tae terim vard r. + i i + + i i + i Her 4 lü grubu toplam 0 oluyor. 0 terim 4 lü gruplara ayr ld da 0 : 4 = 0 tae grup oluflur. Her grupta 0 geldi ie göre, souç 0 d r. Örek 6 i = ò ve Z + olmak üzere i i 8 i ifadesii sadeleflmifl biçimii buluuz. Çözüm i 4 = oldu uu görmüfltük. Bua göre, Örek i i 8 i i i i i = ( ). ( ). 4 i.( i ) i i i i 00 toplam soucu kaçt r? = 8 i i i 4 i ( i ) = = 4 i. i i buluur. i Çözüm Örek (mod 4) i 007 = i = i (mod 4) i 008 = i 0 = 009 (mod 4) i 009 = i = i 00 (mod 4) i 00 = i = i i i i 00 = i + + i = 0 buluur. i 7.ò ifadesii eflitii bulal m. Çözüm i 7.ò = i 7.i = i 8 i = (i 4 ).i = buluur.

7 0 0 0 Kümesi a, b R olmak üzere z = a + bi fleklideki say lara karmafl k (kompleks) say lar deir. Karmafl k say lar kümesi C ile gösterilir. C = {z z = a + bi a, b R, i = } z = a + bi karmafl k say s da a de erie karmafl k say reel (gerçek) k sm, b de erie ise karmafl k say saal (imajier) k sm deir. z = a + bi karmafl k say s reel k sm ; Re(z) = a imajier k sm ; m(z) = b fleklide gösterilir. N: Do al Say lar C: Karmafl k (Kompleks) Z: Tam Say lar Say lar olmak üzere, Q: Rasyoel Say lar N Z Q R C R: Reel Say lar Etkilik Afla daki tabloyu iceleyiiz ve boflluklar uygu flekilde dolduruuz. Karmafl k Say Gerçek K sm Saal K sm z = a + bi z = + 4i z = i z = i i z = 7 Her reel say ay zamada bir karmafl k say d r. Fakat her karmafl k say bir reel say de ildir. R C a b Öre i, z = i Re(z ) =, m(z ) = z = i + Re(z ) =, m(z ) = z = i Re(z ) = 0, m(z ) = olur. Örek 9 a < 0 < b olmak üzere z= a b + a + b ab say s içi Re(z) m(z) kaçt r? Örek 8 ò 9. ó 6 ò 4 ifadesii a + bi fleklide yazal m. Çözüm ò 9 = ò. ñ9 = i, ó 6 = ò.ò6 = 4i, ò 4 = ò.ñ4 = i ò 9. ó 6 ò 4 = i. 4i i = i i =.( ) i = i olur. Çözüm z= a b + a + b ab = a b + ( a b) = a i b + a b a < 0 oldu u içi a = a, b > 0 oldu u içi, b = b, a b < 0 oldu u içi a b = b a olarak ç kar. Bu durumda z karmafl k say s z= a b + ( a b) = a i b+ b a= a+ b bi olur. Re(z) = a + b m(z) = b dir. Re(z) + m(z) = a + b b = a olur. òa = a 4

8 0 0 0 Eflitli i z, z C Re(z ) = Re(z ) ve m(z ) = m(z ) ise, z = z dir. z = a + bi, z = c + di, z = z ise a = c ve b = d olur. Yai iki karmafl k say birbirie eflit olmas içi gerçek k s mlar birbirie, saal k s mlar da birbirie eflit olmas gerekmektedir. Örek ve y reel say lard r. + y ( + y + 4)i = 0 oldu ua göre, kaçt r? Çözüm 0 = 0 + 0i biçimide yaz labilir. + y ( + y + 4)i = 0 + 0i Örek 0 ve y reel say lard r. + yi = i oldu ua göre, + y toplam kaçt r? Çözüm + yi = i =, y = olur. + y = 0...() ( + y + 4) = 0...() () ve () deklemleri ortak çözülürse, y = 8 ve = buluur. Örek Örek + y = = buluur. ve y reel say lard r. z = y + ( + y + 4)i ve z = + i karmafl k say lar içi z = z oldu ua göre,. y çarp m kaçt r? ve y gerçek say lar olmak üzere + y 4i = 4 + 6i oldu ua göre, y kaçt r? Çözüm + y 4i = 4 + 6i + y = 4 ve 4 = 6 = 4 olur. = 4 de erii + y = 4 deklemide yerie yazarsak,.( 4) + y = y = 4 y = y = buluur. Çözüm z = y + ( + y + 4)i z = + i ve z = z ise, reel k s mlar birbirie, saal k s mlar birbirie eflitleir. y + ( + y + 4)i = + i y = + y + 4 = deklemleri çözülürse = ve y = buluur. O halde,.y =. = 0 olur.

9 0 0 0 a, b, c R içi ikici derecede a + b + c = 0 deklemii kökleri, = b 4ac olmak üzere,, = b ± dır. a < 0 içi deklemi gerçek say lar kümeside çözümü yoktur. Karekök içideki egatif say lar karmafl k say lar kümesii elema oldu uda ikici derecede her deklemi karmafl k say lar kümeside çözümü vard r. Çözüm = i ise, = + i dir. + = i + + i = 6 olur. Kökleri ve ola ikici derecede deklem, ( + ) +. = 0 Örek = 0 deklemii köklerii buluuz. Çözüm Deklemde a =, b = 4, c = = b 4ac = ( 4) 4.. = 8 < 0 < 0 oldu uda deklemi gerçek say lar kümeside kökü yoktur. = 8 = 4.. = i b ± ± i ± i, = = ( 4) = 4 a i = = + i 4 4 i i = = 4 buluur. Örek k = 0 deklemii kökleride biri = i oldu ua göre, k kaçt r? Çözüm = i ise, = i olur. Kökleri verile do ru deklemi; ( + ) +. = 0 k =. = (i ).( i ) = + = 4 olur. Etkilik 4 Afla daki tabloda bir kökü verile ikici derecede deklemleri di er köklerii bulal m. Kök Kök Reel katsay l, ikici derecede a + b + c = 0 deklemii kökleride biri = m + i ise di er kökü = m i dir. (m, R) Örek a, b R içi + a + b = 0 deklemii kökleride biri = i ise, + toplam kaçt r? + 4i i + 6 7i i + 8 4i

10 0 0 0 Karmafl k Düzlemde Gösterilmesi Gerçek say lar reel say do rusu üzeride gösterildi ii biliyoruz Karmafl k say lar aalitik düzlemde birbirie dik iki ekse yard m yla gösterilir. Yatay ekse üzeride gerçek say lar, dikey ekse üzeride ise saal say lar buluur. Öre i, z = + i karmafl k say s karmafl k düzlemde gösterilifli afla daki gibidir. y saal ekse z = + i eksei: Gerçek say lar eksei (Reel Ekse) y eksei: Saal say lar eksei (Saal Ekse) Her oktas a bir karmafl k say eflleebile düzleme karmafl k düzlem ad verilir. Örek 7 Afla daki karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösterelim. z = + i z = 0 z = + i z 6 = i z = + i z 7 = z 4 = i Reel say do rusu = Reel ekse reel ekse z = + i z = i Etkilik y z = + i z z = 0 + 0i 7 = + 0i = z 4 = i z 6 = 0 i = i Afla da verile karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösterelim. a) z = + i b) z = i c) z = 4i d) z 4 = Saal ekse 4 z = + i Reel ekse 7

11 0 0 0 Efllei i Örek 8 y Afla da verile karmafl k say lar eflleiklerii bulal m. b z = a + bi a) z = i b) z = i c) z = b Bir karmafl k say, saal k sm iflareti de ifltirilerek elde edile karmafl k say ya bu karmafl k say - efllei i deir. z = a + bi say s efllei i ±z fleklide gösterilir ve ±z = a bi dir. z karmafl k say s efllee i, karmafl k düzlemde z i ekseie göre simetri idir. a z = a bi Çözüm a) z = i ise, ±z = + i olur. b) z = i ise, ±z = i olur. c) z = ise, ±z = de iflmez. Etkilik 6 Afla daki karmafl k say lar ve eflleiklerii karmafl k düzlemde gösterelim. a) z = + 4i b) z = i c) z = i d) z 4 = y 4 z = + 4i z = 4i 8

12 0 0 0 Bir Karmafl k Say Mutlak De eri (Modülü) Karmafl k düzlemde bir karmafl k say ya karfl l k gele okta orijie uzakl a, o say mutlak de- eri ya da modülü deir. z = a + bi say s mutlak de eri, z sembolü ile gösterilir. z = a +b dir. Çözüm a) z = + 4i z = + 4i b) z = + i z = + i + 4 = = ( ) + = 69 = y c) z = z = ( ) + 0 = b z = a + b a z = a + bi d) z 4 = i z 4 = Örek = Bu karmafl k say modülü uzakl k belirtti ide z 0 d r. z = + 4i karmafl k say s ve efllei ii mutlak de erlerii bulup karmafl k düzlemde gösterelim. A(a, b), B(c, d) olsu A ve B oktalar aras daki uzakl k: AB = ( a c ) + ( b d) dir. Çözüm y A(a, b) oktas orjie ola uzakl ise, AO = a +b dir. Örek 9 Afla daki karmafl k say lar mutlak de erlerii (modüllerii) bulal m. a) z = + 4i c) z = b) z = i + i d) z 4 = i z = 4 z ±z 4 ±z = 4i +4 = ±z = +( 4) = z = + 4i EKS+RA z=a+bi z = a + b z=a bi z = a + ( b) z = ±z Eflleik karmafl k say lar mutlak de erleri birbirie eflittir. 9

13 0 0 0 Örek p bir reel say d r. z = + (p )i ve z = oldu ua göre, p i alabilece i de erler toplam kaçt r? Çözüm Etkilik 7 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z = () + (p ) = (Eflitlikte her iki taraf karesii alal m.) 44 + (p ) = 69 (p ) = (p ) = p = veya p = p = 6 veya p = 4 O halde, p i alabilece i de erler toplam 6 4 = dir. Örek Karmafl k Say Efllei i Modülü z = a + bi z = 4 i z = z = i C z = + i R ve < 0 olmak üzere, z = + Ai ve z = 4C oldu ua göre, kaçt r? ±z = a bi ±z = a + b Çözüm z = (Eflitlikte her iki taraf karesii alal m.) = 4 veya = 4 tür. < 0 oldu uda = 4 tür. da Toplama ve Ç karma fllemleri Karmafl k say lar topla rke veya ç kar l rke gerçek k s mlar kedi aralar da, saal k s mlarda kedi aralar da topla r veya ç kar l r. z = a + bi ve z = c + di olsu. z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z z = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i olur. Örek Afla daki z ve z karmafl k say lar içi, z + z ve z z ifllemlerii yapal m. a) z = i b) z = 4i c) z = z = + i z = i z = 4i Çözüm +( ) = 4 + = 4 = 48 = 6 a) z = i z = + i olmak üzere, z + z = i + + i = + i z z = i ( + i) = i i = 4i b) z = 4i z = i olmak üzere, z + z = 4i + i = + i z z = 4i i = 9i c) z = z = 4i olmak üzere, z + z = + 4i = 4i z z = ( 4i) = + 4i = + 4i 0

14 0 0 0 Örek 4 z = + i ve z = + 4i oldu ua göre, z + z ve z z ifllemlerii yaparak karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm Etkilik 8 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z z z + z + i i + 4 i C + Ai i z = + i ve z = + 4i ise z + z = + i + + 4i = + + ( + 4)i = 4 + 6i z z = + i ( + 4i) = + ( 4)i = i buluur. Bu ifllemleri karmafl k düzlemde gösterilifli afla daki gibidir. y 6 z + z 4 z 4 4 i i i C Ai i z z i z z z z + 4i Toplama fllemii Özellikleri. Kapal l k z, z C içi z + z C dir. Yai, C kümesi toplama ifllemie göre kapal d r.. Birleflme Özelli i z, z, z C içi (z + z ) + z = z + (z + z ) tür. C kümeside toplama ifllemii birleflme özelli i vard r.. De iflme Özelli i z, z C içi z + z = z + z dir. C kümeside toplama ifllemii de iflme özelli i vard r. 4. Etkisiz Elema (0 + 0i) karmafl k say s, toplama ifllemii etkisiz elema d r.. Ters Elema Karmafl k say lar kümeside her a + bi karmafl k say - s toplama ifllemie göre tersi vard r. z = a + bi karmafl k say s toplama ifllemie göre tersi z = a bi dir. Örek Karmafl k say lar kümesi üzeride ifllemi, z z = z + z + z z biçimide ta mla yor. Bua göre, ( i) ( + i) ifllemii soucu edir? A) + 8i B) 8i C) 8 + i Çözüm D) 8 i E) i z = i ve z = + i al rsa (ÖSS 007) ( i) ( + i) = i + + i + ( i)( + i) = i + = 8 i buluur. Cevap D

15 0 0 0 Örek 6 z = + 4i karmafl k say s toplama ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z = + 4i ise z = ( + 4i) = 4i olur. da Çarpma ve Bölme fllemi Karmafl k say larda çarpma ifllemi, çok terimlileri çarp m gibi yap l r. Bölme ifllemide ise payda gerçek say olacak flekilde eflleikle çarp l r. z = a + bi ve z = c + di olsu. z.z = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bi.di = ac + i(ad + bc) + bdi z z = a+bi (a + bi)(c di) = c+di (c + di)(c di) (c di) Örek 7 Afla da verile ifllemleri yapal m. a) ( + i) c) ( i) b) ( i) d) ( i) Çözüm = ac bd + (ad + bc)i a) ( + i) = + i + i b) ( i) = (( i)) = 9( i + i ) = + i = i (a + bi)(c di) = c +d = 9.( i ) = 9.( i) = 8i c) ( i) = ( i) ( i) 4 = ( i) [( i) ] 7 = ( i) ( i) 7 i = ( i) ( ) 7.i 7 = 7 ( i).i = 7 ( i) ( i) = 7 i ( i) = 7 i 7 i = 7 i + 7 = 7 ( + i) d) ( i) =..i +..i i Örek 8 = 8 i 6 + i = i buluur. ( + i).( 4i) ifllemii soucuu buluuz. Çözüm ( + i).( 4i) =. +.( 4i) + i. + i.( 4i) = 6 8i + i 4i Örek 9 ( + i).( i) ifllemii soucuu buluuz. Çözüm = 6 8i + i + 4 = 0 i ( + i).( i) = (i) = = z = a + bi ve z = a bi ise, z.z = (a + bi)(a bi) = a + b dir.

16 0 0 0 Örek 0 ( i) 00 ifllemii soucuu buluuz. Çözüm (( i) ) 0 = ( i + i ) 0 Örek = ( i) 0 = 0.i 0 = 0.i bölme ifllemii soucuu buluuz. Çözüm +i = i ( +i) Örek ( + i) + ( i) toplam kaçt r? A) 8 B) C) 0 D) E) 8 (ÖYS 989) Çözüm +i i ( + i) = (( + i) ) ( + i) = (i) ( + i) = 4 4i ( i) = (( i) ) ( i) = ( i) ( i) = 4 + 4i oldu uda ( +i).( +i) ( i).( +i) = +i (i) ( + i) + ( i) = 4 4i 4 + 4i = 8 buluur. = +i 0 Cevap A Örek ifllemii soucuu buluuz. Çözüm 0 ( i) = i 0 ( i)( i) 0 = = i 0 0 = ( i) 0 (+i) +i (+i)( i) ( i) Örek ifllemii soucuu buluuz. Çözüm ( i)( i) i = Etkilik 9 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z z z. z + i i + 4 i i ( i) 0 (+ i) 0 =i = ( )( ) = i i i i 0 (0 = (mod 4), i = i = ) i 4i 6 i 4 7i i + i = ( 4 7i) ( i) z z z z i. ( + i) ( + i) 4 4i 7i + 7 = + = i olur. i

17 0 0 0 Çarpma fllemii Özellikleri. Kapal l k Özelli i z, z C ike, z.z C dir. Yai, C kümesi çarpma ifllemie göre kapal d r.. Birleflme Özelli i z, z C ike (z.z ).z = z.(z.z ) tür. C de çarpma ifllemii birleflme özelli i vard r.. De iflme Özelli i z, z C ike z.z = z.z tür. C de çarpma ifllemii de iflme özelli i vard r. 4. Çarpma fllemii Toplama fllemi Üzeride Da- lma Özelli i z, z ve z C ike z.(z + z ) = z.z + z.z tür.. Birim Elema Karmafl k say larda çarpma ifllemii etkisiz (birim) elema = + 0i dir. 6. Ters Elema z = a + bi karmafl k say s çarpma ifllemie göre ters elema z = z = dir.(z 0) a+bi Örek i karmafl k say s çarpma ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z = i z = i i = = buluur. i i (i) Örek 6 z = 4 + i ifllemii çarpma ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z=4+i z = z = 4+i = 4 i 6 + = 4 i 7 (4 i) Örek 7 z + 4 i = ±z i eflitli ii sa laya z kompleks say s orijie ola uzakl kaç birimdir? Çözüm z = a + bi al rsa ±z = a bi olur. z + 4 i = ±z i a + bi + 4 i = (a bi) i a (b )i = a bi i a (b )i = a + ( b )i a + 4 = a ve b = b a = 4 4b = a = b = z = i olur. 4 z karmafl k say s orijie ola uzakl z dir. z = a + bi içi z = z = a + b = + 4 a + b 4 oldu uda = = = buluur. 4

18 0 0 0 Karmafl k Say Efllei i ve Modülü le lgili Özellikler:. z = ±z 7. z.z = z. z. z. ± z = z 8. N içi z = z. z + z = z + z 9. z = ±z 4. z z = z z 0.. z z = z z. z + z z + z z z = z, (z 0) z Örek 9 oldu ua göre, Çözüm 4 ( + i) z = ( i) z ve z de erlerii bulal m. ±z = z = z oldu uda z de erii bulmak yeterlidir. z 6. z. z z z z z = z, ( z 0 ) Örek 8 z = i ve z = + i say lar içi, 4 ( + i) z = içi, ( i) z ( + i) = ( i) ( + i) + i = = ( i) i 4 + = + ( ) 4 = = buluur. ifllemlerii yapal m. Çözüm z = i ±z = + i z = + i ±z = i dir. Bua göre, z +z, z z, z.z ve z z z +z = z +z =+i+ i = +i Etkilik 0 z = + 4i, z = i, z = + i karmafl k say lar içi isteile ifllemleri yapal m. a) z = z z b) z = z z c) z = z.z z, z ve ±z yi bulal m., z yi bulal m., z ve ±z yi bulal m. z z = z z =+i+( i) = + i + i = + i d) z = z.z z, z i bulal m. z.z =z.z = (+ i)( i) = i + 4i i = +i+ = 4+i e) z = z. ±z, z yi bulal m. z z z = z = + i i ( + i)( + i) = ( i)( + i) + i+ 4i+ i = 4+ + i = = i

19 0 0 0 Örek 40 R + ( 6)( + i), olmak üzere, z = ( + i) ( i) z = 8ñ oldu ua göre, kaçt r? Çözüm ( 6)( + i) z = ( + i) ( i) 6 + i = + i i + 6 ( ( ) + ) = ( + ) + ( ) ( + 6 ) 4 ( + 6 ) = = ( + 6 ) = = 8 veriliyor. + 6 = 64 = 8 = ñ7 veya = ñ7 R + oldu u içi, cevap ñ7 dir. Örek 4 z z = z. z z + 6 eflitli ie göre, z i e küçük de eri kaçt r? Çözüm z + z z + z özelli ii kullaal m. z z z + z = z + z z. z z + 6 z + z z z + 6 z + z z + 4 z 6 0 ( ile sadelefltirelim.) z + z 8 0 ( z + 4)( z ) 0 z 4 (kök gelmez) z = z = z = kökler + + z s f rda büyük de erler alaca içi alabilece i e küçük de er olur. Örek 4 z = 8 oldu ua göre, say s modülü kaçt r? Çözüm z z z z = _ z = 8 de eri yerie yaz l rsa z z z z z = z 8 8 = = olur. Örek 4 Karmafl k düzlemde z = i oldu ua göre, z kaçt r? 0 0 A) B) C) D) E) (ÖYS 99) Çözüm z = = z z z = = = i 0 oldu uda 0 0 buluur. Cevap A 6

20 0 0 0 ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k z = a + bi, z = c + di olsu z ile z aras daki uzakl k, karmafl k düzlemde bu iki say görütüleri ola oktalar aras daki uzakl kt r. z say s görütüsü ola okta A(a, b) z say s görütüsü ola okta B(c, d) ise, AB = z z = (a ƒ ƒ ƒ c ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ b ƒƒ ƒ ƒ d ƒ ) dir. Örek 44 z = + i ve z = + i karmafl k say lar aras daki uzakl bulal m. Çözüm z z = + b d y = + = 0 Etkilik z = a + bi z z z = c + di a ( ( )) ( ) Afla da verile z ve z karmafl k say lar aras daki uzakl klar bulal m. c buluur. Örek 4 z = i, z = 7 + bi karmafl k say lar aras daki uzakl k birim ise, b i alabilece i reel say lar toplam kaçt r? Çözüm z z = ( ( 7)) + ( b) = her iki taraf karesii al rsak ( + 7) + ( b) = 69 + ( b) = ( b) = 69 ( b) = b = veya b = b = 6 veya b = 4 olur. O halde b i alabilece i de erleri toplam = olur. Karmafl k Say Geometrik Yeri Örek 46 A = {z z C ve z = } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z = + y = + y = 9 buluur. Bu deklem aalitik düzlemde merkezi oriji, yar - çap birim ola merkezcil çemberi gösterir. a. z = + i z = i b. z = i z = + i y c. z = 6 z = i d. z = 6 + i z = i 7

21 0 0 0 Örek 47 A = {z z C ve z } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. y Örek 49 z i = eflitli ii sa laya z karmafl k say lar geometrik yerii karmafl k düzlemde belirtiiz. Çözüm z = + yi olsu. + yi i = ( ) + (y )i = ( ) + (y ) = ( ) + ( y ) = Merkezi (, ) ola yar çap birim ola çember belirtir. y z + y olaca içi bu özelli e sahip z karmafl k say lar karmafl k düzlemdeki görütüsü, merkezi orijide ve yar çap br ola bir çember ve çemberi iç bölgesidir. br Örek 48 A = {z z C, z } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z ise + y 9 olur. y i Bu oktalar merkezi orijide ve yar çap br ola bir çember ve çemberi d fl bölgesii belirtir. Souç :. z z = r eflitli ie uya z karmafl k say lar - geometrik yerii bulal m. z = a + bi, z sabit bir say z = + yi, z de iflke bir say olsu. z z = r + yi (a + bi) = r a + (y b)i = r = ( ƒ ƒ ƒ a ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒƒ ƒ ƒ b ƒ ) = r ( a) + (y b) = r buluur. Elde edile deklem, merkezi M(a, b) ve yar çap r ola çember deklemidir. Yai, z z = r eflitli i merkezi z, yar çap r ola çemberi belirtir. b y 0 a r M z = + yi 8

22 z z < r eflitsizli i, merkezi z yar çap r ola çemberi iç bölgesii gösterir. (fiekil ) z z > r eflitsizli i, merkezi z yar çap r ola çemberi d fl bölgesii gösterir. Eflitsizliklerde eflitlik olmad zama çember kesikli çizilir ve çözüm kümesie dahil de ildir. (fiekil ) b y Örek 0 z = i olmak üzere, A = {z z C, z z = } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z z = z 0 a 0 a fiekil - fiekil - + yi ( i) = + (y + )i = ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ) = ( ) + (y + ) = 9 olur. y r = M(, ) Bu deklem, merkezi (, ) ve yar çap br ola bir çember deklemidir. y b z Örek z = + iy ve z = z oldu ua göre, z i karmafl k düzlemdeki geometrik yeri afla dakilerde hagisidir? A) Gerçel eksee dik bir do ru B) Saal eksee dik bir do ru C) birim çapl bir çember D) Bir elips E) Bir parabol Çözüm z = z + iy = + iy + y = ( ) + y (ÖYS 99) + y = 4+4+y 4 = 4 = olur. = do rusu gerçel eksee dik bir do rudur. Cevap A Örek z + i kofluluu sa laya z = + yi karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z + i + yi + i ( ) + (y + )i ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒƒ + ƒ ƒ ƒ ) ( ) + (y + ) Bu eflitsizlik, merkezi (, ) ve yar çap br ola çember ve çemberi iç bölgesii gösterir. y Eflitlik oldu u içi, çember geometrik yere dahildir. r = M(, ) 9

23 0 0 0 Örek A = {z z C ve z + + i > } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z + + i > + yi + + i > ( + ) + (y + )i > ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ) > ( + ) + (y + ) > 4 Bu eflitsizlik merkezi M(, ) ve yar çap br ola çemberi d fl bölgesii gösterir. Örek 4 z < 7 eflitsizli ii sa laya karmafl k say lar geometrik yerii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. + yi < 7 ƒ+ ƒy < y < 49 M(, ) Eflitlik olmad içi, çember geometrik yere dahil de ildir ve kesik çizgilerle gösterilir. + y 9 ve + y < 49 I II y 7 Örek 4 z 6 I. eflitsizlik merkezi orijide ve yar çap br ola çemberi ve d fl bölgesii, II. eflitsizlik ise merkezi orijide ve yar çap 7 br ola çemberi iç bölgesii gösterir. kofluluu sa laya z karmafl k say lar karmafl k düzlemde oluflturdu u kapal bölgei ala kaç br dir? A) π B) 4π C) 6π Çözüm 7 y 7 D) 8π E) 0π 4 z 6 oldu ua göre, z karmafl k say s karmafl k düzlemde görütüsü, yar çap 4 birim ve yar - çap 6 br ola çemberler ile aralar da kala bölgede olur. y 6 6 Dairei ala πr dir. 4 Bu bölgei ala Taral Ala = π. 6 π. 4 7 = 6π 6π = 0π olur Cevap E 0

24 0 0 0 Örek 6 A = {z z C, z + i < z + i } kümesideki karmafl k say lar geometrik yerii buluuz. Çözüm z = + yi olsu. z + i < z + i + yi + i < + yi + i ƒ +ƒƒ (ƒy ƒ+ ƒ) < (ƒ +ƒ ƒ) ƒ +ƒ (ƒy ƒ ƒ) + (y + ) < ( + ) + (y ) + y + 6y + 9 < y y + 8y + 4 < 4 y + < 0 -/ y B OCP dik üçgeide Pisagor teoremide OP = OC + CP = OP = 0 br P oktas çembere e yak oktas A, e uzak oktas B dir. O halde, 6 8i ifadesii alabilece i e küçük de er AP dir. AP = OP OA AP = 0 = 8 br 6 8i ifadesii alabilece i e büyük de er BP dir. BP = OB + OP BP = + 0 = br olur. 8 y O A P(6, 8) z = 6 + 8i C 6 fiimdi buraya kadar ö rediklerimizle ilgili karma örekler çözelim. Örek 7 z oldu ua göre, z 6 8i ifadesii alabilece i e büyük ve e küçük de eri buluuz. Çözüm z 6 8i = z (6 + 8i) ifadesi z oktalar ile z = 6 + 8i oktas aras daki uzakl gösterir. z eflitsizli i merkezi orijide ve yar çap br ola çemberi gösterir. Örek 8 Re(z) m(±z) = 6 Re(z) + m(z) = 4 oldu ua göre, z karmafl k say s bulal m. Çözüm z = + iy, ±z = iy, Rez =, mz = y, m±z = y ( y) = 6 + y = 6 + y = 4 Deklemleri birlikte çözülürse, =, y = 0 buluur. z = + 0i olur.

25 0 0 0 Örek 9 Bir kökü = + i ola, reel kat say l ikici derecede deklemi yaz z. Çözüm = + i ise = i olur. Kökleri ve ola ola. derecede deklem ( + ) +. = 0 d r. ( + i + i) + ( + i) ( i) = = 0 olur. Çözüm ( + i)z = i z = i +i = ( i)( i) (+i)( i) ( i) = + = z ile z aras daki uzakl z z oldu uu biliyoruz. z z = i ( i) = i + i = i = i = i () +( ) = olur. Örek 60 z = i karmafl k say s içi, z+ ifllemii soucu kaçt r? z z z Çözüm z + z z z ifadesii afla daki gibi düzeleyelim. ( zz. + ) (. (... zz ) zz+ )( zz ) = ( zz. = z ) z z zz. ( z + )( z ) ( z= i, z = ) z ( + )( ) 4 = olur. Örek 6 z + 4i eflitli ii sa laya z karmafl k say lar karmafl k düzlemdeki geometrik yerii bulal m. Çözüm z = + iy olsu. z + 4i + iy + 4i + (y + 4i) ( ) + (y + 4) Merkezi (, 4) ve yar çap birim ola bir çember ve çemberi iç bölgesii belirtir. y Örek 6 ( + i)z = i eflitli ii sa laya z karmafl k say s ile z = i say s aras daki uzakl k kaç birimdir? 4

26 0 0 0 Örek 6 y Çözüm Yada grafi i verile çemberi deklemii bulal m. Merkezi (, ) ola ve yar çap birim ola çemberi deklemi ( ) + (y ) = + (y )i = + yi i = + yi i =, + yi = z olsu. z i = olur. Örek 64 z + i = 0 eflitli ii sa laya z karmafl k say lar geometrik yerii deklemi afla dakilerde hagisidir? A) ( ) + (y ) = 6 B) ( + ) + (y ) = 64 C) ( + ) + (y ) = 00 D) ( 4) + (y ) = 8 E) ( 4) + (y + 4) = Çözüm ( ) +( y ) = z = + iy olsu. z + i = (y )i = 0 (ÖYS 994) ( + ) + ( y ) = 0 ( + ) + ( y ) = 00 buluur. Cevap C Örek 6 z = ±z ± + i oldu ua göre, z i karmafl k düzlemdeki geometrik yer deklemi afla dakilerde hagisidir? A) 6 4y + = 0 B) 6 + 4y = 0 C) 4 + 6y = 0 D) 6 4y = 0 E) 6 + 4y + = 0 Çözüm z = + yi olsu ±z = yi olur. z = ±z + i + yi = yi + i ( ) + yi = + ( y + )i ( ) + y = + ( y) Her iki taraf karesii alal m y = + 4 4y + y y = 0 6 4y = 0 buluur. Bu deklem aalitik düzlemde bir do ruyu belirtir. Cevap D Örek 66 m, gerçek say lard r. + m + = 0 deklemii kökleride biri = + i oldu ua göre, m + toplam kaçt r? A) 6 B) 7 C) 8 Çözüm D) 9 E) 0 Gerçek katsay l deklemlerde köklerde biri karmafl k say ise di eri de karmafl k say d r. Ayr ca kökler birbirii efllei idir. Bua göre, = + i ise = i olur. b m + = =, a + i + i = m ( + i) ( i) = m = 6 = 9 4i m + = 6 + = 7 buluur. c = = = a = 9 4( ) = = Cevap B

27 0 0 0 Kutupsal Biçimi Koordiat sistemide z(, y) oktas bafllag ç oktas a uzakl z = r ve [Oz fl eksei ile pozitif yöde yapt aç ölçüsü θ ise, OzH üçgeide, cos θ = = z. cos θ z siθ = y = z. siθ olur. z 0 θ < π de erie ise z karmafl k say s esas argümeti deir ve Arg(z) = θ biçimide yaz l r. Geel olarak z karmafl k say s kutupsal koordiatlar z = r ve θ + k. π dir. z = z [cos (θ + k.π) + isi (θ + k.π)] eflitli i z i kutupsal biçimidir. k = 0 içi z = z (cosθ + isiθ) = z cisθ O y z = r θ z (, y) y H yaz labilir. Esas argümeti bulabilmek içi afla daki tabloda yararlaabiliriz. z ve θ say lar a z oktas kutupsal koordiatlar deir. z(, y) oktas ( z, θ) = (r, θ) biçimide de gösterilebilir. θ si cos ta ta m s z cot ta m s z 0 Kutupsal Koordiatlar Karmafl k say larda; z = + yi biçimide yaz la z say s içi, = r cosθ, y = r siθ oldu uda ( z = r) z = r cosθ + i. r siθ z = r (cosθ + isiθ) veya z = z (cosθ + isiθ) eflitli i buluur. Bu eflitli e z karmafl k say s kutupsal biçimde yaz l fl deir. k Z, θ R, 0 θ < π olmak üzere zoh aç - s ölçüsü θ + k. π ile ifade edilebilir. Bu say - ya z karmafl k say s argümeti deir. arg(z) = θ + k. π biçimide yaz l r. Örek 67 z = ñ + ñi say s kutupsal biçimde gösterelim. Çözüm cosθ = y θ 6 z = fiekilde de alafl laca üzere karmafl k say m z. bölgededir. = = θ = 4. ( ) + ( ) = 6 z = z (cosθ + isiθ) = ñ (cos4 + isi4 ) 4

28 0 0 0 Örek 68 z = ñ i karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm y si(+) cos( ) ta( ) cot( ) si( ) cos( ) ta(+) cot(+) si(+) cos(+) ta(+) cot(+) si( ) cos(+) ta( ) cot( ) Arg(z) = π θ θ θ Arg(z) = π + θ Arg(z) = θ z θ θ Arg(z) = π θ z = ( ) + ( ) = 6 = 4 fiekilde de alafl laca üzere karmafl k say 4. bölgededir. cos θ = = 4 (, ) oldu uda θ = 0 buluur. z = z (cosθ + isiθ) = 4 (cos0 + isi0 ) Bölgelerdeki trigoometrik foksiyolar iflaretleri karmafl k say lar içi öemlidir. Örek 69 karmafl k say s stadart biçimde yaz z. Çözüm z= cos π + isi π Yadaki trigoometrik bilgileri bilirsek daha kolay ifllem yapabiliriz. cos π =, si π = π π z= cos + isi z= + i = + i olur. Etkilik Afla da verile say lar kutupsal gösterimlerii yaz p karmafl k düzlemde gösterelim. z θ = Arg(z) z. cisθ Karmafl k Düzlem z = i 90.cis90 z = i z = z 4 = 6

29 < α < 90 ise, olur. Örek 70 karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm Karmafl k say y cosθ + isiθ biçimide yazmaya çal flaca z. si π 6 =cos π π 6 =cos π cos π 6 =si π π =si π 6 Buldu umuz de erleri verile eflitlikte yerie yazarsak, z=cos π +isi π =cis π buluur. Örek 7 π si α = cos α ta α π = cot α π cos α = si α π cot α = ta α z=si π 6 +icos π 6 z = si0 + icos0 karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm si0 = cos40 ve cos0 = si40 oldu uda z = si0 + icos0 z = cos40 + isi40 z = cis40 buluur. Örek 7 z = 4 + i karmafl k say s kutupsal biçimde yaz - z. Çözüm z = ( 4) + = cos θ= 4 Örek 7 Kutupsal koordiatlar, π stadart yaz l fl bulal m. Çözüm ola karmafl k say - Kutupsal koordiatlar (r, θ) ola karmafl k say z = r cisθ = r(cosθ + isiθ) oldu uda z= cos π +isi π cos π = z 4 θ =arccos, si θ 0 olur. π = z= + i buluur. y 4 si θ= θ=arcsi z = z ( cos θ+isiθ) 4 z= cos arccos +isi arcsi buluur. a a si θ= ise, θ= arcsi b b a a cos θ= ise, θ= arccos b b oldu uda 6

30 0 0 0 Örek 74 z = i say s esas argümeti θ ise, secθ kaçt r? Çözüm 0 cosθ= y θ z = G z z = + ( ) = Örek 76 z + + i = eflitli ii sa laya z karmafl k say lar esas argümetii e küçük ve e büyük de erleri kaçt r? Çözüm z + + i ( + ) + (y + ) = merkezi (, ) ve yar çap birim ola çemberdir. y karmafl k say m z 4. bölgededir. secθ = = = cosθ buluur. Örek 7 Esas argümeti α ola z karmafl k say s içi, z = secα ise, Re(z) i alabilece i de erler çarp m kaçt r? Çözüm z = + iy π Argz π e küçük de eri π ve π e büyük de eri dir. z= +y =secα + y = sec α + y = + ta α + y y = + =, taα y + y + y = = Re(z) =, = veya = de erleri çarp m.( ) = buluur. sec θ = cos θ cosec θ = si θ sec α = + ta α cosec α = + cot α Örek 77 4π Arg(z) = ve z.z = 6 oldu ua göre, z karmafl k say s buluuz. Çözüm z = z.±z oldu uda z = 6 z = 4 buluur. Bua göre, z = z.cisθ oldu uda 4π 4π 4π z = 4cis = 4(cos + isi ) = ñi olur. 7

31 0 0 0 Örek 78 z siα.z + si α = 0 deklemii sa laya z karmafl k say lar içi Arg(z) i alabilece i de erler toplam kaçt r? Çözüm = b 4ac = ( siα) 4..(si α) = 4si α z = b + si α+ 4si α = a = si α+isiαii z = siα + siαi (siα > 0) Arg z = z = siα siαi (siα < 0) Arg z = z = si α 4si z = siα + siαi (siα < 0) Arg(z ) = π 4 z = si α siαi (si α > 0) Argz = 7 π 4 α =siα si I αii π 4 π 4 veya, Çözüm z = + cos40 + isi40 = + cos 0 + i.si0.cos0 = cos 0 + cos0.si0 i = cos0 (cos0 + isi0 ) Arg(z) = 0 Örek 80 ±z = r (cosα + isiα) oldu ua göre, z say s kutupsal biçimde yaz l fl gösterelim. Çözüm ±z = r(cosα + isiα) ise z = r(cosα isiα) α α z = r(cos(π α) + isi(π α)) olur. ±z z Argz i alabilece i de erler toplam, π π π π π = 6 4 =4π siα =.siα.cosα cosα = cos α si α = cos α = si α buluur. Kutupsal Biçimde Verile da Dört fllem. Toplama veya ç karma ifllemleri yap l rke karmafl k say lar mutlak de erleri eflit ise döüflüm formülleri yard m ile toplama ya da ç karma ifllemi yap labilir. Mutlak de erler eflit de il ise karmafl k say lar stadart biçime getirildikte sora toplama veya ç karma ifllemi yap labilir. Örek 79 z = + cos40 + isi40 say s esas argümeti kaç derecedir? Örek 8 z = (cos0 + isi0 ) z = (cos70 + isi70 ) oldu ua göre, z + z toplam bulal m. 8

32 0 0 0 Çözüm z + z = (cos0 + isi0 ) + (cos70 + isi70 ) = [cos0 + cos70 + i(si0 + si70 )] = [cos0. cos0 + isi0. cos0 ] = cos0 +i cos0 = 4 cos 0 +. cos0 = cos 0 ( + i) olur. Döüflüm Formülleri: sia + sib = si a+b cos a b cosa + cosb = sia sib = cos a+b cos a b cos a+b si a b cosa cosb = si a+b si a b. Çarpma ifllemi yap l rke ise karmafl k say lar mutlak de erleri çarp l r. Argümetler ise topla r. Yai; Çözüm π z w= cos + π 6 +isi π + π 6 = 0 cos π ( ) +isi π = 0 0 +i = 0i Örek 8 z z Çözüm Cevap B Yadaki karmafl k düzlemde gösterile z ve z karmafl k say lar içi z. z çarp m soucuu bulal m. Arg(z ) = = 0 z =.cis0 Arg(z ) = = 0 z = 4.cis0 z.z = cis0.4cis0 z.z = cis0 dir. y z = r (cosα + isiα) z = r (cosθ + isiθ) z.z = r (cosα + isiα). r (cosθ + isiθ) Örek 8 = r. r [cos(α + θ) + isi(α + θ)]. Bölme ifllemi yap l rke karmafl k say lar mutlak de erleri bölüür. Argümetleri ise ç kar l r. z = r (cosα + isiα) z = r (cosθ + isiθ) z= cos π +isi π w= cos π 6 +isi π 6 oldu ua göre, z. w çarp m afla dakilerde hagisidir? A) i B) 0i C) 0i D) 0 E) 0 z z = r (cos α+ isi α) = r r (cos θ+ isi θ) r ( cos( α θ ) + isi( α θ )) 9

33 0 0 0 Örek 84 oldu ua göre, karmafl k say s esas argümeti kaçt r? 7π π A) B) C) 0 0 Çözüm Örek 8 9π D) E) 0 π cos z w = +isiπ cos π 4 +isi π 4 =cos π π 4 +isi π π 4 oldu ua göre, Arg(z) kaç derecedir? Çözüm z = ñi ve z = ñ + i olsu. Cevap E Öce karmafl k say lar kutupsal biçimlerde yazal m. z = cis00 z = cis0 z=cos π +isi π w=cos π 4 +isi π 4 z w =cos 7π 7π +isi Arg 0 0 z= i +i z= cis 00 cis 00 0 cis70 cis0 = ( ) = Arg(z) = 70 dir., 7π 0 π 0 z w = 7π 0 Örek 86 cos7 + isi7 z = cos + isi karmafl k say s afla dakilerde hagisidir? +i i A) B) C) Çözüm cos7 + isi7 z = cos + isi Örek 87 i D) E) (ÖSS 009) = cos(7 ) + isi(7 ) = cos60 + isi60 = O merkezli çember üzeride z ve z karmafl k say - lar verilmifltir. z= z z Çözüm kaçt r? z = rcis (90 α), z = rcis (70 + α) z z ise, Arg(z) rcis. ( 70 + α) z = = cis(70 + α 90 + α) rcis. ( 90 α) z Arg(z) = 80 + α d r. y α 0 α + = + i i buluur. Cevap E z z = cis(80 + α) Bir Karmafl k Say y Oriji Etraf da Dödürme z = z (cosθ + isiθ) karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde α kadar dödürülmesiyle elde edile karmafl k say z' = z (cosθ + isiθ)(cosα + isiα) z' = z (cos(θ + α) + isi(θ + α)) olur. +i 40

34 0 0 0 Örek 88 z = (cos7 + isi7 ) say s oriji etraf da pozitif yöde 4 dödürülmesiyle elde edile karmafl k say y buluuz. Çözüm z' = (cos7 + isi7 )(cos4 + isi4 ) z' =.(cos(7 + 4 ) + isi(7 + 4 ) z' =.(cos0 + isi0 ) = z' = Örek 89 π karmafl k say s oriji etraf da egatif yöde kadar dödürülmesiyle elde edile karmafl k say y buluuz. Çözüm π Negatif yöde kadar dödürmek π kadar dödürmek demektir. oldu uda, + i π π z=cos +isi 6 6 π =π π = π +i z' = cos π 6 +isiπ 6 cosπ + isiπ z' = cos π 6 + π +isi π 6 + π z' = cos π 6 +isiπ 6 Örek 90 z = a + bi ve z = c + di karmafl k say lar verilsi. z karmafl k say s pozitif yöde 0 ve z karmafl k say s egatif yöde 60 dödürülmesiyle ay karmafl k say elde edildi ie göre yi buluuz. z z Çözüm z ve z i dödürülmesiyle ay z say s buluuyorsa, z = (a + bi) [cis 0 ] z = (c + di) [cis( 60 )] z z Örek 9 oralarsak a+bi cis( 0 ) z c+di cis z = cis( 0 ( ) ( 60 )) 60 z karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde 40 dödürülmesiyle olufla yei karmafl k say z = + i dir. z karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde 00 dödürülmesiyle olufla karmafl k say y buluuz. Çözüm z z = cis( 0 ) = cis( 60 0 ) = cis0 = + i buluur. fiekilde de alafl - laca üzere z karmafl k say s pozitif yöde 60 dödürürsek yei karmafl k say z elde edilir. = z (cos60 + isi 60 ) = ( + ) i + i = + i( + ) buluur. O y z z 4

35 0 0 0 da Kuvvet Alma z = r(cosθ + isiθ) ve pozitif do al say olmak üzere, z = [r(cosθ + isiθ)] = r [cos(.θ) + isi(.θ)] d r. Bu kurala De Moivre (Dö Muavr) Kural deir. Öre i, z = cos + isi ise z 4 = cos(4. ) + isi(4. ) = cos60 + isi60 = + i olur. z = cis6 ise z = cis(.6 ) = cis80 = (cos80 + isi80 ) = olur. Örek 9 z = + ñi oldu ua göre, z 60 say s afla dakilerde hagisidir? A) 0 B) 60 C) 0 D) 0 E) 0 Çözüm z= + i z = ( ) + = 4 cos θ = 4 = θ =0 = π y ( ) z Örek 9 z=cos π 6 +isi π 6 θ = π 0 oldu ua göre, z 8 say s esas argümeti afla dakilerde hagisidir? π π π A) π B) C) D) E) 4 6 Çözüm 8 z = cos π 6 +isi π 6 8 =cos 8 π 6 +isi 8 π 6 = cosπ +isiπ Arg(z ) = π=π+π 8 π 8 z=4 cos π +siπ 60 = 4 cos 60 π z 60 +i si 60 π 60 = 4 ( cos40π +isi40π ) buluur. 40π = 0.π + 0 oldu uda, aç esas ölçüsü 0 olur. z 60 = 4 60 (cos0 + isi0) = 4 60 = ( ) 60 = 0 0 Cevap A π periyot oldu u içi z 8 say s esas argümeti π olur. Cevap A 4

36 0 0 0 Örek 94 z= cos π +isi π z =.cis0 oldu uda z 9 = 9.cis(0.9) z 9 =.cis70 = i buluur. oldu ua göre, z i hesaplay z. Çözüm z = z = cos π +isi π = cos π π +isi π π z = cos 4π +isi 4π z = 4π cis Örek 9 z oldu ua göre, z 9 afla dakilerde hagisie eflittir? A) i B) C) Çözüm = + D) i E) (ÖYS 998) Öce verile karmafl k say y kutupsal biçimde yazal m. z = ( ) + ( ) = ve taθ = Arg(z) = 0 dir.. Arg(z.z ) = Argz + Argz z. Arg = Argz Argz z. Arg(z) = θ ise, Arg(±z) = π θ 4. Arg(z) = θ ise, Arg(z ) = π θ i + i + i oldu uda Örek 96 z = + ñi say s ile z = cis0 say s içi, z z de eri kaçt r? Çözüm z = ( ) +( ) = z,. bölgede ve cosθ =, θ = 0 z = cis0 z = (cis(0 )) = cis(0.) = cis0 z z = +...cos0 (kosiüs teoremi uygulad k.) z z = ( ki taraf kareköküü al rsak) z z = Iz z I z z 0 y 0 4 = buluur. Cevap A Karekökleri z, v C, v = z ise, v say s a z karmafl k say s - karekökü deir. Reel say larda baz lar karekökü reel say de ildir. Her karmafl k say karekökü yie bir karmafl k say d r. 4

37 0 0 0 Örek 97 z = i oldu ua göre, z kaçt r? Çözüm z = a + bi, (a, b R) olsu. (a + bi) = i a + abi + b i = i (i = ) a b + abi = i Karmafl k say lar eflitli ide a b = ve ab = ab = 6 Örek 98 z =9 cos π +isiπ deklemii köklerii buluuz. Çözüm θ+k π θ+k π z k = z cos +isi θ θ = z cos +k π +isi +k π, k { 0, } b = 6 a z = 9 ve θ = π oldu u içi, a 6 = a a 6 a = a 4 a 6 = 0 a 9 a +4 (a 9) (a + 4) = 0 a 9 = 0, a + 4 = 0 a 9 = 0 a = 9 a = veya a = 6 b = 6 b = 6 = veya b = = a O halde, z = a + bi = i veya z = + i olur. a + 4 = 0 a = 4 karesi egatif ola gerçek say yoktur. π π z = 9 cos +k π +isi k +k π = cos π +k π +isi π +k π k=0 z = cos π 0 +isiπ k = z = cos 4π +isi4π biçimide iki kök buluur. Örek 99 z = i deklemii köklerii buluuz ve karmafl k düzlemde gösteriiz. w = IzI cisθ ve N + olmak üzere, z = w deklemii kökleri, θ +k π z = rcis k k {0,,,..., ( )} dir. Çözüm y θ = 90 0 Iz I = 0 + = cos θ = 0 =0 θ =π z = cos π +isiπ 44

38 0 0 0 π +k π π +k π z=cos +isi =cos π 4 +k π + isi π 4 +k π k=0 z =cos π 4 +isiπ 4 = + i 0 y z 0 0 θ/ 0 z 0 k= z =cos π 4 +isi π 4 = i z de erleri buluur. y z 0, z ve z say lar bir eflkear üçgei köfleleridir. Bu say lar yar çap z ola çember üzeridedir. z 0 π O π 4 Örek 00 z z =8 cos π 4 +isi π 4 Bu kökleri karmafl k düzlemde gösterdi imizde kökleri br yar çapl merkezcil çember üzeride oldu- u ve say lar orijie birlefltire do ru parçalar aras daki aç ölçüsüü π radya oldu u görülür. Küpkökleri z = z cos( θ+k π)+isi( θ+k π) karmafl k say s küpkökleri z = z cos θ+k π +isi θ+k π k olur. (k {0,, }) z karmafl k say s tae küpkökü vard r. (k Z) k = 0 içi z = z cos θ 0 +isi θ k= içi z = z cos +π +isi +π θ θ k= içi z = z cos θ+4π +isi θ +4π deklemii köklerii buluuz ve karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = k eflitli ide k tam say s a 0,, de erlerii verelim. k=0 z = cos π 4 +isi π 0 4 k= z = cos π + isi π k= z = cos 9π +isi9π de erleri buluur. z π π 8 cos π π y O π 4 z 0 π 4 r = 9π z +k π +isi π 4 +k π Bu kökleri karmafl k düzlemde gösterdi imizde kökler, br yar çapl merkezcil çember üzeridedir ve bu say lar bafllag ç oktas a birlefltire do ru parçalar aras da radyal k, yai 0 aç lar vard r. 4

39 0 0 0 Z = w Deklemii Kökleri z C, Z + olmak üzere z = w = r.cisθ deklemii kökleri z k olsu. k = 0 k =. içi içi k = içi z olur. z =r (cis θ+kπ k ), k {0,,,, } =rcis θ+( ) π, Arg(z = θ+( ) π ) O halde ici derecede kök al rke k ya 0 da bafllayarak ( ) e kadar de erler verilir ve tae kök buluur. Örek 0 z 4 = 6(cos80 + isi80 ) karmafl k say s köklerii buluuz. Çözüm z 4 = 6(cos80 + isi80 ) ise, k 60 ) 80 + k 60 z k = 6 (cos( )+isi( )) 4 4 z k =.(cos(0 + k.90 ) + isi(0 + k.90 )) olur. Bua göre, k = 0 içi k = içi k = içi k = içi z = r z =r (cis θ 0 ), Arg(z θ 0) = cis θ+π, Arg(z ) = θ+π z = a + bi deklemii kökleri geel olarak taedir. Bu say lar yar çap z ola merkezcil çember üzeride buluurlar. Say lar görütüleri ola oktalar bafllag ç oktas a birlefltirildi ide aralar da ölçüsü ola aç lar oluflur. Bulua kök- π ler düzgü -gei köfleleridir. z 0 = (cos0 + isi0 ), z = (cos0 + isi0 ), z = (cos00 + isi00 ), z = (cos90 + isi90 ) buluur. Örek 0 z = + i deklemii sa laya z karmafl k say lar bulal m. Çözüm + i = ó + = ñ8 = ñ Arg( + i) = θ,. bölgede θ = 4 z =( ) cis 4 +k.60 k z = k 0 k = 0 içi k = içi k = içi k = içi k = 4 içi olur. Bulua kökler bir düzgü beflgei köfleleridir. Bu 0 say lar yar çap 8 birim ola çemberi üzeridedir. Örek 0 z = i eflitli ii sa laya z karmafl k say lar bulal m. Çözüm 8.[cis(9 +k.7)] z = 0 z = z = z = z = 4 8.(cis97 ) z = cis90 z = cis 90 + k.60 k = cis(8 +7 k) k = 0 içi z 0 = cis8 k = içi z = cis90 k = içi z = cis6 k = içi z = cis4 k = 4 içi z 4 = cis buluur. 0 8 (cis8 ) 0. 8 (cis9 ) 0. 8 (cis ) 0. 8 (cis ) 0. 46

40 0 0 0 Ölçme ve de erledirme 47

41 0 0 0 Etkilik Yapal m Etkilik Afla daki eflitlikleri iceleyerek karfl s daki uygu kutuyu iflaretleyelim. i = i i = i i 00 = i i 90 = D Y Etkilik 4 z = i, z = + 4i karmafl k say lar içi afla daki ifllemleri yapal m. z + z i 00 = 4 i 0 = i i + i i 4 = 0 z. z i0 i 7 = + i i 0 + i 4 z + z i00 + i 0 = + i i 0 i8+ i +9 i = i 4+ + i 6+7 z.z 48

42 0 0 0 Etkilik Afla daki eflitlikleri sa laya karmafl k say lar geometrik yerlerii buluuz ve afla daki karmafl k düzlemlerde gösteriiz. z + i = y Etkilik 6 Stadart biçimde verile karmafl k say lar kutupsal biçimde gösteriiz. z = + ñi z i y z = i z = < z + i y z = ñ ñ6i

43 0 0 0 Birlikte Çözelim. z = ó 49 karmaşık sayısıı reel kısmı a, saal kısmı b olduğua göre a. b kaçtır? A) 7 B) C) 0 D) E) 7. z= i + i karmaşık sayısıı eşleiği aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm ó 49 = ó. 49 = ò. ò7 = 7i z = 0 + 7i a = Re(z) = 0, b = İm(z) = 7 a.b = 0.7 = 0 buluur. A B C D E Çözüm A) + i B) i C) i D) + i E) + i z= i + i = = i i i + = ( i)( i) (+ i)( i) 4i+ = 4 4i = i z = + i buluur. A B C D E. i = olmak üzere, i i 00 + i 0 + i 0 Çözüm işlemii soucu kaçtır? A) i B) i C) 0 D) E) 009 = (mod4) i 009 = i 00 = (mod4) i 00 = 0 = (mod4) i 0 = i 0 = 0(mod4) i 0 = i i 00 + i 0 + i 0 = i i + = 0 A B C D E 4. Gerçel kısmı ve saal kısmı ola karmaşık sayıı çarpmaya göre tersi aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm +i A) B) + i C) 0 D) i E) i Re(z) =, İm(z) = ola karmaşık sayı z = i dir. z i çarpma işlemie göre tersi dir. z z = i = i +i +i = +i 9 i = +i 9+ = +i 0 +i 0 A B C D E 0

44 ( i) ( + i) 64 işlemii soucu aşağıdakilerde hagisie eşittir? 7. Karmaşık düzlemde z, z, z karmaşık sayıları gösterilmiştir. y z Çözüm A) 6 B) 0 C) 8 D) 4 E) ( i) (+ i) = ( i)(+ i) = ( i ) 0 0 = ( ) = olur ( i) (+ i) 64 = ( ) 6 4 = =6 A B C D E z 4 z Yukarıdaki verilelere göre z z + z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) 9 i B) 7 + i C) 9 + i D) 7 i E) 0 Çözüm Karmaşık düzlemde alaşılacağı üzere, z = + i z = 4 z = i 6. doğal sayı olmak üzere, P() = olduğua göre, P(i) aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) B) 0 C) D) i E) i z z + z = ( + i) ( 4) i = 4 + 6i + 4 i = 7 + i A B C D E Çözüm P(i) = + i + i 4 + i i 6000 i =, i 4 =, i 6 =, i 8 = devam edilirse i 6000 = buluur. P(i) = = A B C D E 8. a ve b iki reel sayıdır. z = (a ) + (b a)i z = a b + (b )i z z = olduğua göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E)

45 0 0 0 Çözüm (a ) + (b a)i a b + (b )i = (a ) + (b a)i = (a b + (b )i) (a ) + (b a)i = 4a 6b + (b )i a = 4a 6b 6b a = () b a = b b + a = () () ve () deklemlerii birlikte çözersek, 0. Re(z) İm(±z) = Çözüm Re(z ) + İm(z) = 7 olduğua göre, ±z ± aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) i C) + i D) + i E) i z = + iy ve ±z = iy olsu. Re z = Re ±z = Im z = y, Im±z = y b= 8 9 ve a= 0 9 ve a + b = olur. ( y) = A B C D E + y = 7 Deklemler ortak çözülürse, = y = olur. z = i, ±z = + i 9. a < 0 olmak üzere, A B C D E z = a i ve z = 7i dir. z z = olduğua göre, a kaçtır?. R + olmak üzere, A) P B) P C) r D) r E) ( z= i)( i) ( + i) veriliyor. Çözüm z z = a i ( 7i) = a i + + 7i a= (a+) +4 = (a + ) + 6 = (a + ) = 9 a + = veya a + = a = P veya a < 0 olduğua içi = a + + 4i (Her iki tarafı karesii alırsak) a = r a = r Çözüm z = olduğua göre, kaçtır? A) B) A C) C D) E) G ( z = = i)( i) i i = ( + i) +i ( ) +( ) +( ) + + = 4 = 4 + ( ) A B C D E

46 0 0 0 ó + = + = 4 = (Her iki tarafı karesii alırsak). z + i = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıı, karmaşık düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerde hagisidir? R + = ñ veya = ñ olur. olduğua göre, = ñ olur. A B C D E A) y B) y C) y D) y. z = + i z = i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık 0 birim olduğua göre, i alabileceği değerler çarpımı kaçtır? E) y A) B) 6 C) 4 D) 0 E) 6 Çözüm Karmaşık sayılar arasıdaki uzaklık z z dir. z z = i i = 8i Çözüm = ( ) + ( 8) = 0 z = + iy olsu. (Her iki tarafı karesii alırsak) + iy + i = ( ) + 64 = 00 ( ) = 6 = 6 veya = 6 = 8 veya = 4 olur. Değerler çarpımı 8.( 4) = A B C D E + (y + )i = ( ) + (y + ) = ( ) + (y + ) = (İki tarafı karesii alırsak) merkezi (, ), yarıçapı birim ola bir çember belirtir. A B C D E

47 z = ñ sayısıı kutupsal şekilde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir? A) cos π 6 +isi π 6 B) cos π 6 +isi π 6 C) 4 cos π 6 + isi π 6 D) 4 cos π 6 +isi π 6 π π E) 4 cos + isi 6 6 Çözüm cos( 70 ) = cos(60 70 ) = cos90 = 0 si( 90) = si(60 90) = si70 = olur. z = (0 i) = i A B C D E Çözüm 6. z = si08 + icos08 z = si48 icos48, C (C, ) z olduğua göre, Arg z kaç derecedir? A) 4 B) 60 C) 6 D) E) 6 z = y ( ) + ( ) = + 4 = 4 Çözüm z = si08 + icos08 z, 4. bölgededir. cosθ = z = 4 = 4 cos π 6 +isi π 6 θ = π 6 olur. A B C D E z = cos(70 08 ) + isi(70 08 ) z = cos6 + isi6 z = si48 icos48 z = cos( ) + isi( ) z = cos8 + isi8 z z = cis6 cis8 = cis(6 8 ) = cis( 6 ). z = (cos( 70 ) + isi( 90 )) karmaşık sayısıı stadart biçimde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) C) D) + i E) i Arg z z = cis(60 6 ) = cis( ) = A B C D E 4

48 z = 7 4i Çözüm deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) 4 + i B) + 4i C) 4 i D) + 4i E) 4 i z = a + bi olsu. z = 7 4i a, b R (a + bi) = 7 4i a + abi + (bi) = 7 4i a + abi b = 7 4i a b = 7 () ab = 4 () ab = b= a () olu deklemde yerie yazarsak, a =7 a a 44 =7 a a 4 44 = 7a a 4 7a 44 = 0 8. z = cis96 Çözüm sayısıı oriji etrafıda egatif yöde 6 dödürülmesi ile oluşa sayı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) i + i C) D) i + i E) 6 dödürülmesiyle oluşa yei karmaşık sayı z olsu. z = cis96. cis( 6 ) + i z = cis(96 6 ) =. cis( 0 ) = cis(60 0 ) = cis0 = i A B C D E (a 6)(a + 9) = 0 a = 6, a = 9 (reel kök yok) a = 4 veya a = 4 bu durumda kökler, a = 4 içi a = 4 içi b= a = 4 = b= a = 4 = z = 4 i ve z = 4 + i olur. A B C D E

49 0 0 0 Ö rediklerimizi Test Edelim. Z olmak üzere, i +i +i i i i ifadesii değeri edir? A) B) C) 0 D) i E) i. i = olmak üzere, işlemii soucu aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) + 4i C) 4i D) E) i. z = + i, z = i, z = + i olduğua göre, aşağıdakilerde hagisi doğrudur? A) z > z > z B) z > z > z C) z > z > z D) z > z > z E) Karmaşık sayılarda sıralama yapılamaz. 6. i = ò olmak üzere, ( i) ( i ) ( i ) ( i 7 ) ( i 9 ) işlemii soucu kaçtır? A) 64 B) i C) 6i D) 6 E) 7. z = ñi. ( ñ i) 00. ( + ñ i) 00 işlemii soucu kaçtır? A) 00 B) 00 C) 00 D) 0 E) 4 0 olduğua göre, z 4 aşağıdakilerde hagisidir? A) + ñ i B) 4 4ñ i C) 8 + 8ñ i D) 6 6ñ i E) ñ i = 0 deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) i C) i D) + i E) + i 8. Kökleride biri + ñi ola, reel kat sayılı ikici derecede deklem aşağıdakilerde hagisidir? A) = 0 B) 4 = 0 C) + 4 = 0 D) = 0 E) 4 + = 0 6

50 f(z) = z 0 z + i i olduğua göre, f(i) i saal kısmı kaçtır? A) B) P C) 0 D) P E). z = i z = 4 + i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç birimdir? A) ñ B) ñ C) ñ D) E) 4ñ 0. z = i ifadesii çarpmaya göre tersi aşağıdakilerde hagisidir? i +i A) + i B) C) 4. z karmaşık sayı olmak üzere, z ±z + z = + 9i ise, Rez. Imz çarpımıı soucu kaçtır? A) B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 +i D) E) + i. z = + i olmak üzere, z z işlemii soucu kaçtır? A) i B) + i C) i D) i E) + i. i z ±z = 0 deklemii sağlaya z karmaşık sayılarıı geometrik yeri aşağıdakilerde hagisidir? A) Reel Ekse B) Saal ekse C) I. bölge D) Orji E) Orji ve saal ekseii egatif parçası. z ±z + i = 4i eşitliğii sağlaya karmaşık sayıı modülü kaçtır? A) ñ B) ñ C) D) ñ E) ñ7 6. z + i = 4 eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıda modülü e küçük olaı modülü kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 7 B - E - C - A I C - E - C - A I B - C - C - D I C - A - E - B 7

51 0 0 0 Ö rediklerimizi Test Edelim. z = ñ i karmaşık sayısıı kutupsal biçimde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir?. z = cos0 + isi0 sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 0 C) 6 D) 7 E) 90 A) B) cis 7 π cis 7 π C) 6 6 cis 6 π π D) cis E) 6 4cis 7 π 6 6. z = cos80 + isi80 sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) 40 B) 0 C) 0 D) 40 E) 0 π. Modülü 6, argümetlerde biri ola karmaşık sayısıı stadart biçimde yazılışı 4 aşağıdakilerde hagisidir? A) ñ ñi B) ñ ñi C) ñ + ñi D) ñ + ñi E) ñ ñi. Modülü, esas argümeti 8 ola z sayısı ile modülü 4 esas argümeti ola z sayısı veriliyor. 7. z + 4i = ñ koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda esas argümeti e küçük olaı esas argümeti kaç derecedir? A) 60 B) 90 C) 0 D) 0 E) 40 Bua göre, z. z çarpımı kaçtır? A) + ñi B) 4 + 4ñi C) 6 + 6ñi D) 6 6ñi E) 4 4ñi 8. z = i(cos + isi) karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 6 C) D) E) 4. i = olmak üzere, z = + ñi olduğua göre, z 0 karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) 0 ( + ñi) B) 9 ( ñi) C) 8 ( +ñi) D) 7 ( ñi) E) 6 (ñ i) 9. i = ò olmak üzere, cos00 + isi00 cos40 + isi40 ifadesii eşiti kaçtır? A) ñ B) ñ7 C) ñ D) E) 7 8

52 z = i karmaşık sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 90 dödürülmesiyle elde edile sayı z dir. Bua göre ±z± değeri kaçtır? A) ò B) ñ7 C) D) ñ E) ñ 4. z = ñ + i deklemii kökleride birii argümeti aşağıdakilerde hagisidir? A) 60 B) C) D) 70 E) 0. i = olmak üzere, z + i = 0 π. Hagi sayıı egatif yöde radya dödürülmesiyle elde edile karmaşık sayı ñ i olur? A) ñ i B) ñ + i C) ñ i D) ñ + i E) ñi deklemii kökleri z, z, z tür. Bua göre, Arg(z ) + Arg(z ) + Arg(z ) kaç derecedir? A) B) C) 60 D) 49 E) π. Arg(z + i) = ve Arg(z ) = 4 π 4 6. z 0 + iz = 0 eşitliğii sağlaya sıfırda farklı z karmaşık sayılarıda biri aşağıdakilerde hagisidir? A) cis4 B) cis60 C) cis0 D) cis0 E) cis40 eşitliklerii sağlaya z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) i i + i 7. z İm(z) D) E) i i 0 A 4 Re(z). i deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) + i C) + i D) + i E) i Şekildeki karmaşık düzlemde z = birim, z z = ñ birim olduğua göre, aşağıdakilerde z hagisidir? A) + i B) + i C) ñ + i D) ñ i E) ñ + i A - B - C - B I C - E - D - C - D I A - A - A - C I C - D - C - B 9

53 0 0 0 Yaz l sorular Soru < 0 < y olmak üzere, sayısıı reel ile imajier kısımlarıı buluuz. Çözüm y +y + y Soru Aşağıda bir kökü verile gerçel kat sayılı ikici derecede deklemleri yazıız. a) = i b) = 4i c) = i d) π = π i 4 Çözüm Soru π θ π, olmak üzere, z = taθ i olduğua göre, ± ±z değerii buluuz. Çözüm Soru 4 i = olmak üzere, işlemii soucuu buluuz. Çözüm + i i + 4i + i 60

54 0 0 0 Soru < z + i eşitliğii sağlaya z karmaşık sayısıı karmaşık düzlemde gösteriiz. Çözüm Soru 7 ±z = ñi ±z = i olduğua göre, z.z çarpımıı kutupsal biçimde gösteriiz. Çözüm Soru 8 z, w C olmak üzere, Soru 6 z 0 + 4i = deklemii sağlaya ve mutlak değeri e büyük ola karmaşık sayıyı buluuz. Çözüm z = ñi karmaşık sayısıı oriji etrafıda 0 dödürülmesiyle elde edile yei karmaşık sayı w dir. w sayısıı köklerii kutupsal biçimde gösteriiz. Çözüm 6

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK ÜÇRENK SORU BANKASI

11. SINIF MATEMATİK ÜÇRENK SORU BANKASI . INIF MATEMATİK ÜÇRENK ORU BANKAI Mil lî E i tim Ba ka l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Ba ka l.8. ta rih ve sa y l ka ra r ile ka bul edi le ve - Ö re tim Y l da iti ba re uy gu la a cak ola prog ra ma

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

5. Atomun yap s n aç klamak için çok de iflik modeller ortaya CEVAP A. 6. Bohr atom modeline göre, CEVAP E. ... n=4... n=3... n=2 ESEN YAYINLARI

5. Atomun yap s n aç klamak için çok de iflik modeller ortaya CEVAP A. 6. Bohr atom modeline göre, CEVAP E. ... n=4... n=3... n=2 ESEN YAYINLARI ATOM F TEST -. Tomso atom modelie göre, atom küre fleklidedir. Atomda (+) ve ( ) yükler rastgele da lm flt r. Ayr ca yörüge kavram yoktur.. Temel âldeki atomlar dört yolla uyar labilir. ) S cakl klar art

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu. //00 Ölçme Hataları, Hata Hesapları Ölçme Hataları, Hata Hesapları Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.tr Suu, Doç. Dr. Hade Demirel i ders otlarıda ve Ölçme Bilgisi kitabıda düzelemiştir. Ölçme...

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir

ILMO 2009. c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com. İstanbul Liseler Arası Matematik Olimpiyatı (ILMO) sorularından bir İstabul L ıseler Arası Matemat ık Ol ımp ıyatı ILMO 9 Çözümler ı c www.sbelia.wordpress.com sbeliawordpress@gmail.com Her yıl KOÇ Üiversitesi Bi Topluluğu Öğreci Klübü tarafıda düzelee, İstabul Liseler

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim 3.2 Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim Zihinden Toplayal m ve Ç karal m 1. Afla da verilen ifllemleri zihinden yaparak ifllem sonuçlar n yaz n z. 50 YKr + 900 YKr = 300 + 300 = 998 100

Detaylı

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.

UZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir. UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2:

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2: MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK : ÖRNEK 2:, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullaarak rakamlar birbiride farkl ola, üç basamakl ve 780 de küçük kaç de iflik say yaz labilir? A) 6 B) 2 C) 36 D) 30 E) 2 (999

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1.

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1. KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI.., +.,.,. +.,,. +, + Re( ) İm( ) +. olmak üere? olmak üere.. + )? (. 6 +.. 9 + 8 ( ) olduğua göre İm (Z) Re (Z)?. + + 9 + 6 +... + 89 6. 0 + + +... + 7. P(x) x 7 + x x

Detaylı

MATEMAT K 6 ÜN TE III

MATEMAT K 6 ÜN TE III ÜN TE III A. KES RLER 1. Kesirleri Karfl laflt rma ve Say Do rusunda Gösterme 2. Denk Kesirlerden Yararlanma 3. Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi 4. Kesirlerle Çarpma fllemi 5. Kesirlerle Bölme fllemi

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

TEST - 1 RENKLER. Beyaz cisimler üzerlerine düflen fl aynen yans t r. Böylece tüm cisimler ayd nlat ld fl n renginde görülür.

TEST - 1 RENKLER. Beyaz cisimler üzerlerine düflen fl aynen yans t r. Böylece tüm cisimler ayd nlat ld fl n renginde görülür. REER TEST - 1 1. 4. fiekil- fiekil- fiekil- Beyaz ler üzerlerine üflen fl aynen yans t r. Böylece tüm ler ay nlat l fl n rengine fl k 1444442444443 turuncu mor göz magenta 2. avi X Z agenta ve renkli fl

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

Cebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006

Cebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR,  2006 MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

= puan fazla alm fl m.

= puan fazla alm fl m. Temel Kaynak 5 Do al Say larla Ç karma fllemi ÇIKARMA filem Hasan ve Ahmet bilgisayar oyunundan en yüksek puan almak için yar fl yorlar. lk oynay fllar nda Ahmet 1254, Hasan 1462 puan al yor. Aralar nda

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

IfiI IN DALGA DO ASI. ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ. 1. P noktas n n kaynaklara olan yol fark dalga boyunun. 2. a) 3. ayd nl k saça n merkez

IfiI IN DALGA DO ASI. ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ. 1. P noktas n n kaynaklara olan yol fark dalga boyunun. 2. a) 3. ayd nl k saça n merkez IfiI IN DAGA DO ASI. oktas lara ola yol fark alga boyuu tam kat a eflit ise ay l k, e ilse karal k saçakt r. a) YF. b) IfiI IN DAGA DO ASI.. ay l k saçakt r. YF ( ). ( )..karal k saçakt r.. a). ay l k

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3

Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3 KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 11. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR. Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI ÜÇÜNCÜ BASKI., 0 MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ... :

Detaylı