KÜMELER. Kümeler YILLAR MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez."

Transkript

1 MTEMTĐK ĐM YILLR ÖSS-YGS /1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul ederler Örneğin ; Ülkemizin ırmakları iyi tanımlanmıştır ve bir küme oluşturur Çünkü sayıları da isimleri de bellidir ncak, sınıfımızın başarılı öğrencileri iyi tanımlanmamıştır Çünkü bir dersten başarılı olan bir öğrenci, başka bir dersten başarısız olabilir u yüzden de küme oluşturmaz KÜMELERĐN GÖSTERĐMĐ 1) LĐSTE YÖNTEMĐ: Küme elemanlarını aralarına virgül koyarak küme parantezi arasında yazma yöntemidir ={a,b,c,d,e,f} ) Venn Şeması: Küme elemanlarını kapalı bir geometrik şekil içinde, soluna nokta koyarak belirtme yöntemidir MTEMTĐK ĐM UYRI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye denir ve E ile gösterilir EŞĐT KÜME ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir ={1,,,4} ve ={x 0<x<5, x N} ise = dir DENK KÜME: Eleman sayıları eşit olan kümelere denir s()=s() ise dir ={a,b,c} ve ={1,,}, s()=s()= olduğundan dir ) ORTK ÖZELLĐK YÖNTEMĐ: Kümenin elemanları değil ortak özellikleri belirtilir ={x <x<5, x Z} ELEMN SYISI ir kümesinin eleman sayısı s() ile gösterilir ={a,b,c,d,e,f} s()=6 OŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir φ veya {} ile gösterilir YRIK KÜME : Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir ve ayrık kümeler ise =φ dir ={1,,,4} ve ={a,b,c,d,e} ise ve kümeleri ayrık kümelerdir = φ LT KÜME : ve boş olmayan iki küme olsun kümesinin her elemanı, kümesinin de elemanıysa kümesi kümesinin alt kümesidir denir ve veya ile gösterilir wwwglobalderscom 88

2 MTEMTĐK ĐM 5 Örneğin i hesaplayalım Pay a 5 ten geriye tane sayı, paydaya da den 1 e kadar yazılır ÖZELLĐKLER: 1) Her küme kendisinin alt kümesidir ) oş küme her kümenin alt kümesidir φ ) ve = 4) ve C C 5) s()=n ise kümesinin alt küme sayısı n dir ÖZLT KÜME ir kümenin kendisinden başka tüm alt kümelerine denir s()=n ise nın özalt küme sayısı n 1 dir = = = 10 1 bir örnek daha: 6 hesaplayalım: Pay a 6 ten geriye tane sayı, paydaya da ten 1 e kadar yazılır = = 0 bulunur 1 ÖRNEK(1) ir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir u kümenin eleman sayısı 1 arttırılırsa alt küme sayısı ve özalt küme sayısı kaç olur? NOT 1 : n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n,r) ile hesaplanır(n r) n n! C(n, r) = = r (n r)!r! n!=1n 0!=1!=1 = = 1 0 n n = = n 1 n 1 MTEMTĐK ĐM u kümenin eleman sayısı n olsun n n i) n= + = 5 = ii) özelliğini hatırlarsak eleman sayımızın 5 olduğu görülür Kümenin eleman sayısını 1 arttırırsak 6 olur u durumda 6 lt küme sayısı : = 64 6 Öz alt küme sayısı : 1= 64 1= 6 olur n = p r i) n ii) p = p+ r = r ÖRNEK() 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı kaçtır? n = r n r = 0 1 n n Pratik Yol-1: kombinasyon hesabında aşağıdaki pratik hesaplamayı kullanın: wwwglobalderscom ! 5! 10 C(5, ) = = = = = 10 (5 )!!!! 6 veya pratik yol-1 den : 5 54 = = 10 bulunur 1

3 MTEMTĐK ĐM Pratik yol-: in bulunur-bulunmaz soruları için kolay uygulanabilir aşağıdaki yöntem çok işinize yarayacak; n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri için n C(n,r)= şablonu yazılır ve ; r ulunur derken hem n den hem r den, bulunmaz derken de sadece n den istenen kadar eksiltme yapılır ÖRNEK() ={1,,,4,5,6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde; a) 1 ve birlikte bulunur? b) 1 ve bulunmaz? c) bulunur bulunmaz? d) 1 veya bulunur? e) 1 veya bulunmaz Şablonumuz : n 6 r 4 a) 1 ve birlikte bulunur? hem n den, hem de r den sayı eksiltilir n = = = = 6 r b) 1 ve bulunmaz? sadece n den eksiltilir n = = = 1 r c) bulunur bulunmaz? önce bulunur için hem n den, hem r den bir eksiltilir n = = r sonra da bulunmaz için sadece r den bir eksiltilir n = = = 4bulunur r MTEMTĐK ĐM bu dört durumdan istenmeyen (1 ve bulunmaz) durumudur O halde tüm 4 elemanlı alt kümelerden (1 ve bulunmaz) durumunu çıkarsak amacımıza ulaşmış oluruz Sonuç : (tüm 4 elemanlılar)- (1 ve bulunmaz) = = 15 1= e) 1 veya bulunmaz d şıkkındaki mantığın bir benzerini bu şık için de düşünürsek; (tüm 4 elemanlılar)- (1 ve bulunur) = = 15 6= ÖRNEK(4) 5 elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? En çok elemanlı demek,1,0 elemanlı alt kümeler demek, = = 16 olur 0 1 ÖRNEK(5) 6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? En az 4 elemanlı demek 4,5,6 elemanlı alt kümeler demek, = = bulunur ÖRNEK(6) 6 elemanlı bir kümenin 4 ten az elemanlı alt küme sayısı kaçtır? d) 1 veya bulunur? 1 ve için tüm 4 elemanlı alt kümeler düşünüldüğünde aşağıdaki durum gözlenir; (1 bulunur),( bulunur), (1 ve bulunur),(1 ve bulunmaz) 4 ten az demek,,1,0 elemanlı alt kümeler demek = = bulunur wwwglobalderscom 90

4 MTEMTĐK ĐM Pratik yol-: in tüm alt kümeleri için bulunur-bulunmaz sorularına da bir pratiğimiz var n elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri için n şablonu yazılır ve ; ulunur derken de, bulunmaz derken de sadece n den istenen kadar eksiltme yapılır KÜMELERDE ĐŞLEMLER ĐRLEŞĐM: ÖRNEK(7) ={a,b,c,d,e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) a bulunur? b) a ve b bulunmaz? c) a veya b bulunmaz? d) a bulunur, b bulunmaz? 5 Şablonumuz : olur a) a bulunur? 5 1 bir eleman eksiltilir = 4 =16 b) a ve b bulunmaz? iki eleman eksiltilir 5 = =8 c) a veya b bulunmaz? (tüm alt kümeler)-(a ve b bulunur) = 5 4 = 16=16 d) a bulunur, b bulunmaz? a bulunur: 5-1 = 4 b bulunmaz : 4-1 = = 8 olur SIR SĐZDE: ÖRNEK(8) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a) a bulunur, b bulunmaz? 16 b) a ve b bulunur? 16 c) a ve b bulunmaz? 16 d) a veya b bulunur? 48 e) a veya b bulunmaz? 48 ve kümelerinin elemanlarının tümünün oluşturduğu kümeye denir ve ile gösterilir ={x x veya x } KÜMELERDE KESĐŞĐM: ve kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye denir ve ile gösterilir ={x x ve x } ÖRNEK(9) ={a,b,c,d} ve ={c,d,e,f} ise a) =? ={c,d} b) =? ={a,b,c,d,e,f} ortak eleman demektir Ortak elemanlar c ve d dir: ={c,d} ortak olanlarla olmayanların hepsi demektir ={a,b,c,d,e,f} a c e b d f f) a ve b bulunur, c bulunmaz? 8 wwwglobalderscom 91

5 MTEMTĐK ĐM ÖRNEK(10) ={x <x<8 ve x Z} ve ={x <x<5 ve x Z} ise ; a) =? ={x <x<5 ve x Z} b) =? ={x <x<8} ve Z} c) \ =? \ ={x 5 x< 8} ve Z} Küme elemanları tamsayı olduğundan tek tek yazılabilir ={,4,5,6,7} ve ={-,-1,0,1,,,4} Şimdi istenenleri bulabiliriz a) = {,4} b) = {-,-1,0,1,,,4,5,6,7} c) \ = {5,6,7} NOT : Kesişimde; alt sınırın en büyüğü ve üst sınırın en küçüğü alınır irleşimde; alt sınırın en küçüğü ve üst sınırın en büyüğü alınır ÖRNEK(11) ={x <x<8 ve x R} ve ={x <x<5 ve x R} ise ; a) =? b) =? c) \ =? u sefer elemanlar reel sayı olduğundan tek tek yazılamazlar Notumuzu dikkate alırsak; a) ={x <x<5 ve x R} b) ={x <x<8} ve x R} c) \ ={x 5 x< 8} ve x R} wwwglobalderscom 9 MTEMTĐK ĐM KESĐŞĐM VE ĐRLEŞĐM ĐLE ĐLGĐLĐ ÖZELLĐKLER: = 1) Değişme özelliği = ( ) C= ( C) ) irleşme öz ( ) C= ( C) = ) Tek Kuvvet öz = 4) ( C) = ( ) ( C) Dağılma ( C) = ( ) ( C) öz 5) φ=, φ=φ, E=E, E=, 6) s( ) = s() + s() s( ) s( ) = s(\) + s(\) + s( ) s 7) s( C) = s()+s()+s(c) s( ) s( C) s( C) +s( C) ÖRNEK(1) s(\)=10, s(\)=8 ve nin özalt küme sayısı 6 ise s( )=? s( )=n olsun nin özalt küme sayısı 6 ise n 1= 6 n 6 = 64= n =6 dır s( ) = s(\) + s(\) + s( ) = = 4 elde edilir ÖRNEK(1) ={x x<1} ve ={x 1<x 8} ise ( ) kümesi şağıdakilerden hangisidir? ) x > 1 veya x 8 ) 1< x <1 C) 1< x 8 D) x 1 E) x 8

6 MTEMTĐK ĐM x ile ilgili herhangi bir bilgi verilmediğinden reel sayı kabul ederiz Yine notumuzu hatırlayacak olursak; (alt sınırın en büyüğü, üst sınırın en küçüğü) ( ) = { x 8 } olur Yani cevap E şıkkıdır ÖRNEK(14) [ ( / )] ( )=? ) ) C) E D) E) 1yol: ĐKĐ KÜMENĐN FRKI ve aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olsun da olup de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark denir ve (\) veya ( ) ile gösterilir ={x x ve x } FRK ĐŞLEMĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ 1) E \ = E / = /, \ E = φ a b c şekildeki gibi her boşluğa bir eleman yerleştirdikten sonra kümeleri bulalım / [ ( )] ( ) yol: / [( ) )] ( ) = / = [ ] ( ) a b {a,b} = bulunur [ ( / )] ( ) = [( ) / )] ( ) = [ / ] ( ) = [ ( / )] = [ E] = MTEMTĐK ĐM ) \ = / ) ise \ = φ 4) ( \ ) / = / 5)( \ ) = ( ) 6) ( \ ) \ C = \ ( C) 7) ( \ ) = \ ( ) 8) \ ( C) =( \ ) ( \ C) \ ( C) =( \ ) ( \ C) SĐMETRĐK FRK wwwglobalderscom 9 ( \ ) ( \ ) kümesine simetrik fark denir ve ile gösterilir

7 MTEMTĐK ĐM KUVVET KÜMESĐ ir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ={a,b,c} için nın kuvvet kümesi ={{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c}, {a,b,c}} TÜMLEME ĐŞLEMĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ 1) E / =φ ) φ / =E ) ( / ) / = 4) / / ÖRNEK(15) ={1,,,4,5} ve ={4,5,6,7,8} olsun buna göre; a) \=? b) \=? c) =? Çz; \={1,,} \={6,7,8} ={1,,,6,7,8} 5) s()+s( / )=s(e) 6) / =φ, / =E / / / ( ) = 7) De Morgan Kuralı / / / ( ) = 8) / E= /, / E=E MTEMTĐK ĐM NOT : lmanca, Đngilizce ve Fransızca bilen bir topluluk için TÜMLEME E olmak üzere E kümesinin kümesinde olmayan elemanlarının oluşturduğu kümeye kümesinin tümleyeni denir ve / veya ile gösterilir / ={x x E ve x } dır Üçünü bilen : t Hiç birini bilmeyen : k En az birini bilen : a,b,c,x,y,z,t En az ikisini bilen : x,y,z,t En fazla birini bilen : a,b,c,k En fazla ikisini bilen: a,b,c,x,y,z,k En fazla üçünü bilen : a,b,c,x,y,z,t,k En az birini bilmeyen : a,b,c,x,y,z,k En az ikisini bilmeyen: a,b,c,k Sadece bir dil bilen : a,b,c Sadece iki dil bilen : x,y,z lm bilip Đng bilmeyen : a,y lm ve Đng ilip Fransızca bilmeyen: a,x,b lm bilip Đng ve Frans ilmeyen : a wwwglobalderscom 94

8 MTEMTĐK ĐM GENEL ÖRNEKLER ÖRNEK(16) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyorşağıdakilerden hangisi nın bir elemanı değildir? ) a ) b C) c D) d E) e ÖRNEK(0) E evrensel kümesinde tanımlı ve kümeleri için; s() + s() + s( / )=4 ve s(e)=18 ise s( / )=? a,b,d ve e elemandır, c değildir Cevap C şıkkı / ( ) ( ) ( ) s + s + s = 4 s(e) = 18 s() = 6 ÖRNEK(17) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyor şağıdakilerden hangisi nın hem elemanı hem de altkümesidir? ) {a} ){b} C){a,b,c} D){a,b} E) {a,e} a tek başına bir eleman iken {a} bir alt kümedir {a} ise yine tek başına bir elemandır O yüzden cevap şıkkıdır ÖRNEK(18) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyor u kümenin eleman sayısı kaçtır? Küme parantezi içinde virgülle birbirinden ayrılan her terim bir eleman olduğundan s()=6 dır ÖRNEK(19) E evrensel kümesinde tanımlı ve kümeleri için; s()+s( / )=17 s()+s( / )=15 ise s(e)=? s()+s( / )=17 + s()+s( / )=15 / / s( ) + s( ) + s( ) + s( ) = s(e) s(e) s(e) = s(e) = 16 MTEMTĐK ĐM s() + s( / ) = s(e) 6 + s( / ) = 18 s( / ) = 1 bulunur ÖRNEK(1) ={1,,,4,5,6,7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir tane tek sayı bulunur? En az bir tane tek sayı olsun istiyorsak, içinde hiç tek sayı olmayan {yani çift elemanlılar} alt kümeleri tüm alt kümelerden çıkarırız öylece kalan alt kümelerde en az bir tek sayı bulunmuş olur s() = 7 ve Ç={,4,6} s(ç) = olmak üzere {tüm alt kümeler} {sadece çift elemanlılar} 7 = 18 8= 10 tanesinde en az bir tek sayı vardır ÖRNEK() oş olmayan ve kümelerinde s()=5x 1, s()=x 1 dir ile nin alt kümelerinin sayıları oranı 64 ise alt kümelerinin sayıları çarpımı kaçtır? 5x 1 kümesinin alt küme sayısı : x 1 kümesinin alt küme sayısı : ile nin alt kümelerinin sayıları oranı: 5x 1 5x 1 x+ 1 6 = 64 = x 1 x = 6 x = wwwglobalderscom 95

9 MTEMTĐK ĐM kümesinin alt küme sayısı: = = kümesinin alt küme sayısı : = = alt kümelerinin sayıları çarpımı: = = bulunur 5x x ÖRNEK() ={x : x ve x Z}, ={1,,} ve \={ 1,5} ise kümesini bulun x - x- -1 x 5 {-1,0,1,,,4,5} şekil üzerinde gösterecek olursak; Örnek( ) ir toplulukta Đngilizce ve lmanca bilenlerin sayısı 1, Đngilizce veya lmanca bilenlerin sayısı dir Sadece Đngilizce bilenler, lmanca bilip Đngilizce bilmeyenlerin 4 katı ise Đngilizce bilen kaç kişidir? öyle soruları şekil üzerine yerleştirip çözmek daha kolaydır Đ 4x 1 x 4x+1+x = 5x = 0 x = 4 s(đ) = 4x+1 = 44+1 = 8 bulunur o halde ={0,1,,,4} olur ÖRNEK(4) ={x 40 x 169, x Z} veriliyor nın kaç elemanı 4 ve 7 ile bölünür? ir sayının 4 ve 7 ile bölünmesi demek 4 ve 7 nin okek i ile bölünmesi demektir Okek(4,7)=8 olduğundan aradığımız sayılar 8 ile bölünmeli, diğer bir değişle 8 in katı olmalı; Sayılarımız 8kat şeklinde ise kat a değer verip 40 x 169 aralığına giren sayıları küme içine alırız Kat =,,4,5,6 için bulunan 56,84,11,140,168 sayıları aradığımız elemanlardır O halde {56,84,11,140,168} 5 tane eleman hem 4 hem de 7 ye bölünür MTEMTĐK ĐM Örnek( ) ir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı 9 ise bu kümenin elemanlı alt kümeleri kaç tanedir? u kümenin eleman sayısı n olsun En çok elemanlıların sayısı; n n n n(n 1) + + = 1+ n+ = n n+ n = 9 1 n + n = 8 n + n= 56 n + n 56= 0 (n+ 8)(n 7) = 0 n = -8 ve n = 7 bulunur bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından bu kümenin eleman sayısı 7 olur u kümenin elemanlı alt küme sayısı ise = = 5 bulunur 1 wwwglobalderscom 96

10 MTEMTĐK ĐM Örnek( 4 ) bu durumda s( )= = olur Şekildeki taralı bölge H ile ifade edilir? Örnek( 7 ) ={1,,,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde veya 4 bulunur? ) ( ) ) E\( ) C) ( ) E D) ( ) ( / / ) E) ( / / ) ( ) Taralı kısım ( ) ile ( ) / nin birleşimidir ( ) ( ) / ( ) ( / / ) bu durumda doğru cevap D şıkkıdır Örnek( 5 ) ve kümeleri için,, s( )=1, s( )=5 olduğuna göre kümesinde en çok kaç eleman olabilir? Şekil üzerinde düşünelim MTEMTĐK ĐM Tüm alt kümeleri ve 4 için düşündüğümüzde karşımıza aşağıdaki tablo çıkar; - vardır - 4 vardır - ve 4 vardır - ve 4 yoktur bunların dışında bir durum söz konusu olamaz Đlk üç durum zaten veya 4 bulunurun açılımıdır Đstenmeyen durum veya 4 bulunmazdır iz de veya 4 bulunmazı tüm durumlardan çıkarır ve isteneni buluruz { veya 4 bulunur} = {Tüm alt kümeler} { ve 4 bulunmaz} 5 = = 8= 4 olur Örnek( 8 ) u kısmı en az seçmeliyiz ki büyüsün u kısım 0 elemanlı seçilirse, nın alt kümesi olur ki bu duruma soruda izin verilmiyor ( ) O halde s() = 11 olur Örnek( 6 ) s(\)=15, s(\)=1 ve nin alt küme sayısı ise s( )=? kümesinin eleman sayısı n olsun n nin alt küme sayısı = =5 olur Şimdi bilgileri şekil üzerine taşıyalım wwwglobalderscom 97 Taralı ölge H ile gösterilir? ) \( ) ) C\( ) C) \( C) D) C\( C) E) \( C) Şekilde ve C kümelerinin boş, sadece nin ortak olmayan kısmının dolu olduğu görülüyor Yani bir nevi den ve C çıkarılmış, yani; \( C) olur Doğru cevap C şıkkıdır

11 MTEMTĐK ĐM Örnek( 9 ) s(\)=0, s(\)=11 s( )= ise s( )=? ve Verileri şekil üzerine yerleştirirsek; u sorularda en güzeli şekil üzerinde çözmektir Verileri şekil üzerine yerleştirirsek ; 0 x 11 s( )= 0 + x + 11 = x + 1 = x = bulunur 4x x 7x 8s()=5s() 8(5x) = 5s() 40x = 5s() s() = 8x s( )=6 4x+x+7x = 6 1x = 6 x = s( )= ise alt küme sayısı 8x-x=7x = 8 olur Örnek( 0 ) ir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir u kümenin eleman sayısı arttırılırsa elemanlı alt küme sayısı kaç olur? Kümemizin eleman sayısı n olsun n n i) n= 5+ = 8 = 5 ii) 5 özelliğini hatırlarsak eleman sayımızın 8 olduğu görülür u kümenin eleman sayısı arttırılırsa 8+=10 olur 10 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı = = 45 bulunur 1 Örnek( 1 ) s(\)=4s( ), 8s()=5s() ve s( )=6 ise ( ) nin alt küme sayısı kaçtır? MTEMTĐK ĐM Örnek( ) ={1,,,4,5,6} ve C ={,5,7,8} ise ( C) kümesini bulunuz ( C) ifadesine dağılma özelliğini uygularsak ; ( C) = ( ) ( C) = {1,,,4,5,6} {,5,7,8} = {,5} bulunur Örnek( ) ir sınıfın 0 kişilik öğrencisinin 18 i erkek, 1 si bayandır Öğrencilerin 10 kişisi mavi gözlüdür Mavi gözlü olmayan erkek sayısı mavi gözlü bayan sayısının katıdır Mavi gözlü olmayan erkek sayısı kaçtır? u sorularda da tablo çizmek en iyisidir Verileri tabloya yerleştirirsek; Mavi Mavi gözlü Toplam gözlü olmayan Erkek x 18 ayan x 1-x 1 Toplam x+1-x = 0 x = 8 x = 4 Mavi gözlü olmayan erkek sayısı x =4 =1 dir wwwglobalderscom 98

12 MTEMTĐK ĐM Örnek( 4 ) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde b ve c birlikte bulunur? Pratik yol- ü hatırlayalım; 6 Şablonumuz : 6 4 Cevabımız : = = 16 olur Örnek( 5 ) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde a ve b bulunup e ve f bulunmaz? Sonuç : a + b = +9 = 51 bulunur Örnek( 7 ) {1,} {1,,,4,5} ise kaç tane kümesi yazılabilir? (*5 = ) kümesi en çok {1,,,4,5} elemanlarını, en az {1,} elemanlarını içereceğinden {1,,,4,5} kümesinin içinde {1,} elemanları bulunana alt kümelerini buluruz (pratik yol-) 5 5 cevap : = = 8 olur Pratik yo- yi hatırlayalım 6 Şablonumuz : a ve b bulunur : = 4 4 e ve f bulunmaz : = = 1 olur Örnek( 6 ) s()=, s()=8, ( ) φ dir ( ) kümesinin eleman sayısı en az a, en çok b ise a+b=? ( ) nin en az olması için ( ) en çok olmalıdır MTEMTĐK ĐM yol: {1,} {1,,,4,5} tipindeki sorularda farklı bir şart verilmemişse soldaki küme elemanlarını sağdan silip kalanların alt kümesini bulun soldakini sağdan silersek {,4,5} kalır alt kümeleri de = 8 olur Örnek( 8 ) Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n)=4s(m) s(n\m)=5s(m\n) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? (ÖSS 00) ilgileri şekil üzerine yerleştirirsek; N\M N 5x a x M M\N u durumda a = s( )= = olur ( ) nin en çok olması için ( ) en az olmalıdır( ( ) φ) s(n)=4s(m) 5x +a = 4(a+x) 5x+a = 4a + 4x x = a s(n) = 5x+a = 5a+a = 16a olur M N boştan farklı olduğundan a ya minimum 1 verirsek s(n) = 16a =161 = 16 bulunur u durumda b = s( )=1+1+7 = 9 olur wwwglobalderscom 99

13 MTEMTĐK ĐM Örnek( 9 ) ={1,,,4,5,6,7,8} kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur, ama 4 bulunmaz? (ÖSS 00) Pratik yol- yi hatırlayalım 8 Şablonumuz: bulunur = bulunmaz = = = 0 olur 1 Örnek( 40 ) Pozitif tamsayılardan oluşan ={x x < 100, x = n, n Z + } ={x x < 151, x = n, n Z + } kümeleri veriliyor buna göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? (ÖSS-001) yol: Şimdiki çözüm daha çok hoşunuza gidecek(daha kısa ya ) s() = s() = s( ) = 16 sayıları 99 ve 150 almamızın sebebi sınırların < (yani dahil değil) olmasıdır s( ) = s() + s() s( ) = = 8 bulunur s( ) = s() + s() s( ) formülünü hatırlayalım; Önce ve kümelerinin elemanlarını bulalım = {,4,6, 98} ( nin katı sayılar) = {,6,9, 150} ( ün katı sayılar) Şimdi de ( ) kümesini bulalım ( ) kümesi ortak elemanlardan oluştuğu için hem nin hem de ün katı olmalı ( kümesinin 100 den sonra elemanı olmadığından x < 100 için 6 nın katlarına bakarız) ( )= {6,1,18, 96} son olarak eleman sayılarını ardışık sayılardan öğrendiğimiz terim sayısı formülünü kullanarak bulalım ; 98 s( ) = + 1= s( ) = + 1= s( ) = + 1= 16 6 s( ) = s() + s() s( ) = = 8 bulunur MTEMTĐK ĐM wwwglobalderscom 100 YZN ĐRHĐM HLĐL OĞLU Matematik Öğretmeni wwwglobalderscom

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)... Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 200 20 ÖSS-YGS - - - 2 2 / - 2/ 2/ / LYS OBEB OKEK OBEB: iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların OBEB i denir Sayılar

Detaylı

Volkan Karamehmetoğlu

Volkan Karamehmetoğlu 1 Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2 Uyarı: Her

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 6 7 8 ÖSS-YGS - - / /LYS ONDALIK SAYILAR Paydası ve un pozitif kuvveti şeklinde olan veya u şekle dönüştürüleilen kesirlere ondalık kesir(ondalık sayı) denir 7,,,,,7 6 (,6)gii 8 8 NOT: ondalık sayıların

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.) YILLAR 00 003 004 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - 0/ - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! 34 4 5!3450 Örnek(

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir.

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir. Bölüm ONDALIK KESİRLER Paydası 0 un tam kuvveti olan veya bu duruma getirilebilen kesirlere ondalık kesirler denir. Örneğin, ondalık kesirdir. 0 ; 00 ; 000,... birer Paydaları 0 un tam kuvveti olmayan

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 8. İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 31 MART 2012 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 150 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir?

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir? SAYILAR - 3 1) (x + y) ile (y + z) aralarında asal sayılardır. 7x + 3y = 4z olduğuna göre x - z farkı kaçtır? A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - I MF TM LYS 05 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birinci Bölüm Soru Kitapçığı Türü DENEME-7 Bu sınav iki bölümden

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER.

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER. YILLAR 00 00 00 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - / - /LYS EŞĐTSĐZLĐKLER =y,,, y,,, < y y,,, > y,,, y (tarif et ) ÖZELLĐKLER ) > veya < 0

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir.

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Φ \ Є Ø ˆ KÜMELER Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Sınıf arkadaşlarınıza bakınız ve aşağıdaki gruplarda bulununanların isimlerini yazınız. a) Kızlar b) Erkekler

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

DENEME II 15.12.2013. 1. Bir havuzun tamamını A musluğu 12 saatte doldururken havuzun 1 3

DENEME II 15.12.2013. 1. Bir havuzun tamamını A musluğu 12 saatte doldururken havuzun 1 3 DENEME II 5..03. Bir havuzun tamamını A musluğu saatte doldururken havuzun 3 ünde bulunan bir B musluğu 0 saatte boşaltıyor. Havuz boş iken iki musluk aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar? A) 30 B)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI SORULARI EGE BÖLGESİ 5. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. [( p q) q] [(p q) q ] bileşik önermesinin en sade şekli A) p B) p C) D) 0 E) q 4. A kümesinin eleman sayısı fazla; B kümesinin eleman sayısı eksik olsaydı

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D . 0,5, 0,5 0, 0,75 5 5. () 5 5 Verilenler arasında 0 a en yakın olan 0,5 yani.. 8 8 8 6 8 0,0006 0,08 0000 00 0,08 8 000 8 6 0 8 0 0 0 6 8 0 8 0 6 6. Not : a b a b a b 65 65 65 65 65 65 0 00 65 65 00 00

Detaylı

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MTMTİK TSTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a a b = = a b b olduğuna

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim.

t sayı tabanı ve üzere, A (abcde) sayısının basamakları: ( 2013) sayısını çözümleyelim. A (abcde) sayısının, ( 30214) sayısını çözümleyelim. SAYI SİSTEMLERİ A. Basamak ve Taban Bir doğal sayıyı oluşturan rakamlardan her birine basamak, rakamların bulundukları yerdeki değerine basamak değeri ve bu doğal sayının tanımlandığı sayı sistemine de

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

TAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem

TAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem TAM SAYILAR Tam Sayılarda Dört İşlem Pozitif ve negatif tam sayılar konu anlatımı ve örnekler içermektedir. Tam sayılarda dört işlem ve bu konuyla ilgili örnek soru çözümleri bulunmaktadır. Grup_09 29.11.2011

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır?

a.c = 48 3a + 2b c = 37 ise, a nın alacağı en küçük değer kaçtır? . a,b,c birbirinden farklı tamsayılar ve a sıfırdan. a, b, c R olmak üzere farklı olmak üzere, a.b = 0 c

Detaylı