Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu

Transkript

1 Küreselleflen Geometri 2. stanbul - New York Uçuflu Tosun Terio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünas, 2004 K fl Geometride iki nokta aras ndaki en k sa olu veren e riler jeodeik ad verilen e riler s n f na girer. Dülemde vea R 3 te jeodeikler do rulard r. Kürede ise jeodeikler büük çemberler dir, ani merkei kürenin merkei olan çemberlerdir. unu geçen sa daki a m da kan tlam flt k. fiimdi dülemdeki jeodeiklerle kürenin jeodeikleri hakk nda bildiklerimii karfl laflt ral m. Dülemde iki jeodeik, ani iki do ru, a bir noktada kesiflir a da hiç kesiflmeler. Kürede ise iki jeodeik mutlaka iki noktada kesiflir. Dülemde iki noktadan tek bir do ru geçer. Kürede ise iki karfl t noktadan (kutuplar gibi) istedi imi sa da jeodeik geçer. (ma kürede de karfl t olmaan noktalardan tek bir jeodeik geçer.) Dülemde belirli bir noktadan hareket edip bir jeodeik üerinde ürüen kar nca önünü de ifltirmedikçe bir daha o noktaa döneme, durmadan ürür de ürür. Yani ömür biter, ol bitme! ma kürede herhangi bir jeodeik üerinde ürüen kar ncam bir tur sonra bafllad noktaa döner. Mesafe. Dülemde iki nokta aras ndaki mesafei bulmak kolad r. E er noktalar n koordinatlar ( 1, 1 ) ve ( 2, 2 ) ise, bu iki nokta aras ndaki mesafe, bilindi i üere, dir. u, isagor teoreminden kolal kla ç kar. Üç boutlu Öklid ua nda da bener bir formül vard r. * Sabanc Üniversitesi ö retim üesi. Dülemin üstünde dan e giden en k sa ol ve den geçen do ru üstündedir. Kürenin üstünde dan e giden en k sa ol, kürenin merkei ve ve noktalar ndan geçen çember üstündedir. α r Jeodeik Geçen a m da bir kürede en k sa olun bir büük çember üerinde oldu unu kan tlamak için akla kara seçmifltik. Üstelik bunu tam olarak kan tlaamam fl, ba varsa mlarda bulunmak orunda kalm flt k. n soruu bir simit üerinde an tlamaa kalkarsan bu tür sorular n ne kadar or olabilece ini kestirebilirsini. Simit i, andaki flekilde oldu u gibi, dülemde eksenine de meen bir çemberi ekseni etraf nda döndürerek elde edebiliri. Elde edilen geometrik nesne matematikte torus olarak bilinir. ir jeodeik, üstündeki birbirine eterince ak n herhangi iki nokta aras nda en k sa olu veren bir e ridir, ani erel olarak en k sa mesafei verir. Dülemde a da kürede olama ama, baflka üelerde her jeodeik, üstündeki herhangi iki nokta aras ndaki en k sa e ri olmaabilir, ani jeodeik, global olarak en k sa mesafei veren e ri olmaabilir. Örne in torus üstünde bu tür jeodeikler vard r (gergin bir iple torusu bodan boa sar n, ip hem küçük çemberi hem de eksenini dolafls n.) Ya küre üerindeki iki noktan n mesafesi nas l hesaplan r? Kürenin ar çap r ise, ve aras ndaki ollar n en kestirmesi bu noktalar birlefltiren büük çember oldu undan, e er aç s n α ile gösterirsek (0 α π) bu uakl k rα olur. Demek ki mesafei hesaplamak için α aç s n hesaplamal. 65

2 Matematik Dünas, 2004 K fl α aç s n bulal m. Dielim ve noktalar üç koordinat la verilmifl: = ( 1, 1, 1 ) ve = ( 2, 2, 2 ). Vektörlerin iç çarp mlar n hat rlaal m: ve vektörlerinin iç çarp m (, ) = olarak tan mlan r. E er ve aras ndaki aç α ise, bilindi i ve kan t kola oldu u üere, (, ) = cos α eflitli i geçerlidir. Dola s la e er ve kürenin iki noktas sa (, ) = r 2 cos α olur. uradan, elde ederi ve bundan da α bulunur. Noktalar enlem ve bolam koordinat sistemlerinde de verilmifl olabilirler. Geçen a m da bu koordinat sistemini tan mlam flt k, bir ke daha tekrar edelim. Küre üstünde bir (,, ) noktas verilmiflse ve ϕ ve θ aç lar afla daki flekildeki gibise, o aman bu iki aç r ar çapl küre üerinde bulunan noktas n belirlerler ve,, koordinatlar la aralar nda flu iliflkiler vard r: = r cos ϕ cos θ = r cos ϕ sin θ (1) = r sin ϕ stanbul - New York Mesafesi. Yukarda bulduklar m kullanarak stanbul - New York aras ndaki en k sa mesafei hesaplaal m. stanbul un enlemi 41º kue ve bolam da 29º do u. unlar aklafl k sa lar tabii, derecenin altm flta biri olan dakikalar n göönüne almad k. n flekilde New York da 41º kue enleminde ve bolam da 73º bat. Yani iki flehir an enlemde bulunuorlar. ralar ndaki en k sa ol 41º kue enlemi bounca gidilen ol de ildir, ukarda da dedi imi gibi, büük çember oludur. Yukarda bulduklar m dan, bu iki flehir aras ndaki aç n n cos α = cos 2 (41π/180)cos(102π/180) + sin 2 (41π/180) formülüle bulundu u anlafl l r. Hesap makinas a da trigonometri cetveli ard m la hesaplarsak α 1,2535 radan 71,82 buluru. r de erüünün ar çap, aklafl k 6378 km. Demek ki uakl k rα = ,2535 = 7994,8 km olacakt r. (ütün bunlar aklafl k hesaplar elbet. Tam mesafeden ne kadar flaflt m bulmak nümerik analiin oldukça basit bir konusudur. Mesafei 8000 km olarak kabul edebiliri.) enlem olu büük çember olu = r cos ϕ cos θ = r cos ϕ sin θ = r sin ϕ NY ST E r X ϕ θ iim durumumuda, ve noktalar n n aç - lar s ras la ϕ 1, θ 1 ve ϕ 2, θ 2 ise, r 2 cos α = (, ) = = r 2 (cos θ 1 cos ϕ 1 cos θ 2 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin θ 1 cos ϕ 2 sin θ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) eflitli ini buluru. r 2 leri sadelefltirerek ve trigonometrik ödeflliklerle sadelefltirme aparak, cos α = cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(θ 1 θ 2 ) + sin ϕ 1 sin ϕ 2 formülüne ulafl r. uradaki aç lar n radan cinsinden a ld n da unutmaal m (π radan = 180º). Uça m stanbul dan kalk p New York a do ru, büük çember rotas erine iki flehrin an enlemde oldu unu düflünerek hep tam bat önüne uçarak ol alsad acaba bu olculuk kaç kilometre olurdu? u sorunun an t kola. iim enlemimide enlem çemberinin ar çap 6378 cos(41π/180) km. unu 102π/180 radanla çarparsak aklafl k 8600 kilometre uçmam gerekece ini görürü. üük çember olundan 600 km, ani üde 7,5 daha fala, a bu de il. 66

3 Matematik Dünas, 2004 K fl üük Çember Rotas. ilot için enlem çemberi bounca uçmak kola. Tek apaca ifl uça n burnunu hep bat önünde tutmak. unun için ii bir pusula eterli. ir de uça n en kestirme ol olan büük çember bounca gitmesi için pilotun ilemesi gereken büük çember olu rota inceleelim. u sefer, pilotun ilemek istedi i büük çember ekvator a da bolam- α lardan biri de ilse, önü hiçbir aman sabit olama, sürekli de iflmeli. Yön belirlemek için illa düna ölçe inde bir küre almam a gerek ok. outlar küçülterek birim ar çapl standart küre üerinde çal flabiliri. Standard küre üerinde karfl t olmaan ve noktalar ve bu noktalardan geçen bir büük çember parças alal m. u paragrafta büük çember olunu tutturmak için pilotun ilemesi gereken rota belirleece i. α, her aman oldu u gibi aç s olacak. Elbette 0 α < π. büük çember a üerinde herhangi bir noktas alaca ve bu noktadan büük çembere te et vektörü bulaca. u te et vektörün önü, noktas na vard nda pilotun ilemesi gereken rota belirler. Elbette erine alman n herhangi bir sak ncas oktur, buldu umu an tta α de ifltiriri daha sonra. Daha kola resmini apabilmek için uada er de ifltirerek büük a n andaki flekildeki gibi profilden görelim. ilotun dan e gitmek için ileece i rota, flekilde görüldü ü gibi α çembere da de en te- etin önü taraf ndan verilmifltir. u te eti bulaca. Yukardaki flekilden takip edelim. ulmak istedi imi te et, vektörüne paralel. Demek ki vektörünü bulmal. Kola: = + = = cos α. Te etin önünü veren bir vektör bulduk: cos α vektörü. u vektörün uunlu unu bulal m flimdi. unun için kendisile iç çarp m n alal m: ( cos α, cos α ) = (, ) 2 cos α (, ) + cos 2 α (, ) = 1 cos 2 α = sin 2 α elde ederi. Dola s la, ( cos α )/sin α vektörünün, ani csc α cot α vektörünün uunlu u 1 e eflittir. u vektöre bir ad verelim, v dielim: v = csc α cot α. (3) irim uunlu undaki v vektörü, büük çember üerinden noktas nda noktas na do ru giderken daki önümüü belirler. E er v vektörünün üç koordinat n belirlemek istiorsak, ve erine bu vektörlerin koordinatlar n amal elbet: = (cos ϕ 1 cos θ 1, cos ϕ 1 sin θ 1, sin ϕ 1 ), = (cos ϕ 2 cos θ 2, cos ϕ 2 sin θ 2, sin ϕ 2 ). i güel de, pusuladan baflka bir ag t olmaan pilot (a da kaptan) önünü nas l tain edecek? unun için bira daha hesap apmam gerekior. v K K v δ v D Önce ne bulmak istedi imii matematik dilinde ifade edelim: Küree te et bir vektörün (v vektörünün) hangi önü gösterdi ini bulaca. Yandaki flekildeki δ aç s na göre pilot önünü belirlemeli. δ = 90 ise pusulas na bak p kuee gider, e er δ = 0 ise do ua gider. E er δ baflka bir de erse do udan o kadar sapar. Dola s la δ aç s n hesaplamal. Hesaplara girmeden önce ukardaki flekli inceleelim. fiekilde, K kue kutbunu, ani (0, 0, 1) noktas n simgelior. v K ise, anen v gibi, ile K 67

4 Matematik Dünas, 2004 K fl aras ndaki jeodei e, ani dan geçen bolama te- et olan birim vektör. E er do u kutbu olsad D do u kutbunu simgeleecekti, ama ok! v D, dan geçen enleme te- et olan ve do uu gösteren birim vektör. v D ve v K vektörleri birbirine dikler elbette. r ca, v, v D ve v K vektörleri, her biri küree te et oldu undan, küree da te et olan dülem üerindedirler. vektörü bu te et düleme dik oldu undan, vektörü v, v D ve v K vektörlerinin her birine diktir. fiimdi δ hesaplaal m. v ve v D birim vektörler oldu undan, (v D, v ) = cos δ. v i (3) te bulmufltuk. v D vektörünü bulup erine koal m. n n bulundu u enlem 359 e kadar gösterilir. Kue 0, do u 90, güne 180 ve bat da 270 dir. Dola s la stanbul dan kalkan uça m n rotas pusulada = 309 olmal d r. E er t an nda uça n aç lar ϕ t ve θ t ise, pilot o anda, uça, δ t aç s, cos δ t = csc α t cos ϕ 2 sin(θ 2 θ t ) eflitli ini sa laacak biçimde önlendirmesi gerekir. uradaki α t aç s da, cos α t = cos ϕ t cos ϕ 2 cos(θ t θ 2 ) + sin ϕ t sin ϕ 2 eflitli ini sa laan aç d r. Kutba En Yak n Nokta. stanbul dan New York a jeodeik üerinde giden uça n kutba en ak n oldu u nokta hiç merak ettini mi? Sanmam! ma bi gene de bulal m o nokta. Maksat matematik olsun! v Q v θ 1 sin θ 1 Küremie tepeden bakal m ve n n üstünde bulundu u enlemde gördü ümüü çielim (ukardaki flekil). fiekilden hemen v D i buluru: v D = ( sin θ 1, cos θ 1, 0). fiimdi art k δ hesaplaabiliri. v D, a dik oldu undan, cos δ = (v D, v ) = (v D, csc α cot α ) = csc α (v D, ) = csc α (( sin θ 1, cos θ 1, 0), (cos ϕ 2 cos θ 2, cos ϕ 2 sin θ 2, sin ϕ 2 )) = csc α ( sin θ 1 cos ϕ 2 cos θ 2 + cos θ 1 cos ϕ 2 sin θ 2 ) = csc α cos ϕ 2 sin(θ 2 θ 1 ) elde ederi. Yani, cos δ = csc α cos ϕ 2 sin(θ 2 θ 1 ). u formülde α aç s n n, cos α = cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(θ 1 θ 2 ) + sin ϕ 1 sin ϕ 2 formülüle bulundu unu da an msatal m. Uça n daki rotas n n aç s n n kosinüsünü bulduk. urdan α bulunur. Örne in, stanbul la New York aras ndaki jeodei in stanbul aa nda δ afla ukar 141 dir; bu, ukarda bulduklar m dan kola bir hesapla ç kar. usulada önler 0 dan θ 1 vd cos θ 1 dan e ukardaki güergâh ileerek giden uça m, noktas na kadar kue kutbuna aklafl or, noktas ndan sonra kue kutbundan uaklafl or. noktas ise, uça n kutba en aklaflt nokta. Kutba en ak n oldu u noktada, uça n örüngesi a tam do ua a da tam bat a öneliktir, ani e er v vektörünün üçüncü koordinat 0 sa, o aman uçak noktas nda art k kue kutbuna aklaflm ordur, örüngesi ekvatora paralel duruma gelmifltir ve bir an sonra kue kutbundan uaklaflmaa bafllaacakt r. Dola s la apmam gereken fle, uça n olu üerinde verilmifl herhangi bir noktas için, v vektörünün üçüncü koordinat n hesapla p, bu koordinat n ne aman 0 a eflit oldu unu bulmak. ölece noktas n bulduktan sonra, kutba ne kadar aklaflaca m anlar., dan e giden büük çember rotas üerindeki herhangi bir nokta olsun. le aras ndaki aç da ξ olsun. 0 ξ α elbette. 68

5 Matematik Dünas, 2004 K fl v ξ büük çember olu v,, ve v vektörleri hep an dülemdeler. r ca ve v birim vektörleri birbirlerine dik. Dola s la, = (, ) + (, v )v = cos ξ + sin ξ v. ma noktas nda önünü gösteren v vektörü de düleminde ve ukarda koordinatlar n buldu umu e dik, dola s la, v = sin ξ + cos ξ v. v erine (3) teki ifadesini kullanarak v = ( sin ξ cos ξ cot α) + cos ξ csc α formülüne var r. u formülden ararlanarak, ve vektörlerinin üçüncü koordinatlar sin ϕ 1 ve sin ϕ 2 oldu unu bildi imiden, v nin üçüncü koordinat n bulabiliri: ( sin ξ cos ξ cot α)sin ϕ 1 + cos ξ csc α sin ϕ 2. üük çember üerinde bu koordinat s f ra eflit oldu u aman rotam kutba en ak n noktada olacak. Yani o s rada tam do u bat önünde (enleme te et) uçuor olaca. Yukar daki ifadei s f ra eflitlersek tan ξ = csc α sin ϕ 2 / sin ϕ 1 cot α (4) elde ederi. ölece ξ aç s n bulmufl olduk. fiimdi bu noktadaki enlemi bulal m. E er bu noktada enlem λ ise, vektörünün üçüncü koordinat sin λ dir. Dola s la i (daha do rusu nin üçüncü koordinat n ) bulmal -. unun için, bira önce buldu umu = cos ξ + sin ξ v eflitli ini ve (3) ü kullanaca : = cos ξ + sin ξ v = cos ξ + sin ξ (csc α cot α ) = (cos ξ sin ξ cot α) + sin ξ csc α. ve nin üçüncü koordinatlar n bilioru: sin ϕ 1 ve sin ϕ 2. Demek ki, sin λ = sin ϕ 1 (cos ξ sin ξ cot α) + sin ϕ 2 sin ξ csc α. Istanbul - New York aras nda ϕ 1 = ϕ 2 oldu- undan, öel olarak ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ haline bakal m. (4) ten tan ξ = csc α cot α ç kar. unu kullanarak, sin λ = sin ϕ 1 (cos ξ sin ξ cot α) + sin ϕ 2 sin ξ csc α = sin ϕ(cos ξ sin ξ cot α + sin ξ csc α) = sin ϕ(cos ξ + sin ξ (csc α cot α)) = sin ϕ(cos ξ + sin ξ tan ξ) = sin ϕ / cos ξ = sin ϕ sec ξ buluru. (uradaki ξ de eri ukardaki tan ξ = csc α cot α formülünden bulunur). stanbul New York uçuflunda bu de er (siin de hesap makinas la hesaplaabilece ini gibi) 54º den bira falad r, aklafl k olarak 54º kue 22º bat. u nokta tlantik kanusu nda bir erde; kue kutbuna olan uakl 4007 km. ir fikir vermesi için Hamburg flehrinin enleminin aklafl k 53º kue oldu unu ve stanbul un kutba uakl - n n aklafl k 5455 km oldu unu belirtelim. En optimal rota büük çember üerindedir ama asl nda uçaklar bu rota takip etmekte hiç serbest de il. Uluslararas hava koridorlar n kullanarak stanbul-new York aras nda uçmak orundalar. üük çember rotas en kestirme ol, ancak öellikle denide bu rota ba tehlikeleri de beraberinde getirir. Titanik transatlanti inin bu rota takip ederken buda na çarpt n hat rlaal m! Kanakça [1] Dava Sobel ve William J.H. ndrewes, olam, Çev. M. Göktepeli, TÜ TK opüler Ya nlar, [2] Roger Fenn, Geometr, Springer [3] George. Jennings, Modern Geometr with pplications, Springer