Cebir Notları. Kombinasyon Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 ve ve n tane farlı elemanan oluşan bir ümenin altümelerine birer ombinasyon enir. n, r 0 r n olma üzere, n elemanlı A ümesinin r elemanlı altümelerinen her birine A ümesinin r li bir ombinasyonu enir ve C(n, r) n veya şeline gösterilir. r Anlayacağınız, ümelere elemanların sıralanışı önemli olmaığınan ombinasyona a sıra önemli eğilir. Saece elemanların neler ve aç tane oluğu önemliir. n Bir iğer önemli nota a ifaesinin soluna r P ya a C harfi yazmıyorsa, bunun ombinasyon olara anlaşılması geretiğiir. C(n, r) nasıl hesaplanır? Yuarai tanıman anlaığımız aarıyla ombinasyonla bir mitar nesneyi seçiyoruz, bunu a permutasyonla sıralıyoruz. Pei, r tane nesne aç eğişi şeile sıralanır? aar eğişi şeile. O hale P(n, r) sayısını e bölme C(n, r) yi verecetir. P( n, r) C(n, r) = = C(n, r) sayısını aha prati olara hesaplama isteyen biri aynen permutasyonai prati uralı uygular ama o sayıyı e böler. Örneğin, C(10, 2) =, C(13, 3) =, Teorem. C(n, 0) = 1. Kanıt: C(n, 0) = = 1 0)!.0! Teorem. C(n, n) = 1. Kanıt: C(n, n) = = 1 n)! Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Teorem. C(n, r) = C(n, n r). Kanıt: Bu teoremi e aynen yuarai formülü ullanara anıtlayabiliriz ama bu sefer sözlü izah eelim. C(n, r) ne eme? n tane nesneen r tanesini seçme. Pei gerie ne bıratığınızı üşününüz mü? n r tane nesne. Seçtiğiniz r tane nesne eğiştiçe gerie alan n r tane nesne e eğişir. Dolayısıyla eşitli oğruur. Teorem. n, r r < n olma üzere, C(n 1, r 1) + C(n 1, r) = C(n, r). Kanıt: C(n 1, r 1) + C(n 1, r) = 1)! 1)! = + ( r 1)! r 1)!. 1)!. r 1)!.( n r) = + 1)!.( r+ n r) = = = C(n, r). Soru. C(3, 1) + C(3, 2) toplamı açtır? Çözüm: = 3 oluğunan C(3, 1) = C(3, 2) oluğunu biliyoruz. Saece birini bulup, 2 ile çarpsa yetece. C(3, 1) = 3 oluğunan cevap 6 ır. Soru. C(7, 3) = C(n, 1) C(n, n) oluğuna göre n açtır? Çözüm: C(n, 1) C(n, n) = n 1 oluğunu biliyoruz. Diğer yanan; C(7, 3) = = 35 oluğun an n 1 = 35 olur i n = 36. Soru. C(15, 2n + 1) = C(15, 3n 1) ise n nin alabileceği eğerleri bulunuz. Çözüm: İi urum mümünür. Ya 2n + 1 ile 3n 1 eğerlerinin toplamı 15 ir veya bu eğerler birbirlerine eşittir.

2 2n n 1 = 15 eşitliğinen n = 3 veya 2n + 1 = 3n 1 eşitliğinen n = 2 ir. Alıştırmalar 1. C(0, 0) + C(6, 3) = 3 C(m, m 1) ise m açtır? 2. p, r, m sayıları birer sayma sayısı olma üzere; C(p, 1) + C(r, r) C(m, 0) = C(p, 4) ise p açtır? 3. 2 C(n, 4) = P(n, 3) ise n açtır? 4. C(17, 2x) = C(17, x + 2) ise x in alabileceği eğerler toplamı açtır? 5. C(x, x 2) + P(5, 2) + 2 P(x, 2) = C(8, 4) eşitliğine göre x açtır? 6. P(y + 1, 5) = 48 C(y + 1, 4) ise y açtır? 7. C(n, n 3) + C(n, n 2) = 48 ise n açtır? 8. P(a, 7) = 7! C(a, 4) eşitliğini sağlayan bir a eğeri var mıır? Varsa a açtır? Soru. 1 en 49 a aar numaralanırılmış 49 toptan 6 sı çeiliyor. Çeilen 6 topun numarasını garanti bilme için en az aç tahmine bulunma gereir? Çözüm: Çeen aam aç eğişi şeile bu 6 topu çeebilirse, bizim e en az o aar tahmine bulunmamız lazım, yani C(49, 6) C(49, 6) = = Soru. 6 işili bir eipten 4 işi ve bu 4 işi arasınan a bir lier seçilece. Bu seçim aç farlı şeile yapılabilir? Çözüm: Önce 6 işien aç eğişi şeile 4 işiyi seçebileceğimizi bulalım: C(6, 4) = C(6, 2) = 15. Şimi e 4 işi arasınan 1 işinin aç farlı şeile seçilebileceğini bulalım: C(4, 1) = 4. Saymanın temel ilesine göre bu eğerler çarpılmalıır: 15 4 = 60 eğişi seçene varır. Soru. Bir seyahat acentası başvuran 8 işinin 5 ini İstanbul a, 3 ünü Anara ya, 2 sini e İzmir e geziye yollayacatır. Bunu aç farlı şeile yapması mümün olur? Çözüm: Önce 5 işi seçere İstanbul a yolcu eelim. Bu C(8, 5) = C(8, 3) = 56 aar farlı şeile mümün. Şimi e alan 5 işien 3 ünü seçip, Anara ya yollayalım. Bu a C(5, 3) = C(5, 2) = 10 aar farlı şeile mümün. Kalan 2 işi mecburen İzmir e giece. O hale; C(10, 5).C(5, 3). C(2, 2) = = 560. Sıranın önemi var mı, bir üşünün baalım! Alıştırmalar 9. 6 toptan 2 sini satın alma isteyen bir çocu, amacına aç farlı şeile ulaşabilir? işili bir sınıfta 1 başan aç farlı şeile seçilebilir? işili bir sınıfta 1 başan ve 1 başan yarımcısı aç eğişi şeile seçilebilir? işili bir sınıftan 3 işi trafi oluna seçilecetir. Seçilen bu 3 işien biri e başan yapılacatır. Trafi olunun üyeleri ve başan aç eğişi seile seçilebilir? 13. Bilgi yarışmasını azanan 5 öğrencinin 3 ü öül olara cep telefonu, 2 si e itap seti alacatır. Öülleri aç farlı şeile ağıtma mümünür? öğretmen ile 5 öğrenci boş olan 5 oltuğa oturacalarır. Öğretmenlerin ayata almaması şartıyla aç eğişi şeile oturabilirler? i otor 7 si hemşire olan 12 işili bir sağlı eibinen acil vaalara bama üzere 1 otor ve 2 hemşireli 3 işili üçü bir eip oluşturma isteniyor. Kaç farlı şeile mümünür? 2

3 16. 6 bay ve 3 bayan arasınan, içlerine 1 bayan olan 3 işili bir grup aç farlı şeile seçilebilir? bay ve 3 bayan arasınan, içlerine en az 1 bayan olan 3 işili bir grup aç farlı şeile seçilebilir? 18. İçlerine 3 tanesi matemati öğretmeni olan 12 öğretmenen 3 tanesi oğuya mecburi hizmete yollanacatır. En az iisi matemati öğretmeni olma zorunaysa bu seçim aç farlı şeile yapılabilir? 19. Bir otele 1 tane 2 işili, 4 tane 3 işili oa varır. 14 işi bu otele aç farlı şeile yerleşebilir? 20. Bir antrenör, 22 işili aroan il 11 i ve yee 5 i aç eğişi şeile oluşturabilir? işili arosuna 3 farlı alecisi bulunan bir antrenör, te alecili 11 oyuncuyu aç eğişi şeile seçebilir? u yabancı olan 22 işili arosunan 11 işi seçme isteyen bir teni iretör, bir maçta en ço 6 yabancı oynatabilme haına sahipse ve yabancılarai tüm haını ullanma istiyorsa, il 11 i aç eğişi şeile seçebilir? işi, 4 ve 3 li ii ayrı gruba ayrılma isteniyor. İçlerinen belli 2 tanesi birbirlerine üs oluğunan aynı grupta olma istemiyorlar. Grupları seçen aam hırgür çımasın iye aç eğişi seçim yapabilir? 24. Bir gruptan 2 şer işili 2 ayrı grup 210 farlı şeile oluşturulabiliyorsa, bu grupta aç işi varır? farlı ersin 2 si aynı saatte verilmeteir. Bu ersleren 5 tanesini seçmeye mecbur bir öğrenci seçimini aç farlı şeile yapabilir? sorulu bir sınava il 3 tanesini cevaplamaya mecbur olan bir öğrenci cevaplama üzere bu 10 soruan 8 ini aç farlı şeile seçebilir? enarlı bir çogenin aç öşegeni varır? 28. Heresin birbiriyle toalaştığı bir grupta toplam toalaşma sayısı 36 ise, grupta aç işi varır? işili bir gruptan 6 işi seçilece ve bir yuvarla masa etrafına oturtturulacalar. Kaç farlı oturuş bu mümünür? işili bir grupta Ali ve Veli ayrı gruplara olma üzere 4 işili gruplar aç eğişi şeile seçilebilir? n elemanlı bir ümenin r elemanlı altüme sayısı. Bir ümenin elemanlarıyla oluşturulabilece her ümeye o ümenin bir altümesi enmez miyi? Yani altüme oluşturma için ille e elemanları bir ümenin elemanlarınan seçmeliyiz. Seçme eyince e alımıza ombinasyon gelmesin e ne gelsin? n elemanlı bir ümenin elemanlarınan r tanesini seçere, r elemanlı bir altüme oluşturmanın, n tane toptan r tanesini seçmeten zerre farı yotur. Bunan olayı araığımız sayı C(n, r) ir. Örne. A = {a, b, c,, e} ümesinin aç tane 3 elemanlı altümesi varır? Çözüm: A ümesi 5 elemanlıır. Bu 5 elemanan herhangi 3 tanesi her zaman 3 elemanlı bir altüme verir. O hale aç farlı şeile 3 eleman seçebileceğimizi bulmalıyız: C(5, 3) = C(5, 2) = 10. Örne. 5 elemanlı bir ümenin en ço 2 elemanlı altümelerinin aei açtır? Çözüm: En ço 2 elemanlı altüme sayısı soruluğunan 2 en az elemanlı olan altümeleri e saymalıyız. O hale; 3

4 ve Mustafa YAĞCI C(5, 0) + C(5, 1) + C(5, 2) = = 16 Örne. n elemanlı bir ümenin en ço n elemanlı altüme sayısı açtır? Çözüm: n elemanlı bir ümenin n + 1 elemanlı altümesi olamayacağına göre, en ço n elemanlı altümeleri eme tüm altümeleri emetir. Yani cevap 2 n olmalı. Çözü, çözü e bu çözüm alımıza bir şey getiri: En ço n elemanlı altümesi aynı zamana C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + + C(n, n) oluğunan bu toplamın aslına 2 n oluğunu anıtlamış olu. Unutma! C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + + C(n, n)= 2 n Örne. A = {a, b, c,, e} ümesinin a yı eleman olara içermeyen aç tane 3 elemanlı altümesi varır? Çözüm: Maem a eleman olara bulunmayaca, o zaman a yı çöpe atalım. Geriye alan b, c,, e elemanlarınan yapacağımız her 3 elemanlı altüme esinlile a yı barınırmayacatır. O hale yanıt C(4, 3) = 4 tür. Örne. A = {a, b, c,, e} ümesinin a yı eleman olara içeren aç tane 3 elemanlı altümesi varır? Çözüm: Maem a eleman olara garanti bulunaca, a yı enara ayıralım. a nın yanına 2 eleman aha getireceğiz. Pei, bunu neren getireceğiz? Diğer 4 elemanan seçere. 4 elemanan iisi C(4, 2) = 6 eğişi şeile seçilebileceğinen sorunun cevabı 6 ır. Aslına bu soruyu bir öncei sorunun çözümünü ullanara a çözebiliri. Herhangi bir şart içermeyen 3 elemanlı altümeleri sayısı C(5, 3) = 10 oluğunan, bunlaran içine a yı eleman olara bulunurmayanları çıartırsa cevap oğal olara 10 4 = 6 olur. Örne. A = {a, b, c,, e, f} ümesinin a yı eleman olara içeren ama b ve c nin iisini e içermeyen aç tane 3 elemanlı altümesi varır? Çözüm: a yı enara ayır, b ve c yi e çöpe at. a nın yanına 2 eleman aha lazım. Bu 2 elemana imler aay?, e ve f. Yani 3 elemanan 2 si seçilece, o hale yanıt C(3, 2) = 3 olmalıır. Alıştırmalar elemanlı bir ümenin 2 elemanlı aç altümesi varır? elemanlı bir ümenin 4 elemanlı alt ümeleri sayısı, 2 elemanlı altümeleri sayısınan aç fazlaır? elemanlı bir ümenin a elemanlı altümeleri sayısı, b elemanlı altümeleri sayısına eşit ve a b ise a + b toplamı açtır? 34. A = {a, b, c,, e} ümesinin a yı eleman olara içermeyen aç tane 4 elemanlı altümesi varır? 35. A = {a, b, c,, e} ümesinin a ve b nin iisini biren eleman olara içermeyen aç tane 2 elemanlı altümesi varır? 36. A = {a, b, c,, e, f, g} ümesinin içine hem a hem e b bulunan aç farlı 4 elemanlı altümesi varır? 37. A = {a, b, c,, e, f, g} ümesinin içine a bulunan ama b bulunmayan aç farlı 4 elemanlı altümesi varır? 38. A = {a, b, c,, e, f, g} ümesinin, içine a veya b bulunan aç farlı 4 elemanlı altümesi varır? 39. A = {a, b, c,, e, f, g} ümesinin, içine a ya a b bulunan aç farlı 4 elemanlı altümesi varır? Nesnelerin Dağılımları. n, r r < n olma üzere, r tane nesneyi n farlı utuya belli şartlar altına aç eğişi şeile ağıtabileceğimizi öğreneceğiz. Yalnız buraa ii farlı urum varır. Nesnelerin birbirlerinen farlı olmaları ve nesnelerin özeş yani aynı olmaları. Bunlara iat ein. Şimi bu işlemleri nasıl yapacağımıza baalım: 4

5 r farlı nesneyi n farlı utuya ağıtma. Eğer her bir utu en fazla bir nesne alacasa, nesnelerin ağılımlarının sayısı n(n 1)(n 2) (n r + 1) = P(n, r) olur. Birinci nesne n utuan biri-ne, iinci nesne (n 1) utuan birine, şeline evam eer. Eğer her bir utuya herhangi bir sayıa nesne oyarsa, nesnelerin ağılımlarının sayısı n n n n = n r olur. Her bir nesne, n utuan birine yerleştirilebilir. Her bir utua herhangi bir sayıa nesne olacasa ve her bir utuai nesnelerin izilişi e iate alınacasa bu uruma; birinci nesneyi n utuan birine yerleştirebiliriz. İinci nesneye, birinci nesnenin sağını ve solunu a hesaba atarsa n + 1 utuya yerleştirebiliriz. Aynı şeile evam eerse, üçüncü nesneye n + 2 farlı yer alır. Sonuç olara nesnelerin izilişi n(n + 1)(n +2) (n + r 1) farlı şeile olabilir. Bunun a 1+ r)! 1)! oluğunu bulma hiç e zor eğilir. r tane aynı nesneyi n farlı utuya ağıtma. r n urumu. Her bir utunun en ço 1 nesne alığını farzeelim. Bu uruma n farlı utuan r utu seçmeyle nesnelerin ağıtım sayısı bire-bir eşlenir. Böylece ağıtım sayısı C(n, r) olur. Her bir utuya herhangi bir sayıa nesne oyuğumuza ise C(r + n 1, r) olur. r n urumu. Her utua en az 1 nesne oluğunu farzeelim. Yani hiçbir utu boş almasın. Bu uruma, önce her bir utuyu istenen şartlara olururuz. Sonra alan r n tane nesneyi utula-ra gelişigüzel yerleştiririz. Bu a; C((r n) + n 1, r n) = C(r 1, r n) eğişi şeile mümünür. Birim atsayılı oğrusal enlemler Bu onua bazı oğrusal enlemlerin oğal sayılar ve sayma sayılar ümesine aç farlı çözümünün oluğunu bulmayı öğreneceğiz. r tane aynı nesneyi n farlı utuya ağıtma problemlerine ço benzer. Matematiğin güzelliğine birazan bir ez aha şahit olacağız. Örnelerle açılayalım. Soru. a, b, c, sayıları birer sayma sayısıır. a + b + c + = 20 enlemini sağlayan aç farlı (a, b, c, ) sıralı örtlüsü yazılabilir? Çözüm: Yan yana 20 tane 1 yazın Şimi canınızın isteiği 3 yere birer virgül oyun Mesela; , 1 1, , İl virgülen önce 4 tane 1 var, birinciyle iinci virgül arasına 2 tane 1 var, iinciyle üçüncü virgül arasına 11 tane 1 var, son virgülen sonra ise 3 tane 1 var. Anlayacağınız bu 1 ler a, b, c, leri simgeleyece. Yuarai ayrıma a = 4, b = 2, c = 11 ve = 3 tür. Virgülleri nereye oyarsanız oyun, 1 lerin aei hep 20 olaca, olayısıyla a, b, c, eğerlerinin toplamı hep 20 alaca. O hale bu 3 virgülü aç eğişi şeile oyabileceğimizi bulmalıyız. Pei, virgül oyma için 20 tane 1 arasına aç boşlu var? 19 eğil mi? 19 boşlutan 3 tanesini seçip, bu boşlulara virgül oyacağız. Sonuç olara bu seçim C(19, 3) aar yapılabilir. O hale C(19, 3) aar eğişi (a, b, c, ) sıralı örtlüsü yazılabilir. Şimi bu çözüm yolunan çıara böyle enlemlerin sayma sayıları ümesine aç farlı çözümünün oluğunun formülünü bulalım. x 1 + x 2 + x x n = m enlemini sağlayan C(m 1, n 1) tane sıralı n li varır. Şimi e aynı tipte bir soruyu sayma sayılar ümesine eğil e oğal sayılar ümesine çözelim. Ama önce buraa ullanacağımız metou aha olay anlamanız açısınan başa bir örne vereceğim. Pei ya bazı şartlar olsayı? Örneğin, çözüm ümesinin elemanlarının 2 en büyü olması gereseyi, o zaman ne yapacatı? Baalım: a = a + 2, b = b + 2, c = c + 2, = + 2 olsun iyere a + b + c + = 20 enlemini a + b + c + = 12 şeline getiririz. Buraa a, b, c, sayıları 0 an büyü olma zorunaır, o hale sayma sayıları ümesinei çözümün aynısını uygulayara cevabın C(7, 3) oluğunu bulma hiç e zor olmayaca. Pei, a, b, c, eğerlerinen her biri farlı sayılaran büyü olsaları? Çözüm mantığı aynı, bunu a siz bulun Soru. a, b, c, sayıları birer oğal sayısıır. a + b + c + = 20 enlemini sağlayan aç farlı (a, b, c, ) sıralı örtlüsü yazılabilir? 5

6 Çözüm: Yine yan yana 20 tane 1 yazın a = a 1, b = b 1, c = c 1, = 1 olsun iyere a + b + c + = 20 enlemini a + b + c + = 24 şeline getiririz. Buraa a, b, c, sayıları 1 en büyü olma zorunaır, o hale sayma sayıları ümesinei çözümün aynısını uygulayara cevabın C(24, 3) oluğunu bulma hiç e zor olmayaca. Şimi bu çözüm yolunan çıara böyle enlemlerin oğal sayılar ümesine aç farlı çözümünün oluğunun formülünü bulalım. x 1 + x 2 + x x n = m enlemini sağlayan C(m + n + 1, n 1) tane sıralı n li varır. Biraz a Geometri. Her farlı ii notaan te bir oğru geçebileceğini biliyoruz. Pei her farlı 3 notaan aç oğru geçer? Hiç unutmam, bir öğrencim 2 notaan 1 oğru geçiyorsa, 3 notaan 1,5 oğru geçer emişti. Bu sorunun cevabı yotur, çünü soru üzgün bir soru eğil i! 3 farlı nota oğrusalsa te bir oğruyu belirtirler ama oğrusal eğillerse 3 farlı oğruyu belirtirler. Deme i belirttileri oğru sayısı notaların onumuna göre eğişiyor. Eğer onumlarını belirtmeen bir soru sorma istiyorsa, en az ya a en ço aç tane geçer filan iye sormalıyız veya sormalılar. En az oluğu urum tabii i hepsinin oğrusal olmasıyla mümünür, en ço olması a herhangi üçünün oğrusal olmamasıyla. İi farlı nota, belirttiğimiz üzere ne yaparsanız yapın, her zaman oğrusal olur. Benzer şeile her oğrusal olmayan 3 nota a bir üçgen, ayrıca bu üçgenin üstüne bulunuğu bir üzlem ve bu üçgenin çevrel çemberi olan bir çember belirtir. Dörtgen belirtmesi için e herhangi üçü oğrusal olmayan ört farlı notaya ihtiyacımız var. Örne. 9 farlı nota en ço aç oğru belirtir? Çözüm: Böyle sorulara notaların mümün oluğunca ço oğru belirtmesi için notaların herhangi üçünün oğrusal olmaığını üşünmeliyiz. Biz bu herhangi üçü oğrusal olmayan notalara bunan böyle çembersel veya ağını iyeceğiz. O hale çembersel olan 9 notanın herhangi üçü her zaman bir oğru belirtir. Bu a C(9, 2) = 36 tane oğru emetir. Örne. 9 farlı nota en ço aç üçgen belirtir? Çözüm: En ço üçgen için 9 notayı yine çemberselmiş gibi üşüneceğiz. Çembersel olan 9 notanın herhangi üçü her zaman bir üçgen belirtir. Bu a C(9, 3) = 84 tane üçgen emetir. Örne. 9 farlı nota en ço aç örtgen belirtir? Çözüm: En ço örtgen için 9 notayı yine çemberselmiş gibi üşüneceğiz. Çembersel olan 9 notanın herhangi örü her zaman bir örtgen belirtir. Bu a C(9, 4) = 126 tane örtgen emetir. Örne. 5 i oğrusal, 4 ü çembersel 9 farlı nota en ço aç oğru belirtir? Çözüm: İi farlı yolan çözeceğiz. Birinci yol. Doğrusal olan 5 nota te bir oğru belirtir. Çembersel olan 4 nota a C(4, 2) = 6 oğru belirtir. Bir e oğrusal notaların birinen ve çembersel notaların birinen geçen oğrular var. Bunlar a C(5, 1) C(4, 1) = 20 taneir. Bunu a hesaba attı mı, işlem tamam! = 27. İinci yol. Tüm notaların ağını oluğunu üşünün bir an. C(9, 2) = 36 oğru oluru. Doğrusal olan 5 nota a ağını olsayı C(5, 2) = 10 tane oğru oluştururu ama saece 1 tane oluşturuyorlar. 9 tane oğru aybolmuş yani = 27. Örne. 5 i oğrusal, 4 ü çembersel olan 9 farlı nota en ço aç üçgen belirtir? Çözüm: Yine ii yol vereceğiz. Birinci yol. Doğrusal olan 5 nota hiçbir üçgen belirtmez. Çembersel olan 4 nota a C(4, 3) = 4 üçgen belirtir. Ayrıca oğrusal 5 notanın 2 sinen ve çembersel 4 notanın 1 inen geçen oğrularla, i bunlar C(5, 2) C(4, 1) = 10 4 = 40 taneir, oğrusal 5 notanın 1 inen ve çembersel 4 notanın 2 sinen geçen oğruları a sayacağız, i bunlar a C(5, 1) C(4, 2) = 5 6 = 30 taneir. O hale sonuç = 74. İinci yol. Tüm notaların ağını oluğunu üşünün yine. C(9, 3) = 84 üçgen oluşuru. Doğrusal 5 nota C(5, 3) = 10 üçgen belirtmeliyen hiç belirtmiyor = 74. Örne. 5 oğru en ço aç farlı esim notası oluşturabilir? Çözüm: Kesim notalarının ço olması isteniğinen mümün oluğunca oğruları birbirlerine paralel almayacağız. Ayrıca iien fazla oğrunun te bir notaa esiştiğini e üşünmeyeceğiz. 6

7 Velhasıl, bir esim notası için farlı ii oğru lazım. O hale C(5, 2) = 10 tane esim notası olur. Örne. Bir üçgenin herhangi ii öşesine ait n şer esen, üçgeni aç parçaya ayırır? Çözüm: Önce herhangi bir öşeye ait n tane eseni çizelim. Üçgen n + 1 üçgenciğe ayrılır. Sonra iğer bir öşeen çizilen il esen bu n + 1 parçayı 2 (n + 1) parça yapar, iinci esen 3 (n + 1) parça yapar,, n ninci esen bunan olayı (n + 1) (n + 1) = (n + 1) 2 parçaya ayırmış olur. Eğer üçüncü öşeen e n tane esen çizilseyi ve 2 en fazla esen te notaa esişmeseyi, üçgen (n + 1) 2 + n (2n + 1) parçaya ayrılırı. Bunu a siz anıtlayın Örne. Herhangi iisi paralel olmayan ve üçü te notaa esişmeyen n tane oğru, üzerine bulunuları üzlemi aç bölgeye ayırır? Çözüm: Önce te 1 oğru aç bölgeye ayırıyor ona baalım, sonra iinci oğruyu çizelim, şimi baalım, sonra üçüncüyü Görülen o i; 1 oğru 2 bölgeye ayırıyor, 2 oğru 4 bölgeye ayırıyor, 3 oğru 7 bölgeye ayırıyor, 4 oğru 11 bölgeye ayırıyor Diat ettiyseniz, bölge sayısı önce 2 arttı, sonra 3, sonra 4. O hale iinci ereceen bir ilişi var oğru ile bölge sayıları arasına. Sabit artsayı birinci ereceen eri. 2, 4, 7, 11, sayılarının özelliği birer esilerinin yani 1, 3, 6, 10, sayılarının 1 en başlayan sayma sayılarının toplamlarının sonucu oluğuur. n( n+ 1) O hale n oğru + 1 bölgeye ayırır. 2 Örne. Yatay olan 3 oğru ve iey olan 6 oğru birbirlerine paralel oluğuna göre şeile aç farlı paralelenar varır? Çözüm: Bir paralelenar oluşturma için yataylaran herhangi iisi ve ieyleren herhangi iisi bize lazım. O hale bu seçimi aç farlı şeile yapabileceğimizi bulmalıyız. Ben bulum: C(3, 2) C(6, 2) = 3 15 = Örne. A notasıyla birlite 4 notası olan bir oğrusu ile B notası ile birlite 5 notası bulunan ye paralel bir oğrusu veriliyor. Bu şeilei 9 nota; i. Kaç farlı oğru belirtir? ii. Kaç farlı üçgen belirtir? iii. Kaç farlı yamu belirtir? iv. A an geçen aç oğru belirtir? v. A an geçen ama B en geçmeyen aç oğru belirtir? vi. Bir öşesi A olan aç üçgen belirtir? vii. A ve B öşelerine sahip aç üçgen belirtir? viii. Bir öşesi B olan ama A iye bir öşesi olmayan aç yamu belirtir? Çözüm: i. Aynı oğru üstüne olmayan ii notaya ihtiyacımız var: C(4, 1) C(5, 1) = 4 5 = 20. ii. Üçü aynı oğru üstüne olmayan 3 notaya ihtiyacımız var. O hale 2 si en 1 i an ve 1 i en 2 si an olma üzere 3 nota seçelim: C(4, 2) C(5, 1) + C(4, 1) C(5, 2) = = 70. iii. 2 si en ve 2 si an 4 notaya ihtiyacımız var: C(4, 2) C(5, 2) = 6 10 = 60. iv. Doğru mecburen A an geçecese iğer notası mecburen oğrusu üstüne olaca: C(5, 1) = 5. v. oğrusu üzerinei 5 notaan aı B olan birini yasalaılar ama iğer 4 üne hala izin var: C(4, 1) = 4. vi. Ya iğer 2 notayı an ya a 1 ini en (ama A notası ışınaileren), 1 ini an seçeceğiz. Diğer ii notayı a en seçerse, oğrusal olacalarınan üçgen ele eilemez: C(5, 2) + C(3, 1) C(5, 1) = = 25. vii. Üçüncü notayı hangi oğruan seçerse seçelim, ama A ve B ışınai notalar olma zoruna, her zaman üçgen oluşur: C(3, 1) + C(4, 1) = = 7. viii. Bize üzerine B en farlı bir nota ve üzerine A an farlı 2 nota lazım: C(4, 1) C(3, 2) = 4 6 = 12. Alıştırmalar 40. Yatay olan 4 oğru ve iey olan 7 oğru birbirlerine paralel oluğuna göre şeile aç farlı paralelenar var? A B 7

8 41. Yatay olan 4 oğru ve iey olan 7 oğru birbirlerine paralel oluğuna göre şeile bir öşesi A olan aç farlı paralelenar var? A 49. Şeile paralel olan üç oğru ile bu oğruları esen 6 notaaş oğru görülmeteir. Bu 9 oğru bu onumlarıyla aç farlı üçgen belirtirler? 42. Yatay olan 4 oğru birbirlerine paralel olup, 5 farlı oğru bunları şeilei gibi esmeteir. Şeile aç farlı yamu varır? 50. Birer notaları orta ve oğruları şeilei gibi 10 nota taşımataırlar. Köşeleri bu notalar olan aç farlı üçgen çizilebilir? 43. Yanai şeil, 20 üçü iörtgenen oluşmuştur. Şeile aç farlı iörtgen var? i oğrusunun 6 sı a buna paralel bir oğrusunun üzerine bulunan 11 farlı nota en ço aç oğru belirtir? i oğrusunun, 6 sı a buna paralel olan oğrusunun üzerine bulunan 11 farlı nota aç üçgen belirtir? 51. Bir üçgene bir öşeye ait 2, bir başa öşeye ait 3 esen çizilirse, oluşaca yanai şeile aç farlı üçgen mevcuttur? 52. İi notaları orta bir çember ile bir l oğrusu verilmiştir. Üzerlerinei bu 8 nota aç farlı üçgen belirtir? birim areen oluşturulmuş yanai aree aç farlı are varır? l i oğrusunun, 6 sı a buna paralel olan oğrusunun üzerine bulunan 11 farlı nota aç örtgen belirtir? 47. A notası başa 4 notayla birlite oğrusunun üstüneir. A Bu oğruya paralel bir oğrusu a 6 ayrı notaya sahiptir. Bu 11 notayla bir öşesi A olan aç farlı üçgen çizilebilir? i oğrusunun 6 sı a buna paralel bir oğrusunun üzerine bulunan 11 farlı nota en ço aç eğişi oğru parçası belirtir? birim areen oluşturulmuş yanai iörtgene aç farlı are mevcuttur? birimareen oluşturulmuş yanai aree, içine yılız işareti bulunmayan aç eğişi are varır? birim areen oluşturulmuş yanai arenin 5 farlı birim aresi her satır ve sütuna saece 1 tane boyalı birim are olaca şeile aç farlı şeile boyanabilir? 57. Yirmi enarlı bir çogenin bir öşesinen aç öşegen çizilebilir? 8

9 58. Yirmi enarlı bir çogenin toplam aç öşegeni varır? oğru en az aç tane esim notası oluşturur? oğru en fazla aç tane esim notası oluşturur? 61. Bir üçgenin herhangi ii öşesine ait 7 şer esen, üçgeni aç parçaya ayırır? 62. Herhangi iisi paralel olmayan ve üçü te notaa esişmeyen 5 tane oğru, üzerine bulunuları üzlemi aç bölgeye ayırır? 63. n tane nota en ço 20 tane üçgen belirtiyorsa, en ço aç tane beşgen belirtebilir? 64. n tane üçgen en ço aç esişim notası oluşturabilir? 65. n tane çember en ço esim notası oluşturabilir? 66. Herhangi iisi paralel olmayan 11 oğrunun 4 ü bir notaa, başa 3 notası a ayrı bir notaa esişmeteirler. Bu oğrular en ço aç esim notası oluştururlar? 67. Yanai şeile aç farlı üçgen varır? 9