Doğal sayılar sayma sayıları olarak da bilinir ve kısaca saymak için kullanılan

Transkript

1 DOĞAL SAYILAR -Tanım Doğal sayılar sayma sayıları olarak da bilinir ve kısaca saymak için kullanılan sayılara verilen isimdir. Sayma sayılarına verilen örnek, bir sepet içindeki elmaların sayısıdır. Doğal sayılar negatif değer alamaz, çünkü varolan hiçbir nesne negatif bir sayıyla temsil edilemez. Sepette hiçbir elma yok ise, elma sayısını 0 olarak belirtebiliriz. Bu örnekten anlaşılacağı gibi doğal sayılar 0, 1, 2, 3,... ile temsil edilir.bir başka tanımla, pozitif tamsayı kümesinin {1,2,3...} veya negatif olmayan tamsayılar kümesinin {0,1,2,3...} elemanlarına doğal sayılar denir. Örnek: 1 fotoğraf makinesi, 2 fotoğraf makinesi, 3 fotoğraf makinesi

2 Doğal sayıların ikinci kullanım alanı sıralama amaçlıdır. Sıra sayıları sayma sayıları düzeninde kullanılır. Ancak sayılar söylenirken ve yazılırken sonlarına -inci, -ıncı, -üncü, -uncu eklerini alırlar. Sıra sayıları, özellikle büyüklük sıralaması için kullanılır. Örnek olarak, ülkemizdeki en büyük üçüncü (3.) şehrin adına verilecek cevapta sıralama sayısı olan sayı üçüncü'dür. SORU: Doğal sayıların kullanım amaçlarını sıralayınız. CEVAP: Sayma ve sıralama. ÖRNEK (sayma): Sınıfınızdaki öğrenci sayısı kaçtır? ÖRNEK (sayma) : Gittiğiniz bir restoranttaki masa sayısını sayabildiniz mi? Kaç tane? ÖRNEK (sıralama) : Sınıfımızdaki en uzun boylu erkek öğrenci Ahmet'tir. ÖRNEK (sıralama) : Yarışı ikinci olarak bitiren öğrenci Can'dır. SORU: (JB/s.64) Ayşe, bir kutu kartı, 10 ile başlayıp 50 ile bitecek şekilde numaralandırmıştır. Kaç tane kartı numaralandırmıştır? CEVAP: Kartları 10'dan 50 'ye sıralandırmak ile 1'den 41'e sıralandırmak arasında bir fark yoktur.(her iki taraftan 9 çıkardık) 41 kart vardır. SORU: (JB/s.66) Sınıftaki öğrencilere ev ödevi olarak, sorular verilmiştir. Kaç tane problem vardır? CEVAP: 10 değil 11 tane olduğunu bulabiliyor musunuz?

3 ALIŞTIRMALAR 1. (JB/s.64) 600'den küçük ve 500'den büyük kaç tane doğal sayı vardır? (Cevap: 99) 2. (JB/s.64) 600'den küçük ve 500'den büyük kaç tane çift doğal sayı vardır? (Cevap: 49) 3. (JB/s.64) Cem, 130 'dan başlayarak 5'er 5'er saymaktadır. Cem'in saydığı sayıların 13.sü hangi doğal sayıdır? (Cevap: 190) 4. (JB/s.64) Derya, para ödemelerinde kullandığı 400 tane banka çekini birer birer sıralamıştır. Son çekin üzerinde yazılı sıra numarası 3474 ise, ilk çekin üzerinde yazılı sıra numarası hangi doğal sayıdır? (Cevap : 3075) SORU: a'nın b'den küçük olduğu durumlarda, a ve b'nin haricinde kaç tane doğal sayı vardır? CEVAP: Haricinde demek a ile b'nin dahil olmadığı durumlarda (b - a) - 1 tane doğal sayı vardır. SORU: a ile b dahil olacak şekilde kaç sayı vardır? (a < b) CEVAP: (b - a) + 1 sayı vardır. SORU: (JB/s.65) Özgür 60 m. uzunluğunda ve 30 m. genişliğinde bir arsa sahibidir. 1. Her köşeye bir dikenli çit çekmek kaydıyla her 3 m.ye 1 çit çekilecekse, bir kenar için kaç tane dikenli çite gerek vardır? 2. Arsanın tüm kenarlarını çitle kaplamak için kaç tane çite gerek vardır?

4 CEVAP: 1. Uzun kenarda, 60 m. gitmek için 20 tane çit boşluğu açılmalıdır. Birinci çit dikildikten sonra her 3 m.de 1 çite gerek vardır. Bu 21 çit eder. Kısa kenarda, 30 m. 10 boşluk demektir, 10 boşluk da 11 çit gerektirir. 2. Uzun iki kenar için 21'er, kısa iki kenar için 11'erden 64 çit gibi görünse de, köşeleri 2 defa saymış oluyoruz. Bu nedenle 4 köşeyi çıkararak doğru cevabı buluruz = 60. ALIŞTIRMALAR (JB/s.66 hepsi) 1. Öğretmeniniz, sizi 10'dan 40'a kadar çift numaralı problemleri çözmek ile görevlendirmiştir. Kaç tane problem çözeceksiniz? (Cevap: 16) 2. Fenerbahçe futbol takımının oyuncuları, maça çıkmadan önce 10'dan 30'a kadar numaralı formaların birini giymek zorundadır. Üç tane oyuncu formasız kalmıştır. Takımda kaç tane oyuncu vardır? (Cevap: 18) 3. Bir havucu 20 dilime bölmek için bıçakla kaç defa kesersiniz? (Cevap: 19) 4. Berk bir cetvel yapmaktadır. Her tamsayının üstüne bir uzun çizgi, her iki tamsayının tam ortasına bir orta uzunlukta çizgi, her iki tamsayının çeyreğine bir kısa çizgi koymuştur. 6 cm. uzunluğunda bir cetveli yapmak için kaç çizgi koyması gerekecektir? (Cevap : 25) 'den dahil olmak üzere bu aralıkta kaç tane tamkare sayı vardır? (Cevap: 46) 6. Daire şeklindeki bir masanın çevresi 3 m.dir. Her 30 cm.ye bir tabak olmak üzere, kaç insan bu masaya yerleşebilir? (Cevap: 10)

5 7. Birbirinden farklı kaç çift ardışık iki doğal sayının çarpımı 'den küçüktür? (Cevap: 200) 8. Düzgün altıgen şeklindeki bir tarlanın çevresi, 120 tane eşit aralıkta direkle çitlenerek kaplanmıştır. Her köşede bir direk vardır. Kenar başına kaç tane direk bulunmaktadır? (Cevap: 21) -Gösterim sembolü Doğal sayılar kümesi N işareti ile gösterilir. Doğal sayıların sayı sistemindeki yeri

6 Yüzler, birler ve onlar basamağını kullanarak yazabileceğimiz en büyük doğal sayı 999 ' dur. Daha büyük sayılar için binler basamağını kullanırız bin on bin yüzbin Örnek: 5008 beş bin sekiz on altı bin on iki beş yüz beş bin kırk ALIŞTIRMALAR Aşağıda yazı ile verilmiş sayıları rakamlarla ifade ediniz. 1. iki bin dört yüz elli bir 2. beş bin üç yüz on bir 3. altı bin yüz on iki 4. bin on dört 5. altı bin dokuz 6. beş bin üç yüz 7. on dört bin 8. yirmi dört bin 9. yetmiş bin 10. on altı bin iki yüz sekiz 11. yetmiş beş bin yüz kırk iki 12. kırk bin altmış dört 13. üç yüz bin 14. yüz doksan beş bin beş yüz seksen 15. yüz on dört bin altı yüz on üç 16. üç yüz elli bir bin altı yüz kırk beş 17. yedi yüz on iki bin iki yüz bir

7 Aşağıda rakamlarla verilmiş sayıları yazı ile ifade ediniz. 18) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

8 38) Boşluklara uygun sayıları ekleyiniz. Yazı ile Yüz On Binler Yüzler Onlar Birler binler binler beş bin altmış iki bin üç yüz bin yetmiş dört bin dokuz altı yüz bin iki yüz yetmiş bin elli doksan dokuz bin altı bin 'dan büyük sayılar milyonlarla ifade edilir bir milyon on milyon yüz milyon

9 Örnek: altı milyon yedi yüz seksen dokuz bin dört yüz otuz beş on altı milyon dokuz yüz seksen yedi bin sekiz yüz elli üç sekiz iki yüz otuz beş milyon altı yüz otuz dört bin yedi yüz doksan beş milyon seksen iki bin dört yüz altı on dört milyon dört yüz beş bin altı yüz üç yüz milyon on iki bin on beş 'dan büyük sayılar milyarlarla ifade edilir bir milyar -Sayı değeri Sayıda, rakamların bulunduğu basamak düşünülmeden, her rakamın ifade ettiği sayıya o rakamın sayı değeri denir sayısı 4 basamaklı bir sayı olup, birler, onlar, yüzler ve binler basamağına sahiptir. Birler basamağındaki sayının sayı değeri 5, onlar basamağındaki sayının sayı değeri 2, yüzler basamağındaki sayının sayı değeri 6 ve binler basamağındaki sayının sayı değeri 3 'tür. SORU: 305 sayısını oluşturan rakamların sayı değerleri toplamı nedir? CEVAP: = 8 dir.

10 ALIŞTIRMALAR 1. Boşlukları doldurunuz. 542 : yüzlük onluk birlik 902 : yüzlük onluk birlik 708 : yüzlük onluk birlik 164 : yüzlük onluk birlik 2. 5 rakamı aşağıdaki sayılarda hangi anlama gelir? a) 580 b) 56 c) 35 d) rakamı aşağıdaki sayılarda hangi anlama gelir? a) 113 b) 300 c) 35 d) rakamı aşağıdaki sayılarda hangi anlama gelir? a) 98 b) 897 c) 689 d) Aşağıdaki sayıların hangilerinde 7 sayısı 7 birlik anlamına gelir? a) 709 b) 79 c) 867 d) Aşağıdaki sayıların hangilerinde 3 sayısı 3 onluk anlamına gelir? a) 173 b) 832 c) 113 d) Aşağıdaki sayıların hangilerinde 8 sayısı 8 yüzlük anlamına gelir? a) 678 b) 890 c) 834 d) 508

11 -Basamak Değeri Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri denir. 9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri şöyledir: Birler basamağının basamak değeri : 1 Onlar basamağının basamak değeri : 10 Yüzler basamağının basamak değeri : 100 Binler basamağının basamak değeri : Onbinler basamağının basamak değeri: Yüzbinler basamağının basamak değeri : Milyonlar basamağının basamak değeri: On milyonlar basamağının basamak değeri: Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir. Örnek: sayısındaki 7 nin basamak değeri = = = 2 onbinlik + 7 binlik + 4 yüzlük + 6 birlik SORU : 8295 sayısını nasıl ifade edersiniz? a) b) c) d) Cevap: D SORU: ifadesinin doğal sayı karşılığı hangi seçenekte verilmiştir? a) b) c) d) Cevap: B

12 SORU: 8524 sayısında 5 rakamının basamak değeri nedir? a) b) 5 10 c) d) 5 1 Cevap: C SORU: 6937 sayısında binler basamağındaki rakam ile onlar basamağındaki rakamın yerleri değiştirildiğinde elde edilen sayı ilk sayıdan ne kadar farklıdır? a) 2970 b) 1970 c) 2790 d) 2097 Cevap: A SORU: 8aa4 dört basamaklı bir sayıdır. a'ların basamak değerlerinin toplamı 770 ise, a kaçtır? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 Cevap: B ALIŞTIRMALAR Aşağıda yazı ile verilmiş sayıları rakamlarla ifade ediniz. 1) sekiz milyon 2) on dokuz milyon 3) altı yüz milyon 4) üç yüz yirmi dört milyon beş yüz altmış yedi 5) üç milyon yedi yüz bin otuz 6) dört milyon kırk 7) altmış dört milyon üç yüz bin altmış altı yüz altı 8) dokuz yüz doksan dokuz milyon 9) dört yüz altmış dört milyon üç yüz otuz bin iki yüz altı

13 Aşağıda rakamlarla verilmiş sayıları yazı ile ifade ediniz. 10) ) ) ) ) ) ) ) Boşluklara uygun sayıları ekleyiniz. Milyar yüz on milyon yüz on bin yüz on bir milyon milyon bin bin bir milyar altı yüz on milyon sekiz milyon otuz bin elli yedi yüz altı milyon Bölünebilme Doğal sayıların,n, matematikte çok önemli bir yeri vardır. Tamsayıların bir alt kümesi oldukları için sayı teorisini de ilgilendirir. Sayı teorisi, sayıların özellikleri ile ilginenen bilim dalıdır. Sayı teorisinin uygulama alanlarından doğal sayıların önemli olduğu bir uygulama alanı, çarpanları bulma ve bölünebilmedir.

14 Bir sayının çarpanı demek, o sayının çarpana kalansız olarak bölünmesi anlamına gelir. (Bir sayı, çarpanına kalansız olarak bölünür.) Örnek: 3, 12'nin çarpanıdır. 5, 11 'in çarpanı değildir. Çarpanlar küçükten büyüğe doğru sıralandığında kendi aralarında eşleşebilirler. 60'ın çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, ve = = = = = = 60 12'nin çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, ve = = = un çarpanlarına 30 un bölenleri de denir = = = = 30 olduğundan 30'un bütün bölenlerinin kümesi: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } dir.

15 ALIŞTIRMALAR (LG) 1. 6 hangi sayıların çarpanıdır? a) 12 b) 18 c) 21 d) 27 e) 36 f) 42 g) 54 h) hangi sayıların çarpanıdır? a) 3 b) 10 c) 15 d) 17 e) 20 f) 22 g) 27 h) hangi sayıların çarpanıdır? a) 16 b) 20 c) 27 d) 36 e) 32 f) 40 g) 56 h) hangi sayıların çarpanıdır? a) 18 b) 20 c) 27 d) 36 e) 44 f) 45 g) 54 h) hangi sayıların çarpanıdır? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 45 f) 50 g) 99 h) Aşağıdaki sayıların hangileri 15'in çarpanlarıdır? a) 2 b) 3 c) 5 d) Aşağıdaki sayıların hangileri 18'in çarpanlarıdır? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 7 g) 8 h) 9 i) 10 k)12 8. Aşağıdaki sayıların hangileri 50'in çarpanlarıdır? a) 2 b) 3 c) 5 d) 10 e) 25

16 9. Aşağıdaki sayıların hangileri 56'nın çarpanlarıdır? a) 7 b) 8 c) 9 d) Aşağıdaki sayıların bütün çarpanlarını defterinize yazınız. Çarpanları, küçükten büyüğe sıralayınız ve kendi aralarında eşleştirerek sayının çarpanı olduğunu gösteriniz. a) 10 b) 14 c) 15 d) 16 e) 20 f) 25 g) 36 h) 42 ASAL SAYI (JB/s ) Çarpanları sadece 1 ve kendisi olan (veya 1'e ve kendisine bölünebilen) doğal sayılara asal sayılar denir. Birden fazla çarpanı bulunan sayılara birleşik sayılar denir. Örnek: 19 = 1 19 asal sayıdır. 3 = 1 3 asal sayıdır. 2 = 1 2 asal sayıdır. 4 = 1 4 ve 2 2 olduğundan birleşik sayıdır. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. 1 ile 100 arasındaki asal sayıları bulmak için aşağıdaki tablodan yararlanırız.

17 1 den 100 e kadar asal sayılar

18 Yukarıda verilen tabloda aşağıdaki işlemler yapılmıştır: 1. 1 kutusuna X işareti koyunuz. 1 ne asal ne de birleşik sayıdır nin katlarını gösteren kutulara X işaretini koyunuz. İlk kutucuk 4'dür. 2 asal sayıdır ün katlarını gösteren kutulara X işaretini koyunuz. İlk kutucuk 6'dır. 3 asal sayıdır. 4. 4'ün katlarını 2'nin katlarını işaretlerken işaretlemiştik. 4'ün bütün katları 2'nin de katlarıdır. 5. 5'in katlarını barındıran kutulara X işareti koyunuz. İlk kutucuk 10'dur. 5 asal sayıdır. 6. 2'nin ve 3'ün katlarını işaretlerken 6'nın katlarını da işaretlemiş oluyoruz. 7. 7'nin katlarını barındıran kutulara X işareti koyunuz. İlk kutucuk 14'dür. 7 asal sayıdır. 8. 8'in bütün katlarını 2'yi işaretlerken işaretledik. 9. 9'un bütün katlarını 3'ü işaretlerken işaretledik 'un bütün katlarını 2'yi ve 5'i işaretlerken işaretledik. Tabloda geriye kalan işaretsiz kutucukların hepsi asal sayıdır.

19 -Bir Sayının Asal Çarpanlara Ayrılması (Öz-al/s.72) Bir sayı asal değilse, bu sayıyı bölen asal sayılar vardır ve sayı, bu asal sayıların çarpımı biçiminde yazılabilir. Örneğin 18 = gibi. Bunu 18 = olarak yazabiliriz. Bir sayıyı, asal çarpanlarının çarpımı olarak göstermeye, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmak denir. Örnek: 24 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. 1.yol: 24 = = (2 2) (2 3) 24 = olur. Bu da 24 = biçiminde yazılır. 2.yol 24 : 2 12 : 2 6 : 2 3 : = SORU: Aşağıdaki sayılardan hangileri 'ün çarpanlarıdır? A) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 8 g) 9 h) SORU: Aşağıdaki sayılardan hangileri 'in çarpanlarıdır? A) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 8 g) 9 h)

20 ALIŞTIRMALAR 1) (IT) 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisinde doğrudur? A) B) C) D) ) (Öz-al/s.74) Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız. A) 40 B) 72 C) Aritmetiğin Temel Kuramı:(JB/s.138) 1 den büyük ve asal olmayan her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak yalnız bir biçimde ifade edilebilir. (çarpanların sırası önemli değildir.) Örneğin, 5544 = sayısını başka türlü çarpanlarına ayırmak mümkün değildir. Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için çarpan ağacı oluşturmak da başvurulacak yollardan biridir. ÖRNEK: 120 ve 448 sayılarının çarpanlarını bulmak için birer çarpan ağacı oluşturunuz.

21 SORU: Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız ve asal çarpanlarını küçükten büyüğe doğru sıralayarak yazınız. a) 440 b) 432 c) 209 SORU: Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız. Verilen sayıların ortak bir noktası vardır. Söyleyebilir misiniz? a) 441 b) 256 c) 576 Cevap: Bu sayıların üçü de birer tam karedir. -Tam Kareler (JB/s.138-9) Bir sayı tam kare ise, asal çarpanlarının her birinin üssü de çift sayıdır. ÖRNEK: hangi tam kareyi belirtir? CEVAP: (3 2 5) 2 = 45 2 SORU: Aşağıda verilen çarpanlar hangi tam kareyi belirtirler? a)5 4 b) c) (JB/s.140) Bir sayının kaç tane böleninin olduğunu bulmanın kolay bir yolu vardır: ÖRNEK: 56 'nın kaç tane böleni vardır? CEVAP: Önce sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 56 = Bölenlerin her biri 0, 1, 2, yada 3 tane iki içerebilir (1, 2, 4, 8) gibi. Bölenlerin her biri 0, yada 1 tane yedi içerebilir (1 ve 7 gibi). 56 sayısının bölenleri, iki için 4 seçenek ve yedi için 2 seçenekle bulunabiliyorsa 56 sayısının 1 ve kendisi dahil tüm bölenlerinin sayısı 4 2 = 8 olarak hesaplanır.

22 ÖRNEK: (JB/s.140) 240 = sayısının kaç tane böleni vardır? CEVAP: Asal çarpanların üslerine 1 ekleyerek çarpınız. (4+1) (1+1) (1+1) = 20 böleni vardır. SORU: (JB/s.140) Aşağıdaki sayıların her birinin kaçar böleni vardır? A) 72 = B) 210 = C) 180 = D) 112 = TEST (Asal Sayılar, Çarpanlara Ayırma) 1. 1 ile 100 arasında kaç tane asal sayı vardır? (Cevap: 25) A) 45.B) 25 C) 50 D) Aşağıdakilerden hangisi asal sayıdır? A) 2121 B) 7011 C) D) sayısının kaç tane asal sayı olmayan pozitif böleni vardır? A) 2 B) 3.C) 4 D) 5 4. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayı değildir? A) B) C) D) (BY/s.7) 36 sayısının 1 ve kendisi dahil kaç böleni vardır? A) 3 B) 4.C) 9 D) 10

23 6. (JB/s.140) Tam 6 tane böleni olan en küçük pozitif sayı kaçtır? A) 8 B) 16 C) 24.D) (JB/s.140) Tam 10 böleni olan en küçük pozitif sayı kaçtır?.a) 48 B) 36 C) 28 D) (JB/s.140) 100'den küçük pozitif doğal sayılardan kaç tanesi tek bölen sayısına sahiptir? A) 8.B) 9 C) 10 D) (JB/s.140) Birbirinden farklı a ve b pozitif doğal sayılarının her ikisinin de 3'er böleni vardır. 1000'den küçük kaç tane ab sayısı vardır? A) 4 B) 5 C) 6.D) (JB/s.140) 31 tane böleni olan en küçük pozitif doğal sayının çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C)2 30 D) (JB/s.140) 12 tane böleni olan 2 basamaklı 5 pozitif doğal sayı kaçtır?.a) 60, 72, 84, 90, 96 B) 36, 60, 96, 112, 140 C) 12, 16, 24, 48, 60 D) 24, 48, 96, 144, (JB/s.141) 240'ın bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır? A) 8.B) 4 C) 16 D) 32

24 13. (JB/s.141) 240'ın bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır? A) 4 B) 8.C) 16 D) (JB/s.141) 360'ın bölenleri arasından kaç tanesi tam kare sayıdır? A) 1 B) 2 C) 3.D) (JB/s.142) 480'in bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır? A) 9 B) 12.C) 24 D) (JB/s.142) 900'ün bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır?.a) 9 B) 12 C) 24 D) (JB/s.142) 440'ın bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır? A) 16.B) 12 C) 8 D) (JB/s.142) 1296'nın bölenlerinden kaç tanesi tam kare sayıdır? A) 3 B) 6.C) 9 D) (JB/s.142) Bir n sayısının 7 böleni varsa, n 2 sayısının kaç böleni vardır? A) 49 B) 14 C) 12.D) (JB/s.142) 3 basamaklı pozitif doğal sayılardan kaç tanesinin tam olarak 3 tane böleni vardır? A) 5.B) 7 C) 9 D) (JB/s.142) 7'nin katı olan n sayısının 5 tane böleni vardır. 3n sayısının kaç böleni vardır? A) 4 B) 5.C) 10 D) 3

25 22. (JB/s.142) 6'nın katı olan p sayısının 9 tane böleni vardır. 10p sayısının kaç böleni vardır?.a) 24 B) 15 C) 12 D) (JB/s.142) 400'den küçük kaç tane tam kare sayının 3'ten fazla sayıda böleni vardır? A) 14.B) 10 C) 12 D) (JB/s.142) Tam olarak 18 tane böleni olan en küçük pozitif doğal sayı kaçtır? A) 45 B) 90 C) 288.D) (JB/s.142) Tam olarak 16 tane böleni olan ve 6'ya bölünemeyen en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?.a) 280 B) 640 C) 770 D) (JB/s.142) Tam olarak 12 tane böleni olan en küçük pozitif tek sayı kaçtır? A) 675.B) 315 C) 1215 D) (JB/s.142) a ve b birbirinden farklı iki pozitif doğal sayıdır. a sayısının 5 tane böleni, b sayısının 6 tane böleni vardır. a ve b aralarında asal sayı olduklarına göre en küçük a. b sayısı kaçtır? (İki sayının aralarında asal olması demek, 1 haricinde ortak çarpanlarının olmaması anlamına gelir.) A) 360B) 2592 C) 1296.D) (JB/s.154) 1849 yılı, 3 tane böleni olan en son takvim yılıydı. 3 tane böleni olan bir sonraki yıl hangisidir?.a) 2209 B) 2025 C) 2116 D) 2304

26 29. (JB/s.154) (900/n) 'in pozitif doğal sayı olabilmesi için n kaç tane değer alabilir? A) 25 B) 26.C) 27 D) (JB/s.154) 3 basamaklı sayılar için olabilecek en fazla bölen sayısı kaç tanedir? A) 16.B) 32 C) 34 D) (JB/s.154) 10 tane böleni olan 3 basamaklı sayılardan 11'in katlarının toplamı kaçtır? A) 176 B) 891.C) 1067 D) (JB/s.154) sayısının bölenlerinden kaç tanesi tam kare sayıdır? A) 1 B) 2 C) 3.D) (JB/s.154) 1517 sayısının en küçük asal çarpanı kaçtır?.a) 37 B) 39 C) 41 D) (JB/s.159) çarpımının sonucu nedir? A) B) C) D) ye kalansız bölünen kaç tane pozitif asal sayı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) dan küçük en büyük iki asal sayının toplamı kaçtır? A) 48 B) 52 C) 56 D) 68

27 37. Aylin 3 farklı asal sayıyı çarpıyor. Bu çarpımın faktörlerinden kaç tanesi birbirinden farklı pozitif doğal sayıdır? A) 3 B) 6 C) 8 D) doğal sayının çarpımı 36 dır. Toplamlarının en küçük değeri kaç olabilir? A) 8 B) 12 C) 14 D) Aşağıdakilerden hangisi sayısının çarpanlarından biri değildir? A) B) C) D)

28 -Bölünebilme Kuralları -2 ile Bölünebilme Bir sayı 0, 2, 4, 6 veya 8 ile bitiyorsa, bu sayı bir çift sayıdır ve 2 ile kalansız bölünebilir. Örnek: 4, 16, 12, 18, 22, 28 hepsi çift sayıdır. Soru: Aşağıda verilen sayılardan hangileri 2 ile bölünebilir? a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 26 f) 35 g) 41 h) 72 i) 190 k) 789 l) 1764 m) 3156 n) 6583 o) 4102 p) ile Bölünebilme Bir sayının basamakları toplamı 3'ün katları ise, sayı da 3'e kalansız olarak bölünebilir. 3'e tam olarak bölünebilen sayılara 3'ün katları denir. Örnek: 1768 Basamakları toplamını bulalım: = 22 Basamakları toplamaya devam edelim: = 4 4, 3 'ün katı olmadığı için 'e tam olarak bölünmez. Örnek: 667 Basamakları toplamını bulalım: = 19 Basamakları toplamaya devam edelim: = 10 Basamakları toplamaya devam edelim: = 1 1, 3 'ün katı olmadığı için 667 3'e tam olarak bölünmez.

29 Örnek: = 6 6, 3 'ün katı olduğu için 441 3'e tam olarak bölünür. Örnek: = = 3 3, 3'ün katı olduğu için 'e tam olarak bölünür. ALIŞTIRMA Basamakları değeri toplamından yola çıkarak, aşağıdaki sayıların 3'e bölünebilip bölünemediklerini bulunuz. 1) ) 689 2) ) 321 3) ) 613 4) ) 144 5) ) 172 6) ) 540 7) ) 153 8) 56 28) 181 9) 28 29) ) ) 72 11) ) 85 12) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6102 ALIŞTIRMA

30 Aşağıdaki sayılardan hangileri 3'ün katıdır ve aynı zamanda çift sayıdır? 1) 651 7) 109 2) 288 8) 901 3) 512 9) 108 4) ) 864 5) 36 11) ) ) ile Bölünebilme Sayı 0 ile 5 ile bitiyorsa, (birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise), 5'e tam olarak bölünebilir. Örnek: 15, 25, 35, 40, 65 ve 100 hepsi 5 ile bölünebilir. 16, 27, 141, 269, 5 ile bölünemez. ALIŞTIRMA Aşağıdaki sayıların hangileri 5'e bölünebilir? 1) 10 8) ) ) 30 9) ) ) 45 10) ) ) 31 11) ) ) 66 12) ) ) ) 803 7) ) 10000

31 Aşağıdaki sayıların hangileri a) 2 ve 5 ile b) 2, 3, ve 5 ile bölünebilir? 1) 15 8) 60 2) 30 9) 48 3) 45 10) 90 4) 36 11) 100 5) 42 12) 70 6) 40 13) 54 7) 56 14) 75 15) ile Bölünebilme Sonu 0 ile biten sayılar, 10'a bölünebilirler. Örnek: 60, 100, 500 ve hepsi 10'a bölünebilirler. 71, 609, 3598, 10 'a bölünemezler. ALIŞTIRMA Aşağıdaki sayıların hangileri 10'a bölünürler? 1) 98 5) 35 2) 755 6) 670 3) 400 7) ) ) 80 Aşağıdaki sayıların hangileri 10'a bölünmezler? 1) 72 2) 80 3) 85 4) 900 5) 1857

32 -6 ile Bölünebilme 2 ve 3 'e kalansız bölünebilen sayılar 6'ya da bölünürler. ALIŞTIRMA Aşağıdaki sayıların hangileri 6 'ya bölünür? 1) 14 8) 60 2) 24 9) 66 3) 30 10) 72 4) 36 11) 285 5) 42 12) 336 6) 45 13) 405 7) 54 14) 512 SORU: 90 sayısı 2, 5, 3 ve 10 sayılarından hangilerine tam olarak bölünür? CEVAP: Çift sayı olduğundan 2 'ye tam olarak bölünür. Sonu 0 ile bittiğinden 5 'e ve 10'a tam olarak bölünür. Basamakların toplamı olan 9, 3'ün katı olduğundan 3 'e tam olarak bölünür. SORU: 100'den küçük kaç tane doğal sayı 3'ün katıdır, fakat 5'in katı değildir? CEVAP: 27-7 ile Bölünebilme 3 basamaklı sayılar için sayının altına 2,3,1 yazıp tüm basamakları eşleştiği rakamla çarpar, sonuçları toplarız. Örnek: =42 Bulduğumuz sayı 7'nin katıysa, sayı da 7'ye bölünür.

33 3'ten fazla basamağı olan sayıları sağdan başlayarak 3'er 3'er gruplarız ve her 3'lünün altına 231 yazıp aynı işlemi tekrarlarız. Eğer en solda 2 basamak kalmışsa sadece rakamları 3 ve 1, tek basamak kalmışsa da sadece 1 ile çarparız. Gruplara da sağdan başlayarak 1,2,3.. diye numara verirsek numarası bakımından, tek indislileri kendi aralarında, çift indislileri de kendi aralarında toplayıp farklarını alırız. Sonuç 7'nin katıysa, ana sayımız da 7 ile bölünür. Aksi takdirde, bölünmez. Örnek: sayısında Grup1: 216, Grup2: 540 ve Grup3: 72'dir. 1) 2x2+3x1+1x6=13 2) 2x5+3x4+1x0=22 3) 3x7+1x2=23 (13+23)-22=14 sayısı 7 ile bölündüğü için da 7 ile tam olarak bölünür. -8 ile Bölünebilme Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir. -9 ile Bölünebilme Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.

34 -11 ile Bölünebilme: Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -,... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da 0, 11 veya 11 in katları olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir. -12 ile Bölünebilme: Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir. -13 ile bölünebilme Sayıyı S=10 a+b şeklinde yazdığımızda a+4 b sayısı 13'e kalansız bölünüyorsa bölünür. -15 ile Bölünebilme: Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir. -17 ile bölünebilme: Sayıyı S=10 a+b şeklinde yazdığımızda a-5 b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür. -18 ile Bölünebilme: Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

35 -19 ile bölünebilme Sayıyı S=10 a+b şeklinde yazdığımızda a+2 b sayısı 19'a kalansız bölünürse bölünebilir. -24 ile Bölünebilme: Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir. -25 ile Bölünebilme: Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25, 50, 75 olması gerekir. SORU: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, ve 10 'a tam olarak bölünebilen 4 basamaklı en küçük sayı kaçtır? CEVAP: Cevabın asal çarpanlarına ayrılmış şeklini düşünelim. Sayının 2 ile bölünmesi için bir 2'ye ihtiyacımız vardır. Benzer şekilde, 3 ile bölünmesi için bir 3'e (2 3), 4 ile bölünmesi için bir başka 2'ye (2 2 3), 5 ile bölünmesi için bir 5'e ( ) ihtiyaç vardır. Bu sayı 6'ya tam olarak bölünebilir. Sayının 8 ile bölünmesi için bir 2 ile daha çarpılmalıdır ( ) ve 9 ile bölünmesi için bir başka 3 ile daha çarpılmalıdır. Sonuç olarak ortaya çıkan sayı ( = 360) dır. Bizden 4 basamaklı bir sayı isteniyordu, bu nedenle 360 'ı 3 ile çarparız = 1080 istenen sayıyı bulmuş oluruz.. Cevap: 1080

36 SORU: Sadece 1 ve 2 rakamlarını kullanarak 3 ve 8 e tam olarak bölünen en küçük doğal sayı kaçtır? CEVAP: İstenen sayının birler basamağı 2 olmalıdır. 12 ve 22 3'e ve 8'e bölünmediği için 3 basamaklı sayılara bakmalıyız. 112, 122, 212 ve 222 3'e ve 8'e tam olarak bölünmez. 112/8 = 14 olduğu için sonu 112 ile biten 4 basamaklı sayılara bakalım. Bu koşulu sağlayan en küçük sayı 2112'dir. Cevap: SORU: Bir sayının bütün rakamları 8 olsun. Bu koşulu sağlayan ve 9'a bölünebilen en küçük sayı kaçtır? CEVAP: Sayının rakamları toplamı 9'a tam olarak bölünmelidir. Rakamları sadece 8'den oluşacaksa, 9 tane 8'e ihtiyacımız vardır. Cevap: (IT/HTML) Örnek: Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır? Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8 olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler 0, 6, 8 dir. Bu değerlerin toplamı = 14 olur.

37 (IT/HTML) Örnek: 5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden, A = 3 k olmalıdır. Buradan, 16 + A = 3 k olur. Böylece, A 2, 5, 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı = 15 olarak bulunur (IT/HTML) Örnek: İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre, m + n = 3 k olması gerekir.

38 O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: m + n = 5 + ( m + n ) = k = k = k Dolayısıyla, Kalan = 2 dir (IT/HTML) Örnek: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm: 152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X, 0, 4, 8... (1) değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X, 2, 6 değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı = 8 olur.

39 (IT/HTML) Örnek: toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir. Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı = (IT/HTML) Örnek: çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla, sayısının 5 e bölümünden kalan 4 dir sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

40 458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür. Bu kalanların çarpımı, = 36 olur. 36 in 5 e bölümünden kalan ise, 1 dir (IT/HTML) Örnek: Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır? Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin 0, 2, 4, 6, 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı, 3m48 olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden, 3 + m = m + 3 olur ve böylece m, şu değerleri alabilir: 0, 3, 6, 9

41 m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri, m + n = = 17 olur (IT/HTML) Örnek: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir? Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir. Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı 5m230 olur. Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla, 5 + m = 3 k m + 10 = 3 k m = 2, 5, 8 olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır

42 TEST (Bölünebilme Kuralları) 1. (IT/Test10) Ali Bankamatik kartına 4 haneli 2a34 sayısını şifre olarak koyuyor. Bu sayının 3'ün katı olduğu bilindiğine göre, Ali bu şifreyi kaç farklı şekilde seçebilir? A) 2.B) 3 C) 4 D) 5 2. (IT/Test10) Rakamları farklı 3 basamaklı 4 ile bölünebilen en büyük sayı ile rakamları farklı 3 basamaklı 4 ile bölünebilen en küçük sayının farkı kaçtır? A) 104.B) 880 C) 984 D) (IT/Test10) A = {2 ile bölünebilenler} B = {3 ile bölünebilenler} kümeleri veriliyor. A B kümesi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 2'nin katı olan elemanların kümesi B) 3'ün katı olmayanların kümesi.c) 6 ile bölünebilenlerin kümesi D) Hem 2 hem de 3 ile bölünmeyenlerin kümesi 4. (IT/Test10) 4ab üç basamaklı sayısı 6 ile tam bölünüyorsa oluşan sayının en büyük ile en küçük değerinin toplamı kaçtır? A) 898 B) 908.C) 918 D) 928

43 5. (IT/Test10) aaaa dört basamaklı sayısı hem 2 hem de 3 ile tam bölünüyorsa a kaç farklı değer alır? A) 0.B) 1 C) 2 D) 3 6. (IT/Test10) sayısı 9 basamaklı bir sayıdır. Aşağıdaki sayıların hangisine tam bölünmez? A) 2 B) 3 C) 4.D) 5 7. Rakamları farklı ve 1, 2, 3 ile yazılan üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 6 ile bölünebilir? A) 1.B) 2 C) 3 D) ile bölünebilen iki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 5 ile bölünebilir?.a) 2 B) 3 C) 4 D) ve 5 ile bölünebilen 3 basamaklı doğal sayılardan ortadaki rakamı 1 olanları kaç tanedir? A) 4 B) 5.C) 6 D) m sayısının 2 ve 9 ile bölünebilmesi için m hangi değeri almalıdır? A) 2.B) 4 C) 6 D) 8

44 11. 6ab sayısının 3 ve 5 ile bölünebilmesi için a ve b rakamlarının alacağı değerlerin toplamı kaçtır?.a) 45 B) 50 C) 55 D) mn sayısının 2, 3 ve 5 ile bölünebilmesi için m rakamının alacağı değerler kaç tanedir? A) 3.B) 4 C) 5 D) m7n sayısının 3 ve 10 ile bölünebilmesi için m ve n yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır? A) 15 B) 17.C) 12 D) , 4 ve 14 ile bölündüğünde daima 2 kalanını veren en küçük sayı nedir? A) 28 B) 42 C) 56.D) 'den küçük doğal sayılardan kaç tanesi çifttir? A) 49.B) 50 C) 51 D) sayısı aşağıdakilerden hangisi ile bölünemez? A) 3 B) 4 C) 5.D) Rakamlarının hepsi 5 olan ve 3 ile bölünebilen en küçük doğal sayı nedir? A) 5555.B) 555 C) 55 D) 55555

45 sayısından en küçük hangi doğal sayı çıkartılırsa, bulunan fark 5 ile bölünebilir? A) 8 B) 4.C) 3 D) sayısına en küçük hangi sayı eklenirse bulunan toplam 9 ile bölünebilir? A) 9.B) 8 C) 7 D) ile bölündüğünde kalanı 3, 3 ile bölündüğünde kalanı 2 olan en küçük sayı nedir? A) 7 B) 8.C) 11 D) Rakamları sadece 2 ve 3'ten oluşan ve 2 ve 3'e tam olarak bölünen en küçük doğal sayı kaçtır? A) 2223 B)3222 C)2332.D) ve 9 ile bölünen beş basamaklı en küçük sayı kaçtır? A) B) C) D) Hangi 5 basamaklı ve 11'in katı olan sayının rakamları sadece 2 ve 3'ten oluşur? A) B) C) D) 'in katı olan 5 basamaklı en büyük sayı hangisidir? A) B) C) D)99090

46 25. 3 basamaklı sayılardan sonu 2 ile biten kaç tanesi 11 ile tam olarak bölünür? A) 7.B) 8 C) 9 D) sayısının kaç tane pozitif böleni vardır? A) 12 B) 15 C) 18 D) sayısının 1 ve kendisi hariç kaç tane pozitif tam böleni vardır? A) 26 B) 27.C) 28 D) (HK/s.57) a asal sayı, n doğal sayı olduğuna göre a n sayısının doğal sayı olan kaç tane böleni vardır? A) n B) n-1.c) n+1 D) 2n 29. 1'den 500'e kadar doğal sayılardan kaç tanesi 3 veya 7 ile tam olarak bölünebilir? A) 237.B) 214 C) 166 D) (1 + 4) + (1 + 8) + (1 + 12) + (1 + 16) ifadesi 4 e bölündüğünde kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) Bir çift ve bir tek sayının çarpımı 840 ise tek sayının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 25 B) 35 C) 105 D) Aşağıdakilerden hangisi 2 ye bölündüğünde tek sayı olan bir bölüm verir? A) B) C) D) Birbirinden farklı 3 asal sayının çarpımı asal olmayan kaç tane sayı ile her zaman kalansız bölünebilir? A) 1 B) 2 C) 3.D) 4

47 -Cebirsel Kurallar Doğal sayılar ile ilgili cebirsel özellikler aşağıda verilmiştir: 1. Her doğal sayı a ve b için (a + b) ve (a b) de birer doğal sayıdır. İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. (Toplamanın ve çarpmanın kapalılık özelliği) 2. a + b = b + a (Toplamanın değişme özelliği) 3. a b = b a (Çarpmanın değişme özelliği) 4. (a + b) + c = a + (b + c) (Toplamanın birleşme özelliği) 5. (a b) c = a (b c) (Çarpmanın birleşme özelliği) 6. (a + b) c = a c + b c (Dağılma özelliği) 7. a + 0 = a ve a 1 = a (Birim eleman) 8. a b = 0 ise a = 0 veya b = 0 (Yutan eleman) Yukarıda verilen kurallar bütün a, b, c doğal sayıları için doğrudur. -Doğal Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi (LG/s.14-16) Toplama iki sayı arasında yapılan ileriye doğru sayma işlemidir. Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır Bu durumu, doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır diye belirtiriz. ÖRNEK: bir doğal sayı mıdır? CEVAP: 114 doğal sayıdır. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Bir toplamada terimlerin sırasındaki değişiklik sonucu etkilemez. Buna doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği denir.

48 ÖRNEK: = mıdır? CEVAP: 69 = 69 Herhangi üç doğal sayı toplanırken, ilk ikisi ile üçüncüsünün toplamı, son ikisi ile birincinin toplamına eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. ÖRNEK: (8 + 19) + 26 = 8 + ( ) mıdır? CEVAP: = = 53 Herhangi bir doğal sayı ile sıfırın toplamı ya da sıfırla bir doğal sayının toplamı ilk doğal sayı olduğundan, sıfır sayısı doğal sayıların toplama işlemine göre etkisiz elemanıdır. ÖRNEK: = 16 ALIŞTIRMALAR 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

49 22) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

50 -Doğal Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi (LG/s.19-22) ÖRNEK: Doğumgünü partisine hazırlanan Ömer, arkadaşları için değişik renk ve şekillerde ceket ölçüsü almıştır. Renk kümesi A = { kırmızı, sarı, yeşil } Şekil kümesi B = { Dar, Orta, Geniş } olsun. Doğumgünü partisine katılacak öğrencilerin giydikleri ceketler C = { (kırmızı, Dar), (kırmızı, Orta), (kırmızı, Geniş), (sarı, Dar), (sarı, Orta), (sarı, Geniş), (yeşil, Dar), (yeşil, Orta), (yeşil, Geniş) } kümesinden seçilen ikililerdir. (yeşil, Orta) ikilisi yeşil renkli orta büyüklükte bir ceketi anlatmaktadır. C kümesinin her elemanı bir ikilidir. İkilileri oluşturan elemanlardan birincisi A kümesine, ikincisi B kümesine aittir. C kümesinin eleman sayısına, A ve B kümelerinin eleman sayılarının çarpımı denir. s(c) = s(a) s(b) = 3 3 = 9 Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Bir başka tanımda, çarpma eşit büyüklükteki parçaların kolay yoldan toplamına verilen isimdir. Örneğin = = 24 (dört çarpı altı eşittir yirmi dört) olarak ifade edilir. 24, 4 ile 6 nın çarpımı olarak adlandırılır. Çarpma işlemi veya. işareti ile gösterilir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir. Herhangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre kapalılık özelliği vardır denir.

51 Bir çarpmada çarpanların sırasındaki değişiklik sonucu değiştirmez. Bu özelliğe doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır denir. ÖRNEK: 8 5 = = 45 Herhangi bir doğal sayı ile sıfırın çarpımı a 0 = 0 a = 0 dır. Bunun için doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı vardır ve sıfırdır. ÖRNEK: 5 0 = 0 5 = 0 Bir doğal sayının bir ile çarpımı a 1 = 1 a = a dır. Bunun için 1 sayısına doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı denir. ÖRNEK: = = 120 Herhangi üç doğal sayı çarpılırken, ilk ikisinin çarpımı ile üçüncüsünün çarpımı, son ikisinin çarpımı ile ilkinin çarpımına eşittir. Bu özelliğe doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır denir. ÖRNEK: (3 2) 7 = 3 (2 7) 6 7 = = 42 Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ÖRNEK: 8 (4 + 3) = = = 56

52 Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ÖRNEK: 12 (3-8) = (-5) = = -60 ALIŞTIRMALAR: 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ile çarpmanın kısa yolu sayının sağına bir 0 koymaktır. Örnekler: = = = = 3560

53 100 ile çarpmanın kısa yolu sayının sağına iki 0 koymaktır. Örnekler: = = = = ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki sayıları a) 10 b) 100 ile çarpınız. 1) 8 2) 65 3) 17 4) 331 5) 151 6) ) ) SORU: Yüzbinin içinde kaç tane yüz vardır? a) 10 b) 100 c) d) 100 Cevap: C Bir sayıyı 50, 60, 70 gibi bir tamsayı ile çarpmak için önce sayıyı 5, 6, 7 ile çarpınız ve sonra sayının sağına bir 0 ekleyiniz. Örnek: Cevap: 32 4 = = 1280

54 Aşağıdaki sayıları a) 20 b) 30 c) 50 d ) 80 ile çarpınız. 1) 34 2) 72 3) 151 4) 789 5) 45 6) 60 7) 301 8) ) ) 2008 Aşağıdaki çarpmaları yapınız. 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

55 -Doğal Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi (LG/s.16-19) Çıkarma işlemi sözlükte alıvermek anlamına gelir. Örneğin, 28 liraya bir eşya almak istiyorum. 50 lira vermişsem = 22 lira para üstü almam gerekir. Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Örneğin 60 liralık bir eşyayı 50 liraya alamam; çünkü = -10 doğal sayılar kümesinin bir elemanı değildir. Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur. Ancak, küçük bir doğal sayının kendisinden büyük bir doğal sayıdan çıkarılmasıyla elde edilen sayı yine bir doğal sayıdır. Bu da kapalılık özelliğine uymaz. ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki sayıları çıkarınız. 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

56 16) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ALIŞTIRMALAR 1) ) ) ) ) ) )

57 8) ) ) ) ) ) ) ) Doğal Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi (LG/s.23-24) Bölme işlemi bir bütünü eşit parçalara paylaştırmak ile ilgilenir. Örnek: 60 lirayı 3 kişi arasında paylaştırınız. ÇÖZÜM: 60 : 3 = 20 Örnek: 15 cm uzunluğundaki bir ipi, 3 eşit parçaya bölünüz. Parçaların uzunlukları nedir? CEVAP: 15 : 3 = 5 Parçaların uzunlukları 5 cm dir. a : b = c eşitliğinde yazılan bir bölme işleminde a ya bölünen, b ye bölen, c ye bölüm denir. Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır. Örnek: 432 nin 8 e bölümü demek 432'de kaç tane 8 olduğunu bulmak demektir. Cevap: 8 bölen 432 bölünen ve cevap da bölüm olarak bilinir. 432 : 8 = 54 Örnek: 4205 : 3 Cevap: Bu bölme işleminde kalan vardır. Kalan 2, bölüm 1401 'dir.

58 Kalanlı bölme işlemlerinden anlaşılacağı gibi, doğal sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur. Örnek: 1032 'de kaç tane 24 vardır? Cevap: 1032 : 24 = 43 sağlaması için = 1032 Örnek: sayısını 50 ye bölünüz. Cevap: : 50 = 7000 Örnek: sayısını 44 e bölünüz. Cevap: 3 kalanlı bölüm = 2104 ALIŞTIRMALAR 1) 7128 : 2 2) 316 : 2 3) 512 : 4 4) 368 : 6 5) 653 : 5 6) 343 : 7 7) 344 : 8 8) 509 : 5 9) 625 : 5 10) 245 : 7 11) 819 : 9 12) 671 : 11 13) 203 : 7 14) 200 : 8 15) 281 : 3 16) 451 : 4 17) 3418 : 8 18) 8190 : 6 19) 4187 : 6 20) 5008 : 7

59 21) 9087 : 8 22) 6151 : 3 23) 5091 : 9 24) 3050 : 5 25) 506 : 5 26) 4517 : 4 27) 2880 : 9 28) 7343 : 7 29) 2345 : 5 30) 3456 : 8 31) 2319 : 9 32) 1451 : 6 33) 567 : 21 34) 512 : 32 35) 1242 : 54 36) 505 : 37 37) 616 : 56 38) 3410 : 71 39) 825: 25 40) 1159 : 61 41) : 50 42) : 18 43) : 22 44) 3253 : 25 45) : 43 46) : 45 Bölme işleminin birim elemanı 1 ve yutan elemanı 0 dır. ÖRNEK : 72 : 1 = 72 (birim eleman) Bir sayının 1 e bölümü kendisidir. 0 : 41 = 0 (yutan eleman)

60 - İşlemde Öncelik Sırası (LG/s.25-26) Aşağıdaki problem örneklerinin çözümünde belli bir sıra izlenmelidir. ÖRNEKLER: 2 (3 + 2) 4 (7 + 11) 16 - (5-1) : 4 Parantez içindeki işlemler önce yapılır. CEVAP : 2 (3 + 2) = 2 5 = 10 (Önce 3, 2 ye eklenmiştir) 4 (7 + 11) = 4 18 = 72 Parantezi açarak da aynı sonucu elde edebiliriz = = (5-1) = 16-4 = 12 önce 5 den 1 çıkarılmıştır. Çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır. ÖRNEKLER: = = 17 (3 çarpı 5 önce yapılmıştır) = = 10 (2 çarpı 3 önce yapılmıştır) 8 : = = 5 (8 bölü 4 önce yapılmıştır) : 3 = = 10 (12 bölü 3 önce yapılmıştır) ALIŞTIRMALAR (İşlemde Öncelik Sırası) 1) 4 (5 + 3) 2) 5 (6 + 2) 3) 9 (1 + 3) 4) 7 (3 + 4) 5) 6 (5 + 2) 6) 9 (3 + 4) 7) 8 (6 + 3) 8) 5 (5 + 4) 9) 3 (2 + 7)

61 10) 4 (3 + 5) 11) 11 (3 + 5) 12) 8 (9 + 3) 13) 15 - (3-1) 14) 17 - (4-3) 15) 24 - (6-2) 16) 35 - (16-12) 17) 22 - (15-3) 18) 33 - (10-8) 19) 45 - (17-12) 20) 20 - (9-6) 21) 15 - (8-4) 22) 13 - (9-6) 23) 20 - (15-5) 24) 14 - (6-4) 25) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) : 4 38) : 8 39) : 6 40) : 9 41) : 4 42) : 5 43) : 3 44) : 7 45) : 8 46) : 12 47) : 2 48) : 8 49) ) 11 - (5-3) 51) : ) : 8

62 53) ) (7 + 5) : ) (3 + 4) 5 56) (8 + 2) : (2 + 3) 57) (7 + 8) - (3-2) 58) ) ( ) : 12 60) ( ) - (27-16) 61) 22 : : 4 62) 6 (7 + 2) ) ) ) ) 27 : : 9 67) 25 - (30-10) 68) TEST (LG/s.28-29) (Doğal Sayılarda Dört İşlem Problemleri) 1. Aşağıdaki şekil bir tornanın dingilini göstermektedir. Dingilin toplam uzunluğu kaçtır? A) 376 B) 378 C) 380.D) Bir elektrik sisteminde 5 direnç seri olarak bağlıdır. Dirençlerin değerleri, 8898, 763, 1175, 72 ve 196 ohm'dur. Toplam direnç bu 5 değerin toplamına eşitse, bu toplam kaçtır? A) 3102.B) 3104 C) 3106 D) 3108

63 3. Bir çelik tabaka üzerine aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi iki tane delik açılmıştır. A ile gösterilen uzunluk kaçtır?.a) 154 B) 156 C) 158 D) Bir tank doluyken 798 litre yağ taşımaktadır. 39 litresi harcandıysa, tankta ne kadar yağ kalmıştır? A) 757 B) 758.C) 759 D) Bir ev hanımı, alışverişe giderek 500 gram domates, 250 gram yağ, 3000 gram patates ve 1200 gram salam satın almıştır. Alışverişin toplam ağırlığı ne kadardır? A) 4800 B) 4850 C) 4900.D) kilogramlık bir halterin 9 kilogramı çıkarıldıysa, geriye kalan ağırlığı ne kadardır?.a) 129 B) 130 C) 131 D) 132

64 7. Aşağıdaki şekil bir dizel motorun dingilini göstermektedir. X ile gösterilen uzunluk kaçtır? A) 25.B) 30 C) 35 D) Bir vidanın ağırlığı 12 gramsa, 1250 tane vidanın toplam ağırlığı kaçtır? A) B) C) D) Bir top kumaş 189 metre uzunluğundadır. 15 metre, 36 metre ve 29 metrelik kumaş parçalar kesilmiştir. Ne kadar kumaş kalmıştır?.a) 109 B) 174 C) 153 D) 'er milimetrelik uzaklıkta 19 adet nokta işaretlenmiştir. Birinci ve sonuncu noktalar arasındaki uzaklık nedir? A) 544 B) 578 C) 646.D) milimetre uzunluğunda bir tahta tabakası 51 eşit parçaya bölünmüştür. Her bir parçanın uzunluğu kaçtır? A) 17.B) 18 C) 19 D) Bir dükkan 27 tane benzer giysiyi 3510 TL ye almıştır. Giysilerin her biri ne kadara mal olmuştur?.a) 130 B) 140 C) 150 D) 160

65 13. Bir keki hazırlamak için gereken malzemeler 85 gram yağ, 114 gram şeker, 142 gram un ve 14 gram kabartma tozudur. Bu içeriğin toplam ağırlığı ne kadardır? A) 345 B) 350.C) 355 D) dövme metalin toplam ağırlığı 8134 kilogramdır. Her bir dövmenin ağırlığı nedir?.a) 83 B) 85 C) 87 D) Bir mobilya mağazası, bir gün boyunca, 1532 TL'ya bir yemek masası takımı, 183 TL 'ya iki sandalye, 348 TL 'ya bir kanape, 93 TL'ya bir çekyat satmıştır. Gün içi hasılat ne kadardır? A) 2330 B) 2335 C) 2337.D) Çelik bir çubuk 936 milimetre uzunluğundadır. Bu çubuktan 32 milimetrelik kaç parça kesilebilir ve geriye ne kadar uzunluk kalır? A) 30;8.B) 29;8 C) 29;7 D) 30;7 17. Giysi fabrikasında çalışan bir işçi, 15 dakikada üç kalıp çıkarmaktadır. Çalışma dışında kalan sürenin 20 dakikasını vardiyayı başlatmaya, 10 dakikasını vardiyayı bitirmeye, ve 1 saatini de öğle yemeğine hesaplarsanız, bu işçi 8 saatlik bir vardiyada kaç kalıp çıkarabilir?.a) 78 B) 80 C) 82 D) 84

66 18. Bir teknisyen, 7 saatlik bir vardiyanın ilk 2 saatinde, saat başına 32 eklem yeri leyimlemiştir. Vardiyanın sonraki 3 saatinde teknisyen saat başına 29 eklem yeri leyimlemiştir. Kalan 2 saatte de saat başına 26 eklem yeri leyimlemiştir. Bu vardiyada, teknisyen toplam kaç eklem yeri leyimlemiştir? A) 300 B) 301 C) 302.D) Bir çiftçi çuvallara doldurulmak üzere kilogram patates kazmıştır. Her bir çuval 55 kilogram taşımaktadır. Çiftçi kaç tane çuval doldurur? A) 438 B) 428.C) 422 D) Bir bayan diyetinde 850 kaloriye izin verilmektedir. Aşağıdaki tabloda günlük yenebilecek yiyecekler ve kalori miktarları verilmiştir. Yiyecek Türü Ağırlık(gram) Kalori Lahana (kaynatılmış)113 8 Havuç (kaynatılmış) Karnabahar (Kaynatılmış) Tavuk(Izgara) Sütlü Kahve bardak 25 Salatalık 57 6 Yumurta, rafadan Greyfurt Yağsız et Marul 57 7 Portakal 1 tane 44 Buğulanmış balık Sütlü çay bardak 20 Domates Tereyağlı tost 1 çift dilim

67 Kahvaltı için: 1 greyfurt, 1 rafadan yumurta, 1 tereyağlı tost; öğle yemeği için 113 g. haşlanmış havuç, 113 g. karnabahar, 113 g. buğulanmış balık yemiş ve 1 bardak sütlü kahve içmiştir. a) Kahvaltıda aldığı kaloriyi hesaplayınız. (Cevap: 267) b) Öğle yemeğinde aldığı kaloriyi hesaplayınız. (Cevap: 148) Akşam yemeği için bu bayan kaç kalori alabilir? A) 430.B) 435 C) 440 D) Bir sekreter daktiloyla dakikada 80 kelime yazabilmektedir kelimeden oluşan bir yazıyı daktiloda yazması ne kadar süre alır? A) 7 B) 8 C) 9.D) 10 saat 22. Bir sekreter daktiloyla bir satırda 14 kelime, ve sayfa başına 28 satır yazabilmektedir kelimeden oluşan bir yazıyı daktiloda yazması kaç sayfa tutar?.a) 100 B) 110 C) 120 D) Bir araba 1 litre benzinle 9 km. gidebilmektedir. 324 kilometrelik bir yolculuğu tamamlaması için kaç litre benzine ihtiyaç vardır? A) 28 B) 32.C) 36 D) Bir duvar 324 tuğla uzunluğundadır. Tuğlaların 23 tane gidiş yönü varsa, duvarı örmek için toplamda kaç tuğla gerekir? A) 7800.B) 7866 C) 7870 D) 7966

68 SIRALAMA Kuralları Her a ve b doğal sayısı için aşağıda verilen ilişkilerden bir tanesi doğrudur: a < b, a = b, a > b Bu kurala kısaca a, b'den ya farklıdır ya eşittir diyebiliriz. Geçişme Özelliği a < b ve b < c ise a < c Sıralama ve Toplama Özelliği a < b ise a + c < b + c Sıralama ve Çarpma Özelliği a c < b c ALIŞTIRMALAR (Doğal Sayılarla Sıralama) 1. Aşağıdaki ifadeler için yanlış kullanılmış işaret hangisidir? A) 532 > B) > C) 4648 < D) 8025 = Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a) 123 b) 321 c) Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a) 305 b) 35 c) 350 d) 530 e) 503 f) 53

69 4. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a) 103 b) 301 c) 130 d) 31 e) 13 f) Aşağıdaki sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) 51 b) 15 c) 510 d) 150 e) 105 f) Aşağıdaki sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayınız. a) 123 b) 132 c) 321 d) 312 e) 231 f) A ve B iki doğal sayıdır. A<38 ve B>27 ise A-B nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 (JB/s.67) Sayma problemlerini anlamamıza yardım eden bir araç olarak, Venn şemasını kullanabiliriz. Unutmayalım ki, bazı elemanlar Venn şemasının içine bazıları dışına yazılır. Örnek: (JB/s.67) Fen Bilgisi sınıfındaki öğrencilerden 19 tanesinin bir erkek kardeşi, 15 tanesinin bir kız kardeşi, 7 tanesinin hem kız hem erkek kardeşi vardır. 6 tanesinin hiçbir kardeşi yoktur. Sınıfta kaç öğrenci vardır? Çözüm: Bir problemin çözümünde Venn şeması kullanıyorsanız, çözüme içerden başlayınız. Önce iki alanın kesişimi olan 7 öğrenciyi Venn şemasının ortak alanında gösteriniz. Sonra sadece erkek kardeşi olan 12 öğrenciyi (az önce kaydettiğimiz 7 öğrenciyi 19'dan çıkarırsak geriye kalan 12 öğrenci, sadece

70 erkek kardeşi olan öğrenci sayısıdır.) ve 15-7 = 8 sadece kız kardeşi olan öğrenci sayısını Venn şemasında gösteriniz. 6 öğrencinin hiçbir kardeşi yoktur. Cevap = 33 öğrenci. Örnek: (JB/s.67) Yapılan bir 40 kişilik öğrenci anketinde, Matematik dersini seven öğrenci sayısı 14, Fen ve Teknoloji dersini seven öğrenci sayısı 18'dir. 11 öğrenci her iki dersi de sevmemektedir. Kaç öğrenci hem Matematiği, hem Fen'i sevmektedir? Çözüm: 40 kişi öğrenci var, fakat = 43 olduğuna göre 3 öğrenciyi iki kere saymış oluyoruz. Venn şemasının ortak alanındaki öğrenci sayısı 3 'tür.

71 3 tane Venn şeması kullanmak daha zor olabilir. Örnek: (JB/s.68) Veterinerlik okuluna başvuruda bulunan her öğrencinin en az bir evcil hayvanı bulunmaktadır. 30'unun kedisi, 28'inin köpeği, ve 26'sının akvaryumda balığı vardır. 13 tanesi hem balık hem kedi, 15 tanesi hem balık hem köpek, 11 tanesi hem kedi hem köpek, ve 4 tanesi hem kedi hem köpek hem de balık beslemektedir. Veterinerlik okuluna kaç öğrenci başvuru yapmıştır? Çözüm: Bu sorunun Venn şeması ile çözümü oldukça kolaydır. A kümesi kedi, B kümesi köpek, C kümesi balık besleyen öğrenci sayısını belirtir. Venn şemasının elemanlarının toplamı öğrenci sayısını verir: 49 öğrenci. Problemin mantık yürütme yoluyla da çözebiliriz: 30 kedi sahibi + 28 köpek sahibi + 26 balık sahibi = 84 sahip. Bu toplamada, iki değişik hayvan besleyen öğrencileri ikişer defa saydık. Bu nedenle = 45. Üç değişik hayvan besleyenleri ise üçer defa çıkardık. Sadece ikişer defa çıkarmak istiyorduk. Bu nedenle doğru cevap = 49.

72 3'lü Venn şemalarında 3 kümenin eleman sayısını bulmak için her grubun kaçar defa sayıldığına dikkat edilmelidir. x1: 1 defa sayılanlar x2: 2 defa sayılanlar x3: 3 defa sayılanlar ALIŞTIRMA (Doğal Sayılarla Sayma Problemleri) 1. (JB/s.69) Çiftlikte 40 köpek vardır. 22 köpek beneklidir ve 30 köpek kısa tüylüdür. En az kaç köpeğin tüyleri kısa ve beneklidir? (Cevap: 12) 2. (JB/s.69) 10 arkadaş birlikte akşam yemeğine çıkmışlardır. 7 tanesi başlangıç yemeği istemiştir. 5 tanesi çorba ve 4 tanesi de salata seçmiştir. Herkes birşeyler yemek zorunda ise, fakat kimse tam 2 seçim yapmayacaksa, her üç menüyü de seçen kaç insan vardır? (Cevap : 3) 3. (JB/s.69) İlk 729 pozitif doğal sayıdan kaç tanesi tamkare, küp, yada her ikisidir? (Cevap: 33)

73 4. (JB/s.69) Her kare bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgendir. Her dikdörtgen ve eşkenar dörtgen de bir paralelkenardır. Bir kağıt üzerine, Vedat 19 dikdörtgen, 15 eşkenar dörtgen ve 7 kare çizmiştir. Can kaç tane paralelkenar çizdi? (Cevap: 27) 5. (JB/s.69) İlk 1000 doğal sayıdan kaç tanesi 5'e ve/veya 6'ya ve/veya 7'ye kalansız olarak bölünebilir? (Cevap: 428) 6. (JB/s.69) Çay tercihleri için yapılan bir ankete katılan öğrencilerin 3/4 'ü tatlı çay, 3/5'i şekersiz çay sevmekte ve 1/6'sı her ikisini de sevmemektedir. Hem tatlı, hem de şekersiz çay sevebilen öğrenci sayısı en az kaçtır? (Cevap: 31) 7. (JB/s.69) Bir araba galerisinden siyah, çevre dostu bir Porsche satın almak istiyorsunuz. Galeride kriterlerinize uygun 50 araba içinden 18'i Porsche, 25'i siyah ve 16'sı çevre dostudur. Yine bu 50 araba içinden 3 tanesi siyah, çevre dostu, 4 tanesi siyah, Porsche ve 5 tanesi çevre dostu Porsche'dir. Galeride kaç tane siyah, çevre dostu Porsche vardır? (Cevap: 3) 8. (JB/s.72) Yanda verilen 5 noktanın her birini diğer dört noktaya bağlamak için kaç tane düz doğru çizmek gerekir? (Cevap: 10) 9. (JB/s.72) 30 noktayı kendi aralarında bir çift noktadan tam bir doğru geçecek ve ikiden fazla noktadan hiçbir doğru geçmeyecek şekilde birbirine bağlayan kaç düz doğru vardır? (Cevap: 435)

74 10.(JB/s.72) Bir voleybol ligi 16 takımdan oluşmaktadır. Her mevsim, takımların her biri diğer takımların hepsiyle sadece birer kere karşılaşma yapar. Bir mevsimde kaç oyun oynanmaktadır? (Cevap: 120) 11.(JB/s.72) Mert, boya dükkanında boya kutularını yerleştirmektedir. 20 kutuluk sıradan başlayarak, 19'luk, 18'lik, 17'lik diye devam eden kutu sıralarını numaralandırmıştır. Mert'in sıraları tamamen doldurabilmesi için kaç tane boya kutusu alması gerekmektedir? (Cevap: 210) 12.(SA/s.11) En üstte bir ve en altta beş kareden oluşan bir piramit var. Karelerin içindeki sayılardan faydalanarak boş olan yerler doldurulacaktır. Kuralımız şudur: Her üst karenin içindeki sayı, onun altındaki iki karenin sayılarının toplamına eşit olacaktır. ALIŞTIRMALAR 1) P = {0, 7} kümesi toplama işlemine göre kapalı mıdır? 2) Birler basamağında 5 bulunan doğal sayıların kümesi çarpma işlemine göre kapalı mıdır?

75 3) x < 3. ( ) eşitsizliğini sağlayan en büyük x doğal sayısı kaçtır? 4) Aşağıdaki sayıları basamak değerlerine ayırarak yazınız. A) 7245 B) 8413 C) 9068 D) ) Bir bölme işleminde bölen 37 bölüm 11 ve kalan 1 olduğuna göre bölüneni bulunuz. 6) Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 olan iki basamaklı kaç sayı vardır? 7) sayısının binler basamağındaki rakamın sayı değeri 4 azaltılırsa sayının kendisi ne kadar azalır? 8) A, B, C, D ve E birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, verilen toplama işleminde harfler yerine uygun rakamlar bulunuz. C A = EDB2 9) M, N, P, X ve Y birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, verilen toplama işleminde harfler yerine uygun rakamlar bulunuz. X Y = MNP6 10) 7412 doğal sayısı ile 5827 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır?

76 TEST (Doğal Sayılarla Dört İşlem) 1) (Öz-al/s.36) Aşağıdakilerden hangisi sıfır sayısına eşit değildir? A) 0:4 B) 7 (0 3) C) D) (11-11):11 2) (Öz-al/s.36) Aşağıdakilerden hangisi 1 sayısını göstermez? A) (2 7) : (7 2) C) (24 : 8) : (3 : 3) B) (9 9 9) : (27 27) D) (14-2) : (36-24) 3) (YS) a ve b sıfırdan farklı bir doğal sayı olmak üzere ab iki basamaklı sayısından ba iki basamaklı sayısını çıkartınca fark 72 oluyor. Sayının rakamlarının sayı değerleri farkı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 4) (YS) AB iki basamaklı bir doğal sayıdır. AB sayısı, rakamları toplamının 5 katı olduğuna göre A ile B arasındaki bağıntı hangisidir? A) 2A = 5B C) 4A = 5B B) 5A = 2B D) 5A = 4B 5) (YS) a,b,c,d her biri doğal sayı ve a c = 3, b c = 13, d c = 78 olduğuna göre a + d kaçtır? A) 9 B) 11 C) 13 D) 14 6) (YS) ABC + CAB + BCA = 999 toplama işleminde her harf sıfırdan farklı bir rakamı göstermektedir. A > B > C olduğuna göre en büyük C rakamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

77 7) (YS) Ardışık üç doğal sayının toplamı 84'dür. Küçük olan sayı kaçtır? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 8) sayısını 77 sayısına bölersek bölüm kaç olur? A) 1101 B) 111 C) D) ) A = {0, 1, 3, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak tekrarsız kaç değişik sayı yazılabilir? A) 24 B) 30 C) 60 D) 48 10) (25 + a) * 4 = 200. Burada a yerine hangi sayı konulmalıdır? A) 50 B) 25 C) 6 D) )(IT) a b c ise, a+b+c =? x A) 7 B) 11 C) 10 D) 9 1A 12) 59.. Yandaki bölme işleminde A bir rakamdır. Buna göre (IT) 3 A aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

78 n 13) 234 (IT) bölme işleminde n ne olur? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 14) A B C (IT) A B Yukarıdaki çıkarma işleminde ABC üç basamaklı, AB iki basamaklı bir sayıdır. Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır? A) 16 B) 14 C) 13 D) 11 15) İki doğal sayının toplamı 464, farkı 168 dir. Küçük doğal sayı kaçtır? A) 460 B) 148 C) 64 D) 68 16) Her biri dört basamaklı ve birbirinden farklı 4 doğal sayının toplamı dir. Bu sayıların küçüğü en az kaç olabilir? A)1000 B)1008 C)3000 D) ) a ve b doğal sayı olmak üzere a+b=12 ise a b nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 36 B) 13.C) 0 D) 11

79 18) Rakamları birbirinden farklı dört sayının toplamı 628 ise bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir? A) 254 B) 243 C) 257.D) ) Sıfırdan ve birbirinden farklı dört doğal sayının toplamı 67 dir. Bu sayılardan herhangi iki sayının farkı, en fazla kaç olur? A)57 B) 59 C) 60 D) 61 20) Ardışık üç tek sayının toplamı 123 ise bu sayının en küçüğü kaçtır? A) 39 B) 41 C) 43 D) 45 21) (IT) 96 : = işleminin sonucu nedir? A) 96.B) 95 C) 26 D) 35 22) (IT) a 9 = 72, b : 6 = 3, c - 9 = 15 ise a + b - c işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1.B) 2 C) 3 D) 4 23) (IT) 120 : ( ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 24) A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabilir? A) 24 B) 36 C) 48 D) 64

80 25) 92 den 356 ya kadar kaç tane doğal sayı vardır? A) 265 B) 264 C) 263 D) ) (IT) Kalansız bir bölme işleminde bölüm 5'tir. Bölünen ile bölenin farkı 136 olduğuna göre bölünen kaçtır? A) 170 B) 176 C) 178 D) ) (IT/mathcontest) = işleminin sonucu nedir?.a) 1995 B) C) D) ) Bin bir sayısından dokuz yüz çıkarıldığında hangi sayı elde edilir? A) 99 B) 100 C) 101 D) ) ( ) ( ) = ? A) 1999 B) 1993 C) 1987 D) ) Hangi sayıya 1111 eklendiğinde sayı olur? A) 8989 B) 9090 C) 9191 D) ) Bir börek ustası tavadan havaya fırlatıp tuttuğu böreklerden tanesini kaçırdı. Kaç defa kaçırdı? A) 0 B) 2 C) 4 D) 8

81 32) =? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) ) En yakın 100 yıla göre 3456 yıllık mamutun yaşı kaçtır? A) 300 B) 3400 C) 3500 D) ) (10 1) + (20 2) + (30 3) + (40 4) =? 5 soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir? A) 200 B) 100 C) 40 D) 8 35) =? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 36) =? A) 1111 B) C) D) ) 3 basamaklı doğal sayıların bir listesini yaptım, ve kullandığım her basamak tek sayıydı. Listemde en fazla kaç değişik sayı olabilir? A) 125 B) 150 C) 333 D) ) Bir doğal sayıyı 18 ile çarptım. İkinci bir doğal sayıyı 21 ile çarptım. Sonra bu iki çarpımı topladım. Aşağıdakilerden hangisi bu toplamı belirten sayı olabilir? A) 1996 B) 1997 C) 1998 D) 1999