Tıpta Matematik(davetli bildiri)
|
|
|
- Aydin Berker
- 4 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Tıpta Matematik(davetli bildiri) Prof. Dr. Erhan Coşkun KTÜ 5, Niğde Üniversitesi
2 Sunum Misyonu İnsan sağlĭgınınıkorunmasıve bozulan sağlĭgın düzeltilmesi amacıyla oluşturulan ve bir çok alt bilim dalınıiçeren Tıp biliminin çok özel bazıalt alanlarında Matematiğin rolünü örneklerle açıklamaktır.
3 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik
4 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği)
5 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü
6 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi
7 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama
8 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme
9 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu
10 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme
11 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller
12 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu
13 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu Hematopoez(kırmızıkan hücresi regülasyonu)
14 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu Hematopoez(kırmızıkan hücresi regülasyonu) Antibiyotik-bakteri etkileşim modeli
15 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu Hematopoez(kırmızıkan hücresi regülasyonu) Antibiyotik-bakteri etkileşim modeli Göz yaşıfilm kalınlık modeli
16 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu Hematopoez(kırmızıkan hücresi regülasyonu) Antibiyotik-bakteri etkileşim modeli Göz yaşıfilm kalınlık modeli Beyin veya kalp kasıhücre zarıpotansiyel modeli
17 Sunum Özeti Tıpta ölçüm sistemleri ve elemanter matematik Tıbbi teknolojide matematik(tomografi örneği) Radon dönüşümü Fourier dilimleme teoremi Uygulama Tıpta matematiksel modelleme Hill fonksiyonu Verilere uygun Hill fonksiyonu belirleme Hill fonksiyonlu modeller Cheyne-Stokes solunum bozukluğu Hematopoez(kırmızıkan hücresi regülasyonu) Antibiyotik-bakteri etkileşim modeli Göz yaşıfilm kalınlık modeli Beyin veya kalp kasıhücre zarıpotansiyel modeli UluslararasıTıpta matematik gelişim mekanizmaları
18 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim
19 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml
20 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL
21 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL
22 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL
23 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL 1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 ml
24 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL 1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 ml 1 cc(cubic centimetre)= 1mL
25 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim Ağırlık 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL 1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 ml 1 cc(cubic centimetre)= 1mL
26 SI ve Tıpta kullanılan ev ölçüm sistemleri Hacim Ağırlık 1 damla,gtt(guttae) 15 gtt=1ml 1 çay kaşĭgı,t(tsp) 1t=5mL 1 yemek kaşĭgı,t(tbs) 1T=3t=15mL 1 oz, 1oz=2T=30mL 1 bardak, 1 bardak=8 oz=240 ml 1 cc(cubic centimetre)= 1mL mcg,mg,g,kg,lb(1kg=2.2lb)
27 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül)
28 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül) X = D Q/H
29 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül) X = D Q/H X :Gerekli miktar,
30 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül) X = D Q/H X :Gerekli miktar, D: İstenen doz,
31 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül) X = D Q/H X :Gerekli miktar, D: İstenen doz, H: mevcut doz,
32 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Gerekli ilaç miktarı(doğru orantıveya aşağıdaki formül) X = D Q/H X :Gerekli miktar, D: İstenen doz, H: mevcut doz, Q: mevcut dozdaki miktar.
33 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar hazırlanmalıdır?
34 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar hazırlanmalıdır? X = D Q/H
35 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar hazırlanmalıdır? X = D Q/H = 0.05mg 1tablet/100mcg
36 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar hazırlanmalıdır? X = D Q/H = 0.05mg 1tablet/100mcg = ( mcg) 1tablet/100mcg
37 Tıpta Elemanter Matematik(ölçüm sistemleri) Tablet/100mcg biçiminde piyasada mevcut olan ilaçtan 0.05 mg verilmesi isteniyor. Ne kadar hazırlanmalıdır? X = D Q/H = 0.05mg 1tablet/100mcg = ( mcg) 1tablet/100mcg = 50mcg 1tablet/100mcg = 0.5 tablet
38 Tıpta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi) Enjeksiyon süresi=toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar)
39 Tıpta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi) Enjeksiyon süresi=toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar) 30gtt/dk oranında verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur?
40 Tıpta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi) Enjeksiyon süresi=toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar) 30gtt/dk oranında verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur? 15 gtt(damla)=1 ml,
41 Tıpta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi) Enjeksiyon süresi=toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar) 30gtt/dk oranında verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur? 15 gtt(damla)=1 ml, Dakikada 2mL, saatte 120mL
42 Tıpta Elemanter Matematik(enjeksiyon süresi) Enjeksiyon süresi=toplam hacim/(birim zamanda enjekte edilen miktar) 30gtt/dk oranında verilen bir litrelik serum, kaç saatte enjekte olur? 15 gtt(damla)=1 ml, Dakikada 2mL, saatte 120mL Süre=1000mL/120mL/saat=8.33 saat.
43 Tıpta Elemanter Matematik(Kaynakça) Pharmacological Math Computation Skills, Lilian Ostrander, Professor of Nursing,(URL:
44 Tıpta Elemanter Matematik(Kaynakça) Pharmacological Math Computation Skills, Lilian Ostrander, Professor of Nursing,(URL: Fundamentals of Mathematics for Nursing, Cynthia M. McAlister, Sandra G. Shapiro(URL:
45 Tomografi (Radon, Hounsfield, Cormack) Johann Radon(AvustralyalıMatematikçi, )
46 Tomografi (Radon, Hounsfield, Cormack) Johann Radon(AvustralyalıMatematikçi, ) Godfrey Hounsfield(İngiliz Elektrik Müh, )
47 Tomografi (Radon, Hounsfield, Cormack) Johann Radon(AvustralyalıMatematikçi, ) Godfrey Hounsfield(İngiliz Elektrik Müh, ) Allan Cormack( , Güney Afrika doğumlu ABD li fizikçi
48 Tomografi (Radon, Hounsfield, Cormack) Johann Radon(AvustralyalıMatematikçi, ) Godfrey Hounsfield(İngiliz Elektrik Müh, ) Allan Cormack( , Güney Afrika doğumlu ABD li fizikçi 1979 Nobel Tıp ödülü,tomografi
49 Tomografi (Radon, Hounsfield, Cormack) Johann Radon(AvustralyalıMatematikçi, ) Godfrey Hounsfield(İngiliz Elektrik Müh, ) Allan Cormack( , Güney Afrika doğumlu ABD li fizikçi 1979 Nobel Tıp ödülü,tomografi
50 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır.
51 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır. µ su = cm 1,
52 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır. µ su = cm 1, µ hava = ,
53 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır. µ su = cm 1, µ hava = , µ yağ = ,
54 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır. µ su = cm 1, µ hava = , µ yağ = , µ kas = ,
55 Tomografi(lineer atenuasyon) Tanım Herhangi bir nesnenin µ ile gösterilen x ışınılineer atenuasyonu, nesneye ait hacim elemanında, birim uzunlukta absorbe edilen ve saçılan ışın miktarının hacim elemana gelen ışın miktarına oranıolarak tanımlanmaktadır. µ su = cm 1, µ hava = , µ yağ = , µ kas = , µ kemik = (yaklasık)(50keV Enerji için)
56 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar:
57 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit)
58 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit) Hu(yağ)=1000 (µ yağ µ su )/(µ su µ hava ) = 1000 ( )/( ) =
59 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit) Hu(yağ)=1000 (µ yağ µ su )/(µ su µ hava ) = 1000 ( )/( ) = Hu(hava) = 1000,
60 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit) Hu(yağ)=1000 (µ yağ µ su )/(µ su µ hava ) = 1000 ( )/( ) = Hu(hava) = 1000, Hu(su) = 0,
61 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit) Hu(yağ)=1000 (µ yağ µ su )/(µ su µ hava ) = 1000 ( )/( ) = Hu(hava) = 1000, Hu(su) = 0, Hu(kemik) = 700 > 3000,
62 Tomografi(Lineer dönüşüm) Hounsfield dönüşümü birbirine çok yakın atenuasyon değerlerini su için sıfır referans noktasıile birbirinden ayırmayıamaçlar: Hu = 1000 (µ µ su )/(µ su µ hava )(Hounsfield unit) Hu(yağ)=1000 (µ yağ µ su )/(µ su µ hava ) = 1000 ( )/( ) = Hu(hava) = 1000, Hu(su) = 0, Hu(kemik) = 700 > 3000, Hu(yumusakdoku) = 100 > 300
63 Tomografi(Beer-Lambert yasası) Beer-Lambert yasası: di /dx = µi, I (0) = I 0
64 Tomografi(Beer-Lambert yasası) Beer-Lambert yasası: di /dx = µi, I (0) = I 0 I 0 :gönderilen x ışınışiddeti, I d : ölçülen ışın şiddeti
65 Tomografi(Beer-Lambert yasası) Beer-Lambert yasası: di /dx = µi, I (0) = I 0 I 0 :gönderilen x ışınışiddeti, I d : ölçülen ışın şiddeti ln( I d I0 ) = L µ(x)dx µ(x) =? 0
66 Tipik bir tomogra görüntü kesiti Beyin tomogra sinden bir görünüm(seçilen bir noktan n koordinat ve kars ll k gelen Hu say s ) E. Cos kun (KTÜ) T pta Matematik 14. Matematik Sempozyumu,14-16 May s 201
67 Tipik bir tomogra görüntü kesiti Beyin tomogra sinden bir görünüm(seçilen bir noktan n koordinat ve kars ll k gelen Hu say s ) E. Cos kun (KTÜ) T pta Matematik 14. Matematik Sempozyumu,14-16 May s 201
68 Hounsfield atenuasyon sayılarının(=tomografi görüntüsünün) belirlenmesi(tomografi çekimi!)
69 Hounsfield atenuasyon sayılarının belirlenmesi(tomografi çekimi!) A 9 9, µ 9 1, b 9 1,
70 Hounsfield atenuasyon sayılarının belirlenmesi(tomografi çekimi!) A 9 9, µ 9 1, b 9 1, Aµ = b nin keyfi b R 9 için çözümü mevcut değil, çünkü A nın sütunlarılineer bağımlı!
71 Hounsfield atenuasyon sayılarının belirlenmesi(tomografi çekimi!) A 9 9, µ 9 1, b 9 1, Aµ = b nin keyfi b R 9 için çözümü mevcut değil, çünkü A nın sütunlarılineer bağımlı!
72 Hounsfield atenuasyon sayılarının belirlenmesi(tomografi çekimi!) A 9 9, µ 9 1, b 9 1, Aµ = b nin keyfi b R 9 için çözümü mevcut değil, çünkü A nın sütunlarılineer bağımlı! Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem
73 Hounsfield atenuasyon sayılarının belirlenmesi(tomografi çekimi!) A 9 9, µ 9 1, b 9 1, Aµ = b nin keyfi b R 9 için çözümü mevcut değil, çünkü A nın sütunlarılineer bağımlı! Yeni ölçüm verileri ile sistem tek bir çözüme sahiptir.3x3 görüntü için 3^2+2 denklem N N ( )tomografi görüntüsü için N 2 (360000)den fazla x ışın atenuasyon değeri(->denklem) gerekli!
74 Alternatif yöntem: Radon dönüşümü
75 Alternatif yöntem: Radon dönüşümü F 0 (x) = h(x ) g (x ) µ(x, y)dy y-eksenine paralel atenuasyon projeksiyonu
76 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ],
77 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ],
78 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ], R(ξ, θ)[µ(x, y)] = µ(ξ cos(θ) η sin(θ), ξ sin(θ) + η cos(θ))dη F (ξ, θ)
79 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ], R(ξ, θ)[µ(x, y)] = µ(ξ cos(θ) η sin(θ), ξ sin(θ) + η cos(θ))dη F (ξ, θ) Keyfi ξ, θ için F (ξ, θ), µ(x, y) nin Radon dönüşümüdür:
80 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ], R(ξ, θ)[µ(x, y)] = µ(ξ cos(θ) η sin(θ), ξ sin(θ) + η cos(θ))dη F (ξ, θ) Keyfi ξ, θ için F (ξ, θ), µ(x, y) nin Radon dönüşümüdür: Sabit θ için F θ (ξ), µ(x, y) nin θ açısıile projeksiyonudur.
81 Radon dönüşüm geometrisi ve dönüşümü [ ξ η ] [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) ] [ x y ], R(ξ, θ)[µ(x, y)] = µ(ξ cos(θ) η sin(θ), ξ sin(θ) + η cos(θ))dη F (ξ, θ) Keyfi ξ, θ için F (ξ, θ), µ(x, y) nin Radon dönüşümüdür: Sabit θ için F θ (ξ), µ(x, y) nin θ açısıile projeksiyonudur. Sabit θ ve ξ = L doğrusu için F θ (L), µ(x, y) nin ξ = L doğrusu boyunca integralidir.
82 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi Teorem Ϝ 1 (F θ (ξ)) = F 2 (µ(x, y)) θ F (u, v) θ
83 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi Teorem Ϝ 1 (F θ (ξ)) = F 2 (µ(x, y)) θ F (u, v) θ
84 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ]
85 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ] F 0 (ξ)=[ ]
86 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ] F 0 (ξ)=[ ] F 1 (F 0 (ξ))=[ i i]
87 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ] F 0 (ξ)=[ ] F 1 (F 0 (ξ))=[ i i] F π/2 (ξ)=[ ]
88 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ] F 0 (ξ)=[ ] F 1 (F 0 (ξ))=[ i i] F π/2 (ξ)=[ ] F 1 (F π/2 (ξ))=[ i i]
89 Tomografi ve Fourier Dilimleme Teoremi A=[ ; ; ; ] F 0 (ξ)=[ ] F 1 (F 0 (ξ))=[ i i] F π/2 (ξ)=[ ] F 1 (F π/2 (ξ))=[ i i] i i fft2(a) = i i i i i i
90 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi) Gabor Filtresi
91 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi) Gabor Filtresi G (x, y) = exp( x 2 +y 2 2σ 2 ) exp( i π νσ (x sin(θ) y cos(θ))
92 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi) Gabor Filtresi G (x, y) = exp( x 2 +y 2 2σ 2 ) exp( i π νσ (x sin(θ) y cos(θ))
93 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi) Gabor Filtresi G (x, y) = exp( x 2 +y 2 2σ 2 ) exp( i π νσ (x sin(θ) y cos(θ)) (a)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/4],(b)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/2],
94 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi) Gabor Filtresi G (x, y) = exp( x 2 +y 2 2σ 2 ) exp( i π νσ (x sin(θ) y cos(θ)) (a)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/4],(b)[γ = 1/2, σ = 4, θ = π/2], (c)[γ = 3/2, σ = 4, θ = π/4],(d)[γ = 3/2, σ = 8, θ = π/4]
95 Tomografi görüntüsü filtreleme( Konvolüsyon) Filtre=0.2*[ ; ; ; ; ];
96 Tomografi görüntüsü filtreleme( Konvolüsyon) Filtre=0.2*[ ; ; ; ; ];
97 Tomografi görüntüsü filtreleme( Konvolüsyon) Filtre=0.2*[ ; ; ; ; ]; Bulanık ve kabartılmış Görüntü=Orjinal görüntü* Filtre
98 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi ile konvolüsyon) γ = 5/2, σ = 4, M = 33(Filtre boyutu)
99 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi ile konvolüsyon) γ = 5/2, σ = 4, M = 33(Filtre boyutu) (a)filtre uygulanmış görüntü(2,2,1),(b)(θ = π/6), (c)(θ = π/3), (d)(θ = π/2)
100 Tomografi görüntü netleştirme(gabor Filtresi ile konvolüsyon) γ = 5/2, σ = 4, M = 33(Filtre boyutu) (a)filtre uygulanmış görüntü(2,2,1),(b)(θ = π/6), (c)(θ = π/3), (d)(θ = π/2)
101 Tomografinin matematiği Alexander D. Poularikas,Editor-in-Chief, Transforms and applications handbook, CRC press,2010.
102 Tomografinin matematiği Alexander D. Poularikas,Editor-in-Chief, Transforms and applications handbook, CRC press,2010. Eric Todd Quinto, An introduction to X-ray tomography and Radon Transforms, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics,AMS,2005.
103 Tomografinin matematiği Alexander D. Poularikas,Editor-in-Chief, Transforms and applications handbook, CRC press,2010. Eric Todd Quinto, An introduction to X-ray tomography and Radon Transforms, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics,AMS,2005. Sigurd Angenent et al, Mathematical methods in medical image processing, Bulletin of the American Mathematical Society,
104 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü
105 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar:
106 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar: n=1 n=2 n=4 n= a = 1, b = 1/4
107 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar: n=1 n=2 n=4 n= a = 1, b = 1/4 Oksijen konsantrasyonu(yatay eksen)->oksijenle doymuş hemoglobin yüzdesi(düşey eksen)
108 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar: n=1 n=2 n=4 n= a = 1, b = 1/4 Oksijen konsantrasyonu(yatay eksen)->oksijenle doymuş hemoglobin yüzdesi(düşey eksen) Kandaki karbondioksit yoğunluğu(yatay eksen)->ventilasyon(birim zamanda solunan hava miktarı)(düşey eksen)
109 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar: n=1 n=2 n=4 n= a = 1, b = 1/4 Oksijen konsantrasyonu(yatay eksen)->oksijenle doymuş hemoglobin yüzdesi(düşey eksen) Kandaki karbondioksit yoğunluğu(yatay eksen)->ventilasyon(birim zamanda solunan hava miktarı)(düşey eksen) İlaç yoğunluğu(yatay eksen)->ilaç etkisi(düşey eksen)
110 Tıpta modelleme(hill fonksiyonu) Archibald Hill( ),1910; İngiliz fizyolog,1922 Nobel ödülü f (x) = ax n /(x n + b n ),biyokimyasal reaksiyonlar, fizyolojik olaylar: n=1 n=2 n=4 n= a = 1, b = 1/4 Oksijen konsantrasyonu(yatay eksen)->oksijenle doymuş hemoglobin yüzdesi(düşey eksen) Kandaki karbondioksit yoğunluğu(yatay eksen)->ventilasyon(birim zamanda solunan hava miktarı)(düşey eksen) İlaç yoğunluğu(yatay eksen)->ilaç etkisi(düşey eksen) Substrat yoğunluğu(yatay eksen)->reaksiyon hızı(düşey eksen)michail-menten
111 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)!
112 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ),
113 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ), f (x )/a u = ln( 1 f (x )/a ),
114 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ), f (x )/a u = ln( 1 f (x )/a ), v = ln(x),
115 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ), f (x )/a u = ln( 1 f (x )/a ), v = ln(x), u = cv + d, c = n, d = n ln(b)
116 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ), f (x )/a u = ln( 1 f (x )/a ), v = ln(x), u = cv + d, c = n, d = n ln(b) (Lillo, R. S., ve ark, Using animal data to improve prediction of human decompression risk following air-saturation dives)),journal of Applied Physilogy,vol., 93, No.1, 2001.
117 Eğri uydurma için uygun(lineerleştirilebilmekte)! f (x) = ax n /(x n + b n ), f (x )/a u = ln( 1 f (x )/a ), v = ln(x), u = cv + d, c = n, d = n ln(b) (Lillo, R. S., ve ark, Using animal data to improve prediction of human decompression risk following air-saturation dives)),journal of Applied Physilogy,vol., 93, No.1, Dalgıç dalış derinliği(yatay eksen(boyutsuz))->vurgun(decompression Sickness) ihtimali(düşey eksen)
118 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur
119 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu
120 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu c(t T ) V = n V max c(t T ) n + b n
121 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu c(t T ) V = n V max c(t T ) n + b n Kabul-2: Karbondioksit eliminasyonu karbondioksit yoğunluğu ve solunum hacminin çarpımıile orantılıdır.
122 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu c(t T ) V = n V max c(t T ) n + b n Kabul-2: Karbondioksit eliminasyonu karbondioksit yoğunluğu ve solunum hacminin çarpımıile orantılıdır. Kabul-3: Vücut Karbondioksit üretim oranısabittir(λ):
123 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu c(t T ) V = n V max c(t T ) n + b n Kabul-2: Karbondioksit eliminasyonu karbondioksit yoğunluğu ve solunum hacminin çarpımıile orantılıdır. Kabul-3: Vücut Karbondioksit üretim oranısabittir(λ): Kütle korunumu: dc dt = λ αc(t)v
124 Hill Fonksiyonlu modeller(cheyne-stokes solunum bozukluğu,l. Glass ve C. Mackey,1977) Kabul-1:Solunum hacmi atardamar karbondioksit yoğunluğunun gecikmeli bir Hill fonksiyonudur c(t) :karbondioksit yoğunluğu c(t T ) V = n V max c(t T ) n + b n Kabul-2: Karbondioksit eliminasyonu karbondioksit yoğunluğu ve solunum hacminin çarpımıile orantılıdır. Kabul-3: Vücut Karbondioksit üretim oranısabittir(λ): Kütle korunumu: dc dt = λ αc(t)v L. Glass ve M. C. Mackey, Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems, Annals of the New York Academy of Sciences, 1979
125 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu
126 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu Kırmızıkan hücrelerinin azalmasıkemik iliğinde yeni hücrelerin oluşturulmasınıtetikler
127 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu Kırmızıkan hücrelerinin azalmasıkemik iliğinde yeni hücrelerin oluşturulmasınıtetikler c(t) : t anındaki kırmızıkan hücre yoğunluğu(milimetreküpteki hücre sayısı)
128 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu Kırmızıkan hücrelerinin azalmasıkemik iliğinde yeni hücrelerin oluşturulmasınıtetikler c(t) : t anındaki kırmızıkan hücre yoğunluğu(milimetreküpteki hücre sayısı) Kabul 1: Hücre ölüm oranı, mevcut sayılıile orantılıdır
129 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu Kırmızıkan hücrelerinin azalmasıkemik iliğinde yeni hücrelerin oluşturulmasınıtetikler c(t) : t anındaki kırmızıkan hücre yoğunluğu(milimetreküpteki hücre sayısı) Kabul 1: Hücre ölüm oranı, mevcut sayılıile orantılıdır Kabul 2: Kandaki hücre sayısının azalmasınıtakiben T = 6 günlük bir gecikme ile ilik yeni hücreleri dolaşım sistemine göndermeye başlar.
130 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) Hematopoez: Kandaki kırmızıkan hücrelerinin regülasyonu Kırmızıkan hücrelerinin azalmasıkemik iliğinde yeni hücrelerin oluşturulmasınıtetikler c(t) : t anındaki kırmızıkan hücre yoğunluğu(milimetreküpteki hücre sayısı) Kabul 1: Hücre ölüm oranı, mevcut sayılıile orantılıdır Kabul 2: Kandaki hücre sayısının azalmasınıtakiben T = 6 günlük bir gecikme ile ilik yeni hücreleri dolaşım sistemine göndermeye başlar. Kabul 3: Dolaşım sistemine gönderilen yeni hücrelerin zamana göre değişim, t T anındaki kırmızıkan yoğunluğu ile orantılıdır.
131 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) dc dt = λf (c(t T ) bc(t)
132 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) dc dt = λf (c(t T ) bc(t) f (c(t)) = an c(t) a n + c n (t)
133 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) dc dt = λf (c(t T ) bc(t) f (c(t)) = an c(t) a n + c n (t) a = 0.8,λ = 0.2, n = 10, b = 0.1, c(t) = 0.1, t <= T
134 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) T = 4(a),T = 6(b),T = 10(c),T = 15(d)(lösemi!)
135 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) T = 4(a),T = 6(b),T = 10(c),T = 15(d)(lösemi!) (a) (b) (c) (d) Farklıgecikme değerleri(gün) için hücre yoğunlukları
136 Hill fonksiyonlu modeller(hematopoez, Mackey ve Glass(1977)) T = 4(a),T = 6(b),T = 10(c),T = 15(d)(lösemi!) (a) (b) (c) (d) Farklıgecikme değerleri(gün) için hücre yoğunlukları dde23(matlab)
137 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t N
138 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) N(t) : bakteri populasyonu dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t N
139 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) N(t) : bakteri populasyonu dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t α :antibiyotiksiz ortamda bakteri üreme oran sabiti;e max :maksimum bakterisidal etki(saat 1 ) N
140 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) N(t) : bakteri populasyonu dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t α :antibiyotiksiz ortamda bakteri üreme oran sabiti;e max :maksimum bakterisidal etki(saat 1 ) C t : t anındaki antibiyotik serum konsantrasyonu(mg/l) N
141 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) N(t) : bakteri populasyonu dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t α :antibiyotiksiz ortamda bakteri üreme oran sabiti;e max :maksimum bakterisidal etki(saat 1 ) C t : t anındaki antibiyotik serum konsantrasyonu(mg/l) C 50 : E max değerinin %50 sini üreten antibiyotik konsantrasyonu N
142 Hill fonksiyonlu modeller(antibiyotik-bakteri etkileşimi, Zhi, J. ve ark., 1986) N(t) : bakteri populasyonu dn dt = αn E maxc n t C n 50 + C n t α :antibiyotiksiz ortamda bakteri üreme oran sabiti;e max :maksimum bakterisidal etki(saat 1 ) C t : t anındaki antibiyotik serum konsantrasyonu(mg/l) C 50 : E max değerinin %50 sini üreten antibiyotik konsantrasyonu Zhi, J. ve ark., A pharmacodynamic model for the activity of antibiotics againist microorganisms under nonsaturable conditions, J. Pharm. Sci. (1986) 75, N
143 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi:
144 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi:
145 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi: dh dt = J + P c (1 c)
146 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi: dh dt = J + P c (1 c) J: buharlaşma sonucu oluşan göz sıvıkaybı(akısı)
147 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi: dh dt = J + P c (1 c) J: buharlaşma sonucu oluşan göz sıvıkaybı(akısı) P c (1 c) ise osmoz ile kornea tabakadan gelen sıvıyıtemsil etmekte
148 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi: dh dt = J + P c (1 c) J: buharlaşma sonucu oluşan göz sıvıkaybı(akısı) P c (1 c) ise osmoz ile kornea tabakadan gelen sıvıyıtemsil etmekte c: sıvının boyutsuz ozmolaritesi
149 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) Öteyandan göz yaşıfilm tabakasının tek bir noktada h(t) ile gösterilen kalınlĭgıbasit bir korunum yasasıifadesi: dh dt = J + P c (1 c) J: buharlaşma sonucu oluşan göz sıvıkaybı(akısı) P c (1 c) ise osmoz ile kornea tabakadan gelen sıvıyıtemsil etmekte c: sıvının boyutsuz ozmolaritesi J = 1 (h eq /h) 3
150 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) H( Göz yaşıtabakasıfilm kalınlĭgı) h eq = 0.125, P c = 1.55 ve farklıbaşlangıç değerler ile zamanla film kalınlĭgıdeğişimi
151 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) H( Göz yaşıtabakasıfilm kalınlĭgı) h eq = 0.125, P c = 1.55 ve farklıbaşlangıç değerler ile zamanla film kalınlĭgıdeğişimi
152 Tipik bir kütle korunum modeli(göz yaşıfilm tabaka kalınlĭgı) H( Göz yaşıtabakasıfilm kalınlĭgı) h eq = 0.125, P c = 1.55 ve farklıbaşlangıç değerler ile zamanla film kalınlĭgıdeğişimi Braun, R., Dynamics of the tear film, OCCAM(Oxford Center for Collaborative Applied Mathematics) Report number 11/11.
153 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı
154 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)->
155 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)-> dv C m dt + g(w )V V eq R = I appl
156 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)-> dv C m dt + g(w )V V eq = I appl R C m : zar kapasitansı; R direnci, I appl :dış akım. Sinir ve kas hücreleri(kalp kas hücreleri) bir dış etken ile uyarıldĭgında potansiyellerinde büyük değişimler olabilmekte.
157 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)-> dv C m dt + g(w )V V eq = I appl R C m : zar kapasitansı; R direnci, I appl :dış akım. Sinir ve kas hücreleri(kalp kas hücreleri) bir dış etken ile uyarıldĭgında potansiyellerinde büyük değişimler olabilmekte. dv /dt = (f (V ) W + I appl )/α dw /dt = α(v γw + β)
158 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)-> dv C m dt + g(w )V V eq = I appl R C m : zar kapasitansı; R direnci, I appl :dış akım. Sinir ve kas hücreleri(kalp kas hücreleri) bir dış etken ile uyarıldĭgında potansiyellerinde büyük değişimler olabilmekte. dv /dt = (f (V ) W + I appl )/α dw /dt = α(v γw + β) V (t) : t anında hücre zar potansiyeli(membran potansiyel=zar normali E. Coşkun yönündeki (KTÜ) yük yoğunluk farkı) Tıpta Matematik
159 Hücre zarıpotansiyel modeli(j.d. Murray) Denge potansiyel(veq): Elektrik yük yoğunluk farkıile oluşan elektrik alan kuvvetinin, ilgili kimyasalın zar düzlemine normal yöndeki ortamlardaki yoğunluk(mol/hacim) farklıile oluşan difüzyon kuvvetine eşit olduğu elektrik yük farkı Hücre zarınormali doğrultusunda yük birikimi olmayacağıiçin net akım sıfıra eşit (dışarıyön pozitif)-> dv C m dt + g(w )V V eq = I appl R C m : zar kapasitansı; R direnci, I appl :dış akım. Sinir ve kas hücreleri(kalp kas hücreleri) bir dış etken ile uyarıldĭgında potansiyellerinde büyük değişimler olabilmekte. dv /dt = (f (V ) W + I appl )/α dw /dt = α(v γw + β) V (t) : t anında hücre zar potansiyeli(membran potansiyel=zar normali E. Coşkun yönündeki (KTÜ) yük yoğunluk farkı) Tıpta Matematik
160 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo)
161 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) I:Pozitif yüklü sodyum iyonlarının başlangıçta negatif potansiyele sahip hücre zarıiçerine girişi
162 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) I:Pozitif yüklü sodyum iyonlarının başlangıçta negatif potansiyele sahip hücre zarıiçerine girişi II:Voltaj bağımlısodyum kanalının açılmasıyla daha hızlıgiriş(i ve II: depolarizasyon)
163 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) I:Pozitif yüklü sodyum iyonlarının başlangıçta negatif potansiyele sahip hücre zarıiçerine girişi II:Voltaj bağımlısodyum kanalının açılmasıyla daha hızlıgiriş(i ve II: depolarizasyon) III: Potasyum kanalıaçılır ve pozitif yüklü potasyum iyonlarıdışarı çıkmaya başlar ve ardından Kalsiyum kanalıaçılır ve kalsiyum gririşi başlar ve potansiyel azalma hızıyavaşlar(plato)
164 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo)
165 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) IV: Belirli bir potansiyelde kalsiyum kanalıda kapanınca potansiyel hızla düşer(repolarizasyon)
166 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) IV: Belirli bir potansiyelde kalsiyum kanalıda kapanınca potansiyel hızla düşer(repolarizasyon) V: Denge potansiyelden daha aşağıdüşen değer, yavaş sodyum kanalından sodyum iyon girişi ile denge konumuna ulaşır(hiperpolarizasyon)
167 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo)
168 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ
169 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.64, β = 0.5, γ = 3 α = 0.64, β = 4, γ = 2
170 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.64, β = 0.5, γ = 3 α = 0.64, β = 4, γ = 2
171 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ
172 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.64, β = 0.6, γ = 2.4 α = 0.64, β = 0.6, γ = 4
173 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.64, β = 0.6, γ = 2.4 α = 0.64, β = 0.6, γ = 4
174 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ
175 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.28, β = 0.2, γ = 0.1
176 Hücre zarıpotansiyeli(fitzhugh-nagumo) w = v v 3 /3, w = (v + β)/γ α = 0.28, β = 0.2, γ = 0.1
177 UluslararasıTıpta Matematik Gelişim Mekanizmaları
178 UluslararasıTıpta Matematik Gelişim Mekanizmaları
179 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, 1986.
180 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977
181 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008),
182 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, 2009.
183 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, J. D. Murray, Mathematical Biology I,II: Springer, 2002;2009.
184 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, J. D. Murray, Mathematical Biology I,II: Springer, 2002;2009. J. Proakis, D., manolakis, Digital Signal Processing(Principles, Algorithms, and Applications), Pearson, 2007.
185 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, J. D. Murray, Mathematical Biology I,II: Springer, 2002;2009. J. Proakis, D., manolakis, Digital Signal Processing(Principles, Algorithms, and Applications), Pearson, Guyton & Hall, Tıbbi Fizyoloji, Çeviri: H. Çavuşoğlu, B. Yeğen.
186 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, J. D. Murray, Mathematical Biology I,II: Springer, 2002;2009. J. Proakis, D., manolakis, Digital Signal Processing(Principles, Algorithms, and Applications), Pearson, Guyton & Hall, Tıbbi Fizyoloji, Çeviri: H. Çavuşoğlu, B. Yeğen. Smith, K. and Keinert, F., Mathematical foundations of computed tomography, Appl. Optics, Vol. 24, No: 23, 1983
187 Kaynakça(ilave) J. Radon, On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, Almancadan tercüme, IEEE Transactions on Medical İmaging, vol. MI-5,No.4, December, Michael C. Mackey, Leon Glass, Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems, Science, New Series, Vol. 197, Issue 4300, 1977 Sylvain Goutelle at al, The Hill Equation: a review of its capabilities in pharmacological modelling,fundamental & Clinical Pharmacology, 22(2008), Keener, J. Sneyd, J., Mathematical Physiology I: cellular physiology,springer, J. D. Murray, Mathematical Biology I,II: Springer, 2002;2009. J. Proakis, D., manolakis, Digital Signal Processing(Principles, Algorithms, and Applications), Pearson, Guyton & Hall, Tıbbi Fizyoloji, Çeviri: H. Çavuşoğlu, B. Yeğen. Smith, K. and Keinert, F., Mathematical foundations of computed tomography, Appl. Optics, Vol. 24, No: 23, 1983 E. Coşkun ve ark., ESGI100, Gabor Filter Selection14. and Matematik Computational Sempozyumu,14-16 Mayıs 201
EMAT ÇALIŞMA SORULARI
EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu
Kesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
KANAT PROFİLİ ETRAFINDAKİ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ
KANAT PROFİLİ ETRAFINDAKİ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ Uçağı havada tutan kanadın oluşturduğu taşıma kuvvetidir. Taşıma kuvvetinin hesaplanması, hangi parametrelere bağlı olarak değiştiğinin belirlenmesi önemlidir.
ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı
ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne
4. Adveksiyon ve Difüzyon Süreçleri
4. Adveksiyon ve Difüzyon Süreçleri ÇEV 3523 Çevresel Taşınım Süreçleri Prof.Dr. Alper ELÇİ Çevrede Taşınım Süreçleri Kirletici/madde taşınım süreçleri: 1. Adveksiyon 2. Difüzyon 3. Dispersiyon Adveksiyon
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.
ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Manyetik Alan Şiddeti ve Ampere Devre Yasası
Manyetik Alan Şiddeti ve Ampere Devre Yasası Elektrik alanlar için elektrik akı yoğunluğunu, elektrik alan şiddeti cinsinden tanımlamıştık. Buna benzer şekilde manyetik alan şiddetiyle manyetik akı yoğunluğu
ENİNE DEMET DİNAMİĞİ. Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi. Ankara Üniversitesi
ENİNE DEMET DİNAMİĞİ Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi 1 Dairesel Hızlandırıcılar Yönlendirme: mağnetik alan Odaklama: mağnetik alan Alan indisi zayıf odaklama: 0
MEMM4043 metallerin yeniden kazanımı
metallerin yeniden kazanımı 2016-2017 güz yy. Prof. Dr. Gökhan Orhan MF212 katot - + Cu + H 2+ SO 2-4 OH- Anot Reaksiyonu Cu - 2e - Cu 2+ E 0 = + 0,334 Anot Reaksiyonu 2H 2 O O 2 + 4H + + 4e - E 0 = 1,229-0,0591pH
Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük
Jeodezi
1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey
Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi
Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik
Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları
Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları MATH274 Bahar 3 0 0
DENEYİN AMACI Akım uygulanan dairesel iletken bir telin manyetik alanı ölçülerek Biot-Savart kanunu
DENEY 9 DENEYİN ADI BIOT-SAVART YASASI DENEYİN AMACI Akım uygulanan dairesel iletken bir telin manyetik alanı ölçülerek Biot-Savart kanunu deneysel olarak incelemek ve bobinde meydana gelen manyetik alan
G( q ) yer çekimi matrisi;
RPR (DÖNEL PRİZATİK DÖNEL) EKLE YAPISINA SAHİP BİR ROBOTUN DİNAİK DENKLELERİNİN VEKTÖR-ATRİS FORDA TÜRETİLESİ Aytaç ALTAN Osmancık Ömer Derindere eslek Yüksekokulu Hitit Üniversitesi aytacaltan@hitit.edu.tr
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
Kütlesel kuvvetlerin sadece g den kaynaklanması hali;
KDN03-1 AKIŞKANLARIN STATİĞİ: HİDROSTATİK Basınç kavramı z σ a dz ds σx α x dx y σz Hidrostatikte ise olduğundan i = 0; Hidrostatik problemlerde sadece 1, 2, 3 olabilir. İnceleme kolaylığı için 2-boyutlu
TEMEL SI BİRİMLERİ BOYUTSUZ SI BİRİMLERİ
TEMEL SI BİRİMLERİ fiziksel nicelik nicelik simgesi isim simge uzunluk l, b, d, h, r, s metre m kütle m kilogram kg zaman t saniye s akım I amper A termodinamik sıcaklık T kelvin K substans miktarı n mol
FATMA KANCA. Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü Yüksek Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2004
FATMA KANCA EĞİTİM Derece Alan Üniversite Yıl Doktora Matematik Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü 2011 Yüksek Lisans Matematik Kocaeli 2004 Lisans Matematik Kocaeli 2001 AKADEMİK UNVANLAR Kurum/Kuruluş
HÜCRE MEMBRANINDAN MADDELERİN TAŞINMASI. Dr. Vedat Evren
HÜCRE MEMBRANINDAN MADDELERİN TAŞINMASI Dr. Vedat Evren Vücuttaki Sıvı Kompartmanları Vücut sıvıları değişik kompartmanlarda dağılmış Vücuttaki Sıvı Kompartmanları Bu kompartmanlarda iyonlar ve diğer çözünmüş
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
BMM307-H02. Yrd.Doç.Dr. Ziynet PAMUK
BMM307-H02 Yrd.Doç.Dr. Ziynet PAMUK ziynetpamuk@gmail.com 1 BİYOELEKTRİK NEDİR? Biyoelektrik, canlıların üretmiş olduğu elektriktir. Ancak bu derste anlatılacak olan insan vücudundan elektrotlar vasıtasıyla
UBT Foton Algılayıcıları Ara Sınav Cevap Anahtarı Tarih: 22 Nisan 2015 Süre: 90 dk. İsim:
UBT 306 - Foton Algılayıcıları Ara Sınav Cevap Anahtarı Tarih: 22 Nisan 2015 Süre: 90 dk. İsim: 1. (a) (5) Radyoaktivite nedir, tanımlayınız? Bir radyoizotopun aktivitesi (A), izotopun birim zamandaki
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 13
4. İNTEGRALLER 4.1. Kompleks İntegrasyon Tanım 1. f : [a, b] R fonksiyonu f(t) u(t) + iv(t) biçiminde olsun. Eğer u ve v, [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilirse, olarak tanımlanır. b f(t)dt b u(t)dt
MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin
MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ 017-018 Bahar Dr. Nurdan Bilgin EŞDEĞER ATALET MOMENTİ Geçen ders, hız ve ivme etki katsayılarını elde ederek; mekanizmanın hareketinin sadece bir bağımsız değişkene bağlı olarak
Fizyoloji. Vücut Sıvı Bölmeleri ve Özellikleri. Dr. Deniz Balcı.
Fizyoloji Vücut Sıvı Bölmeleri ve Özellikleri Dr. Deniz Balcı deniz.balci@neu.edu.tr Ders İçeriği 1 Vücut Sıvı Bölmeleri ve Hacimleri 2 Vücut Sıvı Bileşenleri 3 Sıvıların Bölmeler Arasındaki HarekeF Okuma
1. Hafta. İzotop : Proton sayısı aynı nötron sayısı farklı olan çekirdeklere izotop denir. ÖRNEK = oksijenin izotoplarıdır.
1. Hafta 1) GİRİŞ veya A : Çekirdeğin Kütle Numarası (Nükleer kütle ile temel kütle birimi arasıdaki orana en yakın bir tamsayı) A > Z Z: Atom Numarası (Protonların sayısı ) N : Nötronların Sayısı A =
KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde
DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket
KYM 202 TERMODİNAMİK
KYM 0 ERMODİNAMİK AKIŞ PROSESLERİNİN ERMODİNAMİĞİ Kimya, petrol ve ilgili endüstrilerin bir çoğunda akışkan hareketi vardır. ermodinamiğin akış proseslerine uygulanması, kütlenin korunumu ile termodinamiğin
Fiziksel bir olayı incelemek için çeşitli yöntemler kullanılır. Bunlar; 1. Ampirik Bağıntılar 2. Boyut Analizi, Benzerlik Teorisi 3.
Fiziksel bir olayı incelemek için çeşitli yöntemler kullanılır. Bunlar; 1. Ampirik Bağıntılar 2. Boyut Analizi, Benzerlik Teorisi 3. Benzetim Yöntemi (Analoji) 4. Analitik Yöntem 1. Ampirik Bağıntılar:
MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
91-03-01-529 SAYISAL GÖRÜNTÜ İŞLEME (Digital Image Processing)
91-03-01-529 SAYISAL GÖRÜNTÜ İŞLEME (Digital Image Processing) Dersi Veren Öğretim Üyesi Doç. Dr. Aybars UĞUR Ders Web Sayfası : http://yzgrafik.ege.edu.tr/~ugur 1 Amaçlar Öğrencileri Matlab gibi teknik
Statik Manyetik Alan
Statik Manyetik Alan Amper Kanunu Manyetik Vektör Potansiyeli Maxwell in diverjans eşitliği Endüktans 1 Amper Kanununun İntegral Formu 2 Amper Kanununun İntegral Formu z- ekseni boyunca uzanan çok uzun
Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 10
Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 10 Dr. Mehmet Ali DAYIOĞLU Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü Sıcaklık Sensörleri Temas tipi sensörler: a)
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar
Fizik 102-Fizik II /II
1 -Fizik II 2010-2011/II Gauss Yasası Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924331 Kaynaklar: Giancoli, Physics, Principles With Applications, Prentice Hall Serway, Beichner, Fen ve Mühendislik için Fizik
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
ÖZGEÇMİŞ. Derece Üniversite Alanı Yılı Bütünleşik Doktora Ege Üniversitesi Matematik (Cebirsel 2009-2014. Lisans Ege Üniversitesi Matematik 2009
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : ÖZGÜR EGE 2. Doğum Tarihi : 15.06.1987 3. Doğum Yeri : İZMİR 4. Ünvanı : Araştırma Görevlisi Doktor 5. Adres : Celal Bayar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili
Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri
Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli
Bölüm 24 Gauss Yasası
Bölüm 24 Gauss Yasası Elektrik Akısı Gauss Yasası Gauss Yasasının Yüklü Yalıtkanlara Uygulanması Elektrostatik Dengedeki İletkenler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ Elektrik
Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir
Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak
Uygulanan dış yüklemelere karşı katı cisimlerin birim alanlarında sergiledikleri tepkiye «Gerilme» denir.
Gerilme ve şekil değiştirme kavramları: Uygulanan dış yüklemelere karşı katı cisimlerin birim alanlarında sergiledikleri tepkiye «Gerilme» denir. Bir mühendislik sistemine çok farklı karakterlerde dış
3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Harita Projeksiyonları
Özellikler Harita Projeksiyonları Bölüm 3: Silindirik Projeksiyonlar İzdüşüm yüzeyi, küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde
TAŞINIMIN FİZİKSEL MEKANİZMASI
BÖLÜM 6 TAŞINIMIN FİZİKSEL MEKANİZMASI 2 or Taşınımla ısı transfer hızı sıcaklık farkıyla orantılı olduğu gözlenmiştir ve bu Newton un soğuma yasasıyla ifade edilir. Taşınımla ısı transferi dinamik viskosite
fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun
![fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun](/thumbs/31/15329792.jpg "fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun")
. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.
BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:
100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan
Bölüm 4 KAPALI SİSTEMLERİN ENERJİ ANALİZİ. Bölüm 4: Kapalı Sistemlerin Enerji Analizi
Bölüm 4 KAPALI SİSTEMLERİN ENERJİ ANALİZİ 1 Amaçlar Özellikle otomobil motoru ve kompresör gibi pistonlu makinelerde yaygın olarak karşılaşılan hareketli sınır işi veya PdV işi olmak üzere değişik iş biçimlerinin
2-MANYETIK ALANLAR İÇİN GAUSS YASASI
2-MANYETIK ALANLAR İÇİN GAUSS YASASI Elektrik yükleri yani pozitif ve negatif yükler birbirlerinden ayrı ve izole halde düşünülebilirler. Bu durum, Kuzey ve güney manyetik kutuplar için de söz konusu olabilir
10 7,5 5 2,5 1,5 1 0,7 0,5 0,3 0,1 0,05 0, ,3 10 2,2 0,8 0,3
DENGE VERİLERİNİN HESAPLANMASI 15 C deki SO2 kısmi basınçları 100 H2O daki SO2 SO2 kısmi basıncı (mm- Hg 10 7,5 5 2,5 1,5 1 0,7 0,5 0,3 0,1 0,05 0,02 567 419 270 127 71 44 28 19,3 10 2,2 0,8 0,3 [Kütle
1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK
STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR
Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
MalzemelerinMekanik Özellikleri II
MalzemelerinMekanik Özellikleri II Doç.Dr. Derya Dışpınar deryad@istanbul.edu.tr 2014 Sünek davranış Griffith, camlarileyaptığıbuçalışmada, tamamengevrekmalzemelerielealmıştır Sünekdavranışgösterenmalzemelerde,
İstatistiksel Mekanik I
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için
AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1. YILİÇİ SINAVI ( )
1 3 4 5 6 T AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 1. YILİÇİ SINAVI (13.11.008) Ad-Soad: No: Grup: 1) a) İdeal ve gerçek akışkan nedir? Hız dağılımlarını çiziniz. Pratikte ideal akışkan var mıdır? Açıklaınız. İdeal Akışkan;
HÜCRE FİZYOLOJİSİ Hücrenin fiziksel yapısı. Hücre membranı proteinleri. Hücre membranı
Hücrenin fiziksel yapısı HÜCRE FİZYOLOJİSİ Hücreyi oluşturan yapılar Hücre membranı yapısı ve özellikleri Hücre içi ve dışı bileşenler Hücre membranından madde iletimi Vücut sıvılar Ozmoz-ozmmotik basınç
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI
Adı ve Soyadı :................ 16 Nisan 011 No :................ Bölümü :................ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI 1) Aşağıdakiler hangisi/hangileri doğrudur? I. Coulomb yasasındaki Coulomb
ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
Magnetic Materials. 3. Ders: Paramanyetizma. Numan Akdoğan.
Magnetic Materials 3. Ders: Paraanyetiza Nuan Akdoğan akdogan@gyte.edu.tr Gebze Institute of Technology Departent of Physics Nanoagnetis and Spintronic Research Center (NASAM) Farklı sıcaklıklarda ve birçok
Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 1
Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 1 Dr. Mehmet Ali DAYIOĞLU Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 1. Elektroniğe giriş Akım, voltaj, direnç, elektriksel
Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Dijital Sinyal İşleme EEE
DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Dijital Sinyal İşleme EEE409 7 3+0 3 5 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Seçmeli / Yüz Yüze
TEMEL İŞLEMLER KAVRAMLAR
EM 420 Yüksek Gerilim Tekniği TEMEL İŞLEMLER VE KAVRAMLAR YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRONIK YÜK. MÜH. Not: Tüm slaytlar listelenen ders kaynaklarından alıntı yapılarak ve faydalanılarak
İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI AKIŞ DİYAGRAMI
İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI AKIŞ DİYAGRAMI Programa Kabul Lisansüstü Danışmanı nın belirlenmesi Kayıt Tez Danışmanı Tez Konusu 1. Yarıyıl Ders 2. Yarıyıl Ders Tez Danışmanı ve Tez Konusu
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla
ELEKTROKİMYA Elektrokimya: Elektrokimyasal hücre
ELEKTROKİMYA Elektrokimya: Maddenin elektrik enerjisiyle etkileşmesi ve sonucunda meydana gelen kimyasal dönüşümler ile fiziksel değişiklikleri ve kimyasal enerjinin elektrik enerjisine çevrilmesini inceleyen
8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için
Continuous Spectrum continued
fftinsaat.com Continuous Spectrum continued Hotter objects Shift toward this end Longer wavelength Shorter wavelength Cooler objects Shift toward this end Discrete Spectrum Absorption Ex: stars, planets
Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
BÖLÜM I İNDÜKTANS VE KAPASİTANS Bu bölümde, tek bir bağımsız kaynak kullanılarak indüktör ve kapasitörlerin tek başına davranışları incelenecektir. İndüktörler, manyetik alanla ilişkin olaylar üzerine
LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7
998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi
İçerik. BT de Temel Prensipler. BT: Tarihçe. İçerik. BT: Tarihçe. BT: Tarihçe. Dr.Gürsel Savcı
BT de Temel Prensipler Dr.Gürsel Savcı BT: Tarihçe 1967: çok yönlü projeksiyon ile görüntü oluşturulması konsepti 1971: İlk BT prototipi Atkinson-Morley s Hospital, Londra 1972: İnsanda ilk BT görüntüsü
Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
Hava Kirleticilerin Atmosferde Dağılımı ve Hava Kalitesi Modellemesi P R O F. D R. A B D U R R A H M A N B A Y R A M
Hava Kirleticilerin Atmosferde Dağılımı ve Hava Kalitesi Modellemesi P R O F. D R. A B D U R R A H M A N B A Y R A M Temel Kavramlar Emisyon Dış Hava Kalitesi Hava Kalitesi Dağılım Modellemesi Emisyon
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
Bölüm: Matlab e Giriş.
1.Bölüm: Matlab e Giriş. Aşağıdaki problemleri MATLAB komut penceresinde komut yazarak çözünüz. Aşağıdaki formüllerde (.) ondalıklı sayı için, ( ) çarpma işlemi için kullanılmıştır. 1.. 8.5 3 3 1500 7
Akışkanların Dinamiği
Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak.
Dairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı
Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunozmen@yahoo.com Dairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı 1. Giriş Zemin taşıma gücü yeter derecede yüksek ya
olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan