ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

Transkript

1 DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR

2 ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Dokuz Eylül Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Yüksek Lisas Tezi Deprem Yöetimi Bölümü, Deprem Yöetimi Aabilim Dalı Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR

3

4 TEŞEKKÜR Lisas ve yüksek lisas eğitimim süresice baa her aşamada yol göstererek çalışmalarımı yöledire ve yardımcı ola daışma hocam Sayı Prof. Dr. Hikmet Hüseyi ÇATAL a teşekkürü bir borç bilirim. Hayatım boyuca her türlü maddi ve maevi desteklerii esirgemeye çok değerli Sadık GÜRBÜZ e, Neşe GÜRBÜZ e, Saem GÜRBÜZ e ve Gemi Đşaat Mühedisi Sia GÜRBÜZ e sosuz teşekkür eder, saygılar suarım. Aileme ve tüm yakı dostlarıma... Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 iii

5 ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ ÖZ Çok serbestlik dereceli yapısal sistemleri diamik tepki aalizleride, sistemleri hareket deklemleri diamik dış yükü zamaa göre düzesiz değiştiği ya da söz kousu sistemleri doğrusal olmaya davraış gösterdiği durumlarda aalitik olarak çözülemez. Bu gibi durumlar hareket deklemlerii zama taım aralığıda sayısal çözümüü gerektirir. Bu çalışmada, çok serbestlik dereceli sistemleri hareket deklemlerii zama taım aralığıda sayısal çözümü içi doğruda itegrasyo metotları ve mod birleştirme yötemi olmak üzere iki farklı yaklaşım icelemiştir. Bu yaklaşımlarda her birii söz kousu sistemi türüe ve sistemi etkisi altıda olduğu diamik yüke bağlı olarak değişe avatajları ve dezavatajları vardır. Yapıla çalışmaı amacı çok serbestlik dereceli yapısal sistemleri diamik davraışlarıı zama taım aralığıda icelemesidir. Bu amaçla, güçlü yer ivmeleri etkisideki çerçeve sistemleri zama tama taım aralığıda diamik aalizleri içi bilgisayar programı geliştirilmiş ve elde edile souçlar yorumlamıştır. Aahtar sözcükler: Çok serbestlik dereceli sistemler, zama taım aralığıda diamik aaliz, doğruda itegrasyo metotları, mod birleştirme yötemi. iv

6 DYNAMĐC ANALYSĐS THROUGH THE TĐME DOMAĐN OF MULTĐ DEGREE OF FREEDOM SYSTEMS ABSTRACT Đ dyamic respose aalysis of multi degree of freedom structural systems, aalytical solutio of the equatios of motio for these systems is ot possible if the excitatio varies arbitrarily with time or if the system is oliear. Such cases requires umerical solutio of equatios of motio i the time domai. Đ this study, two differet approaches were examied for the umerical solutio of the equatios of motio of the multi degree of freedom systems i the time domai: direct itegratio methods ad mode superpositio method. Each approach has advatages ad disadvatages that deped o the type of system ad loadig. The aim of this study is ivestigatio of the dyamic behavior of the multi degree of freedom structural systems i the time domai. For this purpose, computer program for the dyamic time history aalysis of the frame systems subjected to strog groud motios was developed ad the results were discussed. Keywords: Multi degree of freedom systems, dyamic time history aalysis, direct itegratio methods, mode superpositio method. v

7 ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa YÜKSEK LĐSANS TEZĐ SINAV SONUÇ FORMU...ii TEŞEKKÜR...iii ÖZ...iv ABSTRACT...v BÖLÜM BĐR GĐRĐŞ Giriş Literatürde Kou Đle Đlgili Yapılmış Çalışmalar Çalışmaı Amacı ve Kapsamı Çalışmada Yapıla Kabuller...3 BÖLÜM ĐKĐ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Modları Birleştirilmesi Yötemi ile Zama Taım Aralığıda Diamik Aaliz Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümsüz Serbest Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümlü Serbest Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümsüz Zorlamış Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümlü Zorlamış Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Güçlü Yer Đvmeleri Etkisideki Zorlamış Titreşimlerii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi...8 vi

8 .1.6 Modları Birleştirilmesi Yötemi ile Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizde Özel Aaliz Metotları Statik Düzeltme Metodu Mod Đvme Süperpozisyo Metodu Doğruda Đtegrasyo Metotları ile Zama Taım Aralığıda Diamik Aaliz Newmark Metodu Metodu Stabilite Aalizi Wilso θ Metodu Metodu Stabilite Aalizi Hilber - Hughes - Taylor α Metodu Metodu Stabilite Aalizi Wood - Bossak - Ziekiewicz α Metodu Metodu Stabilite Aalizi Chug - Hulbert Geelleştirmiş α Metodu Metodu Stabilite Aalizi Doğruda Đtegrasyo Metotlarıa Geel Bakış BÖLÜM ÜÇ ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZDE KULLANILACAK GÜÇLÜ YER ĐVMELERĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ DBYBHY 007 ye Göre Zama Taım Alaıda Hesapta Kullaılacak Đvme Kayıtlarıı Seçilme Koşulları Sayısal Uygulamada Kullaıla Đvme Kayıtlarıı Özellikleri Erzica Depremi 13/03/ Kocaeli Depremi 17/08/ Düzce Depremi 1/11/ Düzce (Bolu) Depremi 1/11/ Bigöl Depremi 01/05/ vii

9 BÖLÜM DÖRT SAYISAL UYGULAMAR Düzlem Çerçeve Sistem Model Erzica Depremi 13/03/ Kocaeli Depremi 17/08/ Düzce Depremi 1/11/ Düzce (Bolu) Depremi 1/11/ Bigöl Depremi 01/05/ Düzlem Çerçeve Sistem Model Kocaeli Depremi 17/08/ Düzce Depremi 1/11/ Yapısal Sistemlerde Rijit Diyafram Davraışıı Araştırılması...19 BÖLÜM BEŞ SONUÇLAR...04 KAYNAKLAR...06 EKLER...11 EK 1 Güçlü Yer Đvmeleri Etkisideki Düzlem Çerçeve Sistemleri Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Đçi Geliştirilmiş Bilgisayar Programı (ZA_TA)...11 A Düzlem Çerçeve Sistem Model-1 i Programa Taımlaması ve Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi...35 B Düzlem Çerçeve Sistem Model-1RD i Programa Taımlaması ve Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi...47 EK Doğruda Đtegrasyo Metotlarıı Stabilite Aalizleri Đçi Geliştirilmiş Bilgisayar Programları...58 A Newmark Metoduu Stabilite Aaliz Programı...58 B1 Wilso θ Metoduu Stabilite Aaliz Programı B Wilso θ Metoduu Stabilite Aaliz Programı...61 viii

10 C Hilber - Hughes - Taylor α Metoduu Stabilite Aaliz Programı...6 D Wood - Bossak - Ziekiewicz α Metoduu Stabilite Aaliz Programı...63 E Geelleştirmiş α Metoduu Stabilite Aaliz Programı...64 EK 3 Tepki Spektrumlarıı Hesaplaması Đçi Geliştirilmiş Bilgisayar Programı...65 ix

11 BÖLÜM BĐR GĐRĐŞ 1.1 Giriş Yapı ve deprem mühedisliğide, yapısal sistemleri belirli idealleştirmeler ve kabuller yapılarak matematik modellerii oluşturulması ve seçilecek aaliz yötemi ile bu modelleri statik ve diamik dış yükler altıdaki tepkilerii, göz öüe alıa gerçek sistemi tepkilerie kıyasla yeterli yaklaşıklıkla elde edilmesi büyük öem taşımaktadır. Nitekim, bu sistemleri statik yüklere veya zamaı foksiyou olarak taımlaabile, basit formlardaki diamik dış yüklere vereceği tepkiler sistemleri dege deklemlerii aalitik çözümü ile hesaplaabilirse de, dış yükler zamasal ve uzaysal değişimleri düzesiz ola patlama, deprem vb. diamik yükler olduğuda çözüm içi zama taım aralığıda diamik aaliz metotları kullaılır. Gerçek yapısal sistemleri ekoomik ömürleri boyuca maruz kalacakları e hasar verici yükleride, deprem yükleri gibi zamaı foksiyou olarak ifade edilemeye yükler olduğu göz öüe alıırsa, zama taım aralığıda diamik aalizi edeli öemli olduğu daha iyi alaşılır. Ayrıca, araştırmacılar tarafıda uzu süredir devam ede zama taım aralığıda aaliz içi kullaılabilecek güveilir bir metot geliştirme çabalarıda bu öemi diğer bir göstergesidir. Türkiye Deprem Yöetmeliği de (DBYBHY, 007) deprem etkisi altıdaki bia ve bia türüde yapıları taşıyıcı sistemide boyutladırmaya esas olacak deprem yüklerii bulumasıda kullaılabilecek üç çözümleme yötemi belirtilmiştir. Bu yötemler; eşdeğer deprem yükü yötemi, mod birleştirme yötemi ve zama taım alaıda hesap yötemleridir. DBYBHY 007 de eşdeğer deprem yükü yötemii uygulaabilirliği içi birtakım kısıtlamalar getirilmekle beraber, mod birleştirme yötemii ve zama taım alaıda hesap yötemlerii tüm bia ve bia türüde yapıları diamik aalizide kullaılabilecek yötemler olduğu belirtilmiştir. Ayrıca, özel sorumlulukları ola, hidroelektrik satraller, ükleer satraller, köprüler, yüksek yapılar vb. yapıları diamik aalizlerii zama taım alaıda hesap yötemleri ile yapılması zoruludur (Kasımzade, 004). 1

12 1. Literatürde Kou Đle Đlgili Yapılmış Çalışmalar Doğruda itegrasyo metotlarıı geliştirilmesi ile ilgili daha öce yapıla çalışmalar aşağıda özetlemiştir. Newmark tarafıda, davraışı doğrusal ve doğrusal olmaya çeşitli yapısal sistemleri patlama, deprem yükü vb. diamik yükleme durumlarıdaki hareket deklemlerii çözümü içi doğruda itegrasyo metodu geliştirilmiştir. Newmark çalışmasıda, metodu karakteristik yapısıı belirleye parametre değelerii (γ, β) sistemi ivme, hız ve deplasma tepkilerii hesaplamasıdaki etkilerii icelemiş, metodu stabilitesi ve parametreleri seçimi üzerie çalışmalar yapmıştır (Newmark, 1959). Wilso tarafıda, ikici mertebede doğruluğa (order of accuracy) sahip algoritmik söüm özelliği ola koşulsuz stabil itegrasyo metodu geliştirilmiş ve parametre seçimi (θ) üzerie çalışmalar yapılmıştır (Wilso, 1968). Bathe ve Wilso, çalışmalarıda doğrusal sistemler içi Newmark, Houbolt ve Wilso θ metotlarıı parametrelere değerlerie ve zama adımı büyüklüğüe bağlı stabilite ve doğruluk aalizlerii (period elogatio, amplitude decay) yapmışlar, itegrasyo metotlarıı mod birleştirme yötemi ile ola ilişkisii irdelemişlerdir (Bathe ve Wilso, 1973b). Hilber, Hughes ve Taylor tarafıda, ikici mertebede doğruluğa sahip ola ve metodu algoritmik söüm özelliklerii düşük ve yüksek frekaslı modlar içi parametre ile kotrol edilebildiği koşulsuz stabil itegrasyo metodu geliştirilmiş (HHT-α) ve metodu yapısal özellikleri Newmark, Houbolt ve Wilso θ metotlarıyla kıyaslamıştır (Hilber, Hughes ve Taylor, 1977). Hilber ve Hughes tarafıda, Newmark ve Wilso θ metotlarıı birleştirilmesie dayaa itegrasyo metodu (Collocatio methods) geliştirilmiştir. Hilber ve Hughes çalışmalarıda, metodu karakteristik özelliklerii diğer metotlar (Newmark, Houbolt, Park, Wilso θ, HHTα) ile karşılaştırmışlar ve metodu diamik tepkileri hesaplamaktaki başarısıı özel aaliz metotları (overshoot aalysis) ile icelemişlerdir (Hilber ve Hughes, 1978). Wood, Bossak ve Ziekiewicz tarafıda geliştirile α metodu (WBZ-α) HHT-α metodu ile ayı amacı paylaşmakla beraber Newmark metoduu karakteristik yapısıı geliştirilmesi üzerie kuruludur. WBZ-α metoduda da, HHT-α metoduda olduğu gibi Newmark metoduu söüm özelliklerii kotrol etmek içi dege

13 3 deklemie ek parametre yerleştirilerek ikici mertebede doğruluğa sahip pozitif algoritmik söüm özelliği ola koşulsuz stabil itegrasyo metodu elde edilmiştir (Wood, Bossak ve Ziekiewicz, 1981). Chug ve Hulbet, diamik problemlerii zama taım aralığıda çözümü içi HHT-α ve WBZ-α metotlarıı birleştirilmesi ve geelleştirilmesie dayaa doğruda itegrasyo metodu (geeralized-α method) geliştirmişler ve metodu karakteristik özelliklerii diğer itegrasyo metotları ile karşılaştırmışlardır (Chug ve Hulbet, 1993). Yukarıda özetlee doğruda itegrasyo metotlarıı dışıda literatürde, Bazzi ve Aderhegge tarafıda geliştirilmiş ρ metodu (Bazzi ve Aderhegge, 198) ve Hoff ve Pahl tarafıda geliştirilmiş θ 1 metodu da (Hoff ve Pahl, 1988) icelemiştir. 1.3 Çalışmaı Amacı ve Kapsamı Çalışma kapsamıda, çok serbestlik dereceli sistemleri zama taım aralığıda diamik aalizleride kullaıla mod birleştirme yötemi ve doğruda itegrasyo metotları teorik açıda icelemiş ve güçlü yer ivmeleri etkisideki yapısal sistemleri diamik davraışlarıı belirlemesi ve deprem yapı etkileşimi hakkıda bir souca varılması amaçlamıştır. Çalışmada ayrıca, yapısal sistemleri rijit diyafram davraışıa e ölçüde sahip olduğu zama taım aralığıda diamik aalizler ile araştırılmıştır. 1.4 Çalışmada Yapıla Kabuller Çalışması kapsamıda aşağıdaki kabuller yapılmıştır: 1. Malzeme doğrusal elastik davraış göstermektedir.. Đkici mertebe etkiler ihmal edilmiştir. 3. Birleşim bölgeleride meydaa gele sosuz rijit bölgeler ihmal edilmiştir.

14 BÖLÜM ĐKĐ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ.1 Modları Birleştirilmesi Yötemi ile Zama Taım Aralığıda Diamik Aaliz Diamik yükler etkisideki çok serbestlik dereceli sistemleri hareket deklemi ve çözümüde göz öüe alıacak başlagıç koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir. ( t) + ( t) + ( t) = ( t) m. uɺɺ c. uɺ k. u p (.1) ( 0 ), ( 0) u = u uɺ = uɺ (.) Burada m, c ve k, sırası ile kütle, söüm ve rijitlik matrisii; p(t) dış yük vektörüü; u(t) yerdeğiştirme vektörüü; u(t) üzerideki oktalar zamaa göre türevleri; u ve u, t = 0 daki başlagıç koşullarıı göstermektedir. (.1) umaralı hareket deklemide yerdeğiştirme vektörü, aşağıda verile döüşümle N adet bağımsız vektörü toplamı olarak yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003). N =. r r r= 1 ( t). q ( t) u φ (.3) Burada N, sistemi serbestlik derecesii; Ø r, sistemi serbest titreşim aalizide elde edile mod vektörlerii; q r (t), mod vektörlerii yerdeğiştirme vektörüe ola katkılarıı belirleye skaler çarpaları göstermekte olup modal koordiatlar olarak adladırılırlar. (.3) umaralı bağıtı, geometrik koordiatlar ile modal koordiatlar arasıdaki bağlatıyı sağlamakla beraber modları birleştirilmesi yötemi ile zama taım aralığıda diamik aalizi temelii oluşturur. (.3) umaralı bağıtı ele alıdığı taktirde belirli bir yerdeğiştirme vektörü içi sistemi tüm serbest titreşim modlarıı dikkate alıması gerektiği düşüülebilir; fakat söz kousu mod vektörüe karşı gele serbest tireşim frekası arttıkça modal 4

15 5 koordiatlar büyüklük olarak azalır. Bu sebeple yalızca düşük frekaslara karşı gele titreşim modları diamik aalizde etkili olmaktadır. Ayrıca, sürekli parametreli sistemleri uzaysal olarak ayrıklaştırılması ile elde edile çok serbestlik dereceli sistemleri yüksek frekaslara karşı gele mod vektörleri ve titreşim frekasları yeterli doğrulukla elde edilememektedir; çükü ayrıklaştırma içi kullaıla solu elemalar metodu yalızca düşük frekaslara yakısamaktadır (Bathe, 1996, Cook, 1996, Ziekiewicz, Taylor ve Zhu, 005). Bu bakımda çok serbestlik dereceli sistemleri diamik aalizide sistemi ilk d moduu (d «N) göz öüe alarak hesap yapmak hem yeterli yaklaşımı sağlayacak hem de hesap hacmii azaltacaktır (Bathe ve Wilso, 197, 1973a, Chopra, 1995, Gatti ve Ferrari, 003, Clough ve Pezie, 003). Burada d ile simgelee göz öüe alıacak mod sayısı, çalışmaı sayısal uygulamalar bölümüde kapsamlı olarak iceleeceği üzere, söz kousu sisteme ve sistemi maruz kaldığı diamik yükü frekas içeriğie bağlı olarak değişir (Bathe ve Wilso, 1973b, Bathe, 1996). Ayı zamada, modal koordiatları yerdeğiştirme vektörüe bağlı olarak ifade etmek de mümküdür. Bu amaç doğrultusuda (.3) umaralı bağıtıdaki eşitlik her iki yaıda Ø T.m ile çarpılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N T ( t) = ( m. ) q ( t) φ. m. u φ.. φ (.4) T.. r r r= 1 (.4) umaralı bağıtıda mod vektörlerii kütle matrisie göre ola ortogoallik özelliği (Ø T.m.Ø r = 0) dikkate alıır ve elde edile bağıtı aşağıda verile şekilde düzeleirse, modal koordiatları yerdeğiştirme vektörüe bağlı olarak zamasal değişimii vere bağıtı elde edilmiş olur. φ. m. u q t = ( ) ( t ) T. T φ.. m. φ. (.5)

16 6.1.1 Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümsüz Serbest Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok serbestlik dereceli sistemleri söümsüz serbest titreşim hareket deklemi ve bu deklemi çözümüde göz öüe alıacak başlagıç koşulları aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). ( t) k u( t) m. uɺɺ +. = 0 (.6) ( 0 ), ( 0) u = u uɺ = uɺ (.7) Sistemi söümsüz serbest titreşimi,. mertebede homoje diferasiyel deklemler sistemi olarak ele alıabilecek ola (.6) umaralı bağıtıı, (.7) umaralı bağıtı ile taımlaa başlagıç koşullarıı sağlaya çözümüdür. Modları birleştirilmesi yötemi ile elde edilecek ola bu çözüme geçmede öce sistemi serbest titreşim frekasları ve karşı gele mod vektörleri hesaplamalıdır. Çok serbestlik dereceli sistemleri söümsüz serbest titreşimi ele alıdığıda yerdeğiştirme vektörüü zamasal değişimi içi (.8) umaralı bağıtıda verile basit harmoik hareket kabulü yapılabilir (Celep ve Kumbasar, 001, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). ( t) = ˆ. si ( w. t + θ) u u (.8) Burada û, gelik vektörüü; w, söümsüz serbest titreşim frekasıı; θ, faz açısıı götermektedir. (.8) umaralı bağıtı ve ivme vektörü içi bu bağıtıı zamaa göre ikici türevi (.6) umaralı bağıtıda yerlerie yazılırsa, bağıtı aşağıdaki şekli alır. ( w t ) m uˆ k u ˆ si 0 (.9) w θ = (.9) umaralı bağıtıyı sağlaya adet çözüm vardır. Bu çözümlerde biricisi si(wt+θ) = 0 olması durumudur ki, bu sistemi hareket etmediği alamıa gelir ve

17 7 serbest titreşim aalizide araa çözüm değildir; çükü yerdeğiştirme vektörüü zamasal değişimii bu terim sağlamaktadır. Đkici çözüm ise aşağıda verile ve matris özdeğer problemi olarak adladırıla bağıtıı çözümüdür. k w. m u ˆ = 0 (.10) Literatürde (.10) umaralı bağıtı ile verile özdeğer problemii çözümü içi kütle ve rijitlik matrislerii kedie özgü birtakım özellikleride faydalamak üzerie geliştirilmiş ya da problemi farklı formlara döüştürerek daha etki şeklide çözmeyi amaçlaya çok sayıda algoritma mevcuttur (Wilkiso, 1965, Bathe ve Wilso, 197, 1973a, Meirovitch, 1980, Wa Kim, 003). (.10) umaralı bağıtı ile verile özdeğer problemii çözümüde sistemi serbestlik derecesi kadar serbest titreşim frekası elde edilir ve sorasıda, w = w i şeklide her serbest titreşim frekası içi ayrı ayrı û = Ø i alıarak çözülürse, bu frekaslara karşı gele serbest titreşim mod şekilleri elde edilmiş olur. Buradaki Ø i vektörüü elemaları yerdeğiştirmelere karşı geldiği içi mod şekli, sistemi karşı gele frekasla titreşimi sırasıda aldığı koumu verir (Celep ve Kumbasar, 001). (.10) umaralı bağıtıı çözümüde elde edile özdeğerleri (w ) diyagoal bir matrisi köşegei üzerie yerleştirilmesi ile elde edile matrise spektral matris, bu özdeğerlere karşı gele mod şekillerii kare bir matrisi kololarıa yerleştirilmesi ile elde edile matrise ise modal matris adı verilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). Bu matrisler aşağıdaki bağıtılarda gösterilmiştir. w 1 w Ω = wn (.11) φ11 φ1 φ1n φ1 φ φ N Φ = φn 1 φn φnn (.1)

18 8 Burada Ø j ile gösterile modal matrisi elemaları içi idisi mod sayısıı; j idisi ise. moddaki j. serbestlik derecesii geliğii göstermektedir. Spektral matrisi ve modal matrisi taımlaması ile sistemi N adet serbest titreşim modu içi aşağıda verile, matris formdaki bağıtıyı yazmak mümkü olur. k. Φ. Φ. Ω Φ = m Φ Ω (.13) Serbest titreşim frekaslarıı ve karşı gele mod vektörlerii hesaplamasıı ardıda, sistemi serbest titreşim hareketii çözümüü modları birleştirilmesi yötemi ile elde etmek içi yerdeğiştirme vektörü yerie, bu vektörü (.3) umaralı bağıtı ile verile ifadesi kullaılır. Bu amaç doğrultusuda öcelikle (.3) umaralı bağıtıdaki modal koordiatları zamasal değişimlerii taımlaması gerekir. Modal koordiatları zamasal değişimlerii, (.14) umaralı bağıtıda verile şeklide, modal koordiatları basit harmoik foksiyoları toplamı olarak kabul ederek göz öüe almak mümküdür (Chopra, 1995). ( ) cos(. ) si (. ) q t = A w t + B w t (.14) Çok serbestlik dereceli sistemi. modua ait modal koordiatları (buda sora modal yerdeğiştirme olarak adladırılacaktır) zamasal değişimleri içi öerile bu ifade (.3) umaralı bağıtıda yerie yazılırsa, bağıtı aşağıdaki şekli alır. N N ( t ) = φ.. q ( t ) =. φ ( A cos( w. t ) + B si ( w. t) ) u φ φ (.15) = 1 = 1 Burada A ve B itegrasyo sabitlerii göstermektedir. Bu sabitleri belirlemek içi ayrıca, (.15) umaralı bağıtıı zamaa göre birici türevii alımasıyla elde edilebile hız vektörüü modal koordiatlardaki ifadesie (buda sora modal hız olarak adladırılacaktır) ihtiyaç vardır. uɺ N N ( t) =. φ. qɺ ( 0) = φ. ( A. w si ( w. t ) + B. w cos ( w. t )) φ φ (.16) = 1 = 1

19 9 t = 0 zamaı içi (.15) ve (.16) umaralı bağıtılar aşağıdaki şekli alır. u N ( 0 ) φ A, uɺ ( 0) = φ. = φ. w. B (.17).. = 1 = 1 N Diğer yada (.3) umaralı bağıtı ve zamaa göre birici türevi t = 0 içi aşağıdaki şekli alır. N ( 0) = φ. q ( 0 ), ( 0) = φ. q ( 0).. = 1 = 1 N u φ uɺ φ ɺ (.18) (.17) ve (.18) umaralı bağıtılardaki modal yerdeğiştirme ve modal hız ifadeleri eşitleirse, A ve B sabitleri aşağıdaki şeklide elde edilir. ( 0 ), ( 0) A = q B =ɺ q w (.19) Bu sabitler (.15) umaralı bağıtıda yerlerie yazılırsa, başlagıç koşullarıa bağlı olarak (.6) umaralı söümsüz serbest titreşim hareket deklemii sağlaya u(t) vektörü modları birleştirilmesi yötemi ile elde edilmiş olur. N N qɺ u( t) = φ.. q ( t) = φ. q ( 0) cos( w. t) + si ( w. t) (.0) = 1 = 1 w ( 0) Burada 0 ve 0, modal koordiatlardaki başlagıç koşuları olup bu değerler (.5) umaralı bağıtı ve zamaa göre birici türevi ile, u(0) ve u (0) vektörlerie bağlı olarak aşağıdaki şekilde hesaplaabilir. q ( ) ( ) ( ) φ =. m. u φ, =. m. uɺ T T.. qɺ ( 0 T ) T φ.. m. φ. φ.. m. φ. (.1) Nitekim, öceki bölümlerde bahsedildiği üzere çok serbestlik dereceli sistemleri diamik aalizide sistemi ilk d moduu göz öüe alarak hesap yapmak sistemi

20 10 hareket deklemii yaklaşık çözümü içi yeterli olmaktadır. Bu durumda, ilk d mod (d «N) göz öüe alıarak çok serbestlik dereceli söümsüz sistemler içi yaklaşık yerdeğiştirme bağıtısı aşağıdaki şekilde yazılabilir (Chopra, 1995, Gatti ve Ferrari, 003, Clough ve Pezie, 003). u qɺ t φ. q t φ q w. t i ( w. t) (.a) ( 0) d d d ( ) = φ. ( ) =. φ ( 0) cos( ) + s = 1 = 1 w Hız ve ivme vektörlerii zamasal değişimlerii vere bağıtılar (.a) umaralı bağıtıı zamaa göre birici ve ikici türevlerii alıması ile elde edilebilir. d d ( t ) = φ.. q ( t ) =. φ ( q ( 0) w. si ( w. t ) + q ( 0 ) cos( w. t )) uɺ φ ɺ φ ɺ (.b) d = 1 = 1 d d ( t ) = φ.. q ( t ) = φ.. w ( q ( 0) w. c os( w. t ) q ( 0) si ( w. t )) uɺɺ φ ɺɺ φ ɺ (.c) d = 1 = 1 Çok serbestlik dereceli sistemleri söümsüz serbest titreşimi içi (.a)-(.c) umaralı bağıtıları kullaılmasıı hesapsal verimlilik sağlayacağı açıktır; fakat bu bağıtılar ile ilk d mod içi hesaplaa yerdeğiştirme ve ivme vektörlerii sistemi hareket deklemii sağlamadığıda göz öüde buludurulmalıdır. Tüm modlarıı göz öüe alımamasıda doğa bu hataı sayısal değeri ilk d mod içi aşağıdaki bağıtı ile hesaplaabilir. ( t ) k. u ( t) = m. uɺɺ + (.3) d d d Sistemi hareket deklemii yeterli doğruluktaki yaklaşık çözümü içi bu hataı sayısal değerii tüm t zamalarıda sistemi diamik tepklerie kıyasla oldukça küçük değerlerde olması gerekir. Fakat, yeterice büyük d seçildiği taktirde tüm modları göz öüe alımamasıda doğa hataı ormu küçültülebilir. Eğer kabul edilemeyecek kadar büyük değerlerde ise, aalizde göz öüe alıa mod sayısı arttırılmalıdır (Bathe ve Gracewski, 1981).

21 11.1. Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümlü Serbest Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok serbestlik dereceli sistemleri söümlü serbest titreşim hareket deklemi ve bu deklemi çözümüde göz öüe alıacak başlagıç koşulları aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). ( t). ( t) ( t) m. uɺɺ + c uɺ + k. u = 0 (.4) ( 0 ), ( 0) u = u uɺ = uɺ (.5) (.4) umaralı söümlü serbest titreşim hareket deklemii, (.5) umaralı bağıtı ile taımlaa başlagıç koşullarıa bağlı çözümüü modları birleştirilmesi yötemi ile yapabilmek içi (.3) umaralı bağıtı ve zamaa göre ardışık türevleri hareket deklemide yerlerie yazılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N N N m. φ. qɺɺ ( t) + c. φ. qɺ ( t) + k. φ. q ( t) = 0 (.6). r r. r r. r r r = 1 r = 1 r = 1 Yukarıda verile bağıtıdaki tüm terimler sol yaıda Ø T vektörü ile çarpılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N N N T T T ( φ.. m. φ. ) ɺɺ (. φ. c φ. ) ɺ (. φ k. φ ) φ φ q ( t) + φ. φ q ( t) + φ.. φ q ( t) = 0 (.7) r r r r r r r = 1 r= 1 r= 1 (.7) umaralı bağıtıdaki toplamlarda, mod vektörlerii kütle, söüm ve rijitlik matrislerie göre ola ortogoallik özelliğide dolayı sadece r = idisli terimler kalacağıda bağıtı aşağıdaki şekli alır. T T T ( φ.. m. φ. ) ɺɺ ( φ.. c. φ. ) ɺ ( φ.. k φ. ) φ φ q ( t) + φ φ q ( t) + φ. φ q ( t) = 0 (.8) r

22 1 Çok serbestlik dereceli sistemi tek bir moduu modal koordiatlardaki söümlü serbest titreşimii ifade ede (.8) umaralı bağıtı, N adet serbest titreşim modu içi matris formda aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). M. qɺɺ ( t) + C. qɺ ( t) + K. q( t) = 0 (.9) Burada, M = Φ T. m. Φ, C = Φ T. c. Φ, K = Φ T. k. Φ (.9) umaralı bağıtıdaki diyagoal formda ola M ve K, geelleştirilmiş kütle ve rijitlik matrisleri olarak adladırılıp bu matrisleri köşegeleri üzerideki elemalara ise geelleştirilmiş kütle (M ) ve geelleştirilmiş rijitlik (K ) değerleri adı verilir. Bu değerler aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaırlar. M = φ. m. φ, K = φ. k. φ (.30) T T.... Şayet, (.4) umaralı bağıtı ile verile hareket deklemideki c matrisi, (.6) ve (.7) umaralı bağıtılarda uygulaa işlemler ile diyagoal formdaki C matrisie döüştürülebiliyorsa, bu sistemlere klasik söümlü sistem adı verilir ve bu sistemler tüm matrislerii (m, c, k) diyagoal forma döüştürülebilmesi dolayısı ile serbest titreşim modlarıa ayrıklaştırılabilir. Burada C matrisie geelleştirilmiş söüm matrisi, bu matrisi köşegei üzerideki elemalara geelleştirilmiş söüm değerleri (C ) adı verilir. Bu değerler aşağıdaki bağıtı ile hesaplaırlar. C = φ. c. φ (.31) T.. Eğer, (.4) umaralı bağıtı ile verile hareket deklemideki c matrisi, söümü sistem içideki dağılımıa veya ele alıa problemi yapısıa bağlı olmakla beraber diyagoal forma döüştürülemiyor ise, bu sistemlere klasik olmaya söümlü sistem

23 13 adı verilir. Klasik olmaya söümlü sistemlerde, sistemi serbest titreşim modlarıa ayrıklaştırılamamasıda dolayı (.4) umaralı matris formda verile diferasiyel deklemler sistemii başlagıç koşullarıı da göz öüe alarak eş zamalı çözmek gerekir ki böyle bir çözüm doğruda itegrasyo metotları ile mümküdür (Chopra, 1995, Kasımzade, 004). Klasik söümlü çok serbestlik dereceli sistemi. moduu serbest titreşimii hareket deklemi (.9) umaralı matris formdaki bağıtıı tek bir satırıı ele alımasıyla aşağıdaki şekilde yazılabilir. M. qɺɺ ( t) + C. qɺ ( t) + K. q ( t) = 0 (.3) (.3) umaralı bağıtıdaki tüm terimler M değerie bölüürse, bağıtı aşağıdaki şekli alır. qɺɺ t w qɺ t w q t (.33) ( ) +. ζ.. ( ) +. ( ) = 0 Burada ζ,. moda ait söüm oraıı göstermektedir. (.33) umaralı,. mertebede sabit katsayılı diferasiyel deklemi geel çözümü aşağıdaki bağıtıda verilmiştir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003). ( ) ζ w q ( 0) ζ w t qɺ + q ( t ) = e q ( 0) cos( wd. t ) + si wd. t wd ( ) (.34) Burada w D,. moda ait söümlü açısal frekası göstermekte olup aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. w = w 1 ζ (.35) D (.34) umaralı bağıtı, modal koordiatları zamasal değişimii vere bağıtı olarak (.3) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, modları birleştirilmesi yötemi ile

24 14 klasik söümlü çok serbestlik dereceli sistemleri başlagıç koşullarıa bağlı serbest titreşimii vere bağıtı aşağıdaki şekilde elde edilir. ( 0) +. w. q ( 0) N N ζ. w. t qɺ ζ u( t) = φ.. q ( t) = φ.. e q ( 0) cos( wd. t) + si ( wd. t) = 1 = 1 wd (.36) Yerdeğiştirme vektörüü zamasal değişimii vere bu bağıtı sistemi ilk d modu içi aşağıdaki şekilde yazılabilir. u ( 0) +. w. q ( 0) t q t e ɺ q 0 cos w t si ( w. t) (.37a) d d ζ. w. t q ζ d ( ) = φ.. ( ) = φ.. ( ) ( D. ) + D = 1 = 1 wd Hız ve ivme vektörlerii zamasal değişimlerii vere bağıtılar içise (.37a) umaralı bağıtıı zamaa göre ardışık türevlerii alıması yeterlidir. ( 0) + ζ qɺ ( 0) d d.... w t w q ζ uɺ d ( t) = φ.. qɺ ( t) = φ.. e qɺ ( 0) cos( wd. t) si ( w. ) D t = 1 = 1 1 ζ (.37b) uɺɺ d d ζ. w. t ζ d ( t) = φ.. q ɺɺ ( t) = φ.. e ( w. q ( 0) +. ζ. w. q ( 0) ) cos( wd. t) = 1 = 1 ɺ ζ ζ + ( ) + ( ζ ) w qɺ ( ). w. q si 1 ζ ( w. t) D (.37c) Çok serbestlik dereceli sistemleri söümlü serbest titreşim aalizide sistemi tüm titreşim modları yerie ilk d modu göz öüe alımasıda kayaklaa hataı sayısal değeri aşağıdaki bağıtı ile hesaplaabilir. ( t ) ( t). ( t) = m. uɺɺ + c. uɺ + k u (.38) d d d d

25 Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümsüz Zorlamış Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok serbestlik dereceli sistemleri söümsüz zorlamış titreşim hareket deklemi ve bu deklemi çözümüde göz öüe alıacak başlagıç koşulları aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). ( t) + ( t) = ( t) m. uɺɺ k. u p (.39) ( 0 ), ( 0) u = u uɺ = uɺ (.40) Sistemi (.39) umaralı zorlamış titreşim hareket deklemii, (.40) umaralı bağıtı ile taımlaa başlagıç koşullarıa bağlı çözümüü modları birleştirilmesi yötemi ile yapabilmek içi (.3) umaralı bağıtı ve zamaa göre ikici türevi hareket deklemide yerlerie yazılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N. r r. r r r= 1 r= 1 N ( ) m. φ. qɺɺ ( t) + k. φ. q ( t) = p t (.41) Yukarıda verile bağıtıdaki tüm terimler sol yaıda Ø T vektörü ile çarpılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N N T T T ( φ.. m. φ. r ) qɺɺ r ( t) + (. φ. k.. φr ) qr ( t) =. φ. p ( t) φ φ φ φ φ (.4) r = 1 r= 1 (.4) umaralı bağıtıdaki toplamlarda, mod vektörlerii kütle ve rijitlik matrisie göre ola ortogoallik özelliğide dolayı sadece r = idisli terimler kalacağıda bağıtı aşağıdaki şekli alır. ( φ T.... ) ( ) ( T.... ) ( ) T m φ qɺɺ t + φ k φ q t = φ.. p ( t ) φ φ φ φ φ (.43)

26 16 (.43) umaralı bağıtı N adet serbest titreşim modu içi matris formda aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). M. qɺɺ ( t) + K. q( t) = P( t) (.44) Burada, M = Φ T. m. Φ, K = Φ T. k. Φ, P = Φ T. p ( t) (.44) umaralı bağıtıda P, elemaları,. moda ait geelleştirilmiş yük değerleri olarak adladırıla geelleştirilmiş yük vektörüü göstermektedir. Geelleştirilmiş yük değerleri (P ) zamaı foksiyou olarak aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. T ( ) = p( t) P t φ (.45).. Böylece, söümsüz çok serbestlik dereceli sistemi modal koordiatlar ciside zorlamış titreşimii vere hareket deklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir. M. qɺɺ ( t) + K. q ( t) = P ( t) (.46) Söümsüz çok serbestlik dereceli sistemleri dış yükler etkisideki zorlamış titreşimlerii modları birleştirilmesi yötemi ile zama taım aralığıda aalizi, (.46) umaralı hareket deklemii sistemi ilk d modu içi çözülmesi ve bu çözümleri süperpoze edilmesie dayamaktadır. Nitekim bu çözümler,. moda ait geelleştirilmiş yük değerlerii zamaı foksiyou olduğu durumlarda aalitik olarak elde edilebilirse de, bu değerleri foksiyo olmadığı durumlarda çözüm sayısal olarak yapılır. Bu bakımda (.46) umaralı deklemi değişke diamik yükleme durumlarıdaki sayısal çözümüde kullaılabilecek geel amaçlı bir metot gereklidir. Böyle bir metot olarak yük foksiyouu doğrusal iterpolasyoua dayaa metot (piecewise exact method) gösterilmektedir (Nigam ve Jeigs, 1968, Chopra, 1995, Wilso, 00). Bu metot, temelde küçük zama adımları ( t) içi

27 17 modal yük foksiyouu zamasal değişimie doğrusal iterpolasyo yolu ile yaklaşılması ve deklemi parçalı doğrularla taımlaa bu yük foksiyoları içi kesi çözümüü yapılması üzerie kuruludur. (a) M. qɺɺ ( t) + K. q ( t) = P ( t ) (b) t t t M. qɺɺ + K. q = P Şekil.1 a. Modal yük foksiyou b. Modal yük foksiyouu doğrusal iterpolasyou τ 0 τ t olmak üzere, t zama aralığı boyuca zamasal değişimi doğrusal iterpolasyo ile taımlaa. moda ait modal yük foksiyou içi aşağıdaki bağıtı yazılabilir (Nigam ve Jeigs, 1968, Chopra, 1995). t + t t t t P P t P P ( τ ) P P t τ = + = + t τ (.47) Bağıtıdaki terimleri sol üst idisleri ayrık zama oktalarıı göstermekedir. (.47) umaralı bağıtı ile taımlaa modal yük değeri, τ = 0 içi t. P ve τ = t içi t+ t. P değerlerii alır. Bu bağıtıdaki ayrık zama oktaları arasıdaki zamasal sürekliliği τ zama değişkei sağlamaktadır. (.47) umaralı bağıtıda görüleceği üzere doğrusal iterpolasyo yaklaşımı ile x. mertebede (1 < x) ola modal yük foksiyou, aalitik çözümleri bilie

28 18 foksiyoa; dikdörtge yük foksiyoua ve üçge yük foksiyoua ayrılmış olur. Böyle bir yaklaşım yüksek mertebede yük foksiyoları içi kullaıla zama adımı büyüklüğüe bağlı olarak hata içerse de, güçlü yer ivmeleri gibi zamasal değişimi doğrusal ola yük foksiyoları söz kousu olduğuda bu yaklaşımla kesi çözümler elde edilebilir; çükü doğrusal değişe yük foksiyoları zate şekil b de gösterile formdadır. Böylece, zamasal değişimi doğrusal iterpolasyo yaklaşımı ile yeide taımlaa modal yük foksiyou içi (.45) umaralı bağıtı aşağıdaki şekli alır. t t P M. qɺɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = P + τ (.48) t Yukarıda verile bağıtıı sağ yaıdaki ilk terim dikdörtge yük foksiyouu, ikici terim ise üçge yük fosiyouu temsil etmektedir. (.48) umaralı bağıtı ile elde edilecek ola, modal koordiatları t zama aralığı boyuca ola zamasal değişimii hesabı aşağıdaki bağıtılar ile verile üç bağımsız problemi çözümüü gerektirir. A. M. qɺɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = 0 deklemii τ = 0 daki başlagıç koşulları içi çözümü: t t q t t q ( τ ) = q cos( w. τ ) + ɺ si ( w. τ ) ( q ( 0 ) = q, qɺ ( 0 ) = qɺ ) (.49) w t B. M. qɺɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = P deklemii çözümü: q t P = ( ) (.50) K ( τ ) 1 c os( w. τ ) t P C. M. qɺɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = τ deklemii çözümü: t q ( τ ) ( w τ ) t P si. τ = K t w. t (.51)

29 19 (.49)-(.51) umaralı aalitik çözümleri süperpozisyou ile elde edile. moda ait modal yerdeğiştirme bağıtısı aşağıdaki şeklide yazılabilir. t t qɺ P q q w w w t ( τ ) = cos(. τ ) + si (. τ ) + ( 1 cos(. τ )) w K ( w. τ ) t P si τ + K t w. t (.5) Yukarıda verile bağıtıda t. P i yerie ( t+ t. P t. P ) yazılırsa ve bağıtıdaki değişkeler düzeleirse, modal yerdeğiştirme bağıtısı aşağıdaki şekilde yazılabilir. ( τ ) = ( τ ) + ( τ ) + ( τ ) + ( τ ) q A. q A. qɺ A. P A. P (.53a) t t t t + t Burada, ( τ ) = s( w τ ) A ( τ ) = ( w τ ) A1 co. 1 si. w 1 1 A τ 3 w w K t w. t ( τ ) = 1 + si (. τ ) cos(. τ ) A 4 1 τ 1 si K t w t ( τ ) = ( w τ ) Modal hız ve modal ivme bağıtıları içi (.53a) umaralı bağıtıdaki foksiyoları τ değişkeie göre birici ve ikici türevleri alıırsa, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. ( τ ) = ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) qɺ A. q A. qɺ A. P A. P (.53b) t t t t + t ( τ ) = ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) qɺɺ A. q A. qɺ A. P A. P (.53c) t t t t + t Burada, A ɺ ( τ ) = w i ( w τ ) ɺ ( τ ) = ( τ ) 1 s A 3 w w w K t t A cos w. ɺ ( τ ) = + si (. τ ) + cos(. τ ) Aɺ ( τ ) = o ( w. τ ) c s K t t

30 0 A ɺɺ ( τ ) = w cos( w τ ) Aɺɺ ( τ ) = w i ( w τ ) 1. 1 w 3. c s. K t s. Aɺɺ ( τ ) = si ( w τ ) + w o ( w τ ) Aɺɺ ( τ ) = si ( w τ ) w 4. K. t (.53a)-(.53c) umaralı bağıtılarda τ yerie t yazılırsa, t+ t zamaıa ait modal yerdeğiştirme, hız ve ivmeyi vere bağıtılar aşağıdaki şekilde elde edilir. q = A. q + A. qɺ + A. P + A. P (.54a) t+ t t t t t+ t qɺ = A. q + A. qɺ + A. P + A. P (.54b) t+ t t t t t+ t qɺɺ = A. q + A. qɺ + A. P + A. P (.54c) t+ t t t t t+ t Burada, = ( ) A = ( w t) A1 cos w. t 1 si. w 1 1 A3 = si ( w. ) c o s (. t w t ) K w. t 1 1 A4 = 1 si ( w. t) K w. t = ( ) A = ( w t) A5 w si w. t 6 cos A7 = w si w. t w. t K + + t t ( ) cos ( ) 1 A8 = w t K. t ( 1 c os(. )) = ( ) A = w ( w t) A9 w cos w. t 10 si. 1 w A11 = si ( w. t) w cos ( w. t) K + t w A = w t ( ) 1 si. K. t (.54a)-(.54c) umaralı bağıtılar kullaılarak çok serbestlik dereceli söümsüz sistemi modal yerdeğiştirme, hız ve ivme değerleri, t = 0, t, t,..., t so ayrık zama oktalarıda hesaplaabilir. Bu bağıtılar kullaılarak, ilk d mod içi sistemi diamik tepki vektörleri aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaabilir.

31 1 ( ɺ ) d d t + t t t t t t t t ud = φ.. + q =. φ. A. q + A. q + A. P + A. + P = 1 = 1 φ φ (.55a) ( 5 6 ) d d t + t uɺ t t t t t t t d = φ.. + q ɺ =. φ. A. q + A. q ɺ + A7. P + A8. + P = 1 = 1 φ φ (.55b) ( ) d d t + t uɺɺ t t t t t t t d = φ.. + q ɺɺ = φ.. A. q + A. q ɺ + A. P + A. + P = 1 = 1 φ φ (.55c) Çok serbestlik dereceli sistemleri söümsüz zorlamış titreşim aalizide ilk d modu göz öüe alımasıda kayaklaa hataı sayısal değeri aşağıdaki bağıtı ile hesaplaabilir (Bathe, 1996). = d (. ɺɺ d. d ) p m u + k u t t t t p, t p 0 (.56) Sistemi diamik tepki vektörlerii hesaplaacağı ayrık zama oktalarıı yük foksiyouu zamasal ayrıklaştırılmasıda kullaıla zama adımı büyüklükleri belirler. Bu büyüklükler fosiyou zama taım aralığı boyuca ayı olabileceği gibi yük foksiyouu zamasal değişimii yakalamak amacı ile şekil. deki gibi değişke değerlerde de olabilir (Bathe ve Cımeto, 1980). P (t) t P t Şekil. Modal yük foksiyouu zamasal ayrıklaştırılması Diğer bir yada, zama adımı büyüklükleri her bir mod içi belirli bir doğruluk düzeyii hedef alarak seçilmelidir. Çok serbestlik dereceli sistemleri. modu içi bu değer t/t 0,1 olarak öerilmektedir (Chopra, 1995, Bathe, 1996, Celep ve Kumbasar, 001, Clough ve Pezie, 003).

32 .1.4 Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Söümlü Zorlamış Titreşimii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Çok serbestlik dereceli sistemleri söümlü zorlamış titreşim hareket deklemi ve bu deklemi çözümüde göz öüe alıacak başlagıç koşulları aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005). ( t) + ( t) + ( t) = ( t) m. uɺɺ c. uɺ k. u p (.57) ( 0 ), ( 0) u = u uɺ = uɺ (.58) (.57) umaralı hareket deklemii (.58) ile taımlaa başlagıç koşullarıa bağlı çözümü içi (.3) umaralı bağıtı ve zamaa göre ardışık türevleri (.57) umaralı hareket deklemide yerlerie yazılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N N N m. φ. qɺɺ ( t) + c. φ. qɺ ( t) + k. φ. q ( t) = p t (.59). r r. r r. r r r= 1 r = 1 r= 1 ( ) Yukarıda verile bağıtıdaki tüm terimler sol yaıda Ø T vektörü ile çarpılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. N N N T T T T (. φ. m. φ. r ) qɺɺ r ( t) + ( φ.. c.. φ r ) qɺ r ( t) + ( φ.. k. φ. r ) qr ( t) =. φ. p ( t) φ φ φ φ φ φ φ (.60) r = 1 r= 1 r = 1 Yukarıda verile bağıtıdaki toplamlarda, mod vektörlerii kütle, söüm ve rijitlik matrislerie göre ola ortogoallik özelliğide dolayı klasik söümlü sistemlerde sadece r = idisli terimler kalacağıda bağıtı aşağıdaki şekli alır. T T T T ( φ.. m. φ. ) qɺɺ ( t) + ( φ.. c. φ. ) qɺ r ( t) + ( φ.. k. φ. ) q ( t) = φ.. p( t) φ φ φ φ φ φ φ (.61) (.61) umaralı bağıtıı, N adet serbest titreşim modu içi matris formda ifadesi aşağıdaki şeklide yazılabilir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003, Çatal, 005).

33 3 M. qɺɺ ( t) + C. qɺ ( t) + K. q( t) = P( t) (.6) Burada, M = Φ T. m. Φ, C = Φ T. c. Φ, K = Φ T. k. Φ, P = Φ T. p ( t) Klasik söümlü sistemleri mod birleştirme yötemi ile zama taım aralığıda diamik aalizleri içi de modal yük foksiyouu doğrusal iterpole edilmiş formuu kullaılması uygudur. Bu amaç doğrultusuda göz öüe alıacak (.61) umaralı bağıtı aşağıda verile şekilde yazılabilir. t+ t t t t P P t P M. q ( τ ) C. q( τ ) K. q( τ ) P P t τ ɺɺ + ɺ + = + = + t τ (.63) 0 τ t olmak üzere, yukarıda verile modal koordiatlardaki hareket deklemii çözümü içi ele alıacak problemler ve aalitik çözümleri aşağıdaki bağıtılar ile verilmiştir. A. M. qɺɺ ( τ ) + C. qɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = 0 deklemii başlagıç koşulları içi çözümü: ( ) ( ) t t.. ( )... cos (. ) si (. ) 0 = t q q ζ w τ t qɺ + ζ w q q τ = e q wd τ + wd τ t wd q 0 = q ɺ ɺ (.64) t B. M. qɺɺ ( τ ) + C. qɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = P deklemii çözümü: P q e w w t ζ τ ζ D D K 1 ζ. w. ( τ ) = 1 cos(. τ ) + si (. τ ) (.65) t P C. M. qɺɺ ( τ ) + C. qɺ ( τ ) + K. q ( τ ) = τ deklemii çözümü: t

34 4 t P τ. ζ ζ w τ ζ ζ q ( τ ) = + e cos( wd. τ ) + s i( wd. τ ) K t w. t w. t wd. t (.66) (.64)-(.66) umaralı aalitik çözümleri süperpozisyou ile elde edilecek,. moda ait modal yerdeğiştirme bağıtısı aşağıdaki şeklide yazılabilir. t t qɺ + ζ. w. q q e q w w wd ζ. w. τ t ( τ ) =. cos (. τ ) + si (. τ ) D D P e w ζ w t ζ. w. τ + 1 cos D + si K 1 ζ (. τ ) (. τ ) τ ζ.. 1 w τ e cos( wd. τ ).. D. t D t P. ζ. ζ. ζ K t w t w t w si( w D. τ ) (.67) Yukarıda verile bağıtıda t. P i yerie ( t+ t. P t. P ) yazılırsa ve bağıtıdaki değişkeler düzeleirse, modal yerdeğiştirme bağıtısı aşağıdaki şekilde yazılabilir. ( τ ) = ( τ ) + ( τ ) + ( τ ) + ( τ ) q B q B qɺ B P B P (.68a) t t t t+ t Burada, ζ τ ζ B si. 1 e w D w 1 ζ. ( ) w. τ = ( τ ) + cos (. τ ) ζ.. 1 ( ) w τ B τ e si ( w. τ ) = D wd 1 3 ( ) τ. ζ ζ w τ ζ ζ B τ = e + + si( w. ).. D τ K t w t wd t 1 ζ. ζ 1+ cos( wd. τ ) w. t 1 τ. ζ ( ) ζ w τ ζ ζ B τ = + e si( w. ) D τ + cos( wd. τ ) K t w. t wd. t w. t D

35 5 Modal hız ve modal ivme bağıtıları içi (.68a) umaralı bağıtıdaki foksiyoları τ değişkeie göre birici ve ikici türevleri alıırsa, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. ( τ ) = ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) + ɺ ( τ ) qɺ B q B qɺ B P B P (.68b) t t t t+ t ( τ ) = ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) + ɺɺ ( τ ) qɺɺ B q B qɺ B P B P (.68c) t t t t+ t Burada, w Bɺ 1 e w 1 ζ ζ.. ( ) w τ τ = si (. τ ) Bɺ ζ τ ζ e wd w 1 ζ. ( ) w. τ = cos(. τ ) si (. τ ) D 1 1 ζ τ w ζ 1 Bɺ 3 e w D w K t 1 ζ 1 ζ t t. w. ( τ ) = + + si(. τ ) + cos(. τ ) 1 ζ.. 4 ( ) 1 w τ ζ Bɺ τ = e si( w. ) cos(. ). D τ + wd τ K t 1 ζ D D Bɺɺ 1 w e w w.. ( ). w τ = si (. τ ) cos(. τ ) ζ τ ζ D D 1 ζ Bɺɺ w e w w ζ τ. ζ D D 1 ζ.. 1 ( ). w τ = si (. τ ). ζ co s(. τ ) w. w. t 1 Bɺɺ ζ τ ζ + 3 e si( w ) w os w K 1 ζ t ɺɺ. w. ( τ ) =. τ + c (. τ ) ( τ ) 1 si(. τ ) ζ. w. τ B4 = e w. D K t 1 ζ w D D (.68a)-(.68c) umaralı bağıtılarda τ yerie t yazılırsa, t+ t zamaıa ait modal yerdeğiştirme, hız ve ivmeyi vere bağıtılar aşağıdaki şekilde elde edilir.

36 6 q = B. q + B. qɺ + B. P + B. P (.69a) t+ t t t t t+ t qɺ = B. q + B. qɺ + B. P + B. P (.69b) t+ t t t t t+ t qɺɺ = B. q + B. qɺ + B. P + B. P (.69c) t+ t t t t t+ t Burada, ζ (. ) cos (. ) ζ.. B1 = e w t si w D t + wd t 1 ζ 1 si (. ) ζ. w. t B = e wd t wd 1. ζ.. 1. ζ w t ζ ζ B3 = + e si( w. ).. D t K w t wd t 1 ζ. ζ 1+ cos( wd. t ) w. t 1. ζ ζ w t ζ ζ B = + e si ( w. ) D t + c os( wd. t) K w. t wd. t w. t w (. ) ζ. w. t B5 = e si w D t 1 ζ ζ. w. ζ B6 = e t cos ( w. ) D t si ( w. ) D t 1 ζ 1 1 w ζ 1 ( ) ζ. w. t B7 = + e + si( w. ) cos. D t + wd t K t 1 ζ 1 ζ t t 1 ζ.. ζ 8 1 w B = e t si( w. ) cos(. ). D t + wd t K t 1 ζ

37 7 ζ.. 9. w ζ B = w t e si ( w. ) cos(. ) D t wd t 1 ζ... 1 B10 w. w t e ζ ζ = si ( w. ). cos(. ) D t ζ wd t 1 ζ w w t w t B11 e ζ ζ + = si( w. ) cos (. ) D t + w wd t K 1 ζ t 1 w si. ) ζ. w. t B1 = e ( w. D t K t 1 ζ Đlk d mod içi sistemi diamik tepki vektörleri ayrık zama oktalarıda aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaabilir. ( ɺ ) d d t+ t t+ t t t t t+ t ud = φ.. q =. φ. B. q + B. q + B. P + B. P = 1 = 1 φ φ (.70a) ( 5 6 ) d d t + t uɺ t t t t t t t d = φ.. + q ɺ =. φ. B. q + B. q ɺ + B7. P + B8. + P = 1 = 1 φ φ (.70b) ( ) d d t + t uɺɺ t t t t t t t d = φ.. + q ɺɺ = φ.. B. q + B. q ɺ + B. P + B. + P = 1 = 1 φ φ (.70c) Klasik söümlü çok serbestlik dereceli sistemleri zorlamış titreşim aalizide ilk d modu göz öüe alımasıda kayaklaa hataı sayısal değeri aşağıdaki bağıtı ile hesaplaabilir. = d (. ɺɺ. ɺ d d. d ) p m u + c u + k u t t t t t p, t p 0 (.71)

38 8.1.5 Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Güçlü Yer Đvmeleri Etkisideki Zorlamış Titreşimlerii Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizi Yatay yer hareketi etkisideki çok serbestlik dereceli sistemleri zorlamış titreşim hareketii t aıda, sistemi j. serbestlik dereceside topaklamış m j kütlesii yatay yerdeğiştirme değeri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Bağıtıda u g, yer hareketii; u t j, kütlei mutlak yerdeğiştirmesii; u j ise kütlei yere göre ola relatif yerdeğiştirmesii göstermektedir (Chopra, 1995). ( ) ( ) ( ) u t = u t + u t (.7) t j j g u b t u a t u b u a B A u g Şekil.3 Yatay yer hareketi etkisideki düzlemsel çerçeve sistemi A. ve B. serbestlik derecelerideki kütleleri relatif ve mutlak yerdeğiştirmeleri

39 9 (.7) umaralı bağıtı ile taımlaa, m j kütlesii mutlak yerdeğiştirme değeri kütlei yere göre ola relatif yerdeğiştirme değeri ile yer hareketii cebirsel toplamı olarak göz öüe alımalıdır; çükü kütlei relatif yerdeğiştirmeleri, seçile referas ekseie göre hem pozitif hem egatif değerler alabilir (şekil.3). (.7) umaralı bağıtı sistemi serbestlik dereceleride topaklamış tüm kütleler içi geelleştirilecek olursa, mutlak yerdeğiştirme vektörü içi aşağıdaki ifade yazılabilir. ( t) = ( t) + u ( t) t u u ı. g (.73) Burada u.t, mutlak yerdeğiştirme vektörüü ve ı, etki vektörüü göstermektedir. Etki vektörü ı, statik olarak uygulaa birim yer hareketi içi serbestlik derecelerii yerdeğiştirmelerii gösterir (Chopra, 1995, Clough ve Pezie, 003). (.73) umaralı bağıtı ile verile mutlak yerdeğiştirme vektörüü zamaa göre ikici türevi, sistemi serbestlik derecelerie doğruda etkiye bir dış yük olmaması dolayısı ile sağ yasız hareket deklemide ivme vektörü olarak yerie yazılırsa ve bağıtı düzeleirse, çok serbestlik dereceli sistemleri yatay yer hareketi etkisideki zorlamış titreşim hareketii taımlaya aşağıdaki bağıtı elde edilir. ( t) + ( t) + ( t) = uɺɺ ( t) m. uɺɺ c. uɺ k. u m. ı. g (.74) Yukarıda verile hareket deklemide, mutlak yerdeğiştirme vektörüü sadece ivme vektörü olarak dikkate alımasıı sebebi yalızca atalet kuvvetlerii mutlak yerdeğiştirmeler ile oratılı olmasıda dolayıdır. Sistemde meydaa gele söüm kuvvetleri ve elastik kuvvetler ise relatif hızlara ve relatif yerdeğiştirmelere bağlıdır (Chopra, 1995, Celep ve Kumbasar, 001). (.74) umaralı bağıtıda, eşitliği sol yaıdaki m.ı.ü g (t) vektörüü elemaları efektif deprem yükleri olarak adladırılır ve bu vektör yer ivmelerii sistem içideki uzaysal dağılımıı simgelemektedir. Etki vektörüe ve efektif deprem yüklerie örek olması bakımıda şekil.4 de verile çok serbestlik dereceli düzlemsel çerçeve sistemi ele alalım (Chopra, 1995).

40 30 Şekil.4 a. L formudaki düzlemsel çerçeve sistem b. Etki vektörü c. Efektif deprem yükleri Şekil.4b de görüleceği üzere yatay birim yer hareketi içi etki vektörüü u 1 ve u yatay serbestlik derecelerie karşı gele elemaları 1, düşey serbestlik derecesi ola u 3 e karşı gele elemaı ise 0 olmaktadır (ı = [1,1,0] T ). Bu durum sistemde döme serbestlik derecelerii buluması durumu içi de geçerlidir. Kısaca, yatay birim yer hareketi içi çok serbestlik dereceli sistemlerde etki vektörüü yalızca sistemi yatay serbestlik derecelerie karşı gele değerlerii 1 olacağı söyleebilir. Şekil.4c de sistemde taımlı elemaları ekseel olarak sosuz rijit olduğu kabulü içi efektif deprem yüklerii sistem içideki dağılımı gösterilmektedir. Böyle bir kabul doğrultusuda, u serbestlik derecesi içi m ve m 3 topaklamış kütleleri ayı ivme ile hareket edecektir ki, bu durum rijit diyafram davraışıa (kabulüe) karşılık gelmektedir. Çalışmaı sayısal uygulamalar bölümüde yapısal sistemlerde rijit diyafram davraışı güçlü yer ivmeleri etkisideki düzlem çerçeve sistem modelleri üzeride ile zama taım aralığıda diamik aalizler ile araştırılacaktır. (.74) umaralı bağıtıı sağ yaıda bulua ve yer ivmelerii çarpaı ola m.ı vektörü, yerdeğiştirme vektörü gibi N adet doğrusal bağımsız vektörü toplamı olarak ayrıştırılabilir. Böyle bir ayrıştırma ile yer ivmelerii geliklerii hem sistemi serbestlik derecelerie göre ola dağılımı hem de serbest titreşim modlarıa göre ola dağılımı hakkıda bilgi edimek mümkü olur. Bu amaç doğrultusuda aşağıdaki bağıtı yazılabilir (Chopra, 1995). m N. ı = Γ. m. φ (.75) r= 1 r. r

41 31 (.75) umaralı bağıtı her iki yaıda Ø T vektörü ile çarpılırsa, aşağıdaki bağıtı elde edilir. T ( m ) N T.. m. = Γr.... r r= 1 φ ı φ φ (.76) Yukarıda verile bağıtıda mod vektörlerii kütle matrisie göre ola ortogoallik özelliği dikkate alıır ise, bağıtı aşağıdaki şekli alır. φ. m. ı φ. m. ı Γ = = φ T T.. T.. m. φ. M (.77) (.77) umaralı bağıtı ile taımlaa Γ, modal katılım çarpaı olarak adladırılır ve bu çarpa,. modu sistemi diamik tepkilerie yaptığı katılımı bir göstergesi olarak görülebilir. Fakat bu çarpa, hesaplamasıda kullaıla mod vektörlerii ormalleştirilmesi içi seçile yöteme bağlı olduğu içi sadece mutlak büyüklük olarak görülmelidir. Modal katılım çarpaı, farklı modlar içi hem pozitif hem de egatif değerler alabilirse de yüksek modlara doğru mutlak büyüklüğü azalır. Bu bakımda, geel formdaki bir diamik yük içi ya da deprem yükleri söz kousu olduğu zama çok serbestlik dereceli sistemler 1. modda titreşme eğilimi gösterirler. (.77) umaralı bağıtı ile taımlaa modal katılım çarpaı, güçlü yer ivmeleri etkisideki çok serbestlik dereceli sistemi. moduu zorlamış titreşim hareket deklemide yerie yazılır ve elde edile bağıtı düzeleirse, aşağıdaki bağıtı elde edilir. ( ) +... ( ) +. ( ) = Γ. g ( ) qɺɺ t ζ w qɺ t w q t uɺɺ t (.78) (.78) umaralı bağıtıdaki tüm terimler Γ değerie bölüürse, bağıtı aşağıdaki şekli alır (Chopra, 1995). ( ) +... ( ) +. ( ) = g ( ) Dɺɺ t ζ w Dɺ t w D t uɺɺ t (.79)

42 3 Burada, q ( t) = Γ. D ( t), qɺ ( t) = Γ. Dɺ ( t), qɺɺ ( t) = Γ. Dɺɺ ( t) (.79) umaralı bağıtıda, öceki bölümde alatıla sayısal çözüm metodu ile tüm modlar içi D değerleri buluur ve ardıda (.80) umaralı bağıtılarda verile şekilde, öce modal koordiatlara daha sorada geometrik koordiatlara geçilerse, güçlü yer ivmeleri etkisideki çok serbestlik dereceli sistemleri zama taım aralığıda diamik aalizi tamamlamış olur. Đlk d mod içi sistemi diamik tepki vektörleri ayrık zama oktalarıda aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaabilir. ( ɺ ) d d t + t t t t t t t t ud = φ.. + q =. φ. Γ B1. D + B. D + B3. P + B4. + P = 1 = 1 φ φ (.80a) ( ɺ ) d d t+ t t+ t t t t t + t uɺ d =. φ. qɺ = φ.. Γ B. D + B. D + B. P + B. P = 1 = 1 φ φ (.80b) ( ɺ ) d d t+ t t+ t t t t t+ t uɺɺ d = φ.. qɺɺ = φ.. Γ B. D + B. D + B. P + B. P = 1 = 1 φ φ (.80c) Çalışmaı sayısal uygulamalar bölümüde, güçlü yer ivmeleri etkisideki düzlem çerçeve sistem modellerii zama taım aralığıda diamik aalizide kullaılmak üzere geliştirile bilgisayar programı ZA_TA (Ek1), mod birleştirme yötemi içi (.80a)-(.80c) umaralı bağıtıları kullamaktadır..1.6 Modları Birleştirilmesi Yötemi ile Zama Taım Aralığıda Diamik Aalizde Özel Aaliz Metotları Öceki bölümlerde bahsedildiği üzere çok serbestlik dereceli sistemleri diamik aalizleride, sistemi tüm serbest titreşim modlarıı hesaba katılmaması göz öüe alıa mod sayısıa bağlı olmakla beraber belirli bir hata yaratır. Bu hataı sayısal değerii azaltılması ya da ortada kaldırılması içi statik düzelteme metodu ve mod ivme süperpozisyo metodu olarak adladırıla metot mevcuttur. Bu

43 33 metotları dayadığı teorik yapı aşağıda verile parametreler ile yakıda ilişkilidir (Clough ve Pezie, 003). 1. Diamik dış yükü uzaysal dağılımı ile mod şeklii etkileşimi sayılabilecek ola modal katılım çarpaı. Diamik dış yükü frekas içeriğie ve söz kousu modu serbest titreşim frekasıa bağlı ola diamik büyütme çarpaı Bu parametrelerde modal katılım çarpaı öceki bölümlerde ele alımıştı. Diamik büyütme çarpaıı dayadığı teori içi, (.81) umaralı bağıtı ile verile harmoik yük etkisideki söümlü çok serbestlik dereceli sistemi. moduu zorlamış titreşim hareket deklemii ele alalım. P qɺɺ t +.. w. qɺ t + w. q t =. ( w. t) (.81) 0 ( ) ζ ( ) ( ) si M Burada P 0, harmoik yük foksiyouu. moddaki geliğii; foksiyouu açısal frekasıı göstermektedir. (.81) umaralı bağıtıı geel çözümü aşağıdaki bağıtıda verilmiştir (Chopra, 1995, Celep ve Kumbasar, 001, Kasımzade, 004). ( ) ζ.. ( ) = w t. cos(. ) +. si (. ) q t e A w t B w t D D P 1 ( 1 Ψ ) + (. ζ. Ψ) ( 1 ) si ( w. t). ζ. cos( w. t) 0 + K Ψ Ψ (.8) Burada Ψ = w /w olmak üzere, Ψ frekas oraıı göstermektedir. Bu bağıtıdaki A ve B sabitleri başlagıç koşullarıa bağlı olarak hesaplaabilir. (.8) umaralı bağıtı ile verile çözümü ilk parçasıı modu davraışıa ola etkisi üstel foksiyoda dolayı zamala azalır, bu edele bu parça geçici titreşim olarak isimledirilir. Đkici parça ise dış yükle ayı frekasta ola karalı titreşimi temsil eder (Celep ve Kumbasar, 001). (.8) umaralı bağıtı, geçici titreşimi zamala söümlemesi dolayısı ile yalızca kararlı titreşim esas alıarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. Bağıtıdaki p idisi özel çözümü simgelemektedir.