biçimindedir. Determinant hesaplamalarının nasıl yapılacağına ileride değinilecektir.

Transkript

1 DETERMİNANT 1.GİRİŞ Tım: Determit, : M biçimide tıml bir foksiyodur. Bu foksiyo, boyutu x ol bir mtrisi elemlrı kullılrk bir reel syı üretir. Bu elemlrı sırlışı, Δ biçimidedir. Determit hesplmlrıı sıl ypılcğı ileride değiilecektir. Bir determitı foksiyoel gösterimi: şeklidedir v1 v v 1 ( v, v,..., v ) 1 Geometrik olrk bu skler büyüklük determitı oluştur vektörleri rsıd kl l, hcim vs. değerie krşılık gelir. y C( , 1 + ) B( 1, ) A( 11, 1 ) O B A C x 1

2 ( v1, v) l = içi determit, vektörleri oluşturmuş olduğu prlelkerı lıı verir..determinant HESAPLAMA YÖNTEMLERİ.1 DETERMİNANT FONKSİYONU Tım: boyutu ol bir determit olsu. Determit foksiyou det() y d gösterilir. det() determitı tüm işretli elemter çrpımlrıı toplmıdır: det A 1 1 j j j det(a) syısı A ı determitı olrk dldırılır. Δ ile Tım: Bir determitıdki (i=1,,) elemlrı deir. elemlrı sl köşege y d sdece köşege.1.1 Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {1,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (1,, 3), (, 1, 3), (3, 1, ) (1, 3, ), (, 3, 1), (3,, 1) Tım: Bir tm syılr {1,,, } kümesideki elemlrı frklı tüm mümkü sırlmlrıı syısı (Permütsyo syısı):! 1.1 Tım: Bir tm syılr {1,,, } kümesideki elemlrı her hgi bir permütsyou geel olrk: j1, j,, j.1. Ters Döüşüm Syısı

3 Tım: Bir j1, j,, j permütsyoudki ters döüşüm (iversio) syısı bu permütsyodki büyük bir syıyı tkip ede küçük syılrı syısıdır: 1. j1, j,, j permütsyoud j 1 syısıı tkip ede küçük syılrı syısı belirleir,. j1, j,, j permütsyoud j syısıı tkip ede küçük syılrı syısı belirleir, 3. Bu işlem j -1 syısı kdr sürdürülür, 4. Bulu syılr toplır. Elde edile toplm syı j1, j,, j permütsyouu ters döüşüm syısıdır. Tım: Bir permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı çift bir syı ise çift permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı tek ise tek permütsyo olrk dldırılır. Örek: Aşğıdki permütsyolrı ters döüşüm syılrıı buluuz. (6, 1, 3, 4, 5, )= =8 (, 4, 1, 3) =1++0 =3 (1,, 3, 4) =0+0+0 =0 Örek: {1,, 3} tm syılr kümesii tüm mümkü permütsyolrıı tek y d çift olrk belirleyiiz. Permütsyo Ters Döüşüm Syısı Sııflm (1,, 3) 0 Çift (1, 3, ) 1 Tek (, 1, 3) 1 Tek (, 3, 1) Çift (3, 1, ) Çift (3,, 1) 3 Tek 3 3 boyutlu mtrisi determitı det A şeklide ifde edilebilir. Bu ifdedeki 6 terim dikktlice icelediğide, mtrisi her bir stır ve sütuudki bir elemı üçlü çrpımı şeklide olduğu görülmektedir. 3

4 Bir bşk deyişle, kre mtrisi içeriside her bir stır ve sütud bir örütü oluşturck şekilde syı seçilir. E bsit örütü, her bir elemı ii ye dek geldiği köşege örütüdür. Boyutu ol bir mtriste kç det örütü buluur? Bu soruu cevbı içi sütulrd sırsıyl bir örütü oluşturulsu. İlk sütu içi frklı seçim ypılbilir. Bulrı her biri içi bir sorki sütud -1 seçeek klır. Böylelikle ilk iki sütu içi (-1) frklı seçim ypılbilir. Bulrı d her biri içi bir sorki sütud - seçeek buluur ve seçim böylece devm eder. So sütu gelidiğide seçilmemiş sdece bir stır klır. Souç olrk boyutlu bir mtris içi (-1)(-) 3..1 frklı örütü oluşturulbilir. Boyutu 3 3 ol bir mtristeki P örütüsü içi, örütüdeki tüm elemlrı çrpımı (elemter çrpım) prod P ile gösterilir. Öreği, P,, prod P.. dir. Ayrıc, det A prodp şeklide tıml bir örütü içi, yzılbilir. Burd toplm, 3 3 boyutlu mtristeki ltı det P örütüsü üzeride ypılmktdır. Bir sorki dımd bu ltı elemı işretleri icelemelidir. Bu işretler, determitı dlglı değişe işret özelliğiyle ilişkilidir. Öreği, det 0 0 det 0 0 det Stırlr yer değiştirilerek köşege hle getirilebilir. Bu dek olrk, stır değişimlerii symd işreti thmi etmei yolu bulumktdır. Bir örütüdeki iki syı, biri diğerii sğıd ve üzerideyse işret değişimilidir. Boyutu 3 3 ol mtristeki 6 örütüdeki işret değişimi syısı ele lısı: det A

5 İşret değişimi yok İşret değişimi İşret değişimi İşret değişimi 1 İşret değişimi 1 İşret değişimi Burd görülebileceği gibi det A prodp formülüdeki prod P i işreti, P deki işret değişimi syısı bğlıdır. Eğer bu syı çift ise işret rtı, tek ise eksidir. Böylece, P'deki işret değişimi syısı det A 1 prodp yzılbilir. Eğer P örütüsüü işreti sg det A sg P prodp 'deki işret değişimi syısı 1 P P şeklide tımlırs, olrk ifde edilebilir. Altertif olrk işret, sütü değişimleri ciside de ifde edilebilir. Eğer P örütüsü p det sütu değişimi ile köşege hle getirilebiliyors, sg Tım: Örütüler, İşret değişimiler ve Determitlr P yzılbilir. Boyutu ol bir A mtriside bir P örütüsü, her bir stır ve sütud ylızc bir elem seçilecek şekilde frklı biçimde oluşturulbilir. P örütüsüü elemlrıı çrpımı (elemter çrpım), prod P ile gösterilir. Bir örütüdeki elemlrd ikisi, mtriste biri diğerii sğıd ve üzerideyse işret değişimilidir. Bir örütüü işreti, sg A mtrisii determitı, 'deki işret değişimi syısı 1 P P şeklide tımlır. det A sg P prodp şeklidedir ve toplm işlemi A mtrisideki! det P örütüsü üzeride ypılmktdır. Böylelikle, çift syıd işret değişimie ship örütülere it çrpımlr toplıp tek syıd işret değişimie ship örütülere it çrpımlr çıkrılmktdır. Örek: Yukrıdki tımlr boyutlu bir mtris içi uygulsı. 1 p Boyutu ol bir b A c d mtrisi içi det örütü vrdır: c b d c b d 5

6 İşret değişimi yok 1 İşret değişimi 0 1 Bu edele det Elemter Çrpım A d bc d bc. Tım: Bir boyutlu A determitıı, yı sır ve sütud gelmeye det elemıı çrpımı elemter çrpım deir. Örek: boyutlu A determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. A Çözüm: Stırlr bz lıdığıd }. Permütsyolr (1, ) ve (, 1) 1.. Noktlrı yerie permütsyolr kork elemter çrpımlr: Noktlr sütulrı temsil etmektedir. İki sütu olduğud {1, 11 ve 11 Örek: 33 boyutlu A determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. A Çözüm: Stırlr bz lıdığıd Noktlr sütulrı temsil etmektedir. Üç sütu olduğud {1,, 3}. Permütsyolr (1,, 3), (1, 3, ), (, 1, 3), (, 3, 1), (3,, 1), (3, 1, ) Noktlrı yerie kork elemter çrpımlr: 11 33, 113 3, 11 33, 13 31, 13 31, Tım: Bir boyutlu A determitıı, işretli elemter çrpımı çrpımı -1 y d +1 ile çrpımıdır. elemter 1j1 j j Eğer j1, j,, j permütsyou çift permütsyo ise 1j1 j j Eğer j1, j,, j permütsyou tek permütsyo ise 1 1j j j Örek: boyutlu A determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. A Çözüm: Elemter Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşretli Elemter Çrpım 6

7 Çrpım İşret (1, ) 0 Çift (, 1) 1 Tek Örek: 33 boyutlu A determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. A Çözüm: Elemter Çrpım Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşret İşretli Elemter Çrpım (1,, 3) 0 Çift (1, 3, ) 1 Tek (, 1, 3) 1 Tek (, 3, 1) Çift 31 (3, 1, ) 131 Çift 3 (3,, 1) 13 3 Tek Örek: boyutlu A determitıı A değerii buluuz. det A Çözüm: Örek: 33 boyutlu A determitıı 7

8 A değerii buluuz. Çözüm: A det Determit foksiyou bir sklerdir ELEMANTER SATIR (SÜTUN) İŞLEMLERİ Tım: Bir determitı, mtrisi y d doğrusl deklem sistemii dek determit, mtris y d deklem sistemie döüştüre işlemlere elemter işlemler deir. 1. İki Stırı (sütuu) değiştirilmesi,. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılmsı, 3. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılıp bir diğer stır (sütu) eklemesi. Elemter işlemler: Geel olrk stır işlemleri içi R, sütu işlemleri içi C kullılır: j-ici stır ile i-ici stırı yer değiştirmesir ji j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılmsır j(k) j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılıp i-ici stır ile toplmsı R ji(k) Echelo Determit Bir determit i1 i i 1 Elemter stır (sütu) işlemleri kullılrk,

9 Echelo determit döüştürülebilir. Örek: Aşğıd verile determitı elemter işlemler ile Echelo determit döüştürüp değerii buluuz. A Çözüm: det Δ R R R R R MİNÖRLER Tım: Boyutu ol bir Δ determitıd i-ici stır ve j-ici sütud yer l elemıı buluduğu stır ve sütu siliir. -1 boyutlu yei bir determit elde edilir. Bu determit M ile gösterilir ve bu elemıı miörü deir. İşretli Miör Tım: Miör determitı kullılrk, A=(-1)i+j M yei bir determit tımlırs, bu elemıı işretli miörü (kofktörü, eş çrpı) deir. Determitı Bir Sıry Göre Açılımı Tım: Bir Δ determıtıı, bir sır (sütu) elemlrıı tümü içi işretli miörler oluşturulur. İşretli miörler kedilerie it elemlrl çrpılrk determitı çılımı elde edilir Δ A A A i1 i i i1 i1 i i i i 1 Öemli: Determitı herhgi bir stırıı (sütuu) elemlrı ile frklı herhgi bir stırıı (sütuu) işretli miorlerii çrpımlrıd elde edile toplm sıfırdır. 9

10 A A A i1 k1 i k i k 0 i k içi Öemli: Bir determitı 1.stır,.stır,.stır, 1.sütu,. sütu,,.sütu göre çılımlrıı tümü birbirie eşittir. Örek: A determitıı değerii ikici sütu göre çrk buluuz. Çözüm: 1 1 A1 1 M A 1 M A3 1 M det A Uyrı: Srrus Kurlı Üç boyutlu bir determitı prtik yold hesplmsı : ( ) Öemli: Sdece 3 boyutlu determitlrd kullılır. 3. DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ VE ÖZEL DETERMİNANTLAR 10

11 determitıd stırlr ile sütulr yer değiştirilirse T determitıı trspozu (evriği) T elde edilir. det det T. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs i1 i i i R k k k k i1 i i 1 det k det 3. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs i1 i i 1,, R k 1 11

12 k k k k k k i1 i i k k k 1 det k det 4. Determitı herhgi iki stırı (sütuu) yer değiştirirse R i1 i i i i1 i i det det 5. Determitı herhgi bir stırıı (sütuuu) ktlrı bir diğer stır (sütu) ile toplırs i1 i i i R k i1 i i k k k 1 i1 i i det det 6. Bir determitt herhgi iki stır (vey sütu) ortılı ise determitı değeri sıfır eşittir. 1

13 i1 i i k k k i1 i i det 0 7. Bir determitı herhgi bir stır (vey sütu) elemlrıı tümü sıfır ise determitı değeri sıfır eşittir det 0 8. Bir determitı köşegeii ltıdki (y d üstüdeki) tüm elemlr sıfır eşit ise eşlo (echelo) determitır: y d det 11 Özel Determitlr Ek Determıt : Bir Δ determıtıd her elemı yerie,bu elemı işretli miörlerii yzrk elde edile determıt Ek Determıt deir. EkΔ ile gösterilir.... A A... A A A... A Ek Ek A A... A 1 1 A A... A A A... A A A... A 1 Özellik : Δ, boyutlu bir determıt ise EkΔ=Δ -1 dır. 13

14 Simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, Δ Δ T y d ( i, j 1,,..., ) ji bğıtısı vrs determit simetrik determit deir. Yrı simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, i j Δ T Δ y d (, 1,,..., ) ji bğıtısı vrs determit yrı simetrik determit deir. Sıfır Determit Koşullrı Tüm stır (sütu) elemlrı sıfır ise İki stır (sütu) elemlrı eşit ise Bir stır (sütu) bir diğer stır (sütu) elemlrıı ktı ise Vder Mode Determitı : şeklideki determıtlr deir. Örek(Vdermode Determit): b c b c c b b c olduğuu gösteriiz. Çözüm: Birici sütu. ve 3. Sütulrd çıkrılıp birici stır göre determit çılırs; b c b c b c b c b c b c 1 1 b c b c b c c b Teorem(Crmer Kurlı): bilimeyeli ( x 1, x,, x ) det doğrusl deklem sistemi 14

15 x x x b x x x b 1 1 x x x b 1 1 Eğer det 0 ise sistemi tek bir çözümü vrdır. Bu çözüm; x x x 1 1,,, olup burd i, A ktsyılr mtrisii i. (ici) sütuu b1, b,, b syılrı ile yer değiştirilmesi soucu elde edile mtrisi determitıı göstermektedir. İspt: Ktsyılr mtrisi 0 olsu. Bu durumd A mtrisii tersi vrdır ve 1 1 A eka yzılbilir. Böylece sistemi çözümü, x1 b1 C11 C1 C 1 b1 x b 1 1 C1 C C b A x b C C C b 1 b C b C b C 1 b1c 1 bc b C b1c 1 bc bc Bu yüzde, Ayrıc; so vektörü i. bileşei, i i i sütuu boyuc çılmış hlidir. x1 1 1 / x 1 / x / Determitlr ve Guss-Jord Elemisyou Determitlr üzeride tıml üç elemter işlem şulrdır:. Bir stırı herhgi bir sklere bölümesi, b. Stırlrı yer değişimi, c. Bir stırı bşk bir stır eklemesi. Boyutu ol bir b A c d mtrisi ele lısı. Bu mtrisi determitı det A d bc dir.. Eğer k b k B c d ise b 1 det B d c det A dır. k k k 15

16 b. Eğer c. Eğer c d B b ise, det B cb d det A dır. kc b kd B c d ise, det B kc d b kd c d kcd bc kdc det A dır. Şimdi de herhgi bir boyuttki kre mtrisler içi elemter stır işlemlerii determit üzerideki etkisi icelesi.. Bir stırı herhgi bir sklere bölümesi: Eğer A v v v 1 i ve B v v i v 1 k ise, det B 1 k det A dır. b. Stırlrı yer değişimi: Aşğıdki örekte icelemiştir. Örek: Aşğıdki mtrisler ele lısı A ve B B mtrisi, A mtrisii ilk iki stırıı yer değiştirilmesiyle elde edilmiştir. Bu göre det B, det A ciside ifde edilsi. A mtrisideki her bir P örütüsü, B mtrisideki krşılık gele örütü P swp olrk düşüülebilir. Öreği, A ve P B P swp 16

17 Bu iki örütü yı syılrı içerse de, P swp tki ters döüşüm syısı diğeride bir eksiktir. Bu edele prodp prodp dir fkt sg P sg P dir. Burd görüleceği gibi bu iki örütü, ilgili swp swp determit frklı yölerde ktkı ypmktdır. Bu bulgulr A mtrisideki tüm örütüler içi geçerli olduğud, det Bdet soucu vrılbilir. A Örek: Eğer A mtrisi iki eşit stır shipse det A ile ilgili e söyleebilir? Eşit ol iki stır yer değiştirilip, elde edile yei mtrise B deirse, det A det B det A olur. Tım: A [ ], boyutlu bir mtris olsu. A mtrsii ek mtrisi kofktör mtrisii trspozu olrk tımlır ve eka ile gösterilir. C C C C eka C C C C C Teorem: A [ ], İspt: AekA eka ik j1 j1 i jc kj det A ik det A I boyutlu bir mtris olsu. O zm ( A) ik jk A eka det A I eka A. Teorem: Üçge Mtrisi Determitı Alt y d üst üçge mtrisi determitı, köşege elemlrıı çrpımı eşittir. Teorem: Blok mtrisi determitı 17

18 Eğer A B M ve burd A ve C mtrisleri de kre mtrisler ise, 0 C Ayı şekilde, Fkt A B det det det 0 C A C A 0 det det det B C A C dir. A B det det det det det C D formülü her zm geçerli değildir. M A, C A D B C İspt: Eğer P A, A mtriside bir örütü ve P C de C mtriside bir örütü ise, bulrı birleşimi P P P, M mtriside bir örütüdür P prodp prodp ve sg P sgp sgp M A C M A C eşitlikleri geçerlidir. P M deki ters döüşüm syısı, P A ve P C dekileri toplmı eşittir. Bu krşılık, M mtriside çrpımı sıfırd frklı herhgi bir P örütüsü, M mtrisideki sıfır blok mtriside seçilemeyeceği içi, bu örütü P P, P formuddır. M A C det Adet C sg P prodp sg P prodp PA, PC PM A A C C PA Pc sg P sg P prodp prodp A C A C P P sg prod det M Teoerem: Trspozu Determitı Eğer A mtrisi bir kre mtris ise, det M T A det A. M Bu simetri özelliği oldukç kullışlıdır. Determitı stırlr ciside ifde edile herhgi bir özelliği sütulr içi de geçerlidir (y d tm tersi). Teorem: Determitı Stırlr ve Sütulr Göre Doğrusllığı det bileşee ship, sbitlemiş stır vektörleri v1,..., vi 1, vi 1,..., v ele lısı. Bu durumd, 18

19 T x v1 vi 1 det x v i1 v, 1 de ye foksiyou doğrusl döüşümdür. Bu özelliğe determitı i-ici stır göre doğrusllık özelliği deir. Determit yı şekilde tüm sütulr göre de doğrusldır. Yukrıdki teoreme göre T döüşümüü doğrusllığı, T T T x kt T k x deklemleriyle y d x y x y ve ve v1 v1 v1 det x y det x det y v v v v1 v1 det kx kdet x v v ile ifde edilebilir. Bu deklemlerde i-ici stır hricideki tüm stırlr sbitlemiş, x ve y elem ship rstgele seçilmiş vektörler ve k ise rstgele seçilmiş bir reel syıdır. Teorem: A [ ] ve eğer i j içi 0 ise, bu durumd olur. Eğer A dig det ti 1,, det A 11 ise det A 1. dir. Bir t skleri içi ti mtrisi determitı dir. t İspt: boyutlu bir mtrisi idirgemesi kullılır. Souç içi doğrudur. Şimdi olsu ve soucu 1 boyutlu bir mtris içi doğru olduğu vrsyılsı. Eğer A mtrisi tipide bir mtris ise deta birici stır göre çılırs, 19

20 det A Eğer A üst üçgesel bir mtris ise yukrıdki teorem bezer biçimde kıtlır. UYARI: boyutlu bir A mtrisii determitı geişletilmiş formu çrpımlrıd oluştuğu gösterilebilir. Burd İşretleri 1 yd -1 olmsı i r i s i1, i,, i i1, i,, i, 1,,3,,! işretli 1i1 i i içi permütsyolrdır. deki iversiyolr syısıı tek yd çift olmsı göredir. olduğu hlde r s olduğud bir iversio gerçekleşir. (İsptı koly değildir.) Teorem: Bir A mtriside i 1,, 3, içi (i-ici stır çılımı) j 1,, 3, içi (j-ici sütu çılımı) biçimidedir. i j det A ( 1) M ( A) j1 i1 i j det A ( 1) M ( A) UYARI: ( 1) i j ifdesi strç thtsıdki modele uymktdır; Teorem: det T A det A. Teorem: Bir mtrisi iki stısı eşit ise mtrisi determitı sıfır eşit olur. Tım: Bir A mtrsii (, ) tımlır. Teorem: i 1,, 3, içi, i j i j kofktörü C A ile gösterilir ve C A ( 1) M ( A) ile j 1,, 3, içi, det A Ci j ( A) j1 det A C ( A) i1 Teorem: boyutlu bir A mtrisi olsu. Bu durumd; 0

21 () j1 C ( A) 0 eğer i k. kj (b) i1 C ( A) 0 eğer j k. ik İspt: Eğer A boyutlu bir mtris ise bu mtrisi i. stırıyl k. stırı yer değiştirmesiyle elde B edile yei mtris B olsu. O zm det 0 olur. Çükü iki stır özdeştir. det B k stırı boyuc çılırs, 0 det B b C ( B) j1 j1 kj C kj kj ( A) elde edilir. Teorem: Determit stır ve sütulrı her birii doğrusl foksiyoudur. Öreği: () (b) ' ' ' ' ' ' t t t t Souç: Bir stırı bir ktı bşk bir stır ekleirse, determitı değeri değişmez. Bezer kurl sütulr içide geçerlidir. İspt: 3 3 tipide bir mtris içi bu durum gösterilecektir fkt ispt geelleebilir. t t t t t t t t Tım: 3 3 boyutlu mtrisi sütu vektörleri ciside determitı 1

22 Eğer A u v w ise, det. A u v w dır. 3 3 boyutlu bir mtrisi tersi sdece ve sdece det A 0 olduğud lıbilir. det. A u v w ifdesi A mtrisii bileşeleri ciside ifde edilirse, det A u. v w Örek: Aşğıd belirtile foksiyo x1 x1 5 T x det 3 x 6 x 3 4 x3 7 3 te ye bir doğrusl döüşüm müdür? Çözüm: x1 x1 5 T x det 3 x x x x x 4 x x 6x 3x 1 3 Foksiyou görütüsü, tım kümesii doğrusl kombisyou olduğu içi T bir doğrusl döüşümdür. 3 3 boyutlu determit, ikici sütu göre doğrusldır. Ayı şekilde determit diğer iki sütu ve diğer üç stır göre de doğrusldır. Öreği, üçücü sütu göre doğrusllık, L x v1 det v x

23 determitıı herhgi iki stır vektörü v 1 ve v içi sütu vektörü x e göre doğrusl olduğu lmı gelmektedir. Ayrıc L i doğrusllığı deklemlerle y d x y x y ve Lkx klx L L L v1 v1 v1 det v det v det v x y x y ve v1 v1 det v k det v kx x şeklide ifde edilebilir. Determitı Köşege Elemlrı 3