Limiti varsa, bu limite y = f (x) fonksiyonunun x e göre x x türevi denir. dy y=f(x) fonksiyonunun bu türevi, y ', f ' ( x ), = Lim
|
|
- Nuray Şentürk
- 4 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1. TÜREV 1.1. Tanım Bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. x de x bağımsız değişkenine verilen bir artmayı (yada azalmayı) göstersin. f (x+ x) - f(x) Eğer Lim Limiti varsa, bu limite y = f (x) fonksiyonunun x e göre x x türevi denir. dy y=f(x) fonksiyonunun bu türevi, y ', f ' ( x ), sembollerinden herhangi biri ile gösterilir[1]. dx Örnek 1.1: y = 3x fonksiyonunun türevini tanım yardımıyla elde ediniz. Açıklama [M1]: dy d 3(x+ x) - 3x 3x+ 3. x - 3x 3. x y ' = = ( 3x) = Lim = Lim = Lim = 3 dx dx x x x x x x Örnek 1. y = 4x² + 1 ise y ' türevini tanım yardımıyla elde ediniz. Çözüm:için türev tanım formülünü uygulayalım. dy d (4x² + 1 ) 4 ( x + x ) ² +1 - (4x² + 1 ) = = Lim dx dx x x 4 ( x² +x. x + x² ) + 1-4x² - 1 = Lim x x 4x² +8x. x + 4 x² + 1-4x² - 1 = Lim x x 4 x ² + 8x. x = Lim x x = Lim ( 4 x + 8x ) = 4. Lim x + Lim 8x x x x = x = 8x y ' = 8x elde edilir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
2 Örnek 1.3: X + 1 y = ise y ' yü türev tanımdan elde ediniz. Fonksiyonda x e artma vererek türev tanım formülünü uygulayalım. ( x+ x ) +1 x+1 dy d x +1 y ' = = ( ) = Lim dx dx x x x +.x + 1- x - 1 = Lim x x x = Lim x x = Lim 1 = 1 x y ' = 1 elde edilir. UYGULAMA Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini tanım formülü kullanarak yapınız. a ) y = 3x ² + 5x + 1 y ' =? x ² b ) y = y ' =? 3 x+1 c ) y = 5 ( ) y ' =? x+ d ) y = + 3x y ' =? 1 e) y = y ' =? x+ x f) y = y ' =? x ²+1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa
3 1.. Türev Alma Kuralları Sabit fonksiyonun türevi y = f ( x ) = c ( c sabıt bir değer )olmak üzere bu sabit y = c fonksıyonunu türev tanımına göre yazılırsa dy d f (x+ x) - f ( x ) c - c (c ) = Lim = Lim dx dx x x x x = 0 = Lim = 0 Bulunur. Buna göre türevin, x x d y ' = ( c ) = 0 olduğu görülür. dx Bir sabitin türevi sıfıra eşittir[]. Örnek.1. 4: Örnek.1.5: dy d y = f ( x ) = 100 ise = ( 100 ) = 0 elde edilir. dx dx dy d y = f ( x ) = 700 ise = ( 700 ) = 0 elde edilir. dx dx 1... Bir Değişkenin Kendine Göre Türevi d y = f ( x ) fonksiyonu f ( x ) = x olarak verilmiş olsun. Bu x fonksiyonunun türevine bu x dx değişkeninin kendine göre türevi denir. Türev tanımı bu x değişkeni için uygulanırsa. dy d f ( x + x ) - f ( x ) x + x - x = ( x ) = Lim = Lim dx dx x x x x x Lim = 1 elde edilir. x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
4 Bir değişkenin kendine göre türevi daima 1 dir. Örnek 1.6: dy d y = f ( x ) = y ise = (y) = 1 dy dy Örnek 1.7: dy d y = f ( x ) = t ise = ( t ) = 1 dt dt Örnek 1.8: dy y = f ( x ) = k ise dk d = ( k ) = 1 elde edilir. dk İki fonksiyonun toplamının türevi F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) olarak tariflemmiş bir fonksiyon olmak üzere bu fonksiyonun türevi, F ( x + x F ( x ) f ( x+ x g ( x + x ) - f ( x) - g ( x) Lim = Lim x x x x f ( x + x ) - f ( x ) + g( x + x g ( x ) Lim x x Bu yazılımda pay ve payda x değeri ile bölünürse f ( x + x ) - f ( x ) + g( x + x g ( x ) x = Lim x x f ( x + x ) - f ( x ) g( x + x g ( x ) = Lim + x x x x F ' = f ' + g ' formülü elde edilir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
5 Sonlu sayıda fonksiyonların toplamının türevi, bu fonksiyonların türevleri toplamına eşittir. Y=u(x)+v(x)+w(x)+... ise, y ' = u '(x)+v '(x)+w '(x)+... dir[]. enzer olarak fonksiyon iki fonksiyonun farkı şeklinde ise bu iki fark fonksiyonunun türevi türevleri farkına eşittir. F (x) = f ( x) - g (x) ise F ' = f ' - g ' Biçiminde ifade edilebilinir n. Dereceden değişkenin türevi n N olmak üzere y = f ( x ) = x n ' = n. x n - 1 formülü yardımı ile elde edilir. olarak verilmiş bir fonksiyon ise, fonkiyonunun türevi y Türev tanımından hareket edilirse, dy d (x+ x) n -x n y ' = = ( x n ) = Lim yazılabilinir. dx dx x x x + x ) n =C 0 n x n + C 1 n.x n - 1 x + C n x n - x C n n x n Uygulanan Binom açılımında C 0 n, C 1 n,..., C n n değerleri Binom katsayılarıdır. Bu katsayılar Kombinezon hesap değerine bağlı olarak, C k n n! = formülü ile hesaplanır. k! ( n - k )! Bu katsayılar aynı zamanda Pascal üçgninden elde edilebilinir. Pascal üçgenine göre bu değerler n=0 için 1 n=1 için 1 1 n= için 1 1 n=3 için biçiminde yazılabilinir. Türev tanımından hareket edilerek, n n ( n - 1) x n + x n-1. x+ x n- x x n -x n ( x + x n - x n 1!! Lim = Lim x x x x n ( n - 1 ) x n. x n-1 +. x n-. x+...+ x n-1 Lim x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
6 n ( n - 1) Lim n. x n x n -. x x n - 1 x Burada n. x n - 1 terimi dışında bütün terimlerin limit işlemi sırasında sıfır değerini aldığı görülür. Buna göre fonksiyonun türevi bu limit yardımıyla y ' = Lim n. x n - 1 = n. x n - 1 x formülü elde edilir[3]. Örnek 1.9: y = x 4 kuvvet fonksiyonunun türevini y ' yü tanımdan elde ediniz. d y ' ( x ) = ( x 4 ) buna tanım formülünü uygularsak, dx dy d ( x + x ) 4 - x 4 = ( x 4 ) = Lim ( I ) dx dx x x ( x + x ) 4 = x 4 + 4x 3. x + 6x. x + 4x. x 3 + x 4 Binim açılımı ( I ) de yazılırsa, x x 3. x + 6 x x + 4x x 3 + x 4 - x 4 = Lim x x x 4 x x x + 4x x + x 3 Lim x x Lim 4 x x x + 4x x + x 3 x Lim 4 x 3 + Lim 6 x. x + Lim 4 x. x + L im x 3 x x x x = 4 x 3 elde edilir. UYGULAMALAR Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini tanım yardımı ile elde ediniz. a ) y = x ise y ' ( x ) =? b ) y = x 6 ise y ' ( x ) =? c ) y = x 8 ise ise y ' ( x ) =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
7 d ) y = x 9 ise ise y ' ( x ) =? Fonksiyonların çarpımlarının türevi x R için f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlar olsun bu iki fonksiyonun çarpımı F ( x ) = f ( x ). g ( x ) de türevlenebilir bir fonksiyondur ve bu fonksiyonun türevi, F ( x ) = f ' ( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x ) şeklinde elde edilir. dy f ( x + x ) - g ( x + x ) - f ( x ). g ( x ) F( x ) = Lim olacaktır. dx x x bu yazılımda paytla f(x+ x ).g(x) değerini bir ekleyip bir çıkarırsak d f ( x + x ). g ( x + x ) - f ( x ). g ( x ) + f ( x + x ).g ( x ) - f (x + x). g (x) F( x ) = Lim dx x x g ( x + x ) - g ( x ) f ( x + x ) - f(x) = Lim f ( x + x ) Lim + Lim g ( x ). Lim x x x x x x d f ( x ). g ' ( x ) + g ( x ). f ' ( x ) veya F(x) = f ' (x) g (x) + g ' (x). f(x) olarak elde edilir. dx Örnek 1.10: Örnek 1.11: F ( x ) = ( x - 1 ) ( 3x + ) ise f ' =? f ( x ) = x - 1 ve g ( x ) = 3x + dersek f ' ( x ) = x ve g ' ( x ) = 3 elde edilir. F ' ( x ) = f ' ( x ). g ( x) + f ( x ). g ' ( x ) förmülünden F ' ( x ) = x ( 3x + ) + 3 (x - 1 ) F ' ( x ) = 6 x + 4x + 3x - 3 = 9x + 4x - 3 elde edilir. F ( x ) = ( x - 1 ) ( x - ) ( x - 3 ) ise F ' ( x ) =? dy d f ( x ) = ( x -1 ) f ' ( x ) = ( x- 1 ) = 1 dx dx dy d Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 7
8 g ( x ) = ( x - ) = ( x- ) = 1 dx dx d h ( x ) = ( x - 3 ) ( x- 3 ) = 1 dx F ' ( x ) = f ' ( x ). g ( x ). h ( x ) + g ' ( x ) f ( x ).h ( x ) + h ' ( x ) f ( x ). g ( x ) = 1. x ( x - 3 ). x ( x - 3 ). x ( x - ) = x ( x - 3 ) x ( x - 3 ). x ( x - ) x - 3 x - x x - 3 x - x + x - x - x + = 3x - 1 x + 8 = F ' ( x ) = 3x - 1 x + 8 elde edilir Fonksiyonların bölümünün türevi f ve g diferansiyellenebilen iki fonksiyon tanım cümlesindeki her x için f (x) F ( x ) = fonksiyonunnda g ( x )=0 olmamak şartı ile, bu bölüm fonksiyonunun türevi g( x ) f ' ( x ). g ( x ) - f ( x ). g ' ( x ) F ' ( x ) = g ( x ) dir[4]. Tanım gereği nce, F ' f ( x + x ) g ( x + x ) = Lim x x f(x) g(x) = Lim x f ( x + x ). g ( x ) - f ( x ). g ( x + x) g ( x ). g ( x + x ) x Yazılımda fonksiyonun payına f ( x ). g ( x ) ifadesini bir ekleyip bir çıkarırsak f ( x + x ). g ( x ) - f ( x ). g ( x + x ) + f ( x ).g( x) -f(x).g ( x) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 8
9 g ( x ).g(x+ x ) = Lim x x f ( x+ x )- f( x) g(x + x )-g ( x ) g ( x ) f ( x) g (x). (x+ x) g ( x + x ).g ( x ) Lim x x f ( x+ x )- f( x) g(x + x )-g ( x ) g ( x ) f( x) x x = Lim x g (x). g (x + x ) g ( x ). f ' ( x ) - f ( x ). g ' ( x ) = = F ' (x) Bulunur. g ( x ) Örnek 1.1: x x f ( x ) = x- Bölüm fonksiyonunun türevini bulunuz. (X x) '. (x-)-(x-) ' (x - x) F ' ( x ) = (x x - ) (x-)-(x x) (x x x -x x x x x x + 4 = x - ) x - ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 9
10 = x - ) = 1 elde edilir. Örnek 1.13: 3 x - 1 F ( x ) = ise F ' ( x ) =? x+1 F ' ( x ) = 6x ( x + 1 ) -1 ( 3x - 1 ) ( x + 1 ) 6x + 6x - 3x + 1 3x + 6x +1 = = ( x + 1 ) ( x + 1 ) Örnek 1.14: x -3 F ( x ) = ( ). ( x - 3 ) ise F ' ( x ) =? x x -3 x -3 F ' ( x ) = ( ) '. ( x - 3 ) + ( x - 3 ) '. ( ) x x x x x x -3 = ( x x ) ( ) x 4 x x -4x + 6x 8x -1 = (x -3) + x 4 x 6x +x 8x 4-1x 3 = ) ( x x 4 x 3 1 x 3-18 x - 4. x 4 x x 4 x 3 = x 4 x x 4 x 4x 3 6x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 10
11 = = bulunur. x 4 x Kuvvet fonksiyonunun türevi F ( x ) = f ( x ) n şeklinde ise F ' ( x ) = n. f ( x ) n - 1. f ' ( x ) formülü ile elde edilir. Genel çözüm uygulanırsa, F ( x ) = f ( x ) n ifadesini F ( x ) = f ( x ). f ( x )...f ( x ) olarak yazarsak ; Bu türevi n çarpan lı bir çarpımın türevine göre hesap edersek; F ' ( x ) = f ' ( x ). f ( x ) n f ' ( x ). f ( x ) n f ' ( x ). f ( x ) n - 1 = f ' ( x ). f ( x ) n - 1.f ( x ) n f ( x ) n - 1 = f ' ( x ). n. f ( x ) n - 1 = n. f ( x ) n - 1. f ' ( x ) olarak elde edilir. Örnek 1.15: F ( x ) = ( x + 4 ) 4 ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = 4 ( x + 4 ) 3.( 4x ) = 16x (x ) 3 olarak elde edilir. Örnek 1.16: F ( x ) = ( x - 3x ).( 8x -1 ) ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = (( x - 3x ) ) '.( 8x -1 ) + ( 8x -1 ) '. ( x - 3x ) 4 = ( 4 (x - 3x ) 3.( 4x - 3 ).( 8x - 1 ) + 8 (x - 3x ) 4 = ( x - 3x ) 3 '.( 16x -1 ). ( 8x - 1 ) + 8 ( x - 3x ) 4 = ( x - 3x ) 3 ( 18x - 16x - 96 x + 1 ) + 8 ( x - 3x ) 4 = (x - 3x) 3 (18 x -11 x x -4x) = ( x - 3x ) 3 ( 144x - 136x + 1 ) bulunur Köklü fonksiyonların türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 11
12 f ' ( x ) F ( x ) = f (x) ise F ' ( x ) = eşitliği ile elde edilir. f (x) Türev tanımı yardımı ile hareket edersek ; f (x x) - f (x) F ' ( x ) = Lim pay ve payda payın eşleniği ile çarpılırsa ; x x ( f (x) x) - f (x) ) ( f ( x + x ) + f (x) ) F ' ( x ) = Lim x ( f ( x + x ) + f (x) ) f ( x + x ) - f ( x ) = Lim Pay ve payda x e bölünürse x x ( f (x x) + f (x) f ( x ) + x) - f ( x ) ) x = Lim x f (x) x) + f (x) f ' ( x ) = Lim x f (x x) + f (x) f ' ( x ) f ' ( x ) = = bulunacaktır. f (x) + f (x) f (x) Örnek 1.17: Örnek 1.18: 3 F ( x ) = x 3x 1 ise F ' ( x ) =? f ( x ) = x 3-3x + 1 = f ' ( x ) = 3 x - 6x 3 x - 6x F ' ( x ) = 3 x 3x 1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
13 F ( x ) = x 1 (3 x + ) ise F ' ( x ) =? F ' ( x ) = ( x 1 ) ' (3 x + ) + ( 3 x + ) ' ( x 1 ) 1 =.( 3 x + ) + 6x. x 1 x 1 3 x + 3 x + + 1x ( x - 1 ) = + 6x. x - 1 = x 1 x 1 3 x + + 1x - 1x 3 x + + 1x - 1x = = x 1 x Kapaılı fonksiyonların türevi F(x,y)=0 şeklinde verilen bir ifadeye kapalı fonksiyon adı verilir. Böyle bir fonksiyonun türevini bulmak için F(x,y)=0 eşitliğinde her tarafın x e göre türevi alınr, bulunan eşitlikte y ' hesaplanır[5]. xy + x + y = 0 ve x y - xy - 1 = 0 fonksiyonları birer kapalı fonksiyondur. Örnek 1.19: xy + x - y - 1 = 0 ise f ' ( x, y ) =? d d xy + x - y - 1 = ( 0 ) dx dx y + y ' x y ' = 0 y ' x - y ' + y + 1 = 0 y ' ( x - ) + y + 1 = 0 y +1 y ' = = f ' ( xy ) elde edilir. x - Örnek 1.0: Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 13
14 x 3 + y 3 - x y = 7 ise f ' ( x, y ) =? d d (x 3 + y 3 - x y ) = ( 7 ) dx dx 3 x +3 y y - xy - y ' x = 0 3 y y - 3 y 1 x + 3x -xy = 0 y ' ( 3y - x ) + (3x - xy ) = 0 3x - xy y ' = - 3y - x elde edilir Bir fonksiyon fonksiyonunun ( Bileşke fonksiyonun) türevi Eğer y = f ( u ) ve u = g ( x ) ise y=f{g(x)} x in bir fonksiyonudur. Eğer y u' nun türetilebilir bir fonksiyonu ve eğer u da x' in türetilebilir bir fonksiyonu ise y=f{g(x)} x' in türetilebilir bir fonksiyonudur ve dy/dx türevi aşağıdaki işlemlerden biri ile elde edilebilinir. a- y fonksiyonunu x cinsinden açık olarak ifade ediniz ve türevini alınız. b- Her bir fonksiyonun bağımsız değişkenine göre türevini alınız ve zincir kuralını uygulayınız[6]. Yani f fonksiyonu u ya u fonksiyonuda x e bağlı bir fonksiyon ise bu bir bileşke fonksiyonu belirler. y = f g ( x ) yazilabilir ve bir fonksiyon bir fonksiyonu belirler. Bu tür fonksiyonların türevi zincir kuralı denilen bir metodla çözümlenebilir. Zincir Kuralı : dy dy du dy du =. y ' nin u ' ya göre türevi, u ' nun x ' e göre türevi denir. dx du dx dx dx Örnek 1.1: dy y = u 3 u = u 3-5x ise =? dx dy d = ( u 3 ) = 3 u du du dy d = ( u - 5x ) = x - 5 du du dy dy du =. dx du dx 3 u ( x - 5 ) = 6 ( x -5x). x -15(x -5x ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 14
15 = (x -5x) 6x - 15 elde edilir Yüksek mertebeden türevler y = f ( x ) fonksiyonunun birinci türevinin türevi, fonksiyonun ikinci türevi ismini alır ve d y/ dx f ' ' veya y ' ' sembollerinden biri ile gösterilir. Fonksiyonun ikinci türevinin türevi üçüncü türev ismini alır ve f ' ' ' veya y ' ' ' biçiminde gösterilir. Daha yüksek türevler içinde benzer şeyler söylenebilir[7]. Bu ifade matematiksel olarak ; y = f ( x ) dy y ' = = f ' ( x ) dx d y y ' ' = = f ' '(x) dx : d n y y n = = f n (x) bu şekilde yazılabilir dx n Örnek 1.: d y =? d x x - 1 y = fonksıyonunun ikinci dereceden türevini elde ediniz. x + 3 ( x + 3 ) - ( x - 1 ) x +6 -x +1 7 y ' = = = ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) (x +3 ). 7 14(x + 3) y ' ' = - = (x + 3) 4 ( x +3 ) 4 elde edilir. Örnek 1.3: d 3 x y = ( 4x + x ) ( - x 3 ) ise y ' ' ' = =? dx 3 dy y ' = = ( 4 + x ) ( - x 3 ) + ( -3x ) ( 4x + x ) Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 15
16 dx = 8-4 x 3 + 4x - x 4-1 x 3-3 x 4 = -5 x 3-16 x 3 + 4x + 8 d y y ' ' = = -0 x 3-48x + 4 dx d 3 x y ( 3 ) = = - 60 x - 96x dx 3 elde edilir. UYGULAMALAR Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1 ) y = x 3-4x + 8 ) y = 3x 4 - x +3x ) y = (x - 1) ( x + 3 ) 4 ) y = 8x (x + 1 ) (3x 3 - ) 5 ) y = x ( x + 1 ) + 3x (x + ) 6 ) y = (3x 3 + 5x - 1 ) (3x + ) 7 ) y = x 10 (4x - x ) + (3x + x ) x 3 8 ) y = - x + 3 x + x +1 9 ) y = x 3 - x + x ) y = ( x + 3 ) 11 ) y = ( 4x - 1 ) 3x 8x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 16
17 1 ) y = 4x x 1 13 ) y = (8x -) x 4 14 ) y = x 1 x 1 15 ) 3x y + y - 1 = 0 16 ) x 3 + y 3 - x y = 4x 17 ) 3x y + (x-y) = 3 18 ) y = 4 u 3 - u + 1 u = 8x - 19 ) y = u u = 5x 4 0 ) y = u 1 x 1 u = 5x + x + 1 d y 1 ) y = ise =? 4x - dx d y ) 3 x x -1 (x 3 + ) ise =? dx 5x + x + 1 d + y 3 ) y = ise =? 4x - dx d 4 y 4 ) y = x 4 + ise =? dx 4 5 ) y = ( x 3 + ) 3 ise d 5 y =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 17
18 dx 5 x ( 3x + ) d 3 y 6 ) y = ise 5x - 1 dx 3 =? x+3 7) y = ise y ' ' ' =? x- x 3 + x+3 8) y = ise y ' ' ' =? x Trigonometrik Fonksiyonların Türevi y = Sınx fonksiyonunun türevi x 'e x artmasını verelim. y de y artmasını alır. y + y = Sin(x + x ) den y = Sin(x + x )- Sınx x x y =Sin. Cos ( x + ) Her iki taraf x değeri ile bölünürse, x x sin. cos (x + ) y = x x Burada pay ve payda iki ile bölünürse, x x sin. cos (x + ) y = x x x i sıfıra götürerek Lim işlemi gerçekleştirilirse, x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 18
19 Sin. Cos (x + ) y Lim = Lim x x x x x Sin y x Lim = Lim Cos (x + ) x x x x y x Lim = Lim cos (x + ) x x x y ' = Cosx olarak elde edilir[8] y = Cos x fonksiyonunun türevi y = Cosx fonksiyonuna türev tanımını uygularsak ; dy Cos ( x + x ) - Cosx y ' = ( Cos x ) = Lim dx x 0 x ( I ) yazılabilir. A + B.A - B CosA -CosB = - Sin. Sin Trigonometrik dönüşüm formülünden Cos ( x + x ) - Cos ( x ) = x+ x+x x + x - x - Sin. Sin x + x x = - Sin. Sin ( I de yazılırsa ) - Sin x+ x Sin x. = Lim Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 19
20 x 0 x x x + x - Sin. Sin = Lim x 0 x x - Sin x = Lim. Lim Sin ( x + ) x 0 x x 0 x = - 1. lim Sin( x + ) = - Sin x elde edileceği görülecektir. x 0 d y = Cos x ise y ' y = Cos x = - Sin x dir[8]. dx y = tg x Fonksiyonun türevi Sinx y = tg x fonksiyonunun trigonometrik özelliğinden y = tg x = Cosx türevi özelliği uygulanırsa; yazılarak bölümün dy d Sin x y = = ( ) dx dx Cos ( Sinx ) '. Cos x - ( Cosx ) '. ( Sinx ) = Cosx Cosx. Cos x + Sinx.( Sinx ) Cos x + Sin x = = Cosx Cos x 1 = = 1 + tg x Cos x d 1 y ' = ( tg x ) = = 1 + tg x elde edilr. dx Cos x y = cotg x Fonksıyonunun türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 0
21 Cosx y = Cotgx Fonksiyonunun trigonometrik özelliğinden y = Cotg x = Sinx yazılarak bölümün türevi özelliği uygulanırsa; dy d Cos x ( Cosx ) '. Sinx - ( Sinx ) '. Cosx y = = ( ) = dx dx Sin x Sinx -Sin x. Sin x - Cos x. Cos x - Cos x - Sin x - (Sin x + Cos x -1 y = = = = Sinx Sinx Sin x Sin x - (Cos x + Sin x ) -1 = = Sin x Sin x d 1 = y ' = ( Cotgx ) = - = - Sec x = - ( 1 + Cotg x ) elde edilir. dx Sin x y= Sin u şeklindeki foksiyonun türevi y = Sın u nun türevi, u x in bir fonksiyonu olmak üzere y=sinu nun x e göre türevini almak için, fonksiyon fonksiyonunun türev alma kaidesi tatbik edilerek, dy dy du =. ( Zincir kuralı ) dx du dx d d dy ( Sinu ) = ( Sinu ). dx dy dx du = Cos u. elde edilir[8]. dx Örnek 1.4: y = Sin x ise y ' =? x = U ise y = Sin U olur. dy dy du =. ( I ) dx du dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 1
22 dy du d = Sin U = Cos U du du d 1 = ( x ) =, dx dx x dy 1 1 = Cos x. = Cos x elde edilir. dx x x Örnek 1.5: x - 1 y = Sin ise y ' türevini buluruz. x - 1 = U ise y = Sin U olur. d ( Sin U ) = Cos U elde edilir. du d x - 1 ( ) = x dx ( 1 ) ve ( ) zincir kuralı formülü yazılırsa, dy dy du x - 1 =. = Cos U. x = x. Cos dx du dx elde edilir y = C os U foksiyonun türevi y = Cos U u = y (x ) ise y = Cos U foksiyonu bir bileşik fonksiyondur. Bileşik fonksiyonlarda türev alma özelliğinden, Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa
23 dy dy du du dy =. = (Cos U ). = - Sin U ( I ) formülü dx du dx dx dx elde edilir Örnek 1. 6: y = Cos ( 3x + x + 1 ) ise y ' =? 3x + x + 1 = U dersek y = Cos U elde edilir. ( I ) bağıntısından yazılırsa ; du y ' = - Sin U dx d = -Sin (3x + x + 1 ). (3x + x + 1 ) dx = -Sin (3x + x + 1 ). ( 6x + ) = - (6x + ) Sin (3x + x + 1 ) elde edilir. Örnek 1.7: y = Cos ( x + ) ( 3x 3-1) ise y ' =? y = (x + ) (3x 3 -) = U ise y = Cos U bileşik fonksiyon yazılabilinir. ( I ) formülü gereğince, d y = - Sin (x + ) (3x + x + 1 ). ( ). ( ) dx d y = - Sin (x + ).( 3x + x + 1 ). (15x x 4 - x) (15x x 4 - x) dx elde edilir y= tg u fonksiyonunun türevi. y = tg u kulanılarak, u = u ( x ) ise y = tg u ya bileşik fonksiyon denilir. Bileşik fonkiyonlarda türev özelliği dy dy du =. dx du dx ( Zincir Kuralı) dy d d Sin U ( Sin U ) '. Cos U - ( Cos U ) '. Sin U = ( tg u ) = ( ) = du du du Cos U Cos U Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
24 ( Sin U ) '. Cos U - ( Cos U ) '. Sin U Cos U + Sin U = = = = Cos U Cos U Cos U = ( 1 + tg U ) elde edilir. dy 1 dy du =. = ( 1 + tg U ) Şeklinde elde edilir. dx Cos U dx dx Örnek 1.8: y = tg ( 3x + ) ise y' =? U = 3x + dersek y = tg U olur. du dx d = ( 3x + ) = 6x dx dy dy du =. = ( 1 + tg U ). ( 6x ) = 6x ( 1 + tg U ) dx du dx = 6x ( 1 + tg ( 3x + ) ) bulunur. Örnek 1.9: x y = tg ( ) ise y ' =? x = u ise y = tg u yazılabilir. dy = ( 1+ tg u ) du du d x 1 = ( ) = dx dx 4 x dy 1 1 = (1+ tg u) = Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
25 dx 4 x 4 x 1 x = ( 1+ tg ) elde edilir. 4 x y = Cotg u fonksiyonun türevi y = Cotg u ve u = u ( x ) şeklinde bir fonksiyon ise y = Cotg u fonksiyonuna bileşik fonksiyon denilir. Bileşik fonksiyonların türev özelliğinden faydalanılarak zincir kuralı uygulanırsa. dy dy du =. eşitliğğinden dx du dx dy d d Cos u ( Cos u ) '. Sin u - ( Sin u ) '. Cos u = ( Cotg u ) = ( ) = du du du Sin u ( Sin u ) - Sin u.sin u - Cos u. Cos u - ( Sin u + Cos u) 1 = = = ( Sin u ) Sin u Sin u = - ( 1 + Cot g u ) elde edilir. dy 1 du du = - = - ( 1 + Cos u ) dx Sin u dx dx Örnek 1.30: x +1 y = Cotg ( ) ise y 1 =? 4 x +1 u = ise y = Cot g u yazılır. 4 dy 1 dy 1 = - = du Sin u dx 4 dy = -. = - dx Sin u 4 4 Sin x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
26 UYGLAMALAR Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonların türevlerini alınız. x 1) y = Sin a ) y = Sin ( 8 x + x +1 ) 3 x 3 ) y = Sin 4) y = Sin ( x + ) ( x 1 ) 5 ) y = Cos ( 3x - x + 1 ) x 6 ) y = Cos ( x 3 + ) ( ) 1 7 ) y = ( 1-3 Cos x ) ) y = tg' x sin x x x 9 ) y = tg + Sin ( 3x - 1 ) + Cos 3 10 ) y = Cotg ( x 3-1 ) a - x 11 ) y = Cot g a + x Ters Fonksiyonların Türevi Reel ters fonksiyonların türevi y = f ( x ) fonksiyonundan x i çözmek sureti ile x = ( y ) fonksiyonunu elde ettiğimizi düşünelim. f (x) ve ( y ) fonksiyonlarına ters fonksiyonlar denir. Bunların arasında bir bağıntı gerektiği taktirde y x. = 1 olduğu düşünülerek x y Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
27 y 1. x x y yazılır ve limite geçilirse y 1 dy 1 Lim = Lim türev tanımından = yazılabilinir. x 0 x x 0 x dx dx y dy 1 f ' ( x ) = elde edilir []. ' ( y ) Örnek 1.31: dy x = 1 - y + y tersi yazılmış bu fonksiyonun türevini bulunuz? dx dx 1 = ( 1 - y + y 4 ) -/3 ( - y + 4y 3 ) dy 3 dx - y + 4y 3 4 y 3 - y = = dy 3 ( 1 - y + y 4 ) /3 3 ( 1 - y + y ) /3 dy (1 - y + y 4 ) /3 = = = dx f ' ( x ) 4y - y 4 y 3 - y 3(1 - y + y 4 ) /3 Örnek 1.3: f ( x ) = x - 11x +33 fonksiyonunun tersinin türevini bulunuz. f ( x ) ' in tersi ( y ) fonksiyonu olsun. Türev tanımından 1 ' ( y ) = f ' ( x) yazılabilinir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 7
28 ' ( x ) = x -11 elde edilerek 1 ' ( y ) = aranan türev değeri hesaplanır. x Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri y=arcsinx ve y = arcsin u ters fonksiyonların türevleri x = Sin y ise ters fonksiyon y = arcsin x olarak yazılır. y = arcsin x tanım bölgesi -1 < x < 1 olup x = Sin y fonksiyonun değer bölgesi reel sayılar kümesindendir. Bu değer Sin y nin tanım bölgesidir.aşağıde türevlerden bahsedilen ters trigonometrik fonksiyonların tanım bölgelerinde benzer şekilde bulunabilinir. y = arcsin x ise x = Sin y yazılır. x = Sin y d d ( x ) = ( Sin y ) Eşitlik her iki yanın x ' e göre türevi alınırsa; dx dx 1 = y ' Cos y 1 y ' = Cosy Sin y + Cos y = 1 Trigonometrik özellikten Cos y hesaplanırsa, Cos y = 1 sin y yazılabilinir. 1 1 = = Formülü elde edilir. 1 sin y 1 x y = arcsin u ise fonksiyon Bu fonksiyon bir bileşik fonksiyon olup bileşik fonksiyonun türevi gereğince dy du y ' = { Zincir kuralı } dx dx 1 du y ' = Formülü elde edilir. 1 u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 8
29 Örnek 1.33: y = arcsin 3 x ise y' =? u = 3x ise y = arcsin u olur yazılabilinir. 1 d y ' =. ( 3x ) 1 u dx 1 6x =. 6x = elde edilir 1 u 4 1 9x Örnek 1.34: y = arcsin ( x -3 ) ise y ' =? u = x -3 ise y = arcsin u ( I eşitliğinden ) 1 d y ' =. ( x -3 ) 1 u dx 1 =. = 1 - ( x -3 ) 1-4x - 6x = = elde edilir. - 4x + 1 x -8 -x +3x y = arccosx ve y = arccosu ters fonksiyonun türevi. y = arccos x fonksiyonun türevi y = arcsinx fonksiyonunun türevine benzer olarak aşağıdaki şekilde elde edilir. 1 y = arccos x ise y' = x 1 du y = arccos u ise y ' = -. Formülü elde edilir. 1 - u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 9
30 Örnek 1.35: y = arccos x ise y ' =? u = x ise y = arccos u yazılırsa. 1 d y ' = -. ( x ) 1 u dx 1 x = -. ( x ) = - elde edilir. 1 -x x 4 Örnek1.36: x y = arccos ise y 1 =? x u = ise y = arc Cos u yazılırsa ( I eşitliğinden ) 1 d x y = -. ( ) x dx 1 - ( ) 1 1 = -. ( ) = 4 - x =. = - elde edilir x 4 - x y = arctg x ve y= arctg u şeklindeki fonksiyonların türevi Benzer metodlarla yazılım yapılırsa ; 1 a - y = arctg x ise y ' = ( I 1 ) 1 + x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 30
31 1 d b - y = arctg u ise y ' =. ( I ) yazılır 1 + u dx Örnek 1.37: y = arctg x 3 ise y ' =? u = x 3 ise y = arctg u olur. ( I yazılırsa ) 1 d 1 3 x y ' =. ( x 3 ) = ( 3x ) = 1 + x 6 dx 1 + x x 6 Örnek 1.38: 3 y = arctg ise y ' =? x 3 u = ise y = arctg u yazılır ( I yazılırsa ) x 1 d 3 y ' =. ( - ) 3 dx x 1+( ) x = ( - ) =. (- ) 9 x x + 9 x 1 + x x x 3 3 =.( - ) = - elde edilir. x + 9 x x y = arccotg x ve y = arccotg u ters fonksiyonların türevleri Benzer metotlarla işlem yapılırsa, 1 a - y = arccotg x ise y ' = ( I 1 ) 1 + x 1 d Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 31
32 b - y = arccotg u ise y ' =. ( I ) yazılır 1 + u dx Örnek 1.39: 1 + x y = arccotg ise y ' =? 1 - x 1 + x u = ise y = arccostg y ( I eşitliğinden ) 1 - x 1 d 1 + x y' = -. ( ) 1 + x dx 1 - x 1 + ( ) 1 - x 1 =. ( 1 - x ) + ( 1 + x ) ( 1 - x ) ( 1 - x ) ( 1 - x ) = -. = ( 1 - x ) + ( 1 + x ) ( 1 - x ) 1 = = - = 1 - x + x x +x x + x Üstel Ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi Üstel ve logaritmik fonksiyonların tanimı 1 y = ( ) x, y = ( ) x, y = ( 10 ) x, y = e x (,7,188...) ve genel olarak 3 y = a x ( a 1 ve a > 0 ) şeklindeki bütün fonksiyonlara üstel fonksiyonlar denilir. Bu fonksiyonların x ' e göre çözümlerinin elde edilmesi ile ters fonksiyonları elde edilr. Bu çözümlerde x yerine y ve y ' yerine x koymakla elde edilen fonksiyonlarada lagaritmik foonksiyonlar denilir y = Log a x ve Log a u şeklindeki fonksiyonların türevi Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 3
33 y = Log a x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun x e göre türevi tanım gereğince dy d = dx dx ( Log a x ) dir Log a ( x + h ) - Log a x 1 Lim = Lim. ( Log a ( x+h)/x )] h 0 h h 0 h 1 x h = Lim (Log a ( 1+ ) ] h 0 x h x 1 h x/h =. Lim [Log a ( 1+ ) ] x h 0 x 1/u Lim (1+u) = e olduğu için u=h/x seçilirse u 0 d 1 (Log a x)=log a e. bulunur. Bu kuraldan yararlanarak y=log a u bileşik fonksiyonunun türevi dx x zinci r kuralı gereğince, d 1 du (Log a u)=(log a e) dx u dx a=e olması durumunda ise açık olarak d 1 d 1 du (lnx)= ve genel olarak (lnu)= kuralları elde edilir[1] dx x dx u dx Örnek 1.40: x y = Ln ( ) ise y = y ' =? 1 + x x u = ise y = ln u yazılır. 1 + x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 33
34 1 d x y ' =. ( ) u dx 1 + x 1 ( 1 - x ) 1 ( 1 - x ) =. =. u ( 1 + x ) x ( 1 + x ) 1 + x Örnek 1.41: 1+ x ( 1 - x ) ( 1 - x ) =. = sonucu bulunur. x ( 1 + x ) ( 1 + x ) y = Ln ( 4 -x ) ise y 1 =? u = 4 - x ise y = Ln (4 - x ) yazılır. ( I formülünden ) 1 du y ' =. u dx 1 d =. (4 - x ) u dx 1 x =. ( - x ) = - bulunur. 4 - x 4 - x Örnek 1.4: x y = Log ( ) ise y 1 =? 1 + x x du x u = ise = ( n de yazılırsa ) 1 + x dx ( 1 + x ) 1 du y ' = Log e ( I ) u dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 34
35 1 x y ' =. Log e ( ) x ( 1+ x ) 1 + x 1 + x x =. Log e = Log e x ( 1 + x ) x( 1 + x ) Örnek 1.43: 1 y = Log ise y 1 =? x 1 du 1 u = ise = - ( I de yazılırsa ) x dx x dy du y y =. Log e ( I ) du dx 1 du = Log e u dx 1 1 x 1 = Log e ( - ) = - Log e = - 1 x x x x y = a x ve y = a u şeklindki fonksiyonların türevi y = a x fonksiyonundan ( a > o ) olmak üzere her iki yanının tabi ( e tabanına göre ) logaritması alınarak ; Ln y = x Ln a elde edilir. Kapalı fonksiyonların türevine göre y ' Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 35
36 = Ln a y y ' = y. Ln a = a x Ln a elde edilir. Fonksiyonun y = a u şeklinde ve u = ( x ) ise y = a u bileşik fonksiyon olup du dy du =. eşitliğinden dx du dx du y ' = a u Ln a. elde edilir. dx Örnek 1.44: ( x 3-1 ) y = a a üstlü fonksiyonun türevini bulunuz. du u = ( x 3-1 ) ise dx = 6x du y ' = a u. Ln a. dx ( x 3-1 ) ( x 3-1 ) = a. Ln a. ( 6x ) = 6x. a. Lna Örnek 1.45: y = a x üstel fonksiyonun türevini bulunuz. x - 1 x du x - 4 u = ise = x - 1 dx ( x - 1 ) formülde yazılırsa, du y 1 = a u. Ln a dx Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 36
37 x ( ) x - 1 x - 4 = a Ln a. elde edilir. ( x - 1 ) y = e x ve y = e u şeklindeki fonksiyonların türevi y = e x fonksiynun türevinde y = a x fonksiyonuna takip edilen yol uygulanırsa ; kısaca her iki tarafın ( doğal ) logaritması alınırsa, Ln y = x Ln e ( Ln e = 1 den) Ln y = x yazılır. ( Her iki yanın türevi alınırsa ) y ' = 1 y ' = y = e x bulunur. y fonksiyon y = e u ise y = e u bileşik fonksiyon olup bileşik fonksiyonun türevi özelliğinde dy du y ' =. türev özelliği du dx du y ' = e u. dx Formülü elde edilir. Örnek 1.46: y = e 3 x üstel fonksiyonun türevini bulunuz. 3 du 3 u = ise = - x dx x x 3 3 x y ' = e ( - ) = - e elde edilir. x 3 x 3 UYGULAMALAR Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 37
38 Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz? 1 + x 1) y = Ln ( ) 1 - x x ) y = Ln ( ) 1 - x ( x - ) 5 3 ) y = Ln ( x + 1 ) x 4 ) y = 10 Log x + a 5 ) y = 10 Log x + a 6 ) Y = Log ( 4x - 3) x 4 7 ) y = a 8 ) y = a x ( x + 1 ) 3x 9 ) y = a 10 ) y = e x ( x + 1 ) ( x - ) 11 ) y = x e -x 1 ) y = ( x +x ) e 3x - e x ) y = e x + 1 x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 38
39 e 14 ) y = 1.7. Türevin Geometrik Uygulaması Bu işlevi düzlemsel bir eğri üzerinde inceleyelim. y=f(x) fonksiyonunun eğrisi p olsun. p Eğrisinin (Xo, Yo) noktasındaki teğeti T ve normali T' olsun (Bkz. Şekil 7.1 ). A dan geçmekte olan ve AB keseninin eğimi, f(xo + x) - f(xo) Tg = x dir. B T A T ' ' Xo Xo+ x Şekil 7.1 : Düzlemde eğrinin teğet ve normali Bu geometrik şekilde, durumda teğetin m t eğimi i x olması durumunda AB kesen doğrusu T ile çakışır. Bu f (Xo + x) - f(xo) Lim Limit değeridir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 39
40 x x Bu limit ise f ' (Xo) dır. Buradan noktasındaki teğetinin denklemi, m t =f ' (Xo) yazılabilinir. Buradan y=f(x) fonksiyonunun A(Xo,Yo) Y- Y O = f ' (Xo) (X-Xo) olarak yazılabilinir. 1 T' normalinin eğimi ise, m n ile gösterilirse m t. m n = -1 dir. Buna göre normalin eğimi m n = - f' (X o) formülü ile yazılırsa, normalin denklemi şu formülle elde edilir. Örnek 1.47: 1 Y-Y O = - (X-X o ) (I ) f ' ' (X o ) y = x +x+1 eğrisinin A(,4) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. y ' = f ' (X o ) = x+ ise f ' () =.+=6 değeri bulunur. m t = 6 Değerler formülde yazılırsa, y -4 = 6 (x- ) y = 6x - 8 neticesi elde edilir. Örnek 1.48: y = x -x+5 parabolünün (,5) noktasındaki normalinin denklemini yazınız. 1 m n = - Değeri I formülünde yazılırsa 1 y - 5 = - (x-) yazılımından x + y = 1 denklemi elde edilir. Örnek 1.49: f ( x ) = x - 3x + fonksiyonunun x = noktasındaki teğetinin eğimi ni ve denklemini yazınız. fonksiyonun x = noktasındaki türevi olacağından Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 40
41 f ' ( x ) = x -3 f ' ( ) =. - 3 = 4-3 = 1 m = 1 bulunur. Teğet denlemi için y 0 noktasını bulalım. f ( ) = = = 0 Deklemde bulunan değerler yazılırsa y - y 0 = m ( x - x 0 ) y - 0 = 1 ( x - ) y = x - teğet denlemi elde edilir Belirsizlik Kuralları Tanım Limit alma işleminde verilen limit özelliği ile sonuç elde edilemeyen ; 0,, 0., -,, 0 0, 0 gibi meydana gelebilen durumlara belirsiz durumlar denilir. 0 Yukarıdaki ifadelelerle elde edilen fonksiyonlar değişkenin bir x 0 değeri için belirsiz hal gösterdiği vakit, bu ifadelerin x 0 noktasında soldan ve sağdan limitleri aranır, şayet bir limit bulunursa fonksiyonun göz önüne aldığımız noktadaki belirsiz değerini bu limite eşit olarak belirtmiş oluruz[9] veya Belirsizlik durumu ve L' hospital kuralı ; 0 f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonları türevlenebilinir fonksiyonlar olmak üzere ; Lim f ( x ) = 0 veya Lim f ( x ) = x a Lim g ( x ) = 0 x a x a veya Lim g ( x ) = x a Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 41
42 İseler ; f ( x ) 0 f ( x ) Lim = veya Lim = olur. x a g ( x ) 0 x a g ( x ) Bu değerde ; f ( x ) f ' ( x ) Lim = Lim x a g ( x ) x a g ' ( x ) formülü ile elde edilir. Bu formüle L hospital kuralı adı verilir. f ( x) L hospital kurlına dikkat edilmesi gereken en önemli husus şudur. Fonksiyon olsa bile g ( x ) L hospital kuralında bu limit değeri bölüm fonksiyonun Limiti gibi düşünülmeyip türevin bölümü olarak alınacaktır. Örnek 1.50: Sin x 0 Lim = olur. L hospitala göre x a x 0 Sin x ( Sinx) ' Cos x Lim = Lim = Lim = Lim Cos x = 1 elde edilir. x a x x a ( x ) ' x a 1 x a Örnek 1.51: 1 - Cos x 1 - Cos x Lim ise Lim = = x x x x Cos x ( 1 - Cos x ) ' Sin x 0 Lim = Lim = Lim = x x x ( x ) ' x x 0 Sin x 0 Sin x ( Sin x) ' Lim = Lim = Lim x x 0 x x x ( x ) ' Cos x Lim = Lim Cos x = Lim Cos x = Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 4
43 x x x Örnek 1.5: x - 3x Lim = = x x x - 3x - 4 x Lim = Lim = = x x x 3 3 Örnek 1.53: x + Sin x 0 Lim x x + Sin x 0 = x + Sin x Lim x x + Sin x ( x + Sin x )' = Lim x ( x + Sin x ) ' 1 + Cosx Lim = Lim = = 1 x 1 + Cos x x Örnek 1.54: 4x - x + 0 Lim x x 0 = 4x - x + ( 4x - x + ) ' Lim = Lim x x x (x) ' 8x - - Lim = = - 1 x Örnek 1.55: e x + e -x - x - 0 Lim = Belirsiz. x Sin x - x 0 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 43
44 ( e x + e -x - x - ) ' Lim x ( Sin x - x ) ' e x + e -x - x Lim = = = = 0 x Sinx.Cosx Örnek 1.56: x 3 - x + 1 Lim x x 3-4x + ise x 3 - x + 1 Lim = x x 3-4x + 1 x 3 ( ) x x 3 1 Lim = Lim = 1 x 4 x 1 x 3 ( ) x x 3 x 3 - x + 1 ( x 3 - x + 1 ) Lim = Lim x x 3-4x + x ( x 3-4x + ) 3x - Lim = x 3x - 8x Belirsizlik 6x 6 Lim = Lim = Lim 1 = 1 x 6x - 8 x 6 x Örnek 1.57: Ln x Ln 0 - Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 44
45 Lim = = x Cotgx Cotg0 - Ln x ( Ln x ) Lim = Lim x Cotgx x ( Cotgx ) 1 x Sin x 0 Lim = - = ( L hospital ) x 1 x 0 - Sinx Sin x ( Sin x) Sin x Cosx Lim - = Lim - = Lim - x x x ( x ) x 1 Lim ( - ) Sinx Cosx = 0 Örnek 1.58: Ln Sinx Ln Sin0 Ln 0 - Lim = Lim = = x Ln tgcx x Ln tg0 Ln 0 - Ln Sinx ( Ln Sinx ) Lim = Lim x Ln tgcx x ( Ln tgx ) 1 Cosx Cosx Sinx Sinx Cosx tgx = Lim = Lim. x 1 Sec x x Sinx Secx. Sec x tgx tgx Lim Cosx Sinx 1 Lim.. = Lim Cos x = 1 x Sinx Cosx 1 Örnek 1.59: Cos x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 45
46 x + x + 1 Lim = x 3x + x - 1 x + 1 Lim = Lim = x 6x + x Belirsizlik durumu f ( x 0 ) =0 ve g ( x 0 ) = ise f ( x 0 ). g ( x 0 ) = 0. olur. Bu durumda g ( x 0 ). g ( x 0 ) çarpımı düzenlenerek f ( x 0 ) g ( x 0 ) veya durumuna dönüştürülür ve bu durumda işlem / 0/0 duruma dönüşür. 1 1 g( x 0 ) f ( x 0 ) Bu durumda L hospital kuralı uygulayarak çözümü gerçekleştirilir. Örnek 1.60: Lim ( x Ln x ) = 0. Ln0 = 0. ( - ) durumu doğar. x f (x) g (x) Ln x Lim x Lnx = Lim dir. x x 1 x Ln x ( Ln x )' Lim = Lim x 1 x 1 ( ) ' ' x x 1 1 x x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 46
47 = Lim = Lim = - 1 x 1 x x x 1 x = Lim = Lim ( - x) = 0 Bulunur. x 1 x - x Örnek 1.61: 5 Lim ( x - 4 ) x x - ise 5 Lim ( 4-4 ) = Lim 0. x - x x - 4 x - 4 = Lim x 1 x x - Lim 5 5 x - ( x - ) ( x + ) ( x + ) = Lim = Lim x (x - ) = 5. Lim ( x + ) = 5 ( + ) = 5. 4 = Belirsizlik durumu g ( x 0 ) f ( x 0 ) = 0 ve g ( x 0 ) = 0 ve f ( x 0 ) = 0 0 durumu doğar. g ( x 0 ) y = f ( x 0 ) fonksiyonu elde edilmiş olsun. Bu fonksiyonda her iki tarafın logaritması Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 47
48 alınacak olursa, Ln y = g ( x 0 ) Ln f ( x 0 ) olur.bu ifadenin limitide x x 0 Lim Ln y = Lim x x 0 x x 0 g ( x 0 ). Ln f (x 0 ) = 0. durumunda olacağından bir önceki yaptığımız limit metodundan Lim Lny =A Limiti bulunur. Ve burada aranan limit x x 0 Lim y = e A x x 0 elde edilir. Örnek 1.6: Lim X x = 0 0 olur. x y = x Ln x Lim y = Lim x Ln x = 0. Ln 0 = 0. olur. x x 1 Lnx x Lim x Ln x = Lim = Lim = Lim -x = 0 = A x x 1 x 1 x - x x Lim y = e A = e 0 = 1 Bulunur. x Örnek 1.63: Lim x Sinx = 0 0 x y= x Sinx Ln y = Sinx Ln x Lim Ln y = Lim Sinx Lnx = 0. ( - ) olur. x x 1 Lnx x Lim = Lim x 1 x Cosx - Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 48
49 Sinx Sin x 1 Sin x 0 = Lim. ( - ) = x x Cocx 0 Sin x Sinx Cocx 0 = Lim = Lim = =0= A x -x Cosx x - Cosx + x Sinx -1 Lim y = e A = e 0 = 1 Bulunur. x. İNTEGRAL.1 Tanım : Eğer y bilinen bir x değişkeninin fonksiyonu ise dy/dx ifadesinin bulunmasına türev, bunun tersi olan yani bilinen bir fonksiyon dy/dx olduğunda y nin bulunmasına da integral diyoruz. Kapalı bir aralıkta sürekli olan her fonksiyonun integrali bulunabileceğini söyleyebiliriz. Ancak bu prensip teorik olarak doğru olmakla birlikte verilen fonksiyonun integralinin nasıl bulunabileceği hakkında kesin bilgi verememektedir. Aşağıdaki listede fonksiyonlar ve karşılarında onların integralleri gösterilmiştir. C sabit bir sayı olmak üzere bu listenin sağ tarafındaki integrallerin türevlerinin alınması ile sol taraftaki fonksiyonları görmek faydalı olacaktır [10]. Mesala, d d d ( x ) = (x + b ) = dx dx dx (x - ) = x sonucundan; x, x + b, x - fonksiyonlarının her biri x in integralidir denir. Her hangi bir F ( x ) fonksiyonunun en genel integral ifadesi f ( x ) dx = f ( x ) + c dir. Bu yazılımda F ( x ) fonksiyonu F ' ( x ) = f ( x ) şartını gerçekleyen bir ifade ve c de keyfi bir sabittir denir. Görüldüğü gibi türev ve integral birbirinin tersi durumlardaki işlemlerdir. Kapalı aralıkta sürekli her fonksiyonun integrali alınabileceği söylenebilir.ancak yeterli bir tanım değildir.yani bu tanım integral alınan durumları ifade etmez. Şimdi bu iki fonksiyonun türev ve integral durumlarını gözetleyelim. Fonksiyon İntegral Türevi Fonksiyon Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 49
50 x x x. x = x 3x 3 3 x 4 1X = 3x 3 e x e x + c e x = e x..... Temel integrasyon formülleri a, c sabit değerler ve u da x in fonksiyonu olmak üzere aşağıdaki formüller genel integrasyon işlemleri için yazılabilinir. 1 ) a du = au + c dir. a, sabit bir sayı a dx = ax + c dir. x n+1 ) x n dx = + c ( n - 1 ) olmak üzere n+1 dx 3 ) = Lnx + c ( şayet x > 0 ise ) x dx 4 ) = Ln( -x ) + c ( şayet x < 0 ise ) x a x 5 ) a x dx = + c (şayet a > 0 ise ) Lnx 6 ) e x dx = e x + c dir. 7 ) Sin x dx = - Cosx + c 8 ) Cosx dx = Sinx + c 9 ) tanx dx = Ln secx + c 10 ) Ctn x dx = Ln Sinx + c 11 ) Sec x dx = Ln ( Secx + tanx ) + c 1 ) Cscx dx = Ln ( Cscx- Ctnx ) + c Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 50
51 13 ) Sec x dx = tanx + c 14 ) Csc x dx = - Ctnx + c 15 ) Sec x tanx dx = Secx + c 16 ) Cscx tanx dx = - Ctn x + c dx x x 17 ) = Sin -1 + c, - Cos -1 + c a - x a a dx 1 x 1 x 18 ) = tan -1 + c, - Ctn -1 + c a + x a a a a dx 1 x - a 19 ) = Ln ( ) + c eğer x > a x - a a x + a dx 1 x + a 0 ) = Ln ( ) + c eğer x < a a - x a a-x dx 1 ) = Ln ( x + x + a ) + c a + x dx 3 ) = Ln ( x + x - a ) + c x - a.3 İntegral Alma Metodları.3.1 Basit elemanlara ayırma ile integral işlemi Bu tip integral işlemleri, toplam ve fark şeklindeki fonksiyonların veya bir üstlü fonksiyonun integrali biçimindeki işlemlerdir. Terimler daha basit terimler şeklinde yazılarak integral işlemi gerçekleştirilir. Örnek.1: x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 51
52 x dx = + c Üslü bir ifadenin integralinde, üs bir artırılarak aynı üsse bölüm şeklinde integralleme işlemi gerçekleştirilir. Örnek.: dx x = x -3 dx = = - x 3 - x + c Örnek.3: k dx = k dx = kx + c (c = sbt) Bir çarpan integral dışına çıkarılabilinir. Örnek.4: x 1/ x 4 + c = x 1/3 dx = = 4 4x 4/3 + c 3 Örnek.5: 3 = 4. 3 x 4 + c dx x -/3+1 = x -/3 dx = + c = 3 x 1/3 + c 3 x 1 3 = 3. 3 x + c olarak bulunur. Örnek.6: (9x + 1x - 4 ) dx = 9x dx + 1 x dx - 4 dx 9x 3 1x = + - 4x +c 3 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 5
53 Örnek.7: (1-x) x dx = (x 1/ - x 3/ ) dx = x 1/ dx - x 3/ dx 5 = x /3 - x 5/ + c 3 UYGULAMA Aşağıdaki integral işlemlerini yapınız 1) (3s+4) ds =? x +5x-4 ) dx =? x 3) (9s + 4s + 16 ) ds =?.3. Yerine koyma metodu ile integral Bu metod bir fonksiyon fonksiyonunun diferansiyelinin alınışı kuralına dayanır. İlkel fonksiyonunu doğrudan bulamadığımız f(x) fonksiyonunun f(x)dx integralini hesap etmek isteyelim. Bu integralde x=q(u) değişken değiştirmesini yapalım. Burada u nun fonksiyonu olan Q(u) fonksiyonu ile kendisi ve türevi sürekli olan bir fonksiyon gösterilmektedir. Bundan başka ters fonksiyonuda mevcut kabul edilmektedir. O halde dx=q'(u) du olduğundan f(x) dx (1) integrali, f(x) dx= f[q(u)] Q'(u)du [9]. Burada değişken dönüşümü uygun bir şekilde yapılmalıdır. Bu uygun seçim yapılamazsa çözüm zorlaşacaktır. Örnek.8: ( x + 1 ) dx integralini alalım. ( x + 1 ) dx =? du x + 1 = u dx =du dx = u du 1 1 u 3 = u du =. + c 3 1 ( x + 1 ) 3 1 =. + c = c Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 53
54 3 6 Örnek.9: 4-7x = u - 7 dx = du (4-7x) 15 dx =? du dx = u 16 u 15 ( - du / 7 ) = - u 15 du = -. + c = - ( 4-7x ) 16 + c 11 Örnek.10: (3-7x) 3/ dx =? 1 3-7x = u - 7 dx = du dx = du 7 1 u 3/ ( - 1 / 7 du) = - u 3/ du 7 1 u 5/ = - + c = - ( 3-7x ) 3/ + c Örnek.11: (x 3 + ) 1/ x dx =? x 3 + = u 3 x dx = du du x dx = ( u ) 3/. ( u ) 1/ du = + c Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 54
55 Örnek.1: 1 1 ( u ) 3/. ( u ) 1/ du =. + c = x 3 + 1/ + c 9 = (x 3 + ) 3 + c 9 ( x + 3 ) dx =? x + 3 = u dx = du 1 1 = du = ( x + 3 ) +c Örnek.13: x + 6x ) /3. x 4 dx =? = x (1- x ) 1/ dx 1- x = u Örnek.14: = x (1- x ) 1/ dx - 4x dx = du du 1 x.dx = - = u 1/ ( - du ) = - u 3/ + c = - (1- x ) 3/ + c ( lnx ) 3 dx =? x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 55
56 lnx = u 1 dx = du x Örnek.15: ( Ln x) 3 dx = x u 4 1 = u 3 du = + c = 4 4 ( lnx ) 4 x (e -x ) dx integralini bulunuz. = (e -x ) x.dx - x = u ise du - x.dx = du x.dx = = e u ( - du / ) =. e u du = - + c UYGULAMA Aşağıdaki integral işlemlerini yapınız 1) e x dx =? x+1 ) e dx 3) e x (e x + ) 3 dx =? 4) SinxCosx dx =? 5 ) Sin xcosx dx =?.3.3. Kısımlara ayırarak integral alma Kısmi integrasyon formülü temel olarak iki çarpım fonksiyonunun türevinin, d(u.v) = udv + vdu (1) biçiminde yazılması ile bulunur. (1) denkleminin her iki yanın integralinin alınması ile udv = d(uv)-vdu ve buradan udv = uv - vdu Formülü elde edilir[10] Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 56
57 . Örnek.16: x Lnx dx =? Lnx = u dv = x dx parçalamasını gerçekleştirelim. dx x 3 du =, v= elde edilir. x 3 x 3 x 3 dx x 3 1 x Lnx dx = lnx - = lnx - x 3 3 x 3 3 dx Örnek.17: Örnek.18: x 3 1 = lnx - x 3 + c elde edilir. 3 9 lnxdx =? 1 lnx = u dx = du x dx = dv x = v udv = uv - vdu 1 = lnx.x - x..dx x = lnx.x - dx = x.lnx - x + c = x lnx c x 3 Lnx. dx =? Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 57
58 1 lnx = u dx = du x x 4 x 3 dx = dv = v 4 u dv = u v - v du x 4 x 4 1 = Lnx - dx 4 4 x 1 1 = x 4 Lnx - x 3 dx = x 4 Lnx - x 4 + c 4 16 Örnek.19: 1 1 = x 4 Lnx - + c 4 4 e x x dx =? x = u dx = du e x dx = dv e x = v u dv = uv - v du = x.e - e x dx = x e x - e + c = e x ( x - 1 ) + c Örnek.0: x e x dx =? x = u x dx = du e x dx = dv e x = v u dv = uv - v du Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 58
59 = x e x - e x.x dx e x x dx =? x = u dx =du e x dx = dv e x = v u.dv = uv - v.du = x e x - e x dx = x e x - e x + c formülde yerine yazılırsa, = x e x - x e x - e x = x e x - x e x + e x + c Örnek.1: x e x dx =? x = u dx = du du e x dx = dv x = u dx = du dx = e x dx = dv e du 1 = dv e x = v u du = uv - v du 1 1 = x e x - e x. dx 1 1 = x e x - e x dx = x e x -. e x + c 1 1 = e x x - + c Örnek.: Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 59
60 x e -x dx =? x = u dx = du e -x dx = dv -e -x = v u dv = uv - v du = x. (-e -x ) - -e -x. dx = - x e -x - e -x + c = e -x ( - x - 1 ) + c.3.4. Rasyonel kesrin integrali T(x) ve P(x) polinomlarının T(x)/P(x) bölümü her zaman K(x) gibi rasyonel bir fonksiyon olarak gösterilebilinir. Şayet k(x) rasyonel fonksiyonu, T(x) dx = K(x) dx P(x) biçiminde yazılması durumunda bunun integralini basit fonksiyonlar türünden elde etmek mümkündür. Bu tip integrallerin hesaplanmasında iki metod uygulanır. Bunlardan birincisi T(x) polinomunun derecesinin P(x) e eşit veya ondan daha büyük olması hali, diyeri ise P(x) in derecesinin T(x) den küçük olması halidir. 1) T(x) in derecesinin P(x) e eşit veya ondan küçük olması durumunda T(x) polinomu P(x) le bilinen metoda göre bölünür T(x) in derecesi P(x) den küçük olana kadar bu işleme devam edilir. Bu bölme neticesi elde edilen rasyonel fonksiyonun sabit değerleri bulunur P(x) çarpanlarına ayrılır. Ve basit kesirler şeklinde integral işlemleri gerçekleştirilir. Örnek.3: x + 3x + 5 R ( x ) = için ; x + 1 x + 1 x + 3x + 5 x x x + Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 60
61 x + 5 x + 3 Kalan x + 3x Kalan = x + + x + 1 x + 1 bolen Bolum Bölünen = Bölüm + Bölen Kalan olarak formüle edilebilir. Bölen x + 3x +5 3 dx = ( x + ) dx + dx x + 1 x + 1 x = + x + 3 ln ( x + 1 ) + c Örnek.3: x 3 + dx =? İntegralini alınız x + x 3 + x +.. x -x Buna göre rasyonel ifade şu şekilde yazılabilinir. x = x - x x + x+ x = (x - x + 4) dx - dx x + x+ x 3 x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 61
62 = x - 6 ln (x+) + c 3 Örnek.5: x 4 - x 3-3x -x+ dx =? x 3 + x -x x 4 - x 3-3x -x+ x - 6 x + = x - + x 3 + x -x x(x-1)(x-) x - 6 x + A B C = x(x-1)(x-) x x - 1 x - x - 6 x + = A(x-1) (x+) + Bx(x+) + cx(x-1) eşitliği yazılabilinir. Buradan, 1 = A+B+C -6 = A+B-C = -A Denklem sisteminden değerler hesaplanırsa A=-1 B=-1 C=3 Bu değerler yukarıda denklemde yerine yazılırsa, x -6x = Buradan integral işlemine geçilirse, x(x-1)(x-) x x-1 x+ x 4 - x 3-3x -x+ dx dx dx = x dx - dx x 3 + x -x x x-1 x+ x = -x -lnx-ln(x-1)+3ln(x+)+c Şayet payın derecesi paydanın derecesinden daha küçükse o durumdabu tip fonksiyonlara has rasyonel fonksiyon adı verilir. Bu tip fonksiyonların integrali has kesirlerin integralleri şeklinde alınır. A f ( x ) = ( ax + b ) n ise, n pozitif tam sayının n = 1 veya n olması halinde şu şekillerde integrallenebilir. A A Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 6
63 dx = Ln ax+b + c formülü yardımı ile hesaplanır. ax + b a Bu formülü elde etmek için değişken dönüşümü yardımı ile yapalım. ax + b = u dersek du 1 a dx = du dx = =. du a a Örnek.6: 3 dx =? 3x + A dx = A dx = A. du ax + b ax + b u a A du A = = Ln u + c formülünden hesaplanır. a u a 3x+ = u ise 3 dx = du buradan dx = du/3 elde edilir. 3 dx = ln u + c = ln (3x+) +c 3x + Örnek.7: dx =? -6x+5-6x+5 = u ise, -6dx=du, dx = -du/6 elde edilir. du. ( - - ) = - - lnu + c u 6 6 = - ln (-6x+5) +c elde edilir. 6 UYGULAMALAR Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 63
64 Aşağıdaki ifadelerin integralini alınız. x 4 + 3x + 1) dx =? x - 3x x 3 + 3x+5 ) dx =? x + 1 x 4 - x 3-3x -x+ 3) dx =? x 3 + x -x x 4) dx =? x - 9 x 3 5) dx =? x +x+1 9 6) dx =? (5x-8) 6 7) dx =? x - 1 8x- 8) dx =? x -x-4 x- 9) dx =? x Trigonometrik integraller Trigonometrik integral alma işlemlerinde bazı özel trigonometrik bağıntılardan istifade edilmelidir. Bu bağıntılar şunlardır. 1 ) Sin x + Cos x = 1 ) 1 + tan x = Sec x 3 ) 1 + Cot x = Csc x Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 64
65 1 4 ) Sin x = ( 1 - Cos x ) 1 5 ) Cos x = ( 1 + Cos x ) 1 6 ) Sinx. Cosx = Sinx 1 7 ) Sinx.Cosx = Sin (x - y ) + Sin ( x + y ) 1 8 ) Sin x. Cosx = Cos ( x - y ) - Cos ( x + y ) 1 9 ) Cosx Cosy = Cos ( x- y ) + Cos ( x + y ) 1 10 ) 1 -Cos x = Sin x 1 11 ) 1 + Cos x = Sin x 1 1 ) 1 - Sin x = 1 - Cos ( - x ) Örnek.8: Sin x dx = ( 1 - Cosx ) dx = x - Sinx + c 4 Örnek.9: Cos 4x Cos x dx = ( Cosx + Cos 6x ) dx = Sinx + Sin6x + c 4 1 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 65
66 Örnek.30: Cos 5 x dx = Cos 4 x Cosx dx = (1- Sin x) Cosx dx = Cosxdx - Sin xcosx dx + Sin 4 x Cosx dx 1 = Sinx - Sin 3 x + Sin 5 x + c 3 5 UYGULAMALAR Aşağıdaki integralleri alınız 1) Cos 6 x dx =? ) Sin7x dx =? 3) Cos(3x+) dx =? 4) Sin (5x) dx =? 5) Cos 3x dx =? 6) Sin3x Cos5xdx =? 7) Sin ( 8x +4) =? 8) 1-Cosx dx =?. 4 Belirli İntegral y = f ( x ) fonksiyonu ( a, b ) kapalı aralığından sürekli bir fonksiyon F ' ( x ) = f ( x ) olsun. Bu ifadeye bağlı olarak, a b f (x) dx = F (x) = F ( b ) - F ( a ) yazılabilinir. b a Bu durumda önceden görülen integral alma metotları, belilrli integral içinde geçerlidir.bu işlemlerde görüldüğü gibi integral bulunan değerlerde önce b sonra a değeri yazılıpfarkı alınacak demektir. Buradaki a ve b sabit değerlerine integrasyon sınırları denilir.a ya alt sınır b yede üst sınır denir. Bu söylenenleri örneklerle açıklayalım. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 66
67 Örnek.31: 3 x x dx = = - = - = UYGULAMALAR : Aşağıdaki belirli intergal işlemlerini yapınız. x 1- x e dx =? (x 4 + x+1 ) dx =? П/ 3- Sinx dx =? 0 П/ 4- Cos x dx =? 0 3. MATRİSLER DETERMİNATLAR LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Tanım m satır n tane sütun olmak üzere m x n elemanlı sayı tablosuna marris denir. a 11 a 1... a 13 a 1 a... a 3... a 31 a 3... a 33 Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 67
68 Burda m x n tane eleman olup, her eleman reel, komplenks bir sayıya yada bir fonksiyona tekabül eder. Bu matris kısaca A i, j ( i = 1,,... m, j = 1,,...n ) şeklinde gösterilir. Burada i satır umarası j de sütun numarası dır. Örnek olarak a 34 elemanı 3. satır 4. sütunu göstermektedir. m x n eleman ihtiva eden matrisin boyutu m x n dir denir [11]. 3.. Kare Matris Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a n1 n... a 3n n x n 3 8 A = Matrisi 3 satır ve 3 sütundan meydana gelip sütun sayısı satır sayısına eşit olduğundan ( m = n ) A i, j matrisi kare matrisidir. 3.3 Satır Matrisi Bir tek satırdan ibaret olan matrise satır matrisi denir. C = satır matrisidir. Eleman sayısı m x n dir. Burada 1 x 5 = 5 dir. Kısaca matris 1 x m şeklinde gösterilebiliniyorsa satır matristir. 3.4 Sütun Matris Bir sütundan ibaret olan veye n x 1 şeklinde yazılabilen matrise sütun matris denir. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 68
69 1 D = 3 matrisini ele alalım. n sütun sayısı 1 tane m satır sayısı ile dört tanedir. m x n = 4 x 1 = 4 elemanı mevcuttur. Satır matrisi 1x m, sütun matrisi n x 1 eleman sayısına eşittir. 3.5 Sıfır Matrisi Bir matrisin farklı elemanı yoksa yani elemanları sıfıra eşitse bu matrise sıfır matrisi denir. C = ise C ye sıfır matrisi denir. 3.6 İki Matrisin Eşitliği X matrisi m x n, y matriside m x n olacak şekilde x i, j, y i, j matrislerini göz önüne alalım. Bu yazılımda anlaşılıyorki x satır ve sütun, y nin satır ve sütun sayıları eşittir. Satır ve sütun sayıları eşit olan bu iki matrisin karşılıklı elemanlarıda eşitse bu iki matrise eşit matris denir. x 11 x 1... x 1n y 11 y 1... y 1n X = ve Y = x m1 x m.. x mn y m1 y m... y mn a b c x =, y = d e f 3 3 x = y ise ; a = 1 b = -1 c = d = e = 3 f = 3 olmalıdır. Örnek 3.1: 3 0 y z 0 A =, B = 4 7 x matrisleri veriliyor, A = B olması için x, y, z ne olmalıdır. A = B olması satır ve sütun eşitliği yanında karşılıklı elemanlarının da eşit olması idi. Buradan ; Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 69
70 Örnek 3.: 3 = y, = z, x = 3 olmalıdır. x + y 7 5x - y A = B = matrislerinin eşit olması için x ve y hangi değerleri almalıdır. 5x - y = x + y = 7 x = 7 - y 5x - y = 5( 7 - y ) - y = 35-10y - y = -11y = - 35 = -11 y = -33 y = 3 5x -3 = 3 5x = 5 x = 1 bulunur. 3.7 Matrisin Transpozesi Bir m x n A matrisinde satırlarla sütunların yerleri değiştirilmek sureti ile elde edilen n x m boyutlu A ' matrisine, A matrisinin transpozesi denir. A = ( a ns ) ise A ' = ( a sr ) dir. A ' nın transpozeside ilk A matrisidir. Özel olarak bir satır matrisinin transpozesi sütun matrisi, sütun matrisinin transpozezi satır matrisidir A = 7 6, A' = dır. (A' ) ' = A olduğu görülür. Örnek 3.3: A = A' = Bir Matrisin Transpozesinin Özelliği 1 ) A matrisini m x n boyutlu ise A' ( A t ) de n x m boyutludur. Matematik- Dersleri Öğr.Gör.Mahmut KÜÇÜK Sayfa 70
x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıY = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
DetaylıMATEMAT K 6 ÜN TE II NTEGRAL
ÜN TE II NTEGRAL ntegralin tan m ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıMATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.
Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıHalit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN
YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıİNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ
İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıGelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören
Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıDeğişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
DetaylıÜstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMATEMATiKSEL iktisat
DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
Detaylı1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.
-A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
DetaylıBir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.
Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda
Detaylı18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak
MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:
Detaylımatematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıSınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı