Kirişlerde kesit tesirleri

Transkript

1 Kirişlerde kesit tesirleri Kirişlerde Kesit Tesirleri 1 Örnek olarak şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan bir kiriş göz önüne alalım. F q Kirişin yüklerinin hepsi aynı düzlem içerisinde yer almaktadır. Serbest cisim diyagramını çizip mesnet tepkilerini bulmuş olalım. F q Kirişin ekseni Kirişin ekseni R R

2 Kirişlerde Kesit Tesirleri 2 Kirişi herhangi bir yerinden hayali olarak keserek iki parçaya ayıralım. F q E R R Kiriş dengede olduğu için parçaları da dengededir. Soldaki parçanın dengede kalmasını sağlayan kuvvetler sağdaki parça tarafından uygulanır. Sağdaki parçanın dengede kalmasını sağlayan kuvvetler de soldaki parça tarafından uygulanır. İşte bu kuvvetlere "kesit tesirleri" denir. F q E E R Kesit tesirleri R Soldaki parça Sağdaki parça Kesit tesirlerinden birisi kuvvettir () ve birisi de kuvvet çiftidir (). Eğer, kirişin eksenine paralel yük de varsa kesit tesiri kuvvetin eksene paralel bileşeni de (N) olur.

3 Kirişlerde Kesit Tesirleri 3 F Eğilme momenti q E E R Kesme kuvveti R Parçalardan birisinin yüzeyine etki eden kuvvetlerle diğerinin yüzeyine etki eden kuvvetler, etki-tepki prensibine göre eşit şiddette ve zıt yöndedir. Kesit tesirleri, genellikle, yukarıdaki gibi değil aşağıdaki gibi kuvvetlerin sadece şiddetini gösteren semboller ile gösterilir. F q E E R R Soldaki parça Sağdaki parça Kesit tesirlerini bulmak için parçalardan birisinin dengesini incelemek yeterli olur. Genellikle, kuvvet sayısı az olan ve işlemleri sade olan parçanın dengesi incelenir.

4 Kirişlerde Kesit Tesirleri 4 Örnek Problem 1 1 m 2 m 1 m Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişin mesnedinin 2 m sağındaki kesidinde ortaya çıkan kesme kuvveti yi ve eğilme momenti yi bulunuz. =? =? Σ = R (4) (1) = R = 2.5 kn 1 kn m 2 kn 2 kn + ΣF = R 2 + R = R = 17.5 kn R 1 kn m R Soldaki parça: 1 m 1 m Sağdaki parça: Y 2 kn 1 kn m R = 2.5 kn 1 m 1 m R = 17.5 kn + ΣF = Σ = + ΣF = Σ = R = R (2) 1 + = 2 + R = 2 (1) + R (2) = = 2.5 kn = 15 kn m = 2.5 kn = 15 kn m

5 Kirişlerde Kesit Tesirleri 5 Örnek Problem 2 Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişin, noktasının 35 mm sağındaki kesidinde ortaya çıkan kesme kuvveti yi ve eğilme momenti yi bulunuz. =? =? R = lan R = 3(1) = 3 N Σ = 1 kn/m 25 mm 3 mm R 55 mm 15 mm R R (15) R (55) = R = 818 N R 1 = lan R 1 = 1(1) = 1 N + ΣF = R R 1 + = = 182 N R 35 mm 5 mm Σ = + R 1 (5) R (35) = = N m

6 Kirişlerde kesit tesiri diyagramları Kirişlerde Kesit Tesirleri 6 - Hangi kesitte ne kadar kesit tesiri vardır? - Kesit tesirlerinin en büyük değeri aldığı kesit hangisidir? gibi sorulara cevap arandığı zaman kesit tesiri diyagramları çizilir. unun için de, kesit tesirlerinin kiriş ekseni boyunca değişimini veren bağıntılar bulunmalıdır. u bağıntılar, genellikle, den ye değişir. Kiriş, dış kuvvetlere göre lere ayrılarak her bir için geçerli olan bağıntılar bulunur. Kiriş lere ayrılırken, sınırları aşağıdaki durumlarda başlatılır veya bitirilir. F q E H R R Tekil kuvvet olan noktalar Tekil moment (=kuvvet çifti) olan noktalar Yayılı kuvvetin başladığı veya bittiği yerler Yayılı kuvvetin fonksiyonunun değiştiği yerler

7 Kirişlerde Kesit Tesirleri 7 Örnek olarak şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan bir kiriş göz önüne alalım. u kirişin yüklerinin hepsi aynı düzlem içerisinde yer almaktadır. F q Kirişin ekseni Kirişin ekseni esnet tepkilerini bulduktan sonra kirişin lerini belirleyelim. F q R R I. II. III. I.

8 Kirişlerde Kesit Tesirleri 8 -eksenini, kirişin eksenine paralel olarak seçelim. -koordinatı sağa doğru artsın. Kirişe etki eden dış kuvvetlerden en soldakinin etki ettiği nokta orijin kabul edilir. u kuvvetin solunda kalan kısımda zaten kesit tesirleri yoktur. = F q R R I. de geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla noktası ile noktası arasında, in herhangi bir değerine karşılık gelen bir yerden hayali olarak kesip soldaki parçayı göz önüne alalım. Soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri denge denklemlerinden bulunur. R E Soldaki parça ΣF = = R = sabit Σ E = = f() = R = f() nin e göre değişimini veren bağıntı nin e göre değişimini veren bağıntı I. de ( < < )

9 Kirişlerde Kesit Tesirleri 9 u sefer de II. de geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla noktası ile noktası arasında herhangi bir yerden keselim. öylece kesitinden kesitine kadar olan de geçerli olan bağıntılar bulunur. = F q R R Soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri denge denklemlerinden bulunur. R F Soldaki parça E ΣF = = R F = sabit = f() Σ E = _ = R F ( ) = f() nin e göre değişimini veren bağıntı nin e göre değişimini veren bağıntı II. de ( < < ) u işlemler bu şekilde son ye kadar yapılır.

10 Kirişlerde Kesit Tesirleri 1 Şimdi de en son de geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla noktasının sağındaki herhangi bir yerden keselim. Örnek olsun diye de sağdaki parçayı göz önüne alalım. = F q R R iyagram çizmek için kullanacağımız bağıntıları elde etmek amacıyla bir parçanın serbest cisim diyagramını çizerken kesit tesirlerinin yönlerini kestirmek mümkün olabilir. ma biz yine de daima pozitif yöndeymiş gibi gösteririz. Eğer pozitif yönde değilse zaten denge denklemlerinden elde edilen sonuç hangi yönde olduğunu ortaya koyar.... q Not: Pozitif kesit tesirlerinin hangi yönde oldukları ilerde anlatılmıştır. Sağdaki parça

11 Kirişlerde Kesit Tesirleri 11 Sağdaki parçaya etki eden kesit tesirlerini denge denklemlerinden bulalım. Kesit tesirlerini soldaki parçadan da bulabilirdik. ma işlemlerin sadeliğinden dolayı sağdaki parçayı tercih ettik.... R R = lan = q (L ) E (L )/2 (L ) = L Sağdaki parça ΣF = = R = q (L ) = f() nin e göre değişimini veren bağıntı I. de ( < < L ) Σ E = = R (L )/2 = q (L ) 2 /2 = f() nin e göre değişimini veren bağıntı u işaret yön belirtir. Şekildeki yönde değil, ters yöndedir. Kesit tesiri diyagramı çizerken bu değer eğilme momentinin negatif olduğu tarafta gösterilir. u işlemler bu şekilde kiriş lere ayrılarak sol baştan sağ başa kadar yapılır. Her için elde edilen bağıntıların grafikleri uygun ye çizilir.

12 } Kirişlerde Kesit Tesirleri 12 Grafik çizerken kesit tesirlerinin yönünden kaynaklanan işaretler aşağıdaki gibi dikkate alınır. İşaret kabulü Soldaki parça Sağdaki parça (+) Pozitif taraf ( ) Negatif taraf Pozitif tarafta gösterilecek kesit tesirlerinin yönleri Negatif tarafta gösterilecek kesit tesirlerinin yönleri } Soldaki parça Sağdaki parça Şekilden de görüldüğü gibi, etki-tepki prensibine göre, soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri sağdaki parçaya etki eden kesit tesirleri ile zıt yöndedir. ma buna rağmen, soldaki parçaya etki eden kesit tesiri pozitif ise sağdaki parçaya etki eden kesit tesiri de pozitif kabul edilir. Yani bir kesit tesirinin kendisi pozitif ise tepkisi de pozitif kabul edilir.

13 Kirişlerde Kesit Tesirleri 13 Örnek Problem 3 1 m 2 m Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişin kesit tesiri diyagramlarını çiziniz. 2 kn 1 m 1 kn m Kirişin serbest cisim diyagramını çizip mesnet tepkilerini bulalım. Σ = R (4) (1) = R = 2.5 kn R 1 kn m 2 kn R + ΣF = R 2 + R = R = 17.5 kn Kirişi lere ayıralım. I. II. III.

14 Örnek Problem 3 (devamı) 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 14 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn I. II. III. I. ölge: ( < < ) E ΣF = = 2.5 kn = sabit = f() nin e göre değişimini veren bağıntı 1 m 2.5 kn =, kn Σ E = = 2.5 = f() nin e göre değişimini veren bağıntı 2.5 = 2.5 kn = sabit 1, m, kn m = , m

15 Örnek Problem 3 (devamı) 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 15 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn I. II. III. II. ölge: ( < < ) 1 m 3 m 2.5 kn 1 m 1 kn m E ΣF = = 2.5 kn = sabit Σ E = = , kn = 2.5 kn = sabit 3, m, kn m = , m

16 Örnek Problem 3 (devamı) 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 16 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn I. II. III. III. ölge: ( < < ) 3 m 4 m 2.5 kn 1 m 1 kn m 2 m 2 kn E ΣF = = 17.5 kn = sabit Σ E = = , kn , m 17.5, kn m = 17.5 kn = sabit = , m

17 Örnek Problem 3 (devamı) 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 17 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn I. II. III. III. ölge: ( < < ) 3 m 4 m EY E 17.5 kn ΣF = = 17.5 kn = sabit Σ E = = L, kn = L = 4 m , m 17.5, kn m = 17.5 kn = sabit = , m

18 Örnek Problem 4 Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişin kesit tesiri diyagramlarını çiziniz. Kirişin serbest cisim diyagramını çizip soldaki mesnet tepkisini bulalım. R = 3 (1) = 3 N Kirişlerde Kesit Tesirleri 18 1 kn/m 25 mm 3 mm Σ = R (15) R (55) = R = 818 N R = lan + ΣF = R R + R = R = 2182 N Kirişi lere ayıralım. R I. II. R

19 Kirişlerde Kesit Tesirleri 19 Örnek Problem 4 (devamı) 1 kn/m I. ölge: ( < < ) 25 mm 818 N I. II N 818 N =, N 818 E = 818 N = sabit 25 ΣF = = 818 N = sabit Σ E = =.818, mm = f() = f() nin e göre değişimini veren bağıntı nin e göre değişimini veren bağıntı, N m 24.5 = , mm

20 Kirişlerde Kesit Tesirleri 2 Örnek Problem 4 (devamı) 1 kn/m 818 N I. II N R 1 = lan II. ölge: ( < < ) 25 mm E ΣF = = mm 55 mm 818 N ( 25)/2 Σ E = = =, N = , mm 2182, N m = , mm

21 Kirişlerde kesit tesiri diyagramlarının özellikleri Kirişlerde Kesit Tesirleri q = f () q d Herhangi bir kirişin genel yüklemeye maruz bir bölümünü gözönüne alalım. u bölümün de herhangi bir yerinden diferansiyel uzunlukta bir parçasını çıkarıp dengesini inceleyelim. q q+dq + ΣF = u terim ihmal edilebilir. 1 qd dq d (+d) = 2} = = + d +d +d d q = d... d Kesme kuvveti diyagramının teğetinin eğiminin negatifi, yayılı yükün o noktadaki değerini verir. d = q d d = q d Kesme kuvveti fonksiyonunun derecesi, yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 1 fazladır. } Δ } Yayılı yük grafiğinin altında kalan alan Yayılı yük grafiğinin altında kalan alanın negatifi, gözönüne alınan aralıkta, kesme kuvvetindeki değişimi verir.

22 Kirişlerde Kesit Tesirleri 22 = = + d q q+dq +d +d noktasına göre moment alıp ihmal edilebilecek terimleri de ihmal ederek: Σ = d = d... d Eğilme momenti diyagramının teğetinin eğimi, kesme kuvvetinin o noktadaki değerini verir. d = d d = d Eğilme momenti fonksiyonunun derecesi, kesme kuvveti fonksiyonun derecesinden 1 fazladır ve yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 2 fazladır. } Δ } Kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan Kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan, gözönüne alınan aralıkta, eğilme momentindeki değişimi verir.

23 q = 1 kn/m = sb. q = 1 Kirişlerde Kesit Tesirleri 23 q = = sb. R I. II. R d q = d, N 818 eğim = = sb Kesme kuvveti diyagramının teğetinin eğiminin negatifi, yayılı yükün o noktadaki değerini verir., mm = eğim = 1 kn/m = sb. d = q d Kesme kuvveti fonksiyonunun derecesi, yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 1 fazladır., N m = Eğilme momenti fonksiyonunun derecesi, kesme kuvveti fonksiyonun derecesinden 1 fazladır ve yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 2 fazladır., mm d = d

24 Kirişlerde Kesit Tesirleri 24 q = 1 kn/m lan = Δ Δ = lan = 3 N { 1 Δ R, N 818 I mm II. = Δ = R Yayılı yük grafiğinin altında kalan alanın negatifi, gözönüne alınan aralıkta, kesme kuvvetindeki değişimi verir., mm d = q d

25 Kirişlerde Kesit Tesirleri 25, N , N m = sb. eğim = sb = = 55 Kesme kuvvetin sıfır olduğu yerde, eğilme momenti ekstremum (maksimum veya minimum) olur. eğim =, mm = , mm = d d Eğilme momenti diyagramının teğetinin eğimi, kesme kuvvetinin o noktadaki değerini verir. Kesme kuvvetinin pozitif olduğu yerde eğim pozitiftir, negatif olduğu yerde eğim negatiftir.

26 Kirişlerde Kesit Tesirleri 26, N Δ = 24.5 N m 818 lan = Δ 25 Negatif alan 55, mm 2182, N m { 24.5 Δ Δ = Kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan, gözönüne alınan aralıkta, eğilme momentindeki değişimi verir. 55, mm d = d

27 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 27 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn, kn I. Tekil kuvvetler, II. III. kesme kuvveti diyagramında kendileri kadar sekme oluşturur , m 17.5

28 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 28 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn, kn m I. II. Tekil kuvvetler, III. eğilme momenti diyagramının eğiminde ani değişime sebep olur eğim= , m 17.5

29 Kirişlerde Kesit Tesirleri 29 2 kn 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn, kn I. Tekil momentler, II. kesme kuvveti diyagramını etkilemezler. III , m 17.5

30 2 kn Kirişlerde Kesit Tesirleri 3 1 kn m 2.5 kn 17.5 kn I. II. III., kn m Tekil momentler, eğilme momenti diyagramında kendileri kadar sekme oluşturur , m