Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız"

Transkript

1 Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek yarıçapının artış hızını ölçmekten çok daha kolaydır. Bağımlı hız problemlerindeki fikir, bir niceliğin değişim hızını (ölçümü daha kolay olabilen) diğer bir niceliğin değişim hızı cinsinden hesaplamaktır. Bunun için yöntem; iki niceliğe bağlı bir denklem bulmak ve sonra zincir kuralını kullanarak her iki tarafın zamana göre türevini almaktır. Örnek 1. Küresel bir balon içine hava pompalandığında balonun hacmi 100 cm 3 /sn hızla artıyor. Balonun çapı 50 cm olduğunda yarıçapındaki artış hızı ne kadardır? Çözüm: İki şeyi tanımlamakla başlıyoruz: verilen bilgi: havanın hacminin artış hızı 100cm 3 /sn dir. bilinmeyen: çap 50 cm olduğunda yarıçapın artış hızıdır. Anımsanması gereken ana düşünce değişim hızlarının türevler olduğudur. Bu problemde, hacim ve yarıçap t zamanına bağlı fonksiyonlardır. Hacmin zamana göre artış hızı dv/dt türevi ve yarıçapın artış hızı dr/dt türevidir. Verileni ve bilinmeyeni yeniden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: verilen: dv dt = 100 cm3 /sn bilinmeyen: r = 25 cm olduğunda dr dt dv/dt ve dr/dt arasında bağlantı kurmak için önce V ile r arasında kürenin hacim formülü ile bağlantı kuracağız: V = 4 3 πr3 Verilen bilgileri kullanmak için bu denklemin her iki tarafının t ye göre türevini alacağız. Sağ tarafın türevini almak için zincir kuralını kullanmaya gereksinim vardır: dv dt = dv dr dr dt = 4πr2 dr dt dv dt = 4πr2 dr dt. 1

2 2 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Şimdi bu denklemden bilinmeyeni çöze. dr dt = 1 dv 4πr 2 dt Eğer bu denklemde r = 25 ve dv/dt = 100 koyarsak dr dt = 1 4π(25) = 1 25π elde ederiz. Buradan balonun yarıçapının (1/25π) cm/sn hızla arttığını görürüz. Örnek ft uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara dayanıyor. Merdivenin altı 1 ft/sn hızla kayarak duvardan uzaklaşırsa, merdivenin alt kısmının duvardan uzaklığı 6 ft olduğu anda üstünün duvardan aşağıya kayma hızı nedir? Çözüm: İlk olarak Şekil 4.1 deki gibi bir şema çize ve adlandıralım. Şekil 4.1: Merdivenin altından duvara olan uzaklık x ft ve merdivenin tepesinden yere olan uzaklık y ft olsun. Burada x ve y değerleri t (zaman) nin fonksiyonlarıdır. Bize dx/dt = 1 ft/sn olduğu veriliyor ve x = 6 ft olduğunda dy/dt değerini bulmamız isteniyor. Problemde, x ve y arasındaki ilişki Pisagor Teoremi ile elde edilir: x 2 + y 2 = 100

3 4.1. BAĞIMLI HIZ 3 Zincir kuralını kullanarak her iki tarafın t ye göre türevini alırsak olur ve bu denklemden isteneni çözersek 2x dx dt + 2y dy dt = 0 dy dt = x dx y dt buluruz. x = 6 olduğunda Pisagor Teoreminden y = 8 olur. Bu değerleri ve dx/dt = 1 i yukarıdaki denklemde yerine koyarsak dy dt = 6 8 (1) = 3 4 ft/sn elde ederiz. dy/dt nin negatif olmasının anlamı merdivenin üstünden yere olan uzaklığın (3/4) ft/sn oranında azalmasıdır. Diğer bir deyişle, merdivenin üstü duvardan (3/4) ft/sn hızla aşağıya doğru kaymaktadır. Örnek 3. Bir su tankı, taban yarıçapı 2 m ve yüksekliği 4 m olan ters çevrilmiş bir koni şeklindedir. Eğer tank içine 2 m 3 /da hızla su pompalanırsa, derinlik 3 m olduğu zaman su seviyesinin artış hızını bulunuz. Çözüm: İlk olarak Şekil 4.2 deki gibi bir çembersel koni çizip isimlendirme yapalım. V, r, h sırasıyla suyun t anındaki hacmi, yüzeyinin yarıçapı ve yüksekliği olsun. Burada t dakika ile ölçülmüştür. Şekil 4.2: Bize dv/dt = 2 m 3 /da olduğu veriliyor ve h = 3 m olduğunda dh/dt değerini bulmamız isteniyor. V ve h arasındaki ilişki V = 1 3 πr2 h denklemi ile verilir. Fakat V yi sadece h nin fonksiyonu olarak ifade etmek çok yararlıdır. r yi yok etmek için Şekil 4.2 deki benzer üçgenleri kullanırız. Buradan elde ederiz. Bunu V de terine yerleştirirsek r h = 2 4 ve r = h 2 V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h3

4 4 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI olur. Şimdi her iki tarafın t ye göre türevini alabiliriz: dv dt = π dh h2 4 dt ve böylece dh dt = 4 dv πh 2 dt dir. h = 3m ve dv/dt = 2m 3 /da yı yerine koyarsak buluruz. dh dt = 4 π(3) 2 2 = 8 9π 4.2 Maksimum ve Minimum Değerler 0.28 m/da Diferansiyel hesabın en önemli uygulamalarından biri, bir işi yapmanın en iyi yolunu bulmak olan optimizasyon problemleridir. Maliyeti minimum yapmak için bir kutunun şekli nasıl olmalıdır? Bir uzay mekiğinin maksimum ivmesi ne olmalıdır? (Bu ivmenin etkilerine katlanmak zorunda olan astronotlar için önemli bir sorudur.) Bu problemler bir fonksiyonun maksimum ya da minimum değerlerini bulmaya indirgenebilir. Şimdi ilk olarak maksimum ve minimum değerlerle tam olarak ne demek istediğimizi açıklayalım. Tanım 1. f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır. f(c) sayısına f nin D deki maksimum değeri denir. Benzer olarak, D içindeki her x için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f(c) sayısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve minimum değerlerine f nin uç değerleri denir. Şekil 4.3: Şekil 4.3, d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak minimuma sahip olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Bu grafik üzerindeki en üstteki noktanın (d, f(d)) ve en alttaki noktanın (a, f(a)) noktası olduğuna dikkat ediniz.

5 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 5 Tanım 2. x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu (ya da [ göreli maksimum) vardır denir. ] Bunun anlamı c yi içeren bir açık aralık içindeki her x için f(c) f(x) olmasıdır. Benzer olarak, x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f nin c noktasında bir yerel minimumu vardır denir. Örnek 4. Her x için ve herhangi bir n tamsayısı için 1 cos x 1 cos 2nπ = 1 olduğundan, f(x) = cos x fonksiyonu (yerel ve mutlak) minimum değeri olan 1 i sonsuz kez alır. Benzer olarak herhangi bir n tamsayısı için cos(2n + 1)π = 1 fonksiyonun minimum değeridir. Örnek 5. f(x) = x 2 ise her x için x 2 0 olduğundan f(x) f(0) dır. Dolayısıyla f(0) = 0 değeri f nin mutlak (ve yerel) minimum değeridir. Bu y = x 2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir. Bununla beraber, parabol üzerinde en üst nokta yoktur ve bu yüzden bu fonksiyonun maksimum değeri de yoktur.

6 6 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Örnek 6. Şekil 4.4 de gösterilen f(x) = x 3 fonksiyonunun grafiğinden, fonksiyonun hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerinin olmadığını görüyoruz. Aslında yerel uç değerleri yoktur. Şekil 4.4: Şekil 4.5 de f(x) = 3x 4 16x x 2 1 x 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Şekil 4.5: Buradan f(1) = 5 in yerel maksimum ve f( 1) = 37 nin mutlak maksimum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir yerel maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur.] Ayrıca f(0) = 0 yerel minmum ve f(3) = 27 hem yerel hem de mutlak minimumdur. Burada f nin x = 4 de ne yerel ne de mutlak maksimum olmadığına dikkat ediniz.

7 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 7 Theorem 1. f fonksiyonu bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, c ve d sayıları, [a, b] kapalı aralığında olmak üzere, f(c) mutlak maksimum değerini ve f(d) mutlak minimum değerin alır. Şekilde, Uç Değer Teoreminin hipotezlerinden birini kaldırdığımızda (süreklilik ya da kapalı aralık) fonksiyonun uç değerlere sahip olması gerekmediğini gösterir. Uç Değer Teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söyler, fakat bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şey söylemez. Yerel uç değerleri arayarak işe başlayalım. Şekil 4.6, c de bir yerel maksimumu ve d de bir yerel minimumu olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve minimum noktalarda teğet doğruları yataydır ve bunun sonucu olarak her birinin eğimi 0 dır. Türevin teğet doğrusunun eğimi olduğunu biliyoruz. Bu nedenle f (c) = 0 ve f (d) = 0 dır. Şekil 4.6: Fermat teoremi bu sonucun türevlenebilir fonksiyonlar için daima doğru olduğunu söyler.

8 8 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Theorem 2. Fermat Teoremi : f (c) = 0 dır. Eğer f, c noktasında yerel maksimuma ya da minimuma sahip ve f (c) varsa f (c) = 0 olduğunda f nin c noktasında maksimumu ya da minimumu olması gerekmez. (Diğer bir deyişle, Fermat teoreminin tersi genelde doğru değildir.) Şekil 4.7: f (0) = 0 fakat maksimum yada minimum yok Şekil 4.8: f(0) = 0 minimum değer fakat f (0) yok. Tanım 3. f bir fonksiyonu ve c sayısı f nin tanım kümesi içinde olsun. Eğer f (c) = 0 ya da f (c) yoksa c ye f nin bir kritik sayısı denir.

9 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 9 Örnek 7. f(x) = x 3/5 (4 x) fonksiyonunun kritik sayılarını bulunuz. Çözüm: Çarpım kuralı ile f (x) = 3 5 x 2/5 (4 x) + x 3/5 ( 1) = 3(4 x) 5x 2/5 x 3/5 = 3(4 x) 5x 5x 2/5 = 12 8x 5x 2/5 olur. [Aynı sonuç, ilk olarak f(x) = 4x 3/5 x 8/5 yazılarak elde edilebilir.] Böylece, f (x) = 0 dan f (x) = 12 8x 5x 2/5 12 8x = 0 olur. Buradan x = 3 2 elde ederiz. x = 0 noktasında türev yoktur. Sonuç olarak, 3 ve 0 kritik sayılardır. 2 Kritik sayının tanımından sonra Fermat teoremi aşağıdaki gibi de yazılabilir: Theorem 3. Eğer f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c noktası f nin bir kritik sayısıdır. Kapalı Aralık Yöntemi Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksiyonun mutlak maksimum ya da minimum değerlerini bulmak için: 1. f nin (a, b) deki kritik sayılardaki değerlerini bulunuz. 2. Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz ve 2. adımlardaki değerlerin en büyüğü mutlak maksimum değeri, en küçüğü ise mutlak maksimum değeridir. Örnek 8. f(x) = x 2 sin x, 0 x 2π fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini tam olarak bulunuz. Çöüzüm: f(x) = x 2 sin x fonksiyonu [0, 2π] aralığında süreklidir. f (x) = 1 2 cos x olduğundan, cos x = 1 2 f (x) = 0 olur. Bu x = π/3 ya da 5π/3 iken olur. Bu kritik noktalardaki f değerleri f(π/3) = π 3 2 sin π 3 = π f(5π/3) = 5π 3 2 sin 5π 3 = 5π dir. Uç noktalarda f nin aldığı değerler f(0) = 0 ve f(2π) = 2π 6.28 dir. Bu dört değeri karşılaştırdığımızda mutlak minimum değeri f(π/3) = π 3 3, mutlak maksimum değeri ise f(5π/3) = 5π olarak bulunur.

10 10 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Ortalama-Değer Problemi Theorem 4. Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise a ve b arasında ya da denk olarak eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) = f (c)(b a) Bu teoremin akla uygun olduğunu geometrik bir yorumla görebiliriz. Şekil 4.9 türevlenebilir iki fonksiyonun grafikleri üzerinde A(a, f(a)) ve B(b, f(b)) noktalarını göstermektedir. Şekil 4.9: 4.3 Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi Artan ve Azalan Fonksiyonlar Kural 1. Artan/Azalan Testi (a) Bir aralıkta f (x) > 0 ise, bu aralıkta f artandır. (b) Bir aralıkta f (x) < 0 ise, bu aralıkta f azalandır. Bu testin adına kısaca Ar/Az Testi diye. Örnek 9. f(x) = 3x 4 4x 3 12x fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

11 4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 11 Çözüm: f (x) = 12x 3 12x 2 24x = 12x(x 2)(x + 1) Ar/Az Testi ni kullanmak için nerede f (x) > 0, nerede f (x) < 0 olduğunu bilmek zorundayız. Bu f (x) in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 12x, x 2 ve x + 1 dir. Gerçel doğruyu uç noktaları 1, 0, 2 kritik sayıları olan aralıklara böle ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştire. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. Dolayısıyla f(x) = 3x 4 4x 3 12x fonksiyonunu (, 1) aralığında AZALAN, ( 1, 0) aralığında ARTAN, (0, 2) aralığında AZALAN, (2, ) aralığında ise ARTAN dır Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Daha önce f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c nin f nin bir kritik sayısı olması gerektiğini(fermat Teoremi), fakat her kritik sayıda bir maksimum ya da minimumun ortaya çıkmayacağını hatırlayalım. Bunun sonucu olarak bir kritik sayıda f nin bir yerel maksimumu ya da minimumu olup olmadığını anlayacağımız bir teste ihtiyacımız var. Kural 2. Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksiyonunun bir kritik sayısının c olduğunu varsayalım. (a) Eğer f türevi c de pozitiften negatife değişirse, f nin c de bir yerel maksimumu vardır. (b) Eğer f türevi c de negatiften pozitife değişirse, f nin c de bir yerel minimumu vardır. (c) Eğer f türevi c de işaret değiştirmezse (f, c nin iki yanında pozitif ya da negatif ise), f nin c de yerel maksimumu ve minimumu yoktur. Örnek 10. f(x) = 3x 4 4x 3 12x fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum değerlerini bulunuz. Çözüm: Bu fonksiyonun önceki örnekteki fonksiyon olduğunu anımsayınız. O örnekteki çizelgeden f türevinin 1 noktasında negatiften pozitife değiştiğini görürüz. Dolayısıyla f( 1) = 0, Birinci Türev Testi ile bir yerel minimum değeridir. Benzer şekilde f türevi, 2 de negatiften pozitife değişir. Burada f(2) = 27 de bir yerel minimum değeridir. Ayrıca f(0) = 5 bir yerel maksimum değeridir, çünkü f türevi 0 da pozitiften negatife değişir.

12 12 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Bükeylik Tanım 4. Bir f fonksiyonunun f türevi bir I aralığı üzerinde artan bir fonksiyon ise f fonksiyonu (ya da grafiği) I üzerinde dışbükeydir denir. Eğer f türevi bir I aralığı üzerinde azalan bir fonksiyon ise f fonksiyonu I üzerinde içbükeydir denir.

13 4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 13 Tanım 5. Bir eğrinin bükeyliğinin yönünün değiştiği noktaya büküm noktası denir. Şekildeki eğri P de dışbükeylikten içbükeyliğe ve Q da içbükeylikten dışbükeyliğe değişir. Dolayısıyla P ve Q noktaları eğrinin büküm noktalarıdır. Kural 3. Bükeylik Testi (a) I aralığındaki her x için f (x) > 0 ise I üzerinde f nin grafiği dışbükeydir. (b) I aralığındaki her x için f (x) < 0 ise I üzerinde f nin grafiği içbükeydir. Bükeylik Testi nin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri veren aşağıdaki testtir. Kural 4. İkinci Türev Testi: f türevinin c nin yakınında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f (c) = 0 ve f (c) > 0 ise f nin c de bir yerel minimumu vardır. (b) f (c) = 0 ve f (c) < 0 ise f nin c de bir yerel maksimumu vardır. NOT f (c) = 0 olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez. Diğer bir deyişle, bu noktada bir maksimum veya bir minimum olabilir ya da her ikisi de olmayabilir. Bu test f (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir. Böyle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testi ni kullanmak çoğu kez daha kolaydır. Örnek 11. y = x 4 4x 3 eğrisinin bükeyliğini, büküm noktalarını, yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz.

14 14 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Eğer f(x) = x 4 4x 3 ise f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) olur. Kritik sayıları bulmak için birinci türevi 0 a eşitleriz. f (x) = 12x 2 24x = 12x(x 2) f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) = 0 Buradan x = 0 ve x = 3 elde ederiz. İkinci türev testini kullanabilmek için f nü kritik sayılarda hesaplarız. f (0) = 0 f (3) = 36 > 0 f (3) = 0 ve f (3) > 0 olduğu için f(3) = 27 yerel minimumdur. f (0) = 0 olduğu için ikinci türev testi 0 kritik sayısı için bir bilgi vermez. Fakat x < 0 ve 0 < x < 3 için f (x) < 0 olduğu için birinci türev testi f(x) in 0 da yerel minimum veya maksimumunun olmadığını söyler. İkinci türevin köklerini: olarak buluruz. f (x) = 12x(x 2) = 0 x = 0 veya x = 2 (0, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

15 4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 15 Örnek 12. f(x) = x 2/3 (6 x) 1/3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım. f (x) = 4 x x 1/3 (6 x) 2/3 f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 x = 4 olduğunda f (x) = 0 ve x = 0 ya da x = 6 olduğunda f (x) tanımlı olmadığından 0, 4, 6 noktaları kritik sayılardır. Gerçel doğruyu uç noktaları 0, 4, 6 kritik sayıları olan aralıklara böle ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştire. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. f, x = 0 da işaret değiştirdiği için f(0) = 0 yerel minimumdur. f, x = 4 te işaret değiştirdiği için f(4) = 2 5/3 yerel maksimumdur. f, x = 6 da işaret değiştirmediği için burada yerel maksimum/minimum yoktur. f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 İkinci türev testi yalnızca x = 4 te kullanılabilir, çünkü x = 0 da ve x = 6 da f yoktur. f ni inceleye (6, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

16 16 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Eğrinin (0, 0) ve (6, 0) noktalarında düşey teğetleri olduğuna dikkat ediniz. Çünkü, x 0 ve x 6 iken f (x). Örnek 13. f(x) = e 1/x fonksiyonunun asimptotlarla birlikte birinci ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz. Çözüm: f nin grafiğini çizmek için ilk olarak y = 1 yatay asimptotu (kesik çizgi ile gösterilmiştir) ile eğrinin asimptotlarının yakınındaki parçalarını çizeriz. Bu parçalar itler hakkındaki bilgileri ve f nin hem (, 0) hem de (0, ) da azalan olduğunu yansıtır. Burada f(0) tanımlı olmamasına karşın, x 0 iken f(x) 0 olduğuna dikkat edilmelidir. Şekil9(b) de büküm noktası ve bükeylik ile ilgili bilgileri birleştirerek grafiği tamamlarız. f nin tanım kümesi {x x 0} kümesidir. Dolayısıyla x 0 iken f nin sağdan ve soldan itlerini hesaplayarak düşey asimptotlarını kontrol edebiliriz. olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. Bu x = 0 ın düşey asimptot olduğunu gösterir. x 0 + iken 1/x x 0 e1/x = + x 0 iken 1/x olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. x 0 e1/x = 0

17 4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 17 x, iken 1/x 0 ve x e1/x = e 0 = 1 dır. Yani y = 1 yatay asipmtottur. Şimdi f nin birinci türevini hesaplayalım. Zincir kuralı ile f (x) = e1/x x 2 dir. Her x 0 için x 2 > 0 ve e 1/x > 0 olduğundan, her x 0 için f (x) < 0 dır. Dolayısıyla f fonksiyonu, (, 0) ve (0, ) aralıklarında azalandır. Kritik sayı olmadığından, f nin yerel maksimum/minimum u yoktur. İkinci Türev: e 1/x > 0 ve x 4 > 0 olduğundan, ve f (x) = x2 e 1/x ( 1/x 2 ) e 1/x (2x) x 4 = e1/x (2x + 1) x 4 x > 1 2 x < 1 2 (x 0) iken f (x) > 0 iken f (x) < 0 olur. Böylece eğri (, ) aralığında iç bükey, ( 2, 0) ve (0, ) aralıklarında dış bükeydir. ( 2, e 2 ) noktası büküm noktasıdır.

18 18 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.4 Belirsizlik Durumları ve L Hospital Kuralı Theorem 5. L Hospital Kuralı a noktasının yakınında (belki a noktası dışında), f ve g fonksiyonlarının türevlenebilir ve g (x) 0 olduğunu varsayalım. ya da f(x) = 0 ve g(x) = 0 x a x a f(x) = ± ve g(x) = ± x a x a olsun.(diğer bir ifadeyle 0 0 ya da belirsizliği olsun.) O zaman, sağ taraftaki it varsa (ya da veya ise), f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) olur. NOT L Hospital Kuralı aynı zamanda tek yönlü itler, sonsuzdaki ve eksi sonsuzdaki itler için de geçerlidir. Diğer bir ifadeyle x a yerine x a +, x a, x ve x sembollerinden biri gelebilir. Örnek 14. x 1 ln x itini bulunuz. x 1 Çözüm: x 1 olduğundan L Hospital Kuralı nı uygulayabiliriz: ln x = ln 1 = 0 ve (x 1) = 0 x 1 x 1 ln x x 1 = x 1 1 = x 1 x = 1 d (ln x) dx = d dx (x 1) 1 x 1 1/x Örnek 15. x e x itini hesaplayınız. x2 Çözüm: olduğundan L Hospital Kuralı ile x ex = ve x x2 = x e x x 2 = x e x 2x

19 4.4. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 19 dir. x iken e x ve 2x olduğundan L Hospital Kuralı uygulanabilir: buluruz. e x x x 2 = e x x 2x = e x x 2 = Örnek 16. x π sin x itini bulunuz. 1 cos x Çözüm: Eğer burada L Hospital Kuralı nı koşullarını kontrol etmeden uygularsak elde ederiz. Bu yanlıştır! x π sin x 1 cos x = x π cos x sin x = x π sin x 1 cos x x π iken paydaki sin x 0 olmasına rağmen paydadaki 1 cos x ifadesi sıfıra yaklaşmaz. Dolayısıyla burada L Hospital Kuralı uygulanamaz. Aslında bu iti hesaplamak kolaydır, çünkü fonksiyon süreklidir ve payda π de sıfırdan farklıdır: x π sin x 1 cos x = sin π 1 cos π = 0 1 ( 1) = Belirsiz Çarpımlar Eğer ise f(x) = 0 ve g(x) = (ya da ) x a x a f(x)g(x) x a itinin değerinin, eğer varsa, ne olacağı açık değildir. Bu tür it, 0 türü belirsizlik olarak adlandırılır. f g çarpımını bölüm şeklinde yazarak bu durumu ele alabiliriz: f g = f 1/g ya da f g = g 1/f Verilen iti 0 0 ya da türü belirsizliğe dönüştürüp böylece L Hospital Kuralı nı kullanabiliriz. Örnek 17. x ln x itini hesaplayınız. x 0 +

20 20 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Verilen it belirsizdir. Çünkü x 0 + için birinci çarpan (x), 0 a yaklaşırken ikinci çarpan (ln x), a yaklaşır. x = 1/(1/x) yazarak x 0 + iken 1/x elde ederiz. Dolayısıyla L Hospital Kuralı nı uygulayarak buluruz. ln x x ln x = x 0 + x 0 + 1/x = x 0 + = x 0 +( x) = 0 1 x 1 x 2 NOT Bu örneği çözerken bir başka seçenek x x ln x = x 0 + x 0 + 1/ ln x yazmak olabilirdi. Bu 0 0 türü belirsizlik verir, ama L Hospital Kuralı nı uygularsak baştakinden daha karmaşık bir ifade elde ederiz. Genelde belirsiz bir çarpımı yeniden yazarken daha basit bir it elde edeceğimiz durumu seçmeye çalışırız Belirisiz Farklar ise f(x) = ve g(x) = x a x a [f(x) g(x)] x a iti türü belirsizlik olarak adlandırılır. Farkı bölüme çevirerek 0 0 ya da çalışırız. türü belirsizlik elde etmeye Örnek 18. x tan x) itini hesaplayınız. x (π/2) (sec Çözüm: x (π/2) iken sec x ve tan x olduğundan verilen it belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırız: x tan x) x (π/2) (sec = ( 1 x (π/2) cos x sin x ) cos x = 1 sin x x (π/2) cos x = cos x x (π/2) sin x = 0 x (π/2) iken 1 sin x 0 ve cos x 0 olmasının, L Hospital Kuralı nı uygulamayı haklı çıkardığına dikkat ediniz Belirsiz Kuvvetler itinden çeşitli belirsizlik durumları ortaya çıkar. x a [f(x)]g(x)

21 4.4. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 21 x a f(x) = 0 ve x a g(x) = türü x a f(x) = ve x a g(x) = 0 türü x a f(x) = 1 ve x a g(x) = ± 1 türü Bu üç durumdan her biri ya doğal logaritma alarak: y = [f(x)] g(x) ise ln y = g(x) ln f(x) yada üstel fonksiyon şeklinde yazarak: [f(x)] g(x) g(x) ln f(x) = e (Bu yöntemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların türevlerini bulurken kullanıldığını anımsayınız.) Her iki durumda da 0 türü g(x) ln f(x) belirsiz çarpımını elde ederiz. Örnek 19. x 0 +(1 + sin 4x)cot x itini hesaplayınız. Çözüm: İlk olarak x 0 + iken 1 + sin 4x 1 ve cot x olduğundan verilen itin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. y = (1 + sin 4x) cot x olsun. O zaman ln y = ln[(1 + sin 4x) cot x ] = cot x ln(1 + sin 4x) olur, = ln(1 + sin 4x) ln y = x 0 + x 0 + tan x ln(1 + sin 4x) tan x ( 0 0 belirsizliği) dolayısıyla L Hospital Kurali ile = x cos 4x 1+sin 4x sec 2 x = 4 buluruz.buraya kadar ln y nin itini hesapladık. Fakat biz y nin itini bulmak istiyoruz. Bunu bulmak için y = e ln y olduğunu kullanalım: x 0 +(1 + sin 4x)cot x = y = x 0 + x 0 eln y = e 4 + Örnek 20. x 0 xx itini bulunuz. +

22 22 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Herhangi bir x > 0 için 0 x = 0, ama herhangi bir x 0 için x 0 = 1 olduğundan bu itin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. Fonksiyonu üstel şekilde yazarak devam edebiliriz: x x = (e ln x ) x = e x ln x daha önce L Hospital kuralını kullanarak x ln x = 0 olduğunu gösterdik. Dolayısıyla x 0 + x 0 xx = + x 0 ex ln x = e 0 = 1 dir Optimizasyon Problemleri Örnek ft çiti olan bir çiftçi, bu çit ile bir kenarı ırmağa sınır olan dikdörtgensel bir arazi çevirmek istiyor. Irmak boyunca çit çekmesine gerek yoktur. En büyük alana sahip arazinin boyutları nedir? Çözüm: Bu problemde neler olduğunu hissetmek için birkaç özel durumu deneye. Aşağıda (ölçeklenmemiş), 2400 ft lik teli kullanmanın olası yollarından üçünü göstermektedir. Sığ, geniş bölgeleri ya da derin, dar bölgeleri denediğimizde küçük alanlar elde ettiğimizi görüyoruz. En büyük alanı arada bulunan şeklin vereceği akla yatkındır. Şekil 4.10 genel durumu göstermektedir. Dikdörtgenin A alanını maksimum yapmak istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdörtgenin derinliği ve genişliği olsun. Bu durumda A yı x ve y cinsinden ifade ederiz: Şekil 4.10: A = xy A yı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu nedenle y yi x cinsinden yazarak yok edeceğiz. Bunun için, telin toplam uzunluğunun 2400 ft olduğu bilgisini kullanırız. Buradan, 2x + y = 2400

23 4.5. OPTIMIZASYON PROBLEMLERI 23 olur. Bu denklemden y = x elde ederiz ve buluruz. A = x(2400 2x) = 2400x 2x 2 A = 2400x 2x 2 x 0 ve x 1200 (aksi takdirde A < 0) olduğuna dikkat ediniz. Şimdi A(x) = 2400x 2x 2 0 x 1200 fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Türev A (x) = x dir. Kritik sayıları bulmak için, x = 0 denklemini çözerek, x = 600 buluruz. A nın maksimum değeri ya bu kritik sayıda ya da aralığın bir uç noktasında oluşur. A(0) = 0, A(600) = ve A(1200) = 0, olduğundan, Kapalı Aralık Yöntemi maksimum değeri A(600) = olarak verir. [Alternatif olarak, her x için A (x) = 4 < 0 olduğundan A daima iç bükeydir ve x = 600 deki yerel maksimum bir mutlak maksimum olmalıdır.] Sonuç olarak, dikdörtgensel bölgenin derinliği 600 ft ve genişliği 1200 ft olmalıdır. Örnek L yağ koymak için silindir biçiminde bir teneke kutu yapılmak isteniyor. Metal maliyeti minumum olan kutu üretmek için boyutları bulunuz. Çözüm: Şekil 4.11 deki gibi, yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindir çiziniz. Şekil 4.11: Metal maliyetini minimum yapmak için, silindirin toplam yüzey alanını (alt, üst ve yan) minumum yaparız. Şekil 4.12 den, kenarların, boyutları 2πr ve h olan bir dikdörtgensel levhadan yapıldığını görürüz. Bu nedenle silindirin yüzey alanı A = 2πr 2 + 2πrh olur. h yi yok etmek için hacmin 1L olarak verildiğini, 1000 cm 3 alarak kullanırız. Böylece πr 2 h = 1000 den h = 1000 (πr 2 )

24 24 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Şekil 4.12: olur.bunu A nın ifadesinde yerine koyarsak elde ederiz. Şimdi A = 2πr 2 + 2πr A(r) = 2πr r ( ) 1000 πr 2 = 2πr r r > 0 fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz.kritik sayıları bulmak için A(r) nin türevini alırız: A (r) = 4πr 2000 r 2 = 4(πr3 500) r 2 Burada πr 3 = 500 olduğunda A (r) = 0 olur. Bu nedenle tek kritik sayı r = π dir. A nın tanım kümesi (0, ) olduğundan bir önceki örnekteki gibi uç noktaları kullanamayız. Ama r < π için A (r) < 0 ve r > π için A (r) > 0 olduğunu, dolayısıyla A nın kritik sayısının solundaki her r için azaldığını ve sağındaki her r için arttığını gözlemleyebiliriz. Böylece, r = π mutlak minimumu vermelidir. [Alernatif olarak, r 0+ iken A(r) ve r iken A(r) olduğundan, A(r) nin bir minumum değeri olmalı ve bu minimum değer kritik sayıda meydana gelmelidir. Bkz. Şekil 4.13] Şekil 4.13:

25 4.5. OPTIMIZASYON PROBLEMLERI 25 r = π değerine karşılık gelen h değeri h = 1000 πr 2 = π(500/π) 2/3 = 2 3 π = 2r dir. Böylece kutunun maliyetini minimum yapmak için yarıçap π olmalıdır. Örnek 23. y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz. cm ve yükseklik yarıçapın iki katı, yani çap Çözüm: (x, y) ve (1, 4) noktaları arasındaki uzaklık ile verilir. (Bkz. Şekil 4.14) d = (x 1) 2 + (y 4) 2 Şekil 4.14: Ama, (x, y) parabolün üzerindeyse, x = y 2 /2 dir ve d nin ifadesi (1 d = ) 2 2 y2 1 + (y 4) 2 olur. (İkinci seçenek, y = 2x alarak d yi yalnızca x cinsinden ifade edebilirdik.) d yi minimum yapmak yerine karesini minimum yapacağız: d 2 = f(y) = ( ) y2 1 + (y 4) 2 (d 2 nin minimumu ile d nin minimumunun aynı noktada meydana geldiğine, ama d 2 ile çalışmanın d ile çalışmaktan daha kolay olduğuna dikkat ediniz.) Türev alırsak ( ) 1 f (y) = 2 2 y2 1 y + 2(y 4) = y 3 8

26 26 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI elde ederiz, dolayısıyla y = 2 olduğunda f (y) = 0 olur. y < 2 için f (y) < 0 ve y > 2 için f (y) > 0 olduğunu gözlemleyiniz. Buradan Mutlak Uç Değerler için Birinci Türev Testi ne göre mutlak minimum y = 2 de meydana gelir. (Yalnızca, problemin geometrik yapısından ötürü en yakın noktanın olduğunun fakat en uzak noktanın olmadığının açık olduğunu söyleyebilirdik.) Karşı gelen x değeri x = y 2 /2 = 2 dir. Böylece y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan nokta, (2, 2) noktasıdır. 4.6 Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım 6. Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda tutarsak, f nin bir ilkelini bulmak zor değildir. F (x) = 1 3 x3 ise F (x) = x 2 = f(x) dir. Fakat G(x) = 1 3 x fonksiyonu da G (x) = x 2 yi sağlar. Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir. Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 1 3 x3 + C biçimindeki her fonksiyon f nin bir ilkelidir. Theorem 6. F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C herhangi bir sabit olmak üzere, F (x) + C (4.1) f nin I üzerindeki en genel ilkelidir. Örnek 24. Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz. (a) f(x) = sin x (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = x n, n 1 Çözüm: (a) F (x) = cos x ise F (x) = sin x olur. Bu nedenle sin x in bir ilkeli cos x dir. Teoremden en genel ilkeli G(x) = cos x + C dir. (b) d dx (ln x) = 1 olduğunu anımsayınız. Bu nedenle (0, ) aralığında 1/x in genel ilkeli ln x + C dir. Aynı zamanda, her x 0 için d dx (ln x ) = 1 x olduğunu öğrenmiştik. Teorem, f(x) = 1/x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir aralıkta ln x + C olduğunu söyler. Özel olarak, (, 0) ve (0, ) aralıklarının her birinde bu doğrudur. Böylece f nin genel ilkeli { F (x) = ln x + C 1 eğer x > 0 ln( x) + C 2 eğer x < 0

27 4.6. BIR FONKSIYONUN İLKELI 27 dir. (c) x n nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı nı kullanırız. Aslında, n 1 ise, ( ) d x n+1 (n + 1)xn = = x n dx n + 1 n + 1 dir. Böylece f(x) = x n nin genel ilkeli F (x) = xn+1 n C olur. f(x) = x n bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n 0 için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n 1) ise bu 0 ı içermeyen herhangi bir aralıkta geçerlidir.

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Fizik Dr. Murat Aydemir

Fizik Dr. Murat Aydemir Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ HAZİRAN 04 PAZAR TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak,

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Öğr. Gör. Serkan AKSU

Öğr. Gör. Serkan AKSU Öğr. Gör. Serkan AKSU www.serkanaksu.net İki nokta arasındaki yerdeğiştirme, bir noktadan diğerine yönelen bir vektördür, ve bu vektörün büyüklüğü, bu iki nokta arasındaki doğrusal uzaklık olarak alınır.

Detaylı

UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Akışkanlar dinamiğinde, sürtünmesiz akışkanlar için Bernoulli prensibi akımın hız arttıkça aynı anda

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Vektörler Bölüm Soruları 1. İki vektör eşit olmayan büyüklüklere sahiptir. Toplamları sıfır olabilir mi? Açıklayınız.

Vektörler Bölüm Soruları 1. İki vektör eşit olmayan büyüklüklere sahiptir. Toplamları sıfır olabilir mi? Açıklayınız. Vektörler Bölüm Soruları 1. İki vektör eşit olmayan büyüklüklere sahiptir. Toplamları sıfır olabilir mi? Açıklayınız. 2. Bir parçacığın yerdeğiştirmesinin büyüklüğü, alınan yolun uzunluğundan daha büyük

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com

Pratik Kuantum Tarifleri. Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com Pratik Kuantum Tarifleri Adil Usta kuantumcuadilusta@gmail.com İçindekiler 1 Açılış 1.1 Olası momentum değerleri............................ 3 1. Klasik limit.................................... 5 1 1

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı