1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Transkript

1 DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak s + s( t) 0t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn de kaç m yol alır? b) Bu cisim ilk 6 sn de kaç m yol alır? c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m yol alır? d) Bu cisimin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m sn dir? e) Bu hareketlinin 3. sn deki anlık hızı kaç m sn dir? y Bir f fonksiyonunun apsisli noktasındaki f(+ ) y f() + değişim oranı: y f ( + ) f ( ) ya da sembolü yerine h kullanılırsa y f ( + h) f ( ) h ile verilir. f : R R f ( ) + fonksiyonu veriliyor. a) için tabloyu tamamlayınız. y Sonra lim limitini hesaplayınız. 0 b) Herhangi bir için hesaplayınız. y lim limitini 0 y f ( + ) f ( ) y Yukarıdaki örneği bu kez g : R R g ( ) fonksiyonu ve için çözünüz.

2 . TÜREVİN TANIMI Tanım: A R a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f ( ) f ( a) lim a a limiti veya a + h koymakla elde edilen f ( a + h) f ( a) lim h 0 h limiti varsa*; f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir veya diferensiyellenebilirdir denir. Bu limitin değerine f fonksiyonunun a daki mertebeden türevi adı verilir ve f ( a) sembollerinden birisi ile gösterilir. df d a Df (a) * Tanımda sözedilen limitin varlığı için f ( ) f ( a) lim lim a h 0 a f ( ) f ( a) lim lim+ a h 0 + a adı verilen limitlerin araştırılması gerekir. f ( a + h) h f ( a + h) h f ( a) f ( a) sol taraflı türev sağ taraflı türev Teorem: f in a da türevli olması için gerek ve yeter şart sağ ve sol türevlerin var ve birbirine eşit olmasıdır. f : R R f ( ) fonksiyonu veriliyor. a) Türevin tanımından f in 0 daki sol ve sağ taraflı türevlerini hesaplayınız. b) f fonksiyonunun 0 da türevli midir? c) f fonksiyonu 0 da sürekli midir? g : R 3 R g( ) fonksiyonu verilsin. Türevin tanımından hareketle () g değerini hesaplayınız. g ( ) fonksiyonunu bulunuz.

3 Teorem: A R a A ve f A üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu a da türevli ise süreklidir. Sonuç: Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse türevli de değildir. O zaman bir f fonksiyonunun a da türevli olması için f in a da sürekli olması gerek şarttır. Grafikten yararlanarak a) f fonksiyonunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. b) f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. c) f fonksiyonu hangi noktalarda türevli değildir? d) f fonksiyonunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? e) lim f ( )? f ( a 3 )? f ( a 3 )? a3 y f () c 5 c c 4 c 3 c a a a 3 a4 a5 v 0 98 msn başlangıç hızı ile yerden havaya fırlatılan bir topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulunuz. (Yol Gösterme: Bir cisim t 0 sn anında ym 0 yükseklikten v 0 msn ilk hızı ile yukarı doğru (dikey) fırlatılırsa herhangi bir t anında yerden yüksekliği y + ile verilir. Temel Fizikten hatırlayınız.) ( t) gt + v0t y0 3

4 3. TÜREV ALMADA GENEL KURALLAR ) c R bir sabit olmak üzere c 0. ) n Q olmak üzere 3) ( cf ( )) cf ( ) ( n n ) n. 4) f ve g noktasında türevlenebilen fonksiyonlar ve a b R sabitler olmak üzere af + bg fg f g ( g( ) 0 ( af ( ) + bg( ) ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) f g( ) f af ( ) g( ) + ( ) g( ) ( ) + bg ( g( ) ) f ( ) g şartıyla) fonksiyonları da de türevlenebilirdir ve ( ) f ( ) g ( ) ( ) ( g() 0 ) Teorem: f : A B fonksiyonu apsisli noktasında ve g : B C fonksiyonu f () apsisli noktasında türevli ise g o f : A C fonksiyonu da apsisli noktasında türevli olup ( g f ) ( ) [ g( f ( ) ) ] g ( f ( ) ) f ( ) o. Küre şeklinde bir balon hava ile şişirilmektedir. r 0 cm olduğu anda balonun yarıçapı (r) ; zamana bağlı olarak 0 3 cm sn hızla artmaktadır. Bu anda balonun hacmi hangi hızla artar? Uygun koşullar altında u y y + y + 3t + du ile tanımlanan u fonksiyonu için? t 4

5 Teorem: A B R f : A B fonksiyonu - ve örten olsun. f 0 A da türevlenebilir ve f ( 0 ) 0 ise f : B A fonksiyonu da y f ) da türevlenebilirdir ve ( f ) ( y 0 ) 0 ( 0 f ( f ( ) 5 + eşitliği ile tanımlanan f R R 0 ). : fonksiyonu veriliyor. ( f ) ()? ÖDEVLER M. BALCI Genel Matematik Cilt I Sayfa 4-5 problemler C.H. EDWARDS D.E. PENNY Matematik Analiz ve Geometri Cilt I Sayfa 04-0 Değişim Oranları başlıklı konuyu okuyunuz. Sayfa -3 problemler Sayfa Proje: Bir Şehrin Nüfus Artışı Sayfa -4 problemler Sayfa Proje: Bir Litre Soğuk Su Sayfa 5-3 ZİNCİR KURALI başlıklı konuyu okuyunuz. Sayfa 3-33 problemler -64. Sayfa problemler

6 4. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ sin : R [ ] cos : R [ ] {( k + ) k Z} R tan : R : π { k k Z} R cot : R π : {( k + ) : k Z} R ( ) π sec : R { k : k Z} R ( ) cosec : R π trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her de türevlenebilirler ve açık olarak ( sin ) cos ( cos ) sin ( tan ) + tan sec cos ( cot ) ( + cot ) cosec sin ( sec ) sec tan ( cosec) cosec cot formülleri verilebilir. 3 4 y sin ( π ) + cos ( + ) y? 5. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ π π Arcsin :[ ] [ 0π ] Arccos :[ ] π π Arctan : R Arccot : ( 0 π ) R ters trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her de türevlenebilirler ve açık olarak 6

7 arcsin 443 ; ( < ) y ( sin y) cos y sin y ( arccos ) + ( arctan ) + ( arc cot ) ; ( < ) ; ( R) ; ( R) dir. Ayrıca > koşulunu sağlayan her için ( arcsec ) ve ( arccosec ) f ( ) arctan f ()? f ( ) arcsin f ( )?. 6. LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Logaritmik fonksiyonlar tanım kümelerinde türevlenebilirdir açıkça ( log ) log e Ayrıca uygun koşullar altında u u() olmak üzere f ( ) ln(sin ) için f ( π )? 6 Üstel fonksiyonlar her a a u u ln. ve ( ) ( log a u) log e R için türevlenebilirdir ve ( e ) e ve ( a ) a ln a Ayrıca uygun koşullar altında u u() olmak üzere u u ( a ) a u ln a a... + R için sin( e ) f ( ) 3 ise f ( )? 7

8 Logaritmik Türev Alma Şimdiye kadar ya u () fonksiyonunun sabit olması ya da v () fonksiyonunun sabit olması durumunda; uygun koşullar altında tanımlanan v( ) y u( ) in türevini hesaplamıştık. Şimdi hem u() hem de v () in değişken olması durumunda v( ) y u( ) fonksiyonunun türevini hesaplayacağız. Bunun için önce v( ) y u( ) ifadesinin her iki tarafına ln fonksiyonunu uygulayın sonra her iki tarafın türevini alın. y + y ( )? f f ( π sin ( ) ise )? 7. HİPERBOLİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Hiperbolik fonksiyonlar ve tersleri de tanım kümelerinde türevli olup bu fonksiyonların türevleri için aşağıdakiler verilebilir. ( cosh ) sinh ( sinh ) cosh ( tanh ) sec h ( coth ) cosech ( sech) sech tanh ( csch) csch coth ( arccosh ) ( > ) ( arcsinh) ( R) ( arctanh ) ( < ) + ( arccoth ) ( > ) ( arcsech ) ( 0 < < ) ( arccsch ) ( > 0) + y arcsinh (tan ) y? 8

9 8. PARAMETRİK DENKLEMLERİ VERİLEN FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Genelde fonksiyonları f : A B y f () biçiminde tanımlarız. Burada adı üzerinde y bağımlı değişkeni; bağımsız değişkenine bağlıdır. Ancak birbirlerine bağlı değişkenleri her zaman bu şekilde ifade edemeyebiliriz. Örneğin şekildeki br yarıçaplı çember O ekseni boyunca yuvarlanıyor. Çember üzerinde seçilen bir P ( y) noktasının düzlemde çizdiği eğri; hangi fonksiyonun grafiğidir. Bu fonksiyonu bulalım. y P(y) M O A r br 6π Başlangıçta çemberi + ( y ) 4 denklemli çember ve P ( y) noktasını da orijin olarak seçelim. Bu eğrinin denklemi ( t sin t) y ( cost) olarak bulunur. Şimdi bu fonksiyon için y nin bağımsız değişkenine göre birinci dy mertebeden türevini hesaplayalım yani? d olarak hesaplanır. olarak dy d dy d sin t sin t ( cost) cost Genel olarak bir f : A R y f ( ) fonksiyonu t I R parametresine bağlı u( t) y v( t) ile verilebilir. Bu durumda y nin bağımsız değişkenine göre birinci mertebeden türevi: dy dy y d &. d & 9

10 9. KAPALI BİÇİMDE TANIMLANAN FONKSİYONUN TÜREVLERİ F ( y) 0 denklemi; bir ya da birden fazla sayıda f : A R y f ( ) fonksiyonunu ifade edebilir. Hatta bu fonksiyonları F ( y) 0 denkleminden y f () tarzında elde etmek mümkün olmayabilir. Bu durumda; söz konusu f fonksiyonlarının türevini bulmak için ( y nin bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu akılda tutarak) F ( y) 0 denkleminin her iki tarafının bağımsız değişkenine göre türevini alırız. + y 3y + 4y 5 0 denklemleriyle tanımlanan fonksiyonun (ya da fonksiyonların) 0 daki türevinin değerini hesaplayınız. d d d ( y 3y + 4y 5) ( 0) + d 3y + yy 3y 3y + 4y 0 y. y 3 4 Ayrıca 0 için y 4y 5 0 denklemi elde edilir ki buradan y y 5 bulunur. Gerçekten bu denklem iki farklı fonksiyonu içerir ve bu fonksiyonlara f ve g denirse f ( 0) ve g ( 0) 5 dir. Sonuç olarak f fonksiyonunun 0 daki birinci mertebeden türevinin değeri; 5 y 0 y 6 ve g fonksiyonunun 0 daki birinci mertebeden türevinin değeri; olarak bulunur. y 0 y 5 Ayrıca F ( y) + y 3y + 4y 5 iki değişkenli fonksiyonu ele alınarak istenen türevler kısmi türevlerden yararlanarak da hesaplanabilir. Gerçekten F y F y 3 6 3y + 3y y 3 4 y 3 4 elde edilir ki burada F değişkenine göre kısmi türevi ve F y y değişkenine göre kısmi türevi gösterir. 0

11 0. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER Bir f : A R y f () fonksiyonunun birinci mertebeden türevi bir g fonksiyonu olsun yani g ( ) f ( ) diyelim. Eğer türevlenebilir ise g fonksiyonunun birinci metebeden türevine f fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve f ( ) ile gösterilir. f fonksiyonunun..... n. mertebelerden türevlerini alternatif semboller ile gösterebiliriz. y f () fonksiyonunun dy. mertebeden türevi: y f ( ) D f d d y. mertebeden türevi: y f ( ) D f d 3 d y 3 3. mertebeden türevi: y f ( ) D f 3 d 4 (4) d y (4) 4 4. mertebeden türevi: y f ( ) D f 4 d... n ( n) d y ( n) n n. mertebeden türevi: y f ( ) D f n d sembolleri ile gösterilir. f (4) (4) : R R f ( ) ise f ( )? ve f ()? sin cos fonksiyonlarının n. mertebeden türevlerini n doğal sayısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. ( n) n n! Gerçekten f ( ) için bu formül f ( ) ( ) dir. n+ + y 3y + 4y denklemi ile verilen fonksiyon (ya da fonksiyonların) ikici mertebeden türevlerini bulunuz..

12 Bir t I R parametresine bağlı olarak u( t) y v( t) ile verilen fonksiyonun ikinci mertebeden türevi d y d d d dy d d d ( y ) dy d d y& & & &&& y &&& y ( & ) & &&& y &&& y ( & ) 3 biçiminde hesaplanabilir. [ 0 π ] t parametresine bağlı olarak 4cost y 3sint d y ile verilen fonksiyon için? d t π 4 ÖDEVLER M. BALCI Genel Matematik Cilt I Sayfa problemler C.H. EDWARDS D.E. PENNY Matematik Analiz ve Geometri Cilt I Sayfa Örnek 7- inceleyiniz. Sayfa problemler Sayfa 79-8 problemler Sayfa problemler -35. KAYNAKLAR M. BALCI Genel Matematik Cilt I Balcı Yayınları Ankara 003. C.H. EDWARDS D.E. PENNY Matematik Analiz ve Geometri Cilt I (çev.ed. Ömer AKIN) Palme Y. Ankara 00.