FİBONACCİ DİZİSİ VE ALTIN ORAN

Transkript

1 FİBONACCİ DİZİSİ VE ALTIN ORAN

2 Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo, Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi.

3 Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış, İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve bunlar üzerinde çalışmıştır. Avrupa'da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Leonardo Fibonacci Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.

4 1201 yılında "Liber Abacci" adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta temel matematik kurallarını birçok örnek vererek anlatmıştır.

5 I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 Bu rakamlarla 13 XIII ve ya IIIX şeklinde, 2003 MMIII şeklinde, 99 LXXXXVIIII şeklinde ve 1998 MDCCCCLXXXXVIII şeklinde yazılır. CCXXIII + XXVIII = CCI CLXXIIII - XXVIII = CXXXXVI

6 Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp Avrupa ya tanıtan kişi olarak anılır. Avrupalıları roma rakamlarının hantallığından kurtararak hint-arap sayı sisteminin yaygınlaşmasını sağlamıştır.

7 FİBONACCİ DİZİSİ Her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır: F1 = 1, F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2, n>2 Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,159 7,2584,4181,6765,

8 Peki Fibonacci sayılarını ortaya çıkaran soru neydi? "Bir çift yavru tavşan ( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor. Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir erkek bir dişi yavru doğurduğunu varsayarsak bir yıl sonra kaç tane tavşan olur?"

9

10 Fibonacci dizisini bu kadar ilginç kılan nedir? Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Daha da ilginci bu sayılara Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan ın eserlerinde, Da Vinci nin resimlerinde de rastlanmaktadır. Bu yönüyle Fibonacci dizisine doğanın matematiksel şifresi adı verilmektedir.

11 Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar, hiç bir yaprak alttaki yaprağı kapatmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor. Bir bitkinin sapındaki yapraklarda, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz.

12

13 Mesela, yandaki resimde en baştaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık fibonacci sayıları elde edilecektir.

14 Bitkilerde bir yapraktan başlayıp gövde etrafında dönerek aynı doğrultudaki diğer yaprağa rastlayıncaya kadar yapmamız gereken tur sayısı ile bu turlar sırasında karşılaştığımız yaprak sayılarını sırasıyla p ve n ile gösterirsek p/n oranına yaprak divergesi denir. Yandaki şekil için yaprak divergesi 5/8 dir. Büyüme açısı (360x2)/5=144 derecedir. Çiçek sapı üzerinde yaprakların ideal dizilişi için büyüme açısı: 2Л/φ^2=137 bu açı değerine altın açı adı verilir.

15 Yeni doğan her dal, ikinci yılını tamamladıktan sonra her yıl yeni bir dal verir. Bu kural yeni doğan dallar için de geçerlidir. Buna göre her yıl kaç dal olduğunu sayarsak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... dizisini buluruz

16

17 Fibonacci sayıları ayrıca çiçeklerin tohumlarında da görülebilir. Eğer bir papatyanın ve ya bir ayçiçeğinin çiçek kısmını büyütseniz muhtemelen yandaki resme benzer bir görüntü elde edersiniz. Eğer şekildeki modelde, saat yönünde olan ve saat yönünde olmayan sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde edersiniz ki bu sayılar ardışık iki fibonacci sayısıdır.

18 Fibonacci sayılarına sadece ayçiçeklerinde ve ya papatyalarda değil, bir kıvırcığın yapraklarında bir ananas veya kozalakların kat kat kabuklarında, soğanın katmanları arasında da rastlayabilirsiniz. Kozalaklar fibonacci sayılarını çok açık bir şekilde gösterirler. Kırmızı ve yeşil spiralleri saydığınızda ne görüyorsunuz?

19 Phi Sayısı Dediğimiz Bu Altın Oran Nedir ve Fibonacci Dizisiyle Ne Alakası Vardır? Φ, φ sayısı matematikte bulunan gizemli sayılar arasında en özelidir ve bu özelliğinden dolayı buna Altın oran denilmiştir. Fibonacci dizisi ile alakasına gelince; Fibonacci dizisinin her teriminin bir önceki terimine oranı bize altın oranı verir. Φ sayısının yaklaşık değeri ise dır.

20 Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklid in Stoikheia ("Öğeler") adlı yapıtında "aşıt ve ortalama oran" adıyla kayda geçirilmiştir. Eldeki veriler, bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısır da İ.Ö yılına kadar dayandığını göstermektedir

21 ALTIN ORAN

22

23

24

25 Altın oran, günlük yaşantımızda, matematiğin estetik güzelliğe etki ettiği her alanda karşımıza çıkan bir kavramdır. Altın oranın çok çeşitli tanımları verilebilir ama altın oran, neticede matematiksel bir kavramdır ve değeri de 1, olarak devam eden ondalık bir sayıdır.

26 Altın oran, örneğin bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenarı ile kısa kenarı arasındaki orandır. Buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiye ayrıldığında göze en hoş gelen ikiye ayrılma oranıdır.

27 Altın oran, sadece dikdörtgen ve doğru için değil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapılar için kullanılabilir. Altın oranın matematiksel açıdan basit bir tanımı şu şekilde yapılabilir:

28 Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1, olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0, olarak devam eden ondalık sayıdır.

29 Altın Oranın Görüldüğü Ve Kullanıldığı Yerler: 1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.

30 2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur

31 3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

32 4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım: a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır.(büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

33 b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.

34 Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta parmağın serçe parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz. 2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

35 İnsan Yüzünde Altın Oran İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri "ideal bir insan yüzü" için geçerlidir.

36 Her uzun çizginin kısa çizgiye oranı altın orana denktir. Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.

37 Yüzün boyu / Yüzün genişliği, Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu, Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası, Ağız boyu / Burun genişliği, Burun genişliği / Burun delikleri arası, Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.

38 Akciğerlerdeki Altın Oran Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

39 5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır. 6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri... Şimdi ne alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.

40 7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.

41 a) Mona Lisa: Mona Lisa'nın başının etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dört kenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.

42

43 Leonardo doğadaki bu mucizevi aritmetiği resimlerinde kullandı. Böylece gerçeğe yani mükemmele en yakın eserleri verebildi. Örneğin insan vücudunda uzuvların mesafeleri arasında da altın oran söz konusu. Üç resimde de resmin tam ortasından geçen çizgi gözlerden birinin ortasından geçiyor. Altın orana bağlı olan üçgenin içinde vücut oturur.

44 Çene ve kulaklardan hiza alan kafanın ebatları tam bir karedir. Onun altına altın oranı yani oranında ölçüyü eklerseniz koltukaltı hizasına ulaşılır. En mükemmel portrelerde portrenin tam ortasından indirilen çizginin gözlerden birinin ortasından geçmesi de sanatta matematiğe işaret eder. Yani gözlemledi, doğanın matematiğini keşfetti ve matematikle, sanatı harmanladı. Da Vinci nin bir şifresi yok. O doğanın şifresini çözdü.

45 b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir. 8) Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

46 Özellikle "isa'nın Son Akşam Yemeği" adlı yapıtında kullandığı teknikler Rönesans döneminde İzdüşümsel Geometri (biçimlerin izdüşümlerinin özellikleri ve uzaysal ilişkileri ile uğraşan, matematiğin bir alanı) nin ilk sanatsal boyutu olarak karşımıza çıkmaktadır. Burada ressam iki boyutlu tuvale üç boyutlu bir manzarayı resmederken değişik uzaklık ve konumların manzaradaki öğeleri nasıl etkileyeceğine karar verir. Bu noktada çizim tekniklerinde perspektif (geometri) ve farklı doğruların bir odak noktaya göre hareketlerini (izdüşümsel geometri) dikkate alır.

47

48 9) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

49 10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

50

51 Bilim adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak sınıflandırılan canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken bunların formu, iç ve dış yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir: "iç yüzey pürüzsüz, dış yüzeyde yivliydi. yumuşakça kabuğun içindeydi ve kabukların iç yüzeyi pürüzsüz olmalıydı. kabuğun dış köşeleri kabukların sertliğini artırıyor ve böylelikle, gücünü yükseltiyordu. kabuk formları yaratılışlarında kullanılan mükemmellik ve faydalarıyla hayrete düşürür. kabuklardaki spiral fikir mükemmel geometrik formda ve şaşırtıcı güzellikteki 'bilenmiş' tasarımda ifade edilmiştir."

52

53 11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.

54 12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır. 13) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur. İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

55

56 Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür. Bu canlıların hiçbiri şüphesiz logaritmik spiral bir yana, en basit matematik işleminden bile habersizdir. Peki nasıl olup da söz konusu canlılar kendileri için en ideal büyüme tarzının bu şekilde olduğunu bilebiliyorlar? Bazı bilim adamlarının "ilkel" olarak kabul ettiği bu canlılar, bu şeklin kendileri için en ideal form olduğunu nereden bilmektedirler?

57 Böyle bir büyüme şeklinin bir şuur ya da akıl olmadan gerçekleşmesi imkansızdır. Bu şuur ne yumuşakçalarda ne de -bazı bilim adamlarının iddia ettiği gibi- doğanın kendisinde mevcuttur. Böyle bir şeyi tesadüflerle açıklamaya kalkışmak çok büyük bir akılsızlıktır. Bu ancak üstün bir aklın ve ilmin ürünü olacak bir tasarımdır.

58

59 Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır: "Nautilus'un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve arkasındaki kapıyı bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler."

60 Bugün fosil halinde bulunan ve Amonitlerde logaritmik sarmal şeklinde gelişen kabuklar taşırlar. Hayvanlar dünyasında sarmal formda büyüme sadece yumuşakçaların kabukları ile sınırlı değildir. Özellikle Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların boynuzları gelişimlerini temelini altın orandan alan sarmallar şeklinde tamamlarlar.

61 İşitme ve Denge Organında Altın Oran İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran 73 derece 43 sabit açılı logaritmik sarmal formundadır.

62 Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.

63 Mikrodünyada Altın Oran Geometrik şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen, altıgen ile kısıtlı değildir. Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp ve piramit örnek olarak verilebilir. Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç karşılaşmadığımız hatta ismini dahi ilk defa duyduğumuz tetrahedron (düzgün dört yüzlü), oktahedron, dodekahedron ve ikosahedron gibi üç boyutlu şekillerde vardır. Dodekahadron 13 tane beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur.

64 Bilim adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.

65 16. Yüzyılda altın oran için hazine ifadesini kullanan Kepler, beş düzgün cisim arasındaki geometrik dönüşümlere çok önem vermiş ve gezegenlerin yörüngeleri ile bu cisimleri çevreleyen küreler arasında bir bağlantı kurmaya çalışmıştır. Kepler, düzgün çok yüzlüleri iç içe geçmiş şekilde gösteren ve bu düzen ile Güneş Sistemi arasındaki bağlantıyı araştıran şemalar geliştirmiştir.

66 Mikroorganizmalarda altın oran barındıran üç boyutlu formlar oldukça yaygındır. Birçok virüs ikosahedron yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein alt biriminin düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur. İkosahedronun köşelerinde yer alan 12 alt birim ise beşgen prizmalar biçimdedir. Bu köşelerden diken benzeri yapılar uzanır.

67 Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden ilk kişi 1950'li yıllarda Londra'daki Birkbeck Koleji'nden A. Klug ile D. Caspar'dır. Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14 virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir. Peki acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde canlandırmasını bile zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın orana dayalı özel bir formlara sahiptirler?

68 DNA'da Altın Oran Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA molekülü altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström genişliği 21 angström'dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21 ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır

69 Kar Kristallerinde Altın Oran Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.

70 Uzayda Altın Oran Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.

71 Fizikte de Altın Oran... Fibonacci dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren konularda da karşılaşırız: "Birbiriyle temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye kalanı da yansır. Meydana gelen, bir, 'çoklu yansıma' olayıdır. Işının tekrar ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın sayılarını belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına uygun olduğunu anlarız."

72 15)Mimar Sinan: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.

73 16- Arılar: Erkek arılar yalnız anneye sahip babaya sahip değildirler. Dişi arılar, anne ve babanın her ikisine de sahiptirler. ERKEK BAL ARISI DİŞİ BAL ARISI Anne -baba Nine -dede Büyük nine /dede Büyük büyük nine /dede Büyük büyük büyük nine/dede

74 1 φ

75 Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene "altın dikdörtgen" denir. Uzun kenarı 1,618 birim kısa kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden bir kare ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında bir çeyrek çember çizelim. Kare çizildikten sonra yanda kalan küçük bir kare ve çeyrek çember çizip bunu asıl dikdörtgenin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapalım. Bunu yaptığınızda karşınıza bir sarmal çıkacaktır.

76

77 İyi günler dilerim