KALİTE KONTROL. Kalite: Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KALİTE KONTROL. Kalite: Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır."

Transkript

1 KALİTE KONTROL Kalite: Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır. Kontrol: Mevcut sonuçlarla hedefleri ve amaçları kıyaslama ve gerekli olduğunda düzeltici önlemleri alma prosesidir. Herhangi bir kontrol sistemi üç bölümden oluşur:. Bir standart veya hedef. Bir başarıyı ölçme aracı 3. Ölçülen başarının standartla karşılaştırılması Kalite Kontrol:. Ürün veya hizmetin kullanım için uygun olmamasına neden olacak kusurlarını önleme, tespit etme ve düzeltme işlemidir.. Üretimi yapılan parça, ürün ve üniteden alınacak numunelerin incelenmesi suretiyle istenilen kalite seviyesine ulaşılması için yapılan işlemlere denir. 3. Bir ürünün tüketicisini tatmin etmesi ve onun beklentilerini en iyi biçimde karşılaması amacıyla üretimin her aşamasında sürdürülen denetim işlemleridir. 4. Üretimin planlanması aşamasında belirlenen kalite standartlarına üretim işlemleri boyunca, öncesinde ve sonrasında ne ölçüde uyulduğunun incelenmesi ve gözlenmesidir. Amaçları;. Satın alınan malzeme ve parçaların önceden belirlenmiş kalite standartlarını karşılamasını sağlamak. İmalat prosesi süresince tasarım özelliklerine uygunluğu sürdürmek 3. Nihai ürün veya hizmet için mümkün olan en yüksek kalite seviyesine ulaşmak 4. İmalattaki hurda ve yeniden işleme ile şikayet sayısı ve müşteriden geri dönüşleri azaltarak verimliliği artırma 5. Kalite standartlarına ulaşılmadığında artan iç ve dış başarısızlık maliyetlerini azaltmak Tedarikçi Girdiler (Hammadde, parça vs.) Üretim Prosesi Çıktılar (Ürün ve Hizmetler) Müşteri Kabul Örneklemesi Örnekleme Teknikleri İstatistiksel Proses Kontrol Örnekleme Teknikleri Kontrol Örneklemesi KALİTE KONTROL İstatistiksel Proses Kontrol:. Üretim faaliyetlerinin önceden belirlenen kalite spesifikasyonlarına uygun şekilde yapılmasını sağlamak ve standart dışı üretimi büyük ölçüde önleyerek kusurlu üretimi minimize etmek amacıyla bir araya getirilmiş olan bir metotlar topluluğudur.. İstatistik tekniklerinin veri toplamak, analiz etmek, yorumlamak ve çözümler getirmek üzere kalite problemlerine uygulanması olarak tanımlanmaktadır. İPK uygulamalarında proses sürekli gözlemlenerek problemler tespit edilir, problemin sebepleri

2 belirlenir, çözüm geliştirilir, geliştirilen çözüm uygulanır ve proses tekrar izlenir. Bu döngü sonsuz olup bu sayede prosesin sürekli iyileştirilmesi sağlanır. Örnekleme: Bir bütünün kendi içinden seçilmiş bir parçasıyla temsil edilmesidir.bir örnekleme yaparken iki ön koşulun yerine getirilmesi gerekir:. Örnek temsil yeteneği taşımalı: Örneklemeye konu olan ana kütle aynı cinsten birimlerin oluşturduğu topluluktur (ör. Bir malın bütün potansiyel müşterileri ana kütledir). Bir örneğin temsil yeteneği taşıması demek, içinden seçildiği ana kütlenin karakteristiklerini bir yanlışlık yaratmadan yansıtması demektir.. Örnek yeterli olmalı: Bir örnek yeterli olmadığı halde temsil yeteneği taşıyabilir. Ancak bu durumda aynı büyüklükte başka örneklerin alınması halinde, bu örneklerde de benzer sonuçların belireceği konusunda güven duyulması imkansızdır. Bir örnek yeterli bir büyüklükte olmadıkça sonuçların güvenilirliğinden söz edilemez. Buna karşılık bir örnek temsil yeteneği taşımıyorsa, örneğin yeterli bir büyüklükte olması sonuçların geçerliliğini sağlamaz. Kabul Örneklemesi: Genel olarak dışarıdan alınan malzeme ve mamullerde, üretimde istasyonlar arası geçişlerde ve son montaj hattında parti hakkında kabul veya ret kararı verilmesinde kullanılır. Kontrol Örneklemesi: Değişmelere yol açan hata kaynaklarının tespit edilmesi ve düzenleyici tedbirlerin alınmasında kullanılır. Kontrol örneklemesinde de kabul veya ret kararı verilmekle beraber asıl amaç, değişimlere yol açan hata kaynaklarını tespit etmek ve düzeltici tedbirler almaktır. Kalite Konularını Seç Ölçme Sistemini Kur Performans Standartlarını Sapta Fiili Performansı Ölç Fiili ve Standart Performansı Karşılaştır Tamam Tamam Değil Farklılık Üzerine Harekete Geç Kalite Kontrol Faaliyetlerinin Tarihsel Gelişimi. Operatör Kontrolü: Kalite sadece tezgahlarda çalışan operatörlerin denetimindedir. Ayrıntılı bir kalite kontrol sistemi yoktur.. Nezaretçi Kalite Kontrolü: Üretim nezaretçileri, aynı zamanda kaliteden de sorumludur. Ayrı bir kalite kontrol birimi yoktur. Kalite sorumluları üretim sorumlusuna bağlı olarak çalışmaktadır.

3 3 3. Nihai Kalite Kontrolü: Üretim kademelerinden bağımsız olarak kalite kontrol elemanları görevlendirilmiştir. Bu elemanlar örnekleme veya %00 muayene yöntemleriyle giriş ve nihai kontrolleri yapmaktadır. Yetkileri satın alınan veya sevk edilecek ürün partilerini kabul veya reddetmekle sınırlıdır. 4. İstatistiksel Kalite Kontrol: Üst yönetime doğrudan bağlı kalite kontrol birimi elemanlarının denetiminde, üretim sırasında istatistiksel yöntemlerden de yararlanarak kalite kontrol altına alınmaktadır. Kalite kontrol birimi, üretim birimi ile işbirliği içinde anında düzeltici önlemler alma yetkisine sahiptir. 5. Entegre Kalite Kontrolü: Tedarikçilerin denetlenmesinden satış sonrası hizmetlere kadar tüm çalışanlar düzeyinde kaliteye ilişkin geliştirilmiş yetki ve sorumluluklar bulunmaktadır. Personel, sistematik olarak kaliteyi düzeltici önlemler alabilmektedir. Veri Toplama: Herhangi bir problemin çözümü için amaca uygun değerlere veri adı verilmekte olup, istatistiksel olarak bir işlem yapılabilmesi için sayısal verilere ihtiyaç duyulmaktadır. Sayısal verilerin toplanmasında ve değerlendirilmesinde dikkat edilmesi gerekli hususlar;. Veri toplama amacının bilinmesi. Nerede, ne zaman ve kim tarafından toplandığının bilinmesi 3. Verilerin toplandığı yere göre sınıflandırılması 4. Verilerin hangi konu veya durumla ilgili olduğunun belirtilmesi 5. Kullanılan ölçü aletleri, ölçü birimleri, parti miktarları ve kaç adet veri toplandığının açıklanması 6. Hazırlanan bir föy üzerine verilerin yazılması 7. Ölçü yöntemlerinin ve ölçü cihazlarının doğru olması 8. Ölçü cihazlarının kalibre edilmiş olması Kalite kontrolde veri teminine dönük çeşitli sorunlar. Yanlış ya da gerçeklerle bağdaşmayan veriler. Yetersiz veri toplama yöntemleri 3. Veri iletiminden doğan hatalar 4. Anormal değerlerin kullanımı 5. Uygun olmayan istatistiksel yöntemlerin kullanımı 6. Deneyimsiz kişilerin yaptığı yanlış uygulamalar Veriler genel olarak iki gruba ayrılmaktadır:. Değişken Veriler: Aletlerle ölçülebilen ve rakamlarla ifade edilebilen değerlerdir (uzunluk, ağırlık). Özelliklere ait Veriler: Herhangi bir duyu organının gözlemlemesi ile veya sayımla toplanabilen verilerdir. (İki değerden birini kabul eder: var-yok, uygun-uygun değil, tameksik) Özelliklere ait verilerin ölçümü birkaç nedenden ötürü değişken verilere göre daha kolaydır. Muayene daha hızlı ve kolay yapılabilir. Daha az bilgi kaydetmek gerekir ve muayenenin yönetimi daha kolaydır. İstatistiksel olarak ise özelliklere ait verilerin ölçümü, değişken verilerin ölçümünden daha az verimlidir. Parça, ürün veya hizmet hakkında aynı miktarda istatistiksel bilgi sağlamak için değişken verilerin ölçümüne göre daha fazla örnek büyüklüğü gerektirir. Muayene: Bir mamulün, yarı mamulün, parçanın veya hammaddenin ölçü, nitelik veya performansının önceden belirlenmiş spesifikasyonlara uyup uymadığının tespitidir. Muayene,

4 4 mamul veya onu oluşturan fiziksel varlıklar üzerinde imalatın çeşitli aşamalarında Performans Testleri, Ömür Testleri veya Spesifikasyonlara Uygunluğun Ölçülmesi şeklinde yapılır. Kullanılan alet ve uygulanan yöntemlere göre söz konusu fiziksel varlık tahrip edilerek veya edilmeden muayene edilebilir (bir pilin ömrü veya bir yayın kopma mukavemeti ancak tahrip edici deneylerle test edilebilir).. %00 Muayene: Üretilen her bir birimin kontrolüdür. Kritik kalite özellikleri için böyle bir kontrol gereklidir. Spesifikasyonlara uyumla ilgili en iyi güvenceyi vermesine rağmen; insan hatası, arızalı ölçme ekipmanı ve yanlış standartların kullanılması gibi sebeplerle her zaman mükemmel sonuç veremeyebilir. %00 kontrol; zaman, çaba ve maliyetten dolayı çoğu durumda pratik değildir. Ayrıca test etmenin tahrip edici etkiye sahip olduğu durumlarda kullanılamaz.. %00 den Fazla Muayene: Bazı mamuller için %00 den fazla muayene yapmak gerekir. %300 muayene 3 kez, %400 muayene 4 kez muayene yapıldığı anlamına gelir. 3. Örnekleme Aracılığı ile Muayene: Bu muayenede üretimin yalnızca bir bölümü kontrole tabi tutulur. Kritik olmayan çok sayıda kalite özellikleriyle ilgilenildiğinde yararlıdır. %00 muayeneye göre daha ekonomik olmakla birlikte daha fazla risk içerir. Örnekleme yolu ile muayenenin daha düşük maliyeti, uygun olmayan ürünlerin kabul edilmesinden kaynaklanan daha büyük maliyet oluşması riskine karşı analiz edilmelidir. Standart: Belli bir konuda önceden tespit edilmiş ve uyulması gereken kurallardır. Belirli bir standartlaştırma çalışması sonucunda yetkili bir kurul yada kişi tarafından kabul edilip onaylanması ile ortaya çıkar. Herhangi bir ürünün sahip olması gereken minimum nitelikleri gösterir. Spesifikasyon: Verilen bir ürün veya hizmetin kabulü için gerekli koşulları belirten dokümandır. Belirli bir üründen üreticilerin ve müşterilerin neler beklediklerini belirler. Amacı, üründen beklenilen özelliklerin eksiksiz olarak üretici ve tüketiciler tarafından kolaylıkla anlaşılmasını sağlayacak şekilde tanımlanmasıdır. Tolerans: Belirli bir ürünün kalite özellikleriyle ilgili olarak ürün dizaynında öngörülen ve önceden belirlenen sınırlar içinde kabul edilebilen sapmalardır. Başka bir deyişle, bir süreç karakteristiğinde kabul edilebilir değişkenlik miktarıdır. Ölçülebilir bir süreç karakteristiği için verilecek çift yönlü spesifikasyon, ortalama veya nominal değer olmak üzere tolerans olarak belirlenecektir.

5 5. TEMEL İSTATİSTİK.. Aritmetik Ortalama X = X +X + +X n n.. Değişim Aralığı = n i= X i n R = X max X min Değişim aralığı ne kadar küçük olursa ölçülen özellikteki değişkenlik o kadar az demektir. Bu da ölçüm değerlerinin ortalama etrafında daha sık dağıldığı anlamına gelir. Dağılım sıklaştıkça ortalamanın temsil gücü artar. Değişim aralığının en büyük dezavantajı, veri grubunun sadece iki elemanını ( en büyük ve en küçük değer) dikkate almasıdır. Bundan dolayı aşırı büyük veya küçük bir tek değerin bile veri grubunda bulunması dağılım hakkında yanlış yorum yapılmasına sebep olabilir..3. Standart Sapma Veri grubundaki her bir değeri hesaba katan bir ölçü olup, verilerin ortalama etrafında ne kadar sık dağıldığını gösterir. S = n i= (x i x) n σ = N i= (x i μ) N Aynı standart sapma farklı ortalama Aynı ortalama farklı standart sapma

6 6 Örnek: Üç imalat sürecine ait veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre en fazla değişkenliğin hangi süreçte olduğunu tespit ediniz. Süreç Süreç Süreç 3 Birim No Ağırlık Birim No Ağırlık Birim No Ağırlık 0,00 0,00,60 0,30,80,80 3 3,00 3,90 3 3,00 4 4,0 4 3,00 4 3,0 5 5,00 5 3,80 5 3,0 6 5,50 6 5,50 6 3,40 Ortalama 3,00 3,00 3,00 Aralık 5,50 5,50 0,80 S.Sapma,37,79 0,8 X = X = X 3 R = R > R 3 S > S > S 3. OLASILIK DAĞILIMLARI N tane değer içerisinden n tanesinin a özelliğine sahip olduğu farz edilsin. Bu N değer içerisinden rastgele bir değer çekilmesi durumunda bunun A özelliğine sahip olması olasılığı P(A) = n N olacaktır. Örneğin bir torbadaki 0 toptan 8 tanesi beyaz ise bu torbadan rastgele çekilen bir topun beyaz olması olasılığı P(Beyaz) = 8 = 0,4 olacaktır. 0 Olasılık Kuralları. Tamlama Kuralı p + q = p= Bir olayın meydana gelme olasılığı q= Bir olayın meydana gelmeme olasılığı 0 p p=0 imkansız olay p= kesin olay. Toplama Kuralı: A ve B olayları birbirini engelliyor olsun. Yani A ve B olayları aynı anda meydana gelemiyor olsun. Bu durumda A nın veya B nin meydana gelmesi olasılığı bu iki olayın olasılıkları toplamına eşit olur. P(A veya B) = P(A) + P(B) Örnek: Bir üretimdeki malların %70 i iyi kaliteli, %0 si orta kaliteli ve %0 u da kalitesiz olsun. Bu üretimden şansa bağlı olarak alınan bir malın iyi veya orta kaliteli olasılığı ne olur? P(iyi veya orta) = 0,70 + 0,0 = 0,90

7 7 3. Çarpma Kuralı: A ve B olayları birbirini engellemeyen olaylar ise, yani her iki olayda aynı zamanda meydana gelebiliyor ise, A nın ve B nin meydana gelmesi olasılığı bunların olasılıklarının çarpımına eşittir. P(A ve B) = P(A). P(B) Örnek: Bir fabrikanın I ve II nolu departmanlarında aynı cins üretim yapılmaktadır. I nolu departmandaki üretim oranı %0 ve kusurlu üretim oranı %5 ise bu fabrikanın üretiminden rasgele bir ürün alındığında bunun I nolu departmanın kusurlu ürünü olması olasılığı ne olur? P(I ve kusurlu) = 0,.0,5 = 0,03 Rasgele Değişken, bir örnek uzaydaki her rasgele olaya sayısal bir değer atayan bir fonksiyondur. Rasgele değişken X, Y, Z gibi büyük harflerle gösterilir. Rasgele değişkenler kesikli rasgele değişken ve sürekli rasgele değişken olmak üzere ikiye ayrılır. Bir rasgele değişkeninin olanaklı değerlerinin sayısı sonlu veya sayılabilir ise X e kesikli rasgele değişken denir (arabadaki insan sayısı, evdeki oda sayısı, bir günde gelen müşteri sayısı vb.). Bir rasgele değişkeninin olanaklı değerleri bir aralıktan ya da aralıklar koleksiyonundan oluşuyor ise X e sürekli rasgele değişken denir ( Tüketilen benzin miktarı, ağırlık, iki uçağın inişi arasındaki süre v.s.). X kesikli bir rasgele değişken olduğunda f x (x) = P(X = x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. Koşulları; f x (x) 0 f x (x) = x X sürekli bir rasgele değişken olduğunda P(a < X < b) = P(a X b) = b f(x)dx fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. a Sürekli rassal bir değişkenin herhangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olduğundan, herhangi bir olasılıktan bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir. Koşulları; f x (x) 0 + f x (x)dx = Beklenen Değer, Kesikli X rasgele değişkeni için; E(X) = x xf x (x) + Sürekli X rasgele değişkeni için; E(X) = xf x (x)dx = Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Eğer rassal değişken kesikli bir değişken ise, bunun olasılık dağılımı kesikli olasılık dağılımı olarak tanımlanır. Eğer rassal değişken sürekli bir değişken ise, bunun olasılık dağılımı sürekli olasılık dağılımı olarak tanımlanır. Sürekli olasılık fonksiyonu düzlemde sürekli bir eğri oluşturur.

8 8.. Binom Dağılımı Kusurlu-kusursuz, yazı-tura, erkek-kız gibi yalnız iki sonuç veren bir olay n kez tekrarlandığında istenen sonucun x defa gelmesi olasılığı Binom Dağılımını gösterir. P(x) = ( n x ) px q n x, p: istenen sonucun gelmesi olasılığı, q = p C x n = ( n x ) = μ = np σ = npq n! x!(n x)! Örnek: Kusurlu oranı %0 olan bir üretimden şansa bağlı olarak 8 birimlik bir örnek alındığında bu örnekte; a) tane kusurlu birim çıkması olasılığı nedir? P(x = ) = ( 8 ) 0, 0,9 8 = 8!!6! 0, 0,9 6 = 0,488 b) En fazla tane kusurlu birim çıkması olasılığı nedir? P(x ) = P(x = 0) + P(x = ) + P(x = 3) = ( 8 0 ) 0,0 0, ( 8 ) 0, 0,9 8 + ( 8 ) 0, 0,9 8 = 0, , ,4305 = 0,969 Örnek: Bir proseste üretilen mamullerin %5 inin kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu prosesten şansa bağlı olarak alınan 3 birimlik örnekte en az iki mamulün kusurlu çıkma olasılığını hesaplayınız. P(x ) = P(x = ) + P(x = 3) = ( 3 ) 0,5 0, ( 3 3 ) 0,53 0, = 0, ,0034 = 0,0608 Örnek: Bir toplantıya katılan 0 katılımcıya akşam yemeği çağrıları gönderilmiştir. Çağrılan her katılımcı için çağrıyı kabul etme olasılığının 0,9 olduğuna inanılmaktadır. Bu çağrıya uyma kararlarının bağımsız alındığı varsayımıyla en çok 7 kişinin çağrıyı kabul etme olasılığı kaçtır? P(x 7) = P(x > 7) = [P(x = 8) + P(x = 9) + P(x = 0)] = 0,85 0,70 0,6 = 0,33.. Poisson Dağılımı p 0,0 ve np < 5 olması durumunda binom yerine poisson dağılımı kullanılır. P(x) = e λ λ x, x= 0,,, x!

9 9 λ = np (dağılımın ortalaması ve varyansı) Örnek: Belli bir tip cam levhaların 0 m sinde ortalama hava kabarcığı bulunmaktadır. Bu cam levhalardan 5 m lik bir örnek alındığında bu örnekte hiç hava kabarcığı bulunmaması olasılığı nedir? 5 m de,5 hava kabarcığı olacağından λ=,5 olur. P(x = 0) = e,5,5 0 = 0,08 0! Örnek: Bir otomobil galerisine ayda ortalama 50 müşteri gelmektedir. Herhangi bir günde dükkanı açmayan galeri sahibinin en az üç müşteriyi kaçırma olasılığı nedir? λ = = 5 müşteri/gün P(x 3) = P(x = 3) + + P(x = 50) = [P(x = 0) + P(x = ) + P(x = )] = 0,0067 0,0337 0,084 = 0,47 = 0,8753 Örnek: Bir çağrı merkezinde dakikada 4 çağrı alınmaktadır. a) dakikalık bir zaman aralığında 6 adet çağrı gelme olasılığı nedir? P(x = 6) = e = 0, 6! b) 3 dakika içinde en az 3 çağrı gelme olasılığı nedir? P(x 3) = [P(x = 0) + P(x = ) + P(x = )] = [ e 0 0,9995 0! + e! + e ] =!.3. Hipergeometrik Dağılım P(x) = (D x )(N D n x ) ( N n ), x= 0,,, N: Anakütle büyüklüğü n: Örnek büyüklüğü D: Anakütledeki kusurlu sayısı x: Örnekteki kusurlu sayısı Örnek: Bir mağazadaki 0 buzdolabından 3 ü arızalıdır. Bu mağazadaki buzdolaplarından rasgele 5 buzdolabı alındığında sinin arızalı olması olasılığı nedir? P(x = ) = (3 )(0 3 5 ) ( 0 5 ) = 3! 7!!! 3!4! 0! 5!5! = 0,36

10 0 Örnek: Bir şirkete 0 birimlik bir parti mal gelmiştir. Her bir birimin incelenmesi pahalı olacağından şirket bir partiden 6 birimlik rassal bir örnek almakta, seçilen birimlerin kusurlu sayısı i aşmazsa partiyi kabul etmektedir. 5 kusurlu içeren bir partinin kabul olasılığı nedir? P(x ) = P(x = 0) + P(x = ) = (5 0 )( ) ( 0 + ( 5 6 ) )(0 5 6 ) ( 0 6 ) = 0,9 + 0,387 = 0,56.4. Normal Dağılım Bir ürüne ait süreklilik gösteren herhangi bir özellik (uzunluk, ağırlık vs.) belirli aralıklarla ölçüldüğünde genellikle bu ölçüm değerlerinin belirli bir değer etrafında simetrik veya simetriğe yakın bir dağılım gösterdiği gözlenir. İşte bu dağılıma normal dağılım denir. f(x) = σ π e (x μ σ ), < x < + μ = Anakütle ortalaması, σ = Anakütle standart sapması %50 %50 Özellikleri; x = μ olması durumunda f max =. σ π Normal dağılım eğrisi ile x ekseni arasında kalan toplam alan e eşittir. Normal dağılım eğrisi simetrik olduğundan o Ortalama=Medyan=Mod o f(μ x) = f(μ + x) Toplam alanın; o P(μ σ < x < μ + σ) = 0,687 o P(μ σ < x < μ + σ) = 0,9545 o P(μ 3σ < x < μ + 3σ) = 0,9973

11 x değişkeninin herhangi iki değer arasında bulunma olasılığı eğri altındaki bu iki değer arasında kalan alana eşittir ve integral hesabıyla bulunur. Bunun yerine standart normal eğriden faydalanılarak oluşturulmuş z tablolarından faydalanılır. Z = x μ σ Φ(a) + Φ( a) = P(Z <,74) = P(Z > +,74) Φ(,74) = Φ(+,74) = 0,04093

12 Örnek: Ortalaması 30, standart sapması 4 olan ve normal dağılım gösteren bir anakütleden rasgele bir birim alındığında bunun 36 ile 4 arasında olması olasılığını bulunuz. P(a < x < b) = P(x < b) P(x < a) = P (Z < b μ a μ 4 30 ) P (Z < ) = P (Z < ) σ σ P (Z < ) = P(Z <,75) P(Z <,5) = Φ(,75) Φ(,5) = 0,9970 0,9339 = 4 0,06383 Anakütle elemanlarının %6,38 i 36 ile 4 arasındadır. Örnek: Bir kağıdın çekme dayanımı (lb/in ) μ=40 ve σ= parametreleri ile normal dağılmaktadır. Müşteriler tarafından kağıdın dayanımının en az 35 olması istenmektedir. Bu kağıdın spesifikasyonları karşılama olasılığını bulunuz P(X > 35) = P(X < 35) = P (Z < ) = P(Z <,5) = Φ(,5) = [ Φ(+,5)] = [ 0,99379] = 0,99379

13 3 Örnek: Bir milin çapı 0,508 inç ortalama ve 0,0005 inç standart sapma ile normal dağılmıştır. Mille ilgili spesifikasyonlar 0,500±0,005 inç olarak belirlenmiştir. a) Üretilen millerin spesifikasyonları karşılama oranını bulunuz. 0,485 0,508 0,55 P(0,485 < x < 0,55) = P(x < 0,55) P(x < 0,485) = P (Z < 0,55 0,508 ) 0,0005 P (Z < 0,485 0,508 ) = P(Z <,4) P(Z < 4,6) = 0,965 0 = 0,965 0,0005 Ürünlerin %9,65 i spesifikasyonları karşılamaktadır. b) Proses ortalaması hedef değer olan 0,500 a eşitlenirse spesifikasyonları karşılama oranı ne olur? P(0,485 < x < 0,55) = P(x < 0,55) P(x < 0,485) = P (Z < 0,55 0,500 ) 0,0005 P (Z < 0,485 0,500 ) = P(Z < 3,00) P(Z < 3,00) = 0,9987 0,003 = 0,9974 0,0005 Spesifikasyonu karşılama oranı %99,74 e yükselir. Örnek: Belirli bir ürünün yarıçapı μ=,0635 ve σ=0,0075 parametreleri ile normal dağılım göstermektedir. ÜSS=,08 ve ASS=,054 olmak üzere aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) ASS nın altındaki ürün oranı P(x <,054) = P (Z <,054,0635 ) = P(Z <,) = 0,3 0,0075 b) ÜSS nin üstündeki ürün oranı P(x >,08) = P (Z >,08,0635 ) = P(Z >,5) = P(Z <,5) = 0,9940 = 0,0075 0,006 c) İki sınır arasındaki ürün oranı P(,054 < x <,08) = (0,3 + 0,006) = 0,8877 d) Ürünün yalnızca %5 inin kalacağı yeni ASS

14 4 P(X < ASS) = 0,05 Z 0,05 =,645 = ASS,0635 0,0075 ASS =,05 e) Ürünlerin %5 nin dışında kalacağı yeni ÜSS P(X > ÜSS) = 0,05 Z 0,95 =,645 = ÜSS,0635 0,0075 ÜSS =,075 f) Ürünlerin %5 nin ASS dışında kalmasını sağlayacak yeni ortalama P(X < ASS) = 0,05 Z 0,05 =,645 =,054 μ 0,0075 g) Yeni ortalamaya göre ÜSS dışındaki ürün oranı μ =,066 P(x >,08) = P (Z >,08,0666 ) = P(Z >,3) = P(Z <,3) = 0,9834 = 0,0075 0, Binomun Normale Yaklaşımı Örnek büyüklüğü n nin büyümesi durumunda binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır. n nin büyük değerleri için binom dağılımı ile hesaplamalar zorlaşır. Örneğin kusurlu oranı %0 olan bir üretimden 00 birimlik bir örnek alındığında bu örnekte 30 dan az kusurlu olması ihtimali [P(x < 30) = P(x = 0) + P(x = ) + + P(X = 9)] şeklinde 30 adet ihtimali

15 5 binom dağılıma göre hesaplayıp toplamak zaman alıcı bir işlemdir. Bu işlemler yerine normal dağılımdan faydalanarak yaklaşık bir değer daha kısa zamanda ve daha az bir işlemle elde edilebilir. np>5 durumunda binom dağılımı normal dağılıma iyi bir yaklaşım gösterir. Binom dağılımında μ = np ve σ = npq olduğundan Z = x μ σ = x np npq olur. Ancak binom dağılımı kesikli bir dağılım olduğundan sürekli dağılıma geçilirken ± süreklilik düzeltmesini yapmak gerekir. Problemin ifadesine göre ½ ya eklenir ya da çıkarılır. Z değeri belirlendikten sonra normal dağılımda olduğu gibi çözüm yapılır. Z = x ± np npq Örnek: Kusurlu oranı %0olan bir üretimden 00 birimlik bir örnek alındığında bu örnekte a) 30 dan az kusurlu birim çıkması olasılığı nedir? μ = np = 00.0, = 0 > 5 olduğundan normal dağılım kullanılır. 30 dan küçük ifadesinden ötürü 30 bölgeye dahil edilmez. Bu nedenle ½ çıkarılır. Z = (30 ) ,.0,9 =,4 P(x < 30) = P(z <,4) = 0,98745 b) 5 veya daha fazla kusurlu birim çıkması olasılığı nedir? 5 veya daha büyük denildiğinden 5 bölgeye dahil edilir. Z = (5 ) ,.0,9 =,3 P(x > 5) = P(z >,3) = 0, TAHMİN Örnekleme, Bir veya birkaç özelliği dikkate alarak bir ana kütleden sınırlı sayıda birimlerin çekilmesi işlemidir. Anakütleyi temsil edebilecek büyüklükteki örneklemlerin anakütlenin içinden ve olabildiğince değişik bölgelerinden rassal olarak çekilerek anakütle hakkında genel yargılara varma işlemidir. Örneklemenin temel amacı; seçilen birimlerden yararlanılarak anakütle hakkında bilgi sahibi olmaktır.

16 6 Anakütle (popülasyon, yığın): İncelenmek istenen ve belirli bir yer ve/veya zaman esasına göre tanımlanan, birçok birimden oluşan yığındır. Birim: Anakütleyi oluşturan ve örnekleme ya da tamsayım yoluyla kendisine ait bilginin toplanacağı elemandır. Tahmin: Bir tahmin edicinin örnek verilerinden hesaplanmış sayısal değeridir. Örneklemlerin çeşitli özelliklerine dayanarak anakütle hakkında göze alınan hata sınırları içinde çıkarımda (genellemede) bulunma işlemidir. Örnekleme Hatası: Örnekten elde edilen tahmin ile tamsayımla elde edilen anakütle parametresi arasındaki farktır. Örneklem İstatistiği: Örneklemeye başvurulduğunda n hacimli bir örneklemdeki gözlem değerlerinden hesaplanan ortalama, varyans, oran gibi betimsel değerlere denir. Örnekleme Dağılımı: Anakütleden çekilen örneklemlerden elde edilen örneklem istatistiklerinin oluşturduğu dağılımlardır. Merkezi Limit Teoremi ne göre; ortalaması μ ve standart sapması σ olan herhangi bir anakütleden X, X,.X n olmak üzere n hacimli rassal olarak çekilen örneklemlerin ortalaması μ x = μ ve standart sapması σ x = σ olan standart normal dağılıma yaklaşır ve n standart değişken Z = x μ σ olur. n

17 7 3.. Nokta Tahmini Bir ana kütlenin hem ortalaması (μ) hem de varyansı (σ ) bilinmiyor olsun. O zaman bu anakütleden alınan n birimlik bir örneğin ortalaması (x) ve varyansı (S ) nın hesaplanan sayısal değerleri μ ve σ nin nokta tahminleri olurlar. Böylece; μ X = x i n ve σ S = (x i X ) n 3.. Aralık Tahmini Örnek istatistikleri yardımıyla anakütle parametresinin belli bir ihtimalle bulunması gerektiği aralığa güven aralığı ve aralığın sınırlarına güven sınırları denir. P(AGS < μ < ÜGS) = α AGS= Alt Güven Sınırı ÜGS= Üst Güven Sınırı Güven Aralığı = Nokta Tahmini ± Güven Katsayısı. Standart Hata Güven Katsayısı: İlgili olasılık dağılımı için güven seviyesine göre belirlenen kritik değer Standart Hata: Bir anakütle parametresinin tahmin edicisinin standart sapması 3... Anakütle Ortalaması İçin Güven Aralığı a) Varyans biliniyor (n 30) X rasgele değişkeninin ortalaması (μ) bilinmiyor ve varyansı (σ ) biliniyor olsun. Şansa bağlı olarak alınan n birimlik bir örnek alınmış olsun. Bu örneğin ortalaması x olmak üzere %00( α) güven aralığı;

18 8 P (x Zα σ σ n < μ < x + Zα n ) = α [x N(μ, σ )] n Güven (%) α Z 90 0,05, ,05, ,005,58 b) Varyans bilinmiyor (n<30) X rasgele değişkeninin ortalaması (μ) ve varyansı (σ ) bilinmiyor olsun. Şansa bağlı olarak alınan n birimlik bir örneğin ortalaması x ve varyansı S dir. P (x tα,n s n < μ < x + tα,n s n ) = α Örnek: Bir fabrikanın ürettiği belli bir tip çelik bilyelerden 00 birimlik bir örnek alınmış ve bu örnek için ağırlıkların ortalaması 4,8 gr ve standart sapması 0,5 gr bulunmuştur. Buna göre bu fabrikanın ürettiği sözkonusu çelik bilyelerin ağırlıkları ortalaması için %99 güven sınırlarını bulunuz. n=00>30 olduğundan varyans biliniyor durumu geçerli

19 9 α = 0,99 α = 0,0 α = 0,005 Zα =,58 P (4,8,58 0,5 0,5 < μ < 4,8 +, ) = 0,99 P(4,67 < μ < 4,99) = 0,99 4,8 ± 0,9 gr Örnek: Sentetik bir ipin ortalama çekme dayanımı önemli bir kalite karakteristiği olup, imalatçı %95 güven seviyesi için güven aralığını hesaplamak istemektedir. Geçmiş tecrübelerden çekme dayanımının normal dağılım gösterdiği bilinmesine rağmen ortalama çekme dayanımı ve standart sapması bilinmemektedir. 6 adetten oluşan rasgele bir örnek seçilmiş ve çekme dayanımları hesaplanmıştır. Örnek No Dayanım (psi) x = 49,86 ve s =,66 48,89 5,07 α = 0,95 α = 0,05 α = 0, ,9 t 0,05;6 =,3 4 5,66 5 5,6 P (49,86,3,66, ,7 < μ < 49,86 +,3 6 6 ) = 0, , ,96 P(48,98 < μ < 50,74) = 0, ,0 0 48,0 49,86 ± 0,88 47,90 46,94 3 5, , ,86 6 5, İki Ortalamanın Farkı İçin Güven Aralığı a) Varyans biliniyor X rasgele değişkeninin ortalaması μ ve varyansı σ olsun. X rasgele değişkeninin ortalaması μ ve varyansı σ olsun X popülasyonundan şansa bağlı olarak alınan n birimlik örnek X, X,.,X n ve X popülasyonundan şansa bağlı olarak alınan n birimlik örnek X, X,.,X n olsun. X ve X örnek ortalamaları farkı için güven aralığı; P [(X X ) Zα σ + σ < μ n n μ < (X X ) + Zα σ + σ ] = α n n

20 0 b) Varyans bilinmiyor X ~N(μ, σ ) ve X ~N(μ, σ ) olmak üzere μ, σ, μ, σ bilinmiyor olsun. S p = (n )S + (n )S n + n P [(X X ) tα,n +n S p + < μ n n μ < (X X ) + tα,n +n S p + ] = α n n İki Ortalamanın Farkı İçin Hipotez Testleri Varyans Hipotez Test İstatistiği Red Kriteri Biliniyor H 0 : μ = μ Z H : μ μ 0 = X X Z 0 > Zα σ n + σ n Bilinmiyor H 0 : μ = μ H : μ μ t 0 = X X S p n + n t 0 > tα,n +n Örnek: Bir petrol şirketi üretiminin önemli bir bölümünü kurşunlu benzinden kurşunsuz benzine çevirmek zorunda kalacaktır. Benzinin önemli bir kalite karakteristiği oktan sayısıdır. Eğer çok düşük oktanlı benzin kullanılırsa, motorda aşırı çarpma/vurma sesi oluşacaktır. Şirket daha önceki benzinlerinin oktan sayısıyla aynı olması gereken kurşunsuz bir benzin formüle etmiştir. Herbir ürün grubu için 0 adet gözlemin elde edildiği bir deney yapılmıştır. %99 güven seviyesinde oktan sayıları ortalamaları farkı için güven aralığını bulunuz. Kurşunlu Benzin Kurşunsuz Benzin 89,5 89,5 90,0 9,5 9,0 9,0 9,5 89,0 9,5 9,5 9,0 9,0 89,0 9,0 89,5 90,5 9,0 90,0 9,0 9,0 X = 90,70 S =,34 X = 90,80 S =,07 S p = (n )S +(n )S n +n S p =,0 t 0,005;0+0 =,878 = 9.,34+9., =, P [(90,70 90,80),878.,0. + < μ 0 0 μ < (90,70 90,80),878., ] = 0,99 P(,5 < μ μ <,3) = 0,95

21 Güven aralığı sıfırı dahil ediyor. Böylece iki benzin tipinin oktan sayılarına göre farklı olduğuna ilişkin istatistiksel bir kanıt bulunamamıştır. Hipotez testi ile iki benzin tipinin oktan sayılarına göre farklı olduğunun ispatlanması; H 0 : μ = μ H : μ μ t 0 = X X S p n + n = 90,70 90,80, = 0,0 t 0 = 0,0 < t 0,005;0+0 =,878 olduğundan H o reddedilemez. % önem seviyesinde sözkonusu benzin türlerinin ortalama oktan sayıları arasındaki farkın önemli olmadığına karar verilir. Örnek: İki makine cam şişeleri meşrubatla doldurmakta kullanılmaktadır. Doldurma proseslerinin standart sapmaları sırasıyla σ=0,0 lt ve σ=0,05 lt dir.. Makinadan n =5 ve. Makinadan n =0 şişelik alınan rasgele örneklerin ortalamaları sırasıyla X =,04 lt ve X =,07 lt dir. Ortalama doldurma hacmindeki farklılık için %95 güven aralığını bulunuz. Bu sonuca göre her iki makinanında aynı hacmi doldurup doldurmadığını hipotez testi ile destekleyerek belirtiniz. α = 0,95 α = 0,05 α = 0,05 Zα =,96 P [(X X ) Zα σ + σ n n < μ μ < (X X ) + Zα σ + σ n n ] = α P [(,04,07),96 0,0 + 0,05 < μ 5 5 μ < (,04,07) +,96 0,0 + 0,05 ] = 0, P[ 0,0376 < μ μ < 0,000] = 0,95 Z 0 =,04,07 0,0 5 +0,05 5 = 7,693 Z 0 = 7,693 > Zα =,96 olduğundan iki ortalamanın eşit olduğunu ifade eden sıfır hipotezi kabul edilemez Anakütle Oranı İçin Güven Aralığı Bir anakütleden çekilen n birimlik bir örnekte belli bir özelliğe sahip birimlerin sayısı x ise, bu örnekte sözkonusu özelliğe rastlanma oranı p = x dir. Bu özelliğe anakütlede rastlanma n oranı (p) için güven aralığı; P (p q Zα p < p < n p + Zα q p n ) = α, n 30 P (p q tα p < p < n p + tα q p n ) = α, n < 30

22 Örnek: Bir firmanın ürettiği ürünlerden 50 tanesi rassal olarak seçilmiş ve bunların 0 tanesinin birinci kalite olarak nitelendirilen ürün olduğu belirlenmiştir. Bu verilere göre; a) Firmada üretilen birinci kalite ürün oranının güven sınırlarını %95 olasılıkla tahmin ediniz. p = x n = 0 50 = 0,8 ve q = 0, Z 0,05 =,96 P (p q Zα p < p < n p + Zα P (0,8,96 0,8.0, 50 P(0,7359 < p < 0,864) = 0,95 q p n ) = α < p < 0,8,96 0,8.0, 50 ) = 0,95 Bu üretimdeki birinci kalite ürün yüzdesinin %73,59 ve %86,4arasında olacağına %95 güvenle bakılabilir. b) Üretilecek tane üründeki. Kalite ürün sayısının güven sınırlarını hesaplayınız. P(0, < sayı < 0, ) = 0,95 P( < sayı < 86400) = 0,95

23 3 4. KABUL ÖRNEKLEMESİ Firmaya dışarıdan gelen bir partiye veya herhangi bir prosesten elde edilen ürünlerin tamamının oluşturduğu topluluğa ana kütle veya yığın adı verilir. Örnekleme, bir yığının sahip olduğu bazı özellikleri hakkında karar verebilmek amacı ile yığını temsil edebilecek büyüklükte küçük bir kısmının seçilerek incelenmesi ve elde edilen bilgiler doğrultusunda karar verilmesi işlemi olarak tanımlanabilir. Bu tanıma bağlı olarak kabul örneklemesi, tüm partiyi kabul ya da reddetmek amacı ile yapılan bir parti malın belirli bir oranını değerlendirme prosesidir. Örneklemenin ana avantajı ekonomidir. Örnekleme planlarını tasarlamak ve yönetmek için bazı ek maliyetler söz konusu olmasına rağmen, bir parti malın yalnızca bir kısmını kontrol/muayene etmenin daha düşük maliyeti toplam maliyetin azalmasına neden olacaktır. Ana avantajın yanı sıra, kabul örneklemesinin sağladığı diğer faydalar aşağıda sıralanmaktadır. Daha az sayıdaki kontrol ekibini yönetmek daha az karmaşık ve daha az maliyetlidir. Ürüne daha az hasar söz konusudur. Ürün daha kısa sürede elden çıktığından teslimat programında aksama yaşanmaz. %00 muayene (tamsayım) den kaynaklanan monotonluk ve kontrol personelinin hatalarının neden olduğu problemler minimize edilir. Uygun olmayan partiyi reddetme, kalite kusurlarının abartılmasına neden olarak, organizasyonun önleyici ölçümlere dikkatini yoğunlaştırmasına yol açar. Kabul örneklemesinin dezavantajları Kötü partileri kabul, iyi partileri ret riski bulunmaktadır. Ürün veya ürünün üretildiği proses hakkında daha az bilgi edinilir. %00 muayenede ihtiyaç duyulmayacak şekilde, kabul örneklemesi prosedürünün planlanması ve dokümante edilmesi gerekir. Kabul örneklemesi aşağıdaki durumlarda kullanılır. Kontrol maliyeti, kusurlu ürünün prosese girmesinden kaynaklanan hasar maliyetine oranla daha yüksek olduğunda %00 kontrol monoton olduğunda ve kontrol/muayene hatalarına neden olduğunda Kontrol işlemi tahrip edici olduğunda (dayanım ölçümü gibi) Otomatik muayene/kontrol olmadığı durumlarda %00 muayene aşağıdaki durumlarda kullanılır. Parçalar son derece kritik Herhangi bir kusurlu parçanın geçmesi bir sonraki aşamada kabul edilemez ölçüde yüksek başarısızlık maliyetlerine neden oluyor Tedarikçinin proses yeterliliği düşük (3 veya 4 olması durumunda kusurlu üretimi minimum düzeyde olacağından kabul örneklemesinin herhangi bir kusurlu ürün keşfetmesi muhtemel değildir) Tablo. Kontrol Grafikleri ve Örnekleme Planları Arasındaki Fark Kontrol Grafiği Örnekleme Planı Karar Ayarla yada Bırak Kabul yada Reddet Faaliyet Proses Ürün Odak Gelecekteki Ürün Geçmişteki Ürün

24 4 Tedarikçiden Partinin Gelişi Örnek Alma Örneğin Kontrol ve Analiz Edilmesi Kriter Karşılanıyor Sonuçların Kabul Kriteri ile Kıyaslanması Kriter Karşılanmıyor Partinin Kabulü Partinin Reddi Üretime veya Müşteriye Gönderme Partinin Elden Çıkarılışı için Karar Verme Şekil. Kabul Örneklemesi Prosedürü Kabul örneklemesinin farklı uygulamaları aşağıdaki şekilde verilmiştir. Üretim işlemini takiben üretilen ürünlerin müşteriye ulaşmadan önce (a) ve üretim sürecinde işlenmek üzere tedarikçiden gelen malzemelerin üretim öncesinde (b) niteliksel ve niceliksel kontrolleri yapılarak sonucuna göre Kabul/Red kararı verildiği durumlar sırasıyla çıktı muayenesi ve girdi muayenesi olarak tanımlanmaktadır. Muayene sonrası kabul edilmeyen ürünlerle ilgili karar, ürünlerin hurdaya ayrılması ya da yeniden işlenmesi yönünde olmaktadır (c). 4.. KABUL ÖRNEKLEMESİNDE RİSK Ne örnekleme ne de %00 kontrol, bir partideki tüm kusurlu ürünlerin bulunacağını garanti edemez. Örneklemede tüm partinin koşullarını tam olarak yansıtamama riski bulunmaktadır. %00 kontrolde ise monotonluk ve diğer faktörlerin etkisiyle kontrol elemanlarının bazı kusurlu ürünleri gözden kaçırmalarından kaynaklanan risk söz konusudur. Herhangi bir kabul örneklemesinde yanlış karar alma riski istatistiksel anlamda aşağıdaki tabloda verildiği gibi ifade edilebilir. Tablo. Kabul Örneklemesinde Risk İstatistiksel Kavram İşareti Kalite Kontrol Kavramı Sıfır Hipotezi Ho Partinin kalitesi iyi Alternatif Hipotez H Partinin kalitesi kötü Ho doğru iken Ho ın reddi I. Tip Hata İyi partinin reddi Ho yanlış iken Ho ın kabulü II. Tip Hata Kötü partinin kabulü I. Tip hata olasılığı α Üreticinin riski II. Tip hata olasılığı β Tüketicinin riski

25 5 4.. İŞLETİM KARAKTERİSTİĞİ EĞRİSİ (Operating Characteristic Curve)- OC Eğrisi Bir örnekleme planı için OC eğrisi, üretici ve tüketici riskinin ölçülmesini sağlar. Bir OC eğrisi, bir partideki kusurlu yüzdesinin (p), o partiyi kabul etme olasılığına (P a ) karşı çizilmiş bir grafiğidir. Bu grafik belirli bir kusur oranına sahip bir partinin kabul ya da ret olasılığını gösterir. p bilinmediğinden tüm muhtemel p değerleri için olasılık ifade edilmelidir. Aşağıdaki eğri üretici ve tüketici risklerinin sıfır olduğu OC eğrisidir. Eğer partide belli bir orandan daha fazla kusurlu birim çıkması ihtimali sıfır ise ve üretici ile alıcı bu oran üzerinde anlaşmış iseler partinin kabul edilme olasılığı %00 olur (Bu durum ancak %00 muayenede söz konusu olur). Şekil de tüm partilerin %,5 veya daha az kusurlu olduğu kabul edilmektedir. %,5 veya daha az kusurlu tüm partilerin kabul olasılığı dir. %,.5 den daha fazla kusurlu tüm partilerin kabul olasılığı 0 dır. Ancak fiiliyatta mükemmel ayrım yapan bir örnekleme planı yoktur. İyi bir partinin reddedilme ve kötü bir partinin kabul edilme riski her zaman vardır. P a 0 p %.5 Şekil. İdeal OC Eğrisi OC eğrileri belirli bir örnekleme planı için tektir ve üretici ve tüketici risklerinin belirlenmesini sağlar. Bu risklerin bulunması için öncelikle Kabul Edilebilir Kalite Seviyesi (Acceptable Quality Level- AQL) ve Parti Toleransı (Lot Tolerance Percent Defective-LTPD) nın belirlenmesi gerekir. AQL, maksimum kabul edilebilir uygun olmayan ürün yüzdesidir. LTPD ise neyin kötü parti olduğuyla ilişkili uygunsuzluk yüzdesidir. Bir başka ifadeyle müşteri açısından en düşük kabul olasılığına sahip olan kusurlu yüzdesidir. AQL değerine sahip tüm partiler her zaman kabul edilmeyeceği gibi, LTPD değerli tüm partilerde her zaman reddedilmeyecektir. Üretici iyi partilerin yüksek bir olasılıkla kabul edilmesini ister. Tüketici ise kötü partinin kabul olasılığının düşük olmasını ister. Partiyi Kabul Etme Olasılığı (P a) α -α β AQL, -α LTPD, β AQL LTPD Partideki Kusurlu Yüzdesi (p) Şekil 3. OC Eğrisi Üzerinde Üretici ve Tüketici Riskleri AQL azaldığında iyi bir partiyi reddetme ihtimali (α) de azalır. Benzer olarak LTPD arttığında kötü partiyi kabul etme olasılığı (β) azalır. AQL üzerine üretici ve tüketicinin anlaşması gerekir ve bu değer kontratlarda müzakere edilen bir husustur. Daha düşük bir AQL üreticinin riskini azaltır fakat aynı zamanda imalatta daha sıkı bir kontrol gerektirir. Bu nedenle kalite özelliklerini belirlemede ekonomik analiz önemlidir.

26 6 (Bir üretim ünitesi bir parti malı %00 kusursuz olarak ancak %00 bir kontrol işleminden sonra teslim edebilir. Bununla beraber %00 kontrolün her zaman mümkün ve ayrıca ekonomik olmadığı ve onun yerine numune kabul kontrolünün kullanıldığı daha önce belirtilmişti. Buna bağlı olarak %00 kusursuz ürün yerine bir partide belirli bir oranda kusurlu parça bulunduğu durumda dahi bu durumun %00 kontrolden daha ekonomik olacağı düşüncesine varılmıştır. Genelde üretici ve tüketici anlaşması ile tayin edilen bu kusurlu oranına AQL denir) α=%5 ve AQL=% olması, % kusurlu içeren 00 lottan 95 inin kabul 5 inin reddedileceği anlamına gelir. Β=%0 ve LTPD=%5 olması, %5 kusurlu içeren 00 lottan 90 ının ret 0 unun kabul edileceği anlamına gelir KABUL OLASILIĞI Bir OC eğrisi, çeşitli kalite değerleri için kabul olasılığının belirlenmesiyle geliştirilebilir. Kabul olasılığı, örnekte kusurlu sayısının kabul sayısına eşit ya da daha az olması olasılığıdır. Kabul olasılığını bulmak için 3 dağılımdan faydalanılmaktadır. Tablo 3. Kabul Olasılığını Bulmada Kullanılan İstatistiksel Dağılımlar Dağılım Formül Değişkenler Hipergeometrik D N D D= Partideki kusurlu sayısı. x= Örnekteki kusurlu sayısı (k) ( ) x n x Px N= Parti hacmi N n= Örnek hacmi n Binom n p=kusurlu oranı x nx P( x). p. q x= Örnekteki kusurlu sayısı (k) x Poisson x np. = Örnekteki ortalama kusurlu sayısı P( x) e. x! p= Kusurlu oranı x= Örnekteki kusurlu sayısı (k) TEKLİ KABUL ÖRNEKLEMESİ En basit örnekleme planı olan Tekli (Tek Katlı) Kabul Örneklemesinde N= Parti Hacmi, n= Örnek Büyüklüğü ve N c= Kabul Sayısı olmak üzere kabul planı n şeklindedir. Bu kabul planına göre N birimlik bir partiden şansa c bağlı olarak n birimlik bir örnek alındığında bu örnekte çıkacak olan kusurlu birim sayısı (k), kabul edilebilir kusurlu sayısından (c) küçük veya eşit ise bu parti kabul, aksi halde reddedilir. Tekli kabul örneklemesine göre partinin kabul edilmesi ihtimali aşağıdaki işlem ile elde edilir. P( k c) P( k 0) P( k )... P( k c ) n ve c yi belirle n adet örneği kontrol et Örnekteki k adet uygun olmayan ürünü bul Partiyi Reddet Hayır k c Evet Partiyi Kabul Et Şekil 4. Tekli Kabul Örneklemesi

27 7 N 500 Örnek: 0 n kabul planı için c a) Kabul planını yorumlayınız. b) 0.0, 0.08, 0.5, 0.8 kusurlu oranları için kabul ihtimallerini bulunuz. c) Kabul Edilebilir Kalite Seviyesi ve Parti Toleransı değerlerini bularak yorumlayınız. (α=0.05 ve β=0.0 kabul ediniz) Çözüm: a) Bu kabul planına göre parti hacmi 500 dür. Bu partiden 0 birimlik bir örnek şansa bağlı olarak alınacak ve bu örnek %00 muayeneye tabi tutularak örnekteki kusurlu sayısı tespit edilecektir. Eğer bu 0 birimlik örnekte en fazla kusurlu çıkarsa bu 500 birimlik parti kabul edilecek aksi taktirde reddedilecek. b) P( k ) P( k 0) P( k ) Hipergeometrik Dağılım D=N.p p=0.0 D= =0 p=0.08 D=40 p=0.5 D=75 p=0.8 D= Pk ( ) 0, 663 0, 8 0, HİPERGEOMETRİK p P(k ) 0,0 0,9434 0,08 0,533 0,5 0,699 0,8 0,097 % kusurlu üreten bir prosesten 00 lot değerlendirildiğinde bunun 94 ü kabul 6 sı reddedilecektir. Binom Dağılımı p=0.0 q=0.98 p=0.08 q=0.9 p=0.5 q=0.85 p=0.8 q= P( k ) P( k 0) P( k ) 0, 0 0, 98 0, 0 0, 98 0 Pk ( ) 0, , 75 0, 940 Poisson Dağılımı λ=n.p p=0.0 λ=0x0.0=0.4 p=0.08 λ=.6 p=0.5 λ=3 p=0.8 λ= BİNOM P P(k )

28 Probability of Acceptance 8 e.0.4 e.0.4 P( k ) P( k 0) P( k ) 0!! Pk ( ) POISSON p P(k ) d) Hipergeometrik dağılıma göre çizilen OC eğrisi,0 0,9 Operating Characteristic (OC) Curve Sample Size = 0, Acceptance Number = 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, Lot Proportion Defective 0,4 0,6 0,8 e) AQL ve LTPD değerleri grafik üzerinden okunarak yada interpolasyon işlemi ile tespit edilir (Hipergeometrik Dağılım).

29 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0,3 0,3 0,34 0,36 0,38 0,4 Pa , 95 0 x 0.95 x x 0,08 0, , x 0.0 x 0, Kabul Edilebilir Kalite Seviyesi (AQL)=%.8; Parti Toleransı (LTPD)=%7.9 AQL=%.8 olduğundan kusurlu oranı %.8 den az olan partiler iyi partilerdir. Kusurlu oranı %7.9 dan fazla olan partiler ise kötü partilerdir. Kusurlu oranı %.8 ila %7.9 arasında olan partiler ara partilerdir. Başka bir N 500 ifade ile 0 n kabul planına göre 500 birimlik bir partinin iyi parti olabilmesi için en fazla 500x0.08=9 c tane kusurlu birim ihtiva etmesi gerekir. Benzer şekilde kötü parti olarak nitelendirilmesi için partinin en az 500x0.79=90 adet kusurlu birim ihtiva etmesi lazımdır. Örnek: Bir firmanın ürettiği mallar 300 er birimlik partiler halinde sevk edilmektedir. Bir partiden şansa bağlı olarak 4 birimlik bir örnek alındığında bu örnekte en fazla kusurlu birim çıkarsa bu parti alıcı tarafından kabul edilecektir. Buna göre %3, %5, %0 ve %0 kusurlu yüzdeleri için kabul ihtimallerini bularak OC eğrisini çiziniz. (İhtimal dağılımlarında poisson dağılımını kullanınız). AQL ve LTPD değerlerini bulunuz. Çözüm : N 300 n 4 c λ=n.p p=0.03 λ=0.7 p=0.05 λ=. p=0.0 λ=.4 p=0.0 λ=4.8 P( k ) P( k 0) P( k ) P( k ) e.0.7 e.0.7 e.0.7 Pk ( ) !!! p P(k ) 0,03 0,9635 0,05 0,8795 0,0 0,5697 0,0 0,45 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 AQL=0.033 LTPD=0.3 p İyi Parti Ara Parti Kötü Parti Örnek: Bir firma yüksek ısıya dayanıklı önemli bir parça almaktadır ve gelen her parti maldan kabul örneklemesi yapmaktadır. Test edilen her bir parça test sonucunda başarılı ya da başarısız olmaktadır ve parçaların test sonrası imalatta kullanılması mümkün olmamaktadır. Çok büyük bir partiden 0 adet örnek alındığını kabul edelim. Bu partinin kabul edilmesi için örnek içerisinde hiçbir uygunsuz parçanın olmaması

30 Pa 30 gerekmektedir. Parti içerisinde uygun olmayan parçaların yüzdesi bilinmemekle birlikte bu değerin %5 olduğunu kabul edelim. Bu örnekleme planını kullanmak suretiyle partinin kabul edilme olasılığını hesaplayınız. Çözüm: Test edilen her bir parça başarılı ya da başarısız olacağından ve parti nispeten büyük olduğundan örnekteki hataların sayısı binom dağılımı ile ifade edilebilir ! P( k 0) P (0) 0, 05 0, , , !0! Partideki Kusurlu (n=0; k=0)* (n=0; k=)* (n=5; k=0)* (n=5; k=)* Yüzdesi (p) 5 0,5987 0,938 0,4633 0,89 0 0,3487 0,736 0,059 0, ,969 0,5443 0,0874 0, ,073 0,3758 0,035 0,67 5 0,0563 0,440 0,034 0, ,08 0,493 0,0047 0,035 Binom Dağılımı Tablosundan faydalanılmıştır. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 (n=0; k=0) (n=0; k=) (n=5; k=0) (n=5; k=) 0 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 p En uygun örnekleme planının seçiminde (AQL, -α) ve (LTPD, β) değerleri seçilir. Bu değerleri veren OC eğrisindeki n ve c değerleri uygun bir örnekleme planıdır Örnek Büyüklüğü ve Kabul Sayısının OC Eğrisi Üzerindeki Etkisi Daha büyük örnek büyüklüğü olması durumunda OC eğrisi daha dik olur. Bu durum örnek büyüklüğü fazla olan örnekleme planlarının daha yüksek kalite koruması sağlayacağı anlamına gelir. (Örneğin p=0,0 için I. Planın kabul olasılığı 0 iken, II. Planın kabul olasılığı 0,36 düzeyinde). Örnek büyüklüğü arttıkça üretici riski (α) artar, tüketici riski (β) azalır.

31 Kabul Olasılığı (Pa) Kabul Olasılığı (Pa) 3 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 n=50;c=0 n=50;c=0 n=5;c=0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Kusurlu Oranı (p) n c Üretici açısından α riskinin düşük olduğu tüketici açısından ise β riskinin düşük olduğu plan avantajlıdır. Daha küçük kabul sayısı OC eğrisinin daha dik olmasına neden olur. Bir başka ifade ile daha küçük kabul sayısı tüketici açısından daha yüksek düzeyde kalite koruması sağlar. Daha dik OC eğrisinde, örnekleme planı iyi ve kötü partiyi daha iyi ayırt eder. Tüketici riskinin azalması için OC eğrisinin aşağıya kayması gerekir. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 n=50;c=0 n=50;c= n=50;c=4 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Kusurlu Oranı (p) p AQL ve p LTPD olmak üzere; 0 p p ) H 0 : Lot is of acceptable quality (Partinin kalitesi iyi) ( 0 H : Lot is of unacceptable quality (Partinin kalitesi kötü) ( p p ) Reject H 0 / H 0 is true Reject Lot/Lot is good / 0 Accept H / H is not true Accept Lot/Lot is not good / P P P x c p p P P P x c p p 0 0

32 3 AQL 0,0 ve LTPD=0,30 olması durumunda farklı örnekleme planları için üretici ve tüketici riskleri; a) N 00 0 n 0,070 ve =0,388 c (0,30 kusurlu oranlı partilerin %38'i alıcı tarafından kabul edilmekte. Tüketici riski yüksek) b) N 00 0 n 0,653 ve =0,08 c 0 (0,0 kusurlu oranlı partilerin %65'i red edilmekte. Üretici riski yüksek. c ) c) N 00 5 n 0,0980 ve =0,0905 (Üretici ve tüketici riski eşit) c Tekli Kabul Örneklemesinde Maliyet N= Bir partideki mal sayısı n= Örnekte mal sayısı p= Bir partideki kusurlu oranı A= Kusurlu malın kontrolden kaçması durumunda meydana gelen hasarın maliyeti [demontaj ve tamir maliyetleri, uygun olmayan ürünleri bulmak için ürünleri ayıklama maliyeti, ürün alıcıya gönderildiyse garanti maliyetleri ve kayıp satış maliyetleri] I= Birim başına kontrol maliyeti [kontrol prosesinde kullanılan ekipmanın yatırım maliyeti ve işletme maliyeti (işçilik, kira, bakım vs.)] P a = Partinin kabul edilme olasılığı Kontrol Yok Toplam Maliyet=N.p.A Kabul Örneklemesi Toplam Maliyet=n.I+(N-n).p.A.Pa+(N-n).(-Pa).I %00 Kontrol Toplam Maliyet=N.I p b I Başabaş nokta ( NpA NI A ) p<p b ise kabul örneklemesi veya kontrol yapılmaması durumlarında toplam maliyet en düşük düzeyde olacaktır. p>p b ise %00 kontrol uygulanması gerekmektedir. Örneğin eğer bir bilgisayar parçasının parça başına kontrol maliyeti 0,50 $ ve kusurlu bir parçanın monte I 0,5 edilmesi durumunda hasar maliyeti 0 $ ise pb 0, 05 %5 olacaktır. Böylece eğer kusurlu A 0 oranı %5 ten büyükse %00 kontrol uygulanmalıdır. Diğer durumda örnekleme yapılmalı veya kontrol tamamen bırakılmalıdır. Örnek: Bir tedarikçiden alınan bir parti mal 000 birimden oluşmaktadır. Birim başına kontrol maliyeti 0,76 $ dır. Kötü malın proseste işlem görmesi neticesinde ortaya çıkan maliyet 5,0 $/birim dir. 75 birimden oluşan bir örnek alınması kalite kontrol mühendisi tarafından teklif edilmiştir. Geçmişte aynı tedarikçiden alınan partilerdeki kusurlu oranı %3.4 tür. Kabul sayısı ise örnekleme planının ekonomik olup olmadığını inceleyiniz. Çözüm:

33 33 N= 000 birim n= 75 birim p= %3.4 A= 5.0 $/birim I= 0.76 $/birim c= I 0,76 pb 0, 05 %5 A 5, 0 p b =%5>p=%3.4 olduğundan kabul örneklemesi yada kontrolsüz kabul uygundur. N 000 Kabul planı= 75 n c λ=n.p=75.0,034=,55 e.,55 e.,55 e.,55 P( k ) P( k 0) P( k ) P( k ) 0!!! Pk ( ) , ,55 0,55,55 Kontrol Yok T.M.=N.p.A=000.0,034.5,0=56,8 $ Kabul Örneklemesi T.M.=n.I+(N-n).p.A.Pa+(N-n).(-Pa).I T.M.=75.0,76+(000-75).0,034.5,.0,53+(000-75).0,47.0,76=57+53,36+330,4=64,0 $ %00 Kontrol T.M.=N.I T.M.=000.0,76=760 $ Toplam maliyeti daha düşük olduğu için Kontrolsüz Kabul uygundur. Örnek: Bir proseste birim kontrol maliyeti 5 cent ve hatalı bir ürünün bir sonraki aşamaya geçmesi sonucu oluşan birim maliyet ise 8 $/birim dir. 00 birimden oluşan bir parti için grafik çizerek başa baş analizini yapınız. Çözüm: I 0,5 pb 0, 035 %3,5 A 8 p>%3,5 olduğunda %00 kontrol ve p<%3,5 olduğunda kontrolsüz kabul uygundur.

34 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0, 0, 0,4 0,6 Pa Maliyet Maliyet(%00 Kontrol)(N.I) Maliyet (Kontrol Yok)(N.p.A) ,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 p Örnek: Bir firma 000 adet üründen oluşan bir parti mal satın almak istemektedir. Rasgele 0 adet ürün örnek olarak alınmış ve kusurları kontrol edilmiştir. a) c=0, c= ve c= için OC eğrilerini çiziniz (Poisson dağılımını kullanınız). b) AQL=0.0 ve LTPD=0.08 ise her bir plan için üretici ve tüketici riskleri ne olacaktır? c) Her bir ürünün kontrol etme maliyeti 8 cent ve hatalı bir ürünün proseste bir sonraki adıma geçmesinden kaynaklanan maliyet.40 $/birim ise başa baş kusurlu yüzdesini bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm: a) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Partiyi Kabul Etme Olasılığı Partideki Kusurlu Yüzdesi n=0;c=0 n=0;c= n=0;c= 0 0,05 0,368 0,736 0,90 0, 0,35 0,406 0,677 0,5 0,050 0,99 0,43 0, 0,08 0,09 0,38 0,5 0,007 0,040 0,5 n=0;c=0 n=0;c= n=0;c= p

35 35 b) (-α )=0,85 α =0,5 (-α )=0,95 α =0,05 (-α 3 )=0,99 α 3 =0,0 β =0,0 β =0,54 β 3 =0,79 c) p p p b I 0,08 0,057 A,40 %5,7 kontrol yok %5,7 %00 kontrol Binom Nomografı Kullanarak Tek Katlı Bir Örnekleme Planının Tasarlanması Dört değerin belirlenmesi gerekir. Bunlar; α: Belirlenen kalite seviyesini karşılayan bir partinin reddedilmesi olasılığı β: Belirlenen kalite seviyesini karşılamayan bir partinin kabul edilmesi olasılığı p : Kabul olasılığının yüksek olduğu kusurlu oranı p : Kabul olasılığının düşük olduğu kusurlu oranı Tek katlı örnekleme planı p kusurlu oranlı partiler için (- α) kabul olasılığına ve p kusurlu oranlı partiler için (β) kabul olasılığına sahip olmalıdır. Bu plan için OC eğrisi dört parametreyle belirlenen iki noktadan geçmelidir. Binom dağılımı durumunda; n n! n n! c c i ni i ni p p p p i0 i i0 i!( n i)! c c i ni i ni p p p p i0 i i0 i!( n i)! Bu eşitliklerdeki bilinmeyenler, bir tek katlı örnekleme planını belirlemekte gerekli olan n(örnek büyüklüğü) ve c(kabul sayısı) parametreleridir. Eşitliklerin her ikisi de doğrusal olmadığından basit ve doğrudan bir çözümü yoktur. Deneme yanılma yöntemi kullanılabilmesine karşılık, alternatif bir yöntem bir nomografın kullanımıdır. ((AQL,- α) ve (LTPD, β) değerleri seçilir. Bu değerleri veren OC eğrisindeki n ve c değerleri uygun bir örnekleme planıdır.) Binom nomografı, p kusurlu oranlı partiyi kabul etme olasılığı (- α) ve p kusurlu oranlı partiyi kabul etme olasılığını (β) kullanarak örnek büyüklüğü (n) ve kabul sayısını (c ) belirlemede kullanılır. c nin tamsayılı olması gerekliliğinden dolayı ya α sabit tutulur β ayarlanır ya da tam tersi yapılır. Planlar iki doğrunun kesiştiği en yakın tamsayılı c ye göre seçilir.

36 36 Örnek: Bir otomobil montaj fabrikası %4 kusurludan fazla olmayanların %99 olasılıkla kabul edileceği bir tek katlı örnekleme planı ile ilgilenmektedir. %0 kusurludan fazla ürünlerin kabul edilmesi olasılığının en fazla %0 olması istenmektedir. (0,04;0,99) ve (0,0;0,0) Kabul sayısının (c) tamsayı olması gerektiğinden ötürü β değeri ile küçük kaydırmalar yapıldığında en yakın n 44 sonucu veren plan 5 planıdır. c n=44, c=5 n=45,c=5 n=46,c=5 n=47,c=5 AQL=0,04 0,996 0,996 0,9908 0,9899 LTPD=0,0 0,075 0, ,0798 0,07048

37 37 Örnek: 000 adet taşınabilir bataryadan oluşan bir parti mal, Malezyalı ithalatçı tarafından kontrol edilecektir. Koreli imalatçı ve ithalatçı AQL=% için α=0.05 ve LTPD=%7 için β=0.0 olacak bir örnekleme planının n=0 ve c=3 olup olmadığını tespit etmek istemektedirler. Söz konusu planının üretici ve tüketicinin kalite ve risk gereksinimlerini karşılayıp karşılamadığını tespit ediniz. Eğer karşılamıyorsa örnekleme planını oluşturunuz. (Poisson dağılımından yararlanınız.) p Pa p=0.0 için Pa=0.779 olduğundan α=0. riski üretici tarafından arzu edilen değerin 0 çok üzerindedir. β =0.03 riski ise tüketicinin kabul edebileceği maksimum risk olan 0,0 0, dan oldukça aşağıdadır. Bu durumda bu örnekleme planı tüketicinin lehine görünmektedir. α nın düşürülmesi için daha büyük örnek büyüklüğü gerekmektedir. 0,0 0,779 0,03 0,55 0,04 0,94 0,05 0,5 0,06 0,07 0,07 0,03 0,08 0,04

38 Pa 38 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 p n=30 c=5 =POISSON(5;,6;doğru)= 0, [p=0,0 için =30*0,0=,6] =POISSON(5;9,;doğru)= 0,0975 [p=0,07 için =30*0,07=9,]

39 İKİLİ KABUL ÖRNEKLEMESİ İkili (İki Katlı) Kabul Örneklemesinde bir partinin kabul veya reddi için partiden en fazla iki örnek alınır. Alınacak örnek büyüklükleri ve bu örneklerdeki kabul edilebilir kusurlu sayıları önceden belirlenen ikili kabul N örneklemesinde kabul planı c n şeklinde gösterilir. n c Partiyi Kabul Et EVET n, n, c, c yi belirle n adet örneği kontrol et Örnekteki x adet uygun olmayan ürünü bul k c k >c n adet örneği kontrol et k yi bul EVET EVET Partiyi Reddet HAYIR k +k c k c kabul, k c red k k c k c n k c kabul k c red Şekil 5. İkili Kabul Örneklemesi büyüklüğünde ikinci bir örnek İkili kabul örneklemesinde partinin kabul veya reddedilmesinde dört mümkün hal vardır.. Birinci örnekten sonra kabul edilir. Birinci örnekten sonra reddedilir 3. İkinci örnekten sonra kabul edilir 4. İkinci örnekten sonra reddedilir Tablo 4. İkili Kabul Örneklemesinde Kabul İhtimalleri Kabul Yolları ( k k c ) Kabul İhtimalleri c P P k c k ( ) P I a P. örnek sonunda kabul etme olasılığı I P P( k c ) r. örnek sonunda reddetme olasılığı k c, k c ( cp ) P( k c ). P( k c ( c )) P P P3... Pm. örnek sonunda kabul etme olasılığı P I II 3 P( k c ). P( k c P ( c P)) P II a k c, k c ( c ). P P( k c ). P( k 0) k c k m 0 a a a

40 40 İkili örneklemenin tekli örneklemeye oranla avantajları İkili örneklemede alınan ilk örneğin hacmi tekli örneklemeye göre küçüktür. Dolayısıyla ikinci örneğe geçmeye lüzum kalmadığı hallerde kontrol masrafı daha azdır. Partinin reddi veya kabulü hususunda ikinci bir şans tanıdığı için psikolojik güven sağlar. İkili örneklemenin tekli örneklemeye oranla dezavantajları. Örneğe göre karar verilmediğinde muayene edilecek birimlerin toplam sayısı tek katlı örneklemeden daha fazladır. N 400 Örnek: =0 c 0 n kabul planı için n =0 c 3 a) 0,0; 0,05; 0,0 ve 0,0 kusurlu oranlarına ait kabul ihtimallerini poisson dağılımına göre hesaplayınız. b) OC eğrisini çiziniz. c) Kabul Edilebilir Kalite Seviyesi ve Parti Toleransı değerlerini bularak yorumlayınız. (α=0.05 ve β=0.0 kabul ediniz) Çözüm:. Yol. Yol 3. Yol 4. yol k P P( k 0) 0 k, k P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) P( k ) k, k P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) 3 k 3, k 0 P4 P( k 3). P( k 0) p. Örnek (λ=n.p). Örnek 0,0 λ=0.0,0=0, λ=0.0,0=0, 0,05 λ=0.0,05=0,5 λ=0.0,05=0, 0,0 λ=0.0,0= λ=0.0,0= 0,0 λ=0.0,0= λ=0.0,0= e.0. Pk ( 0) 0, ! 0. e.0. Pk ( ) 0, 0905! 0. e.0. Pk ( ) 0, 0045! 0. 3 e.0. Pk ( 3) 0, 000 3! 0. 0 e.0. Pk ( 0) 0,887 0! 0. e.0. Pk ( ) 0,637! 0. e.0. Pk ( ) 0, 064! P P( k 0) 0,9048 P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) P( k ) P 0, ,887 0,637 0, 064 0, 0904 P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) 3 P 0, ,887 0,637 0, P P( k 3). P( k 0) 0,000.0,887 0,0006 4

41 Pa 4 P P P P3 P4 0,9048 0,0904 0,0044 0,0006 0,99976 Kusurlu Oranı (p) 0 0,0 0,05 0,0 0,0 Kabul İhtimali (Pa) 0,9998 0,9458 0,6999 0,79 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 p Bu örnekleme planında 400 birimlik bir partinin iyi parti olarak kabul edilmesi için en fazla %4,69 oranında kusurlu birim ihtiva etmesi gerekir. İyi partideki kusurlu birim sayısı 400.0,0469=9 dan az olmalıdır ,6490=60 ve daha fazla kusurlu birim sayısına sahip parti kötü partidir. Kusurlu sayısı 9-60 arasında olan partiler ara partilerdir. N 50 Örnek 8: =3 c 0 n kabul planı için kusurlu oranı %0 olan partiyi kabul etme ihtimalini hesaplayınız. n =3 c Çözüm 8: p. Örnek. Örnek 0, λ=3.0,=0,3 λ=3.0,=0,3. Yol. Yol 3. yol k P P( k 0) 0 k, k P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) k, k 0 P3 P( k ). P( k 0) e.0.3 Pk ( 0) 0, 74 0! 0.3 e.0.3 Pk ( ) 0,! 0.3 e.0.3 Pk ( ) 0, 033! e.0.3 Pk ( 0) 0, 74 0! 0.3 e.0.3 Pk ( ) 0,! P 0,74 P 0,. 0,74 0, 0, 4 0,74 0, 4 0,04 0,979 P T P 0, 033.0, 74 0, 04 3

42 4 N 000 Örnek 9: =30 c n kabul planı için kusurlu oranı %5 olan partiyi kabul etme ihtimalini hesaplayınız. n =60 c 3. Yol. Yol 3. Yol k P P k P k P k ( 0) ( 0) ( ) P 0, 46 0, , 5535 P I a 0, 5535 k, k P P( k ). P( k ) P( k ). P( k 0) P( k ) P 0, , 046 0,455 0, 0495 k 3, k 0 P3 P k P k 3 II a ( 3). ( 0) P 0,70.0, 046 0, 0059 P 0, , , 0554 I II P P P 0,6089 T a a I P r P( k c ) P( k c ) P( k 3) P( k 0) P( k ) P( k ) P( k 3) 0, 46 0, , 586 0,70 0, 939 0, 0609 Pk ( 0).0,05.0,95 0,46 Pk 30 ( ).0,05.0,95 0,3389 Pk 30 ( ).0,05.0,95 0,586 Pk ( 3).0, 05.0, 95 0,70 Pk ( 0).0,05.0,95 0,046 Pk 60 ( ).0, 05.0, 95 0,455 p Pa-I Pa-II Pa-iki katlı 0,00,0000 0,0000,0000 0,0 0,9639 0,0305 0,9944 0,0 0,8795 0,070 0,9505 0,03 0,773 0,0844 0,8574 0,04 0,66 0,0745 0,7357 0,05 0,5535 0,0554 0,6089 0,06 0,4555 0,0367 0,49 0,07 0,3694 0,03 0,397 0,08 0,958 0,07 0,3085 0,09 0,343 0,0069 0,4 0,0 0,837 0,0036 0,873 0, 0,47 0,008 0,445 0, 0,00 0,0009 0,08 0,3 0,084 0,0004 0,0845 0,4 0,0638 0,000 0,0639 0,5 0,0480 0,000 0,048

43 Ortalama Örnek Sayısı Eğrisi (The Average Sample Number Curve) Ortalama örnek büyüklüğüne karşı kusurlu oranının çizildiği eğridir. İki katlı bir örnekleme planı kullanıldığında örnek büyüklüğü ikinci bir örneğin gerekli olup olmadığına bağlı olduğundan, bu tip örnekleme için önemli bir etmen OÖS eğrisidir. Partinin iki katlı örneklemenin en etkili olduğu aralıkta olup olmadığı incelenmezse, iki katlı örneklemenin tek katlı örneklemeye göre ekonomik avantajları sağlanamayabilir. Tek katlı örnekleme planı için alınan örnek sayısı kusur oranına bağlı olmadığından OÖS yatay bir çizgidir. Partinin iyi kaliteli olduğu (p değeri düşük) veya kötü kaliteli olduğu (p değeri yüksek) olduğu durumlarda ikinci bir örnek almaya gerek olmadığından iki katlı örnekleme planı kullanmak daha avantajlıdır. Çünkü parti kalitesi çok iyi veya çok kötüyse, genellikle. örnekte kabul veya reddedilir. Böylece iki katlı örnekleme planında. örneğin büyüklüğü-n genellikle tek katlı örneklemedeki örnek büyüklüğünden-n daha küçük olduğu için daha az örnek sayısı ile karar vermek mümkün olur. Ancak parti orta kaliteli ise karar vermeden önce ikinci bir örnek almak gereklidir. Bu durumda örnek sayısı daha düşük olan tek katlı örnekleme planı tercih edilmelidir. OÖS n. P ( n n ).( P ) n n.( P ) P :. örneğe göre karar verme olasılığı P P(parti. örnekte kabul edilir)+ P(parti. örnekte reddedilir) P P( k c ) P( k c ) P( k c ) P( k c ) P( c k c ) N 000 N 000 Örnek: =30 c n ve 45 n örnekleme planları için OÖS eğrilerini çiziniz ve hangi kusurlu n =60 c 3 c oranları için hangi örnekleme planının kullanılması gerektiğini bulunuz. p Pa-tek katlı Pa-iki katlı 0,00,0000,0000 0,0 0,9896 0,9944 0,0 0,9390 0,9505 0,03 0,8478 0,8574 0,04 0,738 0,7357 0,05 0,6077 0,6089 0,06 0,4883 0,49 0,07 0,386 0,397 0,08 0,90 0,3085 0,09 0,7 0,4 0,0 0,590 0,873 0, 0,45 0,445 0, 0,08 0,08 0,3 0,0566 0,0845 0,4 0,0390 0,0639 0,5 0,065 0,048,0 Pa-tek katlı 0,9 Pa-iki katlı 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 0,00 0,03 0,06 0,09 0, 0,5 OC eğrilerine göre her iki örnekleme planı da aynı kalite koruması sağlamaktadır. Bu durumda hangi örnekleme planının seçileceğine karar vermek için OÖS eğrilerini kullanmak gerekmektedir.

44 44 p P(<k 3) P OÖS-iki katlı 0,00 0,0000, ,0000 0,0 0,0359 0,964 3,555 0,0 0,77 0,883 37,059 0,03 0,50 0,7850 4,90 0,04 0,308 0,698 48,4936 0,05 0,3857 0,643 53,4 0,06 0,449 0,558 56,547 0,07 0,4757 0,543 58,5396 0,08 0,4884 0,56 59,3049 0,09 0,483 0,568 58,99 0,0 0,4637 0, ,846 0, 0,4339 0,566 56,037 0, 0,397 0,609 53,868 0,3 0,3566 0,6434 5,3947 0,4 0,348 0,685 48,8863 0,5 0,736 0,764 46,479 0,6 0,346 0, ,0734 0,7 0,985 0,805 4,9087 0,8 0,659 0,834 39,9563 0,9 0,37 0,868 38,305 6 OÖS-iki katlı 58 OÖS-tek katlı ,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 0,0 %3,5 tan düşük ve %5,5 tan büyük kusurlu yüzdesi içeren partiler için iki katlı örnekleme planının, ara değerler için ise tek katlı örnekleme planının kullanılması gerekmektedir Grubb Tablolarını Kullanarak İki Katlı Bir Örnekleme Planının Tasarlanması İki katlı örnekleme planında (p,- α) ve (p, β) noktalarının yanı sıra. örneğin büyüklüğünün. örneğin büyüklüğünün bir tamsayı ile çarpımı şeklinde ifade edilmesi gerekir (örn. n =n ). Daha sonra p =AQL ve p =LTPD olmak üzere R p oranı bulunur ve bu değere en yakın olan R değerini veren plan numarası p Grubb tablosundan seçilir. Bu plan numarasından c ve c kabul sayıları belirlenir.. Örneğin büyüklüğü (n ), pn başlıklı iki kolondan tespit edilebilir. n i hesaplamak için α ya da β sabit tutulur. α sabitse - α=0,95 kolonundan faydalanılır ve n pn eşitliği ile. örnek büyüklüğü hesaplanır. β sabit tutulduğunda ise β=0,0 p kolonundaki değer kullanılır ve n pn eşitliği ile örnek büyüklüğü hesaplanır. p Örnek: Bir şirket α=0,05; β=0,0; p =0,0; p =0, ve n =n olacak şekilde bir iki katlı örnekleme planı oluşturmak istemektedir. Grubb tablolarını kullanarak planı oluşturunuz. R=6,48 p 0, R 6 Plan 3 c p 0,0 c 3 0,60 sabit tutulursa; pn 0,60 n 30 n =n olduğundan n = ,0 3,89 sabit tutulursa; pn 3,89 n 3, 4 33 n =n olduğundan n = , n 30 c n 33 c veya n 60 c 3 n 66 c 3 Her iki plan içinde OC eğrisi (p, ) ve (p, ) noktalarından geçer.

45 Düzeltme/ Arıtma Muayenesi (Rectifying Inspection) Kabul örneklemesi programları genellikle partiler reddedildiğinde düzeltici faaliyeti gerektirir. Bu düzeltici faaliyet satıcıyla yapılan kontratlarda şart koşulur ya da standart bir prosedürün parçasıdır. Reddedilen partiler üzerinde %00 muayene uygulandığından ve uygun olmayan ürünler iyi ürünlerle değiştirildiğinden, kabul edilen partilerin kalitesi gelen partilerin kalitesinden daha iyi olacaktır. Bu yeni kalite seviyesine Ortalama Çıkan/ Giden Kalite (Average Outgoing Quality-AOQ) denir. AOQ tek bir partinin değil, bir grup partinin kalitesiyle ilgilenir. Gelen Partiler Muayene Faaliyeti Reddedilen Partiler Kusurlu Oranı=0 Giden Partiler Kusurlu oranı=p 0 Kabul Edilen Partiler Kusurlu oranı (p <p 0 ) Kusurlu Oranı=p 0 Pa. p.( N n) AOQ, tek katlı örnekleme planı N p P N n P N n n AOQ N I II. a.( ) a.( ), iki katlı örnekleme planı Çıkan partilerin AOQ si gelen partilerin kalitesine bağlıdır. Eğer kalite çok iyiyse, partilerin çoğu kabul edilecek ve giden partilerin kalitesi de çok iyi olacaktır. Diğer taraftan gelen partilerin kalitesi çok kötü ise partilerin çoğu reddedilecek ve düzeltme muayenesine gitmek zorunda kalacaktır. Burada kusurlu ürünler bulunarak değiştirilecektir. Sonuç olarak giden partilerin kalitesi çok iyi olacaktır. Böylece, gelen partilerin kalitesi çok iyi

46 46 veya çok kötü ise giden partilerin kalitesi çok iyi olacaktır. Ara kalitede ise giden partilerin kalitesinin en kötü olduğu bir değer vardır. Bu değere ortalama çıkan kalite limiti (Average Outgoing Quality Limit-AOQL) denir. N 000 Örnek: 45 n örnekleme planı için kabul olasılıkları (P a ) ve AOQ değerleri aşağıdaki tabloda c verilmektedir. Düzeltme muayeneli bu kabul planına göre en kötü AOQ=%,9 dur. Yani gelen partilerdeki kusurlu yüzdesi ne kadar kötü olursa olsun, çıkan partilerin kusurlu yüzdesi %,9 dan daha kötü olmayacaktır. AOQL=%,9 p Pa-tek katlı AOQ 0,00,0000 0,0000 0,0 0,9896 0,0095 0,0 0,9390 0,079 0,03 0,8478 0,043 0,04 0,738 0,080 0,05 0,6077 0,090 0,06 0,4883 0,080 0,07 0,386 0,055 0,08 0,90 0,0 0,09 0,7 0,087 0,0 0,590 0,05 0, 0,45 0,00 0, 0,08 0,0093 0,3 0,0566 0,0070 0,4 0,0390 0,005 0,5 0,065 0,0038 0,0350 0,0300 0,050 0,000 0,050 0,000 0,0050 0,0000 0,00 0,03 0,06 0,09 0, 0, Ortalama Toplam Muayene (Average Total Inspection) Gelen partiler kusurlu içermesin. Bu partiler kabul edilir ve her bir parti için muayene edilen birimlerin sayısı örnek büyüklüğü kadar olur (n). Gelen partilerdeki tüm birimler kusurlu ise, tüm partiler örnekleme sonucunda reddedilir ve %00 muayeneye düzeltme amacıyla gönderilir. Böylece muayene edilecek toplam sayı parti büyüklüğü (N) kadardır. %0-00 kusurlu birim içeren partiler için ortalama muayene miktarı n ve N arasında değişecektir. Farklı örnekleme planları aynı seviyede kalite koruması sağlamasına rağmen farklı ATI değerlerine sahip olacaktır. Böylece en küçük ATI yı veren örnekleme planı seçilmelidir. ATI n. P N( P ) n ( P )( N n), tek katlı örnekleme planı a a a ATI n. P ( n n ). P N.( P P ), iki katlı örnekleme planı I II I II a a a a N 000 N 000 Örnek: =30 c n ve 45 n örnekleme planları için p=0,0 olmak üzere ATI değerlerini n =60 c 3 c hesaplayınız ve hangi örnekleme planının tercih edilmesi gerektiğini belirtiniz. ATI n. P N( P ) n ( P )( N n) 45 ( 0, 9896)(000 45) 54, 93 a a a ATI n. P ( n n ). P N.( P P ) 30.0, 9639 (30 60).0, ( 0, , 0305) 37, 6 I II I II a a a a İki katlı örnekleme planı tercih edilmelidir.

47 AOQ (Proportion Defective) Average Total Inspection 47 0,030 0,05 Average Outgoing Quality (AOQ) Curve Average Total Inspection (ATI) Curve ,00 0, ,00 0,005 0,000 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 Incoming Lot Proportion Defective Sample Size = 45, Acceptance Number = ,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 Lot Proportion Defective 4.8. Dodge- Romig Tabloları Kullanarak Örnekleme Planının Oluşturulması Verilen bir AOQL veya LTPD değeri için proses kusurlu oranına bağlı olarak örnekleme planının oluşturulmasında kullanılır. Ortalama Toplam Muayene Sayısı (ATI) minimize edilecek şekilde tasarlanmışlardır. Bu planlar ancak reddedilen partilerin %00 muayeneye gönderildiği programlarda uygulanabilir (Düzeltme muayenesi olmadan AOQL anlamsızdır). Planları kullanabilmek için gelen partinin ortalama kusurlu oranı bilinmelidir. Satıcı nispeten yeni ise ön bir örnek alınarak veya satıcı tarafından sağlanan verilerden bu değer saptanabilir. Alternatif olarak tablodaki en büyük ortalama yeterince bilgi elde edilinceye kadar kullanılabilir. Gelen malzemenin kusurlu oranının daha doğru bir tahmini daha uygun bir örnekleme planının seçilmesini sağlar. Dört tip Dodge-Romig Tablosu bulunmaktadır.. Tek Katlı AOQL Tabloları ( %0,0; %0,5; %0,50; %0,75; %,00; %,50; %,00; %,50; %3,00; %4,00; %5,00; %7,00; %0,00). İki Katlı AOQL Tabloları 3. Tek Katlı LTPD Tabloları (%0,5; %, %, %3, %4, %5, %7, %0) 4. İki Katlı LTPD Tabloları Örnek: 5000 birimden oluşan bir partinin ortalama kusurlu yüzdesi % dir. AOQL=%3 olmak üzere a) Tek Katlı Örnekleme Planını oluşturunuz. b) İki Katlı Örnekleme Planını oluşturunuz. N 5000 a) 65 n Bu planının LTPD değeri %0,3 tür. Buna göre %0,3 kusurlu içeren partiler %90 güvence ile c 3 reddedilecektir. -α= 0,9958(=BİNOMDAĞ(3;65;0,0;DOĞRU)) β= 0,087(=BİNOMDAĞ(3;65;0,03;DOĞRU))

48 48 N 5000 b) =30 c 0 n n =75 c 5 ile reddedilecektir. Bu planının LTPD değeri %9,5 tür. Buna göre %9,5 kusurlu içeren partiler %90 güvence Dodge-Romig Tek Katlı Örnekleme Planı (AOQL=%3) Dodge-Romig İki Katlı Örnekleme Planı (AOQL=%3)

49 49 5. KONTROL GRAFİKLERİ 5.. İstatistiksel Proses Kontrol İstatistik; değişik nedenlerin etkisi altında yaşanan olayların gözlenmesi ve gerekli bilgilerin sistematik biçimde toplanarak incelenmesi sonucunda belirli duyarlılıkta tahmin ve yorumlar yapmayı sağlayan bir bilim dalıdır. İstatistiksel proses kontrol (İPK), bir ürünün en ekonomik ve yararlı bir tarzda üretilmesini sağlamak amacıyla veri toplamak, analiz etmek, yorumlamak ve çözüm yolları önermek üzere istatistik prensip ve tekniklerin üretimin tüm aşamalarında kullanılmasıdır. İPK üretimin önceden belirlenmiş kalite spesifikasyonlarına uygunluğunu sağlayan, standartlara bağlılığı hedef alan, uygun olmayan ürün üretimini en aza indirgemekte kullanılan bir araçtır. Böylece Düzeltici ve Önleyici faaliyetlerin başlatılabilmesi için verilere dayalı karar verme olanağı sağlar. Bütün prosesler; Makine, Takım, Yöntem, Malzeme, Operatör, Bakım ve Çevre şartlarından kaynaklanan değişime uğrarlar. Hiçbir zaman iki ürün veya ürünün herhangi bir özelliği aynı olamaz. İşlenen parçaların ölçüleri/ özellikleri arasında küçük de olsa mutlaka birbirine göre fark vardır. Bu durum spesifikasyonların niçin toleransları olduğunu açıklar. İPK nın amacı değişimin özel sebeplerini ortadan kaldırarak prosesi kontrol altında tutmaktır. Kontrol altındaki bir proses, değişimin özel sebepleri izlendiğinden ve ortadan kaldırıldığından sürekli olarak kendi doğal toleransları içinde ürünler üretir. Proses, istatistiksel olarak kontrol altında ve sürekli olarak kendi doğal toleransı içinde ürünler üretiyor ise prosesin yeterliliğinin belirlenmesi için doğal toleranslar spesifikasyon toleransları ile karşılaştırılmalıdır. 5.. Proses Değişkenliği Uygunsuzluk, bir ürün ya da hizmete ait karakteristiklerin; sözleşme, spesifikasyon veya onaylanmış diğer bir tanımda belirtilen gereksinimleri sağlamaması durumudur. Uygunsuzluk seri üretimin var olduğu her yerde karşılaşılan bir problemdir. Çünkü kalite karakteristikleri daima üründen ürüne farklılık gösterirler. Gerçektende aynı malzemenin kullanıldığı, aynı üretim proseslerinin geçerli olduğu ve aynı kişi\cihazların kullanıldığı bir seri üretimde elde edilen çıktılar bile hiçbir zaman birbirinin aynı olmayacaktır. (Bir öğrenci aynı tebeşirle aynı tahtaya 0 defa imza atsın. Her seferinde çok küçükte olsa bir değişiklik olacaktır) Shewhart a göre her süreçte varyasyon vardır ve bu varyasyon ya kontrol altındadır yada değildir. Kontrol altındaki varyasyon zaman içerisinde kararlı ve tutarlı bir varyasyon ile karakterize edilir (Şekil ). Kontrol altında olmayan varyasyon ise zaman ile değişen bir varyasyon ile karakterize edilir (Şekil ). Ürünün uygun veya uygunsuz olma durumunu belirleyen kabul kriterleri genellikle müşteri tarafından saptanırlar ve belli bir ürün/hizmetin kabul edilebilir olması için taşıması gereken asgari şartları tanımlarlar. Bu tanım aralığı ne kadar dar tutulursa, ürün kalitesindeki varyasyon (değişkenlik) sonucunda bu aralığın dışına çıkarak uygunsuzluğuna karar verilen ürünlerin oranı da o kadar yüksek olacaktır. Kabul aralığını değiştirmek mümkün olmadığına göre yapılacak tek şey prosesteki değişkenliği azaltmaktır.

50 50 Tahmin Zaman Şekil. Kararlı Süreç (stable process)?? Tahmin Zaman Şekil. Kontrol Dışı Süreç (out-of-control process) Prosesteki varyasyon çıkma sebebine göre iki gruba ayrılır: Şans Faktörleri (Genel Sebepler): Olay üzerindeki etkileri bir kurala bağlanamayan ve tamamen tesadüfi olarak ortaya çıkan faktörlerdir. Birçok küçük kaynaktan oluşan ve her proseste tesadüfi olarak her an değişik seviyelerde bulunan bu değişimlerin tespit edilmesi ve düzeltilmesi zordur. Bununla birlikte prosesteki özel sebepler elimine edildikten sonra, zamanla genel sebepler kararlı (stabil) bir dağılım gösterdiklerinden bu sebeplerinde azaltılması yoluna gidilmelidir. Örnek: Titreşim, Sıcaklık, Nem, Gerilim dalgalanması vb. Özel Faktörler (Belirlenebilir Sebepler): Olayların sadece bir kısmı üzerinde etkili olurlar. Varlıkları sürekli olmayıp zaman zaman ortaya çıkarlar. Etkileri nispeten büyük ölçüde değişmeler meydana getirir. Bu özel faktörler üretim prosesini belirli bir yöne iten, kontrol dışına çıkaran ve sebebi tespit edilebilen değişimlerdir. Örnek: Takım kırılması, Takım aşınması, Gevşek bağlantılar, İmalat yönteminin yanlış veya eksik uygulanması vb. (insan, malzeme, makine ve süreç kaynaklı) Sadece tesadüfi etkenlerden kaynaklanan değişmeler olması durumunda proses istatistiksel anlamda kontrol altında, belirlenebilir etkenlerden kaynaklanan değişmeler olması durumunda ise proses kontrol dışındadır Kontrol Grafikleri Üretimden belirli ve eşit zaman aralıklarında alınan örneklerden elde edilen ölçüm değerlerinin zaman içerisindeki değişimlerinin gösterildiği grafiklere kontrol grafikleri adı verilir. Kontrol grafikleri belirlenebilir nedenlerden kaynaklanan değişmelerin tespit edilmesini sağlayarak, düzeltilmesine imkan tanıyan etkili bir İPK aracıdır. Kontrol grafiğine işlenen noktalar, kontrol sınırları arasında kalacak şekilde uzayıp gidiyorsa prosesin kontrol altında olduğu farz edilir ve herhangi bir müdahaleye ihtiyaç duyulmaz. Ölçüm değerlerini temsil eden bu noktalar arasında genellikle bir değişim gözlenir. Bu değişim sistematik bir eğilim göstermedikçe ve kontrol sınırlarını taşmadıkça sistematik bir hatanın varlığına işaret etmez. İncelenen kalite özelliğinin doğal değişkenliği ve küçük örnekler almadan kaynaklanan değişmeler normal karşılanır. Kontrol grafiğindeki noktaların en az bir

51 5 tanesi kontrol sınırları dışına çıkmış ise, üretime müdahale edilip üretim işlemlerinin yeniden incelenerek hatanın bulunması ve gerekli ayarlamaların yapılması istenir. Lower Control Upper Control Upper Control Limit Center Line Lower Control Control limits tell us where the measurements in a stable process should fall Limit Bir kontrol grafiği esas olarak üç çizgiden oluşur. Bunlar; alt kontrol limiti (AKL), üst kontrol limiti (ÜKL) ve orta değer (OÇ) çizgisidir. Kalite özelliğinin ortalama değeri aynı zamanda hedeflenen değer olarak ta ifade edilen orta çizgi ile temsil edilir. ÜKL Gözlenen Değer OÇ AKL Örnek No Proses kontrolde sıfır hipotezi (H o ) prosesin kontrol altında olduğu ve alternatif hipotez (H ) prosesin kontrol dışı olduğudur. Kontrol altında olan bir prosesi ayarlama I. Tip Hata ve kontrol dışında olan bir prosese düzeltici müdahalede bulunmama ise II. Tip Hatadır. Proses Durumu Karar Kontrol Altında Kontrol Dışı Prosesi Ayarla I.Tip Hata Doğru Karar Prosesi Bırak Doğru Karar II. Tip Hata Sürecin kontrol altında olduğu durumlarda (şans faktörlerinden kaynaklanan değişkenlik söz konusu) bile bir değerin kontrol limitleri dışına düşme olasılığı bulunmaktadır. Bu olasılık I. Tip Hata Olasılığı (α) olarak tanımlanmaktadır. Bu hata aslında kontrol altında olan bir sürecin kontrol altında değilmiş gibi değerlendirilip, sürece müdahale edilmesine yol açmaktadır. I. Tip hata olasılığı aşağıda grafikte verilen taralı alana karşılık gelmektedir. ±3σ kontrol limitleri için I. Tip hata olasılığı %0,6 dır (%00-%99,74).

52 5 Kontrol grafikleri kullanarak proses aşağıdaki şekilde verildiği üzere iyileştirilir. girdi Proses çıktı Ölçme Sistemi Doğruluğunu test et Düzeltici faaliyeti yerine getir Özel nedenleri ortaya çıkar Problemin kök nedenini bul Örnek (Hipotez testi ve kontrol grafikleri arasındaki ilişki): Motor piston halkalarının imalatında kritik bir kalite özelliği halkanın iç çapıdır. Proses ortalaması 74 mm ve standart sapması 0.0 mm dir. Saat başı rastgele 5 halka örnek alınmakta ve örneğin ortalama çapı ( X ) hesaplanmaktadır. Tüm noktalar kontrol sınırları içerisine düştüğünden, grafiğe göre proses kontrol altındadır. n=5 örnek alındığında örnek ortalamalarının standart 0.0 sapması olur. Böylece eğer 74 mm ortalama ile proses kontrol altında ise, örnek X n 5 % Z arasına düşmesini umarız. ortalamalarının ünün Z ve AKL genellikle 3 alınır ve olarak hesaplanır. ÜKL H o : 74 H : 74 Her bir ret bölgesinin alanı dir. Böylece noktaların %99.73 ü H o hipotezinin kabul edildiği kabul bölgesine düşer. (Eğer verilerin yaklaşık %99.73 ü ortalamanın 3 altında ve üstünde yer alan kontrol limitlerinin arasına düşerse, = yada verilerin %0.7 si 3 nın dışına düşebilir. Bu durumda 0.007, I. Tip Hata ya da yanlış alarm olasılığıdır(α). Şans faktörleri etkili olmasına rağmen belirlenebilir nedenlerden kaynaklanan bir değişkenlik olduğunun sanılması) Z

53 Kontrol Grafikleri Türleri Veri Tipleri; Nicel Veriler: Ölçülebilir özellikteki verilerdir. (uzunluk, ağırlık, yoğunluk v.b.) Nitel Veriler: Nitelik belirten verilerdir. (kusurlu, cinsiyet, yazı-tura v.b.) Veri Tipi Nicel (Değişken) Nitel (Özellik) Alt Grup Büyüklüğü Kusurlu Kusur n= n n=-0 n>0 XmR -R -S Örnek Büyüklüğü Sabit Örnek Büyüklüğü Değişken Örnek Büyüklüğü Sabit Örnek Büyüklüğü Değişken np p u c (kusurlu (kusurlu (birim başına Niceliksel Ölçüler (Değişkenler) İçin Düzenlenen Kontrol Grafikleri (örnek başına kusur) Kalite özelliklerinin ölçülebildiği (ağırlık, uzunluk, mukavemet vs.) durumlarda kullanılır. Bu grafikler ile hem örnek ortalamalarının dağılımı hem de örneklere ait dağılma ölçülerinin dağılışı izlenir. Dağılma ölçüsü olarak standart sapma veya değişim aralığı kullanılır. X grafiği S veya R grafiği ile birlikte kullanılır. Çünkü; ortalamada meydana gelen bir kayma R grafiğinde fark edilmezken X grafiğinde fark edilmektedir. Öte yandan değişkenlikte meydana gelen bir değişiklik ise X grafiğinde fark edilmezken R grafiğinde fark edilir. Bu nedenle bu iki grafiğin birlikte kullanılması gerekir.

54 54 S <S veya R <R Kusurlu Mallar I. Örnek II. Örnek Kusurlu Mallar ÜKL OÇ AKL Her iki örneğinde ortalaması aynı olmasına rağmen, sonra alınan örneğin dağılımı değişmiştir. Daha geniş bir aralığa yayılmıştır. Yani sonra alınan örneğin standart sapması veya değişim aralığı önceki örneğinkinden daha büyüktür. Bu sebeple ürünlerin bir kısmı kontrol sınırlarının dışına taşmıştır. Eğer sadece X grafiği kullanılırsa bu değişkenlik fark edilmez ve kusurlu malların varlığı anlaşılmaz. Kusurlu Mallar I. Örnek II. Örnek ÜKL OÇ AKL Her iki örneğinde standart sapmaları veya değişim aralıkları eşittir. Ancak sonraki örneğin ortalaması değişmiştir. Böylece ürünlerin bir kısmı kontrol sınırlarının dışına çıkmıştır. Buna göre eğer sadece dağılma ölçüleri için kontrol grafikleri (S veya R) düzenlenirse ortalamadaki değişmenin farkına varılmayacak ve kusurlu üretimin varlığı gözden kaçacaktır.

55 X ve R Kontrol Grafikleri Üretimden alınan örneklerin hacimleri 0 dan küçük olursa( n<0) X grafiği ile birlikte R grafiğinin kullanılması tercih edilir. Bu tercihin önemli sebebi R değerlerinin belirlenme kolaylığıdır. a) Standartların Belli Olması Durumu: (ana kütle ortalaması) ve (ana kütle standart sapması) biliniyor ise X için kontrol limitleri ÜKL 3 n ÜKL A OÇ A OÇ X n AKL A AKL 3 n Grafiği Normal dağılım gösteren bir ana kütleden alınan örneklerin değişim aralıkları (R ) ile standart sapmaları () arasında w nisbi ağırlık olmak üzere w R şeklinde bir ilişki vardır. w nun dağılımının parametreleri örnek hacmi n nin bir fonksiyonudur. w nun ortalaması d ile gösterilirse nın bir tahmin edicisi olarak ˆ R d kullanılabilir. Buradan R d. olur. w nun standart sapması d 3 ile gösterilirse R=w olduğundan R =d 3 yazılabilir. Bu durumda kontrol sınırları ÜKL d d d d d ÜKL D. 3. R R D. OÇ=. OÇ d d AKL d R d d d d AKL D D R Grafiği R grafiğinde alt sınır sıfırdan küçük çıkarsa alt sınır kullanılmaz. b) Standartların Belli Olmaması Durumu: Uygulamada genellikle (ana kütle ortalaması) ve (ana kütle standart sapması) bilinmez. Bu sebeple alınan örnekler aracılığıyla bu değerlerin tahmin edilmesi gerekir. n birimlik m tane örneğin ortalamaları X, X,..., X m ise proses ortalaması nün en iyi tahmini X X... X X m m R R... R R lerin ortalaması R m m eşitliği ile elde edilir. Bu m adet örneğin değişim aralıkları R, R,., R m ise olur. ˆ R olduğundan d R d ÜKL X 3 n ÜKL X A. R 3 OÇ X A OÇ X X d. n R AKL X A. R d AKL X 3 n Grafiği R =d 3 olduğundan

56 56 R 3. d 3 ÜKL R 3. R R 3. d3. R 3. d3. R ÜKL D4. R d d OÇ R OÇ= R R Grafiği R 3. d 3 AKL R 3. R R 3. d3. R 3. d3. R AKL D3. R d d Örnek: Bir üretim prosesinde çeşitli zaman aralıklarında şansa bağlı olarak 5 er birimlik 0 örnek alınmış ve kontrol edilecek olan kalite özelliği için bu örneklere ait ölçüm değerlerinin aşağıdaki gibi olduğu tespit edilmiştir. a) Ölçülen kalite özelliğinin anakütle ortalaması 78 ve standart sapması 3 olarak bilindiğine göre X -R grafiğini çizerek yorumlayınız. b) Anakütle ortalaması ve standart sapması bilinmiyor ise X -R grafiğini çizerek yorumlayınız. n=5a=.34. D =4.98. d =.36. D =0. A = D 3 =0. D 4 =.5 a) ÜKL A OÇ 78 X Grafiği AKL A b) ÜKL X A. R OÇ 77.3 X Grafiği AKL X A. R ÜKL D D. 0 OÇ d R Grafiği AKL ÜKL D4. R OÇ= R 9.8 R Grafiği AKL D3. 0 Örnek No Ölçüm Değerleri X R Ortalama Standartlar belli X grafiğinde ilk 5 örnek alt kontrol sınırının altındadır. 6. örnekten itibaren üretim kontrol altına girmiştir. Üretime müdahale edilip ilk 5 örneğin kontrol sınırları dışına çıkma sebepleri belirlenmeli ve tedbir alınmalıdır.

57 Aralik Ortalama Aralik Ortalama 57, 3 ve 7 nolu örnekler ÜKL nin dışına çıkmıştır. Bu üç örnek içerisinde aşırı değişkenlik olduğu anlaşılmaktadır. 80 ÜKL=8.0 X= AKL= Altgrup No ÜKL= R= AKL=0.000 Standartlar belli değil Standartların belli olmaması durumunda kontrol sınırları biraz daha genişlemesine rağmen yine ve nolu örnekler AKL altına düşmüş, 3 nolu örnek ise tam AKL üzerindedir. Bu durumda örnek ortalamalarının kararlılık göstermediği, örneklerin kendi aralarında uyumlu olmadığı, dolayısı ile de prosesin kararlı olmadığı gözlenmektedir. ve 3 nolu örnekler ÜKL nin yukarısına düşmüştür. Üretime müdahale edilip proses kontrol edilmelidir. Örnek içlerindeki değişkenliğin sistematik bir sebebi vardır. Bunun tespit edilmesi gerekir ÜKL=8.9 X=77. AKL= Altgrup No ÜKL= R= AKL=0.000

58 58 Kontrol Grafiği Sabitleri n A A D D D 3 D 4 A 3 B 3 B 4 d c 4,, , ,67, ,67,8 0,7979 3,73,03 0 4,358 0,574,954 0,568,693 0,886 4,500 0,79 0 4,698 0,8,68 0,66,059 0,93 5,34 0, ,98 0,4,47 0,089,36 0,9400 6,5 0, ,078 0,004,87 0,030,970,534 0,955 7,34 0,49 0,04 5,04 0,076,94,8 0,8,88,704 0,9594 8,06 0,373 0,388 5,306 0,36,864,099 0,85,85,847 0,9650 9,000 0,337 0,547 5,393 0,84,86,03 0,39,76,970 0, ,949 0,308 0,687 5,469 0,3,777 0,975 0,84,76 3,078 0,977 0,905 0,85 0,8 5,535 0,56,744 0,97 0,3,679 3,73 0,9754 0,866 0,66 0,9 5,594 0,83,77 0,886 0,354,646 3,58 0, ,83 0,49,05 5,647 0,307,693 0,850 0,38,68 3,336 0, ,80 0,35,8 5,696 0,38,67 0,87 0,406,594 3,407 0, ,775 0,3,03 5,74 0,347,653 0,789 0,48,57 3,47 0, ,750 0,,8 5,78 0,363,637 0,763 0,448,55 3,53 0, ,78 0,03,356 5,80 0,378,6 0,739 0,466,534 3,588 0, ,0707 0,94,44 5,856 0,39,608 0,78 0,48,58 3,640 0, ,688 0,87,487 5,89 0,403,597 0,698 0,497,503 3,689 0, ,67 0,80,549 5,9 0,45,585 0,680 0,50,490 3,735 0,9869 0,655 0,73,605 5,95 0,45,575 0,663 0,53,477 3,778 0,9876 0,640 0,67,659 5,979 0,434,566 0,647 0,534,466 3,89 0, ,66 0,6,70 6,006 0,443,557 0,633 0,545,455 3,858 0, ,6 0,57,759 6,03 0,45,548 0,69 0,555,445 3,895 0, ,600 0,53,806 6,056 0,459,54 0,606 0,565,435 3,93 0, Sürecin Analizi Kontrol altındaki süreçlerde kontrol sınırlarının dışında hiçbir nokta yoktur. Çizginin altındaki ve üstündeki nokta sayısı birbirine eşittir. İşaretlenen noktalar orta çizginin altında ve üstünde rassal olarak yer almaktadır. Orta çizginin herhangi bir tarafında ardı ardına beş ya da daha çok nokta yoktur. Kontrol sınırlarına doğru ardı ardına altı ya da daha çok nokta yükselme yada azalma eğilimi göstermemektedir. Kontrol sınırlarının yakınında yalnızca birkaç nokta vardır. Noktalar düz çizgi oluşturmamaktadır. Eğer süreç yukarıdaki koşulları karşılamıyor ise kontrol altında değil demektir. Kontrol altında olmayan bir süreç incelenirken aşağıdaki sorular sorulmalıdır.

59 59 Kullanılan cihazların ölçme doğruluğunda farklılıklar var mı? Farklı operatörlerin kullandığı yöntemlerde farklılıklar var mı? Süreç çevre koşullarından (sıcaklık, nem) etkileniyor mu? Çevrede önemli bir değişiklik yapılmış mı? Süreç alet aşınmasından etkileniyor mu?

60 60 Özel değişimin olduğu sırada eğitimsiz bir işçi mi vardı? Hammadde kaynağında değişiklik oldu mu? Süreç operatörün yorgunluğundan mı etkilendi? Bakım prosedürlerinde bir değişiklik oldu mu? Örnekler farklı makineler, vardiyalar ya da operatörlerden mi alındı? Minitab ta Süreç Analiz Testleri X ve S Kontrol Grafikleri Üretimden alınan örneklerin büyüklükleri 0 veya daha fazla olduğunda R grafiği yerine S grafiği kullanılır. Bunun sebebi n0 durumunda R nin etkinliğinin dolayısıyla güvenilirliğinin azalmasıdır. S grafiği n<0 durumunda da kullanılmasına rağmen hesaplama kolaylığı bakımından R grafiği tavsiye edilir. Eğer üretimden alınan örnekler farklı büyüklüklerde ise S grafiği kullanılır. a) Standartların Belli Olması Durumu: Örnek standart sapması S ve anakütle standart sapması olmak üzere anakütle normal dağılım gösteriyor ise S lerin ortalaması. c4 ve standart sapması. c olur. S için kontrol sınırları 3. ile ifade edildiğinden S S ÜKL c c4 c4 3 c4 B6. ÜKL B6. OÇ c4. OÇ c4. S Grafiği AKL B5. AKL c c c c B ÜKL A OÇ X AKL A Grafiği b) Standartların Belli Olmaması Durumu: m adet örneğin standart sapmalarının ortalaması S olmak üzere S olur. c 4 S S 4

61 6 S 3 ÜKL S 3.. c4 S c4 B4. S c4 c4 ÜKL B4. S OÇ S OÇ S S Grafiği S AKL B S AKL S c S c B S c 4 c4 S ÜKL X 3 X 3 n c4. n ÜKL X A3. S 3 OÇ X A3 OÇ X X Grafiği c4. n S AKL X 3 X 3 AKL X A3. S n c4. n Birimler Kontrol Grafikleri (Individual X and Moving Range-XmR) Örnek büyüklüğünün (n) e eşit olma nedenleri; Otomatik muayene ve ölçme teknolojisinin kullanımı ve üretilen her bir birimin analiz edilmesi Üretim oranının çok yavaş olması (zaman bağlı olarak birden fazla örnek oluşturmak çok yavaş) Örnek alma maliyetinin yüksek olması Böyle durumlarda her bir alt grubun büyüklüğü n= olduğundan grup içi değişim olmaz. Bu nedenle birbirini takip eden alt gruplar arasındaki fark, değişimin bir ölçüsü olarak kullanılır. Bu fark hareketli aralık olarak adlandırılır. (Formüllerde n= alınmıştır) mr X X hareketli aralık i i i mr mr... mr mr k X X... X k X k R mr ˆ ˆ d.8 k 3. mr 3 ÜKL X X mr X mr.66 d.8. n OÇ X X Grafiği 3. mr 3 AKL X X mr X.66 mr d.8. n ÜKL=D 4. R 3.68mR OÇ mr mr Grafiği AKL D3. R 0 Örnek: Örnek No Ölçüm mr ÜKL X.66 mr OÇ X 8.7 X AKL X mr 4 8 ÜKL= OÇ 3. mr AKL X 8.7 mr 3.

62 Moving Range Individual Value 6 I-MR Chart of C 5 UC L=7,7 0 _ X=8,7 5 0 LC L=0, O bser vation ,0 UC L=0,53 7,5 5,0,5 M R=3, 0,0 LC L= O bser vation Örnekleme Sıklığı Bir partinin büyüklüğü bir günlük üretim olmak üzere, parti başına muayene edilecek birim sayısı aşağıdaki yaklaşımla belirlenebilir. Parti Büyüklüğü Yüzde (%) üstü Örneğin parti büyüklüğü 00 ise her gün 0 birimin kontrol edilmesi gerekir. Alt grup büyüklüğü (n) 4 ise, her gün rastgele 5 örnek alınmalıdır X -R Grafikleri için İşletim Karakteristiği Fonksiyonu X -R grafiklerinin bir kalite karakteristiğindeki bir yer değiştirmeyi tespit etme yeteneği OC eğrisi ile tespit edilir. nın bilindiği ve sabit olduğu koşuluyla X grafiği için bir OC eğrisi ele alınsın. Eğer ortalama kontrol altında olduğu 0 değerinden yeni bir değere ( 0 k. ) yer değiştirirse, ilk takip eden örnekte bu yer değiştirmeyi tespit edememe olasılığı (β riski) P AKL X ÜKL / X X 0 k ( P( X ÜKL) P( X AKL) ) olur. n β n X N(, ) n AKL X Taralı alan, yer değiştirmeyi takip eden bir sonraki X gözleminin verir. (k nın pozitif olduğu yer değiştirme) 0 ÜKL X AKL ve X ÜKL arasına düşme olasılığını X

63 63 AKL 0 3 ÜKL 0 3 n n ÜKL 0 k AKL 0 k n n k k n n n n 3 k n 3 k n Örnek: n=4 ise lık bir yer değiştirmede, ilk örneğin yer değiştirmeyi tespit edememe olasılığı ( ) ( 7) 0,587 Yer değiştirmeyi tespit etme olasılığı=-0,587=0,843 k n= n= n=3 n=4 n=5 n=0 n=5 0,00,00,00,00,00,00,00 0,5 0,99 0,99 0,98 0,98 0,97 0,9 0,86 0,98 0,94 0,90 0,84 0,78 0,44 0,9,5 0,93 0,8 0,66 0,50 0,36 0,04 0,00 0,84 0,57 0,3 0,6 0,07 0,00 0,00,5 0,69 0,30 0,09 0,0 0,00 0,00 0,00 3 0,50 0, 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 3,5 0,3 0,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 0,6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,5 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 lık bir yer değiştirmeyi takip eden ilk örnekte tespit etme olasılığı 0,65 ise (β=0,.35) gerekli örnek büyüklüğü n=3 olmalıdır. Küçük örnekler küçük yer değiştirmeleri tespit etmede etkili değildir. Örneğin yer değiştirme ve n= ise β=0,95 ve ilk örnekte yer değiştirmeyi tespit etme olasılığı yalnızca 0,05 olur.

64 Kontrol Limitleri, Spesifikasyon Limitleri ve Doğal Tolerans Limitleri Kontrol limitleri ve spesifikasyon limitleri arasında matematiksel veya istatistiksel bir ilişki bulunmamaktadır. Kontrol limitleri, prosesin doğal değişkenliği (proses standart sapması- ile ölçülür) yani prosesin doğal tolerans sınırları ile belirlenir. Üst ve Alt Doğal Tolerans Sınırları, proses ortalamasının 3 üstü ve altı olarak tanımlanır. Bununla birlikte spesifikasyon sınırları dışarıdan (yönetim, imalat mühendisi, müşteri, ürün tasarımcısı) belirlenir. AKL OÇ değerlerinin dağılımı ADTS 3 3 ASS 0,0035 0,9973 Proses ölçümlerinin dağılımı, X ÜKL ÜDTS ÜSS 0,0035 Eğer doğal tolerans sınırları spesifikasyon sınırlarının içindeyse proses ölçümlerinin %99.73 ü spesifikasyon sınırlarında üretilmektedir. Bu durumda prosesin spesifikasyonları karşılamada yetenekli olduğu söylenir. Böylece eğer X ve R grafikleri prosesi izlemek için kullanılıyorsa, prosesin istatistiksel anlamda kontrol altında olduğu tespit edildikten sonra spesifikasyonları karşılayıp karşılamadığı belirlenmelidir. Tasarım spesifikasyonu a) b) Tasarım spesifikasyonu c) Gözlenen Değişim Tasarım spesifikasyonu d) Gözlenen Değişim Tasarım spesifikasyonu Gözlenen Değişim Gözlenen Değişim c) İdeal Durum

65 65 Örnek: Bir üretim sürecinden eşit zaman aralıklarıyla 5 birimden oluşan örnekler alınmakta ve belirli bir kalite karakteristiği ölçülmektedir. Alınan 5 örnek sonrasında X 0 ve R 4.65 olarak hesaplanmıştır. a) X ve R grafikleri için kontrol sınırlarını tespit ediniz. ÜKL X A. R OÇ X 0 X Grafiği AKL X A. R ÜKL D4. R OÇ R 4.65 R Grafiği AKL D3. R 0 b) Süreç standart sapmasını hesaplayınız. R 4.65 ˆ.0 d.36 c) Spesifikasyon sınırları 00.5 ise spesifikasyon dışında kalan ürünlerin oranını bulunuz. ÜDTS X 3 ˆ ADTS X 3 ˆ ÜDTS>ÜSS ve ADTS<ASS olduğundan değişkenlik fazla bir başka ifade ile proses spesifikasyonları karşılamada yetersizdir. ÜSS p P( X 0.5 / 0, ) P( X 98.5 / 0, ) p P( Z ) P( Z ) P( Z 0.75) P( Z.5) p ASS

66 66 ADTS=95 ASS=98.5 ÜSS=0.5 ÜDTS= Ürünlerin %33.3 ü spesifikasyon dışındadır. Örnek: Bir üretim sürecinden eşit zaman aralıklarında her biri 8 birimden oluşan örnekler alınmaktadır. Normal dağıldığı kabul edilen bir kalite karakteristiği ölçülerek her örneğin ortalaması ile standart sapması hesaplanmıştır. Alınan 40 örnek sonrasında X 000 ve S 68 olarak bulunmuştur. i i i= a) X ve S kontrol grafiklerinin parametrelerini belirleyiniz. i Xi Si i 000 i 68 X 5 S ÜKL X A3. S OÇ X 5 X Grafiği AKL X A S ÜKL B4. S OÇ S.7 S Grafiği AKL B3. S b) Her iki kontrol grafiğinin de istatistiksel olarak sürecin kontrol altında olduğunu gösterdiği kabul edilerek, sürecin doğal tolerans sınırlarını belirleyiniz. S.7 ˆ.76 c ÜDTS X 3 ˆ ADTS X 3 ˆ c) İlgilenilen kalite karakteristiğinin spesifikasyonu 44 ise doğal tolerans sınırları ile karşılaştırınız. ÜDTS>ÜSS ve ADTS<ASS olduğundan spesifikasyon sınırları daha dardır. Değişkenlik fazla(5.8) ve genel ortalama(5) nominal değerden(4) büyüktür. Özel nedenlerin belirlenip giderilerek değişkenliğin azaltılması gerekir. Ayrıca süreç ortalaması da nominal değere çekilmelidir. d) Üst spesifikasyon sınırının üstünde kalanların yeniden işlenebildiği, alt spesifikasyon sınırının altında kalanların ise ıskartaya ayrıldığı kabul edilirse, sürecin yeniden işleme ve ıskarta oranlarını hesaplayınız.

67 67 Iskarta=0.003 Yeniden İşleme= ADTS=9.7 ASS=0 ÜSS=8 ÜDTS=30.8 ÜSS 8 5 p P( X 8 / 5,.76) P( Z ) P( Z.7) ASS 0 5 p P( X 0 / 5,.76) P( Z ) P( Z.84) Örnek: Ortalama yeniden işleme maliyeti $ ve ortalama hurda maliyeti 0$ ise bir milin dış çapı için optimum makine ayarını hesaplayınız (ASS dan düşük olanlar hurdaya, ÜSS den büyük olanlar yeniden işlemeye gönderilmektedir.). Parçanın üretim süreci kontrol altında, ortalama.06, R , alt grup büyüklüğü 4, ASS=.055 ve ÜSS=.075 tir ˆ R d P( X.055) P( Z ) P( Z.86) Hurda Maliyeti= =0.34$ P( X.075) P( Z ) P( Z 3.46) P( Z 3.46) Yeniden İşleme Maliyeti= =0.0007$ Toplam Kusurlu Maliyeti= =0.347$ Yeni ortalama= =.06 in. olduğunda PZ (.60) Hurda Maliyeti= =0.548$ PZ ( 3.7) Yeniden İşleme Maliyeti= = $ Toplam Kusurlu Maliyeti= = $ Ortalama 0.00 birim azaldığında toplam maliyet $ a yükseldi. Bu nedenle ortalama artırılmalıdır. Ortalama(in.) Toplam Kusurlu Maliyeti ($)

68 68 Optimum makine ayarı.066 in. dir Niteliksel Ölçüler (Özellikler) İçin Düzenlenen Kontrol Grafikleri Kalite karakteristiklerinin ölçülemediği ama uygun-uygun değil, iyi-kötü, geçer-geçmez, kabul-ret gibi niteliklerin değerlendirilerek sayılabildiği durumlarda kullanılır p Grafiği (Kusurlu Oranı) Ürünlerin belli özelliklerinin standartlara uygunluğu yerine bu ürünlerin kusurlu olup olmadıklarının araştırılması durumunda, prosesten alınan örneklerin ortalamaları yerine kusurlu oranlarının kontrol edilmesi uygundur. Bu işlem p grafiği ile yapılır. X -R ve X -S grafiklerine nazaran p grafiklerinde oran söz konusu olduğu için daha büyük hacimli örnekler alınmalıdır. Örnek büyüklüğü (n) nün tespitinde np> durumu sağlanmalıdır. (Örneğin p=0.05 ise n>0 olur). Anakütle kusurlu oranı biliniyor ise(q=-p); ÜKL p 3 OÇ p AKL p 3 pq n pq n Anakütle kusurlu oranı bilinmiyor ise, alınan k adet örneğe ait p,p,..p k kusurlu oranlarının ortalaması anakütle kusurlu oranının bir tahmini olarak kullanılır. ÜKL p 3 OÇ p pq n pq AKL p 3 n p p... p Burada p k ve q p dır.birinci örnekteki kusurlu sayısı x, ikinci örnekteki x, k. k x x x örnekteki x k olmak üzere bu örneklerdeki kusurlu oranları p, p,... p k k olduğundan n n n x x... x p k şeklinde de yazılabilir. nk Örnek: Bir lastik fabrikasında her biri 0 birimden oluşan 0 rastgele örnek alınmış ve her bir örnekteki kusurlu sayıları tespit edilerek aşağıdaki tablo düzenlenmiştir. P kontrol grafiğini çizerek üretimin kontrol altında olup olmadığını araştırınız. pq ÜKL p n 0 OÇ p 0.0 pq AKL p n 0 Bu örnekte AKL negatif çıkmıştır (hesaplama binom dağılımının bir yaklaşımı olduğundan zaman zaman olabilir). Negatif kontrol limiti olamayacağından ötürü böyle durumlarda AKL=0 olarak alınır.

69 Proportion 69 Örnek No Kusurlu Sayısı Örnek Büyüklüğü Kusurlu Oranı 3 0 0,5 0 0, , , , , , , , , ,5 0 0, , , , , , , , ,05 Toplam ,0 0,30 UCL=0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 _ P=0, 0,05 0,00 LCL= Sample Örnek Büyüklüğünün Tespiti Örnek büyüklüğü belirlenen bir yer değiştirmeyi (δ) tespit etme olasılığı %50 olacak şekilde olmalıdır. p( p) δ = k. n = ( k n δ ). p. ( p) 3 sigma limitleri kullanılırsa; n = 9.p.( p) δ olur.

70 70 Örnek: p=0,0 olmak üzere sürecin p=0,05 e yer değiştirmesini tespit etme olasılığının 0,50 olduğu örnek büyüklüğü bulunuz. n = 9.0,0.( 0,0) (0,05 0,0) = İşletim Karakteristiği (Operating Characteristics-OC) Eğrisi p-kontrol grafiği için OC eğrisi, istatistiksel kontrol hipotezini yanlış olarak kabul etme olasılığının (II. Tip hata, β olasılığı) proses kusurlu oranına karşı çizilmiş grafiğidir. OC eğrisi, proses kusurlu oranının p nominal değerinden başka bir değere yer değiştirmesini tespit etme yeteneğini ölçer. p-kontrol grafiği için II. Tip hata olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır. / / P p ÜKL p P p AKL p D p P D nükl p P D n AKL p n. /. / Örnek: Örnek büyüklüğü (n) 50 olmak üzere bir prosesin kontrol limitleri sırasıyla ÜKL=0,3697 ve 0, , 3697 AKL=0,0303 tür. Proses kusurlu oranının 0,0 den ( p 0, 0 ) 0,30 a kayması durumuyla ilgili II. Tip hata olasılığını bulunuz. 50.0,3697 / 0,30 PD 50.0,0303 / 0,30 8, 48 / 0,30 PD,55 / 0,30 P D P D Kesikli dağılım ve tamsayı gerekliliğinden ötürü; PD P D 8 / 0,30 / 0,30 0, ,8594 [=binomdağ(8;50;0,30;doğru)] p PD 8 / 0,30 PD / 0,30 PD 8 / 0,30 PD / 0,30 0,0,0000 0,906 0,0894 0,04,0000 0,4005 0,5995 0,07,0000 0,65 0,8735 0,0,0000 0,0338 0,966 0,3,0000 0,0080 0,990 0,6 0,9999 0,007 0,998 0,9 0,9987 0,0003 0,9983 0,0 0,9975 0,000 0,9973* 0, 0,995 0,000 0,994 0,5 0,973 0,0000 0,973 0,8 0,99 0,0000 0,99 0,3 0,84 0,0000 0,84 0,34 0,6773 0,0000 0,6773 0,37 0,505 0,0000 0,505 0,40 0,3356 0,0000 0,3356 0,43 0,963 0,0000 0,963 0,46 0,00 0,0000 0,00 0,49 0,044 0,0000 0,044 0,5 0,066 0,0000 0,066 0,55 0,0053 0,0000 0,0053 * Kendi değerinde iken tespit edememe olasılığı en yüksektir. Kendisine yakın değerlerde yerdeğiştirmeyi tespit edemez. Ancak uzaklaştıkça fark arttığı için tespit edebilir.

71 Sample Count 7 Tablodaki değerleri hesaplamak için binom dağılımından yararlanılmıştır. Burada np>5 durumlarında geçerli olan binomun normal dağılıma yaklaşımından yararlanılabilir. Örneğin p=0,30 ve n=50 için np=5>5 olduğundan β olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir. z x p p.( p) n olmak üzere 0,3697 0,30 0,0303 0,30 (z) ( ) ( ) (,08) ( 4,6) 0,8599 0,30.0,70 0,30.0, ,0000 0,9000 0,8000 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,000 0,000 0, , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 β np Grafiği (Kusurlu Sayısı) Kusurlu oranları yerine kusurlu sayılarıyla ilgilenildiğinde np grafikleri kullanılır. Örnek oranlarının hesaplanmasına gerek duymadığı için p grafiğine göre daha kolaydır. ÜKL np 3 npq OÇ np Standartlar Belli AKL np 3 npq ÜKL np 3 npq p i OÇ np Standartlar Belli Değil p n AKL np 3 npq 6 UCL=6, NP= 0 LCL= Sample

72 Sample Count c Kontrol Grafiği (Kusur Sayısı) Birçok üretim sürecinde ürünlerin bazıları o ürün için belirlenen spesifikasyonların bir ya da daha fazlasını sağlayamayabilirler. Üretilen birimlerin kalite kontrolünde bir birimde rastlanan kusur sayısı esas alındığında c grafikleri kullanılır (0 m lik bir kumaş üzerinde boya lekesi vb.). Muayene edilen birim tek bir üründen oluşabildiği gibi bir grup üründen de oluşabilir (Ör. 0 adet üründen oluşan birim) ÜKL c 3 c OÇ c AKL c 3 c Örnek: Her biri 00 birimden oluşan 6 adet örnek alınmış olup, her bir örnek için uygunsuzluk adedi tabloda verilmiştir. Buna göre c kontrol grafiğini oluşturunuz. 56 c 9,85 6 ÜKL 9,85 3 9,85 33, OÇ c 9,85 AKL 9,85 3 9,85 6, 48 Örnek No Uygunsuzluk Adedi Örnek No Uygunsuzluk Adedi UCL=33, 0 _ C=9,85 0 LCL=6, Sample 6 9 5

73 Sample Count Per Unit u Kontrol Grafiği (Birim Başına Kusur Sayısı) Muayene edilen birim başına ortalama kusur sayısı esasına dayanır. n birimden oluşan bir örnekte toplam kusur sayısı c olmak üzere, birim başına ortalama kusur sayısı u c olarak bulunur. Burada u kontrol grafiği için n kontrol limitleri aşağıdaki gibi olur. ÜKL u 3 OÇ u AKL u 3 u n u n Örnek: c grafiğinde verilen verirlerden yararlanarak u grafiğini oluşturunuz. Örnek No Uygunsuzluk Adedi u=c/n Örnek No Uygunsuzluk Adedi u=c/n 0, ,09 4 0, , , ,07 4 0, , ,05 8 0, , , , , ,0 30 0, ,03 4 0, , ,06 0 0, ,09 4 0, , , ,05 0,0985 0, 0985 ÜKL 0, , OÇ 0, , 0985 AKL 0, , ,4 0,3 UCL=0,33 0, _ U=0,985 0, LCL=0,0648 0, Sample 6 9 5

74 74 6. SÜREÇ YETERLİLİK ANALİZİ Süreç yeterliliği, bir sürecin müşteri gereksinimlerini karşılama yeteneği olarak tanımlanır. Bir başka anlatımla, sürecin spesifikasyon sınırları içerisinde ürün üretme hedefine ulaşma kabiliyetinin ölçüsüdür. Süreç yeterlilik analizi çalışmasının amacı; süreç ortalaması ve standart sapmasını, spesifikasyonlar ile ilişkilendirerek sürecin tüketici isteklerine uygun ürün oluşturma yeteneğini değerlendirmektir. İşletmelerin ulaşmak istediği amaç; süreç ortalamasının hedef değer üzerinde ve yayılımının spesifikasyonlar içerisinde mümkün olan en küçük değerde oluşmasıdır. Süreç yeterlilik çalışmalarında kullanılan indekslerin doğru olarak hesaplanabilmesi ve elde edilen değerlerin güvenilir olabilmesi için aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır. a) Sürecin İstikrarlılığının İncelenmesi: Sürecin istikrarlılığa sahip olması durumunda, süreç çıktılarının ileriye yönelik tahminleri yapılabilir. Değişkenlik kontrol edilmediğinde hem geleceğe yönelik yeterlilik tahminleri sağlıklı olarak hesaplanamaz, hem de ürünün uygunluğu tam olarak saptanamaz. Bunun için, süreç değişkenliği kontrol altına alınarak istikrarlılık sağlanmaya çalışılmalıdır. Kontrol grafikleri ile yapılan incelemede, belirlenebilir nedenlerden kaynaklanan bir değişkenlik tespit edildiyse (süreç kontrol dışı), bu nedenler gerekli düzeltici faaliyetler ile ortadan kaldırılmalıdır. Bu uygulama süreç kontrol altına alınıncaya kadar devam ettirilmelidir. b) Sürecin Normal Dağılıma Sahip Olması: Süreç istikrarlılığı incelenip varsa özel sebepleri giderildikten sonra dağılımın yapısı incelenmelidir. Yapılan inceleme sonucunda veriler normal veya normale çok yakın olarak dağılıyor ise süreç yeterlilik indeksleri hesaplanarak sürecin yeterliliği hakkında yorum yapılabilir. Süreç yeterlilik analizinin yapılma nedenleri; Sürecin spesifikasyonları karşılayıp karşılamadığını değerlendirmek Varyasyonun sürekli azaltılmasını sağlamak Prosesteki sürekli iyileşmeyi gözlemek Proses çıktısının tekdüzeliğini ölçmek İyileştirmeye ihtiyacı olan proses veya kalite karakteristiğini tanımlamak Önemli müşteri gereksinimlerinin karşılandığından emin olmak Bir ürünü üretmek için alternatif makine veya prosesler arasından seçim yapabilmek

75 Süreç Yeterlilik İndeksleri 6... Sürecin Potansiyel Yeterliliği (Cp) Prosesteki gerçek ya da doğal sapmaların ölçümleriyle spesifikasyon limitlerinin kabullenilebilir yayılmalarını (ÜSS ve ASS) gösteren basit bir indekstir. C p Spesifikasyon Aralığı ÜSS ASS ÜSS ASS ÜSS ASS Proses Kabiliyeti ÜDTS ADTS ( 3 ) ( 3 ) 6 Cp, prosesin dağılımı ile spesifikasyon genişliği ilişkisini gösterse de, proses ortalamasının hedeflenen değerle ilişkisine bakmaz. Bu sebeple Cp ye genellikle potansiyel bir proses ölçümü olarak başvurulur. Proses ortalamasının spesifikasyon limitlerinin orta noktasına eşit ve prosesin istatistiksel olarak kontrol altında çalıştığını kabul eden Cp, prosesin potansiyel yeterliliğini ölçmektedir. Ancak uygulamada genellikle ortalama değer orta noktada (hedef değer) olmadığından hem değişimi hem de proses ortalamasının yerini dahil eden Cpk indeksi kullanılmaktadır. Cp için önerilen minimum değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Mevcut Süreçler Yeni Süreçler Güvenlik, dayanım veya kritik parametreler (MS) Güvenlik, dayanım veya kritik parametreler (YS) İki Yönlü Spesifikasyon,33,50,50,67 Tek Yönlü Spesifikasyon,5,45,45,60 Spesifikasyon dışı süreç çıktı oranı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır. Z Z ÜSS ASS ÜSS ASS

76 76 Cp Cp <Cp,33 Cp<,33 Değerlendirme Yetersiz Kabul Edilebilir Yeterli Tek yönlü spesifikasyonlar için Cp aşağıdaki gibi hesaplanır. ÜSS Cpüst 3 ASS Cpalt 3 3 ÜSS ÜDTS 3 Cpüst 3 ( 3 ) ASS ADTS 3 Cpalt 3 (ÜDTS ÜSS) spesifikasyon dışı süreç çıktı oranı geometrik olarak artar (ÜSS ÜDTS) spesifikasyon dışı süreç çıktı oranı geometrik olarak azalır 6... Sürecin Fiili Yeterliliği (Cpk) Proses ortalamasının ÜSS ve ASS arasındaki uzaklığını ölçer ve dağılımın yarısının bir rasyosu olarak ifade eder. Cpk, mevcut proses ortalamasının ÜSS ve ASS ye yakınlığını yansıtır. ASS ÜSS Cpk min[, ] 3 3 Veriler normal dağılmıyorsa parametrik olmayan (non-parametric) Cpk kullanılır. Cpk<0; proses ortalaması spesifikasyon limitlerinin dışındadır. Cpk=0; proses ortalaması spesifikasyon limitlerinin birine eşittir. 0<Cpk<; proses ortalaması spesifikasyon limitleri içerisindedir. Cpk=; Verilerin bir kısmı spesifikasyonlara yaklaşır. Cpk>; verilerin tamamı spesifikasyon limitleri içine düşer. medyan ASS ÜSS medyan Ĉnpk min[, ] P(0, 995)* medyan medyan P(0, 005)** * Verilerin %99,5'inin küçük olduğu veri **Verilerin %0,5'inin küçük olduğu veri

77 77 (n ).p %p bölen yeri= 00 Eğer bulunan değer bir tamsayı ise, bu pozisyondaki örnek değeri p. yüzdedir. Tamsayı olmaması durumunda her iki tarafındaki örnek değerlerinin ortalaması alınır Örnek: Aşağıda verilen durumlar için Cp ve Cpk değerlerini hesaplayınız. ÜSS ASS 6 38 Cp Cpk min[, ] min[, ] Cpk min[, ] min[3,] Cpk min[, ] min[4, 0] Örnek: Bir fabrikada bir şaftın yüzey sertleştirme işlemleri yapılmaktadır. Bu şaftın sertlik derinliği için ÜSS=0, mm ve ASS=3,8 mm dir. İmalat sorumlusu süreç yeterliliğini hesaplamak amacıyla belirli bir süre için veri toplamış (n=5) ve ortalama derinliği 4,58 mm ve ortalama aralık değerini,45 mm olarak bulmuştur. a) C p-üst ü hesaplayınız ve yorumlayınız. ÜSS dışındaki ürün oranını bulunuz. R,45 ˆ 0, 63 d, 36 ÜSS 0, 0 4, 58 Cpüst 3, , 63 Bu değer sürecin ÜSS ye göre oldukça iyi durumda olduğunu göstermektedir. ÜSS 0, 0 4, 58 Z 9,0 ÜSS 0,63 P(Z 9, 0) 0 ÜSS dışında kalan ürün yoktur.

78 78 b) C p-alt ı hesaplayınız ve yorumlayınız. ASS dışındaki ürün oranını bulunuz. ASS 4, 58 3,8 Cpalt 0, , 63 Bu değer sürecin ASS ye göre uygun çalışmadığını göstermektedir. ASS 3,8 4, 58 ZASS, 5 0,63 P(Z, 5) 0,056 Ürünlerin %0,56 sı ASS nin dışındadır. c) Cp ve Cpk değerlerini bularak yorumlayınız. ÜSS ASS 0, 0 3,8 Cp,7, C p > olduğundan süreç yeterlidir. Ancak süreç ortalaması hedef değer 6 6.0, 63 üzerinde yer almadığından bu sonuca bakarak karar vermek yanıltıcı olur. 4,58 3,8 0,0 4,58 Cpk min[, ] min[0, 4;3, 0] 0, 4 3.0, , 63 proses ortalaması spesifikasyon limitleri içerisinde olmasına rağmen süreçte spesifikasyon dışı üretim bulunmaktadır. Örnek: Belirli aralıklarla bir prosesten 4 birimlik 5 örnek alınmıştır. X R kontrol grafikleri için kontrol sınırları aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. Kontrol grafiklerinde yer alan tüm noktalar kontrol sınırları içerisinde yer almaktadır. Spesifikasyon limitleri 60±5 dir. Normal dağılım ve dağılımın X da merkezlendiği kabulüyle spesifikasyon dışı ürün oranını bulunuz. X R ÜKL 66 37,5 OÇ 64 6,5 AKL 30 0 R 6,5 ˆ 8,0 d, 059 ÜSS Z,37 ÜSS 8,0 P(Z, 37) 0, 947 0, 09 ASS ZASS,37 8,0 P(Z, 37) 0, 0089 Spesifikasyon dışı ürün oranı=0,09+0,0089=0, Cpk min[, ] min[0, 79; 0, 46] 0, , 0 3.8, 0 Süreç spesifikasyonları karşılayamamaktadır Süreç Performans İndeksleri (Pp ve Ppk) 99 de Ford, General Motors ve Chrysler ile Amerikan Kalite Kontrol Topluluğu tarafından Otomotiv Sanayi Faaliyet Grubu (Automotive Industry Action Group-AIAG) kurulmuştur. AIAG süreç kontrol altındayken Cp ve

79 79 Cpk nın kullanılmasını, süreç kontrol altında değilken Pp ve Ppk nın kullanılmasını tavsiye etmektedir. Cpk bir sürecin gelecek yeterliliği hakkında bilgi verirken, Ppk ise sürecin geçmişte nasıl çalıştığı ile ilgili bilgi verir. Cp ve Cpk hesaplamasında sürecin tahmin edilen standart sapması ( R S mr ˆ, ˆ, ˆ ) kullanılır iken, d c,8 4 Pp ve Ppk hesaplamasında örnek standart sapması ( s (x x) / n n i kullanılır. Süreç normal i dağılıyorsa ve kontrol altındaysa, Pp ve Cp ile Ppk ve Cpk değerleri birbirine eşittir. Çünkü kararlı bir süreçte s ve ˆ arasındaki fark minimum düzeydedir. New Process or Process Not Under Statistical Control Existing Process Under Statistical Control Measure of Spread fit P p C p Measure of Centering P pk C pk 6.. Normal Olasılık İşaretlemesi Uygulamada elde edilen bir veri grubunun hangi dağılıma uyduğunu belirlemek üzere kullanılan araçlardan birisi de olasılık işaretlemeleridir. Artan düzende sıralanmış verilerin karşı gelen birikimli olasılıklarla birlikte özel bir kağıt üzerine işaretlenmesiyle elde edilen grafik olasılık işaretlemesi olarak bilinir. Kullanılan özel kağıt ilgilenilen dağılımın adı olarak bilinir. Özel kağıdın yatay ekseni, ilgilenilen dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu bir doğru olacak şekilde ölçeklendirilmiştir. Böylece verilerden hareketle hesaplanan birikimli olasılıklar bir doğru üzerinde yer alıyorsa, verilerin öngörülen dağılıma uydukları söylenir. Aksi halde verilerin başka bir dağılımdan geldiği anlaşılır. Olasılık işaretlemesi histogramın bir alternatifi olup, dağılımın orta değerinin ve yayılımının belirlenmesinde kullanılır. Bu yöntemde değişkenleri sınıflara ayırmak gerekmemektedir. Ayrıca 30 veya daha az sayıdaki veri grubuyla çalışılabilmektedir. Bu tekniğin uygulanabilmesi için prosesin kontrol altında olması gerekmektedir. Bir veri grubunun normal olasılık kağıdına işaretlenmesinde izlenecek adımlar aşağıda sıralanmıştır.. n adet verinin küçükten büyüğe ( x x... xn ) sıralanması i. Birikimli olasılıkların hesaplanması ( P i 00. ) n Daha kolay hesaplama için P ve Pi P (i=,,...,n-) n n 3. Varsayılan dağılım uygun ise işaretlenen noktalar bir doğru üzerinde yer alır. 4. %50 olasılığa karşılık gelen x i değer dağılımın ortalaması ( ˆ ) verir (Normal dağılım simetrik bir dağılım olduğundan medyan=mod=ortalama) 5. olasılığı %68 olduğundan olasılığından (50+34) olasılığı (50) çıkarıldığında standart sapma bulunur. ˆ X%84 -X%50

80 80

81 8 +3σ +3σ +3σ μ μ -3σ -3σ Spesifikasyon Limitleri Spesifikasyon Limitleri Spesifikasyon Limitleri Yeterli Ortalama Çok Yüksek Değişkenlik Çok Fazla Örnek: Bir ürünün dayanımı ile ilgili belirli bir zamanda 0 adet deney yapılmıştır. Bu örneklerin değerlerinin normal dağılıma uygunluğunu belirleyiniz. ASS=00 olması durumunda süreç yeterliliğini değerlendiriniz. Spesifikasyon dışı ürün oranını bulunuz. Deney No Xi Pi 97,5 00 7,5 3 5,5 4 7,5 5 3, , , , , ,5 7 5, , , , , , , , , ,5 P 00., 5 0 P 00. 7, P P,5 5 7,5 0 ˆ X 6 %50 ˆ X X %84 %50 ASS=00 olduğunda, üretimin yaklaşık olarak %5 inin istenilen dayanım değerinin altında olacağı grafikten okunabilmektedir P(X 00) P(Z ) P(Z,59) 0,0559 grafikten okunan tahmini değerlerle , 9 P(X 00) P(Z ) P(Z,65) 0,0495 verilerden hesaplama yoluyla bulunan değerlerle 38,3

82 Percent Mean 6,9 StDev 38,3 N 0 AD 0,6 P-Value 0, σ C μ Histogram İlgilenilen süreç karekteristiğinin alınan ölçülerinin frekans dağılımı yardımıyla çizilen histogramın şekli süreç yeterliliğine ilişkin genel bir bilgi verir. Süreç spesifikasyonlarının varlığı durumunda bu değerlerde aynı grafiğin üzerine çizilerek histogram yorumlanır. Histogramın kararlılığını sağlamak açısından arasında ya da daha fazla veriye gerek vardır. Histogramın tümüyle spesifikasyon sınırları içerisinde yer alması en arzu edilen durumdur ki süreç yeterliliğinin iyi olduğunu gösterir. Process Capability of Diameter Process Data LSL 73,95 Target * U SL 74,05 Sample Mean 74,00 Sample N 5 StDev (Within) 0, StDev (O v erall) 0,00989 LSL USL Within Overall Potential (Within) C apability C p,7 C P L,75 C P U,67 C pk,67 O v erall C apability P p,63 P P L,67 P P U,60 P pk,60 C pm * 73,950 73,965 73,980 73,995 74,00 74,05 74,040 O bserv ed Performance PPM < LSL 0,00 PPM > USL 0,00 PPM Total 0,00 Exp. Within Performance PPM < LSL 0,08 PPM > USL 0,7 PPM Total 0,35 Exp. O v erall Performance PPM < LSL 0,6 PPM > USL 0,85 PPM Total,

83 83 Örnek: Konteynır mukavemeti ile ilgili her biri 5 birimden oluşan 0 adet örneğin verileri aşağıdaki tabloda verilmiştir. a) Kontrol grafiklerini oluşturunuz. b) ASS=00 psi ise, tek yönlü süreç yeterlilik ve performans indeksini bulunuz ve yorumlayınız. c) Spesifikasyon dışı ürün adedini bulunuz. ( milyon ürün için- defect per million) d) Normal olasılık işaretlemesi yöntemiyle verilerin normal dağılım gösterip göstermediğini ve sürecin yeterli olup olmadığını irdeleyiniz. e) Histogram yöntemiyle süreç yeterliliğini değerlendiriniz. (Bu örnekte Statgraph istatistiksel paket programdan yararlanılmıştır) a) I II III IV V X-ort R , , , , , , , , , , , , , , , ,06 77,3 Her iki grafiğe göre de süreç istatistiksel olarak kontrol altındadır.

84 84 b) ˆ X 64, 06 s 3,079 ( ) overall R 77,3 ˆ 33, 3 ( d, 36 longterm short term within) ASS 64, Cpalt 0, , 3 ASS 64, Pp alt 0, s 3.3, 079 Dayanım emniyetle ilişkili bir parametre olduğundan, süreç yeterli değildir. c) * Overall (Uzun Vade- Long-term) 00 64, 06 P(X 00) P(Z ) P(Z, 00) 0, 08 3, 079 DPM 800 ** Within (Kısa Vade- Short-term) 00 64, 06 P(X 00) P(Z ) P(Z, 93) 0, , 3 DPM 6800 d) Tests for Normality for Col_-Col_5 Test Statistic P-Value Shapiro-Wilk W 0, ,44505 P değeri 0,05 den büyük olduğu için, verilerin normal dağıldığı hipotezini %95 güvenle reddedemeyiz.

85 85 e) * Kısa çizgi 3 sigma limitini göstermektedir. ( ADTS 3 64,06 3.3, )

86 86 7. ALTI SİGMA METODOLOJİSİ 7.. Toplam Süreç Verimliliği Bir işletmedeki operasyonlar katma değerli ve katma değersiz işler olarak ikiye ayrılırlar. Katma değerli işler, ürün üzerinde doğrudan etkisi olan, olmazsa olmaz adımlardır. Katma değersiz işler ise, bir seferde yapılan işten emin olamamaktan ya da yapılan işi ilk seferinde doğru yapamamaktan kaynaklanan ve verimsizlikten dolayı maliyet olarak geri dönen adımlardır. Ürünün son halinin test edildiği kontroller ürün kalitesi hakkında bilgi verirken, asıl maliyetlerin oluştuğu süreç kalitesi hakkında hiçbir bilgi vermezler. Katma Değerli İşler (Görünen Fabrika) Girdi A Prosesi B Prosesi C Prosesi Son Test Çıktı Test Test Test 3 Ürün Kalitesi Tamir Tamir Tamir 3 Hurda Hurda Hurda Katma Değersiz İşler (Gizli Fabrika) Süreç Kalitesi Katma değer sağlamayan etkinlik örnekleri; Satış: İlk denemede müşterinin istediği bilgiler elde bulunmadığı için ikinci kez satış amaçlı ziyaret yapılması veya telefon açılması Pazarlama: Ürünün orijinal imajının müşteri tarafından onaylanmadığı için yenilenmesi ( Meksika da Nova marka bir otomobilin No va nın İspanyolca anlamının gitmez olduğu düşünülmeden piyasaya sürülmesi Mühendislik: Müşteri şikayetleri geldikten sonra üründeki hataları belirlemek İnsan Kaynakları: İş başvurusunda bulunan bir aday hakkında karar vermek için elde yeterli bilgi olmadığından tekrar tekrar görüşme yapılması Sağlık: İlk doktor görüşüne güven olmadığı için başka doktorlara gidilmesi Ulaşım: İptal edilen seferlerin yolcuları için yeni seferler programlanması Eğitim: Kalite Kontrol dersinin finalde geçilmesi yerine bütünlemeye bırakılması İşletmelerin karlılığını ve verimliliğini görebilmek için, sürecin her adımında yapılan kontroller, tamirler ve hurdaya ayrılan parçaları dikkate alan bir indekse ihtiyaç duyulmaktadır. Böyle bir indeks yardımıyla süreç kalitesi belirlenebilecektir. 000 birim Ön Kesme 990 iyi Presleme 985 iyi 5 hatalı Ön Kesme 990 iyi 0 hatalı Bükme 990 iyi 0 hatalı Test 960 iyi 40 hatalı 950 iyi 50 hatalı Çapak Alma (Her süreç adımında hatalı parçalar oluşmakta ve bunlar tamir edilmektedir.)

87 birim Test 990 iyi 0 hatalı Geleneksel Çıktı=%99?????? %99 oranı son testteki hata oranından hesaplanan bir değer olacak ve ara adımlarda yapılan tamirler hakkında bilgi vermeyecektir. Daha doğru ve gerçekçi bir indeks olan Toplam Süreç Verimliliği (TSV), bir seferde ara daımlarda hiçbir hata olmaksızın ürün üretme olasılığını verecektir. TSV 0,99*0,985*0,97*0,95*0,96*0,99 0,854 Bu oran, her 00 ürünün yanlızca 85 inde geri planda hiçbir hata olmaksızın ürün üretilebilceğini göstermektedir. Başarı oranı (yield), toleranslar arasındaki olasılık yoğunluk eğrisinin altındaki alandır. Poisson dağılımından, sıfır hatalı olasılığa eşittir. Dağılımın ortalaması λ ve hata sayısı x olmak üzere sıfır hata meydana gelme olasılığı aşağıdaki gibi olur. x D e U Y P(x 0) e e e x! DPU ln(y) Y RT m i Y m TDPU ln(y ) RT DPU Y=Tek Süreç Verimliliği Y RT =Toplam Süreç Verimliliği D=Hata Sayısı U=Birim Sayısı DPU=Birim Başına Hata Sayısı TDPU=Birim Başına Toplam Hata Sayısı İşlem No Hatalar Birimler DPU Y Y RT , , , ,0883 0,9564 0, , , , ,0599 0, , ,038 0, , ,56 0,8964 0, , ,9677 0, ,0783 0, , , , , , ,999 0, ,0775 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Y Y-RT

88 Altı Sigma Sorunların kaynağını oluşturan değişkenliği ortadan kaldıran, hedeflerle yönetimi benimseyen, tam katılımı gerektiren ve sürekli iyileştirme esasına dayanan bilimsel bir yaklaşımdır. Müşteri isteklerini ve beklentilerini karşılamak ve müşteri tatminini en yüksek düzeyde sağlamak için sürekli iyileştirmeye dayalı proje odaklı bir yönetim yaklaşımıdır. Yararları; Maliyetleri azaltmak Verimliliği artırmak Pazar payını artırmak Müşteri sürekliliğini sağlamak Çevrim zamanını düşürmek Hata oranını azaltmak Kültür değişimini sağlamak Ürün veya hizmet geliştirmek Altı sigmada, müşteri memnuniyetsizliğinin göstergesi olan hataların sıklığı, sigma seviyesi ile belirtilir. Sigma seviyesi arttıkça, proses değişkenliği ile milyonda hata sayısı düşmekte ve verimlilik (veya başarı) oranı artmaktadır. İş dünyasında bir prosesin sigma seviyesi, prosesin ne kadar iyi çalıştığını ve hatanın hangi sıklıkla ortaya çıktığını gösteren bir ölçüm olarak kullanılır. Sigma Düzeyi Milyonda Kusur Sayısı (ppm) Satışların Yüzdesi Olarak Kalite Maliyeti (%) ,4,5 İşletmenin sigma düzeyi arttıkça kalite maliyetleri başarısızlık maliyetlerinden önleme maliyetlerine yer değiştirecektir. Altı Sigma da problem çözümünde izlenen adımlar:. Define (Tanımlama): Projenin amaç ve kapsamı tanımlanır. Süreç ve müşteri hakkında bilgi toplanır. Sürecin verimini ve etkinliğini artıracak, en yüksek müşteri memnuniyetini en uygun maliyetle sağlayacak projeler seçilir.. Measure (Ölçme): Mevcut durumu detaylı br şekilde ortaya koyan veriler toplanır. Amaç, sağlıklı ölçümlerle sürecin mevcut performansını saptamak, yapılan iyileştirmelerin etkilerini belirleyebilmek ve karşılaştırma yapabilmek için bir temel oluşturmaktır.

89 89 3. Analyze (Analiz): Problemin kök nedenleri tanımlanır ve çabaların hangi nedenlere odaklanılması gerektiği belirlenir. 4. Improve (İyileştirme): Problemin kök nedenlerini ortadan kaldıracağı düşünülen çözümler pilot uygulamalarla denenir ve uygulamaya konulut. 5. Control (Kontrol): İyileştirme planı ve sonuçları değerlendirilip elde edilen kazanımların sürekliliği ve geliştirilmesi için yapılması gerekenler ortaya koyulur Sigma (Z) Skoru Altı sigma kalite seviyesi, milyon fırsat başına 3,4 adet kusurluya karşılık gelmektedir. Bilindiği üzere bir sürecin ortalaması ve spesifikasyon limiti arasında kaç tane standart sapma fark olduğunu sigma (Z) skoru göstermektedir. Düşük sigma skoru, dağılımın kuyruğunun önemli bir bölümünün spesifikasyon limitini geçtiği anlamına gelir. Daha yüksek sigma skoru ise daha az kusurlu anlamına gelir.

90 90 Sigma skorunun değişmesine neden olacak durumlar, Dağılımın ortalaması (Spesifikasyon limitine daha yakın ya da uzak olması) Dağılımın genişliği-standart sapması ( Daha dar ya da daha geniş) Spesifikasyon limitinin konumu (Daha yakın ya da uzak değerler) Kısa dönem sigma skoru (Z st ), mevcut sürecin en iyi değişim performansını verir. Fakat gerçek hayatta, süreçler kısa dönemde olduğu gibi ideal işlemezler. Prosesin zaman içerisinde çeşitli faktörlerin etkisiyle değişkenlik göstermesi nedeniyle,5σ lık kayma dikkate alınır.,5 sigmalık yer değiştirme, gerçek modelimizde dahil etmediğimiz faktörleri hesaba katmak için yapılan basit bir düzeltmedir.

91 9 Z Z short term longterm SL X short term SL X longterm Z Z,5 short term longterm shift (Cpk [kısa dönem] ve Ppk [uzun dönem] hesabında kullanılan standart sapmalar) Sigma Seviyesi=NORMSINV(Yield)+,5 Sigma Seviyesi=0,8406 9, 37, * ln(ppm)

92 9 C pk Z short term 3

Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır.

Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır. KALİTE KONTROL Kalite: Bir ürün yada hizmetin belirlenen yada olabilecek ihtiyaçları karşılama yeterliğine dayanan özelliklerinin toplamıdır. Kontrol: Mevcut sonuçlarla hedefleri ve amaçları kıyaslama

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri Yrd.Doç.Dr. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Hipotezler ve Testler Hipotez, kitleye(yığına) ait

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ END 304 KALİTE KONTROL DERS NOTLARI Prof. Dr. Sermin ELEVLİ Temmuz- 08 0 . TEMEL KAVRAMLAR... 3. TEMEL İSTATİSTİK... 7.. Aritmetik Ortalama... 7..

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ

İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ İSTATİSTİKSEL PROSES KONTROLÜ ZTM 433 KALİTE KONTROL VE STANDARDİZASYON PROF: DR: AHMET ÇOLAK İstatistiksel işlem kontrolü (İPK), işlemle çeşitli istatistiksel metotların ve analiz sapmalarının kullanımını

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine

Detaylı

13. Olasılık Dağılımlar

13. Olasılık Dağılımlar 13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END Kalite Planlama ve Kontrol

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END Kalite Planlama ve Kontrol Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 3618 - Kalite Planlama ve Kontrol Uygulama Çalışması-I Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN Tarih: 12.04.2018 A Aşağıda yer alan

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 3618 Kalite Planlama & Kontrol Bölüm 12: Nitelikler için Kabul Örneklemesi Yrd. Doç. Dr. Kemal SUBULAN 26.04.2018 Kabul Örneklemesi

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Kalite Yönetimi. Kabul Örneklemesi 11. Hafta

Kalite Yönetimi. Kabul Örneklemesi 11. Hafta Kalite Yönetimi Kabul Örneklemesi 11. Hafta Parti Kabulünde Uygulanacak Yaklaşımlar Muayene uygulamamak % 100 muayene Örnekleme muayenesi Kabul Örneklemesi Yığından örnekler alınır, birimlerin belirli

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beykent.edu.tr 1 Güven aralığı ve Hipotez testi Güven aralığı µ? µ? Veriler, bir değer aralığında hangi değeri gösteriyor? (Parametrenin gerçek

Detaylı

KALİTE KAVRAMI ve UNSURLARI

KALİTE KAVRAMI ve UNSURLARI KALİTE KAVRAMI ve UNSURLARI Kalite, bir ürün veya hizmet ile ilgili özelliklerin, belirlenen veya olabilecek ihtiyaçları karşılama derecesidir. Kalite Sözlüğü Kalite, genel olarak günlük konuşmalarda

Detaylı

İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA

İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA İstatistiksel Süreç Kontrol KAZIM KARABOĞA KALİTENİN TARİHSEL KİMLİK DEĞİŞİMİ Muayene İstatistiksel Kalite Kontrol Toplam Kalite Kontrol Toplam Kalite Yönetimi İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL İstatistiksel

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

HİPOTEZ TESTLERİ. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN HİPOTEZ TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Hipotez Nedir? HİPOTEZ: parametre hakkındaki bir inanıştır. Parametre hakkındaki inanışı test etmek için hipotez testi yapılır. Hipotez testleri sayesinde örneklemden

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ Hafta 2 Yrd. Doç. Dr. Semra BORAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

Parti Bazında Kabul Örneklemesi

Parti Bazında Kabul Örneklemesi KABUL ÖRNEKLEMESİ Hammadde, yarı mamul veya bitmiş (son) ürünün kabul / red kararının verilebilmesi için kullanılan bir yaklaşımdır. Kabul örneklemesi sadece partinin kabul / red kararı için kullanılır,

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini,

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 3618 Kalite Planlama & Kontrol Bölüm 13: Standart Örnekleme Planları & Değişkenlere Göre Örnekleme Planları Yrd. Doç. Dr.

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir 7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Girdi Analizi Prosedürü. Olasılık Çizgesi. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Dağılıma İyi Uyum Testleri Ders 10

EME Sistem Simülasyonu. Girdi Analizi Prosedürü. Olasılık Çizgesi. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Dağılıma İyi Uyum Testleri Ders 10 EME 35 Girdi Analizi Prosedürü Sistem Simülasyonu Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Dağılıma

Detaylı

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ

Detaylı

İSTATİSTİK II. Hipotez Testleri 1

İSTATİSTİK II. Hipotez Testleri 1 İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1 1 Hipotez Testleri 1 1. Hipotez Testlerinin Esasları 2. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler 3. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri. ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri. ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar vermek

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 9: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Makine Elemanları I Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Temel bilgiler Toleranslar

Makine Elemanları I Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Temel bilgiler Toleranslar Makine Elemanları I Prof. Dr. Akgün ALSARAN Temel bilgiler Toleranslar İçerik Tolerans nedir? Boyut toleransı Geçme Yüzey pürüzlülüğü Örnekler 2 Tolerans nedir? Tasarım ve üretim süreci arasında boyut

Detaylı

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)

Detaylı

EVREN, ÖRNEK, TEMSİLİYET. Prof. Mustafa Necmi İlhan

EVREN, ÖRNEK, TEMSİLİYET. Prof. Mustafa Necmi İlhan EVREN, ÖRNEK, TEMSİLİYET Prof. Mustafa Necmi İlhan MD, PhD, PhD, MBA Gazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Halk Sağlığı AbD mnilhan@gazi.edu.tr 1 Neden Araştırma Yaparız? Bilimsel gerçeğe ulaşmak Bilinenlerin

Detaylı

İstatistiksel Kalite Kontrol BBY 374 TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ 18 NİSAN 2014

İstatistiksel Kalite Kontrol BBY 374 TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ 18 NİSAN 2014 İstatistiksel Kalite Kontrol BBY 374 TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ 18 NİSAN 2014 İstatistiksel kalite kontrol o Üretim ve hizmet süreçlerinin ölçülebilir veriler yardımıyla istatistiksel yöntemler kullanılarak

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK. Uygulama 4. Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK. Uygulama 4. Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Uygulama 4 Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Güven Aralıkları 2 Güven Aralıkları

Detaylı

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08 1. Tanımlanan ana kütleden rassal seçilen örneklemlerden hesaplanan istatistikler yardımı ile ilgili ana kütle parametrelerinin değerini araştırma sürecine ne ad verilir? A) İstatistiksel hata B) İstatistiksel

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

İstatistiksel proses kontrol ve kontrol diyagramı. 3. hafta

İstatistiksel proses kontrol ve kontrol diyagramı. 3. hafta İstatistiksel proses kontrol ve kontrol diyagramı 3. hafta İstatistiksel proses kontrol Prosesteki değişkenliği ölçerek ve analiz ederek istatistiksel kontrolünü sağlamak ve sürdürmek için istatistiksel

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Muayene ve Kabul Örneklemesi

Muayene ve Kabul Örneklemesi Muayene ve Kabul Örneklemesi Prof.Dr. Erhan Öner eoner@marmara.edu.tr http://mimoza.marmara.edu.tr/~eoner Prof.Dr. Erhan Öner / Kabul Örneklemesi / Aralık 2002 1/97 Seminerin İçeriği Muayene Kavramı Hataların

Detaylı

Aktüerlik Sınavları I. Seviye / Olasılık-İstatistik Örnek Sorular I

Aktüerlik Sınavları I. Seviye / Olasılık-İstatistik Örnek Sorular I Aktüerlik Sınavları I. Seviye / Olasılık-İstatistik Örnek Sorular I S1. Cep telefonu üreten bir fabrikada toplam üretimin % 30 u A, % 30 u B ve % 40 ı C makineleri tarafından yapılmaktadır. Bu makinelerin

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin rassal seçilmesi varsayımına dayanmaktaydı ve parametrik testler kullanılmıştı. Parametrik olmayan testler

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

Kalite Geliştirmede İstatistiksel Yöntemler ve Six Sigma

Kalite Geliştirmede İstatistiksel Yöntemler ve Six Sigma Kalite Geliştirmede İstatistiksel Yöntemler ve Six Sigma - 1 Ödevler 5 er kişilik 7 grup Hayali bir şirket kurulacak Bu şirketin kalite kontrol süreçleri raporlanacak Kalite sistem dokümantasyonu oluşturulacak

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ ÖRNEKLEME TEORİSİ 1 Bir popülasyonu istatistiksel açıdan incelemek ve işlemler yapabilmek için popülasyon içerisinden seçilen örneklemlerden yararlandığımızı söylemiştik. Peki popülasyonun istatistiksel

Detaylı

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin

Detaylı

Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Kitle ve Örneklem Örneklem Dağılımı Nokta Tahmini Tahmin Edicilerin Özellikleri Kitle ortalaması için Aralık Tahmini Kitle Standart Sapması için Aralık

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI Normal Olasılık Dağılımı Akülerin dayanma süresi, araçların belli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süresi gibi sayılamayacak kadar çok değer alabilen sürekli

Detaylı

İstatistik Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü-2014)

İstatistik Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü-2014) İstatistik Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü-2014) S-1) Standart normal dağılıma sahip Z değişkeni için aşağıda istenilen olasılıkları hesaplayınız. S-2) 50 müşteriye yeni bir ürün tattırılır.

Detaylı

Bilim, Sanayi ve Teknoloji Bakanlığından;

Bilim, Sanayi ve Teknoloji Bakanlığından; Bilim, Sanayi ve Teknoloji Bakanlığından; NOMİNAL DOLUM MİKTARI 10 KG/L İLE 50KG/L ARASINDA OLAN HAZIR AMBALAJLI MAMULLERİN AĞIRLIK VE HACİM ESASINA GÖRE NET MİKTAR TESPİTİNE DAİR YÖNETMELİK TASLAĞI BİRİNCİ

Detaylı

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ

ENM 316 BENZETİM ÖDEV SETİ ENM 16 BENZETİM ÖDEV SETİ Ödev 1. Bir depo ve N adet müşteriden oluşan bir taşımacılık sisteminde araç depodan başlayıp bütün müşterileri teker teker ziyaret ederek depoya geri dönmektedir. Sistemdeki

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

İSTATİSTİK. Hafta 7.2 Kesikli Olasılık Dağılımları Poisson Dağılımı. Yrd. Doç. Dr. H. İbrahim CEBECİ

İSTATİSTİK. Hafta 7.2 Kesikli Olasılık Dağılımları Poisson Dağılımı. Yrd. Doç. Dr. H. İbrahim CEBECİ İSTATİSTİK Hafta 7.2 Kesikli Olasılık Dağılımları Simeon Poisson a atfen isimlendirilen dağılım, bir örnek uzayın belli bir bölgesi veya zamanındaki olayların sayısının incelendiği kesikli bir olasılık

Detaylı