1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77"

Transkript

1 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri BÖLÜM uzayda Bir noktanin Bir doğruya uzakliği ve iki düzlemin BirBirine GÖre durumlari BÖLÜM uzayda Bir noktanin Bir düzleme uzakliği BÖLÜM uzayda iki düzlem arasindaki açi, doğru ve düzlemin BirBirine GÖre durumlari

2 KAVRAMSAL ADIM uzayda Bir noktadan GeÇen ve Bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi P(x 0,y 0,z 0 ) x Uzayda bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım. l // u ise l doğrusunun üzerinden değişken bir A(x, y, z) noktası için PA // u dur. denklemine l doğrusunun vektörel denklemi denir. vektörel denklemi (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + k.(a, b, c) şeklinde yazılabilir. z O A(x,y,z) A u(a,b,c) PA // u & PA = k. u ^k! Rh & A P = ku. & A = P+ ku. eldeedilir. A = P + ku. A = P + ku. BÖLÜM P(x 0,y 0,z 0 ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + (k.a + k.b + k.c) (x, y, z) = (x 0 + k.a, y 0 + k.b, z 0 + k.c) x = x + k. a_ 0 b y = y + k. b denklem sistemi elde edilir. 0 ` z = z + k. cb 0 a O A y u(a,b,c) UZAYDA BİR DOĞRUNUN VEKTÖREL VE PARAMETRİK DENKLEMLERİ Bu denklem sistemine l doğrusunun parametrik denklemi denir. PA = A P = ^xyz,, h ^x, y, z 0 0 0h = ^x x, y y, z z 0 0 0h u = ^a, b, ch x x y y z z PA // u & a = = b c elde edilir. Bu bağıntıya doğrunun kartezyen denklemi denir. u = (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultman vektörü denir. Doğrultman parametrelerinden biri sıfır olması durumunda örneğin u = (a, b, 0) şeklinde ise doğru z eksenine diktir. Parametrik denklemi x = x 0 + k.a y = y 0 + k.b z = z 0 şeklindedir. Bu durumda kartezyen denklemi x x a 0 y y0 =, z= z b 0 Doğrultman vektörü Parametrik denklemi Kartezyen denklemi Doğrultman vektörü dır. = (a, 0, c) şeklinde ise; x = x 0 + k.a y = y 0 z = z 0 + k.c x x z z 0 0 a = c, y = y 0 dir. = (0, b, c) şeklinde ise; Parametrik denklemi x = x 0 y = y 0 + k.b Kartezyen denklemi u u z = z 0 + k.c y y0 z z0 x = x0, = b c dir. Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7

3 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri KAVRAMSAL ADIM Sonuç: Uzayda herhangi bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun i. Vektörel denklemi; (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + k.(a, b, c); k R ii. Parametrik denklemi; x = x 0 + k.a y = y 0 + k.b z = z 0 + k.c dir. x x y y z z iii. Kartezyen denklemi; a = = dir. b c... uzayda iki noktası verilen doğrunun denklemi x P Uzayda P(x 0, y 0, z 0 ) ve B(x, y, z ) noktaları verilsin. P ve B noktalarından geçen l doğrusunun denklemini bulalım. l doğrusunun üzerinde keyfi bir A(x, y, z) noktası için. PA = k. PB A P = k. ^B Ph (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) = k[(x, y, z ) (x 0, y 0, z 0 )] (x x 0, y y 0, z z 0 ) = k.(x x 0, y y 0, z z 0 ) z P(x 0, y 0, z 0 ) O B(x, y, z ) A(x,y,z) denklemi iki noktadan geçen doğrunun vektörel denklemidir. (x x 0, y y 0, z z 0 ) = k.(x x 0, y 0 y 0, z z 0 ) x x = k. x x & x = x + k. x x _ 0 ^ 0h 0 ^ 0h b y y = k. y y y y k. y y 0 ^ 0h& = + 0 ^ 0h` z z = k. z z & z = z + k. z z 0 ^ 0h 0 ^ 0h b a y denklem sistemi iki noktadan geçen doğrunun parametrik denklemleridir. PA = k. PB & PA // PB dir. PA = ^x x, y y, z z 0 0 0h PB = ^x x, y y, z z 0 0 0h olduğundan x x y y z z x x = y y = z z bağıntısı iki noktadan geçen doğrunun kartezyen denklemidir. ETK NL K A(,, 4) noktasından geçen ve u = ^47,, h olan doğrunun denklemini bulalım. Doğrunun değişken bir noktası P(x, y, z) olsun. OP = OA+ AP& r = r0 + k. u, k! R dir. (x, y, z) = (,, 4) + k.(4, 7, ) (x, y, z) = (,, 4) + (4k, 7k, k) (x, y, z) = ( + 4k, + 7k, 4 + k) vektörüne paralel x = + 4k, y = + 7k, z = 4 + k parametrik denklemi elde edilir. Buradan, x k, y + = = k, z 4 = k yazılabilir. 4 7 O halde doğrunun kartezyen denklemi x y = + = z A(,, 4) bulunur. r 0 O P(x, y, z) r u (4, 7, ) 7

4 . Uzayda bir A(,, 4) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulalım. Doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y, z) olsun. AP // u olduğundan AP = k. u, k IR dir. P A = k. u & P = A + ku. P = (,, 4) + k.(,, ) doğrunun vektörel denklemidir.. Uzayda bir A( 4,, ) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bulalım. P(x, y, z) doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, P = A + k. u, k R doğrusunun vektörel denklemidir. P = ( 4,, ) + k. (,, ) (x, y, z) = ( 4,, ) + k.(,, ) (x, y, z) = ( 4 k, + k, + k) x = 4 k y = + k z = + k doğrusunun parametrik denklemidir.. Uzayda bir A(0,, 5) noktasından geçen ve u = (, 5, ) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulalım. 4 Uzayda A(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemi x x y y z z a = = b c x y z 5 = + = = k, 5 dir. Buradan doğru denklemi k IR dir. UYGULAMA ADIMI 4. x + y = = z 4 doğrusunun doğrultman vektörlerinden birini bulalım. A(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u paralel doğrunun denklemi x x y y z z a = =, b c = k x + y z = = 4 k R olduğundan = (a, b, c) vektörüne doğrusunun doğrultman vektörü u = (, 4, ) veya u ne paralel vektörlerden biri olabilir. 5. x + y z + Uzayda denklemi = = 5 4 doğrusunun doğrultman vektörlerinden birini bulalım. x y y z b l b + l + z+ x+ = = & = = x + y z 5 + = = u = b,, l olarak alınabilir. olduğundan doğrultman vektörü x y 6. Uzayda denklemi = +, z = 4 olan doğrunun doğrultman vektörlerinden birini 4 bulalım. x x0 y y0 a =, z = z b 0 kapalı denklemiyle verilen doğrunun doğrultman vektörü u = (a, b, 0) olduğundan x y = +, z = 4 doğrusunun doğrultman vektörü 4 u = (, 4, 0) olarak alınabilir. Bu doğru z eksenine dik bir doğrudur. Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7

5 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7. Uzayda A(,, 4) ve B(, 0, ) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemini bulalım. P(x, y, z); A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, AP = k. AB dir. P A = k. AB & P = A+ k. AB, k IR vektörel denklemi verir. AB = B A & B A = ^, 0 ^ h, 4h= ^,, h P = A+ k. AB P = (,, 4) + k.(,, ), k R vektörel denklemi elde edilir. 8. Uzayda A(,, ) ve B(,, 4) noktalarından geçen doğrunun parametrik denklemini bulalım. P = A+ k. AB, k IR olduğundan (x, y, z) = (,, ) + k.( ( ),, 4 ) (x, y, z) = (,, ) + k.(4,, ) (x, y, z) = ( + 4k, k, + k) x = + 4k y = k z = + k doğrusunun parametrik denklemidir. 9. Uzayda orijinden ve A(,, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemini bulalım. 4 O(0, 0, 0) ve A(,, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemi x ^ h y z 5 = = = k, k IR 0 ^ h x + y z 5 = = = k, 5 k IR dir. UYGULAMA ADIMI 0. Uzayda d: x y z = + = doğrusuna paralel olan ve 4 A(, 4, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulalım. d: x doğrusunun doğrultman vektörü u = (, 4, ) dir. Dolayısıyla u = (, 4, ) vektörüne paralel ve A(, 4, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi, P(x, y, z) bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere, P = A+ k.u, k IR P= (, 4, ) + k.(, 4, ), k IR dir. x y 4 z. Analitik uzayda = = denklemi ile verilen doğrunun üzerinde bulanan noktalardan herhangi ikisini 7 5 bulalım. Bu doğru üzerindeki noktalar (7k +, k + 4, 5k + ) şeklindedir. k = 0 için A(, 4, ) k = için B(9, 7, 6) doğru üzerinde bulunan herhangi iki noktadır.. Analitik uzayda A(,, ) ve B(,, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. y = + = 4 z x y 4 z Kartezyen denklemi = = olan doğrunun parametrik denklemini yazalım. 7 5 x y 4 z x = = = k, k! IR & = k & x = 7k y 4 z = k & y = k+ 4, = k & z = 5k+ 5 B(,, 4) P(x, y, z) A(,, ) Doğrunun üzerinde keyfi bir P(x, y, z) noktası alalım. AP = ^x, y, z h AB = ^,, 4 h& AB = ^,, hdir. AP = k.ab olduğundan, x y = = z doğru denklemi elde edilir. 74

6 . Uzayda bir A(,, 0) noktasından geçen ve u = (,, 4) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, 0h + k. ^,, 4h. Uzayda bir A(4,, 5) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre denklemini bulunuz. x= 4 k y = + k z = 5 + k, k IR. Uzayda bir A(7,, ) noktasından geçen ve u = ( 4,, ) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x 7 y = = z 4 x y 4 z 6 4. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun 5 7 geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz. A^46,, h u = ^57,, h y z 5. Kartezyen denklemi x =, = + olan doğrunun 4 geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz. A^,, h u = ^0, 4, h x 8 y 4z + 6. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun 4 5 doğrultman vektörünü bulunuz. 4 5 u = a,, k 4 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 75

7 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7. Uzayda A(,, 4) ve B(,, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, 4h + k. ^,, h 8. Uzayda A(,, ) ve B( 4, 0, ) noktasından geçen doğrunun parametrik denklemini bulunuz. x = 6k y = + k z = 4k 9. Uzayda A(0,, 5) ve B( 4,, ) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x + 4 y z = + = Uzayda d: x + y + 4 z = = doğrusuna paralel olan ve 4 A(,, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, h + k. ^ 4,, h. Uzayda A(,, ) ve B(,, 5) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,,h + k. ^ 4,,h x+ 4 y. Uzayda denklemi =, z = olan doğruya paralel olan ve A(, 5, 7) noktasından geçen doğrunun parametrik denklemini bulunuz. x = + k y = 5 + k z = 7 76

8 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM UZAYDA BİR DÜZLEMİN PARAMETRİK DENKLEMİ x Uzayda herhangi bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız u ve v vektörlerinin belirttiği düzlemin parametrik denklemini bulalım. x O Px vektörü u ve v vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabilir. λ, λ R olmak üzere, Ox = OP + Px z z O P λ v P u OX=OP+PX Px = λ u+ λ v g dir. ^ h & x = P + Pxg^h dir. () deki eşitliği () de yerine yazarsak; x = P + λ u+ λ v g denklemi elde edilir. Bu denkleme düzlemin ^ h parametrik denklemi denir. λ, λ reel sayılarına düzlemin parametreleri, u ve v vektörlerine düzlemin doğrultu vektörleri denir. v λ u v u X x PX=λ u+λ v y y UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİ UZAYDA BİR DÜZLEMİN KAPALI DENKLEMİ Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektörlere düzlemin normal vektörü denir ve N ile gösterilir. N = u N = v u ve v nün vektörel çarpımı u ve v ye dik olan bir vektör olduğundan N = u # v alınabilir. Dolayısıyla uzayda bir P noktasından geçen ve N vektörüne dik olan düzlemin kapalı denklemi < Px, N >= 0 şeklindedir. Bu ifade < x P, N >= 0 şeklinde yazılabilir. Buradan < N, x > < N, P >= 0 dır. < N, P >= d halini alır. P alınırsa eşitliği P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve N = (a, b, c) vektörüne dik olan düzlemin kapalı denklemi x = (x, y, z) olmak üzere; ax + by + cz + d = 0 biçiminde verilebilir. N N < Px, N >= 0 u v x < N,x>+ d= 0 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 77

9 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri KAVRAMSAL ADIM UZAYDA DOĞRUSAL OLMAYAN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN DÜZLEM DENKLEMİ Uzayda doğrusal olmayan A(x 0, y 0, z 0 ), B(x, y, z ), C(x, y, z ) noktaları verilsin. AB x AC vektörü hem AB hem de AC vektörüne dik olduğundan belirttiği düzleme de diktir. Bu yüzden düzlemin normal vektörü olarak alınabilir. N = AB # AC dir. Buna göre, düzlem denklemi vektörlerinin < Ax, ABxAC > = < ABxAC, Ax > = det^ax, AB, ACh= 0 olduğundan düzlem denklemi ÖZEL DÜZLEMLER ABXAC A < AB x AC, Ax >= 0 dır. Bu çarpım AB, ACA, x karma çarpımıdır. x x0 x x 0 x x 0 y y0 y y 0 y y 0 z z0 z z 0 z z 0. Koordinat Düzlemleri x y = 0 düzlemi z = 0 z = 0 düzlemi C B X biçiminde yazılabilir. x = 0 düzlemi y. Koordinat Düzlemlerine Paralel Düzlemler x. Eksenleri Ayırdığı Parçalar Türünden Düzlem Denklemi x a + z c = do rusu x z = c düzlemi 0.x + 0.y + z = c a 4. Eksenlere Paralel Düzlemler x a + z c = do rusu x a z a c z c O y = b düzlemi 0.x + y + 0.z = b x = a düzlemi x + 0.y + 0.z = a x a + y = do rusu b c z b b y y y b + z = do rusu c x a + y b + z c x=a do rusu x a + z = düzlemi c x a + 0.y + z c = z=c do rusu y 78

10 KAVRAMSAL ADIM 5. Eksenlerden Geçen Düzlemler x SONUÇ: Koordinat eksenlerinden geçen veya koordinat eksenlerine paralel olan düzlemlerin denklemlerinde o ekseni belirten terim bulunmaz. YARI UZAY E E, uzayında < N,x>+ d= 0 denklemiyle verilen bir düzlem olsun. E düzleminin herhangi bir A noktası için dir. E düzlemi bulunduğu uzayı iki yarı uzaya ayırır. N vektörünün içinde bulunduğu uzay U, içinde bulunmadığı uzay U ise U E U kümesi uzaya eşittir. z N A y kx=0 düzlemi y=kx do rusu Uzayda bir P noktasının U yarı uzayında bulunması için < NAP, >> 0olmalıdır. P y < N, A >= d A(,, 5) noktasından geçen ve düzlemin denklemini yazalım. ÇÖZÜM ÖRNEK vektörüne dik olan A(,, 5) noktasından geçen ve normal vektörü N = ^4,, h olan düzlemin denklemi A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0 (x + ) +.(y z) + 4(z 5) = 0 veya x + y + z 4 = 0 dır. ETK NL K N = ^4,, h x y z a) A(,, ) noktasından geçen ve = = + doğrusuna dik olan düzlemin denklemini 4 bulunuz. b) A(, 4, ) ve B(,, ) noktaları veriliyor. A noktasından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz. ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 79

11 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri. A(,, 4) noktasından geçen ve N = (,, ) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulalım. x(x, y, z) aranan düzlemde keyfi bir nokta olmak üzere; Ax = N olduğundan < Ax, N >= 0 olmalıdır. Ax = x A = ^x+, y, z 4h N = ^,, h < Ax, N > =. ^x+ h+. ^y h+. ^z 4h= 0 x+ + y + z = 0& x+ y+ z = 0 dir.. Uzayda A(,, 4) noktasından geçen ve u = (, 4, ) ve v = (,, ) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ ve λ parametrelerine bağlı (λ, λ IR) parametrik denklemini bulalım. Düzlem denklemi Ax = λ. u+ λ. v dir. x A = λ. u+ λ. v x = A + λ. u+ λ. v x = ^4,, h + λ, 4, + λ,, ^ h ^ h Buradan, x = + λ + λ _ b y = 4λ + λ düzlemin parametrik denklemleridir. ` z = 4 λ + λ b a. Başlangıç noktasından geçen ve N = (,, 5) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulalım. A(x, y, z) noktası aranan düzlemin keyfi bir noktası olmak üzere, OA = N dir. Dolayısıyla < OA,N >= 0 olmalıdır. OA = A O = ^xyz,, h N = ^,, 5h.x +.y 5.z = 0 x y + 5z = 0 düzlem denklemi elde edilir. UYGULAMA ADIMI x y z 4. A(,, ) noktasından geçen ve = + = 4 doğrusuna dik olan düzlemin denklemini bulalım. x y z = + = doğrusu düzleme dik olduğundan bu 4 doğanun u = (4,, ) doğrultman vektörü aynı zamanda düzlemin normal vektörüdür. x(x, y, z) düzlemin herhangi bir noktası ise < Ax, u > = 0& ^x+ h. 4+ ^y+ h. + ^z h. = 0 4x + y + z = 0 4x y + z + 7 = 0 düzlem denklemi elde edilir. 5. M(,, ) noktasından geçen ve (4,, ) doğultusuna dik olan düzlemin genel denklemini yazalım. Düzlemin genel denklemi 4(x ) + (y ) + (z + ) = 0 dan 4x + y + z = 0 olur. 6. A(, 0, ) ve B(,, 4) noktaları veriliyor. A noktasındından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulalım. AB vektörü düzleme dik olduğundan bu düzlemin normal vektörü olarak kabul edilebilir. N = AB = B A = ^ ^ h, 0, 4 ^ hh = ^,, 5h x = (x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. Ax = ^x+, y, z+ h < Ax, N > = 0&. ^x+ h +. y+ 5. ^z+ h = 0 x y + 5z + 5 = 0 x + y + 5z + = 0 düzlem denklemi elde edilir. 80

12 7. A(,, 0), B(, 0, ), C(0,, 4) noktalarından geçen düzlem denklemini bulalım. P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. AB, ACve AP x y z 4 x y z vektörlerinin karma çarpımı sıfır olur. x y z 0 < AB x AC, AP > = 0 & 0 0 = = 0 (4x 8 z 6y + 6) (z + x 6 + y ) = 0 x 8y 5z + 6 = 0 elde edilir. 8. Orijinden ve A(,, 0), B(, 0, ) noktasından geçen düzlemin denklemini bulalım. P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. < OA x OB, OP > = 0& x y z 0 0 x y z 0 ( 6x) (z + 4y) = 0 6x 4y z = 0 6x + 4y + z = 0 elde edilir. UYGULAMA ADIMI = 0 9. Uzayda x =, x = 4, y = 0, z = 0 ve y + z = düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim. 0. Uzayda x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ve x + y + z = 6 düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim. x 6 x + z O z 6 4. M(,, 5), N(4,, ) noktalarının belirttiği doğru parçasına orta noktasında dik olan düzlemin denklemini bulalım. [MN] doğru parçasının orta noktası M 0 olsun. 5 7 M0 b,, l dir. MN nin doğrultu katsayıları MN(, 0, ) tür. Aranan düzlem M 0 dan geçip MN doğrusuna dik olacağından, denklemi 5 7 bx l + 0. ^y h+ ^ h. bz l = 0& x z+ = 0 olur. 4 6 y y ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 8

13 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri. A(,, 4) noktasından geçen ve N = (,, 7) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulunuz. x y 7z + 0 = 0. Uzayda A(, 4, ) noktasından geçen ve u = (,, ) ve v = (,, ) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ ve λ parametrilerine bağlı denklemini bulunuz. x = + λ + λ y = 4 + λ + λ z = + λ + λ. Başlangıç noktasından geçen ve N = (,, ) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 4. x + y z A(, 0, ) noktasından geçen ve = = 4 doğrusuna dik olan düzlem denklemini bulunuz. 5. A(, 0, ) ve B(,, 4) noktaları veriliyor. A noktasından geçen ve AB denklemini bulunuz. x + 4y + z = 0 vektörüne dik olan düzlemin x + y + z 6 = 0 6. A(, 0, ) ve B(,, 0), C(0,, 4) noktalarından geçen düzlem denklemini bulunuz. x + y + z = 0 9x + 0y 7z = 0 8

14 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM APxu x Uzayda verilen bir P noktasının l doğrusuna uzaklığını bulalım. PH sin θ = & PH = AP PH PH PH = u. AP. sin θ = = APxu AP xu u. u UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI İKİ DÜZLEMİN PARALEL OLMA ŞARTI E O z A E = A x + B y + C z + D = 0 E = A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri verilsin. E düzleminin normal vektörü N, E düzleminin normal vektörü N olsun. θ u P AP. sin θ dır. u elde edilir. E N N H y UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI E // E N // N N k. N dir. + + = N = A, B, C, N A, B, C olduğundan ^ h = ^ h (A, B, C ) = k.(a, B, C ) (A, B, C ) = (ka, kb, kc ) A = k.a B = k.b C = k.c olur. A B C Buradan E // E + = = = k paralellik koşulu elde edilir. A B C E : A x + B y + C z + D = 0 E = A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri çakışık ise A B C D = = = dir. A B C D İKİ DÜZLEMİN DİK OLMA ŞARTI E E : A x + B y + C z + D = 0 E : A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri verilsin. E düzleminin normal vektörü N, E düzleminin normal vektörü N olsun. E ve E düzlemleri birbirine dik olması için < N, N > = 0 olmalıdır. N = A, B, C ve N A, B, C olduğundan ^ h = ^ h E P A N N ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI E ve E düzlemlerinin birbirine paralel olması için N // N olmalıdır. A A + B B + C C = 0 diklik bağıntısı elde edilir. 8

15 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI x y z. A(, 0, ) noktasının = + = doğrusuna uzaklığını bulalım. Doğru denklemini sağlayan bir P noktası alalım. P(,, ) noktası doğru denklemini sağlar. u = (,, ) doğrultman vektörü olmak üzere d = AP xu u AP = ^,, h değerini bulalım. AP x u = e e e e e e AP xu= ^e + e e e e e h ^ h AP xu= e + 4e + e =, 4, ^ h AP xu = = 6 u = + ^ h + ^ h = 9 = AP xu 6 d = = bulunur. u y. A(,, 4) noktasından x = = z + doğrusuna uzaklığını bulalım. A(,, 4) noktasının doğruya uzaklığı d, bu doğrunun üzerindeki bir nokta P(,, ) ve d = AP = ^4, 0, 5h u = ^,, h AP x u = e e e 0 0e 4e e e e = 8 e 5e + 0 e 4e = 0e 9e + 8e 0, 9, 8 =^ h e e e 0 8e 5e AP xu u e e e UYGULAMA ADIMI değerini bulalım. AP x u = 0 + ^ 9h + 8 = = 45 u = + + = 6 AP xu 45 d = = bulunur. u 6. A(,, 0) noktasının parametrik denklemi x = k, y = k, z = k + olan doğruya olan uzaklığını bulalım. Doğru P(,, ) noktasından geçmektedir. AP = P A = ^00,, h u = ^,, h olmak ü zere, d = 4. x + ky z + = 0 9x + y nz + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna göre, k + n toplamını bulalım. AP xu u 6 = 9k k = 4 dir. AP x u = e e e 0 e e e e 0 0 AP xu = = 4+ 6 = 5 u = + ^ h + = 4+ + = 6 AP xu 5 d = = bulunur. u 6 k = = 9 n olmalı n = 8 n = 6 bulunur. k + n = = 0 dur e = 4e + e, 4, 0 =^ h 84

16 5. x + y kz 8 = 0 my + nx + 4z + 6 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre, m + n + k toplamını bulalım. k 8 m = n = = 4 6 = 8m m = 4 48 = 8n n = 6 = 6k k = olmalı m + n + k = = 8 bulunur. 6. A(,, ) noktasından geçen x y + az 6 = 0 düzlemi 6x + by + cz 4 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre, UYGULAMA ADIMI E düzleminin normal vektörü N 5, 4, = ^ h E düzleminin normal vektörü N, a, 6 = ^ h E E N N olduğundan dır. = + = < N, N > = ( 4).( a) +.6 = a + 8 = 0 4a = 8 a = 7 bulunur. 8. A(, 0, ) noktasından geçen E : x + y + kz 5 = 0 E : x + my + z n = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, m + n + k toplamını bulalım. x =, y = 0, z = için düzlem denklemleri sağlanır. k 5 = 0 k = 4 k = dir. 6 n = 0 n = 5 dir. E ve E düzlemlerinin normalleri N ve N olsun. ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM a + b + c toplamını bulalım. A(,, ) noktası x y + az 6 = 0 düzlemini sağladığından. + a. 6= 0& a = olur. x y+ z 6= 0 düzlemleri paralel ise 6 x+ by+ cz 4= 0 = = 6 b c olmalı b = 6 b = c = 6 c = bulunur. a + b + c = + = dir. 7. E : 5x 4y + z = 0 E = x ay + 6z + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, a değerini bulalım. N = (,, ) N = (, m, ) N = N + < N, N > = 0. +.m. = 0 m = m+ n+ k = 5 = 9. E : kx + ky + 4z 6 = 0 E : kx 8y + 4z + 7 = 0 olduğundan bulunur. denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, k değerini bulalım. N = (k, k, 4), N = (k, 8, 4) 5 & m = E = E + N = N + < N, N > = 0 kk. + k. ^ 8h = 0 k 8k+ 6 = 0& ^k 4h = 0& k = 4 bulunur.. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 85

17 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI x + y z. A(,, ) noktasının = = doğrusuna uzaklığını bulunuz.. x y A(0,, ) noktasının =, z = doğrusuna uzaklığını bulalım.. A(,, ) noktasının parametrik denklemi x = k, y = k +, z = k + olan doğruya olan uzaklığını bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x + 6y kz + = 0 mx + y + z + 6 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna göre, k + m toplamını bulunuz. 5. kx + y (m + )z + 5 = 0 x + ny + z + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre, m + n + k toplamını bulunuz. 6. A(,, ) noktasından geçen x y + kz + 8 = 0 düzlemi 4x ny + mz + 6 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre, k + m + n toplamı kaçtır?

18 7. E : x 4y + z 4 = 0 E : 4x y + pz + = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, p değerini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 0. Denklemi 4x y + z 6 = 0 olan düzlemin normal vektörünü bulunuz. (4,, ) ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 0 8. A(,, ) noktasından geçen E : x + y mz + = 0 E : x ny + z + k = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, m + n + k toplamını bulunuz.. Eksenleri kestiği noktalar A(, 0, 0), B(0,, 0) ve C(0, 0, ) olan düzlemin denklemini bulunuz.. Bölüm 9. E : mx y 4z + = 0 E : ( m)x + y z + = 0 düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 5 x + y z+ = 0. A(,, ) ve B(0,, ) ve C(,, ) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 8x 6y z = 0 87

19 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI KAVRAMSAL ADIM İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSU N N E Arakesit do rusu Uzayda E ve E paralel ve çakışık olmayan iki düzlem olsun. Bu düzlemlerin arakesit doğrusu olan l doğrusunun denklemini bulalım. l arakesit doğrusunun doğrultman vektörü N ve N normal vektörüne diktir. Dolayısıyla N x N vektörü l doğrusunun doğrultman vektörüne paralel olacağından N x N nin herhangi bir katı l doğrusunun doğrultman vektörü olarak kabul edilebilir. E ve E düzlemlerinin arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta A olmak üzere, l : x = A+ k. _ N x N arakesit doğrusunun denklemidir. i İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSUNDAN GEÇEN DÜZLEMLER (DÜZLEM DEMETİ) İki düzlemin arakesit doğrusundan geçen bütün düzlemlere, uzayda düzlem demeti denir. Düzlemleri A x + B y + C z + D = 0 ve A x + B y + C z + D = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen düzlem demetinin denklemi A x + B y + C z + D + k(a x + B y + C z + D ) = 0, k IR dir. ÖRNEK Denklemleri 4x y + z + = 0 ve x + y + z + = 0 olan düzlemlerin arakesitinden ve P(,, ) noktasından geçen düzlemin denklemini bulunuz. E ÇÖZÜM Denklemleri 4x y + z + = 0 ve x + y + z + = 0 olan düzlemlerin arakesitinden geçen düzlemin denklemi: 4x y + z + + k.(x + y + z + ) = 0 dır. Bu düzlem P(,, ) noktasından geçiyorsa; 4..( ) +. + k.( +. + ) = 0 & k = 7 olur. Bu değer denklemde yerine yazılırsa 4x y + z + (x + y + z + ) = 0 7 8x y + 4z + x y z = 0 7x y 9z + 0 = 0 bulunur. ETK NL K a) Denklemleri x + y + z + = 0 ve x y z + = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz. b) x + y z + = 0 ve x y + z = 0 düzleminin arakesitinden geçen ve = + = doğrusuna paralel olan düzle- x y z 5 min denklemini bulunuz. 88

20 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM 4 BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI T N A Uzayda bir E düzlemi ve bu düzlemin üzerinde olmayan P noktası verilsin. P noktasının E düzlemine uzaklığını bulalım. P noktasının E düzlemine uzaklığı, AP vektörünün N normal vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu olduğundan, < AP, N > AT =. N dir. < N, N > < AP, N > < AP, N > AT =. N & AT =. N dir. N N < AP, N > Buradan AT = bulunur. Bu uzaklık AT = d^pe, h N şeklinde gösterilir. x z N = (A,B,C) A y P(x 0, y 0, z 0 ) noktası Ax + By + Cz + D = 0 düzleminin dışında herhangi bir nokta, P noktasının E düzlemine dik izdüşümü S(x, y, z ) olsun. P E P(x 0,y 0,z 0 ) E S(x,y,z ) UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI S noktası E düzleminde olduğundan Ax + By + Cz + D = 0 dır. PS ve N düzleme dik olduğundan PS // N dir. OP = OS + SP & SP = OP OS & < NSP, > = < NP, S> = < NP, > < NS, > & N. SP = ^Ax + By + Cz Ax By Cz 0 0 0h ^ + + h & N. SP = Ax + By + Cz + D SP Ax + By + Cz = " N SP = " Ax + By + Cz Ax + By + Cz = N A + B + C dir. BİR DÜZLEMDEN EŞİT UZAKLIKTAKİ NOKTALARIN GEOMETRİK YERİ Bir düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu düzleme paralel olan iki düzlemdir. E: Ax + By + Cz + D = 0 düzleminden eşit uzaklıkta bulunan düzlemler E : Ax + By + Cz + D = 0, E : Ax + By + Cz + D = 0 ise D D + D = dir. P Q R E E E ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık 89

21 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık KAVRAMSAL ADIM Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzlemidir. P Q R PQ = QR Bu durumda P(x, y, z ) ve R(x, y, z ) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan normal vektörü N = (A, B, C) olan düzlemin denklemi Ax By Cz A x + x ^ B y + y h C z + z + + ; b l + + b le = 0 dır. İKİ DÜZLEMİN AÇIORTAY DÜZLEMLERİ E... A x + B y + C z + D = 0 E... A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri bir doğru boyunca kesişen iki düzlem olsun. Bu iki düzlemin açıortay düzlemi her iki düzleme uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeridir. Açıortay düzlemi üzerindeki bir nokta P(x, y, z) ise açıortay düzlemlerinin denklemleri bulunur. E A x+ B y+ C z+ D A x+ B y+ C z+ D = " A + B + C A + B + C UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ UZAKLIK i. Düzlemler Paralel ise; E düzleminin normali N, N düzleminin normali N olsun. N = λn = N IR olmak üzere iki düzlem arasındaki uzaklık ^λ! h d(e, E ) değerin i bulalım. E düzlemi üzerinde üzerinde herhangi bir P noktası ile E düzlemi üzerinde herhangi bir Q noktası alalım. PQ vektörünün N vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu bize paralel iki düzlem arasındaki uzaklığı verir. Yani, d(e, E ) = N Q < PQ, N > N dir. E ve E düzlemlerinin kapalı denklemleri E : Ax + By + Cz + D = 0 E : Ax + By + Cz + D = 0 olarak verilsin. N = (A, B, C) ve E düzlemindeki herhangi bir P = (x 0, y 0, z 0 ) E düzlemindeki herhangi bir nokta Q = (x, y, z ) olsun. < PQ, N > = < Q P, N > = < Q, N > < P, N > = Ax + By + Cz Ax By Cz = D D ^ h = D D D D olduğundan de ^, E olduğu görülür. h= A + B + C ii. Düzlemler kesişiyor veya çakışıyor ise iki düzlem arasındaki uzaklık sıfırdır. E P E 90

22 . E : x y + z = 0 E : x + y z + = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım. E, düzleminin normal vektörü N = (,, ) E, düzleminin normal vektörü N = (,, ) dir. N x N vektörel çarpımında oluşan u vektörü arakesit doğrusunun doğrultman vektörü olarak alınabilir. A(x 0, y 0, z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, x = A+ k. _ N x N arakesit doğrusunun denklemidir. i N x N = e e e A(x 0, y 0, z 0 ) düzlem denklemlerini sağlar. x y + z = z = 0 için x y z 0 0 x y = = x + y + = x = & x = 0 0 y = 0 A(,, 0) noktasından geçen ve paralel olan doğrunun denklemi bulunur. e e e = ^4e + e + e e e e h ^ + h = e + e + e u,, & = ^ h u UYGULAMA ADIMI = (,, ) vektörüne x + y + z = = şeklinde. E : x y + z 5 = 0 E : x + y z 4 = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemini bulalım. N = (,, ) ve N = (,, ) u = N x N = e e e bulunur. A(x 0, y 0, z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde bir nokta olsun. z = 0 için x y 5= x + y 4= x = 9& x =, y =, z = (x, y, z) = (,, 0) + k.(, 5, ) arakesit doğrusunun parametrik denklemidir.. Analitik uzayda P(,, ) noktasının x y + z + 8 = 0 düzlemine uzaklığını bulalım. x y + z + 8 = 0 düzleminde A(, 0, ) noktasını alalım. AP vektörünün N = (,, ) vektörü üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu P noktasının düzleme olan uzaklığını verecektir. bulunur. e e e = e + e + e e e 4e ^ + h = e + 5e + e & u = ^5,, h x = A+ k. u x = + k y = + 5k z = k 4 AP = P A = ^,, h ^, 0, h= ^6,, 4h < AP, N > 6. + ^ h. ^ h dpe ^, h = = = = 6 birim N + ^ h + ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık 9

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 PRİZMA 1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 dür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 6. Bir

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

sözel geometri soruları

sözel geometri soruları YAYINLARI sözel geometri soruları LYS Konu Testi: 01 1. Bir üçgenin bir iç aç s n n ölçüsü di er iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bu üçgen için afla dakilerden hangisi kesinlikle do rudur?

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK

İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK ÖAT 015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK Geometri: Doç. Dr. Hakan Efe İstatistik ve Olasılık:

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80.

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80. Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 9 Haziran 00 Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80 m(abc) = x Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir? A) 40 B) 45 C) 50

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden ikinci Dereceden Denklemler, tçözüm Kümesi, Köklerin Varligi. (m - 9) x + x - 6 = o denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olmasi için, m degeri asagidakilerden hangisi olamaz? A) - B) -

Detaylı

12. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

12. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 12. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni ÜNİTE 1: UZAYDA VEKTÖRLER Hepsi birden aynı düzlemde olmayan tüm noktaların kümesine uzay denir. Uzayda farklı iki noktadan bir ve yalnız

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan KONİNİN KESİTLERİ (I) H. Turgay Kaptanoğlu Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden söz edeceğiz. Bu düzlem eğrilerinin denklemlerini elde ettikten sonra birkaç değişik konuyu açacağüz. Bunlar,

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Uzayın Analitik Geometrisi

Uzayın Analitik Geometrisi Uzayın Analitik Geometrisi Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Düzlemde geliştirilen analitik geometri modeline benzer şekilde üç boyutlu uzay için de bir analitik

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri - Koniklerin Genel

Detaylı

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır? Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ Nokta: Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm:

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm: ., -< 0 önermesinin olumsuzu, aşağıdakilerden, - 0 B), -> 0, -> 0, - 0 E ), - 0, -< 0 önermesinin olumsuzu, +- 0 dir.. a A önermesi p, b B önermesi q ve c C önermesi de r ile gösterildiğine göre A = B

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır.

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. Dizi Antenler Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. 1. Dizi antenin geometrik şekli (lineer, dairesel, küresel..vs.) 2. Dizi elemanları arasındaki

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1 Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 011-1 Ortak Akıl Adem ÇİL Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Kadir ALTINTAŞ Köksal YİĞİT

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1

ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1 1 orijin 1 KÜRESEL GEOMETRİ VE DENİZCİLİK Ferit Öztürk ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 1. Küresel geometr ın ın ınşası 1.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1.. Küresel üçgen 3.

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2.

Şekildeki gibi yarıçapları 1 cm olan üç çember birbirine teğettir. Bu çemberler arasındaki a- lan kaç cm 2 dir? A) π. E) π+ 2 3. Çözüm: üçgendir. 2. . + - + + - x y x y x y x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - B) - C) - x y x y x y D) - E ) 5 - x y x y + - + + - 5 - x y x y x y x y x y. Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

KÜRESEL AYNALAR ÇUKUR AYNA. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir.

KÜRESEL AYNALAR ÇUKUR AYNA. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir. KÜRESEL AYNALAR Yansıtıcı yüzeyi küre parçası olan aynalara denir. Küresel aynalar iki şekilde incelenir. Yansıtıcı yüzeyi, küre parçasının iç yüzeyi ise çukur ayna yada içbükey ayna ( konveks ayna ) denir.eğer

Detaylı

ELK464 AYDINLATMA TEKNİĞİ

ELK464 AYDINLATMA TEKNİĞİ ELK464 AYDNLATMA TEKNİĞİ Fotometrik Büyüklükler Fotometrik Yasalar (Hafta) Yrd.Doç.Dr. Zehra ÇEKMEN Fotometrik Büyüklükler şık Akısı (Ф) Birimi Lümen (lm) Bir ışık kaynağının her doğrultuda verdiği toplam

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M

1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M FİZİK DÖNEM ÖDEVİ OPTİK SORULARI 1. Şekildeki düzlem aynaya bakan göz K, L, M noktalarından hangilerini görebilir? A-)K ve L B-)Yalnız L C-)Yalnız K D-)L ve M E-)K, L ve M 2. Üstten görünüşü şekildeki

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 8. ÜNİTE TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR KONULAR 1. TRİGONOMETRİ 2. Açı 3. Yönlü Açı 4. Yönlü Yaylar 5. Birim Çember 6. Açı Ölçü Birimleri 7. Derece 8. Radyan 9. Grad 10. Esas Ölçü 11. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 11 Nisan 2010. Matematik Soruları ve Çözümleri 12 E) 25

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 11 Nisan 2010. Matematik Soruları ve Çözümleri 12 E) 25 Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / Nisan 00 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0, 0,0 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 7 C) 0 8 D) E) Çözüm 0, 0,0 0, = 0,00 0,0 0, = 0,7 0, 000 7 7. = = 000 00 0... işleminin

Detaylı