1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77"

Transkript

1 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri BÖLÜM uzayda Bir noktanin Bir doğruya uzakliği ve iki düzlemin BirBirine GÖre durumlari BÖLÜM uzayda Bir noktanin Bir düzleme uzakliği BÖLÜM uzayda iki düzlem arasindaki açi, doğru ve düzlemin BirBirine GÖre durumlari

2 KAVRAMSAL ADIM uzayda Bir noktadan GeÇen ve Bir vektöre paralel olan doğrunun denklemi P(x 0,y 0,z 0 ) x Uzayda bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım. l // u ise l doğrusunun üzerinden değişken bir A(x, y, z) noktası için PA // u dur. denklemine l doğrusunun vektörel denklemi denir. vektörel denklemi (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + k.(a, b, c) şeklinde yazılabilir. z O A(x,y,z) A u(a,b,c) PA // u & PA = k. u ^k! Rh & A P = ku. & A = P+ ku. eldeedilir. A = P + ku. A = P + ku. BÖLÜM P(x 0,y 0,z 0 ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + (k.a + k.b + k.c) (x, y, z) = (x 0 + k.a, y 0 + k.b, z 0 + k.c) x = x + k. a_ 0 b y = y + k. b denklem sistemi elde edilir. 0 ` z = z + k. cb 0 a O A y u(a,b,c) UZAYDA BİR DOĞRUNUN VEKTÖREL VE PARAMETRİK DENKLEMLERİ Bu denklem sistemine l doğrusunun parametrik denklemi denir. PA = A P = ^xyz,, h ^x, y, z 0 0 0h = ^x x, y y, z z 0 0 0h u = ^a, b, ch x x y y z z PA // u & a = = b c elde edilir. Bu bağıntıya doğrunun kartezyen denklemi denir. u = (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultman vektörü denir. Doğrultman parametrelerinden biri sıfır olması durumunda örneğin u = (a, b, 0) şeklinde ise doğru z eksenine diktir. Parametrik denklemi x = x 0 + k.a y = y 0 + k.b z = z 0 şeklindedir. Bu durumda kartezyen denklemi x x a 0 y y0 =, z= z b 0 Doğrultman vektörü Parametrik denklemi Kartezyen denklemi Doğrultman vektörü dır. = (a, 0, c) şeklinde ise; x = x 0 + k.a y = y 0 z = z 0 + k.c x x z z 0 0 a = c, y = y 0 dir. = (0, b, c) şeklinde ise; Parametrik denklemi x = x 0 y = y 0 + k.b Kartezyen denklemi u u z = z 0 + k.c y y0 z z0 x = x0, = b c dir. Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7

3 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri KAVRAMSAL ADIM Sonuç: Uzayda herhangi bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun i. Vektörel denklemi; (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + k.(a, b, c); k R ii. Parametrik denklemi; x = x 0 + k.a y = y 0 + k.b z = z 0 + k.c dir. x x y y z z iii. Kartezyen denklemi; a = = dir. b c... uzayda iki noktası verilen doğrunun denklemi x P Uzayda P(x 0, y 0, z 0 ) ve B(x, y, z ) noktaları verilsin. P ve B noktalarından geçen l doğrusunun denklemini bulalım. l doğrusunun üzerinde keyfi bir A(x, y, z) noktası için. PA = k. PB A P = k. ^B Ph (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) = k[(x, y, z ) (x 0, y 0, z 0 )] (x x 0, y y 0, z z 0 ) = k.(x x 0, y y 0, z z 0 ) z P(x 0, y 0, z 0 ) O B(x, y, z ) A(x,y,z) denklemi iki noktadan geçen doğrunun vektörel denklemidir. (x x 0, y y 0, z z 0 ) = k.(x x 0, y 0 y 0, z z 0 ) x x = k. x x & x = x + k. x x _ 0 ^ 0h 0 ^ 0h b y y = k. y y y y k. y y 0 ^ 0h& = + 0 ^ 0h` z z = k. z z & z = z + k. z z 0 ^ 0h 0 ^ 0h b a y denklem sistemi iki noktadan geçen doğrunun parametrik denklemleridir. PA = k. PB & PA // PB dir. PA = ^x x, y y, z z 0 0 0h PB = ^x x, y y, z z 0 0 0h olduğundan x x y y z z x x = y y = z z bağıntısı iki noktadan geçen doğrunun kartezyen denklemidir. ETK NL K A(,, 4) noktasından geçen ve u = ^47,, h olan doğrunun denklemini bulalım. Doğrunun değişken bir noktası P(x, y, z) olsun. OP = OA+ AP& r = r0 + k. u, k! R dir. (x, y, z) = (,, 4) + k.(4, 7, ) (x, y, z) = (,, 4) + (4k, 7k, k) (x, y, z) = ( + 4k, + 7k, 4 + k) vektörüne paralel x = + 4k, y = + 7k, z = 4 + k parametrik denklemi elde edilir. Buradan, x k, y + = = k, z 4 = k yazılabilir. 4 7 O halde doğrunun kartezyen denklemi x y = + = z A(,, 4) bulunur. r 0 O P(x, y, z) r u (4, 7, ) 7

4 . Uzayda bir A(,, 4) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulalım. Doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y, z) olsun. AP // u olduğundan AP = k. u, k IR dir. P A = k. u & P = A + ku. P = (,, 4) + k.(,, ) doğrunun vektörel denklemidir.. Uzayda bir A( 4,, ) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bulalım. P(x, y, z) doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, P = A + k. u, k R doğrusunun vektörel denklemidir. P = ( 4,, ) + k. (,, ) (x, y, z) = ( 4,, ) + k.(,, ) (x, y, z) = ( 4 k, + k, + k) x = 4 k y = + k z = + k doğrusunun parametrik denklemidir.. Uzayda bir A(0,, 5) noktasından geçen ve u = (, 5, ) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulalım. 4 Uzayda A(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u = (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemi x x y y z z a = = b c x y z 5 = + = = k, 5 dir. Buradan doğru denklemi k IR dir. UYGULAMA ADIMI 4. x + y = = z 4 doğrusunun doğrultman vektörlerinden birini bulalım. A(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve u paralel doğrunun denklemi x x y y z z a = =, b c = k x + y z = = 4 k R olduğundan = (a, b, c) vektörüne doğrusunun doğrultman vektörü u = (, 4, ) veya u ne paralel vektörlerden biri olabilir. 5. x + y z + Uzayda denklemi = = 5 4 doğrusunun doğrultman vektörlerinden birini bulalım. x y y z b l b + l + z+ x+ = = & = = x + y z 5 + = = u = b,, l olarak alınabilir. olduğundan doğrultman vektörü x y 6. Uzayda denklemi = +, z = 4 olan doğrunun doğrultman vektörlerinden birini 4 bulalım. x x0 y y0 a =, z = z b 0 kapalı denklemiyle verilen doğrunun doğrultman vektörü u = (a, b, 0) olduğundan x y = +, z = 4 doğrusunun doğrultman vektörü 4 u = (, 4, 0) olarak alınabilir. Bu doğru z eksenine dik bir doğrudur. Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7

5 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7. Uzayda A(,, 4) ve B(, 0, ) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemini bulalım. P(x, y, z); A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, AP = k. AB dir. P A = k. AB & P = A+ k. AB, k IR vektörel denklemi verir. AB = B A & B A = ^, 0 ^ h, 4h= ^,, h P = A+ k. AB P = (,, 4) + k.(,, ), k R vektörel denklemi elde edilir. 8. Uzayda A(,, ) ve B(,, 4) noktalarından geçen doğrunun parametrik denklemini bulalım. P = A+ k. AB, k IR olduğundan (x, y, z) = (,, ) + k.( ( ),, 4 ) (x, y, z) = (,, ) + k.(4,, ) (x, y, z) = ( + 4k, k, + k) x = + 4k y = k z = + k doğrusunun parametrik denklemidir. 9. Uzayda orijinden ve A(,, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemini bulalım. 4 O(0, 0, 0) ve A(,, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemi x ^ h y z 5 = = = k, k IR 0 ^ h x + y z 5 = = = k, 5 k IR dir. UYGULAMA ADIMI 0. Uzayda d: x y z = + = doğrusuna paralel olan ve 4 A(, 4, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulalım. d: x doğrusunun doğrultman vektörü u = (, 4, ) dir. Dolayısıyla u = (, 4, ) vektörüne paralel ve A(, 4, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi, P(x, y, z) bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere, P = A+ k.u, k IR P= (, 4, ) + k.(, 4, ), k IR dir. x y 4 z. Analitik uzayda = = denklemi ile verilen doğrunun üzerinde bulanan noktalardan herhangi ikisini 7 5 bulalım. Bu doğru üzerindeki noktalar (7k +, k + 4, 5k + ) şeklindedir. k = 0 için A(, 4, ) k = için B(9, 7, 6) doğru üzerinde bulunan herhangi iki noktadır.. Analitik uzayda A(,, ) ve B(,, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım. y = + = 4 z x y 4 z Kartezyen denklemi = = olan doğrunun parametrik denklemini yazalım. 7 5 x y 4 z x = = = k, k! IR & = k & x = 7k y 4 z = k & y = k+ 4, = k & z = 5k+ 5 B(,, 4) P(x, y, z) A(,, ) Doğrunun üzerinde keyfi bir P(x, y, z) noktası alalım. AP = ^x, y, z h AB = ^,, 4 h& AB = ^,, hdir. AP = k.ab olduğundan, x y = = z doğru denklemi elde edilir. 74

6 . Uzayda bir A(,, 0) noktasından geçen ve u = (,, 4) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, 0h + k. ^,, 4h. Uzayda bir A(4,, 5) noktasından geçen ve u = (,, ) vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre denklemini bulunuz. x= 4 k y = + k z = 5 + k, k IR. Uzayda bir A(7,, ) noktasından geçen ve u = ( 4,, ) vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x 7 y = = z 4 x y 4 z 6 4. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun 5 7 geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz. A^46,, h u = ^57,, h y z 5. Kartezyen denklemi x =, = + olan doğrunun 4 geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz. A^,, h u = ^0, 4, h x 8 y 4z + 6. Kartezyen denklemi = = olan doğrunun 4 5 doğrultman vektörünü bulunuz. 4 5 u = a,, k 4 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 75

7 Ünite uzayda doğru ve düzlem. Bölüm uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemleri 7. Uzayda A(,, 4) ve B(,, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, 4h + k. ^,, h 8. Uzayda A(,, ) ve B( 4, 0, ) noktasından geçen doğrunun parametrik denklemini bulunuz. x = 6k y = + k z = 4k 9. Uzayda A(0,, 5) ve B( 4,, ) noktasından geçen doğrunun kapalı denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x + 4 y z = + = Uzayda d: x + y + 4 z = = doğrusuna paralel olan ve 4 A(,, ) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,, h + k. ^ 4,, h. Uzayda A(,, ) ve B(,, 5) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz. P = ^,,h + k. ^ 4,,h x+ 4 y. Uzayda denklemi =, z = olan doğruya paralel olan ve A(, 5, 7) noktasından geçen doğrunun parametrik denklemini bulunuz. x = + k y = 5 + k z = 7 76

8 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM UZAYDA BİR DÜZLEMİN PARAMETRİK DENKLEMİ x Uzayda herhangi bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız u ve v vektörlerinin belirttiği düzlemin parametrik denklemini bulalım. x O Px vektörü u ve v vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabilir. λ, λ R olmak üzere, Ox = OP + Px z z O P λ v P u OX=OP+PX Px = λ u+ λ v g dir. ^ h & x = P + Pxg^h dir. () deki eşitliği () de yerine yazarsak; x = P + λ u+ λ v g denklemi elde edilir. Bu denkleme düzlemin ^ h parametrik denklemi denir. λ, λ reel sayılarına düzlemin parametreleri, u ve v vektörlerine düzlemin doğrultu vektörleri denir. v λ u v u X x PX=λ u+λ v y y UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİ UZAYDA BİR DÜZLEMİN KAPALI DENKLEMİ Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektörlere düzlemin normal vektörü denir ve N ile gösterilir. N = u N = v u ve v nün vektörel çarpımı u ve v ye dik olan bir vektör olduğundan N = u # v alınabilir. Dolayısıyla uzayda bir P noktasından geçen ve N vektörüne dik olan düzlemin kapalı denklemi < Px, N >= 0 şeklindedir. Bu ifade < x P, N >= 0 şeklinde yazılabilir. Buradan < N, x > < N, P >= 0 dır. < N, P >= d halini alır. P alınırsa eşitliği P(x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve N = (a, b, c) vektörüne dik olan düzlemin kapalı denklemi x = (x, y, z) olmak üzere; ax + by + cz + d = 0 biçiminde verilebilir. N N < Px, N >= 0 u v x < N,x>+ d= 0 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 77

9 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri KAVRAMSAL ADIM UZAYDA DOĞRUSAL OLMAYAN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN DÜZLEM DENKLEMİ Uzayda doğrusal olmayan A(x 0, y 0, z 0 ), B(x, y, z ), C(x, y, z ) noktaları verilsin. AB x AC vektörü hem AB hem de AC vektörüne dik olduğundan belirttiği düzleme de diktir. Bu yüzden düzlemin normal vektörü olarak alınabilir. N = AB # AC dir. Buna göre, düzlem denklemi vektörlerinin < Ax, ABxAC > = < ABxAC, Ax > = det^ax, AB, ACh= 0 olduğundan düzlem denklemi ÖZEL DÜZLEMLER ABXAC A < AB x AC, Ax >= 0 dır. Bu çarpım AB, ACA, x karma çarpımıdır. x x0 x x 0 x x 0 y y0 y y 0 y y 0 z z0 z z 0 z z 0. Koordinat Düzlemleri x y = 0 düzlemi z = 0 z = 0 düzlemi C B X biçiminde yazılabilir. x = 0 düzlemi y. Koordinat Düzlemlerine Paralel Düzlemler x. Eksenleri Ayırdığı Parçalar Türünden Düzlem Denklemi x a + z c = do rusu x z = c düzlemi 0.x + 0.y + z = c a 4. Eksenlere Paralel Düzlemler x a + z c = do rusu x a z a c z c O y = b düzlemi 0.x + y + 0.z = b x = a düzlemi x + 0.y + 0.z = a x a + y = do rusu b c z b b y y y b + z = do rusu c x a + y b + z c x=a do rusu x a + z = düzlemi c x a + 0.y + z c = z=c do rusu y 78

10 KAVRAMSAL ADIM 5. Eksenlerden Geçen Düzlemler x SONUÇ: Koordinat eksenlerinden geçen veya koordinat eksenlerine paralel olan düzlemlerin denklemlerinde o ekseni belirten terim bulunmaz. YARI UZAY E E, uzayında < N,x>+ d= 0 denklemiyle verilen bir düzlem olsun. E düzleminin herhangi bir A noktası için dir. E düzlemi bulunduğu uzayı iki yarı uzaya ayırır. N vektörünün içinde bulunduğu uzay U, içinde bulunmadığı uzay U ise U E U kümesi uzaya eşittir. z N A y kx=0 düzlemi y=kx do rusu Uzayda bir P noktasının U yarı uzayında bulunması için < NAP, >> 0olmalıdır. P y < N, A >= d A(,, 5) noktasından geçen ve düzlemin denklemini yazalım. ÇÖZÜM ÖRNEK vektörüne dik olan A(,, 5) noktasından geçen ve normal vektörü N = ^4,, h olan düzlemin denklemi A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0 (x + ) +.(y z) + 4(z 5) = 0 veya x + y + z 4 = 0 dır. ETK NL K N = ^4,, h x y z a) A(,, ) noktasından geçen ve = = + doğrusuna dik olan düzlemin denklemini 4 bulunuz. b) A(, 4, ) ve B(,, ) noktaları veriliyor. A noktasından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz. ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 79

11 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri. A(,, 4) noktasından geçen ve N = (,, ) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulalım. x(x, y, z) aranan düzlemde keyfi bir nokta olmak üzere; Ax = N olduğundan < Ax, N >= 0 olmalıdır. Ax = x A = ^x+, y, z 4h N = ^,, h < Ax, N > =. ^x+ h+. ^y h+. ^z 4h= 0 x+ + y + z = 0& x+ y+ z = 0 dir.. Uzayda A(,, 4) noktasından geçen ve u = (, 4, ) ve v = (,, ) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ ve λ parametrelerine bağlı (λ, λ IR) parametrik denklemini bulalım. Düzlem denklemi Ax = λ. u+ λ. v dir. x A = λ. u+ λ. v x = A + λ. u+ λ. v x = ^4,, h + λ, 4, + λ,, ^ h ^ h Buradan, x = + λ + λ _ b y = 4λ + λ düzlemin parametrik denklemleridir. ` z = 4 λ + λ b a. Başlangıç noktasından geçen ve N = (,, 5) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulalım. A(x, y, z) noktası aranan düzlemin keyfi bir noktası olmak üzere, OA = N dir. Dolayısıyla < OA,N >= 0 olmalıdır. OA = A O = ^xyz,, h N = ^,, 5h.x +.y 5.z = 0 x y + 5z = 0 düzlem denklemi elde edilir. UYGULAMA ADIMI x y z 4. A(,, ) noktasından geçen ve = + = 4 doğrusuna dik olan düzlemin denklemini bulalım. x y z = + = doğrusu düzleme dik olduğundan bu 4 doğanun u = (4,, ) doğrultman vektörü aynı zamanda düzlemin normal vektörüdür. x(x, y, z) düzlemin herhangi bir noktası ise < Ax, u > = 0& ^x+ h. 4+ ^y+ h. + ^z h. = 0 4x + y + z = 0 4x y + z + 7 = 0 düzlem denklemi elde edilir. 5. M(,, ) noktasından geçen ve (4,, ) doğultusuna dik olan düzlemin genel denklemini yazalım. Düzlemin genel denklemi 4(x ) + (y ) + (z + ) = 0 dan 4x + y + z = 0 olur. 6. A(, 0, ) ve B(,, 4) noktaları veriliyor. A noktasındından geçen ve AB vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulalım. AB vektörü düzleme dik olduğundan bu düzlemin normal vektörü olarak kabul edilebilir. N = AB = B A = ^ ^ h, 0, 4 ^ hh = ^,, 5h x = (x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. Ax = ^x+, y, z+ h < Ax, N > = 0&. ^x+ h +. y+ 5. ^z+ h = 0 x y + 5z + 5 = 0 x + y + 5z + = 0 düzlem denklemi elde edilir. 80

12 7. A(,, 0), B(, 0, ), C(0,, 4) noktalarından geçen düzlem denklemini bulalım. P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. AB, ACve AP x y z 4 x y z vektörlerinin karma çarpımı sıfır olur. x y z 0 < AB x AC, AP > = 0 & 0 0 = = 0 (4x 8 z 6y + 6) (z + x 6 + y ) = 0 x 8y 5z + 6 = 0 elde edilir. 8. Orijinden ve A(,, 0), B(, 0, ) noktasından geçen düzlemin denklemini bulalım. P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun. < OA x OB, OP > = 0& x y z 0 0 x y z 0 ( 6x) (z + 4y) = 0 6x 4y z = 0 6x + 4y + z = 0 elde edilir. UYGULAMA ADIMI = 0 9. Uzayda x =, x = 4, y = 0, z = 0 ve y + z = düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim. 0. Uzayda x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ve x + y + z = 6 düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim. x 6 x + z O z 6 4. M(,, 5), N(4,, ) noktalarının belirttiği doğru parçasına orta noktasında dik olan düzlemin denklemini bulalım. [MN] doğru parçasının orta noktası M 0 olsun. 5 7 M0 b,, l dir. MN nin doğrultu katsayıları MN(, 0, ) tür. Aranan düzlem M 0 dan geçip MN doğrusuna dik olacağından, denklemi 5 7 bx l + 0. ^y h+ ^ h. bz l = 0& x z+ = 0 olur. 4 6 y y ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri 8

13 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm Uzayda Düzlem Denklemleri. A(,, 4) noktasından geçen ve N = (,, 7) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulunuz. x y 7z + 0 = 0. Uzayda A(, 4, ) noktasından geçen ve u = (,, ) ve v = (,, ) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ ve λ parametrilerine bağlı denklemini bulunuz. x = + λ + λ y = 4 + λ + λ z = + λ + λ. Başlangıç noktasından geçen ve N = (,, ) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 4. x + y z A(, 0, ) noktasından geçen ve = = 4 doğrusuna dik olan düzlem denklemini bulunuz. 5. A(, 0, ) ve B(,, 4) noktaları veriliyor. A noktasından geçen ve AB denklemini bulunuz. x + 4y + z = 0 vektörüne dik olan düzlemin x + y + z 6 = 0 6. A(, 0, ) ve B(,, 0), C(0,, 4) noktalarından geçen düzlem denklemini bulunuz. x + y + z = 0 9x + 0y 7z = 0 8

14 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM APxu x Uzayda verilen bir P noktasının l doğrusuna uzaklığını bulalım. PH sin θ = & PH = AP PH PH PH = u. AP. sin θ = = APxu AP xu u. u UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI İKİ DÜZLEMİN PARALEL OLMA ŞARTI E O z A E = A x + B y + C z + D = 0 E = A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri verilsin. E düzleminin normal vektörü N, E düzleminin normal vektörü N olsun. θ u P AP. sin θ dır. u elde edilir. E N N H y UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI E // E N // N N k. N dir. + + = N = A, B, C, N A, B, C olduğundan ^ h = ^ h (A, B, C ) = k.(a, B, C ) (A, B, C ) = (ka, kb, kc ) A = k.a B = k.b C = k.c olur. A B C Buradan E // E + = = = k paralellik koşulu elde edilir. A B C E : A x + B y + C z + D = 0 E = A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri çakışık ise A B C D = = = dir. A B C D İKİ DÜZLEMİN DİK OLMA ŞARTI E E : A x + B y + C z + D = 0 E : A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri verilsin. E düzleminin normal vektörü N, E düzleminin normal vektörü N olsun. E ve E düzlemleri birbirine dik olması için < N, N > = 0 olmalıdır. N = A, B, C ve N A, B, C olduğundan ^ h = ^ h E P A N N ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI E ve E düzlemlerinin birbirine paralel olması için N // N olmalıdır. A A + B B + C C = 0 diklik bağıntısı elde edilir. 8

15 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI x y z. A(, 0, ) noktasının = + = doğrusuna uzaklığını bulalım. Doğru denklemini sağlayan bir P noktası alalım. P(,, ) noktası doğru denklemini sağlar. u = (,, ) doğrultman vektörü olmak üzere d = AP xu u AP = ^,, h değerini bulalım. AP x u = e e e e e e AP xu= ^e + e e e e e h ^ h AP xu= e + 4e + e =, 4, ^ h AP xu = = 6 u = + ^ h + ^ h = 9 = AP xu 6 d = = bulunur. u y. A(,, 4) noktasından x = = z + doğrusuna uzaklığını bulalım. A(,, 4) noktasının doğruya uzaklığı d, bu doğrunun üzerindeki bir nokta P(,, ) ve d = AP = ^4, 0, 5h u = ^,, h AP x u = e e e 0 0e 4e e e e = 8 e 5e + 0 e 4e = 0e 9e + 8e 0, 9, 8 =^ h e e e 0 8e 5e AP xu u e e e UYGULAMA ADIMI değerini bulalım. AP x u = 0 + ^ 9h + 8 = = 45 u = + + = 6 AP xu 45 d = = bulunur. u 6. A(,, 0) noktasının parametrik denklemi x = k, y = k, z = k + olan doğruya olan uzaklığını bulalım. Doğru P(,, ) noktasından geçmektedir. AP = P A = ^00,, h u = ^,, h olmak ü zere, d = 4. x + ky z + = 0 9x + y nz + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna göre, k + n toplamını bulalım. AP xu u 6 = 9k k = 4 dir. AP x u = e e e 0 e e e e 0 0 AP xu = = 4+ 6 = 5 u = + ^ h + = 4+ + = 6 AP xu 5 d = = bulunur. u 6 k = = 9 n olmalı n = 8 n = 6 bulunur. k + n = = 0 dur e = 4e + e, 4, 0 =^ h 84

16 5. x + y kz 8 = 0 my + nx + 4z + 6 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre, m + n + k toplamını bulalım. k 8 m = n = = 4 6 = 8m m = 4 48 = 8n n = 6 = 6k k = olmalı m + n + k = = 8 bulunur. 6. A(,, ) noktasından geçen x y + az 6 = 0 düzlemi 6x + by + cz 4 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre, UYGULAMA ADIMI E düzleminin normal vektörü N 5, 4, = ^ h E düzleminin normal vektörü N, a, 6 = ^ h E E N N olduğundan dır. = + = < N, N > = ( 4).( a) +.6 = a + 8 = 0 4a = 8 a = 7 bulunur. 8. A(, 0, ) noktasından geçen E : x + y + kz 5 = 0 E : x + my + z n = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, m + n + k toplamını bulalım. x =, y = 0, z = için düzlem denklemleri sağlanır. k 5 = 0 k = 4 k = dir. 6 n = 0 n = 5 dir. E ve E düzlemlerinin normalleri N ve N olsun. ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM a + b + c toplamını bulalım. A(,, ) noktası x y + az 6 = 0 düzlemini sağladığından. + a. 6= 0& a = olur. x y+ z 6= 0 düzlemleri paralel ise 6 x+ by+ cz 4= 0 = = 6 b c olmalı b = 6 b = c = 6 c = bulunur. a + b + c = + = dir. 7. E : 5x 4y + z = 0 E = x ay + 6z + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, a değerini bulalım. N = (,, ) N = (, m, ) N = N + < N, N > = 0. +.m. = 0 m = m+ n+ k = 5 = 9. E : kx + ky + 4z 6 = 0 E : kx 8y + 4z + 7 = 0 olduğundan bulunur. denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, k değerini bulalım. N = (k, k, 4), N = (k, 8, 4) 5 & m = E = E + N = N + < N, N > = 0 kk. + k. ^ 8h = 0 k 8k+ 6 = 0& ^k 4h = 0& k = 4 bulunur.. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 85

17 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI x + y z. A(,, ) noktasının = = doğrusuna uzaklığını bulunuz.. x y A(0,, ) noktasının =, z = doğrusuna uzaklığını bulalım.. A(,, ) noktasının parametrik denklemi x = k, y = k +, z = k + olan doğruya olan uzaklığını bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI x + 6y kz + = 0 mx + y + z + 6 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna göre, k + m toplamını bulunuz. 5. kx + y (m + )z + 5 = 0 x + ny + z + 5 = 0 denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre, m + n + k toplamını bulunuz. 6. A(,, ) noktasından geçen x y + kz + 8 = 0 düzlemi 4x ny + mz + 6 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre, k + m + n toplamı kaçtır?

18 7. E : x 4y + z 4 = 0 E : 4x y + pz + = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, p değerini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 0. Denklemi 4x y + z 6 = 0 olan düzlemin normal vektörünü bulunuz. (4,, ) ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 0 8. A(,, ) noktasından geçen E : x + y mz + = 0 E : x ny + z + k = 0 denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre, m + n + k toplamını bulunuz.. Eksenleri kestiği noktalar A(, 0, 0), B(0,, 0) ve C(0, 0, ) olan düzlemin denklemini bulunuz.. Bölüm 9. E : mx y 4z + = 0 E : ( m)x + y z + = 0 düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 5 x + y z+ = 0. A(,, ) ve B(0,, ) ve C(,, ) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI 8x 6y z = 0 87

19 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM. Bölüm UZAYDA NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI VE İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI KAVRAMSAL ADIM İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSU N N E Arakesit do rusu Uzayda E ve E paralel ve çakışık olmayan iki düzlem olsun. Bu düzlemlerin arakesit doğrusu olan l doğrusunun denklemini bulalım. l arakesit doğrusunun doğrultman vektörü N ve N normal vektörüne diktir. Dolayısıyla N x N vektörü l doğrusunun doğrultman vektörüne paralel olacağından N x N nin herhangi bir katı l doğrusunun doğrultman vektörü olarak kabul edilebilir. E ve E düzlemlerinin arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta A olmak üzere, l : x = A+ k. _ N x N arakesit doğrusunun denklemidir. i İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSUNDAN GEÇEN DÜZLEMLER (DÜZLEM DEMETİ) İki düzlemin arakesit doğrusundan geçen bütün düzlemlere, uzayda düzlem demeti denir. Düzlemleri A x + B y + C z + D = 0 ve A x + B y + C z + D = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen düzlem demetinin denklemi A x + B y + C z + D + k(a x + B y + C z + D ) = 0, k IR dir. ÖRNEK Denklemleri 4x y + z + = 0 ve x + y + z + = 0 olan düzlemlerin arakesitinden ve P(,, ) noktasından geçen düzlemin denklemini bulunuz. E ÇÖZÜM Denklemleri 4x y + z + = 0 ve x + y + z + = 0 olan düzlemlerin arakesitinden geçen düzlemin denklemi: 4x y + z + + k.(x + y + z + ) = 0 dır. Bu düzlem P(,, ) noktasından geçiyorsa; 4..( ) +. + k.( +. + ) = 0 & k = 7 olur. Bu değer denklemde yerine yazılırsa 4x y + z + (x + y + z + ) = 0 7 8x y + 4z + x y z = 0 7x y 9z + 0 = 0 bulunur. ETK NL K a) Denklemleri x + y + z + = 0 ve x y z + = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz. b) x + y z + = 0 ve x y + z = 0 düzleminin arakesitinden geçen ve = + = doğrusuna paralel olan düzle- x y z 5 min denklemini bulunuz. 88

20 KAVRAMSAL ADIM BÖLÜM 4 BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI T N A Uzayda bir E düzlemi ve bu düzlemin üzerinde olmayan P noktası verilsin. P noktasının E düzlemine uzaklığını bulalım. P noktasının E düzlemine uzaklığı, AP vektörünün N normal vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu olduğundan, < AP, N > AT =. N dir. < N, N > < AP, N > < AP, N > AT =. N & AT =. N dir. N N < AP, N > Buradan AT = bulunur. Bu uzaklık AT = d^pe, h N şeklinde gösterilir. x z N = (A,B,C) A y P(x 0, y 0, z 0 ) noktası Ax + By + Cz + D = 0 düzleminin dışında herhangi bir nokta, P noktasının E düzlemine dik izdüşümü S(x, y, z ) olsun. P E P(x 0,y 0,z 0 ) E S(x,y,z ) UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI S noktası E düzleminde olduğundan Ax + By + Cz + D = 0 dır. PS ve N düzleme dik olduğundan PS // N dir. OP = OS + SP & SP = OP OS & < NSP, > = < NP, S> = < NP, > < NS, > & N. SP = ^Ax + By + Cz Ax By Cz 0 0 0h ^ + + h & N. SP = Ax + By + Cz + D SP Ax + By + Cz = " N SP = " Ax + By + Cz Ax + By + Cz = N A + B + C dir. BİR DÜZLEMDEN EŞİT UZAKLIKTAKİ NOKTALARIN GEOMETRİK YERİ Bir düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu düzleme paralel olan iki düzlemdir. E: Ax + By + Cz + D = 0 düzleminden eşit uzaklıkta bulunan düzlemler E : Ax + By + Cz + D = 0, E : Ax + By + Cz + D = 0 ise D D + D = dir. P Q R E E E ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık 89

21 ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık KAVRAMSAL ADIM Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzlemidir. P Q R PQ = QR Bu durumda P(x, y, z ) ve R(x, y, z ) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan normal vektörü N = (A, B, C) olan düzlemin denklemi Ax By Cz A x + x ^ B y + y h C z + z + + ; b l + + b le = 0 dır. İKİ DÜZLEMİN AÇIORTAY DÜZLEMLERİ E... A x + B y + C z + D = 0 E... A x + B y + C z + D = 0 düzlemleri bir doğru boyunca kesişen iki düzlem olsun. Bu iki düzlemin açıortay düzlemi her iki düzleme uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeridir. Açıortay düzlemi üzerindeki bir nokta P(x, y, z) ise açıortay düzlemlerinin denklemleri bulunur. E A x+ B y+ C z+ D A x+ B y+ C z+ D = " A + B + C A + B + C UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ UZAKLIK i. Düzlemler Paralel ise; E düzleminin normali N, N düzleminin normali N olsun. N = λn = N IR olmak üzere iki düzlem arasındaki uzaklık ^λ! h d(e, E ) değerin i bulalım. E düzlemi üzerinde üzerinde herhangi bir P noktası ile E düzlemi üzerinde herhangi bir Q noktası alalım. PQ vektörünün N vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu bize paralel iki düzlem arasındaki uzaklığı verir. Yani, d(e, E ) = N Q < PQ, N > N dir. E ve E düzlemlerinin kapalı denklemleri E : Ax + By + Cz + D = 0 E : Ax + By + Cz + D = 0 olarak verilsin. N = (A, B, C) ve E düzlemindeki herhangi bir P = (x 0, y 0, z 0 ) E düzlemindeki herhangi bir nokta Q = (x, y, z ) olsun. < PQ, N > = < Q P, N > = < Q, N > < P, N > = Ax + By + Cz Ax By Cz = D D ^ h = D D D D olduğundan de ^, E olduğu görülür. h= A + B + C ii. Düzlemler kesişiyor veya çakışıyor ise iki düzlem arasındaki uzaklık sıfırdır. E P E 90

22 . E : x y + z = 0 E : x + y z + = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım. E, düzleminin normal vektörü N = (,, ) E, düzleminin normal vektörü N = (,, ) dir. N x N vektörel çarpımında oluşan u vektörü arakesit doğrusunun doğrultman vektörü olarak alınabilir. A(x 0, y 0, z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, x = A+ k. _ N x N arakesit doğrusunun denklemidir. i N x N = e e e A(x 0, y 0, z 0 ) düzlem denklemlerini sağlar. x y + z = z = 0 için x y z 0 0 x y = = x + y + = x = & x = 0 0 y = 0 A(,, 0) noktasından geçen ve paralel olan doğrunun denklemi bulunur. e e e = ^4e + e + e e e e h ^ + h = e + e + e u,, & = ^ h u UYGULAMA ADIMI = (,, ) vektörüne x + y + z = = şeklinde. E : x y + z 5 = 0 E : x + y z 4 = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemini bulalım. N = (,, ) ve N = (,, ) u = N x N = e e e bulunur. A(x 0, y 0, z 0 ) arakesit doğrusu üzerinde bir nokta olsun. z = 0 için x y 5= x + y 4= x = 9& x =, y =, z = (x, y, z) = (,, 0) + k.(, 5, ) arakesit doğrusunun parametrik denklemidir.. Analitik uzayda P(,, ) noktasının x y + z + 8 = 0 düzlemine uzaklığını bulalım. x y + z + 8 = 0 düzleminde A(, 0, ) noktasını alalım. AP vektörünün N = (,, ) vektörü üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu P noktasının düzleme olan uzaklığını verecektir. bulunur. e e e = e + e + e e e 4e ^ + h = e + 5e + e & u = ^5,, h x = A+ k. u x = + k y = + 5k z = k 4 AP = P A = ^,, h ^, 0, h= ^6,, 4h < AP, N > 6. + ^ h. ^ h dpe ^, h = = = = 6 birim N + ^ h + ÜNİTE UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM 4. Bölüm Uzayda Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı ve İki Düzlem Arasındaki Uzaklık 9

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM (a, b, c) r x = a y = b u a b UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM ÜN TE y y y y y y Uzay Uzayda Dik Koordinat Sistemi Uzayda Vektörler Uzayda İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası. x 1. + x 2. Örnek: Çözüm: =5 z=7 dir. O halde C(5,-13,7) olur. UZAY ANALİTİK GEOMETRİ Uzayda Koordinat Sistemi ve Uzayda Vektörler: Tanım: Uzayda (üç boyutlu) birbirine ikişer ikişer dik sayı eksenlerinin oluşturduğu sisteme üç boyutlu uzayda koordinat sistemi denir.bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM

YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM YAYIN KURULU Hazırlayanlar Filiz SOYUÇETİN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi Güler & Meltem Temel

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *

Detaylı

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir. HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY

Örnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY UZYIN NİİĞİ 1 M KVRMR UZY ümü düzlemsel olmayan bütün noktaların kümesine uza y denir. UZY NOK, OĞRU, ÜZM V UNR RSINKİ İİŞKİR 1)Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. UZY OĞRURIN URUMU 1.Uzayda

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.

GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım. GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

TEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır.

TEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır. 1 TEMEL ZI KVRMLR Nokta: Kalemin kâğıda, tebeşirin tahtaya bıraktığı ize nokta denir. Nokta boyutsuzdur. Yani; noktanın eni, boyu ve yüksekliği yoktur. ütün geometrik şekiller noktalardan oluşur. Noktalar

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen,

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1 SKİŞHİR FTİH FN LİSSİ GTRİ LİİYT NTLRI Çemberler 1 erleyen sman KİZ FFL atematik Öğretmeni Yazım hataları mevcut olup. Tashihi yapılmamıştır. ÇR GİRİŞ roblem. merkezli çemberin kirişi üzerinde bir noktası

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I ANALÝTÝK DÜZLEM Baþlangýç noktasýnda birbirine dik olan iki sayý doðrusunun oluþturduðu sisteme dik koordinat sistemi, bu doðrularýn belirttiði düzleme

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Örnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek:

Örnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek: ĐFL GEOMETRĐK KAVRAMLAR VE ÇALIŞMA SORULARI (Eylül-011) Terim, Geometrik Terim, Tanımsız Terim, Önerme, Aksiyom (Postülat), Teorem (Hipotez ve Hüküm), Đspat: Bir bilim dalında özel anlamı olana kelimelere

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2. LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı