GEOMETR 2 ÜN TE I ÜÇGENLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GEOMETR 2 ÜN TE I ÜÇGENLER"

Transkript

1 ÜN TE I ÜÇGENLER 1. ÇOKGEN KAVRAMI VE ÜÇGEN * Üçgen ve Elemanlar * Üçgen Çeflitleri * Üçgende Yard mc Elemanlar * Üçgende Kenarlar ve Aç lar Aras ndaki liflkiler KONUNUN ÖZET. Efi ÜÇGENLER * Efllik Kavram * Üçgenlerin Eflli i KONUNUN ÖZET ARAfiTIRMALAR DE ERLEND RME SORULARI

2 GEOMETR BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda ; * Çokgeni ve çokgen çeflitlerini tan mlayabilecek, * Üçgeni ve temel elemanlar n tan yacak, aç lar na ve kenarlar na göre üçgen çeflitlerini söyleyebilecek, * Bir üçgende yard mc elemanlar ve özeliklerini ö renecek, * Üçgende kenarlar ile aç lar aras ndaki iliflkileri ö renecek ve bunlarla ilgili uygulamalar yapabilecek, * Üçgenlerin eflli ini tan mlayabilecek ve ilgili uygulamalar yapabilecek, * Üçgenlerin eflli i ile ilgili aksiyom ve teoremleri ö renecek, uygulamalar n yapabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Ders notlar aras ndaki örnekleri inceledikten sonra, çözümlerine bakmadan, bir de siz çözmeye çal fl n z. Tak ld n z yerde dönüp çözüme bak n z. * Konu içerisinde veya konu sonunda verilen araflt rma ve de erlendirme sorular n yan tlay n z. Tak ld n z yerlerde ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz. * Konularla ilgili, ortaö retim müfredat program na uygun olarak haz rlanm fl olan kitaplardaki al flt rma sorular n çözmeye çal fl n z.

3 1. ÇOKGEN KAVRAMI VE ÜÇGEN Afla daki flekiller aras nda, daha önceden ilkö retim s ralar nda gördü ünüz flekillerden baz lar yer almaktad r. fiimdi bu flekilleri inceleyelim: Yukar daki flekillerden 1,, 3, 4, 5, 6 ve 7 nolu flekillere çokgen ad verilir. Bunlardan 1,, 3, 4, 5 ve 6 nolu flekillere d fl bükey çokgen, 7 nolu flekle ise iç bükey çokgen denir. Çokgenleri oluflturan do ru parçalar na çokgenin kenarlar, ard fl k iki do ru parças yla oluflan aç ya çokgenin bir iç aç s denir. Çokgenler kenar say lar yla adland r l rlar. Örne in, üç kenar olan çokgene üçgen (1 nolu flekil), dört kenar olan çokgene dörtgen (, 3 ve 6 nolu flekiller), befl kenar olan çokgene beflgen (5 nolu flekil) denir. Genel olarak n kenara sahip olan çokgene n-gen denir. Bu bölümde 3 kenarl çokgeni, yani üçgeni inceleyece iz. 3

4 Üçgen ve Elemanlar Yandaki gibi, ayn do ru üzerinde olmayan farkl üç nokta iflaretleyelim. Bu noktalar A, B ve C harfleriyle adland ral m. Bu noktalar ikifler ikifler cetvelle birlefltirdi imizde elde edilen do ru parçalar bir kapal flekil oluflturur. Bu kapal flekle üçgen ad n veririz. Yukar da [AB], [BC] ve [AC] do ru parçalar n n oluflturdu u üçgeni bir nokta kümesi olarak, ABC, BAC, ACB biçimlerinde üç noktas yla adland r r z. ABC gösterimini ABC üçgeni diye okuruz. A, B, C noktalar na ABC üçgeninin köfleleri; [AB], [AC], [BC] do ru parçalar na ABC üçgeninin kenarlar ad verilir. ABC üçgeninde; kenarlar n ikifler ikifler belirttikleri ABC, BAC, ACB aç lar na üçgenin iç aç lar veya k saca üçgenin aç lar deriz. Bu aç lar s ra ile köfle harfleriyle B,A,C biçiminde de gösterilir. Üçgen Çeflitleri Kenar özellikleriyle adland r lan afla daki üçgenleri inceleyiniz. fiekillerde ayn iflaretlerle belirtilen kenarlar n uzunluklar eflittir. 4

5 Kenar uzunluklar farkl olan üçgene çeflitkenar üçgen, iki kenar n n uzunlu u eflit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenar n n uzunlu u eflit olan üçgene eflkenar üçgen deriz. ç aç lar n n ölçüleri 90 den küçük olan üçgene dar aç l üçgen deriz. Bir iç aç s n n ölçüsü 90 olan üçgene dik aç l üçgen deriz. Bir aç s n n ölçüsü 90 den büyük olan üçgene genifl aç l üçgen deriz. fiimdi üçgenin yard mc elemanlar n tan yal m: Üçgende Yard mc elemanlar Bir üçgenin, kenar ve aç lar na temel elemanlar ; kenarortay, aç ortay ve yüksekliklerine ise yard mc elemanlar denir. Kenarortay Yandaki üçgende, kenarlar n orta noktalar n karfl lar ndaki köflelere birlefltiren do ru parçalar çizilmifltir. KB = KC, LA = LC ve MA = MB dir. Üçgenin bir köflesini karfl s ndaki kenar n orta noktas na birlefltiren do ru parças na, üçgenin o kenar na ait kenarortay denir. 5

6 ABC üçgeninin a, b, c kenarlar na ait kenarortaylar n uzunluklar s ra ile V a, V b, V c sembolleriyle belirtilir. fiekle göre; AK = V a, BL = V b ve CM = V c dir. Bir üçgende kenarortaylar bir noktada kesiflir. Kenarortaylar n kesiflim noktas na üçgenin a rl k merkezi denir. Aç ortay Yandaki üçgende, üçgenin iç aç lar n n aç ortaylar çizilmifltir. ABE CBE, BAD EAD ve ACF BCF dir. Üçgenin bir aç s n iki efl aç ya bölen fl n n, kenar kesti i nokta ile aç n n köflesi aras nda kalan parças na üçgenin o aç s na ait aç ortay denir. ABC üçgeninin A,B,C aç lar na ait aç ortaylar n uzunluklar s ra ile n A, n B, n C sembolleriyle belirtilir. fiekle göre; AD = n A, BE = n B, CF = n C Bir üçgende aç ortaylar bir noktada kesiflir. dir. 6

7 Yükseklik Yandaki üçgende köflelerden karfl kenarlara dikmeler çizilmifltir. AP BC, CT AB ve BS AC dir. Üçgenin bir köflesinden karfl s ndaki kenara çizilen dik do runun, kenar ile köfle aras nda kalan parças na, üçgenin o kenar na ait yüksekli i denir. ABC üçgeninin, a, b, c kenarlar na ait yükseklikleri s ra ile h a, h b, h c sembolleriyle gösterilir. fiekle göre; AP = h a, BS = h b ve CT = h c dir. Bir üçgende yükseklikler bir noktada kesiflir. Genifl aç l bir üçgende, genifl aç n n kenarlar na ait yükseklikler, köfle noktalar n bu kenarlar n uzant s na olan uzakl d r. Yandaki flekil üzerinde bu yükseklikler çizilmifltir. nceleyiniz. 7

8 Üçgende Kenarlar ve Aç lar Aras ndaki liflkiler Üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam ile ilgili afla daki teoremi ve ispat n inceleyeleyim: Teorem 3.1 : Bir üçgende iç aç lar n ölçüleri toplam 180 dir. Hipotez : m(a) = m, m( B) = n ve m(c) = p; ABC nde iç aç lar n ölçüleridir. Hüküm : m + n + p = 180 dir. spat : A noktas ndan geçen BC kenar na paralel olan KT do rusunu çizelim. m(kab) = n (KAB ile B, iç ters aç lar) m(bac) = m (A aç s n n ölçüsü) m(cat) = p (CAT ile C, iç ters aç lar) m(kab) + m(bac) + m(cat) = m + n + p (do ru üzerindeki aç lar) m(kat) = m + n + p 180 = m + n + p olur. Bir üçgende, bir kenar uzant s n n di er kenar ile oluflturdu u aç ya üçgenin bir d fl aç s denir. Yandaki flekilde PAC aç s, ABC üçgeninin A köflesindeki d fl aç s d r. Bu aç y sembolle ifade ederiz. A biçiminde de 8

9 fiekle göre B ve C iç aç lar na, ABC üçgeninin PAC d fl aç s na komflu olmayan iç aç lar denir. Teorem 3. : Üçgende bir d fl aç n n ölçüsü kendisine komflu olamayan iki iç aç n n ölçüleri toplam na eflittir. Aç klama : ACD aç s, ABC üçgeninin C köflesindeki bir d fl aç olmak üzere; m(acd) = m (A) + m (B) dir. SONUÇ : Bir üçgenin herhangi bir d fl aç s n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç lar n ölçülerinden büyüktür. Aç klama : "Teorem 1." nin flekline göre; m(acd) > m (A) ve m(acd) > m (B) olur. ÖRNEK 1: Yandaki flekilde t 1 // t dir. m(pab) = 50 ve m(pcd) = 40 oldu una göre m(bpd) kaç derecedir? ÇÖZÜM m(pdc) = m(pab) = 50 (iç ters aç lar) m(bpd) = m(pcd) + m(pdc) (Teorem 3.) = = 90 olur. 9

10 ÖRNEK : fiekilde MN = MP ve NP = NR dir. m(pnr) = 36 olduğuna göre m(m) kaç derecedir? ÇÖZÜM : NPR ikizkenar üçgeninde; m(nrp) + m(npr) + 36 = 180 m(p) + 36 = 180 m(p) = 144 m(p) = 7 olur. MNP ikizkenar üçgeninde; m(mnp) + m(mpn) + m(m) = 180 m(p) + m(m) = m(m) = 180 m(m) = m(m) = 36 dir. Teorem 3.3 : Bir üçgende iki aç n n ölçüleri farkl ise, büyük olan aç karfl s ndaki kenar daha büyüktür. Aç klama : fiekle göre; m(c) > m(a) ise AB > BC dir. 10

11 SONUÇ 1 : Bir do ruya d fl ndaki bir noktadan inilen dikme, bu noktay do ru üzerindeki noktalara birlefltiren do ru parçalar n n en k sa olan d r. Aç klama : fiekle göre; [PH] d ise, PH < PA ve PH < PB dir. SONUÇ : Kenar uzunluklar farkl olan bir üçgende, en büyük kenar karfl s nda en büyük aç bulunur. Aç klama : fiekle göre; a > c > b ise, m(a) > m (C) > m (B) dir. ÖRNEK 1 : Yandaki flekilde PK = PS dir. Verilen ölçülere göre PRS üçgeninin en büyük aç s hangisidir? ÇÖZÜM PS = PK = 6 cm, RS =RK + KS = cm + 7 cm = 9 cm, PR = 7 cm dir. 9 > 7 > 6 s ralamas na göre, RS > PR > PS ve buradan, m(rps) > m(s) > m(r) yaz l r. Bu s ralamaya göre, PRS üçgeninin en büyük aç s RPS d r. 11

12 ÖRNEK : Yandaki flekilde KA = KB dir. Verilen aç ölçülerine göre ABC üçgeninin en küçük kenar hangisidir? ÇÖZÜM m(kac) = = 45 (Teorem 1.) m(b) + m(bak) + 10 = 180 (Teorem 1.1) m(b) = m(bak) (KAB ikizkenar üçgeninde taban açıları) m(b) = m(b) = m(bak) = 30 olur. m(bac) = m(bak) + m(kac) (Aç toplama aksiyomu) m(bac) = = 75 dir. ABC üçgeninin iç aç lar n n ölçüleri, m(a) = m(bac) = 75 m(b) = 30 m(c) = 75 olup, ölçüsü en küçük olan aç karfl s ndaki kenar en küçüktür. Yani B aç s n n karfl s ndaki AC kenar, ABC üçgeninin en küçük kenar d r. Teorem 1.4 (Üçgen Eflitsizli i) : Bir üçgenin herhangi iki kenar n n uzunluklar toplam, üçüncü kenar n uzunlu undan büyüktür. Aç klama : fiekle göre; a + b > c a + c > b ve b + c > a d r. 1

13 SONUÇ : Bir üçgende iki kenar n uzunluklar fark n n mutlak de eri, üçüncü kenar n uzunlu undan küçüktür. Aç klama : Teorem 1.4 deki a + b > c eflitsizli inin her iki taraf n, eflitsizlikte toplama özeli ine göre -b ile toplarsak, a + b + (-b) > c + (-b) ve buradan a > c-b bulunur. Genel olarak; bir üçgenin kenar uzunluklar a, b ve c ise, Teorem 3.4 ve sonuç ifadesine göre, a + b > c > a-b yaz l r. Bu eflitsizli e üçgen eflitsizli i ad verilir. ÖRNEK Yandaki ABC üçgeninde; AC = 6 birim, BC = 7 birim oldu una göre [AB] kenar n n uzunlu u hangi tam say lar olabilir? ÇÖZÜM : Üçgen eflitsizli ine göre; AC + BC > AB > AC - BC > AB > > AB > > AB > 1 dir. AB, 1 ile 13 aras ndaki tam say lar olabilir. Bu tam say lar n kümesi {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} dir. 13

14 Teorem 1.5 : Bir üçgende iki aç n n iç aç ortaylar n n oluflturdu u aç n n ölçüsü, üçüncü aç n n ölçüsünün yar s ndan 90 fazlad r. Hipotez : [BK ve [CK sıra ile B ve C açılarının açıortayıdır. Hüküm : m (BKC) = m(a) + 90 dir. İspat : KBC üçgeninde; m(bkc) + m(b) + m(c) = 180 m(bkc) = m(b) + m(c) = 90 + m(a) + m(b) + m(c) - m 90 = 90 + m(a) bulunur. Teorem 1.6 : Bir üçgende iki aç n n d fl aç ortaylar n n oluflturdu u aç n n ölçüsü, 90 den üçüncü aç n n ölçüsünün yar s kadar eksiktir. Aç klama : ABC üçgeninde; B aç s n n aç ortay [BP, C aç s n n aç ortay [CP d r. Bu fl nlar n oluflturdu u BPC aç s n n ölçüsü, m(bpc) = 90 - m(a) dir. 14

15 ÖRNEK 1 : fiekildeki ABC nde m(a) = 73 ve m(b) = 65 dir. [AP, [BP, s ras yla A ve B köflelerindeki d fl aç ortayl oldu una göre m(apb) kaç derecedir? ÇÖZÜM ABC üçgeninde; m(a) + m(b) + m(c) = 180 dir m(c) = 180 m(c) = "Teorem 3.6" ya göre; m(c) = 4 dir. m(apb) = 90 - m(c) = 90-4 = 69 bulunur. ÖRNEK : fiekilde B ile C aç lar n n aç ortaylar P noktas nda kesiflmifllerdir. m(kpb) = 48 oldu una göre m(a) kaç derecedir? ÇÖZÜM m(bpk) + m(bpc) = 180 (komflu bütünler aç lar) 48 + m(bpc) = 180 m(bpc) = 13 olur. "Teorem 3.5"e göre; m(bpc) = 90 + m(a) = 90 + m(a) m(a) = 4 m(a) = 84 bulunur. dir. Buradan, 15

16 KONUNUN ÖZET * kifler ikifler uç noktalar ortak olan üç do ru parças n n oluflturdu u kapal flekle üçgen denir. Üçgenin kenarlar ile aç lar na temel elemanlar ; kenarortay, aç ortay ve yüksekliklerine yard mc elemanlar denir. *Üçgenin kenarortaylar bir noktada kesiflir. Üçgenin aç ortaylar bir noktada kesiflir. Üçgenin yükseklikleri bir noktada kesiflir. Üçgende kenarortaylar n kesiflimi, üçgenin a rl k merkezi ad n al r. *Bir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 180 dir. Üçgende bir d fl aç n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bir üçgenin ölçüleri farkl olan iki aç s ndan, büyük olan n karfl s ndaki kenar daha büyüktür. Karfl t olarak; kenar uzunluklar farkl olan bir üçgenin en büyük kenar karfl s nda en büyük aç s bulunur. *Bir üçgende herhangi bir kenar uzunlu u, di er iki kenar uzunlu u toplam ndan küçük, fark n n mutlak de erinden ise büyüktür. *Bir üçgende iki iç aç n n aç ortaylar aras nda kalan aç n n ölçüsü, üçüncü aç n n ölçüsünün yar s ndan 90 fazlad r. m(ckb) = 90 + m(a) *Bir üçgende iki d fl aç n n aç ortaylar aras nda kalan aç n n ölçüsü, 90 den üçüncü aç n n ölçüsünün yar s kadar eksiktir. m(cpb) = 90 - m(a) 16

17 . Efi ÜÇGENLER Efllik Kavram Ayn büyüklükte ve türde iki aç lmam fl kurflun kalem, ayn pozdan elde edilmifl iki vesikal k foto raf efllik kavram hakk nda bize bilgi verir. Geometride efllik kavram n genel anlamda flöyle tan mlar z: Üst üste konuldu unda bütün noktalar çak flan flekillere efl flekiller denir. Daha önceki bölümlerde, uzunluklar eflit olan do ru parçalar n n efl do ru parçalar oldu unu söylemifltik. Benzer flekilde, ölçüleri eflit olan iki aç n n efl aç lar oldu unu incelemifltik. fiimdi ise üçgenlerin eflli inin hangi durumlarda mümkün oldu unu görece iz. Üçgenlerin Eflli i Üçgenler aras ndaki eflli i, flekillerin eflli inden yararlanarak flöyle aç klayabiliriz : Efl üçgenler üst üste konuldu unda bütün noktalar çak flan üçgenlerdir. Matematiksel yap içerisinde üçgenlerin eflli inden söz edebilmemiz için, üçgenlerin karfl l kl elemanlar aras nda yap labilecek bire bir efllemeye göre bu elemanlarla ilgili eflliklerden söz etmemiz gerekir. Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni aras ndaki ABC KLM efllemesinin anlam ; s ra ile ABC üçgeninin A, B, C köfleleri ile KLM üçgeninin K, L, M köfleleri aras nda bire bir eflleme yap ld d r. 17

18 Yap lan ABC KLM efllemesini afla daki flekillerden yararlanarak aç klayal m: Üçgenlerin köfle noktalar aras ndaki efllemeler; A K, B L, C M biçimindedir. Üçgenlerin s ra ile kenarlar ve aç lar aras ndaki bire bir efllemeler; [AB] [KL] [BC] [LM] [AC] [KM] biçimindedir. ve A K B L C M KLM PRS efllemesine göre KLM ile PRS üçgenlerinin köfleleri, kenarlar ve aç lar aras ndaki efllemeleri yaz n z. Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni aras nda ABC DEF efllemesi verilmifl olsun. Bu efllemeye göre üçgenlerin karfl l kl kenarlar ve karfl l kl aç lar efl ise, bu iki üçgen efltir. Üçgenler aras ndaki bu efllik ABC DEF biçiminde yaz l r ve ABC üçgeni DEF üçgenine efltir. diye okunur. Tan mda belirtilen ABC DEF efllik gösterimine göre üçgenlerin karfl l kl kenarlar ile karfl l kl aç lar aras ndaki efllik efllemesinden flu anlafl l r: 18

19 AB =DE m(a) m(d) ABC DEF AC =DF ve m(b) m(e) BC =EF m(c) m(f) Efl iki üçgenin (eflkenar, ikizkenar üçgenler hariç) köfleleri aras nda yap lan farkl efllemelerden sadece birisi bu üçgenlerin eflli ini ifade eder. Bu da üçgenlerin karfl l kl efl olan kenarlar ile efl olan aç lar n gösteren efllemedir. Örne in, ABC EDF efllemesi, yukar daki üçgenlerin eflli ini belirtmez. Çünkü bu efllemeye göre karfl l kl kenarlardan [BC] ile [DF] efl de ildir. ÖRNEK Afla daki efl üçgenlerin, efl olan kenarlar ve efl olan aç lar ayn iflaretlerle belirtilmifltir. Bu üçgenlerin eflli ini sembolik olarak ifade edelim: fiekle göre; M P N S O R [MN] [PS] ve [MO] [PR] oldu undan MNO PSR yaz l r. [ON] [RS] 19

20 1. Örnekte verilen MNO ile PSR üçgenleri aras nda OMN RPS eflli i yaz labilir mi?. XOY ve KLM üçgenleri çeflitkenar üçgenler ve XOY KLM oldu una göre afla daki ifadelerden hangileri do rudur? Do ru olanlar n yan na (D), yanl fl olanlar n yan na (Y) yaz n z. YOX MKL... (Y) [OY] [LM]... ( ) OYX LMK... ( ) LK OY... ( ) LKM XOY... ( ) L Y... ( ) ki üçgenin eflli ini daha az elemanla ifade edebiliriz. fiimdi üçgenlerin eflli i ile ilgili aksiyom ve teoremleri görelim: Aksiyom (Üçgenlerde Kenar Aç Kenar Efllik Aksiyomu): ki üçgen aras nda yap lan bir efllemede; karfl l kl ikifler kenarlar ile bu kenarlar n oluflturdu u aç lar efl ise üçgenler efltir. Bu eflli e k saca K.A.K. eflli i denir. Aç klama ABC DEF olsun. [BC] [EF] yani BC = EF C F yani m(c) = m(f) ise ABC DEF dir. [AC] [DF] yani AC = DF 0

21 SONUÇ 1 : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, tepe aç s n iki efl parçaya ay r r. Aç klama : ABC üçgeninde, AB = AC ve BD = DC ise BAD CAD dir. SONUÇ : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay tabana diktir. Aç klama : ABC üçgeninde, AB = AC ve BD = DC ise [AD] [BC] dir. SONUÇ 3 : Efl iki üçgenin karfl l kl kenarortaylar efltir. Aç klama : fadeye göre flekilde; ABC DEF ise [AP] [DK] dir. BP = PC EK = KF Efl üçgenlerde; karfl l kl kenarortaylar, karfl l kl aç ortaylar ve karfl l kl yükseklikler birbirine efltir. 1

22 Teorem 1.7 : Tabanlar ortak olan iki ikizkenar üçgenin tepe noktalar n birlefltiren do ru parças, tepe aç lar n n aç ortay d r. Aç klama : Teorem ifadesine göre [BC] kenar ABC ve DBC ikizkenar üçgenlerinde ortak ve AD do rusu bu üçgenlerin tepe noktalar n birlefltiren do ru ise, A 1 A ve D 3 D 4 tir. ÖRNEK 1 : Yandaki flekilde KN =KL, MN =ML, m(kml) = 5 ve m(mkn) = 55 oldu una göre KNM aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM : N ve L noktalar n cetvelle birlefltirelim. Bu durumda tabanlar [NL] olan iki ikizkenar üçgen oluflur. [KM] bu üçgenlerin tepe aç lar n n aç ortay oldu undan, m(kmn) = m(kml) = 5 dir. KMN üçgeninde, m(knm) + m(nkm) + m(kmn) = 180 olup, m(knm) = 180 ve m(knm) = 100 bulunur.

23 ÖRNEK : KLM üçgeninde KL =KM, KT kenarortay ve m(m) = 65 oldu una göre TKL aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM : KLM üçgeninde KL = KM oldu undan bunlar n karfl lar ndaki aç lar n ölçüleri de efltir. m(l) = m(m) = 65 olur. Bu durumda K tepe aç s n n ölçüsü, m(l) + m(m) + m(k) = m(k) = 180 m(k) = 50 olur. kizkenar üçgende tabana ait kenarortay tepe aç s n n ayn zamanda aç ortay oldu undan, olur. m(tkl) = 50 m(tkl) = 5 3

24 Teorem 1.8 (Aç -Kenar-Aç Eflli i) : ki üçgen aras nda yap lan bir efllemede, üçgenlerden birinin iki aç s ve bu aç lar n ortak kenar, di er üçgenin bunlara karfl l k gelen elemanlar na efl ise, üçgenler efltir. Bu eflli e k saca A.K.A. eflli i denir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre ABC DEF efllemesinde; A D B E AB DE ise ABC DEF olur. Teorem 1.9 : Bir üçgenin bir kenar n ortalayarak kesen ve ikinci bir kenar na paralel olan do ru, üçgenin üçüncü kenar n da ortalayarak keser. Aç klama : Teoremin ifadesine göre d do rusu ABC üçgeninin [AC] kenar n P noktas nda ortalayarak kessin. d // [BC] ve d do rusunun [AB] n kesim noktas K ise, KA = KB dir. 4

25 Teorem 1.10 : Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait kenarortay n uzunlu u, hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre flekilde ABD üçgeninin A aç s n n ölçüsü 90 ve [AD], [BC] kenar na (hipotenüse) ait kenarortay ise AD = 1 oldu unu gösterelim. BC spat : D noktas ndan üçgenin AC kenar na bir paralel do ru çizelim. AC AB oldu undan, DE AB olur. (Birbirine paralel olan do rulardan biri verilen bir do ruya dikse di erleri de diktir.) Di er taraftan DE // CA oldu undan "Teorem 1.9"a göre DE, AB kenar n da ortalar, yani AE = BE olur. DAB üçgeninde DE taban n n ortak dikmesi oldu undan, DAB ikizkenar bir üçgendir. Dolay s yla, DA = DB dir. Ayr ca DB = DC ve BC =. DB oldu unu biliyoruz. DB yerine DA yazarsak, BC =. DA ve buradan, DA = 1 BC olur. SONUÇ : Dar aç lar ndan birinin ölçüsü 30 olan bir dik üçgenin, bu aç karfl s ndaki kenar n n uzunlu u hipotenüs uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : fiekle göre; m(c) = 30 ise AB = 1 BC dir. 5

26 Teorem 1.11 : Bir üçgenin iki kenar n n orta noktalar n birlefltiren do ru, üçüncü kenara paralel ve uzunlu u, üçüncü kenar uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : ABC üçgeninde; AD = BD ve AE = EC ise [DE] // [BC] ve DE = 1 BC dir. ÖRNEK 1 Yandaki flekilde E ve F s ra ile [BC] ve [AC] kenarlar na ait orta noktalard r. AB = 3x + 1 ve EF = x + 3 oldu una göre EF kaç birimdir? ÇÖZÜM : "Teorem 1.11"e göre EF = 1 AB dir. Eflitlikte verilenleri yazarsak, x + 3 = 1 (3x + 1) olur. Denklemin çözülmesiyle, x = 5 ve dolay siyle, EF = x + 3 ve EF = 8 birim bulunur. 6

27 ÖRNEK Yandaki ABC üçgeninde m(a) = 90 ve AK, ait kenarortayd r. AB = 6, AC = 8 oldu una göre AK uzunlu u kaç birimdir? BC ye ÇÖZÜM : ABC dik üçgen oldu undan pisagor ba nt s na göre, BC = AB + AC BC BC = = 100 ve BC = 10 bulunur. Teorem 1.10 a göre AK, hipotenüs uzunlu unun yar s d r. Yani, AK = 1 BC AK = AK = 5 birimdir. ÖRNEK 3 : fiekilde m(b) = 90, m(a) = 30 ve AC = 8 oldu una göre AB uzunlu unu bulunuz. ÇÖZÜM : Bir dar aç s n n ölçüsü 30 olan bir dik üçgende, bu aç karfl s ndaki kenar hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflit oldu undan, BC = 1 AC fi BC = 1. 8 = 4 olur. Di er taraftan pisagor ba nt s ndan, AC = AB + BC AB = 8 4 AB = 4 3 7

28 ÖRNEK 4 : fiekilde AB = CD = 7, CK = x + ve BK = x + 4 tür. m(a) = 55, m(d) = 30 ve m(ckd) = 95 oldu una göre AK kaç birimdir? ÇÖZÜM m(akb) = m(ckd) = 95 (ters aç lar) m(b) = m(akb) + m(a) (Teorem 1.1) m(b) = ( ) = 30 m(b) = m(d) = 30...(1) CKD üçgeninde; m(c) = ( ) = 55 dir. m(a) = m(c) = 55...() AB = CD = 7 (veriliyor) (1), () ve (3) numaral eflitliklerden "Teorem 1.8" egöre ABK CDK olur. KB =KD x + 4 = 6 x = (tan mdan) KA = KC = x + = + = 4 birim (tan mdan) bulunur. 8

29 Teorem 1.1 (Kenar-Kenar-Kenar Eflli i) : ki üçgen aras ndaki bir efllemede, karfl l kl kenarlar birbirine efl ise, üçgenler efltir. Bu eflli e K. K. K. eflli i denir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre ABC DEF efllemesinde, [AB] [DE], [BC] [EF] ve [AC] [DF] ise ABC DEF dir. ÖRNEK 1 fiekilde T, [RS] kenar n n orta noktas ve [PR] [PS] veriliyor. PRT PST oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM [TR] [TS] (T, [RS] n n orta noktas ) [PT] [PT] (özefllik) [PR] [PS] (verildi) PRT ve PST üçgenlerinin karfl l kl kenarlar efl oldu undan, üçgenlerde K.K.K. efllik teoremi gere ince, PRT PST olur. 9

30 ÖRNEK : ABC KLM oldu u biliniyor. fiekilde verilenlere göre x kaç olmal d r? ÇÖZÜM ABC KLM oldu una göre, AB = KL, BC = LM ve AC = KM dir. O hâlde, BC = LM 17 = x + 5 x = 6 bulunur. KONUNUN ÖZET * ki üçgenin köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; karfl l kl kenarlar ve karfl l kl aç lar efl oluyorsa, bu üçgenler efl üçgenlerdir. * Efl üçgenlerin karfl l kl kenarortaylar, karfl l kl aç ortaylar ve karfl l kl yükseklikleri efltir. * Üçgenlerin eflli ini üç kenar ve üç aç dan daha az elemanla belirtebiliriz: Kenar-Aç -Kenar (K.A.K.) Aksiyomu : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl ikifler kenarlar ile bu kenarlarla belirlenen aç lar efl ise üçgenler efltir. Aç -Kenar-Aç (A.K.A.) Teoremi : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl ikifler aç lar ile bu aç larda ortak olan kenarlar efl ise üçgenler efltir. 30 Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Teoremi : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl üçer kenarlar efl ise üçgenler efltir.

31 ARAfiTIRMALAR 1. fiekilde BA = BC ve AD = AC dir. m(c) = 68 ise m(bad) kaç derecedir?. Yandaki dörtgenin kenar uzunluklar ayn birim cinsinden veriliyor. [AC] n n uzunlu u tam say olarak ayn birim cinsinden en az kaç olur? 3. Yandaki dörtgende A,B ve D açılarının ölçüleri ard fl k üç çift say d r. m(bcd) = 16 oldu una göre bu aç lardan ölçüsü en büyük olan kaç derecedir? 4. fiekilde DC // AB, DA =DC ve AB =AC dir. m(acd) = 34 oldu una göre m(abc) kaç derecedir? 5. Şekilde CK =CB, m(a) = 35, m(k) = 78 ve m(ack) = 15 olduğuna göre ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasındaki sıralama nasıldır? 31

32 ÜN TE I DE ERLEND RME SORULARI 1. ABC DEF oldu una göre afla daki eflliklerden hangisi do rudur? A) AB = DF B) BC = DE C) AC = DF D) BC = DF. KLM ve PRS üçgenleri aras nda KL = PR, m(k) = m(p) ve KM =PS eflitlikleri verildi ine göre afla daki eflitliklerden hangisi yanl flt r? A) m(l) = m(r) B) m(m) = m(p) C) LM = RS D) m(m) = m(s) 3. Bir ABC üçgeninin [BC] kenar na ait yükseklik bu kenar D noktas nda kesiyor ve BD = DC oluyor. Buna göre afla daki eflitliklerdan hangisi yanl flt r? A) AB =AC B) AC =DC C) m(abd) = m(acd) D) m(bad) = m(cad) 3

33 4. Birer dar aç lar efl olan iki dik üçgenin efl olabilmesi için en az hangi koflul bilinmelidir? A) Hipotenüslerinin efl olmas B) kifler kenar n n efl olmas C) Üçer kenar n n efl olmas D) Di er aç lar n n da efl olmas 5. Afla daki özelliklerden hangisi ikizkenar üçgene ait de ildir? A) Kenarlar ndan ikisi efltir. B) Kenarlar ndan ikisinin yüksekli i eflittir. C) Aç lar ndan birisine ait aç ortay karfl kenar ortalar. D) Üç aç s n n ölçüleri de birbirinden farkl d r. 6. fiekilde görüldü ü gibi, m(p) = 70,, [OH] [PR] ve PH = HR verilmifltir. Buna göre KOR aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 160 B) 140 C) 10 D)

34 7. Yandaki flekilde m(bac) = 100, m(acd) = 30 ve AB = AD olarak veriliyor. DAC aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 15 B) 0 C) 30 D) fiekildeki üçgende m(edf) =. m (DFG) dir. DG, EDF aç s n n aç ortay oldu una göre afla daki eflitliklerden hangisi do rudur? A) DG = EG B) DG =GF C) DE = EG D) m(dgf) = m(edf) 9. Bir ABC üçgeninin B ve C köflelerindeki d fl aç lar n aç ortaylar K noktas nda kesifliyorlar. m(b) = 60 ve m(c) = 0 olduğuna göre; BKC açısının ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 34

35 10. Şekilde KB BC,LC BC, m( K) = 50 ve m(b 1 ) = m(b ) olduğuna göre x ile belirtilen BPC açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) 105 B) 95 C) 60 D D) Afla daki ABC üçgeninde A aç s genifl aç d r. AB = 8 ve AC = 11 ise BC nun alabilece i en büyük tam say de eri kaç olur? A) 19 B) 18 C) 17 D) 1 1. fiekilde m(bac) = 90 dir. ABC üçgeninin hipotenüsüne ait yüksekli i AH ve m(acd) = 140 oldu una göre BAH aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 50 B) 45 C) 40 D) 5 35

36 13. fiekilde m(def) = 90, DG =GF ve m(f) = 30 oldu una göre afla daki eflitliklerden hangisi yanl flt r? A) DE = DG B) DG = EG C) DE = EF D) DE = GF 14. fiekilde; DC =AD, m(acb) = 30 ve aç s kaç derecedir? AH BC oldu una göre HAD A) 0 B) 30 C) 40 D) fiekilde; [OM, BOL aç s n n aç ortay ; [OK ise AOL aç s n n aç ortay d r. [OL KB ve m(bmo) = 130 ise OKL aç s n n ölçüsü kaç derecedir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 36

37 16. KLM PRS ifadesine göre afla dakilerden hangisi do rudur? A) [KM] [PR] B) [LM] [PR] C) [KM] [PS] D) [LM] [SP] 17. Afla daki flekilde KLM PRS ve s rayla T, U, V noktalar ile E, F, G noktalar üçgenlerin kenarlar n n orta noktalar d r. Buna göre afla daki eflliklerden hangisi yanl flt r? A) [PT] [KE] B) [SV] [MG] C) [PS] [LF] D) [RU] LF] 18. fiekilde; AP = PB, AR = RC, BC = x + 6 ve PR = x - olarak veriliyor. PR kaçt r? A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 37

38 19. Bir ABC üçgeninde; m(a) = 90, m(b) = 60, AB = 3x ve BC = 5x + olduğuna göre, AB doğru parçasının uzunluğunun sayısal değeri kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 0. Afla daki flekilde; ABC DEF, AC = 3x +, DF = 5 ve AB = 4x oldu una göre DE kaçt r? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 38

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1

Detaylı

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

GEOMETR 1 ÜN TE II AÇILAR

GEOMETR 1 ÜN TE II AÇILAR ÜN TE II AÇILAR 1. AÇI VE ADLANDIRILMASI 2. AÇILARIN YÖNLEND R LMES 3. B R AÇININ Ç VE DIfi BÖLGES 4. KOMfiU AÇILAR 5. B R AÇININ ÖLÇÜSÜ 6. TERS AÇILAR 7. AÇI ÇEfi TLER 8. TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR 9.

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

sözel geometri soruları

sözel geometri soruları YAYINLARI sözel geometri soruları LYS Konu Testi: 01 1. Bir üçgenin bir iç aç s n n ölçüsü di er iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bu üçgen için afla dakilerden hangisi kesinlikle do rudur?

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

PH AB, PH =x kaç cm.dir?

PH AB, PH =x kaç cm.dir? ABCD bir kare. ABCD bir kare. AB =10 cm. m(pcb)=x kaç derecedir? PH AB, PH =x kaç cm.dir? PA ve PB ait oldukları çemberlerin yarıçaplarıdır. PA = AB =PB olduğundan PAB eşkenar üçgendir. m(pab)=60 o AB

Detaylı

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER 4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER KONULAR 1. Geometrik Terimler Doğrular Açılar ve Çeşitleri Üçgenler Dörtgenler Daire Elemanları Geometrik Şekiller 2. Dikmelerin Çizimi Bir Doğruya Üzerindeki Bir Noktadan Dikme

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

2. ÖRNEK: 1. ÖRNEK: DC BC k 2 2. m k ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: AD = DC m(bda)=45 o. m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir?

2. ÖRNEK: 1. ÖRNEK: DC BC k 2 2. m k ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: AD = DC m(bda)=45 o. m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir? ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: 1. ÖRNEK: 2. ÖRNEK: AD = DC m(bda)=45 o m(bad)=m(dbc)=x kaç derecedir? m(bao)=m(oac)=20 o m(bco)=30 o ve m(oca)=10 o m(obc)=x kaç derecedir? 1. AB yi uzatıp, C den CE AE çizelim. AEC

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birinci Bölüm Soru Kitapçığı Türü DENEME-7 Bu sınav iki bölümden

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz.

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. Ad : Soyad : S n f : 2. SINIF Nu. : Kesirler 53 Uygulamal Etkinlik 1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. 4. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay

Detaylı

X +5 iyonunda; n = p + 1 eflitli i vard r. ATOM VE PER YOD K CETVEL ÖRNEK 15: ÖRNEK 16:

X +5 iyonunda; n = p + 1 eflitli i vard r. ATOM VE PER YOD K CETVEL ÖRNEK 15: ÖRNEK 16: A ÖRNEK 15: I. X +5 iyonunun proton say s, nötron say s ndan 1 eksiktir II. 14 Y 2 iyonunun elektron say s, X +5 iyonunun elektron say s ndan 6 fazlad r Buna göre X elementinin izotopunun atom ve kütle

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 =

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 = Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 009 Matematik I Soruları ve Çözümleri. ( ).( + ) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) 6 Çözüm ( ).( + ) 0 ( ).( ) + ( 4 9 ). 6 36 6 36. 6 6. 0, 0,0 0,0 işleminin

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! KİTPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ 8. SINIF MTEMTİK 016 8. SINIF. DÖNEM MTEMTİK DERSİ MERKEZÎ ORTK SINVI 7 NİSN 016 Saat: 10.10 dı ve Soyadı

Detaylı

ÜN TE III L NEER CEB R

ÜN TE III L NEER CEB R ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim

Detaylı

TÜM DERSLER. Dizgi Yazarlar

TÜM DERSLER. Dizgi Yazarlar TÜM DERSLER 978-605-82679-3-0 Yazarlar Dizgi 3 5 9 25 27 33 35 63 83 85 87 93 97 203 277 237 257 263 269 275 287 293 297 309 323 333 339 359 369 383 389 TEST 1 BÖLÜM - I 1.? 4. - TÜRKÇE 2. - - -? - 5.

Detaylı

VI. OLİMPİYAT SINAVI SORULAR

VI. OLİMPİYAT SINAVI SORULAR SORULAR 1. N sayısı 1998 basamaklı ve tüm basamakları 1 olan bir doğal sayıdır. Buna göre N sayısının virgülden sonraki 1000. basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)3 D)6 E) Hiçbiri. n Z olmak üzere, n sayısı n sayısına

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 TEST: 1 1. 4. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 2. 5. A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 96 B) 112 C) 121 D) 128 E) 134 3. 6. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 40 B) 50

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.

Detaylı

72 x 25 iflleminin sonucu ile afla dakilerden hangisinin sonucu eflittir? a. (42 x 5) x 4 b. (72 4) x 100 c. (72 x 10) 4 d.

72 x 25 iflleminin sonucu ile afla dakilerden hangisinin sonucu eflittir? a. (42 x 5) x 4 b. (72 4) x 100 c. (72 x 10) 4 d. 1. 2. 3. 4. 5. GENEL DE ERLEND RME 1 21 308 say s ndaki rakamlar n yerleri de ifltirilerek oluflturulacak befl basamakl say lar küçükten büyü e do ru s ralan rsa bafltan dördüncü say afla dakilerden hangisi

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2: MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl

Detaylı

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

A)1/2 B)2/3 C)1 D)3/2 E)2

A)1/2 B)2/3 C)1 D)3/2 E)2 SORU1: Eşit bölmeli bir çubuğa büyüklükleri 2F,F olan F1,F2 kuvvetleri şekildeki gibi dik olarak uygulanıyor. F1,F2 kuvvetlerinin O noktasına göre momentlerinin büyüklüğü sırasıyla M1,M2 olduğuna göre,m1/m2

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI PROJENİN ADI: EULERİN PEDAL ÜÇGEN FORMÜLÜNÜ KULLANARAK PEDAL DÖRTGENLER İÇİN YENİ BİR FORMÜL GELİŞTİRME MEVKOLEJİ ÖZEL BASINKÖY ANADOLU LİSESİ DANIŞMAN:ELİF

Detaylı

3. Kaynak Dikişlerinin Mukavemet Hesabı

3. Kaynak Dikişlerinin Mukavemet Hesabı İMO - 01 / 2005 BÖLÜM 3 3-1 3. Kaynak Dikişlerinin Mukavemet Hesabı 3.1. Kaynak Dikifli Hesap Kal nl Kaynak dikifli hesap kal nl "a", farkl kaynak dikifli türleri için Tablo 3.1' de verilmifltir. Küt kaynak

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

Do al Say lar. Do al Say larla Toplama fllemi. Do al Say larla Ç karma fllemi. Do al Say larla Çarpma fllemi. Do al Say larla Bölme fllemi.

Do al Say lar. Do al Say larla Toplama fllemi. Do al Say larla Ç karma fllemi. Do al Say larla Çarpma fllemi. Do al Say larla Bölme fllemi. MATEMAT K la Toplama fllemi la Ç karma fllemi la Çarpma fllemi la Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi Ondal k Kesirler Temel Kaynak 4 DO AL SAYILAR Ay, bugün çok yoruldum. Yüz yirmi

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar?

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : S v lar Ölçme Sütun Grafi i Olas l k TEST. 920 ml = L ml Yukar da verilen eflitli e göre + iflleminin sonucu kaçt r? A) 29 B) 60 C) 69 D) 9 2. Çiftçi Ak n bahçesinden

Detaylı

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz.

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. 1. KONU Adı - Soyadı:... Numarası:.. Sınıfı:. Ön Çalışma 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. SALÇA + 11 2. Afla daki nesnelerden koni, prizma ve küreye

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Bir sayının inin fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) Çözüm Sayı olsun.. + +. Bir sınıftaki toplam öğrenci

Detaylı

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42 F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III

Detaylı

ŞİFRELİ MATEMATİK. Sıfırdan Geometri Youtube Şifreli Matematik. Matematik-Geometri Ders Videoları 5 KL?

ŞİFRELİ MATEMATİK. Sıfırdan Geometri Youtube Şifreli Matematik. Matematik-Geometri Ders Videoları   5 KL? Yasal Uyarı: Soruların çözüm videolarına, süper kitaplarıma, güncel konu anlatımları ve daha fazlasına en güncel haliyle adresinden ulaşabilirsiniz de kanalına bekliyorum Başarılar dilerim Soru-1 Soru-4

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan 996 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,09 ın karekökü kaçtır? A) 0,008 B) 0,08 C) 0,8 D) 0, E) 0,0 Çözüm 0,09 9 00 ² 0² ( )² 0, 0 0 0. Rakamları faklı, üç basamaklı

Detaylı

EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ.

EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. DERS : GEOMETRİ KONU : ÜÇGEN EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. AMAN SIKILMAYIN NOT BİRAZ UZUN DA :-) Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

D fl güzel, içi kaliteli OBO WDK Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar

D fl güzel, içi kaliteli OBO WDK Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar D fl güzel, içi kaliteli OBO Kablo Döfleme Kanallar, her zaman, her yere uyar OBO Top Modeller LFS Kablo Kanal Sistemleri Her ölçüde çekici Kablo Döfleme Kanal YEN Gelifltirilmifl ürün kalitesi VDE Belgeli

Detaylı

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80.

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80. Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 9 Haziran 00 Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80 m(abc) = x Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir? A) 40 B) 45 C) 50

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant

Detaylı