A GRUBU SINAV YÖNERGESİ

Transkript

1 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde urşun alem ullanınız. Soru ve cevap ağıtlarına numaranızı ve isminizi müreepli alem ile yazınız. Sınavın il 30 daiasında sınıftan çıılmayacatır. Hesap mainesi ullanma yasatır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı apalı tutunuz. Cep telefonunuzun açı olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacatır. Hesaplamalarınız için soru ağıdındai boş yerleri ullanınız. Soru ağıtları zımbalanmıştır. Soru ağıtlarını birbirinden ayırmayınız. Değerlendirmede 4 yanlış 1 doğruyu götürecetir. Toplam 0 adet soru vardır. Sınav süresi 105 daiadır. Sınavda ders notlarının ullanımı serbest, anca alış verişi yasatır. Başarılar dilerim. SORULAR Doç. Dr. Emrah AKYAR 3. Aşağıdailerden hangisi her zaman doğrudur. a p a (mod p ise p asaldır. B. p 3 p 3 ise p asal sayıdır. C. p a p 1 1 ise p asaldır. D E Bir x tamsayısının asal çarpanlarının sayısı için aşağıdailerden hangisi en uygun üst sınır olara alınabilir? ( x x x! B. C. D. x E. log x/ ln x x 1. 1 ile 700 arasındai tam sayılardan (bu sayılar da dahil aç tanesi 700 ile aralarında asaldır? 70 B. 700 C. 60 D. 660 E m, x, y, z Z ve m, z > 0 ise aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur? i. x y (mod z mx my (mod mz ii. x y (mod z mx my (mod z iii. x y (mod z mx my (mod mz iv. x y (mod z mx my (mod z i. B. ii. C. i. ve iii. D. ii. ve iii. E. i., ii. ve iv. 5. Bir sinema salonunda 10 adet havalandırma fanı bulunmatadır. Havanın temiz alabilmesi için bu havalandırma fanlarından en az birisi çalışır durumda olmalıdır. Kaç farlı şeilde bu durum söz onusu olur? ( 10 9 B. D E. ( !! C. ( ( 10 9 ( 10 ( Güz Dönemi

2 6. Bir üpün rastgele seçilen 3 farlı öşesi ile oluşturulan üçgenin eşenar üçgen olma olasılığı nedir? 6 56 B C. D. E Aşağıdai ifadelerden hangileri doğrudur? i. İstenilen sayıda, hiç birisi asal olmayan ve ardışı pozitif tam sayılar bulunabilir. ii. Asal sayıların sonsuz çoluta olduğu halen anıtlanamamıştır. iii. Verilen bir n sayısına adar olan asalların sayısı yalaşı olara πn ( n e n dir. iv. Keyfi ii Fibonacci sayısı aralarında asaldır. i. B. ii. C. iii. D. i. ve iii. E. i., ii. ve iv. 7. ( 1 0 ( 1 ( 3 ( B. 196 C. 31 D. 400 E. 104 ( 1 =? ile arasındai asalların sayısına aşağıdailerden hangisi en yaındır? 1000 B. 150 C D E Aşağıdai çizgelerden hangisi bir ağaç değildir?. Aşağıdai ifadeler açıldığında hangisinin terim sayısı en fazladır? (x 1 x 7 B. (x 1 x x 3 6 C. (x 1 x x 3 x 4 5 D. (x 1 x x 3 x 4 x 5 4 E. (x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 3 B. C. D. E Güz Dönemi

3 1. Aşağıdai şeillerde bir nehrin ayırdığı ara parçaları ve bu ara parçaları üzerindei öprüler bulunmatadır. Buna göre aşağıdai şeillerin hangisinde her öprüden bir te ez geçen ve başladığı notaya geri dönen bir tur vardır? B. C. 15. Özdeş olmayan n top rastgele olara utuya dağıtılırsa hiçbir utuda 1 den fazla top bulunmama olasılığı nedir? ( n 1 1 ( 1( n 1 ( n 1 1 B. n ( n 1 1 C. ( n 1 1 n D. n E. 1 (n 1 1 ( n 1 1 D. E. 13. Notalarının dereceleri aşağıdailerden hangisi gibi olan bir çizge yotur? (0,1,,3,4,5,6,7 B. (,,,,,,, C. (1,1,1,1,1,1,1,1 D. (0,1,0,1,0,1,0,1 E. (,4,,4,,4,,4 16. V ümesi n elemanlı notalar ümesi ise aç farlı G = (V, E çizgesi oluşturulabilir? ( n ( n B. C. (n ( n D. ( n E. n =0 14. Aşağıdailerden hangisi yanlıştır? (Bu soruda A işisi B işisini tanıyorsa B nin de A yı tanıdığı abul edilecetir. 41 işinin bulunduğu bir topluluta tanıdığı işilerin sayısı çift olan işilerin sayısı tetir. B. 4 işinin bulunduğu bir topluluta heresin tanıdığı işi sayılarının toplamı çifttir. C. 41 işinin bulunduğu bir topluluta heresin tanıdığı işi sayılarının toplamı tetir. D. 4 işinin bulunduğu bir topluluta tanıdığı işilerin sayısı te olan işilerin sayısı çifttir. E. 41 işinin bulunduğu bir topluluta tanıdığı işilerin sayısı te olan işilerin sayısı çifttir. 17. Kullanıcılar için uzunluğu 6 ile arater arasında ve en az bir arateri raam olan ( a ile z arasındai 6 üçü harf ve 0, 1,..., 9 raamlarından biri şifreler üretilece olursa aç farlı şifre üretilebilir? ( ( ( B. 36 6( ( 166 ( ( ( [( C D. 6 ( 5 6( ( 310 ( E ( 6 7 ( 1 ( 6 ( 4 5 ] Güz Dönemi

4 1. 1 ile başlayan veya 00 ile biten, arater uzunluğunda aç farlı binary string vardır? ( F 10 (10. Fibonacci sayısı B. C. 5 D. 5 =1 E gcd(191, 3 =? 1 B. C. 137 D. 74 E Aşağıdai şeillerden hangisi alemi aldırmasızın ve çizilen bir enarın üzerinden terar geçilmesizin çizilebilir? B. C. D. E Güz Dönemi

5 = olduğundan ÇÖZÜMLER ( φ(700 = ( 1 1 ( 1 1 = İçerme dışlama prensibiyle de çözülebilir. Baınız ders itabı sayfa 115, çözümlü örne.. x y (mod z z (y x Buradan mz (mx my, z (mx my ve z [(my (m x] olduğundan i, ii ve iv doğrudur. Anca, 5 (mod 3 olmasına arşın 51 1 (mod 31 olduğundan iii doğru değildir. 3. Fermat ın üçü teoremine göre, p asal ve a ile p aralarında asal ise p a p 1 1 O halde p = 31 ve a = 30 alınırsa, x sayısı x = p 1 p p n, i = 1,,... n için p i şelinde asal sayıların çarpımı şelinde yazılsın. Bu durumda her bir asal sayı yerine bu asal sayıların en üçüğü olan yi yazarsa n x Buradan n log log x ve n log x sonucuna ulaşılır (Ders itabı çözümlü alıştırma Havalandırma fanlarını F = { f 1, f,..., f 10 } gibi gösterece olursa istenen F ümesinin boş ümeden farlı alt ümelerinin sayıdır. Bu sayıda 10 1 dir. 6. Küpün öşesi olduğuna göre oluşturulabilece tüm üçgenlerin sayısı ( 3 = 56 Üçgenlerin eşenar üçgen olabilmesi için seçilen üçgenin herbir enarının üpün ayrı bir yüzünde olması yani üpün yüzünün öşegeni olması gereir. Küpün her bir öşesi 3 farlı yüzün öşegenini belirler. Eşenar üçgen oluşturma için bir öşeden çıan bu 3 öşegenin iisinin ullanılması gerelidir. Bu işlem ( 3 = 3 farlı şeilde yapılabilir. tane öşemiz olduğundan 3 eşenar üçgen seçebiliriz. Anca, bu durumda her bir üçgeni 3 ez saymış oluruz. O halde eşenar üçgenlerin sayısı 3 3 = olmalıdır. Böylece istenen cevap 56 elde edilir. 7. Ders itabı sayfa 53 te verilen ( n 0 ( ( ( ( n1 n n n1 = 1 ( 101 eşitliğini n = 1 ve = 0 için ullanırsa cevap, = 0 1 = 31. Her bir ifadenin terim sayısını hesaplayalım: (x 1 x 7 ( = ( 1 = (x 1 x x 3 6 ( = ( = (x 1 x x 3 x 4 5 ( = ( 3 = 56 (x 1 x x 3 x 4 x 5 4 ( = ( 4 = 70 (x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 3 ( = ( 5 = 56 olduğundan en fazla terim (x 1 x x 3 x 4 x 5 4 ifadesinde yer alır. ( =! 0!0! = 9. Ders itabı sayfa 93 Teorem 6.4. den dolayı i doğrudur. Teorem ve Teorem ten sırasıyla ii ve iii yanlıştır. Ayrıca F 3 = ve F 6 = Fibonacci sayıları aralarında asal olmadığından iv de yanlıştır. 10. Teorem e göre (Asal Sayı Teoremi π(10000 ln ln sayısını yalaşı olara hesaplayalım: ln = ln 10 ln 10 sayısını ço aba bir tahminle ln e = gibi düşünere π( = 150 alabiliriz. (Not: gerçe sayı 19 dur 11. çizgesi te parça olmadığından bir ağaç olamaz. 1. Kara parçalarının düğüm notaları öprüleri ise bu notaları birleştiren enarlar gibi düşünere seçenelere arşılı gelen çizgeler oluşturulursa, Güz Dönemi

6 1. A ümesi arater uzunluğunda ve 1 ile başlayan binary stringlerin ümesi ise A = 7 B ümesi 00 ile biten arater uzunluğundai binary stringlerin ümesi ise B = 6 Ayrıca 1 ile başlayıp, 00 ile biten arater uzunluğundai binary stringlerin sayısı da A B = 5 olduğundan cevap A B = A B A B = Euclid bölme algoritmasını ullanırsa, Bu çizgede derecesi te olan nota olmadığından soruda istenen gibi bir tur (Euler turu vardır. 13. Çizgenin notası olduğuna göre derecesi aynı anda 7 ve 0 olan ii nota olamayacağından notalarının dereceleri (0,1,,3,4,5,6,7 olan bir çizge yotur. 0. gcd(191, 3= gcd(1370, 191= gcd(54, 1370= gcd(74, 54= gcd(0, 74= Bir çizgede tüm notaların dereceleri toplamı çift sayı (enar sayısının ii atı olduğundan herhangi bir topluluta heresin tanıdığı işi sayılarının toplamı te olamaz. 15. Bu soruyu doğum günü problemi gibi düşünebiliriz ( tane gün n tane öğrenci. Hiç bir oşul olmasızın n tane farlı top tane utuya } {{ } = n farlı biçimde n tane dağıtılabilir. Şimdi n tane topu bir utuda ii tane olmayaca şeilde dağıtalım: İl topu utudan herhangi birine, iinci topu alan 1 utudan herhangi birine, böyle devam edece olursa, n. topu alan n1 utudan herhangi birine oyarsa hiç bir utuda ii top olmaz. Böylece cevap ( 1( n1 n Şeli bir çizge gibi düşünece olursa şelin soruda istendiği gibi çizilebilmesi için derecesi te olan notaların sayısının ya ya da 0 olması gereir. Tüm notaların dereceleri yazılırsa, yandai gibi Te dereceli nota sayısı tam olara olduğundan şeil, bu notaların birinden başlayıp, diğerinde bitece şeilde soruda istendiği gibi çizilebilir Kenarlar ümesi notalar ümesinin ii elemanlı alt ümelerinden oluştuğuna göre çizgedei toplam enar sayısı ( n Çizgelerde bu enarların her birisi için ii durum söz onusudur: Kenar alt çizgeye aittir ya da değildir. O halde cevap (n arater uzunluğunda hiç raam bulundurmayan şifrelerin sayısı 6 6 ve 6 arater uzunluğundai tüm stringlerin sayısı ise 36 6 olduğundan 6 arater uzunluğunda istenen stringlerin sayısı Benzer şeilde 7 ve arater uzunluğundai stringleri sayısı da hesaplanır. O halde cevap bu üç ifadenin toplamı yani = 36( ( Güz Dönemi