Adi diferansiyel denklemler notlari. Arzu Erdem

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Adi diferansiyel denklemler notlari. Arzu Erdem"

Transkript

1 Adi diferansiyel denklemler notlari Arzu Erdem c 9/ Güz dönemi mühendislik notları. Kayley Rectorys- Survey of Applicable Analysis. William Boyce and Richard DiPrima - Elementary differential equations and boundary value problems 3. Shepley Ross - Introduction to ordinary differential equations Kaynaklar: 4. Nail Ibragimov - A practical course in differential equations and mathematical modeling 5. Nese Dernek ve Ahmet Dernek- Diferansiyel denklemler 6. Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları - Mehmet Aydın, Beno Kuryel, Gönül Gündüz, Galip Oturanç 7. B.Demidovitch - Matematik analiz ve alistirma problemleri derlemesi iletişim için : gmail.com, web page: 5 Agustos 9

2

3

4 Contents List of Figures List of Tables v vii Chapter. Giriş. Matematiksel modeller. Eğri ailesinin diferansiyel denklemleri 5 Chapter. Diferansiyel denklemler ve onların çözümleri 7 3. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırması 7 4. Temel Kavramlar 7 Chapter. Birinci mertebeden ADD 3 5. y = f ) formundaki denklemler 3 6. y = f y) formundaki denklemler 4 7. Değişkenlerine ayrılabilen ADD 5 8. Homojen ADD ) 8 9. y = f a+b y+c a +b y+c formundaki ADD 9. Lineer ADD. Bernoulli denklemi 4. Riccati Denklemi 6 3. Tam ADD 8 4. İntegrasyon Çarpanı 3 Chapter 3. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları Dik Yörüngeler Mekanik problemleri Oran Problemleri 4 8. Popülasyon Problemleri Karışım Problemleri 44. Elektrik Devre Problemleri 45 Chapter 4.. mertebeden yüksek dereceli ADD 5 6. y = f,p) formundaki ADD 5 7. = f y,p) formundaki ADD 5 8. Lagrange Denklemi Clairaut Denklemi 54 Chapter 5. Yüksek Mertebeden Lineer ADD 57. Giriş 57. Lineer homojen ADD için temel teoremler Mertebenin indirgenmesi Sabit katsayılı homojen lineer ADD 6 5. Homojen olmayan ADD 6 6. Cauchy-Euler denklemi 7 Chapter 6. Sabit katsayılı İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları 73 iii

5 iv CONTENTS 7. Salınım Hareketi Elektrik Devre Problemleri 75 Chapter 7. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Lineer sistem türleri İki bilinmeyenli iki denklem) Diferansiyel operatörler 8 3. Sabit katsayılı lineer sistemler için operatör yöntemi 8 3. Normal Formda lineer denklem sistemleri İki bilinmeyenli iki denklem) 84 Chapter 8. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Uygulamaları Salınım Hareketi Elektrik Devre Problemleri Karışım Problemleri 96 Chapter 9. Nümerik Yöntemler Euler yöntemi Runge-Kutta Yöntemi 38. Sistemler için Euler yöntemi Sistemler için Runge-Kutta yöntemi 9 Chapter. Laplace Dönüşümü 5 4. Laplace ve Ters Laplace dönüşmü 5 4. Türev ve İntegrallerin Laplace Dönüşümü 8 4. BDP problemlerine uygulamaları Basamak Fonksiyonu Heaviside Fonksiyonu) Bibliography 7 Bibliography 7

6 List of Figures 37.Örnek. için ve Örnek. için 7 v

7

8 List of Tables vii

9 CHAPTER Giriş. Matematiksel modeller Türevleri içeren denklemlere kısaca diferansiyel denklem denir. Böylece akışkan haraketi, elektrik devresindeki akımı, katı bir nesnedeki ısı transferi, sismik dalgaların belirlenmesi, popülasyon artımı vey azalması ve daha birçok benzeri problemleri anlamak ve onları incelemek için diferansiyel denklemler hakkında bilgi sahibi olmak gerekmektedir. Diferansiyel denklemler, fiziksel modeli ifade ederler ve matematiksel model şeklinde adlandırlırlar. Diferansiyel denklemleri çözmenin temel amacı fiziksel yöntemi ifade eden matematiksel model hakkında birşeyler öğrenmeye çalışmaktır Kompleks ve doğal bir yöntemi anlamak aslında onu en basite indirgemekten geçer. Böylece bu modelleri ifade eden denklemler hakkında bilgiler ve onların çözümleri için öncelikle onların basit modelleri hakkında bilgi sahibi olmalıyız.... Populasyon modeli. Thomas Robert Malthus tarafından 978 yılında geliştirilmiş olan bir problemdir. Onun modeline göre populasyon orantılı olarak artmaktadır ve populasyonu P ile gösterdiğimizde, aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edilmektedir. dp = αp, α = sabit > dt Böylece limitsiz büyüme bu diferansiyel denklemin çözümü olan ve eponansiyel kural olarak da adlandırılan P t) = P epαt t )) fonksiyonuileifadeedilmektedir. BuradaP, t = t anındakipopulasyonvep t)isekeyfitanındakipopulasyon olarak gösterilmektedir. Daha sonraları bu modelin çok gerçkeçi olmadığı gözlenerek, model mantıksal model olarak adlandırlılmıştır ve dp dt = αp βp, α,β = sabit diferansiyel denkelemi ile ifade edilmiştir... Ekoloji: Radyoaktif atık ürünler. Radyoaktiviti, yüksek atom ağırlıklı uranyum minerali gibi) elementlerin kırılması sonucu elde edilir. Yapay radyoaktiviti kimya, tıp ve nükleer enerji gibi alanlarda çok kullanışlıdır. Fakat nükleer enerjinin endüstrisel kullanımı son derece dikkat gerektiriyor. Çünkü radyoaktif atık maddeler populasyon açısından tehlike oluşturmaktadır. Radyoaktif bozulmanın matematiksel ifadesi, bozulma ile orantılı olarak ifade edilir ve diferansiyel denklemi du = ku, k = sabit > dt burada U maddenin keyfi t anındaki rayoaktiflik oranını göstermektedir. Bu denklemin çözümü şeklinde ifade edilir. U t) = U ep kt t )).3. Kepler kanunu ve Newton un yerçekimi kuralı. Bilindiği üzere eski yunan biliminde gezegenlerin güneş ekseni etrafında dairesel hareketler ile döndüğü iddia edilmişti. 69 yılında Kepler tarafından gezegenlerin güneş etrafında eliptik hareketler ile döndüğü kanıtlanmıştır. Bu kuram Kepler in. ve. kuralları olarak da adlandırılmaktadır. Kepler gezegenlerin nasıl hareket ettiği sorusunun cevabını vermiştir ancak neden sorusunun cevabı daha sonra Galileo Galilei ve Newton tarafından verilmiştir. Newton un yerçekimi kuralına göre, güneş ve gezegenler arasında çekim kuvveti F = α r3, α = GmM

10 . GIRIŞ olarak ifade edilmiştir. Burada G genel yerçekimi sabiti m ve M sırasıyla gezegen ve güneşin kütleleridir. Böylece gezegenlerin çekimleri altında güneşin hareketini ihmal edersek m d dt = α r3, α = sabit Newton un. kuralı olarak ifade edilmiştir. Bu problemin integral alınması ile elde edilen problem de Kepler problemi olarak adlandırılmıştır..4. Dünya yakınında serbest düşme hareketi. Dünya üzerinde, yerçekiminin sabit olduğunu varsayarak serbest düşme hareketini ele alalım. m = sabit kütlenin ağırlığı h yükseklik t zaman g 98 cm/sn sürtünme ivmesini göstermek üzere, sürtünme kuvveti olarak gösterilir ve Newton denklemi olarak yazılır. Bunun çözümü olarak bulunur. Burada c,,c keyfi sabitlerdir. F = mg d h dt = g h = g t +c t+c.5. Soğutma ısınma) için Newton modeli. Soğutma ısınma) olayı, hayatımızın her alanında kullanılan bir işlemdir. Havayı soğutma işlemleri, fırını ısıtma vb. Newton un soğutma kuramı olarak adlandırılan model dτ = kt t), k = sabit > dt ile ifade edilir. Burada T t) soğutulan nesnenin hiçbir etki göstermediği sıcaklıktırdoyum noktası). τ t) keyfi t anındaki sıcaklık ve t zamanı göstermektedir. Bir binanın klima tarafından ısıtıldığını varsayalım. Ht) ile sıcaklığın artım oranını At) ile sıcaklığın değişim oranını gösterirsek, yukarıdaki denklemi olarak düzenleyebiliriz. dτ dt = kt t)+h t)+at).6. Mekanik titreşim ve Sarkaçlar. Yaprakların rüzgarda hışırtısı, suyun dalgalanması bu modeller için bazı fiziksel olaylardır. En temel salınım hareketi, bir yere sabit asılı olan bir bobinden ağır bir cisimin ileri geri hareketidir. Hooke yasasına göre başlangıç anından karşı tarafa olan hareketi F = ky, k = sabit olarak yazılır. Burada y yerdeğiştirmeyi gösterir. Sürtünme kuvvetini de F = l dy dt olarak yazabiliriz. f t) ile toplam dış kuvveti rüzgar) gösterirsek, Newton un. kuralına göre ve model F = F +F +f t) m d y dt +ldy +ky = f t) dt.7. Asfaltların çökmesi. Asfaltların periyodik biçimde çökmesi aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edilir µ d4 u d 4 = f burada u yolun düz pozisyonundan çökmesi sonucu elde edilen yer değiştirmesi ve f merkezkaç kuvvetinin yoğunluğudur.

11 . MATEMATIKSEL MODELLER 3.8. Van der Pol denklemi. Elektrik kondensatorlerinin devreleri arasındaki elektrik akımı C dv = I, V LdI dt dt = RI olarak yazılır. Burada It) akım, V t) voltaj, R resistans, C kondensatorün kapasitesi, L bobinin indüktansını göstermektedir. Burada V yi y ile gösterirsek, modeli olarak yazabiliriz. a = LC, b = RC, c =. ay +by +cy =.9. Telegraf denklemi. Elektrodinamikte, kablolar üzerindeki akımı ifade eden denkleme telegraf denklemi denir ve modeli aşağıdaki şekilde ifade edilir: v tt c v +a+b)v t +abv =, c = CL, a = G C, b = R L C = kapasite, L = kendini indükleme, R = resistans, G = kaçak... Mawell denklemi. Elektromagnetik alan bileşene sahiptir. E elektrik alanı gösteren vektör ve H magnetik alanı gösteren vektör. Buna göre model bir çift denklemden oluşur: E t H t = c H) 4πj, E = 4πρ = c E), H = j ve ρ elektrik akım ve yüklenme yoğunlukları, c 3 ışık hızını göstermektedir. Bu denklem sistemini fizikte genelde şeklinde gösterilir. E c t H c t = curlh 4π c = curle, divh = j, dive = 4πρ.. Navier-Stokes Denklemi. Yapışkan maddelerin akımı bu tür denklemler ile ifade edilir v t +v. )v + p = v v ρ p basınç, ρ yoğunluk, v akışkanın hızını göstermektedir... Sulamairrigation) sistemlerinin modellemesi. Sulama sistemlerinin matematiksel modeli Cψ)ψ t = Kψ)ψ ) +Kψ)ψ z )) z Sψ) şeklindedir. Burada ψ topraktaki nem basıncı, Cψ) toprağın su kapasitesi, Kψ) hidrolik iletkenliğin doyum oranı, Sψ) kaynak fonksiyonu, t zaman, yatay eksen, z dikey ekseni göstermektedir..3. Isı denklemi. Yayılmadifüzyon) yönetmelerini ifade eden modeller genel olarak şeklinde ifade edilir. u t = k) u).4. Burgers ve Korteweg-de Vries denklemleri. Burgers denklemi u t = u u +νu genelde akışkanlar mekaniğinde ve nonlinear akustik problemlerinde kullanılmaktadır. Korteweg-de Vries denklemi u t = u u +µu kanallardaki büyük su dalgalarının yayılmasını modeller.

12 4. GIRIŞ.5. Finansta matematiksel model. Matematiksel finanstaki temel çalışmalar dalgalanan stok fiyatlarıdır ve aşağıdaki denklem ile ifade edilir u t + A u +Bu Cu =, A,B,C = sabit..6. Büyüyen tümör modeli. Bu model lineer olmayan diferansiyel denklem ile ifade edilir u t = f u) uc ) c t = gc,p) p t = hu,c) Kp u, c,p sırasıyla hastalıklı hücrenin konsantrasyonu, hücre dışı sıvısı, proteaz enzimlerin parçalanmasını sağlayan enzim grubu)..7. Dalga denklemi. Tel vb. gibi maddeler üzerindeki dalgalanma hareketi ile ifade edilir. u tt k ) u = F,t).8. Diferansiyel Denklemlerin Tarihi. Diferansiyel denklemleri tanımadan ve onların çözümleri hakkında bilgi sahibi olmadan önce biraz tarihinden bahsedelim. Diferansiyel denklemler konusu ilk olarak Isaac Newton64 77)veGottfriedWilhelmLeibniz646 76)tarafında7yüzyıldaçalışılmayabaşlanmıştır. Newton, İngiltere de büyüyüp, Trinity koleji- Cambridge de eğitim almıştır ve 669 da Lucasian tün professötlük hizmetlerinin bağlı olduğu ) profesörü olmuştur. Devrim yaratan çalışmaları hesaplamada ve mekanik prblemlerde, 665 yılında gerçekleşmiştir. Matematik camisaı tarafından kabul görmesine rağmen, Newton eleştiriler hakkında çok hassas olduğundan çalışmalarını 687 ye kadar basmamıştır. 687 yılında çok ünlü kitabı Philosophiae Naturalis Principia Mathematica baılmıştır. Newton diferansiyel denklemler ile çalışmalarını yürütürken,hesaplamada ve mekanikteki temel gelişmeleri Euler tarafından sağlandı. Newton,. mertebeden diferansiyel denklemleri dy/d = f), dy/d = fy), ve dy/d = f,y) formunda sınıflandırdı. Sonrasında ise f,y) ve y nin polinomu olduğunda, serileri kullanarak çözüm yöntemi geliştirdi. Newton un aktif çalışmaları 69 ların başlarında son buldu ve daha önce elde etmiş olduğu sonuçların yayınlanması ve düzenlenmesi çalışmalarını gerçekleştirdi. 696 da British Mint te tekrar profesör oldu. 75 de şövalye olarak ilan edildi ve Westminster Abbey de gömüldü. Leibniz, yaşında Leipzig de Altdorf üniversitesinde, filozofi alanında doktora çalışmasını tamamladı Hayatı boyunca, birkaç alandaki çalışmaları ile meşgül oldu. Öncelikli alanları arasında matematik vardır çünkü li yaşlarında bu alanda çalışmalar gerçekleştirmiştir. Newton dan biraz sonra olmasına rağmen diferansiyel denklemler ile ilgili temel sonuçlara ulaşmıştır fakat 684 te Newton dan önce basılmıştır. Matematiksel notasyonları kullanma konusunda çok iyidir ve türev için dy/d ve integral sembolünün kullanımları ona aittir. 69 yılında değişkenlere ayırma yöntemini vermiştir ve homojen denklemleri, değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemlere indirgemiştir.. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünü 694 yılında vermiştir. Hayatını bir elçi gibi yaşamıştır ve Alma kraliyet ailelerine tavsiyelerde bulunmuştur. Bu görevi sayesinde, çok sayıda gezi düzenlemiş ve yazışmalarını diğer matematikçilere taşıyabilmiştir. Özellikle de Bernoulli kardeşlere. Bu işbirliği sayesinde pek çok problem 7 yüzyılda çözülebilmiştir. Jakob654 75) ve Johann ) Bernoulli kardeşler diferansiyel denklemlerde yöntemler geliştirip bunların uygulama alanlarını genişletmişlerdir. Jakob, 687 de Basel de profesör olmuştur. Johann, kardeşinin 75 yılında ölmesinden sonra aynı göreve getirilmiştir. Her iki adamda kavgacı kıskanç ve özellikle de kendi tartışmalarında sıkça karıştırlırlardı. Yine de her ikisi de matematikte çok önemli gelişmelere imza atmışlardır. Hesaplamaların da yardımı ile mekanikte diferansiyel denklem olarak ifade edilen problemler için çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. 69 da Jacob y = [a 3 /b y a 3 )] / diferansiyel denklemini çözmüştür ve makalesinde ilk defa integral terimine yer vermiştir. 694 te Johann dy/d = y/a. diferansiyel denkleminin çözümünü elde etmiştir. Geliştirdikleri en önemli problemlerden birisi de brachistochrone problemidir. Johann ın oğlu olan Daniel Bernoulli7 78), daha henüz yeni kurulmuş olan St. Petersburg akademisen göç etti ancak 733 de Basel e botanik ve daha sonra da fizik profesörü olarak geri döndü. Temel ilgil alanları arasında kısmi diferansiyel denklemler ve onun uygulamalrı vardı. Örneğin adı, akışkanlar mekaniğindeki diferansiyel denklemlere verilmiştir. Ve ayrıca daha sonra Bessel fonksiyonları olarak adlanadırılacak olan fonksiyonlar ile çalışmıştır.

13 . EĞRI AILESININ DIFERANSIYEL DENKLEMLERI 5 8 yüzyılın en önemli matematikçilerinden birisi de Johann Bernoulli nin öğrencisi olan ve Basel yakınlarında yaşayan Leonhard Euler77 783) dir. 77 de arkadaşı Daniel Bernoulli yi takip ederek St. Petersburg a girmiştir ve yılları arasında St. Petersburg akademisinde de Berlin akademisinde çalışmıştır. Euler bütün zamanın en vermli matematikçilerinde biridir ve tüm çalışmları toplamda 7 dergiyi geçer. İlgi alanı matematiğin ve uygulamanın tüm alanlarını kapsar. Yaşamının son 7 yılını kör olarak geçirmesine rağmen, ölene kadar çalışmlarını devam ettirmiştir. Özellikle de mekaniği matematikde çok iyi kullanırdı. Lagrange, Eulerin mekanik uygulamalrı için analizdeki en önemli çalışma hareketin bilimine uygulandı tabirini kullandı. Diğer çalışmaları ile birlikte de diferansiyel denklemin tamlık koşulunu verdi ve aynı çalışmada integral faktörü teorisini geliştirdi. 743 de sabit katsayılı, homojen lineer denklemler için genel çözüm kavramını verdi de aynı teoriyi homojen olmayan denklemler için genişletti. 75 lerin başlarında, diferansiyel denklemlerin çözümü için kuvvet serisi uygulamalrını geliştirdi lerde nümerik çözüm yöntemleri geliştirdi. Joseph-Louis Lagrange736 83), 9 yaşında Turin de profesör oldu. 766 da Berlin akademisinde Eulerin varisi oldu ve 787 de Paris akademisine geçiş yaptı. En önemli çalışması 788 de basılmış olan Me caniqueanalytique, Newton mekaniğinin çok kapsamlı ve çok güzel bir konusudur de, n. mertebeden homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünün, n tane lineer bağımsız çözümlerinin lineer kombinasyonu olduğunu gösterdi de parametrelerin varyasyonu olarak biline çalışmayı geliştirdi ve kısmi diferansiyel denklemler ile varyasyonel hesaplamalarda çok temel çalışmaları mevcuttur. Pierre-Simon de Laplace749 87) çocukluğunu Normandy de geçirdi ancak 768 de Parise gelerek ve 773 de Acade mie des Sciences ı kazanarak bilimsel çemberde çok önemli gelişmelere imza atmanın başlangıcını yaşadı. Astroloji de mekanik alanında çalışmalarda bulunmuştur. Laplace denklemleri matematiksel fiziğin temel denklemlerini olşturur. Laplace dönüşümlerinin faydası ise sonlara doğru daha iyi anlaşılmıştır. 8 yüzyılın sonlarına doğru diferansiyel denklemlerinin çözüm ile ilgili teori geliştirilmiştir. 9. yüzyılda ise daha teorik bir sorunun cevabı irdelenmiştir: varlık ve teklik. Kısmi dfireansiyel denklemler çalışılmaya başlanmış ve onların matematiksel fiziğe uygulamaları ele alınmıştır. Bazı diferansiyel denklemlerin analitik anlamda çözümlerine ulaşılamaması nümerik çözüm kavramını getirmiştir. 9 lü yıllarda nümerik integral geliştirilmiştir fakat uygulamaları, elle hespalamaların veya ilkel hesaplama araçlarınının kısıtlılığı ile çok yaygınlaşmamıştır. Özellikle son 5 yıl içinde, hesaplama araçlarının ilerlemesi ve uyduya bağlı bilgisayarların varlığı ile uygulama alanları oldukça yaygınlaşmıştır. yüzyıl, diferansiyel denlklemlerin geometrik ve toploji olarak yeni bir kreasyonudur. Amaç, çözümün geometriksel olarak davranış niteliğini anlamaktır. Daha fazla bilgiye ihtiyaç duyulduğunda, nümerik yöntem ile elde edilen veriler kullanılmıştır. Son birkaç yılda bu iki trend birlikte gelmiştir. Bilgisayarlar, lineer olmayan diferansiyel denklem sistemlerinin çalışılmasına hız katmıştır., y) düzleminde eğri ailesini düşünelim. Kapalı formada. Eğri ailesinin diferansiyel denklemleri y = f,c,c,...,c n ).) ϕ,y,c,c,...,c n ) =.) şeklinde yazabiliriz. Burada c,c,...,c n uygun parametrelerdir. Eğrinin kapalı formunda kapalı fonksiyonların türevi kuralını uygulayarak n defa türev alabiliriz. ϕ + ϕ y =,.3) y ϕ + ϕ y + ϕ y y + ϕ y =, y... n ϕ ϕ n y yn) =. n bilinmeyenli sistmede c,c,...,c n parametrelerini yok edersek, F,y,y,...,y n)) =

14 6. GIRIŞ n. mertebeden diferansiyel denklemini elde ederiz. Notasyon..,y,y,...,y n) değişkenlerine bağlı F fonksiyonun tam diferansiyel denklemi D F = F +y F y +y F y + +yn) olarak gösterilir. Buna göre.3) sistemi aşağıdaki şekilde yazılır. Örnek.. Doğrular ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm ϕ = y a b yazarak.4) ten F y n ) D ϕ =, D ϕ =,...,Dn ϕ =.4) D ϕ = y a =, D ϕ = y = son denklem hiç bir parametre içermediği için diferansiyel denklemi. mertebeden lineer denklem olarak y = şeklinde ifade edebiliriz. Örnek.3. Paraboller ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Paraboller ailesini y = a +b +c olarak yazabiliriz. ϕ = y a +b +c fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = y a b =, D ϕ = y a =, D 3 = y = elde ederiz. Böylece paraboller ailesinin diferansiyel denklemi 3. mertebeden lineer denklemdir. Alıştırma.4. Çemberler ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Çemberler ailesini y b) + a) = c olarakyazabiliriz. ϕ = y b) + a) c fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = y b)y + a) =, D ϕ = +y +y b)y =, D 3 = 6y y +y b)y = elde ederiz.. denklemden y b = +y ) /y elde ederiz. Bunu 3. denklemde yerine yazarsak, denklemini elde ederiz. y 3 y y +y = Alıştırma.5. Hiperboller ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Hiperboller ailesini y a)b c) = olarak yazabiliriz. ϕ = y a)b c) fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = b c)y cy a) =, D ϕ = b c)y cy =, D 3 = b c)y 3cy = elde ederiz.. ve 3. denklemden b c) terimini yok edersek, denklemini elde ederiz. y 3 y = y Uyarı.6. Tam diferansiyel ve kısmi diferansiyel arasındaki farkı aşağıdaki şekilde kavrayabilriz:tam diferansiyller D ) =, D y) = y, D y ) = y +y şeklinde iken, kısmi diferansiyel denklemler =, y =, y ) = y

15 CHAPTER Diferansiyel denklemler ve onların çözümleri 3. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırması Tanım 3.. Bilinmeyen fonksiyon ile onun türevleri arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Tanım 3.. Bilinmeyen fonksiyon bir değişkenli ise denkleme adi diferansiyel ADD) ordinary differential equation ODE) denklem denir, eğer fonksiyon çok değişkenli ise kısmi diferansiyel KDD) partial differential equation PDE) denklem denir. Tanım 3.3. n tane bilinmeyen fonksiyonu içeren m adet diferensiyel denkleme kısaca diferansiyel denklem sistemi denir. Burada m ile n eşit olmak zorunda değildir. Tanım 3.4. Denklemin mertebesi, denklemdeki en yüksek mertebedeki türevdir. Benzer şekilde sitemin mertebesi, sistemdeki en yüksek mertebeli türevdir. Tanım 3.5. Bir diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne, bu diferansiyel denklemin derecesi denir. Tanım 3.6. Bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tüm türevleri birinci dereceden ise,diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir.n. mertebeden adi lineer diferansiyel, bağımlı değişken y ve bağımsız değişken olmak üzere, aşağıdaki formda gösterilir. a ) dn y d n +a ) dn y d n + +a n ) dy d +a n)y = b) veya a )y n) +a )y n ) + +a n )y +a n )y = b) Dolayısıyla içerisinde y 3,y ),yy,y y,siny,epy) gibi terimler bulunan denklemler lineer değildir. Bunun yanında denklem,y,sin,ep sin 3),ln türünden ifadeler içerebilir. Örnek 3.7. y + y epy) =,. mertebeden lineer olmayan adi diferansiyel denklemdir. Örnek 3.8. d4 y d + d3 y 4 d + 3 dy 3 d = ep), 4. mertebeden lineer adi defreansiyel denklemdir. Örnek 3.9. u t = k)u veya u t = k) u. mertebeden lineer kısmi diferansiyel denklemdir. Örnek 3.. u u y =, 3 u y u 3 =, 3. mertebeden kısmi diferansiyel denklemler sistemidir. Tanım 4.. Birinci mertebeden ADD ile veya formlarını düşüneceğiz. Tanım 4.. n. mertebden ADD ile F 4. Temel Kavramlar F,y,y ) = F,y, dy ) = 4.) d y = f,y) dy = f,y) 4.) d,y,y,y,...,y n)) = F 7,y, dy ) d, d y dn y d,..., d n = 4.3)

16 8. DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE ONLARIN ÇÖZÜMLERI ya da y n) = f,y,y,y,...,y n )) dn y d n = f,y, dy ) d, d y dn y d,..., d n 4.4) Tanım 4.3. Keyfi g) fonksiyonu özdeş olarak 4.3).denklemini sağlıyorsa g) fonksiyonuna 4.3) denkleminin integrali ya da çözümü denir. bkz Uyarı 4.6) Uyarı 4.4. ADD genelde bir I aralığında tanımlanır. Böylece g) fonksiyonu n mertebeye kadar türevi olan bir fonksiyon ve 4.3) denkleminde y yerine g), y yerine g ),..., y n) yerine g n) ) yazdığımızda 4.3) denklemi sağlanıyorsa, y = g) fonksiyonuna I aralığında 4.3) denleminin bir çözümü denir. Örnek 4.5. y = sin fonksiyonu y +y = denkleminin, ) aralığında bir genel çözümüdür. Uyarı ) denkleminin çözümü y = g) açık formunda olmak zorunda değildir. Aynı zamanda h, y) = kapalı formu ile de verilebilir. Buna göre türevleri kapalı fonksiyonlar için türev formülü kullanılarak bulunur. Böylece benzer şekilde 4.3).denklemi özdeş olarak h, y) = fonksiyonunun her noktasında özdeş olarak sağlanıyorsa h,y) = fonksiyonu 4.3) denkleminin integrali ya da çözümüdür.,y,...,y n) Bkz. Örnek 4.34) Örnek y = 4 fonksiyonu y = y 4.5) denkleminin kapalı formda çözümüdür. + y 4 = çemberinde kapalı fonksiyonlar için türev bağıntısını kullanırsak + yy = elde ederiz, böylece 4.5) denklemi sağlanır.,) ve,) noktalarında y = olduğundan bu noktaları hariç tutmalıyız.bkz. Örnek Örnek 4.34). Uyarı ) denkleminin geometrik yorumu: f, y), Q bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. 4.) denklemine göre her,y) Q noktasında bu noktadan geçen ve eğimi y olan bir doğru doğrusal eleman) vardır. Böylece bu doğruların oluşturmuş olduğu alana kısaca doğrultu alanı denir. Buna göre Q bölgesindeki eğriyi bulmak, doğruların herbir noktasındaki tanjantı bulmaktır. Buna göre. mertebeden y = f,y,y ) denklemi için y yani çözüm eğrisinin eğriliği bulunmalıdır. 3 ve daha yüksek mertebeden ADD için benzeri geomtrik yorumlar yoktur. Tanım 4.9. fonksiyonları y = g ), y = g ),...,y n = g n ) 4.6) y = f,y,y,...,y n ) y = f,y,y,...,y n )... y n = f n,y,y,...,y n ) sistemini özdeş olarak sağlıyorsa, 4.6) fonksiyonlarına sistemin çözümü integrali) denir. Bu durumda da çözümleri kapalı fonkiyon gibi düşünebiliriz. Bkz Uyarı 4.6). Uyarı 4.. n = durumu için y, y fonksiyonları yerine bilinmeyen y,z fonksiyonlarını ele alalım. Buna göre 4.6) fonksiyonları y = g ), z = g ) geometriksel olarak bir eğri tanımlar 3 boyutlu uzayda). Bu sebepten ötürü 4.6) fonksiyonları 4.7) sisteminin integral eğrisi diye adlandırılır. Uyarı 4.. Genel olarak 4.7) sisteminde bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olmak zorunda değildir. Fakat çözüm tanımı aynıdır. Yine de çözümün varlığı ve tekliği hakkında bir genelleme yapmalıyız. 4.7)

17 4. TEMEL KAVRAMLAR 9 Teorem ) sistemi ve P a,b,b,...,b n ) 4.8) noktasını ele alalım. 4.7) sistemindeki f,f,...,f n n + değişkenli ve değişkenleri,y,y,...,y n olmak üzere, P noktasının bir O komşuluğunda, sürekli ve y,y,...,y n değişkenlerine göre sürekli kısmi türevlere sahip fonksiyonlar olsun. O komşuluğunda 4.7) sistemini ve g a) = b, g a) = b,...,g n a) = b n 4.9) koşulunu başlangıç koşulu) sağlayan g ),g ),...,g n ) fonksiyonları vardır ve bu fonksiyonlar tektir. Tanım 4.3. Bir problem diferansiyel denklemi ve belirli koşulları içerir. Problemdeki koşullar in bir değeriyle ilgili ise bu durumda probleme başlangıç değer problemi, in değeri ile ilgili ise sınır değer problemi denir. Örnek 4.4. y +y =, y) = 3 y ) = 4 başlangıç değer problemidir BDP)- initial value problem IVP). Örnek 4.5. y +y =, y) = π y = 5 ) sınır değer problemidir SDP)- boundary value problem BVP). Uyarı 4.6. Uyarı 4. e göre f,f,...,f n fonksiyonları O komşuluğunda yukarıdaki koşuları sağlıyorsa 4.7) sisteminin P noktasından geçen bir tek integral eğrisi vardır. Özel durumda f,y), f,y) 4.) y fonksiyonları P noktasının O komşuluğunda sürekli ise y = f,y) denkleminin bir tek integral eğrisi mevcuttur ve bu eğri P noktasından geçer. Uyarı 4.7. Eğer her [a,b],y,y [c,d] için f,y ) f,y ) K y y 4.) eşitsizliğini sağlayacak şekilde pozitif bir K sayısı bulunabilirse f, y).fonksiyonu y değişkenine göre R a b,c y d) bölgesinde Lipchitz koşulunu sağlar denir. Özel olarak f,y).fonksiyonu y değişkenine göre R bölgesinde türevi mevcut ve f y K 4.) koşulu sağlanıyor ise 4.) koşulu sağlanır. Fakat tersi doğru değildir. Yani y değişkenine göre türevi mevcut olmayabilir fakat 4.) koşulunu sağlayan fonksiyonlar da vardır. Aşağıdaki örnek bununla ilgilidir. Örnek 4.8. f, y) = y fonksiyonu y değişkenine göre kısmi türevi yoktur ancak Lipschitz koşulunu sağlar. Gerçekten y y y y, K = sağlanır.

18 . DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE ONLARIN ÇÖZÜMLERI Teorem 4.9. f,y) fonksiyonu Qa h a+h, b k y b+k) bölgesinde sürekli olsun Sürekli fonksiyon kapalı aralıkta sınırlıdır yani Q bölgesinde f, y) M koşulunu sağlayan pozitif M sabiti mevcuttur.) ve 4.) koşulunu sağlasın. d = min h, k ) M olmak üzere [a d,a+d] aralığında denklemini sağlayan y = g) bir tek çözümü vardır. y = f,y) Uyarı 4.. Lipschitz koşulu ve Teorem 4.9 ye benzer teorem 4.7) sistemi içi de formüle edilebilir. Uyarı 4.. Çözümün varlığı için f, y) fonksiyonun sürekliliği yeterli bir koşulken teklik için yeterli değildir. Örnek 4.. y = ve y = 7 )3 fonksşyonları y = 3 y denkleminin integral eğrisidir. Teorem 4.3. y n) = f diferansiyel denklemini ve P a,b,b,...,b n ) noktasını ele alalım.,y,y,y,...,y n )) 4.3) f, f y, f y,, f y n ) fonksiyonları sürekli olsun. Bu durumda P noktasının bir komşuluğunda 4.3) denklemini ve koşulunu sağlayan y = g) tek çözümü mevcuttur. ga) = b, g a) = b,...,g n ) ) = b n 4.4) Uyarı 4.4. Lipschitz koşulunu kullanarak 4.3) denklemi için Teorem 4.9 ye benzer bir teorem formüle etmek mümkündür. Teorem 4.3 lokal karakterlidir. Yani y n) +a n )y n ) + +a )y +a )y = b) 4.5) denkleminin çözümünün varlığı ve tekliği I aralığında mevcuttur. Uyarı ) denklemi için 4.4) koşulları sağlansın. n+) boyutlu P a,b,b,...,b n ) noktası verilsin. Q bölgesi P noktasını içeren bölge ve 4.3) denkleminin bu noktada Teorem 4.3 e göre tek bir çözümü olsun. Buna göre aşağıda bu tarz denklemler için genel çözüm kavramını tanımlayacağız. Tanım ) denkleminin çözümü n tane bağımsız keyfi sabit içeriyorsa bu çözüme Q bölgesinde 4.3) denkleminin genel çözümü integrali) denir. Uyarı 4.7. Eğer sabitlerden herhangi birisini, diğerleriyle yer değiştirmek mümkün değil ise bu durumda bu sabitlere bağımsız denir. Yani hiç biri gereksiz değil ise. Örnek 4.8. fonksiyonu denkleminin genel çözümüdür. fonksiyonu y = c ep+c ep ) y y y = c ep+c ) y y =

19 4. TEMEL KAVRAMLAR denkleminin genel çözümü değildir. Çünkü olarak yazabiliriz. Uyarı 4.9. Genel durumda c ep+c ) = c ep)epc ) = Kep F,y,y,y,...,y n)) = 4.6) denklemi için genel integralden bahsetmek çok mümkün değildir. Çünkü çözümün tekliği sorusunun öncelikle cevaplanması gerekmektedir. Örneğin y 4 y = 4.7) denklemi aşağıdaki değerler için sağlanır: y = y, y = y Eğer belli bir bölgeden ve ya başlangıç koşullarından bahsediyorsak, 4.6) denkleminin genel çözümünden bahsetmek mümkündür. Tanım 4.3. Eğer her noktada çözümün tekliği koşulu sağlanmıyorsa bu durumda y = f, y) denkleminin çözümüne tekil çözüm integral) denir. Örnek 4.3. y = integral eğrisi y = 3 y ADD nin tekil çözümüdür çünkü, ) noktası boyunca fonksiyonu da diğer bir integral eğrisidir. y = 7 )3 Uyarı 4.3. y = f, y) denklemi bir parametreli genel çözüme sahiptir. Eğer çözüm mevcut ise verilen denklemin tekil integraline eşittir. Uyarı f,y) için dy d = f,y) 4.8) denklemi ile d = f,y) dy 4.9) denklemi denktir. f, y) = durumunda 4.8) denklemi tanımsız iken 4.9) denklemi tanımlıdır. Böylece genelde 4.8) denklemine 4.9) denklemini ekleriz ve 4.8) denkleminin integral eğrisi ile hem 4.9) denkleminin hem de 4.8) denkleminin integral eğrilerinin düşüneceğiz. Örnek çemberi +y 4 = 4.) y = y, ),, ) noktalarında bile ADD nin integral eğrisidir. Çünkü bu noktalarda 4.) fonksiyonu ADD yi sağlar. d dy = y

20

21 CHAPTER Birinci mertebeden ADD 5. y = f ) formundaki denklemler f ) verilen I aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere y = f ) ADD nin genel çözümü y = f )d şeklindedir ve belirsiz integral keyfi sabiti içerir. y ) = y başlangıç koşulu verildiğinde çözüm şeklindedir. y = y + f t)dt Örnek 5.. ADD nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = y = 3 3 d y = 3 +c Örnek 5.. BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = y = 3 y3) = 7 3 d y = 3 +c 7 = 7+c c = y = 3 Örnek 5.3. y = sin ADD nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = sind y = cos+c y = cos+c )d y = sin+c +c 3

22 4. BIRINCI MERTEBEDEN ADD Örnek 5.4. BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = 3 6+ y ) = 3 y = 6+ ) d y = c = 8 +c c = y = Örnek 5.5. y = ep ) y) =, y ) =, y ) = 3 BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = ep )d y = ep )+c y = ep )+c )d y = ep )+c +c y = ep )+c +c )d y = ep )+c y = ep )+ +c +c 3 6. y = f y) formundaki denklemler f y) sürekli bir fonksiyon olmak üzere Bkz. Uyarı 4.33) ADD ni olarak yazabiliriz. Buna göre genel çözüm dir ve eğri,y ) noktasından geçiyorsa çözüm formundadır. Eğer f y ) = ise çözüm şeklindedir. y = f y) d dy = f y) = = dy f y) y y y = y dt f t) = +c 3 = +c 3 = +c Örnek 6.. ya da ADD nin çözümü ya da y = y, y d dy = y = y +c y = c

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

G = mg bağıntısı ile bulunur.

G = mg bağıntısı ile bulunur. ATIŞLAR Havada serbest bırakılan cisimlerin aşağı doğru düşmesi etrafımızda her zaman gördüğümüz bir olaydır. Bu düşme hareketleri, cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir kuvvetin varlığını gösterir.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) 04 Kasım 010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) Soru 1. Şamandıra. Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün isimi

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.1 7.2 Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.4 Örnekler Kendi Ağırlığını Taşıyan Kablolar (Zincir Eğrisi)

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

AERODİNAMİK KUVVETLER

AERODİNAMİK KUVVETLER AERODİNAMİK KUVVETLER Prof.Dr. Mustafa Cavcar Anadolu Üniversitesi, Sivil Havacılık Yüksekokulu, 26470 Eskişehir Bir uçak üzerinde meydana gelen aerodinamik kuvvetlerin bileşkesi ( ); uçağın etrafından

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz?

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? Temel Kavramlar Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? 1 Elektriksel Yük Elektrik yükü bu dış yörüngede dolanan elektron sayısının çekirdekteki proton

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

İç direnç ve emk. Seri bağlı dirençler. BÖLÜM 28 Doğru Akım Devreleri. İç direnç ve emk. ve emk. Elektromotor kuvvet (emk) kaynakları.

İç direnç ve emk. Seri bağlı dirençler. BÖLÜM 28 Doğru Akım Devreleri. İç direnç ve emk. ve emk. Elektromotor kuvvet (emk) kaynakları. BÖLÜM 8 Doğru Akım Devreleri Elektromotor Kuvveti emk iç direnç Seri ve Paralel Bağlı Dirençler Eşdeğer direnç Kirchhoff Kuralları Düğüm kuralı İlmek kuralı Devreleri Kondansatörün yüklenmesi Kondansatörün

Detaylı

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 İletim Hatları İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla (ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

DÜZENLİ AKIMLARDA ENERJİ DENKLEMİ VE UYGULAMALARI

DÜZENLİ AKIMLARDA ENERJİ DENKLEMİ VE UYGULAMALARI DÜZENLİ AKIMLARDA ENERJİ DENKLEMİ VE UYGULAMALARI, iş yapabilme yeteneği olarak tanımlanır(kg.m yada Kwh). Bir sıvının enerjisi, sıvı birim ağırlığının sahip olduğu iş yapabilme yeteneğidir. 1. Potansiyel

Detaylı

DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 2006-2007 EĞİTİM ve ÖĞRETİM YILI FİZİK DERSİ YILLIK ÖDEVİ

DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 2006-2007 EĞİTİM ve ÖĞRETİM YILI FİZİK DERSİ YILLIK ÖDEVİ DENİZLİ ANADOLU LİSESİ 2006-2007 EĞİTİM ve ÖĞRETİM YILI FİZİK DERSİ YILLIK ÖDEVİ Öğrencinin ; Adı : Özgür Soyadı : ATİK Numarası : 387 Sınıfı : 10F/J Ders Öğretmeninin ; Adı : Fahrettin Soyadı : KALE Ödevin

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

Fizik 101: Ders 21 Gündem

Fizik 101: Ders 21 Gündem Fizik 101: Ders 21 Gündem Yer çekimi nedeninden dolayı tork Rotasyon (özet) Statik Bayırda bir araba Statik denge denklemleri Örnekler Asılı tahterevalli Asılı lamba Merdiven Ders 21, Soru 1 Rotasyon Kütleleri

Detaylı

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 Bu bölüm, çeşitli şekillerde birbirlerine bağlanmış bataryalar, dirençlerden oluşan bazı basit devrelerin incelenmesi ile ilgilidir. Bu tür

Detaylı

KANUNLAR : Bir iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel farkının,iletkenden geçen akım şiddetine oranı sabittir.

KANUNLAR : Bir iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel farkının,iletkenden geçen akım şiddetine oranı sabittir. KANUNLAR : Elektrik ve elektronikle ilgili konuları daha iyi anlayabilmek için, biraz hesap biraz da kanun bilgisine ihtiyaç vardır. Tabii bunlar o kadar zor hasaplar değil, yalnızca Aritmetik düzeyinde

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

DİFERENSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER

DİFERENSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER DİFERENSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER Soru: Yan şartlı ve şartsız ekstremum Z=f(x,y)= x 4 +y 4-4xy+1 fonksiyonunun aşağıdaki şartlara göre yan şartlı ve yan şartsız çözümünü bulunuz. g

Detaylı

Bölüm 4: İki Boyutta Hareket

Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Kavrama Soruları 1- Yerden h yüksekliğinde, yere paralel tutulan bir silah ateşleniyor ve aynı anda silahın yanında başka bir kurşun aynı h yüksekliğinden serbest düşmeye bırakılıyor.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 DAİRESEL HAREKET Bölüm 2 İŞ, GÜÇ, ENERJİ ve MOMENTUM

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 DAİRESEL HAREKET Bölüm 2 İŞ, GÜÇ, ENERJİ ve MOMENTUM ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 DAİRESEL HAREKET 11 1.1. Dairesel Hareket 12 1.2. Açısal Yol 12 1.3. Açısal Hız 14 1.4. Açısal Hız ile Çizgisel Hız Arasındaki Bağıntı 15 1.5. Açısal İvme 16 1.6. Düzgün Dairesel

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

FİZİK. Mekanik 12.11.2013 İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir?

FİZİK. Mekanik 12.11.2013 İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ. Mekanik Nedir? Mekanik Nedir? İNM 103: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ 22.10.2013 MEKANİK ANABİLİM DALI Dr. Dilek OKUYUCU Mekanik Nedir? Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin davranışını inceleyen bilim dalıdır. FİZİK Mekanik

Detaylı

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ 7. DİENÇ SIĞA (C) DEELEİ AMAÇ Seri bağlı direnç ve kondansatörden oluşan bir devrenin davranışını inceleyerek kondansatörün durulma ve yarı ömür zamanını bulmak. AAÇLA DC Güç kaynağı, kondansatör, direnç,

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak.

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ: 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. 2. Bu eş potansiyel çizgileri kullanarak elektrik alan çizgilerinin

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ 1.Deneyin Adı: Zamana bağlı ısı iletimi. 2. Deneyin

Detaylı

OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI. DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU. Kasım 2014. BAU MMF Makine Müh. Bölümü

OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI. DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU. Kasım 2014. BAU MMF Makine Müh. Bölümü 1 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU BAU MMF Makine Müh. Bölümü Kasım 2014 2 BÖLÜM-1 OTOMATİK KONTROLE GİRİŞ Kontrol Mühendisliği Kontrol Mühendisliği hedef odaklı sistemlerin

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ HAZİRAN 04 PAZAR TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun,

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

2: MALZEME ÖZELLİKLERİ

2: MALZEME ÖZELLİKLERİ İÇİNDEKİLER Önsöz III Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1.Mekanik, Tanımlar 12 1.1.1.Madde ve Özellikleri 12 1.2.Sayılar, Çevirmeler 13 1.2.1.Üslü Sayılarla İşlemler 13 1.2.2.Köklü Sayılarla İşlemler 16 1.2.3.İkinci

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI SINIR TABAKA DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DENEYİ YAPTIRAN ÖĞRETİM ELEMAN

Detaylı

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören Paralel devre 2 İlk durum: 3 Ohm kanunu uygulandığında; 4 Ohm kanunu uygulandığında; 5 Paralel devrede empedans denklemi, 6 Kondansatör (Kapasitans) Alternatif gerilimin etkisi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR BİRİM SİSTEMİ TEMEL NİCELİKLER DEVRE ELEMANLARI ÖZET

TEMEL KAVRAMLAR BİRİM SİSTEMİ TEMEL NİCELİKLER DEVRE ELEMANLARI ÖZET TEMEL KAVRAMLAR BİRİM SİSTEMİ TEMEL NİCELİKLER DEVRE ELEMANLARI ÖZET EBE-211, Ö.F.BAY 1 Temel Elektriksel Nicelikler Temel Nicelikler: Akım,Gerilim ve Güç Akım (I): Eletrik yükünün zamanla değişim oranıdır.

Detaylı

Bölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları

Bölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları Bölüm Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları. Temel Elektriksel Büyüklükler: Akım, Gerilim, Güç, Enerji. Güç Polaritesi.3 Akım ve Gerilim Kaynakları F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. .. Temel

Detaylı

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 Elektriksel olaylarla ilgili buraya kadar yaptığımız, tartışmalarımız, durgun yüklerle veya elektrostatikle sınırlı kalmıştır. Şimdi, elektrik

Detaylı

Vakum Teknolojisi * Prof. Dr. Ergun GÜLTEKİN. İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

Vakum Teknolojisi * Prof. Dr. Ergun GÜLTEKİN. İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Vakum Teknolojisi * Prof. Dr. Ergun GÜLTEKİN İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Giriş Bilimsel amaçla veya teknolojide gerekli alanlarda kullanılmak üzere, kapalı bir hacim içindeki gaz moleküllerinin

Detaylı

Otomatik Kontrol I. Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi. Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü

Otomatik Kontrol I. Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi. Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü Otomatik Kontrol I Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü Mekanik Sistemlerin Modellenmesi Elektriksel Sistemlerin Modellenmesi Örnekler 2 3 Giriş Karmaşık sistemlerin

Detaylı

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II FİNAL SINAVI 22.05.2015 Numara: Adı Soyadı: SORULAR-CEVAPLAR

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II FİNAL SINAVI 22.05.2015 Numara: Adı Soyadı: SORULAR-CEVAPLAR MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II FİNAL SINAVI 22.05.2015 Numara: Adı Soyadı: 1- (24 Puan) Şekildeki 5.08 cm çaplı 38.1 m uzunluğunda, 15.24 cm çaplı 22.86 m uzunluğunda ve 7.62 cm çaplı

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı