Adi diferansiyel denklemler notlari. Arzu Erdem

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Adi diferansiyel denklemler notlari. Arzu Erdem"

Transkript

1 Adi diferansiyel denklemler notlari Arzu Erdem c 9/ Güz dönemi mühendislik notları. Kayley Rectorys- Survey of Applicable Analysis. William Boyce and Richard DiPrima - Elementary differential equations and boundary value problems 3. Shepley Ross - Introduction to ordinary differential equations Kaynaklar: 4. Nail Ibragimov - A practical course in differential equations and mathematical modeling 5. Nese Dernek ve Ahmet Dernek- Diferansiyel denklemler 6. Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları - Mehmet Aydın, Beno Kuryel, Gönül Gündüz, Galip Oturanç 7. B.Demidovitch - Matematik analiz ve alistirma problemleri derlemesi iletişim için : gmail.com, web page: 5 Agustos 9

2

3

4 Contents List of Figures List of Tables v vii Chapter. Giriş. Matematiksel modeller. Eğri ailesinin diferansiyel denklemleri 5 Chapter. Diferansiyel denklemler ve onların çözümleri 7 3. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırması 7 4. Temel Kavramlar 7 Chapter. Birinci mertebeden ADD 3 5. y = f ) formundaki denklemler 3 6. y = f y) formundaki denklemler 4 7. Değişkenlerine ayrılabilen ADD 5 8. Homojen ADD ) 8 9. y = f a+b y+c a +b y+c formundaki ADD 9. Lineer ADD. Bernoulli denklemi 4. Riccati Denklemi 6 3. Tam ADD 8 4. İntegrasyon Çarpanı 3 Chapter 3. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları Dik Yörüngeler Mekanik problemleri Oran Problemleri 4 8. Popülasyon Problemleri Karışım Problemleri 44. Elektrik Devre Problemleri 45 Chapter 4.. mertebeden yüksek dereceli ADD 5 6. y = f,p) formundaki ADD 5 7. = f y,p) formundaki ADD 5 8. Lagrange Denklemi Clairaut Denklemi 54 Chapter 5. Yüksek Mertebeden Lineer ADD 57. Giriş 57. Lineer homojen ADD için temel teoremler Mertebenin indirgenmesi Sabit katsayılı homojen lineer ADD 6 5. Homojen olmayan ADD 6 6. Cauchy-Euler denklemi 7 Chapter 6. Sabit katsayılı İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları 73 iii

5 iv CONTENTS 7. Salınım Hareketi Elektrik Devre Problemleri 75 Chapter 7. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Lineer sistem türleri İki bilinmeyenli iki denklem) Diferansiyel operatörler 8 3. Sabit katsayılı lineer sistemler için operatör yöntemi 8 3. Normal Formda lineer denklem sistemleri İki bilinmeyenli iki denklem) 84 Chapter 8. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Uygulamaları Salınım Hareketi Elektrik Devre Problemleri Karışım Problemleri 96 Chapter 9. Nümerik Yöntemler Euler yöntemi Runge-Kutta Yöntemi 38. Sistemler için Euler yöntemi Sistemler için Runge-Kutta yöntemi 9 Chapter. Laplace Dönüşümü 5 4. Laplace ve Ters Laplace dönüşmü 5 4. Türev ve İntegrallerin Laplace Dönüşümü 8 4. BDP problemlerine uygulamaları Basamak Fonksiyonu Heaviside Fonksiyonu) Bibliography 7 Bibliography 7

6 List of Figures 37.Örnek. için ve Örnek. için 7 v

7

8 List of Tables vii

9 CHAPTER Giriş. Matematiksel modeller Türevleri içeren denklemlere kısaca diferansiyel denklem denir. Böylece akışkan haraketi, elektrik devresindeki akımı, katı bir nesnedeki ısı transferi, sismik dalgaların belirlenmesi, popülasyon artımı vey azalması ve daha birçok benzeri problemleri anlamak ve onları incelemek için diferansiyel denklemler hakkında bilgi sahibi olmak gerekmektedir. Diferansiyel denklemler, fiziksel modeli ifade ederler ve matematiksel model şeklinde adlandırlırlar. Diferansiyel denklemleri çözmenin temel amacı fiziksel yöntemi ifade eden matematiksel model hakkında birşeyler öğrenmeye çalışmaktır Kompleks ve doğal bir yöntemi anlamak aslında onu en basite indirgemekten geçer. Böylece bu modelleri ifade eden denklemler hakkında bilgiler ve onların çözümleri için öncelikle onların basit modelleri hakkında bilgi sahibi olmalıyız.... Populasyon modeli. Thomas Robert Malthus tarafından 978 yılında geliştirilmiş olan bir problemdir. Onun modeline göre populasyon orantılı olarak artmaktadır ve populasyonu P ile gösterdiğimizde, aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edilmektedir. dp = αp, α = sabit > dt Böylece limitsiz büyüme bu diferansiyel denklemin çözümü olan ve eponansiyel kural olarak da adlandırılan P t) = P epαt t )) fonksiyonuileifadeedilmektedir. BuradaP, t = t anındakipopulasyonvep t)isekeyfitanındakipopulasyon olarak gösterilmektedir. Daha sonraları bu modelin çok gerçkeçi olmadığı gözlenerek, model mantıksal model olarak adlandırlılmıştır ve dp dt = αp βp, α,β = sabit diferansiyel denkelemi ile ifade edilmiştir... Ekoloji: Radyoaktif atık ürünler. Radyoaktiviti, yüksek atom ağırlıklı uranyum minerali gibi) elementlerin kırılması sonucu elde edilir. Yapay radyoaktiviti kimya, tıp ve nükleer enerji gibi alanlarda çok kullanışlıdır. Fakat nükleer enerjinin endüstrisel kullanımı son derece dikkat gerektiriyor. Çünkü radyoaktif atık maddeler populasyon açısından tehlike oluşturmaktadır. Radyoaktif bozulmanın matematiksel ifadesi, bozulma ile orantılı olarak ifade edilir ve diferansiyel denklemi du = ku, k = sabit > dt burada U maddenin keyfi t anındaki rayoaktiflik oranını göstermektedir. Bu denklemin çözümü şeklinde ifade edilir. U t) = U ep kt t )).3. Kepler kanunu ve Newton un yerçekimi kuralı. Bilindiği üzere eski yunan biliminde gezegenlerin güneş ekseni etrafında dairesel hareketler ile döndüğü iddia edilmişti. 69 yılında Kepler tarafından gezegenlerin güneş etrafında eliptik hareketler ile döndüğü kanıtlanmıştır. Bu kuram Kepler in. ve. kuralları olarak da adlandırılmaktadır. Kepler gezegenlerin nasıl hareket ettiği sorusunun cevabını vermiştir ancak neden sorusunun cevabı daha sonra Galileo Galilei ve Newton tarafından verilmiştir. Newton un yerçekimi kuralına göre, güneş ve gezegenler arasında çekim kuvveti F = α r3, α = GmM

10 . GIRIŞ olarak ifade edilmiştir. Burada G genel yerçekimi sabiti m ve M sırasıyla gezegen ve güneşin kütleleridir. Böylece gezegenlerin çekimleri altında güneşin hareketini ihmal edersek m d dt = α r3, α = sabit Newton un. kuralı olarak ifade edilmiştir. Bu problemin integral alınması ile elde edilen problem de Kepler problemi olarak adlandırılmıştır..4. Dünya yakınında serbest düşme hareketi. Dünya üzerinde, yerçekiminin sabit olduğunu varsayarak serbest düşme hareketini ele alalım. m = sabit kütlenin ağırlığı h yükseklik t zaman g 98 cm/sn sürtünme ivmesini göstermek üzere, sürtünme kuvveti olarak gösterilir ve Newton denklemi olarak yazılır. Bunun çözümü olarak bulunur. Burada c,,c keyfi sabitlerdir. F = mg d h dt = g h = g t +c t+c.5. Soğutma ısınma) için Newton modeli. Soğutma ısınma) olayı, hayatımızın her alanında kullanılan bir işlemdir. Havayı soğutma işlemleri, fırını ısıtma vb. Newton un soğutma kuramı olarak adlandırılan model dτ = kt t), k = sabit > dt ile ifade edilir. Burada T t) soğutulan nesnenin hiçbir etki göstermediği sıcaklıktırdoyum noktası). τ t) keyfi t anındaki sıcaklık ve t zamanı göstermektedir. Bir binanın klima tarafından ısıtıldığını varsayalım. Ht) ile sıcaklığın artım oranını At) ile sıcaklığın değişim oranını gösterirsek, yukarıdaki denklemi olarak düzenleyebiliriz. dτ dt = kt t)+h t)+at).6. Mekanik titreşim ve Sarkaçlar. Yaprakların rüzgarda hışırtısı, suyun dalgalanması bu modeller için bazı fiziksel olaylardır. En temel salınım hareketi, bir yere sabit asılı olan bir bobinden ağır bir cisimin ileri geri hareketidir. Hooke yasasına göre başlangıç anından karşı tarafa olan hareketi F = ky, k = sabit olarak yazılır. Burada y yerdeğiştirmeyi gösterir. Sürtünme kuvvetini de F = l dy dt olarak yazabiliriz. f t) ile toplam dış kuvveti rüzgar) gösterirsek, Newton un. kuralına göre ve model F = F +F +f t) m d y dt +ldy +ky = f t) dt.7. Asfaltların çökmesi. Asfaltların periyodik biçimde çökmesi aşağıdaki diferansiyel denklem ile ifade edilir µ d4 u d 4 = f burada u yolun düz pozisyonundan çökmesi sonucu elde edilen yer değiştirmesi ve f merkezkaç kuvvetinin yoğunluğudur.

11 . MATEMATIKSEL MODELLER 3.8. Van der Pol denklemi. Elektrik kondensatorlerinin devreleri arasındaki elektrik akımı C dv = I, V LdI dt dt = RI olarak yazılır. Burada It) akım, V t) voltaj, R resistans, C kondensatorün kapasitesi, L bobinin indüktansını göstermektedir. Burada V yi y ile gösterirsek, modeli olarak yazabiliriz. a = LC, b = RC, c =. ay +by +cy =.9. Telegraf denklemi. Elektrodinamikte, kablolar üzerindeki akımı ifade eden denkleme telegraf denklemi denir ve modeli aşağıdaki şekilde ifade edilir: v tt c v +a+b)v t +abv =, c = CL, a = G C, b = R L C = kapasite, L = kendini indükleme, R = resistans, G = kaçak... Mawell denklemi. Elektromagnetik alan bileşene sahiptir. E elektrik alanı gösteren vektör ve H magnetik alanı gösteren vektör. Buna göre model bir çift denklemden oluşur: E t H t = c H) 4πj, E = 4πρ = c E), H = j ve ρ elektrik akım ve yüklenme yoğunlukları, c 3 ışık hızını göstermektedir. Bu denklem sistemini fizikte genelde şeklinde gösterilir. E c t H c t = curlh 4π c = curle, divh = j, dive = 4πρ.. Navier-Stokes Denklemi. Yapışkan maddelerin akımı bu tür denklemler ile ifade edilir v t +v. )v + p = v v ρ p basınç, ρ yoğunluk, v akışkanın hızını göstermektedir... Sulamairrigation) sistemlerinin modellemesi. Sulama sistemlerinin matematiksel modeli Cψ)ψ t = Kψ)ψ ) +Kψ)ψ z )) z Sψ) şeklindedir. Burada ψ topraktaki nem basıncı, Cψ) toprağın su kapasitesi, Kψ) hidrolik iletkenliğin doyum oranı, Sψ) kaynak fonksiyonu, t zaman, yatay eksen, z dikey ekseni göstermektedir..3. Isı denklemi. Yayılmadifüzyon) yönetmelerini ifade eden modeller genel olarak şeklinde ifade edilir. u t = k) u).4. Burgers ve Korteweg-de Vries denklemleri. Burgers denklemi u t = u u +νu genelde akışkanlar mekaniğinde ve nonlinear akustik problemlerinde kullanılmaktadır. Korteweg-de Vries denklemi u t = u u +µu kanallardaki büyük su dalgalarının yayılmasını modeller.

12 4. GIRIŞ.5. Finansta matematiksel model. Matematiksel finanstaki temel çalışmalar dalgalanan stok fiyatlarıdır ve aşağıdaki denklem ile ifade edilir u t + A u +Bu Cu =, A,B,C = sabit..6. Büyüyen tümör modeli. Bu model lineer olmayan diferansiyel denklem ile ifade edilir u t = f u) uc ) c t = gc,p) p t = hu,c) Kp u, c,p sırasıyla hastalıklı hücrenin konsantrasyonu, hücre dışı sıvısı, proteaz enzimlerin parçalanmasını sağlayan enzim grubu)..7. Dalga denklemi. Tel vb. gibi maddeler üzerindeki dalgalanma hareketi ile ifade edilir. u tt k ) u = F,t).8. Diferansiyel Denklemlerin Tarihi. Diferansiyel denklemleri tanımadan ve onların çözümleri hakkında bilgi sahibi olmadan önce biraz tarihinden bahsedelim. Diferansiyel denklemler konusu ilk olarak Isaac Newton64 77)veGottfriedWilhelmLeibniz646 76)tarafında7yüzyıldaçalışılmayabaşlanmıştır. Newton, İngiltere de büyüyüp, Trinity koleji- Cambridge de eğitim almıştır ve 669 da Lucasian tün professötlük hizmetlerinin bağlı olduğu ) profesörü olmuştur. Devrim yaratan çalışmaları hesaplamada ve mekanik prblemlerde, 665 yılında gerçekleşmiştir. Matematik camisaı tarafından kabul görmesine rağmen, Newton eleştiriler hakkında çok hassas olduğundan çalışmalarını 687 ye kadar basmamıştır. 687 yılında çok ünlü kitabı Philosophiae Naturalis Principia Mathematica baılmıştır. Newton diferansiyel denklemler ile çalışmalarını yürütürken,hesaplamada ve mekanikteki temel gelişmeleri Euler tarafından sağlandı. Newton,. mertebeden diferansiyel denklemleri dy/d = f), dy/d = fy), ve dy/d = f,y) formunda sınıflandırdı. Sonrasında ise f,y) ve y nin polinomu olduğunda, serileri kullanarak çözüm yöntemi geliştirdi. Newton un aktif çalışmaları 69 ların başlarında son buldu ve daha önce elde etmiş olduğu sonuçların yayınlanması ve düzenlenmesi çalışmalarını gerçekleştirdi. 696 da British Mint te tekrar profesör oldu. 75 de şövalye olarak ilan edildi ve Westminster Abbey de gömüldü. Leibniz, yaşında Leipzig de Altdorf üniversitesinde, filozofi alanında doktora çalışmasını tamamladı Hayatı boyunca, birkaç alandaki çalışmaları ile meşgül oldu. Öncelikli alanları arasında matematik vardır çünkü li yaşlarında bu alanda çalışmalar gerçekleştirmiştir. Newton dan biraz sonra olmasına rağmen diferansiyel denklemler ile ilgili temel sonuçlara ulaşmıştır fakat 684 te Newton dan önce basılmıştır. Matematiksel notasyonları kullanma konusunda çok iyidir ve türev için dy/d ve integral sembolünün kullanımları ona aittir. 69 yılında değişkenlere ayırma yöntemini vermiştir ve homojen denklemleri, değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemlere indirgemiştir.. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünü 694 yılında vermiştir. Hayatını bir elçi gibi yaşamıştır ve Alma kraliyet ailelerine tavsiyelerde bulunmuştur. Bu görevi sayesinde, çok sayıda gezi düzenlemiş ve yazışmalarını diğer matematikçilere taşıyabilmiştir. Özellikle de Bernoulli kardeşlere. Bu işbirliği sayesinde pek çok problem 7 yüzyılda çözülebilmiştir. Jakob654 75) ve Johann ) Bernoulli kardeşler diferansiyel denklemlerde yöntemler geliştirip bunların uygulama alanlarını genişletmişlerdir. Jakob, 687 de Basel de profesör olmuştur. Johann, kardeşinin 75 yılında ölmesinden sonra aynı göreve getirilmiştir. Her iki adamda kavgacı kıskanç ve özellikle de kendi tartışmalarında sıkça karıştırlırlardı. Yine de her ikisi de matematikte çok önemli gelişmelere imza atmışlardır. Hesaplamaların da yardımı ile mekanikte diferansiyel denklem olarak ifade edilen problemler için çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. 69 da Jacob y = [a 3 /b y a 3 )] / diferansiyel denklemini çözmüştür ve makalesinde ilk defa integral terimine yer vermiştir. 694 te Johann dy/d = y/a. diferansiyel denkleminin çözümünü elde etmiştir. Geliştirdikleri en önemli problemlerden birisi de brachistochrone problemidir. Johann ın oğlu olan Daniel Bernoulli7 78), daha henüz yeni kurulmuş olan St. Petersburg akademisen göç etti ancak 733 de Basel e botanik ve daha sonra da fizik profesörü olarak geri döndü. Temel ilgil alanları arasında kısmi diferansiyel denklemler ve onun uygulamalrı vardı. Örneğin adı, akışkanlar mekaniğindeki diferansiyel denklemlere verilmiştir. Ve ayrıca daha sonra Bessel fonksiyonları olarak adlanadırılacak olan fonksiyonlar ile çalışmıştır.

13 . EĞRI AILESININ DIFERANSIYEL DENKLEMLERI 5 8 yüzyılın en önemli matematikçilerinden birisi de Johann Bernoulli nin öğrencisi olan ve Basel yakınlarında yaşayan Leonhard Euler77 783) dir. 77 de arkadaşı Daniel Bernoulli yi takip ederek St. Petersburg a girmiştir ve yılları arasında St. Petersburg akademisinde de Berlin akademisinde çalışmıştır. Euler bütün zamanın en vermli matematikçilerinde biridir ve tüm çalışmları toplamda 7 dergiyi geçer. İlgi alanı matematiğin ve uygulamanın tüm alanlarını kapsar. Yaşamının son 7 yılını kör olarak geçirmesine rağmen, ölene kadar çalışmlarını devam ettirmiştir. Özellikle de mekaniği matematikde çok iyi kullanırdı. Lagrange, Eulerin mekanik uygulamalrı için analizdeki en önemli çalışma hareketin bilimine uygulandı tabirini kullandı. Diğer çalışmaları ile birlikte de diferansiyel denklemin tamlık koşulunu verdi ve aynı çalışmada integral faktörü teorisini geliştirdi. 743 de sabit katsayılı, homojen lineer denklemler için genel çözüm kavramını verdi de aynı teoriyi homojen olmayan denklemler için genişletti. 75 lerin başlarında, diferansiyel denklemlerin çözümü için kuvvet serisi uygulamalrını geliştirdi lerde nümerik çözüm yöntemleri geliştirdi. Joseph-Louis Lagrange736 83), 9 yaşında Turin de profesör oldu. 766 da Berlin akademisinde Eulerin varisi oldu ve 787 de Paris akademisine geçiş yaptı. En önemli çalışması 788 de basılmış olan Me caniqueanalytique, Newton mekaniğinin çok kapsamlı ve çok güzel bir konusudur de, n. mertebeden homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünün, n tane lineer bağımsız çözümlerinin lineer kombinasyonu olduğunu gösterdi de parametrelerin varyasyonu olarak biline çalışmayı geliştirdi ve kısmi diferansiyel denklemler ile varyasyonel hesaplamalarda çok temel çalışmaları mevcuttur. Pierre-Simon de Laplace749 87) çocukluğunu Normandy de geçirdi ancak 768 de Parise gelerek ve 773 de Acade mie des Sciences ı kazanarak bilimsel çemberde çok önemli gelişmelere imza atmanın başlangıcını yaşadı. Astroloji de mekanik alanında çalışmalarda bulunmuştur. Laplace denklemleri matematiksel fiziğin temel denklemlerini olşturur. Laplace dönüşümlerinin faydası ise sonlara doğru daha iyi anlaşılmıştır. 8 yüzyılın sonlarına doğru diferansiyel denklemlerinin çözüm ile ilgili teori geliştirilmiştir. 9. yüzyılda ise daha teorik bir sorunun cevabı irdelenmiştir: varlık ve teklik. Kısmi dfireansiyel denklemler çalışılmaya başlanmış ve onların matematiksel fiziğe uygulamaları ele alınmıştır. Bazı diferansiyel denklemlerin analitik anlamda çözümlerine ulaşılamaması nümerik çözüm kavramını getirmiştir. 9 lü yıllarda nümerik integral geliştirilmiştir fakat uygulamaları, elle hespalamaların veya ilkel hesaplama araçlarınının kısıtlılığı ile çok yaygınlaşmamıştır. Özellikle son 5 yıl içinde, hesaplama araçlarının ilerlemesi ve uyduya bağlı bilgisayarların varlığı ile uygulama alanları oldukça yaygınlaşmıştır. yüzyıl, diferansiyel denlklemlerin geometrik ve toploji olarak yeni bir kreasyonudur. Amaç, çözümün geometriksel olarak davranış niteliğini anlamaktır. Daha fazla bilgiye ihtiyaç duyulduğunda, nümerik yöntem ile elde edilen veriler kullanılmıştır. Son birkaç yılda bu iki trend birlikte gelmiştir. Bilgisayarlar, lineer olmayan diferansiyel denklem sistemlerinin çalışılmasına hız katmıştır., y) düzleminde eğri ailesini düşünelim. Kapalı formada. Eğri ailesinin diferansiyel denklemleri y = f,c,c,...,c n ).) ϕ,y,c,c,...,c n ) =.) şeklinde yazabiliriz. Burada c,c,...,c n uygun parametrelerdir. Eğrinin kapalı formunda kapalı fonksiyonların türevi kuralını uygulayarak n defa türev alabiliriz. ϕ + ϕ y =,.3) y ϕ + ϕ y + ϕ y y + ϕ y =, y... n ϕ ϕ n y yn) =. n bilinmeyenli sistmede c,c,...,c n parametrelerini yok edersek, F,y,y,...,y n)) =

14 6. GIRIŞ n. mertebeden diferansiyel denklemini elde ederiz. Notasyon..,y,y,...,y n) değişkenlerine bağlı F fonksiyonun tam diferansiyel denklemi D F = F +y F y +y F y + +yn) olarak gösterilir. Buna göre.3) sistemi aşağıdaki şekilde yazılır. Örnek.. Doğrular ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm ϕ = y a b yazarak.4) ten F y n ) D ϕ =, D ϕ =,...,Dn ϕ =.4) D ϕ = y a =, D ϕ = y = son denklem hiç bir parametre içermediği için diferansiyel denklemi. mertebeden lineer denklem olarak y = şeklinde ifade edebiliriz. Örnek.3. Paraboller ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Paraboller ailesini y = a +b +c olarak yazabiliriz. ϕ = y a +b +c fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = y a b =, D ϕ = y a =, D 3 = y = elde ederiz. Böylece paraboller ailesinin diferansiyel denklemi 3. mertebeden lineer denklemdir. Alıştırma.4. Çemberler ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Çemberler ailesini y b) + a) = c olarakyazabiliriz. ϕ = y b) + a) c fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = y b)y + a) =, D ϕ = +y +y b)y =, D 3 = 6y y +y b)y = elde ederiz.. denklemden y b = +y ) /y elde ederiz. Bunu 3. denklemde yerine yazarsak, denklemini elde ederiz. y 3 y y +y = Alıştırma.5. Hiperboller ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz. Çözüm Hiperboller ailesini y a)b c) = olarak yazabiliriz. ϕ = y a)b c) fonksiyonunu.4) te kullanırsak, D ϕ = b c)y cy a) =, D ϕ = b c)y cy =, D 3 = b c)y 3cy = elde ederiz.. ve 3. denklemden b c) terimini yok edersek, denklemini elde ederiz. y 3 y = y Uyarı.6. Tam diferansiyel ve kısmi diferansiyel arasındaki farkı aşağıdaki şekilde kavrayabilriz:tam diferansiyller D ) =, D y) = y, D y ) = y +y şeklinde iken, kısmi diferansiyel denklemler =, y =, y ) = y

15 CHAPTER Diferansiyel denklemler ve onların çözümleri 3. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırması Tanım 3.. Bilinmeyen fonksiyon ile onun türevleri arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Tanım 3.. Bilinmeyen fonksiyon bir değişkenli ise denkleme adi diferansiyel ADD) ordinary differential equation ODE) denklem denir, eğer fonksiyon çok değişkenli ise kısmi diferansiyel KDD) partial differential equation PDE) denklem denir. Tanım 3.3. n tane bilinmeyen fonksiyonu içeren m adet diferensiyel denkleme kısaca diferansiyel denklem sistemi denir. Burada m ile n eşit olmak zorunda değildir. Tanım 3.4. Denklemin mertebesi, denklemdeki en yüksek mertebedeki türevdir. Benzer şekilde sitemin mertebesi, sistemdeki en yüksek mertebeli türevdir. Tanım 3.5. Bir diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne, bu diferansiyel denklemin derecesi denir. Tanım 3.6. Bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tüm türevleri birinci dereceden ise,diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir.n. mertebeden adi lineer diferansiyel, bağımlı değişken y ve bağımsız değişken olmak üzere, aşağıdaki formda gösterilir. a ) dn y d n +a ) dn y d n + +a n ) dy d +a n)y = b) veya a )y n) +a )y n ) + +a n )y +a n )y = b) Dolayısıyla içerisinde y 3,y ),yy,y y,siny,epy) gibi terimler bulunan denklemler lineer değildir. Bunun yanında denklem,y,sin,ep sin 3),ln türünden ifadeler içerebilir. Örnek 3.7. y + y epy) =,. mertebeden lineer olmayan adi diferansiyel denklemdir. Örnek 3.8. d4 y d + d3 y 4 d + 3 dy 3 d = ep), 4. mertebeden lineer adi defreansiyel denklemdir. Örnek 3.9. u t = k)u veya u t = k) u. mertebeden lineer kısmi diferansiyel denklemdir. Örnek 3.. u u y =, 3 u y u 3 =, 3. mertebeden kısmi diferansiyel denklemler sistemidir. Tanım 4.. Birinci mertebeden ADD ile veya formlarını düşüneceğiz. Tanım 4.. n. mertebden ADD ile F 4. Temel Kavramlar F,y,y ) = F,y, dy ) = 4.) d y = f,y) dy = f,y) 4.) d,y,y,y,...,y n)) = F 7,y, dy ) d, d y dn y d,..., d n = 4.3)

16 8. DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE ONLARIN ÇÖZÜMLERI ya da y n) = f,y,y,y,...,y n )) dn y d n = f,y, dy ) d, d y dn y d,..., d n 4.4) Tanım 4.3. Keyfi g) fonksiyonu özdeş olarak 4.3).denklemini sağlıyorsa g) fonksiyonuna 4.3) denkleminin integrali ya da çözümü denir. bkz Uyarı 4.6) Uyarı 4.4. ADD genelde bir I aralığında tanımlanır. Böylece g) fonksiyonu n mertebeye kadar türevi olan bir fonksiyon ve 4.3) denkleminde y yerine g), y yerine g ),..., y n) yerine g n) ) yazdığımızda 4.3) denklemi sağlanıyorsa, y = g) fonksiyonuna I aralığında 4.3) denleminin bir çözümü denir. Örnek 4.5. y = sin fonksiyonu y +y = denkleminin, ) aralığında bir genel çözümüdür. Uyarı ) denkleminin çözümü y = g) açık formunda olmak zorunda değildir. Aynı zamanda h, y) = kapalı formu ile de verilebilir. Buna göre türevleri kapalı fonksiyonlar için türev formülü kullanılarak bulunur. Böylece benzer şekilde 4.3).denklemi özdeş olarak h, y) = fonksiyonunun her noktasında özdeş olarak sağlanıyorsa h,y) = fonksiyonu 4.3) denkleminin integrali ya da çözümüdür.,y,...,y n) Bkz. Örnek 4.34) Örnek y = 4 fonksiyonu y = y 4.5) denkleminin kapalı formda çözümüdür. + y 4 = çemberinde kapalı fonksiyonlar için türev bağıntısını kullanırsak + yy = elde ederiz, böylece 4.5) denklemi sağlanır.,) ve,) noktalarında y = olduğundan bu noktaları hariç tutmalıyız.bkz. Örnek Örnek 4.34). Uyarı ) denkleminin geometrik yorumu: f, y), Q bölgesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. 4.) denklemine göre her,y) Q noktasında bu noktadan geçen ve eğimi y olan bir doğru doğrusal eleman) vardır. Böylece bu doğruların oluşturmuş olduğu alana kısaca doğrultu alanı denir. Buna göre Q bölgesindeki eğriyi bulmak, doğruların herbir noktasındaki tanjantı bulmaktır. Buna göre. mertebeden y = f,y,y ) denklemi için y yani çözüm eğrisinin eğriliği bulunmalıdır. 3 ve daha yüksek mertebeden ADD için benzeri geomtrik yorumlar yoktur. Tanım 4.9. fonksiyonları y = g ), y = g ),...,y n = g n ) 4.6) y = f,y,y,...,y n ) y = f,y,y,...,y n )... y n = f n,y,y,...,y n ) sistemini özdeş olarak sağlıyorsa, 4.6) fonksiyonlarına sistemin çözümü integrali) denir. Bu durumda da çözümleri kapalı fonkiyon gibi düşünebiliriz. Bkz Uyarı 4.6). Uyarı 4.. n = durumu için y, y fonksiyonları yerine bilinmeyen y,z fonksiyonlarını ele alalım. Buna göre 4.6) fonksiyonları y = g ), z = g ) geometriksel olarak bir eğri tanımlar 3 boyutlu uzayda). Bu sebepten ötürü 4.6) fonksiyonları 4.7) sisteminin integral eğrisi diye adlandırılır. Uyarı 4.. Genel olarak 4.7) sisteminde bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olmak zorunda değildir. Fakat çözüm tanımı aynıdır. Yine de çözümün varlığı ve tekliği hakkında bir genelleme yapmalıyız. 4.7)

17 4. TEMEL KAVRAMLAR 9 Teorem ) sistemi ve P a,b,b,...,b n ) 4.8) noktasını ele alalım. 4.7) sistemindeki f,f,...,f n n + değişkenli ve değişkenleri,y,y,...,y n olmak üzere, P noktasının bir O komşuluğunda, sürekli ve y,y,...,y n değişkenlerine göre sürekli kısmi türevlere sahip fonksiyonlar olsun. O komşuluğunda 4.7) sistemini ve g a) = b, g a) = b,...,g n a) = b n 4.9) koşulunu başlangıç koşulu) sağlayan g ),g ),...,g n ) fonksiyonları vardır ve bu fonksiyonlar tektir. Tanım 4.3. Bir problem diferansiyel denklemi ve belirli koşulları içerir. Problemdeki koşullar in bir değeriyle ilgili ise bu durumda probleme başlangıç değer problemi, in değeri ile ilgili ise sınır değer problemi denir. Örnek 4.4. y +y =, y) = 3 y ) = 4 başlangıç değer problemidir BDP)- initial value problem IVP). Örnek 4.5. y +y =, y) = π y = 5 ) sınır değer problemidir SDP)- boundary value problem BVP). Uyarı 4.6. Uyarı 4. e göre f,f,...,f n fonksiyonları O komşuluğunda yukarıdaki koşuları sağlıyorsa 4.7) sisteminin P noktasından geçen bir tek integral eğrisi vardır. Özel durumda f,y), f,y) 4.) y fonksiyonları P noktasının O komşuluğunda sürekli ise y = f,y) denkleminin bir tek integral eğrisi mevcuttur ve bu eğri P noktasından geçer. Uyarı 4.7. Eğer her [a,b],y,y [c,d] için f,y ) f,y ) K y y 4.) eşitsizliğini sağlayacak şekilde pozitif bir K sayısı bulunabilirse f, y).fonksiyonu y değişkenine göre R a b,c y d) bölgesinde Lipchitz koşulunu sağlar denir. Özel olarak f,y).fonksiyonu y değişkenine göre R bölgesinde türevi mevcut ve f y K 4.) koşulu sağlanıyor ise 4.) koşulu sağlanır. Fakat tersi doğru değildir. Yani y değişkenine göre türevi mevcut olmayabilir fakat 4.) koşulunu sağlayan fonksiyonlar da vardır. Aşağıdaki örnek bununla ilgilidir. Örnek 4.8. f, y) = y fonksiyonu y değişkenine göre kısmi türevi yoktur ancak Lipschitz koşulunu sağlar. Gerçekten y y y y, K = sağlanır.

18 . DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE ONLARIN ÇÖZÜMLERI Teorem 4.9. f,y) fonksiyonu Qa h a+h, b k y b+k) bölgesinde sürekli olsun Sürekli fonksiyon kapalı aralıkta sınırlıdır yani Q bölgesinde f, y) M koşulunu sağlayan pozitif M sabiti mevcuttur.) ve 4.) koşulunu sağlasın. d = min h, k ) M olmak üzere [a d,a+d] aralığında denklemini sağlayan y = g) bir tek çözümü vardır. y = f,y) Uyarı 4.. Lipschitz koşulu ve Teorem 4.9 ye benzer teorem 4.7) sistemi içi de formüle edilebilir. Uyarı 4.. Çözümün varlığı için f, y) fonksiyonun sürekliliği yeterli bir koşulken teklik için yeterli değildir. Örnek 4.. y = ve y = 7 )3 fonksşyonları y = 3 y denkleminin integral eğrisidir. Teorem 4.3. y n) = f diferansiyel denklemini ve P a,b,b,...,b n ) noktasını ele alalım.,y,y,y,...,y n )) 4.3) f, f y, f y,, f y n ) fonksiyonları sürekli olsun. Bu durumda P noktasının bir komşuluğunda 4.3) denklemini ve koşulunu sağlayan y = g) tek çözümü mevcuttur. ga) = b, g a) = b,...,g n ) ) = b n 4.4) Uyarı 4.4. Lipschitz koşulunu kullanarak 4.3) denklemi için Teorem 4.9 ye benzer bir teorem formüle etmek mümkündür. Teorem 4.3 lokal karakterlidir. Yani y n) +a n )y n ) + +a )y +a )y = b) 4.5) denkleminin çözümünün varlığı ve tekliği I aralığında mevcuttur. Uyarı ) denklemi için 4.4) koşulları sağlansın. n+) boyutlu P a,b,b,...,b n ) noktası verilsin. Q bölgesi P noktasını içeren bölge ve 4.3) denkleminin bu noktada Teorem 4.3 e göre tek bir çözümü olsun. Buna göre aşağıda bu tarz denklemler için genel çözüm kavramını tanımlayacağız. Tanım ) denkleminin çözümü n tane bağımsız keyfi sabit içeriyorsa bu çözüme Q bölgesinde 4.3) denkleminin genel çözümü integrali) denir. Uyarı 4.7. Eğer sabitlerden herhangi birisini, diğerleriyle yer değiştirmek mümkün değil ise bu durumda bu sabitlere bağımsız denir. Yani hiç biri gereksiz değil ise. Örnek 4.8. fonksiyonu denkleminin genel çözümüdür. fonksiyonu y = c ep+c ep ) y y y = c ep+c ) y y =

19 4. TEMEL KAVRAMLAR denkleminin genel çözümü değildir. Çünkü olarak yazabiliriz. Uyarı 4.9. Genel durumda c ep+c ) = c ep)epc ) = Kep F,y,y,y,...,y n)) = 4.6) denklemi için genel integralden bahsetmek çok mümkün değildir. Çünkü çözümün tekliği sorusunun öncelikle cevaplanması gerekmektedir. Örneğin y 4 y = 4.7) denklemi aşağıdaki değerler için sağlanır: y = y, y = y Eğer belli bir bölgeden ve ya başlangıç koşullarından bahsediyorsak, 4.6) denkleminin genel çözümünden bahsetmek mümkündür. Tanım 4.3. Eğer her noktada çözümün tekliği koşulu sağlanmıyorsa bu durumda y = f, y) denkleminin çözümüne tekil çözüm integral) denir. Örnek 4.3. y = integral eğrisi y = 3 y ADD nin tekil çözümüdür çünkü, ) noktası boyunca fonksiyonu da diğer bir integral eğrisidir. y = 7 )3 Uyarı 4.3. y = f, y) denklemi bir parametreli genel çözüme sahiptir. Eğer çözüm mevcut ise verilen denklemin tekil integraline eşittir. Uyarı f,y) için dy d = f,y) 4.8) denklemi ile d = f,y) dy 4.9) denklemi denktir. f, y) = durumunda 4.8) denklemi tanımsız iken 4.9) denklemi tanımlıdır. Böylece genelde 4.8) denklemine 4.9) denklemini ekleriz ve 4.8) denkleminin integral eğrisi ile hem 4.9) denkleminin hem de 4.8) denkleminin integral eğrilerinin düşüneceğiz. Örnek çemberi +y 4 = 4.) y = y, ),, ) noktalarında bile ADD nin integral eğrisidir. Çünkü bu noktalarda 4.) fonksiyonu ADD yi sağlar. d dy = y

20

21 CHAPTER Birinci mertebeden ADD 5. y = f ) formundaki denklemler f ) verilen I aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere y = f ) ADD nin genel çözümü y = f )d şeklindedir ve belirsiz integral keyfi sabiti içerir. y ) = y başlangıç koşulu verildiğinde çözüm şeklindedir. y = y + f t)dt Örnek 5.. ADD nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = y = 3 3 d y = 3 +c Örnek 5.. BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = y = 3 y3) = 7 3 d y = 3 +c 7 = 7+c c = y = 3 Örnek 5.3. y = sin ADD nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = sind y = cos+c y = cos+c )d y = sin+c +c 3

22 4. BIRINCI MERTEBEDEN ADD Örnek 5.4. BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = 3 6+ y ) = 3 y = 6+ ) d y = c = 8 +c c = y = Örnek 5.5. y = ep ) y) =, y ) =, y ) = 3 BDP nin çözümünü bulunuz. Çözüm y = ep )d y = ep )+c y = ep )+c )d y = ep )+c +c y = ep )+c +c )d y = ep )+c y = ep )+ +c +c 3 6. y = f y) formundaki denklemler f y) sürekli bir fonksiyon olmak üzere Bkz. Uyarı 4.33) ADD ni olarak yazabiliriz. Buna göre genel çözüm dir ve eğri,y ) noktasından geçiyorsa çözüm formundadır. Eğer f y ) = ise çözüm şeklindedir. y = f y) d dy = f y) = = dy f y) y y y = y dt f t) = +c 3 = +c 3 = +c Örnek 6.. ya da ADD nin çözümü ya da y = y, y d dy = y = y +c y = c

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR

DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR DİFERENSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR DİFERENSİYEL DENKLEMLER ISBN: 978-605-318-31-1 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 015, Pegem Akademi

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ

İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1. Y. Doç. Dr. Güray Doğan

ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1. Y. Doç. Dr. Güray Doğan ÇEV207 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ KİNEMATİK-1 Y. Doç. Dr. Güray Doğan 1 Kinematik Kinematik: akışkanların hareketlerini tanımlar Kinematik harekete sebep olan kuvvetler ile ilgilenmez. Akışkanlar mekaniğinde

Detaylı

FİZİK PROJE ÖDEVİ İŞ GÜÇ ENERJİ NUR PINAR ŞAHİN 11 C 741

FİZİK PROJE ÖDEVİ İŞ GÜÇ ENERJİ NUR PINAR ŞAHİN 11 C 741 FİZİK PROJE ÖDEVİ İŞ GÜÇ ENERJİ NUR PINAR ŞAHİN 11 C 741 İŞ İş kelimesi, günlük hayatta çok kullanılan ve çok geniş kapsamlı bir kelimedir. Fiziksel anlamda işin tanımı tektir. Yola paralel bir F kuvveti

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları

Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları Adi Diferansiyel Denklemler (MATH 262) Ders Detayları Ders Adı Adi Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 262 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

G = mg bağıntısı ile bulunur.

G = mg bağıntısı ile bulunur. ATIŞLAR Havada serbest bırakılan cisimlerin aşağı doğru düşmesi etrafımızda her zaman gördüğümüz bir olaydır. Bu düşme hareketleri, cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir kuvvetin varlığını gösterir.

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

TAŞINIMIN FİZİKSEL MEKANİZMASI

TAŞINIMIN FİZİKSEL MEKANİZMASI BÖLÜM 6 TAŞINIMIN FİZİKSEL MEKANİZMASI 2 or Taşınımla ısı transfer hızı sıcaklık farkıyla orantılı olduğu gözlenmiştir ve bu Newton un soğuma yasasıyla ifade edilir. Taşınımla ısı transferi dinamik viskosite

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Akışkanların Dinamiği

Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiği Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.

Detaylı

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK

1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR MEKANİK RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER AKIŞKANLAR MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK STATİK Ders Notları Kaynaklar: 1.Engineering Mechanics: Statics, 9e, Hibbeler, Prentice Hall 2.Engineering Mechanics: Statics, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam, L. G. Kraige 1. STATİĞE GİRİŞ 1.1 TANIMLAR

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

17. yy. Dehalar Yüzyılı

17. yy. Dehalar Yüzyılı 17. yy. Dehalar Yüzyılı 20. yy a kadar her bilimsel gelişmeyi etkilediler. 17. yy daki bilimsel devrimin temelleri 14.yy. da atılmıştı fakat; Coğrafi keşifler ile ticaret ve sanayideki gelişmeler sayesinde

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 2011 Seçme Sınavı ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 11 Seçme Sınavı 1. Dikey yönde atılan bir taş hareketin son saniyesinde tüm yolun yarısını geçmektedir. Buna göre taşın uçuş süresinin en fazla olması için taşın zeminden ne

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.1 7.2 Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.4 Örnekler Kendi Ağırlığını Taşıyan Kablolar (Zincir Eğrisi)

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

KİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1

KİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1 Kinetik Gaz Kuramından Gazların Isınma Isılarının Bulunması Sabit hacimdeki ısınma ısısı (C v ): Sabit hacimde bulunan bir mol gazın sıcaklığını 1K değiştirmek için gerekli ısı alışverişi. Sabit basınçtaki

Detaylı

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) 04 Kasım 010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) Soru 1. Şamandıra. Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün isimi

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

MAT 2011 MATEMATİK III

MAT 2011 MATEMATİK III } MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2

Detaylı

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine

Detaylı