ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SANSÜRLÜ GÖZLEMLERDE YENİLEME FONKSİYONUNUN TAHMİNİ Çiğdem DANIŞ İSTATİSTİK ANABİLİM DA

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SANSÜRLÜ GÖZLEMLERDE YENİLEME FONKSİYONUNUN TAHMİNİ Çğdem DANIŞ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lsas Tez SANSÜRLÜ GÖZLEMLERDE YENİLEME FONKSİYONUNUN TAHMİNİ Çğdem DANIŞ Akara Üverstes Fe Fakültes İstatstk Bölümü Daışma: Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU Stokastk modellemede oldukça sık kullaıla yeleme süreçlerde tahm problem ortaya çıkmaktadır. Yeleme foksyouu tahm güümüzde hala celemektedr. Bu çalışmada sağda rasgele sasürlemş öreklem durumuda yeleme foksyou ç bazı parametrk ve parametrk olmaya tahm edcler ele alıır ve buları bazı statstksel özellkler celer. Ayrıca bu tahm edcler değerler asıl hesaplaacağı üzerde durulur. 8, 83 sayfa Aahtar Kelmeler: Yeleme sürec, yeleme foksyou, sağda rasgele sasürleme

3 ABSTRACT Master Thess ESTIMATION OF THE RENEWAL FUNCTION FOR CENSORED OBSERVATIONS Çğdem DANIŞ Akara Uversty Graduate School of Natural ad Appled Sceces Departmet Statstcs Supervsor: Asst. Prof. Dr. Hall AYDOĞDU Reewal processes commoly used stochastc modellg ad estmato problem s ecoutered these processes. The estmato of reewal fucto s stll examed. I ths study, some parametrc ad oparametrc estmators of the reewal fucto for radom rght cesored samples are cosdered ad ther statstcal propertes are vestgated. Moreover, t s also examed how the values of these estmators are computed. 8, 83 sayfa Key Words: Reewal process, reewal fucto, rght cesorg, Kapla-Meer estmator

4 TEŞEKKÜR Baa araştırma olaağı sağlaya ve çalışmamı her safhasıda bede yardımlarıı esrgemeye, öerler le be yöledre daışma hocam Sayı Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU ya ve çalışmam boyuca hoşgörü ve destekler esrgemeye eşme, aleme teşekkürlerm suarım. Çğdem DANIŞ Akara, Ocak 8

5 İÇİNDEKİLER ÖZET..... ABSTRACT..... TEŞEKKÜR.... SİMGELER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ....v. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Kovolüsyo Kavramı Kovolüsyo şlem özellkler. 3. Laplace-Steltes ve Laplace Döüşümü..6.3 Yeleme Deklem ve Çözümü YENİLEME TEORİSİ Yeleme Süreçler N(t) Rasgele değşkeyle lgl bazı asmptotk souçlar. 3. Yeleme Foksyou Yeleme foksyou le lgl bazı lmt teoremler 6 4. YENİLEME FONKSİYONUNUN HESABI Yeleme Foksyouu Aaltk Olarak Hesaplaması İk parametrel üstel dağılım Düzgü dağılım Hper üstel dağılım Gamma dağılımı M(t) RS Yötem le Sayısal Hesabı SANSÜRLÜ VERİLER Sağda Rasgele Sasürleme Sağda Rasgele Sasürlü Öreklem Durumuda Parametre Tahm Newto-Raphso Yötem Üstel dağılım Webull dağılım Log-ormal dağılım..39 v

6 5..5 Gamma dağılımı Ömür Tablo Yötemler ve Çarpım-Lmt (Kapla-Meer) Tahm SANSÜRLÜ VERİLERDE YENİLEME FONKSİYONUNUN TAHMİNİ M(t) ç Br Parametrk Tahm Edc M ( t ) ç Br Parametrk Olmaya Tahm Edc Mˆ KM ( t ) ç (.) Asmptotk İfadese Bağlı Br Tahm Edc Br Örek.6 7. SONUÇ...66 KAYNAKLAR EKLER EK Webull Dağılımı ç Sağda Rasgele Sasürlemş Gözlemler E Çok Olablrlk Tahm Edcler Hesaplata Matlab Programı...7 EK Log-Normal Dağılımı ç Sağda Rasgele Sasürlemş Gözlemler E Çok Olablrlk Tahm Edcler Smulasyo Yoluyla Hesaplata Matlab Program.7 EK 3 Gamma Dağılımı ç Sağda Rasgele Sasürlemş Gözlemler E Çok Olablrlk Tahm Edcler Smulasyo Yoluyla Hesaplata Matlab Programı EK 4 Verle Chazı Bozulma Zamalarıa İlşk Kapla-Meer Tahm Edcler Hesaplata Matlab Programı EK 5 Webull Dağılımı Sahp Sağda Rasgele Sasürlemş Gözlemlere Dayalı Yeleme Foksyouu Hesaplata Matlab Programı EK 6 F Dağılım Foksyou Hakkıda Hçbr Blgmz Olmadığı Durumda Yeleme Foksyouu Tahm Hesaplata Matlab Programı.79 EK 7 Yeleme Foksyouu Asmptotk Hesabıı Yapa Matlab Programı ÖZGEÇMİŞ v

7 SİMGELER DİZİNİ * Steltes kovolüsyo Operatörü µ F dağılımıı Ortalaması σ I ˆ α ˆβ ˆ θ F dağılımıı Varyası İdkatör foksyou α ı tahm edcs β ı tahm edcs θ ı tahm edcs Reel Sayılar Doğal Sayılar F k* ( t ) F dağılımıı kedsyle ola k kez kovolüsyou... Tam değer foksyou M ( t ) Yaklaşık olarak eşt Yeleme Foksyou Mˆ ( t ) M ( t ) tahm edcs Mˆ KM ( t ) M ( t ) parametrk olmaya Kapla-Meer tahm edcs M ( ) a t M ( t ) asmptotk tahm edcs v

8 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 5. Araba akülere lşk verler Çzelge 5. Araba akülere lşk ömür tablosu...5 Çzelge 5.3 Chazı bozulma zamaları Çzelge 5.4 Kapla-Meer tahm değerler Çzelge 6. Başlagıçta tbare rasgele farklı zamalarda satıla ürülere lşk sağda rasgele sasürlü gözlemler v

9 . GİRİŞ Br yeleme sürec zamaı br foksyou olarak gerçekleşe olayları (yelemeler) sayısıı saya br sayma sürecdr, burada ardışık yelemeler arası geçe zama süreler brbrlerde bağımsız, ayı F dağılımlı rasgele değşkelerdr. Yeleme süreçler güvelrlk aalz, trafk akışı, evater, rsk teors, garat aalz ve uygulamalı statstğ br çok sahasıda stokastk modellemede kullaıla güçlü araçlardır. Yeleme süreçler le lgl uygulamalarda geellkle sürec ortalama değer foksyou (yeleme foksyou) blgse htyaç duyulur. Yeleme foksyou ç F dağılım foksyoua bağlı açık fadeler vardır ve bu foksyo prespte bu fadeler brde hesaplaablr. Fakat, F dağılım foksyou tam olarak blse ble brkaç dağılım dışıda yeleme foksyou aaltk olarak elde edlemez. Uygulamada geellkle F dağılım foksyou ya blmyordur, ya da şeklsel olarak blrke dağılımı parametreler blmyordur. Bu durumda yeleme foksyou verlerde tahm edlmek zorudadır. Verler F dağılımlı ktlede tam örekleme le gelebleceğ gb sasürlü olarak da geleblr. Öreğ, garat aalz ç gözlemlee verler geelde sağda brc tp sasürlemşlerdr. Yeleme teorsde se çoğu kez sağda rasgele sasürlemş verler le karşılaşılır. Sağda brc tp sasürleme sağda rasgele sasürleme özel br haldr. Gözlemler sasürlü olması durumuda yeleme foksyouu parametrk ve parametrk olmaya tahm üzerde çalışılması gereke öeml br problemdr. Tam öreklem durumuda yeleme foksyou değer tahm lteratürde değşk yazarlar tarafıda celemş ve hala celemeye devam edlmektedr. Bu çalışmada sağda rasgele sasürlemş öreklem durumuda yeleme foksyou ç parametrk ve parametrk olmaya tahm edcler öerlmekte ve bu tahm edcler bazı statstksel özellkler araştırılmaktadır. Bu çalışma aşağıdak bçmde düzelemştr.

10 İkc bölümde bazı temel kavramlar verlmştr. Kovolüsyo kavramı, Laplace- Steltes ve Laplace döüşümü, yeleme deklem ve çözümü üzerde durulmuştur. Üçücü bölümde lk olarak yeleme süreçler üzerde durularak bazı asmptotk souçlar verlmştr. Daha sora yeleme sürec ortalama değer foksyou taıtılarak bazı özellkler üzerde durulmuş ve yeleme foksyou le lgl bazı lmt teoremler verlmştr. Dördücü bölümde karşılaşılablecek bazı dağılımlar ç yeleme foksyou aaltk olarak elde edlmştr. Ayrıca, geelde bu foksyo ç aaltk fadeler mevcut olmadığıda bu foksyou RS(Rema-Steltes) yötem le sayısal olarak elde edlmes üzerde durulmuştur. Beşc bölümde sasürlü verler hakkıda blg verlerek, yeleme süreçlerde öeml br yer tuta sağda rasgele sasürleme çeşd üzerde durulmuştur. Daha sora F şeklsel olarak bldğ fakat parametreler blmedğ durumda sağda rasgele sasürlü örekleme dayalı olarak blmeye parametreler e çok olablrlk tahm edcler üstel, Webull, log-ormal ve gamma dağılımları ç bulumuştur. Üstel dağılım harç bu tahm edcler bulumasıda kullaıla deklem sstemler aaltk çözümü olmadığıda sayısal br yötem ola Newto-Raphso yötem kullaılmıştır. Ardıda F hç blmedğ durumuda sağda rasgele sasürlü örekleme dayalı olarak F değer tahm ç ömür tablo yötem ve Kapla- Meer tahm edcs verlmştr. Altıcı bölümde se sağda rasgele sasürlü verlerde yeleme foksyouu değer tahm ç parametrk ve parametrk olmaya tahm edcler öerlmş ve bu tahm edcler asıl hesaplaacağı problem üzerde durulmuştur. Ayrıca öerle tahm edcler bazı statstksel özellkler celemştr. Daha sora bu tahm edcler br örek üzerde değerledrlmes yapılmıştır.

11 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışmada gerekl ola bazı temel blgler verlmektedr. Kovolüsyo kavramı, Laplace-Steltes ve Laplace döüşümü hatırlatıldıkta sora yeleme deklem ve çözümü üzerde durulmaktadır.. Kovolüsyo İşlem F ve G k dağılım foksyou olsu. F * Gt ( ) = Gt ( xdf ) ( x), t le taımlaa F * G foksyoua F le G kovolüsyou der. F ve G dağılım foksyou ke F * G de br dağılım foksyoudur... Kovolüsyo şlem özellkler Kovolüsyo şlem değşme ve brleşme özellğe sahp olduğu gb ayı zamada br etksz elemaa sahptr. Bu özellkler aşağıda gösterlmektedr. F ve G herhag k dağılım foksyou olmak üzere, F * Gt ( ) = Gt ( x) df( x), + = Gt ( x) F( x) F( xdgt ) ( x) = G( ) F( ) G( ) F( ) F( xdgt ) ( x) + = F( t y) dg( y) + = G * F( t) dr. Böylece * kovolüsyo şlem değşme özellğe sahp olduğu görülmüş olur. + 3

12 Herhag F,G ve H dağılım foksyoları ç brleşme özellğ olduğuu gösterelm. olduğuda + F *( G * H )( t) = ( G * H )( t xdf ) ( x) + = ( H * G)( t xdf ) ( x) + + = Gt ( x y) dh ( y) df( x) + + = Gt ( x y) df( xdh ) ( y) + = ( F * G)( t y) dh ( y) = H *( F * G)( t) = ( F * G)* H ( t) F *( G * H ) = ( F * G)* H dr. Ya * kovolüsyo şlem brleşme özellğe sahptr. *, t< F ( t) =, t olsu. Bu dağılım sıfır oktasıda yoğulaşmış dağılım ya da sıfır oktasıdak Drac dağılımı olarak blr. Drac dağılımı kovolüsyo şlem etksz elemaıdır. Çükü, F herhag br dağılım foksyou olmak üzere, + * * F * F( t) = F( t xdf ) ( x) = F( t) dr. + * * * = F( t xdf ) ( x) + F( t xdf ) ( t) + F( t xdf ) ( t) = F t F * + * ( )( ( ) F ( ) ) + 4

13 Teorem. X ve Y brbrlerde bağımsız sırasıyla F ve G dağılım foksyolarıa sahp k rasgele değşke olsu. Bu durumda değşke dağılım foksyou, dr. FX+ Y ( t) = F * Gt ( ), t X + Y rasgele İspat F ( t) = P( X + Y t) X+ Y + = P( X + Y t Y = y) dg( y) + = P( X t y Y = y) dg( y) + = P( X t y) dg( y) + = F( t y) dg( y) = F * Gt ( ) Teorem. F mutlak sürekl br dağılım foksyou olmak üzere G herhag br dağılım foksyou olsu. Bu durumda F * G dağılım foksyou mutlak sürekldr (Feller 97). F ve G dağılım foksyoları sırasıyla f ve g olasılık yoğuluk foksyolarıa sahp olsu. Bu durumda f * g( t) = g( t x) f ( xdx ), t olmak üzere F * G dağılım foksyou f * g olasılık yoğuluk foksyoua sahptr. X,, K X brbrlerde bağımsız ayı F dağılım foksyoua sahp tae rasgele değşke olsu. * F F *...* F = ( kere) olmak üzere S = X X rasgele 5

14 değşke dağılım foksyou P S t = F t dr. Ayrıca F dağılım foksyou * ( ) ( ) f yoğuluk foksyoua sahp se * f f = *...* f ( kere) olmak üzere * F dağılım foksyou da * f yoğuluk foksyoua sahptr (Feller 97).. Laplace-Steltes ve Laplace Döüşümü de taımlı, sıırlı ve azalmaya br F foksyouu Laplace-Steltes döüşümü, xt F ( t) = e df( x), < t< LS le taımlaır. F ve G, de sıırlı, azalmaya ve lm F( x) =, lm G( x) = şartıı sağlaya k foksyo olsu. Bu durumda, xt F ( t) e df( x) LS = xt G ( t) e dg( x) LS olmak üzere ( ) = F * G ( t) = F ( t) G ( t) LS dr (Kawata 97). LS LS x x Tek değşkel br F foksyouu Laplace döüşümü aşağıdak tegral mevcut olması durumuda F ( t) e tx F( xdx ) L le verlr. = 6

15 .3 Yeleme Deklem ve Çözümü A blmeye br foksyo olmak üzere dağılım foksyou özellklere sahp br F foksyou le a foksyou bls. Bu durumda t At ( ) = at ( ) + At ( xdf ) ( x), t (.) tpdek br tegral dekleme Yeleme Deklem der (Karl ve Taylor 975). F br dağılım foksyou olsu. F br f yoğuluk foksyoua sahpse (.) deklem t At ( ) = at ( ) + At ( x) f ( xdx ), t t = at ( ) + f ( t x) A( xdx ), t tegral dekleme döüşür. Teorem.3 a sıırlı br foksyo olsu. Bu durumda (.) yeleme deklem solu aralıklar üzerde sıırlı br tek A çözümü vardır ve bu çözüm ola foksyo t * ( ) = ( ) + ( ) ( ( )), t At at at xd F x (.) dır (Karl ve Taylor 975). = 7

16 3. YENİLEME TEORİSİ Br yeleme sürec, zamaı br foksyou olarak gerçekleşe olayları sayısıı saya br stokastk süreçtr; bu süreçte ardışık yelemeler arasıda geçe zama süreler brbrlerde bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değşkelerdr. Yeleme süreçler, üretcler ç yer değştrme problemler aalzyle başlamış olsa ble yeleme süreçler le lgl teor (yeleme teors) uygulamalı olasılık problemler geş br sahasıda çok sayıda uygulamaya sahptr. Öreğ, evater teorsde br yeleme sürec, talep oktaları arasıdak ardışık zama süreler modellemek ç kullaılır. Güvelrlk problemlerde se bozula br make ardışık oarımları ya da yer değştrmeler modellemek ç kullaılır. Bua lave olarak yeleme teors şç sayısıı plalaması problemlerde güçlü br araç olduğu kaıtlamıştır. Buradak yeleme sürec, atama (tay) le verle br şte ayrılışları dzs modellemek ç kullaılır. 3. Yeleme Süreçler {,,,... } X = egatf olmaya, bağımsız ve ayı F dağılım foksyoua sahp rasgele değşkeler dzs olsu. Aşkar durumlarda kaçımak ç kabul edelm k F () = P( X = ) <, ya X br olasılıkla sıfıra eşt olması. X : İlk yeleme yapılıcaya kadar geçe zama süres X : İlk yeleme yapıldıkta sora, kc yelemeye kadar geçe zama süres... X : ( ). yeleme yapıldıkta sora,.yelemeye kadar geçe zama süres olarak fade edls. S=, S= X X, olmak üzere S rasgele değşke. yeleme yapılıcaya kadar geçe zama süresdr. Her t ç N( t ), 8

17 { N( t) = sup : S t } le taımlası. N( t ) sadece t zamaıa kadar ya [,t ] zama aralığıdak yelemeler sayısıdır. Bu şeklde taımlaa N( t ) yeleme rasgele değşke ve { N( t), t } stokastk sürec de br yeleme sürec olarak adladırılır (Ross 983). F () < olduğuda F dağılımıı ortalaması µ sıfırda farklı olup güçlü büyük sayılar yasasıı göz öüe alımasıyla S e fazla solu br sayıdak değerler ç t ye eşt ya da t de küçük olablr. Bu edele N( t ) solu olmak zorudadır ve N( t ) yukarıdak taımıda sup yere maks kullaılablr. N( t ) solu br rasgele değşke olmasıa rağme br olasılıkla lm N( t) = dur. Çükü = = t P( N( ) < ) = P( Eazbrç X = ) = P( ( X = )) P( X = ) = U dır. Her sabt t ç N( t ) yeleme rasgele değşke olasılık dağılımı, le verlr. P( N( t) = ) = P( S t, S > t) + = P( S > t) P( S > t, S > t) + + = P( S > t) P( S > t) + ( ) ( ),,,... * ( + )* = F t F t = Teorem 3. { N ( t), t } yeleme sürec her mertebede solu mometlere sahptr, k ya her t k ç E( N ( t )) <. İspat P( X = ) < olduğuda dolayı P( X> α) = β> olacak bçmde br α > sayısı buluablr. =,,... olmak üzere 9

18 X, ' α =, X X > α α rasgele değşkeler göz öüe alısı. F( α), x=, x< f ' = F( ), x yada F ', x X α = α = β α X <, dy.,, x α olduğuda ' O halde {,,,... } ' X ler ayı dağılımlıdırlar. Ayrıca ' X ler bağımsız oldukları da açıktır. X = egatf olmaya brbrlerde bağımsız ayı dağılımlı rasgele değşkeler br dzsdr. { N ' ( t), t } bu dz üzere kurulu dğer br yeleme sürec olsu. Bu süreçte yelemeler yalızca t= α, =,,... zamalarıda gerçekleşeblrler. Y, sıfırda α zamaıa lk geçceye kadar gerçekleşe yelemeler sayısı, Y, α da α zamaıa lk geçceye kadar gerçekleşe yelemeler sayısı,... Y, ( ) α da α zamaıa lk geçceye kadar gerçekleşe yelemeler sayısı olmak üzere Y Y Y N t t ' = + ( ), ( ) α < α ; =,,... elde edlr. Her ç X X olduğuda ' ' N( t) N ( t) dr. Y ler brbrlerde bağımsız β başarı olasılıklı geometrk dağılıma sahp rasgele değşkeler oldukları açıktır. Bu durumda ' N ( t) + egatf bom dağılımıa sahp br rasgele değşkedr. Negatf bom dağılımı her mertebede solu mometlere sahp olup N t ' ( ) < + N ( t) olduğuda N( t ) her mertebede solu mometlere sahptr.

19 3.. N(t) Rasgele değşkeyle lgl bazı asmptotk souçlar Teorem 3. N( t) P(lm = ) =. t t µ İspat o N ( t) S t S ( ) + N t S t < S + (3.) N ( t ) N ( t ) olduğuu blyoruz. Güçlü büyük sayılar yasasıda br olasılıkla SN ( t) SN ( t) + µ ve µ t t N( t) N( t) + yazılablr. (3.) eştszlğde SN ( t) t SN ( t) + N( t) + N( t) N( t) N( t) + N( t) olur. t le lmt alıırsa, br olasılık le t µ lm µ t N ( t ) elde edlr. Böylece, N( t) P(lm = ) = t t µ soucua ulaşılır. Teorem 3. kullaılmasıyla uzu süre çalışmakta ola br yeleme sürecde brm zamada yapıla yelemeler sayısı yaklaşık olarak /µ olduğu soucua varılır.

20 Teorem 3.3 (Yeleme süreçler ç merkez lmt teorem) µ ve σ sırasıyla rasgele değşke, ya br yeleme aralığıı uzuluğu sırasıyla beklee değer ve varyası olmak üzere solu olsular. Bu durumda t N( t) ( ) x µ x / lm P( < x) = e dx t t π σ µ 3 dır (Karl ve Taylor 975). X t µ İspat x sabt ve lm = x olacak bçmde ve t sosuza götürülsü. Bu t σ durumda Φ stadart ormal dağılımı dağılım foksyou olmak üzere merkez lmt teoremde S µ lmp( S > t) = lm P( > x) t t σ { } = Φ( x) =Φ( x) P( S > t) = P N( t) < olduğuda Φ ( x) = lm P( S > t) t ( ) = lm P N( t) < t N( t) t / µ t / µ lm P( < ) t 3 3 σ t / µ σ t / µ yazılablr. t / µ µ t = 3 σ t / µ σ t / µ ( t µ ) µ = σ t µ olup lm = olacağıda t t

21 t / µ lm = x t 3 σ t / µ elde edlr. Bu durumda N( t) t / µ t / µ Φ ( x) = lm p( < ) t 3 3 σ t / µ σ t / µ N( t) t / µ = lm p( < x) t 3 σ t / µ olur. Yukarıdak teoremde t büyükke N( t ) rasgele değşke asmptotk dağılımı yaklaşık olarak t µ ortalama ve σ t 3 µ varyası le asmptotk ormal dağılımlıdır, ya dr. t σ t N( t) AN (, ) 3 µ µ 3. Yeleme foksyou { N( t), t } br yeleme sürec olmak üzere, M ( t) = E( N( t)), t le verle M ortalama değer foksyoua yeleme foksyou der (Karl ve Taylor 975). Burada M ( t ), [,t ] zama aralığıda yapıla yelemeler ortalama sayısıdır. olsu. I k, =, S t k S > t k olup = k= N( t) Ik 3

22 E( N( t)) = E Ik k= = k= k= k= E( I ) = P( S t) = elde edlr. O halde k k k* F t ( ) dr. k* ( ) = ( ), M t F t t (3.) k= (3.) fades kullaılmasıyla M sağda sürekl ve azalmaya br foksyo olduğu kolaylıkla elde edlr. Buula brlkte lm M ( t) = olup M yeleme foksyou t ç bre yakısamaması dışıda br dağılım foksyouu tüm özellklere sahptr. t A blmeye ve a ble br foksyo olmak üzere (.) le verle t At ( ) = at ( ) + At ( xdf ) ( x), t tegral deklem göz öüe alalım. Teorem 3.3 de dolayı bu tegral deklem çözüm foksyouu M yeleme foksyoua bağlı olarak t At ( ) = at ( ) + at ( xdm ) ( x), t şeklde ortaya çıkar. (3.) fades kullaılmasıyla M yeleme foksyou ç br tegral deklem elde ( k+ edleblr. F )* ( t) yere matematksel olarak dek ola tegral alımasıyla t k* F t xdf x ( ) ( ) 4

23 t M ( t) = F( t) + M ( t xdf ) ( x) (3.3) = F( t) + F * M ( t), t buluur. Bu tegral deklem br yeleme deklemdr. (3.3) deklem t M ( t) = F( t) + F( t xdm ) ( x), t (3.4) o olarak yazılablr. Çükü M * F = F * M dr. F dağılım foksyou f olasılık yoğuluk foksyoua sahp se (3.3) deklem t M ( t) = F( t) + M ( t x) f ( xdx ), t (3.5) bçmde yazılablr. F ve M foksyolarıı sırasıyla Laplace-Steltes döüşümler ve tx F ( t) e df( x) LS = tx MLS ( t) = e dm ( x) olmak üzere (3.3) yeleme deklemde, Laplace-Steltes döüşümüü kullaılmasıyla M ( t) = F ( t) + F ( t) M ( t) elde edlr. O halde ve LS LS LS LS FLS ( t) MlS ( t) =, t> F ( t) LS MLS ( t) FLS ( t) =, t> + M ( t) LS (3.6) (3.7) dr. Ayrıca F dağılım foksyou f olasılık yoğuluk foksyoua sahp ke f ve M foksyolarıı sırasıyla Laplace döüşümler tx fl( t) = e f ( xdx ) 5

24 olmak üzere tx ML ( t) = e M ( xdx ) M ( t) L fl( t) = t( f ( t)) olduğu kolaylıkla elde edleblr (Cox 96). L (3.8) Br foksyou Laplace-Steltes döüşümüü o foksyou tek olarak belrlemesde (Kawata 97) sırasıyla (3.6) ve (3.7) eştlkler de kullaılmasıyla F dağılım foksyou M yeleme foksyouu ve M yeleme foksyou da F dağılım foksyou tek olarak belrler. Şmd M türev foksyouu bulalım. F dağılım foksyou f olasılık yoğuluk foksyoua sahp se dm t d dt dt dr. Bu durumda mt ( ) = ( ) = k* d ( ) k* ( ) = k* F t = F t f ( t ) dm ( t) dt dt k= k= k= le taımlı m foksyoua Yeleme Yoğuluğu der (Ross 983). t M ( t) = m( xdx ) olduğu açıktır. (3.5) tegral deklemde t ye göre türev alımasıyla t mt ( ) = f ( t) + mt ( x) f ( xdx ) leer kc çeşt Volterra tegral deklem elde edlr. t> olmak üzere M ( t+ t) M ( t) = Pt ( < S t+ t) k= k olduğuda, mt ( ) t dar ( t, t+ t) aralığıda br yeleme olması olasılığı olarak fade edleblr. Ayrıca mt ( ) t cvarıdak dar br aralıkta beklee yelemeler ortalama sayısıı tarf eder. 6

25 3.. Yeleme foksyou le lgl bazı lmt teoremler İlk olarak uzu süre çalışmakta ola br yeleme sürecde brm zamada yapıla yelemeler beklee sayısıı yaklaşık /µ olduğuu fade ede elemater yeleme teorem verelm. Teorem 3.4 (Karl ve Taylor 975) { ( ), } bçmde br yeleme sürec olsu. Bu durumda, dr. M ( t) lm = t t µ N t t her ç E( X ) = µ < olacak M ( t ) buu dışıdak asmptotk özellkler buluması ç hazırlayıcı br taımı aşağıda verlmektedr. Taım 3. Br X rasgele değşke λ> olmak üzere br olasılıkla { kλ : k =, ±,... } kümesde değerler alır se X rasgele değşkee ve ou dağılım foksyoua artmetk der. Bu özellğe sahp e büyük λ sayısı da dağılımı gere olarak adladırılır (Grmmett ad Strzaker 99). Bu çalışmada yeleme aralıklarıı artmetk olmadığı durum göz öüe alıır. Artmetk durumda çoğu kez bezer souçlar geçerldr. Şmd aahtar yeleme teorem olarak ble teorem verelm. Yeleme teorsdek brtakım lmt souçlara doğruda bu teorem yardımıyla ulaşılablr. Teorem 3.5 a, (, ) aralığı üzerde taımlı ve. Her t> ç at ( ) 7

26 . at ( ) dt <. a artmaya özellklere sahp br foksyo olsu. Bu durumda F artmetk olmaya br dağılım foksyou se t lm at ( xdm ) ( x) = a( xdx ) µ t dr (Smth 958). Souç 3. Br yeleme sürecde ardışık yelemeler arası geçe süreler artmetk olmaya br F dağılım foksyoua ve solu µ ortalamasıa sahp olsu. Bu durumda a foksyou yukarıdak üç özellğe sahp se (.) de verle t At ( ) = at ( ) + At ( xdf ) ( x) yeleme deklem ç elde edlr. lm At ( ) = a( xdx ) t µ İspat (.) yeleme deklem çözüm foksyou Teorem.3 de t At ( ) = at ( ) + at ( xdm ) ( x) le verlr.bu durumda t le lmt alııp Teorem 3.5 kullaılırsa lm At ( ) = lm at ( ) + a( xdx ) t t µ elde edlr. Ayrıca a ı sahp olduğu özellklerde lm at ( ) = olacağıda olacaktır. lm At ( ) = a( xdx ) t µ t 8

27 Şmd yeleme teorem olarak ble Blackwell teorem verelm. Teorem 3.6 Herhag br { N( t), t } yeleme sürecde ardışık yelemeler arası geçe süreler artmetk olmaya F dağılım foksyou ve solu µ ortalamasıa sahp se herhag br h> ç [ M t M t h ] lm ( ) ( ) = t dr (Smth 958). h µ İspat h> olmak üzere, < t h at ( ) = h, t> h alımasıyla, Teorem 3.5 kullaılarak stele souca ulaşılır Bu teoremde uzu süredr çalışa br yeleme sürecde h uzuluğudak br aralıkta yapıla yelemeler beklee sayısıı yaklaşık h / µ olduğu fade edlr. Şmd M yeleme foksyouu asmptotk açılımıda kc br term belrleye aşağıdak teorem verelm. Teorem 3.7 F solu µ kc momete sahp artmetk olmaya br dağılım foksyou olsu. Bu durumda t µ lm M ( t) = t µ µ dr (Karl ve Taylor 975). (3. ) Yukarıdak teoremde M ( t ) ç verle asmptotk fade t büyük değerler ç M ( t ) hesaplamasıda ve ayı zamada F blmedğde M ( t ) 9

28 tahmde çok faydalıdır. µ ve varyasıı göstermek üzere c σ sırasıyla F dağılımıı beklee değer ve σ = dyelm, burada c, F dağılımıı değşm µ katsayısıdır. Bu durumda (3.) asmptotk fadesde, yeterce büyük t ç M t t µ ( ) + ( c ) yazılablr. F, µ ortalamalı üstel dağılım foksyou, ya c= ke yukarıdak asmptotk açılım her t ç M ( t ) kedse eşttr. c çok büyük ya da çok küçük değlse bu asmptotk açılım t bazı değerler ç pratkte yeterce doğrudur. Sayısal celemeler göstermştr k M ( t ) ç kullaılablr, burada t 3 c µ, c > = µ < c µ c c,., <. t ( c ) µ + açılımı pratkte t t ç dr (Tms 994). c le açılım kötüleşr. Yaklaşımı görel hatası t t ç tpk olarak %5 altıdadır ve çoğu kez % de daha küçüktür.

29 4. YENİLEME FONKSİYONUNUN HESABI Br { N( t), t } yeleme sürecde yelemeler arası geçe zama süreler dağılım foksyou F bldğde sürec M yeleme foksyou görüüşte (3.), (3.3) ve (3.6) fadeler brde elde edleblr. Fakat geelde k parametrel üstel, düzgü, hper üstel ve gamma dağılımı dışıda M yeleme foksyou bu deklemlerde aaltk olarak elde edlemez. Bu durumda M sayısal olarak elde edleblr. Lteratürde Laplace ve Ters Laplace döüşümler hesabıa, kuvvet serler açılımıa, kübk Sple yaklaşımıa ve yeleme tegral deklem sayısal hesabıa dayalı bazı yötemler vardır (Baxter 98, Baxter ve dğerler 98, Xe 989). Kolay olarak programlaablmes heme heme tüm durumlarda bastlğ ve yakısaklığı le y souçlar vere ve dğer ble yötemlerle karşılaştırıldığıda uygulaablrlğ daha fazla ola br yötem Xe RS(Rema-Steltes) yötemdr (Xe 989). Bu kısımda yukarıda belrtle dağılımlar ç M yeleme foksyou aaltk fadeler verlr. Ayrıca bu foksyou sayısal hesabı ç RS yötem üzerde durulur. 4. Yeleme Foksyouu Aaltk Olarak İcelemes Bu kısımda k parametrel üstel, düzgü, hper üstel ve gamma dağılım foksyolarıa dayalı yeleme süreçler yeleme foksyolarıı aaltk olarak elde edlmes üzerde durulmaktadır. 4.. İk parametrel üstel dağılım X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou θ ( x θ ) θe, x> θ; θ, θ > f ( x) =, dy olsu. =,,... ç X ler yukarıda verle k parametrel üstel dağılıma sahp brbrde bağımsız rasgele değşkeler olmak üzere { N( t), t } yeleme sürec

30 göz öüe alısı. ç S = X X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou ardışık olarak hesaplaa kovolüsyo tegrallerde * f x θ ( x θ ) θ ( x θ ) e, ( ) = ( )!, x> θ x θ buluur. Bu fade yardımıyla S dağılım foksyou * F x, ( ) = [ θ( x θ )] θ ( x θ ) e, =! x> θ x θ elde edlr. F * ( x ) aaltk fadese bağlı olarak bu yeleme sürecyle lgl foksyolar aaltk olarak elde edleblr. N( t ) yeleme rasgele değşke olasılık foksyou,, t θ [ θ( t ( + ) θ) ] t [ θ( t θ ) ] = = + θ [ θ ( t θ ) ] θ + θ ( t ( + ) θ ) θ ( θ ) P( N( t) ) e e, ( ) t =! =! θ ( t θ ) e, t ( ) =! θ dır (Barlow ve Proscha 965). (3.) kovolüsyo sers yardımıyla M ( t ) yeleme foksyouu elde edlmes üzerde duralım. r= t / θ olmak üzere, dr. M t * ( ) = F ( t) = = r = * F t r = r e = r = r e ( ) θ ( t ( r ) θ ) θ ( t sθ ) = = [ θ ( t ( r + ) θ )]! s [ θ( t sθ ) ]!

31 4.. Düzgü dağılım X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou,, < x< θ f ( x) = θ, dy. olsu. =,,... ç X ler yukarıda verle düzgü dağılıma sahp bağımsız rasgele değşkeler olmak üzere { N( t), t } yeleme sürec göz öüe alısı. ç S = X X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou ardışık olarak hesaplaa kovolüsyo tegrallerde x, < x θ ( )! θ ( ), x ( )! x θ θ x θ θ x ( x ) ( x ), x 3 θ θ θ θ ( )! θ + ( ) =... x ( x θ) + ( x θ )... + ( ) ( x ( ) θ ), ( ) θ x θ ( )! θ, dy * f x k ( ) ( ), ( ) ;,,..., ( ) x θ kθ x k+ θ k = =! θ =, dy. elde edlr. Bu fade yardımıyla S dağılım foksyou, x< ( ) =, + ; =,,...,, x θ k * F x ( ) ( x θ) kθ x ( k ) θ k! θ = buluur. Böylece N( t ) yeleme rasgele değşke olasılık foksyou ç br kapalı form 3

32 ,( + ) θ t k ( ) P( N( t) = ) = ( ( + ) θ t) ( t θ), kθ t ( k+ ) θ ; k =,,..., = ( + ) + + ( ) ( t θ), θ t ( ) θ + ( ) + +! θ = olarak buluur. Ayrıca M ( t ) kovolüsyo sers yardımıyla aşağıdak gb buluur. M t = * ( ) F ( t) = dır. t / θ + e, t θ t θ t / θ t θ + e θ e, θ t θ θ t θ t θ t / θ t θ ( t θ) θ θ + e e + e,, θ t 3θ θ! θ. =.. ( ) ( ) t θ θ! θ... t θ t θ t / θ t θ θ θ e e... e, θ t ( ) ( ) t k θ t θ θ = + e, kθ t ( k+ ) θ ; k =,,... =! θ θ 4..3 Hper üstel dağılım X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou 4

33 θθ θx θx ( e e ), x> ; θ > θ> f ( x) = θ θ, dy. olsu. =,,... ç X ler yukarıda verle hper üstel dağılıma sahp rasgele değşkeler olmak üzere { N( t), t } yeleme sürec göz öüe alısı. Bu sürec ortalama değer foksyou (3.) kovolüsyo sers ya da (3.3) tegral deklem dışıda kolaylıkla (3.6) ya da (3.8) de elde edleblecek Laplace-Steltes ya da Laplace döüşümüü ters döüşümüü alımasıyla elde edleblr. Gerçekte fl ( t) = olup (3.8) de L ( ) M t θθ ( t+ θ )( t+ θ ) = ( + θ + θ ) t t θθ elde edlr. M L ters Laplace döüşümüü alımasıyla θθ ( θ+ θ) t M ( t) = ( e + ( θ+ θ) t), t θ + θ buluur. ( ) 4..4 Gamma dağılımı { N( t), t } yelemeler arası geçe zama süreler α, β > parametrel gamma dağılımıa sahp br yeleme sürec olsu. Bu durumda [,t ] dek her br yeleme süres olasılık yoğuluk ve dağılım foksyou sırasıyla ve f x x e x Γ( α) β α x / β ( ) =, α x α x / β ( ) = x e dx, x α Γ( α) β F x dır. α > reel sayısıı doğal sayı olması durumuda F ç kapalı br formu 5

34 ( x / β) k α x / β ( ) =, F x e x k! k= olduğu blmektedr. ç dağılımıa sahp olduğuda ve dır. k α * t / β F ( t) = k= ( t / β ) k! P( N( t) = ) = e ( + ) α ( t / β) k= α k! S rasgele değşke α ve β parametrel gamma k e t / β Şmd N( t ) olasılık ürete foksyou yardımıyla M ( t ) br kapalı form fades elde edelm. N( t ) olasılık ürete foksyouu ψ le gösterelm. * (, ) z F ( t) G zt = = taımlamak üzere ψ ( zt, ) = z P( N( t) = ) = = + ( z ) G( zt, ) dr. y α = z döüşümü yapılmasıyla * (, ) = z F ( t) G zt = = z x α ( x / β) β( α ) t x / β = z e dx =! = t ( / β) ( ) β α α x / β e dx! t x / β α e α xy = y /( α )! dx β = β buluur. Herhag br u reel sayısı ve α tamsayısı ç alıdığıda = olmak üzere / c= e π α 6

35 u α α ( α ) =! α = r= r r uc ce olduğu blmektedr (Parze 96). Böylece t x / β α e r α r xyc / β G( zt, ) = y ce dx α β r= α t r α r x( yc )/ β = y c e dx αβ r= r= α / α r z c = e / α r αz z c / α r ( ) t z c / β buluduğuda N( t ) olasılık ürete foksyou P( zt, ) = + ( z ) G( zt, ) olarak buluur. Burada ve göstermyle yazılablr. α α r / α / α r t( z )/ β t( z c )/ β ( e ) r ( e α ) / α / z z z z c = + + αz z αz z c / α z z / α t( z )/ β h( zt, ) = ( e ) / α α z α r= / α r z c / α r z c g( zt, ) = / α / r= ( ( ) / α r t z c ) / β e dψ ( zt, ) dh( zt, ) z dg( zt, ) = + g( zt, ) + dz dz α z z dz α r c g( zt, ) z= = r c r= r t( c )/ β ( e ) r t c β ( e ) α r r dg( zt, ) c c t z= = e r + r dz r= α c c αβ r ( )/ t ( c ) / β ( ) ( ) / α t( z )/ t( z / α β )/ β e e / α / α / α / α z= = / α + / α dh ( zt, ) d z z d z z dz α dz z α dz z dır. z ç 7

36 olduğuda / / ( ) ( ) ( α t z d )/ t, ( α β z e e )/ β t dz αβ (, ) dh zt t lm = z dz αβ buluur. Bu durumda α r dp( zt, ) t c lm = + e z r dz αβ α c r= r ( ) t c / β dır. Böylece bu sürec yeleme foksyou α br doğal sayı olmak üzere, r= r t( c ) / β ( e ) α r t c M ( t) = + (4.) r αβ α c le kapalı br formda elde edlr. α =, α =, α = 3 ve α = 4 ç sırasıyla (4.) de t M ( t) = β t M ( t) = + e β 4 4 M t t / β t 3t 3t 3β 3 3 β 3 β 3 t / β ( ) = + e (cos( ) + s( )) t 3 t / β t / β t t M( t) = + e + e (cos( ) + s( )) 4β β β fadeler le buluur. 4. M(t) RS Yötem le Sayısal Hesabı Xe (989), M yeleme foksyouu (3.4) tegral deklemde sayısal olarak çözümü ç RS(Rema-Steltes) olarak adladırıla br yötem vermştr. RS yötem kolay olarak programlaablr, heme heme tüm durumlarda bastlğ ve yakısaklığı le y souçlar verr ve dğer ble yötemlerle karşılaştırıldığıda uygulaablrlğ daha fazladır. Bu yötem özellkle f olasılık yoğuluk foksyou blmedğ ve 8

37 aykırı oktalara sahp ke faydalıdır. Burada, M ( t ) yeleme foksyouu sayısal hesabı ç verle RS yötem üzerde durulmaktadır. Rema-Steltes tegral taımıı ışığı altıda g( xdh ) ( x) aralığıı br parçalaması { x x x } =,,..., olmak üzere, b tegral, [ ab, ] b g( xdh ) ( x) g(( x + x ) / )( h( x ) h( x )) (4.) a = şeklde yazılablr. Rema-Steltes tegral sayısal hesaplaablmes ç kullaılablecek bu formülde parçalamaı ormu küçüldükçe yaklaşımı daha y olacağı açıktır. a Şmd (3.4) deklem, ya t M ( t ) = F( t) + F( t xdm ) ( x), t o tegral deklem göz öüe alalım. t verlmş br değer ve { t t t } = t < t <... < t = t şartıı sağlaya br parçalama olsu. Bu durumda t M ( t) = F( t ) + F( t xdm ) ( x), t olup (4.) fades kullaılmasıyla o M ( t ) F( t ) + F( t ( t + t ) / )( M ( t ) M ( t )) =,,..., buluur. Böylece olarak, M ( t ) = T = F( t ( t + t ) / )( M ( t ) M ( t )) alıdığıda M ( t ) ardışık = olmak üzere F( t ) + T F( t ( t + t ) / ) M ( t ) M t ( ) =, =,,..., F( t ( t+ t ) / le yaklaşık olarak hesaplaablr (Xe 989a). 9

38 F dağılım foksyou yere f olasılık yoğuluk foksyou verldğde ve F kapalı br formda fades yok se F dağılım foksyou t F( t ) = F( t ) + f (( t+ t ) / ), =,,..., formülü le kolaylıkla hesaplaablr. (3.3) ve (3.4) deklemler teork olarak dektrler. Lteratürde e yaygı olaı (3.3) deklem olmasıa rağme RS yötem (3.4) deklem çözümüe kısıtlamıştır. Eşt olmaya adım uzulukları kullaılırsa (3.4) deklem ardışık çözüm ç daha bast görüür. Ayı zamada (3.3) yere (3.4) ü kullaılmasıı temel avataı F( t ) büyük t ler ç heme heme sabt olmasıdır ve böylece F( t ) F( t ) dek yuvarlatma hatası spete büyük olacaktır. 3

39 5. SANSÜRLÜ VERİLER Sasürleme, zama ve malyet gb br takım sıırlamalar edeyle, öreklemdek brmlerde elde edle gözlemler aalze dahl edlememes veya elde edlemeye blgler göz ardı edlmesdr (Topçu 7). Öreğ, sabt ya da rasgele takp sürel çalışmalarda, belrlee süre souda lglele olayı (bozulma gb) hala gerçekleşmemş olmasıdır. Bu tür durumlarda karşımıza çıka gözlemlere sasürlü verler adı verlr Lteratürde farklı sasürleme çeştler verlmştr (Lawless 3). Bularda bazıları aşağıdadır: Sağda Sasürleme I. Tp Sasürleme (zama sasürleme) Rasgele Sasürleme (zama rasgele sasürleme) II. Tp Sasürleme (parça sasürleme) Solda Sasürleme İkl Sasürleme Aralık Sasürleme Bu çalışmada yukarıdak sasürleme çeştlerde yalızca sağda rasgele sasürleme le lglemekteyz. Bu sasürleme durumu aşağıdak kısımda ayrıtılı br şeklde ele alımıştır. 5. Sağda Rasgele Sasürleme =,,..., ç Y.parçaı ömrüü ve T.parça le lgl sasürleme rasgele değşke gösters. Burada hem Y ( =,,..., ) ler hem de T ( =,,..., ) ler bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değşkelerdr. Ayrıca ( =,,..., ) rasgele değşkeler bağımsızdır. Y ( =,,..., ) ve T 3

40 =,,..., olmak üzere.bleşe T rasgele değşke le sasürlemes altıda. bleşe ç sasürlü gözlemmz X = m( Y, T ) dr. Bu şeklde oluşturula X,, K X rasgele değşkelere sağda rasgele sasürlemş brmlk öreklem der. Yeleme süreçler le lgl uygulamalarda çoğu kez bu tp gözlemler le karşılaşılır. Öreğ, ye çıka br ürü farklı zamalarda satılır ve üretc bu satıla ürüler bozulma süreler ay gözler se, satıla ürüler ömürler karşımıza sağda rasgele sasürlemş verler olarak çıkar. =,,..., ç Y rasgele değşke dağılım foksyou F ve olasılık yoğuluk foksyou f le gösterelm. F şeklsel olarak blrke bazı parametreler blmes. θ, θ,..., θ r F blmeye parametreler gösters. Bu durumda X,, K X sağda rasgele sasürlü örekleme dayalı olarak θ, θ,..., θ r parametreler tahmler yardımıyla F ı br oktadak tahm yapablrz. 5. Sağda Rasgele Sasürlü Öreklem Durumuda Parametre Tahm Bu kısımda F foksyoel olarak blrke, blmeye θ, θ,..., θ r parametreler sağda rasgele sasürlemş örekleme dayalı olarak eçok olablrlk tahm edcler elde edlmes üzerde durulacaktır. T ( =,,..., ) rasgele değşke dağılım foksyou G ve olasılık yoğuluk foksyouu g le gösterelm. =,,..., ç, I olmak üzere X, =, Y T Y > T = m( Y, T ) = YI + T ( I ) 3

41 yazılablr. ( I = ) olayı. bleşe ç sasürleme yapılmadığıı gösterrke ( I = ) olayı sasürleme yapıldığıı gösterr. Şmd lk olarak sağda rasgele sasürlü X,, K X öreklem durumuda olablrlk foksyouu oluşturulması ç X ve I ( =,,..., ) rasgele değşkeler ortak dağılımlarıı bulalım. olduğuda ve X = x, I = X = x, Y T X = Y = x, X T Y = x fx, I ( x,) = f ( x )( G( x )) olduğuda, x T X = x, I = X = x, Y > T X = x, Y > T, X = T Y = x, Y > x fx, I ( x,) = g( x )( F( x )) dr. Böylece δ {,} ç δ δ δ [ ] ] ] ] fx, (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) I x δ = f x F x ft x FT x yazılablr. Bu durumda sağda rasgele sasürlü X,, K X öreklem ç Lθ (, θ,... θ ) olablrlk foksyou aşağıdak gb taımlaır (Bsha, 988). r δ δ δ r = [ ] [ ] [ T ] = = L( θ, θ,... θ ) f ( x ) F( X ) f ( x ) F( x ) [ f ( x )] [ F( X) ] [ g( x )] [ G( x )] δ δ δ δ = = = δ δ olur. Bu L foksyouu maksmum yapa θ, θ,..., θ r değerlere parametreler e çok olablrlk tahmler der ve bu tahmler sırasıyla ˆ θ ˆ ˆ, θ..., θ r le gösterlr. G dağılımı θ, θ,..., θ r parametreler çermez se olablrlk foksyoudak kc çarpım e çok olablrlk tahm edcler buluma şlem etklemeyecektr 33

42 E çok olablrlk yötem le uygu br şeklde çalışmak ç gözlemler kümes D ve C gb k alt kümeye ayıralım. D gözlemş bozulma zamalarıı ve C sasürlemş gözlemler dsler kümes gösters. D kümes boş küme olmadığı varsayımı altıda C ve D kümeler yardımıyla olablrlk foksyou, L( θ,..., θ ) = f ( x ) ( F( x )) g( x ) ( G( x )) r D C C D bçmde yazılablr. Çoğu durumda ˆ θ ˆ ˆ, θ..., θ r e çok olablrlk tahm edcler log L( θ ) =, =,,..., r θ deklem sstem çözümüyle elde edlr. Yaygı kullaıla brkaç F dağılımı dışıda bu deklem sstem aaltk çözümü yoktur. Bu durumda sayısal br yötem le çözümü gerekllğ ortaya çıkmaktadır. Lteratürde e çok kullaıla deklem sstem çözme yötemlerde brs Newto-Raphso yötemdr. Bu çalışmada ele alıacak dağılımları parametreler tahmler elde etmek ç aşağıda tarf edle bu yötem kullaılmıştır. 5.. Newto-Rapso Yötem =,,..., r ç ve θ θ parametres gerçek değer, log L( θ, K, θ ) U θ K θ = = r r (,, r ),,..., θ log L( θ, K, θr ) log L( θ, K, θr ) log L( θ, K, θ ) r... θ θ θ θ θr log L( θ, K, θr ) log L( θ, K, θr ) log L( θ, K, θr )... θ θ θ θ θr V ( θ, K, θr ) =... log L( θ, K, θ ) log L( θ, K, θ ) log L( θ, K, θ ) r r r... θr θ θr θ θ r rxr 34

43 olsu. U( θ, K, θr ). U ( θ, K, θr ) =.. Ur ( θ, K, θr ) dyelm. =,,..., r ç * θ θ le θ arasıda olmak üzere U ( θ, K, θ r ) ı sstem ( θ,..., θ ) etrafıda Taylor serse açılması le deklem r * θ θ. U ( θ, K, θr ) = U ( θ,..., θr ) + V ( θ,..., θr ). (5.). * θr θ r yazılablr (Gertsbakh 989). (5.) de θ ˆ = θ ( =,,..., r ) alısı, burada ˆ θ e çok olablrlk tahm edcsdr. Bu durumda U ( ˆ θ ˆ, K, θ r ) = olup (5.) de * θ θ... =. V ( θ,..., θr ) U ( θ,..., θr ).. * θ r θ r θ buluur. Yukarıdak fade yardımıyla =,,..., r ç olmak üzere, () θ ˆ θ başlagıç değer ( m+ ) ( m) θ θ.. ( ) ( ) ( ) ( ). m m m m =. V ( θ,..., θr ) U ( θ,..., θr ), m=,,..... ( m+ ) ( m) θ r θ r terasyo şlemler göz öüe alıır. =,,..., r ç θ, ( m ) ( m ) θ + sayısıa yeterce yakısa terasyo durdurulur. m ke =,,..., r ç θ θ, =,,..., r dr. ( m) ˆ 35

44 Aşağıda bu çalışmada kullaılmakta ola bazı dağılımları blmeye parametreler ç sağda rasgele sasürlü örekleme durumuda e çok olablrlk tahm edcler elde edlmes üzerde durulmaktadır. 5.. Üstel dağılım F, θ parametrel üstel dağılım foksyou olsu; ya F x e x θ x / θ ( ) =,, > olasılık yoğuluk foksyouda x / θ f ( x) = e, x, θ > dır. Sağda rasgele θ sasürlemş X = m( Y, T ) ( =,,..., ) öreklem göz öüe alalım. Burada Y ler dağılımıı θ parametrel üstel ve T ler dağılımıı br G dağılımı olduğuu hatırlatalım. Kabul edelm k G dağılımı θ parametres çermes. Bu durumda Lθ ( ) olablrlk foksyou olup [ ] L( θ ) = f ( x ) F( x ) D C x / θ x / θ = e e Dθ C l L( θ ) = l x x θ θ θ olur. Bu durumda D D C = S( D)l x θ θ = d l L( θ ) S( D) = + x = dθ θ θ = deklem çözümüde θ ı e çok olablrlk tahm edcs ˆ= = θ X S( D) olarak elde edlr. (5.) 36

45 5..3 Webull dağılım F, α şekl ve β ölçek parametrel Webull dağılım foksyou olsu, F x = e x> α ( x / ) ( ) β, olup bu dağılımı olasılık yoğuluk foksyou, dr. α f x x e x β α α ( x / β ) ( ) =, > ; α, β > α X,, K X ; F dağılımıda sağda rasgele sasürlemş brmlk öreklem olmak üzere, sasürleme rasgele değşke dağılım foksyou ola G α ve β parametreler çermedğ kabul edelm. Bu durumda ve olup L α x e e α x β ( ) α α ( x / β ) ( / ) ( α, β ) = α D β C α l L ( α, β ) = l x e l e α D β α x β ( ) α α ( x / β ) ( / ) C α α x x = lα α l β+ ( α ) lx α α D β C β α = S( D) l α S( D) α l β+ ( α ) lx x x α α β β D D C = S( D) l α S( D) α l β+ ( α ) lx x α D β = α α ve l L( α, β ) S( D) lβ = S ( D ) lβ + l x x l x + x = α α β β α α α α D = = (5.3) l L( α, β ) S( D) α α = + = (5.4) β β x α α β + = deklemler elde edlr. (5.4) deklemde 37

46 α x = S( D) = β / α olur. Bu fade (5.3) de yere koulmasıyla, α ya göre (5.5) α lx x lx = = S( D) α x = + = α (5.6) leer olmaya deklem elde edlr. Bu deklem Matlab paket programıda Newto Raphso yötem le çözüleblr. Burada Newto Raphso yötem verlşdek otasyolara bağlı kalımak üzere, ve U ( α) = + α α lx x lx = = S( D) α x = V ( α) = α α α α x ( lx) x x lx = = = = α α ( l ) l x x x x = = = + α α α x x = = x α dr. Bu durumda Newto Raphso yötemde α () başlagıç değer le, 38

47 U ( α( m)) α( m+ ) = α( m) V ( α( m )) α ( m) l l x x x = = + α( m) S( D) α ( m) x = α ( m) α ( m) ( l ) l x x x x = = + α( m) α ( m) α ( m) x x = = = α( m), m=,,... terasyo şlemlere ulaşılır. α ( m+ ) yeterce ( m) (5.7) α sayısıa yeterce yakısa terasyo durdurularak α ı e çok olablrlk tahm değer ola ˆ α = α( m+ ) olarak bulumuş olur. Örek α ve β parametrel Webull dağılımı ç sağda rasgele sasürlemş gözlem değerler x = 7.9 x = 4.55 x 3 = 6.77 x 4 = 6.77 * x 5 = 7.5 * x 6 = 7.8 * x 7 = 6.59 * x 8 = 6.8 * x 9 = 5.5 * x =.95 * x = 4.8 * x = 7.45 * x 3 = 5.3 * x 4 = 5.3 olarak verls. Burada * le belrtle sayılar sasürlemş gözlem değerlerdr. (5.6) dek terasyo şlemler aşağıda EK de verle Matlab programıda yaptırılmasıyla α ı e çok olablrlk tahm değer ˆ α = 7.97 olarak buluur. (5.4) deklemde de β ı e çok olablrlk tahm değer ˆ β = olur Log-ormal dağılım F, µ ve σ parametrel log-ormal dağılım foksyou olsu. Φ stadart ormal dağılımı dağılım foksyou olmak üzere, logx µ F( x) =Φ, x> ; µ, σ > σ 39

48 dr. Ayrıca bu dağılımı f olasılık yoğuluk foksyou, dır. logx µ σ f ( x) = e, x> ; µ, σ > πσx X,, K X yukarıdak F dağılımıda sağda rasgele sasürlemş brmlk br öreklem olsu. Sasürleme rasgele değşke dağılım foksyou ola G µ ve σ parametreler çermedğ kabul edelm. Bu durumda, logx µ y =, =,,..., σ olmak üzere, ( ) l L( µ, σ ) = l f ( x ) + l F( x ) D C logx µ σ = l e + l Φ( ) πσx D C [ y ] y = lσ l π + l[ Φ( y )] D C = y S( D)log σ S( D) l π + l Φ( y ) D C [ ] olur. Bu dağılımı blmeye µ ve σ parametreler e çok olablrlk tahm edcler bulablmek ç yukarıdak deklem µ ve σ ya göre türevler alıarak aşağıdak leer olmaya deklemlere ulaşılır. l L( µ, σ ) ϕ( y ) = y + = µ σ σ φ( y ) D C ve l L( µ, σ ) S( D) yϕ( y ) = + y + = σ σ σ σ φ( y ) D C Burada ϕ stadart ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyoudur. Bu k deklem ortak aaltk çözümü yoktur. µ ve σ ı e çok olablrlk tahmler Newto 4

49 Raphso yötem le hesaplaablr. Bu yötem çalıştırılmasıda gerekl matematksel fadeler aşağıdak gb çıkartılır. ( ) ( ) ( y ) y ϕ( y ) y D D C ( y ) C [ ( y )] y φ( y ) ( ) ( ) ( ) l (, ) ϕ y y ϕ y ϕ y L µ σ = + + σ σ µ σ σ σ σ σ φ σ φ ϕ( y ) ( ) y D C ( y ) C [ ( y )] φ ϕ ϕ ( y ) ( y ) y y ( y ) σ σ φ σ φ = + yϕ( y ) ϕ( y ) φ( ) ϕ( y ) + yϕ( y )( y ) σ σ σ ( y ) l L( µ, σ ) = y + σ µ σ D σ σ C [ φ( y )] ( ) ( ) ( ) = y ϕ y ϕ y yϕ y σ σ φ σ φ y D C ( y ) C [ ( y )] 3 yϕ ( y ) yϕ( y ) yϕ ( ) yϕ ( ) ( φ( y )) + l L( µσ, ) SD ( ) y yϕ ( ) σ σ σ = y ( ) y + + σ σ σ D σ D σ σ C φ( y ) σ C [ φ( y )] ve SD ( ) 3 yϕ( y ) yϕ ( y ) = y + σ σ σ φ( ) φ( y ) D C y C y ϕ ( y ) ( φ( y )) ϕ( y ) µ σ σ σ l L(, ) = + µ σ D σ σ C [ φ( y )] ( ) [ ( y )] ϕ φ ϕ y ( y ) ( y ) ( y ) S( D) σ σ C φ =. Böylece ve l L( µ, σ ) µ U ( µ, σ ) = l L( µ, σ ) σ 4

50 V ( µ, σ ) l L( µ, σ ) l L( µ, σ ) µ µ σ = l L( µ, σ ) l L( µ, σ ) σ µ σ olmak üzere Newto Raphso yötemde µ ( ) ve ( ) σ başlagıç değerler le, ( m+ ) ( m+ ) ( m) ( m) µ µ σ σ ( µ ( ) σ ( )) µ ( ) σ( ) ( ) = = V m, m U m, m, m,,... terasyo şlemlere ulaşılır. Sırasıyla ( m) µ ve ( m) σ sırasıyla ( m ) µ + ve σ ( m+ ) sayılarıa yeterce yakısa terasyo durdurularak µ le σ ı eçok olablrlk tahm değerlere ulaşılır. Örek F, µ ve σ parametrel log-ormal dağılım foksyou olsu. Sasürleme rasgele değşke dağılımı (,8) aralığıdak düzgü dağılım alıarak smülasyo yoluyla µ= ve σ = ola log-ormal dağılımda = 5 brmlk sağda rasgele sasürlemş öreklem çekldğde bu sasürlü gözlemlere bağlı olarak Newto-Raphso yötem yardımıyla µ ve σ ı e çok olablrlk tahm edcler ˆ µ =.737 ve ˆ σ =.9959 olarak hesaplamıştır. Bua lşk olarak yazıla Matlab programı EK de verlmştr Gamma dağılımı F, α şekl ve β ölçek parametrel gamma dağılımı, f x x e x Γ( α) β α x / β ( : α, β ) =, >, α >, β > α 4

51 olasılık yoğuluk foksyou le verlr. α br doğal sayı se gamma dağılımıı F dağılım foksyou aşağıda verle aaltk fadeye sahptr. α ı doğal sayı olmaması durumuda F ı aaltk fades yoktur. ( x / β) k α x / β ( ) =, > ; α,,..., β > F x e x k! k= { } X,, K X α ve β parametrel br gamma dağılımıda sağda rasgele sasürlemş brmlk br öreklem olmak üzere, sasürleme rasgele değşke dağılım foksyou ola G α ve β parametreler çermedğ kabul edelm. Bu durumda olup D C ( ) L( α, β ) = f ( x ) F( x ) x e α x / β = α D Γ( α) β C ( F( x )) x l L( α, β ) = ( α ) lx l Γ( α) α lβ ( F( x )) D β + C = ( α ) l x x S( D)l Γ( α) S( D) α lβ + F( x ) β D D C ( ) buluur. α ve β ı eçok olablrlk tahm edcler bulablmek ç bu deklem α ve β ya göre türevler alıarak aşağıdak k dekleme ulaşılır. d l L( α, β ) S( Dd ) l Γ( α) = l x S( D)l dα β + α dα F( x ) S( D) d l Γ( α) = l x S( D)lβ + dα [ F( x )] D C x / β t α x / β e t α t dt t e ltdt d l Γ( α) dα Γ( α) Γ( α ) F( x ) D C x / β t α x / β d l Γ( α) e t α t dt t e ltdt S( Dd ) l Γ( α) dα Γ( α) Γ( α) l x S( D)lβ (5.7) x D dα C = + ve F( ; α, β = ) β 43

52 d l L( α, β ) S( D) α dβ = lx + β β β ( ) [ F( x )] D C F x x e S( D) α Γ( α) β α = lx + β ( ) α x / β + D β C F x S( D) α = lx + α β f ( x ; α+, β ) ( ) D β C F x (5.8) olduğuda deklem sstemmz x / β t α x / β d l Γ( α) e t α t dt t e ltdt S( D) d l Γ( α) dα Γ( α) Γ( α) l x S( D)lβ + = x D dα C F( ; α, β = ) β ve S( D) α f ( x ; α+, β ) lx + α = β ( ) D β C F x olur. Bu k deklem ortak aaltk çözümü yoktur. α ve β ı e çok olablrlk tahmler Newto-Raphso yötem le hesaplaablr. Bu yötem çalıştırılmasıda gerekl matematksel fadeler aşağıdak çıkartılır. α x / β x e α d l Γ( α ) x β x x x / β x [ F( x ) ] [ F( x )] e l l L(, ) S( D) dα β ( α) ( α ) β α β β β Γ Γ = + + α β β C [ F( x )] C [ F( x )] x / β t α x / β α x / d l ( ) e t β Γ α α t x l e dt t e tdt α+ Γ( α) β dα Γ( α) Γ( α ) [ F( x )] S( D) f ( x, α+, β ) f ( x, α+, β ) = αg( α) + α l / β β F( x ) F( x ) C C ( x ) f ( x, α+, β ) F( x ) f ( x, α+, β ) αg( α) + C α [ F( x )] C [ F( x )] 44

53 α x / β α x / β α x / β x e x xe xe ( ) α+ [ F( x )] α+ α+ α+ l L( α, β ) S( D) α C Γ( α) β β Γ( α) β Γ( α) β = + x 3 + β β β D [ F( x )] ve α x / β x xe ( α+ ) β α+ α x / β S( D) α Γ( α) β x e = x + α+ β β ( ) C Γ( α) β F( x ) [ F x ] 3 D C x f ( x ; α+, β ) ( α ) S( D) α α + β = + 3 β β β [ ] f x x α [ ( )] D C F x C [ F( x )] l L( α, β ) d d F( x ) d F( x ) d I = S( D) g( α) + g( α) ( ) + g α α dα dα C F( x ) C dα F( x ) Cdα F( x ) ( ; α+, β ) burada F( x ( ( ) ) I g( α ) F( x ) K I I g α ) C ( ) C [ F( x )] C ( ) C [ F( x )] d d = S( D) g( α) + g( α) + g( α ) dα dα F x F x x / β α t t e I = ltdt =,,...,, Γ( α) ve x / β α t t e (l t) K = dt =,,..., Γ( α) dγ( α) d( l Γ( α) ) g( α) = = dα dα Γ ( α) şeklde taımlaır. ve l L( α, β ) α U ( α, β ) = l L( α, β ) β V ( α, β ) l L( α, β ) l L( α, β ) α α β = l L( µ, σ ) l L( µ, σ ) β α β 45

54 olmak üzere Newto Raphso yötemde α ( ) ve ( ) β başlagıç değerler le, ( m+ ) ( m+ ) ( m) ( m) α α β β ( α( ) β( )) α( ) β( ) ( ) = = V m, m U m, m, m,,... terasyo şlemlere ulaşılır. ( m) α ve ( m) β sırasıyla ( m ) β + sayısıa α + ve ( m ) yeterce yakısa terasyo durdurulur. α le β ı e çok olablrlk tahm değerler ola ˆ α = α( m+ ) ve ˆ β = β ( m+ ) sayılarıa ulaşılır. Örek F α ve β parametrel br gamma dağılım foksyou olsu. Sasürleme rasgele değşke dağılımı (,8) aralığıdak düzgü dağılım alıarak, smülasyo yoluyla α = ve β = ola gamma dağılımda = 5 brmlk sağda rasgele sasürlemş öreklem çekldğde bu sasürlü gözlemlere bağlı olarak Newto Raphso yötem yardımıyla α ve β ı e çok tahm edcler ˆ α =.839 ve ˆ β =.986 olarak bulumuştur.bua lşk olarak yazıla Matlab programı EK3 de verlmştr. 5.3 Ömür Tablo Yötemler ve Çarpım-Lmt (Kapla-Meer) Tahm Yelemeler arası geçe zama süreler dağılım foksyou F ola br yeleme sürec ç F blmedğ kabul edelm. F dağılımıda sağda rasgele sasürlemş brmlk br öreklem göz öüe alısı, burada gözlemler yalızca hag aralıklarda bleşeler öldüğü (bozulduğu) ya da sasürledğ blmek üzere sııfladırılsı ve tam olarak ömürler ve sasürleme zamaları blmes. Zama eksea =, ak = t, a k + = ve t gözlem üzerdek br üst lmt olmak üzere k+ tae, I, = a a) =,,..., k+ aralıklarıa bölüsü. Buda dolayı gözlemler k+ tae aralığı her brse düşe ömürler ve sasürleme zamalarıı sayılarıda oluşur. So aralık ola I k + yalızca ömür zamalarıı buluduğu aralık olarak ele alıablecektr, çükü 46

55 t zamaıa kadar bozulmaya bütü bleşeler I k + dek br zamada bozulmak zorudadır. a = zamaıda rsk altıda (çalışa ve sasürlememş) bleşe sayısı d = I de bozulaları sayısı w = I de ger çekleler (sasürleeler) parça sayısı olsu. I başıda yaşaya bleşe sayısı olduğuda dr. = ve = d w, =,,..., k+ F dağılım foksyoua sahp br rasgele değşke Y le gösterelm. ve olmak üzere F( a ) = PY ( > a ), =,,..., k+ p = PY ( > ay > a ) ve q = p, =,,..., k+ F( a ) = P (br bleşe I ötesde çalışması) ve p = P (br bleşe I ötesde çalışması I ötesde çalışması) yazılablr. q = P (br bleşe I ötesde bozulması I ötesde çalışması) F( a ) = F( a ) = PY ( > a ) F( a ) = PY ( > a ) = PY ( > a Y > a ) PY ( > a ) F( a ) = PY ( > a ) = PY ( > a Y > a ) PY ( > a Y > a ) PY ( > a )... oluğuda F( a ) = PY ( > a ) = PY ( > a Y > a ) PY ( > a Y > a )... PY ( > a ) k k k k k k 47

56 F( a ) = pp... p, =,,..., k+ (5.9) olur. Yukarıdak fade le gözlem brm I y geçme çalışma (yaşam) olasılığı herbr aralığı başlagıcıa kadar çalıştığı verldğdei ye kadar ola aralıkları geçme koşullu çalışma olasılıklarıı çarpımı olarak verlr. Bu souç tahm probleme yaklaşım ç br temel oluşturur. Şmd F( a ) ler tahm problem ele alalım. Eğer ver sasürlememş se buu gerçekleştrlmesde hçbr sıkıtı olmayacaktır. Bu durumda açık br tahm, gerçekte F( a ) ç eçok olablrlk tahm edcs + dr, bu a de çalışa bleşeler oraıdır. Eğer aralıklar ger çeklmeler, ya sasürleme zamalarıı çerrse böyle olmayacaktır, çükü + a zamaıda hala çalışa bleşeler sayısı olması gerekl değldr. Muhtemele bazı sasürlemş bleşeler a de ayı zamada hala çalışacağıda + çoğu durumda F( a ) y altta tahm etme eğlmde olacaktır. Aşağıda verlecek ola ömür tablosu (lfe table) yötem le bu problem çözüleblecektr. Bu yötemde temel fkr F( a ) br tahm elde etmekte (5.9) fades kullamaktır. Böylelkle sasürleme olsa ble gözlemlere dayaarak F( a ) ler alamlı tahmler vermek geellkle mümkü olmaktadır. Eğer I aralığıda sasürleme yok se q alamlı br tahm qˆ d = dr, çükü q bleşe I başıda çalıştığı verldğde o parçaı I de ölmes koşullu olasılığıdır. Fakat w > se d q y altta tahm etmes bekleeblecektr, çükü I de sasürlemş bleşelerde bazılarıı I btmde öce ölmüş 48

57 olablrler. Ayrıca daha öce sasürlemş olupta I de öleler zate çde yoktur. Buda dolayı sasürlü gözlemler ç br düzeleme yapmak arzulaır. E sık kullaıla yötem q sayısıı stadart ömür tablo tahm olarak adladırıla qˆ d = (5.) ' le tahm etmektr, burada w = dr (Lawless 3). (5.) fades > olmasıı gerektrr. = olduğuda uyguluk edeler ç q ˆ = le taımlaır. I aralığı ç rsk altıdak bleşeler etkl br sayısı olarak düşüüleblr; bu br alamda sasürlü br bleşe aralığı yarısı ç rsk altıda çalıştığıı kabul eder. Bu düzeleme keyfdr, fakat çoğu durumda akla uygudur. Bazı durumlarda q dğer tahm edcler terch edleblr. Öreğ, I dek tüm sasürlemeler I souda sağda gerçekleşmşse qˆ d = tahm uygu olur, halbuk bütü sasürlemeler I başlagıcıda gerçekleşmşse qˆ d = w hesapladıkta sora F( a ) (5.9) yardımıyla uygu olur. q ˆ ve pˆ = qˆ tahmler F ˆ ( a ) = pˆ... pˆ, =,,..., k+ (5.) le tahm edleblr. Ömür tablosuu keds very, q ˆ ve tablo geellkle herbr aralık ç, d, F ˆ ( a ) tahmler göstere br tablodur. Bu w, q ˆ ve F ˆ ( a ) değerler vere sütuları buludurur. Baze, p ˆ ve arasıra dağılımı dğer karakterstkler tahmler vere lave sütuları buludurur. Bütü w = olduğu özel durum ç F ˆ ( a ) sasürsüz durum ç öcede bahsedle + tahme drger. 49

58 Örek araba aküsü 3 çalışa arabaya yerleştrlmş ve 4 yıl boyuca yılda br kez kotrol edlmştr. Sasürlemeler (ger çeklmeler) kazaları ve gözetmde arabaı çıkartılması soucuda ortaya çıkmıştır. Bu 3 aküye lşk olarak aralık bazıda d, yardımıyla w ve değerler Çzelge 5. te verlmştr. (Gertsbakh 989). Bu değerler, p ˆ, Çzelge 5. de verlmştr F ˆ ( a ) ve Fˆ ( a ) değerler hesaplaarak elde edle ömür tablosu Çzelge 5. Araba akülere lşk verler Zama aralığı d w [, ) 7 3 [, ) [,3 ) [ 3, 4 ) Çzelge 5. Araba akülere lşk ömür tablosu Zama aralığı d w ˆ p F ˆ ( a ) Fˆ ( a ) [, ) [, ) [,3 ) [ 3, 4 ) Ömür tablosu yötemde F dağılımlı gele sağda rasgele sasürlü öreklem durumuda bleşeler bozulma ve sasürleme zamaları blmeyp gözlemler aralıklar le verlmşt. Şmd kabul edelm k brmlk öreklemdek bozulma zamaları ve bozulma zamaları gözleemeye bleşeler sasürleme zamaları bls. Bu durumda amacımız verle br t ç F( t ) ya da dek olarak F( t ) y tahm etmektr. Tam öreklem durumuda F( t ) tahm edcs 5