EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl: 2011 113-124"

Transkript

1 EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 STURM LİOUVİLLE FARK OERATÖRÜNÜN SEKTRAL ÖZELLİKLERİ SECTRAL ROERTIES OF THE STURM LIOUVILLE DIFFERENCE OERATOR Ateki ERYILMAZ * e Bileder AŞAOĞLU Neşeir Üiersitesi Fe Edebiat Fakültesi Matematik Bölümü Neşeir Türkie Sülema Demirel Üiersitesi Fe Edebiat Fakültesi Matematik Bölümü Isparta Türkie ÖZET Geliş Tarii: Mart Kabl Tarii: Nisa 3 B çalşmada öcelikle ko tarisel gelişimi alatlmştr. Daa sora Strm-Lioille fark sr değer problemi ele almş e b probleme g maksimal disipatif operatör olştrlmştr. Strm-Lioille fark sr değer problemi e disipatif operatörü öektörler e asose ektörler sistemi icelemiştir. Aatar kelimeler: Kedie eş olmaa operatör disipatif operatör maksimal operatör Strm Lioille fark operatörü. ABSTRACT I tis std firstl te istorical progress of te sbject is cosidered. Te Strm-Lioille differece bodar ale problem is stdied ad maximal dissipatie operator is costrcted. Frtermore eigeectors ad associated ectors of te dissipatie operator ad Strm- Lioille differece bodar ale problem are iestigated. Ke ords: No-selfadjoit operator dissipatie operator maximal operator Strm Lioille differece operator.. GİRİŞ Doğada gerçekleşe fiiksel olalar icelemesi fiik alada bilimsel gelişmelere ol açmştr. Fiik aladaki b bilimsel çalşmalar matematik bilimii gelişmeside büük ölçüde * Sorml aar: erilmaateki@gmail.com

2 4 Erlma & aşaoğl etkili olmştr. Matematiksel fiiği e müedisliği pek çok problemi diferasiel deklemlerde olşa sr değer problemleri içermektedir. İlk defa 836 lda Carles Strm e Josep Lioille tarafda ortaa kola literatürde Strm-Lioille problemi olarak adladrla sr değer problemi de b problemlerde birisidir. Başlagçta s iletimi problemlerie glaa Strm- Lioille teorisi güümüde birçok fiiksel problemi araştrlmasda e etki ötemlerde biri olarak bilimektedir. B problemler Forier ötemideğişkelerie arma ile icelediğide elde edile deklemi sr şartlarda da spektral parametre bldğ görülür. B edele literatürde sr şartlarda spektral parametre bldra e bldrmaa Strm-Lioille problemleri ile ilgili çok sada çalşmalar ardr Allaerdie 4 e 5; Erlma 6; Si ad Ce 999; Flto 977; Walter 973; Welstead 98. x bağms değişkeii sürekli oldğ drmlarda x i değişimi x foksio türeleri ardmla açklaabilmektedir. Acak x i sürekli olmadğ discrete kesikli değerler almas drmda değişim türeler ardmla açklaama. Bda dola b çalşmada x i tamsa değerler aldğ drmlarda ortaa çka e içide sol farklar bldğ Strm- Lioille fark deklemleri üeride drlacaktr. B çalşmada kedie eş olmaa Strm-Lioille fark operatörüü sr koşllar sr değer problemie karşlk gele operatörü spektral öellikleri icelemiştir. Daa sora problemi ödeğerleri e öfoksiolar icelemiştir.. SINIR KOŞULLARINDA SEKTRAL ARAMETRE BULUNDURAN STURM LİOUVİLLE FARK OERATÖRÜ Z :... ols. Bileşeleri olmak üere kompleks salar diisi ola l diisi içi. l : a b a EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

3 Strm lioille fark operatörüü spektral öellikleri 5 ikici mertebede fark deklemii Strm Lioille fark deklemii ele alalm. Brada bir spektral parametre a a b R : Z ols. e Eğer p a q b a a e x x x ifadeleri. deklemide alrsa Strm Lioille biçimide p q Z. fark deklemi elde edilir. e diileri içi [ ] : a.3 biçimide tamlaa bileşeleri ola dii ols. Tam : Her m Z e m içi m j j j j j j j m.4 eşitliğie Gree formülü ad erilir Allaerdie 4. Kefi = biçimide tamlaa bileşeleri diisi içi ola diii ile gösterelim. iç çarpm olştrp koşl sağlaa bütü kompleks değerli diilerii olştrdğ Z : Z Hilbert a kralm. Z olacak şekilde Z ektörlerii kümesii D ile gösterelim. L kolarak D de bir L maksimal operatörü tamlaalm. D ektörleri içi lim e lim limitlerii arlğ e sol oldğ.4 formülüde elde edilir. Bda dola.4 de limite geçilirse D içi L L e içi.5 EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

4 6 Erlma & aşaoğl elde edilir. Sol sadaki elema sfrda farkl ola diilerii kümesi üeride L L ile taml L simetrik operatörüü kapaş L ile gösterelim. L oparetörü simetriktir e * L L dir Naimark 968. L idis defektii esaplamas ar doğr üerideki idis defektii esaplamasa idirgeebilir. Aslda Z N 3... e N... N alar ortogoal toplamdr. e N N alarda ile üretile miimal maksimal operatörler L L e L L ols N e D D L L operatörlerii tam kümesi ols. Im içi L defekt sas : L I DL def L dim içi defl defl defl eşitliği sağlar. B ise k olmak üere L idis defektii kk biçimide oldğ gerektirir. idis * defekti içi L operatörü kedie eştir. Yai L L L dir. Kabl edelim ki simetrik L operatörüü idis defekti ols. da Wel limit çember drmlar garati ede eterli koşllar ardr Atkiso 964; Welstead 98. L tam kümesi koşl sağlaa = D.6 D ektörlerii içerir. λ λ λ a.7 koşllar sağlaa. deklemii çöümlerii e ile gösterelim.. deklemii çöümlerii Wroskiei W W = e olacak şekilde a biçimide tamlar. B çöümler e bağl değildir e b iki çöümü lieer bağms olmas içi gerek e EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

5 7 Strm lioille fark operatörüü spektral öellikleri EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 eter koşl Wroskieii sfrda farkl olmasdr..7 koşlda W oldğ elde edilir. e. deklemii çöümlerii temel sistemii olştrr e er C içi Z dr. e ols. e reel salar diisi e oldğda.3 deklemii taba oldğ görülür Allaerdie 4. Lemma : Kefi e D ektörleri içi Z.8 eşitliği sağlar Allaerdie 4. İspat:.3 deklemide e oldğda ] [ ] [ ] [ Z blr. Teorem 3: L operatörüü tam bölgesi D O =.9

6 8 Erlma & aşaoğl sr koşllar sağlaa 4. İspat: Lemma. de.6 deklemi D ektörlerii içerir Allaerdie =. deklemie dektir. Üstelik e kefi olabilir. Bda dola er D içi. deklemii mümkü olmas içi gerek e eter koşl.9 koşllar sağlamasdr. Teorem ispatlar. aralğda. fark ifadesi içi sosda disipatif spektral parametrei aralğ sol ç oktasda erilmesi drmda aşağdaki sr değer problemii düşüelim. D Z.. Im.3 Brada kompleks spektral parametre; R reel salar kümesi olmak üere R e dir. Kolalk içi aşağdaki kablleri apalm. M N : M : : N : N N : M e N N. Lemma 4: Kefi D içi M M M M N N N N olmak üere EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

7 Strm lioille fark operatörüü spektral öellikleri i M. M M M 9.4 ii N. N N. N.5 eşitlikleri sağlar Erlma SINIR DEĞER ROBLEMİNİN HİLBERT UZAYINDA ÜRETTİĞİ LİNEER OERATÖR: ˆ f f şeklide iki f Z f C olmak üere f H N C şeklide bileşeli elemalar lieer a gösterelim. Eğer olmak üere kabl f edilirse f f g g g H olmak üere f g f g f g 3. formülü H lieer ada bir iç çarpm tamlar Flto 977. B iç çarpma göre H lieer a bir Hilbert a olr. Dolasla erilmiş sr değer problemie g Hilbert a tamlamş olr. Verile sr değer problemie g A : H H operatörüü f D A H : f D M f f M f f A f 3. ~ ~ f f : 3.3 M eşitlikleri ile tamlaalm. f EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

8 Erlma & aşaoğl Lemma 5: ile taml H N C Hilbert ada 3. e 3. eşitlikleri A operatörü içi A f g f A g M f g f g f M g eşitliği sağlar Erlma 6. Teorem 6 : M f M g A operatörü H ada disipatiftir. 3.4 İspat : ˆ { ˆ } D A e D A H içi 3.4 eşitliğide A ˆ A ˆ ˆ ˆ a b a m α f g m b a a f g + a am m m am m m = a + f g f g = m f g f g m e içi = M M M M blr..4 de dola A ˆ ˆ ˆ A ˆ [ ] EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 = N N N N

9 Strm lioille fark operatörüü spektral öellikleri olr M M koşl sağlaacağda N N blr e brada da A ˆ ˆ ˆ ˆ A N N N N = N N = i Im N olr. Bda dola Im ˆ ˆ Im N A Im dr. Yai A operatörü H de disipatiftir. 4. HİLBERT UZAYINDA SINIR DEĞER ROBLEMİNİN ÜRETTİĞİ A OERATÖRÜNÜN ÖZDEĞERLERİ e ÖZVEKTÖRLERİ: C içi. deklemii N N N N e 4. koşllar sağlaa çöümlerii ols..4 da daki Wroskiei ola EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 M M dir..5 de daki Wroskiei ola : M olarak esaplar. Teorem 7:..3 Sr değer problemii ödeğerleri acak e acak sfr erleride ibarettir. İspat: bir sfr oldğ kabl edelim. B drmda

10 Erlma & aşaoğl 4. dr. içi e ektörlerii Wroskiei oldğda 4. gereği e çöümleri lieer bağml olr. Yai k olacak şekilde k sabit sas blr. 4. gereği..3 sr değer problemii içi bir çöümü olr. Yai bir ödeğerdir. Şimdi b tersii de doğr oldğ gösterelim. Yai ödeğer ise e oldğ gösterelim. ödeğer içi e oldğ kabl edelim. e ise e ektörleri lieer bağms olr. Ba göre. deklemii geel çöümü c c şeklide alabilir.. sr koşl gereği eşitliği sağlar. Brada. koşl dikkate alrsa c c eşitliği elde edilir. B eşitlikte çöüm ektörüü. sr koşl sağladğ gö öüe alrsa c c blr. c Kabl gereği oldğda olr..3 koşlda e c olmasda c c 4.3 dr. oldğda c olr. Soç olarak olr. B ödeğer olmas ile çelişir. Bölece ispat tamamlar. e... ˆ M şeklide gösterirsek foksiolar sfrlar D A EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

11 Strm lioille fark operatörüü spektral öellikleri 3 ektörleri A öektörleridir. ˆ ˆ eşitliğii sağlar. Yai ˆ ler A operatörüü Tam 8: Eğer ödeğerie karşlk gele ektörler sistemi M M s s s s M s M s s M M e M s şartlar sağlorsa... ektörler sistemie..3 sr değer problemii ö e birleştirilmiş asose ektörler iciri deir. Teorem 9:..3 sr problemii ödeğerleri e A disipatif operatörüü ödeğerleri çakşr. Yai..3 sr değer problemii ödeğerie karşlk gele er bir öektörler iciri e birleştirilmiş ektörleri A disipatif operatörüü a ödeğerie karşlk gele... birleştirilmiş ektörler e öektörler icirie karşlk gelir. B drmda olr. k ˆ k k= 4.5 M k İspat: Eğer ˆ D A e A ˆ ˆ ise M M eşitlikleri sağlar. Yai..3 sr değer problemii öektörü dr. Tersie olarak eğer. şartlar arsa ˆ D A M e A ˆ ˆ dir. Yai ˆ A operatörüü öektörüdür. Arca eğer A operatörüü ödeğerie karşlk gele... birleştirilmiş ektörleri e EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

12 4 Erlma & aşaoğl öektörler iciri ise D A... k e A ˆ ˆk ˆ A ˆ ˆ s = şartlar ile birlikte. ˆ s s s eşitliğii elde ederi. Brada... ler ˆ ˆ ˆ ˆ... ektörlerii birici bileşeleridir. Eğer..3 problemie karşlk gele... bileşeleri k ˆ k D A k.... de erie alrsa K k.3 elde edilir. Yai..3 sr değer problemii ödeğerleri e A disipatif operatörüü ödeğerleri çakşr. KAYNAKLAR Allaerdie B.. 4. Dissipatie Secod -Order Differece Operators it Geeral Coditios Joral of Differece Eqatios ad Applicatios Vol. No. -6. Allaerdie B.. 5. Extesios Dilatios ad Fctioal Models of Ifiite Jacobi Matrix Cecosloak Mat. Joral Atkiso F.V Discrete ad Cotios Bodar roblems Acad. res Ic. NeYork. Erlma A. 6 Fark Operatörlerii Spektral Teorisi Yalamamş Doktora Tei Sülema Demirel Üiersitesi Fe Bilimleri Estitüsü Isparta Flto C.T To-oit Bodar Vale roblems it Eigeales parameter Cotaied i te Bodar Coditios roc. Roal Soc. Edibrg 77A Naimark M.A Liear Differetial Operators d ed. Naka Mosko 969 Eglis trasl. of st ed. Vols. Ugar Ne York. Si Y. ad Ce I Spectral Teor of Se cod-order Vector Differece Eqatios Joral of Mat. Aal. Ad Appl Walter J Reg lar Eigeale roblems it Eigeale arameter i te Bodar Coditio Mat. Z Welstead S T. 98. Bodar Coditios at Ifiit for Differece Eqatios of Limit Circle Tpe J.Mat. Aal. Appl **** EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4

STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI

STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6-0 Ağustos 0 Celal Baar Üniversitesi Manisa STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI Erdoğan ŞEN Okta MUKHTAROV Kamil ORUÇOĞLU Namık Kemal Üniversitesi

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Joural of Egieerig ad atural Scieces Mühedislik ve Fe Bileri Dergisi Sigma 6/4 Araştırma Makalesi / Research Article O SPEKTRUM OF A SEF ADJOIT DIFFERATIA OPERATOR OF HIGHER ORDER WITH UBOUDED OPERATOR

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU Yaemi KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN T.C. AHİ

Detaylı

ğ İ ö ö Ö İ ç ö Ş İ İ ö Ş ö Ö ç ç ğ ö ö ğ ö Ş İ ğ ğ Ç Ö Ş İ Ş Ş İ ğ Ş ç ö ö ğ Ç Ö ğ ç ğ ğ ç ğ ğ Ç ö İ ç ö ç ö ö ç ç ğ ğ ğ ç ö İ ö ğ ö ğ ğ ğ ğ ç Ç ö ç ğ İ Ö ç ç ö ç ç ö ö ç Ç ğ ç ö ö ğ ö ğ ğ ç ö ö Ç ö ç

Detaylı

İ ö ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ö ç ö ç ç ç ç ç ç Ç ç ö ö Ç Ç ö ö ö Ç ö ö ö ö Ç ö ö ö ç ç ç ö Ç ö ö ö ç ç ö Ç ö Ç ç ç ç ö Ç ö ç ö İ çö ç ç ç çö ç çö ö ç ç ç ç İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ö İ ö ç ö ö ç çö ö ç İ

Detaylı

ç ş ç ş ş ş ş ş ş ç ş ş ç ş ç ş ş ç ç ş ş ş ç ç ş ç ç ç ç ç ş ç ç ş ç ş ç ç ç ç ç ş ç ş ş Ç İ ş ş ç ç ç ç ç ç Ö ç ş Ö ç ş ş İ ş ç ş ç ş ş ç ç ş Ö ç Ö ç ş ç ç ş ş ş ç ş ç ş ş ş Ö Ö ç Ö Ö ç ç ç İ ş ç ş ş

Detaylı

limiti reel sayı Sonuç:

limiti reel sayı Sonuç: 6 TÜREV MAT Bara Yücel Taı: a, br veriliş ols. olak üzere : a, b R oksiyo ab, içi li liiti reel sayı ise, b liit değerie oksiyo oktasıdaki türevi deir ve d dy, ya da biçiide gösterilir. d d Ba göre, li

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Değişim Oraı: oksiouu değişimii ile, i değişimii İle östere. Değişim oraı olur. Diğer tarata olduğuda, Değişim oraı ve 0, alalım. Örek: Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol olur. 0,

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

(c) λ>>d. (b) λ d. (a) λ<<d

(c) λ>>d. (b) λ d. (a) λ<<d 1. Geometrik Otik Geometrik otik düzgü düzlem elektromayetik dalgaları arklı malzemeleri ara yüzeyide yasıma ve kırılmasıı ieler. Pratikte dalgaları madde ile etkileşmeside düzgü düzlem dalgalarda bahsedemeyiz.

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Ğ Ğ Ö İ İĞİ» Çö İ İ İĞİ Ç İ İĞİ Ü İ İĞİ İ İ ö ö ö Ğ İ ç Ö Ö ö ö ö ç ç ö Ö ö ö ö ö ö Ö ç ç ç ç ç Ğ ç Ğ İ Çö öğ ö İ İ İ ç ö ö ç Ğ İ ö ö İ İĞİ İ İĞİ Ğ Ç Ğ ö ö ö Ğ ç Ö Ö ö ç ö Ö ö ö ç ö ö ö ç Ö ç ç ç ç ç Ğ

Detaylı

İ Ğ Ş İ» Ğ Ğ ö Ğ ö ö Ç ö Ç İ Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç ö ö ö ö ö ö İ İ ö ö ö Ü ö ö ö ö ö ö ö Ş ö ö İ ö ö İ ö ö İ İ ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç İ İ ö İ İ İ İ Ö İ Ç ö ö Ö Ç ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi S

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

ğ Ş ğ ş ğ İ ö ç ö ö İ ğ ş ş ç ç ğ ç ğ ş ğ İ Ş Ü İş ö Ö ğ Öğ ş ğ ğ İ ö ö Çğ ö İ ö ç İ ş ş ş ç ş öğ ş Ş ğ ö ğ ş ö ğ İ ğ ö ş ş ş ğ ğ İ ş ğ çö ğ ğ ş ö öğ ç öği İ ğ ğ ğ ğ öğ ö ş ğ İ ç ş İ İ ğ ç İ İ Ö ÖĞ İ ğ

Detaylı

İ» Ö İ İ ğ ğ İ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ İ ö ö ç ğ ğ ğ ğ ğ Ö Ü Ü ğ ğ ğ ö ğ ğ ğ ğ ö ğ ğ İ İ İ İ ğ ğ ğ ö İ ğ ğ ğ ğ ğ ö ğ ğ ö ö ğ öğ ğ ğ ğ İ ö ç ç ğ ö ö ç ğ ç ç ğ ç ğ ö ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ İ Ü Ş İ ö İ ğ ğ İ İ ğ ğ ğ ç ğ ğ

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Ü Ö Ö ö ö Ü Ü Ö ö ç ç ö ç ö ç ç ö ö ö ö ö ç ö ö ç ç ç ç ç ç ö ö ö ö ç ç ö ç» ö ö ö ö ç ö ö ö ö ç ö ç ö ç ö ç ö ö ç ç ç ç ö ö ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ç ç ç ç ö ö ö ç ç ç ö ö ö ç ç ç ç ö ç ç ç ç

Detaylı

İ Ç Ü ş ö ğ ş ö ğ Ü öğ ç ş Ö Ü ğ ç ö ç ş ş ğ Ğ ç ç ğ ğ ö ş İ ç Ü ç ş ö ğ ö ç ç ş ş İ ğ ş ğ ş ç ş ğ ş ç ş ğ ç ç ş ş ö ş Ö Ş Ö ğ ş ö ç ş ğ Ç Ü Ç ğ ş Ç ğ İ Ü İ Ü ö ş ş ş ğ ç ş ö ğ çö ğ ş ş ç ö ş ş ş ğ ç ş

Detaylı

Ş İ İ İ ç İ İ İ İ ç ç ç Ç ç ç ç ç İ Ö İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ö Ö ç ç ç ç Ö ç Ö ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ç ç Ö ç ç ç ç Ç ç Ö Ç ç ç Ş ç ç Ç Ş ç İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç

Detaylı

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,

Detaylı

Ç Ü ö ö Ü ö ç Ö Ü ç ö ç ç Ğ ç ç ç ö ö ç ç Ü ç ö ö ç ç ç ç ç ç ö Ö Ş Ö ö ç Ç Ü Ç Ç Ü Ü ö ç ö ç ç ç ç ö ç ç ç ö ç ö ö ö ç ö ö Ü ç çö çö Ü ç çö Ö ö ö çö ç Ü ö ç ç ç çö ç ç ç ö ç çö çö ö ö ö ç Çö çö çö ö ç

Detaylı

Ü İ İ İ İ ö İ ö ğ ğ Ü ö Ş Ç ğ İç Ş Ç ğ Ü ö İ İ ğ Ü ö ğ Ü ö İ İ Ş Ç ğ İ İ ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ö ğ ö ö ğ ğ ğ ö ç ç Ç Ç ö Ö ğ ğ ç ç Ş ğ ğ Üç Ç ğ ç ö Ş Ç ğ ğ Ş Ü ğ ğ Ş ğ ç ç ç ğ ö ö ğ ö ö İ ç ç ğ ğ Ü ö İ İ ğ Ş ğ

Detaylı

Ç ö Ü ğ ö Ş ç ç Ş Ü Ö Ü Ü ö Ü ğ ğ ö ö ç ç Ü ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ğ ö ö Ş ö ç ğ ö ç ç ğ ç ç ö Ş Ş ö ğ ç Ç ç ö ö ç Ç ö ğ Ü ö ğ ğ ç ö ç ğ ç ğ ö ç ö ö Üç ğ ö ç ö ç ö ç ğ ö ğ ö ç Ç ğ ç ç ğ ö ö ç ç ç ğ ğ ç ğ ç ğ ç

Detaylı

Ç Ç ç Ğ ç Ö Ğ Ş ç Ö Ö Ğ Ğ Ö Ö Ç Ü ç Ç Ü ç Ö ç ç ç ç Ğ ç ç Ç Ç ç Ç Ü ç ç Ç ç ç ç Ö ç Ö Ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö Ş ç ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç Ü ç ç ç ç ç ç ç Ö Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö ç ç Ğ Ç Ü ç ç Ç Ü ç ç Ç

Detaylı

ç Ğ Ü ç ö Ğ «ö ç ö ç ö ç ç ö ç ç ö ö ö ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ç ö ö ö ç ç ç Ç Ö Ü ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç ö ö ç ç ç ö ç ç ç ö ö ç ç ö Ç ç ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ü ö ç ç ç ç ç Ç Ç ç ç Ç

Detaylı

ö Ü Ü ö Ö ğ ğ ğ ö Ü Ş ö Ü Ğ ö Ü ö Ü ö ğ ö ğ ö ö ğ ğ Ş Ü ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ Ş Ş ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ ö ö Ş ğ Ç ğ Ç Ş ö Ç ö ğ Ç ğ ö ğ ö ö ğ ö ğ ö Ş ğ Ç ğ Ç ğ ğ Ç Ş ö ö ö ğ Ç Ş Ç ö ö ğ ğ ğ ğ Ü Ü ö ğ «ğ ğ ğ ö ö «ö ğ ğ

Detaylı

İ İ İ İ İ İ İ İ İ İ Ö İ İ İ İ İ Ü Ç İ Ş Ş İ İ Ü İ İ İ İ İ İÇİ Ö Ö Ç Ç Ç İ Ü Çİ İ Ü Ü İ İ İ İ İ İ İİ İ Ç Ş İ İ İ İ Ü Çİ Ö İ Ü Çİ İ İ Ü İİ İ Ç Ö İ Ö İ Ç Ç İ Ç Ö İ İ İİ İ Ç Ç Ç Ü İ Ç İ Ç İ Ş Ç İ Ğ İ İ İ İ

Detaylı

ç ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ç ğ ç ç ç ğ ç ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ü ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ç ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ç ğ ç ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ğ ç ğ Ü ç ğ ğ ğ ç Ü ç ç ç ç ğ ç ğ ğ

Detaylı

Ç Ç ü Ş ç Ü İ İ İ İ İ Ü İ İ Ş ğ ü Ö ç ç ü ç İ Ü ç İ İ ü ç ü ç İç ö ö ö ö ü ü ü ü ü ü ö Ü İ Ö İ ç ö ğ ü ö ç ç ö ç ö ü ğ ğ Ş ç Ç Ç Ş ü ö ç ğ ç ü ü ü ö ö ü ö ü ü ü ğ ğ ç ğ ğ ü ü ü ç ö ğ ç ğ ö ğ ğ ğ ç ü ü

Detaylı

İ İ İ Ğ İ İ İ İ Ğ Ğ Ş Ç Ş Ö Ş Ç İ Ç İ Ç Ş Ç Ü İ İ İ Ş Ş Ş Ş Ö Ç Ş Ş Ğ Ş Ç Ö Ş Ö Ö İ Ş Ç Ş Ş Ç Ş Ğ Ğ Ğ Ç İ Ğ Ş Ş Ç Ç Ş İ Ç Ş Ş Ş Ş İ Ğ Ö Ö Ş Ç Ş Ç Ş Ş Ş Ü Ö Ö Ö Ö Ö Ç Ç Ç Ö Ş Ç Ö Ö Ş İ İ Ç Ş Ş Ğ Ü Ş İ Ö

Detaylı

ü ü ü ö ü ü Ö Ö Ö öğ öğ ü ü İ ç ö ü ü ü Ü ü ö ü ü ö ö ö ö ö ç ö ö ü ö ü İ Ö Ü ü ü ü ü ö ü ö ü ü ü ü ü ç ü ö ç Ö ü ç ö ö ö ü ü ö ö ö ç ü ç ö ç ö ö ü ö ö ç ü ç ç ö ü ü ü ü ö ü ü ö ü Ö Ö ö ü ü Ö ö ö ö ü ü

Detaylı

ç ç ö Ğ Ö Ş ö ü ü Ş ç ö ü ç ğ ü ç ç Ğ Ü Ü ÜĞÜ ç ö ö ü ç ü üç ç ğ ü ü Ş ğ ü ü üğü ç ö ö ü ç ü ö ç Ş Ş ü ü üğü Ğ Ğ Ş ü üğü Ğ ç ü ö ğ ü ö Ö Ü Ş ü ü ü Ğ ğ ü ö ğ ü ü üğü ğ Ö Ğ ğ ü ü ü ç ö ö ü ö ü ü ğ ç ç ö

Detaylı

ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ

ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ İ Ş Ş İ İ Ö İ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ö ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ İ ğ ğ ğ ğ Ö Ö Ç ğ ğ ğ ğ ğ Ü ğ İ ğ ğ Ç İ ğ ğ Ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ş ğ ğ ğ Ü ğ ğ ğ ğ Ö ğ ğ Ö ğ ğ ğ

Detaylı

ü ü üğü ğ Ö ü ö üş ö İ ü ü üğü ş ğ ç İ ç Ş ç ş ğ ş ş ğ ç ö ç ğ ş ş ş ö ü ğ ş ğ ü ü üğü ü ğ ö ü ü üğü ş ğ ş ş ş ö ü ç ğ ö ü ğ ö ü ü üğü ş ö ğ ç ğ ü ü üğü ü ğ ü ü üğü ü ü ü üğ ü ğ ö ü ğ ş ö üş ü ü üğü ü

Detaylı

ü Ğ İ Ğ ü İ ç ü ü ü ç Ç ü ü ç Ç ü ü ç ü ü Ü Ç Ü ç ü ü ü ü ü ç Ç ü ü ç İ ü Ğ Ş İ İ ü Ğ İ Ğ ü İ Ö üçü ü Ö Ö ü Ö ü İ İ Ş Ğ İ İĞİ ü ü ü Ğİ İ Ğ İ Ğ ü Ö Ö Ü İĞİ ü Ü İ İ Ğİ ü ü Ğ İ İ İ İ İ İ ç ü ç ü ç ü ü ç ü

Detaylı

İ Ç Ü ö üğü İ Ö ö üğü Ş ü öğ ü ç Ç ü ü ü Ç Ü ç ğ ç ğ Ğ ç Ş ğ ç ö ğ ğ ü ç Ü Ç ö üğü ö ü ü İİ Ç ğ ü ğ ç ğ ü ü ü ç ü ü Ş ü ğ ç ü ü ç ü ü ç ö Ö Ş Ö ğ ö ü ç ğ İ Ç Ü Ç ğ Ç ğ Ü Ü İ ü ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ ç Ç ç ü ç Ş

Detaylı

İ Ç Ü ş ö üü ş ş ö üü Ü ü ü ö ü ç ü ü ü Ö Ü Ü Ö ç ç ş ş ç ç ü İ ü ç Ü ç ş ö üü ö ü ü ç ş ş ü ş ş ç ş ş ü ü ü ç ü ş ü ç Ş ü Ü ç ü ü ü ç ş ş ö ş Ö ş Ö ş ö ü ç ş Ç Ü Ç ş Ç İ Ü İ Ü Ş ş ü ş ö çü ü Ç Ü ü ö ş

Detaylı

Ç Ü ğ Ç ç Ğ ç Ü ç ğ ç ğ ğ ç ğ ç ç ğ ç ç Ö Ş Ö ğ ç ğ Ç Ü Ç ğ Ç ğ Ü Ü Ç Ü ğ ğ Ü ğ ç Ç ğ Ü ç ç ğ Ğ Ğ ç ç ğ ğ ğ ğ ğ Ğ Ğ Ğ Ğ Ğ Ş Ş Ç Ö Ö ç Ç ğ ç ç ğ ç ğ ç ç ç ğ ç ç ç Ü ç ç ç ğ Ö Ü Ç Ş Ş ç Ö ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ğ

Detaylı

İ Ç Ü ö üğü İ ö üğü ü öğ ü ü ü ü Ö ği İ ü ö İ ğ Ğ Ü Ç ö üğü ö ü ü Ç ğ ü ğ Ş ğ ü ü ü ü ü ğ ö ü ü ü ü ü ö Ö Ş Ö ğ ö ü Ç ğ İ Ç Ü Ç ğ ğ Ü Ü ü «ü ö üğü İ Ü Ö Ü İ Ş İ Ü ü ö ü ö ğ ü İ «Ö ü ö ü İ ğ Ş ü Ş ö ö ü

Detaylı

Ü ş ğ ğ Ü ş Ç ğ ş ş Ç ğ ş Ü ğ Ü ş ğ Ü Ç ğ ğ Ü ğ ğ ğ ş ğ ğ ğ ş ş ğ ş ş ş Ç Ç Ö ş ğ ş ş ğ ş ğ ğ ş Ü Ç ğ ş ğ ş ş ğ Ü ğ ş ş ğ ş ş ş ş ş ş ğ ğ ş ş ş ş ş ş ş Ü ğ ş ş Ü Ç ğ Ç Ç ş ş ş ğ ş Ö ÇÜ Ö ş ğ Ö ş ş ğ ş

Detaylı

ç ü ü ç ç ş İ Ç Ü ş İ Ç Ü ç ş ü İ Ç Ü ş ş ç ş ü Ö ü Ö İş ş ç İ Ç Ü ş ş ç ü ç ş ş İ Ç Ü ş ç Ü İ Ç Ü İ Ç Ü ü ç ş ş ş İ Ç Ü ç ü ş İ Ç Ü İş ş ş ü ş İ Ç Ü ş ü ş üç ü ş ş ş ç ü ü ç ş ş ş ş ü ş ü ü ş ç ü ç ç

Detaylı

Ü Ü Ğ Ş Ş Ş Ş Ş Ü Ğ ç Ş Ğ Ü Ü Ğ Ü Ş Ö ç ç Ğ Ğ Ü Ş Ü Ş Ş ç ç Ç Ü Ş Ç Ç Ü Ş Ş Ü Ü Ü Ü Ü Ü ç Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ş Ğ Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ş ç ç ç Ç ç ç ç ç ç ç Ç ç Ç ç ç ç

Detaylı

Ş İ İ ç İ İ İ İ ç Ş ü ü ü ü ç ü üç ü ü ü ç ü ü Ü İ Ğ Ş üç ü İ ü ü ü ç ü ç Ç ç İ ü üç ü Ç üç ü ç ç Ç ü Ç ç üç ü ç Ç ç ç ç ç Ğ Ğ ç İ ü ü ç ç ç ü ü ü Ü ç ç ü ç ç ü ü ü Ö ü ü ü ü Ü ü ü ç ü ç ç ü ü ü ü ç ü

Detaylı

Ğ Ğ Ü Ü Ö Ü Ö Ö Ö Ü Ö Ü Ü Ü Ü Ü İ İ Ü Ü Ö Ö Ü Ö Ü Ö Ü Ö İ Ü Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ü Ö İ Ö Ü Ö İ Ö İ İ İ İ İ İ İ İ İ İ Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö İ Ü İ Ü İ İ İ İ İ İ İ Ö İ Ü İ İ İ Ö İ Ö Ö İ İ Ö Ö İ İ İ İ İ İ İ İ İ İ Ö

Detaylı

Ğ Ğ ö Ş Ş Ğ Ş Ş Ü Ş Ğ Ğ Ğ ö ö Ğ Ş Ş Ğ Ğ ö Ğ ö ö ö ö ö ö ö ö Ü Ş Ö Ö Ö Ş Ş Ç Ü ö Ü Ü Ğ ö «ö ö ö Ğ Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ö ö ö Ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ö Ö ö ö Ç Ö ö Ü ö

Detaylı

Ğ ü ü ç ş ş ğ ğ ğ ğ Ö ü ğ ş ğ ü ş Ç ş ş Ç ş ü ü ü ğ ç ç ş ü ş ş Ç ş ü ü ü ü ğ ş ş ü ü ş ş ş ü ü ğ ü üğü ş ç ü ü Ç ç ğ ü ü üğü ğ ü ç ş ş ş ş ğ ç ü ü ü ş ş ş Ç ş Ç ğ Ç ğ Ç Ç ü ş ş ü Öğ ü ş ş ğ ç Ç Ç ş Ç

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL

ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1978 Yazışma Adresi : Telefon : 346-2191010/1531 e-posta : Fen Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas/ ntopsakal@cumhuriyet.edu.tr

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı