BİRİM KÜRE YÜZEYİ ÜZERİNDE APOLLONIAN EĞRİLERİ
|
|
- Belgin Uyanık
- 4 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN C.B.U. Journal of Science 0. (04) 4 0. (04) 4 BİRİM KÜRE YÜZEYİ ÜZERİNDE APOLLONIAN EĞRİLERİ Melike AY *, Mustafa KAZAZ Celal Bayar Ünirsitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 4540 Manisa, TÜRKİYE Özet: Öklid düzleminde P Q rilen iki sabit nokta olsun. P Q noktalarından uzaklıkları sabit bir m : n oranında olan tüm X noktalarının geometrik yerinin bir çember olduğu iyi bilinir, burada m, n ( m n) pozitif tamsayılardır. Bu çember Apollonius ın çemberi (ya Apollonian çemberi) olarak bilinir [Brannan- Esplen-Gray, ]. Eğer m n d P, X : d Q, X : olacak şekildeki X noktalarının geometrik yeri ise ise, [ PQ ] doğru parçasının orta dikme doğrusudur. Bu makalede, S birim küre yüzeyi üzerinde Apollonian eğrileri tanımlanmış bu eğrilerin küre yüzeyi üzerinde düzlemsel eğriler (büyük çemberler) düzlemsel olmayan eğriler olduğu elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Apollonian eğrisi, Birim küre, Büyük çember. APOLLONIAN CURVES ON THE SURFACE OF THE UNIT SPHERE Abstract: Let P and Q be two gin fixed points in the Euclid plane. It is well known that the locus of points X whose distances from the points P and Q are in a constant ratio m : n is a circle, where m, n ( m n) are some positi integers. This circle is known as the circle of Apollonius (or Apollonian circle) [Brannan-Esplen-Gray, ]. If m n, the locus of points X such that d P, X : d Q, X : is the perpendicular bisector of the line segment [ PQ ]. In this paper, Apollonian curs on the surface of the unit sphere S is defined, and these curs were obtained as planar curs (great circles) and non-planar curs on the sphere. Keywords: Apollonian Cur, Unit Sphere, Great circle *Melike AY melkeay@hotmail.com
2 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ. GİRİŞ S birim küre yüzeyi üzerinde P Q farklı iki nokta mn, n 0 tamsayılar olmak üzere; d P, X : d Q, X m: n oranını sağlayan küre yüzeyi üzerindeki X noktalarının geometrik yeri Apollonian eğrisi olarak tanımlanır. Böyle bir eğrinin küre yüzeyi üzerinde bir büyük çember ya düzlemsel olmayan bir eğri olduğu elde edilmiştir.. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu kısımda, ktörler ile ilgili temel kavramlar eğriler teorisi özet olarak rilecektir [Do Carmo ], [Oprea, ]. Tanım.. p p, p, p,, ktör uzayında gibi iki ktörün iç çarpımı, :, p, p p p şeklinde tanımlanan bir reel sayıdır. Tanım.. p p, p, p,, çarpımı de gibi iki ktörün ktörel p p p, p p, p p olarak tanımlanan de yeni bir ktördür. p p, p, p ktörünün uzunluğu (ya Bir normu) p p p p olarak tanımlanır. Eğer p ise p ktörüne birim ktör denir. İç çarpım ktörel çarpım ile ilgili aşağıdaki özellikleri rebiliriz: (a) p p, p ; (b) p, p cos, burada, p ktörleri arasındaki açıdır; (c) p, 0 olması için gerek yeter şart p ktörlerinin dik olmasıdır; (d) Eğer p ktörleri lineer bağımsız ise bu takdirde p ktörü p ktörlerinin her ikisine de diktir; (e) pp 0 dır. Bundan böyle ü -boyutlu Öklid uzayı olarak alacağız. Tanım.. reel eksenin bir I açık aralığının içine sürekli bir : I, ( t) x ( t), x ( t), x ( t), t I, diferansiyellenebilir dönüşümüne de bir eğri denir. Burada () t bir karşılık getirmedir, yani, () t her t I için de bir x ( t), x ( t), x ( t ) noktasına karşılık gelir. Burada, x ( t), x ( t), x ( t ) diferansiyellenebilir fonksiyonlarıdır. t ye eğrisinin parametresi denir. () t görüntü kümesine eğrisinin deki izi ya grafiği denir. Tanım..4. : I, ( t) x ( t), x ( t), x ( t) bir eğri olsun. x ( t), ( i ) fonksiyonlarının i t ye göre birinci türevleri x t, x t, x t olmak üzere ' t x t,x t,x t ktörüne, () t eğrisinin t I noktasındaki 0 teğet ktörü (ya hız ktörü) denir. ' t 0 sayısına da eğrisinin t 0 anındaki hızı denir. Eğer her t I için ' t ise eğrisine birim hızlı bir eğri denir. Eğer her t I için ' t 0 ise eğrisine bir regüler (düzgün) eğri denir. Tanım.5. Regüler bir () t eğrisinin bir t 0 değerinden t değerine kadar olan yay uzunluğu t0 ( ) t s t ' t dt olarak tanımlanır. Burada, ' t x ( t) x ( t) x ( t) dır. Tanım.6. Eğer : I eğrisi s yay uzunluğu parametreli (yani, birim hızlı) bir eğri ise bu takdirde eğrisinin eğriliği ( s) '' s olarak tanımlanır. Tanım.7. Herhangi bir ' t birim teğet ktörü Tt ' t ktörü : I eğrisinin, asli normal T' () t Nt () binormal ktörü T' () t 4
3 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri B( t) T( t) N( t) olarak tanımlanır. Tanım.8. : I birim hızlı bir eğri olsun. eğrisinin burulması ( s) B'( s), N( s) olarak tanımlanır. Teorem.. : I herhangi bir eğri olsun. Bu takdirde, T t ' t, ' t Bt () '( t) ''( t), '( t) ''( t) '( t) ''( t) N( t) B( t) T( t), () t, '( t) '( t) ''( t), '''( t) () t dir. '( t) ''( t) Tanım.9. Eğer bir eğrinin bütün noktaları bir düzlem tarafından içeriliyorsa bu eğriye düzlemsel eğri denir. Tanım.0. Bir küre üzerinde yatan eğriye küresel eğri adı rilir. Teorem.. Eğriliği 0 olan bir : I eğrisinin bir düzlemsel eğri olması için gerek yeter koşul 0 olmasıdır. Teorem.. Bir : I eğrisi bir çemberdir (ya çember parçasıdır) ancak ancak eğrilik 0 sabittir burulma 0 dır.. S BİRİM KÜRE YÜZEYİ ÜZERİNDE APOLLONIAN EĞRİLERİ Bu kısımda, S ( x, x, x ) x x x birim küre yüzeyi üzerinde Apollonian eğrileri ile ilgili teoremler ifade ispat edilecektir. Tanım.. O merkezli S birim küre yüzeyi üzerinde farklı iki nokta,, P p p p Q,, olsun. P Q noktaları arasındaki geodezik uzaklık d ise, bu durumda POQ açısı da d ye eşittir. Ayrıca P Q noktalarına karşılık gelen p konum ktörleri için p, p p p p cos d..cos d yazılabilir. Böylece, S birim küre yüzeyi üzerinde P p, p, p Q,, noktaları arasındaki küresel uzaklık cos d p, p p p ile rilir. Buradan, d uzaklığı için, cos p, d P Q yazılabilir. Tanım.. S birim küre yüzeyi üzerinde P Q farklı iki nokta m, n ( n 0) tamsayılar olmak üzere; d P, X : d Q, X m : n oranını sağlayan küre yüzeyi üzerindeki X noktalarının geometrik yerine küresel Apollonian eğrisi (ya Apollonius ın eğrisi) adı rilir Ap P, Q; m: n ile gösterilir. Eğer m n ise Ap P, Q; : küresel Apollonian eğrisi küre yüzeyi üzerinde bir düzlemsel eğri (büyük çember) m n ise düzlemsel olmayan bir eğri belirttiği gösterilecektir. Teorem.. (,, ) P p p p,, S birim küre yüzeyi üzerinde Q farklı iki nokta m, n ( n 0) pozitif tamsayılar olsun. Bu takdirde sağlayan,,, ; : d P, X : d Q, X m : n oranını Ap P Q m n geometrik yeri; X x x x noktalarının a) m n ise bir düzlemsel eğridir. b) m n ise bir düzlemsel olmayan eğridir. İspat: a) m n olsun. Bu takdirde,, ; :,,, Ap P Q X d X P d X Q X S kümesini bulmalıyız. p ktörleri, sırasıyla, P Q noktalarının konum ktörleri olmak üzere, r ktörünü r r, r, r p p olarak tanımlayalım. Bu durumda, açık olarak p,, r ktörleri lineer bağımsız ktörlerdir.,,,,, d X P d X Q d X R diyelim. Bu takdirde, d X, P d X, Q dır. Diğer taraftan, olduğundan S birim küresi 5
4 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ üzerindeki herhangi bir X noktasının konum ktörü olan x için x p r, i, i,, yazabiliriz. Buradan x ktörü ile sırasıyla, p,, r ktörlerinin iç çarpımları alınırsa, < x, p > p, p, p r, p, p, x, p,, r, p,, x, r p, r, r r, r eşitliklerini buluruz. Buradan, < x, p > cos, < x, > cos, < x, r > cos olduğundan <, p > cos, < p, > cos, cos denklem sistemi elde edilir. Bu sistemden bilinmeyen,, değerlerini bulmalıyız. Küre üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık formülünden, cos p, d P Q dersek, cos p, olur. Bu eşitlik denklem sisteminde yerine yazılırsa cos cos cos cos cos bulunur. Birinci denklem cos ile çarpılır ikinci denklem ile taraf tarafa toplanırsa cos cos cos cos elde edilir. Buradan da cos cos cos bulunur. Şimdi, bu cos değer cos cos ifadesinde yerine yazılırsa, cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos elde edilir. Diğer taraftan, olduğundan cos cos dır. Böylece, cos cos cos cos cos cos coscos cos cos cos cos cos cos cos cos coscos cos cos elde edilir, yani cos cos cos p, dır. Diğer taraftan, x p r p r, p r, p r X ( dolayısıyla S p r x p p r r p r p p r r p r p p r r dır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa, r r r r r r p r p r p r ( p p p ) p p p 0 ) olduğundan ikinci dereceden denklemi elde edilir. Buradan, p,, r p r, r oldukları kullanılırsa, ( p p p ) 0 elde edilir. Böylece, ( p, ) 6
5 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri dır. Son olarak, değerleri p, de yerine yazılırsa cos p, bulunur. Böylece, ; : x Ap P Q cos cos cos cos p r p, p, p, ktörü tek bir parametresine indirgenmiş olur. Bu ise cos p, koşulunu sağlayan değerleri için istenen eğriyi rir. c) Şimdi m n olsun. Bu takdirde Ap P, Q; m: n X S d X, P : d X, Q m : n kümesini belirleyeceğiz. r ktörünü r ( r, r, r ) p p olarak tanımlayalım. Bu durumda, p, r ktörleri lineer bağımsız olurlar. Şimdi, d X, P, d X, Q, d X, R m k diyelim. Bu durumda, k olur. S n üzerinde herhangi bir X noktasına karşılık gelen konum ktörünü x p r, i, i,,, şeklinde yazabiliriz. Buradan, x ktörü ile sırasıyla p, r ktörlerinin iç çarpımları alınırsa x, p < p, p > <, p > r, p >, p >, x, < p,, r, < p,, x,r < p, r, r r, r eşitliklerini buluruz. < x, p > cos, x, cos, x,r cos ifadeleri yerine yazılırsa <, p > cos < p, > cos cos denklem sistemini elde ederiz. Diğer taraftan, küre üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık formülünde d P, Q cos < p, > dersek cos < p, > olur. Buradan cos cos cos cos cos denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminde ikinci denklem cos ile çarpılır birinci denklem ile taraf tarafa toplanırsa cos cos cos cos elde edilir. Buradan da cos cos cos cos bulunur. Şimdi k olduğundan cos k cos cos cos cosk cos < p, > ( < p, > ) elde edilir. Bu değer cos cos eşitliğinde yerine yazılırsa cos k cos cos cos cos cos cos cosk cos cos cos cosk < p, > ( < p, > ) bulunur. Diğer taraftan, x x p r p r, p r, p r şeklinde yazılabildiğinden p r p p r r p r p p r r p r p p r r dir. Buradan gerekli düzenlemeler yapılırsa 7
6 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ < p, > 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Böylece nin değerleri yerine yazılırsa cos cos cos( )cos k k < p, > bulunur. Sonuç olarak, ( < p, > ) cos k cos < p, > x ApP, Q; m : n p ( < p, > ) cos cos k < p, > ( < p, > ) cos cos cos( )cos k k < p, > r ( < p, > ) ktörü tek bir parametresine indirgenmiş olur. Bu ise cos cos cos( )cos k k < p, > 0 ( < p, > ) koşulunu sağlayan değerleri için istenen eğriyi rir. Örnek.. farklı iki nokta S birim küre yüzeyi üzerinde P 0,, Q 0,, olsun. Bu durumda, d P, X : d Q, X : olacak şekilde küre yüzeyi üzerindeki X x, x, x noktalarının geometrik yerini bulalım. P Q noktalarının p konum p p ktörleri için r (, 0, 0) dır. Diğer taraftan < p, > olduğundan cos < p, > dir. Şimdi, x ktörünü p, r ktörlerinin bir lineer kombinasyonu olarak x p r,, Yazabiliriz. Buradan, Teorem. (a) dan cos < p, > cos < p, > olacağından cos 4 cos elde edilir. Böylece, 4 x( ) cos p cos cos r 4 cos, 0, cos 9 cos, 0, cos 4 dır. Burada, eğrimiz cos 0 koşulunu sağlayan değerleri için tanımlıdır. Yani, eğrimiz cos koşulunu sağlayan değerlerine karşılık gelir. Eğrimizin parametrik ifadesine bakıldığında xz düzleminde yatan bir büyük çember olduğu görülür (Şekil ). Diğer taraftan, Maple programı ile yapılan aşağıdaki hesaplama sonucunda da eğrimizin eğriliğinin, burulmasının 0 olduğu dolayısıyla, bir düzlemsel eğri olduğu görülür. > dp:=proc(p,q) > P[]*Q[]+P[]*Q[]+P[]*Q[]; > nrm:=proc(p) > srt(dp(p,p)); > xp:=proc(p,q) > local a,b,c; > a:=p[]*q[]-p[]*q[]; > b:=p[]*q[]-p[]*q[]; > c:=p[]*q[]-p[]*q[]; > [a,b,c]; > curv:=proc(x) > local Xt, Xtt; > Xt:=diff(X,sigma); > Xtt:=diff(Xt,sigma); >RETURN(kappa=abs(simplify((nrm(xp(Xt,X tt)))/((nrm(xt))^),symbolic))); > tor:=proc(x) > local Xt, Xtt,Xttt; > Xt:=diff(X,sigma); > Xtt:=diff(Xt,sigma); 8
7 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri > Xttt:=diff(Xtt,sigma); >RETURN(tau=simplify((dp(xp(Xt,Xtt),Xttt))/ (nrm(xp(xt,xtt))^),symbolic)); > X:=[(srt(-4/*(cos(sigma)*cos(sigma)))), 0, *((srt())/)*cos(sigma)]; > curv(x);, > tor(x);. Şekil Örnek.. S birim küre yüzeyi üzerinde farklı iki nokta P 0,, Q 0,, d P X d Q X olacak şekilde olsun., :, : küre yüzeyi üzerindeki X x, x, x noktalarının geometrik yerini bulalım. P Q noktalarına karşılık gelen p ktörleri için r (, 0, 0) p Ayrıca, < p, > olduğundan p konum bulunur. cos dır. m k olduğundan dır. Böylece n cos cos dır. Diğer taraftan, x p r,, yazılabilir. Teorem. (b) den cosk cos cos cos < p, > ( < p, > ) 4 4 cos cos, cos cos cos cos k < p, > ( < p, > ) 4 4 cos cos cos cos cos( )cos k k < p, > ( < p, > ) cos cos cos cos olarak bulunur. Buradan cos x( ) k cos < p, > p ( < p, > ) cos cos k < p, > ( < p, > ) cos cos cos( )cos k k < p, > r ( < p, > ) ifadesinde gerekli düzenlemeler yapılırsa x( ) cos cos cos cos, cos cos, cos cos elde edilir. Bu eğri için Maple programı ile aşağıda rilen hesaplama sonucunda 0 olduğu görülür. Bu ise eğrimizin cos cos cos( )cos k k < p, > 0 ( < p, > ) koşulunu sağlayan değerleri için düzlemsel olmayan bir eğri olduğunu gösterir. (Şekil (a)-(b)). > dp:=proc(p,q) > P[]*Q[]+P[]*Q[]+P[]*Q[]; > nrm:=proc(p) > srt(dp(p,p)); > xp:=proc(p,q) > local a,b,c; > a:=p[]*q[]-p[]*q[]; > b:=p[]*q[]-p[]*q[]; > c:=p[]*q[]-p[]*q[]; > [a,b,c]; 9
8 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ > curv:=proc(x) > local Xt, Xtt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); >RETURN(kappa=(simplify((nrm(xp(Xt,Xtt))) / (nrm(xt))^,symbolic))); > tor:=proc(x) > local Xt, Xtt,Xttt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); > Xttt:=diff(Xtt,beta); >RETURN(tau=simplify((dp(xp(Xt,Xtt),Xttt))/ (nrm(xp(xt,xtt))^),symbolic)); >X:=[srt(-4/*cos(beta)*cos(beta)- 4/*cos(*beta)*cos(*beta)+ 4/*cos(*beta)*cos(beta)),cos(beta)- cos(*beta),srt()/*(cos(beta)+cos(*beta))] ; Şekil (a) Şekil (b) >curv(x); > tor(x); dır. Örneğin, değeri için değerleri >evalf(subs(beta=*pi/,curv(x)));.588 >evalf(subs(beta=*pi/,tor(x))); dır. Sonuç.. P Q, S birim küre üzerinde farklı iki nokta n 0 olmak üzere mn, tamsayılar olsun. p ktörleri dik ise bu takdirde, d P, X : d Q, X m : n oranını sağlayan küre üzerindeki X x, x, x noktalarının geometrik yeri, a) Eğer m n ise x(β) cos p cos cos r ile belirli bir büyük çember, b) Eğer m n ise x(β) cos k p cos cos k cos r ile belirli düzlemsel olmayan bir eğridir. cos İspat: a) Teorem. (a) den, < p, > cos cos olduğunu cos < p, > biliyoruz. p ktörleri dik olduklarından < p, > 0 dır. Böylece, cos cos cos dır. Dolayısıyla, 40
9 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri x( ) cos p cos cos r dır. Bu ise küre yüzeyi üzerinde bir büyük çember belirtir. b) Teorem. (b) den cos k cos < p, >, ( < p, > ) cos cos k < p, > ( < p, > ) cos cos cos( )cos k k < p, > ( < p, > ) olduğunu biliyoruz. Buradan, < p, > 0 yazılırsa cos k, cos, k cos cos olur. Dolayısıyla, x(β) cos k p cos cos k cos r bulunur. Örnek. S küre yüzeyi üzerinde iki nokta P,0,0 Q 0,,0 olsun. Bu takdirde, d P, X : d Q, X : olacak şekilde küre üzerindeki X x, x, x noktalarının geometrik yerini bulalım. P Q noktalarına karşılık gelen p konum ktörleri için r p p x p r (0, 0,) bulunur. Buradan,,0,0 0,,0 0,0,,0,0 0,,0 0,0,,, dır. Diğer taraftan, dir. Dolayısıyla; X olduğundan S Gerekli düzenlemeler yapılırsa, x bulunur., bulunur. cos cos olup cos cos olduğundan bulunur. Buradan da cos olarak elde edilir. O halde; x( ) cos, cos, cos dır. Buradan, Maple programı ile aşağıda rilen hesaplama sonucunda 0 olduğu görülür. Bu ise eğrimizin düzlemsel bir eğri olduğunu gösterir. (Şekil ). > dp:=proc(p,q) > P[]*Q[]+P[]*Q[]+P[]*Q[]; > nrm:=proc(p) > srt(dp(p,p)); > xp:=proc(p,q) > local a,b,c; > a:=p[]*q[]-p[]*q[]; > b:=p[]*q[]-p[]*q[]; > c:=p[]*q[]-p[]*q[]; > [a,b,c]; > curv:=proc(x) > local Xt, Xtt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); >RETURN(kappa=(simplify((nrm(xp(Xt,Xtt))) /(nrm(xt))^,symbolic))); > tor:=proc(x) > local Xt, Xtt,Xttt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); > Xttt:=diff(Xtt,beta); >RETURN(tau=simplify((dp(xp(Xt,Xtt),Xttt))/ (nrm(xp(xt,xtt))^),symbolic)); >X:=[cos(beta),cos(beta),(srt(- *((cos(beta))*cos(beta))))]; > curv(x);, > tor(x); 0. 4
10 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ Dolayısıyla, eğrimiz düzlemsel olmayan bir eğridir. (Şekil 4-(a),(b)) Şekil Örnek.4. S küre yüzeyi üzerinde farklı iki nokta P,,0 Q,,0 olsun. Bu takdirde d P, X : d Q, X : olacak şekilde küre yüzeyi üzerindeki X x, x, x noktalarının geometrik yerini bulalım. p p konum ktörleri için r (0, 0,) p dır. m Ayrıca, n olduğundan dır. O halde, cos cos dır. Şimdi x p r,,0,,0 0,0,,, dır. Diğer taraftan, dir. Dolayısıyla; X S olduğundan x bulunur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa; bulunur. cos cos cos olduğundan cos cos olarak bulunur. O halde, x(β) cos cos, cos cos, cos cos dır. Buradan, Maple programıyla yapılan hesaplamayla 0 olduğu elde edilir. > dp:=proc(p,q) > P[]*Q[]+P[]*Q[]+P[]*Q[]; > nrm:=proc(p) > srt(dp(p,p)); > xp:=proc(p,q) > local a,b,c; > a:=p[]*q[]-p[]*q[]; > b:=p[]*q[]-p[]*q[]; > c:=p[]*q[]-p[]*q[]; > [a,b,c]; > curv:=proc(x) > local Xt, Xtt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); >RETURN(kappa=(simplify((nrm(xp(Xt,Xtt))) / (nrm(xt))^,symbolic))); > tor:=proc(x) > local Xt, Xtt,Xttt; > Xt:=diff(X,beta); > Xtt:=diff(Xt,beta); > Xttt:=diff(Xtt,beta); > RETURN(tau=(simplify((dp(xp(Xt,Xtt),Xttt))/ (nrm(xp(xt,xtt))^),symbolic))); >X:=[(/srt())*(cos(*beta)+cos(beta)), (/srt())*(cos(*beta)-cos(beta)),-srt(- (cos(beta)*cos(beta))- (cos(*beta)*cos(*beta)))]; > curv(x); > tor(x); 4
11 Birim Küre Yüzeyi Üzerinde Apollonian Eğrileri elde edilir. Örneğin, değerleri > evalf(subs(beta=pi/,curv(x)));.06 > evalf(subs(beta=pi/,tor(x))); dır. değeri için Şekil 4 (a) Şekil 4 (b) Kaynaklar [] Brannan, D. A., Esplen, M. F., Gray, J. J., Geometry, Cambridge Unirsity Press (000). [] Do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curs and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., London 976. [] Oprea, J., Differential Geometry and Its Applications, Prentice Hall, Inc., London 997. Geliş Tarihi: Kabul Tarihi:
12 44 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (04). 4, 04 /Melike AY, Mustafa KAZAZ
BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.
BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
DetaylıSAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK
SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr
DetaylıİNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik
Detaylı3-Boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğriler ve Bishop Çatısı. Bertrand Curves and Bishop Frame in the 3-Dimensional Euclidean Space
Sakarya Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, Vol(o): pp, year SAKARYA ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSITY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: http://dergipark.gov.tr/saufenbilder
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Ünirsitesi Fen Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Unirsity Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 18 (018) 01101 (468-476) AKU J. Sci.Eng.18 (018) 01101 (468-476) Dİ: 10.5578/fmbd.677
DetaylıJeodezi
1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey
DetaylıDarboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006
Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi
DetaylıSMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1
Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.
LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıPara-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi
Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Derisi Cilt 33, Sayı, 07 0 Erciyes Unirsity Journal of atural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 07 Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıT.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER MUTLU AKAR DOKTORA TEZİ MATEMATİK
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıKonik Kesitler ve Formülleri
Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıBu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
Detaylı( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı3-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı. Bertrand curves and bishop frame in the 3-dimensional euclidean space
Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 SAKARYA ÜİVERSİESİ FE BİLİMLERİ ESİÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSIY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: http://dergipark.gov.tr/saufenbilder
DetaylıT.C. DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL EĞRİLER YARDIMIYLA BAZI ÖZEL UZAY EĞRİLERİNİN KARAKTERİZASYONLARI MESUT ALTINOK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıTİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylı1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
DetaylıPARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y
ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
DetaylıTanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
DetaylıMAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI.
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Yüksek
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri
Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylıİndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı
İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
DetaylıYönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:
Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı
DetaylıTAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ
ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4
DetaylıİKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA
BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıPROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK
KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156
Detaylıolmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.
GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıAYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde
Detaylı