7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları"

Transkript

1 Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir. D ( Ω ) { : R, ω Ω içi ( ω) } olmak üzere, D kümesi solu veya sayılabilir sosuz elemalı olduğuda e kesikli rasgele değişke (discrete radom variable) deir. üzere, Kesikli bir rasgele değişkei dağılım foksiyou F ve olasılık foksiyou f olmak F : R [,] F( ) P( ) f ( i ) i D, i f ( ) P( ) F( ) F( ), D ) f ( ), D ) f ( ) D Bu derste bir oktada yoğulaşmış dağılım (Dirac Dağılımı), iki oktada yoğulaşmış dağılım (Beroulli Dağılımı), Biom Dağılımı, Hipergeometrik Dağılım, Geometrik Dağılım, Negatif Biom (Pascal) Dağılımı, Poisso Dağılımı ve Düzgü Dağılım ı göreceğiz.

2 Bir Noktada Yoğulaşmış Dağılım ( Ω, U, P) Ω ω R a Örek uzayı her elemaıı bir a sayısıa döüştüre foksiyoa, a oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip rasgele değişke deir. D { a} ve i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, dağılım foksiyou, f ( ), a a f P ( ) ( ) ( ) F,, < a a ve ( ). ( ) E f a ( ). ( ) E f a ( ) ( ) ( ) Var E E ( t ) at M ( t) E e e, t R

3 Sıfır oktasıda yoğulaşmış dağılıma Dirac Dağılımı deir. f() F() f ( ),, < F ( ), E ( ) ( ) E Var ( ) M ( t), t R Beroulli Dağılımı Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, Ω, U {,, B, B} ( B B Ω, P( B) p ) olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Aşağıdaki gibi taımlaa rasgele değişkeie Beroulli rasgele değişkei ve dağılımıa da Beroulli dağılımı deir.

4 ( Ω, U, P) Ω B ω B Beroulli dağılımıda rasgele değişkeii aldığı değerler, olup, D {,} i olasılık foksiyou, ( ) ( ) f p p,, olasılık tablosu, f P q p ( ) ( ) dağılım foksiyou,, < F ( ) q, <, R f() q F() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E. f. q +. p p E. f. q +. p Var E E p p p p p. q ( ) t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e t. q e t. p q p. e t p p. e t, t R Beroulli dağılımıda, beklee değer başarı elde etme olasılığıa eşittir. Beroulli dağılımıdaki p ( < p < ) sayısıa dağılımı parametresi deir.

5 Beroulli dağılımları arasıda varyası e büyük ola dağılım hagisidir? Beroulli Dağılımıı varyası p i bir foksiyoudur. g( p) pq p( p) p p, < p< g '( p) p g ''( p) olmak üzere, p ola Beroulli dağılımıı varyası e büyüktür. Parametresi ½ ola Beroulli dağılımı e büyük varyaslı Beroulli dağılımıı iki tür souçlu deeylerii modellemeside (alatımıda) kullaırız. Öreği kişilik bir kitlede kişi sigara içmiyor ve 8 kişi içiyor, yai %6 ı sigara içmiyor olsu. Bu kitlede rasgele bir kişi seçildiğide Örek Uzay, Ω sigara içiyor, sigara içmiyor { } olmak üzere, seçile kişii sigara içmiyor olması olayıı olasılığı p.6 olup, rasgele değişkei sigara içmeye içi, içe içi değerii alsı. bir Beroulli rasgele değişkeidir. p Bir olayı olasılığı p olmak üzere, sayısıa, bu olayı değilie göre karşıtlığı p p diyelim. Kısaca sayısıa karşıtlık (odds) diyelim. Karşıtlık (, ) aralığıda bir sayı p Yukarıda sözü edile kitlede, sigara içmemei içmeye karşıtlığı,.6.5 :8 3:.6 8 dir. Sigara içmeye 3 kişiye karşılık kişi sigara içmektedir. Ölümcül bir tür kaser tedaviside %8 olasılıkla başarı elde ediliyorsa,.8 Karşıtlık 4 :.8 p Bir olay içi karşıtlık p ve başka bir olay içi karşıtlık p olmak üzere, bu p iki olay içi p p p ( p ) Karşıtlık Oraı ( Odds Ratio, OR) p p ( p ) p olarak taımlamakta Ölümcül bir tür kaser tedaviside başarı olasılığı, bayalar içi p %8, erkekler içi p %4 olduğuda, bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği iki katı Bayalar içi p.8 4 KarşıtlıkB 4 p.8 olmak üzere, 4 kurtula bayaa karşılık baya ölmektedir. Erkekler içi, p.4 4 KarşıtlıkE p olup, 4 kurtula erkeğe karşılık 6 erkek ölmektedir. Bu karşıtlıkları oraı,

6 p.8 4 p OR.8 6 p.4 4 p.4 6 Tedavi sorası bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği kurtulma olasılığıı iki katı, Karşıtlık Oraı ise OR6 Bir tedavide başarı oraı (olasılığı), sigara içme oraı, bozuk ürüleri oraı, 8 yaşı üzeridekileri oraı, kısaca bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı kitleyi karakterize etmede öemli parametrelerde birisidir. Ayrıca bu parametreye bağlı olarak Karşıtlık ve Karşıtlık Oraı gibi kavramlar söz kousudur. Bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı, bir Beroulli deemeside başarı olasılığı p ( < p < ) olmak üzere, bu ora, yai p parametresi bilimediğide tahmi edilmesi gerekmektedir. Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir.. Tura gelmesi başarı sayıla bir para atışıı kez tekrarlaması,. Kusursuz parça üretme olasılığı p.99 ola bir makiada tae parça üretilmasi, 3. Bir atışta başarı olasılığı p.8 ola bir basketbolcuu 5 atış yapması, 4. 6 Kırmızı ve 4 siyah top içere bir kavaozda iadeli olarak 3 top çekilmesi, birer Biom Deeyidir. Biom Deeyide örek uzay, BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... B ( bir başarı) tae tae tae tae BB... B,... BB... BBB ( iki başarı) tae tae Ω BBBB... B,..., BB... BBBB ( üç başarı) tae tae..., BB... B ( başarı) tae olmak üzere, rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olsu.

7 başarı başarı başarı başarı başarı Ω BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... BB, BBB... B,..., BB... BBB,..., BB... B, BB... B,..., BB... B, BB... B tae tae tae tae tae tae tae tae tae tae R... - rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, D {,,,...,, } ve bu değerleri alması olasılıkları, P( ) P( BB... B) qq... q q tae tae P ( ) P ( BB... B veya BBB... B veya... veya BB... BB ) tae tae tae q p p q P( ) P( BBB... B veya... vaya BB... BBB) p q tae tae P( ) P( BB... B) p tae olup, i olasılık foksiyou, f p q ( ),,,..., Momet çıkara foksiyo, olmak üzere, t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f ( pe ) t ( ), t q q + pe t R

8 ( ) E ( ) dm ( t) t ( ) t q pe pe t t dt ( t) + p d M t t t t ( )( ) ( ) ( ) t t E q + pe pe + q + pe pe dt ( ) p + p ( ) ( ) ( ( )) ( ) + ( ) Var E E p p p ( ) + p p p p pq Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlaması deeyide, yai bir Biom Deeyide elde edile başarı sayısı rasgele değişkei olmak üzere, e Biom Dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. içi Biom Dağılımı bir Beroulli dağılımı Beroulli Dağılımıı b(, p ) biçimide gösterebiliriz. + Biom Dağılımıda iki parametre bulumakta Birisi ( {,,3,... } diğeri p( p (,) R) Z, dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Biom Dağılımıa sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz. Biom Dağılımıda parametre tahmii kousuu burada ele almayacağız. Örek: Düzgü bir paraı üç kez atılışıda örek uzay, Ω { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} olmak üzere, rasgele değişkei üç atışta gele turaları sayısı olsu. Böyle taımlaa rasgele değişkei 3 ve p ola Biom Dağılımıa sahiptir, yai b( 3, p ) rasgele değişkei aldığı değerleri kümesi, D ( Ω ) {,,, 3} olmak üzere, i olasılık foksiyou, 3 3 f ( ),,,,3 ve olasılık tablosu 3 f ( ) P( ) /8 3/8 3/8 /8 rasgele değişkeii dağılım foksiyou,

9 F : R [,], <, < 8 4 F ( ) P ( ), < 8 7, < 3 8, 3 Olasılık foksiyou ile dağılım foksiyouu grafikleri, 3/8 f() /8 3 7/8 F() 4/8 ve 3 E ( ) p.5, Var ( ) E( 3 ) ( E( )) pq.75 4 Örek: b( 3, p ) olsu. Aşağıdaki Matlab programıı gözde geçiriiz. >>:3 >> biopdf(,3,/) >> biocdf(,3,/) >> stairs(,as) /

10 Örek: Bir tora makiası bir güde 5 parça işlemektedir. Bir parçayı kusursuz olarak 4 işlemesi olasılığıı p olduğu bilisi. Bir güde kusursuz olarak işlee parça 5 sayısı rasgele değişkei olsu. 4 b( 5, p ) dağılımıa sahiptir. i 5 olasılık foksiyou, f ( ) 3 4 5,,,,,, 5 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Tablodaki olasılıklar: >> :5; >> biopdf(,5,4/5) Dağılımı beklee değeri ve varyası, 4 E( ) p 4, Var( ) pq.8 5 Đşlememiş parçaı alış değeri a TL, işleme masrafı b TL, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c TL ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d 3 TL olduğuda, K 5( c a b) + ( d c) E( K) E( ) Var 4 5 ( ) 3 Var( ) 3 7 σ Gülük kazacı beklee değeri 5 TL dir. Gülük kazacı olasılık dağılımı, P( ) k P( K k) olmak üzere, bazı gülerde 55 TL kazaç olduğu gibi, 95, 65 ya da 35 TL kayıp söz kousu olabilir.

11 Hipergeometrik Dağılım Hatırlatma: pozitif tamsayı ve a R olsu. ( ) [ ] a a( a -) a -... a ( ) (-) (.) (.) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) a Taım: N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak, ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese ekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. f ( ) a N a N,,,,..., ( < N a, a) ( N a), ( N a) +,..., ( N a, a),,,..., a ( < N a, > a) ( N a), ( N a) +,..., a ( N a, > a) olmak üzere, Hipergeometrik Dağılıma sahiptir deir. Not: a N a N Öreği, ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( ) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) ( 5) ( 8)( 4) + ( 8)( 4) + ( 8)( 4) ( )

12 a N a E( ) f ( ) N a! N a N! ( a )! a ( a )! N a N ( )!( a + )! a a N a N ( y deilsi) a a N ( a ) N y y y a N a ( N )! N N! ( )!( N )!! N! ( ) a. a. N N Var ( ) bulmak içi öce E ( ) değeri bulusu. a N a E ( ) ( ) N a! N a ( ) N! ( a )! a ( a ) ( a )! N a N ( )!( a )! a ( a ) ( ) N N ( )

13 y deilsi. ( ) a a a N a N ( ) a ( ) a a N a N y y ( ) N a a N ( ) ( ) ( N ) ( ) ( ) a a! N!! N!! N! ( ) ( ) ( ) E E E ( ) ( ) N ( N ) E ( ) a a a N a a ( ) ( ) N ( N ) ( ) ( ) ( ) Var E ( E ) ( ) ( ) ( ) a a a a N N N N ( )( ) N ( N ) a N a N N a N a N N N Var N a a N N N ( ) Hipergeometrik Dağılımda üç tae parametre bulumakta Bular N, a ve dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Hipergeometrik Dağılıma sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz.

14 Örek: Bir torbadaki topta 6 taesi beyaz olsu. Ayı ada 5 top (iadesiz olarak ardı ardıa 5 kez birer top) çekilmesi deeyide gele beyaz topları sayısı rasgele değişkei olsu. N, a 6, N a 4, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a f ( ),,,3,4,5 N 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,,6,5) as a a 6 E( ) 5 3 N N ( ) Var N a a 5 ( ) N N N 3 Örek: Bir iş yeride 8 kadı ve erkek çalışmakta Rasgele seçile 3 kişi arasıda erkekleri sayısı rasgele değişkei olsu. N, a, N a 8, 3 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 8 f ( ),,, N 3 olasılık tablosu, f ( )

15 a a E( ) 3.6 N N ( ) Var N a 3 8 a 3 ( ) N N N 45 Örek: beyaz ve 5 siyah top bulua bir kavaozda iadesiz olarak 5 kez birer top (ayı ada 5 top) çekildiğide, a) Gele siyah topları sayısıı beyazlarda çok olması olasılığı edir? b) Siyah topları beklee sayısı edir? c) Siyah top içi TL kaybedilse, beyaz top içi 5 TL kazaılsa, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri ve varyası edir? Olasılık dağılımı edir? -rasgele değişkei çekilişte gele siyah topları sayısı olsu. N 5, a 5, N a, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 5 5 f ( ),,,,3, 4,5 N 5 olasılık tablosu, a N a f ( ) N Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,5,5,5) as a a 5 E( ) 5 N N 5 3 ( ) Var N a a 5 ( ) N N N

16 a) b) P( 3) a 5 E( ) N c) K rasgele değişkei kazaç olsu. K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) f ( ) k g ( k ) Bu örekte, çekilişler iadeli olarak yapılsaydı, rasgele değişkei Biom Dağılımıa sahip olurdu. b( 5, p ) 3 5 E( ) p 5 3 3, Var ( ) pq 5, P( 3) f ( ) ( ) ( ) 3 3 k g(k) K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) olmak üzere, ve K rasgele değişkelerii dağılımları değişmiş, beklee değerleri ayı kalmış ve varyasları büyümüştür.

17 Đadeli ve iadesiz çekilişleri karşılaştıralım. N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadeli olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi deeyide Y rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Y Biom Dağılımıa sahiptir. a Y b(, p ) N y y f ( y) p q, y,,,..., y a E( Y ) p N a a Var( Y) pq ( ) N N N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese çekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Hiprdeometrik Dağılıma sahiptir. a N a f ( ) N a a E( ) N N Var ( ) N a a N N N Görüldüğü gibi rasgele çekile eseler arasıda belli özelliğe sahip eseleri sayısıı beklee değeri iadeli ve iadesiz çekilişlerde ayı Fakat varyaslar N birbirie eşit değildir. Đadeli çekilişlerde varyas daha büyüktür ( < ). N E( Y ) E( ) Var( Y) Var( ) Toplam ese sayısı N artsı (eseler çoğalsı) ve belli özelliğe sahip ola ese sayısı a a sabit bir sayıya p yakısası. Başka bir ifade ile, belli özelliğe N N sahip ola ese sayısı a sabit bir sayıya yakısayacak şekilde N olsu. Çekile N ese sayısı sabit (ayı) kalsı. Bu durumda, N lim N N olmak üzere, toplam ese sayısı çok büyük olduğuda, a a Var( Y) pq ( ) N N Var N a a N N N ( )

18 değerleri yaklaşık olarak birbirie eşit olacaktır. Hatta, toplam ese sayısı N oldukça büyük ve çekile ese sayısı bua göre ispete küçük olduğuda, N N olmak üzere, a a N a a N N N N N olmakta Ayrıca, a N a a N a f ( ) ( ) ( ) a! N a!! N! N N! ( a )!( )!( N a + )! N! ( ) ( ) ( )... ( a + )... a N a N a N + N ( )...( ( ) )( )( )... ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) a a a N a N a N a N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N... N N olmak üzere, a N a lim f ( ) lim N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N N lim N... N N p q

19 yai, a N a N a p q N p N a N ve p N durumuda, Hipergeometrik Dağılımıdaki olasılıklar Biom Dağılımıdaki olasılıklara yakısamakta Bu duruma şimdilik, Hipergeometrik Dağılım, Biom Dağılımıa yakısamaktadır diyelim. Bu özelliği olasılık foksiyoları grafiklerii çizerek görmeye çalışalım. N, a 8, ola 8 Hipergeometrik Dağılım ile b(, p.4) Biom Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri (koyu oktalar-hipergeometrik, açıklar-biom), N 4, a 6, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 6 b(, p ) Biom

20 3 N 8, a 3, ola Hipergeometrik Dağılım ile b(, p ) Biom Dağılımıı 8 olasılık foksiyolarıı grafikleri, ve N 6, a 64, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 64 b(, p ) Biom Görüldüğü gibi, parametreleri N, a, ola Hipergeometrik Dağılımdaki olasılıklar, a N a sabit kalma koşuyla, N büyüdükçe b(, p ) Biom Dağılımıdaki olasılıklara N yaklaşmakta Toplam ese sayısı N büyük ve çekile ese sayısı küçük (N göre küçük) olduğuda iadesiz olarak birer birer ese çekilişi, iadeli yapılmış gibi ele alıabilir.

21 Geometrik Dağılım Hatırlatma: Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, ( B B U Ω,, B, B, P( B) p ) Ω, { } olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir. rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olduğuda, e Biom dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. Biom dağılımıda, f ( ) p q,,,..., t t ( ) ( ) ( ) +, E ( ) M t E e q pe p, Var ( ) pq Geometrik Dağılım: Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesi, ayı şartlar altıda, bağımsız olarak bir başarı elde ediceye kadar tekrarlası. Yapıla deeme sayısı rasgele değişkei olsu. Ω b aş a r ı s ı z lı k B, B B, B B B,...,, B B... B B,... d e e m e R olmak üzere, rasgele değişkeii aldığı değerler,,3,... ve olasılık foksiyou, ( ) f P( ) P( BB... B B) P( B) P( B)... P( B) P( B) q p olmak üzere, dağılım foksiyou, tae tae F( ) P( ), R

22 j ( ),,,3,... j F q p q Momet çıkara foksiyou, t t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e q p ( ( ) ( ) ) 3 t t 3t t t t t e p + e qp + e q p + pe + qe + qe + qe t t e p, ( qe <, t < l q) t qe ( ) E dm p ( t) dt t ( ) ( ) t ( qe ) pe qe pe qe t t t t t ( ) + ( q) p q pq ( ) E d M dt t t t t t ( t) pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) t t 4 ( qe ) t ( ) + ( ) 4 ( q) p q pq q Var ( ) E ( ) E ( ) q p ( q)( p pq + pq) ( q) 4 + q p Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef bir isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) Hedefi 4 atışta öce vurması olasılığı? b) E az 3 atış yapması olasılığı edir? c) atış yaptığı bilidiğide buda sora e az 3 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır?

23 Hedef bir isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Geometrik Dağılıma sahiptir. 3 ( ),,,... f q p 4 4 a) b) 4 q 4 E( ), Var( ) p 3 p P( < 4) f () + f () + f (3) P( 3) P( < 3) f () f () c) P( 3) P( ) F() ( ) P( 3 ve > ) P( 3) P( ) P( 3 / > ) P( > ) P( > ) P( ) F() q q F() q d) P( ) f () + f () e) Kazaç: K - E( K) - E( ) 4 E( K) Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K), Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K a -., E( K) ( oyuu dürüst olması) a -. E( ) 4 a a 3

24 Negatif Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda bağımsız olarak k başarı elde ediceye kadar yapılması deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei, k başarı elde ediliceye kadar yapıla deemeleri sayısı olsu. rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, ve D { k, k+, k+,...} P( k) P( BB... B) pp... p p k tae tae k k deeme k deeme k deeme k başarı k başarı k başarı P( k+ ) P( BB... B B veya BBB... B B veya... veya BB... BB B) k+ tae k+ tae k+ tae... k k k q p ( p) k q p k so deeme deeme başarı k başarı ( ) ) P( ) P(.... ) p q p q p k k tae... olup, i olasılık foksiyou, k k k k k f ( ) q p k k, k, k +, k +,... Olasılıklar toplamı olduğuda, k k q p k k, k q p ( q) k k k k

25 Bazı gösterim ve formüller. + a R ve k Z a a ( a )... ( a ( k ) , k... k , f ( u) ( u ) a, u< a a j + foksiyouu McLauri serisi ( ) ( ) ( j) + Z içi biom (iki terimli) açılımı: j j ( j) ( j) ( + u) ( u) ( u) j j p p ( q+ p) q ( + ) q p q q q + k Z içi egatif biom açılımı: f u + u u k k j k k k ( ) ( ) ( j k k ) ( + u) u u ( u) j k k k ( k q k ) q, ( k ) ( ) k ( k ) k t k t k ( qe ) ( qe ), t< l q k q p k k Biom Dağılımı ile Negatif Biom Dağılımı isimleri bu açılımlarda gelmektedir. t t k k t k t k M ( t) E( e ) e q p ( pe ) ( qe ) k k k k j ( ) E ( ) E t t k t k pe ( pe ) ( qe ) t qe dm ( t) dt t ( t) d M dt t k p k( k + q) p k, t< l q Var ( ) E ( ) E ( ) kq p Geometrik Dağılım k içi Negatif Biom Dağılımıı özel bir halidir.

26 Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef üç isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) 4 atış yapması olasılığı edir? b) E çok 4 atış yapması olasılığı edir? c) E az 4 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua 5 mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır? Hedef üç isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Negatif Biom Dağılımıa sahiptir. f ( ) , 3,45,... k kq 4 E( ) 4, Var( ) p p 3 olmak üzere: a) P( 4) b) P( 4) f (3) + f (4) c) 7 48 P( 4) P( < 4) f (3) 64 56

27 P( 5) f (3) + f (4) + f (5) d) e) Kazaç: K - E( K) 3 - E( ) 6 E( K) 6-4 Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K) Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K 3a -. E( K) ( oyuu dürüst olması) 3a -. E( ) 3a - 4 a 4 3

28 Poisso Dağılımı Poisso Dağılımı sürekli (zama, ala, hacim gibi) ortamlarda kesikli souçlar vere ve aşağıda a),b),c) şıklarıda belirtile özelliklere sahip deeyleri modellemeside kullaıla bir dağılım Öreği : ) Belli bir zama aralığıda bir yolda geçe arabaları sayısıı gözlemesi, ) Belli bir zama aralığıda bir radyoaktif maddei ışıladığı parçacık sayısıı gözlemesi, 3) Belli bir zama arlığıda bir mağazaya gele müşterileri sayısıı gözlemesi, 4) Seyrek rastlaıla bir hastalık içi belli bir zama araalığıda bu hastalığa yakalaaları sayısıı gözlemesi, 5) Belli bir bölgeye düşe gök cisimlerii sayısıı gözlemesi, 6) Belli bir bölgede bulua yaba hayvalarıı sayısıı gözlemesi, durumlarıda Poisso Dağılımı kullaılabilir. Poisso bir matematikçi ismi olup puaso olarak telâfuz edilir. Poisso Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamı zama olması halide yapalım. (,t zama aralığıda meydaa gele souçları (bir olayı gerçekleşme) sayısı ] olsu. Souçları ortaya çıkara deey ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsu: a) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda bir başarı elde etme olasılığı t ile oratılı b) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı yaklaşık olarak sıfır c) t uzuluklu ayrık aralıklar içi elde edile souçlar bağımsız birer Beroulli Deemesidir. (,t zama aralığıda meydaa gele souç sayısı, kesikli bir rasgele ] değişke olmak üzere, i aldığı değerler,,, i olasılık foksiyouu bulmaya çalışalım. (,t] aralığıı yeterice küçük t uzuluklu, t tae alt aralığa parçalayalım. Belli bir parçada veya tae souç ortaya t çıkabilir diyebiliriz. t zama aralığıda bir souç çıkması veya çıkmaması bir Beroulli Deemesi olup, soucu ortaya çıkması olasılığı t ile oratılı Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p c t olsu. (,t] aralığıda tae t uzuluklu ayrık aralık bulumakta ve bu aralıklarda bağımsız souçlar vere p c t olasılıklı

29 Beroulli Deemeleri gerçekleşmektedir. O zama (,t] aralığıda elde edile t souçları sayısı b(, p c t) Biom Dağılımıa sahip olacaktır. t içi t t t t, p c t ct λ olmak üzere, b(, p c t) Biom t t t Dağılımıdaki olasılıkları limitleri Poisso Dağılımıdaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, (,t] zama aralığıda meydaa gele souç sayısı ola ve Poisso dağılımıa sahip ola rasgele değişkeii olasılık foksiyou, t / t f P c t c t ( ) ( ) lim ( ) ( ) t ( ) λ λ t t lim ( ) ( )! λ λ λ lim...! ( )! λ ( )...( ( )) λ λ lim.! e λ λ,,,,3,...! ( )...( ( ))... λ, λ λ e ve Poisso Dağılımıa sahip bir rasgele değişke olduğuda, e f ( ) λ λ,,,,3,...! t t M ( t) E( e ) e f ( ) λ λ e t e λ λ t e e.! e e λ t ( λe )! ( e t ) e λ, t R olmak üzere,

30 dm ( ) t t t λ ( e ) E( ) λe e λ dt t t d M ( t) E( ) e e e e t t t λ ( e ) t λ ( e ) λ + ( λ ) λ + λ dt t t ( ) + Var( ) E( ) E λ λ λ λ Poisso Dağılımıı parametresi ola λ ( λ (, )) sayısı ayı zamada dağılımı beklee değeri (ortalaması) ve varyası λ parametresii bazı değerleri içi Poisso dağılımıı olasılık foksiyouu grafikleri aşağıdaki gibidir. λ λ λ

31 λ λ λ λ

32 Örek: Bir hastaei acil servisie dakikalık bir zama aralığıda ortalama 3 hasta gelmektedir. Bu zama aralığıda, a) hasta gelmemesi olasılığı edir? b) bir hasta gelmesi olasılığı edir? c) e az 5 hasta gelmesi olasılığı edir? dakikalık bir zama aralığıda gele hasta sayısı i λ 3 ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, 3 e 3 f ( ),,,,...! olmak üzere, 3 a) P( ) e e 3 3 b) P( ) 3e.4936! c) P( 5) P( < 5) f () f () f () f (3) f (4) >> :4 ; -sum(poisspdf(,3)) as.8474 e 3 e 3 e 3 e 3 e 3!!! 3! 4! Örek: Bir keti içide bir ayda ortalama 3, bir güde ortalama trafik kazası olmakta Belli bir gü içi meydaa gele kaza sayısıı, a) b) da az c) da çok olması olasılığı edir? bir güde meydaa gele kaza sayısı olsu. i λ ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, e f ( ),,,,...! olmak üzere, a) P( ) e b) >> :9 ; -sum(poisspdf(,)) as.547 c) >> : ; -sum(poisspdf(,)) as e P( < ) P( 9).547! e P( > ) P( ) P( ).4696!

33 Kesikli Düzgü Dağılım Bir rasgele değişkei aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgü dağılıma sahiptir deir. Düzgü dağılıma sahip bir rasgele değişkeii aldığı değerler,,..., olmak üzere olasılık foksiyou, f ( ),,,..., ( < <... < ) olasılık tablosu, f ( ) dağılım foksiyou,, < i F( ), i < i +, i,,...,, ve E( ) f ( ) i i i i i i i i i i i i i E( ) f ( ) f ( ) i i i i i Var( ) E( ) ( E ) ( ) Var( ) E( E ) E( ) ( ) f ( ) i i i i ( ) i ( i ) i i + i i i i i i

34 t ti i i i t M ( t) E( e ) e f ( ) e f ( ) e ti t t t3 t e + e + e e, t R Özel olarak i aldığı değerler,,,..., olduğuda, f ( ),,..., 3... f ( )... E( ) f ( ) i f ( i ) i i i ( + ) + ( ) + (² + ² ²) i Var( ) ( + )( + ) + 6 ³ ² Örek: Düzgü bir tavla zarı atılması deeyide üste gele okta sayısı olsu. i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, f ( ) f ( ),,3,4,5, olasılık foksiyouu grafiği,

35 /6 f() dağılım foksiyou,, <, < 6, < 3 6, < 3 F ( ) P ( ), 3 < 4, < , 6, 4 5 < 6 5, 5 < 6 6, 6 dağılım foksiyouu grafiği, F() 5/6 4/6 3/6 /6 / beklee değeri, E( ) 3.5 varyası, ² 35 Var( ), stadart sapması σ.778 Bu zarla oyaa bir oyuda üste gele her okta içi 5 TL kazaıldığıda, oyuu dürüst olması içi oyu kaç TL ye oyatılmalıdır? K 5 a ( a : oyua giriş içi verile para ) Oyuu dürüst olması içi E( K ) olmalı E( K) 5 E( ) a a a 75 TL

36 Örek: Düzgü dağılıma sahip kesikli bir rasgele değişkei aldığı değerler, olsu. olmak üzere, rasgele değişkei her bir değeri alması olasılığı / olup olasılık foksiyou, f ( ),.33,.85,..., 5.8 ve dağılım foksiyou,, <, <.33 i i F( ), i < i +, i,,...,, i < i +, i,,...,9,, 5.38 Dağılım foksiyouu grafiği aşağıdaki gibidir. >> [ ]; >> stairs(,(:)/ )

37 Çok Terimli Dağılım

38

39

40

41

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 1/7 Haftalık

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,

4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi, POĐSSON DAĞILIMI Poisson Dağılımı sürekli oramlarda (zaman, alan, hacim, ) kesikli sonuçlar veren ve aşağıda a),b),c) şıklarında belirilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılım

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir.

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir. DENEY NO: 7 MOSFET ÖLÇÜMÜ ve UYGULAMALARI DENEYĐN AMACI: Bu deeyi amacı MOS elemaları temel özelliklerii, ve p kaallı elemaları temel uygulamalarıı öğretmektir. DENEY MALZEMELERĐ Bu deeyde 4007 MOS paketi

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere: 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda,

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

Hipotez Testleri. Parametrik Testler

Hipotez Testleri. Parametrik Testler Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Burçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA

Burçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Burçi Goca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 7 ANKARA TEZ

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer.

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer. SORU : AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI X raslat deikeii olas l k youluk foksiyou 8x, x f(x) = 0, ö.d olarak verilmitir. Bua göre 0< y içi Y = raslat deikeii X olaslk youluk

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

FİBER BRAGG IZGARA TABANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ

FİBER BRAGG IZGARA TABANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ FİER RAGG IZGARA TAANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ Lale KARAMAN 1 N. Özlem ÜNVERDİ Elektroik ve Haberleşme Mühedisliği ölümü Elektrik-Elektroik Fakültesi Yıldız Tekik Üiversitesi, 34349, eşiktaş, İstabul 1

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ .4.26 5. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ Mekul Kıymet Yatırımlarıı Değerlemesi Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Temel Değerleme Modeli Mekul Kıymet Değerlemesi

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve aakütledeki tüm elemalar dikkate alıarak hesaplaabilir. Aakütledeki tek bir elema dahi işlemi

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.

Detaylı