7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

Transkript

1 Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir. D ( Ω ) { : R, ω Ω içi ( ω) } olmak üzere, D kümesi solu veya sayılabilir sosuz elemalı olduğuda e kesikli rasgele değişke (discrete radom variable) deir. üzere, Kesikli bir rasgele değişkei dağılım foksiyou F ve olasılık foksiyou f olmak F : R [,] F( ) P( ) f ( i ) i D, i f ( ) P( ) F( ) F( ), D ) f ( ), D ) f ( ) D Bu derste bir oktada yoğulaşmış dağılım (Dirac Dağılımı), iki oktada yoğulaşmış dağılım (Beroulli Dağılımı), Biom Dağılımı, Hipergeometrik Dağılım, Geometrik Dağılım, Negatif Biom (Pascal) Dağılımı, Poisso Dağılımı ve Düzgü Dağılım ı göreceğiz.

2 Bir Noktada Yoğulaşmış Dağılım ( Ω, U, P) Ω ω R a Örek uzayı her elemaıı bir a sayısıa döüştüre foksiyoa, a oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip rasgele değişke deir. D { a} ve i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, dağılım foksiyou, f ( ), a a f P ( ) ( ) ( ) F,, < a a ve ( ). ( ) E f a ( ). ( ) E f a ( ) ( ) ( ) Var E E ( t ) at M ( t) E e e, t R

3 Sıfır oktasıda yoğulaşmış dağılıma Dirac Dağılımı deir. f() F() f ( ),, < F ( ), E ( ) ( ) E Var ( ) M ( t), t R Beroulli Dağılımı Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, Ω, U {,, B, B} ( B B Ω, P( B) p ) olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Aşağıdaki gibi taımlaa rasgele değişkeie Beroulli rasgele değişkei ve dağılımıa da Beroulli dağılımı deir.

4 ( Ω, U, P) Ω B ω B Beroulli dağılımıda rasgele değişkeii aldığı değerler, olup, D {,} i olasılık foksiyou, ( ) ( ) f p p,, olasılık tablosu, f P q p ( ) ( ) dağılım foksiyou,, < F ( ) q, <, R f() q F() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E. f. q +. p p E. f. q +. p Var E E p p p p p. q ( ) t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e t. q e t. p q p. e t p p. e t, t R Beroulli dağılımıda, beklee değer başarı elde etme olasılığıa eşittir. Beroulli dağılımıdaki p ( < p < ) sayısıa dağılımı parametresi deir.

5 Beroulli dağılımları arasıda varyası e büyük ola dağılım hagisidir? Beroulli Dağılımıı varyası p i bir foksiyoudur. g( p) pq p( p) p p, < p< g '( p) p g ''( p) olmak üzere, p ola Beroulli dağılımıı varyası e büyüktür. Parametresi ½ ola Beroulli dağılımı e büyük varyaslı Beroulli dağılımıı iki tür souçlu deeylerii modellemeside (alatımıda) kullaırız. Öreği kişilik bir kitlede kişi sigara içmiyor ve 8 kişi içiyor, yai %6 ı sigara içmiyor olsu. Bu kitlede rasgele bir kişi seçildiğide Örek Uzay, Ω sigara içiyor, sigara içmiyor { } olmak üzere, seçile kişii sigara içmiyor olması olayıı olasılığı p.6 olup, rasgele değişkei sigara içmeye içi, içe içi değerii alsı. bir Beroulli rasgele değişkeidir. p Bir olayı olasılığı p olmak üzere, sayısıa, bu olayı değilie göre karşıtlığı p p diyelim. Kısaca sayısıa karşıtlık (odds) diyelim. Karşıtlık (, ) aralığıda bir sayı p Yukarıda sözü edile kitlede, sigara içmemei içmeye karşıtlığı,.6.5 :8 3:.6 8 dir. Sigara içmeye 3 kişiye karşılık kişi sigara içmektedir. Ölümcül bir tür kaser tedaviside %8 olasılıkla başarı elde ediliyorsa,.8 Karşıtlık 4 :.8 p Bir olay içi karşıtlık p ve başka bir olay içi karşıtlık p olmak üzere, bu p iki olay içi p p p ( p ) Karşıtlık Oraı ( Odds Ratio, OR) p p ( p ) p olarak taımlamakta Ölümcül bir tür kaser tedaviside başarı olasılığı, bayalar içi p %8, erkekler içi p %4 olduğuda, bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği iki katı Bayalar içi p.8 4 KarşıtlıkB 4 p.8 olmak üzere, 4 kurtula bayaa karşılık baya ölmektedir. Erkekler içi, p.4 4 KarşıtlıkE p olup, 4 kurtula erkeğe karşılık 6 erkek ölmektedir. Bu karşıtlıkları oraı,

6 p.8 4 p OR.8 6 p.4 4 p.4 6 Tedavi sorası bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği kurtulma olasılığıı iki katı, Karşıtlık Oraı ise OR6 Bir tedavide başarı oraı (olasılığı), sigara içme oraı, bozuk ürüleri oraı, 8 yaşı üzeridekileri oraı, kısaca bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı kitleyi karakterize etmede öemli parametrelerde birisidir. Ayrıca bu parametreye bağlı olarak Karşıtlık ve Karşıtlık Oraı gibi kavramlar söz kousudur. Bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı, bir Beroulli deemeside başarı olasılığı p ( < p < ) olmak üzere, bu ora, yai p parametresi bilimediğide tahmi edilmesi gerekmektedir. Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir.. Tura gelmesi başarı sayıla bir para atışıı kez tekrarlaması,. Kusursuz parça üretme olasılığı p.99 ola bir makiada tae parça üretilmasi, 3. Bir atışta başarı olasılığı p.8 ola bir basketbolcuu 5 atış yapması, 4. 6 Kırmızı ve 4 siyah top içere bir kavaozda iadeli olarak 3 top çekilmesi, birer Biom Deeyidir. Biom Deeyide örek uzay, BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... B ( bir başarı) tae tae tae tae BB... B,... BB... BBB ( iki başarı) tae tae Ω BBBB... B,..., BB... BBBB ( üç başarı) tae tae..., BB... B ( başarı) tae olmak üzere, rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olsu.

7 başarı başarı başarı başarı başarı Ω BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... BB, BBB... B,..., BB... BBB,..., BB... B, BB... B,..., BB... B, BB... B tae tae tae tae tae tae tae tae tae tae R... - rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, D {,,,...,, } ve bu değerleri alması olasılıkları, P( ) P( BB... B) qq... q q tae tae P ( ) P ( BB... B veya BBB... B veya... veya BB... BB ) tae tae tae q p p q P( ) P( BBB... B veya... vaya BB... BBB) p q tae tae P( ) P( BB... B) p tae olup, i olasılık foksiyou, f p q ( ),,,..., Momet çıkara foksiyo, olmak üzere, t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f ( pe ) t ( ), t q q + pe t R

8 ( ) E ( ) dm ( t) t ( ) t q pe pe t t dt ( t) + p d M t t t t ( )( ) ( ) ( ) t t E q + pe pe + q + pe pe dt ( ) p + p ( ) ( ) ( ( )) ( ) + ( ) Var E E p p p ( ) + p p p p pq Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlaması deeyide, yai bir Biom Deeyide elde edile başarı sayısı rasgele değişkei olmak üzere, e Biom Dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. içi Biom Dağılımı bir Beroulli dağılımı Beroulli Dağılımıı b(, p ) biçimide gösterebiliriz. + Biom Dağılımıda iki parametre bulumakta Birisi ( {,,3,... } diğeri p( p (,) R) Z, dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Biom Dağılımıa sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz. Biom Dağılımıda parametre tahmii kousuu burada ele almayacağız. Örek: Düzgü bir paraı üç kez atılışıda örek uzay, Ω { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} olmak üzere, rasgele değişkei üç atışta gele turaları sayısı olsu. Böyle taımlaa rasgele değişkei 3 ve p ola Biom Dağılımıa sahiptir, yai b( 3, p ) rasgele değişkei aldığı değerleri kümesi, D ( Ω ) {,,, 3} olmak üzere, i olasılık foksiyou, 3 3 f ( ),,,,3 ve olasılık tablosu 3 f ( ) P( ) /8 3/8 3/8 /8 rasgele değişkeii dağılım foksiyou,

9 F : R [,], <, < 8 4 F ( ) P ( ), < 8 7, < 3 8, 3 Olasılık foksiyou ile dağılım foksiyouu grafikleri, 3/8 f() /8 3 7/8 F() 4/8 ve 3 E ( ) p.5, Var ( ) E( 3 ) ( E( )) pq.75 4 Örek: b( 3, p ) olsu. Aşağıdaki Matlab programıı gözde geçiriiz. >>:3 >> biopdf(,3,/) >> biocdf(,3,/) >> stairs(,as) /

10 Örek: Bir tora makiası bir güde 5 parça işlemektedir. Bir parçayı kusursuz olarak 4 işlemesi olasılığıı p olduğu bilisi. Bir güde kusursuz olarak işlee parça 5 sayısı rasgele değişkei olsu. 4 b( 5, p ) dağılımıa sahiptir. i 5 olasılık foksiyou, f ( ) 3 4 5,,,,,, 5 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Tablodaki olasılıklar: >> :5; >> biopdf(,5,4/5) Dağılımı beklee değeri ve varyası, 4 E( ) p 4, Var( ) pq.8 5 Đşlememiş parçaı alış değeri a TL, işleme masrafı b TL, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c TL ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d 3 TL olduğuda, K 5( c a b) + ( d c) E( K) E( ) Var 4 5 ( ) 3 Var( ) 3 7 σ Gülük kazacı beklee değeri 5 TL dir. Gülük kazacı olasılık dağılımı, P( ) k P( K k) olmak üzere, bazı gülerde 55 TL kazaç olduğu gibi, 95, 65 ya da 35 TL kayıp söz kousu olabilir.

11 Hipergeometrik Dağılım Hatırlatma: pozitif tamsayı ve a R olsu. ( ) [ ] a a( a -) a -... a ( ) (-) (.) (.) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) a Taım: N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak, ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese ekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. f ( ) a N a N,,,,..., ( < N a, a) ( N a), ( N a) +,..., ( N a, a),,,..., a ( < N a, > a) ( N a), ( N a) +,..., a ( N a, > a) olmak üzere, Hipergeometrik Dağılıma sahiptir deir. Not: a N a N Öreği, ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( ) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) ( 5) ( 8)( 4) + ( 8)( 4) + ( 8)( 4) ( )

12 a N a E( ) f ( ) N a! N a N! ( a )! a ( a )! N a N ( )!( a + )! a a N a N ( y deilsi) a a N ( a ) N y y y a N a ( N )! N N! ( )!( N )!! N! ( ) a. a. N N Var ( ) bulmak içi öce E ( ) değeri bulusu. a N a E ( ) ( ) N a! N a ( ) N! ( a )! a ( a ) ( a )! N a N ( )!( a )! a ( a ) ( ) N N ( )

13 y deilsi. ( ) a a a N a N ( ) a ( ) a a N a N y y ( ) N a a N ( ) ( ) ( N ) ( ) ( ) a a! N!! N!! N! ( ) ( ) ( ) E E E ( ) ( ) N ( N ) E ( ) a a a N a a ( ) ( ) N ( N ) ( ) ( ) ( ) Var E ( E ) ( ) ( ) ( ) a a a a N N N N ( )( ) N ( N ) a N a N N a N a N N N Var N a a N N N ( ) Hipergeometrik Dağılımda üç tae parametre bulumakta Bular N, a ve dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Hipergeometrik Dağılıma sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz.

14 Örek: Bir torbadaki topta 6 taesi beyaz olsu. Ayı ada 5 top (iadesiz olarak ardı ardıa 5 kez birer top) çekilmesi deeyide gele beyaz topları sayısı rasgele değişkei olsu. N, a 6, N a 4, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a f ( ),,,3,4,5 N 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,,6,5) as a a 6 E( ) 5 3 N N ( ) Var N a a 5 ( ) N N N 3 Örek: Bir iş yeride 8 kadı ve erkek çalışmakta Rasgele seçile 3 kişi arasıda erkekleri sayısı rasgele değişkei olsu. N, a, N a 8, 3 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 8 f ( ),,, N 3 olasılık tablosu, f ( )

15 a a E( ) 3.6 N N ( ) Var N a 3 8 a 3 ( ) N N N 45 Örek: beyaz ve 5 siyah top bulua bir kavaozda iadesiz olarak 5 kez birer top (ayı ada 5 top) çekildiğide, a) Gele siyah topları sayısıı beyazlarda çok olması olasılığı edir? b) Siyah topları beklee sayısı edir? c) Siyah top içi TL kaybedilse, beyaz top içi 5 TL kazaılsa, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri ve varyası edir? Olasılık dağılımı edir? -rasgele değişkei çekilişte gele siyah topları sayısı olsu. N 5, a 5, N a, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 5 5 f ( ),,,,3, 4,5 N 5 olasılık tablosu, a N a f ( ) N Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,5,5,5) as a a 5 E( ) 5 N N 5 3 ( ) Var N a a 5 ( ) N N N

16 a) b) P( 3) a 5 E( ) N c) K rasgele değişkei kazaç olsu. K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) f ( ) k g ( k ) Bu örekte, çekilişler iadeli olarak yapılsaydı, rasgele değişkei Biom Dağılımıa sahip olurdu. b( 5, p ) 3 5 E( ) p 5 3 3, Var ( ) pq 5, P( 3) f ( ) ( ) ( ) 3 3 k g(k) K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) olmak üzere, ve K rasgele değişkelerii dağılımları değişmiş, beklee değerleri ayı kalmış ve varyasları büyümüştür.

17 Đadeli ve iadesiz çekilişleri karşılaştıralım. N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadeli olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi deeyide Y rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Y Biom Dağılımıa sahiptir. a Y b(, p ) N y y f ( y) p q, y,,,..., y a E( Y ) p N a a Var( Y) pq ( ) N N N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese çekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Hiprdeometrik Dağılıma sahiptir. a N a f ( ) N a a E( ) N N Var ( ) N a a N N N Görüldüğü gibi rasgele çekile eseler arasıda belli özelliğe sahip eseleri sayısıı beklee değeri iadeli ve iadesiz çekilişlerde ayı Fakat varyaslar N birbirie eşit değildir. Đadeli çekilişlerde varyas daha büyüktür ( < ). N E( Y ) E( ) Var( Y) Var( ) Toplam ese sayısı N artsı (eseler çoğalsı) ve belli özelliğe sahip ola ese sayısı a a sabit bir sayıya p yakısası. Başka bir ifade ile, belli özelliğe N N sahip ola ese sayısı a sabit bir sayıya yakısayacak şekilde N olsu. Çekile N ese sayısı sabit (ayı) kalsı. Bu durumda, N lim N N olmak üzere, toplam ese sayısı çok büyük olduğuda, a a Var( Y) pq ( ) N N Var N a a N N N ( )

18 değerleri yaklaşık olarak birbirie eşit olacaktır. Hatta, toplam ese sayısı N oldukça büyük ve çekile ese sayısı bua göre ispete küçük olduğuda, N N olmak üzere, a a N a a N N N N N olmakta Ayrıca, a N a a N a f ( ) ( ) ( ) a! N a!! N! N N! ( a )!( )!( N a + )! N! ( ) ( ) ( )... ( a + )... a N a N a N + N ( )...( ( ) )( )( )... ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) a a a N a N a N a N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N... N N olmak üzere, a N a lim f ( ) lim N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N N lim N... N N p q

19 yai, a N a N a p q N p N a N ve p N durumuda, Hipergeometrik Dağılımıdaki olasılıklar Biom Dağılımıdaki olasılıklara yakısamakta Bu duruma şimdilik, Hipergeometrik Dağılım, Biom Dağılımıa yakısamaktadır diyelim. Bu özelliği olasılık foksiyoları grafiklerii çizerek görmeye çalışalım. N, a 8, ola 8 Hipergeometrik Dağılım ile b(, p.4) Biom Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri (koyu oktalar-hipergeometrik, açıklar-biom), N 4, a 6, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 6 b(, p ) Biom

20 3 N 8, a 3, ola Hipergeometrik Dağılım ile b(, p ) Biom Dağılımıı 8 olasılık foksiyolarıı grafikleri, ve N 6, a 64, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 64 b(, p ) Biom Görüldüğü gibi, parametreleri N, a, ola Hipergeometrik Dağılımdaki olasılıklar, a N a sabit kalma koşuyla, N büyüdükçe b(, p ) Biom Dağılımıdaki olasılıklara N yaklaşmakta Toplam ese sayısı N büyük ve çekile ese sayısı küçük (N göre küçük) olduğuda iadesiz olarak birer birer ese çekilişi, iadeli yapılmış gibi ele alıabilir.

21 Geometrik Dağılım Hatırlatma: Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, ( B B U Ω,, B, B, P( B) p ) Ω, { } olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir. rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olduğuda, e Biom dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. Biom dağılımıda, f ( ) p q,,,..., t t ( ) ( ) ( ) +, E ( ) M t E e q pe p, Var ( ) pq Geometrik Dağılım: Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesi, ayı şartlar altıda, bağımsız olarak bir başarı elde ediceye kadar tekrarlası. Yapıla deeme sayısı rasgele değişkei olsu. Ω b aş a r ı s ı z lı k B, B B, B B B,...,, B B... B B,... d e e m e R olmak üzere, rasgele değişkeii aldığı değerler,,3,... ve olasılık foksiyou, ( ) f P( ) P( BB... B B) P( B) P( B)... P( B) P( B) q p olmak üzere, dağılım foksiyou, tae tae F( ) P( ), R

22 j ( ),,,3,... j F q p q Momet çıkara foksiyou, t t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e q p ( ( ) ( ) ) 3 t t 3t t t t t e p + e qp + e q p + pe + qe + qe + qe t t e p, ( qe <, t < l q) t qe ( ) E dm p ( t) dt t ( ) ( ) t ( qe ) pe qe pe qe t t t t t ( ) + ( q) p q pq ( ) E d M dt t t t t t ( t) pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) t t 4 ( qe ) t ( ) + ( ) 4 ( q) p q pq q Var ( ) E ( ) E ( ) q p ( q)( p pq + pq) ( q) 4 + q p Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef bir isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) Hedefi 4 atışta öce vurması olasılığı? b) E az 3 atış yapması olasılığı edir? c) atış yaptığı bilidiğide buda sora e az 3 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır?

23 Hedef bir isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Geometrik Dağılıma sahiptir. 3 ( ),,,... f q p 4 4 a) b) 4 q 4 E( ), Var( ) p 3 p P( < 4) f () + f () + f (3) P( 3) P( < 3) f () f () c) P( 3) P( ) F() ( ) P( 3 ve > ) P( 3) P( ) P( 3 / > ) P( > ) P( > ) P( ) F() q q F() q d) P( ) f () + f () e) Kazaç: K - E( K) - E( ) 4 E( K) Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K), Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K a -., E( K) ( oyuu dürüst olması) a -. E( ) 4 a a 3

24 Negatif Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda bağımsız olarak k başarı elde ediceye kadar yapılması deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei, k başarı elde ediliceye kadar yapıla deemeleri sayısı olsu. rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, ve D { k, k+, k+,...} P( k) P( BB... B) pp... p p k tae tae k k deeme k deeme k deeme k başarı k başarı k başarı P( k+ ) P( BB... B B veya BBB... B B veya... veya BB... BB B) k+ tae k+ tae k+ tae... k k k q p ( p) k q p k so deeme deeme başarı k başarı ( ) ) P( ) P(.... ) p q p q p k k tae... olup, i olasılık foksiyou, k k k k k f ( ) q p k k, k, k +, k +,... Olasılıklar toplamı olduğuda, k k q p k k, k q p ( q) k k k k

25 Bazı gösterim ve formüller. + a R ve k Z a a ( a )... ( a ( k ) , k... k , f ( u) ( u ) a, u< a a j + foksiyouu McLauri serisi ( ) ( ) ( j) + Z içi biom (iki terimli) açılımı: j j ( j) ( j) ( + u) ( u) ( u) j j p p ( q+ p) q ( + ) q p q q q + k Z içi egatif biom açılımı: f u + u u k k j k k k ( ) ( ) ( j k k ) ( + u) u u ( u) j k k k ( k q k ) q, ( k ) ( ) k ( k ) k t k t k ( qe ) ( qe ), t< l q k q p k k Biom Dağılımı ile Negatif Biom Dağılımı isimleri bu açılımlarda gelmektedir. t t k k t k t k M ( t) E( e ) e q p ( pe ) ( qe ) k k k k j ( ) E ( ) E t t k t k pe ( pe ) ( qe ) t qe dm ( t) dt t ( t) d M dt t k p k( k + q) p k, t< l q Var ( ) E ( ) E ( ) kq p Geometrik Dağılım k içi Negatif Biom Dağılımıı özel bir halidir.

26 Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef üç isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) 4 atış yapması olasılığı edir? b) E çok 4 atış yapması olasılığı edir? c) E az 4 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua 5 mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır? Hedef üç isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Negatif Biom Dağılımıa sahiptir. f ( ) , 3,45,... k kq 4 E( ) 4, Var( ) p p 3 olmak üzere: a) P( 4) b) P( 4) f (3) + f (4) c) 7 48 P( 4) P( < 4) f (3) 64 56

27 P( 5) f (3) + f (4) + f (5) d) e) Kazaç: K - E( K) 3 - E( ) 6 E( K) 6-4 Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K) Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K 3a -. E( K) ( oyuu dürüst olması) 3a -. E( ) 3a - 4 a 4 3

28 Poisso Dağılımı Poisso Dağılımı sürekli (zama, ala, hacim gibi) ortamlarda kesikli souçlar vere ve aşağıda a),b),c) şıklarıda belirtile özelliklere sahip deeyleri modellemeside kullaıla bir dağılım Öreği : ) Belli bir zama aralığıda bir yolda geçe arabaları sayısıı gözlemesi, ) Belli bir zama aralığıda bir radyoaktif maddei ışıladığı parçacık sayısıı gözlemesi, 3) Belli bir zama arlığıda bir mağazaya gele müşterileri sayısıı gözlemesi, 4) Seyrek rastlaıla bir hastalık içi belli bir zama araalığıda bu hastalığa yakalaaları sayısıı gözlemesi, 5) Belli bir bölgeye düşe gök cisimlerii sayısıı gözlemesi, 6) Belli bir bölgede bulua yaba hayvalarıı sayısıı gözlemesi, durumlarıda Poisso Dağılımı kullaılabilir. Poisso bir matematikçi ismi olup puaso olarak telâfuz edilir. Poisso Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamı zama olması halide yapalım. (,t zama aralığıda meydaa gele souçları (bir olayı gerçekleşme) sayısı ] olsu. Souçları ortaya çıkara deey ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsu: a) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda bir başarı elde etme olasılığı t ile oratılı b) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı yaklaşık olarak sıfır c) t uzuluklu ayrık aralıklar içi elde edile souçlar bağımsız birer Beroulli Deemesidir. (,t zama aralığıda meydaa gele souç sayısı, kesikli bir rasgele ] değişke olmak üzere, i aldığı değerler,,, i olasılık foksiyouu bulmaya çalışalım. (,t] aralığıı yeterice küçük t uzuluklu, t tae alt aralığa parçalayalım. Belli bir parçada veya tae souç ortaya t çıkabilir diyebiliriz. t zama aralığıda bir souç çıkması veya çıkmaması bir Beroulli Deemesi olup, soucu ortaya çıkması olasılığı t ile oratılı Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p c t olsu. (,t] aralığıda tae t uzuluklu ayrık aralık bulumakta ve bu aralıklarda bağımsız souçlar vere p c t olasılıklı

29 Beroulli Deemeleri gerçekleşmektedir. O zama (,t] aralığıda elde edile t souçları sayısı b(, p c t) Biom Dağılımıa sahip olacaktır. t içi t t t t, p c t ct λ olmak üzere, b(, p c t) Biom t t t Dağılımıdaki olasılıkları limitleri Poisso Dağılımıdaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, (,t] zama aralığıda meydaa gele souç sayısı ola ve Poisso dağılımıa sahip ola rasgele değişkeii olasılık foksiyou, t / t f P c t c t ( ) ( ) lim ( ) ( ) t ( ) λ λ t t lim ( ) ( )! λ λ λ lim...! ( )! λ ( )...( ( )) λ λ lim.! e λ λ,,,,3,...! ( )...( ( ))... λ, λ λ e ve Poisso Dağılımıa sahip bir rasgele değişke olduğuda, e f ( ) λ λ,,,,3,...! t t M ( t) E( e ) e f ( ) λ λ e t e λ λ t e e.! e e λ t ( λe )! ( e t ) e λ, t R olmak üzere,

30 dm ( ) t t t λ ( e ) E( ) λe e λ dt t t d M ( t) E( ) e e e e t t t λ ( e ) t λ ( e ) λ + ( λ ) λ + λ dt t t ( ) + Var( ) E( ) E λ λ λ λ Poisso Dağılımıı parametresi ola λ ( λ (, )) sayısı ayı zamada dağılımı beklee değeri (ortalaması) ve varyası λ parametresii bazı değerleri içi Poisso dağılımıı olasılık foksiyouu grafikleri aşağıdaki gibidir. λ λ λ

31 λ λ λ λ

32 Örek: Bir hastaei acil servisie dakikalık bir zama aralığıda ortalama 3 hasta gelmektedir. Bu zama aralığıda, a) hasta gelmemesi olasılığı edir? b) bir hasta gelmesi olasılığı edir? c) e az 5 hasta gelmesi olasılığı edir? dakikalık bir zama aralığıda gele hasta sayısı i λ 3 ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, 3 e 3 f ( ),,,,...! olmak üzere, 3 a) P( ) e e 3 3 b) P( ) 3e.4936! c) P( 5) P( < 5) f () f () f () f (3) f (4) >> :4 ; -sum(poisspdf(,3)) as.8474 e 3 e 3 e 3 e 3 e 3!!! 3! 4! Örek: Bir keti içide bir ayda ortalama 3, bir güde ortalama trafik kazası olmakta Belli bir gü içi meydaa gele kaza sayısıı, a) b) da az c) da çok olması olasılığı edir? bir güde meydaa gele kaza sayısı olsu. i λ ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, e f ( ),,,,...! olmak üzere, a) P( ) e b) >> :9 ; -sum(poisspdf(,)) as.547 c) >> : ; -sum(poisspdf(,)) as e P( < ) P( 9).547! e P( > ) P( ) P( ).4696!

33 Kesikli Düzgü Dağılım Bir rasgele değişkei aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgü dağılıma sahiptir deir. Düzgü dağılıma sahip bir rasgele değişkeii aldığı değerler,,..., olmak üzere olasılık foksiyou, f ( ),,,..., ( < <... < ) olasılık tablosu, f ( ) dağılım foksiyou,, < i F( ), i < i +, i,,...,, ve E( ) f ( ) i i i i i i i i i i i i i E( ) f ( ) f ( ) i i i i i Var( ) E( ) ( E ) ( ) Var( ) E( E ) E( ) ( ) f ( ) i i i i ( ) i ( i ) i i + i i i i i i

34 t ti i i i t M ( t) E( e ) e f ( ) e f ( ) e ti t t t3 t e + e + e e, t R Özel olarak i aldığı değerler,,,..., olduğuda, f ( ),,..., 3... f ( )... E( ) f ( ) i f ( i ) i i i ( + ) + ( ) + (² + ² ²) i Var( ) ( + )( + ) + 6 ³ ² Örek: Düzgü bir tavla zarı atılması deeyide üste gele okta sayısı olsu. i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, f ( ) f ( ),,3,4,5, olasılık foksiyouu grafiği,

35 /6 f() dağılım foksiyou,, <, < 6, < 3 6, < 3 F ( ) P ( ), 3 < 4, < , 6, 4 5 < 6 5, 5 < 6 6, 6 dağılım foksiyouu grafiği, F() 5/6 4/6 3/6 /6 / beklee değeri, E( ) 3.5 varyası, ² 35 Var( ), stadart sapması σ.778 Bu zarla oyaa bir oyuda üste gele her okta içi 5 TL kazaıldığıda, oyuu dürüst olması içi oyu kaç TL ye oyatılmalıdır? K 5 a ( a : oyua giriş içi verile para ) Oyuu dürüst olması içi E( K ) olmalı E( K) 5 E( ) a a a 75 TL

36 Örek: Düzgü dağılıma sahip kesikli bir rasgele değişkei aldığı değerler, olsu. olmak üzere, rasgele değişkei her bir değeri alması olasılığı / olup olasılık foksiyou, f ( ),.33,.85,..., 5.8 ve dağılım foksiyou,, <, <.33 i i F( ), i < i +, i,,...,, i < i +, i,,...,9,, 5.38 Dağılım foksiyouu grafiği aşağıdaki gibidir. >> [ ]; >> stairs(,(:)/ )

37 Çok Terimli Dağılım

38

39

40

41