Not: Soru ve çözümlerin sonunda derste brakılan ödevleri bulabilirsiniz. dx integrallerinin varlığını araştırınız. x 2 n. x n 3.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Not: Soru ve çözümlerin sonunda derste brakılan ödevleri bulabilirsiniz. dx integrallerinin varlığını araştırınız. x 2 n. x n 3."

Bercu Karakaş
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MAT0 RL ANALİ II BAHAR DÖNMİ ÇÖÜMLÜ ÖRNKLR I (Lebesgue İntegrali) Not: Soru ve çözümlerin sonunda derste brakılan ödevleri bulabilirsiniz. Soru: a) 0 R R 3, b) 5 integrallerinin varlığını araştırınız. ( ) 3/ Çözüm: a) Önce 3 fonksiyonu için ilgili [f()] n fonksiyon dizisini oluşturalım. şeklindedir. Bu durumda 0 olarak elde edilir. 3, n, 3 n 3 >n 0 3 [f()] n + n 3 n n n 0 + n 3 + n 3 3, + n 3 n, < + n 3 n+ 3 " 3 3 / n 3 3 µ+ n 3 /3 # b) Benzer yolla [f()] n ioluşturalım., ( ) 3/ ( ) n 3/ n, ( ) >n 3/ şeklindedir. Bu durumda 5 ( ) 3/ [f()] n + n /3 n+, + ( ) 3/ n /3 + n /3 n, < + n /3 ( ) 3/

2 + n /3 n µ n + n /3 + n /3 ( ) 3/ " + µ # / n /3 olarak elde edilir. Dolayısıyla integrali mevcut değildir. ( ) 3/ Soru: f() 0 ise [f()] n f() olduğunu ve eğer f() integrallenebilir ise [f()] n f() olduğunu kanıtlayınız. Çözüm: f() 0 ise [f()] n f() olduğu [f()] n in tanımlanışından f(), f() n n, f() >n f(), f() n f(), f() >n olduğundan aşikardır. ğer R integrali var ise f() 0 olduğundan integralin f() tanımından veya ilgili teoremlerden [f()] n f() olduğu kolayca görülür. Soru3: f() 3+e e fonksiyonunun 3 3 aralığında, f + () ve f () fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm3: f() 3+e e ve 3 3 olsun. f p () e + e olduğundan f p () 0olacak şekilde bir bulunamaz. Bu durumda f p () > 0 olduğundan f artan bir fonksiyondur. O halde eksenini kestiği noktayı belirlemek bizim için yeterli olacaktır. Bunun için e t değişken değiştirmesini yapıp 3+e e 0 3+t t 0 t +3t 0

3 özdeşliği elde edilir. Buradan t yi çözdüğümüzde t, elde edilir. t < 0 olduğundan esas aranan kök t 3+ 3 > 0 olmalıdır. Buradan e ln olarak bulunur. Bu durumda ln için de f() 0 olacaktır. 3 3 için f() 0 ve ln Ohalde f + () 3+e e 3, ln 3 3 0, 3 ln ve f () 3 0, ln 3 (3 + e e 3 ), 3 ln olarak elde edilir. Soru: (, 8) olmak üzere f() /3 olsun. Tanımı kullanarak R f() /3 integralinin var olup olmadığını araştırınız. Varsa değerini bulunuz ve geometrik olarak yorumlayınız. Çözüm: f() /3 /3 fonksiyonu için f + ve f yi belirleyelim. f p () 3 /3 /3 3 /3 ( /3 ) / /3 /3 eşitliğinden türevin kökü 8olarak bulunur. Burada 0ın düşey asimtot olduğuna dikkat edelim. Fonksiyonumuzun grafiği tüm R üzerinde aşağıdaki gibidir. 3

4 f ( ) / 3 / 3 y 8 Buradan (, 8) olduğundan f + () f () olarak bulunur. Bu durumda eğer /3 /3, 8 0, 0, 8 µ /3, /3 8 /3 /3 ve /3 + /3 integralleri varsa R integrali de vardır. f f() + nin integrali sınırlı fonksiyon olduğundan vardır ve kolayca f + () 8 /3 8 /3 /3 /3 3 olarak bulunur. f ise aralığından pozitif değer almaktadır ve 0da bir düşey asimtotu var olduğundan sınırlı değildir. Bu integralin değeri hesaplandığında f () 8 /3 + /3 /3 + /3 /3 + /3 /3 + /3

5 h /3 /3i 3 /3 3 / /3 h /3 /3i 3 /3 olarak bulunur. Bu durumda f() olarak bulunur. f + () f () 3 µ + 3 Ödevler: Aksi iddia edilmedikçe integral Lebesgue anlamında integral almaktır.. Sayılabilir nokta dışında sabit olan bir fonksiyonun integrallenebilir olup olmadığını tartışınız.. K, Cantor kümesini göstermek üzere, [0, ] K üzerinde f() fonksiyonunun Riemann ve Lebesgue anlamında integrallenebilirliğini tartışınız. 3. f() cos() fonksiyonunun [, ] üzerinde integralinin varlığını araştırınız, varsa bulunuz.. R 0 sin integralinin varlığını araştırınız. 5

Benzer belgeler

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise