PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

Transkript

1 YILLAR ÖSS ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik şekilde dağıtılabilir? 0 -) TOPLAMA YOLUYLA SAYMA: Örnek ( ) Bir torbada siyah beyaz bilye vardır Torbadan siyah veya beyaz bilye kaç yolla seçilebilir NOT: A ve B sonlu ve ayrık iki küme olsun s(a B) s(a) + s(b) olur O halde yukarıdaki sorunun çözümü s(s B) + dir Örnek ( ) Ahmet in kumaş, keten pantolonu vardır Giyeceği pantolonu kaç yolla seçebilir? (C: 9) -) ÇARPMA YOLUYLA SAYMA: Örnek ( ) Bir öğrencinin pantolonu, gömleği ve kravatı vardır Buna göre bu öğrenci kaç yolla giyinebilir? (C: 0) Örnek ( ) A{,,,,,,} kümesinin elemanlarıyla a) Yedi basamaklı kaç sayı? b) Rakamları farklı yedi basamaklı kaç sayı? c) Üç basamaklı kaç çift sayı d) Üç basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı? e) Üç basamaklı ten büyük kaç sayı? f) 0 den küçük kaç sayı? Örnek ( ) A{0,,,,,} kümesinin rakamlarıyla a) rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı? b) Rakamları farklı ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı? c) Rakamları farklı 00 den büyük üç basamaklı kaç sayı? d) Rakamları farklı 00 den büyük 00 den küçük kaç sayı yazılabilir? FAKTÖRĐYEL n! n dir Örnek ( ) A kentinden B kentine farklı yol ve B kentinden de C kentine farklı yolla gidilebiliyor a) A kentinden yola çıkan biri B kentine de uğrayarak C kentine kaç yolla gidebilir? (C: 0) b) A B C istikametinde gidip C B A istikametinden geri dönen biri bu gidiş dönüşü kaç türlü yapabilir? (C: 00) c) A B C istikametinde gidip dönüşte gittiği yolu kullanmamak kaydıyla C B A istikametinde geri dönen biri gidiş dönüşünü kaç yolla yapabilir? (C:0) 0!!! (n+)!n!(n+)(n+) n!(n )!(n )n 9!! !!!!!( )! 0! 0!( ) 0

2 Örnek ( ) A{a,b,c,d,e,f} kümesinin elemanlarını kullanarak anlamlı veya anlamsız dört harfli; Örnek ( 9 ) kız erkek, kızlar yan yana ve erkekler yan yana kaç türlü fotoğraf çektirebilirler? (C:!!!) a) Kaç değişik kelime? 9 b) Harfleri değişik kaç klm? 0 c) Sessizle başlayıp sessizle biten harfleri farklı kaç kelime? d) Đçinde d nin bulunduğu kk? d nin bulunmadığı d nin bulunduğu e) Đçinde a nın bulunduğu harfleri farklı kaç kelime () () 0 f) a ile başlayıp f ile biten harfleri tekrarsız kaç kelime? g) e ile başlayıp f ile bitmeyen harfleri tekrarsız kaç kelime? 8 PERMÜTASYON n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı; n! P( n, r) ( n r)! permütasyon hem seçim, hem de sıralamadır Permütasyonda sıra önemli olduğundan abc ile acb farklıdır Örnek ( 8 ) farklı matematik ve farklı fizik kitabı bir rafa dizilecek a) Kaç farklı şekilde dizilebilir (C: 9!) b) Matematikler yan yana olmak şartıyla kaç türlü dizilebilir? (C:!!) c) Aynı dersin kitapları yan yana olmamak şartıyla kaç türlü dizilebilir? (C:!!) Örnek ( 0 ) kişi bir taksiye üç öne ve dört arkaya olmak kaydıyla kaç türlü oturabilirler? (C:!) Örnek ( ) A{,,,8,0} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında; a) 8 bulunur? Tüm üçlüler 8 in bulunmadığıp(,) P(,) b) bulunur 8 bulunmaz? 8 in bulunmadığı ve 8 in bulunmadığı P(,) P(,) c) ve 8 bulunur? Tüm nın bulunmadığı 8 in bulunmadığı + ve 8 in bulunmadığı P(,) P(,)- P(,)+P(,) d) veya 8 bulunur? Tüm ve 8 in bulunmadığı:p(,) P(,) TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek ( ) sayısının rakamlarıyla 8 basamaklı kaç sayı yazılabilir? Örnek ( ) 00 sayısının rakamlarıyla basamaklı kaç sayı yazılabilir? Örnek ( ) 09 sayısının rakamlarıyla basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? DÖNERLĐ PERMÜTASYON n kişi yuvarlak bir masa etrafında (n-)! şekilde sıralanır Örnek ( ) kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç türlü oturabilir? (C:!)

3 Örnek ( ) Anne,baba ve dört çocuk yuvarlak bir masa etrafında anne ile baba yanyana olmak üzere kaç türlü oturabilir? Örnek ( ) Farklı altı anahtar yuvarlak ve maskotsuz bir anahtarlığa kaç türlü dizilebilir? (C:!/) Örnek ( 8 ) KAPADOKYA kelimesinin harfleriyle anlamlı yada anlamsız 9 harfli; a) Kaç kelime yazılabilir b) A ile başlayıp K ile biten KK c) A ile başlayıp K ile bitmeyen KK d) K dan sonra A gelecek şekilde KK e) Sessizle başlayıp sessizle biten KK Örnek ( ) farklı kitap herkese birer kitap olmak üzere kişiye kaç türlü dağıtılabilir? (C: ) Örnek ( ) mektup posta kutusuna ; a) Kaç türlü dağıtılabilir?(c: fonksiyon sayısından faydalanılırsa ) b) Her posta kutusuna en az bir mektup atmak kaydıyla kaç türlü dağıtılabilir? Çz:!!!!! + Örnek ( 9 ) A{a,b,c,d,e,i,p} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaçında en az bir sesli harf vardır? Örnek ( ) mektup posta kutusuna kaç türlü dağıtılabilir? (C: fonk sayısı: veya ) Örnek ( 0 ) kız erkek fotoğraf çektirecekler Herhangi cinsten iki kişi yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü poz verebilirler? Örnek ( ) Aynı cins Beyaz, Kırmızı, Mavi bilye tüm beyazlar yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü dizilir? 9!! (C: )!!!!! Örnek ( ) Bilgisayarda her karakterin Byte lik bellek büyüklüğü vardır Byte8 bit ve her bit 0 ve değerlerinden oluşmaktadır Buna göre : 8 a) Bilgisayarda kaç karakter vardır? (C: ) b) tane ve tane 0 ile kaç karakter elde edilebilir?(c: 8!/(!!)) Örnek ( ) Özdeş mavi bilye ile kırmızı bilye yan yana dizilecek başta ve sonda mavi bilye olacak şekilde kaç türlü diziliş yapılabilir? (C:!/(!!)) Örnek ( ) mektup posta kutusuna, her kutuya en fazla mektup atmak şartıyla kaç türlü dağıtılır?(c: : fonk sayısı : P(,)0) Örnek ( 8 ) A A noktasından B noktasına en kısa yolla kaç türlü yolla gidilebilir? CZ: A dan B ye 9 parça yol vardır satır var (-)! Ve sütun var (-)! Olmak üzere 9!!! Örnek ( 9 ) farklı Fizik ve farklı Matematik kitabı bir rafa Fizikler yan yana ve belli iki matematik kitabı kenarlarda olmak koşulu ile kaç türlü dizilir? [C:!(!! ) ] B

4 Örnek ( 0 ) tabanında yazılabilecek üç basamaklı kaç çift sayı vardır?(c:[()/] Not: rakamları farklı demezse yarı yarıya tek ve çift vardır Rakamları farklı derse tabanı tek olanlarda tek çift bulunması zorlaşır Taban çift olursa son rakam tekse sonuç tek, çiftse sonuç ta çifttir) Örnek ( ) Örnek ( ) A C B Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? (C: ) (ÖSS-00) Şekilde her satırda yalnız bir kare taranmak kaydıyla kaç türlü şekil oluşturulabilir? (C:) Örnek ( ) Örnek ( ) farklı hediye 8 çocuktan üçüne birer hediye kaç türlü verilebilir? H H H 8 Örnek ( ) kız erkek arasından kız ve erkek yan yana fotoğraf çektirecek Kaç türlü poz verebilirler? (C: +) Şekil Şekil küçük kareden oluşan Şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak Şekildeki gibi desenler elde edilmektedir Buna göre en çok kaç farklı desen elde edilir (C: ) (ÖSS-000) Örnek ( ) Alman, Đngiliz bir sırada oturacak belli iki alman yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü oturabilirler? ÇZ: AĐAĐAĐ, AĐĐAĐA,AĐAĐĐA, ĐAĐAĐA!! +!! +!! +!! Örnek ( ) KARAKARTAL kelimesinin harfleriyle 0 harfli ve K dan sonra AA gelecek şekilde anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir? ÇZ: (KAA),(KAA),R,R,T,L!/(!!)

5 KOMBĐNASYON n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonları; n! C( n, r) ( n r)! r! NOT: Permütasyonda sıra önemlidir Fakat kombinasyonda sıra önemli değildir Yani a,b,c ile a,c,b aynı şeylerdir Örnek ( ) 0 kişilik bir müzik kafilesinden biri kişilik diğeri kişilik iki farklı gurup oluşturulacak Kaç türlü seçim yapılabilir? Örnek ( ) Birbirinden farklı sarı, beyaz, kırmızı kurdaleden sarı, kırmızı ve beyaz kurdale kaç yolla seçilebilir? (C: ) ÖZELLĐKLER: n ) r n r ) n p+ r veya p r p r n ) n n, n 0 n n+ ) + r r r Örnek ( ) kız, erkek arasından erkek, kızdan oluşturulacak bir gurup kaç yolla seçilebilir? Örnek ( ) 8 erkek kız arasından kişilik bir gurup oluşturulacak en az kızın olduğu kaç gurup vardır? Örnek ( ) beyaz, yeşil ve kırmızı bilye arasından en az ikisi yeşil olacak şekilde top kaç farklı yolla seçilebilir? Örnek ( ) kişilik bir kafilede erkeklerden oluşturulacak kişilik kafilelerin sayısı, kızlardan oluşturulacak kişilik kafilelerin sayısının katından fazlaysa gurupta kaç erkek vardır? Örnek ( 8 ) Aynı özelliklere sahip mavi, kırmızı topun bulunduğu bir torbadan aynı renkten top kaç değişik şekilde seçilebilir? ( + ) Örnek ( 9 ) farklı çalışma kitabı iki öğrenciye kaç türlü paylaştırılabilir? ( 0 ) Örnek ( ) Đçinde Ali ve Zeyneb inde bulunduğu 0 kişilik bir guruptan kişi seçilecek a) Đçinde Ali ve Zeynep in bulunduğu kaç gurup? b) Đçinde Ali veya Zeynep in bulunduğu kaç gurup? c) Đçinde Ali ve Zeynep in bulunmadığı kaç gurup? d) Đçinde Ali nin bulunduğu kaç gurup? e) Đçinde Ali nin bulunup Zeynep in bulunmadığı kaç gurup? Örnek ( 0 ) 0 kişi arasından kişilik bir ekip kaç yolla oluşturulabilir?( C(0,)) Örnek ( ) 9 kişilik bir kafilede kişi dolmuşa ve kalan kişi de taksiye kaç türlü binebilir? (C: C(9,)C(,)) Örnek ( ) 0 öğrenci arasında başkan, başkan yardımcısı ve üye kaç yolla seçilebilir? ( )

6 Örnek ( ) A{a,b,c,d,e,f,g} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaçında ; a) b bulunur? C(,) 0 b) b bulunmaz C(,) c) c ve d bulunur C(,) 0 d) c veya d bulunur C(,) C(,) 0 e) A nın elemanlı alt kümelerinin kaç tanesi B{d,e,f} kümesini kapsar? C(,) f) c veya d bulunmaz C(,) C(,) Örnek ( ) kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç türlü sonuçlanabilir? (bir kişi için başarı yada başarısızlık vardır) Örnek ( ) 0 kişilik bir yerli turist kafilesi şehirde iki gurup halinde dolaşacaklar Đlk gurup, ikinci gurup ise kişiliktir Ersin ile serap küs olduklarından aynı gurupta yer almak istemiyorlar Bu şekilde kaç türlü seçim yapılabilir? Örnek ( ) tanesi 0 şer gr, 0 tanesi 00 er gr ve tanesi de 0 şer gr lık bir meyve kasasında yarım kiloluk kaç çeşit meyve sepeti oluşturulabilir? Örnek ( ) 8 kişi bir lokantaya gidiyor kişilik ve kişilik iki yuvarlak masaya kaç 8 türlü oturabilirler? [C:!! ] Örnek ( 8 ) çocuğa birbirinin aynı kalem kaç türlü dağıtılabilir? ÇZ: 0 0! 0! 0! 0!! 0! toplam yolla dağıtılır Örnek ( 9 ) seçmeli dersten ikisi aynı saatte verilmektedir Bu derslerden üçünü alacak olan bir öğrencinin kaç seçeneği vardır? ÇZ: A yı seçebilir:c(,) B yi seçebilir:c(, diğerlerinden üç tane seçebilir:(c(,) toplam seçeneği vardır Örnek ( 0 ) Đçinde Hasan ile Ömer in bulunduğu 9 kişilik bir gezi gurubundan ü A firmasıyla, ü B firmasıyla ve kalanlar C firmasıyla gidecektir Hasan ile Ömer aynı firmayla gitmek istemiyorlar Buna göre kaç türlü dağılım yapılabilir? ÇZ: A() B() C() H Ö - H - Ö - H Ö + Örnek ( ) Aynı düzlemde bulunan 9 çember en fazla kaç noktada kesişebilir? 9 (C: ) Örnek ( ) Bir çember üzerindeki 9 noktadan en fazla kaç üçgen oluşur?(c: C(9,))

7 Örnek ( ) Birbirine paralel iki doğrudan birinde, diğerinde nokta vardır Bu noktalardan kaç farklı a) Üçgen oluşabilir? b) Dörtgen oluşabilir? Örnek ( ) ü doğrusal 0 noktadan ; a) Kaç üçgen oluşur? b) Kaç dörtgen oluşur? ÇZ:a) b) + + ÇZ: C(8,) C(,)+ Örnek ( 9 ) Örnek ( 0 ) Şekildeki noktalardan a) kaç üçgen oluşur b) kaç dörtgen oluşur Şekildeki noktalardan kaç üçgen oluşur? Örnek ( ) Birbirine paralel yatay ve birbirine paralel eğik doğrunun kesişiminden en fazla kaç paralelkenar oluşur? Örnek ( ) Örnek ( ) Yandaki şekilde kaç üçgen vardır? Yukarıdaki karenin kenarları br lik eş parçalara ayrılmıştır a) yukarıdaki şekilde kare olmayan kaç dikdörtgen vardır? b) Çevresi 8 br den büyük kaç dikdörtgen vardır? Örnek ( ) 9 kenarlı bir çokgenin kaç köşegeni vardır? ÇZ: C(9,) kenar sayısı Örnek ( 8 ) aynı düzlemde ve doğrusal olmayan 8 noktadan ü bir noktada kesişiyor Bu 8 nokta en fazla kaç noktada kesişirler? Örnek ( ) (**)Bir çember üzerinde bulunan noktadan herhangi ikisinden geçen doğrular en fazla kaç farklı noktada kesişirler?(oluşan doğruların herhangi ikisi paralel değil) NOT: Bir düzlem üzerinde bulunan herhangi ü doğrusal olmayan n tane noktadan herhangi ikisinden geçen doğruların kesişme noktalarını veren formül: n n + n veya + n dır

8 Örnek ( ) Yukarıdaki şekilde d // d olduğuna göre köşeleri bu 8 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? (C: ) (ÖSS-9) 8

9 BĐNOM: x n n n 0 n ( x y) x y x y + (x y) n de ise +,-,+,-, diye işaretlenir (x+y) n açılımında n+ tane terim vardır x açılımında kaç terim vardır? (C: 9) Örnek( ) ( ) 8 Örnek( ) x + açılımında baştan cü x terimin katsayısı kaçtır? Çz: SONUÇLAR: 0, 0x x + 0 0x n ) olduğundan (x+y) n nin r n r açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin katsayıları eşittir Örnek( ) (x+y) açılımında baştan cü terimin katsayısı ile sondan cü terimin katsayısı C(,) dır ) (x+y) n açılımında a) baştan r+ ci terim: x r n r y r y n c) (x+y) n n açılda ortadaki terim: x n 0 n y n Örnek( ) x + nin açılımında x li x terimin katsayısı nedir? Cz: baştan r+ ci terimi yazıp x olmasını sağlayan r yi bulalım ( x) li terim r 0 r + r 0 0 r 0 r 0 r r 0 90 dır x x r r Örnek( ) (x y) nin açılımında ax y teriminde a? Çz: (x) ( y) 0x y Örnek( ) sabit terim kaçtır? Çz: x + ifadesinin açılımında x (öys-9) r r r r x x x r x x x x r ( r) + ( r) 0 r 0 b) sondan k cı terim: n x n k + k y n+ k 9

10 n x y z UYARI: ( ) terimin atsayısı; Örnek( ) e k? a + b+ c açılımında a b c li a x b y c z n! x!y!z! dir y x+ z açılımında kxy z is x ifadesinin açılımında ortanca terim nedir? Örnek( ) ( ) Örnek( ) ( ) 8 ifadesinin açılımında rasyonel terimlerin toplamı kaçtır? y ÇZ: ( x) ( z)!!!! Örnek( 8) ( x ) 9 ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı nedir? Örnek( 9) ( ) 0 a b ifadesinin açılımında a ve b nin derecelerinin eşit olduğu terimin katsayısı nedir? a+ b açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır? Örnek( 0) ( ) Örnek( ) ( x ) ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? Örnek( ) x00 ve y00 için x x y+ 0x y 0x ifadesinin değeri nedir? y + xy y Örnek( ) x + ifadesinde sabit x terim kaçtır? (C: 8) 8 0

11 OLASILIK ÖRNEK UZAY VE OLAY: Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay, gelmesi istenen sonuçların kümesine de olay denir Örnek uzay E ile, olay ise A ile gösterilir A E dir Örnek( ) Bir zar havaya atılıyor a) Örnek uzay: E{,,,,,} b) Çift gelme olayı; A{,,} c) Asal gelme olayı S{,,} Örnek( ) Bir meyve kasasındaki 0 portakaldan si sağlamdır Rasgele portakal seçiliyor a) Örnek uzayın eleman sayısı; C(0,) b) Portakalların üçünün de sağlam olma olayının eleman sayısı; C(,) c) Portakalların üçünün de çürük olma olayının eleman sayısı; C(,) d) Portakalların sinin sağlam, birinin çürük olma olayının eleman sayısı; C(,)C(,) NOT: Boş kümeye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor a) örnek uzay; (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 8,) (,) Eleman sayısı ise b) Zarların aynı gelme olayı A ise A{(,),(,),(,),(,),(,),(,)} c) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 den büyük olma olayı B ise B{(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,)} Örnek( ) Bir madeni para atılıyor üç kez havaya a) Örnek uzay; E{(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(T,Y,Y), (Y,T,T),(Y,T,Y),(Y,Y,T),(Y,Y,Y)} s(e) 8 b) En az iki tura gelme olayı ; A{(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(Y,T,T)} AYRIK OLAYLAR: Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir OLASILIK FONKSĐYONU: Bir E örnek uzayının bütün alt kümelerinin kümesinee A diyelim P: EA [0,] şeklinde tanımlanan ve aşağıdaki şartları sağlayan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A E A ise P(A) ya A olayının olasılığı denir ÖZELLĐKLER: ) 0 P(A) ) P(E) (kesin olay) P(φ) 0 (imkansız olay) ) A,B E A ve A Bφ ise P(A B)P(A)+P(B) A B φ ise P(A B)P(A)+P(B) P(A B) ) P(A) bir olayın olasılığı P(A ı ) bu olayın olmama olasılığı ise P(A) + P(A ) dir ) Bir E örnek uzayının bağımsız tüm alt kümeleri A,B,C ise P(A)+P(B)+P(C)+ dir

12 BĐR A OLAYININ OLASILIĞI A E olmak üzere E örnek uzayında bir A olayının gelme olasılığı; s( A) istenen durumların sayısı P ( A) s( E) tüm durumların sayısı Örnek( ) Bir zar havaya atılıyor Çift gelme olasılığı; E{,,,,,} ve Ç{,,} o halde P(Ç)// Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor a) Đkisinin de aynı gelme olasılığı; s(e) ve A{(,),(,),(,),(,),(,),(,)} P(A)// d) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 den büyük olma olasılığı; B{(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,)} P(B)0//8 Örnek( ) Bir madeni para havaya atılıyor Tura gelme olasılığı; E{Y,T} ve A{T} o halde P(T)/ Örnek( 8) Bir torbada sarı kırmızı top vardır Torbadan peş peşe iki top çekiliyor Çekilen topların; a) Đkisinin de sarı olma olasılığı b) Birinin sarı diğerinin kırmızı olma olasılığı c) Birincinin kırmızı ikincinin sarı olma olasılığı nedir? Çz: Torbada toplam +9 top vardır a) ilk topun sarı gelme olasılığı S ise P ( S ), ikinci topun sarı gelme 9 olasılığı, S ise o halde sonuç; P ( S ) b) Yol: Sıra önemli olmadığından örnek uzay ; 9 ( ) s E Đstenen olay A ise s ( A) 0 O halde sonuç; 0 P ( A) Yol: cisi sarı, cisi kırmızı veya cisi kırmızı, cisi sarı olabilir SK +KS + olur c) Sıra önemli olmadığından olay KS olayıdır P ( K, S) P( K) P( S) Örnek( 9) kız ve erkek arasından kişilik bir kurul oluşturulacak kurulda en az bir kızın bulunma olasılığı nedir? 9 Çz: Örnek uzay s(e)c(9,)8 Hiç kız olmama olasılığı 8 En az bir kızın olma olasılığı /0/ Örnek( 0) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor a)zarın tek sayı ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır? b) Zarın tek sayı veya paranın tura gelme olasılığı kaçtır? Çz: Zar için örnek uzay; E{,,,,,}, s(e) zarın tek gelme olayı A{,,}, s(a) P(A) // Madeni para için örnek uzay E{Y,T},s(E)

13 Madeni paranın tura gelme olayı s(b) P(B)/ B{T} a) Zarın tek ve paranın tura gelme olayı P(A B) ise P(A B) P(A)P(B)/// b) P(A B)P(A)+P(B) P(A B) + / Örnek( ) Düzgün bir zarın havaya atılması deneyinde üst yüze çift sayı geldiği bilindiğine göre bu sayının asal sayı olma olasılığı nedir? Çz: Üste gelen yüzün çift olma olayı B, asal olma olayı A olsun B{,,}, A{,,} olsun A B{} P( A B) P(A\B) P( B) Örnek( ) A torbasında Beyaz, Kırmızı; B torbasında Beyaz, Kırmızı top vardır Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A dan alınan B ye, B den alınan A ya) atılıyor Bu işlemin sonucunda torbalardaki Kırmızı ve Beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? (öys-9) Çz: Durum: A dan beyaz, B den Beyaz; 9 Durum: A dan Kırmızı, B den Kırmızı; Sonuç: Örnek( ) Bir çift zarın atılması deneyinde zarlardaki sayılar toplamının olduğu bilindiğine göre bu sayıların ikisinin de tek sayı olma olasılığı nedir? Çz: Bir çift zar için örnek uzay s(e) B olayı sayıların toplamının olma olayı; B{(,),(,),(,),(,),(,)} A olayı sayıların tek olma olayı olsun; A{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,)} A B{(,),(,),(,)} P( A B) P(A\B) P( B) Yol: Toplamları olan sayılar {(,),(,),(,),(,),(,)} bunlardan tek olanlar {(,),(,),(,)} KOŞULLU OLASILIK A,B E olsun B olayının gerçekleşmiş olması koşuluyla A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir Ve P(A\B) ile gösterilir P( A B) P(A\B), (P(B) 0) P( B) s( A B) s( E) s( B) s( E) istenen olayın olasılığı/ BAĞIMSIZ OLAYLAR Đki olaydan birinin gerçekleşip gerçekleşmemesi diğerini etkilemiyorsa bu iki olay bağımsızdır A,B E ise P(A B) P(A)P(B) olur

14 Örnek( ) zar birlikte atılıyor Zarların üst yüzüne gelen sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı nedir? Çz: birinci için çift gelme olayı A Đkinci için çift gelme olayı B P(A B) // ¼ Örnek( ) Bir torbada sarı kırmızı bilye vardır Torbadan rasgele bir bilye çekilip tekrar torbaya atılıyor ve ikinci defa çekiliyor Birincinin sarı, ikincinin kırmızı olma olasılığı nedir? Çz: / / 0/ TEKRARLI DENEMELER Bir deney sonlu sayıda tekrar edilmiş olsun P( A, Birinci denemede A Đkinci denemede A A, A ) P( A )P( A )P( n A n ) Örnek( ) Bir madeni para defa arka arkaya havaya atılıyor a) ilk iki atışta tura, sonraki dört atışta yazı gelme olasılığı? c) Baş ve son için dört durum geçerlidir; TT, TY, YT, YY O halde sonuç / Örnek( ) Bir zar defa atılıyor Birincide, ikincide ve üçüncüde gelme olasılığı nedir? Çz: P(,,)P()P()P() Örnek( 8) atılıyor Bir madeni para beş kez ÇZ: örnek uzayın eleman sayısı: a) Đlk ikisinin yazı diğerlerinin tura gelme olasılığı; Olay YYTTT olayıdır ////// b) ikisinin yazı gelme olasılığı; Olay Y,Y,T,T,T olayıdır yani sıra önemli! değildir Farklı diziliş sayısı 0 dur!! O halde cevap :0/ Örnek( 9) A torbasında Sarı, Kırmızı ve B torbasında Sarı, Kırmızı top vardır A torbasından bir top çekilip B torbasına atılıyor ve B torbasından bir top çekiliyor B torbasından çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre A torbasından çekilen topun sarı olma olasılığı nedir? b) Đki atışta tura, dört atışta yazı gelme olasılığı nedir? c) Đlk atışın tura son atışın yazı gelme olasılığı Çz: a) P(T,T,Y,Y,Y,Y)P(T)P(T)P(Y)P(Y)P(Y) P(Y) /////// ÇZ: b)!!! şekilde seçim yapılabilir örnek uzay ise dır (T,T,Y,Y,Y,Y) Örnek( 0) Anne,Baba ve dört çocuk yuvarlak bir masa etrafında oturacaklar Anne ile Babanın yanyana olma olasılığı nedir? '' ( )!

15 Örnek( ) Kız Erkek arasından seçilen kişinin ikisinin Kız birinin Erkek olma olasılığı nedir? Örnek( ) Üç zar havaya atılıyor üst yüze gelen sayıların oluşturduğu üç basamaklı sayılar için a) Rakamlarının farklı olma olasılığı b) Beş ile bölünebilme olasılığı c) Rakamlarının çarpımının tek olma olasılığı d) Rakamlarının çarpımının çift olam olasılığı? Örnek( ) evli çift arasından iki seçiliyor Seçilen kişilerin evli olma olasılığı? Örnek( ) kişilik bir gurupta evli çift vardır Seçilecek üç kişi arasında bir evli çiftin olma olasılığı? Örnek( ) EA B C ve A,B,C kümeleri ayrıktır ÇZ: I Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme olasılığı P(I) II Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme olasılığı P(II) 8 Ayrık olaylar olduklarından Örnek( 9) Bir deneyin üç ayrık sonucu a,b,c dir Sonucun a veya b olma olasılığı 8, a veya c olma olasılığı ise a) a olayının olasılığı b) a ve b olayının olasılığı? Örnek( 0) A torbasında Mavi Kırmızı, B torbasında Mavi Kırmızı bilye vardır Torbalardan ikişer bilye çekiliyor a) Dördünün de kırmızı olma olasılığı b) Üçünün kırmızı olma olasılığı c) Đkisinin kırmızı olma olasılığı P(A), P(B) ise P(C)? Örnek( ) Bir çift hileli zar havaya atılıyor Tek sayı gelme olasılığı, çift sayı gelme olasılığının üç katı ise gelen sayının asal olma olasılığı nedir? ÇZ: p+p+p+p+p+pp ise cevap/ Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor Zarlardan birinin geldiği bilindiğine göre toplamlarının dan büyük olma olasılığı nedir? Örnek( 8) I Kutuda Sarı Kırmızı top ve II Kutuda Sarı Kırmızı top vardır Bu kutulardan rasgele seçilen bir kutudan rasgele çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir? ÇZ: a) A B veya 0 0 b) A B A B c) A B A B

16 Örnek( ) Bir madeni para kez havaya atılıyor En az kez yazı gelme olasılığı nedir? ÇZ: Y,Y,Y,Y,Y,T veya Y,Y,Y,Y,YY + o halde Örnek( ) Şekildeki 9 noktadan rasgele nokta seçiliyor Bu noktaların üçgen oluşturma olasılığı nedir? Örnek( ) Sarı ve Kırmızı topun bulunduğu bir torbadan üç top çekiliyor En az birinin sarı olma olasılığı? Örnek( ) Şekildeki kare eş parçalara ayrılmıştır Örnek( ) Bir sınıfta 0 kız erkek vardır Kızların i, erkeklerin sı ela gözlüdür Rasgele seçilen bir öğrencinin a) Ela gözlü erkek olma olasılığı? b) Ela gözlü olmama olasılığı? Örnek( ) Futbol, voleybol ve basketbol oyunlarından en az birini bilen 0 kişilik bir sınıfta futbol veya basketbol oynayan kişi, futbol veya voleybol oynayan kişi, voleybol veya basketbol oynayan kişi vardır Seçilen bir öğrencinin en az iki oyun oynayabilme olasılığı nedir? (C: ¼) Örnek( ) evli çift arasında üç kişi seçiliyor Seçilenlerin arasında ; a) Bir evli çift olma olasılığı nedir? b) Hiç evli çift olmama olasılığı nedir? ÇZ: a) 0 b) 8 Örnek ( ) Beş elemanlı bir kümenin özalt kümelerinden biri rasgele seçiliyor Seçilen bu kümenin ten az elemanlı bir alt küme olma olasılığı nedir? (C: ) Bir kenarı 0 cm olan bu kareden oluşturulacak dikdörtgenlerden biri seçiliyor Seçilen dikdörtgenin çevresinin 8 cm den fazla olma olasılığı nedir? Örnek( 8) Galatasaray ve Diyarbakırsporun da aralarında bulunduğu takım süperligde mücadele ediyorlar Her takım diğer bir takımla hem kendi sahasında hem de deplasmanda maç ediyor Diyarbakırspor ile Galatasaray ın ilk hafta maç yapma olasılığı nedir? ÇZ: 0 maçtan toplam 0 hafta vardır maç yapılıyor Her hafta 8 0 Örnek( 9) Ahmet in bir hedefi vurma olasılığı, Hasan ın aynı hedefi vurma olasılığı tir a) Đkisinin de hedefi vurma olasılığı b) Yalnız birinin hedefi vurma olasılığı? ÇZ: a) b) +

17 Örnek( 0) Bir küpün üç yüzünde, iki yüzünde ve bir yüzünde yazılıdır Üç kez havaya atılan bu küpün üç basamaklı rakamları farklı bir sayı oluşturma olasılığı nedir? ÇZ: gelmesi: dir O halde cevap:! dir farklı durumlar! Örnek( ) elinde beş anahtarı bulunan biri kapıyı bu anahtarlardan birinin açtığını biliyor Anahtarları denemeye başladığında açmayan anahtarı cebine koyduğuna göre üçüncü denemesinde kapıyı açma olasılığı nedir? Açmama, açmama, açma Örnek( ) 0 maçın oynandığı bir ligde spor toto oynayan birinin tüm maçları doğru tahmin etme olasılığı nedir? (C: ) 0 Örnek( ) Yüksek öğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere öğrenci seçilmiştir Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu beş öğrenci kaç farklı guruplama ile gönderilebilir? (C: 0) (ÖSS 00) Örnek( ) Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A,T,A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? (C: / ) (ÖSS-99)