PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK"

Transkript

1 YILLAR ÖSS ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik şekilde dağıtılabilir? 0 -) TOPLAMA YOLUYLA SAYMA: Örnek ( ) Bir torbada siyah beyaz bilye vardır Torbadan siyah veya beyaz bilye kaç yolla seçilebilir NOT: A ve B sonlu ve ayrık iki küme olsun s(a B) s(a) + s(b) olur O halde yukarıdaki sorunun çözümü s(s B) + dir Örnek ( ) Ahmet in kumaş, keten pantolonu vardır Giyeceği pantolonu kaç yolla seçebilir? (C: 9) -) ÇARPMA YOLUYLA SAYMA: Örnek ( ) Bir öğrencinin pantolonu, gömleği ve kravatı vardır Buna göre bu öğrenci kaç yolla giyinebilir? (C: 0) Örnek ( ) A{,,,,,,} kümesinin elemanlarıyla a) Yedi basamaklı kaç sayı? b) Rakamları farklı yedi basamaklı kaç sayı? c) Üç basamaklı kaç çift sayı d) Üç basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı? e) Üç basamaklı ten büyük kaç sayı? f) 0 den küçük kaç sayı? Örnek ( ) A{0,,,,,} kümesinin rakamlarıyla a) rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı? b) Rakamları farklı ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı? c) Rakamları farklı 00 den büyük üç basamaklı kaç sayı? d) Rakamları farklı 00 den büyük 00 den küçük kaç sayı yazılabilir? FAKTÖRĐYEL n! n dir Örnek ( ) A kentinden B kentine farklı yol ve B kentinden de C kentine farklı yolla gidilebiliyor a) A kentinden yola çıkan biri B kentine de uğrayarak C kentine kaç yolla gidebilir? (C: 0) b) A B C istikametinde gidip C B A istikametinden geri dönen biri bu gidiş dönüşü kaç türlü yapabilir? (C: 00) c) A B C istikametinde gidip dönüşte gittiği yolu kullanmamak kaydıyla C B A istikametinde geri dönen biri gidiş dönüşünü kaç yolla yapabilir? (C:0) 0!!! (n+)!n!(n+)(n+) n!(n )!(n )n 9!! !!!!!( )! 0! 0!( ) 0

2 Örnek ( ) A{a,b,c,d,e,f} kümesinin elemanlarını kullanarak anlamlı veya anlamsız dört harfli; Örnek ( 9 ) kız erkek, kızlar yan yana ve erkekler yan yana kaç türlü fotoğraf çektirebilirler? (C:!!!) a) Kaç değişik kelime? 9 b) Harfleri değişik kaç klm? 0 c) Sessizle başlayıp sessizle biten harfleri farklı kaç kelime? d) Đçinde d nin bulunduğu kk? d nin bulunmadığı d nin bulunduğu e) Đçinde a nın bulunduğu harfleri farklı kaç kelime () () 0 f) a ile başlayıp f ile biten harfleri tekrarsız kaç kelime? g) e ile başlayıp f ile bitmeyen harfleri tekrarsız kaç kelime? 8 PERMÜTASYON n elemanlı bir A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı; n! P( n, r) ( n r)! permütasyon hem seçim, hem de sıralamadır Permütasyonda sıra önemli olduğundan abc ile acb farklıdır Örnek ( 8 ) farklı matematik ve farklı fizik kitabı bir rafa dizilecek a) Kaç farklı şekilde dizilebilir (C: 9!) b) Matematikler yan yana olmak şartıyla kaç türlü dizilebilir? (C:!!) c) Aynı dersin kitapları yan yana olmamak şartıyla kaç türlü dizilebilir? (C:!!) Örnek ( 0 ) kişi bir taksiye üç öne ve dört arkaya olmak kaydıyla kaç türlü oturabilirler? (C:!) Örnek ( ) A{,,,8,0} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında; a) 8 bulunur? Tüm üçlüler 8 in bulunmadığıp(,) P(,) b) bulunur 8 bulunmaz? 8 in bulunmadığı ve 8 in bulunmadığı P(,) P(,) c) ve 8 bulunur? Tüm nın bulunmadığı 8 in bulunmadığı + ve 8 in bulunmadığı P(,) P(,)- P(,)+P(,) d) veya 8 bulunur? Tüm ve 8 in bulunmadığı:p(,) P(,) TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek ( ) sayısının rakamlarıyla 8 basamaklı kaç sayı yazılabilir? Örnek ( ) 00 sayısının rakamlarıyla basamaklı kaç sayı yazılabilir? Örnek ( ) 09 sayısının rakamlarıyla basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? DÖNERLĐ PERMÜTASYON n kişi yuvarlak bir masa etrafında (n-)! şekilde sıralanır Örnek ( ) kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç türlü oturabilir? (C:!)

3 Örnek ( ) Anne,baba ve dört çocuk yuvarlak bir masa etrafında anne ile baba yanyana olmak üzere kaç türlü oturabilir? Örnek ( ) Farklı altı anahtar yuvarlak ve maskotsuz bir anahtarlığa kaç türlü dizilebilir? (C:!/) Örnek ( 8 ) KAPADOKYA kelimesinin harfleriyle anlamlı yada anlamsız 9 harfli; a) Kaç kelime yazılabilir b) A ile başlayıp K ile biten KK c) A ile başlayıp K ile bitmeyen KK d) K dan sonra A gelecek şekilde KK e) Sessizle başlayıp sessizle biten KK Örnek ( ) farklı kitap herkese birer kitap olmak üzere kişiye kaç türlü dağıtılabilir? (C: ) Örnek ( ) mektup posta kutusuna ; a) Kaç türlü dağıtılabilir?(c: fonksiyon sayısından faydalanılırsa ) b) Her posta kutusuna en az bir mektup atmak kaydıyla kaç türlü dağıtılabilir? Çz:!!!!! + Örnek ( 9 ) A{a,b,c,d,e,i,p} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaçında en az bir sesli harf vardır? Örnek ( ) mektup posta kutusuna kaç türlü dağıtılabilir? (C: fonk sayısı: veya ) Örnek ( 0 ) kız erkek fotoğraf çektirecekler Herhangi cinsten iki kişi yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü poz verebilirler? Örnek ( ) Aynı cins Beyaz, Kırmızı, Mavi bilye tüm beyazlar yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü dizilir? 9!! (C: )!!!!! Örnek ( ) Bilgisayarda her karakterin Byte lik bellek büyüklüğü vardır Byte8 bit ve her bit 0 ve değerlerinden oluşmaktadır Buna göre : 8 a) Bilgisayarda kaç karakter vardır? (C: ) b) tane ve tane 0 ile kaç karakter elde edilebilir?(c: 8!/(!!)) Örnek ( ) Özdeş mavi bilye ile kırmızı bilye yan yana dizilecek başta ve sonda mavi bilye olacak şekilde kaç türlü diziliş yapılabilir? (C:!/(!!)) Örnek ( ) mektup posta kutusuna, her kutuya en fazla mektup atmak şartıyla kaç türlü dağıtılır?(c: : fonk sayısı : P(,)0) Örnek ( 8 ) A A noktasından B noktasına en kısa yolla kaç türlü yolla gidilebilir? CZ: A dan B ye 9 parça yol vardır satır var (-)! Ve sütun var (-)! Olmak üzere 9!!! Örnek ( 9 ) farklı Fizik ve farklı Matematik kitabı bir rafa Fizikler yan yana ve belli iki matematik kitabı kenarlarda olmak koşulu ile kaç türlü dizilir? [C:!(!! ) ] B

4 Örnek ( 0 ) tabanında yazılabilecek üç basamaklı kaç çift sayı vardır?(c:[()/] Not: rakamları farklı demezse yarı yarıya tek ve çift vardır Rakamları farklı derse tabanı tek olanlarda tek çift bulunması zorlaşır Taban çift olursa son rakam tekse sonuç tek, çiftse sonuç ta çifttir) Örnek ( ) Örnek ( ) A C B Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? (C: ) (ÖSS-00) Şekilde her satırda yalnız bir kare taranmak kaydıyla kaç türlü şekil oluşturulabilir? (C:) Örnek ( ) Örnek ( ) farklı hediye 8 çocuktan üçüne birer hediye kaç türlü verilebilir? H H H 8 Örnek ( ) kız erkek arasından kız ve erkek yan yana fotoğraf çektirecek Kaç türlü poz verebilirler? (C: +) Şekil Şekil küçük kareden oluşan Şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak Şekildeki gibi desenler elde edilmektedir Buna göre en çok kaç farklı desen elde edilir (C: ) (ÖSS-000) Örnek ( ) Alman, Đngiliz bir sırada oturacak belli iki alman yan yana olmamak kaydıyla kaç türlü oturabilirler? ÇZ: AĐAĐAĐ, AĐĐAĐA,AĐAĐĐA, ĐAĐAĐA!! +!! +!! +!! Örnek ( ) KARAKARTAL kelimesinin harfleriyle 0 harfli ve K dan sonra AA gelecek şekilde anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir? ÇZ: (KAA),(KAA),R,R,T,L!/(!!)

5 KOMBĐNASYON n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonları; n! C( n, r) ( n r)! r! NOT: Permütasyonda sıra önemlidir Fakat kombinasyonda sıra önemli değildir Yani a,b,c ile a,c,b aynı şeylerdir Örnek ( ) 0 kişilik bir müzik kafilesinden biri kişilik diğeri kişilik iki farklı gurup oluşturulacak Kaç türlü seçim yapılabilir? Örnek ( ) Birbirinden farklı sarı, beyaz, kırmızı kurdaleden sarı, kırmızı ve beyaz kurdale kaç yolla seçilebilir? (C: ) ÖZELLĐKLER: n ) r n r ) n p+ r veya p r p r n ) n n, n 0 n n+ ) + r r r Örnek ( ) kız, erkek arasından erkek, kızdan oluşturulacak bir gurup kaç yolla seçilebilir? Örnek ( ) 8 erkek kız arasından kişilik bir gurup oluşturulacak en az kızın olduğu kaç gurup vardır? Örnek ( ) beyaz, yeşil ve kırmızı bilye arasından en az ikisi yeşil olacak şekilde top kaç farklı yolla seçilebilir? Örnek ( ) kişilik bir kafilede erkeklerden oluşturulacak kişilik kafilelerin sayısı, kızlardan oluşturulacak kişilik kafilelerin sayısının katından fazlaysa gurupta kaç erkek vardır? Örnek ( 8 ) Aynı özelliklere sahip mavi, kırmızı topun bulunduğu bir torbadan aynı renkten top kaç değişik şekilde seçilebilir? ( + ) Örnek ( 9 ) farklı çalışma kitabı iki öğrenciye kaç türlü paylaştırılabilir? ( 0 ) Örnek ( ) Đçinde Ali ve Zeyneb inde bulunduğu 0 kişilik bir guruptan kişi seçilecek a) Đçinde Ali ve Zeynep in bulunduğu kaç gurup? b) Đçinde Ali veya Zeynep in bulunduğu kaç gurup? c) Đçinde Ali ve Zeynep in bulunmadığı kaç gurup? d) Đçinde Ali nin bulunduğu kaç gurup? e) Đçinde Ali nin bulunup Zeynep in bulunmadığı kaç gurup? Örnek ( 0 ) 0 kişi arasından kişilik bir ekip kaç yolla oluşturulabilir?( C(0,)) Örnek ( ) 9 kişilik bir kafilede kişi dolmuşa ve kalan kişi de taksiye kaç türlü binebilir? (C: C(9,)C(,)) Örnek ( ) 0 öğrenci arasında başkan, başkan yardımcısı ve üye kaç yolla seçilebilir? ( )

6 Örnek ( ) A{a,b,c,d,e,f,g} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaçında ; a) b bulunur? C(,) 0 b) b bulunmaz C(,) c) c ve d bulunur C(,) 0 d) c veya d bulunur C(,) C(,) 0 e) A nın elemanlı alt kümelerinin kaç tanesi B{d,e,f} kümesini kapsar? C(,) f) c veya d bulunmaz C(,) C(,) Örnek ( ) kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç türlü sonuçlanabilir? (bir kişi için başarı yada başarısızlık vardır) Örnek ( ) 0 kişilik bir yerli turist kafilesi şehirde iki gurup halinde dolaşacaklar Đlk gurup, ikinci gurup ise kişiliktir Ersin ile serap küs olduklarından aynı gurupta yer almak istemiyorlar Bu şekilde kaç türlü seçim yapılabilir? Örnek ( ) tanesi 0 şer gr, 0 tanesi 00 er gr ve tanesi de 0 şer gr lık bir meyve kasasında yarım kiloluk kaç çeşit meyve sepeti oluşturulabilir? Örnek ( ) 8 kişi bir lokantaya gidiyor kişilik ve kişilik iki yuvarlak masaya kaç 8 türlü oturabilirler? [C:!! ] Örnek ( 8 ) çocuğa birbirinin aynı kalem kaç türlü dağıtılabilir? ÇZ: 0 0! 0! 0! 0!! 0! toplam yolla dağıtılır Örnek ( 9 ) seçmeli dersten ikisi aynı saatte verilmektedir Bu derslerden üçünü alacak olan bir öğrencinin kaç seçeneği vardır? ÇZ: A yı seçebilir:c(,) B yi seçebilir:c(, diğerlerinden üç tane seçebilir:(c(,) toplam seçeneği vardır Örnek ( 0 ) Đçinde Hasan ile Ömer in bulunduğu 9 kişilik bir gezi gurubundan ü A firmasıyla, ü B firmasıyla ve kalanlar C firmasıyla gidecektir Hasan ile Ömer aynı firmayla gitmek istemiyorlar Buna göre kaç türlü dağılım yapılabilir? ÇZ: A() B() C() H Ö - H - Ö - H Ö + Örnek ( ) Aynı düzlemde bulunan 9 çember en fazla kaç noktada kesişebilir? 9 (C: ) Örnek ( ) Bir çember üzerindeki 9 noktadan en fazla kaç üçgen oluşur?(c: C(9,))

7 Örnek ( ) Birbirine paralel iki doğrudan birinde, diğerinde nokta vardır Bu noktalardan kaç farklı a) Üçgen oluşabilir? b) Dörtgen oluşabilir? Örnek ( ) ü doğrusal 0 noktadan ; a) Kaç üçgen oluşur? b) Kaç dörtgen oluşur? ÇZ:a) b) + + ÇZ: C(8,) C(,)+ Örnek ( 9 ) Örnek ( 0 ) Şekildeki noktalardan a) kaç üçgen oluşur b) kaç dörtgen oluşur Şekildeki noktalardan kaç üçgen oluşur? Örnek ( ) Birbirine paralel yatay ve birbirine paralel eğik doğrunun kesişiminden en fazla kaç paralelkenar oluşur? Örnek ( ) Örnek ( ) Yandaki şekilde kaç üçgen vardır? Yukarıdaki karenin kenarları br lik eş parçalara ayrılmıştır a) yukarıdaki şekilde kare olmayan kaç dikdörtgen vardır? b) Çevresi 8 br den büyük kaç dikdörtgen vardır? Örnek ( ) 9 kenarlı bir çokgenin kaç köşegeni vardır? ÇZ: C(9,) kenar sayısı Örnek ( 8 ) aynı düzlemde ve doğrusal olmayan 8 noktadan ü bir noktada kesişiyor Bu 8 nokta en fazla kaç noktada kesişirler? Örnek ( ) (**)Bir çember üzerinde bulunan noktadan herhangi ikisinden geçen doğrular en fazla kaç farklı noktada kesişirler?(oluşan doğruların herhangi ikisi paralel değil) NOT: Bir düzlem üzerinde bulunan herhangi ü doğrusal olmayan n tane noktadan herhangi ikisinden geçen doğruların kesişme noktalarını veren formül: n n + n veya + n dır

8 Örnek ( ) Yukarıdaki şekilde d // d olduğuna göre köşeleri bu 8 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? (C: ) (ÖSS-9) 8

9 BĐNOM: x n n n 0 n ( x y) x y x y + (x y) n de ise +,-,+,-, diye işaretlenir (x+y) n açılımında n+ tane terim vardır x açılımında kaç terim vardır? (C: 9) Örnek( ) ( ) 8 Örnek( ) x + açılımında baştan cü x terimin katsayısı kaçtır? Çz: SONUÇLAR: 0, 0x x + 0 0x n ) olduğundan (x+y) n nin r n r açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin katsayıları eşittir Örnek( ) (x+y) açılımında baştan cü terimin katsayısı ile sondan cü terimin katsayısı C(,) dır ) (x+y) n açılımında a) baştan r+ ci terim: x r n r y r y n c) (x+y) n n açılda ortadaki terim: x n 0 n y n Örnek( ) x + nin açılımında x li x terimin katsayısı nedir? Cz: baştan r+ ci terimi yazıp x olmasını sağlayan r yi bulalım ( x) li terim r 0 r + r 0 0 r 0 r 0 r r 0 90 dır x x r r Örnek( ) (x y) nin açılımında ax y teriminde a? Çz: (x) ( y) 0x y Örnek( ) sabit terim kaçtır? Çz: x + ifadesinin açılımında x (öys-9) r r r r x x x r x x x x r ( r) + ( r) 0 r 0 b) sondan k cı terim: n x n k + k y n+ k 9

10 n x y z UYARI: ( ) terimin atsayısı; Örnek( ) e k? a + b+ c açılımında a b c li a x b y c z n! x!y!z! dir y x+ z açılımında kxy z is x ifadesinin açılımında ortanca terim nedir? Örnek( ) ( ) Örnek( ) ( ) 8 ifadesinin açılımında rasyonel terimlerin toplamı kaçtır? y ÇZ: ( x) ( z)!!!! Örnek( 8) ( x ) 9 ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı nedir? Örnek( 9) ( ) 0 a b ifadesinin açılımında a ve b nin derecelerinin eşit olduğu terimin katsayısı nedir? a+ b açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır? Örnek( 0) ( ) Örnek( ) ( x ) ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? Örnek( ) x00 ve y00 için x x y+ 0x y 0x ifadesinin değeri nedir? y + xy y Örnek( ) x + ifadesinde sabit x terim kaçtır? (C: 8) 8 0

11 OLASILIK ÖRNEK UZAY VE OLAY: Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay, gelmesi istenen sonuçların kümesine de olay denir Örnek uzay E ile, olay ise A ile gösterilir A E dir Örnek( ) Bir zar havaya atılıyor a) Örnek uzay: E{,,,,,} b) Çift gelme olayı; A{,,} c) Asal gelme olayı S{,,} Örnek( ) Bir meyve kasasındaki 0 portakaldan si sağlamdır Rasgele portakal seçiliyor a) Örnek uzayın eleman sayısı; C(0,) b) Portakalların üçünün de sağlam olma olayının eleman sayısı; C(,) c) Portakalların üçünün de çürük olma olayının eleman sayısı; C(,) d) Portakalların sinin sağlam, birinin çürük olma olayının eleman sayısı; C(,)C(,) NOT: Boş kümeye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor a) örnek uzay; (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 8,) (,) Eleman sayısı ise b) Zarların aynı gelme olayı A ise A{(,),(,),(,),(,),(,),(,)} c) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 den büyük olma olayı B ise B{(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,)} Örnek( ) Bir madeni para atılıyor üç kez havaya a) Örnek uzay; E{(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(T,Y,Y), (Y,T,T),(Y,T,Y),(Y,Y,T),(Y,Y,Y)} s(e) 8 b) En az iki tura gelme olayı ; A{(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(Y,T,T)} AYRIK OLAYLAR: Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir OLASILIK FONKSĐYONU: Bir E örnek uzayının bütün alt kümelerinin kümesinee A diyelim P: EA [0,] şeklinde tanımlanan ve aşağıdaki şartları sağlayan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A E A ise P(A) ya A olayının olasılığı denir ÖZELLĐKLER: ) 0 P(A) ) P(E) (kesin olay) P(φ) 0 (imkansız olay) ) A,B E A ve A Bφ ise P(A B)P(A)+P(B) A B φ ise P(A B)P(A)+P(B) P(A B) ) P(A) bir olayın olasılığı P(A ı ) bu olayın olmama olasılığı ise P(A) + P(A ) dir ) Bir E örnek uzayının bağımsız tüm alt kümeleri A,B,C ise P(A)+P(B)+P(C)+ dir

12 BĐR A OLAYININ OLASILIĞI A E olmak üzere E örnek uzayında bir A olayının gelme olasılığı; s( A) istenen durumların sayısı P ( A) s( E) tüm durumların sayısı Örnek( ) Bir zar havaya atılıyor Çift gelme olasılığı; E{,,,,,} ve Ç{,,} o halde P(Ç)// Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor a) Đkisinin de aynı gelme olasılığı; s(e) ve A{(,),(,),(,),(,),(,),(,)} P(A)// d) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 den büyük olma olasılığı; B{(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,)} P(B)0//8 Örnek( ) Bir madeni para havaya atılıyor Tura gelme olasılığı; E{Y,T} ve A{T} o halde P(T)/ Örnek( 8) Bir torbada sarı kırmızı top vardır Torbadan peş peşe iki top çekiliyor Çekilen topların; a) Đkisinin de sarı olma olasılığı b) Birinin sarı diğerinin kırmızı olma olasılığı c) Birincinin kırmızı ikincinin sarı olma olasılığı nedir? Çz: Torbada toplam +9 top vardır a) ilk topun sarı gelme olasılığı S ise P ( S ), ikinci topun sarı gelme 9 olasılığı, S ise o halde sonuç; P ( S ) b) Yol: Sıra önemli olmadığından örnek uzay ; 9 ( ) s E Đstenen olay A ise s ( A) 0 O halde sonuç; 0 P ( A) Yol: cisi sarı, cisi kırmızı veya cisi kırmızı, cisi sarı olabilir SK +KS + olur c) Sıra önemli olmadığından olay KS olayıdır P ( K, S) P( K) P( S) Örnek( 9) kız ve erkek arasından kişilik bir kurul oluşturulacak kurulda en az bir kızın bulunma olasılığı nedir? 9 Çz: Örnek uzay s(e)c(9,)8 Hiç kız olmama olasılığı 8 En az bir kızın olma olasılığı /0/ Örnek( 0) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor a)zarın tek sayı ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır? b) Zarın tek sayı veya paranın tura gelme olasılığı kaçtır? Çz: Zar için örnek uzay; E{,,,,,}, s(e) zarın tek gelme olayı A{,,}, s(a) P(A) // Madeni para için örnek uzay E{Y,T},s(E)

13 Madeni paranın tura gelme olayı s(b) P(B)/ B{T} a) Zarın tek ve paranın tura gelme olayı P(A B) ise P(A B) P(A)P(B)/// b) P(A B)P(A)+P(B) P(A B) + / Örnek( ) Düzgün bir zarın havaya atılması deneyinde üst yüze çift sayı geldiği bilindiğine göre bu sayının asal sayı olma olasılığı nedir? Çz: Üste gelen yüzün çift olma olayı B, asal olma olayı A olsun B{,,}, A{,,} olsun A B{} P( A B) P(A\B) P( B) Örnek( ) A torbasında Beyaz, Kırmızı; B torbasında Beyaz, Kırmızı top vardır Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A dan alınan B ye, B den alınan A ya) atılıyor Bu işlemin sonucunda torbalardaki Kırmızı ve Beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? (öys-9) Çz: Durum: A dan beyaz, B den Beyaz; 9 Durum: A dan Kırmızı, B den Kırmızı; Sonuç: Örnek( ) Bir çift zarın atılması deneyinde zarlardaki sayılar toplamının olduğu bilindiğine göre bu sayıların ikisinin de tek sayı olma olasılığı nedir? Çz: Bir çift zar için örnek uzay s(e) B olayı sayıların toplamının olma olayı; B{(,),(,),(,),(,),(,)} A olayı sayıların tek olma olayı olsun; A{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,)} A B{(,),(,),(,)} P( A B) P(A\B) P( B) Yol: Toplamları olan sayılar {(,),(,),(,),(,),(,)} bunlardan tek olanlar {(,),(,),(,)} KOŞULLU OLASILIK A,B E olsun B olayının gerçekleşmiş olması koşuluyla A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir Ve P(A\B) ile gösterilir P( A B) P(A\B), (P(B) 0) P( B) s( A B) s( E) s( B) s( E) istenen olayın olasılığı/ BAĞIMSIZ OLAYLAR Đki olaydan birinin gerçekleşip gerçekleşmemesi diğerini etkilemiyorsa bu iki olay bağımsızdır A,B E ise P(A B) P(A)P(B) olur

14 Örnek( ) zar birlikte atılıyor Zarların üst yüzüne gelen sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı nedir? Çz: birinci için çift gelme olayı A Đkinci için çift gelme olayı B P(A B) // ¼ Örnek( ) Bir torbada sarı kırmızı bilye vardır Torbadan rasgele bir bilye çekilip tekrar torbaya atılıyor ve ikinci defa çekiliyor Birincinin sarı, ikincinin kırmızı olma olasılığı nedir? Çz: / / 0/ TEKRARLI DENEMELER Bir deney sonlu sayıda tekrar edilmiş olsun P( A, Birinci denemede A Đkinci denemede A A, A ) P( A )P( A )P( n A n ) Örnek( ) Bir madeni para defa arka arkaya havaya atılıyor a) ilk iki atışta tura, sonraki dört atışta yazı gelme olasılığı? c) Baş ve son için dört durum geçerlidir; TT, TY, YT, YY O halde sonuç / Örnek( ) Bir zar defa atılıyor Birincide, ikincide ve üçüncüde gelme olasılığı nedir? Çz: P(,,)P()P()P() Örnek( 8) atılıyor Bir madeni para beş kez ÇZ: örnek uzayın eleman sayısı: a) Đlk ikisinin yazı diğerlerinin tura gelme olasılığı; Olay YYTTT olayıdır ////// b) ikisinin yazı gelme olasılığı; Olay Y,Y,T,T,T olayıdır yani sıra önemli! değildir Farklı diziliş sayısı 0 dur!! O halde cevap :0/ Örnek( 9) A torbasında Sarı, Kırmızı ve B torbasında Sarı, Kırmızı top vardır A torbasından bir top çekilip B torbasına atılıyor ve B torbasından bir top çekiliyor B torbasından çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre A torbasından çekilen topun sarı olma olasılığı nedir? b) Đki atışta tura, dört atışta yazı gelme olasılığı nedir? c) Đlk atışın tura son atışın yazı gelme olasılığı Çz: a) P(T,T,Y,Y,Y,Y)P(T)P(T)P(Y)P(Y)P(Y) P(Y) /////// ÇZ: b)!!! şekilde seçim yapılabilir örnek uzay ise dır (T,T,Y,Y,Y,Y) Örnek( 0) Anne,Baba ve dört çocuk yuvarlak bir masa etrafında oturacaklar Anne ile Babanın yanyana olma olasılığı nedir? '' ( )!

15 Örnek( ) Kız Erkek arasından seçilen kişinin ikisinin Kız birinin Erkek olma olasılığı nedir? Örnek( ) Üç zar havaya atılıyor üst yüze gelen sayıların oluşturduğu üç basamaklı sayılar için a) Rakamlarının farklı olma olasılığı b) Beş ile bölünebilme olasılığı c) Rakamlarının çarpımının tek olma olasılığı d) Rakamlarının çarpımının çift olam olasılığı? Örnek( ) evli çift arasından iki seçiliyor Seçilen kişilerin evli olma olasılığı? Örnek( ) kişilik bir gurupta evli çift vardır Seçilecek üç kişi arasında bir evli çiftin olma olasılığı? Örnek( ) EA B C ve A,B,C kümeleri ayrıktır ÇZ: I Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme olasılığı P(I) II Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme olasılığı P(II) 8 Ayrık olaylar olduklarından Örnek( 9) Bir deneyin üç ayrık sonucu a,b,c dir Sonucun a veya b olma olasılığı 8, a veya c olma olasılığı ise a) a olayının olasılığı b) a ve b olayının olasılığı? Örnek( 0) A torbasında Mavi Kırmızı, B torbasında Mavi Kırmızı bilye vardır Torbalardan ikişer bilye çekiliyor a) Dördünün de kırmızı olma olasılığı b) Üçünün kırmızı olma olasılığı c) Đkisinin kırmızı olma olasılığı P(A), P(B) ise P(C)? Örnek( ) Bir çift hileli zar havaya atılıyor Tek sayı gelme olasılığı, çift sayı gelme olasılığının üç katı ise gelen sayının asal olma olasılığı nedir? ÇZ: p+p+p+p+p+pp ise cevap/ Örnek( ) Bir çift zar havaya atılıyor Zarlardan birinin geldiği bilindiğine göre toplamlarının dan büyük olma olasılığı nedir? Örnek( 8) I Kutuda Sarı Kırmızı top ve II Kutuda Sarı Kırmızı top vardır Bu kutulardan rasgele seçilen bir kutudan rasgele çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir? ÇZ: a) A B veya 0 0 b) A B A B c) A B A B

16 Örnek( ) Bir madeni para kez havaya atılıyor En az kez yazı gelme olasılığı nedir? ÇZ: Y,Y,Y,Y,Y,T veya Y,Y,Y,Y,YY + o halde Örnek( ) Şekildeki 9 noktadan rasgele nokta seçiliyor Bu noktaların üçgen oluşturma olasılığı nedir? Örnek( ) Sarı ve Kırmızı topun bulunduğu bir torbadan üç top çekiliyor En az birinin sarı olma olasılığı? Örnek( ) Şekildeki kare eş parçalara ayrılmıştır Örnek( ) Bir sınıfta 0 kız erkek vardır Kızların i, erkeklerin sı ela gözlüdür Rasgele seçilen bir öğrencinin a) Ela gözlü erkek olma olasılığı? b) Ela gözlü olmama olasılığı? Örnek( ) Futbol, voleybol ve basketbol oyunlarından en az birini bilen 0 kişilik bir sınıfta futbol veya basketbol oynayan kişi, futbol veya voleybol oynayan kişi, voleybol veya basketbol oynayan kişi vardır Seçilen bir öğrencinin en az iki oyun oynayabilme olasılığı nedir? (C: ¼) Örnek( ) evli çift arasında üç kişi seçiliyor Seçilenlerin arasında ; a) Bir evli çift olma olasılığı nedir? b) Hiç evli çift olmama olasılığı nedir? ÇZ: a) 0 b) 8 Örnek ( ) Beş elemanlı bir kümenin özalt kümelerinden biri rasgele seçiliyor Seçilen bu kümenin ten az elemanlı bir alt küme olma olasılığı nedir? (C: ) Bir kenarı 0 cm olan bu kareden oluşturulacak dikdörtgenlerden biri seçiliyor Seçilen dikdörtgenin çevresinin 8 cm den fazla olma olasılığı nedir? Örnek( 8) Galatasaray ve Diyarbakırsporun da aralarında bulunduğu takım süperligde mücadele ediyorlar Her takım diğer bir takımla hem kendi sahasında hem de deplasmanda maç ediyor Diyarbakırspor ile Galatasaray ın ilk hafta maç yapma olasılığı nedir? ÇZ: 0 maçtan toplam 0 hafta vardır maç yapılıyor Her hafta 8 0 Örnek( 9) Ahmet in bir hedefi vurma olasılığı, Hasan ın aynı hedefi vurma olasılığı tir a) Đkisinin de hedefi vurma olasılığı b) Yalnız birinin hedefi vurma olasılığı? ÇZ: a) b) +

17 Örnek( 0) Bir küpün üç yüzünde, iki yüzünde ve bir yüzünde yazılıdır Üç kez havaya atılan bu küpün üç basamaklı rakamları farklı bir sayı oluşturma olasılığı nedir? ÇZ: gelmesi: dir O halde cevap:! dir farklı durumlar! Örnek( ) elinde beş anahtarı bulunan biri kapıyı bu anahtarlardan birinin açtığını biliyor Anahtarları denemeye başladığında açmayan anahtarı cebine koyduğuna göre üçüncü denemesinde kapıyı açma olasılığı nedir? Açmama, açmama, açma Örnek( ) 0 maçın oynandığı bir ligde spor toto oynayan birinin tüm maçları doğru tahmin etme olasılığı nedir? (C: ) 0 Örnek( ) Yüksek öğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere öğrenci seçilmiştir Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu beş öğrenci kaç farklı guruplama ile gönderilebilir? (C: 0) (ÖSS 00) Örnek( ) Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A,T,A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? (C: / ) (ÖSS-99)

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1 KOMİNSYON - PERMÜTSYON Test -. kişi arka arkaya sıralanacaktır. u kişiler kaç farklı sıra oluşturabilir?. kişilik bir sıraya, öğrenci kaç farklı dizilişte yan yana oturabilir?. farklı çatal, farklı kaşık

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI . a,b,c negatif tam sayılardır. (a + 3).b b< c< a ve; = 6 olduğuna c göre, a+b+c toplamının en büyük değeri 4. 50 kişinin çalıştığı bir şirkette 25 kişi İngilizce, 6 kişi Fransızca biliyor. En çok bir

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

Yukarıdaki dikdörtgen şeklindeki fayansları kullanarak elde edebileceğimiz en küçük karenin çevresi kaç cm dir?

Yukarıdaki dikdörtgen şeklindeki fayansları kullanarak elde edebileceğimiz en küçük karenin çevresi kaç cm dir? 1) Zehranaz yeni doğan kardeşine mama yedirmeyi çok sevmektedir. Kardeşi Furkan ın mamasının 1 kutusu 510 gr dır ve her 3 saatte bir 10 gr yemesi gerekmektedir. Buna göre; Çarşamba sabah saat 08.15 de

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 200 20 ÖSS-YGS - - - 2 2 / - 2/ 2/ / LYS OBEB OKEK OBEB: iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların OBEB i denir Sayılar

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir.

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

MATEMATİK VE ZEKA KİTABI

MATEMATİK VE ZEKA KİTABI OLİMPİK ÇOCUK -1. 4. Sınıflar için MATEMATİK VE ZEKA KİTABI Bilsem Sınavlarına Hazırlık Matematik Yarışmalarına Hazırlık TÜBİTAK Sınavlarına Hazırlık Özel Okul Sınavlarına Hazırlık, Okula Yardımcı Dikkat

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 3. ANKARA İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 30 MART 2013 4. SINIF B KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 120 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç 1. Rakamları toplamından büyük olan kaç tane doğal sayı vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç sayının toplamı (0) cc ise c nin alamayacağı en büyük değer kaçtır? A)

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ SAMANYOLU 10. ULUSAL MATEMATİK YARIŞMASI 22 MART 2014 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 120 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 8. İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 31 MART 2012 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 150 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

Doğru Cevap: D şıkkı AB8 _ AB 49B

Doğru Cevap: D şıkkı AB8 _ AB 49B 017 YGS MATEMATİK LERİ 3 3 3 3 3 16. 3 3 3 3 8 3 16.. 3 3 3 3 16 8.. 3 3 3. 3 buluruz. 3 4 9 8 17 3 (3) () 6 6 6 3 8 9 17 3 4 1 1 1 (4) (3) 17 6 1 17 buluruz. Doğru Cevap : B şıkkı Doğru Cevap: D şıkkı

Detaylı

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz

OLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATİK DENEMESİ- Muharrem ŞAHİN TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEŞİLYURT Gökhan KEÇECİ Saygın DİNÇER Mustafa YAĞCI İ:K Ve TMÖZ üyesi 4 00 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI x 5 6. 0 x 4x 5 x denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 4. 6 6... a ise, a kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B), C) 5, D) 5 E) 5. m 9m m m işleminin sonucu kaçtır?. (6) x x y y (4. ) eşitliği

Detaylı

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

2000 ÖSS Soruları 2,3 0, ,1 işleminin sonucu kaçtır? 13 E) 11 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 O O 2. 3

2000 ÖSS Soruları 2,3 0, ,1 işleminin sonucu kaçtır? 13 E) 11 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 O O 2. 3 . 2, 0,2 2, + 0, işleminin sonucu 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı KM sayısı ve 5 ile kalansız bölünebiliyor. una göre, K kaç farklı değer alabilir? 2 ) 4 ) ) 2 ) ) ) 2 ) ) 4 ) 5 ) 6 2.

Detaylı

2000 ÖSS. 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının 31 katıdır. Buna göre, K+M toplamı. İşleminin sonucu kaçtır? kaçtır?

2000 ÖSS. 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının 31 katıdır. Buna göre, K+M toplamı. İşleminin sonucu kaçtır? kaçtır? 000 ÖSS., 0,, 0, İşleminin sonucu A) B) C) D) E) 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının katıdır. Buna göre, K+M toplamı A) B) C) 5 D) 6 E) 9. : İşleminin sonucu 8. Toplamları 6 olan a ve

Detaylı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı

Özel AKEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı Özel KEV İlköğretim Okulu Fen ve Matematik Olimpiyatı DİKKT! CEVP KĞIDININ TEST -- BÖLÜMÜNE MTEMTİK SORULRI İŞRETLENECEKTİR. ) 3 basamaklı 4 tane sayının aritmetik ortalaması 400 dür. Bu dört sayının birler

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 040- Ortak kıl dem ÇİL yhan YNĞLIŞ arış EMİR elal İŞİLİR eniz KRĞ Engin POLT Ersin KESEN Eyüp ULUT Fatih SĞLM Fatih TÜRKMEN Hakan KIRI Kadir LTINTŞ Köksal YİĞİT Muhammet

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Ýþlem Yeteneði Temel Kavramlar Sayý Basamaklarý Taban Aritmetiði Bölme ve Bölünebilme Ebob-Ekok

Ýþlem Yeteneði Temel Kavramlar Sayý Basamaklarý Taban Aritmetiði Bölme ve Bölünebilme Ebob-Ekok Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - I Ödev Kitapçığı (MF-TM) Ýþlem Yeteneði Temel Kavramlar Sayý Basamaklarý Taban Aritmetiði Bölme ve Bölünebilme Ebob-Ekok Adý

Detaylı

YGS MATEMATİK SORULARI !+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56. ifadesinin eşiti hangisidir?

YGS MATEMATİK SORULARI !+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56. ifadesinin eşiti hangisidir? 2017 YGS MATEMATİK SORULARI 1. 4. 4.7!+7! 6! 5! işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin eşiti hangisidir? A) 24 B)32 C)42 D)48 E)56 A)1/2 B)1/4 C)1/6 D)1/8 E)1/12 2. 2 9 5.2 4 12 3 işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1 ERMÜTASYON SAYMANIN TEMEL KURALI A) Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI . a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a 2b+2 2 b+4 yukarıdaki bölme işleminde, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?. 25 soruluk bir sınavda her doğru cevaba 5 puan verilirken, her yanlış cevaptan

Detaylı

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4

1989 ÖYS. olduğuna göre a-b kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 4 989 ÖYS. a a a b 8 olduğuna göre a-b kaçtır? C). a ile b nin aritmetik ortalaması 5 tir. a ile geometrik ortalaması 0, b ile geometrik ortalaması 0 olan sayı nedir? 0 C) 8 ise a+b+d toplamı ne-. a+b+c=d

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

2001 ÖSS. A) a-1 B) a 2 +1 C) a 2 +a D) a 2-2a+1 E) a <x<y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri yanlıştır? y x

2001 ÖSS. A) a-1 B) a 2 +1 C) a 2 +a D) a 2-2a+1 E) a <x<y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri yanlıştır? y x 00 ÖSS. 0, 0,0 0,0 0,00 0,00 0,000 Đşleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) 0, C) 0 D) 0 E) 00 6. a bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır? A) a- B) a C) a a D) a

Detaylı

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223 . İlk 2 pozitif doğal sayıdan oluşan {, 2, 3,,...,, 2} kümesi veriliyor. u kümeden 3 eleman çıkartıldığında geriye kalan elemanların sayı değerleri çarpımı tam kare oluyor. una göre, çıkartılan sayıların

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

YGS MATEMAT K DENEME SINAVI

YGS MATEMAT K DENEME SINAVI MATEMAT K DENEME SINAVI I Muharrem ŞAHİN muharrem49@gmail.com Maatteemaatti ikk Deeneemee Sınaavvı I Muhaarrrreem Şaahi in. 9 8 0 0 0 0 5 işleminin sonucu kaçtır? x x 3. 0, 0, 3 0, 0, olduğuna göre, x

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

Temel Matematik Testi - 8

Temel Matematik Testi - 8 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: D008. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 01 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 10, 5,1 0,5 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7. a 1 8 b 7 18 olduğuna göre a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 5 E) 6 10, 5,1 105 1 41 1 5 0,

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına . Verilen şekilde en uzun kenar aşağıdakilerden ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenar orta dikme, aşağıdaki noktaların hangilerinden geçer? AB

Detaylı