ESKĐŞEHĐR-ŞUBAT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ESKĐŞEHĐR-ŞUBAT 2014. http://mizan.ogu.edu.tr."

Transkript

1 ÖLÜM I ESKĐŞEHĐ-ŞUT 14 1

2 ÖLÜM I ÖLÜM ĐÇĐNEKĐLE ÖNSÖZ... ÖLÜM Safa ı 1.1 Giiş Statikte Kullanılan Temel iimle Vektöel [Sinüs] ve Skale Çapım... ÖLÜM : MOMENT Moment Tanımı..... Vaignon Teoemi [Vaignon, ] Kuvvet Çifti i Kuvvetin aşka i Noktaa Taşınması... ÖLÜM 3: KES SĐSTEMLE Mesnetle Kafes Sistemlein Genel Kitelei Çubuk Kuvvetleinin üğüm engesi Đle ulunması Çubuk Kuvvetleinin Kesim Metodu [itte] Đle ulunması Hipestatik Kafes Sistenle Ua Kafes... ÖLÜM 4: ĐZOSTTĐK SĐSTEMLEE V, M, N 4.1. Đostatik Sistemle ve Đşaet Kabulü Kesme Kuvveti Đle Moment asındaki Đlişki Đostatik Sistemlein V, M ve N diagamlaı Gebe Kiiş... ÖLÜM 5: ĞILIK MEKEZĐ-TLET MOMENTĐ ğılık Mekei Hesabı [lanın iinci Momenti] Pappus-Guldınus Teoemlei Statik Moment [lanın iinci Momenti] talet Momenti [lanın Đkinci Momenti (I)] Paalel Eksen Teoemi Çapım talet Momenti sal Eksen Ve talet Momenti... ÖLÜM 6: KLOL Kablola Yaılı Yüklü Kablola Tekil Yüklü Kablola Sütünme... EKLE... EK.1:Matisle EK.: Yagın Olaak Kullanilan Tigonometik ağıntıla Kanakla...

3 ÖLÜM I 3

4 ÖLÜM I ÖNSÖZ Mekaniğin bi alt kolu olan statik tüm mühendislik bölümleinin temel desleinden biisidi. Statik, mühendisliğin inceleme konusu sistemlein hıının sıfı olması duumundaki davanışını incele. u des notlaı desin anlaşılmasını kolalaştımak ve bundan sona alınacak deslee ve kaşılaşılacak mühendislik poblemleine statik çöüm getimesi amaçlanmıştı. Kitaplaın vea aılı eselein günümüde ve gelecekte ideal kanak olması çok ii bi aaın kontolünden çıkması kada bunu kullananlaında çok ii kullanıcı olması ile mümkündü. Eksik konu, düen, kanak, vei bulunabili. Hatta çok saıda alıntı olabili. Çünkü biim mesleğimide chimedes, Galileo Galilei, Isaac Newton ve benei kişilein eselei dışında çoğu bu kişileden alıntı olup sadece sunum fakı vadı. Nasıl düna güneş etafında dönüosa apılan çalışmalaın pek çoğu bunlaın çevesinde dönüo. Si ve siden önceki öğenci akadaşlaımıın katkısı da büük olmuş ve olmaa devam edeceğine güvenim tamdı. Siin bu desi daha ii anlamanı için bu notlaı haılamak nasıl bi mesleki göevimi ise kaşılaştığını eksikliklei bildimenide siin bilinçli öğencilik davanışı olduğunu unutmaını. u des notu, konulaı öneklele anlatılması üeine düenlenmişti. Eksik ve hatalaın olabileceğini hatılatı, silee adımcı olması dilekleimile başaıla temenni edei. 4

5 ÖLÜM I ÖLÜM 1: 1.1. GĐĐŞ MEKNĐK: Kuvvete mau duan ve haeket halindeki cisimlein haeket öellikleini inceleen fiiksel bilimdi. u konunun insanlık taihi kada eski olduğu aşağıda apılan çalışmaladan göülmektedi. chimedes, MÖ 87 1, Yunanlı. Tükçe: şimed, şimet Matematik, iik, stonomi, Mühendislik. Suun kaldıma kuvveti, Katı cismin hacmi taşıdığı suun hacmi kadadı. Pi saısının aklaşık değei (π/7), Küenin hacmi (4/3 π 3 ) ve üei (4π ), chimedes bugusu (Heleon su pompası), Mancınık, Çuku ana, ileşik makaala, enge kavamı, Moment kavamı. Sonsu küçükle, ğılık mekei kavamı ve hesabı. Çalışmalaı Galile, Newton ve Keple gibi bilim insanlaına ön vemişti. Ünlü söü: Eueka Eueka (buldum buldum!) ana bi mesnet göstein üna'ı einden onataım! a b P P 1 P 1 a P b Galileo Galilei, , Đtalan. Tükçe: Galile stonomi, iik, Matematik, stonomi. Teleskop ve pusulanın geliştiilmesi, Sebest düşme, Güneş lekeleinin keşfi. isto fiiğinin sonunu getidi. isto nun evenin apısı tanımına kaşı çıktı. ünanın evenin mekei olmadığını, güneş etafında döndüğünü savundu. inin bilime baskısını eddetti. Engiisonda agılandı. una ağmen, mahkemeden çıkaken sölediği Yine de düna dönüo! söü ünlüdü. Sebest düşme bağıntısı: S1/. g t Moden fiiğin kuucusu kabul edili. Kiiş eğilme poblemini ele alan ilk kişi olmakla bilikte, çekme ve basınç bölgesinin valığını otaa koamamış, çekme geilmesinin dügün aılı olduğunu vasamıştı. Çalışmalaı Newton a ilham vedi. He bi noktasal kütle diğe noktasal kütlei, ikisini bileştien bi çigi doğultusundaki bi kuvvet ile çeke. u kuvvet bu iki kütlenin çapımıla doğu oantılı, aalaındaki mesafenin kaesi ile tes oantılıdı: m m G 1 5

6 ÖLÜM I uada: iki kütle aasındaki çekim kuvvetinin büüklüğü, G Yeçekimi sabiti, m 1 biinci kütlenin büüklüğü, m ikinci kütlenin büüklüğü, ise iki kütle aasındaki mesafedi. SI biimleinde, Newton (N), m 1 and m kilogam(kg), Mete (m) di, ve G sabiti aklaşık olaak N m kg a eşitti. G ilk ke Đngili bilim adamı Hen avendish taafından, "Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica"nın basımından 111 ve Newton un ölümünden 71 ıl sona ölçülmüştü; bu üden Newton un hesaplamalaının hiçbiinde G sabiti kullanılmamış, bunun eine bi kuvvete bağıl başka bi kuvvet hesaplamıştı. Newton un çekim kanunu oulomb asası na bene. Newton un kanunu iki kütle aasındaki çekim kuvvetini hesaplamak için kullanılıken, bene şekilde, oulomb kanunu üklü iki iletkenin aasındaki elektiksel kuvvetin büüklüğünü hesaplamak için kullanılı. oulomb kanununun denkleminde, Newton un denklemindeki kütlelein eine üklein çapımını içei. ölece, oulomb kanununa göe elektiksel kuvvet üklein çapımının aalaındaki mesafee bölümüle doğu oantılıdı. Isaac Newton: 5 alık 164 taihinde Woolsthope kentinde dünaa gelen Isaac Newton fiiğin en önemli isimlei aasında e alı. Đlk analı teleskopu geliştimiş, enk ve ışığın niteliğine açıklık getimiş, evensel kütle çekimi asasını otaa ataak fiikte devim geçekleştimişti. Isaac Newton doğumundan 3 a önce babasını kabetmişti. i çiftçi ailesinin çocuğu olan Newton 1 aşında Gantham'daki King's School'a başlamıştı. 1661'de buadan meun olan Newton anı ıl Tinit ollege'a gidi. 1665'de buadan meun olan Newton lisans üstü çalışmalaına başlaacağı sıada veba salgını baş göstedi ve ünivesite kapatıldı. unun üeine Newton ıl annesinin çiftliğinde kaldı. uada çalışmalaına devam etti. 1667'de Tinit ollege'a öğetim göevlisi olaak gei döndüğünde sonsu küçükle hesabının ( difansiel ve integal ) temelini atmıştı. aha sona da ışığın apısını açıklamış ve evensel kütle çekimi kanunu otaa atmıştı. ncak çekingen olan Newton fiikte devim aatacak bu fikileini çok uun ılla sona aınlamıştı. Öneğin sonsu küçükle hesabını 38 ıl sona aınlamıştı. Lisans üstü çalışmalaını tamamlaan Newton 7 aşındaken ambige Ünivesitesinde matematik pofesö olaak getiilmişti. 1671'de analı teleskopu geliştieek oal Societ'e seçildi. ma buada öellikle obet Hooke taafından şiddetle eleştiilmesi Newton'u iice içine kapanık hale getidi. ilim dünasıla ilişkisini kesen Newton 1678'de uhsal bunalıma gidi. Yakın dostu ünlü astonom Edmond Halle'in çabalaıla 6 ıl sona bilimsel çalışmalaına gei döndü. Ve ıl içinde efsanevi apıtı Pincipia'ı aınladı. u ese büük ses getidi. Kitabın aınlandığı ıl kal II. James taafından Katolik'liği ama çalışmalaına dieniş gösteen Newton, kal düşüüldükten sona 1689'da ünivesite palamentosuna gidi. 1693'de eninden bunalıma gien Newton'un akın dostlaı John Locke ve Peps ile aası bouldu. ıl sona düeldise de bilimsel çalışmalada eski veimliliğini gösteemedi. 1699'da daphane müdülüğüne getiileek Londa'a eleşti. 171'de pofesölükten aıldı. 173'de oal Societ'nin başkanı oldu.174'de sonsu küçükle hesabını da içeen Optik adlı kitabını aınlaınca Leibni aasında tatışma başladı. Leibni sonsu küçükle hesabını Newton'dan ıl önce aınlamıştı. Newton'un haatının son 5 ılı bu tatışmalala geçti ve Mat 177'de Londa'da öldü. Newton ın en önemli keşiflei cisimlein haeketleini inceleen bilim dalı olan mekanik alanıdı. isimlein hehangi bi kuvvet etkisi altında olmamalaı halinde nasıl haeket ettikleini tanımlaan biinci haeket kanununu Galileo bulmuştu. Geçekte elbette cisimle dış kuvvetlein etkisi altındadı ve mekanik biliminin en büük sounu cisimlein bu koşullada nasıl haeket ettiğidi. u poblem Newton taafından, klasik fiiğin en önemli temel kanunu olaak tanımlanabilecek ikinci haeket kanunu ile çöülmüştü. Matematiksel olaak ma ifade edilen bu kanun, bi cismin ivmesinin, ani hıındaki değişimin, cisim üeine etki eden net kuvvetin cismin kütlesine bölünmesine eşit olduğunu söle. u iki haeket kanununa Newton bi üçüncüsünü ( he etkie, ani fiiksel güce, kendisine eşit bi güçle kaşı koulu), adından dödüncü ve en ünlü buluşunu, evensel eçekimi kanununu eklemişti. Isaac Newton şöle de: Yeçekimi geegenlein haeketleini açıkla ama bu haeketlei kimin medana getidiğini açıklama. Tanı bütün heşei öneti, bili ve daha nele apılabileceğini bili. 1. M.Ö.87-1 chimedes nin kaldıma kuvveti çalışmalaı Stevinus nun vektöel toplam Galileo nun sebest düşme ile ilgili Newton nun eçekimi çalışmalaı gibi bi çok çalışma bulunmaktadı. Mekanik üç ana kısma aılı. 1. ijit cisimle mekaniği. Şekil değiştien cisimle mekaniği 3. kışkanla mekaniği 6

7 ÖLÜM I este sadece kendi içinde kısma aılan ijit cisimle mekaniği incelenecekti. 1. STTĐK (haeket hıı V olan cisimlei). ĐNMĐK (ivme ile haeket halindeki cisimlei V ) Mühendislikte öellikle inşaat mühendisliğinde cisimlein büük bi kısmı dengede olduklaı kabul edileek boutlandııldıklaından dolaı statiğin çöümlemede paı büüktü. Statik, haeketsi haldeki (dengedeki) bi cismin mau kaldığı kuvvetlei, dinamik ise haeketten dolaı cisimde oluşan kuvvetlei belile. Öneğin bi binanın mühendislik olaak çöümü, 1. Đlk önce apının kendi ve içindeki ağılıkladan dolaı oluşan eleman vea sistem kuvvetlei [STTĐK],. Sona depemin vea ügaın apıı haeket ettimesinden dolaı oluşan kuvvetlei [ĐNMĐK] bulunaak çöüm apılı. 1.. STTĐKTE KULLNILN TEMEL ĐĐMLE 1. Uunluk: i noktanın uadaki konumunu vea bi cismin boutlaını ifade eden biim. (m, cm, mm, inch, km) Uunluk ve Zaman iimlei; Haeketi ii anlaabilmek için ilk olaak temel uunluk ve aman ölçüleini bilmek geeki. Mete uunluğun temel ölçü biimidi. i mete, Pais'ten geçen, kue kutbu ve ekvato aasındaki bouna çigi bounca ölçülen uaklığın on milonda biisidi. u bi metei temsil eden metal çubuk Uluslaaası ğılıkla ve Ölçüle üosu'nda bulunmaktadı. i metenin uunluğunu belilemenin bi başka olu ise, bilimdeki hılı gelişmeleden biisi olan ışık hıından aalanmaktı. una göe 1 meteişığın boşlukta 1/99,79,458 saniede ol aldığı mesafedi. Sanie ise, Seum atomunun aınladığı belli bi dalga boundaki ışığın, devi apması için geçen amandı.. Zaman: Statikteki biimle amandan bağımsı olup, dinamikte önemli bi e tuta ve cismin incelemee konu olan haeket süesi olaak açıklanabili. 3. Kütle: Maddenin hı değişimine kaşı göstediği dienç olaak tanımlanı. Kütle ve ağılık kavamlaı anı şele değildi ve bibileine kaıştıılmamalıdı. ğılık ve Kütle asındaki Đlişki; ğılık, kütle çekimi ile ilgili bi kuvvetti. ünanın bi cisme ugulamış olduğu kütle çekim kuvvetine cismin ağılığı deni. u cismin 'da vea Neptün'de olduğu düşünüldüğünde, bu gök cisimleinin bu cisme uguladığı çekim kuvvetlei de değişecekti. u nedenle bi cismin madde miktaı (kütle) anı kalmasına ağmen ağılığı dünada, 'da vea diğe geegenlede faklı olacaktı. ğılığı ölçeken alı teai kullanılıken, kütle ölçmek için eşit kollu teaile kullanılmaktadı. i cisme etki eden çekim kuvvetinde değişiklik medana geldiğinde, aın da uamasında değişim olmaktadı. ma çekim kuvveti ne kada atasa atsın cismin madde miktaında değişiklik olmaacaktı. Öneğin kütlesi 1 kg olan bi cisim dünada tatıldığında 98 N geliken, bu cismi 'da tattığımıda 17 N gelecekti. u da 'ın çekim kuvvetinin dünadan düşük olduğunu göstemektedi. Ua mekiği ile 'a doğu olculuk apan bi astonot düşündüğümüde, bu olculuk esnasında astonotun kütlesi değişme. Yolculuğun he anında kütlesi eşitti. stonot dünadan uaklaşıp 'a aklaştıkça dünanın uguladığı çekim kuvveti aalmaa 'ın uguladığı çekim kuvveti ise atmaa başla. ve dünanın çekim kuvvetleinin eşit olduğu noktada astonotun ağılığı sıfı olu. 7

8 ÖLÜM I Çok dügün, cilalı, palatılmış ata bi üe üeinde, sütünme kuvvetini önemsemeeek bi bu kalıbını ittiğinii düşünün. u kalıbı üeinde ata bi kuvveti ugulasanı, kalıp "a" ivmesi ile haeket edecekti. Kuvveti iki katına çıkaısanı ivme de iki katına çıkacaktı. u tü gölemleden bi cismin ivmesinin, ona etkien bileşke kuvvet ile doğu oantılı olduğu sonucuna vaıı. Peki bileşke kuvveti anı tutaken cismin kütlesini iki katına çıkaısak ne olu? Đvme aısına düşe; üç katına çıkaılısa üçte biine düşe. u göleme göe, bi cismin ivmesinin kütlesi ile tes oantılıdı. una göe Newton'un ikinci asası şöle anlatılabili: "i cismin ivmesi, ona etki eden kuvvetle doğu oantılı, kütle ile tes oantılıdı." Kütlesi m olan bi cisme dünanın uguladığı kütlesel çekim kuvveti cismin ağılığı olaak adlandıılı ve g ile gösteili. u kuvvet, dünanın mekeine doğu önelmişti ve kuvvetin büüklüğü cismin ağılığı olaak bilini. Kütle: m ğılık: mgg Newton un. asasından Σma, eüü üeinde ivmenin değei a-g olduğundan ağılık kuvveti Σmg şeklinde aılı. ğılık, g e bağlı olduğundan coğafik konuma göe değişi. unun anında kütle (m) cismin değişme bi öelliği olduğu için he ede anıdı ılında kabul edilen kütle standadı, "1 KĐLOGM", platin-iidum alaşımından apılmış silindiin kütlesi olaak tanımlanı. Standat mete çubuğu ile bilikte bu silindi ansa'nın Seves kentindeki Ulusla aası ğılık ve Ölçümle üosu'nda saklanı. unlaın benelei he ülkenin kendi ulusal standatla büosunda bulunu. Zaman standadı saniedi. 196 ılına kada sanie otalama güneş günü cinsinden tanımlanmıştı. i güneş günü, güneşin göküünde ulaştığı en üksek noktadan at ada iki geçişi aasındaki aman aalığına deni, bi güneş gününün, üne sanie adı veili ılında eni sanie standadı ok edileme ve kolaca elde edilebili nitelikleine sahip oldu. "1 SNĐYE", seum atomunun defa titeşim apması için geçen amandı. 4. Kuvvet: i cismi haekete olaan tepki olaak tanımlanı. ıca bi itme vea çekme kuvveti olaak da açıklanı. Çeşitlei ise e çekim kuvveti, elektik kuvvetlei ve manetik kuvvetle olaak saılabili. KUVVET; Günlük aşantımıda apılan he işte kuvvet kullanıı. Öğencinin kitaplaını taşıması, evin kapısının kapatılması, deedeki suun akması, bi uçağın havalanması kuvvet geektien baı olaladı. u nedenle aşantımıda kuvvet olmadan bi iş apmamı mümkün değildi. Kainattaki bütün itme ve çekme olalaının temelinde kuvvet vadı. Kuvvet, bi cisme temas edeek olabileceği gibi temas etmeden de medana gelebili. üna ve güneşin bibileini, mıknatıslaın diğe maddelei çekmesi ve elekto manetik çekim temas geektimeen kuvvete önek veilebili. O halde kuvvet; fiiksel, kimasal ve biolojik sistemlein temel öelliğini oluştuan en önemli kavamladan bi tanesidi. uan bi cismi haekete geçien, haeket halindeki bi cismi duduan, cismin ön ve doğultusunu değiştien vea cisimlein biçimleinde değişiklik apan etkie kuvvet deni. iik biliminin bi dalı olan mekanik, cisimlein denge duumlaını ve haeketleini incele. Mekaniğin önemli bi konusu olan kuvvet, ne tü olusa olsun, ani iste cansı bi cisim, iste bi canlı taafından medana getiilsin, bi vektö ile gösteili. 8

9 ÖLÜM I Einstein ın çalışmalaından bu ana bütün kuvvetlein tek bi oladan (elektomagnetik ola)kanaklandığını düşünülese de, kuvvetle üç kümede sınıflandıılıla: 1. Uaktan etkien kuvvetle ada alan kuvvetlei;. Temas kuvvetlei (ancak iki sistemin bağlantı kuması sonucu otaa çıka); 3. Koheon (iç tutunum) kuvvetlei (katı cisimlein bükülmeliğini sağlala). LN KUVVETLEĐ: i cismin he bi öğesinin kütlesi üstüne etkile; bu nedenle alan kuvvetleine, bi üe üstüne etki eden temas kuvvetleinden aıt etmek amacıla, kütle kuvvetlei de deni. lan kuvvetlei, havası bi otam içinde bile bibiinden uaktaki cisimlee etkile. unla eçekimi kuvvetlei, cisimlein ağılığı ve elektostatik, magnetik, elektomagnetik kuvvetledi. TEMS KUVVETLEĐ: ibilei ile ilişki halindeki katılaın, içine giilme ve boulma olma öelliğinden kanaklanıla. He iki cisme de otak, küçük bi üede (temas üei) geçekleşen temas sonucu, bu bölgenin akınlaında, katı hafifçe biçim değiştii. Temas kuvvetlei üee dik olduklaında, sütünmesi temas sö konusudu. Osa, bi katı, bi başkasına oanla e değiştiiosa, temas kuvvetlei, üee oanla eğiktile: u duuma da sütünmeli temas deni. KOHEZYON KUVVETLEĐ: Katıı oluştuan atomla, molekülle ada ionla aasında etkile. Makoskobik düede, bu kuvvetle temas kuvvetleini andııla, ama atomik ölçekte, alan kuvvetlei niteliğindedile. Katıla aasındaki temas etkileşimleinde temel nitelikte bi ol onamakla bilikte, açıkça işe kaışmala. Newton, bi kuvvetin ugulanmasıla duumunu değişmee mecbu edilmediği takdide, he cisim bulunduğu haeketsi halinde vea dügün haeket halinde kalı. Haeketsi halde duan a da sabit bi hıla haeket etmekte olan bi cisme, hehangi bi başka kuvvet ugulanmadığı süece bu duağan halini a da sabit hılı halini kou. (Otobüs biden duduğunda olculaın biden öne doğu savulduklaına dikkat etmişsinidi. Savulmanın nedeni, olculaın duma anından önceki sabit hılı haeketleini südümeleidi.) 5. Maddesel nokta (patikül): outlaı ihmal edilebilen ve kütlesi olan nokta. 6. ijit cisim: i çok maddesel noktadan oluşmuş cisim vea bu cisimlein oluştuduğu paçacıkla. una göe mekanikte kullanılan, kütle, eneji, aman, hı, kuvvet ve sıcaklık gibi bi ölçme aacı ile ölçülebilen büüklükle fiiksel nicelikledi. u tü büüklükle genel olaak iki kısımda inceleni Skale üüklükle; Yalnıca saılala ifade edilebilen ve bi biimi olan büüklüklee deni. Skale büüklükle, kütle, sıcaklık, güç, aman, iş vb. olaak incelenebili. Öneğin; 3 mete, 5 kilogam, 35 o, 6 Newton, Volt gibi. Vektöel üüklükle; Ölçülen büüklüklein baılaındaki saısal değe ve biim baen bu veii anlamak için eteli değildi. u büüklüğün önü, şiddeti, başlangıç noktası ve doğultusu da önem kaanı. Öneğin; "aba nkaa'dan Đstanbul'a doğu saatte 9 km/sa hıla haeket edio" cümlesinde aacın önü, doğultusu ve hıı gibi kavamla bilinmesi geeken değeledi. Vektöel büüklük; şiddeti, önü, doğultusu ve başlangıç noktası belilenebilen büüklükledi. Yani önlendiilmiş doğu paçalaına VEKTÖ deni. Vektöel büüklüklei simgesi üeine ok ( ) işaeti konulaak skale büüklükleden aıt edilmektedi. 9

10 ÖLÜM I O Ugulama noktası α i vektö şeklinde gösteili ve şiddeti he aman poitif bi büüklüktü. 3.1 Vektö Tiplei (1). i noktaa baglı vea sınılandıılmıs VEKTÖ (). Sebest VEKTÖ (Haeket edebilen vektö) (3). Kaan VEKTÖ (Kuvvet dogultusunda haaket edebilen vektö) (4). Esit (Şiddet ve önlei anı olan vektöle) (5). Negatif (Siddetlei anı önlei tes olan vektöle). (6). Sıfı vektö (aşlangıç ve bitiş noktası anı olan vektö daie, kae gibi) 1. TNSÖ: Öel bi noktada veilen fiiksel bi büüklüğü tanımlaan öellikle gubuna deni. Skale sıfııncı metebeden bi tansödü. Geilme tansöü gibi, ĐĐM ÇEVĐMLEĐ inch footaak ad mm cm dm m 1 inchpamakpus footaakft ad mm cm dm m YÜK ĐĐMLEĐ METĐK S.I TEKĐL YÜK 1 kn.1 t 1 kg kn YYILI YÜK 1 kn/m 9.1 t/m 1 kg/m kn/m GEĐLME 1 N/m 1 kg/cm MPaN/mm MOMENT 1 kn.m 1 t.cm 1 kg.m knm 1 MPa1 N/mm 1 kg/cm 1 kn/m 1 kg/m 1 kpa 1 kn/m 1

11 ÖLÜM I 1.3. VEKTÖ ĐŞLEMLEĐ [,+,-] i vektöün skale ile ÇPIMI, Skale α Vektö ise çapım α şeklinde elde edili. i vektöün skale ile ÖLÜMÜ, 1 α α şeklinde elde edili. α Çeşitli vektö öneklei [ 1] VEKTÖĐN TOPLMI [+] i kuvvet kendi doğultusu bounca kadıılması halinde cisme olan etkisi değişme. u duuma kuvvetlein kadıılabilme öelliği deni. Vektö paalel kena ilkesi kullanılaak; şeklinde toplanı. Üçgen kualı ile vektölein toplamı Vektölein doğultulaının anı olması duumunda vektöle uç uca ekleneek toplamı (bileşkesi) aşağıdaki şekilde bulunu. + + Vektölede toplama Vektölede çıkama Vektölede toplama + Vektölede çıkama ĐN KI (ÇIKILM) [-] Vektölein toplanmasındaki anı ilkele geçeli olup bibiinden çıkaılacak vektölein çıkama işlemi apılı vea çıkaılacak olan vektöün önü ıt olaak alınıp toplama işlemi apılı. Yani iki vetöün çıkaılması tablodaki gibi bi vektöün ile diğe vektöün ıt işaetlisinin toplamıdı. 11

12 ÖLÜM I Veilen vektölein fakının bulunması + [ ] + [ ] + [ ] [ ] Önek: şekilde veilen üçgeni oluştuan vektölei toplaını Çöüm toplamanın bileşme öelliğini kullanaak önce vektöün toplamı sona 3. vektö toplanı. Yapılan işlemleden sona bi kapalı şekil teşkil eden vektölein toplamı SII vektö öelliğinden dolaı sıfı olmaktadı. Veilen bi vektöün bileşenleine aılması aşağıdaki şekilde olu. b b ıı b a Kuvvetlein Vektöel olaak toplanması ıı a a Veilen üçgen üeinde sinüs ve kosinüs teoemleinin aılması Sinüs teoemi sinα sinβ sinγ Kosinüs teoemi cos α cos γ + 1 β γ + 1 α

13 o 4 N ÖLÜM I Şekilde veilen 4 kuvvetin bileşkesi aşağıdaki şekil üeinde adım adım gösteilmişti. Şekilde veilen paalel kuvvetin bileşkesi aşağıdaki şekil üeinde adım adım gösteilmişti. 1 1 K 1 L 6 m c c c c c c K L ÖNEK 1.1. Şekilde vidaa ugulanan 1, ve 3 kuvvetleinin bileşke ve doğultusunun bulunması. 1 N 3 o o 318 N 14 o α 1 N β 3 o Çöüm; osinüs teoemi 1 için cos N Sinüs teoemi 4 ( ) α 8 sinα sin14 o una göe bileşke kuvvetin [ 1 ve ] atala () apmış olduğu açı β3+858 o osinüs teoemi (58+78 o paalel kena iç açı toplamı (36 o -78)/1 o ) o 78 o cos N Sinüs teoemi 18 sinα (63.45) α sin1 16 o 58 o α β β β una göe bileşke kuvvetin atala () apmış olduğu açı β N 13

14 ÖLÜM I ÖNEK 1.. Şekildeki halkaa ugulanan 1 ve bulunmaktadı. una göe; a. ileşkenin 8 N ve tam düşe olması için 1?,? b. 1 ve i öle belileini ki minimum olsun. α9-36 o 4 o o 11 o 8 N 1 4 o 11 o 3 o 1 8 N 1 α 4 o 11 o 8 N 3 o Sinüs teoemi N 45.67N sin 4 sin11 sin3 sin11 nin minimum olması nin 1 in doğultusuna dik olmasıla olu N 4N sin6 sin9 1 1 sin3 sin9minapan 1.6. VEKTÖEL ÇPIM [SĐNÜS] vektöel çapımı vektölein büüklüklei çapımının aalaındaki açının sinüsü ile çapımına [ sinα ] eşitti. u çapımın işaeti sağ el kualına göe belileni. α VEKTÖEL ÇPIM ii sin jj kk j iisin j jisin9-k k ijsin9 k ji k jk i kj i k i i k 9 o i j - + i ki j ik j sinα i+ j+ k i+ j+ k [ ] i+ [ ] j+ [ ] i k j k 14

15 ÖLÜM I i j k i [ jk i]i j k i [ik j] j j k i + [i j k]k j k i j + k ÖNEK i+ 3j 4k 4i+ k veilen vektölein değeinin bulunması. i j k 3 4 jk[3 ] + kj[4] + ik[] + ki[44] + ij[ ] + ji[34] 4 6i i (4j+ 16j) + k 1k 6i j 1k EĞE,.[ ] gibi bi skale çapımın vektöel çapım ile çapımı sö konusu ise; i j k i j k i j k i j k [ ]i+ [ ] j+ [ ]k.[ ].[ [ i + j + k ] [ i + j + k ].[ ]i + [ ] j + [ ]k ÖZELLĐK:.[.[ ] mevcuttu. ÖNEK i+ 3j 4k 4i+ k 4i+ j+ 3k veilen vektölein.[] -.[] olduğunun gösteilmesi. 4 3.[ ] k [ 6].[ ] + 3.[ 1] [ ] [17].[ 8] 5.[.]-.[.]sağladığı göülü

16 ÖLÜM I 1.7. SKLE ÇPIM [OSĐNÜS]. skale çapımı vektölein büüklüklei çapımının aalaındaki açının cosinüsü ile çapımına [.cosα ] eşitti. u çapımın işaeti sağ el kualına göe belileni. i.icos j. jcos k.kcos 1 i. jcos9 j.icos9 j.k k. j k.i i.k k j i i i.icos1 k j 9 o j.icos9 i j - k + i Skale çapımın baı öelliklei: eğişme öelliği.. i skale ile çapım α [.] [ α]..[ α] [.] α ağılma öelliği.[.] [.] + [.] ÖNEK i+ 3j 4k 4i+ k. i.i[4] + j.j[3] + k.k[ 4] 8+ 8 vektölein. değeinin bulunması ÜZLEM KUVVET ve KTEZYEN VEKTÖ SĐSTEMĐ + + j j i+ j j j ' ' i+ ' [ j] ' i [ j] ' ' i i i i 1.8. VEĐLEN KUVVETLEĐN ĐLEŞKE VE OĞULTULININ ULUNMSI cosα cosβ+ cosγ X 1 3 : SKLE sinα+ sinβ sinγ Y θ tan X Y Y X β α γ Y θ X : VEKTÖEL :: :: :: 1 n 1 n i+ 1 i+ n j j i+ j 3 3 i+ 3 j Y 1Y 1 X 1X 3X 16 3Y 3

17 ÖLÜM I [ 1 i+ 1 j] + [ i+ j] + [ 3 i+ 3 j] + ::: [ n i+ n j] [ :: n ]i[ :: n ] j Y :: i+ :: :: j θ X + θ tan ÜZLEM KUVVET SĐSTEMĐ ülem kuvvet sistemi, anı dülemde olan kuvvetlein oluştuduğu kuvvet sistemidi. Veilen kuvvetlein dengede olması için; + enge için ve i+ j enge için i ve j şatlaı sağlanmalıdı. ÖNEK 1.1. Şekilde veilen kuvvet sisteminin dengede olması için? Sebest cisim diagamı 18 N 5 o sin N 3 o 18cos N cos3 + olması için ve olmalı, sin N N cos N 17

18 ÖLÜM I ÖNEK 1.1. kg lık bi bilgisaa şekildeki gibi asılabilmesi için kablo bounun bulunması. Yaın uamamış bou L".6m di. 3 m T Sebest cisim diagamı 3 o T 3 o K5 N/m kg N enge denklemlei T T cos3 T sin ise T 39.4 N T N Yadaki uama T K.S S S.68m Yaın uamış bou -3 m olduğuna göe L L" + s m m L cos ise L 1.99m bulunu YE VEKTÖÜ [] Uada bi noktanın eini diğe noktaa göe belileen sabit bi vektödü. Öneğin uadaki bi P noktasının koodinat eksen takımına göe e vektöü aşağıdaki şekilde gösteilmektedi. k j 9 o i k O j P(,,) i j P(,,) i k Genel duum olaak uada bi e vektöü iki nokta aasındaki e vektöleinin uç noktalaının bileştiilmesi sonucu aşağıdaki şekilde elde edili. P(,,) P Q(,,) P(,,) Q(,,) Q [ P- Q]j O [ P- Q]k [ P- Q]i O [ i + j + k] [ i + j + k] [ ]i + [ ] j + [ ]k P Q P P P Q Q Q P Q P Q P Q 18

19 ÖLÜM I Đ OĞU OYUN UZNN KUVVET VEKTÖÜ Üç boutlu sistemlede bi kuvvetin doğultusu genellikle kuvvetin doğultusunun geçtiği iki nokta taafından belileni. Yani bi doğu için nokta geektiğinden. [ i + j + k] [ i + j + k] [ ] i + [ ]j + [ P Q P P P Q Q Q P Q ]k P Q P Q [[ ]i [ ]j [ ]k ] P Q + P Q + P Q [i+ j+ k] [i+ j+ k] u [] [P Q]i + [P Q]j + [P Q]k i j k u [] + + ([[ 1/ P Q]i + [P Q]j + [P Q]k ] ) Q(,,) Q O P P(,,) i [ ]i i u [] cosα [ ekseni] [[ ]i + [ ]j + [ ]k ] P Q 1/ P Q P Q P Q j u [] cosβ [ ekseni] + + j [P Q]j [[ 1/ P Q]i [P Q]j [P Q]k ] u u [P Q]k [] cosγ [[ ]i + [ ]j + [ ]k ] 1/ k k u P Q P Q P Q [ ekseni] 19

20 ÖLÜM I j (,,) j j k j β α k γ 1 i i j γ k k k k β i j α i (,,) i i - [6,3,-7] 5-1 q[6,3,-7] - -1 Ojin O[,,] q 1 - dülemi [] - dülemi [] Ojin 5 [6,-4,] -5 - dülemi [] ÖNEK 1.3. kiişinin bounu ve doğultusunu dan e doğu bulunması. 4 5j 5 β58.7 o O O 3 3 i O γ146.1 o 3-8k [ ]i + [ ]j + [ ] k [4 ] i + [ ( 3) ]j+ [ 5 3] k 5 8 (i+ 5j 8k) m m u i+ j k.1i +.5j.83k o 1 o 1 o α cos [.1] 77.9 β cos [.5] 58.7 γ cos [.83] α77.9 o

21 ÖLÜM I ÖNEK 1.4. Kuvvetlein dengede olması için kuvvetinin şiddeti ve doğultusu nedi? [(-,-3,6)]. (-,-3,6) 37 N?? 37 N?? 14 N 8 N 14 N 8 N 1 4j N 8k N 3 i 3j + 6k { } { } { } 3 i 3j+ 6k N i + j + k N 4j 8k i 3j + 6k + i + j + k 4j 8k i 3j+ 6k i j k ileşke kuvvetin değelei N N { i 1j+ k} N 1 + 3N 1 u i j+ 3 3 k 3 ekseni ile apılan açı α cos o 1 ekseni ile apılan açı β cos o γ48. o α48. o β19 o ekseni ile apılan açı γ cos o 1

22 ÖLÜM I ÖNEK 1.5. Şekilde gösteilen kablou bi adam 7 kn luk bi kuvvetle çekmektedi. u kuvveti KTEZYEN vektö olaak taif edeek doğultusunun bulunu. ve noktalaının koodinatlaı(,,) (,,3) (1,-8,6) 7 kn (1 )i+ ( 8 )j+ (6 3)k (1i 8j 4k)m m ve vektöleinin doğultusunu belileen u biim vektöü aşağıda aılmaktadı. i + j + k [ αi+ cosβj+ cosγk] cos u i j k u 7 i j 4 k 3 i j 6k kn Kontol 3 6 7kN α cos 64.6 β cos 17 γ cos o 1 o 1 o 8 m 6 m 1 m γ149 β17 o α m ÖNEK 1.6. aiesel plak kablosu ile taşınmaktadı. Eğe kablosunda oluşan kuvvet 5 N ise kuvvetinin kateen vektö olaak ifade edilmesi. (,,) 5N m m 1 m 45 o 1 m 45 o 1 m 1cos45 o 1sin45 o (1.77,.77, ) Şekilde göüleceği üee kuvvetinin doğultusu e vektöüle anıdı. una göe ve nin koodinatlaı şekil üeinde bulunmuştu (1.77 )i (.77 ) j ( )k (1.77 i.77 j k )m m u i+ i k u 5 i+ i k 314i+ 13 j 368k N KONTOL ( 368 ) 5N

23 ÖLÜM I ÖNEK 1.7. Şekilde gösteilen kuvvetlein bileşkesinin şiddetini ve konumunu bulunu. 1 N 4 m 5 m 8 m 31 N N γ16.4 o β73.76 o 1 m E α89.96 o 8 m 4 m [4,8,-1] ( 5 4 ) ( 8 8 ) ( 4 ( 1 )) 9 i 16 j + 16k i j k ( 4 )( 8 8 ) ( ( 1 )) 4 i+ j + 1k i k ( 4 ( 5 ))( 8 ) ( 4 ) 9 i + 8 j 4k i j 31.5k [ 7.39 i j k] + [ i k] + [7.93 i j 31.5k] i, j ve k değelei kendiiçinde toplanı i j k ( ) + ( ) + ( ) j k i N cos ekseni ekseni ekseni j.9 i 49.91j k u + +.u cos k o o o cosα cosβ cos γ 16.4 cos i 3

24 ÖLÜM I ÖNEK 1.8. Şekildeki kapak 1 kn ve c 1 kn luk kuvvetle noktasına bağlanmıştı. u kuvvetleden oluşan bileşke kuvvetin noktasındaki şiddetinin bulunması. (,,4) 1 kn m 1 kn 4 m 4 m (4 )i+ ( )j+ ( 4)k (4i 4k)m m 1 kn (4,,) m 1 kn (4,,) 4 m 4 m u i k u 1 i k [ 7.7i 7.7k]N (4 )i+ ( )j+ ( 4)k (4i+ j 4k)m ( 4 ) 6m u i+ j k u 1 i+ j k [ 8i+ 4j 8k]N i+ 4j 8k + 7.7i 7.7k 15.7i+ 4j 15.7k ( 15.7 ) 17 kn ÖNEK 1.9. Şekildeki çeçevee önünde 5 N luk bi kuvvet etkimektedi. u kuvvetin doğultusuna dik ve paalel bileşenleinin belilenmesi. 5i N 5i N m 4 m u dik m 4 m 6 m 6 m 6i+ 4j+ k [,,] [6, 4, ] u.8i+.535j+.67k Skale çapım [i.i cos1] u 5i[.8i+.535j+.67k] 41ii+ + 41N u 41[.8i+.535j+.67k] [31.6i j+ 17.7k]N 4

25 ÖLÜM I dik 5i [31.6i j+ 17.7k] [178.4i 14.54j 17.7k]]N dik N vea dik N ÖNEK Şekilde veilen sistemde a. Kablo kuvvetleinin b. Yadaki uamanın hesabı [a katsaısı k5 N/m]. 4 m m 5 m 3 m m 4 m Sistemin sebest cisim diagamı W N W N [,,] [, 4,5] [,4,3] i i 4j 5k u + [.7i.55j+.67k] i+ 4j+ 3k u [.3i+.74j+.56k] [+.7.3 ]i N [ ] j 81.3N [ ]k N nin eksi [-] çıkması kuvvetin tes önde olduğunu göstei. Yadaki uama k asabiti. uama uama uama.83m 5

26 ÖLÜM I SOU : 1 kn kuvvetinin s doğultusundaki s bileşeninin bulunması 5 m 6 m 4 m ( 5j+ 6k) m m 1 N 8 m s O 5 6 u 1 i+ k 64.j+ 76.8k N O(,,) (,5,) Ye vektöü O s önündeki s bileşenlei (5j)m i j k u O i O (8i+ 1j)m m s [u O]u Os [384.1i] i+ j 39.88i N m ekseni açısıα 1 cos α ÖNEK N başlangıç noktasına ugulanmaktadı. a. ve bileşenlei b. kuvvetinin - ve - dülemleindeki i düşümleini c. kuvvetinin s doğultusundaki s bileşeninin bulunması 5 m 6 m 4 N 4 m s 8 m 3m O 1 m a. ve O noktalaının koodinatlaı(,,) O(,,) (4,5,6) Ye vektöü O (4i+ 5j+ 6k)m m ve vektöleinin doğultusunu belileen u biim vektöü aşağıda aılmaktadı. O i+ j+ k cosαi cosβj cosγk + + uo i+ j+ k O uo 4 i+ j+ k 18.44i+ 8.5j k N

27 ÖLÜM I b. kuvvetinin - ve - dülemleindeki i düşümleini 1 cos β / N vea N N α cos 7 4 cosα cosα d. s önündeki s bileşenlei O (8i+ 1j+ 3k)m m Os uos i+ j+ k Os 1 o O 5 m α β 6 m 4 N 4 m s 8 m 3m 1 m s [u O ]uos 4 i+ j+ k. i+ j+ k s 11.99i j+ 6.43k N VEY 18.44i+ 8.5j k N [ukaıda bulunmuştu] u OS i+ j k [doğultu] Os + Os s uos 18.44i 8.5j 73.66k + +. i+ j+ k s OS + + u 11.99i 173.4j 6.43k N 5 m 6 m 4 N 6.43k 4 m s 173.4j 8 m 3 m 11.99i O 1 m açısı α / s N + + açısı β o cos α cos β 36.9 o açısı γ.9 cos γ o 7

28 ÖLÜM I ÖNEK Şekildeki -8i-1j+k vektöünün doğultusundaki [hehangi bi vektö üeindeki] idüşümünün bulunması. -8i-1j+k 8 m -8i-1j+k 8 m 3 m 4 m 4 m 7 m 8 m a. ve noktalaı(,,) (4,-8,4) (-16,8,8) 8 m 16 m 3 m 4 m 4 m 7 m 8 m 8 m 16 m Ye vektöü ( i+ 16j+ 4k)m m i+ j+ k cosαi+ cosβj+ cos γk 16 4 u i+ j+ k.77i+.617j+.154k u. [ ].77i+.617j+.154k]. [ 8i 1j+ k (çapma işlemi skale olaak apılmıştı.) [(.77).( 8) + (.617).( 1) + (.154).( ) ] 3.86 Vektöel olaak aşağıdaki şekilde ifade edilebili u [.77i.617j.154k] [.1i.8j. k] ÖNEK Şekildeki çatı giiş kapağı kablosu ile 3 o lik açık bulunmaktadı. Kablodaki çekme kuvveti 1 N olduğuna göe, bu kuvvetin kapağın diagonal ekseni doğultusundaki bileşeninin şiddetinin bulunması. 1 N 9 mm η 3 o 1 3 o Sin 3 45 mm 9 8

29 ÖLÜM I os mm mm 9, ve koodinatlaı ( noktasına göe) ( 779.4,, 45) (,1,9) (779.4, 1, 45) ( 779.4)i+ (1 )j+ (9 45)k ( 779.4i+ 1 j+ 45k) mm mm u 1 i j k 51.96i 8j 3k + + N u i+ j+ k Kontol N kablosundaki çekme kuvveti 779.4i+ 1j+ 45k 779.4i+ 1j+ 45k i+ 1j+ 45k 779.4i+ 1j+ 45k 779.4i+ 1j+ 45k η. η. 46N { skale çapım ÖNEK Şekildeki üç küesel mafsallı (,,) aağa etkien kuvvetlein bulunması (he bi kae 11 m ve elemanla basınç ve çekme kuvveti taşımaa elveişlidi). 1 kn 5 m kuvvetinin ii 1 E, ve koodinatlaı (-1,-1, ) (,-1,) (,,) (,,5) ( 1 )i+ ( 1 )j+ ( 5)k ( 1i 1j 5k)m m u i j k u i j k ( )i+ ( ( 1))j+ (5 )k ( i+ 1j+ 5k)m m u i+ j+ k u i+ j+ k

30 ÖLÜM I ( )i+ ( )j+ (5 )k ( j+ 5k)m m u 5 5 j+ k u j+ k ( )i + ( )j (i+ j)m +.83m E E u i+ j i+ j 1.77i [.77j] E E ue + E enge şatından [.77i+.77j] + i j k + i+ j+ k + j+ k EKSENĐ i i i i j EKSENĐ j + j + j + j EKSENĐ j + j + j k eteminant kullanılaak, ve değelei hesaplanı. SĐT det kn det ene şekilde.861kn 1.73kN 1 Tes matis işlemi kullanılaak da, ve değelei hesaplanabili. X b ise X b kn Tesi sabitle 3

31 ÖLÜM I.1. MOMENT [Đ KUVVETĐN ĐK Đ EKSENE GÖE] ÖLÜM : MOMENT Moment; bi kuvvetin bi noktaa dik mesafesi ile çapımından oluşan kuvvet çiftine deni. ülem kuvvetlein momenti aşağıda kısaca önek üeinde açıklanmıştı. L 1 3 m P4 kn L 5 m P1N 6 o L 6 m M M PL 4 5 knm 4 3 1kNm P1N 6 o P 1cos65 N P 1sin686.6 N L 6 m M P L Nm Üç boutlu sistemlede moment şekil üeinde açıklanmaktadı. j M i M o j k M - M j M i i k e paalel e dik olanla M oluştuu M k i+ j+ k + + o i j k M ĐK KUVVETKOLU M M + M + M o i j k KUVVET e paalel e dik olanla M oluştuu Momentin Đşaet: Vektöel çapım işaet kualından çıka. Vea M olmasından dolaı kuvveti indis (,,) eksenine bitiştiili ve saat dönüşü + tesi alınaak vektöel çapım işaet kualı ile anı olduğu göülü. MOMENT, 1. Veilen kuvvet-kuvvetlein eksenleindeki bileşenlei. Kuvvet-kuvvetlein ugulandığı nokta ile moment alınacak nokta aasındaki noktalaın e vektölei 31

32 ÖLÜM I i j k ve. deki değele kullanılaak M ile MOMENT-MOMENTLE hesaplanı. 4. Moment hesabı için geekli olan matis tablodaki gibi oluştuulu.. M i j k Eksenlein doğultman kosinüslei kuvvetinin ugulama noktası koodinatlaı kuvvetinin bileşenlei i j k M i [ ] j + k [ ] M M M M j M [ ] M i M [ ] M, M ve M değelei skale olup kuvvetinin O mekeinden geçen eksenlee göe momentleidi. u momentle; kuvvetinin ijit cisme eksenlei etafında uguladığı döndüme ugulamalaıdı. i j k Moment hesabı için M matisi incelendiğinde; M k M [ ] - 5 m 3 m 4 N - i j k i j k i j k Mo 3 M Nm M Nm M [5 3]i i j k 4i Mo 3 Nm M [35 4] j 7j M [33 4]k 1k 8 m 8 m - 3 N m 3 m m 4 N 5 N eksenindeki4kndanoluşanm noktasında oluşan momentlei hebi kuvvet için aı aı hesaplanmıştı. M i j k i j k 4i i j k M 3 8 M [ 84]j 3j+ 8 M [83]i 4i+ 6 8 M 3j M eksenindeki3kndanm eksenindeki5kndenm Öellik 1: M momentinin M skale bileşeni M ile ekseni üeindeki biim vektö i nin skale (cos) çapımından; M.i [M i+ M j+ M k].i [M i.i + M j.i+ M k.i] M [1] + + M 3

33 ÖLÜM I olaak elde edili. una göe M momentinin hehangi bi n eksenine göe M n momenti n ekseni üeindeki u n biim vektöü ile [M n M u n ] çapımıdı. Yukaıda klasik olaak momentle vektöel olaak aşağıdaki şekilde anısının bulunduğu göülü. L 1 3 m P4 kn L 5 m P1N 6 o L 6 m M P L 4 5 knm M 4 3 1kNm P1N 6 o P 1cos65 N P 1sin686.6 N L 6 m M P L Nm M i+ j+ k i + j + k M Mi + Mj + Mk i j k i j k M 5 4 i M j k i j 3 4 k [ ] i+ [ ] j+ [ 4][ 5] ] k knm [ ] i+ [ ] j+ [ 43 ] k 1 knm i j k i j k M [ ] i+ [ ] j+ [ 86.6][ 6] ] k 519.6Nm ÖNEK.1. Şekilde veilen sistemde, P a. M o? b. M? c. M o? momentleinin hesaplanması. a. M o : momentinin hesabı [ 1 i 8 j + 6 k 1 N ] [ 7.7 i 1 m 6 m 8 m j j k i 1 N 6 m 1 m k ] 8 m 8 m j k i 1 N 6 m 1 m Ye vektöü 1i+ 8 j O i j k i j k M i 44.3 j.4k Nm b. M : eksenine paalel M momentinin şiddeti, M o ın doğultusundaki bileşenidi. M Mo i [339.44i 44.3j.4k] i Nm 33

34 ÖLÜM I c. M O nın hesaplanması: M o M o M 1i+ 8j+ 6k [ i 44.3j.4k] o η o [ i 44.3j.4 k] M 1i+ 8j+ 6k 1 o Nm VEY M O ı noktasından O noktasına gideek hesaplamak için, 1. Yukaıda apıldığı gibi önce kuvveti anali edili. [ ] i j k. P noktasından noktasına olan e vektöü aılaak moment değei bulunu. i j k MP i 44.3 j k Nm P 8 m j k i 1 N 6 m 1 m 3. M O momentinin O doğultusundaki değei O e vektöü ile çapılaak bulunu. 1i+ 8j+ 6k Mo Mo ηo [ i 44.3j k] Ugulama: T kn ve T 5 kn ise M O? 9. m 3.6 m 6 m 9 m Çöüm: Kablo kuvvetleinin eksen bileşenlei bulunu. 9 i+ 6j 9.k 9 i+ 6j 9.k i j 33.94k i+ 6j+ 3.6k 9 i+ 6j+ 3.6k i j k i j k i j k M i j k [ ( )]i 74.6i [9 ( 33.94) ]k j [9 11.7) ]k k i [ ]j j [9 15.6]k k 34

35 ÖLÜM I Önek.. kuvvetinin doğultusunda oluştuduğu momenti M 1 Nm ise? a. önünde gideek b. önünde gideek Temel şekil.4 m.4 m.4 m. m. m. m. m. m. m. m. m Önce e sona e Önce e sona e Çöüm: Noktalaın koodinatlaı [.,,.] [.4,.4,] [,,] [,.4,.]. i+.4 j.k M. i+.k..i +.4 j.k i j k M.. (.)(.4)k (.)(.4) i (.)(.) j (.)(.) j M (.8) i + (.8) j + (.8)k.49.4 j.k 1 u [.4 j.k] M M.u (.8 ) i (.8 ) j (.8 )k [.4 j.k ] [(.8 )(.4 ) + (.8 )(.)] 456N VEY noktasına göe moment alınaak. i+.4 j.k M.4 i.k. [. i+.4 j.k ] i j k M.4. (.)(.) j (.4 )(.4 )k (.4 )(.) j (.4 )(.) i M (.8 ) i + (.4 ) j + (.16 )k.49.4 j.k 1 u [.4 j.k ] M 1 M.u 1 (.8) i (.4) j (.16 )k [.4 j.k ] 456N noktasına alınan momentle anı olduğu göülmektedi. 35

36 ÖLÜM I ÖNEK.3. Şekilde veilen iki kuvvetin Oa eksenine göe bileşke momentini [M Oa?] bulunu. Sonucu kateen vektö olaak aını.[6 1.aa] u a cos3i cos6 j.866 i.5 j 45 o 18 N O 5 cos 6.5 O 4 cos OE 4 cos 6 m m m [,3.464,6] [,.5,].5 j i j+ 6k O O 5 N 6 m 6 o 1 o 8[cos1 i+ cos6 j+ cos45k ] [ 4 i+ 4 j k ] 5k 1 a 5 m 3 o E H 4 m 3 o G i j k i j k M O [O 1] + [O ] M (3.464)(56.56) i + ( 4)(6) j + ()(4)k ( 4)(3.464)k ()(56.56) j (6)(4) i + (.5)(5) i O M O 169 i 353 j k MOa M O.u oa [ 169 i 353 j k].[.866 i.5 j] 3.15Nm M Oa M Oa.uoa 3.15[.866 i.5 j] 6.1 i 15.1 j MOa Nm ÖNEK.4. Veilen kuvvetin O noktasındaki momentinin hesabı [6 1.aa] [ 3i+ 6 j+ 8k] [ 3i+ 6 j+ 8k] 1 m 3 m 3 m 4 m 4 m O 3i 4 j+ 1k i j k MO O [ 48 16] i+ [38+ 13] j+ [ ]k 14i 6 j+ 6k Nm m O 1/ M [ ] 1. Nm 14 1 ekseni açısı α.865 cos α 3 M O Nm ekseni açısı β.499 cos β 6 1. MO 1.16[.865 i.499 j+.5k] 6 1 ekseni açısı γ.5 cos γ

37 ÖLÜM I.. VĐGNON TEOEMĐ [Vaignon, ] ülem çokgenin kenalaının otası bileştiildiğinde bi paalelkena oluşu ve: lan(egh)lan()/ lan(egh): Paalelkena Piee Vaignon, , ansı Matematik, Mekanik Vaignon paalelkenaı, Vaignon teoemi: Kuvvetlein bi noktaa göe momentleinin toplamı bileşke kuvvetin momentine eşitti. (Not: Simon Stevin Vaignon dan 1 ıl önce anı teoemi sunmuş, Vaignon fakına vamamıştı). ileşke bi kuvvetin [] bi noktaa [a] göe momenti, anı bileşke kuvvetin he üç eksendeki [,, ] idüşümleinin anı noktaa [a] göe momentleinin toplamına eşit olmasına vaignon teoemi deni. Yani bi noktada biden çok kuvvetin kesişmesi duumunda bu kuvvetlein he biinin bi başka noktada oluştuduğu moment, bu kuvvetlein bileşkesinin anı noktada oluştuduğu momente eşitti. a β ıı ıı α γ b ıı ıı M a. a a a M a. a +. b sinα sinβ + sinγ M a.. a +. b M o n M o α 37

38 ÖLÜM I i kuvveti ve bu kuvvetin doğultusunda olmaan bi O noktası bulunmaktadı. O noktasından geçen ve kuvvet doğultusuna dik olan eksendeki momenti M.d di. M nin doğultu ve büüklüğünü bulmak için kuvvet doğultusundaki hehangi bi noktanın o noktasına göe e vektöü olan ve nin vektöel çapımı apılı. Momentin önü ise sağ el kualı ile bulunu. M M.d [ sinα]. d Moment için vektöel çapım deteminant şeklinde aşağıdaki şekilde aılı. i M j k kuvvetinin O mekeinden geçen hehangi bi n eksenine göe momenti M aılabili. Eğe n, doğultusunun biim vektöü ise bu doğultudaki moment bileşeni M.n di ve M nin skale büüklüğünü vei. una göe; M [.n ]n olu. M M 1 1 M 1 1 O O M 1 + M 1 + M [ 1 + ] M [ ] u bağıntı üç boutlu bi sistemde Vaignon teoeminin aılışıdı. Yani bi noktada kesişen kuvvetlein O noktasına göe momentlei bu kuvvetlein toplamının O noktasına göe momentine eşitti. 38

39 ÖLÜM I ÖNEK 1.7. Şekilde gösteilen kuvvetlein bileşkesinin şiddetini () ve konumunu (,,) bulunu. 1 N 1 N 4 m 5 m 8 m 31 N N m m 4 m 5 m 8 m 31 N N 1 m 8 m E 4 m [4,8,-1] m γ16.4 o β73.76 o 1 m 8 m E 4 m [4,8,-1] α89.96 o ( 5 4 ) ( 8 8 ) ( 4 ( 1 )) 9 i 16 j + 16k i j k ( 4 )( 8 8 ) ( ( 1 )) 4 i+ j + 1k i k ( 4 ( 5 ))( 8 ) ( 4 ) E 9 i + 8 j 4k i j 31.5k E [ 7.39 i j k] + [ i k] + [7.93 i j 31.5k] i, j ve k değelei kendiiçinde toplanı i ( ) + ( ) + ( ) j i 49.91j k. + k N 39

40 ÖLÜM I cos ekseni ekseni ekseni j.9 i 49.91j k u + +.u cos k o o o cosα cosβ cos γ 16.4 cos O 4i 8j 1k + O 5i+ j+ 4k [ ]kn i i j k i j k i j k M kn [( )]i i [4 ( 63.5)]i 16.8i [(813.14) ( 1( 13.14)]i 5.56i [( )] j j [ 5 ( 31.5) ]j 16.1j [413.14) ( 1 ( 7.39))]j 36. 1j [ ]k 55.97k [ ]k 315.5k [4 ( 13.14) (8 ( 7. 39))] k 6. 56k M i j k ileşke vektöün ugulama noktasının bulunması için bileşke kuvvetin oijine göe momenti diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması şatından aşağıdaki şekilde bulunu. bileşke kuvvetin "O" momenti i j k M i j k M i i Üç denklemin çöümünden M 16.4 j j [ ] M k k ulunan bileşen kuvvetin oijine göe momenti alınaak diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması duumu kontol edilmişti. i j k O i j k M i j k ileşen kuvvetin konumu doğu bulunduğu ukaıdaki çöümden göülmektedi. 4

41 ÖLÜM I.3. KUVVET ÇĐTĐ Kuvvet çifti, c. Şiddetlei eşit d. Yönlei ıt e. ibiine paalel f. i doğultudaki bileşenlei sıfı - g. i noktaa göe momentlei sıfı olmaan ve he noktaa göe momentlei dikmesafe olan h. Etkidiklei cismi sadece dönmee olaan öelliklei bulunan kuvvet sistemine deni. ibiine paalel ve ıt önlü ani kuvvet çiftinin bi noktaa göe momenti aşağıdaki şeklin incelenmesinden de göülebileceği gibi; 1 - M O θ d O. 3 üde O. d O. M. d eşit + ( ) [ ] M o sinθ d Mo 1 1 olaak hesaplanı. una göe bi kuvvet çiftinin he noktaa göe momenti anı ve kuvvetle aası dik mesafe [d] ile kuvvetin şiddetinin çapımına eşitti. Kuvvet çiftini temsil eden ve önü değişmediği müddetçe kuvvet çifti değişme. u kuvvet çiftleini başlangıçtaki dülemleine paalel hehangi bi düleme taşımak kuvvet çiftini değiştime. i otomobil lastiğinin bulonlaını açmakapama, dişli olan bi kapağı açma-kapama gibi. ÖNEK.5. Şekilde veilen kuvvet çiftinin momentini ve P noktalaında bulunması. 4 i +8 j -4 i-9 j [N] 4 i +8 j -4 i-9 j [N] 4 i +8 j -4 i-9 j [N] 9 i +6 j O6 i +4 j 6 i +4 j O O O O noktasına göe MO [ ] [[4i 6 i ] + [8j 4 j]][ 4 i+ 9j] 18k+ 16k.[ N] 1 6 i +4 j 1 P1 i 41

42 ÖLÜM I i j i j noktasına göe M 1 [] + [ ] [N] i j i j P noktasına göe MP 1 [] + [ ] [N] Göüldüğü gibi bi kuvvet çiftinin momenti he noktada anı olmaktadı..4. Đ KUVVETĐN ŞK Đ NOKTY TŞINMSI aşlangıç noktası ile veilen bi kuvvetin [Şekil 4.a] başka bi noktaa taşınması, a. Veilen kuvvet paalel olaak istenen noktaa taşını [Şekil 4.b]. b. Taşınan kuvvetin şiddetinde ve tes önde bi kuvvet ilave edileek cismin dengesi boulmadan kounu [Şekil 4.b]. c. ölece noktasında bi kuvvet çifti [, -] ve bi [] kuvveti elde edilmiş olu [Şekil 4.b]. [a] d. ilindiği üee bi kuvvet çitinin momenti M o olduğu için ilk başta veilen [Şekil 4.a] sistem bi kuvvet ve kuvvet dülemine dik momentten oluşan bi sistem olaak alınması ugundu [Şekil 4.a]. una göe ijit cisme etkien hehangi bi kuvvet taşınmak istenen noktaa moment [ M o ] eklenmek suetile istenilen noktaa taşınabili. e. nı kuvveti noktasına taşınmak istenise moment Mo ' Mo + ' olu [Şekil 4.d]. uada bi momentin bi noktaa taşınması [momenti] kendisine eşit olduğu göülmektedi. - [b] Şekil 4. M o [c] M o [d] ÖNEK : Şekilde veilen N luk kuvvetin noktasına taşınması. N 45 o 4 m Sinüs teoemi sinα sinβ sinγ 8 m 4

43 ÖLÜM I Çöüm: N noktasına aşağıdaki gibi dik mesafe ile çapımıla taşını [Vaignon, ]. N 45 o 4 m 4 m 4 m 45 o Sinüs teoeminden d4sin45.88 m o d( + ).5.88 m d N VEY N bileşenleine aılaak matis fomatıla moment ifadesi aılaak taşını. 45 o 4 m M knm N knm N N i j k M k o N N 4 m 8 m 45 o 4 m knm.5. KUVVETLE SĐSTEMĐNĐN KUVVET [] VE KUVVET ÇĐTĐNE [M] ĐNĐGENMESĐ iden çok kuvvetin bulunduğu bi sistemde, f. ijit cismin noktasına başlangıç noktalaının uaklıklaı 1,.. n olan 1,.. n kuvvetlei bulunsun [Şekil 5.a]. g. i kuvvetin bi noktaa [] taşınması için bu noktaa M i i i gibi bi kuvvet çifti ekleni öelliği kullanılaak tüm kuvvetle noktasına taşını [Şekil 5.b]. h. Taşınan kuvvet [ i ] ile bu kuvvete kaşı konan [M i ] momenti bi biine dik olu [Şekil 5.b]. i. noktasına taşınan kuvvetle ve kuvvet çifti momentle kesiştiklei için toplanaak bileşke kuvvet [Σ i ] ve bileşke moment M O [i i ] bulunu [Şekil 5.c]. 1 [a] [b] 1 M 1 1 n n [c] M o n M Mn j. ulunan bileşke kuvvet [Σ i ] Şekil ile bileşke 5. moment [ M O [i i ] ] bibiine dik değildi [Şekil 5.c]. k. ileşke kuvvet [] ve moment 1. Ye vektöü i+ j+ k. Kuvvetle i+ j+ k M O indigenmesi; 43

44 ÖLÜM I 3. ileşke kuvvet i+ j+ k ve şiddeti i + j k + 4. ileşke moment M i + M j M k ve şiddeti M + i + j + k M M M M bağıntılaıla hesaplanı. l. Şekil 5.a daki gibi bileşke kuvvet ile bileşke moment noktasına toplandıktan sona noktasına taşınması istenise; M o [a] [b] M o 1. bileşke kuvveti anı kalı [Şekil 6.a] O ' O +. M M ' 3. ve Şekil 6: M O' bibiine dik değildi. [Şekil 6.b] Veilen hangi kuvvetle bi kuvvet çiftine indigenebili? ulunan bileşke kuvvet [Σ i ] ile bileşke moment [ M O [i i ] ] bi biine dik olan kuvvetle bi kuvvet çiftine indigeni. u kuvvetle, 1. nı noktada kesişen kuvvetle. [u kuvvetle toplanaak bileşke bulunu.]. nı düleme etkien kuvvetle. a. Veilen kuvvetlein toplanması ile bileşkesi bulunu[şekil 7.b]. b. Kuvvetleden oluşan M O [i i ] bulunu [Şekil 7.b]. c. noktasından M O oluncaa kada [d] kadıılı [Şekil 7.b]. [a] [b] [c] 1 n M o d M o M o d 3. Paalel kuvvetle Şekil 7. a. Kuvvetle eksenine ve bibiine paalel [Şekil 8a]. b. Kuvvetlein bileşkesi [] eksenine paalel. c. ileşke olabili. öle ise bu kuvvetle tek kuvvet çiftine indigenmiş olu. d. ve M o ise ugulanan kuvvetle ijit cisme hiçbi etki apmala. u duuma cisim ENGEE deni. e. Kuvvetle hehangi bi eksene paalel ise diğe eksenlede moment oluştuu. f. noktasındaki kuvvet ve kuvvet çifti M o di [Şekil 8b]. 44

45 ÖLÜM I 3 4 Σ M i 1 [a] M k [b] o M [c] ise sistem tek bi kuvvet çiftine bi kuvvet çiftine indigemek için bileşke kuvvet anı taşını [Şekil 8c]. una göe moment değelei; o Şekil 8. M o indigeni. olması duumunda ise tek M o momentini sağlaacak şekilde bi notaa M [i+ k] j M i+ M k M M elde edili. uada eksenine paalel kuvvetinin diğe eksenlede oluştuduğu moment değeleini göstemektedi. Ugulama: Sistemde veilen kuvvet ve momenti noktasına taşıını ( noktasındaki kuvvet çiftini bulunu). k knm knm ( ) ( 14 ) ( 15 5 )) 18 i 14 j 1k Kuvvetin bileşenlei 3 3 [16.87 i j 1.48k ]kn ( 45 ) ( ) ( 5 )) 45 i j 5k Momentin bileşenlei M i 97.13k i j k M M i k M [ i j k ]knm Mo [ i j 1.48k ]kn 14 3 kn ( Kendisi) 14 3 kn ( mentten ve kuvvetten oluşan) noktası 45

46 ÖLÜM I Ugulama 1: Şekilde veilen kuvvet (315 N) ve momenti (7 Nm) noktasına taşıını. 4 mm 7 Nm 4 mm 1 mm 6 mm 1 mm 6 mm 18 mm 36 mm 18 mm 36 mm 18 mm 315 N ÇÖZÜM: Kuvvet ve momentin aı aı eksenledeki bileşenlei bulunu: 36i 1j+ 18k 315. ( 7i 9j+ 135k) N ( ) 4i 18k M 7 ( 56i 4k ) Nm i+ 1j+ 18k mm i j k M M + M M + ( 56i 4k ) (88.4i 97.j 4k) Nmm Ugulama: Şekilde veilen sistemde noktasındaki bileşke kuvveti ve momenti bulunu. Çöüm: Veilen kuvvetle işaet ve eksenleine göe toplanaak bileşke kuvvet bulunu. 46

47 ÖLÜM I ileşke Kuvvet [( 3 1) i + ( 5 ) j + ( 5)k ]N[( 4 ) i + ( 5 ) j + ( 5 )k ].5 ( ) N noktasındaki moment: ( 3 ) i + ( 5) j ) + ( 5)k ) + ( 1 ) i ) M. M ( ( E ( (( 3 ) i + ( 5 ) j ) (( 5 ) k ) (( 1 ) i ) E i j k i j k i j k ( 5 ) 1 k. ( 5 ) j 5 j.16 ( 1 ) j.1 1 k 19. j 1 k (3.8 ) j + ( )k ]Nm N luk kuvvet acaba neee etkio? M [ ] i j k [ ] [ ] [ ] ( 3.8 ) j ( )k ]Nm 5 5 i 4 5 j 4 5 k 5 5 i ( 3.8 ) j [ 4 5] j 3 denklem çöülecek ( )k ] [ 4 5] k ÖNEK 3: Şekilde veilen kuvvetlei ve momenti (5 Nm) noktasına taşıını. Đlk önce 3 N luk kuvvet bileşenleine aılı; 4i+ 3j+ 3k 3 5.8i j k N 3 m 3 m 4 m 6 m 1 N Kuvvetlein noktasına taşınması; N { N ileşke N N cos 1α 5.8 o o o 89 β 38 γ N Nm 6 m N 4 m N E 6j 6k M momentinin noktasına taşınması; M j k i kuvvetin başka bi noktaa taşınması, kuvvetin taşınmak istenen noktaa anı şiddet ve doğultuda etkimesi ve kuvvetin şiddeti ile taşıma mesafesinin dik bileşeni ile çapımından elde edilen momentin istenen noktaa etkimesile olu. Kuvvetin bu şekilde taşınmasına kaşın momentin taşınması momentin istenilen o noktaa anı şiddet ve önde etkimesile olu. una göe veilen kuvvetlein ve M momentinin noktasındaki momentlei aşağıdaki şekilde elde edili. 47

48 ÖLÜM I i j k i j k i j k M [ j k] M E [ ]i [353.55j k] M + [ 6+ 4] j 73.9i + [ ] j + [ ]k [ ]k M o o o Nm cos α β γ noktasında kuvvetlein kendilei ve kendilei ile mesafelein çapımı kada momentlei bulunu. Kuvvetlein ve momentlein noktasında bileşenlei ve eksenlele aptıklaı açıla ukaıda bulunmuştu. ÖNEK 1: Şekilde veilen sistemde; a:, ve eksenleindeki momentlei, b: doğultusundaki momenti hesaplaını. a: Veilen kuvvetin eksenledeki bileşenlei, E [ 1i 18 j+ 4k] [ 1i 18 j+ 4k] [ 5.77i j k] O [1i+ 8j+ k] 4.66 [1i+ 8 j+ k ] [194.65i j k] Ojindeki (O noktasındaki), ve eksenleine göe moment, O 1i+ 8j O 1i+ 8j+ k e vektölei bulunaak aşağıdaki şekilde hesaplanı. E kn 1 O kn i j k i j k [147..1] i [11.8.8] j+ [ ] k M [ 147.8i 11.7j 57.7k]kNm Eğe he eksenin momenti aı hesaplanısa matisteki aanan eksen numaasına 1 diğeleine aılaak aı aı aşağıdaki şekilde hesaplanabili. 1'momenti 1'momenti M [147..1] 147.8kNm 'momenti 1'momenti M [11.8.8] 11.7kNm 'momenti 1'momenti M [ ] 57.7kNm

49 ÖLÜM I b: doğultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetle noktasına taşını ve sona doğultman değelei ile çapılaak doğultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanı. (-1)i+(-8)j+(4-)k-1i-8j+4k i j k i j k M N 4N moment [ 1759.i+ j k] i 7786 j i 7586 j k 1i+ 8j 4k M Mi i 7586j k i 4.5 E kn 1 O 1 4 kn 8 VEY; doğultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetle noktasına taşını ve sona doğultman değelei ile çapılaak doğultusundaki moment aşağıdaki şekilde ukaıda hesaplanan doğultusula anı olaak hesaplanı. i j k i j k M N 4N moment [ i+ j+ k] 595.8i j.4k 595.8i j.4k 1i 8j+ 4k M Mi 595.8i 369.9j+.4k i 4.5 ÖNEK 4: Şekilde veilen kuvvet (1 N, N ve 4 N) ve momentin (6 Nm), a) doğultusunda oluştuacağı momenti (M ) b) Ojinden 14 m uaktati S-S doğultusundaki momenti (M ss ) hesaplaını. Çöüm a: Eksenle üeinde olmaan kuvvetlein ve momentlein bileşenlei bulunu. 6 Nm 6j+ 4k j k i+ j k MP i j 346.4k m 4 N 1N O 6 m N m 4 m m P m 14 m S noktasındaki momenti bulunaak doğutusundaki biim vektöle çapılaak M aşağıdaki şekilde bulunu. i j k i j k i j k M [ 346.4i j k] P N 4N N [ 346.4i j 346.4k] P+ 41 j+ 44i 64k j k i+ 8.78j k 49

50 ÖLÜM I noktasında bulunan M i j k momenti hangi doğultua taşınacak ise o öndeki biim vektöle (dogultman cosinüslei) çapılaak taşını. Önekte doğultusunda taşınması isteniğine göe bu öndeki biim vektö; 6i+ 6j 4k u.64i+.64 j.46k ise [ i.64 j.46k] M Mi u [ i j k ] iskale.64+ M (153.58(. 64))i. i+ ( ) j.j+ ( (.46))k.k Nm VEY noktasındaki moment bulunaak da M aşağıdaki gibi anısı bulunu. i j k i j k i j k M [ 346.4i 346.4j 346.4k] P N 4N N moment [ 346.4i j 346.4k] P 6k i j k M Miu 346.4i j 946.4ki[.64i +.64 j.46k] Nm Çöüm b: Kuvvetlein eksenlee göe analilei ukaıda apılmıştı. uada S noktasında tüm kuvvetleden oluşan moment hesaplanı ve S doğusu bounca hesaplanan doğultman değelei ile çapılaak S doğultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanı. i j k i j k i j k MS [ 346.4i 346.4j 346.4k] P N 4N N S moment [ i j 346.4k] P+ [i+ 4j+ 6k] 1+ [16i+ j+ 3k] 4 + [1331.8i j k] i j k M S Miuss i j ki[j] Nm ( ekseninde) Sou 3: Veilen sistemde - doğultusundaki momenti (M -?) bulunu. Çöüm: 8 N ve N luk kuvvetin eksenleindeki bileşenlei bulunu. 6 8 N i 8 j+ 8k i 36.6 j k M 8 8k i 8 j+ 8k.8165 ( (8 36.6)) i η.8165i.48j+.48k (8 653.) j 5

51 ÖLÜM I ÖNEK 1: Şekilde veilen sistemin noktasında tutulduğu aman dengede olması için noktasına ugulanması geeken kuvvet ve moment ne olmalıdı. Çöüm: Veilen kuvvetlein bileşenlei bulunu N ve N luk kuvvetin eksenleindeki bileşenlei bulunu. 1i 8j+ 8k i j 43.85k i j k j 59.81i j k 8j j 8 8 N. 6i 8k 6-1 Nm E N Nm N luk kuvveten da oluşan M 4 3 Nm 16 i j k M 6. 8 Nm [ ]i [ ]j + [ ]k [ 339.8i j 543.1k ]Nm N luk kuvveten da oluşan E 6i i j k M 6 1k M M+ M E [[ 339.8i j 543.1k] 1k] [ 339.8i j k]N m 5. noktasındaki momentten dolaı da oluşan moment; NOT: Đ MOMENTĐN Đ NOKTY GÖE MOMENTĐ KENĐSĐNE EŞĐTTĐ. una göe noktasındaki momentten dolaı noktasında oluşan moment; M [ i 1j+ 3k]Nm 6. una göe noktasındaki toplam moment; M M + M + M [[ 339.8i j k] ] + [ i 1j+ 3k] E moment Kuvvetleden [[ 139.8i j k]] Nm Kuvvetleden+ Momentten i 63.85j k Momentten E N 8 N 1 Nm Nm 3 Nm 743.1Nm Nm 59.8 E N Nm 8 N -1 Nm Nm 3 Nm

52 ÖLÜM I Ugulama: Veilen kuvvetleden dolaı noktasında oluşan momentin hesaplanması o kn 45 o 3 o 1 kn 6 o kn E(15,-5,1) Çöüm: Sistemde veilen kuvvetlein eksenledeki bileşenlei bulunu. 75i 15j+ 5k 858i 1714 j 578k Kuvvetlein analii (cos45i cos45 j) 1414i 1414 j { 87i 89 j+ 578k 1(cos6i+ cos3 j) 6i+ 139j noktasında oluşan moment he bi kuvvetin eksenledeki bileşenleinin başlangıç noktasının noktasına olan e vektöü ile çapımıla aşağıdaki şekilde bulunu. i j k i j k i j k 85.7i M j k i[ ] 85.7i i i j[ ].45j j[ ] j j k[ ] 18.55k k k[ ] 163.9k ileşke vektöün ugulama noktasının bulunması için bileşke kuvvetin oijine göe momenti diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması şatından aşağıdaki şekilde bulunu. bileşke kuvvetin "O" momenti i j k M 85.7 i 177. j 35.35k M 85.7 i Üç denklemin çöümünden i M 177. j [578 j 87] M k k

53 ÖLÜM I bileşke kuvvetin "O" momenti i j k M 85.7 i 177. j 35.35k M 85.7 i 177. j k i j k ulunan bileşen kuvvetin oijine göe momenti alınaak diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması duumu kontol edilmişti. ileşke kuvvet oijine akın bi nokta bulunmaktadı. ÖNEK 1.7. Şekilde gösteilen kuvvetlein bileşkesinin şiddetini () ve konumunu (,,) bulunu. 1 N 1 N 4 m 5 m 8 m 1 m E 31 N m 4 [4,8,-1] 8 m N m m γ16.4 o m 4 m 5 m 8 m m β73.76 o E 31 N m 4 [4,8,-1] 8 m N α89.96 o ( 5 4 ) ( 8 8 ) ( 4 ( 1 )) 9 i 16 j + 16k i j k ( 4 )( 8 8 ) ( ( 1 )) 4 i + j + 1k i k ( 4 ( 5 ))( 8 )( 4 ) 9 i + 8 j 4k i j 31.5k [ 7.39 i j k] + [ 63.46i k] + [7.93 i j 31.5 k] 53

54 ÖLÜM I i j k i, j ve k ( ) + ( ) + ( ) değelei kendi içinde toplanı.5.9i j k N i cos ekseni ekseni ekseni j.9 i 49.91j k u + +.u cos k o o o cosα cosβ cos γ 16.4 cos O 4 i+ 8j 1k O i+ 8j+ k O 8 i+ 4j+ k i j k i j k i j k M [(813.14) ( 1 ( 13.14)]i 5.56i [413.14) ( 1 ( 7.39))]j 36.1j [4 ( 13.14) (8 ( 7.39))]k 6.56k [( )]i i j [ ]k 55.97k [4 ( 31.5)]i 16.8i [8 ( 31.5)]j 5.16j [ ]k.68k M i j k ileşke vektöün ugulama noktasının bulunması için bileşke kuvvetin oijine göe momenti diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması şatından aşağıdaki şekilde bulunu. bileşke kuvvetin "O" momenti i j k M i 16.4 j 733.1k M i i Üç denkle min çöümünden M 16.4 j j [ ] M 733.1k k ulunan bileşen kuvvetin oijine göe momenti alınaak diğe üç kuvvetin oijine göe momentleine eşit olması duumu kontol edilmişti. i j k O i j k M i j k ileşen kuvvetin konumu doğu bulunduğu ukaıdaki çöümden göülmektedi. 54

55 ÖLÜM I ÖNEK 1.7. M OE? 1 N 4 m 5 m 8 m 5 m 4 m E 5 m 31 N 8 m N 1 N 4 m 5 m 8 m 5 m 4 m E 5 m 31 N 8 m N 1 m E 1 m E 8 m 4 m [4,8,-1] 8 m 4 m [4,8,-1] ( 5 4 ) ( 8 8 ) ( 4 ( 1 )) 9 i 16 j + 16k i j k ( 4 )( 8 8 ) ( ( 1 )) 4 i+ j + 1k i k ( 4 ( 5 ))( 8 ) ( 4 ) 9 i + 8 j 4k i j 31.5k i 8 j 4i 15i 8j 4i i 8 j 4i OE 15 i+ 8 j 4k M i 13.3 j k 15i 8j 4i 15i 8j 4i 15i j 4i EO 15 i 8 j+ 4k M i j k 55

56 ÖLÜM I Ugulama: Şekilde veilen sistemde E kablo kuvveti 5N ise O noktasında oluşan momenti O ve EO önleinde olmak üee bulunu. 9 cm 1 cm 9 cm 1 cm 16 cm 16 cm 1 cm 1 cm Çöüm: Önce kuvvetin eksenledeki bileşenlei bulunu ve sona O doğultusundaki moment aılı. ( 1 ( 9 ) ( 16 ) ( 1 )) E 1i 16 j+ 1k E i j+ 6.9k E i j k O 9 i 16 j Mo O E i j k EO doğultusundaki moment aşağıdaki şekilde aılı i j 6.9k E E i j k EO 1 i 1k Mo EO E i j k O ve EO önleinde oluşan moment mutlak değece anı sadece işaetlei tes olmaktadı. u duum momentlede dönüş önünün etkili olduğunu göstemektedi. 56

57 ÖLÜM I ÖNEK.6. Veilen sistemde 8 N luk kuvvetin O noktasına göe momentinin hesaplanması [kuvvetin baı öellikleini kullanaak 4 değişik oldan] Moment kolu olan O noktasına dik d mesafesinin hesaplanması aşağıdaki şekilde olu m vea tan4 6.71m ' m sin 4 sin m sin 4 ' sin9.71 sin d m M d d 8cos 4+ 4 sin 4 8.7m M Nm Vaignon teoemi M.d.+. M Nm Kuvvetlein kadıılabilme öelliği ile noktasına kadıılmış ve çapanlaına aılmıştı. una göe; M.d.[8+d 1 ]+. d 1 4sin4/sin vea d 1 4tan43.36 M61.84 [8+3.36] Nm noktasına kadıılmış ve çapanlaına aılmıştı. una göe M.d.+. [4+d ] d 8sin5/sin49.53 m vea d 8/tan49.53 m M514.3 [4+9.53] Nm 57

58 ÖLÜM I ÖNEK.8. eksenine paalel olan 58 m lik plak şekildeki gibi asılı dumaktadı. una göe M? M? M? momentleinin hesaplanması istenmektedi. E 8 N 8 m 8 N E 8 m 3 m 4 m 4 m 4 m 5 m 3 m 4 m η o [-3,4] 4 m 4 m η o [8,-3,4] E [4i+ 11j 4k] oc [4i 3j+ 4k] [4i+ 11j 4k] [58.71i j 58.71k] i j k M o [ 69.63i j k] eksenine paalel M o ekseni bounca olan momentin hesabı Mo Mo i [ 69.63i 69.68j k] i 69.63Nm 8i 3j+ 4k Mo M oη o [ 69.63i 69.68j k] ( 3) Nm i kuvvetin bi noktaa göe momentini momenti oijine taşımadan da istenilen noktaa moment olaak taşınabili. unun için aşağıdaki matiste göüldüğü gibi ilk satıa i, j ve k eine kuvvetin taşınacağı doğultunun cosinüs doğultman değelei aılı. ua u a u a Mo ua [ ] i ua j u a + k M M M 8i 3 j 4i M o M [.848( 69.63i)] + [.318 ( 69.63j)] + [.44( k)] o 8i 3j+ 4k Mo [ i 69.68j k] VEY Mo Nm

59 ÖLÜM I Mo Mo ηo 3j+ 4k [ i 69.68j k] j+ 4k [ i 69.68j k] Nm Ugulama: Şekilde veilen sistemin dengede olması için? 5 4? 4 6 E 4 1 Nm Nm 4 4 N G 3 Nm Çöüm: Veilen kuvvetlein eksenledeki bileşenlei bulunu. 4 [8i 5j+ 1k] [8i 5j+ 1k] [3.77i j k] Kuvvetlein analii E [4j 4k] [4j 4k] [.77j.77k] G noktasına göe moment alınması için kuvvetlein ugulama noktalaı ( ve E) ile G aasındaki e vektölei aşağıdaki şekilde bulunu. [ 5j+ 1k] G [ 5j+ 1k] η G [.447j+.8944k] Kuvvetlein G noktasına olan doğultmanlaı [8i 1k] GE [8i 1k] η GE [.65i.781k] MG [(.447)( 13.77)]j + [(.8944)(53.77)]k 14.48j k + [4.4i 4.4k] [[(.65)(1.77)]i + [(.781)(8.77)] k] M i+ 1j+ 3k 14.48j k + [4. 4i 4.4k] G ( / 4.4) 45.5i+ [( ) / 4.4] k.5 ( )

60 ÖLÜM I 4 [8i 5j+ 1k] [8i 5j+ 1k] [3.77i j k] Kuvvetlein analii E [4j 4k] [4j 4k] [1.76j 1.76 k] i j k i j k MG j k i 98.8j k ÖNEK.9. Şekildeki Sistemde noktasına 5 N ugulanmıştı. una göe v eksenine göe momentin değeinin hesaplanması [M v?] ve vektöel gösteimi. 5 o 5 N 6 o 1 o v 5 o 4 m 6 m m -v cos4 v 5 o 4 m 3.46 m v cos5 6 m m Önce kuvvetinin he eksendeki i düşümü bulunu. 5[cos1i+ cos 6j+ cos 5k] [ 87.i+ 5.j k] i j k [i 3.46j 6k] Mo M o [ i j+ 81.k v önündeki moment için v önündeki u cv bulunu ve bu değe M o değei ile skala olaak çapılı. Mov M o.u cv [ i j+ 81.k].[cos5i cos 4j] u cv [cos5i cos 4j] [i.i 1] [[ i].[cos5i] + [ j].[ cos 4j] Nm u M ov vektöel olaak ifadesi M ov M ov.u cv [cos 5i cos 4j] i j 6

61 ÖLÜM I ÖNEK.1. Şekilde veilen sistem iki kuvvet çiftine mau kalmış bulunmaktadı. c. u kuvvet çiftlei eine sisteme anı dış etkii veecek momentin [M] şiddeti ve önünün d. Veilen döt kuvvetin eini tutacak - dülemleine paalel iki + ve kuvvetleinin hesaplanması. 1 mm 3 kn 6 o 3 kn 6 mm 6 o 4 mm M.5 Nm 3 kn 6 o 5 mm 5 kn θ M.3 Nm 5 kn 6 o M 11.8 Nm ÇÖZÜM: Kosinüs teoemi 3 kn luk kuvvetlein momentlei M 1 3 (.6)1.8 Nm 5 kn luk kuvvetlein momentlei M 5 (.1).5 Nm M 1 1 M + M M M cosα o M (1.8)(.5)cos6.3Nm VEY 3N M [ 3cos6].6.9Nm M M + M Nm 3N M [ 3sin6] Nm 5N M 5.1.5Nm M Nm ileşke moment M Nm - M.5 Nm θ + θ M.3 Nm M 1.6 Nm 6 o M Nm M 11.8 Nm M 3 sin6 o [.6]1.559 Nm M cos6 o [.6]-1.6 Nm M M Nm M.d.3N θ tan d o 61

62 ÖLÜM I ÖNEK.11. Şekilde kuvvet çiftleine mau plakada oluşan bileşke momentin hesaplanması. kn luk kuvvetlein çifti momentlei M 1 [ j N] [3 i m] -6 k Nm 4 kn luk kuvvetlein çifti momentlei M [4 i N] [8 k m] -3 j Nm 8 kn luk kuvvetlein çifti momentlei M 3 [8 k cos6 N].[6 i m] 4 j Nm 8 kn luk kuvvetlein çifti momentlei M 3 [8 sin6 N].[m] ileşke moment M [4 j 3 j ] j 6k M k 1Nm ÖNEK.1. Şekildeki gibi kuvvet çiftleine mau sistemde kuvvetlei aasındaki dik mesafenin [d] momentten aalanaak bulunması.[ - i + j +1 k [N]] - i+ j+1 k [N] [4,1,1] d [4,1,1] i j k Ye vektöü 4 i +1 j +1 k Moment M i 6 j + 1k [N] 1 M.d d M M [ ] [ ] m 6

63 ÖLÜM I ÖNEK.13., ve noktalaına ugulanan kuvvetleden dolaı oluşan momentin hesabı [M ov?] 3 4 N 5 o 6 m 4 m m v 5 o 1 6 N 6 o 1 o 5 o N 5 o 1 o 4 m 3.46 m 6 m m Çöüm: 1 6[cos 1i+ cos 6j+ cos 5k] [ 14.19i+ 3.j k] [cos 1i+ cos 5j+ cos 5k] [ 1.i j k] 3 4j [i+ 3.46j+ 6k] [i+ 6k] [6k] 1 3 i j k i j k i j k Mo M i 53.6j k u cos 5j+ cos 4k o M M.u [ i 53.6j k]. [cos 5j+ cos 4k] Nm OV o V Vektöel olaak [cos5j+ cos4k] [331.56i j] V ÖNEK.14. Şekildeki ijit dieğin ucuna T kn luk bi kuvvet taşıan kablo ucuna mesnetleşmişti. una göe T kuvvetinin dieğin O noktasından geçen eksenindeki momentin [M ] hesabı. [3 değişik öntem ile] 1 m O T [1. öntem] 8 m 6 m 63

64 ÖLÜM I m O m m α cos o cosα.96 T T T T kN T β 8 d 1 cosβ 6.45m O α T T M kNm VEY [. öntem] T kuvveti bileşenleine aılı ve eksenine dik gelen bileşimin momenti alını. ve noktalaının koodinatlaı(,,) (,1,) (8,,6) Ye vektöü (8i+ 1j+ 6k)m m 14.14m 6 m u 8 i j+ 6 k T Tu i j+ k [ i j k]kN una göe M momenti T bileşeninin mesafesi ile çapımına eşitti. T kN M kNm [3. öntem] Mo i j k kn Mo 1 j i j k kn vektöel M o k i knm 1 m M Z M o Yukaıda öellik 1 kullanılaak M Mo.k [[ k i].k] knm O T M knm 8 m 6 m 64

65 ÖLÜM I ÖNEK.15. Şekildeki 68 m lik ve ağılığı 8 N olan plaka kablolala ve E noktasındaki mesnetle dengede bulunmaktadı. una göe kablo kuvvetleinin ve E mesnedinin tepki kuvvetleinin bulunması. Çöüm: Sebest cisim diagamı çiili ve kablo kuvvetleinin eksenle üeindeki ilei aılı. Ye vektöü ( 8i+ 4j 5k)m ( 8i+ 9j+ 5k)m u i+ j k m m T T u T i+ j k T.78i+.39j.49k kn u i+ j+ k T T u T i+ j+ k T.61i+.69j+.38k kn Şimdi sistemin dengede olması için kuvvetlein toplamı eksenle üeinde aılı. [E.78T.61T ]i [E +.39T +.69T 8]j....1 [E.49T +.38T + 8]k enge için momentinde sıfı olması geeğinden E noktasında toplam moment aılı. M E [ ] E + E + E + T + T 8j+ 8k i j k 65

66 ÖLÜM I i j k i j k i j k M T.39T.49T.61T.69T.38T 8 8 [.8 T 4]i T N [ 3.4 T + 3.9T 3] j T N ulunan kablo kuvvetlei 1 nolu denklemde eine aılaak E mesnet tepki kuvvetlei hesaplanı. E.78T +.61T ]i N E.39T.69T + 8]j N E.49T.38T 8]k 4N ÖNEK.16. Şekilde veilen sistem ve noktalaında mafsallı olaak bağlanmıştı. Mesnet kuvvetleinin [ X Y X Y Z ] ve kablo kuvvetinin [T E ] bulunması. Y Z X 1 m.8 m E Y X T E Sebest cisim diagamı 6 m 6 m m m 4 N m m 4 N T E [-,.8,1] için T E nin bileşenlei T T cosϕ T.84T EX E E E.8 T T cosϕ T.337T T T cosϕ T.41T EY E E E EZ E E E Sebest cisim diagamında denge denklemlei aşağıdaki şekilde aılı. 66

67 ÖLÜM I [ + X.84T E ] [ Y + Y +.337T E 4] 1 [ Z + Z +.41T E ] [k] [i] [i+ k] M T+ + E E i j k i j k i j k i j k M T.337T.41T 4 X Y Z X Y Z M X [ Y + 8]i Y 4N M Z [.337T 8]k T 1187N M Y [ X.84T] j X 5N 1 nolu denklemden X, Y ve Z aşağıdaki şekilde bulunu. [ + X.84T E ] X 5N [ Y + Y +.337T E 4] Y 4N 1 [ Z + Z +.41T E ] Z 5N VEY [] noktasına göe moment alınısa M [ k] E E [i k] [i] T+ + M i.84t j.337t k i +.41T X j Y k i j k + 4 M X [.337T+ ]i Y 4N M Z [.337T 8]k T 1187N anı sonuçla M Y [[.41.84]T + X ] j X 5N 1 nolu denklemden X ve Y bulunu. 67

68 ÖLÜM I ÖNEK.17. Şekildeki ijit çubuğu noktasında mafsallı ve noktasına kablo ile bağlanmış bulunmaktadı. una göe kablo kuvvetinin [T] bulunması. 1 N kablo ijit çubuk 4 4 m m 3 m N 4 N Sistemin sebest cisim diagamı aşağıda gösteilmişti. Sebest cisim diagamı T 77 N X ijit çubuk m m 3 m 77 N Y N 4 N Sebest cisim diagamı üeinde Σ X, Σ Y ve ΣM aılı N una göe + T Y Y + T 17N 1 Y M 777+ T T 737.5N 1 bağıntısında T eine aılaak mesnet tepkisi bulunu. + T 17N T 737.5N ise 63.5N Y Y 68

69 ÖLÜM I ÖNEK.18. Şekilde üklei ile veilen ijit çubuk ve kablolaı ile dengede dumaktadı. una göe kablo kuvvetleinin [ T? T? ] bulunması. 4 kablo kablo 4 4 ijit çubuk 1 N 3 m 3 m 6 m 3 N 8 N ÖNEK.19. Şekilde veilen sistemde kablo kuvvetleinin hesaplanması 38 o 6 o T T sin38 T sin6 T T cos38 38 o 6 o T cos6 kn T cos6 T cos38 T sin6+ T sin38 u iki denklemin otak çöümü sonucu 1.73[ T cos6 T cos38] [ T sin T cos38] T sin6+ T sin38 kn T 11 kn T kn olaak bulunu. iğe bi çöüm öntemi olaak da sinüs teoemi kullanılaak aşağıda hesaplanmıştı. T 3 o 98 o 5 o T kn sin3 T sin5 sin98 T kN T 1.98kN olaak bulunu. T ÖNEK.. Kanakla apılmış bou çeçeve noktasında - dülemine küesel mafsalla bağlanmıştı. noktasında da eksenel sebestliği olan bi halka ile desteklenmektedi. 3 kn luk kuvvetin etkisile çeçevenin ekseni etafında dönme apmaması için kablosu kullanılmıştı. u halile çeçeve dengededi ve çeçevenin kendi ağılığı ihmal edilmişti. una göe T kablo ve ve mesnet tepki kuvvetleinin hesabı apılacaktı. 69

70 ÖLÜM I 3 m 6 m 3 m 5 m 3kN 3 m 6 m 3 m 5 m 3kN η 1 3 m 6 m 3 m 5 m 3kN T 3 m 1 m 3 m 1 1 m 3 m 1 m m 1 i+ 3j m 3i+ 6k m 3jkN T[i+ 3j 6k] [5j+ 6k] T η 1.64j+.77k vektöel T[i+ 3j 6k] M [ i+ 3j].[.64j+.77k] + 3i+ 6k] [ 3j].[.64j+.77k] 7 vektöel Vea Tkablokuvvetininnoktasına 3kNnun noktasına i j k M [ T] [ ] T [.64j.77k] ([3i+ 6k] [3j]).[.64j+.77k] / 7 3 / 7 6 / 7 M T [.57i j 1.86k].[.64j+.77k] + ([9k 18i] ).[.64j+.77k] Tden den M T [ 1.539] + ([6.93]) T 6.93 / T 1.86 kn T 1.98 kn T kn M 3.[3] [3].643kN M 3.[6] [6] 5.914kN [X ] X 1.99kN [ ] 4.98kN [ ].57kN ÖNEK.1. 6 m lik kolonuna önünde 455 kn luk bi kuvvet şekildeki gibi etkimektedi. Kolon noktasına küesel mafsal [ ] [T ] ve E noktalaına [T E ] kablo ile mesnetlenmiş bulunmaktadı. una göe noktasındaki mesnet tepki kuvvetlei ile [T ] ve [T E ] kablo kuvvetleinin bulunması. 7

71 ÖLÜM I 455 kn 3 m 3 m 455 kn 3 m 3 m Ugulanan ve mesnet tepki kuvvetleini gösteen sebest cisim diagamı 3 m 1.5 m E η E E 3i 6 j+ k [ 3 i 6 j+ k] 195 i 39 j+ 13k E 1.5i 3 j+ 3k TE TE TE [.33 i.67 j+.67k] TE E i 3 j 3k T T T [.33 i.67 j.67k] T Moment alınaak kablo kuvvetlei aşağıdaki şekilde hesaplanı. M E 6 j 3 j {[ ] + [ T ]} 3 m m η 3 m E 1.5 m η η E E E E 3 m T E m 1.5i + 3k i 3k T η 3 m 1.5 m.448 i +.896k.448 i.896k M E i j k i j k T {[ 78 i + 117k] + [.1i.99k] T}[.448 i +.896k] [.448 i +.896k] {[ 78.1T ] i + [ T ] k}[.448 i +.896k] T 78N 71

72 ÖLÜM I M {[ ] + [ T ]} E η M i j k i j k TE {[ 78 i + 117k] + [.1i.99k] TE}[.448 i.896k ] [.448 i.896k ] {[ 78.1T ] i + [ T ] k}[.448 i.896k] T 391 N E Vektöel olaak [ T ve T E ] T T E E 78[.33i.67 j.67k] 57.4 i 5.6 j 5.6k] 391[.33 i.67 j +.67k] 18.7 i 61.3 j k] E N NN 188 i j 131.3k Ugulama: küesel mesnet kuvvetleini (, ve ) ), T ve T kablo kuvvetleini hesaplaını. 3 kn 3 kn 6 m 6 m 6 m 6 m 3 m Sebest cisim diagamı KUVVETLEĐN VEKTÖEL NLĐZĐ 6i 6k 3i+ 6j 6k 3j T T T.77T i.77t k T T T.333T i+.667t j.667t k X eksenine göe moment alındığı için T kablosu hehangi bi moment oluştuma. i j k i j k [[18 6i.667T ]i + [6i.333T ]j] ii MX MX M i i [( ) + ( T )] i i i 3.333T.667T.667T T kn 7

73 ÖLÜM I M 3i+ 6j Miu [( ) + ( T )] u u.447i+.895j i j k i j k [ [18 i(.447)i] + [( 6i.77T ) i.895]j i[.447i+.895j] [18i 6i.77T j] i[.447i+.895j] T 3.77T.77T T kn ulunan kablo kuvvetleinin eksenledeki bileşenlei, + 3i 6j 6k T T i+ 3j 3k i+ j+ k 3 3 6i 6k T T i 15k kn j ÖNEK.. Şekildeki sistem ve E noktalaında küesel mafsal ve noktasında kablo ile mesnetleşmişti. una göe kablo kuvvetinin [T?] hesaplanması. 6 j ME ME. ηe E E E {[ 6] + [ T] } η i j k E i k E 16 T T T i i j k [.8. ] E i k E 96 i k E 7 4 η M M. η {[ 6] + [ T] } η + 4 E E E E E E T i j k i j k ME i k 6.76T.54T.381T { } T T.8.96 T 8.5N i k k j i k 73

74 ÖLÜM I ÖNEK.3. Şekilde veilen sistemde O noktasına bi kuvvetle bi kuvvet çifti ugulanabilio. u kuvvet çiftini moment [M] olaak belilenmesi. 1 6[cos 1i+ cos 6j+ cos 5k] [ 14.19i+ 3.j k] O [5j+ k] mm M Nm M o i j.5 3 k. [156.4i+.84j+ 6.5k] Nm M Nm ÖNEK.4. Şekilde veilen kuvvetle sisteminde bileşke kuvveti ve önünün bulunması. [3,,] [,,4] [,,] 4 N 16 N [5,,4] [,,] 38 N [,,4] cosα cosα cosα [N] [N] [N] [ ] [ ] [ 4] [3 ] [ 4] [5 ] [ ] [4 ] TOPLM ĐLEŞKE KUVVET N o ÇI α cos o o α cos α cos

75 ÖLÜM I Kuvvetlein mekee taşınması kuvvet çiftlei ile değil bileşkelei ile taşınmıştı. Kuvvet çiftleinin eini ve büüklüğünü bulmak için he üç kuvvetin momenti bulunu. Önek olaak 1 kuvvetinin momenti hesaplanmıştı. i kuvvetin bileşeni M momenti oluştuma bu duum diğe eksenle içinde geçelidi M tm α 36.7 o α 58.8 o M tm α 17.3 o N M tm M α 3 o M α 36.7 o α 71 o M [N] [N] [N] M [N] M [N] M [N] TOPLM [ M ] + [ M ] + [ M ] Nm o α cos o o α cos 78 α cos Vektöel çapım ile momentlein hesaplanması aşağıda apılmıştı. i j k 1 6N M i 69.8j+ 69.8k i j k i j k M 4 64i+ 94j 48k M 784i+ 384j+ 784k

76 ÖLÜM I ÖNEK.5. Kendi ağılığı 1 N/m olan E kiişi ucunda 15 N ük taşımaktadı. 1.?. E? E? E? [E noktası mafsallı mesnet] ( 4 )i + (4 )j + ( 7)k ( 4i+ 4j 7k)m m u i+ j k.444 i+.444 j.778 k ÖZET: noktasında 15j E otasında j E noktasında E i+ E j+ Ek E noktasında bu kuvvetlein oluştuduğu momentlein toplamı sıfı olmalıdı. 15 N m 4 m 4 m E m 4 3 m G noktasında.444i+.444j.778k i j k i j k i j k i j k E E E [15]i+ 4.5[81]i+ 7[.444]i i 9.[15]i+ 4.5[18] i+ 7[. 444]i 59.73N.444[59.73]i+.444[59.73]j.778[59.73] k 6.8i+ 6.8j k E mesnet eaksionlaını bulmak için kablolaın, ve bileşenlei vea, E 6.8 E 6.8kN E E 4.8kN E E kN ÖNEK.6. Kendi ağılığı 9 N/m olan E kiişi ucunda 15 N ük taşımaktadı. kablo kuvveti N olduğuna göe; [E noktası küesel mafsallı mesnet] 1.? G?. E? E? E? 4 m G 4 m 4 m E 3 m m 4 3 m 15 N m 76

77 ÖLÜM I ( 4 )i+ (4 )j+ ( 7)k ( 4i+ 4j 7k)m m u i+ j k.444 i+.444 j.778 k G ( )i+ (4 )j+ ( 9)k (4j 9k)m m G Gu G G G G 4 97 j 9 k.46gj.914gk 97 (4 )i+ (3 )j+ ( 4)k (4i+ 3j 4k)m m u i+ j k 14.94i+ 93.7j 14.94k ÖZET: noktasında 15j E otasında 99 81j E noktasında E i+ E j+ E noktasında.444i+.444 j.778k G noktasında.46gj.914gk k E noktasında bu kuvvetlein oluştuduğu momentlein toplamı sıfı olması geeğinden dolaı aşağıda tüm kuvvetlein momenti alınaak sıfıa eşitleni. noktasında 14.94i+ 93.7j 14.94k i j k i j k i j k i j k E E E j değeleinin toplamı 9.[15]i [81] i + + 7[.444 ]i 7[.444 ] j ( i le toplanmadı çünkü oada bilinmeen va) j i j k i j k 7[.444 ] j+ 4[14.94] j N.46G.914G [.46 G ]i 4[ 93.7]i+ 4[14.94] j bulunduktan sona aşağıdaki şekilde i le toplamından G değei bulunu. i 9.[15]i + 4.5[81]i 7[.444]i 9[.46G]i 4[93.7]i ve 16.8N ise G 9.87N 77

78 ÖLÜM I ve G değelei bulunduktan sonaa bileşenlei aşağıdaki şekilde hesaplanı..444[16.8]i+.444[16.8]j.778[16.8]k 71.4i+ 71i4j 15.1k G.46[9.87]j.914[9.87]k 93.33j 1.1k E mesnet eaksionlaını bulmak için kablolaın, ve eksenleinde denge aılı. E E 53.54kN E E 7.43kN E E 46.14kN ÖNEK.7. Şekilde veilen sistemin dengede olması için bileşke kuvvetin [] şiddetinin ve ugulama noktasının [,,] hesaplanması. 4N 3.78 m 37 N 1.3 m 15N 1N E 4 m N 6 m 8N 6 m ota 8N 4.5 m 5 m E Ye vektöü [] adı Ye vektöü [] değei [N] M i j k E 9.5k 15j j 1i -1j -1 1i+5k -8j 4-8 4i+9.5k -j 19-8 ota 5i+4.75k 8j j M [ 455i 14k ] [ + + ] [ + + ][ 37 j] i j k i j k k i [ 455i 14k ] 37k ( ij ) + jj + 37i ( kj i ) 3.78m 1.3m 37k 37i 78

79 ÖLÜM I Ugulama: uvaı dik tutmak için şekilde göülen desteği kullanılmaktadı. uvaa ugulanan kuvvet çifti sistemi şekilde göüldüğü gibidi. u kuvvet çifti sistemini noktasına ugulanacak eşdeğe bi kuvvet çifti sistemile değiştiini. M? ( 1.kN ve M 13.5kNm) Çöüm: Kuvvetin ve momentin eksenledeki bileşenlei bulunaak noktasına göe momenti alını. ( ) ( ) ( ) 4cm i 96cm j 16cm k Kuvvet analii kN i 19.kN j 3.5 [ ] ( ) ( ) (.kn) k 4i+ 96j+ 16k Moment analii M M 13.5 knm 16 ( ) ( 5.5kNm) i+ ( 1kNm) j+ ( ) 1 Ye vektöü ( 4cm) i+ ( 48cm) k ( 4i+ 48k) m (.4m) i+ (.48m) k 1 i j k moment M + M ( 5.5i+ 1j+ k) knm knm k ( 3.97i+ 6.6j 6.6k) knm Ugulama: Sou: 3 kişi 55m lik bi salın üeinde dumaktadı., ve noktasında duan çocuklaın ağılıklaı sıasıla 5 N, 6N ve 7N ise üç ağılığın bileşkesinin büüklüğünü ve ugulama noktasını bulunu. 79

80 ÖLÜM I : + + 5j 6j 7j 18j (N) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) ( )( ) M : 5N 3m 6N.5m 7N 4.75m 18N ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )( ) + ( )( ) + ( 7N)( 4.75m) ( 18N)( ) M : 5N 1m 6N 1.5m.847 m.65 m VEY i j k i j k i j k i j k Mo i. 5 6 i i 18 i ise 1 5 k k k 18 k ise.65 m.847 m Ugulama: noktasındaki kuvvet ve momentlein bulunması 8 N 5 N ÇÖZÜM: Kuvvet ve momentin aı aı eksenledeki bileşenlei bulunu: 5 ( cos35j sin35k) ( 49.58j k)n i j k i j k M (75.37i+ 51.6j 33. 7k) Nm noktasındaki kuvv etle ( 19.58j 86.79k)N Kuvvetlein kendilei M (75.37i 51.6j 33.7k) Nm Kuvvetleden oluşan momentle + 8

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Fedinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hayi ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

θ A **pozitif dönüş yönü

θ A **pozitif dönüş yönü ENT B Kuvvetn B Noktaa Göe oment o o d θ θ d.snθ o..snθ d. **poztf dönüş önü noktasına etk eden hehang b kuvvetnn noktasında medana geteceğ moment o ; ı tanımlaan e vektöü le kuvvet vektöünün vektöel çapımıdı.

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur SIT MKINR Günlük yaşantımızda iş yapmamızı kolaylaştıan alet ve makineledi asit makinelele büyük bi yükü, küçük bi kuvvetle dengelemek ve kaldımak mümkündü asit makinalada yük, dengeleyici kuvvet ile gösteili

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D.

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D. KOU 5 VSL ÇK SS Çözüle. S 5- ÇÖÜL 5. çısal oentu kounduğu için eşit zaan aalıklaında eşit açı taala. L v CVP: C liptik öüngede dönen udua etki eden çeki kuvveti h z vektöüne dik de ildi. Bundan dola çeki

Detaylı

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir ÜNTE: UET E HAREETN BUUŞMASI - ENERJ NU: Evende He Şey Haeketlidi ÖRNE SRUAR E ÇÖZÜMER. x M +x Bi adam önce noktasından noktasına daha sona ise noktasından M (m) 3 3 (m) noktasına geldiğine göe adamın

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ 7. İSKOZ ( SÜTÜNMELİ ) AKIŞLA 7.. Giiş Bi akışta iskoite etkisi önemli ise bu akış isko (sütünmeli) akış adını alı. Akışkan iskoitesinden

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır.

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır. PO.D. MUAT DEMİ AYDIN ***Bu ders notları bir sonraki slatta verilen kanak kitaplardan alıntılar apılarak hazırlanmıştır. Mühendisler için Vektör Mekaniği: STATİK.P. Beer, E.. Johnston Çeviri Editörü: Ömer

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi ÖLÜM IV üzlem Kafesler En çok kullanılan köprü kafesleri En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi Mühendislik olalarında genel olarak birden çok katı cisim birbirine

Detaylı

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çöümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d

Detaylı

Bölüm 6: Dairesel Hareket

Bölüm 6: Dairesel Hareket Bölüm 6: Daiesel Haeket Kaama Soulaı 1- Bi cismin süati değişmiyo ise hızındaki değişmeden bahsedilebili mi? - Hızı değişen bi cismin süati değişi mi? 3- Düzgün daiesel haekette cismin hızı değişi mi?

Detaylı

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları İZ101 İZİK-I Ankaa Ünivesitesi en akültesi Kimya Bölümü B Gubu Bölüm V: Newton un Haeket Yasalaı 05.12.2014 Aysuhan OZANSOY Bölüm-V: Newton un Haeket Yasalaı: 1. Kuvvet Kavamı 2. Newton un I. Yasası (Eylemsizlik

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

KOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) Bölümleri MÜH 110 Statik Dersi - 1. Çalışma Soruları 03 Mart 2017

KOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) Bölümleri MÜH 110 Statik Dersi - 1. Çalışma Soruları 03 Mart 2017 KÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) ölümleri SRU-1) Mühendislik apılarında kullanılan elemanlar için KSN (Tarafsız eksen) kavramını tanımlaınız ve bir kroki şekil çizerek

Detaylı

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli

Detaylı

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ ÖZET Egün ALKAN Elk.Y.Müh. Buga Otis Asansö Sanayi ve Ticaet A.Ş. Tel:0212 323 44 11 Fax:0212 323 44 66 Balabandee Cad. No:3 34460 İstinye-İstanbul

Detaylı

50 40 ----------30 20 10

50 40 ----------30 20 10 HACİM Maddenin uzayda kaplamış olduğu yedi.bi cismin kapladığı yei aynı anda başka bi cisim kaplayamaz.hacim biimlei m3 veya cm3 tü.ayıca sıvıla için Lite kullanılı. 1 Lite=1 dm3 1 ml=1cm3=1cc A)Katılaın

Detaylı

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum 6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK DERS NOTLARI

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK DERS NOTLARI MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ DİNMİK DERS NOTLR Ya. Doç. D. Hüsein aıoğlu EKİM 00 İSTNUL İçindekile 1 İRİŞ EKTÖREL NLİZ.1 ektö fonksionu. ektö fonksionunun tüevi.3 ektö fonksionunun integali 3 EĞRİLERDE DİFERNSİYEL

Detaylı

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DĞHN MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK MÜHENDİSLİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki outlu Kuvvet

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

MLER Bundan önce cismin tek bir parçacıktan olu unu kabul ettik. Genelde cismin çok sayıda parçacı ın (noktasal cismin) bile

MLER Bundan önce cismin tek bir parçacıktan olu unu kabul ettik. Genelde cismin çok sayıda parçacı ın (noktasal cismin) bile RİJİT CİSİMLER GİRİŞ Bundan önce cismin tek bi paçacıktan oluştuğunu kabul ettik. Genelde cismin çok sayıda paçacığın (noktasal cismin) bileşimi olaak incelenmesi geeki. Yani kuvvetlein çeşitli noktalaa

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsein YIOĞLU İSTNUL 3 . Mekaniğin tanımı 5. Temel ilkeler ve görüşler 5 İçindekiler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel işlemlerin

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK 2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı KOCEİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik akültesi Makina Mühendisliği ölümü Mukavemet I inal Sınavı dı Soadı : 9 Ocak 0 Sınıfı : h No : SORU : Şekildeki ucundan ankastre, ucundan serbest olan kirişinin uzunluğu

Detaylı

TEST - 1 BAS T MAK NELER. fiekil-ii

TEST - 1 BAS T MAK NELER. fiekil-ii BA A EER E - fiekil-i fiekil-ii difllisi fiekil - II deki konuma yönünde devi yapaak gelebili Bu duumda difllisi yönünde döne f f ve kasnakla n n ya çapla eflit oldu undan kasna- tu atasa, de tu ata,,

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

3.1. KAFES VE EĞİLMEYE ÇALIŞAN SİSTEMLERDE MESNET ÇEŞİTLERİ

3.1. KAFES VE EĞİLMEYE ÇALIŞAN SİSTEMLERDE MESNET ÇEŞİTLERİ ÖLÜM3 KS SİSTMLR ÖLÜM 3 3.1. KS V ĞİLMY ÇLIŞN SİSTMLR MSNT ÇŞİTLRİ Mesnet; bi sistemde elemanın/elemanlaın taşıdığı üklei belli noktalaa ve oadan da zemine aktaıldığı noktalaa deni. Öneğin bi otomobilin

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p VİDALA VE CIVAALA d : Miniu, inö yada diş dibi çapı (=oot) d : Otalaa, noinal çap yada böğü çapı (=ean) d : Maksiu, ajö çap, diş üstü çapı λ : Helis açısı p : Adı (p=pitch) l (hatve): Civatanın bi ta dönüşüne

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik ers Notları Sınav Soru ve Çözümleri ĞHN MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNEKİER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMERİ - İki Boutlu Kuvvet Sistemleri

Detaylı

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ Sevgi GÜRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Tez Yöneticisi: Yd. Doç. D. Fiket İŞIK EDİRNE-0

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır. 9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.

Detaylı

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil

Detaylı

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi Uludag.Üniv.Zi.Fak.Deg., 25) 19: 23-36 Sonlu Elemanla Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bi Silindiik Bounun Geilme Analizi Muhaem ZEYTİNOĞLU * ÖZET Taım, anayii ve konut ektöünde kullanılan, ıvı ve gaz iletim

Detaylı

Basit Makineler Çözümlü Sorular

Basit Makineler Çözümlü Sorular Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz.

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz. BTMIŞ YÜZEYLERE ELEN HİDROSTTİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yata Yüeler Sıvı üei Yata bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin büüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istioru. d d Kuvvetin Büüklüğü :Şekil deki

Detaylı

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının vea bi

Detaylı

BÖLÜM 3 SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM 3 SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ BÖLÜM SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIM DENKLEMLERİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ. Poblemin tanımlanması. Geen idantitesine daanan genel çöüm. Çöümün metodolojisi. Temel çöüm - Noktasal kanak.5 Temel çöüm - Noktasal duble.6

Detaylı

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI .. SAU Fen Bilimlei Enstitüsü Degisi 6.Cilt, 1.Saı (Mat 2002) Pozison Kontolüne Yönelik DC Moto Ugulaması A.İ.Doğman, A.F.Boz POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI 'oj Ali lhsan DOGMAN, Ali Fuat

Detaylı

1. MİLLİKAN YAĞ DAMLASI DENEYİ

1. MİLLİKAN YAĞ DAMLASI DENEYİ . MİLLİKAN YAĞ DAMLASI DENEYİ Amaç Bu denede, Ye çekiminin etkisinde ve düzgün bi elektik alan içeisinde bulunan üklü bi ağ damlasının haeketi inceleneek elektonun ükünün ölçülmesi; Yağ damlalaının ükleinin

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-4

Çözüm Kitapçığı Deneme-4 KMU PERSONEL SEÇME SINVI ÖĞRETMENLİK LN İLGİSİ TESTİ LİSE MTEMTİK ÖĞRETMENLİĞİ -5 ŞUT 7 Çözüm Kitapçığı Deneme- u tetlein he hakkı aklıdı. Hangi amaçla olua olun, tetlein tamamının vea bi kımının Mekezimizin

Detaylı

ELEKTRİK POTANSİYELİ

ELEKTRİK POTANSİYELİ 38 III.3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l., POTANSİYEL FARKI VE EŞPOTANSİYELLİ YÜZEYLER. Potansiyel eneji kavamı, yeçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi kounumlu kuvvetle inceleniken ele alınmıştı. Çeşitli

Detaylı

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CHAPTER BÖLÜM MECHANICS MUKAVEMET OF I MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Basit Eğilme Lecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech Universit Düzenleen: Era Arslan 2002 The McGraw-Hill

Detaylı

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen

Detaylı

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya

Detaylı

3. BÖLÜM. HİDROLİK-PNÖMATİK Prof.Dr.İrfan AY

3. BÖLÜM. HİDROLİK-PNÖMATİK Prof.Dr.İrfan AY HİDROLİK-PNÖMATİK 3. BÖLÜM 3.1 PİSTON, SİLİNDİR MEKANİZMALARI Hiolik evelee piston-silini ikilisi ile oluşan oğusal haeket aha sona önel, yaı önel, oğusal önel haeket olaak çevilebili. Silinile: a) Tek

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

Saf Eğilme (Pure Bending)

Saf Eğilme (Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki deformasonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller, en kesiti an az bir eksene göre simetrik

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi Uluslaaası Katılımlı 17. Makina Teoisi Sempozyumu, İzmi, 14-17 Hazian 21 Otomatik Depolama Sistemleinde Kullanılan Mekik Kaldıma Mekanizmasının Analizi S.Telli Çetin * A.E.Öcal O.Kopmaz Uludağ Ünivesitesi

Detaylı

1. BÖLÜM 1. BÖLÜM BASİ BAS T İ MAKİ T MAK N İ ELER NELER

1. BÖLÜM 1. BÖLÜM BASİ BAS T İ MAKİ T MAK N İ ELER NELER BÖÜ BASİ AİNEER AIŞIRAAR ÇÖZÜER BASİ AİNEER yatay düzlem 0N 0N 0N 0N fiekil-i fiekil-ii yatay düzlem 06 5 06 7 08 He iki şe kil de de des te ğe gö e tok alı nı sa a) kuvvetinin büyüklüğü 04 + 08 80 + 60

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

Sınav Süresi 60 dakikadır, artı 15 dakika giriş yapma süresi bulunmaktadır.

Sınav Süresi 60 dakikadır, artı 15 dakika giriş yapma süresi bulunmaktadır. Sınav Süesi 60 dakikadı, atı dakika giiş yapa süesi buunaktadı. Dikkat!! Cevapaın giiş dakikaaını sou çözek için kuanayın çünkü sınava katıan sayı yüksek oduğundan intenet işeeinde sıkıntı yaşanabii!!

Detaylı

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Uzayda Serbestlik Derecesi Rijit Cismin Uzayda Dengesi Bir Uzay Kuvvetin Bileşenleri Bir Noktada Kesişen Uzay Kuvvetlerde Bileşke Bir Eksene Göre Statik Moment Kuvvetler Sistemini

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi -Fizik I 2013-2014 Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924332 İçerik Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği Açısal ve Doğrusal Nicelikler

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Mekanik, Statik Denge

Mekanik, Statik Denge Mekanik, Statik Denge Mardin Artuklu Üniversitesi 2. Hafta-01.03.2012 İdris Bedirhanoğlu url : www.dicle.edu.tr/a/idrisb e-mail : idrisbed@gmail.com 0532 657 14 31 Statik **Statik; uzayda kuvvetler etkisi

Detaylı

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri 7 Kütle Çekii e Keple Kanunlaı est in Çözülei. Uydu Dünya nın ekezinden kada uzaklıktaki yöüngesinde peiyodu ile dolanıken iki kütle aasındaki çeki kueti, ekezcil kuet göei göü. F çeki F ekezcil G Bağıntıya

Detaylı

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim

Detaylı

İnşaat Mühendisliği Bölümü. Basınç Kuvvetleri

İnşaat Mühendisliği Bölümü. Basınç Kuvvetleri İnşaat Mühendisliği ölümü kışkanlar Mekaniği asınç Kuvvetleri Soru 1 : Şekildeki mafsal altındaki yüzeylere etkiyen yatay ve düşey kuvvetleri bulunuz. (Şekil düzlemine dik derinlik 1 m dir.) h 1.5 m 1

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri 5 Çebesel Haeket est in Çözülei.. düşey eksen tabla He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı eşitti. hâlde

Detaylı

Mekanik. Mühendislik Matematik

Mekanik. Mühendislik Matematik Mekanik Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bir bilim dalıdır. Amacı fiziksel olayları açıklamak, önceden tahmin etmek ve böylece mühendislik uygulamalarına

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ ĞLK MEKEZİ VE LN TLET MMENTİ 1 1. ĞLK MEKEZİ (CENTD) ğılık meke paalel kuvvetleen otaa çıkan geometk kavamı. Yalnıca paalel kuvvetle ağılık meke vaı. ğılık meke fksel csmn vea paçacıkla sstemnn tüm ağılığının

Detaylı

Nlαlüminyum 5. αlüminyum

Nlαlüminyum 5. αlüminyum Soru 1. Bileşik bir çubuk iki rijit mesnet arasına erleştirilmiştir. Çubuğun sol kısmı bakır olup kesit alanı 60 cm, sağ kısmı da alüminum olup kesit alanı 40 cm dir. Sistem 7 C de gerilmesidir. Alüminum

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT 3 FA İEME n Çok azlı sistemle, geilimleinin aasında az akı bulunan iki veya daha azla tek azlı sistemin bileştiilmiş halidi ve bu işlem simetik bi şekilde yapılı. n ek azlı sistemlede güç dalgalı olduğu

Detaylı

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR

FİZİK BASİT MAKİNELER MAKARALAR İZİ AARAAR : BASİ AİEER Haeketli akaa : Sabit akaa : x h Önek : Şekildeki haeketli makaa sistemini dengede tutmak için; a) akaa ağılıksız ise =? h b) akaa ağılığı 0 ise =? x 60 c) akaa ağılısız ise yükü

Detaylı

KLASİK MEKANİK-1 BÖLÜM-1 KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ 1)UZAY VE ZAMAN:

KLASİK MEKANİK-1 BÖLÜM-1 KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ 1)UZAY VE ZAMAN: KLASİK MEKANİK- BÖLÜM- KLASİK MEKANİĞE GİRİŞ )UZAY VE ZAMAN: Uzay ve zaman fiziğin en temel vasayımlaı ile ilgili kavamladandı. Uzay ve zamanın süekli olduğunu vasaymak, ancak uzunluk ve zamanın bi standadının

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK ANABİLİM DALI STATİK 042 13 12 DERSİ NOTLARI ŞUBAT 2008. Prof. Dr.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK ANABİLİM DALI STATİK 042 13 12 DERSİ NOTLARI ŞUBAT 2008. Prof. Dr. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞT MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ MEKNİK NİLİM DLI STTİK 04 3 DERSİ NTLRI ŞUT 008 Prof. Dr. Turgut KCTÜRK . Giriş ve ana ilkeler. Vektörler ve kuvvetler, maddesel noktaların statiği Tanımlar

Detaylı

3.1 Vektör Tipleri 3.2 Vektörlerin Toplanması. 3.4 Poligon Kuralı 3.5 Bir Vektörün Skaler ile Çarpımı RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ

3.1 Vektör Tipleri 3.2 Vektörlerin Toplanması. 3.4 Poligon Kuralı 3.5 Bir Vektörün Skaler ile Çarpımı RİJİT CİSİMLER MEKANİĞİ 1-STATİĞİN TEMEL İLKELERİ 1- BİRİMLER 2-TRİGONOMETRİ 3-VEKTÖRLER 3.1 Vektör Tipleri 3.2 Vektörlerin Toplanması 3.3 Vektörlerin uç-uca eklenerek toplanması 3.4 Poligon Kuralı 3.5 Bir Vektörün Skaler ile

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi 1 Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi Latex 3000 Yazıcı seisi Kuulum Yeini Hazılama Denetim Listesi Telif Hakkı 2015 HP Development Company, L.P. 2 Yasal bildiimle Bu belgede ye alan bilgile önceden habe veilmeksizin değiştiilebili. HP üün

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SOU BANKASI 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAEKET 1. Konu VEKTÖLE TEST ÇÖZÜMLEİ 1 Vektörler Test 1 in Çözümleri 3. 4 N 1. 1,2 = 2 3 2 3 120 4 N 4 N 6 N 4 N Şekil I Şekil II A Şekil I Şekil II A 3 Değeri

Detaylı