Sonsuz Diziler ve Seriler

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sonsuz Diziler ve Seriler"

Transkript

1 Diziler Sonsuz Diziler ve Seriler Bir dizi, bazı sayıların belirli bir sıraya göre dizilmesi olarak düşünülebilir. Örneğin, a, a 2,, a n, 2, 4, 6, 8, 0,..., 2n,... şeklindeki bir dizide, a = 2 ilk terim, a 2 = 4 ikinci terim ve genel olarak a n = 2n ise n. terim olarak adlandırılır. MAT 00 Kalkülüs II / 49

2 Diziler Biz genellikle sonsuz dizilerle ilgileneceğiz. Dolayısıyla, her a n teriminden sonra gelen bir a n+ terimi olacaktır. Her pozitif n doğal sayısı için dizide bir a n terimi vardır. Bu şekilde, bir diziyi tanım kümesi doğal sayılar (N + ) olan bir fonksiyon olarak tanımlayabiliriz. Ancak, fonksiyonun n de aldığı değeri göstermek için f(n) yerine a n yazacağız. {a, a 2,, a n, } dizisi {a n } veya {a n } ile de gösterilir. MAT 00 Kalkülüs II 2 / 49

3 Diziler Örnek Aşağıdaki örneklerin her birindeki dizi üç farklı gösterim ile verilmiştir. Bunlardan birincisinde önceki gösterim, ikincisinde genel terim kullanılmıştır. Üçüncüsünde ise dizi, terimleri tek tek yazılarak verilmiştir. { } n a n = n { n + n + 2, 2 3, 3 } 4,, n n +, { ( ) n n } 3 n a n = ( ) n n { 3 n 3, 2 9, 3 27,, n } ( )n 3 n, { } n 3 a n=3 n = { n 3, n 3 0,, 2,, } n 3, { cos ( nπ ) } a n = cos ( { } nπ ) 3, n 0, 6 n=0 6 2, 2,, cos( nπ ), 6 Bir dizide n nin den başlamak zorunda olmadığına dikkat ediniz. MAT 00 Kalkülüs II 3 / 49

4 Diziler er by either plotting by its plotting terms its on terms a number on a line, number as in line, Figure as in, Figure or by plotting, or by its plotting graph, it n Figure as in 2. Figure Note that, 2. Note since that, sequence since a sequence is a function is a whose function domain whose is domain the set is ofth tive integers, positive a n = n integers, its graph its consists graph of consists isolated of points isolated with points coordinates with coordinates dizisi gibi herhangi bir dizi, Şekildeki gibi sayı doğrusu n + üzerinde, veya a grafiği, 2, a çizilerek a 2 2, 3, gösterilebilir. a 2 a 3 3,... a 3 n,... a n n,... a n... a n a n a a a a a a a a RE FIGURE Şekilden de anlaşılabileceği gibi, n sayısı FIGURE büyüdükçe 2 FIGURE a 2 n = n n + dizisinin rom terimleri Figure From efigure or yaklaşır. 2 it appears or 2 it that appears the terms that the of terms the sequence of the sequence a n n na n n n are roaching approaching as n becomes as n becomes large. In fact, large. the In difference fact, the difference n n 7 a = 8 7 a = n MAT 00 Kalkülüs II 4 / 49

5 Diziler Gerçekten de, n sayısı yeteri kadar büyük alınarak n n + = n + farkı istenildiği kadar küçük yapılabilir. Biz bunu yazarak ifade ediyoruz. Genel olarak, lim n n + = lim a n = L gösterimi, n sayısı büyüdükçe {a n } dizisinin terimlerinin L ye yaklaştığını ifade etmek için kullanılır. MAT 00 Kalkülüs II 5 / 49

6 Diziler SECTION SECTION 8. SEQUENCES 8. SEQUENCES Tanım 2 n sayısı yeteri kadar büyük seçilerek a n terimleri L ye istenildiği kadar Definition Definition A sequence A sequence a n has a n the has limit the limit L and Lwe and write we write yakın yapılabiliyorsa {a n } dizisinin limiti L dir ve lim alim n al n Lor ora n lal n las Ln as l n l lim a n l n l n = L ya da n için a n L if we if can we make can make the terms the terms a n as aclose n as close to L as to we L as like we by like taking by taking n sufficiently n sufficiently large. large. If lim yazılır. Eğer lim a If n l lim a n l exists, a n exists, we say we the say sequence the sequence converges converges (or is (or convergent). is Otherwise, n değeri varsa {a n } dizi yakınsaktır. Aksi durumda; Otherwise, we say we the say sequence the sequence diverges diverges (or is (or divergent). is divergent). dizi, ıraksaktır. tion the of limit the limit n Appendix D. D. Figure Figure 3 illustrates 3 illustrates Aşağıdaki Şekilde lim a Definition Definition by showing by showing the graphs the graphs of two of sequences two sequences that have that hav n = L olan iki dizinin grafikleri gösterilmiştir. the limit the limit L. L. a n a n a n L L L If you If compare you compare Definition Definition with Definition with Definition you will you see will that see the that only the differ- only diffe 0 n n 0 0 n MAT 00 Kalkülüs II 6 / 49

7 . Thus, we have the following theorem, which is illustrated by Figure 4. Diziler 2 Bu Theorem TanımIf velim fonksiyonların x l f x Llimiti and ftanımı n karşılaştırıldığında a n when n is an integer, görüleceği then gibi lim lim n l a n = L. ve lim f(x) = L arasındaki tek fark, ilk limitte n nin doğal x sayı olmasıdır. y y=ƒ L x In Teorem particular, 3 since we know from Section 2.5 that lim x l x r 0 when r 0, have lim f(x) = L ve her n doğal sayısı için f(n) = a n ise lim a n = L olur. x 3 lim if r 0 n l n 0 r If a n becomes large as n becomes large, we use the notation MAT 00 Kalkülüs II 7 / 49

8 Diziler Özel olarak, r > 0 için lim = 0 olduğu bilindiğinden, r > 0 için x xr yazılır. lim n r = 0 Büyük n değerleri için a n de büyük değerler alıyorsa, lim a n = yazılır. Bu durumda {a n } dizisi ıraksaktır. Ancak bu özel ıraksak olma durumunu diğer ıraksaklıklardan ayırarak, {a n } dizisi sonsuza ıraksar diyeceğiz. MAT 00 Kalkülüs II 8 / 49

9 Diziler Yakınsak Dizilerde Limit Kuralları {a n } ve {b n } iki yakınsak dizi ve c bir sabit olmak üzere aşağıdakiler sağlanır. lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n lim (a n b n ) = lim a n lim b n lim (ca n) = c lim a n lim (a nb n ) = lim a n lim b n lim b a n 0 ise lim n bn = lim an lim bn p > 0 ve a n > 0 ise lim ap n = [ lim a n ] p MAT 00 Kalkülüs II 9 / 49

10 Diziler b n c n Another u which follow a n 0 n 4 Theorem Şıkıştırma teoremi diziler için aşağıdaki şekilde uyarlanabilir. FIGURE 5 Teorem 4 EXAMPLE 3 The sequence b F n is squeezed between n n 0 için a n the b n sequences c n sağlansın. a n and c n. SOLUTION The lim a n = lim c n = L ise lim b n = L olur. and denomin use the Limit MAT 00 Kalkülüs II 0 / 49

11 Diziler Diziler hakkındaki diğer yararlı bir sonuç olan aşağıdaki teorem, a n a n a n olduğundan Sıkıştırma Teoreminden elde edilir. Teorem 5 lim a n = 0 ise lim a n = 0 olur. MAT 00 Kalkülüs II / 49

12 Diziler Örnek 6 lim Çözüm. n n + limitini bulunuz. Kesrin pay ve paydasını, n nin paydada görülen en büyük kuvvetine böler ve limit kurallarını kullanırsak sonucuna ulaşırız. lim n n + = lim = n n ( + ) n lim lim + lim = + 0 = n MAT 00 Kalkülüs II 2 / 49

13 Diziler Örnek 7 ln n lim n Çözüm. limitini hesaplayınız. Burada, n iken hem pay hem de pay da sonsuza gitmektedir. L Hospital kuralını doğrudan uygulayamayız çünkü bu kural dizilere değil gerçel değerli fonksiyonlara uygulanabilmektedir. Ancak, L Hospital kuralını bu dizi ile çok yakından ilgili olan f(x) = ln x x fonksiyonuna uygulayabilir ve buluruz. Böylece elde ederiz. ln x lim x x = lim /x x = 0 ln n lim n = 0 MAT 00 Kalkülüs II 3 / 49

14 Örnek 8 Diziler {a n } = {( ) n } dizisinin yakınsak olup olmadığını belirleyiniz. Çözüm. functions of a real variab function f x ln x x a Therefore, by Theorem 2 Bu dizinin terimlerini tek tek yazarsak {,,,,,,,,,...} elde ederiz. a n EXAMPLE 5 Determine wh SOLUTION If we write out th n _ The graph of this sequenc and infinitely often, a Terimler, ( ) ile arasında FIGURE 6devamlı gidip geldiği için anot n hiç exist; birthat sayıya is, the sequ yaklaşmaz. Dolayısıyla, lim ( )n değeri yoktur. Başka bir deyişle, ( ) n dizisi ıraksaktır. EXAMPLE 6 Evaluate The graph of the sequence in Example 6 is shown in Figure 7 and supports the answer. SOLUTION lim n l MAT 00 Kalkülüs II 4 / 49

15 Diziler Örnek 9 { } ( ) n {a n } = limitini araştırınız. n Çözüm. İlk olarak, lim ( ) n n = lim Elde edilir. Dolayısıyla, Teorem 5 den n = 0 bulunur. ( ) n lim n = 0 MAT 00 Kalkülüs II 5 / 49

16 Diziler Örnek 0 Hangi r değerleri için {r n } dizisi yakınsaktır? Çözüm. a > için lim x ax = ve 0 < a < için lim x ax = 0 olur. Şimdi, a = r alarak Teorem 4 den {, r > lim rn = 0, 0 < r < bulunur. r = ve r = 0 olduğunda ise bulunur. lim n = lim = ve lim 0n = lim 0 = 0 MAT 00 Kalkülüs II 6 / 49

17 For the For cases the cases r rand r and 0rwe have 0 we have Diziler Çözüm(devamı). lim n lim n lim lim and andlim 0 lim n 0 lim n 0 lim 0 0 n l n l n l n l n l n l n l n l Ayrıca, < r < 0 ise 0 < r < sağlanır. Böylece, If If r 0r, then 0, 0then 0 r r, so, so lim r n lim lim = lim lim lim r n = 0 r n r n r n r 0 n 0 n l n l n l n l olur ve bu nedenle Teorem 5 den lim rn = 0 bulunur. Eğer r < veya and therefore and therefore lim lim by Theorem 4. If, then r n n r = ise {r n l r n by Theorem 0 4. If r, then r n n l r n 0 r diverges diverges as in as in Example Example 5. Figure 5. Figure } 9 shows ıraksaktır. 9 shows the graphs the r nin graphs for çeşitli various for değerleri various values values of için r. (The dizinin of r. case (The grafiği rcase rşekilde is is shown verilmiştir. shown in Figure in Figure 6.) 6.) a n a n a n a n r> r> _<r<0 _<r<0 r= r= 0 0 n n E 9 r n 0 0 n n 0<r< 0<r< r<_ r<_ MAT 00 Kalkülüs II 7 / 49

18 Diziler {r n } dizisi < r için yakınsak olup diğer r değerleri için ıraksaktır. { 0, < r < lim rn =., r = MAT 00 Kalkülüs II 8 / 49

19 Diziler Tanım Her n için a n < a n+ sağlanıyorsa (başka bir deyişle, a < a 2 <... ise) {a n } dizisine artan denir. Her n için a n > a n+ sağlanıyorsa {a n } dizisine azalan denir. Artan veya azalan bir diziye monoton denir. Örnek 2 { 3 n+5} dizisi azalandır çünkü her n için sağlanır. 3 n + 5 > 3 (n + ) + 5 = 3 n + 6 MAT 00 Kalkülüs II 9 / 49

20 Diziler Örnek 3 { } n n 2 dizisinin azalan olduğunu gösteriniz. + Çözüm. f(x) = x x 2 + fonksiyonunu alalım. x2 > olduğunda f (x) = (x2 + ) x 2x (x 2 + ) 2 = x2 (x 2 + ) 2 < 0 olur. Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu (, ) aralığında azalandır ve böylece f(n) > f(n + ) dir. Başka bie deyişle {a n } azalan bir dizidir. MAT 00 Kalkülüs II 20 / 49

21 Diziler Tanım 4 Her n için a n M sağlanacak şekilde bir M sayısı varsa {a n } dizisine üstten sınırlı, her n için a n m sağlanacak şekilde bir m sayısı varsa {a n } dizisine alttan sınırlı denir. Hem alttan hem de üstten sınırlı olan bir diziye sınırlı dizi denir. Örneğin, a n = n dizisi alttan sınırlıdır (a n > 0) ancak üstten sınırlı değildir. a n = n n+ dizisi sınırlıdır çünkü her n için 0 < a n < olur. MAT 00 Kalkülüs II 2 / 49

22 Diziler Teorem 5 (Monoton Dizi Teoremi) Sınırlı ve monoton her dizi yakınsaktır. MAT 00 Kalkülüs II 22 / 49

23 Diziler Örnek 6 a n = Çözüm. 2n dizisinin yakınsaklığını araştırınız. 3n+ Dizinin ilk birkaç terimini yazarak başlayalım; { 2 9, 4 27, 8 8, 6 243, ,...}. Buradan görüldüğü gibi dizinin terimleri 0 ve 2 9 arasında değerler almaktadır, dolayısıyla dizi sınırlıdır. {a n } dizisinin monoton olup olmadığını kontrol etmeliyiz. ( ) a n+ a n = 2n+ 2n 2n 2 = 3n+2 3n+ 3 n+ 3 = 2 n 3 3 n+ < 0 olduğundan dizi azalandır, dolayısıyla monotondur. Monoton Dizi Teoremi nedeniyle a n = 2n dizisinin yakınsak olduğunu söyleyebiliriz. 3 n+ MAT 00 Kalkülüs II 23 / 49

24 Seriler Seriler Verilen bir {a n } dizisinin terimlerini toplamaya çalışırsak a + a 2 + a a n +... () ifadesini elde ederiz. Bu sonsuz toplama bir sonsuz seri (ya da yalnızca seri) denir ve kısaca a n or an ile gösterilir. MAT 00 Kalkülüs II 24 / 49

25 Seriler Ancak, sonsuz tane terimin toplamından bahsetmek anlamlı mıdır? n +... serisinin toplamı için sonlu bir sayı bulmak olanaklı değildir. Çünkü, eğer terimleri sırayla toplarsak, 3, 6, 0, 5, 2,... sayılarını elde ederiz ve n. terimden sonra toplam n(n + ) 2 olur ve n büyüdükçe bu toplam da büyür. MAT 00 Kalkülüs II 25 / 49

26 Ancak, Seriler n +... serisinin terimlerini sıraya toplarsak 2, 3 4, 7 8, 5 6, 3 32, 63 64,..., 2 n,... n Sum of first n terms elde ederiz. Tablodan görüldüğü üzere daha fazla terim ekledikçe elde edilen kısmi toplamlar sayısına daha da yaklaşmaktadır. Gerçekten, yeteri kadar fazla terim ekleyerek kısmi toplamları sayısına istediğimiz kadar yaklaştırabiliriz. O halde, bu serinin toplamının olduğunu söyleyebilir ve yazabiliriz. 2 n = n +... = MAT 00 Kalkülüs II 26 / 49 H we mor A P we that W We and The lim

27 Seriler Benzer fikirler kullanarak () deki gibi verilen herhangi bir serinin toplamının var olup olmadığını bulabiliriz. Şimdi s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 kısmi toplamlarını ve genelde s n = a + a 2 + a a n = n i= a i toplamını ele alalım. Bu kısmi toplamlar yeni bir {s n } ve bu dizinin limitinin olup olmadığı araştırılabilir. Eğer lim s n = s limiti (sonlu bir sayı olarak) varsa o zaman, önceki örnekte olduğu gibi, bu limite a n serisinin toplamı diyoruz. MAT 00 Kalkülüs II 27 / 49

28 Seriler Tanım 7 (Kısmi Toplamlar Dizisi) Bir a n = a + a , serisi verildiğinde bu serinin n. kısmi toplamı s n = n a i = a + a a n i= ile tanımlı olmak üzere {s n } ile gösterilsin. {s n } dizisi yakınsak ve lim s n = s bir gerçel sayı olarak var ise a n serisi yakınsaktır ve a + a a n +... = s or a n = s yazılır. s sayısına serinin toplamı denir. {s n } dizisi ıraksak ise seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 28 / 49

29 Seriler Böylece, bir serinin toplamı o serinin kısmi toplamlar dizisinin limitidir. Bu nedenle, a n = s yazmak serinin yeteri kadar terimi toplandığında s sayısına istenildiği kadar yaklaşılabildiği anlamına gelmektedir. olduğuna dikkat ediniz. a n = lim n i= a i MAT 00 Kalkülüs II 29 / 49

30 Seriler Örnek 8 (Geometrik Seri) Önemli serilerden biri de a 0 olmak üzere a + ar + ar ar n + = ar n biçimindeki geometrik seridir. Her terim, kendisinden bir önceki terimin, r ortak oran sayısı ile çarpılmasıyla elde edilir (a = 2 ve r = 2 durumunu biraz önce görmüştük). r = ise then s n = a + a + + a = na ± olur. olmadığından bu durumda geometrik seri ıraksaktır. r ise olur. lim s n değeri s n = a + ar + + ar n ve rs n = ar + ar ar n MAT 00 Kalkülüs II 30 / 49

31 Seriler Bu iki denklem taraf tarafa çıkarılırsa s n rs n = a ar n = s n = a( rn ). (2) r bulunur. < r < ise n için r n 0 olup lim s a( r n ) n = lim = a r r a r lim rn = a r. elde edilir. Dolayısıyla, geometrik seri r < olduğunda yakınsaktır ve a toplamı r dır. Eğer r veya r > ise {r n } dizisi ıraksaktır, böylece (2) den lim s n değeri yoktur. Bu durumlarda geometrik seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 3 / 49

32 Seriler Örnekteki sonuçları şöyle özetleyebiliriz. ar n = a + ar + ar 2 + geometrik serisi r < olduğu zaman yakınsaktır ve serisinin toplamı r < için ar n = a r. olur. r ise geometrik seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 32 / 49

33 Seriler Örnek 9 2 2n 3 n serisi yakınsak mı yoksa ıraksak mıdır? Çözüm. Serinin n. terimini ar n şeklinde yeniden yazarsak 2 2n 3 n 4 n = 3 n = ( ) n elde ederiz. Böylece, bu seri a = 4 ve r = 4 3 r > olduğu için seri ıraksaktır. olan bir Geometrik Seridir. MAT 00 Kalkülüs II 33 / 49

34 Seriler Örnek 20 x < olmak üzere Çözüm. x n serisinin toplamını bulunuz. n=0 Bu seri n = 0 ile başlamaktadır ve dolayısıyla ilk terimi x 0 = dir. (Seriler için x = 0 olsa bile x 0 = olarak alacağız) Bu nedenle, x n = + x + x 2 + n=0 olur. Bu, a = ve r = x olan bir Geometrik Seridir. r = x < olduğu için seri yakınsaktır ve toplamı n=0 x n = x bulunur. MAT 00 Kalkülüs II 34 / 49

35 Seriler Örnek 2 serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve toplamını bulunuz. n(n + ) Çözüm. Bu seri geometrik seri değildir, bu nedenle yakınsak serinin tanımına geri dönerek serinin kısmi toplamlarını s n = n i= i(i + ) = n (n + ) olarak hesaplarız. Bu ifade eşitliği kullanılarak sadeleştirilebilir. i(i + ) = i i + MAT 00 Kalkülüs II 35 / 49

36 Seriler Çözüm (devamı). Böylece, s n = = n i(i + ) = i= ( ) + 2 = n + n i= ( 2 3 ( i ) i + ) + + ( n ) n + bulunur. Buradan, ( ) lim s n = lim n+ = 0 = elde edilir. Dolayısıyla, verilen seri yakınsaktır ve toplamı da = olarak bulunur. n(n + ) MAT 00 Kalkülüs II 36 / 49

37 Seriler Örnek 22 (Harmonik Seri) Harmonik Serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. n Çözüm. Bu seri için s 2, s 4, s 8, kısmi toplamlarını hesaplarsak, s 2 = + 2 s 4 = > = s 8 = > = elde ederiz. Genel olarak, n =, 2,... için s 2 n > + n 2 sağlanır. Bu eşitsizlik, n için s 2 n olduğunu gösterir. Buna göre {s n } serisi ıraksaktır. Dolayısıyla, Harmonik Seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 37 / 49

38 Seriler Teorem 23 a n serisi yakınsak ise lim a n = 0 dır. Not Herhangi bir a n sersisi bize iki dizi verir. Bu diziler, kısmi toplamlar dizisi {s n } ve serinin terimlerinin dizisi {a n } dir. a n yakınsak ise {s n } dizisi (serinin toplamı olan) s sayısına yakınsar. Böylece Teorem 23 den {a n } dizisinin limiti 0 olur. MAT 00 Kalkülüs II 38 / 49

39 Seriler Not 2 Teorem 23 ün tersi genelde doğru değildir. lim a n = 0 olması {a n } serisinin yakınsak olmasını gerektirmez. Örneğin, n Harmonik Serisinde n için a n = n 0 olur. Ancak n serisi ıraksaktır. Teorem 24 (Iraksaklık Testi) lim a n yoksa veya lim a n 0 ise a n serisi ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 39 / 49

40 Seriler Örnek 25 n 2 5n 2 serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. + 4 Çözüm. Açıkça lim a n = lim n 2 5n = lim n 2 = 5 0 olur. Dolayısıyla, ıraksaklık testinden bu seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 40 / 49

41 Seriler Not 3 lim a n 0 bulursak a n serisinin ıraksak olduğunu biliyoruz. Ancak, lim a n = 0 ise a n serisinin yakınsaklığı veya ıraksaklığı hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. Not 2 den, lim a n = 0 ise a n serisinin yakınsak ya da ıraksak olabileceğini görürüz. Teorem 26 an ve b n serileri yakınsak ise ca n (burada c sabit bir sayıdır), (an + b n ) ve (a n b n ) serileri de yakınsaktır. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır. ca n = c a n. 2 3 (a n + b n ) = a n + b n. (a n b n ) = a n b n. MAT 00 Kalkülüs II 4 / 49

42 Seriler Not 4 Bir seride sonlu sayıda terim serinin yakınsaklık durumunu değiştirmez. Örneğin, n=4 n n 3 + serisinin yakınsak olduğunu bildiğimizi varsayalım. n n 3 + = n=4 n n 3 + olduğu için n serisinin yakınsak olduğunu elde ederiz. Benzer n 3 + biçimde, n=n+ a n serisinin yakınsak olduğu biliniyorsa, serisi de yakınsak olur. a n = N a n + a n n=n+ MAT 00 Kalkülüs II 42 / 49

43 İntegral ve Karşılaştırma Testleri İntegral ve Karşılaştırma Testleri Genelde, serilerin toplamını tam olarak bulmak zordur. Bunu Geometrik Seri ve n(n+) serisi için başarabildik. Çünkü bu serilerin her birinde n. kısmi toplam s n için basit bir formül bulabilmiştik. Ancak genel olarak, lim s n limitini hesaplamak kolay değildir. Dolayısıyla, bu ve bundan sonraki bölümde toplamını açık olarak bulmadan serinin yakınsak veya ıraksak olduğunu belirlemeye olanak sağlayacak testler geliştireceğiz. Bu bölümde sadece pozitif terimli seriler ile ilgileneceğiz. Bu nedenle, kısmi toplamlar dizisi artan bir dizi olacaktır. Monoton Dizi Teoreminden serinin yakınsak olmadığını anlamak için kısmi toplamlar dizisinin sınırlı olup olmadığını incelemek yeterli olacaktır. MAT 00 Kalkülüs II 43 / 49

44 İntegral ve Karşılaştırma Testleri İntegral Testi İntegral Testi Teorem 27 (İntegral Testi) [, ) aralığında sürekli, pozitif, azalan bir f fonksiyonu verilsin ve a n = f(n) olsun. a n serisi ancak ve ancak f(x)dx integrali yakınsak ise yakınsaktır. Başka bir deyişle, aşağıdakiler geçerlidir. (a) f(x)dx integrali yakınsak ise a n serisi de yakınsaktır. (b) f(x)dx integrali ıraksak ise a n serisi de ıraksaktır. Not 5 İntegral testini kullanmak için serinin veya integralin n = den başlaması gerekli değildir. Örneğin, k=4 serisi için (n 3) 2 4 dx integralini (x 3) 2 kullanırız. f fonksiyonunun her yerde azalan olması da gerekli değildir. Önemli olan, f fonksiyonunun belli bir yerden sonraki bir N sayısından büyük tüm x değerleri için azalan olmasıdır. Bu durumda, n=n serisi yakınsaktır ve Not 4 den serisi de yakınsaktır. MAT 00 Kalkülüs II 44 / 49

45 İntegral ve Karşılaştırma Testleri İntegral Testi Örnek 28 p nin hangi değerleri için Çözüm. Açıkça, p < 0 ise lim durumda da lim n p n p serisi yakınsaktır? np n p = olur ve p = 0 ise lim 0 olduğu için Iraksaklık Testinden verilen seri = olur. Her iki ıraksaktır. p > 0 ise f(x) = x fonksiyonu [, ) aralığında sürekli, pozitif ve azalandır. x dx integralinin p > yakınsak ve p için ırsaksak olduğunu p bulmuştuk. İntegral Testine göre n serisi p > için yakınsak ve 0 < p için p ıraksaktır. (p = için bu seri Harmonik Seridir) MAT 00 Kalkülüs II 45 / 49

46 İntegral ve Karşılaştırma Testleri İntegral Testi Önceki Örnekteki seriye p-serisi denir. İleride kullanmak için Örnekteki sonucu aşağıdaki gibi özetleyebiliriz. serisi p > için yakınsak ve p için ıraksaktır. np MAT 00 Kalkülüs II 46 / 49

47 İntegral ve Karşılaştırma Testleri Karşılaştırma Testi Karşılaştırma Testi Teorem 29 (Karşılaştırma Testi) Pozitif tanımlı a n ve b n serilerini göz önüne alalım. Bu durumda Aşağıdakiler geçerlidir. b n yakınsak ve her n için a n b n ise a n yakınsaktır. b n ıraksak ve her n için a n b n ise a n ıraksaktır. Not 6 Karşılaştırma testindeki a n b n veya a n b n koşulunun her n için sağlanması gerektiği verildiği halde belirli bir sabit N tamsayısından büyük tüm n sayıları için doğru olması testi uygulayabilmek için yeterlidir. Çünkü sonlu sayıda terim yakınsaklık-ıraksaklık durumunu değiştirmez. MAT 00 Kalkülüs II 47 / 49

48 İntegral ve Karşılaştırma Testleri Karşılaştırma Testi Örnek n 2 +4n+3 Çözüm. serisinin yakınsak olup olmadığını belirleyiniz. Büyük n değerleri için paydadaki baskın terim 2n 2 dir. Dolayısıyla, verilen seriyi 5 serisi ile karşılaştırabiliriz. Şimdi, 2n 2 5 2n 2 +4n+3 < 5 2n 2 eşitsizliği doğrudur çünkü sol tarafın paydası daha büyüktür. 5 2n 2 = 5 2 serisinin yakınsak olduğunu biliyoruz (p = 2 > olan p-serisi). Bu nedenle Karşılaştırma Testinden serisi de yakınsaktır. 5 2n 2 +4n+3 MAT 00 Kalkülüs II 48 / 49 n 2

49 İntegral ve Karşılaştırma Testleri Karşılaştırma Testi Örnek 3 ln(n) serisinin yakınsak olup olmadığını inceleyiniz. n Çözüm. Bu seri için integral testini kullanabiliriz. Ancak, burada Harmonik Seri ile karşılaştırma yaparak inceleyeceğiz. Her n 3 için ln(n) > olduğundan ln(n) n > n, n 3 bulunur. n serisinin ıraksak olduğunu biliyoruz (p = olan p-serisi). Dolayısıyla Karşılaştırma Testinden verilen seri ıraksaktır. MAT 00 Kalkülüs II 49 / 49

Sonsuz Diziler ve Seriler

Sonsuz Diziler ve Seriler Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2)

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2) 2 86 Bölüm 9 Diziler Tanım 9. a 0, a, a 2,..., a n,... (9.) biçiminde sıralanmış sayılar kümesine dizi denilir. {a n }, (a n ) n=0, {a n} n=0 gibi gösterimler kullanılır. Bu gösterimlerde, i doğal sayısına

Detaylı

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :

Detaylı

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz.

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3

Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3 Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.

Detaylı

Matematik Mühendisliği - Mesleki İngilizce

Matematik Mühendisliği - Mesleki İngilizce Matematik Mühendisliği - Mesleki İngilizce Tanım - Definition Tanım nasıl verilmelidir? Tanım tanımlanan ismi veya sıfatı yeterince açıklamalı, gereğinden fazla detaya girmemeli ve açık olmalıdır. Bir

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti

Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa,

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS. Lect. Yasin ORTAKCI.

WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS. Lect. Yasin ORTAKCI. WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS Lect. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr 2 INTERPOLATION Introduction A census of the population of the United States is taken every 10 years. The following table

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır.

1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır. FİNANSAL MATEMATİK ALTYAPI. Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır. i-) Toplama: Eşit üslü benzer ifadelerin katsayıları toplanır. 3a 5 +,5a 5 =,5a 5 a 3-7a

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,

Detaylı

BBM Discrete Structures: Midterm 2 Date: , Time: 16:00-17:30. Question: Total Points: Score:

BBM Discrete Structures: Midterm 2 Date: , Time: 16:00-17:30. Question: Total Points: Score: BBM 205 - Discrete Structures: Midterm 2 Date: 8.12.2016, Time: 16:00-17:30 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 Total Points: 12 22 10 10 15 16 15 100 Score: 1. (12 points)

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

Sevdiğim Birkaç Soru

Sevdiğim Birkaç Soru Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru

Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Aldemir, S. (004). Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru, İlköğretim-Online, 3(), 4-47, [Online]: http://ilkogretim-online.org.tr Hangi onluğa daha yakın dan limite doğru Salih ALDEMİR salihaldemir65@mynet.com

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

BBM Discrete Structures: Final Exam Date: , Time: 15:00-17:00

BBM Discrete Structures: Final Exam Date: , Time: 15:00-17:00 BBM 205 - Discrete Structures: Final Exam Date: 12.1.2017, Time: 15:00-17:00 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total Points: 6 16 8 8 10 9 6 8 14 5 10 100 Score:

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1

1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1 Primitif Kökler [Fermat ] p asal, p a a p (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) =, a φ(m) (mod m) φ : Z + Z + φ() := φ(m) := {x Z x < m, ebob(x, m) = } φ fonksiyonunun özellikleri: ) m >, φ(m)

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı