Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:

Transkript

1 VEKTÖRLER 1

2 Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler: Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir. Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. 2

3 Örneğin bir noktaya etkiyen kuvvet, vektörel bir büyüklüktür. Bu kuvvet; uygulama noktası, şiddeti, doğrultusu ve yönü ile tanımlanır. yön A AB Uygulama noktası Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir. Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti (büyüklüğü) AB ile ifade edilir. B Kuvvetin doğrultusu (tesir çizgisi) 3

4 Vektörel İşlemler Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir A B 2B A 0.5B 4

5 Vektörlerin Toplamı Paralelkenar ilkesi ile: OA A OC C OC OA OB O OB B 5

6 Vektörlerin Toplamı A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan üçgen ilkesi ne göre de toplayabiliriz. A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A nın başlangıcı ile B nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir. Vektör toplamı komutatif tir, vektörler herhangi bir sırada toplanabilir. R A B B A 6

7 Vektörlerin Toplamı A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse paralelkenar kuralı cebirsel (skaler) toplama indirgenir. R= A+B (şiddetlerin toplamı) 7

8 Vektör Çıkarması A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü: R A B A ( B) Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de kullanılmaktadır. 8

9 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem: Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak 9

10 Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür.bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi bilinmelidir. Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir. 10

11 İkiden fazla kuvvetin toplanması İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir. R ( )

12 Analizde izlenecek yol Paralelkenar kuralı Trigonometri 12

13 Örnek 1 1 ve 2 kuvvetlerinin bileşkesini ve yönünü bulunuz. Çözüm: 13

14 Kosinüs teoremi nden: Örnek 1 Sinüs teoreminden: 14

15 Örnek N 200 N Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzerinde olması için kuvvetinin şiddetini bulunuz. 200 N 200 N Sin60 Sin N R 200 N Sin75 Sin N R 15

16 ödev 600 N Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzerinde, 2 kuvveti ise minimum şiddette olsun) 16

17 Düzlemsel kuvvetlerin toplanması (Kartezyen Koordinatlar) Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayrılırsa, bu bileşenlere kartezyen bileşenler denir. x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir. Skaler gösterim: x y.cos.sin 17

18 vektörünün yönü, açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de gösterilebilir. x y a ( ) c b ( ) c veya veya x y a c b c y vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti kullanılmalıdır. 18

19 Kartezyen vektör gösterimi Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir. x iˆ y ˆj 19

20 20 Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır. j i j i j i y x y x y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

21 Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri R VEKTÖREL TOPLAM SKALER TOPLAM 21

22 İkiden fazla kuvvetin toplanması Rx Ry x y Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir. 22

23 Rx x Ry y Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabilir. 23

24 Örnek 3: Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz 24

25 Örnek 3: 25

26 Ödev 3-4 Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için 1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz 26

27 Kartezyen Vektörler Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir. Sağ El Koordinat Sistemi: Vektör cebri işlemlerinde sağ el koordinat sistemi kullanılacaktır. 27

28 28 Bir vektörün kartezyen bileşenleri Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak; z y x y x z A A A A A A A A A A

29 Kartezyen birim vektörler Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir. 29

30 Kartezyen vektör gösterimi Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir. A A iˆ x A y ˆj A kˆ z 30

31 Kartezyen vektörün büyüklüğü Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için: A A' 2 A 2 z A' A x 2 A 2 y 31

32 Kartezyen vektörün yönleri A vektörünün doğrultusu, A nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır., ve yı belirlemek için A nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır. 32

33 Yön kosinüsleri 33

34 A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır. ua nın büyüklüğü 1 olduğundan; ** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü kartezyen koordinatlarda ifade edilebilir. 34

35 Kartezyen vektörlerin toplanması 35

36 Örnek 4 kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz. x (+x) yönünde olduğu için 60 olmalı 36

37 Ödev 5 kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz 37

38 Konum Vektörleri Konum vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir. r konum vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür. 38

39 Daha genel bir halde, konum vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına da yönelebilir. Vektör toplamı 39

40 r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (x A, y A, z A ), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (x B, y B, z B ) çıkartılarak bulunabilir. Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r yi verir. A dan başlıyarak B ye ulaşılıyor. 40

41 41

42 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A dan B ye olan kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir. 42

43 Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan kuvvet vektörü 43

44 Örnek 5 Şekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. 44

45 45

46 Ödev 6 A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin. 46