Mustafa YAĞCI, Kombinasyon

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon"

Transkript

1 Mustafa YAĞCI Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir. n, r N ve 0 r n olmak üzere, n elemanlı A kümesinin r elemanlı altkümelerinden her birine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir ve C(n, r) veya n şeklinde r gösterilir. Anlayacağınız, kümelerde elemanların sıralanışı önemli olmadığından kombinasyonda da sıra önemli değildir. Sadece elemanların neler ve kaç tane olduğu önemlidir. Bir diğer önemli nokta da n ifadesinin solunda P ya r da C harfi yazmıyorsa, bunun kombinasyon olarak anlaşılması gerektiğidir. C(n, r) nasıl hesaplanır? Yukardaki tanımdan anladığımız kadarıyla kombinasyonla bir miktar nesneyi seçiyoruz, bunu da permutasyonla sıralıyoruz. Peki, r tane nesne kaç değişik şekilde sıralanır? r! kadar değişik şekilde. O halde P(n, r) sayısını r! e bölmek C(n, r) yi verecektir. Pnr (, ) n! C(n, r) = = r! ( n r)!. r! n sayısını daha pratik olarak hesaplamak isteyen biri, r n den geriye doğru r tane sayıyı çarpıp r! e bölebilir. Örneğin, = = 45, = = 20, = = n Teorem. = 1. 0 n Kanıt: sayısı n tane nesneden 0 tanesini kaç değişik 0 şekilde seçebileceğimizin sayısıdır. O zaman cevap 1 olmalı, çünkü hiçbir nesneyi seçmeme hakkımızı kullanmışız. Formülü boşuna mı bulduk diyenler için bir de formülle çözelim: n n! = = 1. 0 ( n 0)!0! n Teorem. = 1. n n Kanıt: sayısı, n tane nesnenin n tanesinin kaç değişik şekilde seçilebileceğinin sayısını verir. Yani ne var n ne yok hepsini alacakmışız. Buradan da anlaşılıyor ki, bunun 3-5 yolu olmaz, hepsini alacaksan bunu sadece 1 şekilde yapabilirsin. Bundan dolayı cevabımız 1 Hemen formülün doğru işlediğini de görelim: n n! = = 1. n ( n n)! n! Teorem. n n =. r n r n! Kanıt: Her ikisinin de eşiti olduğundan eşitlik doğrudur. ( n r)! r! n Bu teoremi şöyle de izah edebiliriz: ne demek? r n tane nesneden r tanesini seçmek. Peki geride ne bıraktığınızı düşündünüz mü? n r tane nesne. Seçtiğiniz r tane nesne değiştikçe geride kalan n r tane nesne de değişir. Yani seçecek n tane nesneyi belirlemek, seçilmeyecek n r tane nesneyi belirlemektir. Dolayısıyla eşitlik doğrudur. 158

2 Örnek toplamı kaça eşittir? A) 99 B) 98 C) 1 D) 0 E) 1 Çözüm: Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler birbirlerine eşit olduklarından her terim sadeleşir ve geriye kocaman bir 0 kalır. Örnek. 1 den 49 a kadar numaralandırılmış 49 toptan 6 sı çekiliyor. Çekilen 6 topun numarasını garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? A) C(49, 6) B) P(49, 6) C) P(49, 43) D) 49! E) 49! 6! Çözüm: Çeken adam kaç değişik şekilde bu 6 topu çekebilirse, bizim de en az o kadar tahminde bulunmamız lazım, yani C(49, 6) C(49, 6) = = Örnek toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Çözüm: = 3 olduğundan = olduğunu biliyoruz. Sadece birini bulup, 2 ile çarpsak yetecek = 3 olduğundan cevap 6 dır. 1 7 n n Örnek. = olduğuna göre n kaçtır? 1 n Örnek. 6 kişilik bir ekipten 4 kişi ve bu 4 kişi arasından da bir lider seçilecek. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm: Önce 6 kişiden kaç değişik şekilde 4 kişiyi seçebileceğimizi bulalım: C(6, 4) = C(6, 2) = 15. Şimdi de 4 kişi arasından 1 kişinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım: C(4, 1) = 4. Saymanın temel ilkesine göre bu değerler çarpılmalıdır: 15 4 = 60 değişik seçenek vardır. Doğru cevap: E. A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 n n Çözüm: = n 1 olduğunu biliyoruz. Diğer 1 n yandan; = = 35 olduğundan n 1 = 35 olur 321 ki buradan n = 36 bulunur Örnek. = olduğuna göre n nin alabileceği değerlerin toplamı 2n+ 1 3n 1 kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 Çözüm: İki durum mümkündür. Ya 2n + 1 ile 3n 1 değerlerinin toplamı 15 dir veya bu değerler birbirlerine eşittir. 2n n 1 = 15 eşitliğinden n = 3, 2n + 1 = 3n 1 eşitliğinden n = 2 dir. O halde n nin alabileceği değerler toplamı = 5 Doğru cevap: C. Örnek. 52 lik bir deste iskambil kağıdından iki kağıt kaç türlü çekilebilir? A) 2652 B) 1326 C) 1200 D) 104 E) 103 Çözüm: 52 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını istiyoruz. 52! C(52, 2) = = = = ! (52 2)! 1 2 Örnek. 52 lik bir deste iskambil kağıdından, içinde maça ası olan 5 kartlı el kaç farklı şekilde elde edilebilir? A) C(52, 5) B) P(52, 5) C) C(51, 5) D) P(51, 4) E) C(51, 4) Çözüm: Maça ası garanti olduğuna göre, maça asının yanına, kalan 51 kağıttan 4 tanesini seçeceğiz. 51! C(51, 4) = = = !47! 4321 Doğru cevap: E. 159

3 Örnek. İçinde tam 5 maça bulunan 13 kartlı kaç briç eli vardır? A) C (13, 5) B) C (39,8) C) C(13,5) + C(39,8) D) C(13,5) C(39,8) E) C(13,5) C(52,8) Çözüm: 5 maçanın kümesini A ile ve içinde maça bulunmayan diğer 8 kartın kümesini B ile gösterirsek, (A, B) sıralı ikililerinin sayısı sorunun cevabı olur. 52 lik bir destede toplam 13 kupa, 13 karo, 13 maça ve 13 sinek vardır. Öyleyse A için C (13, 5) ve B için C (39,8) ihtimal vardır. Böylece aranan sayı C(13, 5) C(39,8) dir. Örnek. Her bir masada en az bir kişinin oturması koşuluyla, 5 kişi iki özdeş yuvarlak masaya kaç farklı şekilde oturabilir? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm: Masanın birine 1 kişi diğerine de 4 kişiyi oturtturalım. Ama önce 1 kişiyi seçmemiz gerekecek. Kalan 4 kişi de diğer yuvarlak masaya oturur. Sonra da birine 2 diğerine 3 kişiyi oturtturacağız. Önce 2 kişi seçeceğiz, kalan 3 kişi diğer yuvarlak masaya oturacaklar. Masalar özdeş olduğundan 3-2 ve 4-1 oturuşlarını hesaplamaya gerek yoktur ! 3! + 1! 2! = = Örnek. Ali nin cebinde 7 tane 5 milyonluk ve 4 tane 10 milyonluk vardır. Ali, 35 milyon liralık hesabı kaç farklı şekilde verebilir? A) 343 B) 323 C) 303 D) 140 E) 100 Çözüm: 4 ayrı durum mümkündür. Ya hepsini 5 milyonluklarla öder, ya 1 tane 5 milyonluk ve 3 tane 10 milyonlukla, ya 3 tane 5 milyonluk ve 2 tane 10 milyonlukla ya da 5 tane 5 milyonluk ve 1 tane 10 milyonlukla öder. Bunlar birlikte düşünülürse, 1 + C(7,1) C(4,3) + C(7,3) C(4,2) + C(7,5) C(4,1) = = 323 farklı ödemenin mümkün olduğu görülür. Örnek. Bir öğrenci 10 soruluk bir sınava girmiştir. a) Sadece 8 tanesini cevaplamışsa, bunu kaç farklı şekilde yapmış olabilir? b) Bu öğrenci ilk 3 soruyu cevaplamak zorundaysa toplam 8 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? c) Bu öğrenci ilk 5 sorudan en az dördünü cevaplamak zorundaysa, toplam 8 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? Çözüm: a) C(10,8) = C(10, 2) = 45 b) İlk üç soruyu cevaplayacağı için kalan 5 soruyu 10 3 = 7 soru arasından seçmelidir. O halde C(7, 5) = C(7, 2) = 21. c) Öğrenci ilk 5 soruyu cevaplarsa, kalan 3 soruyu kalan 5 sorudan C (5,3) = 10 yolla seçebilir. İlk 5 sorudan 4 tanesini cevaplarsa, kalan 4 soruyu beş soru içinden seçecektir. O halde 10 + C(5,4) C(5,4) = = 35 yolla seçebilir. Örnek. Başkan, başkan yardımcısı ve 7 üyeden oluşan bir grup sıra halinde dizilerek fotoğraf çektireceklerdir. Başkan ile yardımcısı arasında 5 üye olmak üzere kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler? A) 7! 5! 3! B) 7! 5! 2 C) 7! 3! 2 D) 7! 3! E) 5! 3! Çözüm: Önce 7 üyeden 5 ini seçelim. C(7, 5) kadar değişik şekilde 5 üye seçebiliriz. Bu 5 üyeyi başkanla yardımcısının arasına koyarak, hepsini bir iple bağlayalım. Şimdi 1 adam gibi oldular. Diğer iki üyeyle birlikte 3 adamı sıraya dizeceğiz. Bu da 3! kadar diziliş demektir. Başkanla yardımcısı da 2! kadar yer değiştirirler. Ortadaki 5 üye de 5! kadar yer değiştirir. Hepsi birlikte düşünülünce cevap 7 7! 3! 2! 5! = 3! 2! 5! = 7! 3! 5 2! 5! Örnek. 5 erkek ve 2 kız öğrenci yüzleri öğretmenlerine dönük olacak şekilde yan yana sıra olacaktır. Sıranın soldan ilk iki elemanı erkek, son elemanı kız öğrenci olacağına göre bu sıralama kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 960 B) 720 C) 540 D) 480 E) 360 Çözüm: Önce 2 erkek seçelim, sıranın başına koyalım. Bunu C(5, 2) = 10 değişik şekilde yapabiliriz. Şimdi bir kız seçip, sıranın sonuna koyalım. Bunu da C(2, 1) = 2 değişik şekilde yapabiliriz. Kalan 3 erkeği ve 1 kızı da araya koyalım. Baştaki erkekler ve ortadaki insanların kendi aralarında yer değiştirmelerini de düşünürsek, cevabımız ! 4! =

4 Örnek. Rakamlarından sadece 4 tanesi 0 olan yedi basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 9 3 B) C) D) E) Çözüm: Önce XYZ0000 şeklinde kaç sayı olduğunu bulalım. 0 adedi 4 ten fazla olamayacağından X, Y, Z değerleri 1 ile 9 arasında değerler alabilirler. O halde bu şekilde = 9 3 tane sayı vardır. Şimdi 0 ların yerini değiştireceğiz. Son 6 basamağın herhangi 4 ünde bulunabilirler. Bunun yüzünden sorunun cevabı 9 3 C(6, 4) = Örnek. 4 öğrenci 5 farklı sınıfa dağıtılacaktır. Sınıflardan herhangi üçüne hiç öğrenci gönderilmeyecek, kalan 2 tanesindeyse en az 1 öğrenci bulunacaktır. Bu dağıtım kaç türlü yapılabilir? A) 280 B) 140 C) 70 D) 35 E) 28 Çözüm: Önce öğrenci gönderilecek 2 sınıfı seçelim. Bu seçim C(5, 2) = 10 türlü yapılabilir. Şimdi 4 öğrenciyi iki sınıfa 1-3, 2-2, 3-1 diye dağıtacağız. Son olarak da sınıfların ismini değiştireceğiz, yani birindekiler diğerine gidecek, olacak bitecek. Şimdi dediklerimizi yapalım: ! = Örnek. 9 ve 8 rakamlarının kullanılıp, 7 rakamının kullanılmadığı dört basamaklı rakamları farklı kaç değişik doğal sayı vardır? A) 234 B) 468 C) 504 D) 936 E) 1008 Çözüm: Toplam 4 basamak olacağından 9 ve 8 rakamlarının yanına 2 rakam daha seçelim. Bu iki rakamı 0 dan 6 ya kadar olan 7 rakam arasından seçeceğimizden, seçim sayısı C(7, 2) = 21 Şimdi elimizdeki dört farklı rakamı 4! = 24 kadar değişik şekilde sıraya dizebiliriz. Demek ki = 504 değişik sayı yazmak mümkündür. Şimdi bu sayıların içinde ilk rakamı 0 olanları atacağız. İlk rakam 0 olsun. 9 ve 8 rakamlarının kesinlikle var olduğunu da biliyoruz. O halde dördüncü rakam 6 değişik sayı olabilir. Daha sonra son üç basamak kendi arasında 3! = 6 değişik şekilde sıralanabileceğinden 6 6 = 36 sayının 0 ile başladığını anlıyoruz. O halde sorumuzun cevabı = 468 Örnek. 5 evli çiftin oluşturduğu 10 kişiden, içinde sadece 1 evli çift olan 4 kişi kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 120 B) 100 C) 28 D) 24 E) 20 Çözüm: 5 evli çiftten 1 ni C(5, 1) = 5 değişik şekilde seçebiliriz. Bir çifti seçtik diyelim. Geriye 4 evli çiftten oluşan 8 kişi kaldı. Bunlardan da 2 kişi seçeceğiz ama evli olmayacaklar. Bu seçim de C(8, 2) C(4, 1) = 28 4 = 24 kadar değişik şekilde yapılabilir. O halde cevabımız 5 24 = 120 Örnek. 5 erkek ve 5 kızdan oluşan 10 kişi, her grupta 1 erkek ve 1 kız olacak biçimde kaç farklı 5 gruba ayrılabilir? A) 120 B) 240 C) 600 D) 10! E) 2 10! Çözüm: İki farklı yol sunacağız. Örnek. a, b, c, d, e, f, g harflerinin tümü yan yana sıralanacaktır. a ve b, sıranın ortasına gelen harfin sağ tarafında olacak şekilde kaç farklı sıralanış mümkündür? A) 5! B) 3 5! C) 6! D) 9 5! E) 7! Çözüm: a ve b sayılarını son üç basamaktan herhangi ikisini seçip, oralara koyalım. Daha sonra da kalan 5 boş basamağa 5 harfi koyup, sıraya dizelim. a ile b nin yer değiştirebileceğini de unutmayalım. Bu durumda cevap C(3, 2) 5! 2! = 3 5! 2 = 6 5! = 6! Doğru cevap: C. Birinci yol. 5 erkeği solumuza, 5 kızı sağımıza alalım. Şimdi herhangi bir erkeği seçelim. Bu erkeğin grubuna girecek kaç kız adayı var? 5 değil mi? Herhangi bir kızı seçip, o grubu yollayalım. Şimdi ikinci erkeği alalım. Bunun grubuna aday 4 kız var. İşlemler böyle böyle sürdürülürse cevabın = 5! olduğu görülür. İkinci yol. 5 grubu 5 kutu olarak düşünün, her erkeği bir kutuya koyun. Kutuların yani grupların isimleri olmadığı olmadığından, bu dağıtımı sadece 1 değişik şekilde yaparız. Şimdi erkeklerin yanında birer boşluk var. 5 boşluğa 5 kız kaç farklı şekilde yerleştirilir sorusu oldu, bunun da cevabının 5! olduğunu biliyoruz. 161

5 Örnek. Bir seyahat acentası başvuran 8 kişinin 3 ünü İstanbul a, 3 ünü Ankara ya, 2 sini de İzmir e geziye yollayacaktır. Bunu kaç farklı şekilde yapması mümkün olur? A) 120 B) 140 C) 280 D) 560 E) 1120 Çözüm: Önce 3 kişi seçerek İstanbul a yolcu edelim. Bu C(8, 3) = 56 kadar farklı şekilde mümkün. Şimdi de kalan 5 kişiden 3 ünü seçip, Ankara ya yollayalım. Bu da C(5, 3) = 10 kadar farklı şekilde mümkün. Kalan 2 kişi mecburen İzmir e gidecek. O halde; C(8, 5) C(5, 3) C(2, 2) = = 560. Sıranın önemi var mı, bir düşünün bakalım! Örnek. 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip oluşturulup, bu 5 ekibi 5 farklı şehre yollamak istiyoruz. Bunu kaç farklı şekilde yapabiliriz? A) B) C) D) E) 3325 Çözüm: Önce A şehrine yollayacağımız 2 kişilik ekibi seçelim. Bunu C(10, 2) değişik şekilde yapabiliriz. Şimdi de B şehrine gidecek ekibi seçelim. Geriye 8 kişi kaldığından bunu C(8, 2) değişik şekilde yapabiliriz. Bu iş böyle devam ederse, cevabın = olduğunu buluruz. Örnek. 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Örnek. 10 arkadaş, 3 arabayla seyahate çıkacaklardır. Arabaların biri 2 kişilik, diğerleri 4 kişiliktir. Belli iki arkadaş aynı arabada olmamak üzere, kaç değişik şekilde yola çıkabilirler? A) 1120 B) 2000 C) 2240 D) 3000 E) 3360 Çözüm: Sorunun, hangi arabada olduğunun önemi var ama araba içinde oturduğun yerin önemi yok gibi sorulduğunu düşüneceğiz. Önce şu küsmüş gençleri yerleştirelim. Birini iki kişilik arabaya, diğerini dört kişilik arabalardan birine koyalım. Geriye kalan 8 kişiden birini, iki kişilik arabada kalan boş yere, geriye kalanlardan 3 ünü de dört kişilik arabada boş kalan 3 kişilik yere koyalım. Bunun sayısı C(8, 1) C(7, 3) = 280 dir. Şimdi de küsmüşlerin birini iki kişilik arabaya, diğerini de diğer 4 kişilik arabaya koyalım. Bunun sayısı yukardakiyle tamamen aynıdır. Son olarak, küs gençlerin biri dört kişilik arabanın birine, diğerini de dört kişilik arabanın diğerine koyalım. Geriye kalan 8 kişiden 2 sini seçip 2 kişilik arabaya, kalan 6 kişiden 3 ünü de dört kişilik arabalardan birinde kalan 3 kişilik boş yere koyalım. Kalan 3 kişi, mecburen, kalan 3 kişilik boş yere oturur. (Şunlar bi gitseydi de kurtulsaydık!) Bunun sayısı da C(8, 2) C(6, 3) = 560 dır. Bitmedi, oturuşların tümünde küs gençler birbiriyle yer de değiştirebilir. Bulduğumuz sonucu 2 yle çarpmalıyız. O halde cevabımız = Doğru cevap: C. A) 4725 B) 945 C) 189 D) 63 E) 21 Birinci yol. Diyelim X değişik şekilde oluşturulabilir. Şimdi biz bu 5 ekibi 5 değişik şehre kaç değişik şekilde yollayabiliriz? 5! değil mi? O zaman 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip oluşturulup, bu 5 ekibi 5 farklı şehre yollamanın X 5! kadar değişik seçeneği varmış. E, biz bu soruyu bir önceki soruda çözerek cevabın olduğunu bulmuştuk. O halde X = = 945 5! İkinci yol. = Neden mi? Söyleyeceğimi mi sandınız? Meslek sırrı! Örnek. 10 kişi, aynı anda 5 çift olmak üzere tokalaşıyorlar. Bu tokalaşmalardan kaç değişik fotoğraf çekilebilir? A) 4725 B) 945 C) 189 D) 63 E) 21 Çözüm: 10 kişiden birisi A olsun. A ile tokalaşacak kişi C(9, 1) değişik şekilde seçilebilir. Şimdi A ile tokalaşmayan birini alalım. Adı B olsun. B nin eşini C(7, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi A yla da B yle de tokalaşmayan birini alalım. Adı C olsun. C nin eşini de C(5, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi de ne A ne B ne de C yle tokalaşmış birini alalım. Adı D olsun. D nin eşini C(3, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Son olarak, A, B, C, D nin hiçbiriyle tokalaşmamış birini alalım. Onun adı da E olsun. E nin eşini de C(1, 1) şekilde seçebiliriz. O halde sonuç =

6 Örnek. 9 çocuk, 3 erli 3 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? A) 1680 B) 840 C) 280 D) 140 E) 70 Çözüm: Yine iki çözüm yapacağız. Birinci yol. Eğer kimlerle takım oluşturduğunla birlikte, hangi takımda olduğun da önemli olsaydı, = 1680 diye çözüm yapardık. Ama burada takımların önemi yok. Daha açık ifadeyle üstteki durumda (a, b, c), (d, e, f ) ve (k, l, m) takımlarını kendi aralarında da yer değiştirmiş oluyoruz. Halbuki bu soruda buna gerek yok. O halde cevabımız = 280 3! İkinci yol. 9 kişiden rastgele birini alalım. Şimdi bu adama takım oluşturmak için 2 adam lazım. O iki adamı C(8, 2) = 28 değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi ilk takım oluştu. Kalan 6 adamdan rastgele birini alalım. Bu adama da takım oluşturmak için iki adam lazım. Kalan 5 adamdan ikisini C(5, 2) = 10 değişik şekilde seçebiliriz. Kalan üç kişi ise bir takımdır zaten. Demek ki cevabımız = 280 Doğru cevap: C. Örnek. 4 kişi 4 kişilik 4 arabaya kaç değişik şekilde binebilir? A) 64 B) 96 C) 128 D) 180 E) 256 Çözüm: 4 kişiyi 4 arabaya , , , veya şeklinde binebilirler. Her durumu ayrı ayrı değerlendirip, sonuçları toplayacağız demek 4 kişinin hepsinin tek bir arabaya binmesi demektir. 4 değişik araba olduğu için bu durum 4 değişik şekilde gerçekleşebilir demek, bir arabaya 3 kişi, bir arabaya da 1 kişinin binmesi demektir. Tabi ki bu 3 kişinin bineceği araba da, 1 kişinin bineceği araba da değişebilir. Ayrıca 3 kişi de hangi 3 kişi? Dolayısıyla o 3 kişinin de seçilmesi gerekir ! O halde bu durum = 48 değişik şekilde olabilir. Benzer mantıklarla 1 2! 4 2 4! durumu = 36, 2 2 2! 2! ! durumu = 144, ! 2! 1! durumu = olduğundan = 256 değişik şekilde binebilirler. Doğru cevap: E. Örnek toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 2007 A) 2008 B) D) E) C) 4 Çözüm: Bir torbada 2007 adet sarı, 2008 adet kırmızı top bilye olduğunu düşünün. Bu torbadan 3 top seçeceksiniz. Sizce gelen 3 topun rengi ne olur? Ya üçü de sarı, ya ikisi sarı biri kırmızı, ya biri sarı ikisi kırmızı ya da üçü de kırmızı olur değil mi? İşte yukardaki kombinasyonlar tam bu problemin çözümü için yazılmıştır. Yani, 4015 toptan 3 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi 4015 anlatır. O halde cevap Örnek = k 2 eşitliğini sağlayan k kaçtır? A) 2008 B) 2007 C) 2006 D) 2005 E) 2004 Çözüm: İki farklı yol göstereceğiz. Birinci yol. C(n, r) açılımını kullanırsak, basit dört işlem hareketleriyle sonucu bulabiliriz = k ! 2007! = k 3! 2005! 2! 2005! 2008! 2007! = k 2! 2005! 2! 2005! 2008! = k 2007! eşitliğinden k = 2008 bulunur. İkinci yol. Kanıtını aynen yukardaki soruyu çözdüğümüz gibi yapabileceğimiz n r n = n 1 r r 1 eşitliğini de kullanabiliriz. Soruda r = 3 ve n = 2008 olarak verildiğinden k = n = 2008 dir. 163

7 n Elemanlı Bir Kümenin r Elemanlı Altkümelerinin Sayısı. Bir kümenin elemanlarıyla oluşturulabilecek her kümeye o kümenin bir altkümesi denmez miydi? Yani altküme oluşturmak için ille de elemanları bir kümenin elemanlarından seçmeliyiz. Seçme deyince de aklımıza kombinasyon gelmesin de ne gelsin? n elemanlı bir kümenin elemanlarından r tanesini seçerek, r elemanlı bir altküme oluşturmanın, n tane toptan r tanesini seçmekten zerre farkı yoktur. Bundan dolayı aradığımız sayı C(n, r) dir. Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 Çözüm: A kümesi 5 elemanlıdır. Bu 5 elemandan herhangi 3 tanesi her zaman 3 elemanlı bir alt küme verir. O halde kaç farklı şekilde 3 eleman seçebileceğimizi bulmalıyız: 5 5 = = Örnek. 5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin adedi kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 Çözüm: En çok 2 elemanlı alt küme sayısı sorulduğundan 2 elemanlı alt kümelerle birlikte 2 den az elemanlı olan alt kümeleri de saymalıyız. O halde; = = Örnek. n elemanlı bir kümenin en çok n elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 1 B) n C) 2n D) n! E) 2 n Çözüm: n elemanlı bir kümenin n + 1 elemanlı alt kümesi olamayacağına göre, en çok n elemanlı alt kümeleri demek tüm alt kümeleri demektir. Yani cevap 2 n olmalı. Çözdük, çözdük de bu çözüm aklımıza bir şey getirdi: En çok n elemanlı alt kümesi aynı zamanda n n n n n n n n 1 n olduğundan bu toplamın aslında 2 n olduğunu kanıtlamış olduk. Doğru cevap: E. Unutma. n n n n n n n = n 2 n 1 n Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Madem a eleman olarak bulunmayacak, o zaman a yı çöpe atalım. Geriye kalan b, c, d, e elemanlarından yapacağımız her 3 elemanlı alt küme kesinlikle 4 a yı barındırmayacaktır. O halde yanıt = 4 Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içeren kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 16 Çözüm: Madem a eleman olarak garanti bulunacak, a yı kenara ayıralım. a nın yanına 2 eleman daha getireceğiz. Peki, bunu nerden getireceğiz? Diğer 4 elemandan seçerek. 4 elemandan ikisi 4 = 6 2 değişik şekilde seçilebileceğinden sorunun cevabı 6 dır. Aslında bu soruyu bir önceki sorunun çözümünü kullanarak da çözebilirdik. Herhangi bir şart içermeyen 3 elemanlı alt kümeleri sayısı 5 = 10 olduğundan, bunlardan içinde a yı eleman olarak bulundurmayanları çıkartırsak cevap doğal olarak 10 4 = 6 olur. Örnek. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin a yı eleman olarak içeren ama b ve c nin ikisini de içermeyen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 16 Çözüm: a yı kenara ayır, b ve c yi de çöpe at. a nın yanına 2 eleman daha lazım. Bu 2 elemana kimler aday? d, e ve f. Yani 3 elemandan 2 si seçilecek, o halde yanıt 3 =

8 Örnek. A = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde rakam sayısı, harf sayısından fazladır? A) 10 B) 11 C) 13 D) 156 E) 312 Çözüm: Yani 3 rakam-1 harften ve 4 rakam-0 harften oluşan kaç tane 4 elemanlı alt küme olduğunu hesaplayacağız. Önce ilk duruma bakalım. 4 rakamdan üçünü ve harften birini seçeceğiz. Bunun sayısı = 12 dir. 1 Şimdi de ikinci durumu inceleyelim. 4 rakamın dördünü ve 3 rakamın 0 ını seçeceğiz. Bunun sayısı da 4 3 = 1 dir. O halde cevabımız = Doğru cevap: C. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 9} kümesinin elemanlarıyla 3 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı sayı yazılabilir? A) 162 B) 180 C) 200 D) 240 E) 262 Çözüm: Bir önceki soruya yaptığımız çözümdeki mantığı koruyarak, rakamları 3 e tam bölünenler, 3 e bölündüğünde 1 kalanını verenler ve 3 e bölündüğünde 2 kalanını verenler diye gruplayalım. Yine sayıyı abc ile gösterelim. a + b + c toplamının 3 ün katı olmasını sağlayacağız. Bunun için kaç farklı durum var, ona bakalım: a, b ve c yi {1, 4, 7} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c yi {2, 5, 8} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c yi {3, 6, 9} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c nin birini {1, 4, 7} kümesinden, birini {2, 5, 8} kümesinden diğerini de {3, 6, 9} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi de ! = olduğundan yazılabilecek 3 basamaklı sayı adedi = 180 dir. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 30} kümesinin, elemanları toplamı 3 ile bölünebilen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 1360 B) 1200 C) 1160 D) 450 E) 400 Çözüm: Sinan Aşık ın TMOZ grubuna yolladığı çözümü sunuyorum: A kümesinin 3 elemanlı bir alt kümesini {a, b, c} ile gösterelim. Burada a, b ve c nin kaç olduğu değil, 3 e bölümünde kaç verdiği önemlidir. Dolayısıyla A kümesinin elemanlarını 10 tane 1, 10 tane 2 ve 10 tane 0 gibi düşünebiliriz. Bizi sonuca götürecek her yol mübah! Şimdi a + b + c toplamının 3 ün katı olmasını sağlayacağız. Bu neyle mümkün? Ya üçü de 1 olacak, ya üçü de 2 olacak, ya üçü de 0 olacak, ya da biri 0, biri 1, biri 2 sayılarından oluşacak. Bunlar için kaç farklı durum var, ona bakalım: 10 {1, 1, 1} için = 120, 10 {2, 2, 2} için = 120, 10 {0, 0, 0} için = 120, {0, 1, 2} için = 1000 olduğundan istenen alt küme sayısı 1360 dır. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 15} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı 4 e bölünebilir? A) 1680 B) 840 C) 287 D) 280 E) 140 Çözüm: Tüm 3 elemanlı alt kümeleri adedinden elemanları çarpımı 4 e bölünemeyen 3 elemanlı alt kümelerin adedini çıkararak sonuca varmayı planlıyoruz. Tek sayılar kümesini T, çift sayılar kümesini Ç ile 4 e bölünmeyen çift sayılar kümesini Ç ile gösterelim. T = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Ç = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} Ç = {2, 6, 10, 14} s(t) = 8, s(ç) = 7 ve s(ç ) = 4 olduğunu görüyoruz. θ = {a, b, c} kümesi A nın bir alt kümesi olsun. θ nın elemanları çarpımının 4 e bölünmemesi ya a, b, c T ile ya da a, b T ve c Ç ile mümkündür. Yani ya üçü de tek, ya da ikisi tek üçüncüsü de 4 e bölünmeyen bir çift sayı olacak. O halde cevap = Tüm 3 elemanlı 3 elemanı da tek 2 elemanı tek, üçüncü alt kümeler olan alt kümeler elemanı 4'e bölünmeyen Doğru cevap: C. 165

9 Örnek. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ardışık iki eleman bulunmaz? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 Çözüm: A kümesi 8 elemanlı olduğundan C(8, 3) = 56 tane 3 elemanlı alt kümesi vardır. Şimdi bunlardan içinde sadece 2 tane ardışık eleman bulunduran 3 elemanlı alt kümeleri atacağız. 1-2 alınırsa, 3 hariç diğer 5 eleman alınabilir. 2-3 alınırsa, 1-4 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 3-4 alınırsa, 2-5 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 4-5 alınırsa, 3-6 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 5-6 alınırsa, 4-7 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 6-7 alınırsa, 5-8 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 7-8 alınırsa, 6 hariç diğer 5 eleman alınabilir. Şimdi de içinde 3 tane ardışık eleman bulunduran 3 elemanlı alt kümeleri atacağız. O elemanlar da 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, olmak üzere 6 tanedir. O halde koşulları sağlayan 56 ( ) = 20 tane alt küme vardır. Yukardaki çözümü şöyle genelleyebiliriz: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinden, hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde n n çiftse en çok 1, n 2 küme seçilebilir. n n tekse en çok 1 ( n 1) ± 2 Örnek. A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Buna göre A X B koşulunu sağlayan kaç farklı beş elemanlı X kümesi yazılabilir? A) 3 B) 6 C) 10 D) 15 E) 20 Çözüm: Eğer X kümesi A yı kapsayacaksa mecburen a, b, c elemanlarını içermelidir. Eğer B nin alt kümesi olacaksa da diğer elemanları d, e, f, g, h elemanlarından X kümesi 5 elemanlı olacağından a, b, c elemanlarının yanına d, e, f, g, h elemanlarından ikisini getirmeliyiz. Bu da seçim meselesidir. Bu yüzden cevap C(5, 2) = 10 Doğru cevap: C. Örnek. 4 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden, hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç küme seçilebilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: Kümeyi {1, 2, 3, 4} olarak alalım. Bu kümenin bildiğiniz üzere 16 tane alt kümesi vardır. Bu 16 taneden öyle n tane alacağız ki hiç biri bir diğerinin alt kümesi olmayacak. Örneğin bu 16 taneden {1}, {2}, {3} ve {4} ü seçersek, gerçekten de hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmaz. Fakat bu 4 tanenin yanına bir küme daha alırsak özellik sağlanmaz, örneğin {1, 2} yi de alırsak {1} ve {2} kümesi {1, 2} nin alt kümesi olurlar. n = 4 için sağlanan bir durum bulduk, bakalım bu en büyük durum mu? Şimdi bu 16 taneden 2 elemanlı alt kümeleri seçersek yani {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} ve {3, 4} kümelerini alırsak yine bunların hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olamaz ama bunların yanına herhangi bir üç elemanlı alt küme getirirsek özellik bozulur. Bu kümenin 3 elemanlı alt kümeleri de birbirlerinin alt kümeleri değildir ama üç elemanlı alt küme sayısı 2 elemanlı alt küme sayısından azdır. Bu yüzden cevabımız iki elemanlı alt kümelerin sayısı olan 6 Doğru cevap: E. Örnek. MUSTAFA kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız S harfiyle başlayan 4 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? A) 12 B) 24 C) 36 D) 42 E) 72 Çözüm: S yi alıp başa koyalım. Geriye kalan MUTAFA kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeler yazıp, S nin sağ yanına iliştireceğiz. İki A harfinin varlığından dolayı sıkıntı yaşamamak için tek A ve iki A bulunan durumları ayrı ayrı inceleyelim. M, U, T, A, F harflerinden herhangi üçünü C(5, 3) değişik şekilde seçebiliriz ve onları da 3! kadar değişik sıraya dizebileceğimizden, bu şartlarla 10 6 = 60 kelime yazabiliriz. Şimdi iki A harfi bulunan duruma bakalım. M, U, T, F harflerinden birini C(4, 1) = 4 değişik şekilde seçebiliriz. Seçtiğimizi iki A harfiyle birleştirirsek, hepsini 3! 3 2! = kadar değişik sıraya dizebileceğimizden, bu şartlarla da 12 kelime yazabiliriz. O halde toplam = 72 kelime yazmak mümkündür. Doğru cevap: E. 166

10 CEVAPLI TEST toplamı kaçtır? ! = a! eşitliğini sağlayan a kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) m + = 3 0 m 1 eşitliğini sağlayan m kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) n n + = 56 n 3 n 2 olduğuna göre n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) = 2x x+ 2 olduğuna göre x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) 2 10 A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 5. p, r, m sayıları birer sayma sayısı olmak üzere; p r p m + = + 1 r 4 0 eşitliğini sağlayan p kaçtır? toplamı kaçtır? A) 2 8 B) 2 9 C) 2 10 D) 2 18 E) 2 19 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 167

11 CEVAPLI TEST C(n, 4) = P(n, 3) olduğuna göre n kaçtır? 6. 6 toptan 2 sini satın almak isteyen bir çocuk, amacına kaç farklı şekilde ulaşabilir? A) 30 B) 20 C) 15 D) 6 E) 2 A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 E) C(x, x 2) + P(5, 2) + 2 P(x, 2) = C(8, 4) eşitliğine göre x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) kişilik bir sınıfta 1 başkan kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 30! B) 29! C) 30 D) 2 E) 1 3. P(y + 1, 5) = 48 C(y + 1, 4) olduğuna göre y kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) kişilik bir sınıfta 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 30! B) 28! C) 28! 2 D) 870 E) a N olmak üzere, n n = a+ 5 3 a eşitliği veriliyor. n Buna göre kaçtır? 6 A) 28 B) 26 C) 20 D) 16 E) kişilik bir sınıftan 3 kişi trafik koluna seçilecektir. Seçilen bu 3 kişiden biri de başkan yapılacaktır. Trafik kolunun üyeleri ve başkan kaç değişik sekilde seçilebilir? A) 15! 3! B) 15! 3! C) D) E) P(a, 7) = 7! C(a, 4) eşitliğini sağlayan bir a değeri var mıdır? Varsa a kaçtır? 10. Bilgi yarışmasını kazanan 5 öğrencinin 3 ü ödül olarak cep telefonu, 2 si de kitap seti alacaktır. Ödülleri kaç farklı şekilde dağıtmak mümkündür? A) 5 B) 10 C) 20 D) 32 E) 120 A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 7 168

12 CEVAPLI TEST öğretmen ile 5 öğrenci boş olan 5 koltuğa oturacaklardır. Öğretmenlerin ayakta kalmaması şartıyla kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 10 B) 20 C) 40 D) 120 E) Bir otelde 1 tane 2 kişilik, 4 tane 3 kişilik oda vardır. 3 kişilik odalar özdeş olduğuna göre 14 kişi bu otele kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) 14 2!12! B) 14 12! C) 14 2! D) 14 E) 14! Bir antrenör, 22 kişilik kadrodan ilk 11 i ve yedek 5 i kaç değişik şekilde oluşturabilir? 2. 5 i doktor 7 si hemşire olan 12 kişilik bir sağlık ekibinden acil vakalara bakmak üzere 1 doktor ve 2 hemşireli 3 kişilik küçük bir ekip oluşturmak isteniyor. Kaç farklı şekilde mümkündür? A) D) 22 16! 16 B) C) E) 11! 5! 11 5 A) 21 B) 42 C) 105 D) 210 E) kişilik kadrosunda 3 farklı kalecisi bulunan bir antrenör, tek kalecili 11 oyuncuyu kaç değişik şekilde seçebilir? 3. 6 bay ve 3 bayan arasından, içlerinde 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? A) D) 3! B) C) E) 10! 10 1 A) 60 B) 45 C) 30 D) 15 E) u yabancı olan 22 kişilik kadrosundan 11 kişi seçmek isteyen bir teknik direktör, bir maçta en çok 6 yabancı oynatabilme hakkına sahiptir. Eğer yabancılardaki tüm hakkını kullanmak istiyorsa, ilk 11 i kaç değişik şekilde seçebilir? 4. 6 bay ve 3 bayan arasından, içlerinde en az 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 45 B) 46 C) 63 D) 64 E) 90 A) D) 6 5 B) 10 6 E) 22 C) İçlerinde 3 tanesi matematik öğretmeni olan 12 öğretmenden 3 tanesi doğuya mecburi hizmete yollanacaktır. En az ikisi matematik öğretmeni olmak zorundaysa bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? kişi, 4 ve 3 kişilik iki ayrı gruba ayrılmak isteniyor. İçlerinden belli 2 tanesi birbirlerine küs olduğundan aynı grupta olmak istemiyorlar. Grupları seçen adam hırgür çıkmasın diye kaç değişik seçim yapabilir? A) 20 B) 35 C) 40 D) 70 E) 105 A) 27 B) 28 C) 36 D) 56 E)

13 CEVAPLI TEST 3 1. Bir gruptan 2 şer kişilik 2 ayrı grup 210 farklı şekilde oluşturulabiliyorsa, bu grupta kaç kişi vardır? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) kişilik bir arkadaş topluluğunda Ali ve Veli ayrı gruplarda olmak üzere 5 kişilik gruplar kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 35 B) 70 C) 140 D) 210 E) farklı dersin 2 si aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden 5 tanesini seçmeye mecbur bir öğrenci seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? 6 2 A) + B) D) C) E) elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kaç altkümesi vardır? A) 7! 2! B) 42 C) 35 D) 21 E) elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 2 elemanlı altkümelerinin sayısından kaç fazladır? soruluk bir sınavda ilk 3 tanesini cevaplamaya mecbur olan bir öğrenci cevaplamak üzere bu 10 sorudan 8 ini kaç farklı şekilde seçebilir? A) 105 B) 84 C) 70 D) 42 E) 14 A) 42 B) 35 C) 21 D) 14 E) 7 4. Herkesin birbiriyle tokalaştığı bir grupta toplam tokalaşma sayısı 36 olduğuna göre, grupta kaç kişi vardır? 9. 7 elemanlı bir kümenin a elemanlı altkümeleri sayısı, b elemanlı altkümeleri sayısına eşit ve a b olduğuna göre a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 11 A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) kişilik bir gruptan 6 kişi seçilecek ve bir yuvarlak masa etrafına oturtturulacaklar. Kaç farklı oturuş mümkündür? A) 210 B) 210 5! C) 210 6! D) ! E) ! 6! 10. Beş erkek ve üç kız yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Herhangi iki kız yan yana gelmemek koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 720 B) 1440 C) 1610 D) 1960 E)

14 CEVAPLI TEST farklı kitap 5 öğrencinin katıldığı bilgi yarışmasının sonunda birinciye üç, ikinci iki, üçüncüye bir kitap vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 6. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a ve b nin ikisini birden eleman olarak içermeyen kaç tane 2 elemanlı altkümesi vardır? A) 10 B) 8 C) 5 D) 3 E) 2 A) 60 B) 120 C) 3600 D) 4800 E) Farklı 4 renk pantolonu, 3 renk gömleği ve 3 farklı kravatı bulunan bir kişi kravatlı veya kravatsız olarak kaç farklı şekilde giyinebilir? A) 12 B) 36 C) 42 D) 48 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin içinde hem a hem de b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 21 B) 15 C) 10 D) 6 E) basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin sadece 2 basamağında aynı rakam yer alır? A) 214 B) 226 C) 243 D) 281 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin içinde a bulunan ama b bulunmayan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 35 B) 20 C) 15 D) 10 E) 6 4. Bir öğrencinin üçü aynı saatte verilen 7 seçmeli dersten üçünü seçmesi gerekmektedir. Bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? A) 98 B) 64 C) 44 D) 36 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin, içinde a veya b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 10 B) 20 C) 30 D) 32 E) A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 4 elemanlı altkümesi vardır? 10. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin, içinde a ya da b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 20 B) 24 C) 30 D) 35 E) 48 A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1 171

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Tekrarlı Permutasyon

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Tekrarlı Permutasyon www.mustafayagci.com.tr, 01 ebir Notları Mustafa ĞI, yagcimustafa@yahoo.com ekrarlı Permutasyon G eçen dersimizde n kişinin n! kadar değişik şekilde sıralanabileceğini öğrenmiştik. Şimdiyse bu n kişinin

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

MATEMATİK VE ZEKA KİTABI

MATEMATİK VE ZEKA KİTABI OLİMPİK ÇOCUK -1. 4. Sınıflar için MATEMATİK VE ZEKA KİTABI Bilsem Sınavlarına Hazırlık Matematik Yarışmalarına Hazırlık TÜBİTAK Sınavlarına Hazırlık Özel Okul Sınavlarına Hazırlık, Okula Yardımcı Dikkat

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Pokerin Matematiği açık oyun renk

Pokerin Matematiği açık oyun renk Pokerin Matematiği atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmediği bilgi yoktur. Bu tür oyunlara açık oyun diyelim. STavlada da bir oyuncunun bildiğini öbür oyuncu bilir. Birinin öbüründen gizlisi

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER...

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Cebir Notları. Permutasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com www.mustafayagci.com, 005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Matematikçiler üçe ayrılır: Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler Matematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 3. ANKARA İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 30 MART 2013 4. SINIF B KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 120 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI . a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a 2b+2 2 b+4 yukarıdaki bölme işleminde, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?. 25 soruluk bir sınavda her doğru cevaba 5 puan verilirken, her yanlış cevaptan

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 200 20 ÖSS-YGS - - - 2 2 / - 2/ 2/ / LYS OBEB OKEK OBEB: iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların OBEB i denir Sayılar

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1 KOMİNSYON - PERMÜTSYON Test -. kişi arka arkaya sıralanacaktır. u kişiler kaç farklı sıra oluşturabilir?. kişilik bir sıraya, öğrenci kaç farklı dizilişte yan yana oturabilir?. farklı çatal, farklı kaşık

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

14 Nisan 2012 Cumartesi,

14 Nisan 2012 Cumartesi, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 14 Nisan 2012 Cumartesi,

Detaylı

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları B u yazımızda, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında kaç değişik şekilde dağıtabileceğimizi

Detaylı

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1 ERMÜTASYON SAYMANIN TEMEL KURALI A) Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON ARASINDAKİ FARK

PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON ARASINDAKİ FARK 1 Bir dondurmacıda beş farklı dondurma çeşidi bulunmaktadır. Aylin üç çeşit dondurma almak istiyor. a) Aylin kaç farklı seçim yapabilir? b) Dondurmaların seçiminde sıranın önemli olması durumunda kaç farklı

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ 8. İLKÖĞRETİM MATEMATİK YARIŞMASI 31 MART 2012 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 150 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

ÖZEL SERVERGAZİ LİSELERİ

ÖZEL SERVERGAZİ LİSELERİ S E R İ M Y A ÖZEL SERVERGAZİ LİSELERİ VII. İ L K Ö Ğ R E T İ M O K U L L A R I A R A S I M A T E M A T İ K Y A R I Ş M A S I AÇIKLAMALAR Bu sınav çoktan seçmeli 35 ve 3 klasik sorudan oluşmaktadır. Sınav

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ SAMANYOLU 10. ULUSAL MATEMATİK YARIŞMASI 22 MART 2014 A KİTAPÇIĞI Bu sınav çoktan seçmeli 40 Test sorusundan oluşmaktadır. Süresi 120 dakikadır. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza,

Detaylı

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com ve ve n tane farlı elemanan oluşan bir ümenin altümelerine birer ombinasyon enir. n, r 0 r n olma üzere, n elemanlı A ümesinin r elemanlı altümelerinen her birine A ümesinin r li bir ombinasyonu enir ve

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI x 5 6. 0 x 4x 5 x denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 4. 6 6... a ise, a kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B), C) 5, D) 5 E) 5. m 9m m m işleminin sonucu kaçtır?. (6) x x y y (4. ) eşitliği

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

1) Aşağıdaki tabloda verilen ifadelerin matematiksel karşılığını yazınız. 2) Aşağıdaki ifadeleri matematiksel ifade olarak yazınız.

1) Aşağıdaki tabloda verilen ifadelerin matematiksel karşılığını yazınız. 2) Aşağıdaki ifadeleri matematiksel ifade olarak yazınız. 9BÖLÜM DENKLEMLER DENKLEMLER TEST 1 1) Aşağıdaki tabloda verilen ifadelerin matematiksel karşılığını yazınız. Sözel İfade Matematiksel İfade Orhan ın yaşının dört eksiği Bir sayının sekiz fazlası Cebimdeki

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Doğal sayılar sayma sayıları olarak da bilinir ve kısaca saymak için kullanılan

Doğal sayılar sayma sayıları olarak da bilinir ve kısaca saymak için kullanılan DOĞAL SAYILAR -Tanım Doğal sayılar sayma sayıları olarak da bilinir ve kısaca saymak için kullanılan sayılara verilen isimdir. Sayma sayılarına verilen örnek, bir sepet içindeki elmaların sayısıdır. Doğal

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN DİJİTAL İŞLEM NE UYGULANDI? SİNEMA - TİYATRO - KONSER

HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN DİJİTAL İŞLEM NE UYGULANDI? SİNEMA - TİYATRO - KONSER DİJİTAL İŞLEM HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN Hesap makinelerini hepimiz kullanmışızdır. O makenilerdeki sayıların yazılışlarını biliyorsunuz. O rakamlarla yapılmış iki işlem bulacaksınız yanda. Ama işlemlerin

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

FARKLI NESNELERİN DAĞILIMI

FARKLI NESNELERİN DAĞILIMI < KI NSNİN DIIMI ÖNK: 3 farklı mektup 4 posta kutusuna kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? ÇÖÜM: İİNCİ YO: 1.mektup 4 kutuya 2.mektup 4 kutuya 3.mektup 4 kutuya 4.4.4=64 İKİNCİ YO: 0003 0012 0111 şeklinde

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça Sayılar Mustafa Yağcı, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI TAKIM SEÇME SINAVI

ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI TAKIM SEÇME SINAVI ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve NDOLU LĐSESĐ MTEMTĐK OLĐMPĐYTI TKIM SEÇME SINVI Süre: 90 dakika ÖĞRENĐNĐN DI SOYDI: SINVL ĐLGĐLĐ UYRILR: u sınav çoktan seçmeli 32 sorudan oluşmaktadır. Her sorunun sadece bir doğru

Detaylı

TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - 1 YGS AYHAN YANAĞLIBAŞ

TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - 1 YGS AYHAN YANAĞLIBAŞ TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - YGS AYHAN YANAĞLIAŞ 05-06 u çalışmanın her aşamasında emeğini esirgemeyen öğretmen arkadaşlarıma teşekkür ederim. Aralık-05 TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS-. 06, ^04, h -

Detaylı

Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin

Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin S eks, yemek ve oyun doğal zevklerdendir. Her memeli hayvan hoşlanır bunlardan. İlk ikisi konumuz dışında. Üçüncüsünü konu edeceğiz. 1. İlk oyunumuz şöyle: Aşağıdaki dört

Detaylı

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir.

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir. Bölüm ONDALIK KESİRLER Paydası 0 un tam kuvveti olan veya bu duruma getirilebilen kesirlere ondalık kesirler denir. Örneğin, ondalık kesirdir. 0 ; 00 ; 000,... birer Paydaları 0 un tam kuvveti olmayan

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

ÖZEL MÜRÜVVET EVYAP KOLEJİ 4.SINIF OLİMPİYAT SORULARI

ÖZEL MÜRÜVVET EVYAP KOLEJİ 4.SINIF OLİMPİYAT SORULARI 1)Net kütlesi 300 gr olan bir paket fıstığın fiyatı 132 000 tldir.bunagöre,fıstığın bir kilogramı kaç bin tldir? A) 340 B) 380 C) 440 D) 460 8) saatte ortalama 20 sn.geri kalan bir saat,bir haftada kaç

Detaylı

6. SINIF GENEL AÇIKLAMA

6. SINIF GENEL AÇIKLAMA 6. SINIF GENEL AÇIKLAMA Bu kitapçık 3 bölümden oluşmaktadır. 1. bölümde yer alan 5 sorunun her biri 1, puan değerindedir.. bölümde yer alan 15 sorunun her biri,4 puan değerindedir. 3. bölümde yer alan

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ULUSAL LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI 6.SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI RAPORU HADARİZM SHORTCUT (MATEMATİK) PROJEYİ HAZIRLAYANLAR SELİM HADAR DANIŞMAN ÖĞRETMEN SANDRA GÜNER ULUS ÖZEL MUSEVİ

Detaylı

1- Espriyi Yakalama Yöntemi

1- Espriyi Yakalama Yöntemi 1 TEST SORUSU ÇÖZME YÖNTEMLERĐ 1- Espriyi Yakalama Yöntemi Bu tip sorularda küçük bir espri gizlidir. Bu espri yakalanmazsa, soruyu çözmek için uzun işlemler yapmak gerekir. +2 = 2 +2 = 3 ise, +2 = 4 +

Detaylı