Mustafa YAĞCI, Kombinasyon

Transkript

1 Mustafa YAĞCI Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir. n, r N ve 0 r n olmak üzere, n elemanlı A kümesinin r elemanlı altkümelerinden her birine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir ve C(n, r) veya n şeklinde r gösterilir. Anlayacağınız, kümelerde elemanların sıralanışı önemli olmadığından kombinasyonda da sıra önemli değildir. Sadece elemanların neler ve kaç tane olduğu önemlidir. Bir diğer önemli nokta da n ifadesinin solunda P ya r da C harfi yazmıyorsa, bunun kombinasyon olarak anlaşılması gerektiğidir. C(n, r) nasıl hesaplanır? Yukardaki tanımdan anladığımız kadarıyla kombinasyonla bir miktar nesneyi seçiyoruz, bunu da permutasyonla sıralıyoruz. Peki, r tane nesne kaç değişik şekilde sıralanır? r! kadar değişik şekilde. O halde P(n, r) sayısını r! e bölmek C(n, r) yi verecektir. Pnr (, ) n! C(n, r) = = r! ( n r)!. r! n sayısını daha pratik olarak hesaplamak isteyen biri, r n den geriye doğru r tane sayıyı çarpıp r! e bölebilir. Örneğin, = = 45, = = 20, = = n Teorem. = 1. 0 n Kanıt: sayısı n tane nesneden 0 tanesini kaç değişik 0 şekilde seçebileceğimizin sayısıdır. O zaman cevap 1 olmalı, çünkü hiçbir nesneyi seçmeme hakkımızı kullanmışız. Formülü boşuna mı bulduk diyenler için bir de formülle çözelim: n n! = = 1. 0 ( n 0)!0! n Teorem. = 1. n n Kanıt: sayısı, n tane nesnenin n tanesinin kaç değişik şekilde seçilebileceğinin sayısını verir. Yani ne var n ne yok hepsini alacakmışız. Buradan da anlaşılıyor ki, bunun 3-5 yolu olmaz, hepsini alacaksan bunu sadece 1 şekilde yapabilirsin. Bundan dolayı cevabımız 1 Hemen formülün doğru işlediğini de görelim: n n! = = 1. n ( n n)! n! Teorem. n n =. r n r n! Kanıt: Her ikisinin de eşiti olduğundan eşitlik doğrudur. ( n r)! r! n Bu teoremi şöyle de izah edebiliriz: ne demek? r n tane nesneden r tanesini seçmek. Peki geride ne bıraktığınızı düşündünüz mü? n r tane nesne. Seçtiğiniz r tane nesne değiştikçe geride kalan n r tane nesne de değişir. Yani seçecek n tane nesneyi belirlemek, seçilmeyecek n r tane nesneyi belirlemektir. Dolayısıyla eşitlik doğrudur. 158

2 Örnek toplamı kaça eşittir? A) 99 B) 98 C) 1 D) 0 E) 1 Çözüm: Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler birbirlerine eşit olduklarından her terim sadeleşir ve geriye kocaman bir 0 kalır. Örnek. 1 den 49 a kadar numaralandırılmış 49 toptan 6 sı çekiliyor. Çekilen 6 topun numarasını garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? A) C(49, 6) B) P(49, 6) C) P(49, 43) D) 49! E) 49! 6! Çözüm: Çeken adam kaç değişik şekilde bu 6 topu çekebilirse, bizim de en az o kadar tahminde bulunmamız lazım, yani C(49, 6) C(49, 6) = = Örnek toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Çözüm: = 3 olduğundan = olduğunu biliyoruz. Sadece birini bulup, 2 ile çarpsak yetecek = 3 olduğundan cevap 6 dır. 1 7 n n Örnek. = olduğuna göre n kaçtır? 1 n Örnek. 6 kişilik bir ekipten 4 kişi ve bu 4 kişi arasından da bir lider seçilecek. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm: Önce 6 kişiden kaç değişik şekilde 4 kişiyi seçebileceğimizi bulalım: C(6, 4) = C(6, 2) = 15. Şimdi de 4 kişi arasından 1 kişinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım: C(4, 1) = 4. Saymanın temel ilkesine göre bu değerler çarpılmalıdır: 15 4 = 60 değişik seçenek vardır. Doğru cevap: E. A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 n n Çözüm: = n 1 olduğunu biliyoruz. Diğer 1 n yandan; = = 35 olduğundan n 1 = 35 olur 321 ki buradan n = 36 bulunur Örnek. = olduğuna göre n nin alabileceği değerlerin toplamı 2n+ 1 3n 1 kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 Çözüm: İki durum mümkündür. Ya 2n + 1 ile 3n 1 değerlerinin toplamı 15 dir veya bu değerler birbirlerine eşittir. 2n n 1 = 15 eşitliğinden n = 3, 2n + 1 = 3n 1 eşitliğinden n = 2 dir. O halde n nin alabileceği değerler toplamı = 5 Doğru cevap: C. Örnek. 52 lik bir deste iskambil kağıdından iki kağıt kaç türlü çekilebilir? A) 2652 B) 1326 C) 1200 D) 104 E) 103 Çözüm: 52 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını istiyoruz. 52! C(52, 2) = = = = ! (52 2)! 1 2 Örnek. 52 lik bir deste iskambil kağıdından, içinde maça ası olan 5 kartlı el kaç farklı şekilde elde edilebilir? A) C(52, 5) B) P(52, 5) C) C(51, 5) D) P(51, 4) E) C(51, 4) Çözüm: Maça ası garanti olduğuna göre, maça asının yanına, kalan 51 kağıttan 4 tanesini seçeceğiz. 51! C(51, 4) = = = !47! 4321 Doğru cevap: E. 159

3 Örnek. İçinde tam 5 maça bulunan 13 kartlı kaç briç eli vardır? A) C (13, 5) B) C (39,8) C) C(13,5) + C(39,8) D) C(13,5) C(39,8) E) C(13,5) C(52,8) Çözüm: 5 maçanın kümesini A ile ve içinde maça bulunmayan diğer 8 kartın kümesini B ile gösterirsek, (A, B) sıralı ikililerinin sayısı sorunun cevabı olur. 52 lik bir destede toplam 13 kupa, 13 karo, 13 maça ve 13 sinek vardır. Öyleyse A için C (13, 5) ve B için C (39,8) ihtimal vardır. Böylece aranan sayı C(13, 5) C(39,8) dir. Örnek. Her bir masada en az bir kişinin oturması koşuluyla, 5 kişi iki özdeş yuvarlak masaya kaç farklı şekilde oturabilir? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm: Masanın birine 1 kişi diğerine de 4 kişiyi oturtturalım. Ama önce 1 kişiyi seçmemiz gerekecek. Kalan 4 kişi de diğer yuvarlak masaya oturur. Sonra da birine 2 diğerine 3 kişiyi oturtturacağız. Önce 2 kişi seçeceğiz, kalan 3 kişi diğer yuvarlak masaya oturacaklar. Masalar özdeş olduğundan 3-2 ve 4-1 oturuşlarını hesaplamaya gerek yoktur ! 3! + 1! 2! = = Örnek. Ali nin cebinde 7 tane 5 milyonluk ve 4 tane 10 milyonluk vardır. Ali, 35 milyon liralık hesabı kaç farklı şekilde verebilir? A) 343 B) 323 C) 303 D) 140 E) 100 Çözüm: 4 ayrı durum mümkündür. Ya hepsini 5 milyonluklarla öder, ya 1 tane 5 milyonluk ve 3 tane 10 milyonlukla, ya 3 tane 5 milyonluk ve 2 tane 10 milyonlukla ya da 5 tane 5 milyonluk ve 1 tane 10 milyonlukla öder. Bunlar birlikte düşünülürse, 1 + C(7,1) C(4,3) + C(7,3) C(4,2) + C(7,5) C(4,1) = = 323 farklı ödemenin mümkün olduğu görülür. Örnek. Bir öğrenci 10 soruluk bir sınava girmiştir. a) Sadece 8 tanesini cevaplamışsa, bunu kaç farklı şekilde yapmış olabilir? b) Bu öğrenci ilk 3 soruyu cevaplamak zorundaysa toplam 8 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? c) Bu öğrenci ilk 5 sorudan en az dördünü cevaplamak zorundaysa, toplam 8 soruyu kaç farklı şekilde cevaplayabilir? Çözüm: a) C(10,8) = C(10, 2) = 45 b) İlk üç soruyu cevaplayacağı için kalan 5 soruyu 10 3 = 7 soru arasından seçmelidir. O halde C(7, 5) = C(7, 2) = 21. c) Öğrenci ilk 5 soruyu cevaplarsa, kalan 3 soruyu kalan 5 sorudan C (5,3) = 10 yolla seçebilir. İlk 5 sorudan 4 tanesini cevaplarsa, kalan 4 soruyu beş soru içinden seçecektir. O halde 10 + C(5,4) C(5,4) = = 35 yolla seçebilir. Örnek. Başkan, başkan yardımcısı ve 7 üyeden oluşan bir grup sıra halinde dizilerek fotoğraf çektireceklerdir. Başkan ile yardımcısı arasında 5 üye olmak üzere kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler? A) 7! 5! 3! B) 7! 5! 2 C) 7! 3! 2 D) 7! 3! E) 5! 3! Çözüm: Önce 7 üyeden 5 ini seçelim. C(7, 5) kadar değişik şekilde 5 üye seçebiliriz. Bu 5 üyeyi başkanla yardımcısının arasına koyarak, hepsini bir iple bağlayalım. Şimdi 1 adam gibi oldular. Diğer iki üyeyle birlikte 3 adamı sıraya dizeceğiz. Bu da 3! kadar diziliş demektir. Başkanla yardımcısı da 2! kadar yer değiştirirler. Ortadaki 5 üye de 5! kadar yer değiştirir. Hepsi birlikte düşünülünce cevap 7 7! 3! 2! 5! = 3! 2! 5! = 7! 3! 5 2! 5! Örnek. 5 erkek ve 2 kız öğrenci yüzleri öğretmenlerine dönük olacak şekilde yan yana sıra olacaktır. Sıranın soldan ilk iki elemanı erkek, son elemanı kız öğrenci olacağına göre bu sıralama kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 960 B) 720 C) 540 D) 480 E) 360 Çözüm: Önce 2 erkek seçelim, sıranın başına koyalım. Bunu C(5, 2) = 10 değişik şekilde yapabiliriz. Şimdi bir kız seçip, sıranın sonuna koyalım. Bunu da C(2, 1) = 2 değişik şekilde yapabiliriz. Kalan 3 erkeği ve 1 kızı da araya koyalım. Baştaki erkekler ve ortadaki insanların kendi aralarında yer değiştirmelerini de düşünürsek, cevabımız ! 4! =

4 Örnek. Rakamlarından sadece 4 tanesi 0 olan yedi basamaklı kaç doğal sayı vardır? A) 9 3 B) C) D) E) Çözüm: Önce XYZ0000 şeklinde kaç sayı olduğunu bulalım. 0 adedi 4 ten fazla olamayacağından X, Y, Z değerleri 1 ile 9 arasında değerler alabilirler. O halde bu şekilde = 9 3 tane sayı vardır. Şimdi 0 ların yerini değiştireceğiz. Son 6 basamağın herhangi 4 ünde bulunabilirler. Bunun yüzünden sorunun cevabı 9 3 C(6, 4) = Örnek. 4 öğrenci 5 farklı sınıfa dağıtılacaktır. Sınıflardan herhangi üçüne hiç öğrenci gönderilmeyecek, kalan 2 tanesindeyse en az 1 öğrenci bulunacaktır. Bu dağıtım kaç türlü yapılabilir? A) 280 B) 140 C) 70 D) 35 E) 28 Çözüm: Önce öğrenci gönderilecek 2 sınıfı seçelim. Bu seçim C(5, 2) = 10 türlü yapılabilir. Şimdi 4 öğrenciyi iki sınıfa 1-3, 2-2, 3-1 diye dağıtacağız. Son olarak da sınıfların ismini değiştireceğiz, yani birindekiler diğerine gidecek, olacak bitecek. Şimdi dediklerimizi yapalım: ! = Örnek. 9 ve 8 rakamlarının kullanılıp, 7 rakamının kullanılmadığı dört basamaklı rakamları farklı kaç değişik doğal sayı vardır? A) 234 B) 468 C) 504 D) 936 E) 1008 Çözüm: Toplam 4 basamak olacağından 9 ve 8 rakamlarının yanına 2 rakam daha seçelim. Bu iki rakamı 0 dan 6 ya kadar olan 7 rakam arasından seçeceğimizden, seçim sayısı C(7, 2) = 21 Şimdi elimizdeki dört farklı rakamı 4! = 24 kadar değişik şekilde sıraya dizebiliriz. Demek ki = 504 değişik sayı yazmak mümkündür. Şimdi bu sayıların içinde ilk rakamı 0 olanları atacağız. İlk rakam 0 olsun. 9 ve 8 rakamlarının kesinlikle var olduğunu da biliyoruz. O halde dördüncü rakam 6 değişik sayı olabilir. Daha sonra son üç basamak kendi arasında 3! = 6 değişik şekilde sıralanabileceğinden 6 6 = 36 sayının 0 ile başladığını anlıyoruz. O halde sorumuzun cevabı = 468 Örnek. 5 evli çiftin oluşturduğu 10 kişiden, içinde sadece 1 evli çift olan 4 kişi kaç değişik biçimde seçilebilir? A) 120 B) 100 C) 28 D) 24 E) 20 Çözüm: 5 evli çiftten 1 ni C(5, 1) = 5 değişik şekilde seçebiliriz. Bir çifti seçtik diyelim. Geriye 4 evli çiftten oluşan 8 kişi kaldı. Bunlardan da 2 kişi seçeceğiz ama evli olmayacaklar. Bu seçim de C(8, 2) C(4, 1) = 28 4 = 24 kadar değişik şekilde yapılabilir. O halde cevabımız 5 24 = 120 Örnek. 5 erkek ve 5 kızdan oluşan 10 kişi, her grupta 1 erkek ve 1 kız olacak biçimde kaç farklı 5 gruba ayrılabilir? A) 120 B) 240 C) 600 D) 10! E) 2 10! Çözüm: İki farklı yol sunacağız. Örnek. a, b, c, d, e, f, g harflerinin tümü yan yana sıralanacaktır. a ve b, sıranın ortasına gelen harfin sağ tarafında olacak şekilde kaç farklı sıralanış mümkündür? A) 5! B) 3 5! C) 6! D) 9 5! E) 7! Çözüm: a ve b sayılarını son üç basamaktan herhangi ikisini seçip, oralara koyalım. Daha sonra da kalan 5 boş basamağa 5 harfi koyup, sıraya dizelim. a ile b nin yer değiştirebileceğini de unutmayalım. Bu durumda cevap C(3, 2) 5! 2! = 3 5! 2 = 6 5! = 6! Doğru cevap: C. Birinci yol. 5 erkeği solumuza, 5 kızı sağımıza alalım. Şimdi herhangi bir erkeği seçelim. Bu erkeğin grubuna girecek kaç kız adayı var? 5 değil mi? Herhangi bir kızı seçip, o grubu yollayalım. Şimdi ikinci erkeği alalım. Bunun grubuna aday 4 kız var. İşlemler böyle böyle sürdürülürse cevabın = 5! olduğu görülür. İkinci yol. 5 grubu 5 kutu olarak düşünün, her erkeği bir kutuya koyun. Kutuların yani grupların isimleri olmadığı olmadığından, bu dağıtımı sadece 1 değişik şekilde yaparız. Şimdi erkeklerin yanında birer boşluk var. 5 boşluğa 5 kız kaç farklı şekilde yerleştirilir sorusu oldu, bunun da cevabının 5! olduğunu biliyoruz. 161

5 Örnek. Bir seyahat acentası başvuran 8 kişinin 3 ünü İstanbul a, 3 ünü Ankara ya, 2 sini de İzmir e geziye yollayacaktır. Bunu kaç farklı şekilde yapması mümkün olur? A) 120 B) 140 C) 280 D) 560 E) 1120 Çözüm: Önce 3 kişi seçerek İstanbul a yolcu edelim. Bu C(8, 3) = 56 kadar farklı şekilde mümkün. Şimdi de kalan 5 kişiden 3 ünü seçip, Ankara ya yollayalım. Bu da C(5, 3) = 10 kadar farklı şekilde mümkün. Kalan 2 kişi mecburen İzmir e gidecek. O halde; C(8, 5) C(5, 3) C(2, 2) = = 560. Sıranın önemi var mı, bir düşünün bakalım! Örnek. 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip oluşturulup, bu 5 ekibi 5 farklı şehre yollamak istiyoruz. Bunu kaç farklı şekilde yapabiliriz? A) B) C) D) E) 3325 Çözüm: Önce A şehrine yollayacağımız 2 kişilik ekibi seçelim. Bunu C(10, 2) değişik şekilde yapabiliriz. Şimdi de B şehrine gidecek ekibi seçelim. Geriye 8 kişi kaldığından bunu C(8, 2) değişik şekilde yapabiliriz. Bu iş böyle devam ederse, cevabın = olduğunu buluruz. Örnek. 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Örnek. 10 arkadaş, 3 arabayla seyahate çıkacaklardır. Arabaların biri 2 kişilik, diğerleri 4 kişiliktir. Belli iki arkadaş aynı arabada olmamak üzere, kaç değişik şekilde yola çıkabilirler? A) 1120 B) 2000 C) 2240 D) 3000 E) 3360 Çözüm: Sorunun, hangi arabada olduğunun önemi var ama araba içinde oturduğun yerin önemi yok gibi sorulduğunu düşüneceğiz. Önce şu küsmüş gençleri yerleştirelim. Birini iki kişilik arabaya, diğerini dört kişilik arabalardan birine koyalım. Geriye kalan 8 kişiden birini, iki kişilik arabada kalan boş yere, geriye kalanlardan 3 ünü de dört kişilik arabada boş kalan 3 kişilik yere koyalım. Bunun sayısı C(8, 1) C(7, 3) = 280 dir. Şimdi de küsmüşlerin birini iki kişilik arabaya, diğerini de diğer 4 kişilik arabaya koyalım. Bunun sayısı yukardakiyle tamamen aynıdır. Son olarak, küs gençlerin biri dört kişilik arabanın birine, diğerini de dört kişilik arabanın diğerine koyalım. Geriye kalan 8 kişiden 2 sini seçip 2 kişilik arabaya, kalan 6 kişiden 3 ünü de dört kişilik arabalardan birinde kalan 3 kişilik boş yere koyalım. Kalan 3 kişi, mecburen, kalan 3 kişilik boş yere oturur. (Şunlar bi gitseydi de kurtulsaydık!) Bunun sayısı da C(8, 2) C(6, 3) = 560 dır. Bitmedi, oturuşların tümünde küs gençler birbiriyle yer de değiştirebilir. Bulduğumuz sonucu 2 yle çarpmalıyız. O halde cevabımız = Doğru cevap: C. A) 4725 B) 945 C) 189 D) 63 E) 21 Birinci yol. Diyelim X değişik şekilde oluşturulabilir. Şimdi biz bu 5 ekibi 5 değişik şehre kaç değişik şekilde yollayabiliriz? 5! değil mi? O zaman 10 kişiden, her biri 2 kişilik 5 farklı ekip oluşturulup, bu 5 ekibi 5 farklı şehre yollamanın X 5! kadar değişik seçeneği varmış. E, biz bu soruyu bir önceki soruda çözerek cevabın olduğunu bulmuştuk. O halde X = = 945 5! İkinci yol. = Neden mi? Söyleyeceğimi mi sandınız? Meslek sırrı! Örnek. 10 kişi, aynı anda 5 çift olmak üzere tokalaşıyorlar. Bu tokalaşmalardan kaç değişik fotoğraf çekilebilir? A) 4725 B) 945 C) 189 D) 63 E) 21 Çözüm: 10 kişiden birisi A olsun. A ile tokalaşacak kişi C(9, 1) değişik şekilde seçilebilir. Şimdi A ile tokalaşmayan birini alalım. Adı B olsun. B nin eşini C(7, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi A yla da B yle de tokalaşmayan birini alalım. Adı C olsun. C nin eşini de C(5, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi de ne A ne B ne de C yle tokalaşmış birini alalım. Adı D olsun. D nin eşini C(3, 1) değişik şekilde seçebiliriz. Son olarak, A, B, C, D nin hiçbiriyle tokalaşmamış birini alalım. Onun adı da E olsun. E nin eşini de C(1, 1) şekilde seçebiliriz. O halde sonuç =

6 Örnek. 9 çocuk, 3 erli 3 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? A) 1680 B) 840 C) 280 D) 140 E) 70 Çözüm: Yine iki çözüm yapacağız. Birinci yol. Eğer kimlerle takım oluşturduğunla birlikte, hangi takımda olduğun da önemli olsaydı, = 1680 diye çözüm yapardık. Ama burada takımların önemi yok. Daha açık ifadeyle üstteki durumda (a, b, c), (d, e, f ) ve (k, l, m) takımlarını kendi aralarında da yer değiştirmiş oluyoruz. Halbuki bu soruda buna gerek yok. O halde cevabımız = 280 3! İkinci yol. 9 kişiden rastgele birini alalım. Şimdi bu adama takım oluşturmak için 2 adam lazım. O iki adamı C(8, 2) = 28 değişik şekilde seçebiliriz. Şimdi ilk takım oluştu. Kalan 6 adamdan rastgele birini alalım. Bu adama da takım oluşturmak için iki adam lazım. Kalan 5 adamdan ikisini C(5, 2) = 10 değişik şekilde seçebiliriz. Kalan üç kişi ise bir takımdır zaten. Demek ki cevabımız = 280 Doğru cevap: C. Örnek. 4 kişi 4 kişilik 4 arabaya kaç değişik şekilde binebilir? A) 64 B) 96 C) 128 D) 180 E) 256 Çözüm: 4 kişiyi 4 arabaya , , , veya şeklinde binebilirler. Her durumu ayrı ayrı değerlendirip, sonuçları toplayacağız demek 4 kişinin hepsinin tek bir arabaya binmesi demektir. 4 değişik araba olduğu için bu durum 4 değişik şekilde gerçekleşebilir demek, bir arabaya 3 kişi, bir arabaya da 1 kişinin binmesi demektir. Tabi ki bu 3 kişinin bineceği araba da, 1 kişinin bineceği araba da değişebilir. Ayrıca 3 kişi de hangi 3 kişi? Dolayısıyla o 3 kişinin de seçilmesi gerekir ! O halde bu durum = 48 değişik şekilde olabilir. Benzer mantıklarla 1 2! 4 2 4! durumu = 36, 2 2 2! 2! ! durumu = 144, ! 2! 1! durumu = olduğundan = 256 değişik şekilde binebilirler. Doğru cevap: E. Örnek toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 2007 A) 2008 B) D) E) C) 4 Çözüm: Bir torbada 2007 adet sarı, 2008 adet kırmızı top bilye olduğunu düşünün. Bu torbadan 3 top seçeceksiniz. Sizce gelen 3 topun rengi ne olur? Ya üçü de sarı, ya ikisi sarı biri kırmızı, ya biri sarı ikisi kırmızı ya da üçü de kırmızı olur değil mi? İşte yukardaki kombinasyonlar tam bu problemin çözümü için yazılmıştır. Yani, 4015 toptan 3 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi 4015 anlatır. O halde cevap Örnek = k 2 eşitliğini sağlayan k kaçtır? A) 2008 B) 2007 C) 2006 D) 2005 E) 2004 Çözüm: İki farklı yol göstereceğiz. Birinci yol. C(n, r) açılımını kullanırsak, basit dört işlem hareketleriyle sonucu bulabiliriz = k ! 2007! = k 3! 2005! 2! 2005! 2008! 2007! = k 2! 2005! 2! 2005! 2008! = k 2007! eşitliğinden k = 2008 bulunur. İkinci yol. Kanıtını aynen yukardaki soruyu çözdüğümüz gibi yapabileceğimiz n r n = n 1 r r 1 eşitliğini de kullanabiliriz. Soruda r = 3 ve n = 2008 olarak verildiğinden k = n = 2008 dir. 163

7 n Elemanlı Bir Kümenin r Elemanlı Altkümelerinin Sayısı. Bir kümenin elemanlarıyla oluşturulabilecek her kümeye o kümenin bir altkümesi denmez miydi? Yani altküme oluşturmak için ille de elemanları bir kümenin elemanlarından seçmeliyiz. Seçme deyince de aklımıza kombinasyon gelmesin de ne gelsin? n elemanlı bir kümenin elemanlarından r tanesini seçerek, r elemanlı bir altküme oluşturmanın, n tane toptan r tanesini seçmekten zerre farkı yoktur. Bundan dolayı aradığımız sayı C(n, r) dir. Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 Çözüm: A kümesi 5 elemanlıdır. Bu 5 elemandan herhangi 3 tanesi her zaman 3 elemanlı bir alt küme verir. O halde kaç farklı şekilde 3 eleman seçebileceğimizi bulmalıyız: 5 5 = = Örnek. 5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin adedi kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20 Çözüm: En çok 2 elemanlı alt küme sayısı sorulduğundan 2 elemanlı alt kümelerle birlikte 2 den az elemanlı olan alt kümeleri de saymalıyız. O halde; = = Örnek. n elemanlı bir kümenin en çok n elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 1 B) n C) 2n D) n! E) 2 n Çözüm: n elemanlı bir kümenin n + 1 elemanlı alt kümesi olamayacağına göre, en çok n elemanlı alt kümeleri demek tüm alt kümeleri demektir. Yani cevap 2 n olmalı. Çözdük, çözdük de bu çözüm aklımıza bir şey getirdi: En çok n elemanlı alt kümesi aynı zamanda n n n n n n n n 1 n olduğundan bu toplamın aslında 2 n olduğunu kanıtlamış olduk. Doğru cevap: E. Unutma. n n n n n n n = n 2 n 1 n Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Madem a eleman olarak bulunmayacak, o zaman a yı çöpe atalım. Geriye kalan b, c, d, e elemanlarından yapacağımız her 3 elemanlı alt küme kesinlikle 4 a yı barındırmayacaktır. O halde yanıt = 4 Örnek. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içeren kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 16 Çözüm: Madem a eleman olarak garanti bulunacak, a yı kenara ayıralım. a nın yanına 2 eleman daha getireceğiz. Peki, bunu nerden getireceğiz? Diğer 4 elemandan seçerek. 4 elemandan ikisi 4 = 6 2 değişik şekilde seçilebileceğinden sorunun cevabı 6 dır. Aslında bu soruyu bir önceki sorunun çözümünü kullanarak da çözebilirdik. Herhangi bir şart içermeyen 3 elemanlı alt kümeleri sayısı 5 = 10 olduğundan, bunlardan içinde a yı eleman olarak bulundurmayanları çıkartırsak cevap doğal olarak 10 4 = 6 olur. Örnek. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin a yı eleman olarak içeren ama b ve c nin ikisini de içermeyen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 16 Çözüm: a yı kenara ayır, b ve c yi de çöpe at. a nın yanına 2 eleman daha lazım. Bu 2 elemana kimler aday? d, e ve f. Yani 3 elemandan 2 si seçilecek, o halde yanıt 3 =

8 Örnek. A = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde rakam sayısı, harf sayısından fazladır? A) 10 B) 11 C) 13 D) 156 E) 312 Çözüm: Yani 3 rakam-1 harften ve 4 rakam-0 harften oluşan kaç tane 4 elemanlı alt küme olduğunu hesaplayacağız. Önce ilk duruma bakalım. 4 rakamdan üçünü ve harften birini seçeceğiz. Bunun sayısı = 12 dir. 1 Şimdi de ikinci durumu inceleyelim. 4 rakamın dördünü ve 3 rakamın 0 ını seçeceğiz. Bunun sayısı da 4 3 = 1 dir. O halde cevabımız = Doğru cevap: C. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 9} kümesinin elemanlarıyla 3 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı sayı yazılabilir? A) 162 B) 180 C) 200 D) 240 E) 262 Çözüm: Bir önceki soruya yaptığımız çözümdeki mantığı koruyarak, rakamları 3 e tam bölünenler, 3 e bölündüğünde 1 kalanını verenler ve 3 e bölündüğünde 2 kalanını verenler diye gruplayalım. Yine sayıyı abc ile gösterelim. a + b + c toplamının 3 ün katı olmasını sağlayacağız. Bunun için kaç farklı durum var, ona bakalım: a, b ve c yi {1, 4, 7} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c yi {2, 5, 8} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c yi {3, 6, 9} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi 3 3! = 6, a, b ve c nin birini {1, 4, 7} kümesinden, birini {2, 5, 8} kümesinden diğerini de {3, 6, 9} kümesinden seçip bunları sıralamanın adedi de ! = olduğundan yazılabilecek 3 basamaklı sayı adedi = 180 dir. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 30} kümesinin, elemanları toplamı 3 ile bölünebilen kaç tane 3 elemanlı alt kümesi vardır? A) 1360 B) 1200 C) 1160 D) 450 E) 400 Çözüm: Sinan Aşık ın TMOZ grubuna yolladığı çözümü sunuyorum: A kümesinin 3 elemanlı bir alt kümesini {a, b, c} ile gösterelim. Burada a, b ve c nin kaç olduğu değil, 3 e bölümünde kaç verdiği önemlidir. Dolayısıyla A kümesinin elemanlarını 10 tane 1, 10 tane 2 ve 10 tane 0 gibi düşünebiliriz. Bizi sonuca götürecek her yol mübah! Şimdi a + b + c toplamının 3 ün katı olmasını sağlayacağız. Bu neyle mümkün? Ya üçü de 1 olacak, ya üçü de 2 olacak, ya üçü de 0 olacak, ya da biri 0, biri 1, biri 2 sayılarından oluşacak. Bunlar için kaç farklı durum var, ona bakalım: 10 {1, 1, 1} için = 120, 10 {2, 2, 2} için = 120, 10 {0, 0, 0} için = 120, {0, 1, 2} için = 1000 olduğundan istenen alt küme sayısı 1360 dır. Örnek. A = {1, 2, 3, 4,, 15} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı 4 e bölünebilir? A) 1680 B) 840 C) 287 D) 280 E) 140 Çözüm: Tüm 3 elemanlı alt kümeleri adedinden elemanları çarpımı 4 e bölünemeyen 3 elemanlı alt kümelerin adedini çıkararak sonuca varmayı planlıyoruz. Tek sayılar kümesini T, çift sayılar kümesini Ç ile 4 e bölünmeyen çift sayılar kümesini Ç ile gösterelim. T = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Ç = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} Ç = {2, 6, 10, 14} s(t) = 8, s(ç) = 7 ve s(ç ) = 4 olduğunu görüyoruz. θ = {a, b, c} kümesi A nın bir alt kümesi olsun. θ nın elemanları çarpımının 4 e bölünmemesi ya a, b, c T ile ya da a, b T ve c Ç ile mümkündür. Yani ya üçü de tek, ya da ikisi tek üçüncüsü de 4 e bölünmeyen bir çift sayı olacak. O halde cevap = Tüm 3 elemanlı 3 elemanı da tek 2 elemanı tek, üçüncü alt kümeler olan alt kümeler elemanı 4'e bölünmeyen Doğru cevap: C. 165

9 Örnek. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ardışık iki eleman bulunmaz? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 Çözüm: A kümesi 8 elemanlı olduğundan C(8, 3) = 56 tane 3 elemanlı alt kümesi vardır. Şimdi bunlardan içinde sadece 2 tane ardışık eleman bulunduran 3 elemanlı alt kümeleri atacağız. 1-2 alınırsa, 3 hariç diğer 5 eleman alınabilir. 2-3 alınırsa, 1-4 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 3-4 alınırsa, 2-5 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 4-5 alınırsa, 3-6 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 5-6 alınırsa, 4-7 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 6-7 alınırsa, 5-8 hariç diğer 4 eleman alınabilir. 7-8 alınırsa, 6 hariç diğer 5 eleman alınabilir. Şimdi de içinde 3 tane ardışık eleman bulunduran 3 elemanlı alt kümeleri atacağız. O elemanlar da 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, olmak üzere 6 tanedir. O halde koşulları sağlayan 56 ( ) = 20 tane alt küme vardır. Yukardaki çözümü şöyle genelleyebiliriz: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinden, hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde n n çiftse en çok 1, n 2 küme seçilebilir. n n tekse en çok 1 ( n 1) ± 2 Örnek. A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Buna göre A X B koşulunu sağlayan kaç farklı beş elemanlı X kümesi yazılabilir? A) 3 B) 6 C) 10 D) 15 E) 20 Çözüm: Eğer X kümesi A yı kapsayacaksa mecburen a, b, c elemanlarını içermelidir. Eğer B nin alt kümesi olacaksa da diğer elemanları d, e, f, g, h elemanlarından X kümesi 5 elemanlı olacağından a, b, c elemanlarının yanına d, e, f, g, h elemanlarından ikisini getirmeliyiz. Bu da seçim meselesidir. Bu yüzden cevap C(5, 2) = 10 Doğru cevap: C. Örnek. 4 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden, hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde en çok kaç küme seçilebilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: Kümeyi {1, 2, 3, 4} olarak alalım. Bu kümenin bildiğiniz üzere 16 tane alt kümesi vardır. Bu 16 taneden öyle n tane alacağız ki hiç biri bir diğerinin alt kümesi olmayacak. Örneğin bu 16 taneden {1}, {2}, {3} ve {4} ü seçersek, gerçekten de hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmaz. Fakat bu 4 tanenin yanına bir küme daha alırsak özellik sağlanmaz, örneğin {1, 2} yi de alırsak {1} ve {2} kümesi {1, 2} nin alt kümesi olurlar. n = 4 için sağlanan bir durum bulduk, bakalım bu en büyük durum mu? Şimdi bu 16 taneden 2 elemanlı alt kümeleri seçersek yani {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} ve {3, 4} kümelerini alırsak yine bunların hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olamaz ama bunların yanına herhangi bir üç elemanlı alt küme getirirsek özellik bozulur. Bu kümenin 3 elemanlı alt kümeleri de birbirlerinin alt kümeleri değildir ama üç elemanlı alt küme sayısı 2 elemanlı alt küme sayısından azdır. Bu yüzden cevabımız iki elemanlı alt kümelerin sayısı olan 6 Doğru cevap: E. Örnek. MUSTAFA kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız S harfiyle başlayan 4 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? A) 12 B) 24 C) 36 D) 42 E) 72 Çözüm: S yi alıp başa koyalım. Geriye kalan MUTAFA kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeler yazıp, S nin sağ yanına iliştireceğiz. İki A harfinin varlığından dolayı sıkıntı yaşamamak için tek A ve iki A bulunan durumları ayrı ayrı inceleyelim. M, U, T, A, F harflerinden herhangi üçünü C(5, 3) değişik şekilde seçebiliriz ve onları da 3! kadar değişik sıraya dizebileceğimizden, bu şartlarla 10 6 = 60 kelime yazabiliriz. Şimdi iki A harfi bulunan duruma bakalım. M, U, T, F harflerinden birini C(4, 1) = 4 değişik şekilde seçebiliriz. Seçtiğimizi iki A harfiyle birleştirirsek, hepsini 3! 3 2! = kadar değişik sıraya dizebileceğimizden, bu şartlarla da 12 kelime yazabiliriz. O halde toplam = 72 kelime yazmak mümkündür. Doğru cevap: E. 166

10 CEVAPLI TEST toplamı kaçtır? ! = a! eşitliğini sağlayan a kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) m + = 3 0 m 1 eşitliğini sağlayan m kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) n n + = 56 n 3 n 2 olduğuna göre n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) = 2x x+ 2 olduğuna göre x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 10 D) 55 E) 2 10 A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 5. p, r, m sayıları birer sayma sayısı olmak üzere; p r p m + = + 1 r 4 0 eşitliğini sağlayan p kaçtır? toplamı kaçtır? A) 2 8 B) 2 9 C) 2 10 D) 2 18 E) 2 19 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 167

11 CEVAPLI TEST C(n, 4) = P(n, 3) olduğuna göre n kaçtır? 6. 6 toptan 2 sini satın almak isteyen bir çocuk, amacına kaç farklı şekilde ulaşabilir? A) 30 B) 20 C) 15 D) 6 E) 2 A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 E) C(x, x 2) + P(5, 2) + 2 P(x, 2) = C(8, 4) eşitliğine göre x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) kişilik bir sınıfta 1 başkan kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 30! B) 29! C) 30 D) 2 E) 1 3. P(y + 1, 5) = 48 C(y + 1, 4) olduğuna göre y kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) kişilik bir sınıfta 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 30! B) 28! C) 28! 2 D) 870 E) a N olmak üzere, n n = a+ 5 3 a eşitliği veriliyor. n Buna göre kaçtır? 6 A) 28 B) 26 C) 20 D) 16 E) kişilik bir sınıftan 3 kişi trafik koluna seçilecektir. Seçilen bu 3 kişiden biri de başkan yapılacaktır. Trafik kolunun üyeleri ve başkan kaç değişik sekilde seçilebilir? A) 15! 3! B) 15! 3! C) D) E) P(a, 7) = 7! C(a, 4) eşitliğini sağlayan bir a değeri var mıdır? Varsa a kaçtır? 10. Bilgi yarışmasını kazanan 5 öğrencinin 3 ü ödül olarak cep telefonu, 2 si de kitap seti alacaktır. Ödülleri kaç farklı şekilde dağıtmak mümkündür? A) 5 B) 10 C) 20 D) 32 E) 120 A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 7 168

12 CEVAPLI TEST öğretmen ile 5 öğrenci boş olan 5 koltuğa oturacaklardır. Öğretmenlerin ayakta kalmaması şartıyla kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 10 B) 20 C) 40 D) 120 E) Bir otelde 1 tane 2 kişilik, 4 tane 3 kişilik oda vardır. 3 kişilik odalar özdeş olduğuna göre 14 kişi bu otele kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) 14 2!12! B) 14 12! C) 14 2! D) 14 E) 14! Bir antrenör, 22 kişilik kadrodan ilk 11 i ve yedek 5 i kaç değişik şekilde oluşturabilir? 2. 5 i doktor 7 si hemşire olan 12 kişilik bir sağlık ekibinden acil vakalara bakmak üzere 1 doktor ve 2 hemşireli 3 kişilik küçük bir ekip oluşturmak isteniyor. Kaç farklı şekilde mümkündür? A) D) 22 16! 16 B) C) E) 11! 5! 11 5 A) 21 B) 42 C) 105 D) 210 E) kişilik kadrosunda 3 farklı kalecisi bulunan bir antrenör, tek kalecili 11 oyuncuyu kaç değişik şekilde seçebilir? 3. 6 bay ve 3 bayan arasından, içlerinde 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? A) D) 3! B) C) E) 10! 10 1 A) 60 B) 45 C) 30 D) 15 E) u yabancı olan 22 kişilik kadrosundan 11 kişi seçmek isteyen bir teknik direktör, bir maçta en çok 6 yabancı oynatabilme hakkına sahiptir. Eğer yabancılardaki tüm hakkını kullanmak istiyorsa, ilk 11 i kaç değişik şekilde seçebilir? 4. 6 bay ve 3 bayan arasından, içlerinde en az 1 bayan olan 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 45 B) 46 C) 63 D) 64 E) 90 A) D) 6 5 B) 10 6 E) 22 C) İçlerinde 3 tanesi matematik öğretmeni olan 12 öğretmenden 3 tanesi doğuya mecburi hizmete yollanacaktır. En az ikisi matematik öğretmeni olmak zorundaysa bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? kişi, 4 ve 3 kişilik iki ayrı gruba ayrılmak isteniyor. İçlerinden belli 2 tanesi birbirlerine küs olduğundan aynı grupta olmak istemiyorlar. Grupları seçen adam hırgür çıkmasın diye kaç değişik seçim yapabilir? A) 20 B) 35 C) 40 D) 70 E) 105 A) 27 B) 28 C) 36 D) 56 E)

13 CEVAPLI TEST 3 1. Bir gruptan 2 şer kişilik 2 ayrı grup 210 farklı şekilde oluşturulabiliyorsa, bu grupta kaç kişi vardır? A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) kişilik bir arkadaş topluluğunda Ali ve Veli ayrı gruplarda olmak üzere 5 kişilik gruplar kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 35 B) 70 C) 140 D) 210 E) farklı dersin 2 si aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden 5 tanesini seçmeye mecbur bir öğrenci seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? 6 2 A) + B) D) C) E) elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kaç altkümesi vardır? A) 7! 2! B) 42 C) 35 D) 21 E) elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 2 elemanlı altkümelerinin sayısından kaç fazladır? soruluk bir sınavda ilk 3 tanesini cevaplamaya mecbur olan bir öğrenci cevaplamak üzere bu 10 sorudan 8 ini kaç farklı şekilde seçebilir? A) 105 B) 84 C) 70 D) 42 E) 14 A) 42 B) 35 C) 21 D) 14 E) 7 4. Herkesin birbiriyle tokalaştığı bir grupta toplam tokalaşma sayısı 36 olduğuna göre, grupta kaç kişi vardır? 9. 7 elemanlı bir kümenin a elemanlı altkümeleri sayısı, b elemanlı altkümeleri sayısına eşit ve a b olduğuna göre a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 11 A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) kişilik bir gruptan 6 kişi seçilecek ve bir yuvarlak masa etrafına oturtturulacaklar. Kaç farklı oturuş mümkündür? A) 210 B) 210 5! C) 210 6! D) ! E) ! 6! 10. Beş erkek ve üç kız yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Herhangi iki kız yan yana gelmemek koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 720 B) 1440 C) 1610 D) 1960 E)

14 CEVAPLI TEST farklı kitap 5 öğrencinin katıldığı bilgi yarışmasının sonunda birinciye üç, ikinci iki, üçüncüye bir kitap vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 6. A = {a, b, c, d, e} kümesinin a ve b nin ikisini birden eleman olarak içermeyen kaç tane 2 elemanlı altkümesi vardır? A) 10 B) 8 C) 5 D) 3 E) 2 A) 60 B) 120 C) 3600 D) 4800 E) Farklı 4 renk pantolonu, 3 renk gömleği ve 3 farklı kravatı bulunan bir kişi kravatlı veya kravatsız olarak kaç farklı şekilde giyinebilir? A) 12 B) 36 C) 42 D) 48 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin içinde hem a hem de b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 21 B) 15 C) 10 D) 6 E) basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin sadece 2 basamağında aynı rakam yer alır? A) 214 B) 226 C) 243 D) 281 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin içinde a bulunan ama b bulunmayan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 35 B) 20 C) 15 D) 10 E) 6 4. Bir öğrencinin üçü aynı saatte verilen 7 seçmeli dersten üçünü seçmesi gerekmektedir. Bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? A) 98 B) 64 C) 44 D) 36 E) A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin, içinde a veya b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 10 B) 20 C) 30 D) 32 E) A = {a, b, c, d, e} kümesinin a yı eleman olarak içermeyen kaç tane 4 elemanlı altkümesi vardır? 10. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin, içinde a ya da b bulunan kaç farklı 4 elemanlı altkümesi vardır? A) 20 B) 24 C) 30 D) 35 E) 48 A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1 171