1.Gir i 1.1 Ya kla ık çö zü m iht iyacı e k i l A N üme rik ya kınsa ma
|
|
- Adem Buğra
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ VE BU YÖNTEMİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİNE UYGULANMASI HAZIRLAYAN : Dr. Mehmet İREN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ VE BU YÖNTEMİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİNE UYGULANMASI
2 .Giriş Uygulamalı fiziğin ve matematiğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkan problemlerin çoğu için analitik çözümler elde etmek zor ve hatta imkansızdır. Analitik bir çözüm, sistemin içindeki herhangi bir noktada aranan bir bilinmeyenin değerini veren matematiksel bir ifadedir ve sistem içinde bulunan sonsuz sayıdaki diğer noktalarda da geçerlidir. Analitik çözümler sadece basitleştirilmiş şartlar için elde edilebilmektedir. Kompleks malzeme özellikleri ve sınır şartları ihtiva eden problemlerde, yaklaşık ve kabul edilebilir sonuçlar veren nümerik hesap metotları kullanılır. Nümerik hesap metotlarında bilinmeyenin yaklaşık değeri, sadece sistem içindeki belirli noktalarda elde edilir. Elektronik kompüterlerin yaygın olarak kullanılmaya başlamasından önce ortaya çıkmış ve geliştirilmiş nümerik hesap metotlarından çoğu bugün bu tür makinalarda kullanılmak üzere adapte edilmişlerdir. Bu nümerik hesap yöntemleri arasında sonlu farklar ve Ritz yöntemlerinden bahsedilebilir. Yukarıda bahsedilen yöntemlerin aksine sonlu elemanlar yöntemi tamamen bilgisayar çağının ürünüdür. Bu yöntem ile non-homoen ve aniztrop malzeme özelliklerine ve kompleks sınır şartlarına sahip ortamların davranışları kolaylıkla belirlenebilir.. Yaklaşık çözüm ihtiyacı Giriş bölümünde, analitik çözümlerin elde edilme güçlüğünden bahsedilmişti. Bu sebeple kabul edilebilir hassaslıkta bir çözüm eğer makul bir zaman harcayarak elde edilebiliyorsa bizce tercih edilmektedir. Mühendisler olarak bizi asıl ilgilendiren, yaklaşık çözümün gerçek çözüme yakınsaklığıdır. Elde edilen sonuçların iyiliğinin, yaklaşım derecesinin arttırılmasına bağlı olduğunu da unutmamalıyız. Şekil A. Mesela bir çember çevresinin ölçülmesi istensin. Eğer bu çemberin çapı birim ise, bu çemberin çevresi tam olarak π = birim olacaktır. Bununla beraber ölçme için cetvel kullanmamız isteniyorsa, yapacağımız şey çemberi bir poligon kabul etmektir. Bu Şekil.'de görülmektedir. Bu şekilde açıkça görüleceği gibi, poligonun kenar sayısı arttıkça çembere yaklaşmaktadır.. Nümerik yakınsa ma Nümerik yakınsamanın temel fikri, sürekli ortama parça parça yaklaşmaktır. Buna diskretizasyon denir. Böylece sonsuz adet olan bilinmeyen sayısı, sonlu hale gelir. Bir önceki bölümde yaptığımız gibi bir çembere poligon olarak yaklaşmak bir diskretizasyondur. a¾x¾b aralığında sürekli y=f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun bu aralıktaki türevinin analitik bir fonksiyonunu elde etmek kolaydır. Ancak biz bu olaya nümerik olarak yaklaşmak isteyebiliriz. Bu taktirde, aralık içerisinde f(x)'in varyasyonu, y = αx + β (. ) şeklinde kabul edilebilir. Bu taktirde fonksiyonun türevi,
3 3 dy dx = α (. ) şeklinde tek bir değer olacaktır. Şekil.'den de görülmektedir ki, gerçek ve kabul edilen fonksiyonlar arasında ve bunların bu aralıkta hesaplanan türevleri arasında ortaya çıkan hata bizce kabul edilebilirse mesele yoktur. Ortaya çıkan hatanın kabul ya da ret edilmesi bir mühendislik yaklaşımıdır. Eğer hata bizce kabul edilemeyecek kadar büyükse yaklaşım iki şekilde modifiye edilir: - Verilen aralıkta diskret noktaların sayısı arttırılır ve bu noktalar arasında fonksiyon lineer kabul edilir ya da, - Diskret noktalar arasındaki fonksiyon için lineer fonksiyon yerine quvadratik, kübik, vb yüksek dereceli polinomlar kullanılır..3 Sonlu elemanlar yönteminin tabiatı ve faydaları.3. Sonlu elemanlar yönteminin tabiatı Şekil.3 te görülen vida anahtarının dizaynında aranılan özellikleri şöyle sıralayabiliriz. - Mümkün mertebe hafif olmalıdır. - Kullanılma esnasında malzemede plastik deformasyonlar meydana gelmemelidir. 3- Anahtarın ağzındaki açılma, kritik bir değeri aşmamalıdır. Şekil. Şekil.3 Bu dizayn için, malzemelerin mukavemetine ait bilgiler bize çok kaba bir yaklaşım verecek ve anahtar arzu edilen kadar hafif olmayacaktır.
4 4 Kesin analitik çözüm için tek yol elastisite teorisini kullanmaktır. Elastisite teorisine göre deplasman alanlarının diferansiyel denklemi vektörel formda, ( ) µ U r + λ + µ grad div U r + F r (. 3) şeklindedir. Bu diferansiyel denklemde r U genel deplasman vektörünü, r F dış kuvvet vektörünü göstermektedir. Ayrıca, E Young modülü olup, µ = E + λ = E ( ν) ( + ν)( ν) şeklindedir. ν ise Poisson oranıdır. Eğer bu diferansiyel denklemi, verilen kuvvet ve deplasman sınır şartları altında çözebilirsek, sürekli ortam içerisindeki çeşitli noktalar için geçerli bir analitik ifade elde ederiz. Elde edeceğimiz bu analitik ifade bize sürekli ortam içindeki noktaların deplasmanlarını verecektir. Artık elde ettiğimiz bu deplasman fonksiyonlarını kullanarak uzama ve gerilme ifadelerini elde edebiliriz. Ama bu boş bir hayaldir. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz. Malzemelerin mukavemetine ait metotlar bize bir çözüm verirler. Ancak bu çözüm gerektiği kadar hassas değildir. Bununla beraber elastisite teorisi ile kesin çözümü nasıl elde edeceğimizi biliyoruz fakat elde edemiyoruz. Ama bir çıkış yolumuz var. Problemi tek bir işlemde ortamın tamamı için çözmek yerine, ortamın küçük elemanları için çözüm elde edebiliriz. Elde edilen bu çözümler kombine edilerek sistemin tamamı için bir sonuç elde etmek mümkündür. Bu sonlu elemanlar yönteminin esas felsefesidir. Bu felsefeyi şöyle özetleyebiliriz: Diferansiyel hesap ebrik denklemler problemi haline getirilirse - Çözüm kesindir - Yaklaşık çözüm geliştirilebilir. - Fakat genellikle - Çözüm daima vardır. çözmek imkansızdır.3. Sonlu elemanlar yönteminin yararları - Düşünce esnekliği sağlar. Mühendislik ya da matematik açıdan ele alınabilir. - Uygulamada verimlidir ve elde edilen sonuçların hassaslığı kontrol edilebilir. 3- Sonlu elemanlar yöntemi belirli şartlar için kullanılabilen bir yöntem değildir. Ortam geometrisinin düzensiz ve heteroen oluşu bu yöntem için bir handikap değildir ve çeşitli tipteki sınır şartlarının probleme dahil edilmesine imkan verir..3.3 Sonlu elemanlar yönteminin dezavantaları Bütün nümerik analiz yöntemleri gibi sonlu elemanlar yöntemi de bilgisayar kullanımı gerektirmektedir. Bilgisayarın temini ve kullanılması için para sarfiyatı gerektiğinden bu sonlu elemanlar yönteminin ekonomik dezavantaıdır. Sonlu elemanlar yöntemi kullanılan esas teori kadar doğrudur. Malzemenin fiziksel datalarının ve eleman datalarının temininde ve bilgisayara yüklenmesinde yapılan hatalar sonuca olumsuz yönde etki edecektir. Daha kesin sonuçlar, daha küçük eleman boyutları ile elde edilecektir. Eleman boyutlarının küçülmesi ise daha büyük bilgisayar hafızası gerektirir. Buna göre bilgisayar hafızasının sınırlı oluşu çözümün hassasiyetine bir tahdit getirecektir..4 Sonlu elemanlar yönteminin uygula ma alanları - Elastik cisimlerin mekaniğine ait problemler,
5 5 - Robotlar (Dinamik problemleri), 3- Isı iletimi problemleri, 4- Nükleer mühendislik problemleri, 5- Toprak mekaniğine ait problemler, 6- Biomekaniğe ait problemler, 7- Elektrik mühendisliğine ait problemler, 8- Akışkanlar mekaniğine ait problemler..5 Sonlu elemanlar yönteminin uygulandığı problem tipleri - Denge problemleri :Gerilme, uzama ve deplasmanların hesabı. - Has değer problemleri :Tabii frekansların ve stabil olmayan modların hesabı. 3- Propagasyon problemleri :Çeşitli alan problemlerinin zamana bağlı çözümlerinin elde edilmesi.. Sonlu elemanlar analizi Sonlu elemanlar yönteminin temel felsefesinin diferansiyel denklemler şeklinde elde edilen sistem denklemlerinin, cebrik denklemlerin çözümü haline getirilip, bu denklemlerin çözülmesi olduğu üzerinde durulmuştu. Bu sonuca şöyle varılır: - Sürekli ortam elemanlara ayrılır. - Eleman denklemleri çıkartılır. 3- Elemanların birleştirilmesi ile bulunan lineer denklem takımı çözülür. Sonlu elemanlar yönteminde, göz önüne alınan sürekli ortamın bir, iki ya da üç boyutlu olmasına göre elemanlar da bir, iki ya da üç boyutlu olurlar. Bu elemanlar büyüklük ve dağılım açısından keyfi olup, amaca bağlı olarak şekilleri de değişebilir.
6 6 3. Sonlu eleman yaklaşımına giriş İlgili ortamın noktalar kümesi alındığı sonlu farklar şemasının tersine sonlu elemanlar yönteminde ortam, küçük eleman parçalarının kümesiyle temsil edilir. Bu eleman parçalarına sonlu elemanlar diyoruz. Her bir eleman içinde u, ÿ ya da T vb. dediğimiz bilinmeyen fonksiyon, interpolasyon fonksiyonu ile temsil edilir. Eleman denklemleri de denen bu interpolasyon fonksiyonları ya da polinomları her bir eleman içinde sürekli olmalıdır. Bu süreklilik bu polinomların istenilen mertebeden türevlerinde de görülmelidir. Genellikle, bu süreklilik özelliği, eleman içinden ziyade, eleman aralarında -interface- daha önemlidir. Bu sebeple alt eleman ya da elemanlar, sonlu elemanlar yönteminde temel inşa bloklarını oluştururlar. Sonlu elemanlar yönteminin arkasındaki metot abstractdır. Diferansiyel denklemleri nümerik olarak çözmek üzere cebrik denklemlere dönüştürme formülasyonu için fonksiyonel analiz ve varyasyonel metotlar kavramlarını vermek gereklidir. Buna ek olarak, her eleman için elde edilen informasyonların assemble -birleştirilme- edilme işlemi başarılması gereken başlı başına bir problemdir. Fonksiyonel analiz metotlarının içinde - Kollokasyon metodu, - Alt alan (subdomen) metodu, 3- Galerkin metodu sayılabilir. Şimdi bu metotları sıra ile görmeden önce eleman denklemlerinin nasıl elde edildiğini görelim. 3. Bir boyutlu orta mlarda eleman denklemlerinin elde edilmesi t = için T = başlangıç şartı ile verilen dt dt + T = (. 4) denklemini t=(,) aralığında kollokasyon metoduyla çözmeye çalışalım. Bunun için t=(,) aralığının t=(,.5) ve (t=.5,) olmak üzere iki alt alana ya da sonlu elemana bölündüğünü kabul edelim. Şekil.4 Verilen sistem iki elemana bölünmüş olup üç düğüm noktalıdır. Her bir eleman ise iki düğüm noktalıdır. Eleman düğüm noktası (EDN) ile sistem düğüm noktası (SDN) arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibidir. Eleman (EDN) (SDN) No 3
7 7 Buna göre (SDN) deki T değeri T (SDN) deki T değeri T (SDN) 3 deki T değeri T 3 olur. Bilinmeyen T'nin içindeki A noktasındaki değeri T ve T 'ye bağlı olarak lineer interpolasyonla T = L T + L T (. 5) olarak yazılır. Burada L ve L interpolasyon şekil fonksiyonları olup aynı zamanda t = L t + L t (. 6) ve = L + L (. 7) eşitliklerini de sağlar. Buradan L ve L hesaplanırsa L t = t t t L t t = t t (. 8) olarak bulunur. t = ve t = 5. yazılarak L. 5 t 5 t = t 5 =. =. 5. L t t = t. 5 = 5. = (. 9) elde edilir. Buna göre T, nolu eleman içindeki keyfi bir A noktasında t t t t T = T T t t + t t ( t ) T ( t) T T = + (.) şeklinde yazılır. Aynı şekilde nolu eleman için numaralı elemana yapılan işlemler tekrarlanırsa keyfi bir B noktası için T = L T + L T (.) 3 3 yazılır. L ve L 3 t = L t + L t (. ) = L + L (. 3) denkleminden çözülerek L L t t 3 = t t 3 L t = = t 5. 3 t t = t t 3 L 3 t 5 =. = t. 5 (. 4) (. 5) bulunur. Bulunan L ve L 3 yerlerine yazılarak t3 t T = t t 3 t t T + t t 3 ( ) ( ) T 3 T = t T + t T (.6) 3
8 8 bulunur. (.) ve (.6) denklemleri her bir eleman içinde T fonksiyonunun değişimini düğüm noktalarındaki T, T ve T 3 değerlerine bağlı olarak vermektedir. Şimdi her bir eleman için (. 4) denklemini yazalım: nolu eleman için [(.5) ve (.) nolu denklemlerden dt dl dt = dt T + dl dt T dl = dl = dt t t dt t t dt dt T T = yazılarak, dt + T = dt t t t t T + + t t t t t t t t ( ) ( ) t T + t + T = T = (.7) bulunur. nolu eleman için [(.) ve (.6) nolu denklemlerden] dt dl dl 3 = T + T 3 dt dt dt t L = = t L 5. dl = dl = dt dt dt = T + T 3 dt yazılarak, 3 t 5 =. = t 5. dt + T = dt + t T + + t T = ( ) ( ) ( t) T + ( t + ) T = 3 (.8) bulunur. Her bir eleman için bu denklemler kurulduktan sonra sistem denklemleri elde edilerek problem çözümü aşamasına gelinir. Diferansiyel denklemleri cebrik denklem aşamasına dönüştürme aşaması demek olan bu aşamada takip edilen metotlara gelelim: 3.. Kollokasyon metodu Bu metotta (.7) ve (.8) denklemleri ait oldukları elemanlar içinde kollokasyon noktası denilen noktalarda diferansiyel denklemin sağ tarafına eşit olması istenir. (.7) ve (.8) denklemlerindeki toplam bilinmeyen sayısı üçtür. Bu üç bilinmeyenden biri olan T in değeri başlangıç şartından belli olup T = 'dir. Geriye iki bilinmeyen kalır. Bu da bize iki kollokasyon noktasının bilinmesi gerektiğini bildirir. Bu kollokasyon noktalarından birisi < t <. 5, diğeri 5. < t < aralığında seçilecektir. Deboo ve Swartz (973) a göre daha doğru neticeler için Gauss noktaları seçilmelidir. Buna göre kollokasyon noktaları < t <. 5 aralığı için t = 5., 5. < t < aralığı için t = 75. 'dir. Bu iki değer için (.7) ve (.8) denklemleri,
9 9 t=.5 için ( ) ( ) t T + t + T = 3 5 T + T = t=.75 için ( ) ( ) t=. 5 t=. 5 t T + t + T = T + T = 3 haline gelir. t= için T = olduğu dikkate alınarak elde edilen bu cebrik denklemler matris formunda yazılırsa 3 5 T T = 3 5 T 3 elde edilir. Buradan da; [ T T T ] = [ ] 3 5 bulunur Subdomen metodu Bu metotta (.7) ve (.8) denklemlerinin her iki tarafının söz konusu aralıklardaki integralleri sağlanmalıdır. Bu aralıklar (.7) denklemi için (,.5) aralığı (.8) denklemi için (.5,) aralığı olup, (.7) denklemi ele alınırsa, dt dt + T dt = [( ) ( ) ] t T + t + T dt =. 75T + 5. T = bulunur. (.8) denklemi ele alınırsa aynı prosedür takip edilerek; dt dt + T dt = [( ) ( ) 3] t T + t + T dt =. 75T + 5. T = 3
10 bulunur. t= için T = olduğu dikkate alınarak elde edilen cebrik değerler matris formunda yazılırsa, T T = T 3 elde edilir. Buradan da [ T T T ] = [ ] bulunur Galerkin metodu Bu metot Subdomen metodunun gelişmiş şeklidir. Buna göre (.7) ve (.8) denklemi bir ağırlık fonksiyonu ile çarpılıp aralık içinde aşağıda olduğu gibi integre edilir. Burada ağırlık fonksiyonları interpolasyon fonksiyonu şeklindedir. Buna göre (.7) denklemi, L dt dt + T dt = dl L ( ) dt T dl + T + LT + LT dt dt = dl dl L L T L T dt + dt + dt + = [ ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) ] 4t T + 4t t + T dt = t t T + t t + t T = T + T = T T = ve ikinci denklem,. 5
11 L dt dt + T dt = dl L ( ) dt T dl + T + LT + LT dt = dt dl dl L + L T L T dt + + dt dt = [ ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) ] 4t t T + 4t + 4 T dt = t t T + t + t T = T + T = 3. 46T T =. 5 bulunur. Bulunan bu denklemler matris formunda yazılırsa; T = T 3 elde edilir. (.8) denklemi de; L dt dt + T dt = dl dl3 L T ( ) dt dt T L T L T dt = dl L dt dl3 + L T L T dt dt + = [ 3 ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) 3 ] 4 t 3 4t 4t T + 4t + t + T dt = t 3 7 T + T = T T = 3 T + t t t T =
12 ve ikinci denklem,. 5 L dt 3 dt + T dt = dl dl3 L3 T + T3 + ( LT + L3T3 ) dt = dt dt dl L3 dt dl3 + L T L T dt dt = [ 3 ] ( ) ( ) ( ) t + t T + + t T dt = [( ) ( ) 3 ] 4t + t T + 4t T dt = 4 3 t + t T + T = T T = 3 3 T + t t T 3 = T = T3 3 elde edilir GALERKIN METODUNDA ELEMAN MATRİSLERİNİN BİRLEŞTİRİLMESİ Üç düğüm noktası olduğundan ve her düğüm noktasının bir serbestlik derecesi olduğundan üç tane bilinmeyen vardır ve üç denklem gerektirir. Öyleyse, 7 3 T T 5 7 T + T = 3 3 T 5 T Eleman. Eleman yazılarak süperpoze edilirse T 7 T = T 3 3 bulunur. T = olduğundan, mertebe düşürülerek,
13 3 T 7 5 T = T 3 elde edilir. Bu cebrik denklem çözülürse; [ T T T ] = [ ] olarak elde edilir. Verilen diferansiyel denklemin analitik çözümü; T = e t olduğundan aynı noktalara tekabül eden gerçek çözüm [ T T T ] = [ ] bulunur. 4. BİLGİSAYARA UYARLAMA dt dt + T = denklemini [,] aralığında noktada çözelim.
14 4 Data dosyası ismi KOL.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir ******************************************************************* * * * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE KOLLOKASYON * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI *
15 5 * KOLNOK:KOLLOKASYON NOKTASI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL KOLNOK,L,L L(KOLNOK,T,T)=(T-KOLNOK)/(T-T) L(KOLNOK,T,T)=(KOLNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='KOL.DAT') OPEN(6,FILE='KOL.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) KOLNOK=(T+T)/ SISMAT(I+,SKT(I,))=L(KOLNOK,T,T)-/(T-T) 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=L(KOLNOK,T,T)+/(T-T) SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI=. DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS
16 SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I) DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 6
17 7 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E-4
18 T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4 8
19 9 Aşağıda SUBDOMEN metodu ile söz konusu diferansiyel denklemi çözen fortran dilinde yazılmış bir program ve neticeler görülmektedir. Bu programın data dosyası ismi SUB.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir. Son altı veri gurubu ise Gauss noktaları ve ağırlık katsayılarından ibarettir E+.7344E E+.7344E+.6693E E E E+.3869E E E E+ ******************************************************************* * *
20 * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE SUBDOMEN * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI * * GAUSNK:GAUSS NOKTALARININ MATRISI * * WEIGHT:AGIRLIK KATSAYILARI MATRISI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) DIMENSION GAUSNK(6),WEIGHT(6) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL GAUSNOK,L,L,INT,INT L(GAUSNOK,T,T)=(T-GAUSNOK)/(T-T) L(GAUSNOK,T,T)=(GAUSNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='SUB.DAT') OPEN(6,FILE='SUB.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) GAUSS NIKTALARINI VE AGIRLIK KATSAYILARINI OKU
21 DO 8 I=,6 8 READ(5,*) GAUSNK(I),WEIGHT(I) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) INT= INT= DO 35 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T)) 35 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T)) SISMAT(I+,SKT(I,))=INT 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=INT SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE SISMAT(,)=. ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI= DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I)
22 DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== 3 3 4
23 t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) =..E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4
24 4 Aşağıda GALERKIN metodu ile söz konusu diferansiyel denklemi çözen fortran dilinde yazılmış bir program ve neticeler görülmektedir. Bu programın data dosyası ismi GALERKIN.DAT dır. Birinci data satırı sistemin düğüm noktası sayısını, ikinci data satırı sistemin eleman sayısını belirtir. Bunlardan sonra yazılan adet veri gurubu sistem düğüm noktalarının koordinatlarını ve son adet veri gurubu da sistem konnektivite tablosunu belirtir. Son altı veri gurubu ise Gauss noktaları ve ağırlık katsayılarından ibarettir E+.7344E E+.7344E+.6693E E E E+.3869E E E E+ ******************************************************************* * *
25 * dt * * T = DENKLEMININ (,) ARALIGINDA * * dt ADET SONLU ELEMAN UZERINDE GALERKIN * * METODU KULLANARAK OZUMU * * * * * * * * IELSAY:SISTEM ELEMAN SAYISI * * SDNS :SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISI * * SDNK :SISTEM DUGUM NOKTALARINA AIT KOORDINATLARIN MATRISI * * SKT :SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU * * SISMAT:SISTEM -RIJITLIK- MATRISI * * GAUSNK:GAUSS NOKTALARININ MATRISI * * WEIGHT:AGIRLIK KATSAYILARI MATRISI * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * L :ELEMANDA NOLU INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * T :ELEMANIN NUMARALI DUGUM NOKTASINDAKI BAGIMSIZ DEGISKEN * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * INT :SUBDOMEN IINDE INTEGRALI HESAPLANMIS * * NUMARALI INTERPOLASYON SEKIL FONKSIYONU * * * ******************************************************************* DIMENSION SDNK(,),SISMAT(5,5),UNDEF(9),ISORT(9) DIMENSION GAUSNK(6),WEIGHT(6) INTEGER OLUMN,SKT(,),SDNS REAL GAUSNOK,L,L,INT,INT L(GAUSNOK,T,T)=(T-GAUSNOK)/(T-T) L(GAUSNOK,T,T)=(GAUSNOK-T)/(T-T) DO I=,5 DO J=,5 SISMAT(I,J)= OPEN(5,FILE='GALERKIN.DAT') OPEN(6,FILE='GALERKIN.SON') SISTEM DUGUM NOKTALARININ SAYISINI OKU READ(5,*) SDNS SISTEMDEKI ELEMAN SAYISINI OKU READ(5,*) IELSAY WRITE(6,*)'SISTEM NOD ADEDI...:',SDNS WRITE(6,*)'SISTEM ELEMAN SAYISI...:',IELSAY SISTEMDEKI DUGUM NOKTALARININ KOORDINATLARINI OKU DO I=,SDNS READ(5,*)(SDNK(I,J),J=,) WRITE(6,)I,SDNK(I,) FORMAT(I4,' NUMARALI DUGUM NOKTASI t=',f6.3) WRITE(6,*) WRITE(6,*)'SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU' WRITE(6,*)'===========================' SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSUNU OKU DO I=,IELSAY READ(5,*)(SKT(I,J),J=,) WRITE(6,*)(SKT(I,J),J=,) GAUSS NIKTALARINI VE AGIRLIK KATSAYILARINI OKU 5
26 6 DO 8 I=,6 8 READ(5,*) GAUSNK(I),WEIGHT(I) SISTEM STIFNESS MATRISINI HAZIRLA DO 3 I=,IELSAY T=SDNK(SKT(I,),) T=SDNK(SKT(I,),) INT= INT= DO 35 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T))) 35 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T))) SISMAT(I,SKT(I,))=SISMAT(I,SKT(I,))+INT SISMAT(I,SKT(I,))=SISMAT(I,SKT(I,))+INT INT= INT= DO 36 J=,6 GAUSNOK=(T-T)/*GAUSNK(J)+(T+T)/ INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)-/(T-T))) 36 INT=INT+(T-T)/*WEIGHT(J)* (L(GAUSNOK,T,T)*(L(GAUSNOK,T,T)+/(T-T))) SISMAT(I+,SKT(I,))=SISMAT(I+,SKT(I,))+INT 3 SISMAT(I+,SKT(I,))=SISMAT(I+,SKT(I,))+INT SISTEM SINIR SARTLARINI STIFNESS MATRISI UZERINDE ISLE ************************************************** BASLANGI SARTI ************************************************** BASLANGI=. DO 6 I=,SDNS 6 SISMAT(I,SDNS+)=SISMAT(I,SDNS+)-BASLANGI*SISMAT(I,) DO 65 I=,SDNS SISMAT(I,)=. 65 SISMAT(,I)=. SISMAT(,)=. SISMAT(,SDNS+)=BASLANGI ****************************************************************** ** ** ** GAUSS ELIMINASYON METODU ILE LINEER DENKLEM TAKIMININ OZUMU ** ** ** ****************************************************************** DO 5 IOUNT=,SDNS 5 ISORT(IOUNT)=IOUNT DO 5 I=,SDNS OLUMN=I DO 95 K=I+,SDNS IF(ABS(SISMAT(I,OLUMN)).GE.ABS(SISMAT(I,K))) GOTO 95 OLUMN=K 95 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS TEMPRY=SISMAT(IONV,I) SISMAT(IONV,I)=SISMAT(IONV,OLUMN) 55 SISMAT(IONV,OLUMN)=TEMPRY TEMPRY=ISORT(I) ISORT(I)=ISORT(OLUMN) ISORT(OLUMN)=TEMPRY
27 7 LINE=I DO 35 K=I+,SDNS IF (ABS(SISMAT(LINE,I)).GE.ABS(SISMAT(K,I))) GOTO 35 LINE=K 35 ONTINUE DO 55 IONV=,SDNS+ TEMPRY=SISMAT(I,IONV) SISMAT(I,IONV)=SISMAT(LINE,IONV) 55 SISMAT(LINE,IONV)=TEMPRY DO 75 IOL=SDNS+,I,- 75 SISMAT(I,IOL)=SISMAT(I,IOL)/SISMAT(I,I) DO 85 LINE=I+,SDNS DO 85 IOL=SDNS+,I,- 85 SISMAT(LINE,IOL)=SISMAT(LINE,IOL)-SISMAT(I,IOL)*SISMAT(LINE,I) 5 ONTINUE UNDEF(SDNS)=SISMAT(SDNS,SDNS+) DO 5 I=SDNS-,,- ADD= DO 5 K=I,SDNS- 5 ADD=ADD+SISMAT(I,K+)*UNDEF(K+) 5 UNDEF(I)=SISMAT(I,SDNS+)-ADD WRITE(6,) FORMAT(///,'t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER F *ARK ',/,'=========== =============== ==================== ==== *=========') DO 35 I=,SDNS GEREK=BASLANGI*EXP(-SDNK(I,)) IFIND=I DO 45 J=I+,SDNS IF(ISORT(IFIND).LE.ISORT(J)) GOTO 45 IFIND=J 45 ONTINUE TEMPRY=ISORT(IFIND) ISORT(IFIND)=ISORT(I) ISORT(I)=TEMPRY TEMPRY=UNDEF(IFIND) UNDEF(IFIND)=UNDEF(I) UNDEF(I)=TEMPRY FARK=GEREK-UNDEF(I) WRITE(6,) SDNK(I,),GEREK,ISORT(I),UNDEF(I),FARK 35 ONTINUE FORMAT(X,F9.3,7X,F9.6,' T(',I3,') = ',F9.6,X,E4.7) STOP END SISTEM NOD ADEDI...: SISTEM ELEMAN SAYISI...: NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.3 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.35 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.45 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.55 3 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.6 4 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.65 5 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.7 6 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.75
28 8 7 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.8 8 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.85 9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.9 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=.95 NUMARALI DUGUM NOKTASI t=. SISTEM KONNEKTIVITE TABLOSU =========================== t DEGERLERI GEREK DEGERLER HESAPLANMIS DEGERLER FARK =========== =============== ==================== =============.. T( ) =..E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E T( ) = E T( 3) = E T( 4) = E T( 5) = E T( 6) = E T( 7) = E T( 8) = E T( 9) = E T( ) = E T( ) = E-4
29 9
30 3 φ φ φ= + = x = için φ= x = için φ= diferansiyel denklemini x ve y aralığında y = için φ= x( x ) y = için φ= x( x ) sınır şartlarında Sonlu Elemanlar Metodu ile çözünüz φ φ φ= + = denklemini sağlayan φ( xy) fonksiyonu φ φ I = + y dxdy integralini stasyoner yapar. Şimdi bunu gösterelim. δ I = + δφ = kısmi integrasyon yaparak, φ φ dxdy φ φ φ φ φ φ ( ) ( ) δ I = + δφ dxdy = δφ dy+ δφdx δφ + δφ dxdy = olur. φ δφ dy = φ δφ dx = φ φ φ φ φ φ ( δφ ) + ( δφ ) dxdy = δ + δ dxdy y φ φ = δ + dxdy = y
31 3 Eleman içindeki herhangi bir P noktasını şekil fonksiyonları cinsinden yazacak olursak, Li xi x xk L = x yi y yk Lk y Yukarıdaki denklem sistemini kısaca, A L = x y [ ]{ } şeklinde özetleyebiliriz. Buradan = y { L} [ A] x [ ] ( ) x yk y xk yk y xk x A = 3 ( xi yk xk yi) yk yi ( xk xi) A xi y x yi ( y yi) x xi L i L = xi x xk x Lk yi y yk y
32 3 ( ) Li x yk y xk yk y xk x L = 3 ( xi yk xk yi) yk yi ( xk xi) x A L k xi y x yi ( y yi) x y xi {( ) ( ) ( ) } Li = x yk y xk + yk y x+ xk x y A { ( ) ( ) ( ) } L = xi yk xk yi + yk yi x+ xk xi y A {( ) ( ) ( ) } Lk = xi y x yi + y yi x+ x xi y A {( )} a = x y y x A i k k { ( ) } b = y y A i k {( )} c = x x A i k a = x y y x A { ( )} i k i k { ( ) } b = yk yi A c = xk xi A { ( )} {( )} ak = xi y y xi A { ( ) } bk = y yi A {( )} ck = x xi A L = a + b x+ c y i i i i L = a + b x+ c y L = a + b x+ c y k k k k Li L Lk = b i = b = b k Li = ci L = c Lk = c k φi φ L L i Lk = φ i + φ + φ k = biφ i + bφ + bkφ k = bi b b k φ x x x x φ k φi φ L L i Lk = φ i + φ + φ k = ciφ i + c φ + ckφ k = ci c c k φ y y y y φ k
33 33 bi φi bibi bib bib k φi φ = φi φ φ k b bi b b k φ = φi φ φ k bbi bb bkb φ b k k bibk bkb bkb φ k φk ci φi cici cic cic k φi φ = φi φ φ k c ci c c k φ = φi φ φ k c ci c c ckc φ y c k k ckci ckc ckc φ k φk bibi + cici bib + cic bibk + cic k φi φ φ + = φ φ φ b b + c c b b + c c b b + c c φ b b + c c b b + c c b b + c c φ i k i i k k k i k i k k k k k k k bibi + cici bib + cic bibk + cic k φi φ φ δ + = δφi δφ δφ k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck φ x y bkbi ckci bkb ckc bkbk ckc k φk bibi + cici bib + cic bibk + cic k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck bkbi ckci bkb ckc bkbk ckc k matrisine eleman katılık matrisi denir. numaralı eleman için, x =, y = i x =. 5, y = i i x =. 5, y =. 5 i A = i i. 65 {( )}. 5*. 5 *. 5 ai = x yk y xk = = 4 A. 65 { ( ) }. 5 bi = yk y = = 4 A. 65 {( )} ci = xk x = = A. 65 { ( ) } ( *. 5 *. 5) a = { ( xi yk yixk) } = = A b = yk yi 4 A = =. 65 (. 5 ) c = { ( xk xi) } = = 4 A. 65
34 34 {( )} { ( ) } {( )} ( * * ) ak = xi y y xi = = A. 65 ( ) bk = y yi = = A ck = x xi = = 4 A. 65 ( 4)( 4) ( )( ) ( 4)( 4) ( )( 4) ( 4)( ) ( )( 4) ( 4)( 4) ( 4)( ) ( 4)( 4) ( 4)( 4) ( 4)( ) ( 4)( 4) ( )( 4) ( 4)( ) ( )( 4) ( 4)( 4) ( )( ) ( 4)( 4) b ibi cici bib cic bibk cick bbi + c ci bb + c c bbk + c ck = b kbi ckci bkb ckc bkbk ckck Bulunan bu eleman katılık matrisi 6 6 = b ibi + cici bib + cic bibk + cick φi φ φ δ + dxdy = δφ δφ δφ i k bbi + c ci bb + c c bbk + c ck φ dxdy = x φ bkbi ckci bkb ckc bkbk ckck k de yerine konularak, 6 6 φ i δφi δφ δφk φ dxdy 6 6 φ k 6 6 φ i = δφi δφ δφk φ 6 6 φ k dxdy 6 6 φ i = δφi δφ δφk φ S ik 6 6φ k 6 6 φ i. = δφi δφ δφk φ 6 6 φk φ = δφ δφ δφ 5 5 i i k... φ = 5 5 φ... k elde edilir. Elemen katılık matrisi ise, k i =
35 35 olarak elde edilir. Buradan elde edilen sistem katılık matrisi,
36
37 SAĞ TARAF
38 SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 3 SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 KULLANILAN ELEMAN TIPI... : UGEN SISTEM NOD KOORDINATLARI ======================== SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E
39 X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI
40 4 7. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI
41 4 6. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI
42 ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI SISTEM KATILIK MATRISI ====================== SINIR SARTLARI ISLENMIS SISTEM KATILIK MATRISI ================= SINIR SARTLARA BAGLI OLARAK HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI ==
43 DRIHLET PROBLEMI IIN X Y KOORDINATLARINDA SONLU ELEMANLAR METODUNA GORE HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI. == X Y T DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI.5..5E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 6. DUGUM NOKTASI..3.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..3.E+. DUGUM NOKTASI..5.E+. DUGUM NOKTASI E-8 3. DUGUM NOKTASI E-8 4. DUGUM NOKTASI E-8 5. DUGUM NOKTASI..5.E+ 6. DUGUM NOKTASI..8.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..8.E+. DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 43
44 44 φ φ φ= + = diferansiyel denklemini x ve x = için φ= x = için φ= y = için φ= x( x ) y = için φ= x( x ) sınır şartlarında Sonlu Elemanlar Metodu ile çözünüz y aralığında
45 45 x = a + b s + c t + d st x x x x y = a + b s + c t + d st y y y y x = a + b s + c t + d st = a b c + d x x x x s = x x x x t = x = a + b s + c t + d st = a + b c d x x x x s =+ x x x x t = x = a + b s + c t + d st = a + b + c + d 3 x x x x s =+ x x x x t =+ x = a + b s + c t + d st = a b + c d 4 x x x x s = x x x x t =+ y = a + b s + c t + d st = a b c + d y y y y s = y y y y t = y = a + b s + c t + d st = a + b c d y y y y s =+ y y y y t = y = a + b s + c t + d st = a + b + c + d 3 y y y y s =+ y y y y t =+ y = a + b s + c t + d st = a b + c d 4 y y y y s = y y y y t =+ a + x + x + x + x = = x y b c 4 x + x + x x a + y + y + y + y = = x y 4 x x + x + x b 4 y + y + y y = = x y d 4 + x x + x x c 4 y y + y + y = = x y 4 d 4 + y y + y y 4 ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) x = x + x + x + x ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) y = y + y + y + y N = ( s )( t ) 4 N = ( + s )( t ) 4 N = 3 ( + s )( + t ) 4 N = 4 ( s )( + t ) 4 x = N x + N x + N x + N x y = N y + N y + N y + N y
46 46 x x x 3 x N N N N x = y N N N N y 3 4 y y3 y 4 φ φ φ = N N N N = N φ φ { } 3 4 i i φ3 4 i =,, 3, 4 φ N = i { φ } φ N i = φ φ Ni y i { } i φ N = i { φ } φ N i = φ N φ i { } i i φ φ N N i i + = + { φ i } = Galerkin metoduna göre N N i i N + { φ i } da = A, =,,, i i { i } { i } i 3 4 N N N φ dxdy + N φ dxdy = N N N N N N N φ dy φ dxdy + N φ dx φ dxdy = i i i i { i } { i } { i } { i } N N N N N N N φ θ ds + N φ θ ds φ dxdy φ dxdy = i i i i { } sin( ) { } cos i i ( ) { i } { i } N N i i N { φ } sin( θ ) ds + N { } cos i φ i ( θ ) ds = çevreden yapılan toplam ısı transferine tekabül eder. Kararlı halde sıfırdır. O halde, N N N N φ dxdy + φ dxdy = i i { i } { i } Matris formunda yazılırsa,
47 47 N N N N N N N N φ 3 4 x y φ N N 3 N3 N N3 N 4 φ3 x y y y y y φ 4 dxdy = N4 N 4 N N N N N N N3 N4 φ xy x x x x J φ dsdt = st N3 N N 3 N N3 N 4 φ3 y y y y φ 4 N4 N 4 N N N s t = + s t N N N s t = + s t N N N 3 3 s 3 t = + s t N N N 4 4 s 4 t = + s t N = ( t ) s 4 N3 = ( + t ) s 4 N = ( s ) t 4 N3 = ( + s ) t 4 N = + ( t ) s 4 N4 = ( + t ) s 4 N = ( + s ) t 4 N4 = ( s ) t 4 xy s t b d t c d s x x x x J + + = = st b + d t c + d s y y y y s t s t = ( b + d t x x ) + ( c + d s x x ) s t = ( b + d t y y ) + ( c + d s y y ) s = ( c + d s y y ) xy J st ( b d t y y ) t + = xy J st
48 48 s t = ( b + d t x x ) + ( c + d s x x ) s ( y y ) ( y y ) t = b + d t + c + d s ( c d s ) s + x x = xy J st t = ( b + d t ) x x xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st + + = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st + + = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c + d s y y ) xy J ( c d s y y ) ( b d t N y y ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + + = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t J J y y ) st st xy J st ( c d s ) + x x xy J N ( c + d s ) ( b + d t ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s + = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st x x x x
49 49 ( c d s ) + x x xy J N ( c + d s ) ( b + d t ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st ( c + d s ) x x xy J N ( c d s x x ) ( b d t x x ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st ( c + d s ) x x xy J N ( c d s x x ) ( b d t x x ) st = ( t ) ( s ) ( t ) ( s = + + ) 4 xy 4 xy 4 4 ( b + d t x x ) J J st st xy J st x x x x
50 5 numaralı eleman numaralı eleman için, x =, y = x =. 5, y = x =. 5, y = x =., y = ax = = bx = = cx = = dx = = ay = = by = = cy = = dy = = 4 ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) x = ( + )( ) ( + )( + ) s t s t x = + + = ( s ) ( s )( t ) ( + s )( t ) ( + s )( + t ) ( s )( + t ) y = ( + )( + ) ( )( + ) s t s t y = + + = ( t )
51 5 xy s t bx + dxt cx + dxs 8 J = = = = st y by + dyt cy + dys 64 s t 8 N = ( t ) s 4 N3 = ( + t ) s 4 N = ( s ) t 4 N3 = ( + s ) t 4 N = + ( t ) s 4 N4 = ( + t ) s 4 N = ( + s ) t 4 N4 = ( s ) t 4 s ( cy + dys ) = = 8 = 8 xy J st 64 ( c d s ) s x + x = = = xy J st 64 ( by dyt ) t + = = = xy J st 64 t ( bx + dxt ) = = 8 = 8 xy J st 64 N = = 4 4 ( t ) 8 ( s ) ( t ) N3 = = ( t ) 8 ( s ) ( t ) N = = 4 4 ( t ) ( s ) 8 ( s ) N3 = = ( t ) ( s ) 8 ( s ) N = + + = 4 4 ( t ) 8 ( s ) ( t ) N4 = + + = ( t ) 8 ( s ) ( t ) N = + + = ( t ) ( s ) 8 ( s ) N4 = + + = 4 4 ( t ) ( s ) ( s ) + t = s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t s φ xy t s t t t t J φ dsdt = st + t + s s + s + s s φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + t s φ 4
52 5 t = s = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( + ) ( s )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + t t t t t + t t + t s s + s + s s + s s s t t + t t + t + t t + t φ + s + s + + s + s + s + s s + s φ 64 t t t t t t t t dsdt = φ3 + s + s + s + + s + s + + s s φ 4 t + t t + t + t + t + + t + t s s s + s + + s s + s s φ φ = φ φ
53 53 SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 6 SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 KULLANILAN ELEMAN TIPI... : DORTGEN SISTEM NOD KOORDINATLARI ======================== SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.5E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.5E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.5E+ 6 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ 7 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 8 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.75E+ 9 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.75E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E+ SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 3 SAYILI NOD KOORDINATI X=.5E+... Y=.E+ 4 SAYILI NOD KOORDINATI X=.75E+... Y=.E+ 5 SAYILI NOD KOORDINATI X=.E+... Y=.E X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.5E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.E+ Y=.75E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+
54 54 X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.5E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.5E+ X=.75E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER -.875E+ X=.E+ Y=.E+ NOKTASINDAKI SINIR DEGER.E+. ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI
55 ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI ELEMANIN KATILIK MATRISI
56 SISTEM KATILIK MATRISI ====================== SINIR SARTLARI ISLENMIS SISTEM KATILIK MATRISI ================= SINIR SARTLARA BAGLI OLARAK HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI == DRIHLET PROBLEMI IIN X Y KOORDINATLARINDA SONLU ELEMANLAR METODUNA GORE HESAPLANAN FONKSIYON DEGERLERI. == X Y T DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI.5..5E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+ 6. DUGUM NOKTASI..3.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..3.E+. DUGUM NOKTASI..5.E+. DUGUM NOKTASI E-8 3. DUGUM NOKTASI E-8 4. DUGUM NOKTASI E-8 5. DUGUM NOKTASI..5.E+ 6. DUGUM NOKTASI..8.E+ 7. DUGUM NOKTASI E- 8. DUGUM NOKTASI E- 9. DUGUM NOKTASI E-. DUGUM NOKTASI..8.E+. DUGUM NOKTASI...E+. DUGUM NOKTASI E+ 3. DUGUM NOKTASI E+ 4. DUGUM NOKTASI E+ 5. DUGUM NOKTASI...E+
57 57 v v + dx x v v + dy y u u + dy y u u + dx x P noktasının yer değiştirme fonksiyonu u=u(x,y) ve v=v(x,y) dir. P noktasına çok yakın bulunan Q ve R noktalarının yer değiştirmeleri için u=u(x,y) ve v=v(x,y) dir. Burada u=u(x,y) P noktasının yatay yer değiştirme bileşenine ait fonksiyonu, v=v(x,y) ise P noktasının düşey yer değiştirm bileşenine ait fonksiyonu gösterir. Bu fonksiyonlar P noktası civarında seriye açılarak, u v * * u u = u + dx + dy +... v v = v + dx + dy +... elde edilir. Buna göre, Q noktasının P noktasına göre yatay yer değiştirme miktarı, u x = dx düşey yer değiştirme miktarı, v dx olur., R noktasının P noktasına göre yatay yer değiştirme miktarı, u dy
58 58 düşey yer değiştirme miktarı, v y = dx olur. ε ε x y x x = x y y = y olduğundan, x ve y doğrultusundaki strainler, ε ε x y u = v = biçim değişmesine bağlı olarak toplam açı değişimi, γ xy u v = + olarak elde edilir. ÜÇ BOYUTLU HALDE DEFORMASYON σ σ +σ σ σ +σ +σ ( ) E E E E x y z x x y z ε x = ν = +ν ν σ y σ z +σ x σ y σ x +σ y +σ z ε y = ν = ( +ν) ν E E E E σ σ +σ σ σ +σ +σ ( ) E E E E z x y z x y z ε z = ν = +ν ν σ x +σ y +σ z σ x +σ y +σ z σ x +σ y +σ z ε x +ε y +ε z = +ν ν = ν E E E birim hacim değişimi ne e diyerek, e=ε x +ε y +ε z σ +σ +σ p = 3 x y z ( ) 3 ( )
59 59 ( ) 3 e= ν p E E e p = ν 3 E σ x +σ y +σ z E 3p E 3 E e σ x = ε x +ν = ε x +ν = ε x +ν +ν E +ν E +ν E ν 3 E E σ x = ε x +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε x +ν ε y +εz +ν ν +ν ν ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) E E σ y = ε y +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε y +ν ε z +εx +ν ν +ν ν ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) E E σ z = ε z +ν( ε x +ε y +ε z) = ν ε z +ν ε y +εx +ν ν +ν ν elde edilir. Distorsiyon için, τ = Gγ xy xy ( )( ) ( ) ( ) τ = Gγ yz τ = Gγ zx yazılır. yz zx Düzlem gerilme hali için, yani σ z = yazılarak, σ = E ( ν ) ε +νε x x y E σ y = νε x +ε y xy ( ν ) τ = Gγ xy
60 6 σ x ν ε x E σ y = y ν ε ν xy τ ν γ xy u σ x ν dx E v σ y = ν ν dy xy τ ν u v + dy dx bulunur. Hamilton denklemlerine göre denge şart için L= U K minimum olmaıdır. Burada U potansiyel fonksiyonunu, K ise kinetik eneri fonksiyonunu temsil eder. Problem statik olduğuna göre K = dır. σε U = F. x olur denge hali için σε δ LdA=δ UdA=δ Fx da= elde edilir.
61 6 Eleman içindeki herhangi bir noktada deplasman vektörü, u v u L L L3 u = v L L L 3 v u 3 v birim şekil değiştirme vektörü, 3 u L u L L 3 x x x x v ε x v L u L L3 ε y = = y y y y v γ xy u v L L L L L3 L3 u3 + y x y x y x y x v3 gerilme vektörü, σ x E σ y = τ xy u ν L L L u v ν L L L L L L u L L L 3 v 3 ν ν y x y x y x v3 ve herhangi bir noktada iç kuvvetlerin yaptığı iş, σ σ τ ε x ε γ x y xy y xy şeklinde ifade edilir. Bu işi eleman düğüm noktalarındaki deplasmanlar cinsinden ifade edersek,
62 6 ε x σ x σ y τxy ε y γ xy L L L L L L = [ u v u v u3 v3] L L L3 L3 L3 L3 L L L u 3 u ν E L L L3 u3 ν ν v ν L L L L L3 L3 v y x y x y x v3 elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş, [ u v u v u3 v3] F x F y F x F y F 3x F 3y olur Hamilton denklemlerinde yarine konursa,
63 63 L L L L L L ν E L L ν ν ν L3 L3 [ u v u v u3 v3] δ dxdy = A L3 L3 L L L u F x 3 u F y L L L u F 3 3 x v F y L L L L F L3 L3v 3x x y x v F 3 3 y bulunur. eleman denklemi b c c b F x F y ν b b b3 b c E F x c c c 3 A c b ν = F ν y νc b c b c3 b3 b 3 c F 3 3x c F 3 b3 3y olarak elde edilir. b c c b ν b b b3 b c E i = 3 c b ν ν νc b c b c3 b 3 b 3 c 3 K c c c A c b 3 3 eleman katılık matrisi adını alır.
64 64 Şekildeki sistemde uzunlukları mm alarak her bir düğüm noktası için deplasmanları ve eleman içindeki gerilmeleri hesaplayınız. 7 Elastisite modülü: E =. N/mm Poisson oranı: ν=. 3
65 65 *** IELSAY :SISTEMDEKI ELEMAN SAYISI... = 6 *** *** ISISNO :SISTEMDEKI NOD SAYISI... = 5 *** *** ELASTISITE MODULU... =.E+8 dan/mm *** *** POISSON ORANI... =.3 *** MAZLZEME MATRISI S I S T E M N O D K O O R D I N A T L A R I SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. 3 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.E+ mm. 4 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.6E+ mm. Y=.E+ mm. 5 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.8E+ mm. Y=.E+ mm. 6 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.E+ mm. 7 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.3E+ mm. Y=.E+ mm. 8 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.5E+ mm. Y=.E+ mm. 9 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.7E+ mm. Y=.E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.E+ mm. Y=.4E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.4E+ mm. SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.6E+ mm. Y=.4E+ mm. 3 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.3E+ mm. Y=.6E+ mm. 4 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.5E+ mm. Y=.6E+ mm. 5 SAYILI NODUN KOORDINATLARI...X=.4E+ mm. Y=.8E+ mm. VERILEN DEPLASMAN SINIR SARTLARI VE TEKABUL EDEN NODUN KOORDINATLARI X=.E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm x dog. X=.E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm y dog. X=.8E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm x dog. X=.8E+ mm. Y=.E+ mm..e+ mm y dog. VERILEN YUK SINIR SARTLARI VE TEKABUL EDEN NOD KOOOORDINATLARI Yuk Turu: NOKTASAL Noktasal Yuklerin Bulundugu Sistem Dugum Numaralari ================ 5 Numarali Dugum Noktasinda Y Dogrultusunda Noktasal Yuk =-.E+4 dan NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 3 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 4 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 5 NUMARALI ELEMANIN MATRISI
66 E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 6 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 7 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 9 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 3 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 4 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7
67 67.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 5 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.43846E+7.E+ -.93E E E E+7.E E E E E E E E E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E+7 6 NUMARALI ELEMANIN MATRISI.5488E+8.375E E E E E+7.375E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+7.E E E E E+7.E E+8 NOD DEPLASMANLARI; U :X DOGRULTUSUNDAKI DEPLASMANLARI V :Y DOGRULTUSUNDAKI DEPLASMANLARI GOSTERIR U( )=.E+ mm. V( )=.E+ mm. U( )= E-5 mm. V( )= E-4 mm. U( 3)= E- mm. V( 3)=-.894E-3 mm. U( 4)=.83346E-5 mm. V( 4)= E-4 mm. U( 5)=.E+ mm. V( 5)=.E+ mm. U( 6)=.5587E-4 mm. V( 6)= E-4 mm. U( 7)=.38565E-5 mm. V( 7)=-.493E-3 mm. U( 8)= E-5 mm. V( 8)=-.493E-3 mm. U( 9)=-.5587E-4 mm. V( 9)= E-4 mm. U( )= E-6 mm. V( )=-.5967E-3 mm. U( )= E-9 mm. V( )= E-3 mm. U( )= E-6 mm. V( )=-.5967E-3 mm. U( 3)= E-5 mm. V( 3)= E-3 mm. U( 4)= E-5 mm. V( 4)= E-3 mm. U( 5)= E-8 mm. V( 5)=-.456E-3 mm SISTEM GERILME GERILME GERILME MAXIMUM MINIMUM ASAL NOD NO X Y XY GERILME GERILME DOGRULTU (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) (dan/mm) DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE DEREE
68 68
69 69 Nod numarası x y Nod numarası x y
70 7 Nod numarası x y
71 7 Eleman konnektivite tablosu Eleman no Eleman no Eleman no Eleman no
72 Eleman no
73 σ x gerilmelerinin dağılımı σ y gerilmelerinin dağılımı
74 74 τ xy gerilmelerinin dağılımı DELİK MERKEZİNDEN SX UZAKLIK
BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ
tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,
DetaylıOPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler
BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak
Detaylıİçindekiler Jeofizikte Modellemenin Amaç ve Kapsamı Geneleştirilmiş Ters Kuram ve Jeofizikte Ters Problem Çözümleri
İçindekiler Jeofizikte Modellemenin Amaç ve Kapsamı 1 Giriş 1 Tanımsal ve Stokastik Taklaşımlarla Problem Çözümlerinin Temel İlkeleri 2 Tanımsal Yaklaşımda Düz Problem Çözümlerinde Modelleme ilkeleri 4
DetaylıTG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıFOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
DetaylıİSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıMassachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 10 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 8 Aralık 1999 Saat: 09.54 Problem 10.1 (a) Bir F kuvveti ile çekiyoruz (her iki ip ile). O
DetaylıOlasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon
Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara
DetaylıÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA YÖNTEMLER VE DİĞER BİLİM DALLARI AÇISINDAN BİR BAKIŞ
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA YÖNTEMLER VE DİĞER BİLİM DALLARI AÇISINDAN BİR BAKIŞ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ SINIFLANDIRILMASI Yöneylem Araştırması (YA) iki ana yönde dallanmıştır: 1- Uygulama Alanlarına Göre:
DetaylıKİTAP İNCELEMESİ. Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri. Tamer KUTLUCA 1. Editörler. Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice AKKOÇ
Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 18 (2012) 287-291 287 KİTAP İNCELEMESİ Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Editörler Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice
Detaylı4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.
BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.
DetaylıSEYAHAT PERFORMANSI MENZİL
SEYAHAT PERFORMANSI MENZİL Uçakların ne kadar paralı yükü, hangi mesafeye taşıyabildikleri ve bu esnada ne kadar yakıt harcadıkları en önemli performans göstergelerinden biridir. Bir uçağın kalkış noktasından,
DetaylıTEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1
TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/25 Görünüşler Birinci İzdüşüm Metodu Üçüncüİzdüşüm Metodu İzdüşüm Sembolü Görünüşlerin Çizilmesi Görünüş Çıkarma Kuralları Tek Görünüşle
DetaylıBasit Kafes Sistemler
YAPISAL ANALİZ 1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla kullanılan ahşap gergi elemanları
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSÜREÇ YÖNETİMİ VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME H.Ömer Gülseren > ogulseren@gmail.com
SÜREÇ YÖNETİMİ VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME H.Ömer Gülseren > ogulseren@gmail.com Giriş Yönetim alanında yaşanan değişim, süreç yönetimi anlayışını ön plana çıkarmıştır. Süreç yönetimi; insan ve madde kaynaklarını
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıF İ R M a. Herşey Bir Kaynaktan. Düz profillerin ve baraların işlenmesinde uzman
F İ R M a Düz profillerin ve baraların işlenmesinde uzman EHRT ürün yelpazesi, busbarların komple işlemlerini (kesme, zımbalama ve büküm) içerir. Çalıştığımız firmalar genellikle elektrik endüstrisine
DetaylıVECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS erdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh
DetaylıB02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet
B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler
DetaylıMakine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR
Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR İçerik Giriş Helisel dişli geometrisi Kavrama oranı Helisel dişli boyutları Helisel dişlilerin mukavemet
DetaylıDENEY 2. Şekil 1. Çalışma bölümünün şematik olarak görünümü
Deney-2 /5 DENEY 2 SĐLĐNDĐR ÜZERĐNE ETKĐ EDEN SÜRÜKLEME KUVVETĐNĐN BELĐRLENMESĐ AMAÇ Bu deneyin amacı, silindir üzerindeki statik basınç dağılımını, akışkan tarafından silindir üzerine uygulanan kuvveti
Detaylı4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır.
4. KOLON ŞEMASI VE BORU ÇAPI HESABI Tesisatı oluşturan kazan, kollektörler, borular,,vanalar, ısıtıcılar,genleşme deposu ile diğer donanım ve armatürlerin tümünün düşey görünüşünü iki boyutlu olarak gösteren
DetaylıHesapların yapılması;modül,mil çapı,rulman,feder ve yağ miktarı gibi değerlerin seçilmesi isteniyor.
PROJE KONUSU : İKİ KADEMELİ REDÜKTÖR. VERİLEN BİLGİLER VE İSTENENLER : Giriş gücü = P giriş =,5 kw Kademe sayısı = Giriş mil devri = n g = 750 devir/dakika.kademe dişli tipi = Düz dişli çark Çıkış mil
DetaylıTemel Bilgisayar Programlama
BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin
DetaylıÇÖKELME SERTLEŞTİRMESİ (YAŞLANDIRMA) DENEYİ
ÇÖKELME SERTLEŞTİRMESİ (YAŞLANDIRMA) DENEYİ 1. DENEYİN AMACI Çökelme sertleştirmesi işleminin, malzemenin mekanik özellikleri (sertlik, mukavemet vb) üzerindeki etkisinin incelenmesi ve çökelme sertleşmesinin
DetaylıDENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA
A. DENEYİN AMACI : Protoboard kullanımını öğrenmek ve protoboard üzerinde basit direnç devreleri kurmak. B. KULLANILACAK ARAÇ VE MALZEMELER : 1. DC güç kaynağı, 2. Multimetre, 3. Protoboard, 4. Değişik
DetaylıDeprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları
Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunayozmen@hotmail.com 1. Giriş Çağdaş deprem yönetmeliklerinde, en çok göz önüne
Detaylı13 Kasım 2012. İlgili Modül/ler : Satın Alma ve Teklif Yönetimi. İlgili Versiyon/lar : ETA:SQL, ETA:V.8-SQL
13 Kasım 2012 İlgili Versiyon/lar : ETA:SQL, ETA:V.8-SQL STOK BİLGİLERİNİ KULLANARAK TOPLU ALIM TALEP FİŞİ OLUŞTURMA Satın Alma ve Teklif Yönetimi modülü ile ihtiyaç duyulan stoklar otomatik belirlenip,
DetaylıTURBOCHARGER REZONATÖRÜ TASARIMINDA SES İLETİM KAYBININ NÜMERİK VE DENEYSEL İNCELENMESİ
7. OTOMOTİV TEKNOLOJİLERİ KONGRESİ, 26 27 MAYIS BURSA TURBOCHARGER REZONATÖRÜ TASARIMINDA SES İLETİM KAYBININ NÜMERİK VE DENEYSEL İNCELENMESİ Özgür Palaz, Eksen Mühendislik opalaz@ex-en.com.tr Burak Erdal,
DetaylıLABORATUVARIN DÖNER SERMAYE EK ÖDEME SİSTEMİNE ETKİSİ. Prof. Dr. Mehmet Tarakçıoğlu Gaziantep Üniversitesi
LABORATUVARIN DÖNER SERMAYE EK ÖDEME SİSTEMİNE ETKİSİ Prof. Dr. Mehmet Tarakçıoğlu Gaziantep Üniversitesi Bir etkinliğin sonucunda elde edilen çıktıyı nicel ve/veya nitel olarak belirleyen bir kavramdır.
DetaylıFizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır
Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLARI YARDIMIYLA ŞEV DURAYLILIK ANALİZLERİ * Software Aided Slope Stability Analysis*
BİLGİSAYAR PROGRAMLARI YARDIMIYLA ŞEV DURAYLILIK ANALİZLERİ * Software Aided Slope Stability Analysis* Mustafa Özgür KESKİN Maden Mühendisliği Anabilim Dalı Ahmet M. KILIÇ Maden Mühendisliği Anabilim Dalı
DetaylıYrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi
FOTOGRAMETRİ I Fotogrametrik Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Tanımlar Metrik Kameralar Mercek Kusurları
DetaylıYAPISAL ANALİZ YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
YAPISAL ANALİZ YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU 1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler uç noktalarından birleştirilmiş narin elemanlardan oluşan yapılardır. Bu narin elemanlar, yapısal sistemlerde sıklıkla
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam
DetaylıVeri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün
Veri Toplama Yöntemleri Prof.Dr.Besti Üstün 1 VERİ (DATA) Belirli amaçlar için toplanan bilgilere veri denir. Araştırmacının belirlediği probleme en uygun çözümü bulabilmesi uygun veri toplama yöntemi
DetaylıMakine Elemanları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ. Temel bilgiler-flipped Classroom Bağlama Elemanları
Makine Elemanları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Temel bilgiler-flipped Classroom Bağlama Elemanları 11/22/2014 İçerik Bağlama Elemanlarının Sınıflandırılması Şekil Bağlı bağlama elemanlarının hesabı Kuvvet
DetaylıT.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1. BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ
T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. Şaban ULUS Haziran 2012 KAYSERİ
DetaylıDEVRELER VE ELEKTRONİK LABORATUVARI
DENEY NO: 1 DENEY GRUBU: C DİRENÇ ELEMANLARI, 1-KAPILI DİRENÇ DEVRELERİ VE KIRCHHOFF UN GERİLİMLER YASASI Malzeme ve Cihaz Listesi: 1. 10 Ω direnç 1 adet 2. 100 Ω direnç 3 adet 3. 180 Ω direnç 1 adet 4.
DetaylıKOMPANZASYON ve HARMONİK FİLTRE SİSTEMLERİ
KOMPANZASYON ve HARMONİK FİLTRE SİSTEMLERİ Bahadır Yalçın ECT Mühendislik Ltd. Şti. Sabit Bey Sokak No : 1/9 Koşuyolu Kadıköy İSTANBUL 0 216 327 14 80 0 216 428 50 40 ectmuh @superonline.com ÖZET Bu bildiride,enerji
DetaylıSAYI BASAMAKLARI. çözüm
SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak
DetaylıDeneysel Verilerin Değerlendirilmesi
Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Ölçme-Birimler-Anlamlı Rakamlar Ölçme: Bir nesnenin bazı özelliklerini (kütle, uzunluk vs..) standart olarak belirlenmiş birimlere göre belirlenmesi işlemidir (ölçüm,
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ
i AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ TRAKTÖR AKS MİLİNİN YORULMA ANALİZİ MUSTAFA PERÇİN 120712010 YALÇIN DEMİRER 120712021 DANIŞMAN PROF. DR. SÜLEYMAN TAŞGETİREN Afyon
DetaylıAkışkanlar Mekaniği. Dr. Osman TURAN. Makine ve İmalat Mühendisliği. osman.turan@bilecik.edu.tr
Akışkanlar Mekaniği Dr. Osman TURAN Makine ve İmalat Mühendisliği osman.turan@bilecik.edu.tr Kaynaklar Ders Değerlendirmesi 1. Vize 2. Vize Ödev ve Kısa sınavlar Final % 20 % 25 % 15 % 40 Ders İçeriği
DetaylıTEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız
1 2 TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız Tunç Tort a ve kütüphane sorumlusu Tansu Hanım
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
Detaylı2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI
2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme Katsayısı, A(T), Denk.(2.1) ile verilmiştir. %5 sönüm oranı için
DetaylıTAŞIMACILIK ENDÜSTRİSİ İÇİN YAPIŞTIRICI ÇÖZÜMLERİ. Yapıştırmada güvenilir yenilik
TAŞIMACILIK ENDÜSTRİSİ İÇİN YAPIŞTIRICI ÇÖZÜMLERİ Yapıştırmada güvenilir yenilik Simson: taşımacılık endüstrisi için yapıştırıcı çözümleri Gelecekle bağlantınızı kaybetmeyin SIMSON: BİR DÜNYA MARKASI OLAN
DetaylıANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER
ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER Şekil-1: BREADBOARD Yukarıda, deneylerde kullandığımız breadboard un şekli görünmektedir. Bu board üzerinde harflerle isimlendirilen satırlar ve numaralarla
DetaylıKukla Değişkenlerle Bağlanım
Kukla Değişkenlerle Bağlanım Kukla Değişken Kullanım Şekilleri Ekonometri 1 Konu 29 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ
ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı
DetaylıJET MOTORLARININ YARI-DĐNAMĐK BENZETĐŞĐMĐ ve UÇUŞ ŞARTLARINA UYGULANMASI
makale JET MOTORLARININ YARI-DĐNAMĐK BENZETĐŞĐMĐ ve UÇUŞ ŞARTLARINA UYGULANMASI Bekir NARĐN *, Yalçın A. GÖĞÜŞ ** * Y.Müh., TÜBĐTAK-SAGE ** Prof. Dr., Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği
DetaylıElektrik Makinaları I. Senkron Makinalar Stator Sargılarının oluşturduğu Alternatif Alan ve Döner Alan, Sargıda Endüklenen Hareket Gerilimi
Elektrik Makinaları I Senkron Makinalar Stator Sargılarının oluşturduğu Alternatif Alan ve Döner Alan, Sargıda Endüklenen Hareket Gerilimi Bir fazlı, iki kutuplu bir stator sargısının hava aralığında oluşturduğu
DetaylıEK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI
EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden
Detaylı5. ÜNİTE KUMANDA DEVRE ŞEMALARI ÇİZİMİ
5. ÜNİTE KUMANDA DEVRE ŞEMALARI ÇİZİMİ KONULAR 1. Kumanda Devreleri 2. Doğru Akım Motorları Kumanda Devreleri 3. Alternatif Akım Motorları Kumanda Devreleri GİRİŞ Otomatik kumanda devrelerinde motorun
DetaylıSİRKÜLER. 1.5-Adi ortaklığın malları, ortaklığın iştirak halinde mülkiyet konusu varlıklarıdır.
SAYI: 2013/03 KONU: ADİ ORTAKLIK, İŞ ORTAKLIĞI, KONSORSİYUM ANKARA,01.02.2013 SİRKÜLER Gelişen ve büyüyen ekonomilerde şirketler arasındaki ilişkiler de çok boyutlu hale gelmektedir. Bir işin yapılması
DetaylıFoton Kutuplanma durumlarının Dirac yazılımı
Foton Kutuplanma durumlarının Dirac yazılımı Yatay Kutuplanmış bir foton h ve düşey kutuplanmış bir foton ise ν ile verilmiştir. Şekil I: Foton kutuplanma bazları h, ν ve +45, 45 in tanımı. ±45 boyunca
DetaylıİSTANBUL ( ). İDARE MAHKEMESİ BAŞKANLIĞI NA GÖNDERİLMEK ÜZERE ANKARA İDARE MAHKEMESİ BAŞKANLIĞI NA. : TMMOB Şehir Plancıları Odası (İstanbul Şubesi)
YÜRÜTMEYİ DURDURMA TALEPLİDİR. İSTANBUL ( ). İDARE MAHKEMESİ BAŞKANLIĞI NA GÖNDERİLMEK ÜZERE ANKARA İDARE MAHKEMESİ BAŞKANLIĞI NA DAVACI VEKİLİ DAVALI : TMMOB Şehir Plancıları Odası (İstanbul Şubesi) :
DetaylıBİRDEN FAZLA KAYMA YÜZEYLİ ELİPTİK YATAKLARIN HESABINA YENİ BİR YAKLAŞIM
PAMUKKALE ÜNÝVERSÝTESÝ MÜHENDÝSLÝK FAKÜLTESÝ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDÝSLÝK BÝLÝMLERÝ DERGÝSÝ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CÝLT SAYI SAYFA :1995 :1 :2-3 :129-136 BİRDEN FAZLA
DetaylıOyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar
Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi
DetaylıYIĞMA TİPİ YAPILARIN DEPREM ETKİSİ ALTINDA ALETSEL VERİ ve HESAPLAMALARA GÖRE DEĞERLENDİRİLMESİ
YIĞMA TİPİ YAPILARIN DEPREM ETKİSİ ALTINDA ALETSEL VERİ ve HESAPLAMALARA GÖRE DEĞERLENDİRİLMESİ S.S. Yücel 1, M. Bikçe 2, M.C. Geneş 3, Ş. Bankir 4 1 Y.L. Öğrencisi, İnşaat Müh. Fakültesi, İskenderun Teknik
DetaylıFOTOĞRAFÇILIK HAKKINDA KISA NOTLAR
FOTOĞRAFÇILIK HAKKINDA KISA NOTLAR Fotoğraf çekimi esnasında farklı üç temel faktör fotoğrafın oluşumunu sağlar. Bunlar ISO ( ASA- DIN ) / DİYAFRAM -ENSTANTANE ( Shutter Obtüratör Perde ) olarak adlandırılır.
DetaylıELITE A.G. KS100/HEFM SICAK-SOĞUK ETĐKET BOY KESME VE ĐŞARETLEME MAKĐNASI KULLANIM KILAVUZU
ELITE A.G. KS100/HEFM SICAK-SOĞUK ETĐKET BOY KESME VE ĐŞARETLEME MAKĐNASI KULLANIM KILAVUZU ANA EKRAN Makinenin şalteri açıldığında 5 sn boyunca açılış ekranı gelir. Daha sonra ana ekrana geçilir. Bu ekranda
DetaylıII. Bölüm HİDROLİK SİSTEMLERİN TANITIMI
II. Bölüm HİDROLİK SİSTEMLERİN TANITIMI 1 Güç Kaynağı AC Motor DC Motor Diesel Motor Otto Motor GÜÇ AKIŞI M i, ω i Güç transmisyon sistemi M 0, ω 0 F 0, v 0 Makina (doğrusal veya dairesel hareket) Mekanik
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıFizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu
Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Bu bölümde; Fizik ve Fizi in Yöntemleri, Fiziksel Nicelikler, Standartlar ve Birimler, Uluslararas Birim Sistemi (SI), Uzunluk, Kütle ve
DetaylıÖĞRENME FAALİYETİ 1 ÖĞRENME FAALİYETİ 1 1. KARE VİDA AÇMA
ÖĞRENME FAALİYETİ 1 ÖĞRENME FAALİYETİ 1 AMAÇ Kare vida çekme işlemlerini yapabileceksiniz. ARAŞTIRMA Kare vidaların kullanım alanları hakkında bilgi toplayınız. 1. KARE VİDA AÇMA Diş dolusu ve diş boşluğu
DetaylıBÖLÜM 3 FREKANS DAĞILIMLARI VE FREKANS TABLOLARININ HAZIRLANMASI
1 BÖLÜM 3 FREKANS DAĞILIMLARI VE FREKANS TABLOLARININ HAZIRLANMASI Ölçme sonuçları üzerinde yani amaçlanan özelliğe yönelik gözlemlerden elde edilen veriler üzerinde yapılacak istatistiksel işlemler genel
DetaylıAraştırma Notu 15/177
Araştırma Notu 15/177 02 Mart 2015 YOKSUL İLE ZENGİN ARASINDAKİ ENFLASYON FARKI REKOR SEVİYEDE Seyfettin Gürsel *, Ayşenur Acar ** Yönetici özeti Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yapılan enflasyon
DetaylıALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 26 Ocak 2016
ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 26 Ocak 2016 19 Ocak 2016 tarihli Alpha Altın raporumuzda paylaştığımız görüşümüz; Kısa dönemde 144 günlük ortalama $1110.82 trend değişimi için referans takip seviyesi olabilir.
DetaylıYAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. (III. Baskı)
DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:294 YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER (III. Baskı) Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL
DetaylıT.C BURSA TEKNİK ÜNİVERSİTESİ. DOĞA BİLİMLERİ, MİMARLIK ve MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SOĞUTMA DENEYİ FÖYÜ
T.C BURSA TEKNİK ÜNİVERSİTESİ DOĞA BİLİMLERİ, MİMARLIK ve MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SOĞUTMA DENEYİ FÖYÜ 2015-2016 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Yusuf Ali KARA Arş.Gör.Semih AKIN Makine
DetaylıÖrnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.
MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıEEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ
SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini
Detaylı1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı
DERS NOTU 04 ÜRETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: 1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı... 1 2. Üretim Fonksiyonu ve Eşürün Eğrileri... 5 A. Marjinal Teknik İkame Oranı (MRTS)... 11 B. Eşürün
DetaylıŞaft: Şaft ve Mafsallar:
Şaft ve Mafsallar: Motor ve tahrik aksı farklı yerde olan araçlarda, vites kutusu ile diferansiyel arasında hareket iletimi için şaft ve açısal sapmalar için gerekli olan mafsallar karşımıza çıkmaktadır.
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıREAKTİF GÜÇ KOMPANZASYONU VE HARMONİKLER
REAKTİF GÜÇ KOMPANZASYONU VE HARMONİKLER AliRıza ÇETİNKAYA Proje & Satış Müdürü Erhan EYOL Kalite Güvence Müdürü REAKTİF GÜÇ NEDİR? Elektrodinamik prensibine göre çalışan generatör, trafo, bobin, motor
Detaylı1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ
1. YAPISAL KIRILMA TESTLERİ Yapısal kırılmanın araştırılması için CUSUM, CUSUMSquare ve CHOW testleri bize gerekli bilgileri sağlayabilmektedir. 1.1. CUSUM Testi (Cumulative Sum of the recursive residuals
DetaylıALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 10 Kasım 2015
ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 10 Kasım 2015 3 Kasım 2015 tarihli Alpha Altın raporumuzda paylaştığımız görüşümüz; RSI indikatörü genel olarak dip/tepe fiyatlamalarında başarılı sonuçlar vermektedir. Günlük bazda
Detaylı2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK
2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin
DetaylıÇalışma Soruları 2: Bölüm 2
Çalışma Soruları 2: Bölüm 2 2.1) Kripton(Kr) atomunun yarıçapı 1,9 Å dur. a) Bu uzaklık nanometre (nm) ve pikometre (pm) cinsinden nedir? b) Kaç tane kripton atomunu yanyana dizersek uzunlukları 1,0 mm
DetaylıProf. Dr. Ahmet TUTAR Organik Kimya Tel No: 2956040 Oda No: 813
Prof. Dr. Ahmet TUTAR Organik Kimya Tel No: 2956040 Oda No: 813 Organik moleküllerin üç boyutlu yapılarını ve özelliklerini inceleyen kimya dalına Stereokimya adı verilir. Aynı molekül formülüne sahip
DetaylıKORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ
KORELASON VE REGRESON ANALİZİ rd. Doç. Dr. S. Kenan KÖSE İki ya da daha çok değişken arasında ilişki olup olmadığını, ilişki varsa yönünü ve gücünü inceleyen korelasyon analizi ile değişkenlerden birisi
DetaylıGAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİGİ BÖLÜMÜ KM 482 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI III. DENEY 1b.
GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİGİ BÖLÜMÜ KM 482 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI III DENEY 1b. SICAKLIK KONTROLÜ Denevin Amacı Kontrol teorisini sıcaklık kontrol sistemine
DetaylıULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3052 OTOMATİK KONTROL
ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3052 OTOMATİK KONTROL 2009-200 BAHAR ÖDEV 3 Konu: MATLAB ve Simulink programı ile PID ayarlarının bulunması ÖDEVDE İSTENENLER: Örnek olarak belirlenen
DetaylıKIRILMA MEKANİĞİ Prof.Dr. İrfan AY MALZEME KUSURLARI
MALZEME KUSURLARI Deformasyonda Birinci Özelliğe Sahip Hatalar: A. Noktasal Hatalar: Kafes düzeninin çok küçük bölgelerindeki (1-2 atom boyutu) bozukluğa verilen addır. Bunlar ; 1. Boşluklar : Kafeslerde
DetaylıÖlçme Bilgisi Ders Notları
1. ÖLÇÜ BİRİMLERİ Ölçme Bilgisi: Sınırlı büyüklükteki yeryüzü parçalarının ölçülmesi, haritasının yapılması ve projelerdeki bilgilerin araziye uygulanması yöntemleri ile bu amaçlarla kullanılacak araç
DetaylıTaşıyıcı Sistem Elemanları
BETONARME BİNALARDA OLUŞAN YAPI HASAR BİÇİMLERİ Bu çalışmanın amacı betonarme binaların taşıyıcı sistemlerinde meydana gelen hasarlar ve bu hasarların nedenleri tanıtılacaktır. Yapılarda hasarın belirtisi
DetaylıK12NET Eğitim Yönetim Sistemi
TEOG SINAVLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Yeni sınav sistemi TEOG, yani Temel Eğitimden Orta Öğretime Geçiş Sınavlarında öğrenciler, 6 dersten sınav olacaktır. Öğrencilere Türkçe, Matematik, T.C. İnkılap Tarihi
DetaylıSU YAPILARI. Su Alma Yapıları. 5.Hafta. Doç.Dr.N.Nur ÖZYURT nozyurt@hacettepe.edu.tr
SU YAPILARI 5.Hafta Su Alma Yapıları Doç.Dr.N.Nur ÖZYURT nozyurt@hacettepe.edu.tr Su alma yapısı nedir? Akarsu ya da baraj gölünden suyu alıp iletim sistemlerine veren yapılara su alma yapısı denir. Su
DetaylıEĞİTİM BİLİMİNE GİRİŞ 1. Ders- Eğitimin Temel Kavramları. Yrd. Doç. Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA
EĞİTİM BİLİMİNE GİRİŞ 1. Ders- Eğitimin Temel Kavramları Yrd. Doç. Dr. Melike YİĞİT KOYUNKAYA Dersin Amacı Bu dersin amacı, öğrencilerin; Öğretmenlik mesleği ile tanışmalarını, Öğretmenliğin özellikleri
DetaylıG D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.
G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının
DetaylıİKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN HAREKETLİ SINIR DEĞER PROBLEMİ
Yüksek Lisans Tezi Tezi Hazırlaуan Kalima MOLDOKULOVA Matematik Anabilim Dalı 2014 KIRGIZİSTAN-TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL
DetaylıÖĞRENME FAALĠYETĠ 6 ÖĞRENME FAALĠYETĠ 6. 6. NESNE ĠġLEMLERĠ
ÖĞRENME FAALĠYETĠ 6 AMAÇ ÖĞRENME FAALĠYETĠ 6 Bu faaliyette verilen bilgiler ile belgeye uygun nesne iģlemlerini (Ģekil, resim, grafik, metin kutusu vb.) planlı ve hatasız yapabileceksiniz. ARAġTIRMA Kelime
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 =
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 009 Matematik I Soruları ve Çözümleri. ( ).( + ) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) 6 Çözüm ( ).( + ) 0 ( ).( ) + ( 4 9 ). 6 36 6 36. 6 6. 0, 0,0 0,0 işleminin
Detaylı