Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Sayfa

2 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü NURBS Crve Fttng sng Artfcal Immne System Özet Günümüzde Non-Unform Ratonal B-splne lar (NURBS) blgsayar destel tasarım (CAD) ver temsl çn endüstr standardı olmşlardır. Eğr modelleme ve boytsal ölçüm vasıtasıyla fzsel br parçadan brgsayar destel br tasarım (CAD) model nşa etme çn NURBS lern tasarımı, gelenesel te amaçlı optmzasyon algortmalarıyla ele alınamayan ço amaçlı optmzasyon (MOO- mlt objectve optmzaton) problemdr. Büyü ver çn b problemle, global optmm elde edeblen ve teratf br tarzda arzlanan çözüme laşan nondetermnst optmzasyon algortmaları le lglenlmes gereldr. Ço sayıda verden y br NURBS model blma çn genelde değşenler olara düğümler, ontrol notaları ve ağırlılarla lglenlr. Maalede düzgün br eğr blma çn ydrma hatasının mnmzasyonna yönelnmş ve eğr ydrma çn düğüm vetörünün ve NURBS ün ağırlılarının optmzasyonna çalışılmıştır. Yapay Bağışılı Sstem (AIS) herüstğ yen br metodoloj olara llanılmıştır. Aae nn Blg Krter (AIC) llanılara aday modeller arasında en y model aranmıştır. Metodmzn etnlğn gösterme çn sayısal örneler verlmştr.. Grş Görüntü şleme, Blgsayar grafler, Görüntüleme (İmagng), Blgsayar Destel Tasarım (CAD), Blgsayar Destel İmalat (CAM) ve benzerlern çeren çeştl çalışma alanlarında yglamalarda font tasarımı, ver ndrgeme, belrszlle mücadele ve gürültü versn tahmn etme, eğr ve yüzey aplama, görselleştrme ve tahmn çn eğr ydrma llanılmatadır. Geçmşte araştırmacılar, br ver notaları ümesne nasıl en y eğrler yglanacağını çözmeye öneml br zaman harcamışlardır. Araştırmacılar grlen verye eğr ydrma çn analt fonsyon llanmalarına rağmen vernn temelnde olan fonsyonn şel sılıla armaşı oldğ çn te br polnomla on tahmn etme zordr. B drmda ygn br splne model ve onn değş bçmler, en ygn tahmn fonsyonlarıdırlar []. Non-nform ratonal B-splne lar (NURBS), genel serbest forml yüzeylern temsln olaylaştıran yerel modfasyonlar olasılığı ve pürüzsüzlü gb çeştl yararlı özelllere sahptrler. NURBS ün b özelller, onları blgsayar destel tasarım ve üretmde (CAD/CAM) standart br araç yapan armaşı geometrnn tasarımı çn dealdr. Dereces olan br B-splne eğr endsnn ontrol notaları ve düğüm değerler le eşsz bçmde tanımlanıren NURBS eğrler çn ağırlı vetörü e olara belrlenmş olr [2]. Kontrol notaları, ağırlılar ve/veya düğüm değerler vasıtasıyla llanıcılar NURBS llanara ço genş çeştllte şeller tasarlayablrler. Br ver elde etme şlemnde yüse sayıda ver olmasından dolayı dama bazı ygn tahmn tenğn yglama htyacı vardır. Djtal vernn eğr/yüzey tahmn çn NURBS llanıldığı zaman, optmzasyon bağlamında ayarlanaca amaç fonsyonn aresel hataların toplamı oldğ gösterleblr [3]. Ayrıca optmzasyon algortmasının sağlamlığını garant etme çn ve belrl bazı thaf drmları önleme çn doğrl termler eleneblr. Conjgate gradent ve Newton temell yalaşımlar gb gelenesel optmzasyon algortmaları sadece optmze olan te şlevs çn ygndr. Düğümler, ontrol notaları ve ağırlılar gb NURBS çol-parametreler çerdğ çn amaç fonsyonn ratonal formatı ydrmayı br ço değşenl nonlneer optmzasyon problem görev halne getrmetedr. Nonlneer optmzasyon problemler çn çeştl algortmaların var olmasına rağmen onlar tp olara, hesaplamsal olara pahalı ve zaman harcayıcıdırlar. Ayrıca ço sayıda değşen geretren br problemle yüzleşldğ zaman başlangıç değerler öngörü çn oldça zor olmatadır. Optmal tahmn sonçları elde etme çn yglanmış olan br aday y br non-determnst optmzasyon stratejs olablr. Brada hesaplamsal zeadan alınan metotlar b problemn çözümüne ço mt verc çareler vermetedr. Maalede hesaplamsal zea tenler le astımız evrmsel algortmalar ve snr ağları gb sayısal doğal esntl stratejler çermetedr Sayfa 2

3 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Son yıllarda blm adamları, omples problemlern çözümünde tabattan esnlenmelernn netcesnde Yapay Snr Ağları ve evrmsel algortmaların olştrlmasından sonra yen sayısal ze paradgmalar gelştrme çn güçlü br metafor olan bağışılı sstemnn llanımına önem vermşlerdr. Bağışılı sstem oldça güçlü, adaptf, dağıtı, belle blndran, end endne organze olan, güçlü örüntü tanıma yeteneğne sahp ve yabancı etenlere arşı tep verme çn evrmsel br yapısı olan br sstemdr [4]. B sstemn yeteneler blm adamları, mühendsler, matematçler, flozoflar ve dğer araştırmacıların lgsn çemştr. Bağışılı prensplern yglayan araştırma alanları hızla gelşmetedr ve b alan Yapay Bağışılı Sstemler YBS (Artfcal Immne Systems) veya Bağışısal Hesaplama (Immnologcal Comptaton) olara blnmetedr. B maale 2D ver çn optmal NURBS eğr modelne verml br şelde laşablme çn optmze olmş düğüm vetörüne ve ağırlı parametrelerne yoğnlaşmatadır. B maale, NURBSler llanılara eğr ydrma problemne Yapay Bağışılı Sstemler (AIS) olara blnen dğer br hesaplamsal zea tenğnn aşamalı yglanmasını snmatadır. Antorlar olara brnc aşamada düğüm yerleşm adayları ve nc aşamada NURBS ağırlıları ele alınara breyler olştrlmş ve [], [5] ve [6] de gb sürel problem ayrı br problem çnde çözülmüştür. Aae nn Blg Krter (AIC) llanara dyarlılı ölçütü tanımlanmış ve her br neslde y olan aday modellerden en y modele doğr arama gerçeleştrlmştr. Optmzasyon şlemnn sonc gelşgüzel derecel NURBS eğrler ümesdr. Optmzasyon değşenler NURBS ağırlıları w, düğüm vetörü ve parametrzasyon t dr. Sonçta olşan optmzasyon algortması son derece otomattr, sağlamdır, vermldr ve yüse derecel nonlneer tasarım amaçlarını ele alablme yeteneğne sahptr. Bzm metodmz, düğümlern ygn yerlern ve sayılarını ve NURBS ağırlılarını otomat olara ve eş zamanlı bçmde tanımlayablr. B metot (evrmsel algortmalar çn de br avantaj olan) teratf arama çn başlangıç düğümlernn y yerleşm ve ymşalı fatörü yada hata toleransı gb herhang br sbjetf parametre geretrmez. Sayısal örneler metodmzn etnlğn gösterme çn verlmştr. Ayrıca önerlen metot le evrmsel br algortma arasında br ıyaslama da snlmştr. Metodmz ço-boytl mesh verye olayca genşletleblr. Maalenn alanı şöyle yapısallaştırılmıştır. Başlı 2 de Nota versnden B-splne ve NURBS eğrlern tasarımı çn probleme optmzasyon herüstlernn yglanması ve NURBS parametrelernn optmzasyon le alaalı lteratür özetlenmştr. Başlı 3, NURBS geometrsnn ve onn özelllern ısaca gözden geçrmetedr. Tabnde Yapay Bağışılı Sstemnn detayları le önerlen problem formülasyonmz ve parametre optmzasyon yalaşımımız Başlı 4 de snlmştr. Başlı 5 de değerlendrme çn çalıştırılan deney sonçları le brlte arşılaştırmalı br çalışma snlmştr. Nhayetnde maale başlı 6 de sonçlandırılmıştır. 2. Lteratür Özet Mene mühendslğ, Tıbb mühendsl, blmsel araştırma çn fosl araştırmaları, hasarlı br sanat esernn reonstrüsyon veya çoğaltılası, flm ve eğlence endüstrler de arater modelleme, sanal gerçel araştırması çn sanal br ortamın olştrlması çn eğr/yüzey modelleme tenler llanılablr. Matematsel tarama sondaları ve donmat sondalar le donatılmış standart oordnat ölçüm maneler, lazer tarayıcılar, CT-tarayıcılar, yada opt aralı mgeleme sstemler herhang br nesnenn matematsel tanımlamalarını sayısallaştırma yolyla olştrlablr ve b sretle zengn ve gerçeğe ygn br sanal dünya yapılablr. Sayısallaştırma çn mevct çeştl ölçüm araçları vardır. B ölçüm tenlernn her br end erdem ve srlarına sahptrler. Bnnla beraber b onlar snlan maalede ele alınmamıştır. Daha fazla blg çn Pttre [2] ve Wohlers [22] n çalışmalarına baılablr. Sayısallaştırılan notalar var oldları zaman model nşasına geçleblr. Matematsel br temsl çn ço fazla yalaşım vardır [23,24,29]. Düzenl nteller çn (polnom denlemler ümes yardımıyla) cebrsel yüzeyler llanılablren Serbest forml şeller çn parametr Sayfa 3

4 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü yüzeyler llanılablr. Genellle llanılan parametr yüzeyler Bezer, B-splne ve nonnform ratonal B-splne (NURBS) yüzeylerdr [25,6]. NURBS yüzeyler Bezer ve B-splne yüzeylern genellemelerdrler. NURBS ydrma çn çeştl nterpolasyon şemaları gelştrlmştr [25,6]. Ayrıca serbest forml şellern temsller çn llanılan üçgensel yüzey yamaları, deformable yüzey modeller ve doğrdan atı modelleme gb dğer matematsel bçmlerde vardır [26]. NURBS; ontrol notaları, düğüm vetörler ve ağırlılar gb çeştl ontrol şleyclere sahp oldça tasarımcılar, arzlanan şeller elde etme ve değşen parametreler seçme çn onlar arasından arar verme zorndadırlar. B; Blgsayar Destel Geometr Tasarım (CAGD), Blgsayar Grafler ve CAD/CAM de en öneml onlardan brdr. [6] da onların matematsel tanımlamalarından doğrdan NURBS şeln modfye etme çn çeştl şleycler, yan ağrılılar veya ontrol notalarının yenden hesaplanması, ele alınmıştır. Farn [25] tarafından NURBS ün özel br drm olan onler adına NURBS ydrma çn enterpolasyon şeması gelştrlmştr. [7] da düğüm değerlernn yalaşı tahmn ve notaların değerlernn optmzasyon yapılmıştır. [8] de anmasyonda çeştl yüz fadelernn smülasyon ontrol notaları sabtlenere ve ağırlılar değştrlere cra edlmşen [9] da mlt-eğr B-splne tahmn çn düğüm vetörünün optmzasyon cra edlmştr. Bazı yazarlar NURBS eğr ve yüzey tahmn çn nonlneer yalaşımları araştırmışlardır. Tp br yalaşım [27] de blnablr. B çalışma, ölçülen notalardan arşılığı olan ydrlmş eğr yada yüzey notalarına olan aresel zalılar toplamını mnmze edere eşzamanlı br şelde NURBS eğr yada yüzeyn hem ontrol notalarını hemde ağırlılarını tanımlamatadır. Mnmzasyon, br terasyon şlem llanan lnearzasyon yardımıyla çözülür. Negatf ağırlılardan açınma çn özel br dönüşüm llanılmıştır. Benzer br yalaşım aynı zamanda [28] da bldrlmştr ve ısıtlı br nonlneer mnmzasyon tenğ gözlem sstemnn blnmyenlern tanımlama çn llanılmıştır. [28] da, Kontrol notaları ve ağırlılara e olara düğümlerde blnmyenler olara hesaba atılmıştır. E olara [26] de -adımlı br lneer yalaşım bldrlmştr. İl adım süresnce ağırlılar, smetr br özdeğer ayrıştırım (SEVD) arasından homojen br sstemden tanımlanmıştır. blnen parametreler olara tanımlanan ağırlılarla B-splne eğr ve yüzey ydrma ve nterpolasyona benzer br şelde ontrol notaları daha sonra çözülmüştür. Genelde NURBS parametrelernn altümeler optmzasyon çn bağımsız değşenler olara llanılmışlardır. Uydrlan br eğrnn br B-splne/NURBS temslnn ontrol notaları gelenesel olara en üçü areler llanılara hesaplanır. Düğüm değerler ya nform olara alınır yada ölçüm notalarının dağılımına göre tahmn edlr [7,6] ve ağırlılar brlğe (nty) rlr. Kontrol notalarının tahmnnden sonra ydrma, ya düğüm değerler yada ağırlılar optmze edlere gelştrlr[5,8]. B ydrlan eğrnn daha y elastyet ve dolayısıyla düşü ydrma hataları vermesn sağlar. B gelştrme genelde non-lneer br programlama problem olara çözülür. Hongwe et al [46] constrcted teratve NURBS crve and srface to ft gven data ponts. Where started wth a pece of ntal non-nform B-splne crve (srface) whch taes the gven pont set as ts control pont set. Then by by adjstng ts control ponts gradally wth teratve formla, they can get a grop of non-nform B-splne crves (srfaces) wth gradally hgher precson. In most applcatons, the creaton of a NURBS srface sally s not a stand-alone project. The srface that fts the data ponts mst also satsfy bondary condtons, sch as postonal, normal and other practcal bondary condtons. For fttng NURBS srfaces to data ponts, a method satsfy bondary condtons, sch as postonal, normal and other practcal bondary condtons s presented n [53]. Yn s method ses chosen data ponts as control ponts to constrct ntal NURBS srfaces and then modfes them sng mnmzaton of devaton nder bondary condton constrants (postonal, normal and other practcal bondary condton constrants), solved by the method of Lagrange mltplers. Levenberg-Marqart metod [7] gb Gradent-temell metotlar Kontrol notaları ve sonradan düğüm değer optmzasyon çn llanılmıştır [0-]. Xe ve Qn [54] varyasyonel prensp, Sayfa 4

5 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü sayısal tenler ve enerj mnmzasyonnn brleştrlmş metodolojs vasıtasıyla NURBS eğr ve yüzeyler çn dğerontrol değşenler adar y non-nform düğüm vetörlernn otomat determnasyonn olaylatıran yen br modelleme tenğ snmş ve nteratf br algortma gelştrlmştr. Çalışmada NURBS düğümlernn otomat determnasyon gerçeleştrlmştr. An adaptve not placement algorthm has been descrbed by L et al [56] for B-splne crve approxmaton to dense and nosy data ponts. In ths algorthm, the dscrete crvatre of the data ponts s smoothed sng a lowpass dgtal flter to expose the crvatre charaterstc of the nderlyng crve of the data. Then nots are atomatcally placed to mae the crve, whch passes nderlyng the data s more severe. Powell metod gb dre arama metotları da ağırlılar ve düğüm optmzasyon çn llanılmıştır [8]. Yarıda arama metotları hızlı yaınsama avantajına sahptr ama dğer yandan yerel mnmmda taılablr. [2] de Kontrol notaları ve sonradan düğüm değer optmzasyon çn l-odl genet algortma llanılmıştır ve br global optmzasyon problem olara parametr yüzeylern hata mnmzasyon gösterlmştr. Ama bağımsız değşenlern bnary temsller arama zayını büyütmeye eğlmldr. [] de br genet algortma (GA) llanılara smltane ve otomat olara düğüm sayıları ve yerlern tanımlayan yen br metot ele alınmıştır. Par ve Lee [56] egemen notanın seçmne dayanan hata-sınırlı B-splne eğr tahmn çn br metot önermştr. Sarfraz [30], İ boytl şellern anahatlarından toplanan düzlemsel verye ydrlan optmal eğr vasıtasıyla temsl edlen şeller çn evrmsel br yalaşım öne sürülmüştür. Genler olara şel parametreler le beraber düğümlern yerleşm yerlernn oldğ adaylar hesaba atılara romozomlar nşa edlmştr. Bnlar, aynı arama zayının büyütülmes problemne sahptr. Sarfraz et al [47] Eğr ydrma problemlernde, şel tasarımı çn optmze edlmş br eğr elde etme çn düğümlern seçmn ele almışlardır ve NURBS llanılara eğr ydrma problemne Smlated Evolton (SmE) olara blnen dğer br evrmsel herüst tenğn yglanmasını snmşlardır. Marzas [3] En üçü areler ydrma le br notalar grbndan yüzey reonstrüsyon metodn snmştr. Grd, her br nota çn br parametreler çft le sağlanan R 3 ün sonl br alt ümesdr. Çıtı, br Bezer yada B-splne yüzeyn (yada aynı türde herhang br yüzeyn) ontrol notaları grddr. Benzer şelde genet algortma [20,3-5] de eğr ve yüzey ydrma çn ontrol notalarına yan ağırlılar ve düğümlern her snn optmzasyon yapılmıştır. Kromozomlar, düğümlern yerleşmlernn adayları genler olara hesaba atılara nşa edlmşlerdr. Hagen ve Bonnea [9] descrbes a calcls of varaton approach to desgn the weghts of a ratonal B-splne srface n a way to acheve a smooth srface n the sense of an energy ntegral. Jhász [45], NURBS ontrol notalarının ağırlılarının modfasyon yardımıyla NURBS eğrlern tayn edlen şel modfasyonnn nasıl yürütüleceğ problemn adreslemştr. [5] de NURBS ağırlılarının optmzasyon çn real-odl GA lar optmze edlmşlerdr. Bnnla beraber GA lar genş sayıda amaç fonsyon değerlendrmeler geretrr dolayısıyla sadece üçü yüzey yamalarının ydrlması çn llanılablrler. Yüzey ydrmada ydrma hatasını mnmze etme çn NURBS ağırlılarının optmzasyonnda [9] de Değştrlmş br Tab Search (TS) global optmzasyon tenğ llanılmıştır. Ama b Değştrlmş br Tab Search (TS) algortması çn açı br drdrma rter llanılmamıştır. Goldenthal ve Bercover [48] eğr ve yüzeylern optmzasyon le tasarım çn br ço amaçlı optmzasyon algortması önermşler ve bn evrmsel algortmalarla brleştrmşlerdr. Önerdler evrmsel MOO algortması, NURBS eğrler ve yüzeylern optmzasyon çn llanılmıştır. Optmzasyon değşenler düğüm vetörler, parametrzasyonlar ve NURBS ağırlılarıdır. Sarfraz et al [59] s sed Smlated Annealng herstc for the Weght optmzaton of NURBS for vsalzaton of data. The objectve of the method s to vsalze data by redcng the error and to obtan a smooth crve. Daha sonra [60] de NURBS ün ağırlı ve düğüm parametrelernn optmzasyon çalışmalarının bağımsızlığına e olara, eş zamanlı ağırlılar ve düğümler optmzasyon çn ayrı br çalışma da gelştrlmştr. Optmze edlmş NURBS modeller, nha ve otomat çıtı çn düzlemsel şellern çevre vers üzernde ydrlmştr Sayfa 5

6 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Etn ve evrensel llanım çn web-temell br sstemde gelştrlmştr. In [4] by Sarfraz, NURBS llanılara eğr ve yüzey ydrma problemlerne Smlated Evolton (SmE) olara blnen br evrmsel herüst tenğn yglaması snlmştr. B maale sayısallaştırılmış ver llanılara NURBS tahmn çn br metot snmatadır. Problem çözme çn las optmzasyon yalaşımı llanma yerne SmE ye dayanan yen br metot gelştrlmştr. Yapay snr ağlarına dayanan metotlarda parametr eğr ve yüzeylern ydrlmasında sılıla llanılmıştır. Chen et al [49] ço atlı ler beslemel snr ağları llanan br yüzey reonstrüsyon metod önermşlerdr. Knopf ve Casasent sırasıyla [32] ve [33] de br Bezer yüzey tahmn ve br B-splne yüzey tahmn çn ontrol notaları ağını Bernsten Bass Fncton networ vasıtasıyla blmştr. Iglesas and Gálvez [34] verlen br ver ümesne tensor prodct parametr yüzey ydrma çn fonsyonel ağlar llanmıştır. B metodn performansı Bezer yüzeyler drm çn gösterlmştr. Iglesas and Gálvez başa br çalışmalarında [35, 36], Br Bernsten bass fonsyon ales llanılara tahmn edlen çeştl tensor prodct B-splne yüzeylerden verlen br ver ümesn ydrma çn fonsyonel networler llanmışlardır. Genelde prat yglamalar çn artı Bezer şemalar yglanmadığı çn Iglesas and Gálvez sonra Onn yerne [37,38] de yüzey reonstrüsyon problem çn B-splne yüzeylern llanımı önerlmştr. Her çalışmada ver notalarına en y yan B-splne yüzey ydrmanın ontrol notaları sayısını tanımlamatadır. Aynı yıllarda Hoffman [39,50] dağını zamsal notaları düzenlemede yapay snr ağı llanara br B-splne yüzeyn yerel güncellenmes çn br yalaşım snmştr. Önerdğ ten herhang br e blg türü geremeszn üst üste esşen ve çbüey olan ver ümelern ele alablr. İşlemn sonc, br temel yüzey olara yada br approxmant olara lanılablen br B-splne yüzeydr. Metodn doğrlğ büyü oranda snr ağı çnde çıış düğümlernn sayısına ve eğtm süresne bağlıdır. Daha sonra Hoffman [5] Kohonen snr ağı algortmasının br modfasyonn snmştr. Yüzey reonstrüsyon problemnde daha y br çözüm vermes çn Es omşl yapısı yerne yen sürel azalan omşlğ önermştr. B yen sürel azalan omşl daha y br şelde grş notalarına doğr nöronları çemeye yardım eder ve nhayetnde çıış atmanı dağını grş vers üzernde daha ymşa br ddörtgen grd bçmler. B önşleme adımlarından sonra standart serbestşel algortması yüzey reonstrüsyon çn llanılablr. Hoffman [52] de dağıtı ver tahmn çn Kohonen snr ağının sayısal ontrolünü gerçeleştrmştr. Yüzey tahmnne Self Organzng Maps ler lede çözümler aranmıştır [40-43]. Üler n [6] önce çalışmasında B-splne yüzeylern düğümlernn optmzasyonnda AIS llanılmıştır. B maalede, ağırlıların optmzasyon le önce çalışma gelştrlere NURBS parametrelern optmze etme çn AIS global optmzasyon herüstğ yglanmıştır. B çalışma, günümüz lteratüründe var olan tenlerde açılanan çeştl problemler çözeblr. 3. NURBS le eğr ydrma 3. NURBS crve Br NURBS eğr br B-splne eğrnn genellemesdr. NURBS ün brleştrlmş br matematsel formülasyon, serbest formda eğrler ve yüzeyler sağlar. NURBS model, endsnn tanımlamasında ço sayıda ontrol değşen çerdğ çn oldça esne ve güçlüdür. NURBS eğr, n tane ontrol notası p ve ontrol notalarına lştrlmş w ağırlıları le br pecewce ratonal polnom bass fnctons ümesnn ratonal ombnasyondr: c n 0 n 0 p w N w N,, () Sayfa 6

7 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü 3 Brada parametr değşendr, p x, y, z T R term parametresnde NURBS eğr üzernde br notayı temsl eder ve N, (), derecel normalsed B-splne bass fonsyonlardır. Normalze B-splne lar; br order ı (derece -), ontrol notası sayısı n, ve n+ adet t düğümler ümes le eşbenzersz olara tanımlanablrler. Ağırlı w, eğr üzernde -nc ontrol vetörü P nn etsn tanımlar. Br U={t 0,t,...,t n++ } düğüm vetörü üzernde tanımlanan -nc bass fonsyon N,p (), aşağıda gb nform düğümler llanılara özyneleml br bçmde tanımlanırlar. N N,, for t t 0, otherwse t N N t t, t t t, Parametr doman t t n+ dr. Peryod-olmayan düğüm vetörü teamüle göre U,,,,, n,,, formna sahptr, brada α ve β sonlarda (+) ere görünür. Sonlarda b özel düzenleme sırasıyla başlangıç ve btş ontrol notalarının başlangıç ve btş ver notaları le rastlaşmasını garantlemetedr. B maale boynca parametrenn 0, aralığında zandığını varsaydı. B nedenle =0 ve = dr. NURBS, endlernn yerel şeln etleyen estra serbestl dereceler olara ağırlıları çerrler. NURBS, eğer ygn gelen ağırlı arttırılırsa br ontrol notasına doğr çelr, eğer ağırlı azaltılırsa br ontrol notasından zağa tlr. Eğer br ağırlı sıfır se ygn gelen ratonal bass fonsyonda sıfırdır ve onn ontrol notası NURBS şeln etlemez. NURBS, convex hll özellğ, varyasyon azalma özellğ, yerel deste ve afn geometr dönüşümler altında değşmezl gb ço sayıda özellğ B-splne lardan mras alırlar. NURBS e özelllere sahptr. NURBS, hem örtü hemde parametr polnom formlar çn brleştrlmş br matematsel çatı snmatadır. Prenspte onlar, free-form şeller adar y onler ve tam qadrcler gb analt fonsyonları temsl edeblrler[58]. (2) 3.2 Ters Tasarım Verlen djtal ver çn NURBS eğry optmze etme çn NURBS çnde llanılaca olan ontrol notalarının hesaplanması, NURBS ün non-ratonal mabl olan non-nform B- splne (NUBS) vasıtasıyla hesaplanacatır. (n+ adet) {Q } ver notalarını enterpole eden br NURBS eğr tanımlama çn (n+ adet) bağımsız oşla sahp olma yeterldr. Eğer br ver notası br B-splne eğrs üzernde zanıyorsa ver notası denlem () sağlamalıdır. Eğer her br ver notasına br parametre değer atanır ve br U düğüm vetörü le br W ağırlı vetörü seçlrse, eğr enterpolasyon problemn aşağıda gb rablrz. Q C n P R 0 Yada matrs formnda aşağıda gb rablrz., 0,, n (3) Sayfa 7

8 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Sayfa 8 Q P C or Q Q Q P P P R R R R R R n n n p m n p p m p p m p 0 0, 0,, 0, 0, 0 0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (4) Brada {R, ()} rasyonel fonsyonları aşağıda gb tanımlanır. m N w N w R 0,,, ) ( ) ( ) ( (5) parametre değern tanımlama çn ço sayıda yol olmasına rağmen Unform, Krş znlğ ve Centrpetal parametrzasyon metod ço terch edlmetedr. Krş znlğ ve centrpetal metotlar çn U düğüm vetörü aşağıda gb tanımlanır. n j for Brada U j j j n,,,,,,,,,0, 0,0, (6) Yarıda parametrzasyon modellernn hepsnn br genellemes Lee [Lee 89] tarafından önerlmştr ve aşağıda gbdr. Brada s, eğr üzernde belrtlmş toplam ver notaları sayısıdır. s P P P P s j e j j e 2, 0, (7) Parametr yönü çn genel br düğüm vetörü yalnız br defa seçlr, br NURBS yüzey vasıtasıyla (n+) l dz ver notaları {Q l } (l=0,,n) ümesnn enterpolasyon şelnde NURBS eğr nterpolasyon tenğ yglanır. Her br ver notası çn t parametresnn değer önce ele alındığı gb centrpetal parametrzasyon llanılara ölçülür. Br B-splne eğr çn tanımlanan ontrol notaları polgon tepeler Denlem (4) le olştrlan bass polgon matrs yardımıyla aşağıda gb hesaplanır: Q C C C P T T (8) Böylece Denlemler (3)-(8) llanılara eğrler çn {P } ontrol notaları ümes {Q } ver notalarından olayca hesaplanablr. 3.3 Crve fttng wth NURBS Denlem () nn tüm ağırlıları.0 değerne ayarlandığı zaman NURBS eğr br B-splne eğr olr. Ölçülen notalardan NURBS eğrler olştrma çn snlan maalede llanılan algortmalar, B-splne eğrler ydrmayla yaından lgldr. Genelde en üçü ereler ydrma tenlern llanılır ve ydrma prosedürü aşağıda adımları çerr [26]; ölçülen notaların

9 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü parametrzasyon, düğümlern parametrzasyon ve en üçü arelern yglanması. Bzm yalaşımımız en üçü areler ydrma tenğn llanır. B-splne eğr ydrma çn oldğ gb ydrma şlemnden önce sayısallaştırılmış notaları parametreleştrme gereldr. Order(lar)ı, ontrol notası sayısını ve tam düğüm dzsn çeren düğümlern belrlenmes de ydrma şlemnden önce yerne getrlmeldr [26]. NURBS eğrler tanımlanmasını zleyere tanımlanmış olan alan parametreler ontrol notalarının oordnatları ve arşılı gelen ağırlılardır. Düzlemde br F ver notaları ümes verldğnde bz notaları tahmn etme çn br düzlemsel NURBS eğr hesaplarız. Verlen vernn, açı yada apalı olablen ama endsn esmeyen br blnen eğr şeln temsl ettğn varsayalım. B eğr hedef eğr yada hedef şel olara adlandırılır. Genelleştrme çn ydrlan eğr ve hedef eğr arasında ölçüm hatasının oldğn varsayalım. B nedenle t parametrey temsl edece şelde ş denlem yazablrz[58]. F t f t t (9) Yarıda denlemde f(t) NURBS llanara tahmn edlece olan temelde fonsyondr ve ε(t) o ver notasında t nn belrl değernde ölçüm hatasını temsl eder. Kontrol notası sayısı n ve NURBS ün derecesn (order +) abl ederse t parametres çn ver ydrmada denlem (6) le düğüm vetörü centrpetal metod llanılara nşa edlr. Elde edlen düğüm vetörü le brlte denlem (8) llanılara ontrol notaları hesaplanır. Her br nota le blte t değerne sahp oldtan sonra NURBS eğry verlen ver notaları ümesne ydrma çn Denlem (3), denlem (0) (çalışmamızda r=2) vasıtasıyla denlem (9) le verlen verye ydrlr. Ölçülen notalar ve ydrlan eğr arasında hata fonsyon (yada malyet fonsyon) genelde aşağıda denlemle verlr[58]: r r,, n s s E Q S (0) 0 Brada Q, hedef eğrnn ölçülmüş notaları ümesn temsl eder. S,, n, ydrlan eğrnn geometr modeldr, brada, n ydrlan eğrnn parametrelerdr; s, ölçülen nota sayısıdır ve r, le sonszl arasında br üsdür.ydrma göre sonra E hatasını (yada malyetn) mnmze etme çn,, n eğr parametrelernn optmzasyon olara gösterleblr. Yarıda r üssünün 2 ye eşt olması drmnda yarıda denlem en üçü areler fonsyonna ndrgenr. 4. Önerlen Yapay Bağışılı Sstem yalaşımı Lteratürde çalışmaların heps breysel olara ya parametre optmzasyon yada düğüm optmzasyon le lglenmetedrler. Mantısal olara ş lşldr ve daha y sonçlar çn her snn eşzamanlı optmzasyonn ele alma aıllıcadır. Yapay bağışılı sstemler ve evrmsel algortmalar (poplasyonüzerne çlışan) global perspetf açılıdırlar ve sağlamdırlar (olasılı ralları üzerne çalışırlar). Evrmsel algortmalar ve yapay bağışılı sstemler gb hesaplamsal zea tenlernn hesaplamsal zamanı zn olmasına rağmen () amaç fonsyonn mltmodal olş () eğr ydrmanın nonlneer parametreler çermes () Düğümlern sayısı, düğümlern yerleşm, ağırlılar gb ço sayıda blnmeyen değşen olması gb sebeplerle le br nonlneer optmzasyon problem le ğraşıldığı çn problem çözmede terch edlmşlerdr. Günümüze adar NURBS eğr tahmn alanında dğer hesaplamsal zea yöntemler le belrl problemlere bell çözümler aranmıştır. Faat AIS yalaşımı le gerçeleştrlmş br çözüme rastlanılmamıştır. Anden ortaya çıan yen br zararlı antjene arşı, doğal bağışılı sstemnn Sayfa 9

10 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü gelştrdğ tep sürecnde ygladığı tanıma, hafıza, ve etn antorları üretme meanzmaları B-splne/NURBS eğr/yüzey ydrmada düğümlern yerler ve sayılarının otomat yerleşm ve ağırlıların belrlenmes problemnde başarılı bçmde llanılableceğn bze düşündürmüştür. NURBS eğr ydrlren orjnal problem [], [5] ve [6] de gb ayrı br tümleş optmzasyon problemne çevrlmş sonra ayrılmış problem AIS n Clonal seçm algortması le çözülmüştür. Snlan çalışmada YBS le llanılablr çözümlern hepsnden daha y çözümü seçere parametre optmzasyon yapılmıştır. Bağışılı sstemnde etleşmlern sstem bazında fade edlere br YBS olştrlması çn şnlara htyaç dylr. () Sstem olştran brmlern gösterm, () Sstemde brmlern brbrler ve çevre le olan etleşmlern hesaplama çn br meanzma, () Bazı adaptasyon prosedürler. Şmdye adar gelştrlen algortmalarda b şlemlern her br çn çeştl yöntemler gelştrlmştr. Sstem olştran brmlern Antjen ve Antor gösterm çn en ço abl gören ve llanılan yalaşım Perelson ve Oster n 979 [6] yılında ortaya attıları şel zayı yalaşımıdır. Etleşmler hesaplama çn br meanzma llanılmalıdır. Antjen ve antor arasında etleşmler br dyarlılı ölçütü llanılara modelleneblr. Adaptasyon prosedürler, sstemn zamanla nasıl değştğn modeller. Bnlar, br bağışılı fonsyon, şlem ya da teors llanılara olştrlr. Klonal seçme algortması [62], Negatf seçm [63] ve bağışılı ağları en ço abl gören yöntemlerdr. Çalışmada Klonal seçm algortması terch edlmştr. Bağışılı sstemnde sstem olştran brmler Antjen ve Antordr. Şel zayı avramında Antjen-antor etleşmlernn derecelernn belrlenmes çn br ölçüt olara zalı ölçütü llanılır. Bağışılıta tamamlayıcılı özellğ şel zayında zalı avramı le modellenmştr. Brada adet teoremden bahsedlr. Masmm etleşm çn masmm zalı teorem ve masmm etleşm çn mnmm zalı teorem. AIS olştrlmasında nc geresnm sstemde brmlern brbrler ve çevre le olan etleşmlern hesaplama çn br meanzmadır. Antjen le antor arasında etleşmler br dyarlılı ölçütü llanılara modellenr. Br ölçüt olara zalı ölçütü llanılır. Antjen le antor arasında zalılar çeştl yöntemlerle hesaplanablr. Eğer antjen ve antor smgeleyen vetörler gerçel değerl vetörler se ölt yada manhattan zalı ölçütler llanılablr [64]. Antor Ab=<Ab,Ab2,...,AbL> le Antjen de Ag=<Ag,Ag2,...,AgL> le gösterece olrsan Ab ve Ag arasında ölt zalığı denlem (8) le hesaplanır. D L Ab Ag AIS olştrlmasında üçüncü ve son aşama bazı adaptasyon prosedürlerdr. Inc aşamada hesaplanan dyarlılı/ygnl ölçütler b yöntemlern grşler çnde yer alırlar. De Castro et al [65] dyarlılı olgnlaşmasında şlemler baz alara Klonal Seçm Algortmasını ortaya atmış ve olştrdları algortmayı areter tanıma, optmzasyon gb problemlere yglayara performansını analz etmşlerdr. Algortma aşağıda gbdr: Randomly ntalse a poplaton (P) For each pattern n Ag Determne affnty to each Ab n P Select n hghest affnty from P Clone and mtate prop. to affnty wth Ag Add new mtants to P endfor Select hghest affnty Ab n P to form part of M Replace n nmber of random new ones Untl stoppng crtera Sayfa 0 2 ()

11 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Algortma, esası temel alır; çoğalma çn sadece antjen tanıyan hücreler seçlrler, Seçlen ve çoğalan hücreler dyarlılı olgnlaşması şlemne tab ttlara Antjene olan dyarlılıları arttırılır. Algortmanın detaylarına [28] den laşılablr. Algortma yapı olara Genet algortmayı andırmatadır. Ama De Castro et al yglamalar soncnda görmüşlerdr, Klonal seçm algortması Genet algortma le arşılaştırıldığında loal optmmlardan olşan ço çeştl br çözüm set üreteblr. Genet algortma se tüm poplasyon en y breye benzetmeye çalıştırır. Gerçete algortmanında odlama ve hesaplama yöntemler ço farlı değldr faat araştırma şlemlern gerçeleştrleren esnlendler ayna, llandıları notasyon ve gerçeleştrdler şlemlern sırası baımından farlılı arz ederler. NURBS eğr ydrma problem belrl br tolerans dahlnde br hedef eğr tahmn eden NURBS eğry tahmn etmetr. Hedef eğrnn 2D zayda N adet sıralı ve sı ver notaları şelnde tanımlandığı varsayılmıştır. Uydrlaca NURBS eğrnn düğümlernn N grdnn alt ümes olan n oldğ abl edlr. Uydrlaca eğr dereces dışarıdan verlmetedr. Eğry tahmn etme çn verlen nota sayısı N hem düğümler hemde NURBS ağırlılarını temsl etme çn llanılan ve bt strng şelnde olştrlan Antgen ve Antbody nn boyt olan L ye atanır. Antbody ve Antgen n br moleülü olara adlandırılan her br bt br ver notasına arşılı gelmetedr. B formülasyonda eğer br moleülün değer se ygn ver notasına br düğüm yerleştrlr, eğer moleülün değer 0 se ygn ver notasına düğüm yerleştrlmez (Şel ). Ağırlı vetörü başlangıçta lerle (yada 00 lerle) olştrlr. B abllenme genet algortmada gen ve romozom termlerne eşdeğerdr faat lonal seçm algortması genet algortmadan farlıdır ve antjen tamamlayıcı özellğ daha fazla olan brey daha fazla lonladığı çn yaınsama genet algortmaya göre daha hızlıdır. Verlen notalar [a,b] aralığında zanıyorsa n adet düğüm b aralıta tanımlanır ve nteror nots olara adlandırılır. Başlangıç poplasyon moleül sayısı L olan K adet Antbody çerr. Moleüller rasgele olara 0 ve e set edlrler. Mnmm hata le ver notalarına yan NURBS/B-splne ı tanımlayan nteror düğümlern yerlern ve sayılarını htva eden moleül ümes se tanınması gereen antjendr. B düğümler temelde olan eğr çerçevesn tahmn etmede gerel olan ontrol notalarını tanımlarlar. NURBS ygladığımız çn, b nedenle, b ontrol notaları le lşl ağırlılar da optmze edlmeldr. Ağırlı vetöründe eleman sayısı ontrol notası sayısına yar. B nedenle problemde aynı anda arama zayını çerlmetedr. Brnc arama zayı dahl düğümlern optmzasyon le lglenren dğer hesaplanan ontrol notaları le lşl poztf ağırlılarla lglenr. 0 lar ve ler çermeyen ama sayıların htva edldğ antorların çerdler ağırlılar, o sayılar örneğn aşağıda gb poztf gerçel sayı yada tam sayı olablrler, yglamamızda ağırlılar çn geçerl br antor temsl etmetedr Algortmamızda yaptırılan b çft zay arama br Nested Clonal Selecton Algortması dır. Clonal Selecton a dayanara NURBS eğr tahmn çn aış şeması Şel 2 de gösterlmştr. Eğrnn son notasında enterpolasyon sağlama çn başlangıç poplasyon çnde ve lonlama ve mtasyon şlemler süresnce b notaların aybedlmemes ve sonra gelen nesllerde ornmaları gereldr. Bn sağlama çn Klonal selecton algortmamızda düğümler temsl eden Antorlar le tüm poplasyonn br OR şlem yglanması sayesnde Antorların l ve son btn her zaman e rarız. Klonlama ve mtasyon şlemlernden sonra yen br poplasyon olşttan hemen sonra orma şlem gerçeleştrlr Sayfa

12 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Şel. Antgen-Antbody Kodlama Metod Sayfa 2

13 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Şel 2. NURBS eğr le ver ydrma sstemnn aış dyagramı Çalışmada Antgen ve Antbody arasında etleşmlerde masmm etleşm çn mnmm zalı teorem llanılmıştır. Antjen-Antor hücre etleşmlernn derecelernn belrlenmes çn ölçüt olara Denlem () de Ölt zalı ölçütü llanılır. Antorların Antjenlere yanıt üreteblmeler çn onları tanımaları geremetedr. Tanıma şlem çn çalışmamızda Antorların Antjene olan dyarlılılarının Antor-antjen arasında zalığa ve [], [5] ve [6] referanslarında ftness measre olara terch edlen Aae nn Informaton Crteron (AIC) e göre aşağıda gb olacağı hesaplanmıştır Sayfa 3

14 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü AIC Affnty (2) AIC avrg Brada AIC avrg poplasyonda tüm Antorların AIC değerlernn artmet ortalamasıdır ve aşağıda gb hesaplanır. Herhang br breyn AIC değer AIC avrg değernden büyüse denlem (2) de Affnty=0 abl edlr. AIC avrg K AIC (3) K Brada K poplasyonn büyülüğüdür ve AIC poplasyonda nc antbody nn ftness measre ıdır. AIC aşağıda gb verlr. AIC N e E 2 2n m log (4) Brada N ver sayısıdır, n nteror nots sayısıdır, m verlen ver üzerne ydrlan splne ın order ıdır ve E denlem (0) le hesaplanır. Hem düğümlern optmzasyon hemde ağırlıların optmzasyonnda ygnl ölçütü olara denlem (4) llanılır. Şna dat edlmeldr Antbody ler çnde AFFINITY's yüse olan hatası en az olandır, deal çözüm olan ve tanınması gereen Antgen n tam olara tamamlayıcısı olan Antbody nn Affnty değer poplasyon çndelerden (aslında Memory de) e en yaın olanıdır. Ideal antbody le aranan antgen arasında ölt zalığı sıfırdır. B drmda problem eğr tahmn değl eğr nterpolasyon olmatadır. Probleme çözüm aramadan önce bell ontrol parametre değerler programa verlmeldr. Bnlar eğrnn order ı, poplasyon büyülüğü, Memory büyülüğü, çeştll oranı, ve mtasyon oranıdır. Terchan memory büyülüğü poplasyon büyülüğünün 2 atı verlmştr. Memory çerğnde o zamana adar tüm terasyonların en y antbody ler ttlmatadır. Poplasyonn çeştll derecesnde çeştll oranı parametres tayn etmetedr. B değer moleüller rasgele belrlenece antbody sayısının poplasyon büyülüğüne oranıdır. Klonlama aşamasında da AIS rhna ygn şelde Affnty değerlerne göre lonlama gerçeleştrlmetedr ve Affnty s daha yüse olan antbody ler daha fazla lonlanmata, affnty s daha az olan antbody lerde daha az lonlanmata veya hç lonlanmamatadır. Klonlanan antbody lere matrate yglanması sırasında genelde memory çnden rasgele seçlen br breyle çft nota çaprazlama yapılmata yada moleül düzen rasgele değştrlmetedr. Br antbody nn lon fazla se genelde lonlarına her sde yglanmıştır. AIS bell br terasyon sayısınca çalıştırıldıtan sonra Antjene arşı en yüse dyarlılığa sahp antor çözüm olara seçlr. Klonal seçm algortmasını b probleme entegre edeblme çn orjnal algortmada bazı değşller yapılmalıdır. Aşağıda se algortmaya yapılan modfasyonlar ve bnların yarıda algortmaya nasıl yglandığı adım adım gösterlmetedr.. Uydrlaca ver notalarını gr 2. Kontrol parametrelern gr 3. Başlangıç antor poplasyonn rasgele moleüllerle olştr. 4. Düğümlern optmzasyonn B-splne eğr ydrma algortması le gerçeleştr. 5. Antorları NURBS ağırlıları olara olştr ve başlangıç antor poplasyonn rasgele moleüllerle üret. 6. Poplasyon l defa olştrlyorsa hafızayı (Ağırlı_Memory dzsn) olştr ve tüm antorları Ağırlı_Memory çnde sala Sayfa 4

15 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü 7. As tadrde antor poplasyon le Ağırlı_Memory hücrelern güncelle ve Ağırlı_Memory gelştr. 8. Her br antor çn NURBS ü denlem (2) le hesapla ve Denlem (8) le verlen verye ydr. Sonra alanların arelernn toplamını (Q2) hesapla (denlem (9)). 9. Poplasyonda her br antorn AIC değern (denlem (3) ve poplasyonn ortalama AIC değern (denlem (2)) hesapla. 0. Her br antor çn dyarlılığı hesapla (denlem ()).. Dyarlılığa ve aranan antjen e göre poplasyonda her antorn etleşmlerne (Ölt zalığı denlem (0)) göre en y antorları seç (toplamda K-Cestll adar lon). 2. Klonların dyarlılı değerleryle orantılı şelde moleül değştrm le olgnlaşan antor poplasyonn üret (Ağırlı_Memory llanılara veya rasgele antor moleüller değştrlere). 3. Mtasyon oranına göre mtasyon gerçeleştr 4. Çeştll oranına göre yen antorlar üret. 5. İterasyon sınırına laşılmadı veya Antjen tamamen tanınmadıysa Adım 7 ye gt. 6. İterasyon sonnda en y çözüm olara Ağırlı_Memory nn en y anron döndür. 5. Deneysel Sonçlar Brada ıyaslamayı önce GA ve AIS le yapılan düğüm erleşm algortmasının sonçları le ağırlıların optmzasyon ele alınara yapablz. Tarafımızdan önerlen AIS temell NURBS crve fttng algortmamızı değerlendrme çn şel 4 de br B-splne eğr parametrzasyon örneğ gösterlmetedr. Şel 4(a) da gösterlen 2D very (200 adet) blma çn temz br verye Unform dağılımdan %0 gürültü elenmştr. Modellenmş olan tasarı eğr, {0.0,0.0,0.0,0.0,0.25,0.5,0.75,.0,.0,.0,.0} düğüm vetörüne ve 7 ontrol notasına sahp br non nform B-splne üb eğrdr. Şeller ontrol polgonnda göstermetedr. YBS mmarsnde Memory çerğnde dyarlılığı en fazla olan antbody ler salandığı çn sonçlarda her nesl çn Memory nn en y dyarlığa sahp antbody s verlmştr. Memory poplasyonnda Antbody lere dayanara modellenen eğr ve nota blt arasında Root Mean Sqare (RMS) hatası Tablo de verlmştr. Başlangıç poplasyon 500 nesle adar beslenmştr. Şel 4(b) de başlangıç poplasyonnda en y tamamlayıcı Antbody göstermetedr. Şel 4(c) 500 nesl sonra yaınsayan örüntüyü göstermetedr. Eğr şmd ver notalarına daha y ymatadır. Nesller arttıça ygnlta artmatadır (hata azalmatadır). Eğrnn eğm sonra nesllerde hâla yaınsama olasılığının oldğn göstermetedr. Tablo 2, YBS optmzasyon crasının statstlern vermetedr Sayfa 5

16 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü Şel 4. Gürültü vers le eğrler çn parametre optmzasyon üzerne br case stdy. (a) 3D ver notaları, başlangıç poplasyon çnde breylerle lgl olara 7 ontrol notası le B-splne (b) Başlangıç poplasyonnda en y tamamlayıcı Antbody, (c) 500 nesl sonra parametreleştrlmş tanınan Antgen. Nesl BEST RMS (AIS) BEST RMS (GA) İntal Tablo : Şel 4(a) da gösterlen örne eğr çn AIS ve GA metodlarının RMS değerler. Performans değerlendrmesn ve yaınsama hızını ıyaslayablme çn Sarfaz ve ar. [2, 3] tarafından önerlen GA algortması le önerdğmz algortma ıyaslanmıştır. Onların algortmalarında not rato oranı ve ayrıca öneml notaların düğüm romozomlarında sabtlenmes şlemler göz ardı edlmştr. Grd notaları yne Şel 4(a) da ver notalarıdır. Doğrllarının değerlendrlmes çn GA metod le elde edlen RMS değerler de Tablo n üçüncü olonnda verlmştr. Bnnla brlte her algortma çn llanılan parametrelern değerler Tablo 2 de snlmştr. Önerdğmz AIS temell algortmamız le Safraz ve aradaşlarının GA temell algortması yaınsama hızlarına görede arşılaştırılmıştır. Eğtm sürec çnde bazı nesllerde programların çıtıları alınmıştır. B çıtılara göre o neslde Sayfa 6

17 Ftness Ftness Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü poplasyonlara göre breyler ve antorlar ın ortalama ygnl, ortalama RMS, masmm Ftness ve Masmm RMS değerler Tablo 3 de verlmştr. Tüm nesllere göre önerdğmz AIS yalaşımımızın ve GA yalaşımının yaınsama grafler de Şel 5 de snlmştr. B şelde oy çzgler Masmm AIC değerlern esl çzglerde mnmm AIC değerlerdr. Parametre AIS GA Poplaton sze Strng length 200 (Antbody cell length) 200 (chromosome gen-length) Mtaton Rate None 0.00 Crosover Olasılığı None 0.7 Cestll Says 6 (30%) 6 (30%) Memory Sze 40 None Tablo 2. Parametre ümes. G.A. A.I.S MAX Generaton MIN Şel 5. Nesllere göre GA ve AIS temell parametre optmzasyon. MIN MAX Generaton Max AIC (Ftness) Max RMS G.A. Average AIC (Ftness) Average RMS Max AIC (Ftness) Max RMS A.I.S. Average AIC (Ftness) Average RMS Intal Tablo 3: Şel 5 de gösterlen GA ve AIS optmzasyonnn AIC ve RMS statstler Sayfa 7

18 MAX(Ftness) Nmber of Knots MAX (Ftness) Nmber of Knots Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü MAX(Ftness) Nmber of Knots AIS Generatons MAX(Ftness) Sayfa Nmber of Knots GA Generatons Şel 6. Br boytl drm çn ygnl ve düğüm sayısı grafğ (a) AIS (b) GA. Inc br case stdy olara ydrlmş olan ver aşağıda le üretlmştr. 00 x F e j , j,2, N (2) j, Brada herhang br hata değer llanılmamıştır, x j nn değerler 0.0, 0.0,...,.0 dır ve onların sayısı 0 dr. Uydrmanın aralığı [a,b]=[0,] e ayarlanmıştır. Tahmn fonsyon olara üb br splne llanılmıştır. Metodmz tahmn fonsyonnn derecesne bağlı değldr. Kontrol parametreler Tablo 2 de değerlerle aynıdır. Şel 6, nesllere arşı düğümlern sayısı ve ygnlğ göstermetedr. B şelde syah çzg en y ygnlğ göstermetedr. Syah çzgden hesaplamamızın 38 nc neslde yaınsadığını göreblrz. Notalı çzg, en y ygnl çn düğümlern sayısıdır. Düğüm sayısı l neslde 54 den, 38 nc neslde 23 e azalmıştır. Aynı örne çn GA çözümü Şel 6.b de verlmştr. GA çn elde edlen en y ygnl 488. neslde 436 değerdr. B neslde düğüm sayısı 4 dr. AIS ve GA çn nesl, ygnl ve Düğüm sayısı değerler E A dadır. 6. Sonçlar B çalışmada eğrlern optmzasyon le tasarım çn br ço amaçlı optmzasyon algortması önerlmştr. Snlan araştırmanın amacı, taranan notalar ümes ve ydrlan eğr arasında ydrma hatasının global optmzasyon çn br algortma gelştrmetr. Ço amaçlı optmzasyondan meydana gelen tasarım elasyet le brleştrlen yapay bağışılı sstemnn gücü, adaptflğ, dağıtılığı, belle blndrması, end endne organze olablmes, güçlü örüntü tanıma yeteneğ ve vermllğnden dolayı b yalaşım mt verc görünmetedr. NURBS modeln hem ağırlılarının hemde düğümlernn eş zamanlı olara optmze edlmes, eğrlern masmal bağımsızlı derecelern llanır ve böylece yüse altel sonçlar blnablr. Genelde ver ydrma problemnde global optmm blma zor oldğndan (ço sayıda loal optma le sürel nonlneer ve ço değşenl optmzasyon problem oldğ çn), b zorlğn üstesnden gelme çn orjnal problem [], [5] ve [6] da gb ayrı ombnasyonel optmzasyon problemne çevren ve çevrlmş problem AIS le çözen br stratej llandı. NURBS eğrlern en-üçü areler ydrması çn -adımlı br non-determnst yalaşım benmsed. İl adım süresnce y düğümler seçlere düğüm vetörü tanımlanır. Blnan düğüm vetörüne göre ontrol notaları sonra br B-splne eğr ve yüzey ydrma çn olanınne benzer br yolla yerleştrlr. İnc adımda ağırlıların tanımlanması çn yne AIS yalaşımı yglanır. Hem genel br çözüm hemde en y poztf ağırlılar ydrma çn br çözüm blnablr. Performans parametrzasyona bağlıdır. Algortma en y ydrmayı yada optmal ağırlıları tanımlayabldğ çn b yüzden NURBS ün tüm gücü llanılablr. Bzm AIS Algortmamızın y düğümler otomat olara tanımlamada ve NURBS ün en ygn ağırlılarını belrlemede llanışlı oldğn açıça gösterd. Uygnl fonsyon

19 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü olara AIC llandığımız çn modeln bastlğ le verye modeln sadaatn dengeleyeblrz ve aday modeller arasından en y model otomat olara seçeblrz. Hata toleransı yada br düzgünlü fatörü ve düğümlern y seçlmş başlangıç yerler gb herhang br sbjetf parameteye geresnm dymayız. Ayrıca bzm metodmz ço-boytl mesh versne olayca genşletleblr. Bnnla beraber yüzey genşlemesnn daha fazla detay ve analzlerle ayrıntılandırılması gereldr. Bazı yapılaca çalışmalar vardır: worldwde llanımı çn web temell gelştrme, hesaplama mtarını ndrgeme, y çözümler çn yaınsama oranını azaltma ve ontrol parametrelernn (terasyon sayısı, lonlama sayısı) otomat tanımlanması. Metodmz eğer gererse paralel hesaplama çn ayarlayara hesaplama zamanından da azanablrz. Bz, bgünlerde blanı mantığı llanara nterval-valed ontrol notalarını otomat olara tanımlamaya çalışıyorz. Dğer yalaşımlarla metodmzn ıyaslanması öneml br ler çalışma onsdr. Ters mühendsl yglamaları çn ler araştırma se aşırı derecede büyü ver ümelern şleme çn ortaya çıar. Teor olara b B-splne lar çn problem değldr ama NURBS çn problemdr. Parametrzasyonda genelde matrslerle hesaplama yapıldığından ve NURBS ydrma algortmaları matrs çarpımı, toplamı ve tersn geretrdğ çn, büyü br blgsayar belleğn geretrr ve eğer ölçülen nota sayısı ve ontrol notası sayısı arttırılırsa strarsızlı olşablr. Gelecete b çalışma, ontrol notası-ağırlı gb dğer olası yada daha fazla NURBS parametresn optmze etme çn genşletleblr. Çalışma NURBS eğrlern yerne NURBS yüzeylere de yglanablr. Aynı zamanda b çalışma, CAD/CAM modelleme yazılımının ters mühendsl bleşenne atılablr. Referanslar. Yoshmoto, F., Moryama, M., Harada, T., Atomatc not placement by a genetc algorthm for data fttng wth a splne, Proc. of the Internatonal Conference on Shape Modelng and Applcatons, IEEE Compter Socety Press, pp , (999). 2. Sarfraz, M. and Ryazddn, M. (2006), Crve Fttng wth NURBS sng Smlated Annealng, Appled Soft Comptng Technologes: The Challenge of Complexty, Seres: Advances n Soft Comptng, A. Abraham, B. De Baets, M. Köppen and B. Ncolay (Eds.), ISBN , XXXIII, Sprnger Verlag. 3. Larent-Gengox, P., Mehlef, M., Optmzaton of a NURBS representaton, Compter Aded Desgn, Vol. 25, pp , De Castro, L. N., Von Zben, F. J.: Immne and neral networ models: theoretcal and emprcal comparsons. Internatonal Jornal of Comptatonal Intellgence and Applcatons Vol. No. 3 (200) Sarfraz, M., Raza, S.A., Captrng Otlne of Fonts sng Genetc Algorthm and Splnes, The Proc. of IEEE Int. Conf. On Informaton Vsalzaton-IV 200-UK, IEEE Compter Socety Press, USA, pp , Üler, E., İşler, V., An Artfcal Immne System Approach for B-splne Srface Approxmaton Problem, Y. Sh et al. (Eds): ICCS 2007, Part II, Lectre Notes n Compter Scence, Vol. 4488, pp , Pegl, L., Tller, W., The NURBS Boo, Sprnger-Verlag, Berln, Hang, D., Yan, H., NURBS Crve Controlled Modellng for Facal Anmaton, Compters & Graphcs, Vol. (27), pp , Sayfa 9

20 Doç.Dr.Eran ÜLKER, Selç Ünverstes Mühendsl F, Blgsayar Mühendslğ Bölümü 9. Prahasto, T., Bed, S., Optmzaton of Knots for the Mlt Crve B-splne Approxmaton, IEEE conference on geometrc modelng and processng, Hong Kong, Chna, Sarar, B., Menq, C.H., Smooth Srface Approxmaton and Reverse Engneerng, Compter Aded Desgn, Vol. 23, pp , 99.. Sarar, B., Menq, C.H., Parameter Optmzaton n Approxmatng Crves and Srfaces to Measrment Data, Compter Aded Geometrc Desgn, Vol. 8, pp , Lmaem, A., Nassef, A., Elmaghraby, H.A., Data Fttng sng Dal Krggng and Genetc Algorthms, CIRP Annals, Vol. 45, pp , Sarfraz, M., Raza, S.A., Vsalzaton of Data sng Genetc Algorthm, Soft Comptng and Indstry: Recent Applcatons, Eds.: R. Roy, M. Koppen, S. Ovasa, T. Frhash, and F. Hoffman, ISBN: , Sprnger, pp , Sarfraz, M., Compter-Aded Reverse Engneerng sng Smlated Evolton on NURBS, Internatonal Jornal of Vrtal & Physcal Prototypng, Taylor & Francs, Vol. (4), pp , Shalaby, M.M., Nassef, A.O., Metwall, S.M., On the Classfcaton of Fttng Problems for Sngle Patch Free-Form Srfaces n Reverse Engneerng, Proc. of the ASME Desgn Atomaton Conference, Pttsbrgh, Pegl, L., On NURBS: a srvey, IEEE Compter Graphcs and Applcatons, Vol., pp. 55-7, Rao, S.S., Engneerng Optmzaton, Theory and Practce, John-Wley and Sons, New Yor, Ya, H.T., Chen, J.S., Reverse Engneerng of Complex Geometry Usng Ratonal B- splnes, Int. Jornal of Advanced Manfactrng Technology, Vol. 3, pp , Yossef, A.M., Reverse Engneerng of Geometrc Srfaces sng Tab Search Optmzaton Technqe, Master Thess, Caro Unversty, Egypt, Raza, S.A., Vsalzaton wth splne sng a genetc algorthm, Master Thess, Kng Fahd Unversty of Petrolem & Mnerals, Dhahran, Sad Araba, Pttré, M., Captrng desgn data wth dgtzng systems, Mechancal Engneerng, Vol. 6(4), pp , Wohlers, T., The technology behnd 3D dgtzng, Compter Graphcs World, Vol. 20(3), pp , V. Wess, L. Andor, G. Renner, T. Varady, Advanced srface fttng technqes, Compter Aded Geometrc Desgn Vol 9, p. 9-42, Pntambear, N.V., Jabloow, A.G., Sommer, H. J., Unfed revew of 3D model generaton for reverse engneerng, Compter Integrated Manfactrng Systems, Vol. 7(4), pp , Farn, G., From concs to NURBS, IEEE Compter Graphcs and Applcatons, Vol. 2, pp , Ma, W., and Krth, J.P., NURBS crve and srface fttng for reverse engneerng, Int J Adv Manf Technol, Vol 4, pp , Hosche, J., Schocder, F.J., Approxmate converson and data compresson of ntegral and ratonal B-splne srfaces, n P.J. Larent, A. Le Méhaté and L.L. Schmaer (ed.), Crves and Srfaces n Geometrc Desgn, A.K. Peters Ltd, Wellesley, MA, pp , Gengos, P.L., Mehlef, M., Optmzaton of a NURBS representaton, Compter- Aded Desgn, Vol 25(), pp , Mencl, R., Müller, H., Interpolaton and Approxmaton of Srfaces from Three Dmensonal Scattered data ponts, Informat, Vol. VII, pp. Xxxx, Sayfa 20