Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur"

Transkript

1 Model Teoriye Giriş Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur 16 Nisan 2012 Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü

2 Bu notlar, Bruno Poizat nın Mimar Sinan G.S. Üniversitesi ni ziyareti sırasında verdiği model teori dersinde tutulmuş ders notlarıdır. Daha kapsamlı bilgiye Poizat nın [6, 7] kitabından ve Ben Yaacov ile Poizat nın [1] makalesinden ulaşılabilir.

3 İçindekiler Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Varlıksal Kapalı Cisimler Varlıksal Kapalı Yapılar Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Ders 2, Pazartesi, 12 Mart Cisimlerde giderme Olumlu mantık Seçim Belitinin örneği İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Ders 3, Çarşamba, 14 Mart Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Ders 4, Pazartesi, 19 Mart Ders 5, Çarşamba, 21 Mart Yerel homomorfizimler Ders 6, Pazartesi, 26 Mart Ders 7, Çarşamba, 28 Mart Ders 8, Pazartesi, 2 Nisan Yoldaş teoriler Yerel homomorfizimler Ders 9, Çarşamba, 4 Nisan Ders 10, Pazartesi, 9 Nisan Tam teoriler

4 İçindekiler Ders 11, Çarşamba, 11 Nisan Tip uzayları Tip uzaylarının topolojisi Dile kapalı kümeler ekleme Kaynakça 49 4

5 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Bu kısımda, G bir grup olsun, kullandığımız dil 1 de grup dili, yani {, 1,1} olsun. (G,, 1,1) yapısında yazabileceğimiz eşitlikler ve eşitsizlikler, a i G ve m i Z olmak üzere, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n m n = 1, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n mn 1 şeklinde olacaktır. İlk olarak, katsayıları G den gelen, eşitliklerden ve eşitsizliklerden oluşan sonlu sistemlerin çözümleri ile ilgileneceğiz. Örneğin, D 8 grubunda, herhangi bir a D 8 için, x 1, x 2 = 1, ax = xa sisteminin çözümü vardır. Öte yandan, S 3 grubunda x 1, x 2 = 1, ( ) x = x ( ) sisteminin bir çözümü yoktur. Ancak, S 3 ü altgrup olarak içeren daha büyük gruplarda (örneğins 5 te) sözü edilen sistemin bir çözümü vardır. Tanım. Katsayıları G den gelen ve bir üstgrupta çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, G de de çözümü varsa, G ye varlıksal kapalı grup denir. 1 Veya imza. 5

6 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 Yukarıdaki örnekte S 3 ün varlıksal kapalı olmadığını gördük. Aslında hiçbir sonlu grup varlıksal kapalı değildir. Bunu kanıtlamak için, sonlu grubumuzun G = {a 1,...,a n } olduğunu varsayalım. Şimdi x a 1,...,x a n sisteminin G Z 2 de çözümü olduğuna dikkat edin. G varlıksal kapalı grubunun bazı özelliklerini aşağıda sıralayalım. 1. Yukarıda da farkettiğimiz gibi, G sonsuzdur. 2. Her n 1 için, G de mertebesi n olan bir eleman vardır. (Kanıt için, x 1,..., x n 1 1, x n = 1 sistemini ve G Z n grubunu kullanın.) 3. Her a G için ve her n 1 için, C G (a) altgrubunda mertebesi n olan bir eleman vardır. (Okuyucuya bırakılmıştır.) 4. G bölünebilirdir, yani her a G için ve her pozitif tam sayı n için x n = a eşitliğini sağlayan bir x G vardır. (Bunun kanıtı biraz zor ama yapılabilir.) 5. Mertebeleri eşit olan her a, b G için, x 1 ax = b eşitliğini sağlayan bir x G vardır. Son özelliği kanıtlayabilmek için, aşağıdaki HNN-genişlemesi olarak bilinen teorem gerekmektedir. Teoremin kanıtı, [4] gibi bazı grup teori kitaplarında bulunabilir. Teorem. G bir grup, ve K, L iki altgrup olsun. Eğer f: K L bir izomorfizma ise, o zaman G nin öyle bir H üstgrubu ve H nin bir a elemanı bulunabilir ki, her k K için, f(k) = a 1 ka sağlanır. Teorem. Her grup, varlıksal kapalı bir gruba gömülebilir. Kanıt. İlk olarak, sonlu ya da sayılabilir sonsuz bir G grubunu alalım ve G yi gömebileceğimiz bir varlıksal grubu adım adım inşa edelim. Bu durumda, G den gelen katsayılarla sayılabilir sonsuzlukta farklı sistem yazabiliriz, bu sistemleri S i, i N şeklinde numaralandıralım. (Bu notlarda N = {0,1,2,...}.) Öncelikle G 0 = G adlandırmasını yapalım. Eğer S 0 ın bir üstgrupta çözümü varsa, bu üstgruplardan birini seçelim ve adına G 1 diyelim. Eğer S 0 ın çözümü yoksa, o zaman G 1 olarak G 0 ı seçelim. Şimdi S 1 sistemini kullanarak, benzer şekilde, G 2 grubunu tanımlayalım. Bu biçimde devam ederek, G = G 0 G 1 G n 6

7 0.1 Varlıksal Kapalı Gruplar zincirini oluşturabiliriz. Katsayıları G den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin, Γ 1 := n 0 G n grubunda çözümü olduğu açıktır. Eğer G grubu sayılamaz sonsuzluktaysa, o zaman sonluaşırı (transfinite) tümevarım kullanarak, benzer bir Γ 1 grubu oluşturabiliriz. Şimdi G yerine Γ 1 grubunu kullanarak, aynı inşayı gerçekleştirelim ve Γ 2 grubunu oluşturalım. Yani, katsayıları Γ 1 den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin Γ 2 de çözümü vardır. Bu şeklide Γ 1 Γ 2 Γ n zincirini kuralım veγ := n 1 Γ n diyelim. Bu durumda, katsayılarıγ dan gelen her sonlu sistem için, bu sistemin katsayılarını içeren bir Γ n bulunur. O zaman da bu sistemin çözümü Γ n+1 dedir. Bu da Γ nın varlıksal kapalı olduğunu kanıtlar. G nin Γ nın altgrubu olduğu açıktır. Kanıtımız bitmiştir. Tipler Bu altkısımda, G varlıksal kapalı bir grup ve ā = (a 1,...,a n ), b = (b 1,...,b n ) G n olsun. Tanım. ā G n elemanının tipi, ā nın sağladığı parametre içermeyen tüm eşitliklerin ve eşitsizliklerin kümesi olarak tanımlanır, ve tp(ā) ile gösterilir. Aşağıdaki cümleler birbirine denktir. 1. tp(ā) = tp( b). 2. ā ve b aynı sistemleri sağlarlar. 3. a i b i göndermesi, ā grubundan b grubuna 2 giden bir izomorfizmaya genişletilebilir. 4. G grubunun, a i elemanını b i ye gönderen bir iç otomorfizması vardır. 2 Yani a 1,...,a n grubundan b 1,...,b n grubuna. 7

8 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kısımda, K bir cisim olsun, kullandığımız dil 3 de cisim dili, yani {+,,,0,1} olsun. Eşitlikler ve eşitsizlikler, i j N ve a (i1,...,i m) K olmak üzere, n k=0i 1+ +i m=k n şeklinde olacaktır. k=0i 1+ +i m=k a (i1,...,i m) x 1 i1 x m i m = 0, a (i1,...,i m) x 1 i1 x m im 0 Tanım. Katsayıları K den gelen ve bir üstcisimde çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, K de de çözümü varsa, K ye varlıksal kapalı cisim denir. Teorem. Her cisim, varlıksal kapalı bir cisme gömülebilir. Kanıt. 0.1 numaralı teorem gibidir. Teorem. Varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Kanıt. Varlıksal kapalı cisimlerin cebirsel kapalı olduğu barizdir. Tersi için, ilk olarak, bir sistemde, her f(x 1,...,x n ) 0 eşitsizliğinin yerine f(x 1,...,x n ) y = 1 şeklindeki bir eşitlik konulabilir. Ayrıca giderme 4 kullanılabilir. Her cebirsel kapalı cisimde S( x,ȳ) bir sistem olan her ȳ S( x,ȳ) formülü, şeklinde bir formüle denktir. 3 Veya imza. 4 İngilizcesi elimination. S 1 ( x) S 2 ( x) S m ( x) 8

9 0.2 Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kanıtta kullandığımız giderme ya Nullstellensatz, ya Chevalley in Teoremi, ya niceleyicilerin giderilmesi, ya Tarski nin Teoremi, ya da (Babil, Çin vs. matematiğinde bulunan) bilinmeyenlerin giderilmesi olarak bilinir. Örneğin, cebirsel kapalı bir cisimde formülü y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 = 0 tikel-evetlemesine denktir, ve formülü x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 = 0 y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 0 x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 0 tikel-evetlemesine denktir (çünkü sıfır olmayan her polinomun sonlu sayıda kökleri vardır ve her cebirsel kapalı cisim sonsuzdur). Ayrıca p = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y +a 0, q = b 3 y 3 +b 2 y 2 +b 1 y +b 0 olsun. (Buradaki katsayıların kendileri polinom olabilir.) O zaman p = 0 q = 0 sistemi, derecesi daha küçük olan p = 0 a 3 q b 3 p = 0, a 3 = 0 p = 0 q = 0 sistemlerin tikel-evetlemesine denktir... Öyleyse varlıksal ve cebirsel kapalı cisimler aynıdır. K, cebirsel kapalı bir cisim, ve ā = (a 1,...,a n ) K n olsun. O zaman tp(ā), yani ā nın tipi, ā nın sağladığı, katsayıları tamsayı olan tüm eşitlikler ve eşitsizliklerin kümesidir. p asal bir sayıysa ve K cisminin karakteristiği p ise tp(ā) = 0 } {{ } p 9

10 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 eşitliğini içerir; K cisminin karakteristiği p değilse tp(ā) } {{ } p eşitsizliğini içerir. O zaman aşağıdaki koşullar birbirine denktir. tp(ā) = tp( b). a i b i göndermesi, K cisminin ā üreteçli altcisminden b üreteçli altcismine bir izomorfizimdir. K cisminin f(a i ) = b i eşitliğini sağlayan bir f otomorfizmi vardır. Z[ x] polinom halkasındaki her p için olur. p(ā) = 0 p( b) = 0 Son koşul sonsuzdur; onun yerine aynı şekli olan sonlu bir koşul konulamaz. Varlıksal kapalı cisimlerde gruplardaki x n x 1 a i x = b i i=1 koşulunun benzeri yoktur. 0.3 Varlıksal Kapalı Yapılar Bir yapı, bağıntılar, işlemler, ve değişmezlerle donatılan bir kümedir. Yapının imzasında, bu bağıntılar, işlemler, ve değişmezler için simgeler vardır. S 1 ve S 2, imzaları aynı olan yapılar olsun, ve f, S 1 kümesinden S 2 kümesine giden bir fonksiyon olsun. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından ϕ( x) formülünün sağlayan her ā için f(ā) imgesi de ϕ( x) formülünü sağlarsa ϕ bir homomorfizimdir. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) için tersi de doğruysa f bir gömmedir. Yani f bir gömmedir ancak ve ancak her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından her ā için ϕ(ā) ϕ(f(ā)). 10

11 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Herhangi bir yapı üzerinde bir sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen förmüllerin ve bölünemeyen förmüllerin değillenmelerinin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına varlıksal kapalı yapı denir. 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Şimdi sadece homomorfizimleri göz önünde tutacağız, ve sadece bölünemeyen förmülleri göz önünde tutacağız (değillenmeleri değil). Herhangi bir yapı üzerinde bir olumlu 5 sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen formüllerin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının bir homomorfizim altındaki imgesinin gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her olumlu sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına olumlu varlıksal kapalı yapı denir. Mesela S( x,ā), G grubundaki üzerinde olumlu bir sistem olsun. (Bu sistemin parametreleri, ā dır.) Eğer G olumlu varlıksal kapalıysa, ve f, G grubundan bir H grubuna giden bir homomorfizim ise, ve S( x,f(ā)) sisteminin H grubundaki bir çözümü varsa, o zaman S( x, ā) sisteminin G grubunda çözümü vardır. Özel olarak S( x, ā), değişkeni olmayan a = 1 eşitliği olabilir, ve f, x 1 aşikâr homomorfizim olabilir; o zaman a = 1 eşitliği G grubunda doğru olmalı. Öyleyse aşikâr grup, biricik olumlu varlıksal kapalı gruptur. (a = 1 eşitliğinin yerine ax = x veya x 1 ax = 1 eşitliğine bakabiliriz.) Cisimlerde homomorfizimler, gömmelerdir. Ayrıca Q(x 1,...,x n ) 0 y Q(x 1,...,x n ) y = 1. Dolayısıyla olumlu varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Değillemesiz mantıkta, varlıksal niceleyici ile değillenmesini gideririz. 5 Veya değillemesiz veya pozitif; İngilizcesi positive. 11

12 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Cisimlerde giderme Cisim dilinde her sistem biçiminde yazılabilir çünkü P 1 ( x) = 0 P s ( x) = 0 Q( x) 0 Q 1 ( x) 0 Q t ( x) 0 Q 1 Q t ( x) 0. (Burada P i ile Q j, katsayıları Z tamsayılar halkasından olan polinomdırlar.) Önsav (Giderme). S( x, y), cisim dilinde bir sistem olsun. O zaman öyle T i ( x,y) sistemleri vardır ki S( x,y) T 1 ( x,y) T s ( x,y) formülü, her cisimde doğrudur, ve her T i ( x,y) sistemi, ya S( x), ya da ya da biçimindedir. P( x,y) = 0 S( x), P( x,y) 0 S( x) Kanıt. Öklid algoritmasını kullanacağız. Mesela P 1 ( x,y) = a n ( x) y n + +a 0 ( x), P 2 ( x,y) = b m ( x) y m + +b 0 ( x) 12

13 Cisimlerde giderme olsun. m n varsayılabilir. Q 1 ( x,y) = a n 1 ( x) y n 1 + +a 0 ( x), Q 2 ( x,y) = b m ( x) P 1 ( x,y) a n ( x) x n m P 2 ( x,y) olsun. O zaman sistemi, P 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0 (b m ( x) = 0 Q 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) (b m ( x) 0 Q 2 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) sistemler tikel-evetlemesine denktir. Bu sistemlerde Q i polinomunun y değişkenine göre derecesi n den azdır. Şimdi bu derece sıfır olacak kadar devam edebiliriz. Bu giderme, herhangi değişkenle tekrarlanabilir. Sonunda her sistem, ϕ i,j ya eşitlik ya da eşitsizlik olan s (ϕ i,1 (x 1 ) ϕ i,2 (x 1,x 2 ) ϕ i,n (x 1,x 2,...,x n )) i=1 biçiminde bir tikel-evetlemeye denktir. Şimdi cebirsel kapalı cisimler, niceleyicilerin giderilmesine imkân verir, çünkü, gördüğümüz gibi, y a n y n + +a 0 = 0 a n 0 a 1 0 a 0 = 0, y a n y n + +a 0 0 a n 0 a 1 0 a 0 0 cümleleri, cebirsel kapalı cisimlerde doğrudur. Dediğimiz gibi, varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Nitekim K, varlıksal kapalı bir cisim olsun, ve P(x), sıfır olmayan ve katsayıların K cisminden geldiği x n +a n 1 x n 1 + +a 0 polinomu olsun. O zaman K[x] halkasının P polinomunu içeren maksimal m ideali var. K cismi, K[x]/m cismine gömülür, ve p(x) = 0 eşitliğinin 13

14 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 K[x]/m cismindeki çözümü vardır. Dolayısıyla K cisminde de bir çözüm vardır. Öyleyse K, cebirsel kapalıdır. Tam tersine K, cebirsel kapalı olsun, ā K n olsun, ve S( x,ȳ), cisim dilindeki bir sistem olsun. Eğer K L ise, ᾱ L m ise, ve L S(ā,ᾱ) ise, o zaman L ȳ S(ā,ȳ). Ama serbest 6 bir Φ( x) formülü için, ȳ S(ā,ȳ) Φ(ā). O zaman L Φ(ā), dolayısıyla K Φ(ā). Öyleyse K, varlıksal kapalıdır. Dediğimiz gibi bu teorem, Nullstellensatz, yani, sıfırlar teoremidir. Olumlu mantık Olumlu mantık, değillemesiz mantıktır; simgesi kullanılmaz. Bir homomorfizim, M 1 yapısından bir M 2 yapısına giden bir h fonksiyon öyle ki her bölünemeyen ϕ( x) formülü için, M 1 den gelen her ā için, M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)) olur. Burada ā = (a 1,...,a n ) ve h(ā) = (h(a 1 ),...,h(a n )). Bir homomorfizim, bire bir olmayabilir. Eğer M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise h, bir monomorfizim veya gömmedir. Mesala özdeşlik 7 fonksiyonu, (Z, ) parçalı sıralamasından (Z, ) sıralamasına giden bire bir homomorfizimdir, ama gömme değildir. Olumlu formülde ve simgeleri yoktur. Serbest olumlu bir formül, ϕ i,j formüllerinin bölünemeyen olduğu 6 Yani, niceleyicisiz. 7 İngilizcesi identity. t (ϕ i,1 ϕ i,s ) i=1 14

15 Olumlu mantık biçiminde yazılabilir. Bu formül, daha basit olarak (ϕ1 ϕ s ) biçiminde yazılabilir. Herhangi olumlu bir formül, ϕ formülünün serbest olumlu formül olduğu ȳ ϕ( x,ȳ) biçiminde yazılabilir. Herhangi formül, ϕ formülünün serbest olduğu x 1 x 2... x 2n 1 x 2n ϕ önekli 8 biçiminde yazılabilir. Öyleyse tümevarımla kanıtlar mümkündür. Olumlu mantıkta tümevarım gerekmez. Önsav. Eğer h, M 1 den M 2 ye giden bir homomorfizim ise, o zaman her olumlu ϕ( x) formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)). Kanıt. Eğer M 1 ϕ(ā) ise, ve ϕ( x), ȳ (ϕ 1 ( x,ȳ) ϕ n ( x,ȳ)) formülüne denk ise, o zaman M 1 den gelen bir ᾱ için M 1 ȳ (ϕ 1 (ā,ȳ) ϕ n (ā,ȳ)), M 1 (ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ)), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ),..., M 1 ϕ n (ā,ᾱ), M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)),..., M 1 ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), 8 Preneks, prenex. M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), M 2 (ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ))), M 2 ȳ (ϕ 1 (h(ā),ȳ) ϕ n (h(ā),ȳ)), M 2 ϕ(h(ā)). 15

16 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Tanım. M 1 den M 2 ye giden bir homorfizim ise, ve her olumlu ϕ formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise, h saf homomorfizimdir. 9 (Burada ϕ niceleyicisiz olmayabilir.) Tanımda h saf ise M 1, M 2 yapısının altyapısı olarak düşünülebilir. Tanım. C, bir (aynı imzasılı) yapılar ailesi olsun. Eğer M C ise ve M den C ailesinin bir elemanına giden her homomorfizim saf ise, M, C ailesinde varlıksal kapalıdır. Öyleyse M, C de varlıksal kapalı ancak ve ancak M C ve C nin her N elemanı için, eğer h: M N ise ve S, katsayılarının M den geldiği bölünemeyen formül sistemiyse, ve h(s) sisteminin N de bir çözümü varsa, o zaman S sisteminin M de bir çözümü vardır, yani β N ise ve N ϕ 1 (h(ā), β) ϕ n (h(ā), β) ise, o zaman M de öyle bir ᾱ vardır ki olur. M ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ) Olumlu varlıksal kapalı bir grup nedir? Her G grubundan {1} aşikâr grubuna bir h homomorfizim vardır. Eğer a,b G ise, o zaman x = h(a) x = h(b) sisteminin {1} de çözüm vardır, çünkü bu sistem, x = 1 x = 1 olur. Öyleyse G olumlu varlıksal kapalıysa, x = a x = b sistemininin G de çözümü vardır, yani a = b. Dolayısıyla sadece aşikâr grup olumlu varlıksal kapalıdır. Olumlu varlıksal kapalı bir cisim nedir? Her cisimde 0 1 ve P( x) 0 y y P( x) 1 = 0 cümleleri doğrudur. O zaman cismin dilinde her formül, ya olumlu formül ya da serbest formül olarak yazılabilir; ama olumlu formülde simgesi olabilir; ve serbest formülde, simgesi olabilir. O zaman cebirsel kapalı cisimler, olumlu varlıksal kapalı cisimlerdir. 9 İngilizcede pure homomorphism or immersion. 16

17 Seçim Belitinin örneği Seçim Belitinin örneği Herhangi bir dil için, bu dilin yapıların ailesinde olumlu varlıksal kapalı yapılar nedir? Eğer a (veya (a,...,a)), tüm bölünemeyen formüllerini sağlarsa, o zaman {a} tek olumlu varlıksal kapalı yapıdır. Bu durum ilginç değildir. ŞimdiA = {...,a i,...} olsun, vee(u,v),aüzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Dilimizde bir 1-konumlu R(x) bağıntısimgesi olacak, ve A nın her elemanı için, bir değişmez simgesi olacak. Bu dilde C ailesinin elemanları, aşağıdaki koşulları sağlayacak: i j ise a i a j. a i a j ve E(a i,a j ) ise R(a i ) R(a j ). C boş değildir; R bağıntısı boş olabilir. C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları nedir? Öyle bir yapıda: her eleman A dadır; her E sınıfının R bağlantısını sağlayan biricik elemanı vardır. Seçim Beliti doğru ise, C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, G n bir gruptur. Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, ve her ok, bir gömmeyse, tekrar öyle bir G grubu vardır ki her G n, G ye gömülür. Oklar sadece homomorfizim ise, ne olacak? I, doğrusal sıralanmış küme olsun. I nın her i elemanı için M i bir yapı olsun, ve I nın her i ve j elemanları için, M i den M j ye giden öyle bir h ji homomorfizim olsun ki h kj h ji = h ki 17

18 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 olsun. M i h ji h kj M j M k h ki h ji O zaman (M i : i I) veya (M i Mj : i < j), tutarlı homomorfizim sistemidir. 10 Bu sistemin M direkt limiti vardır. Yani, öyle h i homomorfizimler vardır ki h i : M i M, i < j ise h j h ji = h i, eğer h i : M i M ve h j h ji = h i, o zaman öyle bir h vardır ki h: M N ve h i = h h i. M i M j h i h i M h N h ji h j Bir yapılar ailesi, direkt limitler altında kapalıysa, o aile, indüktif bir sınıftır. Teorem. Her boş olmayan indüktif sınıfın olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. Her elemanın olumlu varlıksal kapalı elemana devamı veya uzatması 11 vardır. Kanıt. Yukarıdaki gibi, ama gömmelerin yerine homomorfizimler kullanılır. Bu teorem, gerçekten bir aksiyomdur, çünkü Seçim Belitini kullanır. h j 10 İngilizcesi consistent system of homomorphisms. 11 İngilizcesi continuation. 18

19 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Dillerimizde her zaman: 2-konumlu = bağıntı simgesi ve 0-konumlu bağıntı simgesi vardır. = simgesinin yorumu eşitliktir, ve simgesinin yorumu yanlıştır. simgesi, x x x cümlesinin yerine kullanılır. x x = x cümlesi, her zaman doğru olacak, yani yapılarımız her zaman boş olmayacak. Eğer ϕ( x) olumlu ve serbest ise, o zaman x ϕ( x), hom-evrensel cümledir. Yani, hom-evrensel bir cümle, ψ i formüllerinin bölünemeyen olduğu ȳ x (ψ 1 ( x,ȳ) ψ s ( x,ȳ)) biçiminde yazılabilir. Öyle bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme boştur. Önsav. h, M den N ye giden bir homomorfizim olsun. Eğer N bir homevrensel cümleyi sağlarsa, o zaman M de bu cümleyi sağlar: N ϕ(h(ā)) = M ϕ(ā). Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2 hom-evrensel ise, ϕ 1 ϕ 2 ile ϕ 1 ϕ 2 de hom-evrensel cümlelere denktir. Kanıt. ϕ 1, x ψ 1 ( x) olsun, ve ϕ 2, ȳ ψ 2 (ȳ) olsun. x ȳ = varsayılabilir. ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A B = A = B =.) 19

20 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A = B = A B =.) İlkel hom-indüktif bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme, ikinci olumlu tanımlı bir küme tarafından kapsanır. Yani, ilkel hom-indüktif bir cümle, ϕ ile ψ formüllerinin olumlu olduğu veya x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)) biçiminde yazılabilir. Burada ϕ, ū ϕ 1 ( x,ū) olsun, ve ψ, v ψ 1 ( x, v) olsun. O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x ( ū ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)), x ū (ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)). Öyleyse her ilkel hom-indüktif cümle, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)), x ȳ (α( x) β( x,ȳ)), x ȳ ( α( x) β( x,ȳ)) biçimlerinde yazılabilir. (Tabii ki α ile β olumlu serbesttir.) Hom-indüktif bir cümle, ilkel hom-indüktif cümlelerin sonlu sayıda tümel-evetlemesidir. Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2, ilkel hom-indüktif cümlelerse, o zaman ϕ 1 ϕ 2 homindüktiftir. Önsav. Her hom-evrensel cümle hom-indüktiftir. Kanıt. Hom-evrensel bir cümle, biçiminde yazılabilir. x (ϕ( x) ) 20

21 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Önsav. Hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. Kanıt. Chang ile Keisler in Model Theory [2] kitabında imasız bir alıştırmadır. Bunu çözebilirseniz, modeller kuramına yetersiniz! 21

22 Ders 4, Pazartesi, 19 Mart 2012 Aşağıdaki cümleler, hom-indüktif cümledirler: Hom-evrensel cümleler. x ȳ α( x, ȳ), x α( x), ȳ α(ȳ) (burada α serbest). Olumlu cümlelerin Boole bileşkeleri. Serbest cümleler (değillemeli olabilir). Dediğimiz gibi hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. {0, 1, +, } dilinde cisimlerin aksiyomları, hom-indüktiftir. {1, } dilinde grupların aksiyomları, hom-indüktiftir, mesela x y xy = yx = 1. {r} dilinde denklik bağıntısının aksiyomları, hom-indüktiftir. Sıralamaların aksiyomları, hom-indüktiftir. Teorem. Hom-indüktif bir teorinin modeli varsa, olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Her model, olumlu varlıksal kapalı modele uzatılabilir. 0.4 numaralı teorem gibi, bu teorem gerçekten bir aksiyomdur. Bir r(x,y,z) bağıntısı, bir f(x,y) fonksiyonunun grafiğidir, ancak ve ancak x y z r(x,y,z), x y z t (r(x,y,z) r(x,y,t) z = t). Bu cümleler, hom-indüktiftir, ama hom-evrensel değildir. Mesala gruplarda, z y = x 2 formülünün yerine u (z y = u x x = u) 22

23 formülü, yani u (r(z,y,u) r(x,x,u)) formülü, konulabilir. ϕ( x) ile ψ( x) olumluysa, cümlesi, hom-indüktiftir. Nitekim ϕ( x), ȳ α( x,ȳ) olsun, ve ψ( x), z β( x, z) olsun. x (ϕ( x) ψ( x)) O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)), x ( ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)) x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)). 23

24 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 Yerel homomorfizimler Olgu. h: M N bir homomorfizim olsun, ve ϕ, serbest olumlu bir formül olsun. Eğer x ϕ( x), N de doğru ise, M de de doğrudur. Burada h fonksiyonunun yerel homomorfizim olması yeter. Tanım. ā = (a 1,...,a n ) M ve h: {a 1,...,a n } N olsun. Eğer her serbest olumlu ϕ( x) için ise h yerel homomorfizimdir. Teorem. M ϕ(ā) = N ϕ(h(ā)) 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-evrensel cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Kanıt. 2. Dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, M den gelen her ā sadece sonlu sayıda bölünemeyen formülleri sağlar. Bu formüller, ϕ 1,..., ϕ m olsun. O zaman m M x ϕ i ( x) i=1 olur. Eğer N x m i=1 ϕ i( x) ise, N den gelen bir b için N m ϕ i ( b) i=1 olur. O halde ā b, bir yerel homomorfizimdir. 24

25 Yerel homomorfizimler [Aşağıdaki teorem için nasıl yerel izomorf yapılar tanımlanmalı?] Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel izomorftur ise, aynı hom-evrensel cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Örnek. İki sonsuz tam sıralama, aynı hom-evrensel cümleleri sağlar. Tanım. Eğer ā b, M den N ye giden bir yerel homomorfizim ise, ve N den gelen her c için, M den gelen öyle d varsa ki ( b, c) (ā, d), N den M ye giden bir homomorfizim ise, o zaman ā b, tersli yerel homomorfizimdir. Burada ā b yerel homomorfizminin birebir olması gerekir. Teorem. 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden tersli bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-indüktif cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel tersli izomorftur ise, aynı hom-indüktif cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Tam sıralamaların aksiyomları, x x < x, x y (x < y y < x x = y), x y z (x < y y < z x < z). olur. Yoğunluk ve uçsuzluk aksiyomları, x y z (x < y x < z z < y), x y z (y < x x < z) 25

26 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 olur. Örneğin (Q, <) sıralaması, yoğun ve uçsuzdur. Hom-indüktif bir cümle, sonsuz sıralamada doğru ise, her yoğun ve uçsuz sıralamalarda doğrudur, çünkü her yoğun uçsuz sıralamalarından her sonsuz sıralamaya giden tersli homomorfizimler vardır. Mesela hom-indüktif x y (y < x) cümlesinin değillenmesi (yani en küçük nokta vardır ), hom-indüktif bir cümleye denk değildir, çünkü (Q,<) sıralamasında yanlıştır. Bir tane daha kanıt: her {0,1,2,...}, { 1,0,1,2,...}, { 2, 1,0,1,2,...},... sıralamasının en küçük noktası vardır, ancak sıralamaların direkt limiti, Z dir, ve Z nin en küçük noktası yoktur. Hangi sıralamalar, N sıralamasının sağladığı hom-indüktif cümleleri sağlar? Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları vardır. 1. Adım. Dilden fonksiyonlar çıkarılabilir. Her f fonksiyonu için, yeni r f bağıntısı kullanılabilir. O zaman hom-indüktif x y z (r f ( x,y) r f ( x,z) y = z), x y r f ( x,y) aksiyomları kullanılır, ve y = f( x) formülünün yerine r f ( x,y) formülüne konulur: Fonksiyon dilinde hom-indüktif T Grafik dilinde hom-indüktif T 26

27 Yerel homomorfizimler 2. Adım. T a teorisinin elemanları, bölünemeyen cümleler olsun, ve T u teorisinin elemanları, hom-evrensel cümleler olsun. T a T u teorisinin her sonlu altkümesinin modeli olsun. Dilin c ve d sabitler için, T a teorisine göre c = d doğru ise, o zaman T a teorisinin sonlu altkümesine göre c = d doğrudur. (Mesela c = e ile d = e eşitlikeri, c = d eşitliğini gerektirir.) Bu durumda c ile d e denk diyelim. Sabitlerin her denklik sınıfı, bir elemanı, seçilmiş olsun. Bu sabitlerin kümesi, Γ olsun. Γ, T a T u teorisinin modeli olacak. Her r bağıntısı için, rc 1 c n cümlesi Γ da doğru olacak ancak ve ancak c i sabitine denk olan bir d i için rd 1 d n cümlesi, T a teorisindedir. Yani Γ rc 1 c n ancak ve ancak T a rc 1 c n. M, T a teorisinin modeliyse, Γ den M ye giden bir homomorfizim vardır. Bu durumda M, T u teorisinin de modeliyse, Γ de T u teorisinin modelidir. Öyleyse T a T u teorisinin modeli yok ancak ve ancak Γ, T u teorisinin modeli değildir. Serbest olumlu bir ϕ( x) formülü için hom-evrensel x ϕ( x) cümlesi T u teorisinin elemanı olsun. ϕ( x) formülü, r i ( x) formülünün bölünemediği (r i,1 ( x) r i,mi ( x)) i biçiminde yazılabilir. x ϕ( x), Γ de yanlış ise, bir (i, j) için ve bir c için Γ r i,j ( c). O halde T a teorisinin sonlu bir F altkümesine göre r i,j ( c) doğrudur. O zaman F { x ϕ( x)} tutarlı değildir. Bu bir çelişkidir. Burada Seçim Belitini kullanmadık. 3. Adım. Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. Yani ϕ T u ancak ve ancak (1) ϕ, hom-evrenseldir, ve (2) T sonlu bir F altkümesi için F ϕ. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Seçim Belitlerine önsav için değil, sadece olumlu varlıksal kapalı modellerinin var olması için ihtiyaç vardır. (Devam edilecek.) 27

28 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları: 1. Fonksiyon yoktur. 2. T = T a T u. 3. ϕ serbest olan T = T a T u {ϕ}. 4. T hom-indüktiftir. 5. Genel durum (cümleler değillemeli olabilir). (İlk üç adımı yaptık.) Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Kanıt. M,T u teorisinin olumlu varlıksal kapalı bir modeli olsun, veϕ T olsun. O zaman ϕ, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)) biçimindedir. (Burada α ile β serbesttirler.) Mümkünse ϕ, M de yanlış olsun. O zaman M in bir ā elemanı için M α(ā), ama M ȳ β(ā,ȳ). Öyleyse T u Diag + (M) {β(ā, c)} teorisi tutarsızdır. Burada Diag + (M), D M dilindeki, M de doğru bölünemeyen cümleler kümesidir, ve c, yeni sabit simgedirler. Adım 3 ye göre Diag + (M) in sonlu bir F altkümesi için T u F {β(ā, c)} tutarsızdır. 28

29 χ(ā, b), F nin elemanlarının tümel-evetlemesi olsun. O zaman T u {χ(ā, b),β(ā, c)} tutarsız, T u {χ(ā, b),ϕ,α(ā)} tutarsız, T u {ϕ} (χ(ā, b) α(ā)), T u {ϕ} x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)), x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u, M x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u. Bu bir çelişki, cünkü M (χ(ā, b) α(ā)). Gözlem. T nin her sonlu altkümesi tutarlıysa, T u teorisi de tutarlıdır, ve olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Bu, Seçim Belitini kullanır. 5. Adım: değillemeli mantık. Burada,,, ve simgeleri kullanıyoruz. simgesinin yerine ifadesi kullanıyoruz. D dilinin her ϕ( x) formülü için yeni bölünemeyen r ϕ x formülünü kullanıyoruz. Öyleyse yenid 1 dilini oluşturuyoruz. Ondan sonra x (ϕ( x) r ϕ x), x (ϕ( x) r ϕ x) aksiyomlarını kullanıyoruz. Bu cümleler, hom-indüktif bir Θ 1 teorisini oluşturuyor. Öyleyse r ϕ x, ϕ( x) formülünün değillemesi olacak. Devam ediyoruz. D 1 dilinden D 2 dilini oluşturuyoruz, ve bu dilde Θ 2 teorisini oluşturuluyor, vesaire. ϕ( x) formülünde x boş ise (yani ϕ( x) bir cümleyse) r ϕ önerme sabiti olur. Son olarak D M = n D n, Θ M = n Θ n olsun. (Burada M, Morey i simgeliyor.) D M dilinin her ϕ( x) cümlesi için Θ M teorisine göre denk olan pozitif ϕ + ( x) formülü vardır. (Aşağıya bakın.) 29

30 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Her D yapısı için Θ M teorisinin modeli olan bir D M yapısı vardır, ve bu yapıların arasında hiç fark yoktur. (Yani aynı D cümlelerini sağlar.) Ama onlarda homomorfizimler farklı olabilir. D M yapılarının homomorfizimleri, basit gömmelerdir. Her iki dilde, grup bir gruptur, ama formüller farklıdır: xy 1 z = 1, u (uy = 1 xuz = 1). Önsav. D M dilinde her ϕ( x) formülü, Θ M teorisinin her modeline göre pozitif bir ϕ + ( x) formülüne denktir. Kanıt. ϕ( x) bölünemezse ϕ + ( x) = ϕ( x). Ondan sonra (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, ( ȳ ϕ) + = ȳ (ϕ + ), (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, Şimdi T bir teoriyse T M = Θ M {ϕ + : ϕ T}. ( ϕ( x)) + = r ϕ x. O zaman T M hom-indüktiftir, ve T ile T M teorilerinin aynı modeli vardır. Ayrıca T nin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin modeli vardır = T nin modeli vardır. simgesini kullanmak istersek, her ȳ ϕ( x,ȳ) formülü için, yeni bölünemeyen bir s ϕ x formülünü kullanabiliriz, ve x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x) aksiyomunu ilan edebiliriz. Bu aksiyom, iki x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleleri olarak yazılabilir, ve bunların yerine x ȳ ( ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleri kullanılabilir. x (s ϕ x ȳ ϕ( x,ȳ)) x ȳ (s ϕ x ϕ( x,ȳ)) 30

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

SOYUT CEBİR SORULAR. tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös-

SOYUT CEBİR SORULAR. tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös- SOYUT CEBİR SORULAR 1. S = { a b Q (a, b) = 1 ve 6 b} kümesini ele alalım. Rasyonel sayılar halkasıüzerinde tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığını 2. K = { a Q (a, b) =

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu. Kümeler kuramı David Pierce 6 Mayıs 2013, saat 16:14 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu eser Creative Commons Attribution

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu 067787 Nebil Tamcoşar 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

7 Mayıs 2006 Pazar,

7 Mayıs 2006 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı