Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur"

Transkript

1 Model Teoriye Giriş Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur 16 Nisan 2012 Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü

2 Bu notlar, Bruno Poizat nın Mimar Sinan G.S. Üniversitesi ni ziyareti sırasında verdiği model teori dersinde tutulmuş ders notlarıdır. Daha kapsamlı bilgiye Poizat nın [6, 7] kitabından ve Ben Yaacov ile Poizat nın [1] makalesinden ulaşılabilir.

3 İçindekiler Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Varlıksal Kapalı Cisimler Varlıksal Kapalı Yapılar Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Ders 2, Pazartesi, 12 Mart Cisimlerde giderme Olumlu mantık Seçim Belitinin örneği İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Ders 3, Çarşamba, 14 Mart Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Ders 4, Pazartesi, 19 Mart Ders 5, Çarşamba, 21 Mart Yerel homomorfizimler Ders 6, Pazartesi, 26 Mart Ders 7, Çarşamba, 28 Mart Ders 8, Pazartesi, 2 Nisan Yoldaş teoriler Yerel homomorfizimler Ders 9, Çarşamba, 4 Nisan Ders 10, Pazartesi, 9 Nisan Tam teoriler

4 İçindekiler Ders 11, Çarşamba, 11 Nisan Tip uzayları Tip uzaylarının topolojisi Dile kapalı kümeler ekleme Kaynakça 49 4

5 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Bu kısımda, G bir grup olsun, kullandığımız dil 1 de grup dili, yani {, 1,1} olsun. (G,, 1,1) yapısında yazabileceğimiz eşitlikler ve eşitsizlikler, a i G ve m i Z olmak üzere, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n m n = 1, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n mn 1 şeklinde olacaktır. İlk olarak, katsayıları G den gelen, eşitliklerden ve eşitsizliklerden oluşan sonlu sistemlerin çözümleri ile ilgileneceğiz. Örneğin, D 8 grubunda, herhangi bir a D 8 için, x 1, x 2 = 1, ax = xa sisteminin çözümü vardır. Öte yandan, S 3 grubunda x 1, x 2 = 1, ( ) x = x ( ) sisteminin bir çözümü yoktur. Ancak, S 3 ü altgrup olarak içeren daha büyük gruplarda (örneğins 5 te) sözü edilen sistemin bir çözümü vardır. Tanım. Katsayıları G den gelen ve bir üstgrupta çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, G de de çözümü varsa, G ye varlıksal kapalı grup denir. 1 Veya imza. 5

6 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 Yukarıdaki örnekte S 3 ün varlıksal kapalı olmadığını gördük. Aslında hiçbir sonlu grup varlıksal kapalı değildir. Bunu kanıtlamak için, sonlu grubumuzun G = {a 1,...,a n } olduğunu varsayalım. Şimdi x a 1,...,x a n sisteminin G Z 2 de çözümü olduğuna dikkat edin. G varlıksal kapalı grubunun bazı özelliklerini aşağıda sıralayalım. 1. Yukarıda da farkettiğimiz gibi, G sonsuzdur. 2. Her n 1 için, G de mertebesi n olan bir eleman vardır. (Kanıt için, x 1,..., x n 1 1, x n = 1 sistemini ve G Z n grubunu kullanın.) 3. Her a G için ve her n 1 için, C G (a) altgrubunda mertebesi n olan bir eleman vardır. (Okuyucuya bırakılmıştır.) 4. G bölünebilirdir, yani her a G için ve her pozitif tam sayı n için x n = a eşitliğini sağlayan bir x G vardır. (Bunun kanıtı biraz zor ama yapılabilir.) 5. Mertebeleri eşit olan her a, b G için, x 1 ax = b eşitliğini sağlayan bir x G vardır. Son özelliği kanıtlayabilmek için, aşağıdaki HNN-genişlemesi olarak bilinen teorem gerekmektedir. Teoremin kanıtı, [4] gibi bazı grup teori kitaplarında bulunabilir. Teorem. G bir grup, ve K, L iki altgrup olsun. Eğer f: K L bir izomorfizma ise, o zaman G nin öyle bir H üstgrubu ve H nin bir a elemanı bulunabilir ki, her k K için, f(k) = a 1 ka sağlanır. Teorem. Her grup, varlıksal kapalı bir gruba gömülebilir. Kanıt. İlk olarak, sonlu ya da sayılabilir sonsuz bir G grubunu alalım ve G yi gömebileceğimiz bir varlıksal grubu adım adım inşa edelim. Bu durumda, G den gelen katsayılarla sayılabilir sonsuzlukta farklı sistem yazabiliriz, bu sistemleri S i, i N şeklinde numaralandıralım. (Bu notlarda N = {0,1,2,...}.) Öncelikle G 0 = G adlandırmasını yapalım. Eğer S 0 ın bir üstgrupta çözümü varsa, bu üstgruplardan birini seçelim ve adına G 1 diyelim. Eğer S 0 ın çözümü yoksa, o zaman G 1 olarak G 0 ı seçelim. Şimdi S 1 sistemini kullanarak, benzer şekilde, G 2 grubunu tanımlayalım. Bu biçimde devam ederek, G = G 0 G 1 G n 6

7 0.1 Varlıksal Kapalı Gruplar zincirini oluşturabiliriz. Katsayıları G den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin, Γ 1 := n 0 G n grubunda çözümü olduğu açıktır. Eğer G grubu sayılamaz sonsuzluktaysa, o zaman sonluaşırı (transfinite) tümevarım kullanarak, benzer bir Γ 1 grubu oluşturabiliriz. Şimdi G yerine Γ 1 grubunu kullanarak, aynı inşayı gerçekleştirelim ve Γ 2 grubunu oluşturalım. Yani, katsayıları Γ 1 den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin Γ 2 de çözümü vardır. Bu şeklide Γ 1 Γ 2 Γ n zincirini kuralım veγ := n 1 Γ n diyelim. Bu durumda, katsayılarıγ dan gelen her sonlu sistem için, bu sistemin katsayılarını içeren bir Γ n bulunur. O zaman da bu sistemin çözümü Γ n+1 dedir. Bu da Γ nın varlıksal kapalı olduğunu kanıtlar. G nin Γ nın altgrubu olduğu açıktır. Kanıtımız bitmiştir. Tipler Bu altkısımda, G varlıksal kapalı bir grup ve ā = (a 1,...,a n ), b = (b 1,...,b n ) G n olsun. Tanım. ā G n elemanının tipi, ā nın sağladığı parametre içermeyen tüm eşitliklerin ve eşitsizliklerin kümesi olarak tanımlanır, ve tp(ā) ile gösterilir. Aşağıdaki cümleler birbirine denktir. 1. tp(ā) = tp( b). 2. ā ve b aynı sistemleri sağlarlar. 3. a i b i göndermesi, ā grubundan b grubuna 2 giden bir izomorfizmaya genişletilebilir. 4. G grubunun, a i elemanını b i ye gönderen bir iç otomorfizması vardır. 2 Yani a 1,...,a n grubundan b 1,...,b n grubuna. 7

8 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kısımda, K bir cisim olsun, kullandığımız dil 3 de cisim dili, yani {+,,,0,1} olsun. Eşitlikler ve eşitsizlikler, i j N ve a (i1,...,i m) K olmak üzere, n k=0i 1+ +i m=k n şeklinde olacaktır. k=0i 1+ +i m=k a (i1,...,i m) x 1 i1 x m i m = 0, a (i1,...,i m) x 1 i1 x m im 0 Tanım. Katsayıları K den gelen ve bir üstcisimde çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, K de de çözümü varsa, K ye varlıksal kapalı cisim denir. Teorem. Her cisim, varlıksal kapalı bir cisme gömülebilir. Kanıt. 0.1 numaralı teorem gibidir. Teorem. Varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Kanıt. Varlıksal kapalı cisimlerin cebirsel kapalı olduğu barizdir. Tersi için, ilk olarak, bir sistemde, her f(x 1,...,x n ) 0 eşitsizliğinin yerine f(x 1,...,x n ) y = 1 şeklindeki bir eşitlik konulabilir. Ayrıca giderme 4 kullanılabilir. Her cebirsel kapalı cisimde S( x,ȳ) bir sistem olan her ȳ S( x,ȳ) formülü, şeklinde bir formüle denktir. 3 Veya imza. 4 İngilizcesi elimination. S 1 ( x) S 2 ( x) S m ( x) 8

9 0.2 Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kanıtta kullandığımız giderme ya Nullstellensatz, ya Chevalley in Teoremi, ya niceleyicilerin giderilmesi, ya Tarski nin Teoremi, ya da (Babil, Çin vs. matematiğinde bulunan) bilinmeyenlerin giderilmesi olarak bilinir. Örneğin, cebirsel kapalı bir cisimde formülü y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 = 0 tikel-evetlemesine denktir, ve formülü x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 = 0 y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 0 x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 0 tikel-evetlemesine denktir (çünkü sıfır olmayan her polinomun sonlu sayıda kökleri vardır ve her cebirsel kapalı cisim sonsuzdur). Ayrıca p = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y +a 0, q = b 3 y 3 +b 2 y 2 +b 1 y +b 0 olsun. (Buradaki katsayıların kendileri polinom olabilir.) O zaman p = 0 q = 0 sistemi, derecesi daha küçük olan p = 0 a 3 q b 3 p = 0, a 3 = 0 p = 0 q = 0 sistemlerin tikel-evetlemesine denktir... Öyleyse varlıksal ve cebirsel kapalı cisimler aynıdır. K, cebirsel kapalı bir cisim, ve ā = (a 1,...,a n ) K n olsun. O zaman tp(ā), yani ā nın tipi, ā nın sağladığı, katsayıları tamsayı olan tüm eşitlikler ve eşitsizliklerin kümesidir. p asal bir sayıysa ve K cisminin karakteristiği p ise tp(ā) = 0 } {{ } p 9

10 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 eşitliğini içerir; K cisminin karakteristiği p değilse tp(ā) } {{ } p eşitsizliğini içerir. O zaman aşağıdaki koşullar birbirine denktir. tp(ā) = tp( b). a i b i göndermesi, K cisminin ā üreteçli altcisminden b üreteçli altcismine bir izomorfizimdir. K cisminin f(a i ) = b i eşitliğini sağlayan bir f otomorfizmi vardır. Z[ x] polinom halkasındaki her p için olur. p(ā) = 0 p( b) = 0 Son koşul sonsuzdur; onun yerine aynı şekli olan sonlu bir koşul konulamaz. Varlıksal kapalı cisimlerde gruplardaki x n x 1 a i x = b i i=1 koşulunun benzeri yoktur. 0.3 Varlıksal Kapalı Yapılar Bir yapı, bağıntılar, işlemler, ve değişmezlerle donatılan bir kümedir. Yapının imzasında, bu bağıntılar, işlemler, ve değişmezler için simgeler vardır. S 1 ve S 2, imzaları aynı olan yapılar olsun, ve f, S 1 kümesinden S 2 kümesine giden bir fonksiyon olsun. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından ϕ( x) formülünün sağlayan her ā için f(ā) imgesi de ϕ( x) formülünü sağlarsa ϕ bir homomorfizimdir. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) için tersi de doğruysa f bir gömmedir. Yani f bir gömmedir ancak ve ancak her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından her ā için ϕ(ā) ϕ(f(ā)). 10

11 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Herhangi bir yapı üzerinde bir sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen förmüllerin ve bölünemeyen förmüllerin değillenmelerinin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına varlıksal kapalı yapı denir. 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Şimdi sadece homomorfizimleri göz önünde tutacağız, ve sadece bölünemeyen förmülleri göz önünde tutacağız (değillenmeleri değil). Herhangi bir yapı üzerinde bir olumlu 5 sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen formüllerin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının bir homomorfizim altındaki imgesinin gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her olumlu sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına olumlu varlıksal kapalı yapı denir. Mesela S( x,ā), G grubundaki üzerinde olumlu bir sistem olsun. (Bu sistemin parametreleri, ā dır.) Eğer G olumlu varlıksal kapalıysa, ve f, G grubundan bir H grubuna giden bir homomorfizim ise, ve S( x,f(ā)) sisteminin H grubundaki bir çözümü varsa, o zaman S( x, ā) sisteminin G grubunda çözümü vardır. Özel olarak S( x, ā), değişkeni olmayan a = 1 eşitliği olabilir, ve f, x 1 aşikâr homomorfizim olabilir; o zaman a = 1 eşitliği G grubunda doğru olmalı. Öyleyse aşikâr grup, biricik olumlu varlıksal kapalı gruptur. (a = 1 eşitliğinin yerine ax = x veya x 1 ax = 1 eşitliğine bakabiliriz.) Cisimlerde homomorfizimler, gömmelerdir. Ayrıca Q(x 1,...,x n ) 0 y Q(x 1,...,x n ) y = 1. Dolayısıyla olumlu varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Değillemesiz mantıkta, varlıksal niceleyici ile değillenmesini gideririz. 5 Veya değillemesiz veya pozitif; İngilizcesi positive. 11

12 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Cisimlerde giderme Cisim dilinde her sistem biçiminde yazılabilir çünkü P 1 ( x) = 0 P s ( x) = 0 Q( x) 0 Q 1 ( x) 0 Q t ( x) 0 Q 1 Q t ( x) 0. (Burada P i ile Q j, katsayıları Z tamsayılar halkasından olan polinomdırlar.) Önsav (Giderme). S( x, y), cisim dilinde bir sistem olsun. O zaman öyle T i ( x,y) sistemleri vardır ki S( x,y) T 1 ( x,y) T s ( x,y) formülü, her cisimde doğrudur, ve her T i ( x,y) sistemi, ya S( x), ya da ya da biçimindedir. P( x,y) = 0 S( x), P( x,y) 0 S( x) Kanıt. Öklid algoritmasını kullanacağız. Mesela P 1 ( x,y) = a n ( x) y n + +a 0 ( x), P 2 ( x,y) = b m ( x) y m + +b 0 ( x) 12

13 Cisimlerde giderme olsun. m n varsayılabilir. Q 1 ( x,y) = a n 1 ( x) y n 1 + +a 0 ( x), Q 2 ( x,y) = b m ( x) P 1 ( x,y) a n ( x) x n m P 2 ( x,y) olsun. O zaman sistemi, P 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0 (b m ( x) = 0 Q 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) (b m ( x) 0 Q 2 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) sistemler tikel-evetlemesine denktir. Bu sistemlerde Q i polinomunun y değişkenine göre derecesi n den azdır. Şimdi bu derece sıfır olacak kadar devam edebiliriz. Bu giderme, herhangi değişkenle tekrarlanabilir. Sonunda her sistem, ϕ i,j ya eşitlik ya da eşitsizlik olan s (ϕ i,1 (x 1 ) ϕ i,2 (x 1,x 2 ) ϕ i,n (x 1,x 2,...,x n )) i=1 biçiminde bir tikel-evetlemeye denktir. Şimdi cebirsel kapalı cisimler, niceleyicilerin giderilmesine imkân verir, çünkü, gördüğümüz gibi, y a n y n + +a 0 = 0 a n 0 a 1 0 a 0 = 0, y a n y n + +a 0 0 a n 0 a 1 0 a 0 0 cümleleri, cebirsel kapalı cisimlerde doğrudur. Dediğimiz gibi, varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Nitekim K, varlıksal kapalı bir cisim olsun, ve P(x), sıfır olmayan ve katsayıların K cisminden geldiği x n +a n 1 x n 1 + +a 0 polinomu olsun. O zaman K[x] halkasının P polinomunu içeren maksimal m ideali var. K cismi, K[x]/m cismine gömülür, ve p(x) = 0 eşitliğinin 13

14 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 K[x]/m cismindeki çözümü vardır. Dolayısıyla K cisminde de bir çözüm vardır. Öyleyse K, cebirsel kapalıdır. Tam tersine K, cebirsel kapalı olsun, ā K n olsun, ve S( x,ȳ), cisim dilindeki bir sistem olsun. Eğer K L ise, ᾱ L m ise, ve L S(ā,ᾱ) ise, o zaman L ȳ S(ā,ȳ). Ama serbest 6 bir Φ( x) formülü için, ȳ S(ā,ȳ) Φ(ā). O zaman L Φ(ā), dolayısıyla K Φ(ā). Öyleyse K, varlıksal kapalıdır. Dediğimiz gibi bu teorem, Nullstellensatz, yani, sıfırlar teoremidir. Olumlu mantık Olumlu mantık, değillemesiz mantıktır; simgesi kullanılmaz. Bir homomorfizim, M 1 yapısından bir M 2 yapısına giden bir h fonksiyon öyle ki her bölünemeyen ϕ( x) formülü için, M 1 den gelen her ā için, M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)) olur. Burada ā = (a 1,...,a n ) ve h(ā) = (h(a 1 ),...,h(a n )). Bir homomorfizim, bire bir olmayabilir. Eğer M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise h, bir monomorfizim veya gömmedir. Mesala özdeşlik 7 fonksiyonu, (Z, ) parçalı sıralamasından (Z, ) sıralamasına giden bire bir homomorfizimdir, ama gömme değildir. Olumlu formülde ve simgeleri yoktur. Serbest olumlu bir formül, ϕ i,j formüllerinin bölünemeyen olduğu 6 Yani, niceleyicisiz. 7 İngilizcesi identity. t (ϕ i,1 ϕ i,s ) i=1 14

15 Olumlu mantık biçiminde yazılabilir. Bu formül, daha basit olarak (ϕ1 ϕ s ) biçiminde yazılabilir. Herhangi olumlu bir formül, ϕ formülünün serbest olumlu formül olduğu ȳ ϕ( x,ȳ) biçiminde yazılabilir. Herhangi formül, ϕ formülünün serbest olduğu x 1 x 2... x 2n 1 x 2n ϕ önekli 8 biçiminde yazılabilir. Öyleyse tümevarımla kanıtlar mümkündür. Olumlu mantıkta tümevarım gerekmez. Önsav. Eğer h, M 1 den M 2 ye giden bir homomorfizim ise, o zaman her olumlu ϕ( x) formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)). Kanıt. Eğer M 1 ϕ(ā) ise, ve ϕ( x), ȳ (ϕ 1 ( x,ȳ) ϕ n ( x,ȳ)) formülüne denk ise, o zaman M 1 den gelen bir ᾱ için M 1 ȳ (ϕ 1 (ā,ȳ) ϕ n (ā,ȳ)), M 1 (ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ)), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ),..., M 1 ϕ n (ā,ᾱ), M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)),..., M 1 ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), 8 Preneks, prenex. M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), M 2 (ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ))), M 2 ȳ (ϕ 1 (h(ā),ȳ) ϕ n (h(ā),ȳ)), M 2 ϕ(h(ā)). 15

16 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Tanım. M 1 den M 2 ye giden bir homorfizim ise, ve her olumlu ϕ formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise, h saf homomorfizimdir. 9 (Burada ϕ niceleyicisiz olmayabilir.) Tanımda h saf ise M 1, M 2 yapısının altyapısı olarak düşünülebilir. Tanım. C, bir (aynı imzasılı) yapılar ailesi olsun. Eğer M C ise ve M den C ailesinin bir elemanına giden her homomorfizim saf ise, M, C ailesinde varlıksal kapalıdır. Öyleyse M, C de varlıksal kapalı ancak ve ancak M C ve C nin her N elemanı için, eğer h: M N ise ve S, katsayılarının M den geldiği bölünemeyen formül sistemiyse, ve h(s) sisteminin N de bir çözümü varsa, o zaman S sisteminin M de bir çözümü vardır, yani β N ise ve N ϕ 1 (h(ā), β) ϕ n (h(ā), β) ise, o zaman M de öyle bir ᾱ vardır ki olur. M ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ) Olumlu varlıksal kapalı bir grup nedir? Her G grubundan {1} aşikâr grubuna bir h homomorfizim vardır. Eğer a,b G ise, o zaman x = h(a) x = h(b) sisteminin {1} de çözüm vardır, çünkü bu sistem, x = 1 x = 1 olur. Öyleyse G olumlu varlıksal kapalıysa, x = a x = b sistemininin G de çözümü vardır, yani a = b. Dolayısıyla sadece aşikâr grup olumlu varlıksal kapalıdır. Olumlu varlıksal kapalı bir cisim nedir? Her cisimde 0 1 ve P( x) 0 y y P( x) 1 = 0 cümleleri doğrudur. O zaman cismin dilinde her formül, ya olumlu formül ya da serbest formül olarak yazılabilir; ama olumlu formülde simgesi olabilir; ve serbest formülde, simgesi olabilir. O zaman cebirsel kapalı cisimler, olumlu varlıksal kapalı cisimlerdir. 9 İngilizcede pure homomorphism or immersion. 16

17 Seçim Belitinin örneği Seçim Belitinin örneği Herhangi bir dil için, bu dilin yapıların ailesinde olumlu varlıksal kapalı yapılar nedir? Eğer a (veya (a,...,a)), tüm bölünemeyen formüllerini sağlarsa, o zaman {a} tek olumlu varlıksal kapalı yapıdır. Bu durum ilginç değildir. ŞimdiA = {...,a i,...} olsun, vee(u,v),aüzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Dilimizde bir 1-konumlu R(x) bağıntısimgesi olacak, ve A nın her elemanı için, bir değişmez simgesi olacak. Bu dilde C ailesinin elemanları, aşağıdaki koşulları sağlayacak: i j ise a i a j. a i a j ve E(a i,a j ) ise R(a i ) R(a j ). C boş değildir; R bağıntısı boş olabilir. C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları nedir? Öyle bir yapıda: her eleman A dadır; her E sınıfının R bağlantısını sağlayan biricik elemanı vardır. Seçim Beliti doğru ise, C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, G n bir gruptur. Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, ve her ok, bir gömmeyse, tekrar öyle bir G grubu vardır ki her G n, G ye gömülür. Oklar sadece homomorfizim ise, ne olacak? I, doğrusal sıralanmış küme olsun. I nın her i elemanı için M i bir yapı olsun, ve I nın her i ve j elemanları için, M i den M j ye giden öyle bir h ji homomorfizim olsun ki h kj h ji = h ki 17

18 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 olsun. M i h ji h kj M j M k h ki h ji O zaman (M i : i I) veya (M i Mj : i < j), tutarlı homomorfizim sistemidir. 10 Bu sistemin M direkt limiti vardır. Yani, öyle h i homomorfizimler vardır ki h i : M i M, i < j ise h j h ji = h i, eğer h i : M i M ve h j h ji = h i, o zaman öyle bir h vardır ki h: M N ve h i = h h i. M i M j h i h i M h N h ji h j Bir yapılar ailesi, direkt limitler altında kapalıysa, o aile, indüktif bir sınıftır. Teorem. Her boş olmayan indüktif sınıfın olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. Her elemanın olumlu varlıksal kapalı elemana devamı veya uzatması 11 vardır. Kanıt. Yukarıdaki gibi, ama gömmelerin yerine homomorfizimler kullanılır. Bu teorem, gerçekten bir aksiyomdur, çünkü Seçim Belitini kullanır. h j 10 İngilizcesi consistent system of homomorphisms. 11 İngilizcesi continuation. 18

19 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Dillerimizde her zaman: 2-konumlu = bağıntı simgesi ve 0-konumlu bağıntı simgesi vardır. = simgesinin yorumu eşitliktir, ve simgesinin yorumu yanlıştır. simgesi, x x x cümlesinin yerine kullanılır. x x = x cümlesi, her zaman doğru olacak, yani yapılarımız her zaman boş olmayacak. Eğer ϕ( x) olumlu ve serbest ise, o zaman x ϕ( x), hom-evrensel cümledir. Yani, hom-evrensel bir cümle, ψ i formüllerinin bölünemeyen olduğu ȳ x (ψ 1 ( x,ȳ) ψ s ( x,ȳ)) biçiminde yazılabilir. Öyle bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme boştur. Önsav. h, M den N ye giden bir homomorfizim olsun. Eğer N bir homevrensel cümleyi sağlarsa, o zaman M de bu cümleyi sağlar: N ϕ(h(ā)) = M ϕ(ā). Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2 hom-evrensel ise, ϕ 1 ϕ 2 ile ϕ 1 ϕ 2 de hom-evrensel cümlelere denktir. Kanıt. ϕ 1, x ψ 1 ( x) olsun, ve ϕ 2, ȳ ψ 2 (ȳ) olsun. x ȳ = varsayılabilir. ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A B = A = B =.) 19

20 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A = B = A B =.) İlkel hom-indüktif bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme, ikinci olumlu tanımlı bir küme tarafından kapsanır. Yani, ilkel hom-indüktif bir cümle, ϕ ile ψ formüllerinin olumlu olduğu veya x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)) biçiminde yazılabilir. Burada ϕ, ū ϕ 1 ( x,ū) olsun, ve ψ, v ψ 1 ( x, v) olsun. O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x ( ū ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)), x ū (ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)). Öyleyse her ilkel hom-indüktif cümle, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)), x ȳ (α( x) β( x,ȳ)), x ȳ ( α( x) β( x,ȳ)) biçimlerinde yazılabilir. (Tabii ki α ile β olumlu serbesttir.) Hom-indüktif bir cümle, ilkel hom-indüktif cümlelerin sonlu sayıda tümel-evetlemesidir. Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2, ilkel hom-indüktif cümlelerse, o zaman ϕ 1 ϕ 2 homindüktiftir. Önsav. Her hom-evrensel cümle hom-indüktiftir. Kanıt. Hom-evrensel bir cümle, biçiminde yazılabilir. x (ϕ( x) ) 20

21 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Önsav. Hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. Kanıt. Chang ile Keisler in Model Theory [2] kitabında imasız bir alıştırmadır. Bunu çözebilirseniz, modeller kuramına yetersiniz! 21

22 Ders 4, Pazartesi, 19 Mart 2012 Aşağıdaki cümleler, hom-indüktif cümledirler: Hom-evrensel cümleler. x ȳ α( x, ȳ), x α( x), ȳ α(ȳ) (burada α serbest). Olumlu cümlelerin Boole bileşkeleri. Serbest cümleler (değillemeli olabilir). Dediğimiz gibi hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. {0, 1, +, } dilinde cisimlerin aksiyomları, hom-indüktiftir. {1, } dilinde grupların aksiyomları, hom-indüktiftir, mesela x y xy = yx = 1. {r} dilinde denklik bağıntısının aksiyomları, hom-indüktiftir. Sıralamaların aksiyomları, hom-indüktiftir. Teorem. Hom-indüktif bir teorinin modeli varsa, olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Her model, olumlu varlıksal kapalı modele uzatılabilir. 0.4 numaralı teorem gibi, bu teorem gerçekten bir aksiyomdur. Bir r(x,y,z) bağıntısı, bir f(x,y) fonksiyonunun grafiğidir, ancak ve ancak x y z r(x,y,z), x y z t (r(x,y,z) r(x,y,t) z = t). Bu cümleler, hom-indüktiftir, ama hom-evrensel değildir. Mesala gruplarda, z y = x 2 formülünün yerine u (z y = u x x = u) 22

23 formülü, yani u (r(z,y,u) r(x,x,u)) formülü, konulabilir. ϕ( x) ile ψ( x) olumluysa, cümlesi, hom-indüktiftir. Nitekim ϕ( x), ȳ α( x,ȳ) olsun, ve ψ( x), z β( x, z) olsun. x (ϕ( x) ψ( x)) O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)), x ( ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)) x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)). 23

24 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 Yerel homomorfizimler Olgu. h: M N bir homomorfizim olsun, ve ϕ, serbest olumlu bir formül olsun. Eğer x ϕ( x), N de doğru ise, M de de doğrudur. Burada h fonksiyonunun yerel homomorfizim olması yeter. Tanım. ā = (a 1,...,a n ) M ve h: {a 1,...,a n } N olsun. Eğer her serbest olumlu ϕ( x) için ise h yerel homomorfizimdir. Teorem. M ϕ(ā) = N ϕ(h(ā)) 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-evrensel cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Kanıt. 2. Dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, M den gelen her ā sadece sonlu sayıda bölünemeyen formülleri sağlar. Bu formüller, ϕ 1,..., ϕ m olsun. O zaman m M x ϕ i ( x) i=1 olur. Eğer N x m i=1 ϕ i( x) ise, N den gelen bir b için N m ϕ i ( b) i=1 olur. O halde ā b, bir yerel homomorfizimdir. 24

25 Yerel homomorfizimler [Aşağıdaki teorem için nasıl yerel izomorf yapılar tanımlanmalı?] Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel izomorftur ise, aynı hom-evrensel cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Örnek. İki sonsuz tam sıralama, aynı hom-evrensel cümleleri sağlar. Tanım. Eğer ā b, M den N ye giden bir yerel homomorfizim ise, ve N den gelen her c için, M den gelen öyle d varsa ki ( b, c) (ā, d), N den M ye giden bir homomorfizim ise, o zaman ā b, tersli yerel homomorfizimdir. Burada ā b yerel homomorfizminin birebir olması gerekir. Teorem. 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden tersli bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-indüktif cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel tersli izomorftur ise, aynı hom-indüktif cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Tam sıralamaların aksiyomları, x x < x, x y (x < y y < x x = y), x y z (x < y y < z x < z). olur. Yoğunluk ve uçsuzluk aksiyomları, x y z (x < y x < z z < y), x y z (y < x x < z) 25

26 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 olur. Örneğin (Q, <) sıralaması, yoğun ve uçsuzdur. Hom-indüktif bir cümle, sonsuz sıralamada doğru ise, her yoğun ve uçsuz sıralamalarda doğrudur, çünkü her yoğun uçsuz sıralamalarından her sonsuz sıralamaya giden tersli homomorfizimler vardır. Mesela hom-indüktif x y (y < x) cümlesinin değillenmesi (yani en küçük nokta vardır ), hom-indüktif bir cümleye denk değildir, çünkü (Q,<) sıralamasında yanlıştır. Bir tane daha kanıt: her {0,1,2,...}, { 1,0,1,2,...}, { 2, 1,0,1,2,...},... sıralamasının en küçük noktası vardır, ancak sıralamaların direkt limiti, Z dir, ve Z nin en küçük noktası yoktur. Hangi sıralamalar, N sıralamasının sağladığı hom-indüktif cümleleri sağlar? Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları vardır. 1. Adım. Dilden fonksiyonlar çıkarılabilir. Her f fonksiyonu için, yeni r f bağıntısı kullanılabilir. O zaman hom-indüktif x y z (r f ( x,y) r f ( x,z) y = z), x y r f ( x,y) aksiyomları kullanılır, ve y = f( x) formülünün yerine r f ( x,y) formülüne konulur: Fonksiyon dilinde hom-indüktif T Grafik dilinde hom-indüktif T 26

27 Yerel homomorfizimler 2. Adım. T a teorisinin elemanları, bölünemeyen cümleler olsun, ve T u teorisinin elemanları, hom-evrensel cümleler olsun. T a T u teorisinin her sonlu altkümesinin modeli olsun. Dilin c ve d sabitler için, T a teorisine göre c = d doğru ise, o zaman T a teorisinin sonlu altkümesine göre c = d doğrudur. (Mesela c = e ile d = e eşitlikeri, c = d eşitliğini gerektirir.) Bu durumda c ile d e denk diyelim. Sabitlerin her denklik sınıfı, bir elemanı, seçilmiş olsun. Bu sabitlerin kümesi, Γ olsun. Γ, T a T u teorisinin modeli olacak. Her r bağıntısı için, rc 1 c n cümlesi Γ da doğru olacak ancak ve ancak c i sabitine denk olan bir d i için rd 1 d n cümlesi, T a teorisindedir. Yani Γ rc 1 c n ancak ve ancak T a rc 1 c n. M, T a teorisinin modeliyse, Γ den M ye giden bir homomorfizim vardır. Bu durumda M, T u teorisinin de modeliyse, Γ de T u teorisinin modelidir. Öyleyse T a T u teorisinin modeli yok ancak ve ancak Γ, T u teorisinin modeli değildir. Serbest olumlu bir ϕ( x) formülü için hom-evrensel x ϕ( x) cümlesi T u teorisinin elemanı olsun. ϕ( x) formülü, r i ( x) formülünün bölünemediği (r i,1 ( x) r i,mi ( x)) i biçiminde yazılabilir. x ϕ( x), Γ de yanlış ise, bir (i, j) için ve bir c için Γ r i,j ( c). O halde T a teorisinin sonlu bir F altkümesine göre r i,j ( c) doğrudur. O zaman F { x ϕ( x)} tutarlı değildir. Bu bir çelişkidir. Burada Seçim Belitini kullanmadık. 3. Adım. Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. Yani ϕ T u ancak ve ancak (1) ϕ, hom-evrenseldir, ve (2) T sonlu bir F altkümesi için F ϕ. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Seçim Belitlerine önsav için değil, sadece olumlu varlıksal kapalı modellerinin var olması için ihtiyaç vardır. (Devam edilecek.) 27

28 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları: 1. Fonksiyon yoktur. 2. T = T a T u. 3. ϕ serbest olan T = T a T u {ϕ}. 4. T hom-indüktiftir. 5. Genel durum (cümleler değillemeli olabilir). (İlk üç adımı yaptık.) Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Kanıt. M,T u teorisinin olumlu varlıksal kapalı bir modeli olsun, veϕ T olsun. O zaman ϕ, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)) biçimindedir. (Burada α ile β serbesttirler.) Mümkünse ϕ, M de yanlış olsun. O zaman M in bir ā elemanı için M α(ā), ama M ȳ β(ā,ȳ). Öyleyse T u Diag + (M) {β(ā, c)} teorisi tutarsızdır. Burada Diag + (M), D M dilindeki, M de doğru bölünemeyen cümleler kümesidir, ve c, yeni sabit simgedirler. Adım 3 ye göre Diag + (M) in sonlu bir F altkümesi için T u F {β(ā, c)} tutarsızdır. 28

29 χ(ā, b), F nin elemanlarının tümel-evetlemesi olsun. O zaman T u {χ(ā, b),β(ā, c)} tutarsız, T u {χ(ā, b),ϕ,α(ā)} tutarsız, T u {ϕ} (χ(ā, b) α(ā)), T u {ϕ} x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)), x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u, M x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u. Bu bir çelişki, cünkü M (χ(ā, b) α(ā)). Gözlem. T nin her sonlu altkümesi tutarlıysa, T u teorisi de tutarlıdır, ve olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Bu, Seçim Belitini kullanır. 5. Adım: değillemeli mantık. Burada,,, ve simgeleri kullanıyoruz. simgesinin yerine ifadesi kullanıyoruz. D dilinin her ϕ( x) formülü için yeni bölünemeyen r ϕ x formülünü kullanıyoruz. Öyleyse yenid 1 dilini oluşturuyoruz. Ondan sonra x (ϕ( x) r ϕ x), x (ϕ( x) r ϕ x) aksiyomlarını kullanıyoruz. Bu cümleler, hom-indüktif bir Θ 1 teorisini oluşturuyor. Öyleyse r ϕ x, ϕ( x) formülünün değillemesi olacak. Devam ediyoruz. D 1 dilinden D 2 dilini oluşturuyoruz, ve bu dilde Θ 2 teorisini oluşturuluyor, vesaire. ϕ( x) formülünde x boş ise (yani ϕ( x) bir cümleyse) r ϕ önerme sabiti olur. Son olarak D M = n D n, Θ M = n Θ n olsun. (Burada M, Morey i simgeliyor.) D M dilinin her ϕ( x) cümlesi için Θ M teorisine göre denk olan pozitif ϕ + ( x) formülü vardır. (Aşağıya bakın.) 29

30 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Her D yapısı için Θ M teorisinin modeli olan bir D M yapısı vardır, ve bu yapıların arasında hiç fark yoktur. (Yani aynı D cümlelerini sağlar.) Ama onlarda homomorfizimler farklı olabilir. D M yapılarının homomorfizimleri, basit gömmelerdir. Her iki dilde, grup bir gruptur, ama formüller farklıdır: xy 1 z = 1, u (uy = 1 xuz = 1). Önsav. D M dilinde her ϕ( x) formülü, Θ M teorisinin her modeline göre pozitif bir ϕ + ( x) formülüne denktir. Kanıt. ϕ( x) bölünemezse ϕ + ( x) = ϕ( x). Ondan sonra (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, ( ȳ ϕ) + = ȳ (ϕ + ), (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, Şimdi T bir teoriyse T M = Θ M {ϕ + : ϕ T}. ( ϕ( x)) + = r ϕ x. O zaman T M hom-indüktiftir, ve T ile T M teorilerinin aynı modeli vardır. Ayrıca T nin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin modeli vardır = T nin modeli vardır. simgesini kullanmak istersek, her ȳ ϕ( x,ȳ) formülü için, yeni bölünemeyen bir s ϕ x formülünü kullanabiliriz, ve x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x) aksiyomunu ilan edebiliriz. Bu aksiyom, iki x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleleri olarak yazılabilir, ve bunların yerine x ȳ ( ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleri kullanılabilir. x (s ϕ x ȳ ϕ( x,ȳ)) x ȳ (s ϕ x ϕ( x,ȳ)) 30

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu. Kümeler kuramı David Pierce 6 Mayıs 2013, saat 16:14 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu eser Creative Commons Attribution

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.

Kümeler kuramı. David Pierce. Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu. Kümeler kuramı David Pierce 13 Mart 2013, saat 8:35 Matematik Bölümü Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi İstanbul dpierce@msgsu.edu.tr http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu ȩser Creative Commons Attribution

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

1956 da bla bla... Ali Nesin

1956 da bla bla... Ali Nesin 1956 da bla bla... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz II İçindekiler Önsöz................................... 1 I Süreklilik ve Limit 3 1 Süreklilik 5 1.1 Tanım ve Tanımın Tartışması...................

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

MATEMATİK I Ders Notları

MATEMATİK I Ders Notları MATEMATİK I Ders Notları Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi Bilgisayar ve Öğretim Teknolojileri Eğitimi Bölümü, ANKARA 2009 2010 1. ÖNBİLGİLER 1 İÇİNDEKİLER 1.1. ÖNERMELER MANTIĞI... 2 1.2. KÜMELER...

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar

HESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Eksikler: Composition factors Inverse limit and Hom

Eksikler: Composition factors Inverse limit and Hom Ali Nesin Okura Not: Henüz bitmemiş ve gözden geçirilmemiş kitap notlarıdır. İçinde yanlışlar, eksiklikler, dikkatsizlikler, yanlış ifadeler, kötü anlatımlar olabilir. anesin@nesinvakfi.org adresine yollanan

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Bulanık Mantık Denetleyicileri

Bulanık Mantık Denetleyicileri Bulanık Mantık Denetleyicileri Bulanık Çıkarım BULANIK ÇIKARIM İki-değerli mantık Çok-değerli mantık Bulanık mantık Bulanık kurallar Bulanık çıkarım Bulanık anlamlandırma Bulanık Çıkarım İki-değerli mantık

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER Sistem Nedir? Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir. Başlıca Fiziksel Sistemler: Mekanik Sistemler Hidrolik Sistemler Termik

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri BAÜ FBE Dergisi Cilt:12, Sayı:1, 91-99 Temmuz 2010 Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri Atilla AKPINAR * Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Görükle,

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 01 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 10, 5,1 0,5 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7. a 1 8 b 7 18 olduğuna göre a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 5 E) 6 10, 5,1 105 1 41 1 5 0,

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Chapter 3 Boole Fonksiyon Sadeleştirmesi

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır.

FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır. FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır. İster oku, ister dinle, ister izle. Dilediğince öğren... NELER ÖĞRENECEĞİZ? 1. Fonksiyon kavramı 2. Fonksiyonların

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

Bölüm 2 Matematik Dili

Bölüm 2 Matematik Dili Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7}

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir.

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir. Tarihte bilindiği kadarıyla düzlem geometrisinin ilk kez sistemli bir biçimde incelenişi, Öklid in Elementler kitabının (M.Ö. 300) birinci cildinde yapıldı. Öklid bu kitapta düzlem geometrisini beş belit

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6 10,25 3,1 1. 0,5 0,2 işleminin sonuu kaçtır? ) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 3. a 12 8 b 27 18 olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? ) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. 2 3 6 4.6 2 3 3 2.3 işleminin sonuu kaçtır?

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir.

Bütün kümelerin kümesi, X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in Alt kümeleri kümesi de X'in alt kümesidir. Matematik Paradoksları: Doğru Parçası Paradoksu: Önce doğru parçasının tarifini yapalım: Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin

Detaylı

4- ALGORİTMA (ALGORITHM)

4- ALGORİTMA (ALGORITHM) (ALGORITHM) Algoritma: Bir Problemin çözümünün, günlük konuşma diliyle adım adım yazılmasıdır. Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki Türkistan'lı alimden kaynaklanır. Bu

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı