Model Teoriye Giriş. Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur

Transkript

1 Model Teoriye Giriş Bruno Poizat tarafından verilen derslerden oluşturulmuştur 16 Nisan 2012 Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü

2 Bu notlar, Bruno Poizat nın Mimar Sinan G.S. Üniversitesi ni ziyareti sırasında verdiği model teori dersinde tutulmuş ders notlarıdır. Daha kapsamlı bilgiye Poizat nın [6, 7] kitabından ve Ben Yaacov ile Poizat nın [1] makalesinden ulaşılabilir.

3 İçindekiler Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Varlıksal Kapalı Cisimler Varlıksal Kapalı Yapılar Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Ders 2, Pazartesi, 12 Mart Cisimlerde giderme Olumlu mantık Seçim Belitinin örneği İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Ders 3, Çarşamba, 14 Mart Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Ders 4, Pazartesi, 19 Mart Ders 5, Çarşamba, 21 Mart Yerel homomorfizimler Ders 6, Pazartesi, 26 Mart Ders 7, Çarşamba, 28 Mart Ders 8, Pazartesi, 2 Nisan Yoldaş teoriler Yerel homomorfizimler Ders 9, Çarşamba, 4 Nisan Ders 10, Pazartesi, 9 Nisan Tam teoriler

4 İçindekiler Ders 11, Çarşamba, 11 Nisan Tip uzayları Tip uzaylarının topolojisi Dile kapalı kümeler ekleme Kaynakça 49 4

5 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Gruplar Bu kısımda, G bir grup olsun, kullandığımız dil 1 de grup dili, yani {, 1,1} olsun. (G,, 1,1) yapısında yazabileceğimiz eşitlikler ve eşitsizlikler, a i G ve m i Z olmak üzere, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n m n = 1, a 1 x 1 m1 a 2 x 2 m2 a n x n mn 1 şeklinde olacaktır. İlk olarak, katsayıları G den gelen, eşitliklerden ve eşitsizliklerden oluşan sonlu sistemlerin çözümleri ile ilgileneceğiz. Örneğin, D 8 grubunda, herhangi bir a D 8 için, x 1, x 2 = 1, ax = xa sisteminin çözümü vardır. Öte yandan, S 3 grubunda x 1, x 2 = 1, ( ) x = x ( ) sisteminin bir çözümü yoktur. Ancak, S 3 ü altgrup olarak içeren daha büyük gruplarda (örneğins 5 te) sözü edilen sistemin bir çözümü vardır. Tanım. Katsayıları G den gelen ve bir üstgrupta çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, G de de çözümü varsa, G ye varlıksal kapalı grup denir. 1 Veya imza. 5

6 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 Yukarıdaki örnekte S 3 ün varlıksal kapalı olmadığını gördük. Aslında hiçbir sonlu grup varlıksal kapalı değildir. Bunu kanıtlamak için, sonlu grubumuzun G = {a 1,...,a n } olduğunu varsayalım. Şimdi x a 1,...,x a n sisteminin G Z 2 de çözümü olduğuna dikkat edin. G varlıksal kapalı grubunun bazı özelliklerini aşağıda sıralayalım. 1. Yukarıda da farkettiğimiz gibi, G sonsuzdur. 2. Her n 1 için, G de mertebesi n olan bir eleman vardır. (Kanıt için, x 1,..., x n 1 1, x n = 1 sistemini ve G Z n grubunu kullanın.) 3. Her a G için ve her n 1 için, C G (a) altgrubunda mertebesi n olan bir eleman vardır. (Okuyucuya bırakılmıştır.) 4. G bölünebilirdir, yani her a G için ve her pozitif tam sayı n için x n = a eşitliğini sağlayan bir x G vardır. (Bunun kanıtı biraz zor ama yapılabilir.) 5. Mertebeleri eşit olan her a, b G için, x 1 ax = b eşitliğini sağlayan bir x G vardır. Son özelliği kanıtlayabilmek için, aşağıdaki HNN-genişlemesi olarak bilinen teorem gerekmektedir. Teoremin kanıtı, [4] gibi bazı grup teori kitaplarında bulunabilir. Teorem. G bir grup, ve K, L iki altgrup olsun. Eğer f: K L bir izomorfizma ise, o zaman G nin öyle bir H üstgrubu ve H nin bir a elemanı bulunabilir ki, her k K için, f(k) = a 1 ka sağlanır. Teorem. Her grup, varlıksal kapalı bir gruba gömülebilir. Kanıt. İlk olarak, sonlu ya da sayılabilir sonsuz bir G grubunu alalım ve G yi gömebileceğimiz bir varlıksal grubu adım adım inşa edelim. Bu durumda, G den gelen katsayılarla sayılabilir sonsuzlukta farklı sistem yazabiliriz, bu sistemleri S i, i N şeklinde numaralandıralım. (Bu notlarda N = {0,1,2,...}.) Öncelikle G 0 = G adlandırmasını yapalım. Eğer S 0 ın bir üstgrupta çözümü varsa, bu üstgruplardan birini seçelim ve adına G 1 diyelim. Eğer S 0 ın çözümü yoksa, o zaman G 1 olarak G 0 ı seçelim. Şimdi S 1 sistemini kullanarak, benzer şekilde, G 2 grubunu tanımlayalım. Bu biçimde devam ederek, G = G 0 G 1 G n 6

7 0.1 Varlıksal Kapalı Gruplar zincirini oluşturabiliriz. Katsayıları G den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin, Γ 1 := n 0 G n grubunda çözümü olduğu açıktır. Eğer G grubu sayılamaz sonsuzluktaysa, o zaman sonluaşırı (transfinite) tümevarım kullanarak, benzer bir Γ 1 grubu oluşturabiliriz. Şimdi G yerine Γ 1 grubunu kullanarak, aynı inşayı gerçekleştirelim ve Γ 2 grubunu oluşturalım. Yani, katsayıları Γ 1 den gelen ve çözümü olan tüm sistemlerin Γ 2 de çözümü vardır. Bu şeklide Γ 1 Γ 2 Γ n zincirini kuralım veγ := n 1 Γ n diyelim. Bu durumda, katsayılarıγ dan gelen her sonlu sistem için, bu sistemin katsayılarını içeren bir Γ n bulunur. O zaman da bu sistemin çözümü Γ n+1 dedir. Bu da Γ nın varlıksal kapalı olduğunu kanıtlar. G nin Γ nın altgrubu olduğu açıktır. Kanıtımız bitmiştir. Tipler Bu altkısımda, G varlıksal kapalı bir grup ve ā = (a 1,...,a n ), b = (b 1,...,b n ) G n olsun. Tanım. ā G n elemanının tipi, ā nın sağladığı parametre içermeyen tüm eşitliklerin ve eşitsizliklerin kümesi olarak tanımlanır, ve tp(ā) ile gösterilir. Aşağıdaki cümleler birbirine denktir. 1. tp(ā) = tp( b). 2. ā ve b aynı sistemleri sağlarlar. 3. a i b i göndermesi, ā grubundan b grubuna 2 giden bir izomorfizmaya genişletilebilir. 4. G grubunun, a i elemanını b i ye gönderen bir iç otomorfizması vardır. 2 Yani a 1,...,a n grubundan b 1,...,b n grubuna. 7

8 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kısımda, K bir cisim olsun, kullandığımız dil 3 de cisim dili, yani {+,,,0,1} olsun. Eşitlikler ve eşitsizlikler, i j N ve a (i1,...,i m) K olmak üzere, n k=0i 1+ +i m=k n şeklinde olacaktır. k=0i 1+ +i m=k a (i1,...,i m) x 1 i1 x m i m = 0, a (i1,...,i m) x 1 i1 x m im 0 Tanım. Katsayıları K den gelen ve bir üstcisimde çözümü olan tüm sonlu sistemlerin, K de de çözümü varsa, K ye varlıksal kapalı cisim denir. Teorem. Her cisim, varlıksal kapalı bir cisme gömülebilir. Kanıt. 0.1 numaralı teorem gibidir. Teorem. Varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Kanıt. Varlıksal kapalı cisimlerin cebirsel kapalı olduğu barizdir. Tersi için, ilk olarak, bir sistemde, her f(x 1,...,x n ) 0 eşitsizliğinin yerine f(x 1,...,x n ) y = 1 şeklindeki bir eşitlik konulabilir. Ayrıca giderme 4 kullanılabilir. Her cebirsel kapalı cisimde S( x,ȳ) bir sistem olan her ȳ S( x,ȳ) formülü, şeklinde bir formüle denktir. 3 Veya imza. 4 İngilizcesi elimination. S 1 ( x) S 2 ( x) S m ( x) 8

9 0.2 Varlıksal Kapalı Cisimler Bu kanıtta kullandığımız giderme ya Nullstellensatz, ya Chevalley in Teoremi, ya niceleyicilerin giderilmesi, ya Tarski nin Teoremi, ya da (Babil, Çin vs. matematiğinde bulunan) bilinmeyenlerin giderilmesi olarak bilinir. Örneğin, cebirsel kapalı bir cisimde formülü y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 = 0 tikel-evetlemesine denktir, ve formülü x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 = 0 y x n y n +x n 1 y n 1 + +x 1 y +x 0 0 x n 0 x n 1 0 x 1 0 x 0 0 tikel-evetlemesine denktir (çünkü sıfır olmayan her polinomun sonlu sayıda kökleri vardır ve her cebirsel kapalı cisim sonsuzdur). Ayrıca p = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y +a 0, q = b 3 y 3 +b 2 y 2 +b 1 y +b 0 olsun. (Buradaki katsayıların kendileri polinom olabilir.) O zaman p = 0 q = 0 sistemi, derecesi daha küçük olan p = 0 a 3 q b 3 p = 0, a 3 = 0 p = 0 q = 0 sistemlerin tikel-evetlemesine denktir... Öyleyse varlıksal ve cebirsel kapalı cisimler aynıdır. K, cebirsel kapalı bir cisim, ve ā = (a 1,...,a n ) K n olsun. O zaman tp(ā), yani ā nın tipi, ā nın sağladığı, katsayıları tamsayı olan tüm eşitlikler ve eşitsizliklerin kümesidir. p asal bir sayıysa ve K cisminin karakteristiği p ise tp(ā) = 0 } {{ } p 9

10 Ders 1, Çarşamba, 7 Mart 2012 eşitliğini içerir; K cisminin karakteristiği p değilse tp(ā) } {{ } p eşitsizliğini içerir. O zaman aşağıdaki koşullar birbirine denktir. tp(ā) = tp( b). a i b i göndermesi, K cisminin ā üreteçli altcisminden b üreteçli altcismine bir izomorfizimdir. K cisminin f(a i ) = b i eşitliğini sağlayan bir f otomorfizmi vardır. Z[ x] polinom halkasındaki her p için olur. p(ā) = 0 p( b) = 0 Son koşul sonsuzdur; onun yerine aynı şekli olan sonlu bir koşul konulamaz. Varlıksal kapalı cisimlerde gruplardaki x n x 1 a i x = b i i=1 koşulunun benzeri yoktur. 0.3 Varlıksal Kapalı Yapılar Bir yapı, bağıntılar, işlemler, ve değişmezlerle donatılan bir kümedir. Yapının imzasında, bu bağıntılar, işlemler, ve değişmezler için simgeler vardır. S 1 ve S 2, imzaları aynı olan yapılar olsun, ve f, S 1 kümesinden S 2 kümesine giden bir fonksiyon olsun. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından ϕ( x) formülünün sağlayan her ā için f(ā) imgesi de ϕ( x) formülünü sağlarsa ϕ bir homomorfizimdir. Eğer her bölünemeyen ϕ( x) için tersi de doğruysa f bir gömmedir. Yani f bir gömmedir ancak ve ancak her bölünemeyen ϕ( x) formülü için ve S 1 yapısından her ā için ϕ(ā) ϕ(f(ā)). 10

11 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Herhangi bir yapı üzerinde bir sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen förmüllerin ve bölünemeyen förmüllerin değillenmelerinin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına varlıksal kapalı yapı denir. 0.4 Olumlu Varlıksal Kapalı Yapılar Şimdi sadece homomorfizimleri göz önünde tutacağız, ve sadece bölünemeyen förmülleri göz önünde tutacağız (değillenmeleri değil). Herhangi bir yapı üzerinde bir olumlu 5 sistem, yapıdan gelen parametreli bölünemeyen formüllerin sonlu kümesinin tümel-evetlemesidir. Eğer bir S yapısının bir homomorfizim altındaki imgesinin gömüldüğü bir yapıdaki çözümü olan S yapısı üzerindeki her olumlu sistemin zaten S yapısında çözümü varsa S yapısına olumlu varlıksal kapalı yapı denir. Mesela S( x,ā), G grubundaki üzerinde olumlu bir sistem olsun. (Bu sistemin parametreleri, ā dır.) Eğer G olumlu varlıksal kapalıysa, ve f, G grubundan bir H grubuna giden bir homomorfizim ise, ve S( x,f(ā)) sisteminin H grubundaki bir çözümü varsa, o zaman S( x, ā) sisteminin G grubunda çözümü vardır. Özel olarak S( x, ā), değişkeni olmayan a = 1 eşitliği olabilir, ve f, x 1 aşikâr homomorfizim olabilir; o zaman a = 1 eşitliği G grubunda doğru olmalı. Öyleyse aşikâr grup, biricik olumlu varlıksal kapalı gruptur. (a = 1 eşitliğinin yerine ax = x veya x 1 ax = 1 eşitliğine bakabiliriz.) Cisimlerde homomorfizimler, gömmelerdir. Ayrıca Q(x 1,...,x n ) 0 y Q(x 1,...,x n ) y = 1. Dolayısıyla olumlu varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Değillemesiz mantıkta, varlıksal niceleyici ile değillenmesini gideririz. 5 Veya değillemesiz veya pozitif; İngilizcesi positive. 11

12 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Cisimlerde giderme Cisim dilinde her sistem biçiminde yazılabilir çünkü P 1 ( x) = 0 P s ( x) = 0 Q( x) 0 Q 1 ( x) 0 Q t ( x) 0 Q 1 Q t ( x) 0. (Burada P i ile Q j, katsayıları Z tamsayılar halkasından olan polinomdırlar.) Önsav (Giderme). S( x, y), cisim dilinde bir sistem olsun. O zaman öyle T i ( x,y) sistemleri vardır ki S( x,y) T 1 ( x,y) T s ( x,y) formülü, her cisimde doğrudur, ve her T i ( x,y) sistemi, ya S( x), ya da ya da biçimindedir. P( x,y) = 0 S( x), P( x,y) 0 S( x) Kanıt. Öklid algoritmasını kullanacağız. Mesela P 1 ( x,y) = a n ( x) y n + +a 0 ( x), P 2 ( x,y) = b m ( x) y m + +b 0 ( x) 12

13 Cisimlerde giderme olsun. m n varsayılabilir. Q 1 ( x,y) = a n 1 ( x) y n 1 + +a 0 ( x), Q 2 ( x,y) = b m ( x) P 1 ( x,y) a n ( x) x n m P 2 ( x,y) olsun. O zaman sistemi, P 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0 (b m ( x) = 0 Q 1 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) (b m ( x) 0 Q 2 ( x,y) = 0 P 2 ( x,y) = 0) sistemler tikel-evetlemesine denktir. Bu sistemlerde Q i polinomunun y değişkenine göre derecesi n den azdır. Şimdi bu derece sıfır olacak kadar devam edebiliriz. Bu giderme, herhangi değişkenle tekrarlanabilir. Sonunda her sistem, ϕ i,j ya eşitlik ya da eşitsizlik olan s (ϕ i,1 (x 1 ) ϕ i,2 (x 1,x 2 ) ϕ i,n (x 1,x 2,...,x n )) i=1 biçiminde bir tikel-evetlemeye denktir. Şimdi cebirsel kapalı cisimler, niceleyicilerin giderilmesine imkân verir, çünkü, gördüğümüz gibi, y a n y n + +a 0 = 0 a n 0 a 1 0 a 0 = 0, y a n y n + +a 0 0 a n 0 a 1 0 a 0 0 cümleleri, cebirsel kapalı cisimlerde doğrudur. Dediğimiz gibi, varlıksal kapalı cisimler, cebirsel kapalı cisimlerdir. Nitekim K, varlıksal kapalı bir cisim olsun, ve P(x), sıfır olmayan ve katsayıların K cisminden geldiği x n +a n 1 x n 1 + +a 0 polinomu olsun. O zaman K[x] halkasının P polinomunu içeren maksimal m ideali var. K cismi, K[x]/m cismine gömülür, ve p(x) = 0 eşitliğinin 13

14 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 K[x]/m cismindeki çözümü vardır. Dolayısıyla K cisminde de bir çözüm vardır. Öyleyse K, cebirsel kapalıdır. Tam tersine K, cebirsel kapalı olsun, ā K n olsun, ve S( x,ȳ), cisim dilindeki bir sistem olsun. Eğer K L ise, ᾱ L m ise, ve L S(ā,ᾱ) ise, o zaman L ȳ S(ā,ȳ). Ama serbest 6 bir Φ( x) formülü için, ȳ S(ā,ȳ) Φ(ā). O zaman L Φ(ā), dolayısıyla K Φ(ā). Öyleyse K, varlıksal kapalıdır. Dediğimiz gibi bu teorem, Nullstellensatz, yani, sıfırlar teoremidir. Olumlu mantık Olumlu mantık, değillemesiz mantıktır; simgesi kullanılmaz. Bir homomorfizim, M 1 yapısından bir M 2 yapısına giden bir h fonksiyon öyle ki her bölünemeyen ϕ( x) formülü için, M 1 den gelen her ā için, M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)) olur. Burada ā = (a 1,...,a n ) ve h(ā) = (h(a 1 ),...,h(a n )). Bir homomorfizim, bire bir olmayabilir. Eğer M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise h, bir monomorfizim veya gömmedir. Mesala özdeşlik 7 fonksiyonu, (Z, ) parçalı sıralamasından (Z, ) sıralamasına giden bire bir homomorfizimdir, ama gömme değildir. Olumlu formülde ve simgeleri yoktur. Serbest olumlu bir formül, ϕ i,j formüllerinin bölünemeyen olduğu 6 Yani, niceleyicisiz. 7 İngilizcesi identity. t (ϕ i,1 ϕ i,s ) i=1 14

15 Olumlu mantık biçiminde yazılabilir. Bu formül, daha basit olarak (ϕ1 ϕ s ) biçiminde yazılabilir. Herhangi olumlu bir formül, ϕ formülünün serbest olumlu formül olduğu ȳ ϕ( x,ȳ) biçiminde yazılabilir. Herhangi formül, ϕ formülünün serbest olduğu x 1 x 2... x 2n 1 x 2n ϕ önekli 8 biçiminde yazılabilir. Öyleyse tümevarımla kanıtlar mümkündür. Olumlu mantıkta tümevarım gerekmez. Önsav. Eğer h, M 1 den M 2 ye giden bir homomorfizim ise, o zaman her olumlu ϕ( x) formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) = M 2 ϕ(h(ā)). Kanıt. Eğer M 1 ϕ(ā) ise, ve ϕ( x), ȳ (ϕ 1 ( x,ȳ) ϕ n ( x,ȳ)) formülüne denk ise, o zaman M 1 den gelen bir ᾱ için M 1 ȳ (ϕ 1 (ā,ȳ) ϕ n (ā,ȳ)), M 1 (ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ)), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ), M 1 ϕ 1 (ā,ᾱ),..., M 1 ϕ n (ā,ᾱ), M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)),..., M 1 ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), 8 Preneks, prenex. M 2 ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ)), M 2 (ϕ 1 (h(ā),h(ᾱ)) ϕ n (h(ā),h(ᾱ))), M 2 ȳ (ϕ 1 (h(ā),ȳ) ϕ n (h(ā),ȳ)), M 2 ϕ(h(ā)). 15

16 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 Tanım. M 1 den M 2 ye giden bir homorfizim ise, ve her olumlu ϕ formülü ve M 1 den gelen her ā için M 1 ϕ(ā) M 2 ϕ(h(ā)) ise, h saf homomorfizimdir. 9 (Burada ϕ niceleyicisiz olmayabilir.) Tanımda h saf ise M 1, M 2 yapısının altyapısı olarak düşünülebilir. Tanım. C, bir (aynı imzasılı) yapılar ailesi olsun. Eğer M C ise ve M den C ailesinin bir elemanına giden her homomorfizim saf ise, M, C ailesinde varlıksal kapalıdır. Öyleyse M, C de varlıksal kapalı ancak ve ancak M C ve C nin her N elemanı için, eğer h: M N ise ve S, katsayılarının M den geldiği bölünemeyen formül sistemiyse, ve h(s) sisteminin N de bir çözümü varsa, o zaman S sisteminin M de bir çözümü vardır, yani β N ise ve N ϕ 1 (h(ā), β) ϕ n (h(ā), β) ise, o zaman M de öyle bir ᾱ vardır ki olur. M ϕ 1 (ā,ᾱ) ϕ n (ā,ᾱ) Olumlu varlıksal kapalı bir grup nedir? Her G grubundan {1} aşikâr grubuna bir h homomorfizim vardır. Eğer a,b G ise, o zaman x = h(a) x = h(b) sisteminin {1} de çözüm vardır, çünkü bu sistem, x = 1 x = 1 olur. Öyleyse G olumlu varlıksal kapalıysa, x = a x = b sistemininin G de çözümü vardır, yani a = b. Dolayısıyla sadece aşikâr grup olumlu varlıksal kapalıdır. Olumlu varlıksal kapalı bir cisim nedir? Her cisimde 0 1 ve P( x) 0 y y P( x) 1 = 0 cümleleri doğrudur. O zaman cismin dilinde her formül, ya olumlu formül ya da serbest formül olarak yazılabilir; ama olumlu formülde simgesi olabilir; ve serbest formülde, simgesi olabilir. O zaman cebirsel kapalı cisimler, olumlu varlıksal kapalı cisimlerdir. 9 İngilizcede pure homomorphism or immersion. 16

17 Seçim Belitinin örneği Seçim Belitinin örneği Herhangi bir dil için, bu dilin yapıların ailesinde olumlu varlıksal kapalı yapılar nedir? Eğer a (veya (a,...,a)), tüm bölünemeyen formüllerini sağlarsa, o zaman {a} tek olumlu varlıksal kapalı yapıdır. Bu durum ilginç değildir. ŞimdiA = {...,a i,...} olsun, vee(u,v),aüzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Dilimizde bir 1-konumlu R(x) bağıntısimgesi olacak, ve A nın her elemanı için, bir değişmez simgesi olacak. Bu dilde C ailesinin elemanları, aşağıdaki koşulları sağlayacak: i j ise a i a j. a i a j ve E(a i,a j ) ise R(a i ) R(a j ). C boş değildir; R bağıntısı boş olabilir. C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları nedir? Öyle bir yapıda: her eleman A dadır; her E sınıfının R bağlantısını sağlayan biricik elemanı vardır. Seçim Beliti doğru ise, C nin olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. İndüktif limitler ve indüktif sınıflar Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, G n bir gruptur. Eğer G 0 G 1 G 2 G n ise, ve her ok, bir gömmeyse, tekrar öyle bir G grubu vardır ki her G n, G ye gömülür. Oklar sadece homomorfizim ise, ne olacak? I, doğrusal sıralanmış küme olsun. I nın her i elemanı için M i bir yapı olsun, ve I nın her i ve j elemanları için, M i den M j ye giden öyle bir h ji homomorfizim olsun ki h kj h ji = h ki 17

18 Ders 2, Pazartesi, 12 Mart 2012 olsun. M i h ji h kj M j M k h ki h ji O zaman (M i : i I) veya (M i Mj : i < j), tutarlı homomorfizim sistemidir. 10 Bu sistemin M direkt limiti vardır. Yani, öyle h i homomorfizimler vardır ki h i : M i M, i < j ise h j h ji = h i, eğer h i : M i M ve h j h ji = h i, o zaman öyle bir h vardır ki h: M N ve h i = h h i. M i M j h i h i M h N h ji h j Bir yapılar ailesi, direkt limitler altında kapalıysa, o aile, indüktif bir sınıftır. Teorem. Her boş olmayan indüktif sınıfın olumlu varlıksal kapalı elemanları vardır. Her elemanın olumlu varlıksal kapalı elemana devamı veya uzatması 11 vardır. Kanıt. Yukarıdaki gibi, ama gömmelerin yerine homomorfizimler kullanılır. Bu teorem, gerçekten bir aksiyomdur, çünkü Seçim Belitini kullanır. h j 10 İngilizcesi consistent system of homomorphisms. 11 İngilizcesi continuation. 18

19 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Dillerimizde her zaman: 2-konumlu = bağıntı simgesi ve 0-konumlu bağıntı simgesi vardır. = simgesinin yorumu eşitliktir, ve simgesinin yorumu yanlıştır. simgesi, x x x cümlesinin yerine kullanılır. x x = x cümlesi, her zaman doğru olacak, yani yapılarımız her zaman boş olmayacak. Eğer ϕ( x) olumlu ve serbest ise, o zaman x ϕ( x), hom-evrensel cümledir. Yani, hom-evrensel bir cümle, ψ i formüllerinin bölünemeyen olduğu ȳ x (ψ 1 ( x,ȳ) ψ s ( x,ȳ)) biçiminde yazılabilir. Öyle bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme boştur. Önsav. h, M den N ye giden bir homomorfizim olsun. Eğer N bir homevrensel cümleyi sağlarsa, o zaman M de bu cümleyi sağlar: N ϕ(h(ā)) = M ϕ(ā). Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2 hom-evrensel ise, ϕ 1 ϕ 2 ile ϕ 1 ϕ 2 de hom-evrensel cümlelere denktir. Kanıt. ϕ 1, x ψ 1 ( x) olsun, ve ϕ 2, ȳ ψ 2 (ȳ) olsun. x ȳ = varsayılabilir. ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A B = A = B =.) 19

20 Ders 3, Çarşamba, 14 Mart 2012 ϕ 1 ϕ 2, x ȳ (ψ 1 ( x) ψ 2 (ȳ)) cümleye denktir. (A = B = A B =.) İlkel hom-indüktif bir cümleye göre, olumlu tanımlı bir küme, ikinci olumlu tanımlı bir küme tarafından kapsanır. Yani, ilkel hom-indüktif bir cümle, ϕ ile ψ formüllerinin olumlu olduğu veya x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)) biçiminde yazılabilir. Burada ϕ, ū ϕ 1 ( x,ū) olsun, ve ψ, v ψ 1 ( x, v) olsun. O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x ( ū ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)), x ū (ϕ 1 ( x,ū) v ψ 1 ( x, v)). Öyleyse her ilkel hom-indüktif cümle, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)), x ȳ (α( x) β( x,ȳ)), x ȳ ( α( x) β( x,ȳ)) biçimlerinde yazılabilir. (Tabii ki α ile β olumlu serbesttir.) Hom-indüktif bir cümle, ilkel hom-indüktif cümlelerin sonlu sayıda tümel-evetlemesidir. Önsav. ϕ 1 ile ϕ 2, ilkel hom-indüktif cümlelerse, o zaman ϕ 1 ϕ 2 homindüktiftir. Önsav. Her hom-evrensel cümle hom-indüktiftir. Kanıt. Hom-evrensel bir cümle, biçiminde yazılabilir. x (ϕ( x) ) 20

21 Hom-evrensel ve hom-indüktif cümleler Önsav. Hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. Kanıt. Chang ile Keisler in Model Theory [2] kitabında imasız bir alıştırmadır. Bunu çözebilirseniz, modeller kuramına yetersiniz! 21

22 Ders 4, Pazartesi, 19 Mart 2012 Aşağıdaki cümleler, hom-indüktif cümledirler: Hom-evrensel cümleler. x ȳ α( x, ȳ), x α( x), ȳ α(ȳ) (burada α serbest). Olumlu cümlelerin Boole bileşkeleri. Serbest cümleler (değillemeli olabilir). Dediğimiz gibi hom-indüktif cümleler, direkt limitlere geçer. {0, 1, +, } dilinde cisimlerin aksiyomları, hom-indüktiftir. {1, } dilinde grupların aksiyomları, hom-indüktiftir, mesela x y xy = yx = 1. {r} dilinde denklik bağıntısının aksiyomları, hom-indüktiftir. Sıralamaların aksiyomları, hom-indüktiftir. Teorem. Hom-indüktif bir teorinin modeli varsa, olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Her model, olumlu varlıksal kapalı modele uzatılabilir. 0.4 numaralı teorem gibi, bu teorem gerçekten bir aksiyomdur. Bir r(x,y,z) bağıntısı, bir f(x,y) fonksiyonunun grafiğidir, ancak ve ancak x y z r(x,y,z), x y z t (r(x,y,z) r(x,y,t) z = t). Bu cümleler, hom-indüktiftir, ama hom-evrensel değildir. Mesala gruplarda, z y = x 2 formülünün yerine u (z y = u x x = u) 22

23 formülü, yani u (r(z,y,u) r(x,x,u)) formülü, konulabilir. ϕ( x) ile ψ( x) olumluysa, cümlesi, hom-indüktiftir. Nitekim ϕ( x), ȳ α( x,ȳ) olsun, ve ψ( x), z β( x, z) olsun. x (ϕ( x) ψ( x)) O zaman aşağıdaki cümleler birbirine denktir: x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x ( ϕ( x) ψ( x)), x ( ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x (ϕ( x) ψ( x)) x (ϕ( x) ψ( x)), x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)) x ȳ z (α( x,ȳ) β( x, z)). 23

24 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 Yerel homomorfizimler Olgu. h: M N bir homomorfizim olsun, ve ϕ, serbest olumlu bir formül olsun. Eğer x ϕ( x), N de doğru ise, M de de doğrudur. Burada h fonksiyonunun yerel homomorfizim olması yeter. Tanım. ā = (a 1,...,a n ) M ve h: {a 1,...,a n } N olsun. Eğer her serbest olumlu ϕ( x) için ise h yerel homomorfizimdir. Teorem. M ϕ(ā) = N ϕ(h(ā)) 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-evrensel cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Kanıt. 2. Dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, M den gelen her ā sadece sonlu sayıda bölünemeyen formülleri sağlar. Bu formüller, ϕ 1,..., ϕ m olsun. O zaman m M x ϕ i ( x) i=1 olur. Eğer N x m i=1 ϕ i( x) ise, N den gelen bir b için N m ϕ i ( b) i=1 olur. O halde ā b, bir yerel homomorfizimdir. 24

25 Yerel homomorfizimler [Aşağıdaki teorem için nasıl yerel izomorf yapılar tanımlanmalı?] Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel izomorftur ise, aynı hom-evrensel cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Örnek. İki sonsuz tam sıralama, aynı hom-evrensel cümleleri sağlar. Tanım. Eğer ā b, M den N ye giden bir yerel homomorfizim ise, ve N den gelen her c için, M den gelen öyle d varsa ki ( b, c) (ā, d), N den M ye giden bir homomorfizim ise, o zaman ā b, tersli yerel homomorfizimdir. Burada ā b yerel homomorfizminin birebir olması gerekir. Teorem. 1. Eğer her sonlu ā M üstünde tanımlı N ye giden tersli bir yerel homomorfizim varsa, o zaman N de doğru olan her hom-indüktif cümle M de de doğrudur. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz olursa, ters de doğrudur. Teorem. 1. M ile N, birbirine yerel tersli izomorftur ise, aynı hom-indüktif cümleler sağlar. 2. Eğer dil sonlu ve fonksiyonsuz ise, ters de doğrudur. Tam sıralamaların aksiyomları, x x < x, x y (x < y y < x x = y), x y z (x < y y < z x < z). olur. Yoğunluk ve uçsuzluk aksiyomları, x y z (x < y x < z z < y), x y z (y < x x < z) 25

26 Ders 5, Çarşamba, 21 Mart 2012 olur. Örneğin (Q, <) sıralaması, yoğun ve uçsuzdur. Hom-indüktif bir cümle, sonsuz sıralamada doğru ise, her yoğun ve uçsuz sıralamalarda doğrudur, çünkü her yoğun uçsuz sıralamalarından her sonsuz sıralamaya giden tersli homomorfizimler vardır. Mesela hom-indüktif x y (y < x) cümlesinin değillenmesi (yani en küçük nokta vardır ), hom-indüktif bir cümleye denk değildir, çünkü (Q,<) sıralamasında yanlıştır. Bir tane daha kanıt: her {0,1,2,...}, { 1,0,1,2,...}, { 2, 1,0,1,2,...},... sıralamasının en küçük noktası vardır, ancak sıralamaların direkt limiti, Z dir, ve Z nin en küçük noktası yoktur. Hangi sıralamalar, N sıralamasının sağladığı hom-indüktif cümleleri sağlar? Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları vardır. 1. Adım. Dilden fonksiyonlar çıkarılabilir. Her f fonksiyonu için, yeni r f bağıntısı kullanılabilir. O zaman hom-indüktif x y z (r f ( x,y) r f ( x,z) y = z), x y r f ( x,y) aksiyomları kullanılır, ve y = f( x) formülünün yerine r f ( x,y) formülüne konulur: Fonksiyon dilinde hom-indüktif T Grafik dilinde hom-indüktif T 26

27 Yerel homomorfizimler 2. Adım. T a teorisinin elemanları, bölünemeyen cümleler olsun, ve T u teorisinin elemanları, hom-evrensel cümleler olsun. T a T u teorisinin her sonlu altkümesinin modeli olsun. Dilin c ve d sabitler için, T a teorisine göre c = d doğru ise, o zaman T a teorisinin sonlu altkümesine göre c = d doğrudur. (Mesela c = e ile d = e eşitlikeri, c = d eşitliğini gerektirir.) Bu durumda c ile d e denk diyelim. Sabitlerin her denklik sınıfı, bir elemanı, seçilmiş olsun. Bu sabitlerin kümesi, Γ olsun. Γ, T a T u teorisinin modeli olacak. Her r bağıntısı için, rc 1 c n cümlesi Γ da doğru olacak ancak ve ancak c i sabitine denk olan bir d i için rd 1 d n cümlesi, T a teorisindedir. Yani Γ rc 1 c n ancak ve ancak T a rc 1 c n. M, T a teorisinin modeliyse, Γ den M ye giden bir homomorfizim vardır. Bu durumda M, T u teorisinin de modeliyse, Γ de T u teorisinin modelidir. Öyleyse T a T u teorisinin modeli yok ancak ve ancak Γ, T u teorisinin modeli değildir. Serbest olumlu bir ϕ( x) formülü için hom-evrensel x ϕ( x) cümlesi T u teorisinin elemanı olsun. ϕ( x) formülü, r i ( x) formülünün bölünemediği (r i,1 ( x) r i,mi ( x)) i biçiminde yazılabilir. x ϕ( x), Γ de yanlış ise, bir (i, j) için ve bir c için Γ r i,j ( c). O halde T a teorisinin sonlu bir F altkümesine göre r i,j ( c) doğrudur. O zaman F { x ϕ( x)} tutarlı değildir. Bu bir çelişkidir. Burada Seçim Belitini kullanmadık. 3. Adım. Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. Yani ϕ T u ancak ve ancak (1) ϕ, hom-evrenseldir, ve (2) T sonlu bir F altkümesi için F ϕ. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Seçim Belitlerine önsav için değil, sadece olumlu varlıksal kapalı modellerinin var olması için ihtiyaç vardır. (Devam edilecek.) 27

28 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Teorem (Tıkızlık). Eğer hom-indüktif bir teorinin bütün sonlu altkümelerinin modeli varsa, o zaman teorinin modeli vardır. Kanıtın adımları: 1. Fonksiyon yoktur. 2. T = T a T u. 3. ϕ serbest olan T = T a T u {ϕ}. 4. T hom-indüktiftir. 5. Genel durum (cümleler değillemeli olabilir). (İlk üç adımı yaptık.) Önsav. T, hom-indüktif bir teori olsun, ve T u, T nin sonlu altkümelerinin hom-evrensel sonuçların kümesi olsun. O zaman T u teorisinin her olumlu varlıksal kapalı modeli, T nin modelidir. Kanıt. M,T u teorisinin olumlu varlıksal kapalı bir modeli olsun, veϕ T olsun. O zaman ϕ, x (α( x) ȳ β( x,ȳ)) biçimindedir. (Burada α ile β serbesttirler.) Mümkünse ϕ, M de yanlış olsun. O zaman M in bir ā elemanı için M α(ā), ama M ȳ β(ā,ȳ). Öyleyse T u Diag + (M) {β(ā, c)} teorisi tutarsızdır. Burada Diag + (M), D M dilindeki, M de doğru bölünemeyen cümleler kümesidir, ve c, yeni sabit simgedirler. Adım 3 ye göre Diag + (M) in sonlu bir F altkümesi için T u F {β(ā, c)} tutarsızdır. 28

29 χ(ā, b), F nin elemanlarının tümel-evetlemesi olsun. O zaman T u {χ(ā, b),β(ā, c)} tutarsız, T u {χ(ā, b),ϕ,α(ā)} tutarsız, T u {ϕ} (χ(ā, b) α(ā)), T u {ϕ} x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)), x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u, M x ȳ (χ( x,ȳ) α( x)) T u. Bu bir çelişki, cünkü M (χ(ā, b) α(ā)). Gözlem. T nin her sonlu altkümesi tutarlıysa, T u teorisi de tutarlıdır, ve olumlu varlıksal kapalı modeli vardır. Bu, Seçim Belitini kullanır. 5. Adım: değillemeli mantık. Burada,,, ve simgeleri kullanıyoruz. simgesinin yerine ifadesi kullanıyoruz. D dilinin her ϕ( x) formülü için yeni bölünemeyen r ϕ x formülünü kullanıyoruz. Öyleyse yenid 1 dilini oluşturuyoruz. Ondan sonra x (ϕ( x) r ϕ x), x (ϕ( x) r ϕ x) aksiyomlarını kullanıyoruz. Bu cümleler, hom-indüktif bir Θ 1 teorisini oluşturuyor. Öyleyse r ϕ x, ϕ( x) formülünün değillemesi olacak. Devam ediyoruz. D 1 dilinden D 2 dilini oluşturuyoruz, ve bu dilde Θ 2 teorisini oluşturuluyor, vesaire. ϕ( x) formülünde x boş ise (yani ϕ( x) bir cümleyse) r ϕ önerme sabiti olur. Son olarak D M = n D n, Θ M = n Θ n olsun. (Burada M, Morey i simgeliyor.) D M dilinin her ϕ( x) cümlesi için Θ M teorisine göre denk olan pozitif ϕ + ( x) formülü vardır. (Aşağıya bakın.) 29

30 Ders 6, Pazartesi, 26 Mart 2012 Her D yapısı için Θ M teorisinin modeli olan bir D M yapısı vardır, ve bu yapıların arasında hiç fark yoktur. (Yani aynı D cümlelerini sağlar.) Ama onlarda homomorfizimler farklı olabilir. D M yapılarının homomorfizimleri, basit gömmelerdir. Her iki dilde, grup bir gruptur, ama formüller farklıdır: xy 1 z = 1, u (uy = 1 xuz = 1). Önsav. D M dilinde her ϕ( x) formülü, Θ M teorisinin her modeline göre pozitif bir ϕ + ( x) formülüne denktir. Kanıt. ϕ( x) bölünemezse ϕ + ( x) = ϕ( x). Ondan sonra (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, ( ȳ ϕ) + = ȳ (ϕ + ), (ϕ ψ) + = ϕ + ψ +, Şimdi T bir teoriyse T M = Θ M {ϕ + : ϕ T}. ( ϕ( x)) + = r ϕ x. O zaman T M hom-indüktiftir, ve T ile T M teorilerinin aynı modeli vardır. Ayrıca T nin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin her sonlu altkümesinin modeli vardır = T M teorisinin modeli vardır = T nin modeli vardır. simgesini kullanmak istersek, her ȳ ϕ( x,ȳ) formülü için, yeni bölünemeyen bir s ϕ x formülünü kullanabiliriz, ve x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x) aksiyomunu ilan edebiliriz. Bu aksiyom, iki x ( ȳ ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleleri olarak yazılabilir, ve bunların yerine x ȳ ( ϕ( x,ȳ) s ϕ x), cümleri kullanılabilir. x (s ϕ x ȳ ϕ( x,ȳ)) x ȳ (s ϕ x ϕ( x,ȳ)) 30