BÖLÜM 1 GİRİŞ Problem ve Önemi

Transkript

1 BÖLÜM 1 GİRİŞ Bu bölümün birinci kısmında incelenen problem ve önemi açıklandıktan sonra, ikinci kısmında konu ile ilgili daha önce yapılmış çalışmalar belirtilmiştir. Son kısımda ise bu çalışmanın amacı ve kapsamı üzerinde durulmuştur Problem ve Önemi Mühendislik malzemeleri metaller, polimerler, seramikler ve kompozitler olmak üzere dört ana gruba ayrılabilirler. Kompozit malzemeler yukarıda sayılan diğer üç malzemenin iki veya daha fazlasının makroskobik açıdan birleşmesinden meydana gelen malzemeler olarak tanımlanabilir. Metal alaşımları da bir kaç malzemeden meydana geldiği halde, mikroskobik düzeyde birleştirildiği için kompozit malzeme değildirler. Kompozit malzemeler cam, boron ve grafit gibi yüksek dayanımlı ince elyafların epoksi reçine gibi bağlayıcı bir matris malzeme içine yerleştirilmesi ile değişik üretim yöntemleri kullanılarak elde edilirler li yıllarda (Griffith, 1920) yapılan çalışmalarda malzemelerin elyaf halinde iken hacimsel durumdan daha dayanıklı oldukları bulunmuştur. Bunun sebebi olarak azalan çap ile birlikte malzemede oluşacak hasar olasılığının azalması gösterilmektedir. Elyafların çekme dayanımlarının yüksek olmasına rağmen birtakım dezavantajları da vardır. Basma türü zorlamaları taşıyamazlar ve düşey mekanik özellikleri kendi eksenleri doğrultusundaki özellikleri gibi iyi değildir. Bu nedenden dolayı bir araya konup bir matris malzemesiyle desteklenmeleri gerekir. Düşey yönde dayanım artışı zorlanma durumuna göre elyafların uygun bir şekilde yönlendirilmesi ile elde edilir. Günümüzde çok gelişmiş olan kompozit malzemeler, aslında binlerce yıldan beri kullanılmaktadır. Örneğin, çamur içine karıştırılan saman çöpleri ile yapılan kerpiç bir

2 kompozit malzemedir. Ayrıca kompozit malzemeler doğada ahşap malzemeler ve kemik gibi değişik biçimlerde de bulunmaktadır. Kompozit malzemeler, hava ve uzay endüstrilerinde (uzay mekiği konstrüksiyonu ve roket tasarımında), nükleer, petrol ve petro-kimya endüstrilerinde (basınçlı kaplar, boru hatları gibi), kara ve deniz taşımacılığında (gemi yapımında), elektronik ve elektroteknikte, ayrıca, yüksek atlama sırıkları, bisiklet, tenis, sörf gibi çeşitli spor malzemelerinin ve tıp gereçleri, robotlar ile müzik aletlerinin yapımında çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Yukarıda bahsedilen uygulama alanlarında kullanılan kompozit malzemeler genellikle kiriş, plak ve kabuk şeklindedirler. Bu yapıların farklı zorlamalar altında statik ve dinamik davranışlarının belirlenmesi, güvenli endüstriyel tasarım açısından çok önemlidir. Plak, iki paralel yüzey ve bu yüzeylere dik diğer bir yan yüzeyin birleşmesinden meydana gelen cisimler olarak tanımlanır. Paralel yüzeyler yan yüzeye göre daha büyüktür. Kompozit plaklar katman ya da tabaka denen elemanların bir araya getirilmesiyle oluşturulur. Bu çalışmada incelenecek olan katmanların paralel ve sürekli elyaflardan oluştuğu kabul edilecektir. Tüm elastik cisimler bir dış uyarı etkisinde denge konumu etrafında salınım hareketine başlar ve bu uyarı kaldırıldığında salınım hareketini sürdürürler. Bu salınıma serbest titreşim hareketi denir. Cismin bir saniyedeki toplam salınım sayısına doğal frekans denir. Sürekli bir ortam olan plaklar için bu frekansların sayısı sonsuzdur. Bu frekansların en küçüğüne temel frekans denir. Bu frekans değerlerinden herhangi birisine eşit frekanstaki bir dış zorlama durumunda plağın denge konumundan uzaklığı olan genlik değeri artarak sonsuza gider. Bu olaya rezonans denir. Bundan dolayı tasarım açısından frekans değerlerinin bilinmesi mühendislik yapısının zarar görmeden çalışabilmesi açısından çok önemlidir. Titreşim problemiyle ilgili diğer temel kavramlar veya geniş bilgi bu konuda yazılmış kitaplarda bulunabilir (Meirovitch, 1975). Diğer bir problem plaklara düzlem içi kuvvetlerin etkimesi durumunda ortaya çıkabilen burkulma olayıdır. Genelde tek eksenli veya iki eksenli basma kuvvetleri düşünülse de iki eksenli yükleme durumunda bir yönde basma diğer yönde çekme yüklemesi olması durumunda da burkulma gerçekleşebilir (Leissa, 1995). Burkulma, artan düzlem-içi kuvvetle birlikte plağın düzlemliğinin ortadan kalkmasıdır. Bu olayın gerçekleştiği en küçük kuvvet değerine kritik burkulma yükü denir. Bu yükün bilinmesi tasarım açısından önemlidir.

3 1.2. Önceki Çalışmalar Kompozit plak ve kabukların statik ve dinamik davranışları konusunda pek çok araştırma yapılmıştır. İnce plaklar ve kabuklar için geliştirilen pek çok lineer ve nonlineer teori, Love-Kirchhoff teorisinin ilk yaklaşımına (deforme olmayan dik doğrultular) dayanmaktadır. Bu teori düşey yöndeki kayma deformasyonlarını dikkate almadığından çökme, burkulma yükü ve doğal frekansların tahmininde hatalara sebep olmaktadır. Düşey kayma etkileri katmanlı plaklar için çok daha önemli olduğundan, gelişmiş kompozitlerden yapılan katmanlı plaklarda bu hata daha da büyümektedir. Kabukların çökmesi üzerine yapılan ilk çalışmalar 19. yüzyılın son çeyreğine kadar geriye gitmektedir. Eğrilik yarıçapının sonsuz olması halinde kabuklar plaklara dönüşmektedir. Kalınlığının diğer boyutlara oranı 1/100 mertebesinde olan plaklar ince plaklar olarak adlandırılır. Bundan dolayı, plakların analizi, düzlem gerilme kabulü ile, iki-boyutlu teoriler temelinde yapılabilmektedir. Kompozit plakların, iki-boyutlu teoriler ile statik ve dinamik analizlerinin yapıldığı daha önceki çalışmalar ya klasik plak teorilerine (KPT) ya da kayma deformasyonlu plak teorilerine dayanmaktadır. Klasik plak teorilerinin dayandığı varsayımlar; - plak incedir, - yer değiştirme ve dönmeler küçüktür, - geometrik olarak plağın ortasında bulunan referans düzlemine deformasyondan önce dik olan doğrular deformasyondan sonra dik kalırlar, - düşey normal genleme ihmal edilebilir, şeklindedir. KPT ni kullanarak Whitney ve Leissa, 1969 ve Jones, 1973, tüm kenarlarından basit desteklenmiş dik-katmanlı kompozit plakların burkulma ve titreşim problemini analitik olarak çözmüştür. Yine Whitney ve Leissa, 1970, basit desteklenmiş plakların eğilme, burkulma ve titreşim problemini Fourier serileri yöntemiyle çözmüştür. Dickinson ve Blasio, 1985, Baharlou ve Leissa, 1987, Leissa ve Narita, 1989, Narita ve Leissa, 1990, Narita ve Leissa, 1992, Qatu, 1991, Al-Obeid ve Cooper, 1995 Ritz yöntemini kullanarak kompozit plakların burkulma ve titreşim problemlerini değişik sınır koşullarında incelemişlerdir. Jensen ve Crawley, 1985 ankastre plakların

4 titreşimini Rayleigh-Ritz ve sonlu elemanlar yöntemlerini kullanarak ve deneysel olarak ele almıştır. Leissa, 1987 ve Leissa ve Narita, 1990 kompozit plakların burkulmasıyla ilgili tarama makalelerinde yapılan çalışmaları ve yapılabilecek yeni çalışmaları özetlemişlerdir. KPT ile elde edilen sonuçların deneysel sonuçlardan farklı olmalarından dolayı kayma deformasyonu etkilerinin de göz önüne alındığı yeni çalışmalar yapılmıştır. Whitney ve Pagano, 1970 kompozit plakların statik ve dinamik davranışlarını Uniform Kayma Deformasyon Teorisi (UKDT) (veya Birinci-Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi olarakta bilinir) çerçevesinde incelemişlerdir. Reddy, 1984, Phan ve Reddy, 1985, Reddy ve Phan, 1985, Reddy ve Khdeir, 1989 yüksek mertebe kayma deformasyon teorisi kapsamında sonlu elemanlar ve Levy tipi çözüm yöntemlerini kullanarak kompozit plakların statik ve dinamik davranışlarını incelemişlerdir. Soldatos ve Tımarcı, 1993, Tımarcı ve Soldatos, 1995, 2000 literatürde varolan teorileri özel hal olarak elde etme olanağı sağlayan birleştirilmiş bir yüksek-mertebe kayma deformasyon teorisi (BKDT) önermişler ve bu teoriyi silindirik kompozit kabukların titreşimine uygulamışlardır. Soldatos ve Messina, 1998, 2001 ve Messina ve Soldatos, 1999 (a,b) BKDT ni kullanarak kompozit silindirik kabuk ve plakların dinamik davranışlarını incelemişlerdir. Aynı BKDT çerçevesinde, değişik sınır koşullarındaki kompozit plakların kritik burkulma yükleri ve serbest titreşim frekansları Aydoğdu ve Tımarcı, 2001 (a,b,c), 2003 tarafından Ritz ve Navier çözüm yöntemleri uygulanarak bulunmuştur. Katmanlı kompozit plakların statik ve dinamik davranışlarını inceleyen önceki çalışmaların tümüne burada değinmek mümkün değildir. Daha fazla bilgi için Noor ve Burton, 1989 ve Leissa, 1987 ye bakılabilir. Literatürde yer alan ve bu çalışmaya temel oluşturan bazı çalışmalar Çizelge 1.1 de verilmiştir.

5 Çizelge 1.1. Literatürde Yer Alan Konu İle İlgili Çalışmalar Referans Tit. Bur. Sınır Şartları Çözüm Yöntemi Kullanılan teori Whitney ve Leissa, + + BBBB Navier-tipi KPT 1969 Whitney ve Leissa, + + BBBB Fourier serileri KPT 1970 Whitney ve Pagano, + - BBBB Navier-tipi UKDT 1970 Jones, BBBB Navier-tipi KPT Jensen ve Crawley, + - ASSS Deneysel KPT 1984 sey, p-ritz Reddy, 1984 Parabolik Kayma Deformasyon Teorisi Reddy ve Phan, + + BBBB Navier-tipi PKDT 1985 Phan ve Reddy, + + BBBB, AAAA Navier-tipi PKDT 1985 Sey Di Sciuva, BBBB Navier-tipi zig-zag Dickinson ve Di + + BBBB,SSSS R-R KPT Blasio, 1986 ASSS,AASS, BBSS, AAAA (OP) Leissa, 1987 Daha önce kompozit plakların burkulması ile ilgili çalışmaların özetlendiği bu çalışmada 352 kaynak bulunmaktadır. Baharlou ve Leissa, + + Genel Ritz KPT 1987 (BP) Reddy ve Khdeir, BXBY Levy-tipi SEY KPT, UKDT, PKDT Narita ve Leissa, - + BBBB Ritz (TP) KPT 1990 Qatu, XYSS Ritz (BP) KPT Narita ve Leissa, + - ASSS Ritz (BP) KPT 1992 Hadian ve Nayfeh, + + BXBY Levy-tipi PKDT 1993 Al-Obeid ve Cooper, AAAA,ASAS ABAS,AAAS R-R (BP) KPT

6 Çizelge 1.1. (devamı) Chen vd., Genel p-ritz PKDT Messina ve Soldatos + - Genel P-Ritz BKDT 1999a Messina vesoldatos, + - SSSS Ritz BKDT 1999 (OP) Khdeir ve Reddy, + - BXBY Levy-tipi İMKDT 1999 Narita, Genel Ritz KPT (BP) Aydoğdu ve + + BBBB Navier BKDT Tımarcı, 2001a Ritz (TP) Aydoğdu ve + - BBBB,ASSS Navier,Ritz BKDT Tımarcı, 2001b (BP) Aydoğdu ve - + BBBB Navier Tipi BKDT Tımarcı, 2001c Soldatos ve + - Genel Ritz (OP) BKDT Messina, 2001 Aydoğdu ve + - Genel Ritz (BP) BKDT Tımarcı, 2003 Not: B: Basit destekli S: Serbest, A:Ankastre. KPT: Klasik Plak Teorisi, UKDT: Uniform Kayma Deformasyon Teorisi, PKDT:Parabolik Kayma Deformasyon Teorisi, BKDT: Birleştirilmiş Yüksek Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi, İMKDT: İkinci Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi, OP: Ortogonal Polinomlar, BP: Basit Polinomlar, TP: Trigonometrik Polinomlar, SEY: Sonlu Elemanlar Yöntemi.

7 1.3. Çalışmanın Amacı ve Kapsamı 19. yüzyılın ikinci yarısında Kirchhoff tarafından önerilen klasik plak teorisi metal, ağaç ve beton yapılara uygulanmış ve iyi sonuçlar elde edilmiştir. Bu teorinin 20. yüzyılda kullanılmaya başlanan katmanlı kompozit plaklara uygulanması sonucu elde edilen sonuçların deneysel sonuçlarla önemli farklılıkları olduğu göze çarpmaktadır. Bunun nedeni, KPT çerçevesinde düşey kayma genlemelerinin göz önüne alınmamasıdır. Bu eksikliği ortadan kaldırmak amacıyla düşey kayma genlemelerini plak kalınlığı boyunca sabit olarak kabul eden UKDT önerilmiştir (Yang vd, 1966). Bu teoriye göre düşey kayma genlemeleri veya gerilmeleri herbir katman boyunca sabit olarak kabul edildiğinden, düşey kayma dayanımını ayarlamak için kayma düzeltme faktörlerinin kullanılması gerekmektedir. Bundan dolayı UKDT nin geçerli olduğu alan büyük ölçüde kayma düzeltme faktörünün doğruluğuna bağlıdır. Düzlem içi yer değiştirmelerin kalınlık ile yüksek mertebeden değiştiği teoriler Reddy, 1984 ve Bhimaraddi ve Stevens, 1984 tarafından önerilmiştir. Reddy, 1984 düzlemiçi yer değiştirme bileşenlerini plak yüzeylerinde kayma gerilmelerinin sıfır olması şartını sağlayacak şekilde düşey koordinatın parabolik fonksiyonu olarak seçmiştir. Touratier, 1991 ve Soldatos, 1991 sırasıyla düzlem-içi yer değiştirme bileşenlerini kalınlığın trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları olarak seçmişlerdir. Soldatos ve Tımarcı, 1993, tüm bu yüksek mertebe teorilerde düzlemiçi yer değiştirmelerin kalınlık koordinatına bağımlılığını, bir şekil fonksiyonu seçerek birleştirmiştir. Bu fonksiyonun uygun şekilde seçilmesiyle klasik, lineer, parabolik ve hiperbolik teoriler özel durum olarak elde edilmektedir. Bu teori birleştirilmiş kayma deformasyon teorisi olarak adlandırılmıştır (BKDT). Katmanlı kompozit plakların burkulma ve serbest titreşim davranışlarının incelenmesinde ortaya çıkan denklemlerin çözümü elyafların yönlenme açılarına ve sınır şartlarına bağlıdır. Basit destekli, serbest ve ankastre şeklindeki klasik sınır şartları kullanılarak izotrop plaklar 21 farklı şekilde mesnetlenebilir (Narita, 2000). Bu sayı kompozit malzemeden yapılmış plaklarda daha da artmaktadır. Tüm kenarları basit mesnetli simetrik ve antisimetrik dik katmanlı kompozit plakların burkulma ve titreşim

8 problemi Navier yöntemiyle analitik olarak çözülebilmektedir. Kompozit plağın paralel iki kenarı basit destekli, diğer kenarlarının ise keyfi bırakıldığı durumda simetrik ve antisimetrik dik-katmanlı kompozit plaklar ile antisimetrik açılı katmanlı plakların burkulma ve titreşim problemi Levy yöntemiyle analitik olarak çözülebilmektedir. Bu sınır şartlarından farklı sınır şartları için ise kompozit plak burkulma ve titreşim problemlerinin kesin çözümü yoktur. Bu durumlarda sonlu farklar, sonlu elemanlar ve Ritz yöntemi gibi yaklaşık yöntemler kullanılmaktadır. Yaklaşık yöntemlerden birisi olan Ritz yöntemi 1950 li yıllardan beri izotrop plaklar ve klasik plak teorisi çerçevesinde kompozit plakların burkulma ve titreşim problemlerine uygulanmıştır. Bu çalışmalarda yer değiştirme alanı bileşenleri kiriş fonksiyonları, basit polinomlar, ortogonal fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlar olarak seçilmiştir. Chen vd.,1997, p-ritz yöntemiyle simetrik katmanlı plakların titreşimini kayma deformasyon etkilerini kullanarak incelemişlerdir. Soldatos ve Messina, 1998, 2001, Messina ve Soldatos, 1999, 2001 ortogonal polinomlar kullanarak kompozit plak, panel ve silindir titreşim problemlerini ele almışlardır. Aydoğdu ve Tımarcı, 2001 (a,b,c) ise trigonometrik fonksiyonlar ve basit polinomlar kullanarak kompozit plakların burkulma ve titreşim problemlerini incelemişlerdir. Kompozit plakların titreşim problemiyle ilgili kayma deformasyon teorisi kapsamında Ritz yöntemiyle yapılan çalışma sayısı azdır ve bu çalışmalarda yer değiştirme bileşenleri genellikle ortogonal polinomlar olarak seçilmektedir. Bu kapsamda literatürde burkulma problemiyle ilgili çalışmaya rastlanmamıştır. Bu çalışmanın ilk amacı daha önce kompozit kabuklar için geliştirilmiş BKDT nin kompozit plaklar için uygun bir şekilde değiştirip plakların burkulma ve titreşimini yöneten denklemleri elde etmek ve kenarlarında değişik sınır şartlarına sahip kompozit plakların Ritz yöntemiyle burkulma ve serbest titreşim problemlerini incelemektir. Bu kısımda belirtilen kayma deformasyon teorileri tek-tabaka teorileri (singlelayer theories) olarak bilinirler ve sabit sayıda bilinmeyen içerirler. Bunun dışında kullanılan katman sayısıyla bilinmeyen sayısının değiştiği çok-tabaka teorileri de (layer-wise theories) kullanılmaktadır. İkinci grup teoriler katmanlar arası gerilmelerin sürekliliğini sağlayarak üç-boyutlu elastisite çözümlerine daha yaklaşmaktadır. Ancak katman sayısının artmasıyla işlemler karmaşıklaşır. Tek-tabakalı teoriler ile UKDT kapsamında katmanlar arası süreklilik şartlarının sağlanması amacıyla çeşitli çalışmalar

9 yapılmıştır (Sun ve Whitney, 1973, Chou ve Carleone, 1973, Di Sciuva, 1986). Ren 1986 (a,b) ve Ren ve Owen, 1989, yedi serbestlik dereceli PKDT ile katmanlar arası süreklilik şartlarını sağlamışlardır. Yine beş serbestlik dereceli PKDT kullanarak yapılmış çalışmalar da vardır (Savithri ve Varadan, 1990 (a,b), Di Sciuva, 1992, Cho ve Parmerter, 1992, 1993). BKDT kapsamında Tımarcı ve Soldatos, 1995 simetrik dik katmanlı kabukların titreşim probleminde süreklilik şartlarını sağlamışlardır. Bu çalışmanın bir diğer amacı simetrik dik katmanlı plakların serbest titreşim ve burkulma probleminde katmanlar arası süreklilik şartlarını sağlamaktır. Çalışmanın bundan sonra gelen 2. Bölümünde, kayma deformasyon etkilerini gözönüne alan ve yerdeğiştirme alanında kullanılan bir şekil fonksiyonu ile katmanlar arası süreklilik koşullarının ve enalt-enüst yüzeylerde kayma gerilmelerinin sıfır olma koşulları gibi kısıtlamaları olanaklı kılan BKDT nin yer değiştirme ve genleme alan denklemleri sunulmuştur. Daha sonra bu teori çerçevesinde Hamilton ve Minimum Enerji ilkelerinden faydalanarak genel katmanlı kompozit plakların titreşim ve burkulma problemini yöneten denklemler ve sınır şartlarının farklı bileşimleri elde edilmiştir. 3. Bölümde elde edilen bu denklemler, farklı plak teorileri kullanılarak, değişik malzeme ve geometriye sahip tüm kenarlarından basit desteklenmiş dikkatmanlı kompozit plaklar için Navier çözüm yöntemi uygulanarak çözülmüş ve elde edilen kritik burkulma yük ve frekans parametreleri çizelge ve grafikler şeklinde verilmiştir. 4. Bölümde analitik çözümün mümkün olmadığı diğer sınır şartları için kullanılacak olan Ritz yöntemi açıklanmış ve bu yöntemde kullanılacak olan genleme potansiyel enerjisi, dış kuvvetlerin potansiyel enerjisi ifadeleri yer değiştirmeler cinsinden elde edilmiştir. Bu bölümde basit destekli durum için trigonometrik fonksiyonlar ve diğer sınır şartları için de basit polinomlar kullanılarak burkulma problemi incelenmiştir. 5. Bölümde, açılı katmanlı tüm kenarları basit desteklenmiş plaklar için trigonometrik fonksiyonlar ve kenarları sınır koşullarının 12 farklı bileşiminden oluşacak şekilde desteklenmiş dik katmanlı plaklar için basit polinomların kullanıldığı Ritz yöntemiyle serbest titreşim analizi yapılmıştır. Son bölüm olan 6. Bölümde elde edilen sonuçlar genel olarak tartışılmıştır.