Cebir Notları. Hız Problemleri Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 Cebir Notları Mustafa YĞCI, irim zamanda gidilen yol, hız diye tanımlanmış. Yani; 1 saatte 60 kilometre gitmişsek hızımız 60 km/s olur. 1 dakikada 3 kilometre gitmişsek, hızımız 3 km/dk olur. 1 saniyede 2 metre gitmişsek hızımız 2 m/sn olur. Hızı bulmak için ille de birim zamana göre aldığımız yolu hesaplamalıyız. Yani 3 saatte 90 kilometre gitmişsek, hızımız 90 km/s olmaz. Hız için 3 saatte değil, 1 saatte aldığımız yol önemlidir. Zaten öyle olsaydı 90 kilometrelik yolu 3 saatte de alsak, 7 saatte de alsak hızımızın 90 km/s olması gerekirdi ki ne kadar saçma bir hareket olduğuna artık siz karar verin. Süre arttıkça gidecek yol artacağından (mantığımız öyle söylüyor), süre ile yol doğru orantılıdır. u sebeple, 3 saatte 90 kilometre giden biri, 1 saatte 30 kilometre gidebileceğinden hızı 30 km/s tir. Şimdi bu işlemleri genelleyelim: ir hareketli x birimlik bir yolu, t birimlik bir sürede almış olsun iz de bu hareketlinin hızı olan V yi bulmaya çalışalım. ize t birim sürede aldığı yol değil, 1 birim sürede aldığı yol lazım. O halde, t birim sürede x birim yol gidiyorsa, 1 birim sürede V birim yol gider diye bir orantı kurarsak, ki bu doğru orantıdır, hareketlinin hızının V = t x olduğu çıkar. İsteyen denklemi t = V x veya x = V t gibi de ezberleyebilir ya da kullanabilir. en olsam, x = V t eşitliğini seçerdim, çünkü kesirli ifadeleri bilgisayarda yazması zor oluyor. x = V t eşitliğini kocaman bir kağıda kocaman kocaman yazıp, odanızın duvarına asın! nneniz izin vermiyorsa da aklınızın bir köşesine yazın! Yani satırda değil, hatırda kalsın yeter! Tüm hız problemlerini çözecek olan bu denkleme ne kadar iltifat etsek azdır. u eşitliği bilip de çözemeyeceğimiz hız problemi yoktur, inanmayan varsa sabretsin!. Şimdi ufak ufak soru-çözümlere başlayabiliriz: Soru. 6x metrelik bir yolu, 3t dakikada giden bir hareketlinin hızını bulunuz. Çözüm: ulmamız gereken hıza V diyelim. Yol = Hız Zaman olduğundan 6x = V 3t olur. Denklemden V yi çekersek; 6 x 2x V = = m/dk 3t t olarak bulunur. Hızın birimi çok önemlidir. u soruda uzaklık metre, süre de dakika cinsinden verildiğinden hızın birimini m/dk olarak yazdık. aşka birimler verseydi, hızın birimi de ona göre değişirdi. azen hızın birimini özellikle soruda verilen birimler dışında sorarlar. irimler arasındaki geçişleri yapmayı iyi bilmeliyiz. Hemen bunla ilgili bir soru çözelim o zaman. Soru. 5 saniyede 60 metre giden bir trenin hızı kaç km/s tir? Çözüm: Dikkat ettiyseniz soruda verilen süre saniye, yol metre cinsinden ama trenin hızı kilometre ve saat cinsinden soruluyor. Saniyeyi saate, metreyi kilometreye çevirmeyi bilen için çocuk oyuncağı gibi bir şey. ilmeyene öğretelim. Unutana da hatırlatalım: 1 saat = 60 dakika = 3600 saniye ve 1 kilometre = 1000 metre. Trenimiz 5 saniyede 60 metre gidiyormuş. ize 1 saatte yani 3600 saniyede gittiği yol lazım. ir orantı kurun, doğru olsun, cevap metre çıkacaktır. E, bu da 43,2 km demektir. O halde trenin hızı 43,2 km/s tir.

2 Mustafa YĞCI ir araç 100 km.lik mesafeyi sabit bir hızla 5 saatte almaktadır. u aracın hızını m/dk cinsinden bulunuz. Yanıt: 1000/3 ir araç 6x metrelik bir yolu, sabit bir hızla x dakikada gidiyor. u aracın hızını km/s cinsinden yazınız. ) 12/25 ) 11/25 C) 2/5 D) 9/25 E) 8/25 ir otobüs sabit bir hızla 12 dakikada 1 km. gitmektedir. u aracın hızı kaç km/s.dir? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ir okul servisi, evden okula olan mesafeyi sabit 60 km/s bir hızla 8 dakikada katediyor. u servis dakikada kaç metre ilerliyordur? ) 6500 ) 7000 C) 7500 D) 8000 E) 8500 ir yüzücü 1 kilometrelik bir mesafeyi sabit bir hızla 4 dakikada yüzebiliyor. Yüzücünün hızı kaç m/dk.dır? ) 300 ) 250 C) 200 D) 150 E) 100 Olimpiyatlarda bir atlet 100 metreyi 10 saniyede koşmuştur. u atletin hızı ortalama kaç km/s.tir? ) 20 ) 25 C) 26 D) 35 E) 36 Soru. 300 metre uzunluğundaki bir tren, 200 metre uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 40 saniyede geçmiştir. u trenin hızı kaç m/dk.dır? Çözüm: ir trenin ilk vagonu tünelin içine girdiği anda, tren tünele girdi sayılır ama ilk vagon tünelden çıktığı anda tren tüneli geçti diyemeyiz. llah göstermesin, o an tünelin yıkıldığını düşünün bakalım, tren tüneli geçmiş olsa hiç altında kalır mıydı? Demek ki tren hem kendi boyu kadar hem de tünel boyu kadar ilerlemeli. x = V t olduğundan = V 40 olur. urada uzunluk metre, süre saniye olduğundan V = 12,5 2 m/sn olur. 1 saniyede 12,5 metre gidiyorsa 60 saniyede yani 1 dakikada 750 metre gider. O halde V = 750 m/dk dır. u tarz sorularda tren bazen tüneli değil de elektrik direğini filan geçer. u tip sorularda elektrik direğini kalınlıksız düşüneceğiz. Yani öyle olmasa da bunları ihmal edeceğiz. Ekteki sorularda bunla ilgili bir soru da bulacaksınız. 200 mt. uzunluğundaki bir tren, 300 mt. uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 50 saniyede geçmiştir. u trenin hızı kaç m/dk dır? Yanıt: metre uzunluğundaki bir tren, 150 metre uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 12 saniyede geçiyor. Trenin hızı kaç km/s.dir? ) 75 ) 80 C) 85 D) 90 E) metre uzunluğundaki bir düğün konvoyu 40 km/s.lik sabit bir hızla ilerlemektedir. u konvoy, 150 metre uzunluğunda bir köprüyü kaç saniyede geçer? ) 40 ) 45 C) 50 D) 55 E) 60 Cepheye savaşa giden bir atlı birlik 30 km/s sabit hızla 100 metrelik bir köprüyü 2 dakikada geçmiştir. u birliğin uzunluğu kaç metredir? ) 910 ) 900 C) 810 D) 800 E) metre uzunluğundaki bir tren bir tüneli 80 km/s.lik sabit hızla 40 saniyede geçmiştir. Tünelin boyu kaç metredir? ) 842 ) 840 C) 7550/9 D) 755 E) 754/9 240 metre uzunluğundaki bir tren, kalınlığı ihmal edilebilecek bir direği 60 km/s hızla geçiyor. Trenin direği geçmesi kaç saniye sürer? ) 12,5 ) 13,4 C) 13,5 D) 14,4 E) 14,5

3 Mustafa YĞCI Soru. Her gün 6 saatte aldığı yolu, hızını 10 km/s arttırarak 5 saatte alan bir otobüsün eski hızı kaç km/s tir? yrıca üşenmezseniz bu yolun uzunluğunu bulunuz. Çözüm: Otobüsün erken varma sebebi yolun kısalması değil, hızın artması. Yani dünkü yol, bugün de aynı yol. O zaman hem eski hızına göre, hem de yeni hızına göre x = Vt denklemlerimizi kuralım. Eski hızına V, yeni hızına V + 10 diyelim. x = V 6 ve x = (V + 10) 5 denklemleri eşitlenirse 6V = 5(V + 10) çıkar ki, buradan V = 50 bulunur. İlk sorunun cevabını bulmuş olduk. Şimdi bunu canımızın istediği eşitlikte yerine yazalım: x = 6 V = 6 50 = 300 km dir. Soru. Her gün belli bir yolu belli bir sürede alan hareketli, hızını 20 m/dk arttırınca bu yolu 2 dakika erken, 10 m/dk azaltınca 4 dakika geç kalıyorsa, bu yol kaç metredir? Çözüm: Her günkü hızı V m/dk, her gün bu yolda geçen süre de t dakika olsun. Hızını arttırsa da azaltsa da yola bir şey olduğu yok. Yol ne azalır, ne kısalır. Hemen x = V t eşitliğini kuralım: x = Vt = (V + 20) (t 2) = (V 10)(t + 4) olur. Parantezler açılırsa x = Vt = Vt 2V + 20t 40 = Vt + 4V 10t 40 çıkar. 2V + 20t = 4V 10t olduğundan 6V = 30t yani V = 5t olur. Şimdi nerde V görürseniz gidin yerine 5t yazın. x = 5t.t = (5t + 20)(t 2) = (5t 10)(t + 4) olur. en sizin yerinize t yi buldum, t = 4 çıktı. x = 5t 2 = 5 16 = 80 metredir. 4 saatte aldığı yolu, 3 saatte almak için hızını 10 km/s arttırmak zorunda olan hareketli var. Yolun uzunluğu kaç km.dir? Yanıt: 120 ir hareketli, belli bir yolu 5 saatte alabiliyor. ynı yolu hızını 20 km/s arttırınca 4 saatte alabilmektedir. u yol kaç km.dir? ) 400 ) 500 C) 600 D) 700 E) 800 elli bir yolu 5 saatte alabilen bir hareketli hızını 5 km/s azaltınca aynı yolu 7 saatte alıyor. u yol kaç km.dir? ) 87 ) 87,5 C) 88 D) 88,5 E) 89 ir araç, bir yolu, hızını 10 km/s azaltınca 8 saatte, 10 km/s arttırınca 6 saatte alabiliyor. ynı hareketli hızını 20 km/s arttırırsa aynı yolu kaç saatte alır? ) 6 ) 16/3 C) 5 D) 14/3 E) 4 Hızını 5 km/s azaltırsa belli bir yolu 4 saatte alan bir araç var. u araç eski hızında 6 saat giderse kaç km. yol kateder? ) 6x ) x 60+ 3x C) 2 D) x 60+ x E) km.lik bir yolu 4 saatte alan bir araç var. Eğer bu yol %50 daha uzun olur ve araç hızını 10 km/s azaltırsa, yeni yolu kaç saatte alır? ) 9 ) 8,5 C) 8 D) 7,5 E) 7 ksilikler olursa. azen arabanın durduk yere arızalanacağı tutar. Veya adamın yolda mola veresi gelir. Veya hava koşullarından ötürü uçak rötar yapar. ksilik bu ya! Tam da gelir bizim sorumuzu bulur. u aksiliklerden doğan gecikmeler veya gecikmemek için hız arttırmalar, hız problemlerine çokça malzeme olur. u aksilikler o kadar önemli değil ama soruyu çözmenizde aksilik doğurursa o kötü! Mümkün olduğunca bol örnekle açıklamaya gayret edeceğim. aşlıyoruz: Soru. 900 kilometrelik İstanbul-dana arasını normal şartlarda 55 dakikada giden bir uçak hava muhalefeti nedeniyle İstanbul dan 5 dakika rötarlı kalkmıştır. Uçağın (o sırada güllük gülistanlık olan) dana ya planlanan sürede varabilmesi için hızı kaç km/s olmalıdır? 3

4 Mustafa YĞCI Çözüm: Rötarı telafi etmek için, her zaman 55 dakikada aldığı mesafeyi, o gün 50 dakikada almak zorundadır. 50 dakikada 900 kilometre gidiyorsa 60 dakikada yani 1 saatte 1080 kilometre gider. O halde uçağın hızı 1080 km/s olmalıdır. Soru. Saatteki hızı 60 km. olan bir kamyon kentinden kentine doğru harekete başladıktan 1 saat sonra, hızı 75 km/s olan bir otobüs, otobüsten 1 saat sonra da bir otomobil dan ye doğru harekete başlıyorlar. Üçü aynı anda ye vardığına göre yolu kaç km.dir? yrıca otomobilin hızı kaç km/s tir? Çözüm: Kamyon, otobüse göre 1 saat, otomobile göre 2 saat fazla seyahat etmiştir. Yani, otomobil t saatte ye vardıysa, otobüs (t + 1), kamyon ise (t + 2) saatte varmıştır. Hepsinin aldığı yolun aynı olduğunu yine unutmuyoruz. Otomobilin hızına V km/s diyelim. x = 60 (t + 2) = 75 (t + 1) = V t denklemlerini çözersek t = 3 saat buluruz. u yüzden x = 300 km. çıkar. Yine bu yüzden de V = 100 km/s çıkar. Soru. kentinden kentine doğru saatte 40 km.lik hız yapan bir araç harekete başlıyor. u a- raçtan 1 saat sonra aynı yerden aynı yönde doğru bir başka araç daha hareket ediyor. İkinci araç 1 saat geç çıkmasına rağmen ye ilk araçtan 1 saat erken varıyor. yolu 480 km. ise ikinci aracın saatteki hızı kaç km/s tir? Çözüm: Demek ki ikinci araç bu yolu birinci araçtan 2 saat daha az zamanda alabiliyor. 480 km.lik yolu ilk araç hızı 40 km/s olduğundan 1 saatte alır, o halde ikinci aracın bu yolu bitirmesi için gereken süre 10 saattir. Sonuç olarak, ikinci aracın hızı 480/10 = 48 km/s olur. kentinden kentine doğru 60 km/s hızla bir araç harekete başlıyor. undan 1 saat sonra hızı 75 km/s olan bir araç hareket ediyor. İki araç ye aynı anda vardığına göre yolu kaç km.dir? Yanıt: 300 kentinden kentine doğru 50 km/s hızla bir araç harekete başlıyor. undan 2 saat sonra hızı 75 km/s olan bir araç hareket ediyor. İki araç ye aynı anda vardığına göre yolu kaç km.dir? ) 100 ) 150 C) 200 D) 250 E) 300 kentinden kentine doğru 50 km/s hızla bir araç harekete başlıyor. undan 2 saat sonra hızı 75 km/s olan bir araç hareket ediyor. İkinci araç ye 1 saat erken vardığına göre yolu kaç km.dir? ) 450 ) 400 C) 350 D) 300 E) 250 kentinden kentine doğru hızları 50 km/s, 75 km/s ve V km/s olan üç araç birer saat arayla sırasıyla harekete başlıyorlar. Üç araç ye aynı anda vardığına göre V kaçtır? ) 100 ) 150 C) 200 D) 250 E) 300 kentinden kentine doğru hızları 60 km/s, 75 km/s ve V km/s olan üç araç birer saat arayla sırasıyla harekete başlıyorlar. Üçüncü araç ye vardıktan 1 saat sonra ilk iki araç aynı anda ye vardığına göre V kaçtır? ) 50 ) 75 C) 100 D) 105 E) 110 Hızları V km/s, V + 15 km/s, V + 40 km/s olan üç araç dan ye birer saat arayla sırasıyla harekete başlıyorlar ve üçü aynı anda ye varıyorlar. una göre yolu kaç km.dir? ) 500 ) 400 C) 300 D) 200 E) 100 Soru. Saatteki hızı V km. olan bir araç belli bir yolu hep 10 saatte alıyor. Eğer yolun 1/3 ünü 2V hızla giderse, gelenek bozulmasın diye yolun kalanını hangi hızla gitmelidir? Çözüm: Yola, üçe kolay bölünsün diye 3x diyelim. 3x = V 10 olduğunu unutmayın. 3x in x ini 2V hızla t saatte almışsa x = 2V t olur. O halde 3x = 6Vt, diğer yandan 3x = V 10 idi. uradan t = 5/3 bulunur. Gelenek bozulmasın diye kalan 2x lik yolu 10 5/3 = 25/3 saatte almalıdır. uradaki hızına da V 2 diyelim. 2x = V 2 25/3 olur. x yerine 10V/3 yazılırsa V 2 = 4V/5 olarak bulunur. 4

5 Mustafa YĞCI 300 kilometrelik bir yolu, arabasıyla 6 saatte almayı planlayan bir adam, seyahate herhangi bir sebeple 1 saat geç başlamıştır. Planlanan sürede gitmek istediği yere varabilmesi için hızını yüzde kaç arttırmalıdır? Yanıt: 20 elli bir yolu hep 5 saatte alan biri, yolun yarısına 3 saatte gelmiştir. Yolun kalan yarısında, ilk yarıdaki hızını % kaç arttırmalı ki her zaman vardığı sürede varabilsin? ) % 50 ) % 55 C) % 60 D) % 65 E) %70 ir hareketli gideceği yolun 3/5 ini 6 saatte, kalan yolu 8 saatte gitmiştir. u hareketlinin yolun ilk kısmındaki hızı, ikinci kısmındaki hızının kaç katıdır? ) 6 ) 5 C) 4 D) 3 E) 2 ir hareketli 10 saatte almayı planladığı yolun 3/5 ini 9 saatte almıştır. Yolun kalan kısmında hızını % kaç arttırmalı ki planladığı sürede varabilsin? ) 100 ) 200 C) 400 D) 500 E) 600 ir araç gideceği yolun 1/6 sını 1 saatte, kalan yolu ise 2,5 saatte almıştır. u aracın yolun ilk kısmındaki hızı, ikinci kısmındaki hızının kaç katıdır? ) 3 ) 3/2 C) 1 D) 1/2 E) 1/3 dana-nkara arası 500 km., nkara-istanbul arası ise 400 km.dir. dana dan İstanbul a 8 saatte giden bir aracın nkara da hızını %50 arttırdığı biliniyor. racın nkara dan İstanbul a kadar harcadığı süre kaç dakikadır? ) ) C) D) E) Soru. Hızları saatte V 1, V 1 + V 2 ve V 1 V 2 olan üç hareketliden birincinin 4t saatte aldığı yol, ikincinin 3t saatte aldığı yol ise üçüncünün t saatte aldığı yol ve cinsinden nedir? Çözüm: Üç hareketlinin de hızları da, bitirme süreleri de, yolları da farklı. O zaman her biri için ayrı ayrı denklem yazalım. Sorulana X diyelim. = V 1 4t = 4V 1 t = (V 1 + V 2 ) 3t = 3V 1 t +3V 2 t X = (V 1 V 2 ) t = V 1 t V 2 t olduğundan ilk denklemden V 1 t yi cinsinden çeker, onu ikinci denklemde yerine yazarak V 2 t yi de cinsinden buluruz, böylelikle soru çözülmüş olur X = V 1 t V 2 t = = Soru. Eşkenar olan C üçgeni şeklindeki bir pistin köşesinden V 1 hızlı ve V 2 hızlı iki hareketli aynı anda harekete başlıyor. V 2 hızlı olan H yüksekliğinden gidip ya dönene kadar V 1 hızlı hareketli çevreyi dolaşıp ya dönüyor. una göre V 1 /V 2 oranı kaçtır? Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenarı 2 birim olsun. Çevreyi dolaşan V 1 hızlı hareketli 6 birim giderken, yükseklikten gidip gelen V 2 hızlı hareketli 2 3 birim yol alır. u yolları alırken geçirdikleri süre aynı olduğundan hızları oranı aldıkları yollar oranıdır. O halde V 1 /V 2 = 6/(2 3 ) = 3 tür. Karşılaşma Problemleri. İki hareketli aynı yolda birbirlerine doğru hareket ederlerse elbet bir zaman sonra karşılaşacaklardır. Genel olarak 4 veri böyle sorulara yeter. unlar: irinci hareketlinin hızı, ikinci hareketlinin hızı, başlangıçta aralarındaki uzaklık ve karşılaşmaları için geçmesi gereken süre. u 4 veriden 3 ünü vererek dördüncü veriyi sorarlar. Konunun ilk bölümündeki x = Vt eşitliğini iyi anlamış biri için bu tarz sorular da bir oyuncak olacaktır. Önce bir karşılaşma sorusu çözelim, ardından çözümü genelleyebilirsek genelleyeceğiz. Soru. V1 V 2 H C 20 km/s 30 km/s 400 km ile kentleri arası 400 km. olup dan saatteki hızı 20 km, den saatteki hızı 30 km. olan bir araç aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra karşılaşırlar? 5

6 Mustafa YĞCI Çözüm: Tüm problem soruları gibi hemen sorulana adlandıralım. t saat sonra karşılaşsınlar. t saatte yavaş olan 20t, hızlı olan 30t km yol alır. Karşılaştıklarına göre aldıkları yolların toplamı tam 400 km olmalı. 50t = 400 olduğundan t = 8 çıkar. Şimdi aynı mantıkla karşılaşma problemlerinin formülünü çıkartalım: V 1 km/s V 2 x km km/s Yine karşılaşmaları için geçmesi gereken süreye t saat diyelim. dan kalkan t saatte V 1 t, den kalkan t saatte V 2 t km. yol alır. Karşılaşmaları için katettikleri toplam yol x km. olmalıdır. x = V 1 t + V 2 t = (V 1 + V 2 )t Demek ki karşılaşma problemlerini hızlı çözebilmek için; iki aracın toplamına denk sadece tek bir araç varmış gibi düşüneceğiz. Yol ve süre değişmez ama yeni aracımızın hızı V 1 + V 2 olacak. Soru. Toprakta 20 km/s, asfaltta 40 km/s hızla gitmeye ayarlanmış iki farklı araç aralarındaki uzaklığın 800 km. olduğu ve kentlerinden birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Yolun yarısı asfalt yarısı toprak ise bu iki araç kaç saat sonra karşılaşırlar? Çözüm: u soruyu normal karşılaşma problemi gibi düşünemeyiz. Çünkü asfaltta hareket eden daha hızlı olduğundan yolun ortasına daha önce gelir ve burada hızı değişmek zorundadır. Dolayısıyla hızı değişene kadar ne kadar süre geçtiğini önce bir bulalım bakalım. 20 km/s 40 km/s 400 km toprak C 400 km asfalt Üst şekildeki gibi, yolun ortası C, C yolu toprak, C yolu da asfalt olsun. sfaltta hareket edenin hızı 40 km/s ve asfalt 400 km. olduğundan 10 saatte hızlı olan yolun ortasına varır. u 10 saatlik sürede de dan kalkan 200 km. ilerlemiş ve C nin ortasına gelmiştir. Karşılaşmaları için toplam 200 km. gitmeleri lazım yani. rtık den kalkanın da hızının 20 km/s olduğunu unutmayın. x = (V 1 + V 2 )t olduğundan 200 = ( )t olur ki t = 5 bulunur. Önceden de 10 saat geçmişti, o halde karşılaşma ilk ana göre 15 saat sonra olur. Soru. dana-istanbul arası hala 900 kilometre. dana dan hızı 40 km/s olan bir kamyon ile İstanbul dan hızı 35 km/s olan bir otobüs aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. unlarla aynı anda da dana dan acayip bir sinek saatte 200 km.lik bir hızla İstanbul a doğru uçmaya başlıyor. Sinek, otobüsün camına değdiği anda durmadan aynı hızla geri dönüyor, bu sefer kamyon ile karşılaşıyor ve onun camına değdiği anda yine aynı hızla durmadan geri dönüyor ve bu böyle devam ediyor. Kamyon ile otobüs sonunda çarpışıyor ve sineğimiz vefat ediyor. llah rahmet etsin ama sinek ölmeden önce kaç km. yol katetmiştir? Çözüm: Hiç gülme, süper bir karşılaşma sorusudur! Sineğin hızı belli değil mi? elli. O halde kaç saat uçtuğunu bulursak, soruyu çözmüş olacağız. Kaç saat uçtu? u iki aracın harekete başlamalarından çarpışana kadar geçen süre kadar. E, 900 km.lik bir mesafede hızları 40 ve 35 km/s olan iki araç 900/( ) = 12 saat sonra karşılaşırlar... Demek ki rahmetlik 12 saat uçtu. undan dolayı = 2400 km. yol katetmiştir. 20 km/s 10 km/s 240 km ile kentleri arası 240 km. olup dan saatteki hızı 20 km, den saatteki hızı 10 km. olan bir araç aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra karşılaşırlar? Yanıt: 8 ralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve 25 km/s.lik hızlarla harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra bu araçlar karşılaşırlar? ) 6 ) 5 C) 4 D) 3 E) 2 ralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve V km/s lik hızlarla harekete başlıyorlar. u araçlar 6 saat sonra karşılaştıklarına göre V kaçtır? ) 6 ) 6,5 C) 5 D) 5,5 E) 4 ralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve V km/s.lik hızlarla harekete başlıyorlar. 6

7 Mustafa YĞCI u araçlar 6 saat sonra karşılaştıklarına göre karşılaşma yerinin ye olan uzaklığı kaç km.dir? ) 30 ) 60 C) 90 D) 100 E) 110 ralarındaki uzaklık 320 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve 25 km/s lik hızlarla harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra aralarındaki uzaklık ilk kez 40 km. olur? ) 8 ) 7 C) 6 D) 5 E) 4 ralarındaki uzaklık 320 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve 25 km/s lik hızlarla harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra aralarındaki uzaklık ikinci kez 40 km. olur? ) 9 ) 8 C) 7 D) 6 E) 5 Peki, aynı anda aynı yerden aynı yöne doğru harekete başlayan iki araç karşılaşabilir mi? Karşılaşamaz değil mi? Siz öyle zannedin! Soru. ve kentleri arası 200 km. olup, dan aynı anda iki araç aynı yöne doğru birlikte harekete başlıyorlar. irinin hızı 20 km/s, diğerinin ise 30 km/s olsun. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyorsa, bu iki araç ilk hareketten kaç saat sonra karşılaşırlar? yrıca karşılaşma yerinin ya olan uzaklığı kaç km.dir? Çözüm: Gördünüz değil mi, karşılaşabilirlermiş!. Şimdi bu soruya iki farklı çözüm sunacağız. irinci yol. C 20 km/s 200 km 30 km/s Hızlı olan den döndükten sonra arasındaki bir C noktasında karşılaştıklarını farzedelim. C = x ise C = 200 x olur. Yollar belli, hızlar belli, süreler de aynı, e ne duruyoruz? 200 x = 20.t x = 30.t olduğundan 400 = 50 t olur ki buradan t = 8 çıkar. O halde dan kalkan 8 saatte 20 8 = 160 km. yol almıştır. İkinci yol. Karşılaştıkları anda ikisinin aldıkları yolun toplamı 400 km. olmaz mı? E, hızları toplamı da 50 km/s, o zaman doğal olarak t = 8 çıkar. 10 km/s 20 km/s 300 km kentinden saatteki hızları 20 km/s ve 10 km/s olan iki araç aynı anda 300 km. ötedeki kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. una göre bu iki araç ilk hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar? Yanıt: 20 kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s olan iki araç aynı anda 200 km. ötedeki kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. una göre bu iki araç ilk hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar? kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s olan iki araç aynı anda 200 km. ötedeki kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. Karşılaşma yerinin ye olan uzaklığı kaç km.dir? kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s olan iki araç aynı anda kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. u iki araç 4,5 saat sonra karşılaştıklarına göre yolu kaç km.dir? kentinden saatteki hızları V 1 km/s ve V 2 km/s olan iki araç aynı anda kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. V 1 > V 2 olup, hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. u iki araç yolunun ortasında karşılaştıklarına göre V 1 /V 2 oranı kaçtır? kentinden saatteki hızı 25 km/s olan bir araç 272,5 km. ötedeki kentine doğru sabit hızla harekete başlıyor. 1 saat sonra da 15 km/s hızla aynı C 7

8 Mustafa YĞCI yerden aynı yöne bir başka araç kalkıyor. Hızlı olan ye vardığında durmadan geri dönüyor. Karşılaşma yerinin ye olan uzaklığı kaç km.dir? Yetişme Problemleri. Tavşan-kaplumbağa hikayesini bilirsiniz. Tavşan, kaplumbağaya hep Sen önden başla! der. Niye? Kendi çok hızlı ya, nasıl olsa ona yetişirim diye Tabi, bu sigara içmeyen bir tavşan! Kazın ayağı hep öyle olmasa da genelde doğrudur. Hızlı olan yavaştan daha geride yarışa başlasa bile eğer yeterli mesafe ve nefes veya benzin varsa hızlı yavaşa yetişir. Şimdi böyle problemlere örnekler vereceğiz. Eğer yine becerebilirsek, yetişme problemlerinin de formülünü çıkartacağız. Soru. Hızı 30 km/s olan bir hareketli, hızı 20 km/s olan başka bir hareketliden 50 metre önde harekete başlarsa, arkadaki öndekine kaç saat sonra yetişir? yrıca hazır bunları bulmuşken nerede yakalayacağını da bulunuz. Çözüm: Yine iki türlü çözüm yapacağız. Tabii inat eden 10 farklı çözüm de bulabilir. irinci yol. 30 km/s 20 km/s 50 km Y rkadaki öncekini t saat sonra Y de yakalıyor olsun. ynı üst resimde çizdiğimiz gibi. Y yoluna y diyelim. Yavaş hareketli y km, hızlı ise 50 + y km. yol almıştır. Her biri için denklemlerimizi kuralım: y = 20 t 50 + y = 30 t eşitliklerinden ilkini ikincisinde yerine yazarsak t = 5 çıkar, ayrıca y = 100 çıktığında hızlı araç, yavaşı den 100 km. ilerde yakalarmış. İkinci yol. Yavaş saatte 20 km, hızlı ise 30 km. yol alıyor. Demek ki hızlı olan her 1 saatte 10 km. yavaşa yaklaşıyor. Yetişmesi için 50 km. yaklaşmalı. 1 saatte 10 km. gidiyorsa? saatte 50 km. gider? doğru orantısını kurarsak, t = 5 bulunur. Gerisi aynı ilk yolu çözdüğümüz gibi. Şimdi bu yaptıklarımızı genellemeye çalışalım. akalım ne çıkacak? V 1 km/s x km V 2 km/s y km Geriden başlayanın hızı V 1 km/s, önde başlayanın hızı V 2 km/s, aradaki fark da x km. olsun. Hem kaç Y t saat sonra yetişeceğini, hem de den kaç km. ilerde yakalayacağını yani y yi bulalım. Nasıl mı bulalım? İkinci yol daha güzel ama biz, eski tas eski tarak, ilk yoldan gidelim. Gidelim ki, Hala ben x = V t denklemini kuramıyorum! diyen kalmasın rkadan kovalayan için: x + y = V 1.t Önde kaçan için: y = V 2.t u iki denklemden (çıkarma yapılırsa); x = (V 1 V 2 ).t xv. 2 y = ( V1 V2 ) bulunur ki, bunlar da yetişme problemlerinin formülüdür. 30 km/s 25 km/s 100 km ve kentleri arası 100 km.dir. dan 30 km/s, den 25 km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar. rkadaki araç öndekini kaç saat sonra yakalar? Yanıt: 20 ve kentleri arası 100 km.dir. dan 30 km/s, den 25 km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar. rkadaki araç öndekini Y de yakalıyorsa Y yolu kaç km.dir? ve kentleri arası 100 km.dir. dan 30 km/s, den V km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar. rkadaki araç öndekini 5 saat sonra yakalıyorsa V kaçtır? ve kentleri arası 120 km.dir. dan 3V km/s, den V km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar. rkadaki araç öndekini 5 sonra Y de yakalıyorsa Y yolu kaç km.dir? dan 30 km/s, den 25 km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar. dan kalkan den kalkanı den 100 km. ötede bulunan Y de yakalıyorsa yolu kaç km.dir? Y 8

9 Mustafa YĞCI ve kentleri arası 100 km.dir. dan 30 km/s sabit hızla bir araç ye doğru harekete başladıktan 1 saat 20 dakika sonra den 15 km/s sabit hızla bir başka araç aynı yönde harekete başlıyor. dan kalkan araç harekete ilk başladığı andan kaç dakika sonra den kalkan araca yetişir? iraz da gidilen yolun dairesel olduğu durumla-ra bakalım. Genel itibariyle öğrenciler, dairesel pist kelimesini veya şeklini gördüler mi, soruyu yapamıyorlar. en de bunu bir türlü anlayamıyorum. Sanki hayatta her gün yürüdükleri yollar cetvelle çizilmiş! Dairesel pist sorularında çember bilgisi gerektiğini zannediyorlar herhalde. Öyle olsa gerek. Evet, bazen gerekir ama ilkokul 4 veya 5 te öğretilen Yarıçapı r olan bir çemberin çevresi 2πr dir bilgisi yeter. ir de ir daire diliminin merkez veya yay açısının ölçüsü 360 ın kaçta kaçıysa daire dilimi veya yay uzunluğu da dairenin o kadarda o kadarıdır. bilgisi kullanılır. una rağmen en gördüm hocam, başka bilgi-lerin de bilinmesi gereken dairesel pist soruları var! diyorsan hala, ne diyeyim, git çember ve daire konusunu çalış o zaman! Hem hangi matematik konusunda bir başka konuya ait bilgiler kullanılmıyor ki? O 12 m/dk 16 m/dk Soru. O merkezli dairesel bir pistin ve noktalarından şekilde görüldüğü üzere iki hareketli aynı anda aynı yöne doğru harekete başlıyorlar. Yavaşın hızı 12 m/dk hızlının hızı 16 m/dk olduğuna göre, hızlı yavaşa ilk kez nerde yetişir? yrıca (bulunabilirse eğer) yolunun boyunu bulunuz. Çözüm: Yine iki yoldan çözelim. irinci yol. uzunluğuna x diyelim. Formülümüz gereği x = (16 12) t = 4t olur. u da x i bulmak için t nin bilinmesi gerektiğini anlatır. Demek ki x bulunamaz. Yani yolu bu verilerle bulunamaz. Nerde yakalar sorusuna cevap arayalım. Yani y yi bulalım. Yine formülümüze başvuralım: xv. 2 x.12 y = = = 3x ( V1 V2 ) (16 12) olduğundan hızlı yavaşı den 3x metre sonra yani da yakalar. İkinci yol. Hızların 12 ve 16 m/dk olması bize yavaşın her 3 birim yol aldığında, hızlının 4 birim yol alması gerektiğini anlatır. O halde yavaş 3 çeyrek çember yayı giderse, hızlı 4 çeyrek çember yayı gider ki bu da da yakalaması demek olur. O merkezli dairesel pistin çevresi 96 metredir. çapının uç noktalarından şekildeki gibi saatteki hızları 8 ve 12 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. İlk kez kaç dakika sonra karşılaşırlar? Yanıt: 1,2 8 m/d 12 m/d O merkezli dairesel pistin çevresi 56 metredir. çapının uç noktalarından şekildeki gibi saatteki hızları 8 ve 6 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. İlk kez kaç dakika sonra karşılaşırlar? O merkezli dairesel pistin çevresi 84 metredir. çapının uç noktalarından şekildeki gibi saatteki hızları 8 m/d O 6 m/d 8 ve 6 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbir- lerine doğru harekete başlıyorlar. eşinci kez kaç dakika sonra karşılaşırlar? O merkezli dairesel pistin çevresi 240 metredir. çapının O uç noktalarından şekildeki gibi saatteki hızları 5 ve 10 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru harekete başlı- yorlar. İkinci kez kaç dakika sonra karşılaşırlar? 5 m/d O merkezli dairesel pistin çevresi 120 metredir. çapının O uç noktalarından şekildeki gibi saatteki hızları 5 ve 10 m/d 10 m/d olan iki bisikletli aynı anda aynı yöne doğru harekete başlıyorlar. dan kalkan den kalkana ilk kez kaç dakika sonra yetişir? O O 8 m/d 6 m/d 5 m/d 10 m/d 9

10 Mustafa YĞCI 5 m/d çapının uç noktalarından O şekildeki gibi saatteki hızları 5 ve 10 m/d olan iki bisikletli aynı anda aynı yöne doğru harekete başlıyorlar. 10 m/d dan kalkan den kalkana ikinci kez 20 dakika sonra yetiştiğine göre pistin uzunluğu kaç metredir? Ortalama Hız. 100 kilometrelik bir yolu bir araçla 2 saatte gittiğinizi düşün. Sizce bu seyahatteki aracın hızı kaç km/s idi? 50 km/s diyorsun değil mi? Şimdi bu 50 sayısı üstüne biraz düşünelim bakalım. Ne demek bu 50? irileri bir aracı hep 50 km/s hızla gitmeye ayarlamış, sen de bu araca, önünden geçerken, kapısını açıp içine atlamışsın, 100 kilometre ilerde de aşağı atlamışsın! u mu yani? Elbet bu değil! raç bazen durmuş, bazen hızlanmış, bazen yavaşlamış, sonuçta 100 kilometreyi bitirdiğinde tam 2 saatin geçtiğini görmüşsün. Onun için de diyorsun ki elliyle geldik. nlayacağınız, bu aracın hangi an, hangi yerde, hangi hızı yaptığını bulmak mümkün olmadığından, bu aracın hızı 50 km/s tir dediğimizde kullandığımız hız kelimesi ortalama hız manasındadır. Değilse de böyle olmalıdır. Toplam yolu, toplam zamana bölersek bulacağımız şey ortalama hızdır. Yani, bir otobüs dana dan İstanbul a 10 saatte gitmişse ortalama 90 km/s hızla gitmiştir diye düşünmeliyiz. dana - İstanbul arasının kaç kilometre olduğunu vermemişsin ki! diyorsan, ben de sana notları neden en başından itibaren okumadığını sorarım. Ortalama hız, yoldan bağımsızdır. Yani, buradan İstanbul a da 20 km/s hızla gidip geriye 30 km/s hızla dönsen, arka mahalleye de 20 km/s hızla gidip, geriye 30 km/s hızla dönsen ortalama hızın aynı ve 24 km/s çıkar. unu ilerde ilk örnekte kanıtlayacağız. Ortalama hızı bulmanın bir başka yolu da, yine kanıtını ilk örneğe bakarak siz yapınız, gidilen ve dönülen hızların harmonik ortalamasını bulmaktır. V 1 km/s V 2 km/s Yani, dan ye V 1 km/s hızla gidip, den ya V 2 km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı, 2V1V 2 V ort = V1 + V2 formülüyle bulunabilir. Ortalama hız, her zaman en fazla süre ayrılan hıza diğerlerine göre daha yakındır. Eğer bir yerden bir yere iki değişik hızla gidilmiş ve her ikisine de eşit süre ayrılmışsa, ortalama hız bu iki hızın toplamının yarısı yani aritmetik ortalamasıdır. Eğer bu iki hızdan birisiyle daha çok seyahat etmişsen ortalama hızın kesinlikle bu iki hızın aritmetik ortasından daha çok süre gidilen hıza yakındır. Örneklerle daha iyi anlayacaksın. Soru. kentinden kentine 20 km/s hızla gidip, geriye 30 km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s tir? Çözüm: Gidişte ve dönüşte yol değişmediğin-den geçen süre hızlarla ters orantılıdır. Yani gidişdönüş hızlarının oranı 2/3 olduğundan gidiş-dönüş sürelerinin oranı 3/2 dir. undan dolayı giderken 2t saat süre geçmişse, dönerken 3t saat süre geçer diyebiliriz. Ortalama hız neye eşitti? Toplam yolun, toplam zamana oranına. Yolumuz 20 3t veya 30 2t çarpımlarından 60t olur. Toplam yol o zaman, gidip dönüldüğü için 120 t yapar, toplam zaman da 5 t olduğundan V ort = 120t/5t = 24 km/s tir. Dikkat ettiyseniz yolun uzunluğunu bilmemize rağmen cevap 24 çıktı, bu da ortalama hızın yoldan bağımsız olduğuna kanıttır. Soruyu bir de harmonik ortalama formülü ile çözelim: 2V1V V ort = = = = 24 km/s. V +V Soru. ir araç gideceği yolun 1/3 ünü 20 km/s hızla, kalanını da 50 km/s hızla gitmiştir. u aracın bu seyahatteki ortalama hızını bulunuz. Çözüm: Madem ortalama hız yoldan bağımsız, yani yol kaç birim olursa olsun bir şey değişmiyor, en küçük yola hem 20 ye hem de 50 ye bölünebilen bir sayı verelim. 20 km/s 50 km/s 100 km K 200 km Hızını değiştirdiği yer K olsun. K = 100 km. ve K = 200 km. olsun. K yı o halde 5 saatte, K yi 4 saatte alır. Toplam yolu toplam zamana bölelim. V ort = 300/9 = 100/3 km/s olur. kentinden kentine 10 km/s sabit hızla gidip, 15 km/s sabit hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s dir? Yanıt: 12 10

11 Mustafa YĞCI kentinden kentine 3V/4 sabit hızla giden araç, den ya 4V/3 sabit hızla dönmüştür. u aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç V dir? Gideceği yolun 1/4'ünü 30 km/s sabit hızla giden bir araç, yolun kalan kısmını 40 km/s sabit hızla gitmiştir. u aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s tir? ir otobüs belli bir yolun üçte birini 10 km/s sabit hızla, kalanını ise 15 km/s sabit hızla gitmiştir. Yolun tamamını 20 km/s sabit hızla döndüğüne göre, bu otobüsün bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s dir? kentinden kentine 40 km/s sabit hızla gitmiş olan bir kamyon, ya sabit bir hızla geri dönüyor. Döndüğünde bu gidiş-dönüşteki ortalama hızının 48 km/s olduğunu hesaplıyor. den ya dönerken kamyonun hızı kaç km/s idi? 121,37 metrelik bir yolun 3/5 ini 2V sabit hızla giden bir araç, kalan yolu kaç V sabit hızla gitmeli ki ortalama hızı 3V olsun? Soru. V 1 km/s x km V 2 km/s y km Yine geriden başlayanın hızı V 1 km/s, önde başlayanın hızı V 2 km/s, aradaki fark x km. ve bu şartlar altında, arkadaki öndekini den y km. ilerde yakalıyor olsun. Eğer araçlar hızlarını 4 katına çıkarırlarsa, arkadakinin öndekini yakaladığı yer, den kaç y ilerde olur? Çözüm: İnanmayacaksın ama değişmez!. Değişen sadece yetişme süresi olur. Önceden t saat sonra yakalıyorsa, şimdi hızı 4 katına çıktığından t/4 saat sonra yakalar. İki aracın arasındaki mesafe değişmediği ve hızları aynı oranda arttığı sürece bunu hep yapabiliriz. Siz yine de matematiksel kanıtını yapmaya çalışın. Dediğime geleceksiniz. Y Hız problemleri hakkında artık az çok bilgi edindiniz sayılır. irkaç örnek daha çözüp, sizi o çok sevdiğiniz alıştırma soruları ile baş başa bırakacağım, sabırsızlanmayın! Soru. 3x 2x x+10 K da ve de duran iki araç eğer aynı anda birbirlerine doğru hareket ederlerse, K da karşılaşıyorlar. Hızlarını değiştirmeden aynı anda aynı yöne doğru hareket ederlerse, arkadaki öndekine Y de yetişiyor. = 3x, C = 2x ve Y = x + 10 birim uzunluğunda ise x kaçtır? Çözüm: Önce karşılaşma durumunu inceleyelim. ynı anda kalktılar, aynı anda K ya vardılar. Yani K ya geliş süreleri eşit. Peki, biri niye diğerine göre daha çok yol aldı? Daha hızlı olduğundan. Peki, ne kadar hızlı olduğunu nerden bulacağız? Gittikleri yol oranından. Demek ki, bu araçların hızları oranı 2/3 müş. Hızlarını değiştirmeden aynı yöne giderlerse, hızlı olan yavaşa Y de yetişiyormuş. u ne demek? den kalkan yani yavaş olan x + 10 birim yol alana dek, dan kalkan yani hızlı olan 6x + 10 yol alıyormuş. Yine süre aynı olduğundan, hızlar oranı gittikleri yolların oranını verir. O halde; x = 6x orantısı çözülürse x = 10/9 olarak bulunur. Soru. ir araç, beli bir yolu V km/s hızla hep t saatte almaktadır. Eğer hızını %50 arttırır, bu yolu da %40 azaltırsak, şimdi kaç t saatte alır? Çözüm: ence süredeki değişmeyi kolay gözlemlemek için ilk süre 100 saat olacak şekilde bir ayarlama yapalım. Yol 200 km. olsun, hızı da 2 km/s. Hız %50 artarsa 3 km/s, yol %40 azalırsa 120 km. olur. 120 = 3 t y eşitlğinden t y = 40 olur. O halde, 100 iken 40 a düşen, t iken (2/5)t ye düşer. Siz başka sayılarla yapsaydınız da aynı çıkardı. Hatta hiç böyle sayı vererek değil de x = V t üzerinde oynamalar yapsaydınız da!. Lütfen bir de öyle çözünüz. Soru. ir adamın nefesi, durmadan yüzmeye en çok 15 dakika yetmektedir. Kıyıdan denize doğru açılmak isteyen adam kıyıya vuran dalgalara karşı dakikada 8 metre, dalgalarla birlikte dakikada 12 metre hızla yüzüyorsa, en çok kaç metre kıyıdan açılabilir? Y 11

12 Mustafa YĞCI Çözüm: Kıyıdan açıldığı mesafe, giderken ve dönerken değişmeyeceğinden, gidiş ve dönüş sürelerinin oranını, gidiş ve dönüş hızlarının oranından bulabiliriz. Hız oranı 8/12 = 2/3 olduğundan geçen süre oranı 3/2 olmalıdır. Yani, 3t dakika açılmış, 2t dakikada kıyıya geri dönmüş bu şahsiyet. Soruda 3t + 2t = 15 dk. verilmiş, o halde t = 3 dk, dolayısıyla x = 8 3t veya x = 12 2t eşitliklerinden adamın en çok x = 72 metre açılabileceği bulunur. Farklı hızlardaki üç hareketli sabit bir yolda aynı anda harekete başlıyorlar. En hızlı olan yarışı bitirdiğinde birine 80 km. diğerine 100 km. fark atıyor. Geride kalanlardan öndeki yarışı bitirdiğinde ise en arkadakine 22 km. fark attığını görüyor. u yol kaç km.dir? Yanıt: 880 Farklı hızlardaki üç hareketli sabit bir yolda aynı anda harekete başlıyorlar. En hızlı olan yarışı bitirdiğinde birine 80 km. diğerine 90 km. fark atıyor. Geride kalanlardan öndeki yarışı bitirdiğinde ise en arkadakine 15 km. fark attığını görüyor. u yol kaç km.dir? ) 122 ) 130 C) 132 D) 160 E) 240 ir araç 155 km.lik bir yolu her saatte hızını yarıya indirerek 5 saatte alıyor. raç yola çıktıktan 3 saat sonra kaç km.lik yol almış olur? ) 126 ) 130 C) 132 D) 135 E) 140 = 240 km, C = 180 km ve C = 120 km olan C üçgenin ve köşesinden iki araç saat yönünün tersinde harekete başlıyorlar. dan çıkan bir turu 10 saatte, den çıkan bir turu 15 saatte tamamladığına göre, araçlar ilk defa nerede karşılaşırlar? ) [] arasında ) [C] arasında C) [C] arasında D) da E) de ir hareketli gideceği yolun 1/4 ünü 12 saatte gittikten sonra hızını 3 katına çıkarırsa, kalan yolu kaç saatte tamamlar? ) 6 ) 12 C) 18 D) 24 E) 28 ralarında 480 km. uzaklık bulunan iki hareketlinin hızları V km/s ve 2V km/s tir. u hareketliler aynı anda ve aynı yönde hareket ettiklerinde arkadaki, öndekini 12 saat sonra yakalıyorsa V kaçtır? ) 20 ) 40 C) 60 D) 80 E) ir atlet 120 mt.lik bir yokuşu V mt/dk hızla çıkıp, 2V mt/dk. hızla iniyor. Çıkıp inmesi 30 dk. sürdüğüne göre V kaçtır? ) 6 ) 12 C) 24 D) 30 E) şehrinden şehrine gitmek için aynı anda hareket eden iki otomobilden biri saatte 60 km., diğeri saatte 85 km. yol alıyor. iri diğerinden 10 saat önce şehrine vardığına göre ile arası kaç km. dir? ) 2040 ) 1510 C) 1040 D) 1010 E) şehri ve C şehirlerinin ortasındadır. şehrinden bir hareketli 2V hızıyla ve C şehrinden diğer bir hareketli 3V hızıyla şehrine doğru; şehrinden başka bir hareketli ise V hızıyla C şehrine doğru aynı anda harekete başlıyorlar. dan yola çıkan hareketli den yola çıkan ile t saat sonra karşılaştıktan kaç saat sonra C den yola çıkan ile karşılaşır? ) 2t ) t C) 3t/2 D) t/3 E) t/2 9. ir yüzücü dalgalara karşı 1 dakikada 12 mt, dalgalar yönünde 1 dakikada 16 mt. ilerleyebilmektedir. Yüzücü denizde ancak 42 dakika kalabildiğine göre, başladığı yere geri dönmek kaydıyla kıyıdan en fazla kaç metre uzaklaşabilir? ) 144 ) 288 C) 396 D) 422 E)