ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler"

Transkript

1 ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

2 MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir fonksiyonun itinin ne oldu unu ö renip kavrayacaks n z. * Fonksiyonun iti varsa sa dan ve soldan itlerinin eflit oldu unu ö renecek ve kavrayacaks n z. *Özel fonksiyonlar gerçek fonksiyon olarak yaz p, itlerine bakmay ö reneceksiniz. * Limit teoremlerini kavray p, üzerinde ifllem yapmay ö reneceksiniz. *Trigonometrik fonksiyonlar n itini kavray p, problem çözme yetene inizi gelifltireceksiniz. * Limit hesaplar ndaki belirsizlik durumlar n inceleyerek, her belirsizlik durumu için ayr bir yoldan it hesab n yapmay ö reneceksiniz. BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Ön bilgi olarak lise II s n f Matematik konusundaki trigonometri bilgisine ihtiyac n z olacak. * Birinci bölümü çok iyi kavray p bu bölüme geçiniz. * Tan mlar çok dikkatli okuyun. * Örnek ve çözümlerini çok iyi inceleyin yazarak çal fl n. * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n çözmeniz yarar n za olacakt r. 56

3 ÜN TE II L M T Limit kavram ve tan m, kavram olarak eski olmas na karfl n, tan mlanmas ve kullan lmas çok eski de ildir. Örne in it ünlü ε δ tekni i ile tan mlanmas ve kullan lmas ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine ( ) taraf ndan olmufltur. Limit fizik ve mühendislikte yayg n olarak kullan l l r. Limit kavram n n ö rencilere verilmesi, tan t lmas, ö retilmesi ve ö renilmesi öyle o kadar da kolay de ildir. Bunun için, itin tan t lmas na önce sezgisel olarak yaklaflal m. Daha sonra tam tan m n vere. f() fonksiyonu verilsin. noktas bir a noktas na yeteri kadar yaklafls n. noktas n n a noktas na reel eksen üzerinde sa dan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklafl m vard r.. a - 1 n + 1 n Burada, de erinin a de erine eflit olmas gerekmez. Bir çok durumda, a noktas, f() fonksiyonunun tan m bölgesinde olmayabilir. Yani, noktas a noktas na ( a) sa dan ve soldan yaklafl rken f() fonksiyonu bir L say s na yaklafl yorsa f() fonksiyonunun bu a noktas nda iti vard r denir ve k saca it; f() = L ile gösterilir. a ( noktas a ya giderken f() fonksiyonunun iti L dir, diye okunur.) E er noktas, a ya yaklafl rken f() fonksiyonu bir L say s na yaklaflm yorsa, f() fonksiyonunun iti yoktur, diyece iz. Yukardaki aç klamalar gösteriyor ki, f() fonksiyonunun =a noktas na sa dan ve soldan yaklafl mlar için, f() fonksiyonunun de erine eflit olmas gerekir. Yani; a - f() = L 1 ve a + f() = L 2 L 1 =L 2 = L ise a f() = L dir. Aksi takdirde bu noktada it yoktur diyece iz. 57

4 y = 2 fonksiyonu için, noktas 2 de erine yaklafl rken, y de eri hangi de ere yaklafl r? Bu durumda Reel eksen üzerindeki bu 2 say s na sa dan ve soldan de erler vererek yaklaflal m. y = 2 y = 2 1,5 2,25 2,9 8,41 1, ,5 6,25 1,9 3,61 2,1 4,41 1,99 3,9601 2, Soldan yaklaflma Sa dan yaklaflma Soldan yaklaflma. 2 Sa dan yaklaflma Yukarda görüldü ü gibi say s, reel eksen üzerinde gerek sa dan ve gerekse soldan 2 say s na yaklafl rken y de eri de her iki hâlde de 4 say s na yaklaflmaktad r. Öyleyse Benzer olarak Lim 2 = 4 2 Lim [ ] oldu u kolayca yaz l r. de eri var m d r? f() = [ ] f() = [ ] 1,9 1 0,5 0 1,5 1 0,6 0 1,4 1 0,8 0 1,1 1 0,9 0 1, ,001 1 Soldan yaklaflma Sa dan yaklaflma Görüldü ü gibi, soldan yaklafl l rsa it de eri 0, sa dan yaklafl l rsa it de eri 1 olmaktad r. O hâlde, Lim [ ] de eri yoktur denir. 58

5 MATEMAT K 5 A R, f : A R bir fonksiyon olsun. a R sabit bir say olmak üzere, terimleri A-{a} kümesinde olan ve a ya yak nsayan her ( n ) dizisi için (f( n )) görüntü dizileri bir L R say s na yaklafl yorsa., a ya yaklafl rken ( a için) f fonksiyonunun iti L dir denir ve it; Lim f() = L biçiminde gösterilir. a f = R R, f()= 2-1 fonksiyonu veriliyor., 1 e giderken fonksiyonun itini bulunuz. Yani, 2-1 nedir? Lim Çözüm: 1 e soldan yak nsayan 1-1 n dizisi için, f ( n ) = (1-1 n )2-1 = 1-2 n + 1 n 2-1 = 1 n 2-2 n = 1 n n 0 Ayr ca 1 e sa dan yak nsayan n dizisi için, f n = (1+ 1 n )2-1 = 1+ 2 n + 1 n 2-1 = 1 n n = 1 n n 0 O halde ; olarak yaz l r. f() = f() = 0 oldu undan - + f() = 0 Pratik yöntem ile, itin var oldu u kesin olarak biliniyorsa f() = 2-1 = = 0 59

6 f: R R, f() = 2-2, < 0 ise 3, 0 ise fonksiyonu veriliyor. f () 0 de erini bulunuz. Çözüm: 0 noktas na soldan yaklafl rsak, f() = 2-2 O hâlde; 0 noktas na sa dan yaklafl rsak f() = 3 al r z. 2 f() 0 2 = = - 0 (2 - ) = 2- f() = 3 = oldu undan it yoktur. A R, f = A R bir fonksiyon olsun vea IR olsun. ε R + için -a < δ (delta) oldu unda f()- L < ε olacak biçimde bir δ(ε) R + say s varsa, a için f nin iti L dir, denir ve f() = L fleklinde gösterilir. ε R + için δ(ε) R + öyleki -a <ε f()- L < ε f() = L a a Bu tan m önceki it tan m na denktir. Çünkü -a < δ olmas demek, n -a < δ yani n a olmas demektir. Bu durumda f() - L <ε olmas demek f( n ) -L <ε olmas yani f n L olmas demektir. Di er bir deyiflle - a < δ olmas, δ istenildi i kadar küçük seçildi inde ile a aras ndaki uzakl n δ dan küçük kalmas ve s f ra yaklaflmas, dolay s yla a 60

7 Bu durumda f () -L <ε olmas ise, çok küçük ε lar için f() ile L aras ndaki uzakl n 0 a yaklaflmas f() Lolmas anlam na gelir. Bu yönteme δ ε tekni i ad verilir. f : R R, f() = 2 +1 ise Lim = 5 oldu unu ispatlay n z. MATEMAT K 5 ε R + in f R 2 öyleki, -a < δ iken f -L < ε olmal d r. - 2 < δ 2-2 < 2δ 2-4 < 2 δ < 2 δ O hâlde 2 δ < ε dersek. δ < ε 2 bulunur. Yani ε R + verildi inde δ(ε) = ε 2 veya δ = ε 2 den küçük pozitif bir say olarak al nabilir. ε R + en az bir δ bulundu unda tan ma göre Lim = 5 olur. 2 SA DAN VE SOLDAN L M T Abir aç k aral k, a A ve f, A da ya da A-{a} da tan ml bir fonksiyon olsun. 1. de iflkeni a ya sa dan yaklaflt rd m zda f() bir L 1 say s na yaklafl yorsa, f nin = a da sa dan iti L 1 dir, denir ve bu durum ; a + 2. de iflkeni a ya soldan yaklaflt nda f() bir L 2 say s na yaklafl yorsa, f nin = a da soldan iti L 2 denir ve bu durum ; a - f() = L 1 ile gösterilir. f() = L 2 ile gösterilir. 3. de iflkeni soldan ve sa dan a ya yaklaflt nda f() bir L say s na yaklafl yorsa, f nin = a da iti L dir denir ve bu durum a f() = L ile gösterilir. 61

8 MATEMAT K 5 1. f () = f () = L ise f () = L d r. a - a + a 2. f () f () ise f () yoktur. a + a - a 3. h > 0 olmak üzere, f () = f (a-h) ve f () = f (a+h) dir. a - h 0 a + 4. a f () varsa bu it tekdir. h 0 Parçal fonksiyonlarda, parçalanma noktalar nda (kritik noktalarda) sa dan ve soldan ite mutlaka bak lmal d r. f: R R f() = 2-1, < 0 ise 2+1, 0 ise f() nedir? 0 Çözüm: f () = ( 2-1) =0 2-1 = f() = (2+1) =2.0+1 = O hâlde 0 + f () yoktur. 0 Örnek fiekildeki f () fonksiyonun = 1 noktas nda iti var m d r? Varsa nedir? 62

9 Çözüm f() =3 + f() =2-3 2 oldu undan f() yoktur. Örnek fiekildeki f() fonksiyonunun = 1 noktas nda iti var m d r? Varsa nedir? Çözüm f() =1 + f() =1 - f (1) = Tan ms z f() =1 fonksiyonun iti vard r. Limit de eri 1 dir. Bir fonksiyonun = 0 noktas nda itinin olmas için = 0 noktas nda tan ml olmas gerekmez. ÖZEL FONKS YONLARDA L M T Bütün özel tan ml fonksiyonlar n iti araflt r l rken, verilen özel tan ml fonksiyon parçal fonksiyon olarak yaz lmal, sonra sa dan ve soldan it de erlerine bak lmal. E er verilen noktada sa dan it de eri soldan it de erine eflit ise 0 noktada iti vard r denir. Aksi hâlde verilen noktada iti yoktur deriz. 63

10 Sgn(-2) =? 2 Çözüm: f() = Sgn( -2) fonksiyonunu parçal fonksiyon olarak yazarsak. - 2 = 0 = 2-1, < 2 ise f() = 0, = 2 ise 1, > 2 ise f() = f() = oldu undan = 2 noktas nda it de eri yoktur denir ve sgn ( -2) yoktur diye ifade edilir =? Çözüm: f () = +2 = = = 1 oldu unu düflünürsek f() = f() = olur. 4 3 oldu undan it yok. Örnek - 4 =? 4 64

11 Çözüm: f () = - 4 fonksiyonunu parçal fonksiyon olarak yazal m , < 4 ise -4 = 0, = 4 ise - 4, > 4 ise f() = = = f() = 4 f() = ( - 4) = 4-4 = MATEMAT K 5 =? 0 Çözüm: = 0-1, < 0 Tan ms z, = 0 1 > f() = 1 = f() = ( -1) = oldu undan 0 yoktur. cos π 2 =? Çözüm: cos = cos, 0 < π 2 -cos, π 2 < π ( π 2 )+ ( π 2 )- cos = (- cos ) = -cos π 2 = 0 ( π 2 )+ cos = (cos ) = cos π 2 = 0 ( π 2 )- O hâlde (cos ) = 0 ( π 2 ) 65

12 f() = - Sgn 2-1 ise f () nedir? 0 - Çözüm : f () = Sgn [ ] = -1 - Sgn ( -0,002-1) = -1+1 = f () = 1 - Sgn [ ] =1-1 = oldu undan 0 f () = Sgn =? Çözüm : 2 + iken 2- = -2+ Sgn (3+4) = 1 +2 = 4 dür (-2) (+2) + Sgn = = = 1 2 L M T TEOREMLER a f() = L 1, a g() = L 2 ve λ IR ise A R, f: A R ve g : A R iki fonksiyon olsun. 1) f±g () = f() ± g() = L 1 ±L 2 a a a 2) λ f () =λ f() = λ.l 1 a a 3. f.g () = f(). g() = L 1.L 2 a a a 4) A için g() 0 ve L 2 0 ise a f a f() g() g () = = L 1 a L 2 66

13 Örnekler a) (2 +3) = 2+ 3 = = 5 b) = TEOREM = = 3 (1) 2-2. (1) + 2 = = 3 c) = 2 +4 = = 5-1 = - 5 d) 3 + sgn [ ] 2 = (3) + sgn ( 2-1) + [ ] 2 = = f() = f() dir. a a 2. c f() =c a f () a 3. a) n bir çift do al say ve f() 0 ise n n a f() = a f() b) n bir tek do al say ise n n a f() = a f() dir. 4. log b f() a =log b f() a dir = 2-2 = = =3 4 = 81 4 = 4 = = = 3 67

14 68 MATEMAT K 5 e (ln) = ln = lne = 1 e A R ve f : A R bir fonksiyon olsun. 1. ( n ), ( n ) için (f( n )) L 1 ise için f fonksiyonunun iti L 1 denir ve (f () = L 1 biçiminde gösterilir. 2. ( n ), ( n ) için (f( n )) L 2 ise için f fonksiyonunun iti L 2 denir ve f () = L 2 fleklinde gösterilir. - Geniflletilmifl reel say larda ifllem ve özellikleri: a olsun 1) a. = 2) + = 3) = belirsiz 4) - = belirsiz 5) - a = 6) 0 = belirsiz 7) 0 0 = belirsiz Polinom fleklindeki ifadelerde ± için it hesab k R, n N + f() = a n + b n-1 +c n k n ± f () = a + b + c k 2 = ± n n. a ± Pratik kural p() Q(), Q () 0 E er, der p() > der Q() ise itin de eri veya - dur. E er, der p() = der Q () ise en büyük dereceli terimlerin katsay - lar n n bölümü E er der p () < der Q() ise itin de eri 0 d r. 1 = = = (- 1) = = -1 Teorem: a < 1 ise a = 0 d r. 1 3 = 1 3 = =

15 TR GONOMETR K FONKS YONLARIN L M T Teorem: a,b,c R olmak üzere, 1. a sin = sin a 2. a cos = cos a 3. sin = sin = tan = tan b sin c = b 0 c 7. sin b sin c = b 0 c 8. tan b tan c = b 0 c 9. sin b tan c = b 0 c 3-9 aras ifadelerin anlamlar türev konusunda l Hospital kural ile daha iyi anlafl lacakt r. BEL RS ZL K DURUMLARI Limit hesaplamalar nda, 0 0,, 0., -, belirsizlik durumlar n göre A) 0 0 biçimindeki belirsizlikler. a f() g() için f() a g () a = 0 0 olmas durumunda pay ve payda da (-a) çarpan var demektir. Pay - a). f 1 () payda da ( -a). g 1 ( ) fleklinde çarpanlar na ayr l rsa 69

16 a f () = a g () hâline gelir. E er yine a ( -a) f 1 () (- a) g 1 () a = 0 0 a f 1 () g 1 () a hâlinde ise ayn yol ile pay ve payda çarpanlar na ayr l r = = 0 0 belirsiz. ( -2) ( + 2) = + 2 = ( +1) ( - 2) + 1 = = = - 2 = -1-2 = = 0 0 belirsiz. y 3-3 y 2-2 = y3 -y 3 y 2 -y 2 y (y -) y 2 + y + 2 y = 3y2 2y = 3 2 y (y- ) (y + ) = 0 0 = y y 2 + y + 2 y + = y2 +y 2 +y 2 2y B) biçimindeki belirsizlikler. f () g () için f () g () = durumunda pay ve payda en yüksek dereceli parantezine al n p k saltmalar yap l r ve it hesab na geçilir. 1 = = = o hâlde, = = = = = 1 70

17 = o hâlde, MATEMAT K = = = = 3 = = = 1-0 = - C) - B Ç M NDEK BEL RS ZL K f () - g () için f() - g () = - durumunda f () ifadesi, eflleni i olan f () + g () ifadesi ile çarp l p bölünürse 0 0 veya belirsizli i ile karfl lafl l r. Bundan sonra, önceki yöntemlerle it bulunmaya çal fl l r. Çözüm - ifadesini bulunuz. - = - o hâlde, ( - ) ( + ) ( + ) yöntemlerle = = bu durumdan sonra önceki 2 ( 1-1 ) ( ) = = 71

18 ifadesini bulunuz. Çözüm: = - O hâlde, = ( +1) - ( - 1) ( - 1) ( + 1) = = = de erini bulunuz. Çözüm: = - o hâlde eflleni i ile çarp p böle = = = bulunur = = 2 D) 0. B Ç M NDEK BEL RS ZL KLER a f (). g() için a f (). a g () = 0. olmas durumunda bu belirsizlik g () f (). g () = ya da f () hâlinde yaz l rsa 1 1 ya da 0 a a a 0 f () g () belirsizlikleri hâline dönüfltürürüz itini bulunuz. Çözüm: = 0. o hâlde, = = 1-1 = 72

19 L M TE A T ÖRNEKLER 1) 1 de eri var m d r? 0 Çözüm: 1 = +, 1 = = 1 1 yok ) =? 0 + Çözüm: > 0 2 = 2; 1+ 2 = = ) 1+ 2 =? 0 - Çözüm: < 0 ise 2 = = = = 1 2 4) de eri var m d r? Çözüm: = (-1) + = = (-1) + (-1) + (-1) = (-1) - = -2 - = + it yok. (-1) - 0 5) 2 0 Çözüm: 2 = 0 de eri var m d r? 0 > 0 ise = < 0 ise = - d r. o hâlde, = = -1 = oldu undan it yok. oldu undan 73

20 6) 0 Sgn + (2-1) de eri var m d r? Çözüm: Sgn = Sgn [ 0 + ] =0-1 = -1 Sgn = Sgn [ 0 - ] = Sgn (-1) + (-1) 7) 2 + = = o hâlde it yok Sgn ifadesini hesaplay n z. Çözüm: 2 + ( - 2) Sgn = (1 + Sgn ) 2 + = 1 + Sgn (2 + ) = 1+ 1 = 2 8) de eri var m d r? Çözüm: = = = 1+ = = = = 1 it yoktur. 2 9) ifadesini hesaplay n z. Çözüm: = 0 0 belirsiz. ( - 3) ( - 3) ( - 3) ( +1) = = 0 4 = ) ifadesini hesaplay n z Çözüm: = 0 0 = belirsiz ( - 1) = 1 2 = 1 2 =

21 11) ifadesini hesaplay n z. Çözüm: = 0 0 belirsiz. 1 = ( ) ( ) = ( 2 1-1) ( 3+ +2) ( 2-1) ( ( -1) ( - 1) ( + 1) ( 3+ +2) = 1 1 ( + 1) ( ) 1 = 1 2 (2+2) = ) ± ifadesini hesaplay n z Çözüm: = belirsiz ± ± = = 2 = 0 13) cos π 2 de eri var m d r? Çözüm: ( π 2 )+ ( π 2 )- cos = cos = π 2 cos ( π 2 )+ = π 2 cos ( π 2 )- = cos yoktur. ( π 2 ) π = + π = - 15) cos 0 de eri var m d r? Çözüm: cos cos = = cos (0+ ) 0 + = = cos = = - 0 cos yoktur. 75

22 ÖZET Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r: 1. Limitin tarihçesi, ite sezgisel yaklafl m ve itin tan m verilmifltir. 2. Limitde sa dan ve soldan yaklaflman n ne oldu u anlat larak örneklerle pekifltirilmifltir. 3. Limitin var olup olmad n anlamak için ε-δ (Epsilon- Delta) tekni i ö rencilere tan t lm flt r. 4. Sa dan ve soldan itin tan m verilerek ve gerekli uyar larda bulunduktan sonra örneklere geçilmifltir. 5. Özel fonksiyonlar n itinin nas l al naca ö rencilere anlat lm fl, ilgili örneklerle it konusu aç kl k kazanm flt r. 6. Limit teoremleri verilip, pekifltirmek için örneklere baflvurulmufltur. 7. Limitte belirsizlik durumlar verilip, ilgili örneklerle baz belirsizlik durumlar için it al nm flt r. 76

23 DE ERLEND RME TEST 2 1) de eri afla dakilerden hangisidir? A) 4 B) -3 C) -2 D) 1 2) f () = sgn ( ) + 1 ise f () de eri afla dakilerden hangisidir? 4 - A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 3) f : R R f () = 2 + 1, < 0 ise 2 + 1, 0 ise 0 f () de eri afla dakilerden hangisidir? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 4) y flekildeki f () fonksiyonun grafi i verilmifltir. Buna göre = 1 noktas için ne söylenir? a) = 1 noktas nda it yoktur. b) = 1 noktas nda it vard r. c) = 1 noktas nda it vard r ve 2 dir. d) f() = 3-5) sin de eri afla dakilerden hangisidir? π 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) iti yoktur. 6) A) e B) 1 2 de eri afla dakilerden hangisidir? C) 0 D) 7) ( -) de eri afla dakilerden hangisidir? A) 0 B) - 1 C) 1 D) - 77

24 DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER 1) [ ] = Do ru cevap B 2) < 0 d r. Sgn = - 1 f () = = Do ru cevap C 3) = = Do ru cevap C 4) f () = it yok. f () = 3 + Do ru cevap A sin 0 < < π 2 5) sin = -sin π 2 < < π = sin = sin = sin π π 2 2 = 1 π 2 Do ru cevap B 78

25 6) I. Yol der > der (-3) oldu undan = II. Yol = = Do ru cevap D 7) - biçiminde, ( - ). ( +) = = - Do ru cevap D = = biçiminde belirsiz. 79

26 80 MATEMAT K 5

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =?

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : 0 0 0. Örnek...5 : 1 3 2. Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : 3 4 2 8 =? A=[a i j] r x r bir kare matris ise bu kare matrisi reel bir sayıya eşleyen fonksiyona determinant denir. Örnek...3 : i sanal sayı birimi olmak üzere, [ 1 i 6 2i 3+i 2+2i] matrisinin determinantı kaça

Detaylı

BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ÜN TE I TÜREV Türev Soldan türev, sa dan türev Türev kurallar Ters fonksiyonun türevi Bileflke fonksiyonun türevi Parametrik fonksiyonlarda türev Kapal fonksiyonun türevi Ard fl k türevler Trigonometrik

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar

Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

MATEMAT K. Sütun Grafi i. Olas l k

MATEMAT K. Sütun Grafi i. Olas l k MATEMAT K Sütun Grafi i Olas l k Temel Kaynak 4 Sütun Grafi i SÜTUN GRAF Talya, arkadafllar na en çok sevdikleri sporu sordu. Ald cevaplara göre afla daki s kl k ve çetele tablolar n haz rlad. En Çok Sevilen

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

G ünümüzde bir çok firma sat fllar n artt rmak amac yla çeflitli adlar (Sat fl

G ünümüzde bir çok firma sat fllar n artt rmak amac yla çeflitli adlar (Sat fl 220 ÇEfi TL ADLARLA ÖDENEN C RO PR MLER N N VERG SEL BOYUTLARI Fatih GÜNDÜZ* I-G R fi G ünümüzde bir çok firma sat fllar n artt rmak amac yla çeflitli adlar (Sat fl Primi,Has lat Primi, Y l Sonu skontosu)

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI YGS TEMEL MATEMAT K KONU ANLATIMLI YGS KONU ANLATIMLI TEMEL MATEMAT K Bas m Yeri ve Y l stanbul / 0 Bask Cilt Ek Bil Matbaac l k Tel: 0 () 87 ISBN 978 60 70 6 Copyright Ayd n Bas n Yay n Matbaa Sanayi

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER

ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER 3.1. ORGAN K K MYANIN TAR HÇES VE KONUSU 3.2. ORGAN K MADDELERDE C, H, O ve N ARANMASI a. Organik Maddelerde C ve H Aranmas b. Organik Maddelerde N Aranmas

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler

ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler . ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN. İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları

Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN. İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları I Yrd. Doç. Dr. Olcay Bige AŞKUN İşletme Yönetimi Öğretim ve Eğitiminde Örnek Olaylar ile Yazınsal Kurguları II Yay n No : 2056 Hukuk Dizisi : 289 1. Bas Kas m 2008 - STANBUL ISBN 978-975 - 295-953 - 8

Detaylı

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + = ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü

Detaylı

MATEMAT K 6 ÜN TE III

MATEMAT K 6 ÜN TE III ÜN TE III A. KES RLER 1. Kesirleri Karfl laflt rma ve Say Do rusunda Gösterme 2. Denk Kesirlerden Yararlanma 3. Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi 4. Kesirlerle Çarpma fllemi 5. Kesirlerle Bölme fllemi

Detaylı

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ

EEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

MATEMAT K. BÖLME filem

MATEMAT K. BÖLME filem Do al Say larla Bölme fllemi MATEMAT K BÖLME filem 12 çile i 3 taba a eflit olarak paylaflt rd m zda bir taba a kaç çilek düfler? Tabaklara çilekleri birer birer paylaflt ral m. Üç tabak oldu u için çilekler

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

K MYA 8 ÜN TE III KARBON H DRATLAR 3. 1. GENEL YAPILARI VE ADLANDIRILMALARI 3. 2. MONOSAKKAR TLER 3. 3. D SAKKAR TLER

K MYA 8 ÜN TE III KARBON H DRATLAR 3. 1. GENEL YAPILARI VE ADLANDIRILMALARI 3. 2. MONOSAKKAR TLER 3. 3. D SAKKAR TLER ÜN TE III KARBON H DRATLAR 3. 1. GENEL YAPILARI VE ADLANDIRILMALARI 3. 2. MONOSAKKAR TLER 3. 3. D SAKKAR TLER 31 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; Karbon hidratlar n genel yap lar n, adland

Detaylı

Ders 3: SORUN ANAL Z. Sorun analizi nedir? Sorun analizinin yöntemi. Sorun analizinin ana ad mlar. Sorun A ac

Ders 3: SORUN ANAL Z. Sorun analizi nedir? Sorun analizinin yöntemi. Sorun analizinin ana ad mlar. Sorun A ac Ders 3: SORUN ANAL Z Sorun analizi nedir? Sorun analizi, toplumda varolan bir sorunu temel sorun olarak ele al r ve bu sorun çevresinde yer alan tüm olumsuzluklar ortaya ç karmaya çal fl r. Temel sorunun

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

Tablo 3.3. TAKV YES Z KANAL SAC KALINLIKLARI (mm)

Tablo 3.3. TAKV YES Z KANAL SAC KALINLIKLARI (mm) 3. KANAL KONSTRÜKS YONU Türk Standart ve fiartnamelerinde kanal konstrüksiyonu üzerinde fazla durulmam flt r. Bay nd rl k Bakanl fiartnamesine göre, bas nç s - n fland rmas na ve takviye durumuna bak lmaks

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Temel Kaynak 5 Yaflam m zdaki Elektrik BAS T ELEKTR K DEVRES Devrede Ampullerin n Nas l De ifltirebiliriz? Basit bir elektrik devresinde pil ampul anahtar ba lant

Detaylı

Matematik 8 Ders Notu

Matematik 8 Ders Notu T.C. M LLÎ E T M BAKANLI I AÇIK Ö RET M OKULLARI (AÇIK Ö RET M L SES - MESLEK AÇIK Ö RET M L SES ) Matematik 8 Ders Notu Haz rlayan Ayhan ÖZDEM R ANKARA 4 Copyright MEB Her hakk sakl d r ve Millî E itim

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 10 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 8 Aralık 1999 Saat: 09.54 Problem 10.1 (a) Bir F kuvveti ile çekiyoruz (her iki ip ile). O

Detaylı

Ders 2: Aktüerya. Ankara Üniversitesi. İST424 Aktüeryal Risk Analizi Ders Notları. Doç.Dr. Fatih Tank. Sigortacılığın.

Ders 2: Aktüerya. Ankara Üniversitesi. İST424 Aktüeryal Risk Analizi Ders Notları. Doç.Dr. Fatih Tank. Sigortacılığın. yal ya yal Ders 2: ya Ankara Üniversitesi Giriş yal ya yal ya Tanım (5.1.1 Risk) Hasar oluşumundaki belirsizliğe risk denir. Objektif Risk Risk Subjektif Risk Tanım (5.1.2 Objektif Risk) Gerçekleşen hasarın

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r?

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r? Say lar ve fllemler. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r?. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en küçük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en büyük do al say kaçt r?. Dokuz basamakl

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

MATEMAT K LYS ÜN TE KAZANIM TEST / P(x) = (m + n)x 2 + (6 n)x + 2m n + 3. çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P(3) kaçt r?

MATEMAT K LYS ÜN TE KAZANIM TEST / P(x) = (m + n)x 2 + (6 n)x + 2m n + 3. çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P(3) kaçt r? LYS MATEMAT K ÜN TE KAZANIM TEST / POL NOMLAR I. I. P= II. P( ) = + III. P( ) = IV. P( ) =. V. P( ) = 7. P() = (m + n) + (6 n) + m n + çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P() kaçt r? A)

Detaylı

GARANTİ 2 YIL VESTEL WAKE UP DESIGNER ÇALAR SAATLİ RADYO KULLANIM KILAVUZU

GARANTİ 2 YIL VESTEL WAKE UP DESIGNER ÇALAR SAATLİ RADYO KULLANIM KILAVUZU GARANTİ 2 YIL VESTEL WAKE UP DESIGNER ÇALAR SAATLİ RADYO KULLANIM KILAVUZU SAATL RADYO KULLANIM KILAVUZU Ayd nlatmal Gösterge Alarm veya Radyo AM/FM Radyo Al c s Erteleme fonksiyonu (5 dakika daha uyumak

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

Veri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün

Veri Toplama Yöntemleri. Prof.Dr.Besti Üstün Veri Toplama Yöntemleri Prof.Dr.Besti Üstün 1 VERİ (DATA) Belirli amaçlar için toplanan bilgilere veri denir. Araştırmacının belirlediği probleme en uygun çözümü bulabilmesi uygun veri toplama yöntemi

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

HİZMET ALIMLARINDA FAZLA MESAİ ÜCRETLERİNDE İŞÇİLERE EKSİK VEYA FAZLA ÖDEME YAPILIYOR MU?

HİZMET ALIMLARINDA FAZLA MESAİ ÜCRETLERİNDE İŞÇİLERE EKSİK VEYA FAZLA ÖDEME YAPILIYOR MU? HİZMET ALIMLARINDA FAZLA MESAİ ÜCRETLERİNDE İŞÇİLERE EKSİK VEYA FAZLA ÖDEME YAPILIYOR MU? Rıza KARAMAN Kamu İhale Mevzuatı Uzmanı 1. GİRİŞ İdareler, personel çalıştırılmasına dayalı hizmet alımlarına çıkarken

Detaylı

Araflt rma modelinin oluflturulmas. Veri toplama

Araflt rma modelinin oluflturulmas. Veri toplama 21 G R fi Araflt rman n amac na ba l olarak araflt rmac ayr ayr nicel veya nitel yöntemi kullanabilece i gibi her iki yöntemi bir arada kullanarak da araflt rmas n planlar. Her iki yöntemin planlama aflamas

Detaylı

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r?

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? DO A VE MATEMAT K DO AL SAYILARLA BÖLME filem Afla daki sorular resme göre cevaplay n z. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? A açtaki kufllar 2 dala eflit olarak konsayd, her

Detaylı

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir?

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Kesirler Simetri MATEMAT K TEST 17 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? 4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. Buna göre, Lale bir günde kaç bütün

Detaylı

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES VOB-DOLAR/ONS ALTIN VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES Copyright Vadeli fllem ve Opsiyon Borsas A.fi. Aral k 2010 VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES V A D E L fi L E M V E O P S Y O

Detaylı

T ürk Gelir Vergisi Sisteminde, menkul sermaye iratlar n n ve özellikle de

T ürk Gelir Vergisi Sisteminde, menkul sermaye iratlar n n ve özellikle de KURUMLARDAN ELDE ED LEN KAR PAYLARININ VERG LEND R LMES VE BEYANI Necati PERÇ N Gelirler Baflkontrolörü I.- G R fi T ürk Gelir Vergisi Sisteminde, menkul sermaye iratlar n n ve özellikle de flirketlerce

Detaylı

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425 Do al Say larla Çarpma fllemi MATEMAT K DO AL SAYILARLA ÇARPMA filem Tolga Bey amatör bir foto rafç d r. Çekti i foto raflar her birinde 25 foto raf olan 17 albümde toplam flt r. 18. albümüne ise henüz

Detaylı

(0216) 330 59 69-342 57 77 - (0505) 582 44 76

(0216) 330 59 69-342 57 77 - (0505) 582 44 76 (0216) 330 59 69-342 57 77 - (0505) 582 44 76 E T M KOÇLU U S nav sistemlerinde yap lan de i ikliklerin s kla mas, hem velilerin hem de ö rencilerin süreç içerisinde emin ad mlarla ilerlemelerini zorla

Detaylı

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir.

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir. Do al Say larla Bölme fllemi BÖLME filem Ankara daki ilkö retim okullar fiehrimizi Yeflillendirelim kampanyas bafllatt lar. Befl gün boyunca bofl alanlara toplam 1005 a aç dikildi ine göre günde ortalama

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi

Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Deneysel Verilerin Değerlendirilmesi Ölçme-Birimler-Anlamlı Rakamlar Ölçme: Bir nesnenin bazı özelliklerini (kütle, uzunluk vs..) standart olarak belirlenmiş birimlere göre belirlenmesi işlemidir (ölçüm,

Detaylı

A)1/2 B)2/3 C)1 D)3/2 E)2

A)1/2 B)2/3 C)1 D)3/2 E)2 SORU1: Eşit bölmeli bir çubuğa büyüklükleri 2F,F olan F1,F2 kuvvetleri şekildeki gibi dik olarak uygulanıyor. F1,F2 kuvvetlerinin O noktasına göre momentlerinin büyüklüğü sırasıyla M1,M2 olduğuna göre,m1/m2

Detaylı

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER 4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER KONULAR 1. Geometrik Terimler Doğrular Açılar ve Çeşitleri Üçgenler Dörtgenler Daire Elemanları Geometrik Şekiller 2. Dikmelerin Çizimi Bir Doğruya Üzerindeki Bir Noktadan Dikme

Detaylı

Kay s 9 Armut 12 Çilek 15 Elma 9

Kay s 9 Armut 12 Çilek 15 Elma 9 Nesne Grafi i ve Tablo MATEMAT K 17. Afla daki tablolardan hangisi bu grafikteki verilere göre düzenlenmifltir? a. Meyve Say s b. Meyve Say s c. Kay s 3 Armut 4 Çilek 5 Elma 3 Kay s 9 Armut 12 Çilek 15

Detaylı

4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır.

4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır. 4. KOLON ŞEMASI VE BORU ÇAPI HESABI Tesisatı oluşturan kazan, kollektörler, borular,,vanalar, ısıtıcılar,genleşme deposu ile diğer donanım ve armatürlerin tümünün düşey görünüşünü iki boyutlu olarak gösteren

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ve birer tamsaı olmak üzere; 7 olduğuna göre, farkının alabileceği en büük değer ile en küçük değerin farkı aşağıdakilerden hangisidir? 0 8 8. 0 olmak üzere; ifadesinin eşiti

Detaylı

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 97860518091 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI

EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI EK III POTANSİYELİN TANIMLANMASI İki vektörün basamaklı (kademeli) çarpımı: Büyüklükte A ve B olan iki vektörünü ele alalım Bunların T= A.B cosθ çarpımı, tanımlama gereğince basamaklıdır. Bu vektörlerden

Detaylı

VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES

VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES VOB- MKB 30-100 ENDEKS FARKI VADEL filem SÖZLEfiMES Copyright Vadeli fllem ve Opsiyon Borsas A.fi. Aral k 2010 çindekiler

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı