PROJE 4. daire ile ilgili kazanımları pekiştirmek

Transkript

1 ÇEMBER VE DAİRE PROJE 4 Projenin Konusu: Türk Bayrağı Yapma Projenin Amacı: Türk bayrağının nasıl yapıldığını öğrenmek, çember ve daire ile ilgili kazanımları pekiştirmek Projenin Hazırlık Basamakları Türk Bayrağı Kanunu nu araştırınız. Bayrak yapımı için gerekli malzemeleri temin ediniz. Türk Bayrağı Kanunu nda belirtilen bayrak ölçülerine göre genişliği 30 cm olan bir Türk bayrağı yapınız. Bayrağın yapımı için hazırlayacağınız raporu sınıfta sununuz. Projenin Sunumu Hazırladığınız Türk bayrağını sınıfta arkadaşlarınıza gösteriniz. Bayrak ile ilgili yaptığınız çalışmaları sunum yaparak arkadaşlarınıza anlatınız. Projenin Değerlendirmesi Kitabın ızın 202. sayfasında yer alan ÖZ DEĞERLENDİRME FORMU nu doldurarak kendinizi değerlendiriniz. NELER ÖĞRENECEĞİZ? 1. Çemberi ve çemberde açıları açıklayıp çemberin çevre uzunluğunu hesaplaya cağız. 2. Dairenin ve daire diliminin alanını hesaplayıp uygulamalar yapacağız. j j *

2 Bir çemberin belirtilebilmesi için merkezinin ve yarıçapının uzunluğu Bilinmelidir. Çemberi Ç(0, r) ile gösteririz. Ç(0, r) ifadesinde; O çemberin merkezi, r çemberin yarıçap uzunluğudur. Örneğin; Ç(M, 5) ifadesi, M merkezli, 5 br yarıçap uzunluğunda bir çember belirtir. Çemberin herhangi bir noktasını merkeze birleştiren doğru parçasına yarıçap denir. Yarıçap uzunluğu genellikle r ile gösterilir. % ÖRNEK Yanda 1 cm yarıçaplı dairenin çemberi üzerindeki A noktası cetvelin O(sıfır) sayısı ile eşleştirilmiş, sonra daire cetvel üzerinde döndürülmüştür. A noktası 2. kez cetvel üzerine geldiğinde bu noktaya karşılık gelen sayı işaretlenmiştir. İşaretlenen bu sayı, yarıçapı 1 cm Han bir dairenin çevresinin (çemberinin) uzun- jğudur. Bu uzunluk yaklaşık 6,28 cm dir. Çevre uzunluğu Ç 6,28 = - ;f- = 7; = 3,14 tür. Çap uzunluğu ~~ 2r " -.A f t TT ÎM M I M M M M I l i m M lljt r m H n ; H I M M I H I I lt n n Tf t 11 rm ı rn Ti r n ı 111 [ _ M % AÇIKLAMA Bir çemberin çevresinin uzunluğunun, çapının uzunluğuna oranı sabit bir sayıdır. Bu sayı pi (tt) ile ifade edilir. Çevresinin uzunluğu Ç, çapı 2r olan bir çember için 22 tt = 3,14, tt ~ - y - ya da n ~ 3 alınır. *- tv 2 * ÖRNEK Ç = n => Ç = 2nr dir. Yarıçap uzunluğu r = 5 cm olan bir çemberin çevresinin uzunluğunu bulalım: Ç = 2nr => Ç = 2. n.5 = 10ncm bulunur. ÖRNEK Yarıçap uzunlukları eşit A ve C merkezli çemberler, birbirlerine dıştan, B merkezli çembere de içten teğettir. B merkezli çemberin yarıçapı r-j = 10 cm ise ABC üçgenin çevresinin uzunluğunu bulalım. IABI = r- r, IBCI = r-j - r ve IACI = r + r = 2 r dir. Ç = IABI + IBCI + IACI = (n (fı r = 2r- = = 20 cm bulunur. ^ ÖRNEK Çevresinin uzunluğu 48 cm olan çemberin yarıçap uzunluğunu bulalım (tt =...3 alalım.). 48 Ç = 2nr=>48 = 2.3.r = =î>r = - = 8 cm dır

3 ÇEMBERDE YAYLAR VE AÇILAR ETKİNLİK Araç ve Gereç: pergel, kalem, silgi, cetvel. Yarıçapı 6 cm olan bir çember çiziniz. Bu çemberin çevresinin uzunluğunu bulunuz. Çemberin birbirine dik olan iki çapını çiziniz. Köşeleri çemberin merkezinde olan açıların ölçüleri kaçar derecedir? Bu açıların kolları çemberi kaç parçaya böler? Bu çember parçaları neden birbirine eştir? Bu çember parçalarından bir tanesinin uzunluğu kaç cm dir? Şimdi de köşesi çemberin merkezinde olan bu açılardan bir tanesi ile bu açının kolları araşınca kalan yayı farklı bir renkli kalemle belirgin hâle getiriniz. Bu yay uzunluğunun, yarıçap uzunluğuna oranını n cinsinden bulunuz. Bu değer ile açının ölçüsü arasındaki ilişkiyi açıklayınız (n = 180 olduğunu... hatırlayınız.). Grup çalışması yaparsanız her biriniz çemberlerin yarıçaplarını farklı uzunlukta alarak etkinla gerçekleştiriniz. W ETKİNLİK «r-4 Araç ve Gereç: pergel, kalem, silgi, cetvel. Yarıçapını kendinizin belirleyeceği bir çember çiziniz ve çemberin merkezini O ile adlandırınız Köşesi çemberin merkezinde olan bir açı çizip bu açının ölçüsünü açı ölçerinizle belirleyiniz. Açının kollarının çemberi kestiği noktaları belirleyiniz. Açının dış bölgesinde olacak biçimde çember üzerinde bir nokta işaretleyiniz. Köşesi, işaretlediğiniz bu nokta ve kolları, ilk çizdiğiniz açının çemberi kestiği noktalardan geçecek şekilde bir açı daha çiziniz. Çizdiğiniz bu açının ölçüsünü de açı ölçerinizle belirleyiniz. İki açının ölçüleri arasındaki ilişkiyi açıklayınız. Etkinliği farklı ölçülerde açılar ile tekrarlayabilirsiniz. Merkez Açı ^İN C E LE Y E LİM yesfe. Yandaki şekilde gösterilen AOB açısı çemberin bir merkez açısıdır. Bu açının kolları arasında kalan ADB yayına, bu merkez açının gördüğü yay denir. M AÇIKLAMA Köşesi bir çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada kesen açıya, bu çemberin merkez açısı denir. Yandaki 0 merkezli ve r = 12 cm yarıçaplı çemberin çevre uzunluğu 2nr = 2. n. 12 = 24n cm dir. Köşesi çemberin merkezinde ve ölçüleri 6 0 olan açılar bu çemberi 6 eş parçaya böler. Bu eş parçalardan birinin uzunluğu 2 4 tt = 4 n cm olur. Çemberin yarıçapı 12 cm olduğundan, 6 0 = 4 tt tt 12 m> BİLGİ = ~ 3 ~ olur. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Yukarıdaki şekle göre, m(aob) = m(adb) = a ve m(bea) = a olur. OA ışını O noktası etrafında ilk konumuna gelinceye kadar döndürüldüğünde, meydana gele" açıya tam açı denir. Tam açı dir. 160

4 Yarım çember yayının ölçüsü 180 dir. Bir çemberde, eş merkez açıların karşısındaki yaylar eştir. Bir çemberde, eş yayları gören merkez açılar eştir. Bir çemberde, eş yayların uç noktalarını birleştiren kirişler eştir. Çevre Açı İNCELEYELİM Şekildeki BAC açısı bir çevre açıdır. = t^ BİLGİ Köşesi çember üzerinde olan ve ışınları çemberi diğer iki noktada kesen açıya, çevre açı denir. _ ABO ikizkenar üçgen olduğundan m(bac) = m(abo) = a ve m(boc) = 2a dır. ^ m(boc) Buradan, m(bac) = olur. ^ m(bc) m(boc) = m(bc) olduğundan m(bac) = - dir BİLGİ Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü (çemberden ayırdığı) yayın ölçüsünün yarısına eşittir. Bir çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. * 4 ÖRNEK Şekildeki, O merkezli m(bc) = 70 ise m(boc), m(bac) ve m(cae) nün kaç derece olduğunu bulalım. m(boc) = z = m(bc) = 70, 1 ^ 1 m(bac) = y = m(bc) =. 70 = 35 ve m(cae) = x = = 145 dir. & ÖRNEK Şekildeki,çemberin merkezi [BA] // [CD], m(bac) = 30 ise m(ad) ve m(abc) nün kaç derece olduğunu bulalım. [BA] // [CD] olduğundan m(bac) = m(acd) = 30 ve m(acd) =.m(ad) ise 30 = y. m(ad) => m(ad) = 60 dir. m(bac) = y.m(bc) => 30 = y.m(bc) => m(bc) = 60 dir. O çemberin merkezi olduğundan [AC] çaptır. Öyleyse m(abc) = y m(adc) => m(abc) = y.180 = 90 dir. 161

5 Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. Eşit uzunluktaki yayları gören çevre açıların ölçüleri eşittir. Eş çevre açıların gördüğü yaylar eştir. Çapı gören çevre açının ölçüsü 90 dir. Paralel kirişler arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir. î % ÖRNEK bulalım. Şekilde, m(dcb) = 126 ise m(abd) = x in kaç derece olduğunu m(dab) = 2. m(dcb) = = 252 m(dab) = m(da) = 2x = 252 2x = x = 36 bulunur. ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki O merkezli çemberlerde, ölçüsü bilinmeyen açıların ölçülerini bulunuz. Bulduğunuz değerleri noktalı yerlere yazınız. 2. Şekildeki O merkezli çemberde, m(abd) = 38 ise m(bcd) = x kaç derecedir? 3. Şekilde O merkezli çemberde m(abö) = 38, m(boc) = ise m(aco) = x kaç derecedir? 162

6 ÇEMBERİN UZUNLUĞU Çember Yayının (Çember Parçasının) Uzunluğu '^ İN C E L E Y E L İM r yarıçaplı bir çemberin AOB merkez açısının gördüğü yay uzunluğunu orantı yoluyla bulalım: lik yay uzunluğu w 2nr birim ise cc lik yay uzunluğu*^ x birim olur. D. O. 2 n r. a x. 360 = 2 n r. a=>x = ve 360c IABI = IABI a 2 n r. a 360 2nr 360 AÇIKLAMA ise a = a = IABI 2nr a 360 IABI. 360c 2n.r IABI. 2n 2 n. r orantısı yazılır. Buradan (2tt = 360 ) IABI = olur. Bir çemberde, merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın uzunluğunun yarıçap uzunluğuna oranına eşittir. ÖRNEK r = 10 cm olan bir çemberde merkez açısı 144 olan yayın uzunluğunun kaç n cm olduğunu bulalım. Aradığımız uzunluk IABI olsun. IABI = 2. tt. r. OC 2. n.>cf c n = 8n cm bulunur. 36 ÖRNEK 2n r = 6 cm olan bir çemberde merkez açısı - y radyan olan yayın uzunluğunu bulalım: 0 = IABI ^ 2n IABI = r. 0 = = 4n cm dir. 3 ÖRNEK Şekilde, r = 8 cm ve IABI = 6n cm ise 0 açısının ölçüsünü bulalım: 0 = IABI 6n F 3n = 135 bulunur. 163

7 i '<$> ÖRNEK r = 9 cm olan bir çemberde, İABI = 4ti ise bu yayı gören herhangi bir çevre açının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulalım. Önce AB yayını gören merkez açının ölçüsünü bulalım: ^ 2n. r. a 2n. 9. a IABI = 360 ^ 360» = 4 " 2tt. 9. a = tt => a = 80 dir. a = 80 ise bu merkez açıyla aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, 80 : 2 = 40 dir. ÖRNEK Şekilde m(dcb) = 20, m(cba) = 80 ve IACI + IBDI = 10tt cm ise çemberin yarıçapının kaç cm olduğunu bulalım. m(bd) = = 40 m(ac) = = 160c m(ac) + m(bd) = 200 dir. 200 lik yay 10n cm ise lon x = r = 18n cm ve Ç = 2nr = 18n => r = 9 cm bulunur. 360 lık yay x cm dır. 200 v D. O. ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) ^ = 5 cm ve r2 = 10 cm yarıçaplı iki çember aynı anda döndürülüyor r-, yarıçaplı çember 20 tur attığında, r2 yarıçaptı çember 10 tur atar. ( ) Aynı yayı gören merkez açının ölçüsü çevre açının ölçüsünün iki katıdır. ( ) Çevre açının köşesi çemberin merkezindedir. ( ) Çemberin merkezinden geçen kirişine çap denir. ( ) Çember üzerinde alınan iki nokta arasında kalan parçaya yay denir. 2. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Düzlemde sabit bir noktadan... uzaklıkta bulunan noktalar kümesine... denir. b. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın... c. Bir çemberin merkezinden geçen kirişine...denir. ç. Çemberin çevresinin uzunluğunu, çap uzunluğuna bölünürse... d. Yarıçapları eş olan çemberlere...denir. 164

8 3. Şekilde, m(ab) = 36 ve r = 5 cm ise IABI kaç cm dir? Çapları 40 cm olan çelik borular taşınırken yanda görüldüğü gibi bağlanıyor. Hangi bağlamada daha az tel halat kullanılır? Şekilde; A, B ve C merkezli çemberler birbirlerine dıştan teğettir. IABI = 6 cm, IBCI = 5 cm ve IACI = 7 cm ise çemberlerin çevre uzunlukları toplamını bulunuz (n = 3). 6. Şekildeki AC yayının uzunluğu 10n cm ve m(b) = 40 ise çemberin çevre uzunluğu kaç n cm dir? A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 E Şekilde, ABCD kare ve IABI = 4 cm dir. Bu karenin kenarlarını çap kabul eden çemberler çiziliyor. Karenin içinde oluşan şeklin çevresinin uzunluğunu bulunuz (n * 3). 165

9 DAİRENİN VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI Televizyon ve radyo vericilerinin yayınlarının izlendiği alanların, depremlerin etki alanlarının, cep telefonlarının kapsama alanlarının nasıl belirlendiğini araştırınız. Yandaki dairenin alanını birim kareler cinsinden nasıl hesaplarsınız? Bir pizza dilimi ile daire dilimi arasında nasıl bir ilişki vardır? ---- ^ E T K İN L İK Araç ve Gereç: karton, kalem, silgi, cetvel, makas. Kartona yarıçapı 5 cm olan bir çember çiziniz. Oluşan daireyi keserek kartondan çıkarınız. 18 lik merkez açılar ile daireyi 20 eş daire dilimine ayırıp bu daire dilimlerinin yarısını boyayınız. Boyalı dilimleri alt, diğer dilimleri üst taban olacak şekilde yerleştiriniz. Oluşan şeklin hangi çokgensel bölgeye dönüştüğünü açıklayınız. Bu çokgensel bölgenin; yüksekliği ile dairenin yarıçapı arasındaki ilişkiyi, alt ve üst tabanlarının uzunlukları toplamı ile dairenin çevresinin uzunluğu arasındaki ilişkiyi açıklayınız. Bu ilişkilerden yararlanarak dairenin alanına ait bağıntıyı çıkarınız. --- Daire dilimlerinin sayısı artırılırsa elde edilen çokgensel bölge daha da belirginleşir mi? Neden? ---- ^İNCELEYELİM = &BA Etkinlikte oluşan daire dilimlerinin sayısını artıralım. Bu durumda oluşacak daire dilimleri birer üçgensel bölgeye dönüşecek. Bu durumda r yarıçaplı bir daireden elde edilen n tane daire diliminden n tane üçgensel bölge oluşur. Üçgensel bölgelerin her birinin yüksekliği dairenin yarıçapına eşit olacağından, A =. a. r +. a. r + _L. a. r + _L.a.r + J_. a. r A_ J_. r. (a + a + a + a +...) (Bu etkinlikten, üçgensel bölgelerin sayısı arttık- 2 ça a + a + a + a + a +... toplamı dairenin çevre A _ JL. r. 2. tt. r 2 A = n r2 bulunur. uzunluğuna yaklaştığı görülür.) 166

10 ÖRNEK Yarıçapı r = 6 cm olan dairenin alanını bulalım. A = tt. r2 ise A = n. 62 = 36n cm2 dir. L ÖRNEK Çevresinin uzunluğu 8 cm olan dairenin alanını bulalım. Ç = 2nr = 8n cm => r = 4 cm ve A = n.r2 = n. 42 = 16n cm2 bulunur. f ÖRNEK Bir kenar uzunluğu 20 cm olan kare biçimindeki kartondan oluşturulabilecek en büyük dairenin ala nı kaç cm2 olur? Oluşturulabilecek en büyük dairenin çapı, karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur. Dairenin çapı 20 cm ise yarıçapı r = 20 : 2 = 10 cm dir. Dairenin alanı ise A = n. r2 = n. 102 = 100 n cm2 dir. s ÖRNEK Bir kenarının uzunluğu a = 8 cm olan düzgün altıgenin alanını, çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin sınırladığı dairelerin alanlarını bulalım. Şekildeki OAB üçgeni eşkenar üçgendir. ^ a2v3 A(AOB) = 82V3 = 16V3 cm2 dir. Düzgün altıgenin alanı S1t çevrel çemberin ve iç teğet çemberin sınırladığı alanlar da sıra ile S2 ve S3 olsun. S- = 6. A(OAB) = 6. 16^/3 = 9 6 ^ 3 cm2, 5 2 = t t. R2 = t t. 82 = 64tt cm2 ve 53 = tt. r2 = tt. (4^3 )2 = 48n cm2 dir. IOHI = r = ( av^ 8^ = 4>/3 cm) 167

11 Daire Kesiminin (Diliminin) Alanı İNCELEYELİM Yarıçapı 24 cm olan O merkezli bir dairede 45 lik merkez açının kenarları ve gördüğü yaylarla sınırlanan daire diliminin alanını hesaplayalım. Dairenin alanı, A = n. r2 = n. 242 = 576 n cm2 dir. 360 lik dairenin alanı 45 lik daire diliminin alanı 576 tt cm2 ise x cm2 olur. D.O. x. 360 = n x = = 72 n cm bulunur. 360 B ll G l Bir çember yayı ile yayın uç noktalarını merkeze birleştiren iki daire dilimi denir. Yarıçapı r, merkez açısı (X olan bir daire diliminin alanı AD ise yarıçapın sınırladığı bölgeye A n. r*. or.. a An = dır. u 360 b. a lik yayın uzunluğu IABI = Daire Halkasının Alanı İNCELEYELİM! An = 2nr. a 360 Tir*, a n.r.r. a 2nr. a T ' = IABI olur. 2 Yarıçapı 7 cm olan daire biçimindeki levhadan, yarıçapı 5 cm olan daire kesilerek çıkarılırsa kalan parçanın alanı kaç cm2 olur? Kalan parçanın alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanı çıkarılarak bulunur. Büyük dairenin alanı, A- = nr-j2 = n. 72 = 49 n cm2, Küçük dairenin alanı, A2 = nr22 = n. 52 = 25 n cm2 ve Kalan parçanın alanı, A = 49 n - 25 n = 24 n cm2 bulunur. Yarıçap uzunlukları farklı ve aynı merkezli iki çember arasındaki bölgeye, halka denir. Bu alan AH ise, Ah = nr- - nr2 = n(r- - r2 ) dir. 163

12 â l ö r n e k Aynı merkezli iki dairenin yarıçapları 15 cm, 10 cm ve s(aob) = taralı bölgenin alanı kaç cm dir {n = 3,14 alalım.)? s(aob) = 45 olduğundan, taralı bölgenin alanı, daire halkasının 1 u r Daire halkasının alanı, n. (r-,2 - r22) = 3,14. ( ) Taralı bölgenin alanı, - i-. 392,5 8 = 392,5 cm2 dir. = 49,0625 cm2 olur. ÖRNEK Yarıçap uzunlukları 3 cm ve 9 cm olan iki çember, A noktasında birbirlerine içten teğettir. Değme noktasından çizilen iki kirişin arasında kalan ayrık bölgelerin alanlarının oranını bulalım. Çemberler ve daireler birbirine benzerdir. Dairelerin çevrelerinin uzunluklarının oranı ve alanlarının oranı da dir. r2 r2 Şekle göre, S- + ri \2 r2 9S-J = S1 + S2 8S- = S2 => Sı 1 = -5- bulunur. Idük ÖRNEK Şekildeki O merkezli çemberde [AB] teğet, m(oba) = 30 ve r = 4 cm ise taralı alanı bulalım. OAB (30, 60, 90 ) dik üçgenidir. m(b) = 30, /\ IABI = 4 V^cm olur. Taralı alan S olsun. S = A(OAB) - AD = IOAI. IABI t i. r ^3" n. 42 8n = (8 ^ 3 - -)c m 2 bulunur

13 % J l ÖRNEK Şekilde, ABCD bir kare ve a = 8 cm dir. B ve D merkezli 8 cm yarıçaplı çemberlerin sınırladığı alanı bulalım. nr< Taralı alan 2n ise n = A(ABC) 4 n = (16n - 32) cm dir. 2n = 2(16n - 32) = (32n - 64) cm2 bulunur. ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) Çemberin iç bölgesi daireyi oluşturur. ( ) Yarıçapı r olan dairenin alanı y. Ç. r dir (Ç, dairenin çevre uzunluğu olmak üzere). ( ) Çevre uzunluğu verilen dairenin alanı bulunamaz. ( ) Dairenin alanı üçgensel bölgenin alanından yararlanılarak bulunamaz. 2. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Bir merkez açının iç bölgesinde kalan ve çember yayı ile sınırlanan bölgeye... denir. b. Yarıçapları r-, ve r2 olan iki dairenin alanları oranı... olur. c. Aynı merkezli, farklı yarıçap uzunluğuna sahip iki çember arasında kalan bölgeye... denir. ç. Yarıçapı a olan dairenin alanı... olur. 3. Şekildeki çemberlerin yarıçapları r- = 5 cm, r2 = 12 cm ve ([BD] 1 [DC]) ise IKLI kaç cm dir? A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 17 K L 4. Şekildeki ABCD dik yamuğunun alanı 160 cm2 dir. [BC] çap ve IBCI = 20 cm ise ABCD yamuğunun çevresinin uzunluğu kaç cm dir? A. 36 B. 42 C. 48 D. 56 E

14 E Şekilde ABCD dikdörtgen, A merkezli çeyrek daire ile N merkezli yarım daire dıştan teğettir. IABI = 24 cm ve IBCI = 16 cm olduğuna göre taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? N B 6. Şekildeki [AC] çaplı çember içine [AB] ve [BC] çaplı yarım çemberler çizilmiştir. IABI = 8 cm, IBCI = 4 cm olduğuna jpfe israfı afanin tarafı olmayan alana oram kaçtır? 7. Şekildeki çemberlerin yarıçap uzunlukları eşit ve 2 cm dir. Birbirlerine dıştan teğet olan bu çemberler arasında kalan alan kaç cm2 dir? 8. Şekilde, aynı merkezli dairelerin yarıçapları r, 2r, 3r ç olduğuna göre, L oranı kaçtır? S2 9. Şekilde, ABCD kare ve a = 6 cm dir. [AB] ve [AD] çaplı yarım çemberler çizilmiştir. Buna göre taralı alan kaç cm2 dir? 171

15 /fjr ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a Bir çemberde merkez açının köşesi çemberin... b. Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde merkez açısı 40 olan yayın uzunluğu... n cm dir. c. Bir eşkenar üçgenin çevrel çemberi ile iç teğet çemberi arasındaki halkanın alanı 9n cm2 ise bu üçgenin yüksekliği... cm dir. 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. ( ) a Şekilde ABCD karedir. IABI = 6 cm ise taralı bölgelerin alanları toplamı 18 cm2 dir. ( ) b. Bir çemberde çevre açının köşesi çemberin iç bölgesindedir. ( ) c. Yarıçapı 4 cm olan bir dairede merkez açısı 45 olan daire diliminin alanı 2n cm2 dir. 6 cm ( ) ç. Şekildeki birbirine dıştan teğet çemberlerin çevrelerinin uzunlukları toplamı 40n ise AB doğru parçasının uzunluğu 80 cm dir. 3. Şekilde, m(cab) = 20 ve m(bcd) = 144 ise m(cbd) = x kaç derecedir? A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 E Şekilde, r = 18 cm ve AC yayının uzunluğu 5n cm ise m(b) kaç derecedir? A. 20 D. 40 B. 25 E. 50 C Şekilde, O merkezli çeyrek daire içine OABC karesi çizilmiştir. IOAI = 6 cm ise taralı alanların toplamı kaç cm2 dir? A. 18 (t t - 2 ) D. 36 B. 18n - 32 E. 18n- 16 C. 64 (t t - 1 ) 172

16 E 6. Şekilde, O merkezli iki çember yayı çizilmiştir. IOBI = 12 cm, IBCI = 6 cm, IBDI = cm ise taralı alan kaç cm2 dir? 3 A. ^3 D. B. 2 5 T\ ~2 7. Şekilde, [DE] çap ve IDNEI = 10n cm dir. m(def) = 54 ise IDFI = x kaç n cm dir? A. 4,8 B. 6 C. 6,4 D. 7,2 E. 8 ları oranı aşağıdakilerden hangisidir? A. 2 B. 3 D. 9 E Şekildeki aynı merkezli iki çemberde, içtekinin iki teğeti dıştaki çemberin kirişidir. m(edf) = 60 ise küçük dairenin alanının, bu iki çember arasındaki halka alanına oranı kaçtır? 1 B. J_ 3 E. J_ 6 C Şekildeki O merkezli çemberde, [AB] kiriş ve m(aob) = 90 dir. [AB] çaplı ve O' merkezli çember ile O merkezli IOBI = 8 cm yarıçaplı çemberin sınırladığı boyalı alanın kaç cm2 olduğunu bulunuz. 11. Yarıçap uzunluğu 13 cm olan bir çember içine, taban uzunlukları 24 cm ve 10 cm olan bir yamuk çiziliyor. Çemberin merkezi yamuğun iç bölgesinde ise yamuğun alanını bulunuz. 173

17 DİK DAİRESEL SİLİN D İR. DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE PROJE 5 Presenin Konusu: Silolar ve boru hatları Projenin Amacı Silindirle ilgili kazanımı pekiştirmek, petrol boru hatları ile ilgili araştırma yapmak Projenin Hazırlık Basamakları 1. Silolar ve petrol depolama tankları hakkında bilgi toplayınız. 2. Tarım ürünlerinden buğdaygillerin neden silolarda saklandığını, siloların hangi geometrik cisme benzediğini ve yurdumuzda nerelerde kurulduğunu araştırınız. 3. Petrol ve doğal gaz boru hatlarında kullanılan boruların çaplarının büyüklüğünü araştırınız ve sınırlarımız dahilinde doğal gaz boru hattında kaç m3 doğal gaz depolandığını hesaplayınız. Projenin Sunumu Araştırma sonuçlarınızı raporlaştırarak sınıfta arkadaşlarınıza sunum yaparak anlatınız. Sunum yaparken arkadaşlarınızın sorularını cevaplandırınız. Projenin Değerlendirmesi Kitabınızın 202. sayfasında yer alan ÖZ DEĞERLENDİRME FORMlTnu doldurarak kendinizi değerlendiriniz. NELER ÖĞRENECEĞİZ? I. Dik dairesel silindiri açıklayıp, yüzel alanı ve hacim bağıntılarını oluşturarak uygulamalar yapacağız. f. 2. Dik dairesel koniyi açıklayıp, yüzey alanı ve hacim bağıntılarını oluşturarak uy- I gulamalar yapacağız. 3. Küreyi açıklayıp, hacim ve yüzey alan bağıntılarını oluşturarak uygulamalar yapacağız

18 DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI VE HACİM BAĞIN TILARI Yandaki resmi inceleyelim. Araçta bulunan mazot tankı hangi geometrik cisme benzemektedir? Mazot tankının yüzey alanını ve bu tanktaki mazot miktarının nasıl hesaplayabileceğinizi hatırladınız mı? / ETKİNLİK Araç ve Gereç: karton, pergel, cetvel, kalem, silgi, cetvel. Kartona yarıçap uzunlukları eşit olan iki çember ile bir kenar uzunluğu bu çemberin çevre uzunluğuna eşit olan dikdörtgeni çiziniz. Oluşan daireler ile dikdörtgensel bölgeleri kenarlarından keserek kartondan ayırınız. Dikdötgensel bölgeyi rulo hâline getirip kenarları çakışaçak şekilde bantla yapıştırınız. (Dikdörtgensel bölgeyi, çemberin çevre uzunluğuna eşit uzunlukta olan kenarları boyunca rulo hâline getiriniz.). Daireleri de rulonun alt ve üst tabanına kapak olacak biçimde bantla yapıştırınız. Oluşan şekli nasıl adlandırdığınızı açıklayınız. Bu cismin görünümünü defterinize çiziniz. Bu cismin yüksekliğini ve taban yarıçaplarını belirtiniz. ^İNCELEYELİM ms üst taban alt taban taban dairesinin yarıçapı yan yüz h (yükseklik) taban Çevresi Dik dairesel silindirin tabanları daire, yan yüzeyinin açık şekli de dikdörtgensel bölgedir. Yandaki silindirin açık şeklinde, dikdörtgenin; kısa kenarı silindirin yüksekliğine, uzun kenarı silindirin taban çevresine eşittir. Yandaki bayrak direğinde, bayrağa bağlı ip bayrak direğinin dış yüzüne paraleldir. Bu ip direk yüzüne dayanarak ve ilk konumuna paralel olarak kaydırılırsa ipin oluşturduğu (süpürdüğü) yüzeye, silindirik yüzey; hareketli ipe de silindirik yüzeyin ana doğrusu denir. # 175

19 Verilen bir düzlemsel eğriyi kesen ve eğri düzlemine paralel olmayan bir doğrultuya paralel kalan doğruların oluşturduğu yüzeye, silindirik yüzey; verilen eğriye bu yüzeyin dayanak eğrisi, yüzeyi oluşturan her bir doğruya da yüzeyin ana doğrusu denir. Dayanak eğrisinin düzlemine paralel iki düzlem ile sınırlanan kapalı silindirik yüzey parçasına, silindir yüzeyi denir. (D Belirli bir alanı sınırlandıran ve kendisini kesmeyen dayanak eğrisine sahip olan silindir yüzeyinin sınırladığı bölgeye, silindirik bölge (üstteki 3. şekil) denir. Silindirik bölgenin paralel iki düzlem ile sınırlı kesitine, silindir denir. ana doğru Düzlemlerin sınırladığı ana doğru parçasına silindirin elemanı, bu düzlemler arasındaki dikme parçasına silindirin yüksekliği (h) denir. dik dairesel silindir Silindirin altında ve üstünde oluşan kesitlerine alt ve üst taban yüzeyleri denir. Silindirik yüzey parçasına, silindirin yanal yüzeyi, taban yüzeylerinin merkezlerini birleştiren doğruya da silindirin ekseni denir. Ana doğruları dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme dik olan silindire, dik silindir denir. Alt ve üst tabanları daire olan silindire dik dairesel silindir denir. Ana doğrusu taban düzlemine dik olmayan dairesel silindire eğik silindir denir. dik dairesel silindir eğik dairesel silindir 176

20 Silindirin Yüzey Alanı r ETKİNLİK Araç ve Gereç: kareli kâğıt, kalem, cetvel, silgi, makas sayfada yaptığınız etkinlikteki silindir biçimindeki kutunun tabanlarını kareli kâğıt üzerine koyup çevreleri boyunca çiziniz. Kareli kâğıt ile silindir biçimindeki kutunun yan yüzünü kaplayınız. Kâğıdın kutunun kenarlarından taşan kısımlarını kesiniz (Yan yüzün tam kaplanmasına ve kâğıdın kenarlarının üst üste gelmemesine dikkat ediniz.). Oluşan dairelerin ve dikdörtgensel bölgelerin alanlarını hesaplayarak bunların toplamını bulunuz. Bu toplam ile silindirin yüzey alanı arasındaki ilişkiyi açıklayınız. ^İN C ELEYELİM «S Aşağıda taban yarıçapı r = 1 cm ve yüksekliği h = 3 cm olan dik dairesel silindir ile bu silindirin açınımı veriliyor. Bu dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım. Taban alanı, n. r2 = n. 12 = n cm2 Alt ve üst taban alanları toplamı, n + n = 2n cm2 Yan yüz alanı, 2nr. h = 2 n. 1.3 = 6n cm2 Toplam alan, 2n + 6n = 8n cm2 Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin; Yanal alanı, Y A = 2nr. h Taban alanı, G = nr2 Tüm alanı, S = 2. G + YA S = 2. nr2 + 2n r. h S = 2nr (r + h) dir. AÇIKLAMA Bir dik dairesel silindirin yanal alanı, tabanının çevresinin uzunluğu ile yüksekliğinin uzunluğu çarpımına eşittir. m AÇIKLAMA Bir silindirin alanı, taban alanları ile yanal alanının toplamına eşittir. J k ÖRNEK Taban yarıçapı r = 4 cm ve yüksekliği h = 10 cm olan dik dairesel silindirin yanal ve yüzey alanını bulalım. Yanal alanı, YA = 2nr.h = 2.n.4.10 = 80n cm2 dir. Taban alanı, G = n r2 = n. 42 =16n cm2 dir. Yüzey alanı, S = 2.G + YA = 2.16n + 8 On = 32n + 8 On = 112n cm2 dir. 177

21 ^ ÖRNEK Bir boyacı, boya yaparken silindir biçiminde bir rulo kullanmaktadır. Rulonun yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 25 cm dir. Boyacı ruloyu boyaya batırıp duvar üzerinde aynı hizada 8 tur attırdığında kaç cm2 lik alanı boyamış olur? Rulonun yanal alanı, 2.n.r.h = 2.n.6.25 = 300 n cm2 olduğundan 8 turda, n = 2400n cm2 lik alan boyanır. ^ ÖRNEK Taban yarıçapı r = 4 cm ve yüksekliği h = 12 cm olan çeyrek silindirin yüzey alanı kaç cm2 dir? Çeyrek silindirin düz yüzeylerinin alanları toplamı, 2.(4.12)= 96 cm2 dir. Çeyrek silindirin alt ve üst tabanları ile eğri olan yan yüzeyinin alanlarının toplamı, tüm silindirin yüzey alanının ine eşittir. Öyleyse tüm silindirin yüzey alanı, ^ 2.n.r2 + 2.n.r.h = 2.n n.4.12 = 32n + 96n = 128n cm2 olduğundan istenen alan, 128n. J_ = 32n cm2 olur. 4 Buradan çeyrek silindirin yüzey alanı, ( n) cm2 olur. Silindirin Hacmi ETKİNLİK Araç ve Gereç: dik silindir şeklinde 4 farklı teneke kutu, cetvel, kalem, silgi, dereceli kap. Dik silindir şeklinde, farklı büyüklükte ve birer tabanları açık dört teneke kutu bulunuz. Bu kutuların her birinin taban yarıçaplarını ve yüksekliklerini cetvel ile ölçerek bulduğunuz değerleri aşağıdaki tabloya yazınız. Her bir kutunun taban alanı ile yüksekliğini çarpıp bulduğunuz sonuçları aşağıdaki tabloya yazınız. Kutuların her birini su ile doldurunuz (Kutuların su ile dolu olmasına dikkat ediniz.). Her bir kutunun içindeki suyu dereceli kaba koyarak suların hacmini ölçünüz. Bulduğunuz sonuçları aşağıdaki tabloya yazınız. Kutular Yükseklik Taban alanı Taban alanı x yükseklik Kutulardaki suyun hacmi Tabloyu inceleyip dik dairesel silindirin hacmi ile ilgili bağıntıyı nasıl çıkarabileceğinizi açıklayınız. 170 ı

22 Yanda, yarıçapı r = 5 cm, yüksekliği h = 6 cm olan ve oyun hamurundan yapılmış dik dairesel silindirin hacmini bulalım: Bu silindiri yükseklikleri boyunca 20 eş dilime ayıralım. Bu dilimleri prizmaya benzeyecek biçimde yerleştirelim. (Bu silindirde dilim sayısı artırıldığında oluşan cisim prizmaya dönüşür.) Bu durumda oluşan cismin taban alanı silindirin taban alanına; yüksekliği de silindirin yüksekliğine eşit olur. Prizmanın hacmi, V = taban alanı, x yükseklik olduğundan, silindirin hacmi de taban alanı x yükseklik olur. Buradan dik dairesel silindirin hacmi, tt. r2. h = t i = 150tt cm3 bulunur. S AÇIKLAMA Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir dik dairesel silindirin hacmi, V = n.r2.h dir. ÖRNEK Tabanının yarıçapı r = 20 cm ve yüksekliği h = 70 cm olan dik silindir biçimindeki bir bidon kaç litre su alır? Dik dairesel silindirin hacmi, V = tt. r2. h = tt = n cm3 tür. Bidondaki su, bidonun hacmi kadardır. Öyleyse bidondaki su miktarı tt cm3 = 28 n dm3 = 28 n L dir. 20 cm 70 cm A ÖRNEK Yanal alanı 120n cm2, yüksekliğinin uzunluğu 10 cm olan dik dairesel silindirin hacmini bulalım. Yanal alanı, YA = 2 n r. h = 120 n cm2 dir. 2. tt. r. 10 = 120 tt r = 6 cm dir. l-lacim, V = tt. r2.h = n = 360 n cm3 bulunur. ÖRNEK İç çapının uzunluğu 4 cm, dış çapının uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 25 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir borunun dolgu kısmının alanını ve hacimini bulalım. Borunun, iç ve dış yarıçaplarını bulalım. Dış yarıçapının uzunluğu, 2r1 = 6 cm => r1 = 3 cm dir. İç yarıçapının uzunluğu, 2r2 = 4 cm => r2 = 2 cm dir. Dolgu kısmının toplam alanı; S = 2. (nr2 - nr22) + 2nr-,h + 2nr2h S = 2n. (32-2 ) + 2n. 25(3 + 2) = 2n n = 10tt + 250n = 260n cm2 bulunur. Dolgu kısmının hacmi; V = V- - V2 = tt. r-. h - tt. r2. h = n n. 2 = 25tt. (9-4) = 125tt cm3 tür

23 A* m ÖRNEK Kenar uzunlukları; a = 8 cm, b = 5 cm olan ABCD dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgen, kenarları etrafında ayrı ayrı 360 döndürülüyor. Meydana gelen silindirlerin alanlarının ve hacimlerinin oranlarını bulalım. b = 5 cm 1. şekilde, ABCD dikdörtgeni [AD] kenarı etrafında 360 döndürülmüştür. Bu durumda oluşan cismin yüzey alanı, S1 = 2 n rf + 2 ^ h-, = 2nr-, (r-, + h) (r1 = a) = 2. n. 8. (8 + 5) = 208n cm2 dir. Hacmi, V- = nr- 2. h- = n = n = 320n cm3 tür. 2. şekilde, ABCD dikdörtgeni [AB] kenarı etrafında 360 döndürülmüştür. Toplam alanı, S2 = 2nr2 (r2 +h2) = 2. n. 5. (5 + 8) = 130tt cm2 dir. (r2 = b) Hacmi, V2 = nr^. h2 = n = 200n cm3 tür. Alanlarının oranı, Hacimlerinin oranı, 5 1 _ tt 8 = = dir n 5 VŞ 320n _ 8 _ a djr Vo 200n 5 b ÖRNEK Tabanının bir kenarı a cm olan bir kare prizmanın içine ve dışına, yükseklikleri prizmanın yüksekliğine eşit, birer dik dairesel silindir çiziliyor. Prizmanın taban ayrıtları iç silindire, yan ayrıtları da dış silindire teğet olduğuna göre, silindirlerin hacimleri oranını bulalım. Kare prizma içine çizilen silindirin yarıçapı r1( dışına çizilen silindirin yarıçapı r2 olsun. IABI = 2r-ı = a => r-, = cm, IACI = 2r2 = a V21 => r2 = 2 cm ve V1 _ nrı2 = / M 2 = V2 nr^ l r2 1 av?

24 i. i ^ ÖRNEK G> Yanda Bora ve Mert in evde kullandıkları su bardakları görülüyor. Bora nın su bardağının tabanı düzgün altıgen, Mert in bardağı da iki katlı silindir şeklindedir. Her ikisini bardaklarının kaçar cm3 su aldıkların bulalım (n = 3). 10 cm 2,5 1. bardağın hacmi, V, = G. h <2 5> = 15. 6,25.1,7-159 cm" 3 ^2" 2. bardağın hacmi, V2 = n. r-,2. h-, + n. r22. h2 = = = = 165 crrt ÖRNEK Yanda bir peynir halkası görülüyor. a. Bu peynirden kaç derecelik dilim kesilmiştir? b. Kesilen kısmın hacmini bulalım (n = 3). a. Kesilen kısım, = 60 lik dilimdir. 12 cm b. Kesilen kısım tüm peynirin idir. Neden? Kesilen kısmın hacmi = nr2. h. = ğ-.. f J k ÖRNEK = = 2400 cm2 tür. Şekilde, tahtadan yapılmış bir kare dik prizma görülüyor. Bu prizma yontularak en büyük hacimli dik silindir hâline getiriliyor. Yontma esnasında atılan tahta kısmın hacmi kaç cm3 tür (n ~ 3)? Atılan kısmın hacmi V olsun. Silindirin çapı prizmanın taban ayrıtına eşittir (2r = 10 cm). V = V1- V 2 = G.h - nr2. h = = = 500 cm3 tür. > e-. 20 cm 1Ö1 10 cm

25 ! ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Yanal alanı 24tt cm2 olan bir dik dairesel silindirin hacmi 36n cm3 ise bu silindirin yüksekliği... cm dir. b. İç çapı 10 cm, dış çapı 12 cm ve yüksekliği 40 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir borunun dolgu kısmının hacmi... n cm3 tür. 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa D, yanlışsa Y yazınız. r ( ) Yanal alanları eşit iki silindirin hacimleri oranı - 1- dir. r2 ( ) Bir ayrıtının uzunluğu 6 cm olan bir küpün iç silindirinin hacminin, dış silindirinin hacmine oranı 1.. tur. ( ) Dik dairesel silindirin yüzey alan bağıntısı S = nr2 + 2nr.h dir. 3. Taban yarıçapının uzunluğu 10 cm ve yüksekliğinin uzunluğu 20 cm olan bir dik silindirin dışına, kare düzgün prizma çiziliyor. Yüzleri silindire teğet olan bu prizmanın hacminin silindirin hacmine oranı kaçtır (n = 3 alınız.)? A- T B. - I C Günümüzde, bazı illerimizde elektrik ve telefon kablolarının yer altından döşendiğini biliyorsunuz. Yanda bir kablo makarasının boş hâlini görüyorsunuz. Bu makarada kablonun sarıldığı boşluğun hacmini bulunuz (n ~ 3). 5. Uzunluğu 6 m olan bir su borusunun iç silindirinin çapı 8 cm, dış silindirinin çapının uzunluğu 10 cm olduğuna göre bu boru için kullanılan metal kaç n cm3 tür? A B C D E Şekildeki tahtadan yapılmış dikdörtgenler prizmasından [PQ] çaplı yarım silindir oyularak çıkarılıyor: IABI = 8 cm, IBCI = 4 cm, ICDI = 10 cm, IPQI = 6 cm olduğuna göre prizmanın kalan kısmının hacmi kaç cm3 tür (n = 3 alınız.)? c 7. Yanal alanı 240 cm2, tüm alanı 340 cm2 olan bir dik silindirin yüksekliğinin taban yarıçapına oranı kaçtır? A. 2,1 B. 2,4 C. 2,5 D. 2,6 E. 2,8 8. Bir ABCD dikdörtgeninde; IABI = 12 cm, IBCI = 8 cm dir. Bu dikdörtgen önce [AB], sonra [BC] kenarı etrafında 360 döndürülüyor. Meydana gelen silindirlerin alanlarının oranını ve hacimlerinin oranını bulunuz. 1&2 q

26 DİK DAİRESEL KONİ VE DİK DAİRESEL KONİNİN YÜZEY ALANI VE HACİM BAĞINTILARI Konik Yüzey Yandaki dondurma külahı hangi geometrik cisme benziyor? Bu külahtaki dondurma miktarını ve külahı tamamen kapatmak için en az kaç cm2 lik kâğıda ihtiyacınız olduğunu hesaplamak için hangi bilgilere ihtiyacınız olduğunu açıklayınız ^ E T K İ N L İ K Araç ve Gereç: karton, makas, pergel, cetvel, kalem, silgi. Kartona yarıçapı 10 cm olan bir çember çiziniz. Bu çemberin 150 lik merkez açısını çizip bu açıya karşılık gelen yayının uzunluğunu hesaplayınız. Çevre uzunluğu, hesapladığınız yay uzunluğuna eşit olan çemberin yarıçapını bulup kartona çiziniz. 150 lik daire dilimi ile oluşturduğunuz ikinci daireyi kenarlarından kesip kartondan ayırınız. Daire dilimini, külah oluşacak biçimde iki yarıçapı boyunca birleştirip bantla yapıştırınız. Daireyi, oluşturduğunuz külahın açık kısmını kapatacak biçimde külahâ bantla yapıştırınız. Oluşan cismi nasıl adlandırdığınızı açıklayınız. Bu cismin tabanını yan yüzünü tepe noktasını ve ana doğrusunu gösteriniz. Bu cismin yüksekliğini nasıl bulacağınızı açıklayınız. İNCELEYELİM Aşağıdaki koniyi ve açınımını inceleyelim. - tepe noktası eksen (cisim yüksekliği) yanal yüz yanal yüz taban Trafik konisini ve sirklerde palyoçaların giydiği bir külahı inceleyelim. Trafik konisi ve külahın yüzleri birer konik yüzeydir. taban Külahın tepesi, trafik konisinin uç noktası bu konik yüzeylerin tepe noktasıdır. Trafik konisinin ve külahın ağızları da konik yüzeylerin taban eğrisidir. 133

27 Sabit bir düzlemsel C eğrisi verilsin. Bu eğriye dayanan ve eğri düzleminde olmayan bir T noktasından geçen doğruları çizelim. Bu doğruların oluşturduğu yüzey konisel bir yüzeydir. C eğrisine dayanak eğrisi, sabit T noktasına da konisel yüzeyin tepe noktası denir. Konisel yüzey oluşturulurken belirlenen ilk doğruya konisel yüzeyin üreteci, her bir doğruya da konisel yüzeyin elemanı denir. Tepe noktasının altında ve üstünde oluşan konisel yüzey parçalarına konisel yüzeyin kanatları denir. Dayanak eğrisi, kapalı olan konisel yüzeyin bir kanadının sınırladığı bölgenin, dayanak eğrisinin düzlemine paralel ve tepe noktasından geçmeyen bir düzlem ile sınırlı parçasına koni yüzeyi denir. Dayanak eğrisi kapalı olan konisel yüzeyin; tepe noktası ve dayanak eğrisinin merkezinden geçen doğruya, konisel yüzeyin ekseni denir. Düzlemsel kesite koninin tabanı, diğer kısmına koninin yanal yüzeyi; tepenin tabana olan uzaklığına da koninin yüksekliği denir. tepe noktası ana doğru dayanak eğrisi dayanak eğrisi M. J0V AÇIKLAMA Koni yüzeyi ile sınırlı bölgeye koni denir. Koninin tabanının merkezi ve tepe noktasından geçen doğruya, koninin ekseni denir. Bir koninin ekseni taban düzlemine dikse bu koniye dik koni; eğikse eğik koni denir. Dik Dairesel Koni Tabanı daire olan ve yüksekliği dairenin merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir. Dik Dairesel Konide Özellikler 1. Dik dairesel koninin tepe noktasının tabanına olan uzaklığı koninin yüksekliğidir. 2. Dik dairesel konide yükseklik, eksendir. Bu eksen, koninin simetri eksenidir. 3. Dik dairesel konide tepe noktasını taban çevresinin bir noktasına birleştiren doğru parçası, koninin ana doğrusudur. 4. Ana doğrularının uzunlukları birbirine eşittir. ITAI = ITCI = ITBI = a dır. 5. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle kesiti, bir ikizkenar üçgensel bölgedir. Yandaki şekilde TAB üçgeni ikizkenar üçgendir. 164

28 Dik Dairesel Koninin Yüzey Alanı İTKİNLİK Araç ve Gereç: kalem, pergel, silgi, cetvel sayfadaki etkinlikte oluşturduğunuz koninin görünümünü defterinize çiziniz. Bu koninin yüksekliğinin, taban yarıçapının ve yanal yüksekliğinin kaç cm olduğunu belirtiniz. Bu koninin açınımını çiziniz. Koninin yan yüzünü oluşturan daire diliminin kaç derecelik merkez açıyla oluştuğunu açıölçerle ölçerek bulunuz. Koninin taban alanını bulunuz. Koninin yanal yüzey alanını, yanal yüzdeki yayı pergel yardımıyla çembere dönüştürüp daire diliminin alanından yararlanarak bulunuz. Bu iki alanın toplamının neden koninin yüzey alanı olduğunu açıklayınız. Buradan yararlanarak koninin yüzey alan bağıntısını yazınız. Koninin yüzey alan bağıntısını ana doğrusunun uzunluğu cinsinden nasıl belirtebileceğinizi açıklayınız (Bunun için önce yanal yüzdeki yay uzunluğu ile koninin taban çevre uzunluğunu ana doğrusunun uzunluğu cinsinden belirtiniz.). s İNCELEYELİM * *>» Yarıçapı a = 5 cm olan bir daireden merkez açısının ölçüsü 216 olan daire dilimini alalım. Bu daire dilimiyle oluşturulacak koninin yüzey alanını bulalım. Koninin yanal yüzeyinin alanı, T Koninin taban dairesinin çevresinin uzunluğu, 2.n.a.a 2.n = 6n olduğundan yarıçapı, 2. tt. r = 6n ise r = 3 cm dir. Öyleyse taban alan n. r2 = n. 32 = 9n cm2 olur. Buradan koninin yüzey alanı, 9n + 15n = 24n cm2 bulunur. Taban alanı G, yanal alanı YA olan dik dairesel koninin yüzey alanı, S = G + Ya dır. G = nr2, YA = 2 n r' oa dir. 360 Dik daresel koniyi, taban kenar sayısı sonsuz olan özel bir düzgün piramit olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda, piramit için ifade edilen, alan ve hacim bağıntıları koni için de geçerli olur. Buna göre düzgün piramidin yanal alanı taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğundan taban yarıçapı r, ana doğrusunun uzunluğu a olan bir dik dairesel koninin (dönel koninin) yanal alanı da A T 185

29 Bir dik dairesel konini açınımı incelenirse dönel koninin yanal alanının, yarıçapı a olan bir daire diliminin alanına eşit olduğu görülür. Yandaki daire diliminin alanı, koninin yanal alanıdır. Şekle göre, An = YA= Ya = 2.ti.a.a 360 ti. a^. a 360c olur. Bu bağıntıyı, ti. a2.a 2 n.a.a a biçiminde yazalım v = IABI ve IABI = 2nr olduğundan, Ya = IABI. olur. Buradan, a 2 3 Ya = 2.n.r. = n. r. a bulunur. a 2 Dik dairesel koninin yüzey alanı da S = G + Ya = tt. r2 + tt. r. a w ÖRNEK = tt. r. (r + a) dır. Ana doğrusunun uzunluğu 8 cm ve tabanının yarıçapı 3 cm olan dik koninin yüzey alanını bulalır (tt = 3 alalım.). T YA = TC. r. a =3.3.8 = 72 cm2 dir. G = k. r2 = = 27 cm2 dir. S = YA + G = = 99 cm2 dir. Taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan dik koninin yüzey alanını bulalım (tt = 3,14 alalım.). T G = n. r2 = 3, = 3, = 78,5 cm2 dir. TOA dik üçgeninde, a2 = h2 + r2 a2 = a2 = a2 = 169 S = G + Ya = 78, ,1 = 282,6 cm2 dir. a = 13 cm dir. Ya = n. r. a = 3, = 204,1 cm2 dir. 136

30 Koninin Hacmi '^ E T K İN L İK Araç ve Gereç: kum, cetvel, kalem, silgi, cetvel sayfadaki etkinlikte oluşturacağınız koninin tabanını çıkarınız. Kartondan üstü açık yüksekliği bu koninin yüksekliğine eşit ve alt tabanı koniden çıkardığınız taban olacak biçimde, açık bir silindir oluşturunuz. Bir torba ile kum getiriniz. Bu torbadan alacağınız bir miktar kum ile koni modelini doldurup bunu silindir modelinin içine dökünüz. Bu işi kaç kez yaptığınızda silindir modeli kum ile dolmaktadır? Buradan silindirin hacim formülünden yararlanarak koninin hacim formülünü yazınız. ^3 İNCELEYELİM JUdl Taban yarıçapları ve yükseklikleri eşit olan üst tabanı açık bir si indir ile tabanları açık koni biçimindeki kaplar su ile doludur. Ölçekli bir kaba önce silindir biçimindeki kapta bulunan suyu koyalım. Suyun kaç cm3 olduğunu ölçelim. Sonra koni biçimindeki kaplarda bulunan suları ölçekli kaba koyalım ve bu suların kaç cm3 olduğunu ölçelim. Her iki ölçümde bulunan sonuçların aynı olduğunu görelim. Dik dairesel silindirin hacmi, 3 tane dik dairesel koninin hacmine eşit olur. Silindirin hacmi V = n. r2. h olduğundan, yukarıdaki silindirin hacmi, V = tt = 288n cm3 ve bir dik dairesel koninin hacmi, 288tt = 96tt cm3 tür. Silindirin hacmi koninin hacminin 3 katı olduğundan, koninin hacmi, V = silindirin hacmi _ n.r2. h _ 1 r - S AÇIKLAMA Koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.. i > ÖRNEK Taban yarıçapı r = 4 cm ve yüksekliği h = 9 cm olan koninin hacmini bulalım. V =. t t. r2.h=. tt.42.9 = 4 8 tt cm3 tür Ö7

31 ö r n e k Yarıçapı 10 cm ve merkez açısının ölçüsü 216 olan bir daire dilimi bükülerek bir dik dairesel koni hâline getiriliyor. Bu koninin hacmini bulalım. Daire diliminin alanı, Ad - r a n. a^. a = n.r.a dır. Buradan, 360 a yazılabilir C =>r = 6 cm dir Şekle göre, h2 = => h = 8 cm dir. Koninin hacmi, V = - y. G. h V = i -. n. r2. h = -y. n = 96 n cm3 bulunur. ÖRNEK Taban yarıçapı r = 5 cm, ana doğrusu a = 13 cm olan bir dönel koninin; yüzey alanını bulalım. r = 5 cm, a = 13 cm olduğundan, YA = TT.r.a = n.13.5 = 65n cm2 dir. Dik dairesel koninin yüzey alanı, S = G + Ya = n. r2 + n.r.a TOB dik üçgeninden, = n.r.(r + a) = n. 5. (5 + 13) = 9On cm2 dir. h2 = = = 144 h = 12 cm dir. Koninin hacmi, V = _L G h olduğundan, 3 V = J_ n. r2. h = J_ n = 100n cm3 bulunur. 3 3 % ÖRNEK Tabanları [AB] ve [CD] olan ABCD yamuğunda; IABI = 24 cm, IBCI = 20 cm, IDCI = 3 cm İADI = 13 eridir. Bu yamuk, uzun kenarı etrafında 360 döndürüldüğünde elde edilen cismin hacmini ve alanını bulalım. 1ÖÖ

32 ABCD yamuğu [AB] tabanı etrafında 360 döndürüldüğünde oluşan cisim, bir dik silindir ile iki dönel koninin birleşimidir. Bu cismin hacmi, dik silindir ile dönel konilerin hacimleri toplamıdır. Dik silindirin hacmi V-j, konilerin hacimleri de V2, V3 olsun. Yandaki şekle göre, h2 = x2 = (21 - x)2 dir. Buradan IAEI = x = 5 cm, h = 12 cm ve IFBI = 21-5 = 16 cm olur. V = V! + V2 + V3 13 cm 3 cm i 3 cm : V = ti tt n = 432tt + 240n + 768n = 1440n cm3 tür. Cismin tüm alanı, dik silindirin ve konilerin yanal alanları toplamına eşittir. S = 2.n n n = 72n + 156n + 240n = 468n cm2 bulunur. Af b ÖRNEK Tabanları [AB] ve [CD] olan ABCD dik yamuğunda; IDCI = 3 cm, IABI = 9 cm ve IDAI = 8 cm dir. Bu yamuk [AD] dik kenarı etrafında 360 döndürülüyor. Oluşan cismin alanını ve hacmini bulalım. ABCD dik yamuğu [AD] kenarı etrafında 360 döndürülürse, dik dairesel kesik koni oluşur. Bu kesik koninin hacmini bulalım. [AD] ile [BC] nın uzantılarının kesim noktası T olsun. TDC ~ TAB dir(a.a.a. benzerlik teoremi). ITDI IDCI '1 _ r1 _ '1 _ ITAI IABI hı+ 8 x0 h^ + 8 IABI = 9 cm yarıçaplı koninin hacmi, >9h = 3h1+ 24 =>h! = 4 cm dir. V =. n. r2. h =. n = 324 n cm3 3 3 (h = = 12 cm) ve IDCI = 3 cm yarıçaplı koninin hacmi VI =. n. r- 2. h- = - i-. n = 12n cm3 olduğundan O ü Kesik koniain hacmi, 324r - 12u- 3 12r v??3 tür. Kesik koninin tüm alanını bulalım: [AB] yarıçaplı dairenin alanı: nr22 = n. 92 = 81 n cm2, [DC] yarıçaplı dairenin alanı: nr- 2 = n. 32 = 9n cm2 dir. B (h2 = 8 + h1 = = 12 cm) \T i^ A - a- - 'ü c m, ST'E/ı -&2 ~ ^ îrr»'> CHB dik üçgeninde IBCI2 = = 100 IBCI = 10 cm ve ITCI IDCI ITCI 3 r = = => 9 ITCI = 3 ITCI + 30 => ITCI = 5 cm dır. ITBI IABI ITCI Yk = Ya YAi= nr2a2 - nr-ıa-, = n n = 135n- 15n = 120n cm2 dir. Kesik koninin yüzey alanı: 81 n cm2 + 9n cm n cm2 = 21 On cm2 bulunur.

33 * k ÖRNEK Metin, evlerindeki su kovasının hacmini bulmak istiyor. Metin in yaptığı ölçümlerine göre şekildeki su kovasını hacmi kaç cm3 tür (n * 3)? TDC ~ TAB olduğundan, ITAI IABI. x 10 _ ^ ise = => 20x = 10x ITDI IDCI x x = 30 cm V = \f, - V2 = y. n. ht - y. n. r22 h2 = = = cm3 tür. 1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz. a. Bir dönel koni, tabanına paralel üç düzlemle kesilerek yükseklikleri eşit dört parçaya ayrılıyor. Tepeden itibaren birinci parça hacminin, ikinci parça hacmine oranı... b. Dik kenar uzunlukları; 8 cm ve 6 cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360 döndürülürse oluşan cismin hacmi... cm3 tür. 2. Bir dik koninin yanal alanı, taban alanının 4 katıdır. Bu koninin açık şeklinde oluşan daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 E ABCD dik yamuğunda; IABI = 4 cm, IDCI = 2 cm, İADI = 3 cm ve m(â) = 90 dir. Bu yamuk [AD] kenarı etrafında 360 döndürülüyor. Meydana gelen cismin hacmi kaç cm3 tür? A. 14n B. 21 n C. 28n D. 35n E. 42n 4. Merkez açısının ölçüsü 120 olan bir daire diliminin alanı 192tt cm2 dir. Bu dilimden yapılabilecek dik koninin hacmi en çok kaç cm3 olur? 5. Alanı, A(ABC) = S olan ABC üçgeni, [BC] kenarı etrafında 360 döndürülürse elde edilen cismin hacminin V = ^ S2 buğunu gösteriniz, o ABCD yamuğunda; IABI = 11 cm, IBCI = 2V5 cm, ICDI = 6 cm ve İADI = 5 cm dir. Bu yamuk, [AB] kenarı etrafında 360 döndürüldüğünde oluşan cismin hacmini bulunuz. 7. Yanda, ucu dik koni şeklinde açılmış yuvarlak bir kurşun kalem görüyorsunuz. Verilenlere göre bu cm r1~ : kurşun kalemin hacmini bulunuz (n «3). 6 mm { 190

34 KÜRE, KÜRENİN YÜZEY ALANI VE HACİM BAĞINTILARI Dünya mız hangi geometrik cisme benzemektedir? Dünya mızın yüzey alanını ve hacmini hangi bilgilerle bulabiliriz? ETKİNLİK Araç ve Gereç: naylon top, oyun hamuru. Küçük bir naylon topu ortadan ikiye kesiniz. Bu iki parçanın iç kısımlarını oyun hamuru ile doldurup kestiğiniz kısımlar çıkacak biçimde kapatınız. Biraz bekledikten sonra top parçalarını çıkarınız. Oluşan bu modelin, hangi geometrik cisme benzediğini açıklayınız. Bu modelin yüzeyini, merkezini ve yarıçapını nasıl belirtebileceğinizi açıklayınız. İNCELEYELİM yarıçap büyük daire A küre yüzeyi küre yarım küre Uzayda, sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine (geometrik yüzeyi; küre yüzeyi ile sınırlanan cisme de küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi; sabit uzunluğa da kürenin yarıçapı denir. Yandaki şekil, O merkezli R yarıçaplı (O, R) bir küredir. Küre üzerinde herhangi iki nokta B ve C ise IOBI = IOCI = R dir. BC doğru parçası da kürenin bir kirişidir. Bir kürenin merkezinden geçen kirişe, kürenin çapı denir. Şekilde, AB doğru parçası kürenin bir çapıdır ve IABI = 2R dir. Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle kesiti de bir dairedir. O merkezli R yarıçaplı küreyi bir P düzlemi ile keselim. Küre merkezinin P düzlemine olan uzaklığı loo'l = d ve OO'D dik üçgeninden, lo'di =VR2- d2'dir. Bir kürenin merkezinden geçen bir düzlemle kesitine kürenin en büyük dairesi denir. Bir kürenin en büyük dairesinin çevresine, kürenin en büyük çemberi denir. yerine) küre 191

35 P düzlemi kürenin merkezinden geçtiğinde kesit, küre nin en büyük dairesidir. Büyük dairenin yarıçapı kürenir yarıçapına eşittir. Kürenin Yüzey Alanı ^ E T K İN L İK 182. sayfadaki etkinlikte oluşturacağınız küre modelini tam ortasından ikiye bölerek eş iki yarım küre oluşturunuz. Yarım kürenin düz kısmını kâğıda koyarak etrafını çiziniz. Oluşan daireyi makasla keserek kâğıttan ayırınız. Bu daireye eş olan üç tane daireyi oluşturunuz. Oluşan dört dairenin her birini sekiz eş daire dilimine ayırıp bu daire dilimlerini kâğıttan keserek ayırınız. İki yarım küreyi küre oluşacak biçimde birleştiriniz. Kestiğiniz daire dilimlerini kürenin yüzeyine birleştirerek yapıştırınız. Daire dilimlerinin kürenin ne kadarını kapladığını açıklayınız. Dairenin alan bağıntısından yararlanarak kürenin yüzey alan bağıntısını oluşturunuz. İNCELEYELİM Hacimler takımından bir kürenin ya da bir futbol topunun yüzey alanını bulalım. Futbol topunun yüzeyi de bir küre yüzeyidir. Kürenin ya da futbol topunun en büyük dairesinin çapına eşit çap uzunluğuna sahip çemberi, kâğıda çizelim. Oluşan daireyi kâğıttan keserek çıkaralım. Bu daireyi 8 eş dilime bölelim ve her dilimi keserek çıkaralım. I Bu dilimler futbol topunun (kürenin) J_ini kapatır. 4 Buradan kürenin yüzey alan bağıntısı aşağıdaki gibi bulunur. 4 4 BİLGİ Yarıçap uzunluğu r olan kürenin yüzey alanı 4 n r2 dir. C ÖRNEK Yarıçapı 5 cm olan kürenin yüzey alanını bulalım. A = 4. n. r 2 = 4.n.52=1 OOn cm2 dir. 192

36 V ' w ÖRNEK En büyük dairesinin alanı 16 n cm2 olan kürenin alanını bulalım ^Tfr2 = IŞjt^ r2 = 16 r = 4 cm dir. S = 4tc r2 = 4. 16ti = 64rc cm2 dir. '5 ÖRNEK Yarıçapı 12 cm olan küre biçimindeki karpuzlardan kesilen yarım ve çeyrek küre parçalarının yüzey alanlarını bulalım. yüzey alanı,. 4. tt. r2 + tt. r2 = 2. n n. 122 = 2. n tt. 144 = 432n cm2 dir. yüzey alanı =. 4. tt. r2 + y. n. r2 + - i-. n. r2 = n y. n y. tt. 122 = tt tt y. n. 144 = 288n cm2 dir. r S AÇIKLAMA Yarım kürenin yüzey alanı 3.n.r2, çeyrek kürenin yüzey alanı da 2.n.r2 ile bulunur. Kürenin Hacmi ^ E T K İN L İK Araç ve Gereç: oyun hamuru, karton, kalem, cetvel, silgi. Oyun hamurundan yaptığınız küre modelinin çap uzunluğunu belirleyiniz. Yüksekliği ve taban çapı, kürenin çapına eşit olacak biçimde üstü açık bir silindiri kartondan oluşturunuz. Oyun hamurundan yapmış olduğunuz küreyi su ile biraz yumuşatıp silindir modelinin içine boşluk kalmayacak biçimde yerleştiriniz ve üst kısmını düzleştiriniz. Oyun hamurunun, silindir modelinin kaçta kaçını doldurduğunu silindir modelinin yüksekliğinden yararlanarak bulunuz. Bu oyun hamurunun hacmini bulunuz. Silindirin hacim bağıntısından yararlanarak kürenin hacmininin bağıntısını bulunuz. 193