ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.2. Benzerlik

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.2. Benzerlik"

Transkript

1 Ünite ÜÇNLR ŞLİK V NZRLİK ölüm.. enzerlik u ölümde Neler Öğreneceğiz? ir üçgenin kenarlarından birine paralel olacak şekilde çizilen doğrunun, kestiği kenarlar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları arasındaki ilişkiyi İki üçgenin benzerliğini Üçgenlerin benzerliğini modelleme ve problem çözmede kullanmayı Neden Öğreneceğiz? arklı nedenlerden dolayı (nesneye yaklaşmanın tehlike oluşturması, zaman alması vb.) bazı nesnelerin uzunluklarını doğrudan ölçemeyebiliriz. Örneğin bir geminin karaya olan uzaklığını doğrudan ölçme ile belirlemek çok zor olabilir. öyle durumlarda benzer üçgenler ölçmek istediğimiz uzunlukları belirlemede bize yardımcı olabilir. Ölçekli modeller şehir planlamacılığı, haritacılık ve sinema sektörü gibi birçok farklı alanda gerçeğine benzer yapıların oluşturulması amacıyla sıklıkla kullanılmaktadır. u modelleri oluşturmak için gerçek şekillerin ölçülerini bilmek gerekir. u ölçüler belli oranlarda küçültülerek gerçek şekillerin modelleri oluşturulabilir. Resimde, ünlü birçok tarihi eserin belli oran kullanılarak oluşturulmuş modellerinin sergilendiği ülkemizin ilk minyatür parkı olan Miniatürk teki nıtkabir ve Selimiye amii nin modelleri görülmektedir.

2 ölüm.. Üçgenlerin enzerliği HZIR MIYIZ? 1. Oran ve orantı kavramlarını açıklayarak bu iki kavram arasındaki farkı belirtiniz.. Şekildeki kare, eş kareye bölünmüş ve beş farklı renge boyanmıştır. una göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a. Mavi karelerin sayısının yeşil karelerin sayısına oranını bulunuz. b. Siyah karelerin sayısının beyaz karelerin sayısına oranını bulunuz. c. Pembe karelerin sayısının beyaz karelerin sayısına oranını bulunuz. ç. Siyah karelerin sayısının yeşil karelerin sayısına oranını bulunuz. d. Yukarıda elde ettiğiniz oranlardan hangileri birbirine eşittir? Yazınız.. şağıda verilen ikililerden doğru orantı oluşturanların yanındaki boşluğa (X) işareti koyunuz. a., (...) b., 9 ç., (...) d., 1 9 (...) c., 1 1 (...) e., (...) 1 1 (...) 1. şağıdaki orantılarda verilmeyen a, r, k, b ve y bilinmeyenlerinin alabilecekleri değerleri bulunuz. a. ç. a = 10 b. = 7 b d. r = c. 7 y = y 9 k 1 =. ydın ey, eni 10 cm ve boyu 1 cm olan fotoğrafın en-boy oranını değiştirmeden, eni 1 cm olacak şekilde fotoğrafın boyutlarını değiştirmek istiyor. una göre yeni fotoğrafın boyu kaç cm olmalıdır?. şağıdaki tabloda verilen ve y sayıları arasında belli bir oran bulunduğuna göre verilen boşlukları uygun şekilde doldurunuz y Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

3 MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında, bir üçgenin kenarlarından birine paralel ve diğer iki kenarı kesecek şekilde çizilen doğrunun, bu kenarlar üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 ir dinamik geometri yazılımını kullanarak üçgeni çiziniz. dım kenarı üzerinde herhangi bir noktası belirleyerek noktasından kenarına paralel bir doğru çizip doğrunun kenarını kestiği noktayı olarak isimlendiriniz. dım inamik geometri yazılımının uzunluk ölçme ve hesap makinesi özellikleri yardımıyla [], [], [] ve [] nın uzunluklarını belirleyerek yandaki tablonun birinci satırını tamamlayınız. noktasının [] üzerindeki yerini değiştirerek farklı durumlar için tabloyu doldurunuz. dım Yukarıdaki tabloya göre ve oranları arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.... Sonuç ir üçgenin kenarlarından birine paralel ve diğer iki kenarı kesecek şekilde çizilen doğrunun, bu kenarlar üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları hakkında ne söylenebilirsiniz? çıklayınız Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

4 ölüm. enzerlik Neler Öğreneceğiz? ir üçgenin kenarlarından birine paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğrunun, bu kenarlar üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi irbirine paralel en az üç doğrunun farklı iki kesen üzerinde ayırdığı karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi..1. Üçgende Orantılı oğru Parçaları aşlarken Ressamlar, eserlerini yaparken derinlik hissi uyandırmak için orantılı doğru parçalarından yararlanırlar. İlgili oranları dikkate almamak görüntünün gerçek dışı görülmesine sebep olabilir. u bölümde ele alacağımız yeni kavram ve ilişkileri daha iyi anlayabilmek için önceki yıllarda öğrendiğimiz bazı kavramlara ihtiyaç duymaktayız. unların başında üçgenin alan bağıntısı gelmektedir. Üçgenin alan bağıntısına yönelik bazı hatırlatmalar aşağıda yer almaktadır. nahtar Terimler Temel Orantı Teoremi ve karşıtı Thales Teoremi Hatırlayalım Üçgenin lanı h a a aha önceki yıllarda bir üçgenin alanının, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısı olduğunu öğrenmiştik. ( ) = a ha Sembol ve österimler // // şağıda birer kenarları eş olan üçgenlerin alanları oranının, o kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları oranına, yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanlarının oranının ise eş yüksekliklerin çizildiği kenarların uzunlukları oranına eşit olduğu gösterilmiştir. irer Yükseklikleri ş Üçgenler irer Kenarları ş Üçgenler h h ha hd H a d H a a H = = h olmak üzere, = = a olmak üzere, ( ) ( ) = a d ( ) ( ) = h h a d 71 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

5 Üçgende Orantılı oğru Parçaları şağıdaki teorem, bir üçgenin kenarlarından birine paralel olacak şekilde çizilen doğrunun diğer kenarları kesmesi durumunda, kestiği kenarlar üzerinde ayırmış olduğu parçaların uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklamaktadır. Temel Orantı Teoremi Teorem d ir üçgenin, bir kenarına paralel olan ve üçgenin diğer kenarlarını farklı noktalarda kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı olarak böler. d 1 d 1 // d ise = dir. İspat Verilenler:, d 1 // d İstenen: = olduğunun gösterilmesi ile, ile noktalarını birleştirelim. d d 1 İfade erekçe 1 ( ) ( ) = ve nin köşesinden çizilen yükseklikleri eş ( ) ( ) = ve nin köşesinden çizilen yükseklikleri eş ( ) = ( ) ve nin birer kenar ve bu kenarlara ait yükseklikleri eş = 1.,. ve. adımlardan Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 717

6 ölüm. enzerlik İnceleyelim 1 [] // [] = cm = cm ve = cm ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni oluşturunuz. u üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirip yeni bir üçgen oluşturunuz. u üçgen ile üçgeni arasındaki ilişkileri inceleyiniz. olduğuna göre = değerini bulalım. nde [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre uradan = eşitliğinden = cm bulunur. = olmalıdır. Resimde bir evin çatısı görülmektedir.,, 7 + =, m =, m = 7 = + ve [] // [] olduğuna göre = in kaç metre olduğunu bulalım. Verilen resimde [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre = dir., olayısıyla = eşitliğinden, 7 + = + 7 ve buradan da = eşitliği elde edilir. u denklemden = 1 olur. Son eşitlikten 1 = ve =, m bulunur. 71 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

7 Üçgende Orantılı oğru Parçaları [] // [] [] // [] = 1 cm = 1 cm = 9 cm ikkat olduğuna göre = değerini bulalım. [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoreminden [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre (*) ve (**) dan = olur. O hâlde =... (*) dir. =... (**) dir. 1 9 = dir. uradan = 1 cm olarak bulunur. 1 [] // [] olmak üzere = olduğuna dikkat ediniz. [] // [] [] // [] = cm = cm olduğuna göre = in kaç cm olduğunu bulalım. [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre =... (*) dir. [] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre (*) ve (**) birlikte düşünüldüğünde Uzunluklar orantıda yerine yazılırsa = olur. =... (**) dir. 1 = buradan = cm olarak elde edilir. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 719

8 ölüm. enzerlik nahtar ilgi Sonuç ir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası, üçgenin diğer kenarına paraleldir. u doğru parçasına üçgenin orta tabanı denir. = ve = ise [] // [] dir. d 1 d Temel orantı teoreminin karşıtı da doğrudur. ir doğru, bir üçgenin iki kenarını kestiğinde, kestiği kenarlar üzerinde oluşan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı ise bu doğru, üçgenin üçüncü kenarına paraleldir. = ise d // d 1 dir. Yandaki üçgeninin [] ve [] nın orta noktalarını birleştiren [] nın, [] na paralel olduğu yukarıdaki sonuçtan kolayca görülebilir. Çünkü = = 1 dir = 1 cm = 17 cm = 10 cm = 11 cm olup = = 1 cm dir. una göre noktasından geçen ve kenarını kesen doğrulardan hangisinin kenarına paralel olduğunu bulalım. noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğrunun kenarını kestiği nokta X olsun. Temel Orantı Teoremine göre = olmalıdır. uradan = elde edilir. X 1 X X 10 X =, = ve = olduğundan noktasının paralelliği sağlayan nokta olduğu görülür. Yani [] // [] dir. 70 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

9 Üçgende Orantılı oğru Parçaları Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesi ile oluşan dörtgenin karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu gösterelim. İnceleyelim J Yandaki dörtgeninin kenarlarının orta noktaları, J, ve olsun. una göre J dörtgeninin karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu, yani J dörtgeninin paralelkenar olduğunu göstermeliyiz. dörtgeninin köşegenleri olan [] ve [] nı çizelim. una göre ve J, sırasıyla [] ve [] nın orta noktaları olduğundan üçgeninde J = = 1 dir. J Temel Orantı Teoreminin karşıtına göre [J] // []... (*) olur. ir dinamik geometri yazılımı kullanarak çizdiğiniz herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirip yeni bir dörtgen oluşturunuz. u dörtgenin yandaki örnekte ulaşılan sonuçtan farklı özelliklere sahip olup olmadığını inceleyiniz. enzer şekilde ve, sırasıyla [] ve [] nın orta noktaları olduğundan üçgeninde = = 1 dir. Temel Orantı Teoreminin karşıtına göre [] // []... (**) olur. (*) ve (**) dan [J] // [] olur. enzer şekilde [] // [J] olduğu da gösterilebilir. öylece J dörtgeninin paralelkenar olduğu belirlenmiş olur. Thales Teoremi Teorem d 1 d d irbirine paralel en az üç doğru, verilen iki doğruyu kestiğinde bu iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur. d d // d // d ise d = dir. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

10 ölüm. enzerlik Matematik Tarihi Thales (Mö -Mö 7) Mısır a yaptığı yolculuğunda orada yaşayan insanlar için ölçülemez olarak gözüken Keops Piramidi nin yüksekliğini kendine has yöntemiyle hesaplamıştır. Karadağ, N. (00). ölgelerin ücü ve Thales. ilim ve Teknik, 1,-9. İspat Verilenler: d // d // d İstenen: = d 1 d enzer şekilde =... (**) olur. d d d (*) ve (**) birlikte düşünüldüğünde ve noktalarını birleştirerek üçgenini oluşturalım. [] = {} olsun. nde d doğrusu kenarına paralel olduğu için bu doğru Temel Orantı Teoremi gereğince [] ve [] nı orantılı doğru parçalarına ayırır. olayısıyla =... (*) olur. nde d // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine göre = elde edilir. 7 0 m birbirine paralel duran ağaçlar görülmektedir. noktasından ye uğrayarak ye bir doğru boyunca uçan kuşun izlediği yol verilmiştir. = 0 m = m 0 m m = 0 m ve,, noktaları doğrusal olduğuna göre = değerini bulalım. [] // [] // [] olduğundan Thales Teoremi nden = olup verilen uzunlukları orantıda yerine yazılırsa uradan = m bulunur. 0 0 = eşitliği elde edilir. 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

11 Üçgende Orantılı oğru Parçaları 1 = cm = cm + = 1 cm = + cm ve // // dir. una göre değerini bulalım. // // olduğundan Thales Teoremi ne göre bu üç paralel doğrunun diğer iki doğru üzerinde ayırdığı doğru parçaları orantılıdır. olayısıyla = orantısından - 1 = elde edilir. + Orantı özelliğinden ( + ) = ( 1) ve bu son eşitlikten = 10 ve = cm olarak bulunur. 9 y H = cm, = cm = cm, = cm = y cm H = cm olup [] // [] // [] // [H] dir. una göre ve y değerlerini bulalım. [] // [] // [] olduğundan Thales Teoremi gereği, 1 = ise = ve buradan y= bulunur. y enzer şekilde [] // [] // [H] olduğundan Thales Teoremi gereği, 1 y = ise = ve = olduğundan H 1 = & = 0 eşitliğinden = 10 cm bulunur. 0 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

12 Üçgende Orantılı oğru Parçaları KNİMİZİ SINYLIM Kavrama ve Muhakeme 1. şağıdaki ifadelerden doğru olanların başına yanlış olanların başına Y yazınız. a. (...) ir üçgenin bir kenarına paralel olacak şekilde çizilen doğru kestiği kenarlar üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur. b. (...) ir üçgenin bir kenarının orta noktasından diğer kenarlardan birine çizilen paralel doğru üçüncü kenarı ortalar. c. (...) ir üçgenin iki kenarını orantılı şekilde bölen doğru üçüncü kenara paralel olmayabilir.. şağıdaki şekillerde verilen uzunluk ölçülerine göre d 1 ve d doğruların paralel olup olmadıklarını inceleyiniz. a. d 1... d d 1 d. a. c. Yukarıdaki şekilde [] // [] // [] olduğuna göre boşlukları uygun biçimde doldurunuz = b. = ç. = = b. 9 d 1... d c. d 1 d d 1 d. Şekildeki üçgeninde H K = = br = K = br ve = H = HK = 1 br d 1... d olduğuna göre noktasından [] na çizilen paralel doğru [] üzerinde işaretlenmiş noktalardan hangisinden geçer? 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

13 Üçgende Orantılı oğru Parçaları KNİMİZİ SINYLIM 1. lıştırmalar Yandaki üçgeninde [] // [] dir. Verilenlere göre = kaçtır?. şağıdaki şekillerde d // d // d ve verilen uzunluk ölçülerine göre değerini bulunuz. d 1 d a. b. d d 1 d d d d. y Yandaki üçgeninde [] // [] // [] dir. Verilen uzunluklara göre = ve = y kaçtır? c. d 1 d 1 d d d d. y Yandaki ve üçgenlerinde [] // [] [] // [] dir. Verilen uzunluklara göre y kaçtır? d. z y Yandaki üçgeninde [] // [] // [] dir. Verilen uzunluklara göre a. y. T y L S z d d // [] ve verilen uzunluk ölçülerine göre y ( + z) işleminin sonucu kaçtır? b. y z M değerleri kaçtır? Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

14 Üçgende Orantılı oğru Parçaları KNİMİZİ SINYLIM 7. 0 y H Şekilde verilen üçgen şeklindeki uçurtma resminde [] // [] olduğuna göre ve y uzunluklarını bulunuz. 7. [] // [] ve [] // [] olup = br = br olduğuna göre = kaç br dir? Uygulama ve Problem Çözme 1. olduğuna göre = kaçtır?. 9 [] // [] ve [], açısının açıortayıdır. = cm = cm = cm [] // [] // [] dır. [] ile [] sırasıyla % % ve nın açıortaylarıdır.. olduğuna göre nu bulunuz.. a. b. c e a e b = f a a+ e b+ f = c d b d f [] // [] // [] = ve = 1 cm şağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. Verilen uzunluklara göre = kaçtır? c. a+ c b+ d = c+ e d + f 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

15 Üçgende Orantılı oğru Parçaları KNİMİZİ SINYLIM. L H 7 m K 0 m 0 m 0 m 0 m. [] // [] // [], [] // [] // [] = cm Yukarıda bir uçağın iniş aşamaları görülmektedir. Verilen uzunluklara göre, H, KL nu bulunuz. olduğuna göre = kaç cm dir? = cm adde. adde irbirine paralel olan 1. ve. cadde şekilde görülmektedir. noktasındaki evin; 1. caddenin köşesi olan noktasına uzaklığı 0 m,. caddenin köşesi olan noktasına uzaklığı 10 m; noktasındaki evin 1. caddenin köşesi olan noktasına uzaklığı metredir. ile H noktaları arasındaki uzaklık m olduğuna göre; H 9. H = cm = cm ve [H] [] dir. [] // [] olduğuna göre aşağıdaki yargılardan hangileri kesinlikle yanlıştır? I. = 1 II. = cm III. H = cm a. ile noktaları arasındaki uzaklık, b. ile H noktaları arasındaki uzaklık kaç metredir? Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 77

16 ölüm. enzerlik Neler Öğreneceğiz? İki üçgenin benzerliğini İki üçgenin benzer olması için gerekli olan asgari koşulları nahtar Terimler enzerlik enzerlik Oranı çı-çı (..) Kenar-çı-Kenar (K.. K.) Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Sembol ve österimler +... Üçgenlerin enzerliği aşlarken otokopi makineleri kullanılmaya başlamadan önce insanlar, bir şekli büyütmek ya da küçültmek için pantagraf adı verilen araçları kullanırlardı. u araçta resim, birbirine paralel üç küçük çivi ve bir iğne kullanılarak iğnenin orijinal resim üzerindeki hareketine göre çizilir. Pantagrafta nun na ve nun na oranı eşittir. yrıca bağlantı noktası (), iğne () ve kalem () doğrusaldır. Yan tarafta pantagraf ile bir fotoğrafın benzeri çizilmektedir. una göre oluşan ile nin benzer olduğunu nasıl gösterebiliriz? erçeğine benzer maketler şehir planlamacıları, inşaat sektörü ve sinema dünyası gibi farklı birçok alanda gerçek yapıyı daha iyi anlayabilmek ve incelemek amacıyla sıklıkla kullanılmaktadır. u tür maketlerin en önemli özelliği gerçek yapıların belli bir oranda küçültülmüş hâlleri olmalarıdır. iri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hâli olan şekillere benzer şekiller adı verilir. aha önceki bölümde iki üçgenin karşılıklı açıları ve kenarları eş ise bu iki üçgenin eş olduğunu öğrenmiştik. Şimdi ise benzer iki üçgenin karşılıklı açıları ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyelim. H unu biliyor muydunuz Matruşka aynı görünüşe fakat farklı boyutlara sahip tahtadan yapılmış bir oyuncaktır. şağıdaki matruşkaların benzer olduğunu görüyor musunuz? İki üçgenin köşeleri arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler adı verilir. ğer ve benzer üçgenler ise bu durum + şeklinde gösterilir. W, W V, V ve W, V = = = k, k! R + ise + olur. k pozitif gerçek sayısına benzerlik oranı adı verilir. Miniatürk te yer alan maket yapılar genellikle 1/ ölçeği ile yapılmıştır. 1/ ölçeği, eserin maketinin parçalarının uzunluğunun gerçek eserin ilgili parçalarının uzunluğuna oranını ifade etmektedir. 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

17 Üçgenlerin enzerliği Yanda verilen ve üçgenlerinde m( W ) = m( W ) m( V) = m( V) m( W) = m( V ) ve üçgenlerin kenar uzunlukları şekil üzerinde gösterilmiştir. ve üçgenlerinin benzer üçgenler olup olmadıklarını araştıralım. m( W ) = m( W _ ) b m( V 0 ) = m( V) ` ve = =, = = ve = = m( W ) = m( V) b a olduğundan iki üçgenin benzer olması için gerekli olan karşılıklı açıların eşliği ve karşılıklı kenarların orantılı olması şartları sağlandığından + olur. nahtar ilgi Üçgenler arasında kurulan benzerlik ifadesi aşağıdaki özelliklere sahiptir. Her üçgen kendine benzerdir. + üçgeni üçgenine benzer ise üçgeni de üçgenine benzerdir. + ise + dir. üçgeni üçgenine benzer, üçgeni de KL üçgenine benzer ise üçgeni KL üçgenine benzerdir. + ve + KL ise + KL dir ve üçgenlerinin bazı kenar uzunlukları verilmiştir. + ise benzer- lik oranını ve = değerini bulalım olduğundan = =, = = ve = değerlerinin 0 her biri benzerlik oranı olup birbirine eşittir. u oranları birbirine eşitlersek 1 = ve buradan = 1 br olarak bulunur. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 79

18 ölüm. enzerlik ikkat İki üçgenin benzerliğini gösteren matematiksel ifade yazılırken iki üçgenin eşliğinde olduğu gibi sıralamaya dikkat edilmelidir. α 70 + ve verilen açı ölçülerine göre a nın kaç derece olduğunu bulalım. 0 + olduğundan m( V ) = m( V ) = 70 dir. de iç açı ölçüleri toplamı 10 olduğundan a = 10 a = 0 bulunur. ş iki üçgenin karşılıklı açılarının ve kenarlarının eş olduğunu öğrenmiştik. ir diğer ifade ile, ise W, W, V, V, W, V ve =, =, = dir. olduğunu göster- u eşitlikten mektedir. = = = 1 elde edilir. u ise + nahtar ilgi İki üçgen eş ise bu üçgenler aynı zamanda benzerdir. u üçgenlerin karşılıklı açıları ve kenarları eş olduğundan benzerlik oranı 1 (bir) dir. ir diğer ifade ile eşlik, benzerliğin benzerlik oranı 1 olan özel bir hâlidir. u sonuç, eş üçgenlerin aynı zamanda benzer üçgenler olduğunu ifade etmektedir. ncak bunun karşıtı doğru değildir. enzer olan üçgenler her zaman eş olmak zorunda değildirler. Hatırlayacağınız gibi iki üçgenin eş olması için asgari koşullar olarak K.. K.,. K.. ve K. K. K. eşlik kurallarını öğrenmiştik. Şimdi de iki üçgenin benzer olması için gerekli olan asgari koşulları inceleyelim. 70 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

19 MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında eş açılara sahip üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişki incelenecektir. Çalışmayı bir arkadaşınızla birlikte grup etkinliği olarak yapmanız ve her ikinizden de aşağıdaki yönergeleri takip ederek iç açı ölçüleri 0, 0 ve 70 olan üçgenler çizmeniz beklenmektedir. raç ve ereçler: etvel, açıölçer, kareli kâğıt, hesap makinesi dım 1 Kareli kâğıt üzerinde = olacak şekilde grup üyelerinden biri [] nı çizerken, diğeri [TS] nı TS oluştursun. dım [] nı oluşturan grup üyesi açıölçer yardımıyla m( W ) = 0 ve m ( V ) = 70 olacak şekilde ışınlar çizsin. u ışınların kesiştiği noktayı olarak isimlendirsin. iğer grup üyesi, işlemleri T ve S noktası için yaparak ışınların kesiştiği noktayı P olarak isimlendirsin. dım 0 70 vetsp nde ilgili ölçümleri ve hesaplamaları yaparak aşağıdaki tabloyu grup arkadaşınızla birlikte doldurunuz. TSP TS SP TP = TS = SP = TP dım Yukarıdaki tabloya göre vetsp üçgenlerinin kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi yazınız.... Sonuç Yukarıda yaptıklarınızı göz önüne aldığınızda açıları eş olan üçgenlerin benzerliği hakkında ne söyleyebilirsiniz? Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

20 ölüm. enzerlik çı çı (..) enzerlik Kuralı Üçgenlerin benzerliği ile ilgili tanım incelendiğinde iki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açılarının eş ve kenarlarının uzunluklarının orantılı olması gerektiği görülmektedir. ncak üçgenin tüm kenarlarını ve açılarını incelemeden, bazı kenar ve açılarının incelenmesiyle de iki üçgenin benzer olup olmadığına karar verilebilir. İki üçgenin benzer olabilmesi için asgari durumlar olarak adlandırabileceğimiz bu durumlar dikkate alınmayan açıların eş ve kenarların orantılı olmasını garanti altına almaktadır. u kısımda, asgari durumlardan biri olan çı-çı (..) durumu incelenmiştir. çı çı enzerlik Kuralı İki üçgen arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer açısının ölçüleri eşit ise bu iki üçgen benzerdir. u benzerliğe, çı-çı (. ) benzerlik kuralı denir. ikkat ir üçgenin iki açısı verildiğinde, üçüncü açısı belli olduğundan.. enzerlik Kuralı, bazen... enzerlik Kuralı olarak da ifade edilmektedir. m( V) = m( W ) ise, + m( W dır. ) = m( V) Yukarıdaki kural karşılıklı iki açısı eş olan iki üçgenin benzer olduğunu belirtmektedir. şağıdaki örneklerle bu kuralın uygulamalarını inceleyelim. 1 Yandaki üçgeninde nahtar ilgi b a [] // [] ise a c e a+ b = c+ d = f dir. e f c d 10 1 = 10 cm = cm ve = 1 cm dir. [] // [] olduğuna göre = değerini bulalım. [] // [] olduğundan m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) (yöndeş açılar) dır. ve üçgenlerinin ikişer açılarının ölçüleri eşit olduğundan.. benzerlik kuralına göre + olur. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı oldu- 10 ğundan = ve buradan = olup = 1 cm olarak bulunur Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

21 Üçgenlerin enzerliği ikkat bir üçgen [] ve [] sırasıyla ve açılarının açıortaylarıdır. [] // [] = cm = cm İki üçgenin benzerlik oranı yazılırken eş olan açıların karşılarındaki kenar uzunlukları oranlanır. = cm olduğuna göre = değerini bulalım. nahtar ilgi İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) dir. u durumda ve ikizkenar üçgenler olup, = cm ve = cm olduğundan = 7 cm dir. [] // [] olduğundan.. benzerlik kuralına göre + olur. İlgili oranlar eşitlenerek Orantıda değerler yerine yazılırsa = elde edilir. 9 7 = ve bu orantıdan = 10, cm olarak bulunur. d b f [] // [] ise a b e = = d c f dir. u durum genellikle ikinci Thales Teoremi olarak adlandırılır. e a c 1,, ve,, noktaları doğrusaldır. [] // [] = cm = 1 cm = cm olduğuna göre = değerini bulalım. [] // [] olduğundan m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) (iç ters açılar) dır. u durumda + (.. benzerlik kuralı) dır. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olduğundan = ve buradan = elde edilir. 1 enklem çözülürse = 1 cm olarak bulunur. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

22 ölüm. enzerlik unu biliyor muydunuz Orantılı bölen Yandaki üçgeninde [] [] = {} Orantılı ölen, verilen bir uzunluğu belli bir oranda büyütmek veya küçültmek için bir uzunluğu eşit aralıklara bölmede kullanılan bir araçtır. slında bu araç üçgenlerin benzerliği fikri üzerine inşa edilmiştir. = = br = br = br ise = değerini bulalım. noktasından [] na paralel bir [K] çizelim. [K] // [] olduğundan.. benzerlik kuralına göre K / O O K+ dir. una göre K K = & = & K = br bulunur. üçgeninde [K] // [] oludğundan yine.. O O benzerlik kuralına göre K + dir. una göre K K K / = & = & K = br bulunur. [K] // [] ve = olduğundan K = K olmalıdır. una göre + K = K ise + K = K eşitliğinden = K = = br bulunur.,, ve,, doğrusaldır. [] // [] = cm = cm = olduğuna göre = değerini bulalım. 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

23 Üçgenlerin enzerliği = = a ve = b olsun. b a a + (.. benzerlik kuralı) olduğundan a = ve buradan b =... (*) olur. iğer taraftan + (.. benzerlik kuralı) olduğundan = ve buradan a =... (**) olur. + b (*) ve (**) dan = ve buradan + = 1 + elde edilir. O halde = cm olarak bulunur. ve birer dik üçgen [] [], [] [] 1,, noktaları doğrusaldır. [] ^ [] 1 = 1 cm = cm = 1 cm olduğuna göre = değerini bulalım. a b 1 b a 1 % % nde m ( ) = avem( ) = b olsun. a + b + 90 = 10 olduğundan m( % ) = a % ve m ( ) = b olur. ve nin iç açı ölçüleri eşit olduğundan bu üçgenler benzerdir. Yani + dir. uradan = orantısından 1 = ve = 1 cm bulunur. 1 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

24 ölüm. enzerlik 7 m( % ) = m( % ) = cm = cm olduğuna göre = değerini bulalım. açısı, ve nde ortak açı ve bu üçgenlerde α m ( % ) = m ( % ) olduğundan ve üçgenlerinin üçüncü açılarının da eşit olduğu görülür. α β u durumda,.. benzerlik kuralına göre + dir. uradan = ve = orantısından = cm olarak bulunur. [] // [] // [] = br = br ise = değerini bulalım. nahtar ilgi a [] // [] // [] ise = + dir. a b b üçgeninde, [] // [] olduğundan.. benzerlik kuralına göre + dir. una göre = dir. O hâlde =... (*) dir. üçgeninde [] // [] olduğundan.. benzerlik kuralına göre + dir. una göre = dir. O hâlde (*) ve (**) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa, + = + ise olarak bulunur. =... (**) dir. + 7 = den 7 = ve = den = 7 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

25 MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açıları eş olan üçgenlerin benzerliğini inceleyeceğiz. unun için kenar uzunluklarından ikisi cm, cm ve bu kenarların oluşturduğu açısının ölçüsü 0 olan ile kenar uzunluklarından ikisi cm, 9 cm ve bu kenarların oluşturduğu, açısının ölçüsü 0 olan PRS ni çizelim. dım 1 dım P Kareli kâğıt üzerinde uzunluğu cm olan bir [] oluşturunuz. cm R 0 9 cm S enzer işlemleri diğer üçgenin verilen elemanları için yaparak PRS ni çiziniz. dım dım Yukarıdaki adımlardan sonra oluşturduğunuz ve PRS nde ilgili ölçümleri yaparak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. cm m( W ) m( W ) m( V P) m( V S) 0 cm çıölçer yardımıyla köşesi olan 0 lik ışını çizerek cetvel yardımıyla bu ışın üzerinde, noktasından cm uzaklıkta olan noktasını belirleyiniz. u işlemlerden sonra ni çiziniz. açıları arasında na- dım Yukarıdaki tabloya göre sıl bir ilişki vardır? ile PRS... Sonuç Yaptığınız çalışmalar sonucunda ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açıları eş olan üçgenlerin benzerliği hakkında ne söyleyebilirsiniz? çıklayınız.... Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 77

26 ölüm. enzerlik Kenar çı Kenar (K.. K.) enzerlik Kuralı İki üçgenin benzer olabilmesi için asgari koşullardan birinin, bu iki üçgenin karşılıklı açılarının eş olması gerektiğini öğrenmiştik. u asgari koşul iki üçgenin benzerliğini sağlayan tek asgari koşul değildir. u kısımda, bu asgari durumlardan bir diğeri olan Kenar - çı - Kenar (K.. K.) durumu incelenmiştir. Kenar çı Kenar enzerlik Kuralı İki üçgenin köşeleri arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu üçgenler benzerdir. u benzerliğe Kenar-çı-Kenar (K.. K) benzerlik kuralı denir. c a k c ve için % % = = kve, k a ise + dir. Yukarıdaki kural, karşılıklı ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açıları eş olan iki üçgenin benzer olduğunu belirtmektedir. şağıdaki örnek bu kuralın uygulamasını içermektedir. şağıda verilen üçgenleri inceleyerek bu üçgenlerin benzer olup olmadıklarını belirleyelim. K T S M Y L ile nin kenar uzunlukları arasında = = olup, her iki üçgende uzunlukları oranlanan kenarların oluşturduğu açı 0 olduğundan K.. K. ben- zerlik kuralına göre + dir. 1 ile KLM nin kenarlarının uzunlukları arasında = = oranı KL KM bulunmaktadır. ununla birlikte ndeki [] ve [] nın oluşturduğu açının 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

27 Üçgenlerin enzerliği ölçüsü 0 iken, KLM ndeki [KL] ve [KM] arasındaki açının ölçüsü 0 olduğundan bu üçgenlerin benzer olduğunu söyleyemeyiz. K.. K. benzerlik kuralı, ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eş olan üçgenler için geçerlidir. ile TSY nin kenarları arasında oranı bulunmaktadır. ununla birlikte m( W ) = 0 iken, m( V Y) değeri üçgende belirtilmemiştir. ir önceki maddede olduğu gibi üçgenlerin sadece kenar uzunluklarının orantılı olması bu üçgenlerin benzer olması için yeterli değildir. 1 9 verilenlere göre değerini bulalım. 1 1 = =, = = [] ile [] nın ve [] ile [] nın oluşturdukları açıların ölçüleri eşit olduğundan K.. K. benzerlik kuralına göre + dir. u durumda = ve = orantısından = 1 bulunur. 9,, K ve,, L noktaları doğrusal 10 L K = br = 10 br K = br L = br = br ise LK nu bulalım. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 79

28 ölüm. enzerlik Verilen şekilde L 10 = ve = = ise = K L K ve m ( % ) = mlk ( % ) olduğundan K.. K. benzerlik kuralına göre + LK dir. una göre = = olmalıdır. LK L olayısıyla LK = ise LK = br olarak bulunur. = cm = cm 9 = cm 9 = cm = cm olarak verilmiştir. %, % olduğuna göre değerini bulalım. 9 = = ve %, % olduğundan K.. K. benzerlik kuralı gereği + dir. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olduğundan = = = olur. = olduğundan = 10 cm olarak bulunur. 70 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

29 Üçgenlerin enzerliği verilen uzunluklara göre = değerini bulalım. 10 açısı ve nde ortak açı, 1 1 = = ve = = olup bu oranlar 1 birbirine eşittir. u nedenle K.. K. benzerlik kuralına göre + olur. u durumda = ve = orantısından = bulunur. 10 Şekildeki üçgende = ve = olarak veriliyor. una göre + olduğunu gösterelim. nahtar ilgi Şekilde = + ve = + dir. = ve = olduğundan 1 = ve = olur. uradan = = dir. Yani = dir. yrıca W, hem kuralına göre hem de + dir. üçgeneleri için ortak olduğundan K.. K. benzerlik Yukarıdaki örnek, üçgenin iki kenarının orta noktalarının birleştirilmesi sonucu oluşan üçgenin üçgenine benzer olduğunu göstermektedir. enzer üçgenlerin karşılıklı açılarının ölçüleri eşit olduğundan, % ve %, % dir. u % durum [] nın [] na paralel olduğunu gösterir. yrıca iki üçgen arasındaki benzerlik 1 oranı olduğundan = dir. Üçgende orta taban uzunluğu paralel olduğu kenarın uzunluğunun yarısına eşittir. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

30 MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında kenar uzunlukları orantılı üçgenlerin açı ölçüleri arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. unun için aşağıdaki yönergeleri takip ederek kenar uzunlukları cm, 10 cm ve 1 cm olan ile kenar uzunlukları cm, cm ve cm olan KLM ni oluşturmalısınız. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım dım 1 1 cm cm M cm K cm L ir dinamik geometri yazılımında 1 cm uzunluğunda [] oluşturunuz. Yukarıdaki adımları, kenar uzunlukları cm, cm ve cm olan KLM ni oluşturmak için tekrarlayınız. dım dım veklm nin iç açı ölçülerini, yazılımın açı ölçme özelliğini kullanarak ölçünüz ve aşağıdaki boşlukları doldurunuz. cm 10 cm m( W = )... m( V = )... m( = ) W... m( V K= )... m( U L= )... m( M= ) X... 1 cm [] nın köşesinden cm, köşesinden 10 cm yarıçaplı çemberler çizerek kesim noktasını olarak isimlendiriniz ve ni oluşturunuz. dım Yaptığınız ölçümler sonucunda ile KLM nin açı ölçüleri arasındaki ilişkiyi belirleyerek yazınız.... Sonuç Yaptığınız çalışmalar sonucunda kenar uzunlukları orantılı üçgenlerin benzerliği hakkında ne söyleyebilirsiniz? çıklayınız Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

31 Üçgenlerin enzerliği Kenar Kenar Kenar (K. K. K.) enzerlik Kuralı Şu ana kadar iki üçgenin benzer olabilmesi için asgari koşullar olarak karşılıklı açılarının eş (.. eşlik kuralı) karşılıklı iki kenar uzunluklarının orantılı ve orantılı kenarların oluşturduğu açıların eş (K.. K. eşlik kuralı) olması gerektiğini öğrenmiştik. u kısımda iki üçgenin benzer olması için kenarlarının orantılı olmasının yeterli olup olmadığı incelenmiştir. Kenar Kenar Kenar enzerlik Kuralı İki üçgenin köşeleri arasında kurulan bire bir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. u benzerliğe Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) benzerlik kuralı denir. Yandaki ve için c b k c k b = = = k ise a k a + dir. Yukarıdaki kural, karşılıklı kenar uzunlukları orantılı üçgenlerin benzer olduğunu belirtmektedir. şağıdaki örnekte, bu kuralı kullanarak verilen üçgenlerin benzer olup olmadığını inceleyelim. K P 9 R L 1 9 M S Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

32 ölüm. enzerlik ile nin kenar uzunlukları arasında K. K. K. benzerlik kuralına göre + dir. ile KLM nin kenar uzunlukları arasında KL = = = oranı oldu- KM LM ğundan K.K.K. benzerlik kuralına göre ile KLM = = = olduğundan benzerdir. u üçgenlerin ben- zerlik ifadesi + KLM şeklindedir. yrıca + ve + KLM olduğun- dan + KLM dir. ile PRS nin kenar uzunlukları arasında = = oranı olmasına rağmen, bu oran üçüncü kenar uzunlukları arasında bulunmamaktadır. u yüzden PR PS ve PRS benzer değildir = 7 br = br = 1 br = br = 9 br = br % % m ( ) = 0 ise m ( ) nün kaç derece olduğunu bulalım. Verilenlere göre = + 7 = 10 br ve = + 9 = 1 br olur = =, = = ve = = olduğundan = = = dir. uradan K. K. K. benzerlik kuralına göre + dir. % % enzer üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan m ( ) = m ( ) = 0 elde edilir. 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

33 Üçgenlerin enzerliği = 10 cm = cm = 1 cm = 11 cm = cm = cm ve = cm olarak veriliyor. una göre = değerini bulalım = = = olduğundan K. K. K. benzerlik kuralına göre + ve buradan %, % dir. u benzerlikte V, W olduğundan ikizkenar üçgen olur. İkizkenar üçgende eş açılar karşısında eş kenarlar bulunduğundan = elde edilir = 17 ve buradan da = 7 cm olarak bulunur. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

34 MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında, benzer üçgenlerin yüksekliklerinin uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. unun için aşağıdaki yönergeleri takip ederek benzer iki üçgen oluşturmalısınız. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 c a b ir dinamik geometri yazılımından bir dım oluşturunuz. dım c h b a b R de kenarına ait yüksekliği ve PRS s P h r p r S de PS kenarına ait yükseklikleri oluşturarak yüksekliklerin uzunluklarını ölçünüz. P c a b s p r S dım Yazılımın ilgili özelliğini kullanarak h h r b değerini bulunuz. ulduğunuz bu değer ile ve PRS arasındaki benzerlik oranı arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız. R Yazılımın şekilleri genişletme özelliğini kullanarak kenar uzunlukları nin kenar uzunluklarının katı olan PRS ni oluşturunuz.... Sonuç Yaptığınız işlemler sonucunda benzer üçgenlerin orantılı kenarlarına ait yükseklikleri arasındaki ilişkiyi ifade ediniz Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

35 Üçgenlerin enzerliği enzer Üçgenlerin Karşılıklı Yardımcı lemanlarının Karşılaştırılması şlik bölümünde, eş üçgenlerin karşılıklı yardımcı elemanlarının da eş olduğunu öğrenmiştik. u bölümde, benzer üçgenlerin karşılıklı yardımcı elemanlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. unun için benzer iki üçgen çizelim ve bu üçgenlerin karşılıklı kenarlarına ait yüksekliklerinin uzunluklarını karşılaştıralım. + olmak üzere H ile nu karşılaştırmayı amaçlıyoruz. + olduğundan bu üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılı ve karşılıklı açıları eştir. H ir diğer ifade ile = = = k ve W, W, W, V ve V, V dir. u durumda, W, W % % ve mh ( ) = m ( ) = 90 olduğundan.. benzerlik kuralı gereğince H + dir. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları H orantılı olduğundan H H = k olduğundan H = = dir. = k olur. ir diğer ifade ile benzerlik oranı k olan benzer iki üçgenin karşılıklı kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları arasında da aynı oran vardır. enzer şekilde, aynı oranın bu üçgenlerin karşılıklı açıortay ve kenarortay uzunlukları arasında da olduğu gösterilebilir. O hâlde benzer üçgenlerin karşılıklı yardımcı elemanlarının uzunlukları için aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir: Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 77

36 ölüm. enzerlik Sonuç enzer iki üçgenin orantılı kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları oranı enzer iki üçgenin orantılı kenarlarına ait kenarortayların uzunlukları oranı enzer iki üçgenin eş açılarına ait açıortayların uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir. 1 9,, ve,, noktaları doğrusaldır. = cm = 9 cm = cm = = ve [] // [] olduğuna göre = değerini bulalım. [] // [] olduğundan.. benzerlik kuralı gereği + olur. enzer üçgenlerin karşılıklı yardımcı elemanlarının uzunlukları oranı benzerlik oranına eşit ve [] ile [] sırasıyla ve üçgenlerinin kenarortayları olduğundan = olur. uradan = ve = cm bulunur. 9 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

37 Üçgenlerin enzerliği Şekilde, zemine dik duran bir kamera ile bir kız çocuğunun kamerada görüntüsünün nasıl oluştuğu gösterilmektedir. Kameranın arka duvarında oluşan ters görüntünün uzunluğu mm, bu görüntünün kameranın objektifine olan uzaklığı mm ve kameranın kız çocuğuna olan uzaklığı 1, m ise resmi çekilen kızın boyunun kaç cm olduğunu hesaplayalım. H 1, m N mm mm K Kamera ve kız çocuğu zemine dik olduklarından [] // [] dir. u durumda.. benzerlik kuralına göre N + N dir. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve karşılıklı yüksekliklerinin uzunlukları da benzerlik oranına eşit NH 100 olduğundan = ve = NK yazılır. uradan = 100 mm = 10 cm olarak bulunur. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 79

38 Üçgenlerin enzerliği KNİMİZİ SINYLIM Kavrama ve Muhakeme 1. + ise aşağıdaki boşlukları doldurunuz.. [] ve [] a.... = =... b. m( W ) =..., m( V) =..., m( W ) =... olduğuna göre aşağıdaki yargılardan hangileri kesinlikle doğrudur?. [] // [] olduğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. a. b. = ise [] // [] dir. = ise [] // [] dir. c. = ve [] // [] ise = dir. a. c..... b = b. =... = ç.... =... a c d e f [] // [] dir.. a. K = [] // [] [] // [K] olduğuna göre aşağıdakilerden hangileri kesinlikle doğrudur? K = b.! K@ c. = K una göre aşağıdaki ifadelerin yanlarına doğru olanlar için, yanlış olanlar için Y yazınız. a.... c.... a b a b e = b.... f c = ç.... d a e a+ b = e+ f c e = d e + f 70 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

39 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin enzerliği. şağıdaki ifadelerden doğru olanların yanındaki boşluğa, yanlış olanlarınkine Y yazınız. c. K a.... enzer üçgenlerin karşılıklı açıları eştir. b.... İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ise bu üçgenler kesin olarak benzerdir. c.... Tüm eşkenar üçgenler benzerdir. ç.... ş üçgenler aynı zamanda benzer üçgenlerdir. L 1 M d.... Tüm ikizkenar üçgenler benzerdir. e.... Tüm dik üçgenler benzerdir lıştırmalar ç. 0,9 K 1. şağıda her bir seçenekte verilen üçgenler benzer olduğuna göre benzerlik ifadesini ve gerekçesini yazınız., 1, L 1,7, a., M d. K b. N P L KLM +... M Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

40 Üçgenlerin enzerliği KNİMİZİ SINYLIM. şağıda şekillerde verilmeyen ve y değerlerini bulunuz? ç. [] // [H] // [] a. [] // [] H y 1 b. [] // [] d. 1 [] // [] c. [] // [] e. [] // [] 10 [] // [] y H 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

41 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin enzerliği 1. Uygulama ve Problem Çözme Şekildeki ve üçgenlerinde m ( % ) = m ( % ) 9 = br = br = 9 br olduğuna göre = kaçtır?. a. b a H k y Yukarıdaki şekilde [] // [] olduğuna göre aşağıdaki oranları bulunuz. y b. a b l c. l k. % % m ( ) = m ( ) = 90 = br = br = br. [] // [] // [] [] [] = {} ve,, doğrusal olduğuna göre aşağıdaki uzunlukları bulunuz. olduğuna göre = kaçtır? a. b... y z [] // [] olduğuna göre aşağıdaki oranları bulunuz. M L K H 0 Yukarıdaki üçgeninde,,,,, ve, M, L, K, H noktaları doğrusal a. y b. y z c. z = = = = [] // [H] // [K] // [L] // [M], = 0 cm olduğuna göre M = kaç cm dir? Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

42 Üçgenlerin enzerliği KNİMİZİ SINYLIM 7. 1 olduğuna göre = kaç br dir?,, noktaları doğrusal [] // [] = = = 1 br 10. H Yukarıdaki şekilde H = br, K = br ve + dir. Ç( ) = br K ise Ç( ) kaç br dir?. 9 Yandaki üçgeninde [] // [] % [], ^h nın açıortayı = 9 br = br = br olduğuna göre = kaç br dir? [] // [] [] // [] = cm = 0 cm = 0 cm = 0 cm olduğuna göre kaç cm dir? 9. N 10 Yukarıdaki şekilde N = cm, = 10 cm, = cm ve T 1. H ve dik üçgeninde [] [] [] [] [] ^ [] = br, = br, = br, = br olduğuna göre = kaç br dir? + olduğuna göre T = kaç cm dir? 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

43 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin enzerliği = 10 br, = 1 br, = br olduğuna göre = kaç br dir? ve dik üçgen [] ^ [] [] ^ [] [] ^ [] 1. ve üçgen 1 m ( ) = m ( ) dir. Verilen uzunluklara göre = kaç br dir? olduğuna göre = kaç br dir? ve dik üçgen = br = 10 br = br ikizkenar üçgen ve = dir. Verilen uzunluklara göre = kaç br dir? 1. = br y = br = 10 br 10 = br = = y olduğuna göre oranı kaçtır? y 1. H y H olduğuna göre H [] // [] [], açısının açıortayı = cm = cm = cm = değeri kaçtır? y Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

44 Üçgenlerin enzerliği KNİMİZİ SINYLIM 19. H y [] // [] [], açısının açıortayı = cm = cm. m ( % ) = m ( % ) = 10 br = 10 = 10 cm ise = kaç br dir? olduğuna göre H = değeri kaçtır? y. = 0. H [H] // [] = 1 cm = cm N H K ise = kaç br dir? = NH = H NK = K ve HK = br H = cm 1 = 1 cm olduğuna göre = kaç cm dir? m ( % ) = m ( % ) = 1 cm = 1 cm 1 = 10 cm 1. olduğuna göre = kaç cm dir? = br = br = br = br ve [] // [] ise = kaç cm dir? // // = 10 br = 1 br = olduğuna göre = kaç br dir? 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

45 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin enzerliği. ir şeklin ardışık olarak aynı oranda küçültülmesi veya büyültülmesiyle inşa edilen geometrik şekillere fraktal denir. raktalların en temel özelliği öz-benzerliktir. Öz-benzerlik, daha küçük parçalarının şeklin orijinal formu ile aynı geometrik özelliklere sahip olması olarak tanımlanır. u nedenle fraktal bir şekilde, şeklin farklı oranlardaki tüm parçaları hep aynı ve şeklin bütününe benzer olarak görünür. n bilinen fraktal yapılardan biri Sierpinski üçgenidir. şağıda Sierpinski üçgeninin oluşturulma adımları verilmiştir. 0. dım ir eşkenar üçgeni çizilir. 1. dım üçgeninin kenarlarının orta noktaları bulunur. Oluşan üçgeni kesilerek çıkarılır.. dım Kalan eşkenar üçgenler için bu işlem devam ettirilir. Sierpinski üçgeninin oluşturulması için yukarıdaki işlemin sürekli olarak devam ettirilmesi gerekir. una göre a. ördüncü adımda çıkarılan eşkenar üçgenlerden biri ile üçgeni arasındaki benzerlik oranını bulunuz. b.. adıma kadar toplam kaç eşkenar üçgen çıkarılmıştır? c. üçgeninin bir kenar uzunluğu 1 cm olduğuna göre. adımda çıkarılan üçgenlerin çevrelerinin toplamı kaç cm dir? 7. Koch kartanesi olarak bilinen fraktal, bir eşkenar üçgenin kenarlarını üç eşit parçaya bölüp ortada oluşan parça üzerine her seferinde bir eşkenar üçgen yerleştirmekle oluşmaktadır. Koch kartanesinin. adımdaki şekli görülmektedir. Şekildeki SRT üçgeninin bir kenar uzunluğu 1 cm olduğuna göre KLM üçgeninin LM kenar uzunluğunu bulalım. K L M S T R Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 77

46 Üçgenlerin enzerliği KNİMİZİ SINYLIM. ve eşkenar üçgen = br = br olduğuna göre = kaç br dir? α olduğuna göre = kaç cm dir? α Şekildeki üçgeninde = cm = cm m ( % ) = m ( % ). Yukarıdaki şekilde ve üçgenlerinde % % % m ( ) = m ( ) = m ( ) = cm, = cm, = cm olduğuna göre = kaç cm dir? 7 1 [], açısının açıortayı % m ( ) = % m ( ) = 7 = 1 cm = olduğuna göre + işleminin sonucu kaçtır? Yukarıdaki şekilde eşkenar üçgen % = cm, = cm, m ( ) = 10 olduğuna göre = kaç cm dir? Şekildeki üçgeninde % % m ( ) + m ( ) = 10 = cm, = cm, = 1 cm olduğuna göre = kaç cm dir? 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

47 KNİMİZİ SINYLIM Üçgenlerin enzerliği. Şekildeki ve üçgenlerinde = = = % % m ( ) + m ( ) = 110 olduğuna göre 7. m ( % ) = m ( % ),, doğrusal = = = br m ( % ) = kaç derecedir? ise kaç birimdir?. [] // [] [] // [] [] [] = {},,, doğrusal [] [] = {}. Yandaki üçgeninde,, noktaları sırasıyla [], [] ve [] kenarlarının üzerindedir. ise = olduğunu gösteriniz.. Yandaki şekilde [] [] [] = {} = br, = br, = br, = br = br ise kaç birimdir? = br = br = br m ( % ) = m ( % ) = 1 br ise = kaç birimdir? Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 79

48 ölüm. enzerlik Neler Öğreneceğiz? Problem çözme ve modellemede üçgenlerin benzerliğini kullanmayı nahtar Terimler Modelleme Sembol ve österimler... Üçgenlerin enzerliğini Problem Çözme ve Modellemede Kullanma aşlarken Üçgenlerin benzerliği, gerçek yaşamda uzunluklarını farklı nedenlerden dolayı (çok yüksek olması, ölçülecek nesneye ulaşılamaması vb.) doğrudan ölçemediğimiz nesnelerin uzunluklarını ölçmede sıklıkla kullanılır. + İnceleyelim Siz de yanda verilen örnekteki gibi bir ayna kullanarak okulunuzun yüksekliğini hesaplayınız. nahtar ilgi şağıdaki şekilde düzlem aynada bir ışının yansıması resmedilmiştir. u şekildeki bir yansıma olayında ışığın gelme açısı yansıma açısına eşittir. elen ışın Normal α α θ θ Yansıyan ışın (Yüzeyin normali yüzeyle 90 lik açı yapan dik doğrudur.) 1 1 cm boyundaki hmet, yandaki gibi bir bayrak direğinin boyunu bulmak istiyor. unun için bayrak direği ile bulunduğu yer arasına, kendinden 0 cm uzağa, direğin tepe noktasını görecek şekilde yere bir ayna koyuyor. hmet direkten 00 cm uzakta olduğuna göre direğin boyunu bulalım. Problemde verilenleri yandaki gibi modelleyelim. ayrak direğinin boyunun yani [] nın uzunluğunu bulmamız istenmektedir. Yansıma prensibine göre, gelen ışık düz aynadan aynı açıyla yansıdığına göre m ( % ) = m ( % ) dir. yrıca hmet ve bayrak direği zemine dik durumlu olduklarından m ( ) = m ( ) = 90 % % dir. 70 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

49 Üçgenlerin enzerliğini Problem Çözme ve Modellemede Kullanma olayısıyla.. benzerliğine göre + olur. una göre iki üçgenin benzerliğinden yararlanarak [] nın uzunluğunu bulabiliriz. hmet in boyu = 1 cm, hmet in bulunduğu yerden aynanın uzaklığı = 0 cm dir. hmet bayrak direğinden 00 cm uzakta olduğundan aynanın direkten uzaklığı = 00 0 = 10 cm dir. ireğin boyuna = cm dersek + benzerliğinden ve 1 0 = = dir. 10 uradan bayrak direğinin boyu = cm bulunur. Merve, çizimde gösterildiği gibi arkasındaki ağacın boyunu hesaplamak istiyor. unun için kendi gölgesinin uç noktası ile ağacın gölgesinin uç noktası çakışacak şekilde, ağaçtan 0 cm uzakta duruyor. Merve nin boyu 17 cm ve gölgesinin uzunluğu 0 cm olduğuna göre ağacın boyunun uzunluğunu bulalım. Problemde anlatılanları yandaki gibi modelleyebiliriz. ğacın boyunu yani [] nın uzunluğunu bulmamız istenmektedir. Merve ve ağaç zemine dik olduklarından [] // [] dır. 17 cm una göre m ( % ) = m ( % ) ve 0 cm 0 cm % % m ( ) = m ( ) = 90 olup.. benzerlik kuralına göre + dir. Merve nin boyu = 17 cm, gölgesinin boyu = 0 cm ve ağacın gölgesinin boyu = = 70 cm dir. ğacın boyunun uzunluğuna = dersek = ve = eşitliğinden = = cm olarak bulunur Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 71

50 ölüm. enzerlik cetvel ip taban tavan duvar yşe, doğrudan ölçmek yerine farklı bir yöntemle sınıfın tavan yüksekliğini ölçmek istiyor. unun için duvarla tabanın kesiştiği köşeye 00 cm uzunluğunda bir ip bağlıyor. İpin diğer ucunu sağ eliyle gergin olacak şekilde gözüne doğru yaklaştırıyor. Sol eliyle de 10 cm lik bir cetveli ipin üstüne, gözünün önüne duvarın üst kenarını göremeyecek ve duvara paralel olacak şekilde tutuyor. etvelin ipe değdiği nokta ile yşe nin ipi tuttuğu nokta arası 0 cm ise sınıfın yüksekliğini bulalım. Problemde verilenleri yandaki gibi modelleyelim. izden tavan yüksekliğini yani [] nın uzunluğunu bulmamız istenmektedir etvelin uzunluğu = 10 cm, cetvelin ipe değdiği nokta ile yşe nin ipi tuttuğu nokta arası = 0 cm, ipin uzunluğu = 00 cm dir. etvel duvara paralel yani [] // [] olduğundan m ( % ) = m ( % ) dir. m ( % ) = m ( % ) olduğundan.. benzerlik kuralına göre + dir. uradan = olup 0 10 = den = 0 cm bulunur. 00 rzurum Palandöken ağı ndaki kayak pistine dik üçgen şeklinde yeni yapılacak atlama rampasının düşey desteğinin yüksekliği 1, m ve rampanın tabanı metre olarak tasarlanmıştır. Rampanın dayanıklılığını artırmak için en yüksek yerinden 1, m uzaklığa, diğer desteğe paralel başka bir destek konmak isteniyor. u desteğin yüksekliği kaç metre olmalıdır? 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

51 Üçgenlerin enzerliğini Problem Çözme ve Modellemede Kullanma destek 1, m m 1, m Problemde verilenleri yandaki gibi modelleyebiliriz. izden pistin altına konulacak kısa desteğin boyunu yani [] nın uzunluğunu bulmamız istenmektedir. Rampaya konulacak destek rampanın tabanına dik olması gerektiğinden [] // [] olmalıdır. = m, = 1, m, = 1, m ve = 1, = 1, m dir. = olsun. [] // [] olduğundan.. benzerlik kuralına göre + dir. 1, una göre = olup = den = 0, m olarak bulunur. 1, Kanser tedavisinde kullanılan kemoterapi sırasında hastaya doğru miktarda radyasyon vermek hayati öneme sahiptir. ğer radyasyon gereğinden fazla verilirse bu durum hastanın durumunu daha da kötüleştirebilir, hayatını tehlikeye sokabilir. iki radyasyon kaynağından hastaya verilen radyasyonların vücuda ve kanserli olan bölgeye değdikleri yerler gösterilmektedir. oktorların dikkat etmeleri gereken nokta iki ışının kanserli bölgede üst üste gelmemesidir. u durumda, o bölge aşırı miktarda radyasyona maruz kalacaktır. Şekilde, radyasyon kaynağı deriden 100 cm yukarıda radyasyon ışınını vücuda göndermekte ve vücutta kanserli bölge deriden cm aşağıdadır. ğer radyasyon ışını, deride 1 cm lik bir bölgeye verilirse kaç cm lik kanserli bölgeye etki eder? 100 cm cm 1 cm Radyasyonun deriye değdiği bölgede oluşan üçgen ile kanserli bölgeye değdiği bölgede oluşan üçgenler.. benzerlik kuralına göre benzerdir (Neden?) una göre = ise = = 1, 7 cm dir O hâlde doktorlar, 1 cm lik bir alana radyasyon verdiklerinde derinin cm aşağısında 1,7 cm lik bir alanı taradıklarını bilmelidirler. unu biliyor muydunuz enzer üçgenler ağaçların, binaların ya da köprülerin uzunluklarının belirlenmesinin yanında tıpta da kullanılmaktadır. Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 7

52 Üçgenlerin enzerliğini Problem Çözme ve Modellemede Kullanma KNİMİZİ SINYLIM 1. Problemler. 100 m 10 m Kıyı 0 cm 1 m Şekildeki ağacın gölgesinin boyu 1 m, 10 cm boyundaki an ın gölgesi ise 0 cm dir. ğacın ve an ın gölgesinin uç noktası noktası olduğuna göre ağacın boyunu bulunuz. ve noktalarında bulunan iki kayığın kıyıya uzaklıkları sırasıyla 100 m ve 10 m dir. noktasındaki kayık noktasına doğru ve noktasındaki kayık noktasına doğru ok yönünde şekilde gösterildiği gibi ilerlemektedir. Kayıklar belirli bir süre sonra noktasında çarpıştıklarına göre noktasının kıyıya olan uzaklığını bulunuz... X Y ikdörtgen biçimindeki bir bilardo masasında noktasından topa vurulduğunda topun izlediği yol şekildeki gibidir. mx ( % ) = my ( % ) X = 0 cm, X = 0 cm, Y = 10 cm olduğuna göre Y kaçtır? Şekildeki kuyunun derinliğini hesaplamak isteyen Hasan, ayağının altındaki tahtanın ucu ve noktasını aynı hizada görecek şekilde tahtayı iterek konumlandırıyor. = 0 cm, = 0 cm ve Hasan ın boyu 10 cm olduğuna göre kuyunun derinliğini hesaplayınız. 7 Ünite. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Ünite 4 ÜÇNLR ŞLİ V NZRLİ ölüm 4.3. u ölümde Neler Öğreneceğiz? çıortay ve üçgenin açıortaylarının özelliklerini Üçgenin kenarortaylarının özelliklerini Orta dikme ve üçgenin kenar orta dikmelerinin özelliklerini

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

5.2. 5.2.1. Üçgenin Alanı. Neler Öğreneceğiz? Başlarken

5.2. 5.2.1. Üçgenin Alanı. Neler Öğreneceğiz? Başlarken ölüm 5. Üçgende lan Neler Öğreneceğiz? Üçgenin alanını veren bağıntılar ve üçgenin alanıyla ilgili uygulamaları nahtar Terimler 5... Üçgenin lanı aşlarken İnşaat sektöründe ustalar, çatı, duvar ya da zemini

Detaylı

TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE ÇİZİMLER

TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE ÇİZİMLER T GOTRİ VRR V ÇİZİR 1. oğru, oğru Parçası ve Işın Her iki yönden sonsuza kadar uzadığı kabul edilen ve noktaların yan yana gelmesiyle oluşan düz çizgiye doğru denir. d d, veya şeklinde gösterilir. oğrunun

Detaylı

TEST. Eşlik ve Benzerlik. 1. I. Eşit açıların karşısındaki kenarların oranı birbirine 4. A 5. A. 2. Benzer çokgenlerin açıları...i...

TEST. Eşlik ve Benzerlik. 1. I. Eşit açıların karşısındaki kenarların oranı birbirine 4. A 5. A. 2. Benzer çokgenlerin açıları...i... şlik ve enzerlik 8. Sınıf atematik Soru ankası S 7 1. I. şit açıların karşısındaki kenarların oranı birbirine eşittir. II. arşılıklı açılarının ölçüleri arasındaki oran benzerlik oranına eşittir. III.

Detaylı

BİRLİKTE ÇÖZELİM. ayırdığı parçalardan birinin uzunluğuna. Şekildeki ABC dik üçgeninde [AB] ^ [BC], G noktası ağırlık merkezi,

BİRLİKTE ÇÖZELİM. ayırdığı parçalardan birinin uzunluğuna. Şekildeki ABC dik üçgeninde [AB] ^ [BC], G noktası ağırlık merkezi, . SINI TTİ İRİT ÇÖZİ 1. P Yandaki, PRS ve üçgenlerinin sırasıyla [], [RS] ve [] ye ait kenarortaylarını çiziniz. R S 2. r O O merkezli, r yarıçaplı çemberde çapı gören açısının ölçüsü 90 dir. [O], hem

Detaylı

arşılıklı kenar uzunlukları ve açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere eş çokgenler denir şlik sembolü dir m () m () 3 cm m () m () m(g) m(h) m() m() 4 2 cm GH H 3 cm G 4 2 cm GH H G Yukarıdaki

Detaylı

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir?

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir? üzgün Çokgenler 7. Sınıf Matematik Soru ankası S 49 1. 4. ir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? ) 70 ) 900 ) 1080 ) 160 Şekilde verilen düzgün çokgenine göre, I., köşesine

Detaylı

Eşlik ve benzerlik-4 eşlik-benzerlik problemleri

Eşlik ve benzerlik-4 eşlik-benzerlik problemleri Eşlik ve benzerlik-4 eşlik-benzerlik problemleri Şekilde AB EF CD x kaç cm 'dir? Şekilde AB CD üçgenlerin eş açılarını yerleştirerek benzerliğini yazınız. A ve D ile B ve C iç ters açılardır. E Açısı ters

Detaylı

8. SINIF ESLiK ve BENZERLiK

8. SINIF ESLiK ve BENZERLiK 0 8. SINI SLiK ve NZRLiK şlik: Karşılıklı açılar ve kenar uzunlukları eşit olmalı. Sembolleri enzerlik: Karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılı olmalı. Sembolleri ~ veya olduğuna göre verilmeyen

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

pisagor bağıntısı örnek: örnek: örnek: örnek: Kazanım : Pisagor bağıntısını oluşturur; ilgili problemleri çözer. dik kenar c b dik kenar

pisagor bağıntısı örnek: örnek: örnek: örnek: Kazanım : Pisagor bağıntısını oluşturur; ilgili problemleri çözer. dik kenar c b dik kenar pisagor bağıntısı Kazanım : Pisagor bağıntısını oluşturur; ilgili problemleri çözer. 4 Hi dik kenar ir dik üçgende dik kenar uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Dik

Detaylı

KAZANIMLAR. Kombinasyon kavramı n elemanlı bir kümenin, 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı

KAZANIMLAR. Kombinasyon kavramı n elemanlı bir kümenin, 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı KOMİNSYON KZNIMLR Kombinasyon kavramı n elemanlı bir kümenin, n elemanlı alt kümelerinin sayısı n elemanlı bir kümenin, elemanlı alt kümelerinin sayısı n elemanlı bir kümenin, 0 elemanlı alt kümelerinin

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI -6.09.0 DÖNÜŞÜM Sİ 5-9.09.0 ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER SİDRE 000 ORTAOKULU 0 05 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 8. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI,. Doğru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MTMTİK TSTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a a b = = a b b olduğuna

Detaylı

8.SINIF MATEMATİK DERSİ PROJE ÖDEVİ

8.SINIF MATEMATİK DERSİ PROJE ÖDEVİ PROJE ÖDEVİ KONUSU:cisimler/Sizden düzgün geometrik cisimlerin(prizmalar,piramitler, küre ) kapalı maketlerinin hazırlanması istenmektedir. 2)Düzgün prizma ve pramitlerin özelliklerini öğreniniz. 3)Açık

Detaylı

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *

Detaylı

Öklid alıştırmaları. Mat 113, MSGSÜ. İçindekiler. 36. önermeden sonra önermeden sonra 8. Çarpma 11

Öklid alıştırmaları. Mat 113, MSGSÜ. İçindekiler. 36. önermeden sonra önermeden sonra 8. Çarpma 11 Öklid alıştırmaları Mat 113, MSSÜ 30 kim 2013 İçindekiler 1. önermeden sonra 2 5. önermeden sonra 2 6. önermeden sonra 2 7. önermeden sonra 3 8. önermeden sonra 3 9. önermeden sonra 3 10. önermeden sonra

Detaylı

TEST. Üçgenler ve Yardımcı Elemanları

TEST. Üçgenler ve Yardımcı Elemanları Üçgenler ve Yardımcı Elemanları 8. ınıf atematik oru ankası E 22 1. I. s( ) = 50, s( ) =, s( ) = II. = 3 cm, =, = III. s( FE) = 40, s(e F) =, F = 2 cm inem ile Gizem yukarıdaki tabloda elemanları verilen,

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1 SKİŞHİR FTİH FN LİSSİ GTRİ LİİYT NTLRI Çemberler 1 erleyen sman KİZ FFL atematik Öğretmeni Yazım hataları mevcut olup. Tashihi yapılmamıştır. ÇR GİRİŞ roblem. merkezli çemberin kirişi üzerinde bir noktası

Detaylı

8. SINIF MATEMATİK. Asal Çarpanlar Test sayısının kaç tane asal çarpanı vardır?

8. SINIF MATEMATİK. Asal Çarpanlar Test sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? 8. SINIF MTEMTİ sal Çarpanlar Test. 84 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 5. İki basamaklı 9m sayısı asal sayıdır. una göre m yerine kaç farklı rakam yazılabilir? ) ) 2 ) 3 ) 4 2.

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD

GEOMETRİ TESTİ LYS 1 / GEOMETRİ. ABC bir eşkenar üçgen. G, ABC üçgeninin ağırlık AB = 3 CD LYS 1 / OMTRİ OMTRİ TSTİ 1. u testte 0 soru vardır. 2. u testin cevaplanması için tavsiye olunan süre 60 dakikadır. 1.. bir eşkenar üçgen 1 4 2 5, üçgeninin ağırlık merkezi = x irim karelere bölünmüş düzlemde

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen Eslem Nur KELEŞOĞLU Muhammet Enes ÖRCÜN ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL,

Detaylı

DERS PLANI (6. SINIF ALAN)

DERS PLANI (6. SINIF ALAN) DERS PLANI (6. SINIF ALAN) Genel Amaç: Öğrenciler paralelkenarın ve üçgenin yüksekliklerini inşa edebilecek, paralelkenarın alan bağıntısını dikdörtgenden, üçgenin alan bağıntısını ise dikdörtgen ve paralelkenardan

Detaylı

örnektir örnektir Geometri TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler)

örnektir örnektir Geometri TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler) TYT Geometri MİKRO KONU TRM TST YRINTILRI V ÖRNKLRİ (-0. Testler) Yeni müfredata tam uygun eğerli öğretmenimiz, branşınızla ilgili TYT konu tarama testlerimizden bazı örnekleri incelemeniz için size sunuyoruz.

Detaylı

Küpoktahedron. İkosahedron. Çember. Eşkenar üçgen. İkosidodekahedron. Kare. İkizkenar üçgen. Dik üçgen. Simit ve Peynir'le Geometri

Küpoktahedron. İkosahedron. Çember. Eşkenar üçgen. İkosidodekahedron. Kare. İkizkenar üçgen. Dik üçgen. Simit ve Peynir'le Geometri İkosahedron Küpoktahedron Hazırlayan: Banu Binbaşaran Tüysüzoğlu Çizim: Bilgin Ersözlü İkosidodekahedron Çember Eşkenar üçgen İkizkenar üçgen Dik üçgen Kare Küpoktahedron Üçgen şeklinde sekiz, kare şeklinde

Detaylı

TEST. Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı. 4. Dik Kenarlar Hipotenüs. 5. Aşağıdaki dik üçgenlerden hangisinin çevre uzunluğu en fazladır?

TEST. Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı. 4. Dik Kenarlar Hipotenüs. 5. Aşağıdaki dik üçgenlerden hangisinin çevre uzunluğu en fazladır? ik Üçgen ve Pisagor ağıntısı. Sınıf atematik Soru ankası TEST 1.. ik enarlar Hipotenüs m m cm 1 cm cm 60 cm y cm 100 cm z cm 1, cm 1,3 cm ir el fenerinden çıkan ışık m yol alarak yukarıdaki m uzunluğundaki

Detaylı

YGS GEOMETRİ DENEME 1

YGS GEOMETRİ DENEME 1 YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz. GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN E Y L Ü L ÜNİTE SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN 9.09.06/.09.06 6.09.06/0.09.06 Çarpanlar ve Katlar Çarpanlar ve Katlar 8... Verilen

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Ders Saati 9.09.06/.09.06 Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme i 7...

Detaylı

EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ.

EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. DERS : GEOMETRİ KONU : ÜÇGEN EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. AMAN SIKILMAYIN NOT BİRAZ UZUN DA :-) Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,

Detaylı

eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının

eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının eğim Doğrunun eğimi Eğim konusunu koordinat sistemine ve doğrunun eğimine taşımadan önce kareli zemindeki doğru parçalarının eğimini bulmaya çalışalım. Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []

Detaylı

Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası Kerim Hoca ile 64 arasında kaç tane tam sayı vardır?

Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası Kerim Hoca ile 64 arasında kaç tane tam sayı vardır? 8.Sınıf Matematik Yayın No : 8- / Kazanım : 8.1.3.. KAREKÖKLÜ İFADELER Tam Kare Sayıların Karekökleri - Çalışma Kağıdı + 3 1 Alıştırmalar 3. Aşağıdaki eşitliklerde x in alabileceği değerleri bulunuz. 1.

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Üçgenler Veri

9SINIF MATEMATİK. Üçgenler Veri 9SINIF MTEMTİ Üçgenler Veri 4 YYIN RİNTÖRÜ ğuz GÜMÜŞ EİTÖR Hazal ÖZNR - Uğurcan YIN İZGİ Muhammed RTŞ SYF TSRIM - P F. Özgür FZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin... M. emal tatürk

Detaylı

ÜNİTE ÇEMBER VE DAİRE

ÜNİTE ÇEMBER VE DAİRE 4. ÜNİT ÇMR V İR + + + Çember ve Çemberde çı Çemberde Çevre Uzunluğu aire ve aire iliminin lanı Maç başlarken topun konulduğu noktayı ve sadece oyunu başlatan futbolcuların bulunabildiği alanı geometrik

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,

2012 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ. b 27 18. 3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6. Çözüm : Cevap : E. 4. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, 01 YGS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 10, 5,1 0,5 0, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7. a 1 8 b 7 18 olduğuna göre a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 5 E) 6 10, 5,1 105 1 41 1 5 0,

Detaylı

MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti. Üslü sayı, bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımıdır.

MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti. Üslü sayı, bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımıdır. Kazanım Tam sayıların tam sayı kuvvetlerini belirler. MATEMATİK KAZANIM FÖYÜ- Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti.Adım..Adım...Adım Yanda verilen örüntünüyü 6.Adıma kadar ilerletiniz. HATIRLA Üslü sayı, bir

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D

Cevap: A. Cevap: E. Cevap: A. 8. a b. Cevap: D . 0,5, 0,5 0, 0,75 5 5. () 5 5 Verilenler arasında 0 a en yakın olan 0,5 yani.. 8 8 8 6 8 0,0006 0,08 0000 00 0,08 8 000 8 6 0 8 0 0 0 6 8 0 8 0 6 6. Not : a b a b a b 65 65 65 65 65 65 0 00 65 65 00 00

Detaylı

Ölçme Bilgisi DERS 4. Basit Ölçme Aletleri ve Arazi Ölçmesi. Kaynak: İ.ASRİ

Ölçme Bilgisi DERS 4. Basit Ölçme Aletleri ve Arazi Ölçmesi. Kaynak: İ.ASRİ Ölçme Bilgisi DERS 4 Basit Ölçme Aletleri ve Arazi Ölçmesi Kaynak: İ.ASRİ HATA SINIRI EŞİTLİĞİ d s = 0.005 S+0.00015xS+0.015 düzensiz hata düzenli hata kaba hata d 1 = A B d 2 = B A S = (d 1 +d 2 )/2 d

Detaylı

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.

Detaylı

8. SINIF PİSAGOR BAĞINTISI

8. SINIF PİSAGOR BAĞINTISI 06. SINIF PİSGOR ĞINTISI a c (hipotenüs) 5 b 6 a 2 +b 2 =c 2 Pisagor bağıntısını kullanabilmek için dik üçgen olması gerekir. ÖR: şağıda verilmeyen kenarları bulunuz. 6 2 Pisagor bağıntısı kullanırken

Detaylı

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Maths@bi 8 3.BÖLÜM Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Kerime ASKER-Abdullah ASKER Matematik Öğretmeni

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Temel Kavramlar. Alıştırma Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz.

Temel Kavramlar. Alıştırma Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz. Giriş Sıfırdan Matematik kitabımızda kazanımlar; gerçekten sıfırdan başlayarak ve o ana dek anlatılan bilgiler yeterli olacak şekilde, benzer bol örnek ve hiçbir kitapta olmadığı kadar alt başlıklarla

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08 09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR 9. MANTIK

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 7. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI

SİDRE 2000 ORTAOKULU 2014 2015 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 7. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9 EYLÜL 0 EKİM CEBİR ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER 9 EYLÜL 0 EKİM TAM LA İŞLEMLER 6 EYLÜL TAM LA İŞLEMLER 5 9 EYLÜL TAM LA İŞLEMLER SİDRE 000 ORTAOKULU 04 05 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 7. SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

B) Aşağıdaki şekillerin içindeki dar açıları siyah, dik açıları kırmızı ve geniz açıları yeşil renkle boyayınız.

B) Aşağıdaki şekillerin içindeki dar açıları siyah, dik açıları kırmızı ve geniz açıları yeşil renkle boyayınız. ULUKÖY YATILI BÖLGE ORTAOKULU 3-A SINIFI MATEMATİK ETKİNLİKLERİ 1 A) Aşağıdaki boşlukları uygun kelimelerle doldurunuz. Açıklığı dik açıdan daha az olan açılara.denir. Açıklığı dik açıdan daha fazla açılara..denir.

Detaylı

TEOG SINAV SORUSU OKYANUS KOLEJLERİ SINAV SORUSU MATEMATİK MATEMATİK MATEMATİK. 1. (0,5) 4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1.

TEOG SINAV SORUSU OKYANUS KOLEJLERİ SINAV SORUSU MATEMATİK MATEMATİK MATEMATİK. 1. (0,5) 4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1. 1. (0,5) 4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) & 1 ½ B) > 1 & C) 16 A) 625 1. ù 1$ú 2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 16 B) > 1 & C) > 1 & D) 16 2. 15 ile 75 arasında

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) MTMTİK TSTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,. a a b = = a b b olduğuna

Detaylı

Geometrik Örüntüler. Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller. Geometrik Örüntüler

Geometrik Örüntüler. Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller. Geometrik Örüntüler Geometrik Cisimler ve Şekiller Geometrik Örüntüler Geometride Temel Kavramlar Uzamsal İlişkiler Geometrik Cisimlerin Yüzeyleri Geometrik Cisimler Prizmaların Benzer ve Farklı Yönleri Geometrik Şekiller

Detaylı

ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.

ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. ÜÇGENDE AÇILAR Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK ÜÇGEN

8. SINIF MATEMATiK ÜÇGEN 05 8. SINIF MTMTiK ÜÇGN Kenarortay: ir kenarın orta noktası ile karşısındaki köşe arasına çekilen doğru parçasına kenarortay denir. çıortay: ir köşeden, karşısındaki kenara kadar giden ve bu köşedeki açıyı

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08 09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 9.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 9.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR 9. MANTIK 8

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Geometrik Cisimlerin Hacimleri 1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende

Detaylı

3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. a 12 8 A) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6 10,25 3,1 1. 0,5 0,2 işleminin sonuu kaçtır? ) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 3. a 12 8 b 27 18 olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? ) 4 2 B) 3 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. 2 3 6 4.6 2 3 3 2.3 işleminin sonuu kaçtır?

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

2006 ÖSS MAT 1 Soruları

2006 ÖSS MAT 1 Soruları 006 ÖSS MT Soruları. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere a ab. = = a b b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) ) ) 0 5. 5 ( + ) ) ) 0 ) ) 6 ) 0 6. + +. a + 0 a + = ) ) ) 0 ) ) olduğuna

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 T.. MİLLÎ EĞİTİM AKANLIĞI 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 MATEMATİK Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ :

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

Ortaöğretim MATEMATİK 9. Sınıf 3. Kitap Yazarlar Komisyon

Ortaöğretim MATEMATİK 9. Sınıf 3. Kitap Yazarlar Komisyon Ortaöğretim MTEMTİK 9. Sınıf. Kitap Yazarlar Komisyon EVLET KİTPLRI İRİNİ SKI,0 MİLLÎ EĞİTİM KNLI ĞI YYINLRI... : 589 ERS K İTPLRI İZİSİ... : 6 06 Y000 6 u kitap Millî Eğitim akanlığı, ilim, Sanayi ve

Detaylı

GEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.

GEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometrinin temelini oluşturan bazı kavramları bir sıraya koymalıyız ki daha anlaşılabilir olsun. Geometride özel anlamı olan ifadelere geometrik terim denir. Nokta, doğru, açı, kare,

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GNL KTILIMLI TÜRKİY GNLİ NLİN NM SINVI GMTRİ (M-TM) 1. u testte Geometri ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için arılan kısmına işaretleiniz. 3. u test için süreniz

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı

HARİTADA UZUNLUK HESAPLAMA

HARİTADA UZUNLUK HESAPLAMA HRİT UZUNLUK HESPLM u bölümde harita üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklığın ölçek yardımı ile hesaplanmasınıöğreneceksiniz. Haritalarda iki nokta arasındaki en kısa uzaklık kuşuçuşu mesafe olarak adlandırılmaktadır.

Detaylı

Sayısal öğrencisi olan Ali nin bir hafta sonu çözdüğü

Sayısal öğrencisi olan Ali nin bir hafta sonu çözdüğü 13. ( n + 3 )! ( n + )! ( n + 1 )! = 3. 3. 5. 7 15. b olduğuna göre, n kaçtır? 3 6 9 a c d ) 1 ) 3 ) 4 ) 6 ) 8 16 14. V 3 V V 1 Yukarıda verilen düzgün altıgen şeklindeki pistin noktasından belirtilen

Detaylı

TYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. Cevap : E

TYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. Cevap : E TYT 018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Verilen örnekte sürekli ye bölüyor ve 3.adımda 3 8 parça elde ediyor. Biz bu durumu şeklinde ifade edebiliriz. 3 8 dir. Sürekli 3'e böldüğünde 4.adımda; 4 3 3.3.3.3 81 parça

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

2.3. KAZANIM SAYISI VE SÜRE TABLOSU

2.3. KAZANIM SAYISI VE SÜRE TABLOSU 3. Öğretim materyalleri hazırlanırken zümre öğretmenleri ve diğer disiplinlerin öğretmenleriyle iş birliği yapılmalıdır. 4. Matematiğin konu ve kavramlarının tarihsel gelişimi ile beraber öne çıkan bilim

Detaylı

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır.

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim İzometrik Perspektifler Küpün iz düşüm düzlemi üzerindeki döndürülme açısı eşit ise kenar uzunluklarındaki kısalma miktarı da aynı olur. Bu iz düşüme, izometrik

Detaylı

Üçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30

Üçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30 1. 4. bir ikizkenar üçgen 0 = m () = 0 m () = 70 70 Kıble : Müslümanların namaz kılarken yönelmeleri gereken, Mekke kentinde bulunan Kabe'yi gösteren yön. arklı iki ülkede bulunan ve noktalarındaki iki

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

Öklid in Elemanları. Türkçesi ve notlar Ali Sinan Sertöz. 8 Mayıs 2018 sürümü

Öklid in Elemanları. Türkçesi ve notlar Ali Sinan Sertöz. 8 Mayıs 2018 sürümü Öklid in lemanları Türkçesi ve notlar li Sinan Sertöz 8 Mayıs 208 sürümü li Sinan Sertöz ilkent Üniversitesi Matematik ölümü 06800 nkara sertoz@bilkent.edu.tr http://sertoz.bilkent.edu.tr 8 Mayıs 208 sürümü

Detaylı

B) ile Matematiği çok seveceksiniz.(www.matematikportali.com)

B) ile Matematiği çok seveceksiniz.(www.matematikportali.com) 1 Soru tipi:f5 3 2mm 2 5mm 8m 5m 2m 50mm 18mm Şekilde farenin peynire uluşması için verilen yolu takip edip gerekmektedir. Buna göre gideceğin yolun uzunluğu kaç m metredir. A) 14 2+3 5 B) 12 2+3 5 10

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı