LAZER MESAFE ÖLÇÜM SİSTEMLİ OTONOM ROBOTLARDA KALMAN FİLTRESİ TABANLI EŞZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LAZER MESAFE ÖLÇÜM SİSTEMLİ OTONOM ROBOTLARDA KALMAN FİLTRESİ TABANLI EŞZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA YÜKSEK LİSANS TEZİ Elek. Müh. F.Ecehan ERSÖZ Anabilim Dalı : ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ Programı : KONTROL VE OTOMASYON MÜHENDİSLİĞİ HAZİRAN 007

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LAZER MESAFE ÖLÇÜM SİSTEMLİ OTONOM ROBOTLARDA KALMAN FİLTRESİ TABANLI EŞZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA YÜKSEK LİSANS TEZİ Elk. Müh. F.Ecehan ERSÖZ ( ) Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 7 Mayıs 007 Tezin Savunulduğu Tarih : 13 Haziran 007 Tez Danışmanı : Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Hakan TEMELTAŞ Prof.Dr. İbrahim EKSİN Doç.Dr. Ata MUĞAN HAZİRAN 007

3 ÖNSÖZ Robotlarla yapılan lokalizasyon ve haritalama çalışmalarında her iki işlemin eş zamanlı olarak gerçekleştirilmesi SLAM algoritması ile sağlanabilmektedir. Yuksek dereceden doğrusal olmayan robotik çalışmalarında Kalman Filtresinin GKF ve DKF olarak uyarlanmış halinin SLAM problemine uygulanması ile lokalizasyon ve haritalama açısından başarılı sonuçler elde edilebilir. Bu sayede SLAM otonom araçların su altında, uzayda ve bunun gibi bilinmeyen ortamlarda çok amaçlı olarak keşif ve araştırma yapabilmesini sağlayabilir. Bu tez çalışmasının gerçekleşmesi sürecinde her zaman büyük desteğini gördüğüm, değerli fikir ve tecrübeleriyle beni yönlendiren hocam Sayın Prof.Dr. Hakan TEMELTAŞ a teşekkür ederim. Çalışmalarım sırasında yardımlarını ve vaktini benden esirgemeyen Araştırma Görevlisi Sayın M.Kürşat YALÇIN a teşekkürü bir borç bilirim. Benden maddi manevi desteklerini esirgemeyerek her zaman yanımda olan ve bana anlayış gösteren sevgili aileme yürekten teşekkür ederim. Haziran, 007 Ecehan ERSÖZ ii

4 İÇİNDEKİLER TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vı vııı ıx 1. GİRİŞ VE AMAÇ 1.1. Giriş ve amaç 1.OTONOM ROBOTLAR 4.1.Mobil robotlar 4. Mobil robotlarda ölçme sistemleri Kızılötesi sensörler 5.1. Ultrasonik sensörler Lazer sensörler 7 3. KALMAN FİLTRESİ,GENİŞLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİ VE DAĞILIMLI KALMAN FİLTRESİ Kestirim temelleri 9 3. Bir Dinamik Model Kestiriminde Optimallik Kalman Filtresi Algoritmanın aşamaları Kalman filtresi bileşenleri Sistem modeli ve gürültü süreçleri için varsayımlar Hata kovaryansları Yenilenme terimi Kalman kazançları Kalman denklemlerinin incelenmesi Kalman filtresi sonuçlarının incelenmesi 18 iii

5 3.4 Genişletilmiş Kalman Filtresi Gözlem ve sistem modelinin doğrusallaştırılması Algoritmanın aşamaları Genişletilmiş kalman filtresinde gürültü Genişletilmiş kalman filtresinde optimallik Kovaryans hesabı Yenilenme terimi hesabı Dağılımlı Kalman Filtresi Dağılım dönüşümü Sigma noktalarının seçilmesi ve ağırlıklarının hesaplanması 7 4. MOBİL ROBOTLARDA EŞ ZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA Otonom lokalizasyon tarihi SLAM probleminin geçmişi ve ilgili kavramlar SLAM probleminin bileşenleri Lokalizasyon Haritalam problemi SLAM Problemi Ortamı haritalamada belirsizliğin gösterimi Haritalama yöntemleri Izgara tabanlı haritalama Özellik tabanlı haritalama Topolojik haritalama SLAM Probleminde tanımlar ve kabuller GKF SLAM GKF SLAM Algoritması GKF SLAM'da veri ilişkilendirme DKF SLAM 45 5 SİMULASYON ÇALIŞMALARI Simulasyon ortamındaki robot modeli Ölçüm modeli ITU Kampus haritasının bir bölümü üzerinde uygulama Haritalamaya ilişkin sonuçların karşılaştırılması 51 iv

6 5.3. Lokalizasyona ilişkin sonuçların karşılaştırılması 54 6 SONUÇLAR VE ÖNERİLER 56 KAYNAKLAR 57 ÖZGEÇMİŞ 59 v

7 KISALTMALAR SLAM KF EKF UKF UT GKF DKF NN : Simultaneous Localization and Mapping : Kalman Filter : Extended Kalman Filter : Unscented Kalman Filter : Unscented Transform : Genişletilmiş Kalman Filtresi : Dağılımlı Kalman Filtresi : Nearest Neighbourhood vi

8 TABLO LİSTESİ Tablo 3.1. Kalman filtresi denklemleri Tablo 3.. Genişletilmiş kalman filtresi denklemleri 5 Sayfa No Tablo 4.1 Farklı kovaryans matrisi güncelleme yöntemleri 11 Tablo 5.1 Ortam yapılarının gerçek konumları 1 Tablo 5.. GKF SLAM ve DKF SLAM varyans karşılaştırma 1 Tablo 5.3. GKF SLAM ve DKF SLAM varyansın yakınsaması.. 50 vii

9 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 3.1 Şekil 3. Şekil 3.3 Şekil 3.4 Şekil 4.1 Şekil 4. Şekil 4.3 Şekil 4.4 Şekil 4.5 Şekil 4.6 Şekil 4.7 Şekil 4.8 Şekil 5.1 Şekil 5. Şekil 5.3 Şekil 5.4 Şekil 5.5 Şekil 5.6 Şekil 5.7 Şekil 5.8 : Kalman Filtresi matematiksel temelleri.. : Kalman Filtresi kestirim ve ölçüm güncelleme adımları. : GKF doğrusallaştırma işlemi : DKF Sigma noktaları seçimi : Otonom robotun ortamdaki hareketi : Robotun zaman içindeki hareketi uygulanan kontrol : Haritalama : SLAM gösterimi... : Izgara tabanlı haritalama... : Özellik tabanlı haritalama... : Ölçüm işlemi... : Topolojik haritalama... : Robotun hareketi : ITU Kampusü uydu haritası. : Simulasyon sonucu. : Simulasyon sonucu açıklamaları... : GKF SLAM kestirim hataları. : DKF SLAM kestirim hataları... : GKF DKF yol izleme hatası karşılaştırması : GKF DKF yol izleme hatası karşılaştırması viii

10 SEMBOL LİSTESİ k : Ayrık zaman sabiti x : SLAM durum vektörü P : SLAM kovaryans matrisi x(k) : Sistem durumları x ˆ( k) : Sistem durumlarının kestirimi P(k+1/k) : Durum vektörü hata kovaryans matrisi P(k+1/k+1) : Güncellenmiş kovaryans matrisi H : Ölçüm matrisi v : Yenilenme matrisi S : Yenilenme kovaryans matrisi A : Sistemin durum geçiş matrisi B : Kontrol girişleri matrisi z(k) : Ortam yapılarına ait konum ölçümleri P : Robotun kovaryans matrisi vv P mm : Ortam yapılarının kovaryans matrisi σ : Varyans [ x y θ ] T : Robot konum ve yönelim vektörü v(k) : Ölçüm gürültüsü w(k) : Sistem gürültüsü u(k) : Kontrol girişi W : Kalman kazancı R : Ölçüm gürültüsü kovaryansı Q : Sistem gürültüsü kovaryans matrisi ix

11 LAZER MESAFE ÖLÇÜM SİSTEMLİ OTONOM ROBOTLARDA KALMAN FİLTRESİ TABANLI EŞZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA ÖZET Bu çalışmada lazer mesafe ölçüm sistemli bir otonom robotun Kalman Filtesi tabanlı kestirim yöntemleri kullanılarak tamamen bilgi sahibi olmadığı bir ortamda lokalizasyon ve haritalama işlemlerini yapma süreci ele alınmıştır. Lineer sistemler için başarılı bir kestirim yöntemi olan Kalman Filtresinin algoritması incelenmiş ve doğrusal olmayan sistemlerde uygulanması için geliştirilmiş olan Genişletilmiş Kalman Filtresi ve Dağılımlı Kalman Filtresi açıklanarak bu algoritmaların SLAM problemine uygulanması ve elde edilen sonuçlar incelenmiştir. Birinci bölümde genel kavramlardan bahsedilmiş ikinci bölümde mobil robotlar, otonom robotlar ve robotlardaki sensör sistemleri üzerinde durulmuştur. Mobil robotlarda haritalama ve lokalizasyon amaçlı olarak kullanılan kızılötesi, ultrasonik ve lazer sensörlerin özelliklerine değinilmiştir. Üçüncü bölümde kestirim teorisinin, Kalman Filtresinin temeli ve algoritmanın aşamaları anlatılmış, bu yapı temel alınarak doğrusal olmayan sistemlerde kestirim için geliştirilmiş yöntemlerden olan genişletilmiş kalman filtresi ve dağılımlı kalman filtreleri ele alınmış ve karşılaştırılmıştır. Dördüncü bölümde Mobil Robotlarda Eşzamanlı Lokalizasyon ve Haritalama algoritması olan SLAM, bu işlem için kullanılabilen haritalama yöntemleri ile lokalizasyon ve haritalama için oluşturulan ortak olasılıksal yapı açıklanmıştır. Beşinci bölümde lokalizasyon ve haritalama probleminin genişletilmiş kalman filtresi ve dağılımlı kalman filtresi yöntemleri ile simulasyon uygulamaları elde edilmiştir. Burada robot diferansiyel sürüş sistemine sahip olarak modellenmiş ve lazer sensöre ait olasılıksal sensör modeli oluşturulmuştur. Bu yöntemlerde elde edilen sonuçlar robot konumunun ve ortam yapılarının konumlarına ait kestirimlerdeki hatalar açısından karşılaştırılmıştır. Son bolümde bu tez çalışmasından elde edilen sonuçlar açıklanmış ve ileride yapılabilecek çalışmalardan bahsedilmiştir x

12 SIMULTANEOUSLY MAP BUİLDİNG AND LOCALİZATİON TECHNIQUES FOR AUTONOMOUS ROBOTS USING LASER RANGE FINDERS SUMMARY Although different techniques have been used for localization and map building with autonomous robots, SLAM(Simultaneous Localization and Mapping) is a new approach in robotic researchs field. In this study SLAM algorithm is applied to a mobile robot by simulation with given some waypoints for its path. The aim of SLAM is to obtain a convergent map of the environment while the robot taking measurements by its sensors. It makes observations and estimates its own position and the features position. Two version of Kalman Filter is applied for SLAM algorithm.because of the linearization errors of EKF, this filter has the results of estimated feature pozitions with an error. EKF SLAM and UKF SLAM are compared by the means of localization and mapping results. The result of the simulations shows that UKF SLAM gives more accurate estimation results than EKF SLAM. First chapter is about the general concepts about robotic studies and their aims. In the second chapter mobil robots, autonomous robots and sensor types for measurements are explained. Third chapter tells about the estimation theory, the basis of Kalman Filter and the structure of Kalman Filter algorithm. Further versions of Kalman Filter for nonlinear system estimation as Extended Kalman Filter and Unscented Kalman Filters are explained. Fourth part of this thesis is about The SLAM algorithm, its mathematical foundation and application for robotic systems. Localization and mapping techniques are also the components of this chapter. Simulation applications and its results are given in the fifth cahapter with the comparisons of EKF SLAM and UKF SLAM. And in the last chapter the conclusion and the further studies take place. xi

13 1. GİRİŞ VE AMAÇ 1.1 GİRİŞ Günümüzde otomatik hareket etme yeteneğine sahip sistemler teknolojik gelişim sürecinde büyük bir paya sahiptirler. Robot sistemlerinin ilerleyişinde araştırmacılar daha hızlı, daha dinamik ve daha doğru kararlar verebilen ve dış dünyaya açılan sistemler üretebilmek için insanların sahip olduklarına benzer algılayıcılar kullanmak ve benzer yollarla algı prensipleri geliştirmek zorundadırlar. Ayrıca bu çalışma şekli insani fonksiyonların çalışma hızına yakın olmalı ve gerçek zaman içerisinde üretilebilmelidir. Bir makineye robot diyebilmek için en önemli şartlardan birisi algılamadır. Bir robot sınırlı da olsa dış dünyadan bazı ölçümler yapabilmelidir. Bu ölçümler, konum, renk, ışık, şekil gibi çeşitli şekillerde olabilir. Daha sonra elde etttiği bu verileri otonom olarak yorumlayabilmeli, algıya ne gibi tepkide bulunacağına karar vermelidir. Son olarak da verdiği bu kararını uygulamaya koyabilmelidir. Kısaca robot üç ana kısımdan oluşur; 1. Çevre hakkında gerçek zamanlı bilgi elde etmek için kullanılan alıcılar,. Karar vermeyi ve kontrolü sağlayan elektronik beyin(algoritma), 3. Verilen kararların uygulamasını sağlayan hareket sistemleri Günümüzde kullanılan robotların büyük bir bölümü endüstride kullanılmaktadır. Bunun sebebi robotların hassaslık veya güç gerektiren işleri büyük bir süratle ve hatasız olarak yerine getirebilmeleridir. Bu yüzden robot teknolojisini geliştirmede büyük şirketler(sony, Honda...) üniversiteler ve teknoloji kurumlarıyla başa baş gitmektedir. Robotlar endüstriden başka okyanusların derinlikleri, volkanların kraterleri gibi insanların çalışamayacağı yerlerde de sıklıkla kullanılmakta ve ya insanların giremeyeceği yerlere onlarca mini-robot gönderilerek araştırmalar yapılmaktadır. 1

14 Bu şekilde robotların insan hayatındaki yeri önemli ölçüde artmakta ve bu artışla beraber robotun insanlarla ve içinde bulunduğu ortamla etkileşime girmesi de kaçınılmaz hale gelmektedir. İçinde bulunduğu ortamla etkileşime girmenin temellerinde biride ortamı tanıyabilmek ve kendini bu ortamda konumlandırabilmektir. Bunun için öncelikle ortamın haritasının çıkarılması gerekmektedir. SLAM probleminde amaç başlangıçta robotun çevresinin tamamen tanımadığı bir ortamda eş zamanlı olarak konum belirleme ve haritalama yapabilmesidir. Dolayısıyla robot tamamen bilinmeyen bir ortamda bir noktadan harekete başlayarak bir taraftan bu ortamın haritasını çıkaracak, bir taraftan da kendi konumunu tahmin edebilecektir. 1. ÇALIŞMANIN AMACI Son yıllarda robotik çalışmaları çevre düzenlemesi kısmen bilinen yada tam bilinmeyen ortamlarda verilen görevleri yapabilen otonom robot sistemleri şeklinde tanımlanan çalışmalar doğrultusunda gelişmektedir. Otonom robotların bu görevleri yerine getirebilmesi için Bulundukları noktaya ait pozisyon ve mutlak konum bilgilerinin elde edilmesi(lokalizasyon) İçinde bulunduğu ortamın haritasının çıkarılması ve bu haritanın alınan ölçümlerle sürekli güncellenmesi Ortam içinde bir noktadan diğer bir noktaya gidebilmesi için gerekli yolun planlanarak izlenmesi (navigasyon) aşamalarını gerçekleştirebilmesi gerekmektedir. Gerek lokalizasyon gerekse ortam haritasının oluşturulması işlemi, bu amaç için kullanılan sensör verilerinin değerlendirilmesi ile gerçeklenmektedir. Bu tip sensörlere örnek olarak radar, ultrasonik, kızılötesi ve lazer gibi mesafe ölçüm sensörleri verilebilir. Robotik bilimi gerçek dünya ile doğrudan etkileşime giren sistemlerle uğraşır. Çok iyi tanımlanmış veri arabirimleri ile geliştirilen sistemler ihtiyaç duydukları bilgiye en doğru şekilde ulaşabilirler. Bu sistemler çeşitli sensörler kullanılarak bulundukları ortamdaki değişiklikleri algılamaya ve kendilerini ortama uyarlamaya çalışırlar.

15 Sensörler kendilerini çevreleyen ortamlardan bilgi toplayan elemanlardır. Günümüzde sayılamayacak miktarda sensör ve bu sensör bilgilerinin kaydedilme yöntemi elde edilebilir.bu kadar çeşitliliğe rağmen bütün sensörlerde bazı olumsuz özellikler vardır. Her sensör çeşitli gürültülerin etkisine maruz kalır ve dolayısıyla sınırlı bir doğruluğa sahiptir, bazı koşullar altında doğrusal çalışmaz.. 3

16 . OTONOM ROBOTLAR.1 Mobil Robotlar Verilen bir yörünge boyunca hareket edebilen ve programlanabilen araçlardır.hareket sistemlerine göre Tekerlekli Paletli Eklemli olarak sınıflanırlar. Mobil robotların kendi kendine karar verebilenleri otonom olarak adlandırılır. Bu robotların dış dünyadan gerçek zamanlı olarak topladıkları veriler yazılımlarla işlenerek robotun işlevlerini sağlayacak kararlar oluşturulmasında kullanılır. Son yıllarda mobil robotların çevre düzenlemesi kısmen bilinen yada bilinmeyen ortamlarda otonom olarak çalışabilmeleri istenmektedir. Bunun için robotun topladığı verilerle Bulunduğu noktaya ait pozisyon ve mutlak konum bilgilerini elde etmesi(lokalizasyon) Bulunduğu ortamın haritasını çıkarması(mapping) Bu haritayı sürekli güncellemesi ve ortamda hareket etmesi (navigasyon) gerekmektedir. Bu işlemler sürekli kordinat hesabı yapılmasını gerektirir 4

17 . Mobil Robotlarda Ölçme Sistemleri Bir robotun bulunduğu ortami algılayabilmesi ve buna bağlı olarak hareketlerini yönetmesinde sensörlerin payı büyüktür. Sensöre sahip olmayan bir robot aynı gorevleri tekrarlayan sabit bir otomasyon aygıtından ileriye geçemez. Sensörler sayesinde robotlar bilinmeyen ortamlarda çalışabilirler ve çevredeki değişikliklere uyum sağlayabilirler.bir çok mobil robot uygulamasında karşılaşılan problem fiziksel nesnelerle etkileşimde bulunabilme ve ortamdaki varlıklarla etkileşime girebilme ihtiyacıdır. Platform bilinen bir konumdan istenen diğer bir konuma hareket ederken yol ustündeki her hangi bir sabit veya hareketli nesne ile temasta bulunmamalıdır. Robotun fiziksel çevresini,ortamını yuksek çözünürlüklü veri ile tanımlayacak sensöre ihtiyaç vardır. Sensorlerin ölçüm yaparken Gorus alanı olabildiğine geniş ve uygulamayı sağlayabilecek yeterli derinlikte olmalıdır. Mesafe ölçme yetenekleri Minimum belirleme uzaklıgı ve maksimum etkili mesafe sensorun kullanım amacına uygun olmalı Ortamdaki tüm nesneleri algılama kabiliyetine sahip olmalı Kesin, yorumlanabilir veri sağlamalı Sensörlerden alınan bilgi çok fazla olması yetersiz veri kadar anlamsızdır şeklinde sıralanabilir. [Dillmann,R. ve Wörn, H.,000]..1 Kızılötesi Sensörler Kızılötesi alıcı sensörlerin okuduğu mesafe bilgileri vericilerin yaydığı ışığın nesnelerden yansıma şiddetidir.bu nedenle kısa mesafelerde okuma yapabilirler. Kızılötesi sensörleri modelleyen olasılık yoğunluk fonksiyonu eşitlik (.1) ile ifade edilmiştir. 5

18 P ( d k k / r) 1 1( d k r) exp σ k =. π. σ k (.1) dk:kızılötesi sensörün ölçtüğü mesafe r:robotla ölçülen nesne arasındaki gerçeğe yakın mesafe Kızılötesi sensörlerde karşılaşılan bazı problemler şunlardır: 1. Farklı ortam aydınlatmalarında farklı mesafe ölçümleri verirler.. Ölçülen cisimlerde yüzey gelen sinyalin normali ile dik değilse sinyaller farklı yönlere yansır. 3. Siyah yüzeyler kızılötesi sinyalin bir kısmını emdiği için beyaz yüzeylere göre daha az enerji ölçümü yapılır ve cisim olduğundan daha uzak mesafede algılanabilir.... Ultrasonik Sensörler Ultrasonik sensörler yayılan ses dalgalarının yansımasının ölçülmesi ile çalışan algılayıcılardır. Ortama gönderilen ses dalgasının bir yüzeyden yansıyıp geri dönmesi için geçen sürenin belirlenmesi temeline dayanırlar. Günümüzde deniz taşıtlarında (özellikle denizaltı ve savaş gemilerinde) yaygın olarak kullanılan bir teknolojidir. Robotik uygulamalarında ise sinyalin geri dönüş zamanı dikkate alınarak nesnelerin robota olan uzaklıkları hesaplanır. d = V t / ) (.) u S ( o du: ultrasonik sensörle ölçülen mesafe Vs: sesin havada yaptığı hız t 0 : gönderilen ses sinyalinin dönüş zamanı Robot üzerindeki ultrasonik sensör okumalarında 0 derece ortam sıcaklığındaki 343 m/sn ses hızı dikkate alınmaktadır. 6

19 Ultrasonik sensörlerde karşılaşılan bazı problemler şunlardır: 1. Ortamın durumu: Ultrasonik sensörler karmaşık ve sınırlı(6 m den küçük ve içinde bir çok eşya bulunan mekanlar) ortamlarda yanlış mesafe ölçümleri yapabilirler.. Sesin havadaki hızı: Hareket halindeki robotun çevredeki nesneleri tespit edebilme zamanını sınırlar. 3. Çapraz karışma problemi: Bir sensör tarafından gönderilen sinyale ait ekoların komşu sensörler tarafından alınması ile oluşan hatalı okumalardır. 4. Spekülatif yansımalar: Ultrasonik dalganın konik ekseni ile nesnelerin yansıtan yüzeylerinin normali arasındaki farkın büyük olmasından kaynaklanır...3 Lazer Sensörler Lazer en uç mor ötesi ışınlardan kızılötesi ışınlara kadar değişen bir optik spektrumda yer alan kararlı elektromanyetik ışın yayan enerji üreten bir aygıttır. Laser terimi Light Amplification by Stimulated of Radiation kelimelerinin baş harflerinden oluşur. Lazerler tek dalga boyundaki tek renkli(monokromatik) ve tek fazlı dalgaların oluşturduğu ışık demetidir. Oysa geleneksel ışık kaynakları gelişigüzel çeşitli dalga boylarına sahip düzensiz ışık dalgaları üretir. Lazer terimi uyarılmış yayınımla yükseltgenmiş ışığı tanımlar. Bir lazer birbirine hemen hemen paralel olan ve aynı yönde hareket eden ışık dalgalarından oluşur. Atomların görülebilir ışık üreterek yörünge değiştiren elektronlarına dışarıdan yeterli enerji yüklerine ve sürekli olarak bir üst yörüngeye çıkmaları sağlanır. Üst yörüngeye çıkan elektronların önceki yörüngelerine geri dönerken ürettikleri görülebilir ışık yönlendirilir ve aynı fazdaki dalgalardan oluşan lazer ışını elde edilir.[everett, H.R.,1995] Lazer ışığının en önemli özelikleri şunlardır: 1. Parlaklık. Yönlendirilebilirlik 3. Zamansal ve uzaysal uyumluluk 4. Tek renklilik ve yaklaşık olarak tek frekansta emisyon 5. Çok yüksek değerde elektromanyetik alan gücü 7

20 Lazer sensörler temel olarak optik sensörler ile aynı çalışma mantığına sahiptirler. Farkları ise çok daha yüksek bir dalga boyundaki bir ışık ile çalışıyor olmalarıdır. Lazer enerjisi hızlı bir dizi şeklinde menzilde bulunan nesneye doğru gönderilir. Bu enerjinin bir kısmı geri yansıtılır ve ölçümler gerçekleşir. Temel prensibi iletilen lazer demetiyle hedef yüzeyden alınan yansıması arasında geçen süreyi ölçmektir. Gönderilen lazer ışığı hedeften yansıyarak cihaz üzerinde bulunan bir alıcı tarafından algılanır. Bu sensörler karşılıklı sensörler yansıtıcılı sensörler ve cisimden yansımalı sensörler olmak üzere üç farklı algılama ilkesine göre sınıflandırılabilirler 1) Karsılıklı sensörlerde ışık vericiden alıcıya tek yönlü yol aldığı için algılama mesafesi uzundur. Şeffaf cisimlerde emin olmayan algılama olabilir. ) Yansıtıcılı sensörlerde verici ile alıcı kısımlar aynı yapı içindedir. Eğer yansıtıcı yüzeyi düz olursa ve optik eksene tam dik olarak yerleştirilmemişse yansıyan ışık asla alıcıya ulaşmaz. Buna engel olmak için prizmatik yansıtıcı kullanılır.prizmatik yansıtıcıdan gelen ışık sürekli olarak ışığın yayıldığı yöne doğru geri yansıtılırcisimlerde emin olmayan algılama olabilir. Bütün çeşitlerde lazer darbesinin hedefe ulaşıp geri yansıması için geçen süre ölçülür. Işık hızının sabit değeri bilindiğinden aradaki mesafe hesaplanır. Menzille orantılı olarak süreyi ölçmek için üç farklı teknik kullanılır. 1)Darbe tarama:ayrık darbelerin uçuş süreleri ölçülür. )Eş fazlı tarama: Frekans modülasyonlu sürekli dalganın yayılma ve yansımasının çarpma frekansları ölçülür. 3)Doğrudan tarama: Genlik modülasyonlu sürekli dalganın yayılma ve yansıma arasındaki faz farkı ölçülerek uçuş süresi dolaylı olarak hesaplanır. 8

21 3. KALMAN FİLTRESİ, GENİŞLETİLMİŞ KALMAN FİLTRESİ VE DAĞILIMLI KALMAN FİLTRESİ 3.1. Kestirim Teorisi Temelleri Kalman Filtresinin tarihini anlatmadan önce olasılık teorisinden bahsetmek gerekir. Çünkü Kalman Filtresi gibi diğer filtrelerinde ana düşüncesi olasılık teorisidir. Rönesansın ilk zamanlarında İtalyanların iş riskine karşı sigorta poliçeleri çıkartmaları sırasında olasılık teorisinin ilk adımları atılmıştır. Daha genel gelişmeler Blaise Pascal( ), Pierre Fermat( ) ve Christian Huygens( ) tarafından yapılmıştır. Fermat ın kombinasyonlara dair çalışması olasılık teorisinin bulucusu olan Jakop Bernoulli( ) tarafından ele alınmıştır. Bernoulli ilk ciddi kanıtı büyük sayıda tekrarlı bağımsız denemelerle gerçekleştirmiştir. Benoulli den sonra Thomas Bayes ünlü istatiksel kanunu çıkarmıştır.[zarchan, P ve Musoff, H.,005] Olasılık teorisinin ve rastlantısal gelişiminin önemli bir figürü 0. yy da bir Rus akademisyeni olan Andrei Nikolaeovich Kolmogorovdur. ( ) 195 lerden başlayarak, A.Ya Khichin ve diğerleriyle yaptığı çalışmada, olasılığın ve rastlantısal gelişimin matematiksel esasları olan olasılık teorisini tekrar ortaya koymuşlardır. R. A. Fishher, en büyük olasılıklı kestirim fikrini geliştirmiştir. Daha sonrasında 1941 de Kolmogorov, 194 de Nobert Wiener, birbirlerinden bağımsız olarak bir filtre modeli oluşturdular. Bu filtre literatürde Wiener Filtresi yada Wiener-Kolmogorov Filtresi olarak da anılır.ancak Gauss un yaklaşımı ile Wiener ve Kolmogorov un yaklaşımı arasında bazı farklılıklar vardır.bu filtre gerçekte kestirim problemlerini en küçük kareler yöntemine göre çözmemekteydi. Buna rağmen Wiener Filtresi de Kalman Filtresinin matematiksel alt yapısını oluşturan önemli gelişmelerden biridir. Nobert Wiener( ) Markov un tahmin,yumuşatma ve filtreleme yöntemlerini geliştirerek, ilk rastlantısal değişkenlerin katıldığı sistemler için optimal tahmin teorisini formülize etmiştir. Wiener, 0.yy ın en önemli araştırmacılarından birisidir. Fourier dönüşümünün üslü fonksiyonlara uygulanmasını kapsayan genelleştirilmiş harmonik analizi, onun en 9

22 büyük matematiksel başarılarından birisidir. Wiener en küçük kareler yöntemiyle hataların tahmini için, düzensizlik ve sinyallerin korelasyonlu fonksiyonlarını kullanarak bir sonuç ortaya çıkarmıştır.yaklaşımı,spektral yoğunluk açısından rastlantısal olayların olasılık yapısını göstermektedir. A. N. Kolmogorov tarafından ortaya konulan kesikli zaman sistemlerinin optimal doğrusal tahmin yöntemi, Wiener tarafından sürekli zaman sistemlerine uygulanmıştır. Wiener filtresinden bilgi amacıyla sadece bu noktada bahsedilmiştir de John Hopkins Üniversitesi nden J. W. Follin dinamik sistemler için tekrarlı bir yaklaşım modeli geliştirdi. R. E. Kalman la birlikte Richard Bucy nin çalışmalarının gelişmesini sağlamıştır. R. E. Kalman,geliştirdiği yeni bir lineer filtre modelini 1960 yılında yayınlamıştır. Söz konusu olan bu model literatürde Klaman Filtresi olarak anılır. Şekil 3.1 de Kalman Filtresinin matematiksel yapı taşları gösterilmektedir. KALMAN FİLTRESİ Wiener Filtresi Stokastik Sitemler En küçük kareler yöntemi Olasılık teorisi Dinamik Sistemler Matematiksel Fonksiyonlar Şekil 3.1: Kalman Filtresinin Matematiksel Temeli Kalman Filtresi 1960 yılında Rudolf Kalman ın makalesi ile ortaya atıldıktan sonra elektrik mühendisleri ve istatistikçiler tarafından geliştirilmiş ve mühendislik uygulamalarının bir çoğunda kullanılmaya başlanmıştır.[antoulas, A.C.,1991] Kalman filtresi genel olarak bütün dinamik sistemlerin durum değişkenlerinin kestiriminde kullanılabilir. Dinamik sisteme ilişkin parametreler ve birbirleri ile ilişkileri, filtrenin dinamik modelinde doğru bir şekilde tanımlanabildiği ve ölçümlerle bağıda doğru bir şekilde kurulabildiği sürece, bütün dinamik sistemlerin durum değişkenlerinin kestirimi Kalman Filtresinin konusu olabilirler. 3. Bir Dinamik Model Kestiriminde Optimallik Kalman filtresi sistem hatalarının istatiksel özelliğini, sistem dinamiği ile birleştirir. Sistem durumunun kestirimi için Kalman Filtresinde sistem dinamiğinin durum uzayı denklemleri ile tanımlanması kullanılır. Durum vektörleri, minimum hata varyansını üretecek optimize edilmiş Kalman kazancı ile hesaplanır. Bu nedenle Kalman Filtresi en iyi kestirimi sağlayacak yapıya sahiptir. 10

23 Bir kestirimin optimal olup olmadığı, kestirim sonuçlarının gerçek kabul edilebilecek değerlere yakınlığına göre değerlendirilir. Fakat pratikte, gerçek değerler bilinmediği için kestirim sonuçlarının gerçek değerlere yakınlığından bahsedilemez. Bu nedenle bir kestirimin optimal olup olmadığı, en küçük kareler yöntemine göre belirlenir. Diğer bir deyişle, kestirim sonucu bulunan düzeltmelerin kareleri toplamının en küçük olması şartı, optimallik kriteri olarak düşünülür. 3.3 Kalman Filtresi Kalman Filtresini iyi anlayabilmek için elimizde bir ölçü aleti olduğunu bu ölçü aletiyle t1anında yaptığımız ölçmenin değeri z1 olsun. Ancak aletsel veya kişisel etkilerden dolayı z1 ölçmesininσ z1 gibi bir standart sapması olması kaçınılmazdır. Böylece t 1 anındaki x1değerinin z1 ölçme şartına bağlı olasılığı tahmin edilebilir. Ölçümün σ z1 in değerinin büyüklüğü bize hatanın bu ölçüm içindeki miktarını gösterir. σ z1 değerinin büyük olması olasılıklı değerin x değeri boyunca geniş bir alana yayılmasına neden olacaktır.başka bir deyişle bu ölçü aletinin,ölçüm kalitesinin iyi olmadığını gösterir. Sonuç olarak t 1 anı için en iyi kestirim (3.1) ifadesi ile ; x ˆ = z (3.1) 1 1 ve bu kestirimin varyansı denklem (3.) den ; σ = σ (3.) 1 z1 şeklinde hesaplanabilir. Bu arada t anında σ z standart sapmasına sahip bir ölçüm aleti ile z ölçmesi yapılmış olsun. İkinci ölçüm aletinin standart sapması ilkinden küçük olduğu düşünülsün. Bu durumda z şartına bağlı ve ilkine göre daha dar bir olasılık eğrisi oluşacaktır. Yapılan ikinci ölçme birincisinden daha doğru olduğu için sinyalin büyüklüğünün kestirimi olarak z kabul edilebilir. Fakat her iki ölçmeyi kullanarak z 1 ve zölçmelerine bağlı olarak yeni bir kestirimde bulunabilir. z 1 ve z ölçmelerine bağlı olarak yeni kestirimin matematiksel beklentisi denklem (3.3) gibidir. 11

24 ) ( z z z z z z z z m m x E σ σ σ σ σ σ σ σ σ µ + = = = (3.3) şeklinde hesaplanır. Yeni kestirimin sapması σ, hem 1 z σ den hem de z σ den küçük olacaktır ve bu yeni kestirimin her iki ölçmeden de daha doğru olacağı kesindir. Buna göre yeni kestirim (3.4) ifadesi ile belirlenir. µ = ˆx (3.4) Son iki ifadeyi kullanarak aşağıdaki denklemi yazabiliriz. ) ( ˆ ˆ z z z x z z x z z z z z z z z z + + = = σ σ σ σ σ σ σ σ σ (3.5) 1 1 ˆ z x = olduğu düşünülürse Kalman Filtresinin temel formu aşağıdaki gibi yazılabilir. + = + = ) ˆ ( ˆ ˆ z z z K x m K x x σ σ σ (3.6) Burada K Kalman Filtresi kazancıdır.böylece bir kestirim problemi çözülebilir. Gerçek uygulamalarda ise durum vektörleri dinamik olarak değişen ve daha fazla değişkenlere sahiptir. Durum geçişlerinin ve ölçüm durumlarının doğrusal olduğu bunlarla ilişkili belirsizliklerin gaus dağılımlı olduğu sistemlerde sistemin ölçülemeyen durumlarını tahmin etmek için kalman filtresi kullanılabilir. Durum uzayı modeli ile gösterilen bir dinamik sistemin durumları modelin önceki bilgilerinden tahmin edilebilir

25 k anında kestirim k+1 anındaölçüm k+1 anındaki güncellenen kestirim Şekil 3.: Kalman filtresinde kestirim ölçüm ve güncelleme adımları Kalman filtresi teorik olarak doğrusal gaus problemi olarak bilinen bir tahmin yöntemidir. Gaus problemi beyaz gürültü tarafından bozulan doğrusal dinamik bir sistemin o anki konumunun tahmini problemidir. Beyaz gürültü doğrusal sistemdeki ölçme hatalarındaki düzensizlikleri kapsar. Kalman filtresi doğrudan ölçülemeyen verilerin elde edilmesinide sağlar. İnsanların kontrol edemediği dinamik sistemlerin, örneğin sel sırasında nehirlerin akışı, uzaysal cisimlerin hareketleri gibi gelecekteki konumlarının önceden tahmini içinde kullanılır. Rasgele hatalar içeren dinamik bir sistemin parametrelerinin kestirim işlemi bu filtre belirli zamanlarda alınan ölçümler yardımıyla bilinmeyen durum vektörünün minimum varyanslı en uygun doğrusal kestirimi için yinelemeli bir algoritma oluşturur. Durum kestirimini en küçük karesel hata yöntemi ile sağlamaya çalışılır. Öngörü ve güncelleme olmak üzere iki adımlı bir çevrimdir.kalman filtresi iki modele bağlıdır. X ( k + 1) = AX ( k) + BU ( k) + w( k) (3.7) ( k + 1) + v( 1) Z ( k + 1) = Hx k + (3.8) 13

26 A: Sistemin durum geçiş matrisi X (k) : Sistem durumları w (k) : Sistem gürültüsü u (k) : Kontrol girişi Z (k) : k anında alınan ölçümler H: Ölçüm matrisi v (k) :Ölçüm gürültüsü Denklem (3.7) sistemin fiziksel durumunu ifade eder. Denklem (3.8) sistemin (k+1) ayrık anındaki durumuna bağlı olarak gözlemi temsil eder. A durum geçiş matrisi ve H gözlem matrisi ayrık zaman indeksi k ya bağlı değildir. Bu şekilde ifade edilebilen bir sistem zamanla değişmeyen doğrusal bir sistemdir. Bir sonraki durum ve gözlem öncekinin doğrusal bileşimidir Algoritmanın Aşamaları Kalman filtresi, bir tür geri besleme kullanarak bir işlemin adımlarını tahmin etmektedir. Ffiltre işlem durumunu belli bir zamanda tahmin etmekte ve daha sonra geri beslemeyi gürültülü ölçümler şeklinde elde etmektedir.bu durumda kalman filtresinin denklemleri zaman güncelleştirme denklemleri ve ölçüm güncelleştirme denklemleri olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Zaman güncelleştirme denklemleri sonraki adımında gerekli olan önceden saptanan tahminleri elde etmek için mevcut durum ile hata kovaryans tahminlerinin zaman içerisindeki ileri projeksiyonundan sorumludur. Zaman güncelleştirme denklemleri ileri tahmin denklemleri olarakda algılanabilir. Ölçüm güncelleme denklemleri geri beslemeden sorumludur. Bunlar düzeltici denklemler olarakda düşünülebilir. 14

27 Şekil 3.3: Kalman Filtresinin Döngüsü 1) Öngörü Aşaması Öngörü aşamasında bir kinematik model ile birlikte geçmiş zamandaki konumlama bilgileri temel alınarak bir sonraki ölçüm peryodu için beklenen konum koordinatları ve doğrulukları hesaplanır. Durum kestirimi ve kestirim kovaryansı hesabı elde edilir. ) Güncelleme Aşaması Alınan z ölçüm kümesi ile yenilenme terimi hesaplanır. İnnovasyon kovaryansı, kalman kazancı elde edilerek güncellenmiş durum kestirimi ve güncellenmiş kovaryans matrisi değerleri belirlenir. 15

28 3.3. Kalman Filtresinin Bileşenleri Sistem Modeli Gürültü Süreçleri İçin Yapılan Varsayımlar Sistem modelinde, durum-uzay denkleminde görülen w(k) durum gürültüsü ve gözlem denkleminde görülen v(k) gözlem gürültüsü için yapılan varsayımlar Kalman filtresindeki döngünün kurulabilmesi ve optimal kestirimler elde etmeyi sağlayan varsayımlardır. Gürültü süreçleri w(k) ve v(k) bağımsız sıfır ortalamalı normal dağılım süreçleridir. İstatiksel özellikleri için aşağıdaki denklemler yazılabilir. E[ w( k)] = 0 E[ v( k)] = 0 E[ w( k) v( k)] = 0 (3.9) Gürültü süreçlerinin kovaryans matrisleri olan Q ve R matrisleri köşegensel matrislerdir. Kovaryans matrisleri gürültüde mevcut olan gücü temsil ederler. Ayrıca denklem ifade edildiği üzere durum gürültüsü ve gözlem gürültüsü arasında herhangi bir ilişki mevcut değildir Kalman Filtresinde Optimallik Ölçütü Belirli koşullar altında bir maliyet işlevini minimize eden veya bir performans işlevini maksimize eden herhangi bir sistem optimaldir. Kalman filtresinde kestirim hatalarına bağlı bir maliyet işlevi minimize edilerek bayassız kestirimler üretilir. Bayassız bir kestirim hatasının beklenen değeri sıfır olan bir kestirimdir. Bu da optimal bir filtrede aranan özelliktir. Kestirim hatalarını aşağıdaki denklemlerle ifade ederiz. ~ X ( k + 1/ k) = X ( k + 1) Xˆ ( k + 1/ k) (3.10) ~ X ( k + 1/ k + 1) = X ( k + 1) Xˆ ( k + 1/ k + 1) (3.11) son denklemde Kalman filtresindeki kestirim güncelleştirme işlemi esnasında oluşan hata temsil edilir. Kalman filtresinde minimize edilecek hata işlevi güncelleştirilmiş kestirimlerdeki hata işlevidir. Bu güncelleştirme denklemde görülmektedir. ( k + 1) + W ( k + 1) v( 1) x ˆ ( k + 1/ k + 1) = xˆ k + (3.1) v ( k + 1) = [ z( k + 1) H.ˆ( x k + 1/ k)] (3.13) 16

29 zk = H. xˆ( k + 1) (3.14) Denklem (3.1) de görülen W Kalman kazancı nıtemsil eder. Kestirimin güncellenmesi için kazanç değerleri belirlenmelidir. Kalman kazancı güncelleştirilmiş kestirim hatası kovaryansını minimize eden değerdir. [ ~ T W : min { ( 1) ( 1/ 1). ~ K J k + = E x k + k + x( k + 1/ k + 1)]} (3.15) Denklem (3.15) de yinelemeli Kalman döngüsünün optimal kestirimler üretmesini sağlayan maliyet işlevi ele alınmaktadır Hata Kovaryansları Hata kovaryanslaru kestirim hatasının beklenen büyüklüğü konusunda bilgi taşır. Hata kovaryans matrisleri (3.16) ve (3.17) denklemleri gibi yazılabilir. [ ~ T. ~ T P ( k + 1/ k) = E x( k + 1/ k) x( k + 1/ k) ] (3.16) [ ~ 1). ~ T P ( k + 1/ k + 1) = E x( k + 1/ k + x( k + 1/ k + 1) ] (3.17) Son denklemde görülen hata kovaryans matrisi kestirim güncelleştirmesi sonucunda oluşan hatanın kovaryansını temsil eder İnnovasyon Terimi Yenilenme gözlem ve gözlemin beklenen değeri arasındaki farktır. Artık veya rezidü olarakda adlandırılabilir. v ( k + 1) = z( k + 1) E[ z( k + 1)] (3.18) Kalman filtresinde yenilenme kovaryansı denklem (3.19) ile temsil edilir. ( 1) T S( k + 1) = HP( k + 1/ k) H + R k + (3.19) Yenilenme değerinin kovaryansı Kalman kazanç matrisinin hesabında kullanılır Kalman Kazançları Kalman maliyet işlevini minimize eden değerler kazanç değerleridir. Kalman maliyet işlevi hata kovaryansları cinsinden aşagıdaki gibi ifade edilebilir. 17

30 W : min K { J ( k + 1) = tracep( k + 1/ k + 1)} (3.0) Denklem bize güncelleştirilmiş hata vektörünün izinin minimize edilmesi gerektiğini söyler. Bunu yapmak için J(k+1) in K kazanç değişkenine göre kısmi türevini alarak sıfıra eşitlemek gerekir. Türev alma işlemi sonucunda ortaya çıkan denklemin çözümü ile K kazancının optimal değeri elde edilebilir. W ( k + 1) = P T 1 ( k + 1/ k) H S ( k + 1) (3.1) Denklem incelendiğinde kazanç değerinin ayrık zamanın bir işlevi olduğu görülebilir Kalman Denklemlerinin İncelenmesi Kalman denklemleri yinelemeli yapıdadır. Kalman filtresi kestirimin ayrıntılı bir hata analizini yaparak her bir yinelemede optimal kazanç değeri hesaplar. Kalman döngüsünün başlatılması için bir başlangıç kestirimine ˆx (0/ 0) ve başlangıç hata kovaryans matrisine P(0/0) gerek duyulur. Kalman filtresinin optimal kestirimler yapabilmesi için başlatma (initialization) işleminin dikkatli yapılması gerekir. Kalman denklemleri Tablo 3.1 de toplu olarak sunulmaktadır 18

31 Tablo: 3.1: Kalman Filtresi Denklemleri 1. Başlangıç kestiriminin girilmesi be başlangıç hata kovaryansının hesaplanması x ˆ(0 / 0), P(0 / 0). Kestirimin İletimi xˆ ( k + 1/ k) = Axk ˆ + Buk ˆ 3. Yenilenme teriminin hesaplanması ( k + 1) Hxˆ ( k 1 k) v ( k + 1) = z + / 4. Hata kovaryansının iletimi T T P ( k + 1/ k) = APk A + BU k B + Q k 5. Yenilenme kovaryansının bulunması ( 1) T S( k + 1) = HP( k + 1/ k) H + R k + 6. Kalman kazancının hesaplanması W ( k + 1) = P T 1 ( k + 1/ k) H S ( k + 1) 7. Güncelleştirlimiş kestirimin elde edilmesi ( k + 1) + W ( k + 1) v( 1) x ˆ ( k + 1/ k + 1) = xˆ k + 8. Hata kovaryansının güncelleştirilmesi T ( k + 1/ k) W ( k + 1) S( k + 1) W ( 1) P( k + 1/ k + 1) = P k + 19

32 Kalman denklemlerinin ifade ettiği yinelemeli yapıyı özetleyelim. Kalman filtresi sistem durumu için yapılan ilk kestirimle başlatılır. Bu kestirimi ve yapılan gözlemi kullanarak tahmini kestirim üretir. Bu amaçla kestirim hata kovaryansına dayanan bir kazanç matrisi hesaplar.kalman kazanç matrisi başlangıç bilgisi ve yapılan gözlem arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Kalman kazancı hesaplandıktan sonra yapılan gözlem ve gözlemin beklenen değeri arasındaki fark kazançla çarpılır. Elde edilen değerler tahmini yapılan durum kestirimine eklenerek güncelleştirme sağlanır Kalman Filtresi Sonuçları Durum kovaryans matrisi kestirimin doğruluğu hakkında bilgi veren bir ölçü olup veri ilişkilendirme sırasında pencereleme için gerekli bir parametredir. İlk adımda yapılan tahminler ne kadar doğru olursa P kovaryansının değeri o kadar küçük olur. Tahmin ne kadar hatalı ise innovasyon kovaryansı o kadar büyük buna bağlı olarak filtre kazancıda büyük olacaktır.bu dağılım zamanla aşamaları ile yayılır. öngörü-ölçüm-güncelleme Kalman filtreleme modeli, rasgele hatalar içeren dinamik bir sisteme uygulanan en uygun parametre kestirim işlemidir ve belirli zamanlarda elde edilen ölçüler yardımıyla bilinmeyen x k durum vektörünün minimum varyanslı en uygun doğrusal kestirimi için yinelemeli bir algoritma oluşturur. Kalman filtreleme yöntemi öngörü ve güncelleme aşamalarından oluşmaktadır. Bir kinematik model ile birlikte geçmiş zamandaki konumlama bilgilerini temel alan öngörü adımında bir sonraki ölçüm peryodu için beklenen konum koordinatları ve doğrulukları hesaplanır. Filtreleme adımı, klasik en küçük kareler yönteminin uygulanmasıdır. Yapılan en son ölçme peryodu ile birlikte tüm ölçülerin yeniden işlendiği güncelleme adımı gerçekleştirilir. 3.4 Genişletilmiş Kalman Filtresi Gerçek sistemlerin çoğu doğrusal değildir ve bu sistemlerin durumlarını tam olarak kestirmemiz hata belirleme ve kontrol uygulamaları için önem taşımaktadır. Bu durumlarda Kalman Filtresi yetersiz kalır. Her ne kadar doğrusal olmama bir problem olsada Kalman Filtresinde yapılacak bir tadilat ile bu sorun aşılabilir. Tüm sistem denklemleri doğrusal ise bilinen kalman denklemleri ile çözümler yapılabilmekteydi. Sistem doğrusal olmadığında bu niceliklere yaklaşık 0

33 değerlendirme metodlarının uygulanması gereklidir. Bu nedenle Kalman Filtresinin doğrusal olmayan sistemlere uygulanması ortalama ve kovaryans kestirimlerine doğrusallaştırma için bazı dönüşümlerin uygulanmasıdır. [Bailey, T.,00] Ortalama ve kovaryans lineer olarak dönüşebilir niceliklerdir.bir hata dağılımının ortalaması xˆ ve kovaryansı Σ x ise lineer dönüşüm T gerçekleştirildikten sonra ortalama ve kovaryans Tˆ x ve kovaryans T Σ biçimleriyle belirlenir. Bunun anlamı ortalama ve kovaryans kestirimleri doğrusal veya yarı doğrusal bir T T x dönüşümle ilişkilendirilerek verimli bir şekilde sağlanabilir Bu şekilde sistem ve ölçüm modellerinde doğrusal olmayan durumlar varsa Genişletilmiş Kalman Filtresi kullanılır. Doğrusal olamayan sistem ve ölçüm modeli aşagıdaki (3.) ve (3.3) denklemleri ile temsil edilebilir. x(k + 1) = F(xk, uk) + w(k) (3.) z(k) = H(x(k)) + v(k + 1) (3.3) F(xk,uk) doğrusal olmayan durum geçiş fonksiyonu ve H(x(k)) doğrusal olmayan ölçüm fonksiyonudur. w(k) ve v(k+1) Kalman Filtresinde olduğu gibi bağımsız ve sıfır ortalamalı sistem ve ölçüm gürültüleridir. Denklem ve deki doğrusal olmayan modeller ve gürültüler nedeniyle sistemin o andaki durumu tam olarak bilmek olanaksızdır. Bu nedenle gürültülerden yararlanarak sistem durumunu kestirmek gerekir Gözlem ve sistem modelinin doğrusallaştırılması Sistem durumunun belirlenmesi için öncelikle durum vektörüyle gözlem matrisi arasında doğrusal bir ilişki kurmak gerekir. Bu amaçla doğrusal olamayan sistemlerde doğrusallaştırma işlemine başvurulur. Bu doğrusallaştırmalar sonucunda doğrusal olmayan modellere iyi bir yaklaşıklık elde edilmelidir. Bu amaçla doğrusallaştırma işleminde Taylor yaklaşımından yararlanılır. Taylor yönteminde gürültüsüz gözlem ve sistem modeli en iyi kestirim civarında güç serisine açılır, birinci dereceden terimler korunarak diğer terimler atılır. Bu terimlerin etkisi hesaba katılmaz. 1

34 Bir işlevi güç serisine açabilmek için o işlevin açılım bölgesinde her dereceden türevin alınabilmesi gereklidir. Bu ölçüte uyan bir f(x) işlevini bie a noktasında aşağıdaki gibi seriye açabiliriz. f ˆ 1 ( x) = ) N N n n f ( x) ( x a n 0 n! (3.4) = x= a Doğrusallaştırma sürecinde çevresinde doğrusallaştırma yapılacak nokta kritik noktadır. Elde edilen doğrusallaştırılmış gözlem modeli eşitlik ˆ H ( x( k + 1)) = H ( xˆ( k + 1/ k) + H ( xˆ( k + 1))[ x( k + 1) xˆ( k + 1/ k)] (3.5) x( k + 1) ˆ H ( x( k + 1)) = H ( xˆ( k + 1/ k) + H ( xˆ( k + 1)) ~ x( k + 1/ k) (3.6) x( k + 1) EKF çözümler için 1.dereceden Taylor serisi açılımı yardımıyla en iyi kestirim yani çalışma noktası civarında hareket ve sensör modelini denklem (3.7) ve (3.8) uyarınca lineerleştirir ve Kalman Filtresine ait algoritma bu şekilde uygulanır. f xk f uk = = f x k f u k ( xˆ k ( xˆ k, uˆ k, uˆ k ) ) (3.7) h hx( k + 1) = ( 3.8) x( k + 1) xˆ( k+ 1/ k) 3.4. Algoritmanın aşamaları Öngörü aşamasında gerçekleşen durum öngörüsü işlemi ve bu öngörüye ait belirsizliği ifade eden öngörü kovaryansı denklem (3.9) ile verilmiştir. x ˆ( k + 1/ k) = f ( xk ˆ, uˆ k) (3.9)

35 Öngörü kovaryansı T T P( k + 1/ k) = fxkpk fxk + fukuk fuk + Qk (3.30) fxk, F in ( x ˆk, uˆ k) n oktasında x e göre kısmi türevidir. fuk, F in ( x ˆk, uˆ k) noktasında u ya göre kısmi türevidir ( x ˆk, uˆ k) noktasında lineerleştirilmiş hareket modeli denklem ve x ˆ( k+ 1/ k) noktasında lineerleştirilmiş ölçüm modeli (3.3), (3.33), (3.34) denklemleri ile durum vektoründeki hatanın kovaryansının, filtre kazancının ve innovasyon kovaryansının hesaplanmasında kullanılırlar Güncelleme aşamasında elde edilen ölçümler ve kestirilmiş ölçüm değerleri arasındaki innovasyon adı verilen hata değeri (3.31) denkleminden hesaplanır. ( k + 1) Hxˆ ( k 1 k ) v ( k + 1) = z + / (3.31) SLAM kovaryans matrisinde durum hatasının kovaryansı: T T P( k + 1/ k) = fxkpk fxk + fukuk fuk + Qk (3.3) İnnovasyon kovaryansı: T S( k + 1) = hx( k + 1) P( k + 1/ k) h x( k + 1) + Rk (3.33) Filtre kazancı: W ( k + 1) = P T 1 ( k + 1/ k) h ( xk + 1) S ( k + 1) (3.34) EKF de h ve f fonksiyonlarının yaklaşık doğrusal olduğunu kabul edilir. Bu nedenle doğrusallaştırılmış dönüşümler gerçek kovaryans dönüşümlerine yaklaşıktır. Doğrusallaştırma işlemi jakobiyen matrisleri varsa uygulanabilir. Fakat bu her zaman geçerli değildir.bazı sistemlerin süreksizlikleri bazılarınında tekillikleri vardır. Jakobyen matrislerinin hesabı oldukça zordur ve hata eğilimli bir süreçtir 3

36 3.4.3 Genişletilmiş Kalman Süzgecinde Gürültü Genişletilmiş Kalman Süzgeci nde gözlem gürültüsü v(k) ile durum gürültüsü w(k) toplamsal beyaz Gaus gürültü süreciyle modellenir. Gaus dağılımı diğer adıyla normal dağılım birçok sürecin modellenemesinde etkin olarak kullanılmaktadır. Normal dağılım olasılık yoğunluk işlevi matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. ( x µ ) 1 σ ( x ) = e P (3.35) πσ Denklemde etmektedir. x rasgele değişkeni, µ ortalama değeri σ de varyansı temsil 4

37 Tablo 3.: Genişletilmiş Kalman Filtresi Hesap Aşamaları 1. Başlangıç kestiriminin girilmesi be başlangıç hata kovaryansının hesaplanması x ˆ(0 / 0), P(0 / 0). Kestirimin İletimi x ˆ( k + 1/ k) = F( xˆ( k / k)) 3. Yenilenme teriminin hesaplanması ( k + 1) Hxˆ ( k 1 k) v ( k + 1) = z + / 4. Doğrusallaştırılmış sistem ve gözlem matrisinin hesaplanması f xk f = x k ( xˆ, uˆ ) k k h hx( k + 1) = x( k + 1) xˆ( k+ 1/ k) 5. Hata kovaryansının iletimi P( k + 1/ k) = fxkpk fxk T + fukuk fuk T + Qk 6. Yenilenme kovaryansının bulunması T S( k + 1) = hx( k + 1) P( k + 1/ k) h x( k + 1) + Rk 7.Kalman kazancının elde edilmesi W ( k + 1) = P T 1 ( k + 1/ k) h ( xk + 1) S ( k + 1) 7. Güncelleştirlimiş kestirimin elde edilmesi ( k + 1) + W ( k + 1) v( 1) x ˆ ( k + 1/ k + 1) = xˆ k + 8.Hata kovaryansının güncelleştirilmesi T ( k + 1/ k ) W ( k + 1) S( k + 1) W ( 1) P( k + 1/ k + 1) = P k + 5

38 3.4.4 Genişletilmiş Kalman Filtresinde Optimallik Kalman filtresi için doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler için kullanımından bahsederken optimal kestirimler ürettiğinden bahsetmiştik. Genişletilmiş Kalman Filtresi için aynı şeyler söylenemez. Genişletilmiş Kalman Filtresi altoptimal bir süzgeç olarak bilinir. Bunun nedenide tahmin edileceği üzere doğrusallaştırma ve başlatma hatalarıdır. [Simon, D.,006] Hata kovaryansları hesabı T T P( k + 1/ k) = fxkpk fxk + fukuk fuk + Qk (3.36) Yenilenme terimi hesabı Artık gözlem ve gözlemin beklenen değeri arasındaki farktır. v ( k + 1) = z( k + 1) E[ z( k + 1)] (3.37) ( k + 1) Hxˆ ( k 1 k) v ( k + 1) = z + / (3.38) 3.5 Dağılımlı Kalman Filtresi Dağılımlı Kalman Filtresi doğrusal olmayan sistemlerde Genişletilmiş Kalman Filtresi yerine uygulanabilecek alternatif bir yöntemdir. DKF, GKF deki doğrusallaştırmadan dolayı oluşan kararsızlıklar, jakobiyan matrislerinin getirdiği işlem yükü ve kestirimlerdeki hatalar gibi olumsuzluklarını gidermek için önerilmiştir. Bu filtre aynı zamanda SPKF(Sigma Point Kalman Filter) olarakda karşımıza çıkmaktadır. DKF nin temel avantajı durum öngörülerinin ve kovaryanslarının hesaplanmasında lineerleştirmeye ihtiyaç duymamasıdır. Türevden bağımsız bir kalman tekniğidir ve belirsizlikleri gerçeğe daha yakın hesaplar. [Wan,E ve Merwe, R.,000] DKF de öngörü işlemi durum dağılımını deterministik bir şekilde örnekleyerek ve daha sonra her bir örneklemi nonlineer durum geçiş denklemi kullanarak dönüştürür. GKF ile arasındaki temel fark bu aşamadadır. Güncelleme adımları her iki filtredede aynı şekilde gerçekleşir. DKF doğrusal ve gauss dağılımlı olmayan modellerde uygundur. [Julier, S. ve Uhlmann, J.K.,004] 6

39 Bu filtrenin temel bileşeni olasılık dağılımını parametreleri olan ortalama ve kovaryansı temsil etmek üzere seçilmiş ağırlıklı noktaları kullanan unscented dönüşümüdür Dağılım Dönüşümü Dağılımın Dönüşümü (UT) doğrusallaştırmadaki kayıpları azaltmak, ortalama ve kovaryans bilgilerinin dönüşümü için daha direk ve kesin mekanizmalar sağlayarak düzeltmek için geliştirilmiştir. Rasgele değişken x e ait olasılık dağılımından ortalaması xˆ, kovaryansida P olmak üzere bu rasgele değişkene ait fonksiyonu istatistik olarak hesaplamak için fonksiyon n+1 nokta ile deterministik olarak örneklenir. n+1 adet ağırlıklı örneklemden oluşan noktalar kümesi yani sigma noktaları Si={Wİ,İ} oluşturulur. Böylece dağılım hakkındaki yüksek dereceden bilgi sabit ve az sayıda nokta ile elde edilmiş olur. Buradaki sigma noktaları rasgele sürülmemişler, deterministik olarak seçilmişlerdir. Sigma noktaları ağırlıklandırılabilirler ve bu katsayılar [0,1] arasında olmak zorunda değildirler pozitif veya negatif olabilirler Bu nedenle bazı ortalama ve kovaryans gibi bazı istatistik özellikler gösterebilirler. Bu seçilen noktalara doğrusal olmayan fonksiyonun uygulanması sonucunda dönüştürülmüş bir noktalar kümesi oluşur. Dönüştürülmüş noktaların istatistikleri nonlineer olarak dönüştürülmüş noktaların ortalama ve kovaryansını bulmak için hesaplanabilir Çok yüksek dereceden doğrusal olmayan sistemlerde yapılacak doğrusallaştırma işlemleri tutarsız belirsizlik kestirimlerine yol açabilir. Bu nedenle EKF yerine unscented transform metodu uygulanması daha doğru sonuçlar sağlayabilir. Doğrusal olmayan sistem hareket denklemi ve ölçüm denklemi eşitlik (3.40) ve (3.41) de belirtilmiştir. x(k + 1) = F(xk, uk) + w(k) (3.39) z(k) = H(x(k)) + v(k + 1) (3.40) 7

40 3.5. Sigma noktalarının seçilmesi ve ağırlıklarının hesaplanması χ ( k / k) xˆ( k / ) (3.41) 0 k W κ /( n + ) (3.4) 0 κ Eşitlik (3.41) ve (3.4) de ilk seçilen sigma noktası ve buna ilişkin ağırlık hesabı verilmiştir. χ ( k / k) xˆ( k / k) + ( ( n + κ)( P( k / k) + Q) ) (3.43) i i W i 1/(( n + κ)) (3.44) 1 den n e kadar seçilen sigma noktaları ve ağırlıkları yukarıdaki eşitlik (3.43) ve (3.44) ile belirlenmektedir. n den n e kadar olanların hesabıda aşagıda (3.45) ve (3.46) ile verilmiştir.bu şekilde sigma noktaları xˆ ( k / k) kestiriminin sağında ve solunda oluşturularak dağılımı temsil etmektedirler. Ayrıca süreksizlik içeren bir fonksiyon için süreksizlik noktasının sağında ve solunda bu dönüşüm uygulanarak Kalman denklemlerinin böyle bir durum içinde uygulanması bu yöntemle sağlanabilir. χ ( k ˆ( )( P( k / k) + Q) ) (3.45) i+ n / k) x k / k) ( ( n + κ i W n i + 1/(( n + κ)) (3.46) n:rasgele değişkenin boyutu κ :ölçeklendirme parametresidir. i: 1 n Bu koşullar uyan bir noktalar kümesi. Kovaryans sınırında bulunan n noktadan oluşan simetrik bir küme içerir. 8

41 Sigma noktalarının dönüştürülmesi 1)Oluşturulan noktalar doğrusal olmayan fonksiyon aracılığıyla denklem (3.47) ile dönüştürülür. χ ( k + 1/ k) = f ( χ ( k / k), u( k)) (3.47) i i )Bu noktaların durum kestirimleri denklem (3.48) ile hesaplanır.(örneklem ortalaması) n xˆ( k + 1/ k) = Wi χ i ( k + 1/ k) (3.48) i= 0 3)Tahmini kovaryans fark çarpımlarının ağırlıklandırılması şeklinde (3.49) ifadesinden elde edilir. n ( k + 1/ k) = Wi[ χ i ( k + 1/ k) xˆ k+ 1/ k ].[ χ i ( k + 1/ k) xˆ( k + 1/ k T (3.49) i= 0 P )] Yenilenme terimi,kalman kazanç hesabı işlemleri GKF ile aynıdır. Dağılım Dönüşümünün Özellikleri 1)Algoritma sınırlı sayıda sigma noktası ile çalışır. ) Algoritma sürekli olmayan dönüşümlerde kullanılabilir. Süreksizliğin iki yanında hesaplama yaparak kestirimde süreksizliğin etkisini yaklaşık hesaplayabilir. GKF ve DKF Karşılaştırması GKF sadece güncellenmiş ortalama ve kovaryansın 1. dereceden doğrulukla ve tüm yüksek dereceden terimlerin ihmali ile hesaplar. Burada birinci dereceden yüksek mertebedeki terimlerin ihmali nedeniyle bazı kayıplar olmaktadır. Dağılım dönüşümü kullanılarak DKF de ortalama ve varyansı.dereceden hesaplanmaktadır 9

42 Şekil 3.3 : GKF de doğrusallaştırma işlemi Şekil 3.4: DKF de sigma noktaları ile dönüşüm 30

43 4. MOBİL ROBOTLARDA EŞ ZAMANLI LOKALİZASYON VE HARİTALAMA (SLAM) Eş zamanlı lokalizasyon ve haritalama algoritması olan SLAM algoritması bir mobil robotun bilinmeyen bir ortamda çevresi hakkında bir harita oluşturması ve bu haritada konumunu bulmasıdır.bu işlem sırasında Ortam yapılarının sensörlerle ölçülerek haritada saklanması Haritada saklanmış landmark konumlarının robot konum kestirimi ile ilişkili hesaplanması Ortamdaki yapıların robot konum kestirimlerinin iyileştirilmesi için kullanımı gerçekleşir. Şekil 4.1: Otonom robotun ortamdaki hareketi ve ölçümler yapması 4.1 Otonom Lokalizasyon Tarihi Mobil robot lokalizasyonunun temeli 1950 lerde fabrikalarda yere gömülü(buried) iletkenleri izleyen araçların kullanımı ile başlamıştır.1970 lerde AGV ler(autonomous guided vehicles) zemindeki çizgileri izleyerek navigasyon sağlamaktaydı. Buradaki navigasyon sabit yörünge ile sınırlıydı. Bu çalışmalar daha esnek navigasyon stratejilerinin kurulmasına basamak oldu ve ilk defa yapay parıldakların (beacon) 31

44 kullanılmasıyla yapılan konum kestirimi ile daha esnek bir navigasyona adım atıldı. Bu yöntemde aktif parıldak olarak kızılötesi veya ultrasonik transdüserler, pasif parıldak olarakda radar trihedral veya retroreflective işaretleyiciler(marker) kullanılmıştır. Bunlar sayesinde mobil robotun bilinen parıldak konumlarına göre lokalizasyonu sağlanmıştır. Burada robot engellerden kaçarak adaptif yörüngeler oluşturabilmekteydi. [Thrun,S. ve Burgard, W.,005] Fakat bu yöntemde özelleştirilmiş kızılötesi yapıların bulunmasını gerektiriyordu. Daha sonraları bu özel kızılötesi yapılar yerine ortamda bulunan doğal yapılarda navigasyon amacıyla kullanılabileceği düsüncesi gelişti. Robot yapacağı ortamla ilgili ölçümleri kendi konumunu belirlemek için saklar. Bu yöntemde veri ilişkilendirme problemi ortaya çıkmıştır. Bu sorun ortamdan ölçülen featureların haritada bulunan mevcut yapılardan uygun olanlar ile ilişkilendirilmesidir. 4. SLAM probleminin gecmişi ve ilgili kavramlar SLAM, bir mobil robotun bilinmeyen bir ortamın haritasını olusturmasını ve bu haritada kendi yerini tespit etmesi problemidir.slam iç mekan,dış mekan,su altı ve hava sistemlerinde uygulanabilir bir algoritmadır. Olasılıksal SLAM problemi 1986 da IEEE Robotics konferansında ele alınmıstır. Bu donemde olasılıksal yöntemler yapay zeka ve robotik alanında kullanılmasına yeni başlanmıştı. Bir cok arastırmaci Kestirim Teorisi Yontemini haritalama ve lokalizasyon problemine uygulamak istiyordu. Yapılan gorusmelerin sonucu olasılıksal haritalamanın robotik alanında çözülmesi gereken temel bir problem olduğu anlasıldı. Smith-Cheeseman ve Duran- Whytenin yaptığı calışmalarda geometrik belirsizlik ve ortam yapıları arasındaki ilişkiyi ifade eden istatiksel bir temel olusturuldu. 99 da uluslararası robotik arastırmaları sempozyumunda Kalman Filtresi tabanlı SLAM ile olasılıksal lokalizasyon ve haritalama metodları arasındaki yakınsama derecesi Thrun tarafından tanıtıldı Bu calışmanın temeli farklı yapıların konum kestirimleri ile haritadaki arasında yüksek derecede korelasyon bulunmali ve bu korelasyon arka arkaya yapılan gozlemlerle artmalıdır. [Durrantwhyte,H. ve Bailey,T,,006] İlk SLAM algoritması belirsizliğin kesin bir şekilde ifade edildiği olasılıksal(stokastik) slam algoritması olarak tanımlanmıştır. Belirsizlik değerinden haritanın yakınsama dereceside çıkarılabilir. Bu yöntem küçük ölçekli iç ortam uygulamalarında lazer ve sonar sensörlerde yapılan deneylerde olumlu sonuçlar vermiştir. N adet gözlenen 3

45 yapının bulunduğu bir ortamda haritalama için gerekli hesaplamalar 0( n ) derecedendir. Bir mobil robot bilinmeyen bir ortamda cevre ölçümleri yaparken ortamdaki yapıların konum kestirimleri birbiriyle ilişkilidir. Bu ilişki korelasyon olarak tanımlanır. Birleştirilmiş lokalizasyon ve haritalama yontemine tam tutarlı bir çözüm araç konumunu ve landmarklara ait konum bilgilerini içeren ortak bir durum vektöründe saklanması ve bu ortak durum vektörünün ortamdaki yapılara ait alınan her olcumunu takiben güncellenmesi ile sağlanabilir. Bu süreç ise kestiricinin cok buyuk bir durum vektoru ile işlem yapmasını gerektirmektedir..4.3 SLAM Probleminin Bileşenleri Navigasyon işlemi denizde ve havada rota, karada ise güzergah belirleme ve yön bulma gibi çokfarklı uygulama alanında bir gereklilik olarak kendini göstermektedir. Bu sebeple uygulama alanlarına göre uçak, gemi, araba (araç) navigasyonu ya da kişisel navigasyon gibi çeşitli isimler almaktadır. Her ne kadar söz konusu navigasyon yöntemleri, amaç ve uygulama ortamına bağlı olarak ortaya çıkan kısıtlamalar sebebiyle önemli farklılıklar içerse de yol bulma isteği tüm buyöntemlerin temelini oluşturmaktadır. Bu kapsamda araç navigasyonunun temel amacı, araç kullanıcısının özellikle yabancı bir ortamda yapacağı hareketlerin, bir sistem dahilinde, gerekli yönlendirmeler yapılarak desteklenmesidir. Burada sözü edilen ortam yol ağlarıdır. Navigasyon, hangi uygulama alanında kullanılırsa kullanılsın temel bazı gereksinimleri olan birişlemdir. Bu gereksinimler; İşlem başlangıç noktasının konumu, Aracın anlık konumu, Varış noktasının konumu, İşlem sırasında kullanılacak yöntem ve Kullanılacak yönteme göre yapılacak hesaplar şeklinde belirlenmiştir. SLAM probleminde robota belirle yol noktaları sağlanarak bir görev verilmektedir. Böylece robot tamamen bağımsız bir dolaşım yapmamaktadır. Bu şekilde ortam kısmen bilinmekte fakat tamamen bilinmemektedir. Robotun görevi kısmen bilinen bir ortamın güvenlik, keşif veya tespit amacıyla incelenmesi ve araştırılması olabilir. 33

46 4.3.1 Lokalizasyon Robotun zaman içinde ortamdaki hareket ederek cevredeki yapılara ait ölçümler yapması, çevresini algıması ve aynı esnada ben neredeyim sorusunu cevaplamaya çalışmasıdır. Şekil 4. de bu süreç ifade edilmiştir. Robot * Yapılar Şekil 4.: Robotun ortamdaki hareketi, uygulanan kontrol ve ortam yapıları Haritalama Problemi Robot kısmen bildiği ortamda hareket ederken ve ölçümler yaparken nasıl bir yerdeyim, şu an çevremde tam olarak neler var sorusuna cevap bulmaya çalışmaktadır. Bu aşamada elde ettiği ölçümlerden çıkarımlar yapacak ve çevresindeki yapıların konumlarına ait kestirimlerde bulunacaktır. Şekil 4.3 de otonom robotun ortamda seyri ve seyir esnasında ölçümlerle ve o andaki konumu ile ilişkili olarak cevresinde bulunan yapılara atadığı belirsizlik elipsleri ve konum kestirimleri görülmektedir. 34

47 Şekil 4.3: Haritalama işlemi 4.4 SLAM PROBLEMİ Lokalizasyon ve haritalama işlemlerinin eş zamanlı olarak yürütülmesi SLAM problemi ile gerçekleştirilebilmektedir. Şekil 4.4bu birleşimin SLAM işlemini oluşturmasını göstermektedir. Şekil 4.4: SLAM 35