Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde Sokrates ölümlüdür.

Transkript

1 Kanıtlama Nedir? Mantık kanıtlamaları inceler. Bir kanıtlama bir dizi cümleden oluşur öyle ki bu cümlelerin bir tanesi sonuç olarak, diğerleri de bu sonucu kanıtlayan öncüller olarak veya hiç değilse bu sonuç için birer gerekçe olarak ileri sürülürler. İki basit örnek: Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O halde Sokrates ölümlüdür. Elvan okula gelmemişti, dolayısıyla çantanı o çalmış olamaz. Birinci örnekte ilk iki cümle Sokrates in ölümlü olduğu şeklindeki sonucu ispatlamak için ileri sürülmüşlerdir. İkinci örnekte ise Elvan ın okula gelmemiş olması onun çantayı çalmış olamayacağına gerekçe olarak ileri sürülmüştür. Birinci örnekte bir kesin kanıtlama veya ispatlama iddiası varken, ikinci örnekte bir kesin kanıtlama veya ispatlama iddiası değil, sonuç için bir sebep veya gerekçe sunma vardır, dolayısıyla zayıf bir kanıtlamadır. Bir kanıtlamadaki öncüller ve sonuç daima birer önermedir; soru, emir, rica veya ünlem olamaz. Bir önerme doğru veya yanlış olabilen bir öne sürümdür ve genellikle bir bildiri cümlesi ile ifade edilir. Bazı örnekler: Köpekler uçamaz. Yaşar Kemal İnce Memed in yazarıdır. Brüksel ya Hollanda da veya Belçika dadır. Kar kırmızıdır. Benim kardeşim bir böcekbilimci. İlk üç cümle birer olgusal doğru olan ifadelerdir. Dördüncüsü yanlıştır. Beşincisi ise duruma, koşullara ve söyleyene bağlı olarak doğru veya yanlış olabilen bir cümledir. Buna karşılık şu örnekler birer öne sürüm değildir: İnce Memed in yazarı kimdir? Lütfen saat onbirden sonra arama. Hadi gelsene! 1.1 Aşağıdaki hangileri bir kanıtlamadır. Kanıtlama olanların öncül ve sonuçlarını saptayınız. (a) Ağustos un ilk haftasında doğduğu için o bir Aslan burcu. (b) Ekonomi nasıl gelişiyor olabilir? Ticaret açığı her geçen gün artıyor. 1

2 (c) Şimdi yatamam anne. Film daha bitmedi. (d) Bina çürümeye terk edilmiş bir mahallede pejmürde, her tarafını kurum kaplamış kahverengi taştan bir evdi. Telaş içinde kaçışan farelerin sesi boş, karanlık dehlizlerde yankılandı. (e) Senin kadar yetenekli olan herkes yüksek öğrenim görmeli. Üniversite oku! (f) Düşman sayı ve silah bakımından bizden çok üstündü ve onların taburları sürekli güçlendirilirken bizim kuvvetlerimiz giderek küçülüyordu. Bunun için cepheden bir saldırı intihar demek olurdu. (g) Nefes alıyordu ve demek ki yaşıyordu. (h) Burada bu belgeyi anlayan birisi var mı? (i) Pek çok Amerikalı ülkelerinin kara mayınlarının kullanımına ilişkin uluslararası beyannameyi destekleyip desteklemediğini bilmiyor. (j) ABC üçgeni eşkenar üçgendir. Bu yüzden iç açılarının her biri 60 derecedir. (a) Öncül: O Ağustos un ilk haftasında doğdu. Sonuç: O bir Aslan burcu. (b) Teknik olarak bu bir kanıtlama değildir çünkü ilk cümle bir sorudur. Bununla beraber bu soru hitabete ilişkin niyetlerle dillendirilmiştir ve bu durumda buradaki kanıtlama şöylece saptanabilir: Öncül: Ticaret açığı her geçen gün artıyor. Sonuç: Ekonomi gelişiyor olamaz. (c) Öncül: Film daha bitmedi. Sonuç: Şimdi yatamam. (d) Bu bir kanıtlama değil. Burada bir sonucu destekleyecek kanıtların ileri sürülmesi niyeti yoktur ve herhangi bir şey kanıtlanmaya çalışılmıyor. (e) Bir kanıtlama değil çünkü Üniversite oku! ifadesi bir emir veya tavsiyeyi dile getiriyor. Yine de buradaki niyetin bir yorumu yapılarak şöyle bir kanıtlamanın söz konusu olduğu söylenebilir: Öncül: Senin kadar yetenekli olan herkes yüksek öğrenim görmeli. Sonuç: Üniversite okumalısın. (f) Öncül: Düşman sayı ve silah bakımından bizden çok üstündü. Öncül: Onların taburları sürekli güçlendirilirken bizim kuvvetlerimiz giderek küçülüyordu. Sonuç: Cepheden bir saldırı intihar demek olurdu. (g) Dilbilgisi bakımından tek bir cümle olsa da burada iki ayrı yargı içerilmektedir ve aşağıdaki biçimde bir kanıtlama söz konusudur: Öncül: Nefes alıyordu. Sonuç: Yaşıyordu. (h) Kanıtlama değil. (i) Kanıtlama değil (j) Öncül: ABC üçgeni eşkenar üçgendir. Sonuç: Bu üçgenin iç açılarının her biri 60 derecedir. 2

3 Öncüller sonucu kanıtlamak için öne sürülmüş olsalar da sonucu gerçekten kanıtlıyor olmayabilirler. Dolayısıyla iyi kanıtlamalar olabildiği gibi kötü kanıtlamalar da vardır. Örneğin (c) deki örnekte verilen kanıtlama pek ikna edici değildir ama yine de bir kanıtlama olarak sınıflandırılır. Mantığın amacı iyi kanıtlamaları kötü olanlardan kesin şekilde ayırmaya yarayacak yöntemleri ve teknikleri bulmak ve geliştirmektir. Bir kanıtlamada sonuç en son sırada olabilir veya (c) deki örnekte olduğu gibi birinci sırada da verilebilir. Aslında sonuç, konuşmanın aldığı düzene ve gelişme şekline bağlı olarak, kanıtlamanın her hangi bir yerinde olabilir veya verilebilir. Ama en sık rastlanan durumlar sonucun kanıtlamanın başında veya sonunda olmasıdır. Adet olduğu üzere, önce öncülleri birer satır halinde listelemek ve sonra sonucu vermek gerekir. Sonuç önermesi genellikle üç nokta sembolü ( ) ile gösterilir. Bu gösterime standart biçim denir. Başta verdiğimiz örneğin standart biçimi şöyledir: Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. Sokrates ölümlüdür. Kanıtlamaları Saptamak Bir kanıtlama, bir kişi, bir öncüller kümesini bir sonucu ispatlamak veya desteklemek kastıyla ileri sürdüğü zaman ortaya çıkar. Bu söz konusu kasıt, günlük konuşmada çıkarım belirticilerinin kullanılması suretiyle ifade edilir. Çıkarım belirticileri bir kanıtlamanın ileri sürüldüğüne işaret eden sözcükler veya deyimlerdir. Bunlar iki sınıfa ayrılır: savunulan iddiayı dile getiren cümleye işaret eden sonuç belirticiler ve savunulan iddiayı destekleyen kanıtları dile getiren cümle veya cümlelere işaret eden öncül belirticiler. En sık rastlanan örnekleri şunlardır: Sonuç Belirticiler Öyleyse İçin Bunun için O halde Demek ki Sonuç olarak Bu yüzden Bu sebeple/nedenle Dolayısıyla Yani Bundan ötürü/dolayı Buna binaen İlke olarak Sonuç olarak Buradan hareketle Bunun bir sonucu olarak Bu şu anlama gelir ki Bu şunun ispatıdır ki Olduğuna göre Öncül Belirticiler Zira Ayrıca Nitekim Çünkü Keza Hakeza Üstelik Aynı biçimde Varsayın ki Farz edin ki Buna binaen Diyelim ki Düşünün ki Bunun sebebi/nedeni Dahası Şu bir gerçek ki Şundan şüphe edilemez ki Bundan başka Yanı sıra 3

4 Böylece Bu suretle Bu durumda Ek olarak Bununla beraber/birlikte İlaveten Bir sonuç belirticisi, iki cümlenin arasına geldiğinde ve böylece bileşik bir cümle oluşturduğunda, birinci cümlenin bir öncül ve ikinci cümlenin bu öncülden çıkan bir sonuç olduğunu gösterir. Aynı şekilde bir öncül belirticisi bunun tam tersinin söz konusu olduğunu da gösterebilir. Mesela şu bileşik cümlede O evde değil demek ki sinemaya gitmiş. sonuç belirticisi olan (demek ki) deyimi, sinemaya gitmiş cümleciğinin O evde değil öncülü ile desteklenen bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Oysa şu bileşik cümlede O evde değil zira sinemaya gitmiş. öncül belirtici (zira) kendisinden önceki cümleciği, yani O evde değil cümleciğini sonuç, kendisinden sonra gelen sinemaya gitmiş cümleciğini ise öncül kılmaktadır. Öncül belirticiler bileşik olmayan bir cümlenin başında pek kullanılmazlar. Ama cümle başında kullanıldıklarında bu cümlenin, kendisinden önce gelen bir cümlede ileri sürülen sonucu desteklediğine işaret ederler. Bazı kanıtlamalar hiçbir çıkarım belirtici içermeyebilir, mesela 1.1(c) deki gibi. Böyle durumlarda öncüllerle sonucu saptayabilmek için bağlama ilişkin ipuçlarından veya bildirimde bulunan kişinin niyetlerinden yararlanırız. LER 1.2 Çıkarım belirticilerini kullanarak aşağıdaki kanıtlamanın çıkarımsal yapısını belirleyiniz ve standart biçime sokunuz. [Altın-argon bileşiklerine doğada rastlanması bir yana bunların laboratuarda bile üretilmesi zordur,] zira [argonu bir şeyle etkileştirmek zordur] ve ayrıca [altının da az sayıda bileşiği vardır.] Çıkarım belirticilerini daire içine alarak saptadık ve kolaylık sağlaması için her yargı bildiren cümleciği numaralandırdık. (zira) ve (ayrıca) kendilerinden sonra gelenlerin birer öncül olduklarını gösterir. (1) yargısı (2) ve (3) yargılarına bu belirticilerle bağlandığı için sonuçtur. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Argonu bir şeyle etkileştirmek zordur. Altının da az sayıda bileşiği vardır. Altın-argon bileşiklerine doğada rastlanması bir yana bunların laboratuarda bile üretilmesi zordur. 4

5 1.3 Çıkarım belirticilerini kullanarak aşağıdaki kanıtlamanın çıkarımsal yapısını belirleyiniz ve standart biçime sokunuz. [Faiz oranları yüksek düzeyde kalmaya devam ettiği halde enflasyon dikkate değer ölçüde düştü.] Bu yüzden [gerçek değerler üzerinden borçlanmak daha pahalı hale geldi] zira [bu koşullar altında borç alınan para (enflasyon yüksek iken) yüksek enflasyon görmüş lira ile geri ödenemez.] Sonuç belirtici (bu yüzden) burada çok tipik biçimde kendisinden sonra gelen bir sonuç yargısına işaret ediyor. Burada (zira)bir öncül belirticisidir ve (2) nin (3) ten çıkan bir sonuç olduğunu göstermektedir. Diğer yandan sonuç belirticisi (bu yüzden), (2) yargısının önünde olduğu için (2) nin (1) den çıkan bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Demek ki bu kanıtlama iki öncülden ki bunlar (1) ve (3) yargılarıdır ve bir sonuçtan oluşmakta ki bu da (2) yargısıdır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Faiz oranları yüksek düzeyde kalmaya devam ettiği halde enflasyon dikkate değer ölçüde düştü. Bu koşullar altında borç alınan para (enflasyon yüksek iken) yüksek enflasyon görmüş lira ile geri ödenemez. Gerçek değerler üzerinden borçlanmak daha pahalı hale geldi. Bazı kanıtlamalarda hiçbir çıkarım belirticisi bulunmayabilir. Böyle hallerde bağlamdan edindiğimiz ipuçlarına dayanarak veya bildirimde bulunan kişinin niyetlerini anlamaya çalışarak öncülleri ve sonuçları saptayabiliriz. LER 1.4 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Al Capone hiç de öyle zeki değildi.] [Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı onu gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı.] Bu kanıtlamada hiçbir çıkarım belirticisi bulunmasa da açıktır ki (2) yargısı (1) yargısına gerekçe olması niyetiyle ileri sürülmüştür. (2) yargısının (1) yargısına sunduğu destek pek ikna edici olmadığı için bu zayıf bir kanıtlamadır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı Al Capone u gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı. Al Capone hiç de öyle zeki değildi. 5

6 1.5 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Bazı politikacılar ikiyüzlüdür.] [Ulusal bütçe açığının kontrol altında tutulabilmesi için bizim daha fazla vergi ödememiz gerektiğini söylerler.] Ama sonra [çok büyük miktarda paraları kendi seçim kampanyalarında israf ederler.] Bildirimde bulunan kişinin niyeti bazı politikacıların ikiyüzlü olduklarını kanıtlamaktır. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Bazı politikacılar ulusal bütçe açığının kontrol altında tutulabilmesi için bizim daha fazla vergi ödememiz gerektiğini söylerler. Çok büyük miktarda paraları kendi seçim kampanyalarında israf ederler. Onlar ikiyüzlüdür. Karmaşık Kanıtlamalar Bazı kanıtlamalar aşamalıdır. Önce bir grup öncülden bir sonuç çıkarsanır, sonra bu sonuç daha ileri sonuçların çıkarsanmasında bir öncül olarak kullanılır ki bu sonuçlar da yine birer öncül olarak kullanılabilir ve bu böyle devam edebilir. Bu tür kanıtlamalara karmaşık kanıtlamalar denir. Başka sonuçların çıkarsanmasında bir öncül olarak kullanılan sonuçlara temel-olmayan öncül veya ara-sonuç denir. Bunların dışında kalan öncüllere ise temel öncül veya varsayım denir. Temel öncüllerden ve ara-sonuçlardan hareketle çıkarsanan sonuca ise nihai sonuç denir. Örneğin şu kanıtlama karmaşık bir kanıtlamadır: Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir. Ama pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez. Bu yüzden pi bir rasyonel sayı değildir. Yine de açıktır ki pi bir sayıdır. Demek ki rasyonel-olmayan en az bir sayı vardır. Buradaki nihai sonuç en az bir rasyonel-olmayan sayının (yani pi sayısı)bulunduğudur. Bu sonuç pi bir rasyonel sayı değildir ve pi bir sayıdır öncülleri ile doğrudan doğruya desteklenmiştir. Ama diğer yandan bu öncüllerden birincisi Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir ile pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez öncüllerinden çıkarsanmış bir ara-sonuçtur. Bu ilave öncüller ile pi bir sayıdır yargısı birlikte temel öncülleri oluşturmaktadır. Kanıtlamanın standart biçimi şöyledir: Tüm rasyonel sayılar tam sayıların bir oranı biçiminde gösterilebilir. Pi tamsayıların bir oranı biçiminde gösterilemez. Pi bir rasyonel sayı değildir. Pi bir sayıdır. Rasyonel-olmayan en az bir sayı vardır. 6

7 Buradaki muhakemenin her aşaması kendi başına bir kanıtlamadır. Burada iki aşama vardır ve biraya getirilmek suretiyle bir karmaşık kanıtlama oluşturulmuştur. Burada üçüncü yargı ( pi bir rasyonel sayı değildir yargısı) her iki aşamaya da aittir yani her iki kanıtlamanın da bir parçasıdır. Birinci kanıtlamanın sonucu ikinci kanıtlamanın ise öncülüdür. Ancak karmaşık kanıtlamanın bütünü göz önüne alındığında bu yargı temel olmayan bir öncül olarak değerlendirilmektedir. LER 1.6 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Haziran ayında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık sıfırın altına düşecek diye korkman gerekmez.] [Şimdiye dek yaz aylarında asla o kadar soğuk yaşanmadı] ve dolayısıyla [muhtemelen hiç yaşanmayacak.] (dolayısıyla) burada bir sonuç belirticidir ve (3) ün (2) den çıkarsandığına işaret etmektedir. Ama buradaki nihai sonuç (1) yargısıdır. Yani bir karmaşık kanıtlama söz konusudur ve standart biçimi şöyledir: Şimdiye dek yaz aylarında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık asla sıfırın altına düşmedi. Muhtemelen bundan sonra da düşmeyecek. Haziran ayında en yüksek zirvelerde bile sıcaklık sıfırın altına düşecek diye korkman gerekmez. 1.7 Aşağıdaki kanıtlamayı standart biçime sokunuz. [Ahmet toplantıya gideceğini söyledi,] bu da şu anlama gelir ki [Jale de gidecek.] Dolayısıyla [Jale bizimle sinemaya gelemeyecek.] (bu şu anlama gelir ki) ile (dolayısıyla) burada sonuç belirticilerdir ve bunlardan ilki (2) nin bir ara-sonuç olduğuna ve ikincisi de (3) ün nihai sonuç olduğuna işaret etmektedir. Kanıtlama standart biçimiyle şöyledir: Ahmet toplantıya gideceğini söyledi. Jale de toplantıya gidecek. Jale bizimle sinemaya gelemeyecek. 7

8 Kanıtlama Şemaları Şemalar çıkarımsal yapıyı göstermek ve açığa çıkarmak için kullanışlıdır. Bir kanıtlamanın şemasını oluşturmak için çıkarım belirticilerini daire içine alırız ve yargı bildiren her cümleyi parantez içine alıp numaralandırırız. Eğer bazı öncüller birlikte bir sonuç çıkarma işlevi görüyorsa bunların numaralarını bir satır halinde yazıp aralarına artı (+) işareti koyarız ve bunların altına bir çizgi çekeriz. Eğer bir çıkarım aşaması sadece bir öncül içeriyorsa sadece onun numarasını yazarız. Sonra öncül numaralarının altından aşağı doğru bir ok işareti çizip altına sonuç önermesinin numarasını yazarız. Eğer kanıtlama birden fazla adım veya aşama içeriyorsa (yani bir karmaşık kanıtlama söz konusu ise) aynı işlemleri tekrar ederiz. 1.8 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Bugün ya Salıdır ya da Çarşamba.] Ama [Çarşamba olamaz] zira [doktorun muayenehanesi bu sabah açıktı] ve [muayenehane Çarşambaları daima kapalı olur.] O halde, [bugün Salı olmalı.] (zira) belirticisi (3) ve (4) ün (2) yi gerekçelendirdiklerini göstermektedir. (o halde) belirticisi ise (5) in onu önceleyen öncüllerden çıkarsanan bir sonuç olduğuna işaret etmektedir. Cümlelerin anlamını ve bağlamını göz önüne aldığımızda (5) i doğrudan destekleyen/gerekçe olan öncüllerin (1) ve (2) olduklarını görürüz. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Burada (+) işareti birlikte veya bir arada anlamına gelir ve ok işaretleri de için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür demektir. Yani yukarıdaki şema 3 ile 4 birlikte 2 için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür ki bu da 1 ile birlikte 5 için bir kanıt/gerekçe olarak sürülmüştür şeklinde okunabilir. Bir kanıtlama şeması kanıtlamanın yapısını bir bakışta görebileceğimiz şekilde gösterir. Burada her ok işareti ayrı bir çıkarsama aşamasını temsil etmektedir. Yukarıdaki örnekte iki aşama vardır, birincisi (3) ve (4) ten (2) ye ve ikincisi de (1) ve (2) den (5) e doğru olanlar. Kendilerine hiçbir ok işareti yönelmeyen rakamlar temel öncülleri gösterirler. Kendilerine yönelen ve kendilerinden çıkan ok işareti bulunan rakamlar temel-olmayan öncüllerdir (ara-sonuçlar). Şemanın en altında yer alan ve bir veya birden fazla ok işaretinin kendisine yöneldiği fakat kendisinden hiçbir ok işareti çıkmayan rakam nihai sonucu gösterir. Yukarıdaki örnekte (1), (3) ve (4) temel öncüller; (2) bir ara- 8

9 sonuç ve (5) ise nihai sonuçtur. Kanıtlama şemaları bilhassa kanıtlamanın birden çok aşama içerdiği durumlarda çok kullanışlıdır. LER 1.9 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Watts, Los Angeles ta] ve demek ki [ABD nin içinde] ve bu yüzden [sanayileşmesini tamamlamış bir ülkenin parçasıdır.] Bu yüzden [üçüncü dünyanın bir parçası sayılamaz,] zira [üçüncü dünya bilhassa gelişmekte olan ülkelerden oluşmaktadır] ve [gelişmekte olan ülkeler tanım gereği sanayileşmesini tamamlamamış ülkelerdir.] (demek ki), (bu yüzden)sonuç belirticilerdir. (2) ve (3) tam cümle değildir çünkü özne terim Watts eksiktir. Yine de bunlar bir yargı bildirirler ve önermedirler. (zira) bir öncül belirticidir ve (5) ile (6) nın (4) ü gerekçelendirdiklerini gösterir. İkinci (bu yüzden) belirticisi (4) ün aynı zamanda (3) ten çıkan bir sonuç olduğunu gösterir. Yani (3), (5) ve(6) birlikte (4) için öncüller işlevi görürler. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [30 gün içinde tahsil edilmediği takdirde bu çek hükümsüzdür.] [Çekin üzerindeki tarih 2 Eylül] ve [şimdi tarih 8 Ekim.] O halde [bu çek artık hükümsüz.] [Hükümsüz olan bir çeki tahsil edemezsin.] Dolayısıyla [bu çeki tahsil edemezsin.]

10 Dikkat ederseniz diği takdirde deyimi ile bağlanmış bir bileşik cümle olan öncül (1) burada tek bir birim olarak ele alınmıştır. Yakınsak Kanıtlamalar Eğer bir kanıtlama hepsi aynı sonuca (ki bu sonuç bir ara-sonuç veya nihai sonuç olabilir) götüren birden fazla çıkarım aşaması içeriyorsa bu kanıtlamaya yakınsak kanıtlama denir. Örneğin: Sigara içen bir insan sigarayı bırakmalıdır. Sigara içmek çok sağlıksızdır ve yanında bulunanlar için rahatsız edicidir. Burada sigara içmenin sağlıksız olduğu ve rahatsız edici olduğu, sigarayı bırakmak gerekir şeklindeki sonuç için birbirinden ayrı ve bağımsız gerekçelerdir. Yani birinden sonuca doğru giderken yapılan akıl yürütmeyi anlamak için diğerini varsaymamız gerekmez. Dolayısıyla bu ikisini sonucu birlikte destekleyen öncüller olarak ele alamayız. Her biri için ayrı çıkarım okları kullanmalıyız. Benzer durum bir karmaşık kanıtlamanın herhangi bir aşamasında ortaya çıkabilir: Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. [Mehmetler evde olmalılar.] [Evlerinin ön kapısı açık,] [arabaları garajın önünde duruyor] ve [televizyonları da açık,] çünkü [televizyonun ışığını pencereden görebiliyorum.] Kanıtlama yakınsaktır.(2), (3) ve (4) sonuç önermesi olan (1) için bağımsız gerekçelendirmeler olarak işlev görüyorlar. Kanıtlamanın şeması şöyledir:

11 Bununla birlikte, öncüller birbirinden bağımsız işlev görmediklerinde, yani kanıtlamanın bizde anlamlı bir karşılık bulması için öncüllerin birbirlerini tamamladıklarının kabul edilmesi gereken durumlarda birbirlerine artı işareti ile bağlanmalıdırlar Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz. Üç sebepten ötürü [Aslanlar bu son maçı kaybetmeye daha yakınlar:] [ileride oynayan yıldız oyuncuları dizinden sakat,] [aldıkları iki yenilgiden sonra moralleri çok düşük] ve [bu bir deplasman maçı,] ve [bütün sezon boyunca deplasman maçlarında çok zayıftılar.] [Eğer bu maçı kaybederlerse, teknik direktörün kovulması neredeyse kesin.] Ama bu durum [onun mesleğinin tehlikede olmasının] tek sebebi değil. Çünkü [bazı oyuncular onu, takımdakilerin doping maddesi kullanmasına göz yummakla suçladılar] ve [buna göz yuman hiçbir teknik adam görevinin başında kalmayı bekleyemez.] Bu kanıtlama karmaşık yakınsak bir yapı arz ediyor. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Örtük Yargılar Kimi kanıtlamaların eksik bir biçimde ifade edilmiş olması sıklıkla karşılaşılan bir şeydir. Örneğin şu iki kanıtlama belirtik olmayan (açıkça ifade edilmemiş) yargılar içermektedir: Şimdi yatamam anne. Film daha bitmedi. Al Capone hiç de öyle zeki değildi. Yeterince zeki olsaydı maliye bakanlığı onu gelir vergisi kaçırmakla asla suçlayamazdı. Buradaki ilk kanıtlamada Film bitene kadar yatamam gibi bir öncül örtük olarak içerilmektedir. İkincisinde ise anlaşılan maliye bakanlığı Al Capone u vergi kaçırmakla suçlamıştır ama bu husus 11

12 belirtik bir şekilde ifade edilmemiştir. Bu iki kanıtlama öncüllerin örtük olduğu durumlara birer örnektir. Bazı durumlarda ise, bildirimde bulunan kişi ifade edilmemiş ya da açıkça ileri sürülmemiş bir sonucu, hitap ettiği kimselerin kendilerinin çıkarsamasını ister. Mesela: Bulaşığı ikimizden biri yıkayacak ve bu kişi ben olmayacağım. Burada, konuşan kişi hitap ettiği kişinin bulaşıkları yıkaması gerektiğini ihsas etmektedir, ima etmektedir, üstü kapalı söylemektedir. Çünkü geriye başka bir ihtimal kalmamıştır Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Kadir bir ateist] ve bu da şunu gösterir ki [iyi bir insan olmak istiyorsan Tanrıya inanmak zorunda değilsin.] İlk bakışta bu kanıtlamaya itiraz edilebilir, denebilir ki iyi de böyle bir şeyi söylemek biraz ters değil mi? Sen bütün ateistlerin iyi insanlar olduklarını söylemeye getiriyorsun. Şimdi, böyle bir yorumda bulunmak, kanıtlamayı ileri sürenin düşüncesini tamamlamanın bir yolu olarak görülebilir. Ama bu, hoşgörülü bir yorum olmayacaktır, aşırı bir yorum olacaktır. Bu ilave varsayım açıkça yanlıştır ve kanıtlamayı ileri süren kişinin bunu düşünmüş (kastetmiş) olması pek olası değildir. Ayrıca bu kanıtlama tüm ateistlere uygulanmamaktadır, yani tüm ateistler söz konusu edilmemektedir, bu yüzden sonucu desteklemek için böylesine kapsayıcı bir varsayımda bulunmaya gerek yoktur. Bu kanıtlamada aslında ihsas edilmiş veya üstü kapalı söylenmiş olan şey, şöyle bir şey olsa gerektir: [Kadir iyi bir insandır.] Bu husus pekâlâ doğru olabilir ve böylece bir yandan ortaya mantıken güçlü bir kanıtlama çıkarken diğer yandan bildirimde bulunanın düşüncesine sadık kalmayı başarırız. Kanıtlamanın şeması şöyledir: Kimi zaman da bir kanıtlamada hem sonuç hem de bir veya birden çok öncül örtük olabilir. Hatta kanıtlama tek bir cümlede dile gelebilir. LER 1.14 Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Eğer benim arkadaşım olsaydın benim arkamdan konuşmazdın.] 12

13 Bu kanıtlama hem örtük bir öncül hem de örtük bir sonuç içermektedir. Örtük öncül: [Sen benim arkamdan konuştun.] Örtük sonuç: [Sen benim arkadaşım değilsin.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: Aşağıdaki eksik kanıtlamayı tamamlayınız ve şemasını oluşturunuz. [Motordan damlayan sıvı sudur.] [Motorda sadece üç tür sıvı bulunur: su, benzin ve yağ.] [Damlayan sıvı yağ değil] çünkü [ağdalı (az akışkan)değil,] ve [benzin de değil] zira [kokmuyor.] (çünkü)bir öncül belirticisi ve (4) ün (3) için bir öncül olduğuna işaret ediyor, ama burada örtük bir öncül var: [Yağ ağdalıdır (az akışkandır).] (zira)bir öncül belirticisi ve (6) nın (5) için bir öncül olduğuna işaret ediyor, ama yine örtük bir öncül ilavesi ile: [Benzin kokar.] Kanıtlamanın nihai sonucu (1) dir. Önlerinde ilave çıkarım belirticilerinin bulunmaması (2), (3) ve (5) in (1) i destekleyici olduklarını gösterir. Kanıtlamanın eksiksiz hale gelmesi için son olarak (9) eklenebilir: [Motordan bir sıvı damlıyor.] Kanıtlamanın şeması şöyledir:

14 Kanıtlamaları Değerlendirmek Bir kanıtlamanın başka pek çok işlevi bulunabilse de ve başka amaçlara hizmet ediyor olabilse de asıl amacı sonucun doğru olduğunu veya hiç değilse doğru olmaya yakın olduğunu göstermek ya da kanıtlamaktır. Dolayısıyla kanıtlamalar bu amaca ulaşıp ulaşamamalarına göre iyi veya kötü olarak nitelendirilirler. Bir kanıtlamanın iyi veya kötü olduğuna karar vermekte kullanılan dört ölçütten bahsedilebilir: (1) Tüm öncüller doğru mudur? (2) En azından öncüller doğru kabul edildiğinde sonuç olası/mümkün/makul/akla yatkın olmakta mıdır? (3) Öncüller sonuç ile ilgili midir? (4) Yeni kanıtlar/olgular karşısında sonuç zedelenmekte/zarar görmekte midir? Bu ölçütlerin hepsi de her kanıtlamaya uygun düşmeyebilir. Mesela eğer bir kanıtlama sadece belli bir sonucun bir dizi öncülden (bu öncüller ister doğru olsun ister olmasın) çıktığını göstermekle ilgileniyorsa bu durumda ölçüt (1) bu kanıtlamaya uygun düşmeyecektir; ve aynı şekilde ölçüt (3) ve (4) de duruma göre uygulanabilir olmayabilirler. Öncüllerin Doğruluğu Ölçüt (1) kanıtlamaları değerlendirmek için kendi başına yeterli değildir ama yine de konuya iyi bir başlangıç sunar. Bir kanıtlamanın ne kadar iyi olduğu önemli değildir, eğer öncüller yanlışsa kanıtlama asıl amacına, yani sonucun doğru veya doğru olmaya yakın olduğunu gösterme amacına ulaşamaz. 2.1 Aşağıdaki kanıtlamayı ölçüt (1) i dikkate alarak değerlendiriniz. Bugün tüm Amerikalılar izolasyonist (içe kapanmacı) oldukları için, yirminci yüzyılın sonunda tarih Birleşik Devletlerin dünya demokrasisinin koruyucusu olamadığına tanıklık edecektir. Burada Tüm Amerikalılar izolasyonisttir öncülü kesinlikle yanlıştır, dolayısıyla bu kanıtlama sonucu (yani ABD nin dünya demokrasisinin koruyucusu olamadığını) kanıtlayamaz. Bu durum hiç kuşkusuz bu sonucun yanlış olduğu anlamına da gelmez. Ama kanıtlama bu sonucun doğruluğunu göstermeyi/belirlemeyi başaramamaktadır. Daha iyi bir kanıtlama kurgulamanın yolu, mesela Amerikan dış politikasını şekillendiren belli başlı etkenlerin bir incelemesini yapmak ve buradan kalkarak bilgiye dayalı sonuçlar türetmek olabilir. 14

15 Sıklıkla karşılaşılan bir durum da bir veya birden fazla öncülün doğruluk veya yanlışlığının bilinmemesidir ki bu durumda kanıtlama sonucun ispatlanması işlevini bilgimizin sınırları içinde yerine getirememektedir. Böyle durumlarda ölçüt (1) i gerektiği gibi uygulamak için yeterli bilgiden yoksunuzdur ve ilave bilgiye erişinceye dek bir yargıda bulunmayı askıya almak gerekir. 2.2 Aşağıdaki kanıtlamayı ölçüt (1) i dikkate alarak değerlendiriniz. Bizim galaksimizde pek çok gelişmiş dünya dışı uygarlıklar vardır. Bu uygarlıklardan birçoğu yeryüzünden saptanabilecek derecede güçlü elektromagnetik işaretler üretir. Bizim dünya dışı uygarlıklar tarafından üretilmiş işaretleri saptayacak kapasitemiz var. Bu kanıtlamanın öncüllerinin doğru olup olmadıklarını henüz bilmiyoruz. Bu yüzden bu öncüllerin doğruluğunu güvenilir şekilde saptamadan bu konuda bir yargıda bulunmayı askıya almaktan başka yapabileceğimiz daha iyi bir şey yoktur. Bu kanıtlama sonucunun doğruluğu konusunda kimseyi ikna etmemelidir, en azından şimdilik. Ölçüt (1), öncüllerin fiili durumda (fiiliyatta) doğru olmalarını gerekli kılar, ama uygulamada bir kanıtlama, eğer bu kanıtlamaya muhatap olanlar öncüllerin doğru olduklarını biliyorsa, sonucun doğruluğunu başarılı şekilde gösterebilir. Eğer taraflardan birisi kendi öncüllerinin doğru olduklarını biliyor ama taraflardan diğeri veya diğerleri bilmiyorsa, bu durumda kanıtlamayı ileri süren kişi öncüllerin doğruluğunu göstermek için ilave kanıtlar sunmak zorundadır. 2.3 Bir pencere camı kırılmış. Küçük bir kız şu kanıtlamayı ileri sürüyor: Pencere camını Bülent kırdı. Ben gördüm. Bu kanıtlama standart biçimde şöyledir: Bülent i pencere camını kırarken gördüm. Pencere camını Bülent kırdı. Farz edin ki küçük kızın böyle bir şey görmemiş olduğuna dair sebeplerimiz var. Bu kanıtlamayı ölçüt (1) i dikkate alarak değerlendiriniz. Küçük kız doğruyu söylüyor olsa bile, sunduğu kanıtlama, öncülün doğru olduğunu bilmediğimiz sürece sonucu bize ispatlamayı başaramıyor. Mevcut durumda yapabileceğimiz en iyi şey yargıyı askıya almak ve ilave deliller peşine düşmektir. Ölçüt (1) ile ilgili bir diğer sınırlama da öncüllerin doğruluğunun veya doğru olduklarının bilinmesinin sonucun da doğru olmasını garanti etmemesidir. Bu husus sonucu ispatlamak için zorunlu bir koşul olsa da yeterli bir koşul değildir. İyi bir kanıtlamada öncüllerin sonucu desteklemesi ve onu gerekçelendirmesi gerekir. 15

16 LER 2.4 Aşağıdaki kanıtlamayı ölçüt (1) i dikkate alarak değerlendiriniz. Tüm katillikler birer öldürme eylemidir. Savaşta öldüren askerler birer katildir. Öncül doğru olduğu için bu kanıtlama ölçüt (1) i sağlıyor. Yine de sonucu ispatlamayı başaramıyor, çünkü öncül kimi öldürme türlerinin katillik olmayabileceği ihtimaline açık kapı bırakıyor. Belki de askerlerin savaşta öldürmesi böyle türden bir öldürmedir; burada öncül en azından böyle olmadığını göstermek için iyi bir sebep sunmuyor. Bu yüzden burada öncül doğru olsa da sonucu olması gerektiği gibi gerekçelendiremiyor; bu kanıtlama hiçbir şeyi kanıtlamıyor. 2.5 Aşağıdaki kanıtlamayı ölçüt (1) i dikkate alarak değerlendiriniz. Kar beyazdır. Balinalar memelidir. Burada da kanıtlama ölçüt (1) i sağlıyor, öncül doğrudur. Burada sonuç da olgusal bir doğruluktur. Yine de kanıtlama sonucu kendi başına ispatlayamıyor, çünkü öncül sonuca herhangi bir destek sunmuyor. Bu örnekler kanıtlamaları değerlendirmek için ilave ölçütlere gereksinim bulunduğunu göstermektedir, öyle ölçütler ki, bunlara dayanarak bir grup öncülün bir sonuç için ne derece doğrudan delil oluşturduklarını tayin edebilelim. Burada göz önüne alınabilecek iki temel parametre vardır. Bir tanesi olasılıkçı parametredir: sonuç öncüller göz önüne/dikkate alındığında az veya çok muhtemel olabilir. Diğer parametre öncüllerin sonuç ile olan ilgisi veya bağlantısıdır. Geçerlik ve Tümevarımsal Olasılık Ölçüt (2) öncüller doğru olduğunda sonucun doğru olmasının olasılığına göre kanıtlamaları değerlendirir. Bu açıdan kanıtlamalar iki ana sınıfa sokulabilir: tümdengelimli ve tümevarımlı. Tümdengelimli bir kanıtlama sonucun temel öncüllerden zorunlulukla çıktığı/çıkarsandığı bir kanıtlamadır. Daha açık söylersek, bir kanıtlama eğer temel öncüller doğru iken sonucun yanlış olduğunu düşünmek imkânsız ise tümdengelimlidir. Tümevarımlı bir kanıtlama ise bunun tersine, öncüller göz önüne alındığında sonucu zorunlu olmayan bir kanıtlamadır: öncüller doğru olduklarında sonucun doğru olmasına ilişkin belli bir olasılık bulunmaktadır, ama aynı şekilde sonucun yanlış olmasına ilişkin bir olasılık da bulunmaktadır. 16

17 Bir öncüller kümesinin verili olduğu durumda bir sonucun bu öncüllere dayalı olasılığına tümevarımsal olasılık denir. Tümdengelimli bir kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı en üst derecededir, yani 1 dir ( olasılıklar genellikle 1 ile 0 arası bir değerle gösterilir). Tümevarımlı bir kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı ise genellikle (belki de daima) 1 den azdır. Bu anlamda ve burada sunulan çerçeve içinde tümdengelimli olmayı hedefleyen bir kanıtlamanın tümdengelimli olduğu söylenir. Bu yüzden bunu başarıp başaramadığına göre tümdengelimli kanıtlamaların geçerli ve geçersiz diye ayrılmaları bir gerekliliktir. Geçerli kanıtlamalar yukarıda söylenen anlamda gerçekten tümdengelimli olanlardır, yani öncüller doğru iken sonuçlar yanlış olamaz. Geçersiz kanıtlamalar ise tümdengelimli olmayı hedefleyen fakat aslında böyle olmayan kanıtlamalardır. Biz burada tümdengelimli terimini dar anlamda yani geçerli veya geçerli tümdengelimli anlamında kullanacağız. 2.6 Aşağıdaki kanıtlamaları tümdengelimli veya tümevarımlı olarak sınıflandırınız. (a) Hiçbir ölümlü zamanın akışını durduramaz. Sen bir ölümlüsün. Sen zamanın akışını durduramazsın. (b) Yağmur yağdığında hava genellikle bulutludur. Şu anda yağmur yağıyor. Şu anda hava bulutludur. (c) Boyu 3 metreden uzun olan insan örnekleri konusunda güvenilir kayıtlar bulunmamaktadır. Boyu 3 metreden uzun olan bir insan asla yaşamadı. (d) Bazı köpeklerin kanatları vardır. Tüm kanatlı şeyler şarkı söyleyebilir. Bazı köpekler şarkı söyleyebilir. (e) Herkes ya bir Cumhuriyetçidir ya bir Demokrattır ya da bir ahmak. Beyaz saray sözcüsü bir Cumhuriyetçi değil. Beyaz saray sözcüsü bir ahmak değil. Beyaz saray sözcüsü bir Demokrattır. (f) Eğer ortada bir nükleer silah varsa, uygarlığı yok edecektir. Gelecekte bir nükleer silah olacak. Uygarlık bir nükleer silahla yok edilecek. (g) Kimyasal açıdan potasyum klorür yemek tuzuna (sodyum klorür) çok benzerdir. Potasyum klorürün tadı yemek tuzunun tadı gibidir. 17

18 (a) Tümdengelimli (b) Tümevarımlı (c) Tümevarımlı (d) Tümdengelimli (e) Tümdengelimli (f) Tümdengelimli (g) Tümevarımlı Bu örnekler tümevarımlılık ve tümdengelimliliğin öncüller ve sonucun fiili (gerçekte/aslında) doğruluk ve yanlışlığından bağımsız olduğunu göstermektedir. Bu yüzden ölçüt (2), ölçüt (1) den bağımsızdır ve kanıtlamaları değerlendirmek için kendi başına uygun değildir. Örneğin buradaki tümdengelimli kanıtlamaların her biri farklı bir doğruluk ve yanlışlık kombinasyonuna sahiptir. (a) daki tüm öncüller ve sonuç doğrudur. Buna karşın (d) deki yargılar yanlıştır. (e) deki kanıtlama doğru ve yanlış yargıların bir karışımıdır; ilk öncül kesinlikle yanlıştır, diğerlerinin doğruluk ve yanlışlığı Beyaz Saray sözcüsünün kim olduğuna bağlı olarak değişecektir. (f) deki yargıların hiçbirinin doğru olup olmadıkları henüz kesin olarak bilinmiyor. Yine de hem (e) hem (f) de eğer öncüller doğru kabul edilirse sonuç yanlış olamaz. Bir tümevarımlı veya tümdengelimli kanıtlamada doğru ve yanlış yargıların herhangi bir kombinasyonu söz konusu olabilir/kullanılabilir, ancak hiçbir (geçerli) tümdengelimli kanıtlama doğru öncüllere ve yanlış bir sonuca sahip olamaz. Dolayısıyla tanım gereği bir tümdengelimli kanıtlama öncüllerin doğru sonucun yanlış olmasının onun için imkânsız olduğu bir kanıtlamadır. Bir tümdengelimli kanıtlamada tüm temel öncüller doğru ise onun sağlam bir kanıtlama olduğu söylenir. Sağlam bir kanıtlama sonucunu kesinlikle kanıtlayan bir kanıtlamadır. Mesela yukarıdaki örnekte (a) böyledir. 2.7 Aşağıdaki kanıtlamayı ölçüt (1) ve (2) yi dikkate alarak değerlendiriniz. Herkesin bir ve yalnızca bir biyolojik babası vardır. Öz kardeşler aynı biyolojik babaya sahiptir. Kimse kendisinin biyolojik babası değildir. Biyolojik babası onun öz kardeşi olan hiç kimse yoktur. Kanıtlama sağlamdır. Varsayımlar doğrudur ve kanıtlama tümdengelimlidir. Dikkat ediniz ki bir tümdengelimli kanıtlamada öncüller doğru iken sonucun yanlış olmasının imkânsız olduğunu söylediğimizde, buradaki imkânsız terimi mümkün olan en kuvvetli/vurgulu anlamıyla anlaşılmalıdır. Yani bu terimle uygulamada imkânsız demek istemiyoruz, fakat mantıksal olarak imkânsız demek istiyoruz, yani kavramsal olarak imkânsız ve dolayısıyla kavranamaz olan demek istiyoruz. Bu ayrım aşağıdaki örnekte gösterilmiştir. 18

19 2.8 Aşağıdaki kanıtlama tümdengelimli midir? Taner Taraf gazetesi okuyor. Taner 3 aylıktan daha büyük. Her ne kadar uygulamada 3 aylıktan küçük olanların Taraf gazetesi okumaları imkânsız ise de, yine de tutarlı olarak kavranabilir/kavramsallaştırılabilir bir şeydir, yani bu düşüncenin kendisi bir çelişki içermemektedir. Demek ki buradaki sonuç öncül doğru iken mantıksal olarak yanlış olabilmektedir. Diğer bir deyimle öncülün verili olduğu durumda buradaki sonuç her ne kadar büyük bir olasılıkla doğru olsa da mutlak olarak zorunlu değildir. Bu yüzden bu kanıtlama tümdengelimli değildir (geçerli değildir). Diğer yandan bu kanıtlama bir öncül ilavesi ile tümdengelimli bir kanıtlamaya dönüştürülebilir: Tüm Taraf gazetesi okurları 3 aylıktan büyüktür. Taner Taraf gazetesi okuyor. Taner 3 aylıktan daha büyük. Burada öncüllerin verili olduğu durumda sonucun sadece uygulamada değil fakat mantıksal olarak da yanlış olması imkânsızdır. Bu yüzden kanıtlama bu yeni haliyle tümdengelimlidir. Daha önce açıklandığı üzere yukarıdaki örnekteki gibi kanıtlamaları eksik kanıtlamalar olarak görmek ve bunları ilave öncül veya öncüllerle desteklemek genellikle daha yerinde bir karardır. Ama burada dikkat edilmesi gereken husus, bildirimde bulunan kişinin bu ilave öncüllerin doğruluğunu kabul edip etmeyeceğidir. Eğer bildirimde bulunanın onaylamayacağı bir öncül ilavesi yaparsanız bu centilmenliğe uymaz. Örnek 2.6 dakiler ise eksik kanıtlama sayılmazlar. 2.9 Aşağıdaki tümevarımlı kanıtlamaya ilave bir öncül eklemek suretiyle tümdengelimli kanıtlamaya dönüştürünüz. Ben pazardan hiç alışveriş yapmadım. Sen pazardan hiç alışveriş yapmadın. Bu akşam evde yiyecek bir şey olmayacak. Kanıtlama tümevarımlıdır çünkü bir başkasının pazardan alışveriş yapmış olabileceğini düşünmek veya evde daha önceden kalmış yiyeceğin bulunduğunu düşünmek mümkündür. Bu kanıtlama şu öncülün ilavesi ile tümdengelimli hale gelir: Eğer ikimizden birisi pazardan alışveriş yapmazsa bu akşam evde yiyecek bir şey olmayacak. 19

20 Bu ilaveyi yapmak meşrudur zira bildirimde bulunan kişi bu yargıyı örtük olarak varsaymaktadır. Belirli bir kanıtlamanın tümdengelimli olup olmadığı daima açık değildir. Her ne kadar tümdengelimli kanıtlamalar bizim için en yüksek kesinliği sağlasalar da uygulamada çoğu kez/genellikle tümevarımlı bir akıl yürütmeye razı oluruz. Tümdengelimli kanıtlamalarda tümevarımsal olasılık maksimum değerdedir. Ama tümevarımlı kanıtlamaların sahip olduğu tümevarımsal olasılık belli bir aralıkta değişkenlik gösterir, dolayısıyla güvenirlikleri de birinden diğerine çok değişebilir. Bir tümevarımlı kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı yüksek olduğunda bu kanıtlamadaki muhakemenin güçlü veya güçlü tümevarımsal olduğunu söyleriz. Bu olasılık düşük olduğunda ise kanıtlamadaki muhakemenin/akıl yürütmenin zayıf veya zayıf tümevarımsal olduğunu söyleriz Aşağıdaki iki tümevarımlı kanıtlamadan hangisi daha yüksek bir tümevarımsal olasılığa sahiptir? (a) Çin i ziyaret edenler neredeyse hiç sıtmaya yakalanmazlar. Cem Çin i ziyaret ediyor. Cem orada sıtmaya yakalanmayacak. (b) Çin i ziyaret edenlerden yarıdan biraz azı küçük sindirim rahatsızlıklarına yakalanırlar. Cem Çin i ziyaret ediyor. Cem orada bir küçük sindirim rahatsızlığına yakalanmayacak. (a) kanıtlamasındaki neredeyse hiç deyimi (b) kanıtlamasındaki yarıdan biraz azı deyimine göre sonuca daha yüksek bir olasılık yüklemektedir. Demek ki (a) kanıtlaması daha yüksek bir tümevarımsal olasılığa sahiptir. Bu örnek bir kez daha gösteriyor ki tümevarımsal olasılık, aynen tümdengelimli geçerlik gibi öncüllerin fiili doğruluk ve yanlışlığından bağımsızdır. Yukarıdaki örnekte öncüllerin doğru olup olmadıklarını bilmeden de tümevarımsal olasılığı teşhis ve tespit edebiliriz. (Nitekim Cem in kim olduğunu bilmiyoruz ve Çin deki sıtma ve sindirim rahatsızlıklarının yaygınlığı ile ilgili bilgimiz yok.) Eğer bir tümevarımlı kanıtlamada öncüller doğru değilse elbette kanıtlama sonucu ispatlamayı başaramaz. Ama eğer öncüller doğru ise kanıtlama sonucun belli bir olasılık derecesine sahip olduğunu ispatlamaktadır, öyle ki bu olasılık derecesi kanıtlamanın tümevarımsal olasılığına eşittir Aşağıdaki kanıtlamada içerilen akıl yürütmeyi değerlendiriniz. Rüyamda hortlaklar görüyorum. Kardeşim rüyasında hortlaklar görüyor. Herkes rüyasında hortlaklar görüyor. Bu bir zayıf tümevarımlı kanıtlamadır. 2.8 de verilen iki örnekten de daha düşük bir tümevarımsal olasılığa sahiptir. Çok küçük bir örnekten kalkarak, sadece iki kişinin 20

21 durumundan hareketle olası en büyük bir topluluk için (herkes için) bir genellemeye ulaşmaya çalışıyor. Örnek durumun tipik bir yaygınlığa sahip bunduğuna inanmak için ortada bir gerekçe yoksa, öncüllerin verili olduğu durumda sonucun olasılığı çok düşük olacaktır. Güçlü ve zayıf tümevarımlı akıl yürütmeler arasında keskin bir sınır yoktur. Hangi maslahatın göz önüne alındığına bağlı olarak bir tümevarımlı kanıtlama güçlü veya zayıf olabilir. Örneğin bir kanıtlamanın sonucuna göre bir vananın bozulma ihtimali 5 yıllık bir dönem için 0,9 ise öncüller doğru iken bu güçlü bir akıl yürütme gibi alınabilir. Ama eğer bu vana bir nükleer reaktör biriminin bir ünitesini oluşturuyorsa ve binlerce insanın hayatı da bu vananın doğru çalışmasına bağlı ise 0,9 gibi bir olasılık kendimizi tatmin için yeterli olmayabilir. Yani bir akıl yürütmenin güçlü olarak nitelenmesi için bir kanıtlamanın sahip olması gereken tümevarımsal olasılığın ne olması gerektiği sorusunun basit bir cevabı yoktur. Yine de açıktır ki eğer tümevarımsal olasılık 0,5 ten küçükse bu kanıtlama zayıf kabul edilebilir. Kanıtlamalarda içerilen malumat çoğu kez sayısal olarak nicelleştirilebilir olmadığı için bir kanıtlamanın tümevarımsal olasılığını hesaplamak mümkün değildir. Tümdengelimli kanıtlamalar hiç kuşkusuz bunun istisnasını oluşturur çünkü bunların tümevarımsal olasılığı daima 1 dir. Genellikle bir tümevarımlı kanıtlama için en fazla söyleyebileceğimiz şey yeterince güçlü veya yeterince zayıf olacaktır. Bununla beraber bazen öncüller ve sonucun kendileri sayısal açıklık ve kesinliğe sahip olduklarında tümevarımlı kanıtlamalar için anlamlı sayısal olasılıklar vermek mümkün olabilir Aşağıdaki kanıtlamanın tümevarımsal olasılığını hesaplayınız. Diyarbakır dan olan arabaların yüzde 90 ının en az iki sahibi olmuş. Bu araba Diyarbakır dan. Bu arabanın birden fazla sahibi olmuş. Bu güçlü bir tümevarımlı kanıtlamadır çünkü öncüller bu arabanın sahip değiştirmiş arabalardan biri olduğunu düşünmek için somut gerekçeler sunuyor. Öncüllerin doğruluğunun verili olduğu durumda sonucun doğru olma olasılığı 0,9 dur. Buraya kadar hep basit kanıtlamalarla ilgilendik, yani tek bir çıkarım/akıl yürütme adımı içeren kanıtlamalarla. Şimdi karmaşık kanıtlamaların tümevarımsal olasılığını ele alacağız. Burada önemli olan husus hem tümdengelimli geçerliğin hem de tümevarımsal olasılığın temel öncüller ile sonuç arası ilişkiler olduğunu unutmamaktır. Demek ki bir tümdengelimli kanıtlama sonucun, temel öncüller doğru iken, yanlış olamadığı bir kanıtlamadır. Temel-olmayan öncüller bu tanıma girmezler. Kanıtlamaların temel-olmayan öncüller (yani ara-sonuçlar) içermesinin başlıca sebebi insan zihninin sınırlılığıdır. Birçok karışık/detaylı kanıtlamaları tek bir adımda idrak edemeyiz. Dolayısıyla onları daha küçük adımlara böleriz, öyle ki bu adımların her biri kolayca anlaşılabilir olur. Yine de değerlendirme söz konusu olduğunda biz daima kanıtlamanın bütününü göz önüne alırız, yani başlangıç noktalarımızın, diğer bir deyimle temel öncüller/varsayımların, verili olduğu durumda sonucun olasılığı ile alakadar oluruz. 21

22 Yine de bir kanıtlamanın içerdiği her bir adım kendi başına bir kanıtlamadır ve kendi tümevarımsal olasılığına sahiptir. O halde burada sorulması gereken soru, bileşen adımların tümevarımsal olasılığını karmaşık kanıtlamanın bütününün tümevarımsal olasılığı ile ilişkilendiren kuralların bulunup bulunmadığı olmalıdır. Burada bir öneri, bütün kanıtlamanın tümevarımsal olasılığını adımların tümevarımsal olasılıklarını çarparak hesaplamak olabilir. Ama her duruma uygulanan böyle bir kuraldan bahsedemeyiz. Bu mesele genelinde oldukça karışıktır. Yine de bu konuda bize yardımcı olacak kimi kurallardan bahsedebiliriz. (1) Yakınsak-olmayan karmaşık kanıtlamalarda eğer adımlardan biri veya birden fazlası zayıf ise genellikle bütün kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı da düşüktür (2) Eğer yakınsak-olmayan bir kanıtlamada tüm adımlar (eğer bunlardan çok sayıda yoksa) güçlü biçimde tümevarımlı veya tümdengelimli ise bütün kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı genellikle yeterince yüksektir. (3) Yakınsak bir kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı genellikle en güçlü dalın tümevarımsal olasılığı kadardır. Bu üç kuralı uygularken, öncüllerin içerdikleri bilgi bakımından birbirleri ile çelişip çelişmediğine veya birbirlerini destekleyip desteklemediğine dikkat edilmelidir. Bu üç kural genellikle doğru değerlendirme yapmamıza imkân verir, fakat kesin bir değerlendirme yapmaya imkân vermezler. Ama doğru bir değerlendirme için, mutlaka sonucun temel öncüller dikkate alındığındaki olasılığını incelemek gerekir ve ara-sonuçları göz ardı etmek gerekir. Bunun istisnası olan, yani adımların güçlülüğünden kalkarak kanıtlamanın güçlülüğünü hesaplamanın mümkün olduğu tek kural ise şudur: (4) Eğer karmaşık kanıtlamada adımların hepsi tümdengelimli ise kanıtlamanın bütünü de tümdengelimlidir. Bunun neden böyle olduğunu görmek zor değil. Zira eğer her adım tümdengelimli ise temel öncüllerin doğruluğu her ara-sonucun doğruluğunu da garanti edecektir ve bu, nihai sonuca kadar böyle gidecektir. LER 2.13 Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz ve ölçüt (2) ye göre değerlendiriniz. [ Kimyasal yöntemlerle ayrıştırılamayan tüm parçacıklar ya birer atom-altı parçacıktır ya da birer atomdur.] Şimdi, [bakırın en küçük parçacıkları kimyasal yöntemlerle ayrıştırılamazlar,] yine de [ bunlar atom-altı parçacık değildir.] Bundan ötürü [ bakırın en küçük parçacıkları birer atomdur.] [ En küçük parçacıkları birer atom olan şey bir elementtir.] Demek ki [ bakır bir elementtir.] Ve [hiçbir element bir alaşım değildir.] O halde, [bakır bir alaşım değildir.] 22

23 Kanıtlamanın şeması şöyledir: D D D 8 D Her adım tümdengelimlidir. Bunu çıkarım oklarının yanına bir D harfi koyarak belirttik. Her adım tümdengelimli olduğu için bütün olarak kanıtlamanın kendisi de tümdengelimlidir. Bunu şemanın yanına kutu içine alınmış bir D ile belirttik Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz ve değerlendiriniz. [ Birleşik Devletlerdeki rastgele seçilmiş 50 adet kömür madenine ilişkin araştırmalar bunlardan 39 tanesinin ulusal güvenlik düzenlemelerine uymadıklarını ortaya çıkardı.] Bu şu anlama gelir ki [ Birleşik Devletlerdeki kömür madenlerinin önemli bir yüzdesi ulusal güvenlik düzenlemelerini ihlal etmektedir.] [ Tüm ulusal güvenlik düzenlemeleri birer ulusal yasa olduğu] için sonuç olarak [ Birleşik Devletlerdeki kömür madenlerinin önemli bir yüzdesi ulusal yasaları ihlal ediyorlar demektir.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: 1 I (güçlü) I (güçlü) 4 D Birinci çıkarım okunun yanındaki I birinci yargıdan ikinci yargıya olan adımın tümevarımlı olduğunu gösteriyor. D ise (2) ve (3) ten (4) e olan adımın tümdengelimli olduğunu gösteriyor. Bu durum kanıtlamanın bütününü tümevarımlı kılar ki bunu da kutu içine alınmış I ile belirttik. Birinci adımın ve dolayısıyla bütün kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı yeterince yüksektir. Bu yüzden parantez içinde güçlü olduklarını belirttik. 50 sayısı küçük olsa bile ikinci yargıda geçen önemli bir 23

24 yüzdesi deyimi bu yargıyı temkinli kılmakta ve kanıtlamayı da güçlü hale getirmektedir. Eğer birinci yargı doğru ise önemli bir yüzdesi deyiminin geçtiği yargının doğru olması oldukça muhtemeldir. Eğer bunun yerine pek çok ve çok deyimi kullanılsaydı kanıtlama zayıf, ve eğer neredeyse hepsi denseydi daha da zayıf olacaktı. Sonuç olarak (1) ve (3) ün verili olduğu durumda (4) ün doğruluğu oldukça muhtemeldir ve kural (2) ye göre kanıtlama güçlü bir kanıtlamadır Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz ve değerlendiriniz. [ Bu Mercedes ile bu Austin mekanik açıdan neredeyse her konuda birbirinin eşidirler.] [ Austin de hidrolik kavrama var.] Bu yüzden çekinmeden şu sonuca varabiliriz ki [ Mercedes te de var.] Oysa [hidrolik kavramalar sızıntıdan kaynaklı bozulmaya eğilimlidirler.] O halde, [ hem Austin hem Mercedes kötü tasarlanmış arabalardır.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: I (güçlü) I (zayıf) 5 I (zayıf) (1) ve (2) ye dayanarak (3) ün muhtemel olduğunu söylemek akla yatkındır, bu yüzden birinci adım güçlüdür. Ama (3) ve (4) e dayanarak (5) in çok muhtemel olduğunu söyleyemeyiz. (5) bize her iki arabanın da bütün olarak kötü tasarlanmış olduklarını söylüyor, oysa (3) ve (4) bize en fazla bir parçanın (hidrolik kavramanın) kötü tasarım olduğunu söylüyor. Aslında bunu bile söylediği iddia edilemez, çünkü hidrolik kavramaların genelde sızıntıdan kaynaklı bozulmaya eğilimli olmaları bu iki arabadaki kavramaların da kötü tasarım olduğunu garanti etmez. Bu yüzden kanıtlamadaki ikinci adım çok zayıftır. Aynı sebepten ötürü temel-öncüller olan (1), (2) ve (4) ün verili olduğu durumda (5) in doğru olma olasılığı düşüktür ve bütün olarak kanıtlama kural (1) e göre zayıftır Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz ve değerlendiriniz. [ Vasfiye Teyze yaşlı ve zayıf birisi] ve [onun durumundaki bir kişinin Ahmet Amcayı öldüren darbeleri indirmiş olması pek olası değil.] [ Katili gören iki güvenilir tanık bunu yapanın Vasfiye Teyze olmadığını söylüyor.] Ve son olarak, [Vasfiye Teyzenin Ahmet Amcayı öldürmek için bir sebebi yoktu] ve [bir sebep olmadan onu öldürmüş olması çok zor ihtimal.] Bu yüzden [Ahmet Amcanın öldürülmesinde o masumdur.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: 24

25 I (güçlü) I (güçlü) I (güçlü) 6 I (çok güçlü) Kanıtlama yakınsaktır. Her adım güçlü tümevarımlıdır ve birlikte alındıklarında adımlar birbirini güçlendirmektedir. O halde bütün kanıtlamanın tümevarımsal olasılığı bu adımların her birinden daha fazladır, kanıtlamadaki akıl yürütme oldukça güçlüdür. Yakınsak kanıtlamalarda, yakınsak-olmayanların tersine olarak, tek bir adım bütünün güçlülüğünü azaltmaz. Mesela eğer yukarıdaki kanıtlamaya şu zayıf adımı ilave bir dal gibi ekleseydik, Vasfiye Teyze katil olduğunu inkâr ediyor. Ahmet Amcanın öldürülmesinde o masumdur. kanıtlamanın bütününün tümevarımsal olasılığı yaklaşık olarak aynı kalırdı. Bunun sebebi, yakınsak bir kanıtlamada sonucun çıkarsanmasında bir dalın tek başına kritik önem taşımıyor olmasıdır. Bunun tersine, yakınsak-olmayan kanıtlamalarda her adım kritik önemdedir, dolayısıyla tek bir zayıf adım bile bütün olarak kanıtlamayı büyük oranda zayıf kılmaya yeter. Bunlar birinci kuralın arkasında yatan mantığı yansıtan hususlardır. Bununla birlikte istisna haller de vardır, aşağıdaki örnekte olduğu gibi Aşağıdaki kanıtlamanın şemasını oluşturunuz ve içerdiği akıl yürütmeyi değerlendiriniz. [Senin bütün arkadaşların münasebetsiz adamlar.] [Cem bir münasebetsiz olduğu] için [senin münasebetsiz arkadaşlarından biri olmalı.] Ama [münasebetsiz kişilerden iyi arkadaş olmaz.] Ve dolaysıyla [Cem senin için iyi bir arkadaş sayılmaz.] Kanıtlamanın şeması şöyledir: I (zayıf) D 5 D 25

26 (1) ve (2) den (3) e olan adım tümdengelimli gibi görünse de değildir. Cem in tüm arkadaşlarının münasebetsiz adamlar olması, ama bir kişinin münasebetsiz olup da Cem in arkadaşı olmaması son derece mantıklıdır. Aslında (1) ve (2) nin verili olduğu durumda (3) hiç de öyle olası değildir. Diğer yandan (3) ve (4) den (5) e olan adım açıkça tümdengelimlidir. Ve şaşırtıcı biçimde kanıtlamanın bütünü de öyledir, çünkü temel-öncüller (2) ve (4) doğru iken (5) de doğru oluyorsa kanıtlama tümdengelimli olur. Yani, eğer Cem bir münasebetsiz ise ve eğer münasebetsizlerden iyi arkadaş olmazsa bu durumda (sizin tüm arkadaşlarınızın birer münasebetsiz olup olmamasından bağımsız olarak) Cem sizin için iyi bir arkadaş değil demektir. (Cem sizin zaten hiç arkadaşınız olmayabilir.) Kategorik Yargılar Önermeler mantığı sadece doğruluk değeri işlemlerini (doğruluk değerinin saptanmasını) ve bununla ilgili operatörleri (önerme eklemlerini) göz önüne alır. Söz konusu bu doğruluk fonksiyonu operatörleri değil, veya, ve, eğer ise ve ancak ve ancak tır. Doğruluk değeri işlemleri ve bu işlemlerin dayandığı mantıksal ilişkiler çok temel ilişkilerdir, fakat yine de mantığın konusunun sadece bir kısmını oluştururlar. Bunların yanında bir de tüm, bazı ve hiçbir gibi ifadelerle anlatılan mantıksal ilişkiler vardır. Önermeler mantığı mantıksal ilişkileri incelemek için yetersiz kalmaktadır ve bu mantığın ötesine geçmek, yeni bir mantık ya da yeni bir formalizm/notasyon üretmek, diğer bir deyimle mevcut formalizmi genişletmek bir zorunluluk olmaktadır. Çünkü mesela öyle kanıtlamalar vardır ki bunların geçerliği sadece doğruluk fonksiyonu operatörlerine dayanmaz. Mesela şu kanıtlama geçerli bir kanıtlamadır fakat bunu göstermek için önermeler mantığı yeterli gelmemektedir: Bazı dört ayaklı hayvanlar antiloptur. Tüm antiloplar otçuldur. Bazı dört ayaklı hayvanlar otçuldur. Bu kanıtlamadaki yargıların hiçbiri doğruluk fonksiyonu mantığına göre bir araya getirilmemiştir. Önermeler mantığının bakış açısından yaklaşırsak bu yargıların içerdiği içsel yapıyı yakalayamayız. Bu yapıyı önermeler mantığının araçları ve kuralları ile ifade etmek mümkün değildir. Eğer bu kanıtlamayı önermeler mantığında biçimselleştirmek istersek tek yapabileceğimiz şey p, q r gibi bir şey yazmaktır. Ama bu biçim açıkça geçersizdir, çünkü p ve q doğru iken r yanlış olacak şekilde seçilecek herhangi bir p, q, r yargılar grubu geçersiz bir örnek durum (bir karşı-örnek) oluşturacaktır. Oysa daha derine inen ve derindeki ayrımları saptayan bir yaklaşım uygulanırsa, bu önermelerin içerdiği o içsel yapı ortaya konabilir ve uygun şekilde biçimselleştirilebilir ve bu yapının geçerli bir mantıksal biçim olduğu gösterilebilir. Bu söz konusu içsel yapılar, yargılar arası ilişkilerden doğmazlar (doğruluk fonksiyonu mantığının ilişkileri değildirler) fakat yargıların içerdiği terimler arasındaki ilişkilerden doğarlar. Bunu açıklıkla görebilmek için yukarıdaki kanıtlamayı şöylece sembolleştirelim: 26