MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU"

Transkript

1 MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsen YIOĞLU İSTNUL 6

2 . Mekanğn tanımı 5. Temel lkeler ve görüşler 5 İçndekler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel şlemlern tanımı 6.. ektörün br saı le çarpımı 6.. ektörlern toplamı 7..3 İk ektörün brbr le skaler çarpımı 7..4 İk ektörün brbr le vektörel çarpımı 7..5 r vektörün br eksen üzerndek zdüşümü 8 3 EKTÖLEİN NLİTİK İNELENMESİ 9 3. İk boutlu vektörlern kartezen koordnatlarda gösterlş 9 3. Üç boutlu vektörlern kartezen koordnatlarda gösterlş 3.3 Kartezen koordnatlarda vektörel şlemler ektörün br saı le çarpımı ektörlern toplamı İk vektörün skaler çarpımı İk vektörün vektörel çarpımı Üç vektörün karışık çarpımı r vektörün br eksen üzerndek zdüşümü 8 4 KUET SİSTEMLEİ 9 4. Kuvvetn tanımı ve vektörle gösterlş 9 4. r kuvvetn br noktaa göre moment 4.3 r kuvvetn br eksene göre moment 4.4 r kuvvet sstemnn br noktaa göre moment ve ndrgeme elemanları (r kuvvet sstemnn statk eşdeğer ) 4.5 r kuvvet sstemnn değşmezler ejenere kuvvet sstemler Sıfıra eşdeğer kuvvet sstem Kuvvet çftne (Tek br momente) eşdeğer kuvvet sstem leşkee eşdeğer kuvvet sstem 6

3 4.6.4 leşkes olan kuvvet sstem Merkez eksen Paralel bağlı kuvvet sstem ve merkez 9 5 KÜTLE MEKEZİ 3 5. r sürekl csmn kütle merkez 3 5. leşk csmn kütle merkez 38 6 STTİK 4 6. Grş 4 6. İç kuvvetler ve kest zorları Statğn temel lkelernn geçerl olduğu referans sstemler r maddesel noktanın kuvvetler etksnde denges r jd csmn kuvvetler etksnde denges r jd csm sstemnn kuvvetler etksnde denges üzlemsel kuvvetler etksndek csmlern denges Üç boutlu kuvvetler etksndek br rjd csmn denges le lgl ugulamalar 53 7 SÜTÜNME 6 7. Sürtünme ve sürtünme katsaısı 6 7. Mesnetlerdek sürtünmeler Halat ve kaış kasnak sürtünmes 65 8 YYILI YÜKLE Yaılı üklern tanımı Krşlerde aılı ükler 68 9 KLOL 7 9. Genel blg 7 9. Konsantre ükler etksndek kablolar Yaılı ükler etksndek kablolar Yatada düzgün aılı ük etksndek kablolar (Parabolk kablo ) Kend ağırlığı etksnde olan homojen apıdak kablo vea zncrn denges 8 3

4 ÜZLEM KFES KİİŞ SİSTEMLEİ 86. Genel blg ve tarfler 86. ast kafes sstem 86.3 üğüm noktaları metodu le kafes sstemnn analz 88.4 Özel düğüm noktaları 9.3 Kesm metodu le kafes sstemnn analz 94 ÇEÇEE E MKİNL 97. Grş 97. Çerçeveler 97.3 Makneler KİİŞLEEKİ KESİT ZOLI KESME KUETİ E EĞİLME MOMENTİ İGMLI 4. Krşlerde kest zorları 4. Kest zorları çn kabul edlen poztf önler 4.3 Yaılı ük, kesme kuvvet ve eğlme moment arasındak bağıntılar 5.4 Kesme kuvvet ve eğlme moment dagramları 6 3 İTÜEL İŞLE METOU 5 3. Grş 5 3. rtüel er değştrme r kuvvetn vrtüel ş r momentn vrtüel ş rtüel şler lkes Çok serbestlk derecel sstemlerde vrtüel şler lkes 9 EK aha öncek senelerde sorulan ze soruları ve cevapları EK aha öncek senelerde sorulan Fnal soruları ve cevapları 64 4

5 ÖLÜM GİİŞ. Mekanğn tanımı smlern Kuvvetler etksnde dengesn ve hareketlern nceleen blm dalına mekank denr. Mekank csmlere maddesel nokta, rjd csm, elastk csm, plastk csm ve akışkanlar ( sıvı ve gazlar) olmak üzere aklaşır.mekank eğer sadece Maddesel nokta ve rjd csm modeln ncelorsa buna mühendslk mekanğ denr. unun dışında nceledğ csm modelne ugun smler verlr. Örneğn elastomekank vea elastste, plastste, hdromekank, aerodnamk, elektromekank gb. Mekank, Statk ve namk olmak üzere k blm dalına arılır. Statk kuvvetler etksnde csmlern denge koşullarını, namk se hareketlern nceler.. Temel lkeler ve görüşler Mekanğn temel aldığı lkeler Newton asalarıdır. u asalar csmlere maddesel nokta model le aklaşıldığında kullanışlıdır. ğer csm modellerne matematksel modellerle genşletlmes gerekr. enzer şeklde mekankte kuvvetler maddesel nokta modelnde vektörlerle gösterleblmesne karşı rjd csm modelnde vektör ve etk doğrusu kavramları beraber kullanılmalıdır. Mühendslk mekanğ vektörler ardımı le oluşturulduğu çn vektörler bze gerektğ kadar arıntılı br şeklde ele almamız gerekr. 5

6 ÖLÜM EKTÖLEİN E TEMEL İŞLEMLEİNİN TNIMI. ektörlern tanımı oğrultu, ön ve modülü le tanımlanan büüklüklere vektörler denr. r vektör Koulaştırılmış harfler le vea üzerne ok şaret çzlen harflerle belrtlr. ektörler aşağıdak gb önlendrlmş doğru parçası le gösterleblr. r referans sstemne göre çzlen bu doğru parçasının doğrultusu vektörün doğrultusunu, önü vektörün önünü ve uzunluğu vektörün modülünü gösterr. r vektörün modülü le gösterlr. Sıfır vektör : modülü sıfır olup doğrultu ve önü belrsz olan vektörlere sıfır vektörü denr ve le gösterlr. vektörü : vektörü le anı doğrultu ve modülde fakat ters öndek vektöre vektörü denr. rm vektör: Modülünün saısal değer olan vektöre brm vektör denr.. ektörel şlemlern tanımı ektörler üzerne nşa edlen temel şlemler : ektörün br reel saı le çarpımı, vektörlern toplanması, skaler ve vektörel çarpımı gb şlemlerdr... ektörün br saı le çarpımı Çarpılan vektörle anı doğrultuda br vektördür. Eğer çarpım katsaısı poztf se önde anıdır. Modül se çarpım katsaısı le vektörün modülünün çarpımı kadardır. k k r vektörün brm vektörü : ektörü modülüne bölerek elde edlr. r eksenn brm vektörü : Eksen doğrultusunda ve önündek herhangbr vektörü modülüne bölerek bulunur. 6

7 .. ektörlern toplamı aşlangıçları anı noktaa getrlen k vektörün toplamı bu vektörler üzerne kurulan paralel kenarın köşegen üzerndek aşağıda gösterlen vektöre eşttr İk vektörün brbr le skaler çarpımı İk vektör arasındak açı: aşlangıçları anı noktaa getrlen k vektör arasındak 8 den büük olmaan açı k vektör arasındak açı olarak alınır. θ Skaler Çarpım sonucunda skaler elde edlr. os θ..4 İk vektörün brbr le vektörel çarpımı ektörel çarpımın sonucu ne br vektördür. ( Sn θ) n urada ektörel çarpım sonunda elde edlen vektör her k vektöre dk doğrultuda ve Sn θ modülünde br vektördür. Yönü se sağ el kuralı le bulunablr. 7

8 Sağ el kuralı le elde edlen ön, baş parmak dışındak sağ el parmakları brnc vektörü knc vektöre doğru döndürme önünde tutulursa baş parmağın gösterdğ öndür. n θ h Sn θ fadesnde Sn θ h olduğundan ve vektörlernn brbr le vektörel çarpımının modülü bu vektörlern başlangıçları anı noktaa getrlrse üzerne kurulan paralelkenarın alanına eşt olduğu görülür...5 r vektörün br eksen üzerndek zdüşümü Δ os θ Δ θ Δ Δ U Δ burada U Δ Δ eksennn brm vektörüdür. 8

9 ÖLÜM 3 EKTÖLEİN NLİTİK İNELENMESİ 3. İk boutlu vektörlern kartezen koordnatlarda gösterlş j β α üzlemde br vektör + j şeklnde ve eksen doğrultusundak vektörlern toplamı cnsnden azılablr. u vektörün modülü se aşağıdak gb psagor teorem ardımı le bulunur. + r vektörün doğrultusunda ve önündek brm vektör se vektör modülüne bölünerek elde edlr. U ( ), U j + ( ) 9

10 şağıdak gb brm vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosnüslerne eşt olduğu gösterleblr. os α U, os β U Problem 3.. r düzlemdek ata doğrultu le 3 derecelk açı apan ve modülü 8 brm olan vektörü ve brm vektörünü kartezen koordnat sstemnde azınız. Çözüm: j θ + j 8brm, θ 3 osθ, Snθ 8os3, 69, 8brm 8Sn3, 4brm 69, 8 + 4j U j + ) U, 866 +, 5 j (, () 69, 8 4 U + j () 8 8

11 3. Üç boutlu vektörlern kartezen koordnatlarda gösterlş j H F β γ α E O z k Z Üç boutlu uzada br vektör kartezen koordnat sstemnde + j + zk şeklnde ve eksen doğrultusundak vektörlern toplamı cnsnden azılablr. u vektörün modülü se aşağıdak gb psagor teorem ardımı le bulunur. + + z r vektörün doğrultusunda ve önündek brm vektör se vektör modülüne bölünerek elde edlr. U ( ), U z j k + + ( ) şağıdak gb brm vektörün katsaılarının vektörün eksenlerle aptığı açıların kosnüslerne eşt olduğu gösterleblr. z os α U, os β U, os γ U z Problem 3.. r vektörünün başlangıcı kartezen koordnat sstemnn başlangıç noktasına erleştrldğnde uç noktası (6,3,) koordnatlarında se bu vektörün a) bu koordnat sstemndek azılışını b) modülünü c) brm vektörünü d) koordnat eksenler le aptığı açıları bulunuz.

12 Çözüm: H F ( 6 ; 3 ; ) β O α γ a) z + j + zk 6 + 3j + k b) z z, ( 6) + ( 3) + ( ) c) U, ( ) 6 3 U + j + k () U () 6 + 3j + k 7 d ) os α U, os U 6 os α, 7 3 os β, 7 z β, os γ U z os γ 7 α 3, β 64, 6, γ 73, 4

13 3.3 Kartezen koordnatlarda vektörel şlemler 3.3. ektörün br saı le çarpımı Kartezen koordnat sstemnde br vektör + j + zk şeklnde azılırsa bu vektörün br λ saısı le çarpımı aşağıdak şeklden görüldüğü gb dkdörtgenler przmasının bütün ölçüler anı λ saısı le çarpılarak elde edldğnden λ λ + λ j + λzk şeklnde azılablr. λ z λ z λ z λ r vektörün br saı le çarpımı vektörün doğrultusunu değştrmez. Eğer çarpım katsaısı poztf se önü de değşmez. Problem Problem 3.. de hesaplanan 6 + 3j + k çarpımından elde edlen λ vektörünün a) fadesn b) modülünü c) brm vektörünü hesaplaınız. vektörünün λ,5 le Çözüm: a) λ λ + λ j + λzk λ 5, 6 + 5, 3j + 5, k λ j + 5k b) λ ( 5) + ( 75) + ( 5) 3

14 λ 75, λ, λ λ c) λ λ λ z U + j + k ( λ) λ λ λ 5, 6 5, 3 5, U + j + k ( λ) 5, 7 5, 7 5, U + j + k ( λ ) U U ( λ ) () 3.3. ektörlern toplamı Şeklde gösterldğ gb İk boutlu uzada ve vektörünün toplamı olan vektörünün koordnat eksenler doğrultusundak bleşenler ve vektörlernn anı doğrultudak bleşenler toplanarak bulunur. + j, + j + ( + ) + ( + ) j + + O E + Şekldek OE üçgennden OE kenarının uzunluğu O ve E kenarlarının uzunlukları toplamından büük olamıacağı blndğnden + + eştszlğ azılablr. nı şlemler üç boutlu uzaa aşağıdak gb ugulanablr. + j + zk, + j + zk + ( + ) + ( + ) j + ( + ) k z z 4

15 Problem j + k vektörü le + 3j + 4k vektörünün a) modüllern b) bu vektörlern toplamını c) toplam vektörün modülünü hesaplaınız. Çözüm: a) , 7 ( ) + ( 3) + ( 4), 3 b) + ( 6+ ) + ( 3+ 3)j + ( + 4)k j + 6k c) + ( 8) , İk vektörün skaler çarpımı şağıda gösterldğ gb ve vektörünün skaler çarpımı bu vektörlern anı doğrultudak bleşenler çarpımı toplanarak bulunur ve sonuç skalerdr. + j + zk, + j + zk + + z z Skaler çarpımın tanımından skaler çarpımın mutlak değer vektörlern modüller çarpımından büük olamaz. Problem j + k vektörü le + 3j + 4k vektörünün a) skaler çarpımını b) modüller çarpımını hesaplaınız. c) aralarındak açıı hesaplaınız. Çözüm: a) b) 7, 3 3 7, 9 5

16 c) skaler çarpımın tanımından osθ os θ 89 os θ θ, İk vektörün vektörel çarpımı Sağ kartezen koordnat sstemnde koordnat eksenlernn brm vektörlernn vektörel çarpımı aşağıdak gb azılır. j k, j k, j k, k j k j, k j Sağ eksen sstemnde fade edlen ve vektörünün vektörel çarpımı olan vektörü aşağıda gösterlen determnantın açılımı ardımı le hesaplanablr. + j + zk, + j + zk ( + j + zk) ( + j + zk) [( ) ( )] + [( ) ( j)] + [( ) ( zk)] + + [( j) ( )] + [( j) ( j)] + [( j) ( zk)] + + [( k) ( )] + [( k) ( j)] + [( k) ( k)] z z z z j k z z Problem j + k vektörü le + 3j + 4k vektörünün a) vektörel çarpımını b) vektörel çarpım vektörü le vektörü arasındak açıı c) vektörel çarpım vektörü le vektörü arasındak açıı hesaplaınız. Çözüm: a) j k z j k, z ( 3 4 3) + ( 6 4)j + ( )k 6 8k 6

17 b) c) ( 6 8k) ( 6 + 3j + k) olduğundan vektörü vektörüne dktr. ( 6 8k) ( + 3j + 4k) olduğundan vektörü vektörüne dktr Üç vektörün karışık çarpımı İk vektörün vektörel çarpımından elde edlen vektörün br dğer vektörle skaler çarpımına bu üç vektörün karışık çarpımı denr. + j + zk + j + zk + j + k z ( ) z z z Lneer cebrden blndğ gb br etermnantta k satırın er değşrse determnantın şaret değşr, satırların er k vea knn katları saısında değşrse determnantın değer değşmez. u blnen özellkten fadalanarak aşağıdak eştlkler azılablr. ( ) ( ) ( ) 7

18 3.3.6 r vektörün br eksen üzerndek zdüşümü θ Δ Δ Δ U Δ + j + zk U U + U j + U k Δ Δ U + z U + z U z Problem j + 4k vektörünün kartezen koordnat eksenler le poztf bölgede eşt açılar apan ve poztf bölgee doğru önelmş Δ eksenndek zdüşümünü ve bu eksenle aptığı açıı hesaplaınız. Çözüm : Δ U Δ İzdüşüm alınacak eksenn brm vektörü bu eksen önündek br vektörü modülüne bölerek elde edlr. + j + k U Δ, UΔ j k Δ ( + 3j + 4k) ( j k) , 3 9 Δ 3 Δ Δ UΔ osθ os θ 9 os θ os θ, Δ θ 3, 45 8

19 ÖLÜM 4 KUET SİSTEMLEİ 4. Kuvvetn tanımı ve vektörle gösterlş r csmn şekln vea hızını değştren ve başka csmler tarafından ugulanan fzksel etke kuvvet denr. Kuvvet doğrultu ön ve br şddet çerdğnden vektörle gösterleblr. Yalnız anı vektörle gösterlmesne rağmen kuvvet csmn farklı erlerne ugulandığında fzksel etks farklı olur. undan dolaı kuvvet özellkle rjd csm mekanğnde vektör ve etk doğrusu le brlkte düşünülmeldr. Etk doğrusu F Kuvvet vektörü 9

20 4. r kuvvetn br noktaa göre moment M O o F h θ θ M O F h MO O F O F F O Sn θ O Sn θ h uradan M O F h olduğu görülür. j k M O z F F F z M ( F F ) + ( F F ) j + ( F F ) k O z z z z Problem 4.. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen 3 N. şddetnde olan ve dan e doğru önelmş F kuvvetnn O(,,) noktasına göre momentn bulunuz. MO O F O 3 + 8j + k, F F U U, O O

21 ( 7 4j + 4k) ( 3 + 8j + k), 4 j + 3k 4 j + 3k 4 3 U, U j + k 4 + ( ) F 4 j + 3k M O ( 3 + 8j + k) ( 4 j + 3k) j k M O 3 8, MO 36 5j 68k r kuvvetn br eksene göre moment M Δ M Δ F MΔ M UΔ M U ( F) Δ Δ M Δ U F U F z U F z z z

22 Problem 4.3. (3,8,) ve (7, 4,4) noktalarından geçen ve 3 N. Şddetnde olan F kuvvetnn O(,,) ve (,6,3) noktalarından geçen Δ eksenne göre momentn bulunuz.(koordnatlar metre cnsndendr.) MΔ MO UΔ Problem 4.. den MO 36 5j 68k dır. O UΔ + 6j + 3k, U Δ O UΔ j k M Δ ( 36 5 j 68k) ( + j + k) M Δ , M Δ M Δ 3, 43Nm r kuvvet sstemnn br noktaa göre moment ve ndrgeme elemanları ( r kuvvet sstemnn statk eşdeğer) r vea brden fazla saıda kuvvetten oluşan ssteme kuvvet sstem denr. d d d d n F F F F n n M O O u n saıda kuvvetten oluşan kuvvet sstemnn br uzaın o noktasına göre momentne bleşke moment denr ve bu bleşke moment her br kuvvetn bu noktaa göre moment vektörlernn toplamına eşttr. n M O F O u n saıdak kuvvetn vektörel toplamına geometrk toplam denr. n F

23 Elde edlen bleşke moment ve geometrk toplamın her ksne brden bu vektör sstemnn ndrgeme elemanları denr. r kuvvet sstemnde br noktadak ndrgeme elemanlarından fadalanarak başka noktalardak ndrgeme elemanlarının bulunuşu: n MQ Q F Q QO + O n M Q (QO+ O ) F MQ MO + QO Problem 4.4. r kuvvet sstem (5, 3,8) noktasından geçen F + 8j 4k, (,8,9)) noktasından geçen F 5 + j + 6k, 3 (,,7) noktasından geçen F j 9k ve 4 (,,-4) noktasından geçen F4 3 j 8k kuvvetlernden oluşmuştur. u kuvvet sstemnn a) O(,,) noktasındak ndrgeme elemanlarını b) Q(,, 6) noktasındak ndrgeme elemanlarını bulunuz. Çözüm: a) 4 F, F + F + F3 + F4 ( + 8j 4k) + ( 5 + j + 6k) + ( 6 + 8j 9k) + ( 3 j 8k) ( ) + ( )j + ( )k + 8j 5k 4 MO O F, MO O F + O F + O 3 F3 + O 4 F4 O F ( 5 3j + 8k) ( + 8j 4k) j k O F j + 7k 8 4 j k O F j + k 5 6 3

24 j k O3 F j + 96k j k O4 F4-4 6 j 36k 3 8 M O ( + 5j + 7k) + ( 7 5j + k) + ( 6 4j + 96k) + ( 6 j 36k) M O ( 7 6 6) + ( )j + ( )k MO j + 3k b) n F, + 8j 5k MQ MO + QO QO j + 6k QO ( j + 6k) ( + 8j 5k) j k QO 6 8j 6k 8 5 M Q ( j + 3k) + ( 8j 6k) MQ 3 + 7j + 4k 4.5 r kuvvet sstemnn değşmezler a) r kuvvet sstemnde kuvvetlern geometrk toplamı olan noktadan noktaa değşmez. b) r kuvvet sstemnde bleşke momentn geometrk toplam üzerndek zdüşümü noktadan noktaa değşmez. İspat: M Q U ( M O + QO ) U ( QO ) U ( ve U anı doğrultuda olduğundan ) M Q U M O U elde edlr. Yukarıdak denklemn her k tarafı le çarpılırsa M Q M O eştlğ elde edlr. u eştlkten leşke moment le geometrk toplamın skaler çarpımının noktadan noktaa değşmedğ anlaşılır. 4

25 Problem 4.5. Problem 4.4. dek kuvvet sstem çn M Q M O eştlğn gerçeklenz. Çözüm: + 8j 5k MO j + 3k MQ 3 + 7j + 4k MQ ( 3 + 7j + 4k) ( + 8j 5k) MQ ( 5) MQ 886 MO ( j + 3k) ( + 8j 5k) MO ( 5) M 886 M M 886 O Q O 5

26 4.6 ejenere kuvvet sstemler leşke momentle geometrk toplamın brbr le skaler çarpımının sıfır olduğu kuvvet sstemlerne dejenere kuvvet sstemler denr. M O u eştlk le aşağıdak durumlarda karşılaşılır ) M O, (sıfıra eşdeğer kuvvet sstem) 4.6. ) M O, (kuvvet çftne eşdeğer kuvvet stem) ) M O, (bleşkee eşdeğer kuvvet sstem) ) M O, (bleşkes olan vektör sstem) üzlemsel, br noktada kesşen ve paralel kuvvet sstemler dejenere kuvvet sstemlerdr Sıfıra eşdeğer kuvvet sstem M O Sıfıra eşdeğer kuvvet sstemnde ) Kuvvet sstem tek br kuvvetten oluşmuşsa bu kuvvetn şddet sıfır olmalı. ) Kuvvet sstem k kuvvetten oluşmuş se bu kuvvetler anı doğrultuda ters önde ve eşt şddette olmalıdır. 3) Kuvvet sstem üç kuvvetten oluşmuş ve brbrne paralel değl se bu kuvvet sstemnn geometrk toplamının sıfır olablmes çn kuvvetlern oluşturduğu polgon kapalı br üçgen olmalıdır. u kuvvet sstemnde bleşke momentn sıfır olablmes çn bu üç kuvvetn doğrultusu anı erde kesşmeldr Kuvvet çftne eşdeğer kuvvet stem M O, r kuvvet sstemnde Geometrk toplam sıfır leşke moment sıfırdan farklı se bu kuvvet sstem tek br momente eşdeğer olur. u moment vektörüne dk düzlemlerde alınan kuvvet çftler le de bu kuvvet sstem temsl edleblr. r kuvvet sstem tek br momente eşdeğer se bu noktadan noktaa değşmez. MQ MO + QO ve olduğundan MQ MO olur leşkee eşdeğer kuvvet sstem M O, Eğer br noktada bleşke moment sıfır ve geometrk toplam sıfırdan farklı se bu geometrk toplam sank sstem tek br kuvvetten oluşmuş gb bu sstem temsl edebleceğnden bu geometrk toplama bu kuvvet sstemnn bleşkes denr. 6

27 4.6.4 leşkes olan kuvvet sstem M O, Eğer dejenere vektör sstemnde leşke moment ve geometrk toplamın her ks de sıfırdan farklı se bu k vektör brbrne dk olmalıdır. u vektör sstemnn bleşkes bulunablr. 4.7 Merkez eksen leşke momentle geometrk toplamın anı doğrultuda olduğu eksene merkez eksen vea vda eksen denr. Mλ da eksen λ(,,z) M O O(,,) M Merkez eksen üzerndek br nokta λ(,,z) ve O(,,) noktasındak bleşke moment MO M + Mj + Mk z se leşke momentn geometrk toplam üzerndek zdüşümü değşmeceğnden Mλ M U azılablr. M MO U M M U + M U + M zu z Mλ M U + M U j + M Uz k undan başka geçş teorem ugulanarak Mλ aşağıdak gb de azılablr. Mλ MO + λo Mλ MO Oλ j k Oλ z z O λ ( z ) + ( z)j + ( )k z z z z z M z M M U U U z M M M z 7

28 Problem 4.7. Problem 4.4. verlen kuvvet sstemnn merkez eksennn denklemn bulunuz. merkez eksenn oz düzlemn kestğ noktanın koordnatlarını bulunuz. + 8j 5k, MO j + 3k Mλ MO Oλ Mλ M U M MO U U + 8j 5k + 8j 5k U, U, ( ) + ( 8) + ( 5) 493 U, , 747 j, 388k M ( j + 3k) (, , 747 j, 388k) M 9, 73 M λ 9, 73 (, , 747 j, 388k) M λ 9, 6 5, 66 j + 8, 4k Mλ M O ( 9, 6 5, 66j + 8, 4k) ( j + 3k) Mλ M O 4, 84 4, 66 j 48, 76k O λ ( + 8j 5k) ( + j+ zk) j k Oλ 8 5 z O λ ( 8z+ 5) + ( 5 z)j + ( 8)k ( 8z+ 5) + ( 5 z)j + ( 8)k 4, 84 4, 66j 48, 76k 8z + 5 4, 84 5 z 4, , 76 u Lneer denklem sstemnn katsaılar matrsnn determnantı 5 8 Δ 5 5 ( ) ( 8) + 8 ( 5) 8 sıfır olduğundan bu denklem sstem brbrnden bağımsız değldr. u denklem sstemnn katsaılar matrsnde sıfırdan farklı lk determnant bulunduğundan bu denklemlerden ks brbrnden bağımsızdır. 8

29 u denklemlern herhang ks brbrnden bağımsız olduğundan bunlardan herhang ks verlen kuvvet sstemnn merkez eksennn denklem olarak alınablr. 8 48, 76 5 z 4, 66 Merkez eksen üzernde 8 48, , da 5 z 4, 66 z, Paralel bağlı kuvvet sstem ve merkez,m, m 3,m 3 n, m n, m F mu F3 m3u F m U G F m U F m U n n n MO O F z o n MO OG F F m U n n ( m OG m O ) U 9

30 OG n m n O m OG ξ + η j + ζ k ξ n m, n m η n m, n m ζ n n m m z Problem 4.8. Paralel bağlı br kuvvet sstem (3,7,) noktasındak 8kg lık m kütles, (6,, 8) noktasındak kg lık m kütles ve 3 (, 4, 5) noktasındak 3 kg lık m 3 kütlesnden oluşmuştur. u kuvvet sstemnn merkeznn koordnatlarını hesaplaınız.( koordnatlar cm. cnsnden alınmıştır.) ξ 3 n m m ξ m + m + m 3 3, ξ m + m + m3, ξ 543, cm. η 3 m n m ( 4) η m + m + m 3 3, η m + m + m3, η 35, cm. ζ 3 n m m z mz + mz + mz 3 3, ζ m + m + m3 8 + ( 8) + 3 ( 5) ζ , ζ, 48cm. 3

31 ÖLÜM 5 KÜTLE MEKEZİ 5. r sürekl csmn kütle merkez (,,z) dm G(ξ,η,ζ) z O OG O dm dm OG ξ + η j + ζ k ξ dm dm, η dm dm, ζ zdm dm 3

32 Problem 5.. arıçaplı α tepe açılı çember parçası şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm: O osθ dθ α θ G α OG d dθ dm ρd dm ρ dθ eksen smetr eksen olduğu çn η dır. ξ dm dm, ξ α α α α dm dm ξ α α ρosθ dθ α α ρdθ, ρ [Sn α (Sn α)] ξ ρ[ α ( α)] ρsnα ξ ρ α, ξ OG Sn α α 3

33 Problem 5.. Şeklde gösterlen dörtte br çember parçası şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm : G π 4 π η 4 O ξ doğrusu Şekldek dörtte br çember parçası çn doğrusu smetr eksen olduğundan ξ η OG Sn α π Problem 5.. den OG α α 4 π Sn( ) OG 4, OG π / 4 π ξ η ( ), ξ η π π Problem 5..3 Şeklde gösterlen arım çember şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm : G π O π 33

34 Eksen smetr eksen olduğu çn ξ dır. Problem 5.. den η OG π Sn η π /, η π Sn α α Problem 5..4 Yükseklğ h olan üçgen şeklndek homojen levhanın kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. h d d dm ρd h h- dm ρ d d O a η dm dm h a h, h, η h ρd ρd a (h ) h ρ h, η h ρ d d h a (h )d ρ h η h a ρ (h )d h, 3 3 a h h ρ ( ) η h 3 a h ρ (h ) h, 3 ah ρ η h 6, ah ρ h h ρa η 6 h ρa h η 3 34

35 Problem 5..5 Şeklde ölçüler verlen dk üçgen şeklndek homojen levhanın kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. 6mm. 3mm. 3 Problem 5..4 den ξ, 3 ξ mm., η mm. η 6 3 Problem 5..6 arıçaplı α tepe açılı dare dlm şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm: O osθ 3 d d dθ d dθ dm ρd ρ dθ dθ α θ G α OG eksen smetr eksen olduğu çn η dır. 35

36 ξ ξ α α dm dm, ξ α α α α dm dm os θρ ( d θ) 3 α α ρ dθ, ξ ρ 3 α 3 ρ osθdθ α α α dθ 3 ρ [Sn α ( Sn α)] ξ 3 ρ[ α ( α)] Snα ξ OG 3 α, ξ 3 ρ 3 Sn α ρ α Problem 5..7 Şeklde gösterlen dörtte br dare dlm şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm : doğrusu G π 4 π η 4 O ξ Şekldek dörtte br dare dlm çn doğrusu smetr eksen olduğundan ξ η OG Problem 5..4 den π Sn( ) OG 4, 3 π / 4 4 ξ η ( ), 3π OG 3 Sn α α 4 OG 3π 4 ξ η 3π π α 4 36

37 Problem 5..8 Şeklde gösterlen arım dare dlm şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını bulunuz. Çözüm : π O Eksen smetr eksen olduğu çn ξ dır. Sn α Problem 5..4 den η OG 3 α π Sn η 3π /, 4 η 3π G π Problem 5..9 Şeklde gösterlen taban arıçaplı arım küre şeklndek homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını gösternz. Çözüm: z dm ρπ r dz m ρ o r dz z oz düzlem smetr düzlem olduğu çn ξ dır. oz düzlem smetr düzlem olduğu çn η dır. ζ zdm dm, ζ zρπr dz ρπrdz ρπ, ζ ρπ zr dz rdz 37

38 r z, ρπ( ) ζ 4, 3 ρπ( ) 3 4 ζ ρπ ρπ (z 3 z )dz ( z )dz ζ 3 8, 4 4 ρπ( ) ζ ρπ( ) 3 5. Pappus ve Guldnus teoremler önel csmlern üze alanlarını ve hacmlern bulmak çn kullanılır..teorem Eğer br eğr kend düzlemndek sabt br eksen etrafında dönerek, dönel br üze oluşturursa, bu üzen alanı,bu eğrnn uzunluğu le eğrnn kütle merkeznn kat ettğ ol çarpımına eşttr. İspat feransel alan π r dl Tüm üzen alanı π rdl r G l l rdl dl l rdl r L Tüm üzen alanı π rl G l G r r G G.Teorem Eğer br üze kend düzlemndek sabt br eksen etrafında dönerek, dönel br dolu csm oluşturursa, bu csmn hacm, bu üzen alanı le eğrnn kütle merkeznn kat ettğ ol çarpımına eşttr. İspat feransel hacm π r d Tüm csmn hacm π rd r G rd d rd r Tüm üzen hacm π r G G r r G G 38

39 Problem Kürenn alanının 4π ve hacmnn π olduğunu gösternz. 3 Çözüm: G G Kürenn üze alanı çn: Yarım çembern kütle merkez rg π Yarım çembern uzunluğu L π Kürenn üze alanı π rl G π π 4π π Kürenn hacm çn: 4 Yarım darenn kütle merkez rg 3π Yarım darenn alanı π 4 π 4π Kürenn hacm πr G π 3π

40 4 5.3 leşk csmn kütle merkez r bleşk csmn kütle merkez bu csm oluşturan csmlern kütle merkezler bulunduktan sonra daha önceden çıkarılan paralel bağlı vektör sstemnn merkezne at olan formüllerle hesaplanır. n n m O OG m OG j k ξ η ζ + + ξ n n m m, η n n m m, ζ n n m z m Eğer bleşk csm oluşturan csmlern oğunluğu anı se ukarıdak denklemlerde m ρ azılablr ve ρ lar toplam dışına alınıp kısaltılableceğnden dolaı aşağıdak eştlkler elde edlr. n n ξ, n n η, n n z ζ

41 Problem 5.3. Homojen fakat farklı kalınlıklardak levhalardan şekldek taralı alan gb oluşturulmuş csmn kütle merkeznn koordnatlarını hesaplaınız. ¼ dare dlm kalınlık mm. kalınlık mm z (Ölçüler mm. cnsndendr. ) 4 z3 3 3π, π π, 9 kalınlık 3mm π, 3 5π 4 Y z Mρ m m mz /π /π 5π 45π , , , ξ η ζ 6 6 m 6 6 m m 6 6 m m m z, ξ 4975, ξ 3, 3mm ,45, 565 η, η 5,67mm ,45, ζ , ζ 4,46mm ,45 4

42 Problem 5.3. Şeklde gösterlen ç dolu homojen csmn kütle merkeznn koordnatlarını hesaplaınız. z 3 ( Ölçüler cm. cnsndendr. ) 4 6 z 4 +, z , 93cm., 3π π 3 π, cm π, z z, ,5 47,93 375,4 85, , , ξ η 3 3 ζ z,,, 59836, 5 ξ, ξ cm. 653, 4 74 η, η, cm. 653, ζ, ζ 5, 7cm. 653, 4 4

43 ÖLÜM 6 STTİK 6. Grş Statk kuvvetler etksnde csmlern denge koşullarını nceleen blm dalıdır. u tanımlamada adı geçen kuvvet, csm ve denge termlern açıklaalım. Kuvvet: Ele alınan sme başka csmler tarafından ugulanan ve csmn hareket vea denge durumları le şekln değştren etke kuvvet denr. Kuvvetler etknn cnsne göre : Temas etks (üze kuvvetler) ve uzaktan etk ( hacm kuvvetler) olmak üzere ke arılır. enges ncelenen csmle temasta olan mafsal,mesnet,kablo,çubuk gb dğer csmlerden gelen kuvvetler üze kuvvetlerdr. Uzaktan etk kuvvetlerne örnek, ağırlık kuvvetler, manetk ve elektrksel alanlardan gelen kuvvetler verleblr. Kuvvetler csme etk bölgesne göre: İç kuvvet dış kuvvet şeklnde ke arılır. F F F 3 F 4 F F F M F 3 M F 4 F Şeklde gösterlen F, F, 3 F, 4 F kuvvetler dış kuvvetler, F ve F kuvvetler se ç kuvvetlerdr. İç kuvvetler şeklde gösterldğ gb csmn çnde varolduğu düşünülen br kestte oluşur.u haal kestle csm k parçaa arılır. Oluşan bu k arı kesttek ç kuvvetlern etk tepk lkesne göre şddet ve doğrultuları anı önler zıttır. 43

44 Kuvvetler csme mesnetler ve dğer csmlerden ugulanma durumuna göre : lnen kuvvetler (aktf kuvvetler) ve mesnet vea bağlardan geleceğ düşünülen tepk kuvvetler (reaktf kuvvetler) olmak üzere ke arılır. ktf kuvvetler: ğırlık kuvvetler vea csmn zorlanma koşullarına göre blnen dış kuvvetlerdr. Tepk kuvvetler : mesnet,mafsal, kablo, çubuk gb dğer csmlern uguladıkları kuvvetlerdr. u tepk kuvvetlernn tam zıttı denges ncelenen csm tarafından dğer csmlere anı şeklde etkr. Sürtünmesz temaslarda tepk kuvvet temas üzene dktr. İk boutlu mesnet ve bağlar le bunlardan csme gelen tepk kuvvetler: Yuvarlanan elemanlar kavsl üze sürtünmesz kama üzene üze dk tepk kuvvet Çubuk doğrultusunda hareket edeblen blezk ve buna mafsallı dğer çubuk tepk kuvvet hareket doğrultusuna dk Kanal doğrultusunda hareket kanal doğrultusuna dk tepk kuvvet 44

45 Sabt slndrk mafsallı Tepk kuvvetnn doğrultusu blnmor. Pürüzlü üze Yüze tepksnn doğrultusu blnmor M O nkastre mesnet lnmeen kuvvet ve şddet blnmeen moment 45

46 Üç boutlu mesnet ve bağlar le bunlardan csme gelen tepk kuvvetler: tek noktadan küree temas z temas üzene dk tepk kuvvet Sürtünmesz temas z temas üzene dk tepk kuvvet z z Pürüzlü üzede ra üzernde k doğrultuda blnmen Yuvarlanan tekerlek uvarlanan tekerlek tepk kuvvet 46

47 z Pürüzlü üze küresel mafsal üç doğrultuda blnmen tepk kuvvetler z Küresel mafsalın arıntılı şekl M z M z M z ankastre mesnet üç doğrultuda blnmen tepk kuvvet ve üç doğrultuda blnmen tepk moment 47

48 M Z z Ünversal kavrama üç doğrultuda blnmen kuvvet ve br doğrultuda blnmen moment M z z M z İk doğrultuda blnmen kuvvet ve. k doğrultuda blnmen moment Eksenel doğrultuda hareket edeblen slndrk mafsal 48

49 M M z z z Üç doğrultuda blnmen kuvvet ve İk doğrultuda blnmen moment Eksenel doğrultuda hareket eteneğ olmaan slndrk mafsal unlardan başka p kuvvet p doğrultusundadır. rde ağırlıksız olup uç noktalarından sürtünmesz mafsallı ve uç noktaları dışında ük taşımıan çubuklardan gelen tepk kuvvetlerde çubuk doğrultusunda kabul edlr. 6. İç kuvvetler ve kest zorları İç kuvvetlern csmn br kest çndek bleşenlerne kest zorları denr. Keste etk eden kuvvetn keste dk bleşenne Normal kuvvet denr. Keste etk eden kuvvetn kest çndek bleşenne Kesme kuvvet denr. Keste etk eden momentn keste dk bleşenne urulma moment denr. Keste etk eden momentn kest çndek bleşenne Eğlme moment denr. 6.3 Statğn temel lkelernn geçerl olduğu referans sstemler Orjnnde güneş bulunan ve ıldızlara doğru önelmş koordnat sstemlerne Newton vea Galleo eksen sstemler denr. Statğn temel lkeler bu eksen stemlerne göre geçerldr. r Newton eksen sstemne göre sabt hızda öteleme hareket apan dğer eksen sstemler de Newton eksen sstemdr. Herhang br csm Newton eksen sstemne göre hareketsz vea sabt hızda öteleme hareket apıorsa bu csm dengededr denr. 49

50 6.4 r maddesel noktanın kuvvetler etksnde denges r maddesel noktaa etk eden bütün kuvvetler anı noktada kesşeceğnden dolaı bu kuvvetlern geometrk toplamının sıfır olması denge çn gerek ve eter koşuldur. F + F j + Fz k F, F, F z 6.5 r rjd csmn kuvvetler etksnde denges r rjd csme etk eden kuvvvet sstemnn sıfıra eşdeğer olması bu csmn denges çn gerek ve eter koşuldur., M O F, F, F M, M, M z z ölece en genel durumda üç boutlu kuvvetler etksndek br csmn dengesnde denklem saısı altı olur. u denklemlerden altı blnmen çözüleblr. Üç boutlu kuvvetler etksnde denges ncelenen csmde blnmen saısı altıdan fazla se böle sstemlere hperstatk sstemler denr. 6.6 jd csm sstemnn kuvvetler etksnde denges r rjd csm sstemne etk eden kuvvet sstemnn sıfıra eşdeğer olması denge çn gerekl fakat eterl koşul değldr. undan dolaı rjd csm stemnn elemanlarına arılarak ncelenmes gerekr.her br eleman çn sıfıra eşdeğerlk koşulu ve brleşme noktalarında etk tepk lkes gözönüne alınarak çözüme gdlr. 6.7 üzlemsel kuvvetler etksnde csmlern denges Eğer csme etk eden dış kuvvetler ve mesnetlerden gelen tepkler anı düzlem çnde se ncelenen problem düzlem statk problemdr. nı düzlemde bulunan kuvvetlern moment bu düzleme dk olacağından dolaı bu durumda, M O sıfıra eşdeğerlk koşulu aşağıdak gb azılablr. F, F, M z ölece düzlemsel kuvvetler etksndek br csmn dengesnde denklem saısı üçe nmş olur. u denklemlerden üç blnmen çözüleblr. üzlemsel kuvvetler etksnde denges ncelenen csmde blnmen saısı üçten fazla se böle sstemlere hperstatk sstemler denr. 5

θ A **pozitif dönüş yönü

θ A **pozitif dönüş yönü ENT B Kuvvetn B Noktaa Göe oment o o d θ θ d.snθ o..snθ d. **poztf dönüş önü noktasına etk eden hehang b kuvvetnn noktasında medana geteceğ moment o ; ı tanımlaan e vektöü le kuvvet vektöünün vektöel çapımıdı.

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsein YIOĞLU İSTNUL 3 . Mekaniğin tanımı 5. Temel ilkeler ve görüşler 5 İçindekiler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel işlemlerin

Detaylı

Çok Parçalı Basınç Çubukları

Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok Parçalı Basınç Çubukları Çok parçalı basınç çubukları genel olarak k gruba arılır. Bunlar; a) Sürekl brleşk parçalardan oluşan çok parçalı basınç çubukları b) Parçaları arasında aralık bulunan çok

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Vize Sınavı (2A) KOCELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendslk akültes Makna Mühendslğ Bölümü Mukavemet I Vze Sınavı () dı Soyadı : 18 Kasım 013 Sınıfı : No : SORU 1: Şeklde verlen levhalar aralarında açısı 10 o la 0 o arasında olacak

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik ers Notları Sınav Soru ve Çözümleri ĞHN MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK MÜHENİSİK MEKNİĞİ STTİK İÇİNEKİER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMERİ - İki Boutlu Kuvvet Sistemleri

Detaylı

MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER.

MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER. MUKAVMT FORMÜLLR, TABLOLAR V ŞKĐLLR. 008/09 D Statk Denge Denklemler: + F 0 + F 0 M 0 ksenel Gerlme P σ A σ Normal gerlme P Kuvvet A Kest Alanı Ortalama Kama Gerlmes V τ ort., τ Kama Gerlmes A V kesme

Detaylı

MEKANİK DERS NOTLARI. Yar. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

MEKANİK DERS NOTLARI. Yar. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU MEKNİK DERS NOTLRI Yar. Doç. Dr. Hüsein YIROĞLU . Mekaniğin tanımı 6. Temel ilkeler ve görüşler 6 İçindekiler STTİK GİRİŞ 6 EKTÖRLERİN E İŞLEMLERİNİN TNIMI 7. ektörün tanımı 7. ektörel işlemlerin tanımı

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE BAÜ Fen Bl. Enst. Dergs (6).8. YAYII YÜK İE YÜKENİŞ YAPI KİRİŞERİNDE GÖÇE YÜKÜ HESABI Perhan (Karakulak) EFE Balıkesr Ünverstes ühendslk marlık Fakültes İnşaat üh. Bölümü Balıkesr, TÜRKİYE ÖZET Yapılar

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı

Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler

Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler Kütle Merkez ve Merkezler Konular: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kavramı Merkez hesabına önelk öntemler ğırlıklı Ortalama Merkez kavramının brçok ugulama alanı vardır. Öncelkle ağırlıklı ortalama kavramına

Detaylı

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri .7 Bezer eğrler, B-splne eğrler Bezer eğrler ve B-splne eğrler blgsaar grafklernde ve Blgsaar Destekl Tasarım (CAD) ugulamalarında çok kullanılmaktadır.. B-splne eğrler sadece br grup ver noktası çn tanımlanan

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde;

Akköse, Ateş, Adanur. Matris Yöntemleri ile dış etkilerden meydana gelen uç kuvvetlerinin ve uç yerdeğiştirmelerinin belirlenmesinde; MATRİS ÖNTEMER 1. GİRİŞ Matrs öntemler; gerçek sürekl apının erne, matrs bçmnde ade edleblen blnen atalet (elemslk) ve elastklk öellklerne sahp sonl büüklüktek apısal elemanlardan olşan matematksel br

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü Mukavemet I Final Sınavı KOCEİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik akültesi Makina Mühendisliği ölümü Mukavemet I inal Sınavı dı Soadı : 9 Ocak 0 Sınıfı : h No : SORU : Şekildeki ucundan ankastre, ucundan serbest olan kirişinin uzunluğu

Detaylı

MECHANICS OF MATERIALS

MECHANICS OF MATERIALS Ffth E CHPTER MECHNICS OF MTERILS Ferdnand P. eer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Davd F. Mazurek Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech Unversty. Eksenel Yüklemede Toplam uzama-hperstatk problemler-termal

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

MAKİNE 1 G BAHAR YARIYILI STATİK DERSİ 1.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI

MAKİNE 1 G BAHAR YARIYILI STATİK DERSİ 1.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI MKİNE 1 G1-3 H YIYILI TTİK Eİ 1.VİZE OULI VE EVPLI oru 1: Şekilde ölçüleri verilen homojen dolu cismin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. 1 9 9 ξ =?, η =?, ζ =? 15 3 1 4 5 5 r = 1 6 =19 z (

Detaylı

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır.

PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır. PO.D. MUAT DEMİ AYDIN ***Bu ders notları bir sonraki slatta verilen kanak kitaplardan alıntılar apılarak hazırlanmıştır. Mühendisler için Vektör Mekaniği: STATİK.P. Beer, E.. Johnston Çeviri Editörü: Ömer

Detaylı

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3

( ) 3.1 Özet ve Motivasyon. v = G v v Operasyonel Amplifikatör (Op-Amp) Deneyin Amacı. deney 3 Yıldız Teknk Ünverstes Elektrk Mühendslğ Bölümü Deneyn Amacı İşlemsel kuvvetlendrcnn çalışma prensbnn anlaşılması le çeştl OP AMP devrelernn uygulanması ve ncelenmes. Özet ve Motvasyon.. Operasyonel Amplfkatör

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

HİPERSTATİK SİSTEMLER

HİPERSTATİK SİSTEMLER HİPERSTATİK SİSTELER Tanım: Bütün kest zorlarını ve bunlara bağlı olarak şekl değştrmelern ve yer değştrmelern hesabı çn denge denklemlernn yeterl olmadığı sstemlere Hperstatk Sstemler denr. Hperstatk

Detaylı

Fizik 101: Ders 15 Ajanda

Fizik 101: Ders 15 Ajanda zk 101: Ders 15 Ajanda İk boyutta elastk çarpışma Örnekler (nükleer saçılma, blardo) Impulse ve ortalama kuvvet İk boyutta csmn elastk çarpışması Önces Sonrası m 1 v 1, m 1 v 1, KM KM V KM V KM m v, m

Detaylı

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul Ercan Kaha 1 Hdrolk. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Baazıt, Brsen Yaınev, 2007, İstanbul BÖLÜM 12 AÇIK KANALLARDA AKIM: ÜNİFORM OLMAYAN AKIMLAR 12.1 GİRİŞ - --- --.;! Baraj sonrak su üze öncek su üze.. Vnfom

Detaylı

Fizik 101: Ders 19 Gündem

Fizik 101: Ders 19 Gündem Fzk 101: Ders 19 Gündem Açısal Momentum: Tanım & Türetmeler Anlamı nedr? Sabt br eksen etrafında dönme L = I Örnek: 2 dsk Dönen skemlede br öğrenc Serbest hareket eden br csmn açısal momentumu Değneğe

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...

KARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın... KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve

Detaylı

STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI m m. 4.5 m

STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI m m. 4.5 m dı /Soadı : No : İmza: STTİK-MUKVEMET 1. YI İÇİ SINVI 06-11-2013 Örnek Öğrenci No 010030403 abcd DF deki çekme kuvveti 15(a+c)kN olduğuna göre E noktasındaki bağ kuvvetlerini 20 kn 20 kn 20 kn 20 kn h

Detaylı

24 Manyetizma. Test 1 in Çözümleri. Mıknatıslarda aynı kutuplar birbirini iteceğinden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap D dir.

24 Manyetizma. Test 1 in Çözümleri. Mıknatıslarda aynı kutuplar birbirini iteceğinden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap D dir. 4 Manyetzma Test n Çözümler 4.. K L M. Mıknatıslarda aynı kutuplar brbrn teceğnden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap C dr. Mıknatıs kaç parçaya bölünürse bölünsün ortaya çıkan yen parçalar yne k kutupludur.

Detaylı

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

ÇALIŞMA SORULARI. Şekilde gösterildiği gibi yüklenmiş ankastre mesnetli kirişteki mesnet tepkilerini bulunuz.

ÇALIŞMA SORULARI. Şekilde gösterildiği gibi yüklenmiş ankastre mesnetli kirişteki mesnet tepkilerini bulunuz. ÇALIŞMA SORULARI Üniform yoğunluğa sahip plaka 270 N ağırlığındadır ve A noktasından küresel mafsal ile duvara bağlanmıştır. Ayrıca duvara C ve D noktasından bağlanmış halatlarla desteklenmektedir. Serbest

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çöümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

26 Manyetizma. Test 1 in Çözümleri. Mıknatıslarda aynı kutuplar birbirini iteceğinden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap D dir.

26 Manyetizma. Test 1 in Çözümleri. Mıknatıslarda aynı kutuplar birbirini iteceğinden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap D dir. 6 Manyetzma Test n Çözümler 4.. K L M. Mıknatıslarda aynı kutuplar brbrn teceğnden K ve M mıknatısları hızlanır. Cevap C dr. Mıknatıs kaç parçaya bölünürse bölünsün ortaya çıkan yen parçalar yne k kutupludur.

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM

UZAY ÇERÇEVE SİSTEMLERİN ELASTİK-PLASTİK ANALİZİ İÇİN BİR YÖNTEM ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem ühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye UZAY ÇERÇEVE SİSTEERİN STİK-PASTİK ANAİZİ İÇİN BİR YÖNTE Erdem Damcı, Turgay Çoşgun, Tuncer Çelk, Namık

Detaylı

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007

ENERJİ. Isı Enerjisi. Genel Enerji Denklemi. Yrd. Doç. Dr. Atilla EVCİN Afyon Kocatepe Üniversitesi 2007 Yrd. Doç. Dr. Atlla EVİN Afyon Kocatepe Ünverstes 007 ENERJİ Maddenn fzksel ve kmyasal hal değşm m le brlkte dama enerj değşm m de söz s z konusudur. Enerj değşmler mler lke olarak Termodnamğn Brnc Yasasına

Detaylı

Polinom Filtresi ile Görüntü Stabilizasyonu

Polinom Filtresi ile Görüntü Stabilizasyonu Polno Fltres le Görüntü Stablzasonu Fata Özbek, Sarp Ertürk Kocael Ünverstes Elektronk ve ab. Müendslğ Bölüü İzt, Kocael fozbek@kou.edu.tr, serturk@kou.edu.tr Özetçe Bu bldrde vdeo görüntü dznnde steneen

Detaylı

Fizik 101: Ders 20. Ajanda

Fizik 101: Ders 20. Ajanda Fzk 101: Ders 20 = I konusunda yorumlar Ajanda Br sstemn açısal momentumu çn genel fade Kayan krş örneğ Açısal momentum vektörü Bsklet teker ve döner skemle Jroskobk hareket Hareketl dönme hakkında yorum

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University CHAPTER BÖLÜM MECHANICS MUKAVEMET OF I MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Basit Eğilme Lecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech Universit Düzenleen: Era Arslan 2002 The McGraw-Hill

Detaylı

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

Ercan Kahya. Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul Ercan Kahya 1 Hdrolk. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Brsen Yayınev, 007, İstanbul se se da Brm kanal küçük gen kestl br kanalda, 1.14. KANAL EGIMI TANIMLARI Brm kanal genşlğnden geçen deb q se, bu q

Detaylı

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi)

JFM316 Elektrik Yöntemler ( Doğru Akım Özdirenç Yöntemi) JFM316 Elektrk Yöntemler ( Doğru Akım Özdrenç Yöntem) yeryüzünde oluşturacağı gerlm değerler hesaplanablr. Daha sonra aşağıdak formül kullanılarak görünür özdrenç hesaplanır. a K I K 2 1 1 1 1 AM BM AN

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ

TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ 4.BÖLÜM: STATİK MOMENT - MOMENT (TORK) Moment (Tork): Kuvvetin döndürücü etkisidir. F 3 M ile gösterilir. Vektörel büyüklüktür. F 4 F 3. O. O F 4

Detaylı

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU DÜŞEY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BAŞOKUR Jeofzk Mühendslğ Bölümü Mayıs 4 İletşm: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR Ankara Ünverstes, Mühendslk Fakültes Jeofzk Mühendslğ Bölümü 6

Detaylı

BETONARME YAPI TASARIMI

BETONARME YAPI TASARIMI BETONARME YAPI TASARIMI DEPREM HESABI Doç. Dr. Mustafa ZORBOZAN Mart 008 GENEL BİLGİ 18 Mart 007 ve 18 Mart 008 tarhler arasında ülkemzde kaydedlen deprem etknlkler Kaynak: http://www.koer.boun.edu.tr/ssmo/map/tr/oneyear.html

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/

Detaylı

BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 20 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI

BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 20 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI BÖLÜM II D ÖRNEK 0 BÖLÜM II D. YENİ YIĞMA BİNALARIN TASARIM, DEĞERLENDİRME VE GÜÇLENDİRME ÖRNEKLERİ ÖRNEK 0 İKİ KATLI YIĞMA KONUT BİNASININ TASARIMI 0.1. BİNANIN GENEL ÖZELLİKLERİ...II.0/ 0.. TAŞIYICI

Detaylı

STATİK. Ders Notları. Prof. Dr. Muzaffer TOPÇU PAÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği DENİZLİ. o x. 200N 100N/m 500N. A 1m 1m 1m.

STATİK. Ders Notları. Prof. Dr. Muzaffer TOPÇU PAÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği DENİZLİ. o x. 200N 100N/m 500N. A 1m 1m 1m. STTİK Ders Notları N C D o k Nm 5N N N/m m m m m m Prof. Dr. uzaffer TOPÇU PÜ. ühendislik akültesi akine ühendisliği DENİZLİ İÇİNDEKİLER. Genel Prensipler. Giriş. Temel Kavramlar. Temel İlkeler. Vektörler

Detaylı

Saf Eğilme (Pure Bending)

Saf Eğilme (Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki deformasonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller, en kesiti an az bir eksene göre simetrik

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.teknolojkarastrmalar.com ISSN:134-4141 Makne Teknolojler Elektronk Dergs 28 (1) 61-68 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Kısa Makale Tabakalı Br Dskn Termal Gerlme Analz Hasan ÇALLIOĞLU 1, Şükrü KARAKAYA 2 1

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

Fizk 103 Ders 7 İş Güç Enerji Dr. Ali Övgün

Fizk 103 Ders 7 İş Güç Enerji Dr. Ali Övgün Fzk 03 Ders 7 İş Güç Enerj Dr. Al Övgün Os: AS45 Fen ve Edebyat Fakültes Tel: 039-630-897 al.ovgun@emu.edu.tr www.aovgun.com Enerj Nedr? Enerj kısaca ş yapablme yeteneğdr. Ayrıca enerj skaler büyüklüktür.

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz.

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz. BTMIŞ YÜZEYLERE ELEN HİDROSTTİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yata Yüeler Sıvı üei Yata bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin büüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istioru. d d Kuvvetin Büüklüğü :Şekil deki

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

A A A FEN BİLİMLERİ SINAVI FİZİK TESTİ 1 FİZ (LYS2)

A A A FEN BİLİMLERİ SINAVI FİZİK TESTİ 1 FİZ (LYS2) DİAT! SORU İTAÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OARA CEVA ÂĞIDINIZA İŞARETEMEİ UNUTMAINIZ. FEN BİİMERİ SINAVI FİZİ TESTİ 1. Bu testte 30 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Fzk Test çn ayrılan kısına şaretleynz.

Detaylı

Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

BÖLÜM 2 AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK)

BÖLÜM 2 AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK) BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK) Hidrostatik duran akışkanlar ile üniform olarak hareket eden ( akışkanın hızının her erde anı olduğu ) akışkanların durumunu inceler. 1 BİR NOKTADAKİ BASINÇ Hidrostatik

Detaylı

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN

STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN.  Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta) KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.

Detaylı

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin iş ve enerji prensibini kullanarak kolayca çözülebildiği söylenmişti. Ayrıca, kuvvet

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

Calculating the Index of Refraction of Air

Calculating the Index of Refraction of Air Ankara Unversty Faculty o Engneerng Optcs Lab IV Sprng 2009 Calculatng the Index o Reracton o Ar Lab Group: 1 Teoman Soygül Snan Tarakçı Seval Cbcel Muhammed Karakaya March 3, 2009 Havanın Kırılma Đndsnn

Detaylı

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü MM 1000 STATİK ÖDEV II Son teslim tarihi: 13 Mayıs Cuma 10:00 (I, II. Öğretim Grupları) Soru Çözümü: 13 Mayıs Cuma 14:00,

Detaylı

3. Telin kesit alanı, 4. lsıtılan telin diren ci, R = R o. 5. Devreden geçen proton sayısı, q = (N e. 6. X ve Y ilet ken le ri nin di renç le ri,

3. Telin kesit alanı, 4. lsıtılan telin diren ci, R = R o. 5. Devreden geçen proton sayısı, q = (N e. 6. X ve Y ilet ken le ri nin di renç le ri, . ÖÜ EETİ ODE SOU - DEİ SOUN ÇÖZÜEİ. Teln kest alanı, 400 mm 4.0 4 m. a a a a n boyu,, a n kest alanı, a.a a a a Teln drenc se, ρ., 500 4.0 6. 4 5 Ω dur. 40. Telden geçen akım, ohm kanunundan, 40 48 amper

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

Ağırlık - kütle merkezi hesaplamaları. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler

Ağırlık - kütle merkezi hesaplamaları. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler ğırlık - kütle merkez hesplmlrı Konulr: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kvrmı Merkez hesın önelk öntemler ğırlık merkez ve ln merkez kvrmlrı Düzlem ln üzerndek sonsuz det elemndn r oln 'nc elemnın ğırlık

Detaylı

2009 Kasım. www.guven-kutay.ch FRENLER GENEL 40-4. M. Güven KUTAY. 40-4-frenler-genel.doc

2009 Kasım. www.guven-kutay.ch FRENLER GENEL 40-4. M. Güven KUTAY. 40-4-frenler-genel.doc 009 Kasım FRENLER GENEL 40-4. Güven KUTAY 40-4-frenler-genel.doc İ Ç İ N D E K İ L E R 4 enler... 4.3 4. en çeştler... 4.3 4.3 ende moment hesabı... 4.4 4.3.1 Kaba hesaplama... 4.4 4.3. Detaylı hesaplama...

Detaylı

DİNAMİK ANALİZ PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ADIM ADIM SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMİ

DİNAMİK ANALİZ PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ADIM ADIM SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMİ . Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY DİNAMİK ANALİZ PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ADIM ADIM SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMİ ÖZET: H. Çlsalar ve K. Aydın Yüksek Lsans Öğrencs, İnşaat

Detaylı

EMAT ÇALIŞMA SORULARI

EMAT ÇALIŞMA SORULARI EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)

Detaylı

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni

z z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.

Detaylı

3. KUVVET SİSTEMLERİ

3. KUVVET SİSTEMLERİ 3. KUVVET SİSTEMLERİ F F W P P 3.1 KUVVET KAVRAMI VE ETKİLERİ Kuvvet, bir cisme etki eden yapısal yüklerdir. Kuvvet Şiddeti, yönü ve uygulama noktası olan vektörel bir büyüklüktür. Bir cismin üzerine uygulanan

Detaylı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı

Açık Poligon Dizisinde Koordinat Hesabı Açık Polon Dzsnde Koordnat Hesabı Problem ve numaralı noktalar arasında açılacak tüneln doğrultusunu belrlemek amacıyla,,3,4, noktalarını çeren açık polon dzs tess edlmş ve şu ölçme değerler elde edlmştr.

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESİ -I

Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESİ -I Dokuz Eylül Ünverstes İnşaat Mühendslğ Bölümü YAPI MALZEMESİ -I Yrd.Doç.Dr. Kamle Tosun Felekoğlu 3. Malzemelern Mekank Özellkler 3.1. Gerlme 3.2. Şekl Değştrme 3.2.1. Boy ve Açı Değşm 3.3. Mekank Mukavemet

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri

Rasgele Değişken Üretme Teknikleri Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan

Detaylı

FİZİK-I LABORATUVARI

FİZİK-I LABORATUVARI TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ FİZİK-I LABORATUVARI 2011 Öğrencnn:..................... FİZİK BÖLÜMÜ LABORATUVAR KURALLARI 1) Deney başlangıç saatnden 10 dakkadan daha geç gelenler ve deney

Detaylı

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi

ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Kinematik Modelde Kalman Filtreleme Yöntemi ile Deformasyon Analizi. Serkan DOĞANALP. Selçuk Üniversitesi ÖZE Yüksek Lsans ez Knematk Modelde Kalman Fltreleme Yöntem le Deformasyon Analz Serkan DOĞANALP Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Jeodez ve Fotogrametr Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Bayram URGU

Detaylı

Elektrik Akımı Test Çözümleri. Test 1'in Çözümleri 3. 4 Ω. 1. Kolay çözüm için şekli yeniden çizip harflendirelim.

Elektrik Akımı Test Çözümleri. Test 1'in Çözümleri 3. 4 Ω. 1. Kolay çözüm için şekli yeniden çizip harflendirelim. Elektrk kımı Test Çözümler Test 'n Çözümler. 4 Ω voltmetre. olay çözüm çn şekl yenden çzp harflendrelm. 0 Ω Ω Ω 5 Ω Ω oltmetrenn ç drenc sonsuz büyük kabul edlr. u nedenle voltmetrenn bulunduğu koldan

Detaylı

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası

Detaylı

ELEKTRİK AKIMI. K-L noktaları arasındaki eşdeğer direnç, = = 3X olur. K-L noktaları arasındaki eşdeğer direnç, = = 4X olur.

ELEKTRİK AKIMI. K-L noktaları arasındaki eşdeğer direnç, = = 3X olur. K-L noktaları arasındaki eşdeğer direnç, = = 4X olur. . BÖÜ EETİ II IŞTI ÇÖZÜE EETİ II. k sa devre X - noktaları arasındak eşdeğer drenç, - noktaları arasındak eşdeğer drenç, 4 - noktaları arasındak eşdeğer drenç, - noktaları arasındak üç drençte paralel

Detaylı

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR wwwteknolojkarastrmalarcom ISSN:1304-4141 Makne eknolojler Elektronk Dergs 00 (4 1-14 EKNOLOJİK ARAŞIRMALAR Makale Klask Eş Eksenl (Merkezl İç İçe Borulu Isı Değştrcsnde Isı ransfer ve Basınç Kaybının

Detaylı

AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ

AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ III. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI 16-18 Eylül 2010, ANADOLU ÜNİVERSİTESİ, Eskşehr AĞIR BİR NAKLİYE UÇAĞINA AİT BİR YAPISAL BİLEŞENİN TASARIMI VE ANALİZİ Davut ÇIKRIKCI * Yavuz YAMAN Murat SORGUÇ

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi ÖLÜM IV üzlem Kafesler En çok kullanılan köprü kafesleri En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi Mühendislik olalarında genel olarak birden çok katı cisim birbirine

Detaylı

BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ

BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ BOYUT ÖLÇÜMÜ VE ANALİZİ.AMAÇ Br csmn uzunluğu, sıcaklığı, ağırlığı veya reng gb çeştl fzksel özellklernn belrlenme şlemler ancak ölçme teknğ le mümkündür. Br ürünün stenlen özellklere sahp olup olmadığı

Detaylı

3B Kuvvet Momenti. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi

3B Kuvvet Momenti. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi 3B Kuvvet Momenti Üç Boyutlu Kuvvet Sistemi M = r (vektör) X F (vektör) Her F kuvvetinin uzunluk r vektörünü bul Eğer verilmemişse, F kuvvetini de vektörel ifade et. Uzunluk vektörünü r bulmak için: Uzunlık

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

x ve y bileşenlerinin bağımsızlığı

x ve y bileşenlerinin bağımsızlığı Fizik 11: Ders ugünün Konusu Hatırlatma: Sabit imeli 1-D hareket 1-D serbest düşme örnek Vektörler 3-D Kinematik Serbest atış (şut) e bileşenlerinin bağımsızlığı Sabit imeli harekette: t erine konduğunda:

Detaylı

30. Uzay çerçeve örnek çözümleri

30. Uzay çerçeve örnek çözümleri . Ua çerçeve örnek çöümleri. Ua çerçeve örnek çöümleri Ua çerçeve eleman sonlu elemanlar metodunun en karmaşık elemanıdır. Bunun nedenleri: ) Her eleman için erel eksen takımı seçilmesi gerekir. Elemanın

Detaylı

Bilgisayarla Görüye Giriş

Bilgisayarla Görüye Giriş Blgsayarla Görüye Grş Ders 8 Görüntü Eşleme Alp Ertürk alp.erturk@kocael.edu.tr Panorama Oluşturma Görüntüler eşlememz / çakıştırmamız gerekmektedr Panorama Oluşturma İk görüntüden özntelkler çıkar Panorama

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 1. Konu VEKTÖRLER TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SOU BANKASI 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAEKET 1. Konu VEKTÖLE TEST ÇÖZÜMLEİ 1 Vektörler Test 1 in Çözümleri 3. 4 N 1. 1,2 = 2 3 2 3 120 4 N 4 N 6 N 4 N Şekil I Şekil II A Şekil I Şekil II A 3 Değeri

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU

DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU DÜ EY ELEKTRİK SONDAJI VERİLERİNİN YORUMU Prof.Dr. Ahmet Tuğrul BA OKUR TMMOB JEOFİZİK MÜHENDİSLERİ ODASI EĞİTİM YAYINLARI NO: 5 ISBN 978-9944-89-969-7 Mll Müdafaa Cad. N: /7 Kızılay/ANKARA Tel: 3 48 4

Detaylı