ANALİZ III. Mert Çağlar

Transkript

1 ANALİZ III Mert Çağlar

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul m.caglar@iku.edu.tr

3 ey can hümâsı, bize bu ruzigârdan bir sayfa okur musun? HİLMİ YAVUZ Bedreddin Üzerine Şiirler

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Öklidyen uzaylar R n uzayının cebirsel yapısı Problemler R n içinde açık ve kapalı kümeler Problemler R n içinde diziler ve kompakt kümeler Problemler R n içinde konveks ve bağlantılı kümeler Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların limitleri Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği Problemler R n üzerinde diferansiyellenebilme Kısmî türevler ve integraller Problemler Diferansiyellenebilme Problemler Ortalama Değer Teoremi ve Taylor Formülü Problemler Ters Fonksiyon Teoremi Problemler Ekstremum değerler Problemler Kaynakça 113 Dizin 115 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Analiz III (MC 311) dersinin notlarından oluşan bu derleme, temel olarak, William R. Wade in An Introduction to Analysis [17] kitabının ilgili bölümleri kullanılarak oluşturulmuştur. Ders kitabı olarak kullanılan bu kaynağa ek olarak, kimi yerlerde, gerekli olduklarını düşündüğüm bâzı açıklama ve eklemeler yapılmıştır. Öklidyen uzayların yapısı ve bu uzaylar üzerinde tanımlı çokdeğişkenli fonksiyonların limit, süreklilik ve diferansiyellenebilme özelliklerinin incelendiği bu ders notları düzenlenirken, tek-değişkenli analizin temel kavramlarının ve sonuçlarının bilindiği varsayımıyla hareket edilmiştir. Okuyucunun ilgisini çok-değişkenli hesabın temel kavramlarına yönlendirebildiği oranda, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Dersin uygulamalarını yürüten ve notları dikkâtle okuyarak kimi yanlışları düzelten Uğur Gönüllü ye teşekkür ederim. Yine de gözden kaçan bâzı hatâlar varsa, sorumluluk tamâmen bana aittir. İstanbul, Ocak 2011 Mert Çağlar vii

8

9 1 Öklidyen uzaylar Tek gerçel-değişkenli fonksiyonlar, gerek teoride gerekse uygulamada karşılaşılan birçok problemin formüle edilebilmesinde yetersiz kalırlar; pek çok problem, birden fazla değişkenin kontrol edilmesini gerektirir. Bundan dolayı, değişken sayısı birden çok olan fonksiyonları analiz edebilmek için gerekli alt-yapıya ihtiyaç vardır. Her n N için R n := {(x 1, x 2,..., x n ) j = 1, 2,..., n için x j R} olsun. R n kümesinin x := (x 1, x 2,..., x n ) elemanları nokta ya da vektör veya sıralı n li olarak, her x j sayısı ise x vektörünün j inci koordinatı ya da bileşeni olarak adlandırılır. n = 1 olduğunda elde edilen R 1 := R kümesinin her elemanına bir skaler denir. 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı Tek-değişkenli hesabın analizindekine benzer biçimde, ilk olarak R n kümesinin cebirsel yapısını inceleyerek başlayacağız. Tanım x = (x 1,..., x n ) ve y = (y 1,..., y n ), R n içinde vektörler ve α R bir skaler olsun. (i) Her j = 1,..., n için x j = y j ise, yani bileşenleri eşitse, x ve y vektörleri eşit olarak adlandırılır. (ii) Tüm bileşenleri sıfır olan vektöre sıfır vektörü denir ve 0 olarak gösterilir. (iii) Her j = 1,..., n için, R n içinde, j inci koordinatı 1 diğerleri 0 olan e j vektörlerinden müteşekkil {e 1,..., e n } ailesine R n kümesinin doğal tabanı denir. (iv) x ve y vektörlerinin toplamı, olarak tanımlanan vektördür. x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 1

10 2 1 Öklidyen uzaylar (v) x ve y vektörlerinin farkı, olarak tanımlanan vektördür. (vi) α skaleriyle x vektörünün çarpımı, vektörüdür. x y := (x 1 y 1,..., x n y n ) α x := (αx 1,..., αx n ) (vii) x ve y vektörlerinin Öklidyen/skaler/iç çarpımı, olarak tanımlanan skalerdir. x y := x 1 y x n y n (viii) x y = 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı x ve y vektörleri ortogonal olarak adlandırılır. x = (x 1,..., x n ) R n olsun. Tanımdan dolayı, x = P n j=1 x je j gerçeklenir; diğer taraftan, i j olduğunda e i e j = 0 olur. Dolayısıyla, R n içindeki her vektör, ortogonal elemanlardan oluşan doğal taban vâsıtasıyla tek türlü ifade edilebilir. Üzerine, Tanım in (i)-(vi) özellikleriyle verilen toplama ve skalerle çarpma işlemi, ve Tanım (vii) ile verilen Öklidyen çarpım konulan bir R n kümesi bir Öklidyen uzay olarak adlandırılır. n sabitlendiğinde, R n kümesine n-boyutlu Öklidyen uzay denir. Teorem x, y, z R n ve α, β R olsun. Bu durumda; α0 = 0, 0x = 0, 1x = x, α(βx) = β(αx) = (αβ)x, α(x y) = (αx) y = x (αy), α(x + y) = αx+αy, 0+x = x, x x = 0, 0 x = 0, x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x y = y x, ve x (y + z) = x y + x z eşitlikleri gerçeklenir. Kanıt. Tanımların ve gerçel sayıların karşılık gelen özelliklerinin doğrudan sonuçlarıdır. Tanım x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. (i) x vektörünün sup-normu, skaleridir. x := max{ x 1,..., x n }

11 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 3 (ii) x vektörünün (Öklidyen) normu, skaleridir. x := (x x) (iii) x ve y vektörleri arasındaki (Öklidyen) uzaklık, x y skaleridir. Teorem (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği). Her x, y R n için eşitsizliği gerçeklenir. x y x y Kanıt. y = 0 için istenen eşitsizliğin doğru olduğu açıktır. y 0 olsun. Tanım gereğince, her t skaleri için 0 x ty 2 = (x ty) (x ty) = x 2 2t(x y) + t 2 y 2 (1.1.1) doğru olur; bu ise, (1.1.1) eşitsizliğinde t := (x y)/ y 2 konularak, 0 x 2 t(x y) = x 2 (x y)2 y 2, yani 0 x 2 (x y) 2 / y 2 sonucuna ulaştırır. Bu son eşitsizlik düzenlenip pozitif karekök alınarak da, istenen elde edilir. Teorem x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. Bu durumda, (i) eşitlik durumu sadece x = 0 için sağlanmak üzere, x 0; (ii) her α skaleri için αx = α x ; (iii) x y x + y x + y (üçgen eşitsizlikleri); (iv) x P n j=1 x j ; ve (v) her j = 1,..., n için x j x n x özellikleri gerçeklenir.

12 4 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. (i), (ii) ve (v) doğrudan gözlemlenebilir; (iii) için Teorem ve Cauchy- Schwarz eşitsizliği; (v) içinse, A := {(i, j) 1 i, j n ve i < j} olmak üzere, nx 2 x j! = j=1 özdeşliğini gözlemlemek yeterlidir. nx j=1 x j X (i,j) A x i x j Genel olarak, vektörler ve noktalar arasında bir ayırım yapılmayacaktır; ancak her durumda, o durum için en uygun olan yapı kullanılacaktır. Örneğin, R n uzayı orijinden çıkan vektörler ailesi olarak göz önüne alındığında, sıfırdan farklı bir a vektörünün yine sıfırdan farklı bir b vektörüne paralel olması, a = tb eşitliğini gerçekleyen bir t skalerinin var olması olarak tanımlanacaktır. Diğer taraftan, örneğin R n uzayı noktaların bir ailesi olarak göz önüne alındığında, a noktası ile b noktasını birleştiren doğru parçası L(a; b) := {x R n x := φ(t) := (1 t)a + tb, t [0, 1]} kümesi olarak tanımlanacaktır. Noktaların ve vektörlerin bu şekilde eşdeğer görülmeleri, geometrik kavramların analitik problemlerde kolaylık yaratacak şekilde kullanılmalarını sağlar. İkiboyutlu Öklidyen uzaydan bir örnek vermek gerekirse, R 2 içindeki a := (a 1, a 2 ) ve b := (b 1, b 2 ) noktaları vâsıtasıyla tanımlanan P := {(x, y) = u(a 1, a 2 ) + v(b 1, b 2 ) u, v [0, 1]} kümesi, a ve b tarafından belirlenen paralelkenar dır. İki-boyutlu Öklidyen uzay içinde göz önüne alınan sıfırdan farklı her a ve b vektörü için tek türlü belirli bir θ [0, π] gerçel sayısı, üçgenler için Kosinüs Teoremi nedeniyle, cos θ = a b (1.1.2) a b gerçeklenecek biçimde vardır. (1.1.2) eşitliğinden ilham alınarak, her n N için, sıfırdan farklı a, b R n vektörleri arasındaki açı, (1.1.2) eşitliğiyle tanımlanan tek türlü belirli θ [0, π] gerçel sayısı olarak tanımlanacaktır. R n uzayı içinde bir açık top, bir a R n ve bir r > 0 için, B r (a) := {x R n x a < r} yapısında bir kümedir; a noktası B r (a) açık topunun merkez i, r skaleri ise aynı açık topun yarıçapı olarak adlandırılır. B 1 (0) topuna bir birim top denir.

13 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 5 Merkez noktasının her bileşeni ve yarıçapı rasyonel sayılardan oluşan bir açık top, rasyonel olarak adlandırılacaktır. R n içindeki, bir a vektörü ve sıfırdan farklı bir b vektörü için Π b (a) := {x R n (x a) b = 0} olarak tanımlanan kümeye, R n içinde bir hiper-düzlem denir; b vektörü Π b (a) hiper-düzleminin normal vektörü olarak adlandırılır. x Π koşulunu sağlayan bir Π hiper-düzlemi için, x R n noktasından geçer, denir. F : R n R olmak üzere, bir Π hiper-düzleminin x R n noktasından geçmesi için F (x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğu F (x) = 0 formundaki bir ifadeye, Π hiperdüzleminin bir denklemi denir. Dolayısıyla bir Π b (a) hiper-düzleminin denklemi, b := (b 1,..., b n ) ve d := b 1 a 1 + b 2 a b n a n olmak üzere, olarak verilir. b 1 x 1 + b 2 x b n x n = d Tanım Her x, y R n ve her α skaleri için F(x + y) = F(x) + F(y) ve F(αx) = αf(x) koşullarını gerçekleyen bir F : R n R m fonksiyonu lineer olarak adlandırılır. Örnek Tek-değişkenli bir F : R R fonksiyonun lineer olması, ancak ve yalnız bir m skalerinin her x R için F (x) = mx gerçeklenecek biçimde var olmasıyla mümkündür. Çok-değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda Örnek dekine benzer bir gösteriliş elde etmek için, Lineer Cebir in standart araçları kullanılacaktır: (m n)-boyutlu ve girdileri b ij skalerlerinden ya da gerçel-değerli fonksiyonlarından oluşan bir B matrisi B := [b ij ] m n = b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 1n b m1 b m2 b mn olarak; bir x := (x 1, x 2,..., x n ) R n noktası ise, [x] = x 1 x 2 x n 3 7 5

14 6 1 Öklidyen uzaylar biçiminde (1 n)-boyutlu satır matrislerle ya da 2 T [x] = x 1 x 2 x n := 6 4 biçiminde (n 1)-boyutlu sütun matrislerle gösterilecektir. Notasyon zorlanarak, (m n)-boyutlu bir B matrisiyle (n 1)-boyutlu bir [x] sütun matrisinin çarpımı Bx olarak yazılacaktır. Tüm girdileri sıfır skalerlerinden oluşan (m n)-boyutlu bir matris bir sıfır matrisi olarak adlandırılacak ve O m n sembolüyle gösterilecektir. R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olmak üzere, her j = 1,..., n için, j inci satırı (ya da sütunu) e j vektörü olan (n n)-boyutlu kare matris n-boyutlu bir birim matris olarak isimlendirilecek ve I n ile gösterilecektir. B := [b ij ] m n ve C := [b νk ] p q olmak üzere, B matrisinin bir α skaleriyle çarpımı αb := [αb ij ] m n olarak; m = p ve n = q olduğunda B ve C matrislerinin toplamı B + C := [b ij + c ij ] m n x 1 x 2 olarak; ve n = p olduğunda B ve C matrislerinin çarpımı. x n BC = P n ν=1 b iνc νj m q olarak tanımlanan matrislerdir. Matris cebiriyle ilgili temel özellikler için, [2] ya da [5] kaynaklarına bakılabilir. Örnek x [x] fonksiyonu vektör toplamını matris toplamına, iç çarpımı matris çarpımına, ve skaler çarpımı skaler çarpıma taşır: yani, her x, y R n ve her α skaleri için gerçeklenir. [x + y] = [x] + [y], [x y] = [x] [y] T, ve [αx] = α[x] Aşağıdaki iki netice, Lineer Cebir in temel sonuçlarındandır. Teorem B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olsun. Eğer her x R n için F(x) := Bx (1.1.3)

15 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 7 ise, F fonksiyonu R n uzayından R m uzayına bir lineer fonksiyondur, ve her j = 1, 2,..., n için (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ) (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, eğer F : R n R m fonksiyonu lineer ise ve B = [b ij ] m n matrisinin girdileri (1.1.4) eşitliğini gerçekliyorsa, bu durumda F ve B, (1.1.3) eşitliğini sağlar. Özel olarak, her F : R n R m lineer fonksiyonu için, (1.1.3) eşitliğini sağlayan tek bir (m n)-boyutlu B matrisi vardır. Kanıt. Her x R n için (1.1.3) sağlansın. Bu durumda, Örnek ve matris çarpımının dağılma özelliğinden dolayı, F(x + y) = B[x + y] = B([x] + [y]) = B[x] + B[y] = F(x) + F(y) eşitlikleri her x, y R n için sağlanır. Benzer biçimde, her x R n ve her α R için, F(αx) = B[αx] = B(α[x]) = αb[x] = αf(x) olur. Dolayısıyla, F : R n R m fonksiyonu lineerdir. Diğer taraftan, matris çarpımının tanımından dolayı, her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, F : R n R m fonksiyonu lineer olsun, ve B matrisi, girdileri her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) eşitliğiyle verilen matris olarak tanımlansın. Böylece, F(x) = F = olarak elde edilir. nx j=1 nx j=1 x j e j! = x j b 1j, nx j=1 nx j=1 x j b 2j,..., x j F(e j ) = nx j=1 nx j=1 x j (b 1j, b 2j,..., b mj ) x j b mj! = Bx Açıklama Teorem ile verilen (1.1.3) eşitliğini sağlayan ve tek türlü belirli olan B matrisine, F lineer fonksiyonunu temsil eden matris denir. Diğer taraftan yine Teorem dan dolayı, R n içindeki bir hiper-düzlemin denklemi, bir lineer F : R n R fonksiyonu için, F (x) = d formundadır. Sonuç Eğer F : R n R m ve G : R m R p fonksiyonları lineer ise, G F : R n R p fonksiyonu da lineerdir. Bu durumda G F fonksiyonunu, F fonksiyonunu temsil eden (m n)-boyutlu matris B ve G fonksiyonunu temsil eden (p m)-boyutlu matris C olmak üzere, CB matrisi temsil eder.

16 8 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. G F fonksiyonunun lineer olduğu âşikârdır. {e 1,..., e n }, {u 1,..., u m }, ve {w 1,..., w p }, sırasıyla, R n, R m, ve R p uzaylarının doğal tabanları olsun. Eğer B := [b ij ] m n ve C := [c νk ] p m matrisleri, sırasıyla, F ve G lineer fonksiyonlarını temsil ediyorsa, Teorem dan, her j = 1, 2,..., n için mx k=1 ve her k = 1, 2,..., m için px ν=1 b kj u k = (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ), c νk w ν = (c 1k, c 2k,..., c pk ) = G(u k ) sağlanır. Dolayısıyla, her j {1,..., n} için, (G F)(e j ) = G(F(e j )) = G = mx px k=1 ν=1 mx k=1 b kj c νk w ν = b kj u k! = mx k=1 b kj c 1k, mx k=1 mx k=1 b kj G(u k ) b kj c 2k,..., mx k=1 b kj c pk! olur; bu ise, son eşitlikteki vektörün CB matrisinin j inci sütunu olmasından dolayı, CB matrisin G F fonksiyonunu temsil eden matris olması anlamına gelir. Matris çarpımı iç çarpımın bir genelleştirilmesi olarak görülebileceğinden, aşağıdaki sonuç Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir benzeridir. Teorem Eğer B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve ise, her x R n için eşitsizliği gerçeklenir. B := max{ b ij 1 i m, 1 j n} Bx (mn) B x Kanıt. Teorem (v) ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği nin sonucudur. Tanım R 3 içindeki iki x := (x 1, x 2, x 3 ) ve y := (y 1, y 2, y 3 ) vektörünün vektörel çarpımı, olarak tanımlanan vektördür. x y := (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )

17 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 9 R 3 uzayının doğal tabanı olarak i := e 1, j := e 2, ve k := e 3 yazıp determinant operatörünü kullanarak, 2 x y = det 4 i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 olduğunu gözlemlemek oldukça kolaydır. İç çarpım için olduğu gibi, vektörel çarpım için de cebir kuralları geçerlidir. Teorem x, y, z R 3 vektörler ve α bir skaler olsun. Bu durumda, (i) x x = 0 ve x y = y x; (ii) (αx) y = α(x y) = x (αy); (iii) x (y + z) = (x y) + (x z); (iv) (x y) z = x (y z) = det 4 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 5 ; z 1 z 2 z 3 (v) x (y z) = (x z)y (x y)z; ve (vi) x y 2 = (x x) (y y) (x y) 2 özellikleri gerçeklenir. Kanıt. Tüm özellikler, tanımların doğrudan sonuçlarıdır. 2 Sonuç x ve y, aralarındaki açı θ olan, R 3 içinde iki vektör ise, eşitliği sağlanır. 3 x y = x y sin θ Kanıt. Teorem (vi) ve (1.1.2) eşitliğinin sonucudur. Problemler 1. (a) z = x düzleminde olan ve (1, 1, 0) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. (b) Bileşenlerinin toplamı dört olan ve (3, 2, 5) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. 3 5

18 10 1 Öklidyen uzaylar (c) (1, 0, 1) noktasını içeren ve normali ( 1, 2, 1) olan düzlemin denklemini bulunuz. (d) ( 1, 1, 1) noktasından geçen ve 3x + 2y 5z = 0 düzlemine dik olan düzlemin denklemini bulunuz. 2. R 3 içinde, doğrusal olmayan ve bir Π düzlemi tarafından içerilen üç nokta a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) ve c = (c 1, c 2, c 3 ) olsun. Π düzleminin denkleminin x a1 y a 2 z a 3 det b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 = 0 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 olduğunu gösteriniz. 3. x, y R n ve x 0 olsun. x + y = x + y olması için, bir α 0 skalerinin y = αx gerçeklenecek biçimde bulunmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayınız. 4. C[a, b] := {f : [a, b] R f sürekli} ve f := sup x [a,b] f(x) olsun. (a) Her f C[a, b] için f büyüklüğünün, sonlu ve negatif-olmayan bir gerçel sayı olduğunu kanıtlayınız. (b) f = 0 olması için, her x [a, b] için f(x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğunu gösteriniz. (c) Her f C[a, b] ve α R için, αf = α f eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (d) Her f, g C[a, b] için, f + g f + g ve f g f g eşitsizliklerinin gerçeklendiğini ispatlayınız. 5. (a) a, b R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ua + vb R 3 u, v [0, 1]} paralelkenarının alanının a b olduğunu ispatlayınız. (b) a, b, c R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ta + ub + vc R 3 t, u, v [0, 1]} dörtyüzlüsünün hacminin (a b) c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir θ R için h cos θ sin θ i B := sin θ cos θ olsun. (a) Her (x, y) R 2 için, B(x, y) = (x, y) olduğunu ispatlayınız. (b) (x, y) R 2 sıfırdan farklı bir vektör ve B(x, y) ve (x, y) vektörleri arasındaki açı ϕ ise, cos ϕ = cos θ olduğunu kanıtlayınız. Bunu kullanarak, B matrisinin R 2 uzayını θ açısı kadar döndüren lineer fonksiyonu temsil eden matris olduğunu gösteriniz. 7. R 3 içinde, bir x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) noktasından bir Π düzlemine olan uzaklık, Π üzerindeki bir (x 1, y 1, z 1 ) noktası için v := (x 0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 ) ve v vektörü Π düzleminin normaline paralel olmak üzere, 0, x0 Π ise; dist(x 0, Π) := v, x 0 / Π ise;

19 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 11 olarak tanımlanır. x 0 noktasından ax + by + cz = d denklemiyle belirlenen Π düzlemine olan uzaklığın dist(x 0, Π) = ax 0 + by 0 + cz 0 d (a 2 + b 2 + c 2 ) olduğunu göstererek, yukarıda yapılan uzaklık tanımının v vektöründen bağımsız olduğunu ispatlayınız. 8. T : R n R m bir lineer fonksiyon, T := inf {C > 0 her x R n için T (x) C x } ve M := sup T (x) x =1 olsun. (a) Her x R n için T (x) T x olduğunu gösteriniz. (b) M T olduğunu kanıtlayınız. T (x) (c) Her x 0 için M olduğunu ispatlayınız. x (d) M = T eşitliğini kanıtlayınız. (e) Yukarıda gösterilenlerden faydalanarak, olduğunu ispatlayınız. T (x) T = sup x 0 x 9. X bir Öklidyen uzay; B, bu uzayın doğal tabanı; ve B kümesinin kendisine eşit olmayan boştan-farklı bir alt-kümesi S olsun. T : X X fonksiyonu, her x X için T x := X v B S (x v) v olarak tanımlansın. Ker T = span (S) olduğunu gösteriniz. 10. X bir Öklidyen uzay ve f : X R bir lineer fonksiyon olsun. Tek türlü belirli bir a X vektörünün, her x X için f(x) = a x gerçeklenecek biçimde var olduğunu ispatlayınız. 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler Öklidyen uzayların topolojilerinin inceleneceği bu ve bunu izleyen iki kısımda, bundan sonraki tüm kavramlar için temel teşkil edecek yapılar tanımlanacaktır. Klâsik analiz ve geometriden doğmuş olan Topoloji, açık küme kavramı üzerine kurulur ve aksiyomatik olarak tanımlanır. Gerçel sayılar kümesi içindeki bir (a, b) açık aralığına ait her x noktasının bu aralığın içinde kalan noktalar tarafından tamamen örtülebilmesi, aşağıdaki tanıma yol açar. Tanım V R n olsun. Her x V için bir ε > 0 sayısı B ε (x) açık topu V kümesinin içinde kalacak biçimde bulunabiliyorsa, V kümesi R n içinde açık olarak adlandırılır.

20 12 1 Öklidyen uzaylar Örnek R n içindeki her açık top açıktır: Gerçekten, eğer B r (a) R n bir açık top ve x B r (a) ise, ε := r x a > 0 yarıçaplı ve x noktası merkezli B ε (x) açık topuna ait her y noktası için y a y x + x a < ε + x a = r gerçekleneceğinden, B ε (x) B r (a) olur. Gerçel sayılar kümesinin yoğunluğu göz önüne alınarak yapılan açık küme tanımına dikkât edilirse, R kümesinin içindeki kapalı bir aralığın tümleyeninin de, tıpkı bir açık aralık gibi, kendisine ait her noktayı yine kendisinin içinde kalan noktalarla örtebildiği görülür. Bu temel gözlem, aşağıdaki tanımı anlamlı kılar. Tanım E R n olsun. Eğer E c := R n E kümesi açıksa, E kümesi R n içinde kapalı olarak adlandırılır. Örnek Her a R n ve r 0 için, {x R n kapalıdır. x a r} kümesi Örnek R n içindeki her sonlu küme kapalıdır. Bunu görmek için, R n içinde sonlu bir E := {x 1, x 2,..., x p } kümesi ve bir x E c noktası göz önüne alındığında, ε := min{ x x k k = 1, 2,..., p} olmak üzere, x k / B ε (x) özelliğinin her k = 1, 2,..., p için doğru olduğunu gözlemlemek yeterlidir. Örnek Açık ve kapalı küme tanımının doğal bir sonucu olarak, boş küme ve tüm uzay olan R n, hem açık hem kapalıdır. Açık kümelerden ve kapalı kümelerden müteşekkil aileler, birleşim ve kesişim işlemleri altında benzer davranışları sergilemezler. Teorem X bir Öklidyen uzay olsun. (i) X içinde açık olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, S α I V α kümesi açıktır. (ii) X içinde açık olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, T n k=1 V k kümesi açıktır. (iii) TX içinde kapalı olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, α I V α kümesi kapalıdır.

21 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 13 (iv) X içinde kapalı olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, S n k=1 V k kümesi kapalıdır. (v) Eğer V kümesi X içinde açık ve E kümesi X içinde kapalıysa, V E kümesi açık, E V kümesi kapalıdır. Kanıt. (i) x S α I V α olsun. Bu durumda bir α I için x V α olur. Hipotezden dolayı V α açıktır; yani bir ε > 0 sayısı, B ε (x) V α gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise B ε (x) V α S α I V α, yani S α I V α kümesinin açık olması demektir. T n (ii) x k=1 V k olsun. Bu durumda her k = 1, 2,..., n için x V k olur. Her V k açık olduğundan dolayı bir ε k > 0 sayısı, B εk (x) V k gerçeklenecek biçimde bulunur. O hâlde, ε := min 1 k n ε k denirse, T B ε (x) T V k içermesi her n k = 1, 2,..., n için doğru olur. Bu ise B ε (x) k=1 V n k, yani k=1 V k kümesinin açık olması demektir. (iii), (iv) ve (v) için, (i) ve (ii) özelliklerini ve De Morgan kuralları kullanmak yeterlidir. Açıklama Teorem deki (ii) ve (iv) numaralı özellikler, herhangi birleşim ve kesişimler için doğru değildir. X := R uzayında \ 1 k, 1 = {0} k kesişimi kapalı, birleşimi açıktır. k N [ k N 1 k + 1, k = (0, 1) k + 1 Öklidyen bir uzayın bir alt-kümesini örtebilmek için kaç tane açık kümeye ihtiyaç duyulacağı, bu tip uzayların yapılarıyla ilgili temel bilgilerdendir. Lindelöf Teoremi olarak adlandırılan bu önemli netice, iki yardımcı sonuç vâsıtasıyla kanıtlanacaktır. Lemma R n içindeki her B r (x) açık topu için bir rasyonel B q (a) açık topu, x B q (a) ve B q (a) B r (x) olacak biçimde vardır. Kanıt. x = (x 1, x 2,..., x n ) olmak üzere, B r (x) R n açık topu verilsin. Her j = 1, 2,..., n için, rasyonel sayılar kümesinin gerçel sayılar içinde yoğun olduğu kullanılarak bir a j Q sayısı, x j a j < r 4n

22 14 1 Öklidyen uzaylar olacak biçimde seçilsin, ve a := (a 1, a 2,..., a n ) olsun. Böylece, Teorem (iv) den, nx r x a x j a j n 4n = r 4 j=1 elde edilir. q Q sayısı r/4 < q < r/2 olacak biçimde seçilsin; bu, r/4 < q olması nedeniyle, x B q (a) olması demektir. Diğer taraftan, eğer y B q (a) ise, x y y a + a x < q + r 4 < r 2 + r 4 < r olur; bu ise B q (a) B r (x) içermesini gerektirir. Lemma R n içindeki rasyonel açık topların B ailesi sayılabilirdir. Kanıt. Sayılabilir [ kümelerin sayılabilir birleşimleri sayılabilir olduğundan, [ B = {B q (a) a = (a 1,..., a n ), q Q, q > 0} a 1 Q ailesi sayılabilirdir. a n Q Teorem (Lindelöf Teoremi). R n uzayının bir alt-kümesi E olsun. Eğer açık kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için E S α I V α ise, I kümesinin E [ α I 0 V α gerçeklenecek biçimde sayılabilir bir I 0 alt-kümesi vardır. Kanıt. x E olsun. Hipotezden dolayı, bir α I için x V α olur. Lemma dan dolayı sayılabilir olduğu bilinen R n içindeki rasyonel açık topların B ailesinin içinden bir B x topu, o hâlde, Lemma nedeniyle x B x V α (1.2.1) gerçeklenecek biçimde seçilebilir. B ailesinin sayılabilirliğinden, {U 1, U 2,...} := {B x x E} (1.2.2) alt-ailesinin de sayılabilir olduğu sonucuna ulaşılır. (1.2.1) den, her k N için, U k V αk gerçeklenecek biçimde en az bir α k I bulunduğu görülür; bu ise, (1.2.2) sebebiyle, [ E x E B x = [ k N U k [ k N V αk olması demektir. I 0 := {α k k N} alınarak ispat tamamlanır.

23 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 15 Tanım E R n olsun. (i) E kümesinin içi kümesidir. (ii) E kümesinin kapanışı kümesidir. (iii) E kümesinin sınır ı E := [ {V V E ve V kümesi R n içinde açık} E := \ {B B E ve B kümesi R n içinde kapalı} E := {x R n her r > 0 için, B r (x) E ve B r (x) E c } kümesidir. Açıklama Teorem (i) & (iii) den dolayı bir kümenin içi açık, kapanışı kapalıdır. Teorem E R n olsun. Bu durumda, (i) E E E; (ii) eğer V açık ve V E ise, V E ; (iii) eğer F kapalı ve F E ise, F E; (iv) E = E E olur. Kanıt. (i), (ii) ve (iii), iç ve kapanış tanımlarının doğrudan sonuçlarıdır. (iv) deki eşitliği görmek içinse, aşağıdaki iki denkliği gözlemlemek yeterlidir: ( ) x E olması, ancak ve yalnız her r > 0 için B r (x) E olmasıyla mümkündür; ( ) x / E olması için, r > 0 olduğunda B r (x) E c olması gerekli ve yeterlidir.

24 16 1 Öklidyen uzaylar ( ) denkliğini göstererek, benzer olan ( ) denkliğini göstermeyi okuyucuya bırakacağız. x E olsun ve bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = gerçeklensin. Bu durumda (B r0 (x)) c, E kümesini içeren kapalı bir küme olur ve (iii) den dolayı E (B r0 (x)) c gerçeklenir. Bu ise E B r0 (x) =, yani x / E çelişkisine ulaştırır. Tersine, x / E olsun. Bu durumda (E) c açık olduğundan bir r 0 > 0 sayısı, B r0 (x) (E) c gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise, (i) deki ikinci içermeden dolayı, = B r0 (x) E B r0 (x) E, yani bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = olması demektir. Açıklama Teorem (v) ve Teorem (iv) den dolayı, bir kümenin sınırı kapalıdır. Teorem (ii), E kümesinin içerdiği tüm açık kümeler içerme bağıntısıyla sıralanarak en büyük kavramı anlamlandırılırsa, E kümesinin E kümesinin içerdiği her açık kümeyi içermesi anlamında, E kümesinin içerdiği en büyük açık küme olduğunu gösterir. Benzer biçimde, Teorem (iii) kullanılarak E kümesinin E kümesini içeren her kapalı küme tarafından içerilmesi anlamında, E kümesini içeren en küçük kapalı küme olduğu sonucuna ulaşılır. Yukarıdaki gözlemler, basit fakat oldukça önemli olan, iç ve kapanış işlemlerinin içerme bağıntısı altında korunduğu gerçeğini de kanıtlar: eğer E F ise, açık olan E kümesi F kümesinin içinde kalacağından, E F gerçeklenir; kapalı olan F kümesi E kümesini içerdiğinden de, E F olur. Problemler 1. Her gerçel a < b sayı çifti için, (a, b), (a, ) ve (, b) kümelerinin açık; [a, b], [a, ) ve (, b] kümelerinin kapalı; ve [a, b) ve (a, b] kümelerinin ise ne açık ne de kapalı olduklarını gösteriniz. 2. Aşağıdaki E kümelerinin hangilerinin açık, kapalı, ya da ne açık ne de kapalı olduklarını belirleyiniz. Bunlara ek olarak, her durum için E kümesini çiziniz, ve E, E ve E kümelerini belirleyiniz. (a) E := {(x, y) R 2 x 2 + 4y 2 1}. (b) E := {(x, y) R 2 x 2 2x + y 2 = 0} {(x, 0) R 2 x [2, 3]}. (c) E := {(x, y) R 2 y x 2 ve 0 y < 1}. (d) E := {(x, y) R 2 x 2 y 2 < 1 ve 1 < y < 1}. 3. s < r gerçel sayılar, V := {x R n s < x < r}, ve E := {x R n s x r} ise, V kümesinin açık, E kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz. 4. E kümesi R n içinde kapalı ve a / E ise, olduğunu gösteriniz. inf x a > 0 x E

25 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler (a) R n uzayının açık ve boş-olmayan alt-kümelerinden müteşekkil bir {V α α I} ailesi I içindeki her α β elemanı için V α V β = olması koşulunu sağlıyorsa, I kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlayınız. (b) {V α α I} ailesinin elemanlarının açık olmaları koşulu kaldırıldığında, (a) kısmındaki sonucun yine geçerli olup olmayacağını araştırınız. 6. V kümesi R n içinde açıksa, V = gerçeklenecek biçimde B 1, B 2,... açık toplarının var olduklarını kanıtlayınız. 7. A, B R n ise, (a) (A B) A B ve (A B) = A B ; (b) A B = A B ve A B A B; (c) (A B) A B ve (A B) (A B) (B A) ( A B) olduğunu gösteriniz. [ j N 8. Teorem (iv) ün kanıtındaki ( ) denkliğini ispatlayınız. 9. E R n kapalı bir küme olsun. (a) E E olduğunu kanıtlayınız. (b) E = E olması için, E = olmasının gerekli ve yeterli olduğunu ispatlayınız. (c) E kümesi kapalı değilse, (b) kısmındaki önermenin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz. 10. f : R R bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun R üzerinde sürekli olmasının, her I açık aralığı için f 1 (I) kümesinin R içinde açık olmasına denk olduğunu gösteriniz. Yol gösterme: f fonksiyonunun bir ξ noktasında sürekli olduğunu gösterirken, ε > 0 olmak üzere, I := (f(ξ) ε, f(ξ) + ε) açık aralığını göz önüne alınız. B j 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler Bu kısımda, Öklidyen bir uzayın içindeki bir vektörler dizisinin sınırlı veya yakınsak olmasının ne anlama geldiği incelenecektir. Bu incelemeyi mümkün kılacak olan temel motivasyon, tek-değişkenli teorinin klâsik sonuçlarıdır. R n içinde bir dizi, bir x : N R n fonksiyonudur; fonksiyonel gösterilim yerine alt-indis notasyonu kullanılıp terimler numaralandırılarak, x dizisi (x k ) k N olarak gösterilir. Bir x : N R n dizisi ve kesin artan bir k : N N fonksiyonu için, x k : N R n fonksiyonuna x dizisinin bir alt-dizisi denir ve, yine alt-indis notasyonu kullanılarak, (x kj ) j N ile gösterilir. Tanım R n uzayı içindeki noktaların bir dizisi (x k ) k N ve x R n olsun. (i) Bir M > 0 sayısı her k N için x k M olacak biçimde bulunabiliyorsa, (x k ) k N dizisi sınırlı olarak adlandırılır.