ANALİZ III. Mert Çağlar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANALİZ III. Mert Çağlar"

Transkript

1 ANALİZ III Mert Çağlar

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul

3 ey can hümâsı, bize bu ruzigârdan bir sayfa okur musun? HİLMİ YAVUZ Bedreddin Üzerine Şiirler

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Öklidyen uzaylar R n uzayının cebirsel yapısı Problemler R n içinde açık ve kapalı kümeler Problemler R n içinde diziler ve kompakt kümeler Problemler R n içinde konveks ve bağlantılı kümeler Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların limitleri Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği Problemler R n üzerinde diferansiyellenebilme Kısmî türevler ve integraller Problemler Diferansiyellenebilme Problemler Ortalama Değer Teoremi ve Taylor Formülü Problemler Ters Fonksiyon Teoremi Problemler Ekstremum değerler Problemler Kaynakça 113 Dizin 115 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Analiz III (MC 311) dersinin notlarından oluşan bu derleme, temel olarak, William R. Wade in An Introduction to Analysis [17] kitabının ilgili bölümleri kullanılarak oluşturulmuştur. Ders kitabı olarak kullanılan bu kaynağa ek olarak, kimi yerlerde, gerekli olduklarını düşündüğüm bâzı açıklama ve eklemeler yapılmıştır. Öklidyen uzayların yapısı ve bu uzaylar üzerinde tanımlı çokdeğişkenli fonksiyonların limit, süreklilik ve diferansiyellenebilme özelliklerinin incelendiği bu ders notları düzenlenirken, tek-değişkenli analizin temel kavramlarının ve sonuçlarının bilindiği varsayımıyla hareket edilmiştir. Okuyucunun ilgisini çok-değişkenli hesabın temel kavramlarına yönlendirebildiği oranda, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Dersin uygulamalarını yürüten ve notları dikkâtle okuyarak kimi yanlışları düzelten Uğur Gönüllü ye teşekkür ederim. Yine de gözden kaçan bâzı hatâlar varsa, sorumluluk tamâmen bana aittir. İstanbul, Ocak 2011 Mert Çağlar vii

8

9 1 Öklidyen uzaylar Tek gerçel-değişkenli fonksiyonlar, gerek teoride gerekse uygulamada karşılaşılan birçok problemin formüle edilebilmesinde yetersiz kalırlar; pek çok problem, birden fazla değişkenin kontrol edilmesini gerektirir. Bundan dolayı, değişken sayısı birden çok olan fonksiyonları analiz edebilmek için gerekli alt-yapıya ihtiyaç vardır. Her n N için R n := {(x 1, x 2,..., x n ) j = 1, 2,..., n için x j R} olsun. R n kümesinin x := (x 1, x 2,..., x n ) elemanları nokta ya da vektör veya sıralı n li olarak, her x j sayısı ise x vektörünün j inci koordinatı ya da bileşeni olarak adlandırılır. n = 1 olduğunda elde edilen R 1 := R kümesinin her elemanına bir skaler denir. 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı Tek-değişkenli hesabın analizindekine benzer biçimde, ilk olarak R n kümesinin cebirsel yapısını inceleyerek başlayacağız. Tanım x = (x 1,..., x n ) ve y = (y 1,..., y n ), R n içinde vektörler ve α R bir skaler olsun. (i) Her j = 1,..., n için x j = y j ise, yani bileşenleri eşitse, x ve y vektörleri eşit olarak adlandırılır. (ii) Tüm bileşenleri sıfır olan vektöre sıfır vektörü denir ve 0 olarak gösterilir. (iii) Her j = 1,..., n için, R n içinde, j inci koordinatı 1 diğerleri 0 olan e j vektörlerinden müteşekkil {e 1,..., e n } ailesine R n kümesinin doğal tabanı denir. (iv) x ve y vektörlerinin toplamı, olarak tanımlanan vektördür. x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 1

10 2 1 Öklidyen uzaylar (v) x ve y vektörlerinin farkı, olarak tanımlanan vektördür. (vi) α skaleriyle x vektörünün çarpımı, vektörüdür. x y := (x 1 y 1,..., x n y n ) α x := (αx 1,..., αx n ) (vii) x ve y vektörlerinin Öklidyen/skaler/iç çarpımı, olarak tanımlanan skalerdir. x y := x 1 y x n y n (viii) x y = 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı x ve y vektörleri ortogonal olarak adlandırılır. x = (x 1,..., x n ) R n olsun. Tanımdan dolayı, x = P n j=1 x je j gerçeklenir; diğer taraftan, i j olduğunda e i e j = 0 olur. Dolayısıyla, R n içindeki her vektör, ortogonal elemanlardan oluşan doğal taban vâsıtasıyla tek türlü ifade edilebilir. Üzerine, Tanım in (i)-(vi) özellikleriyle verilen toplama ve skalerle çarpma işlemi, ve Tanım (vii) ile verilen Öklidyen çarpım konulan bir R n kümesi bir Öklidyen uzay olarak adlandırılır. n sabitlendiğinde, R n kümesine n-boyutlu Öklidyen uzay denir. Teorem x, y, z R n ve α, β R olsun. Bu durumda; α0 = 0, 0x = 0, 1x = x, α(βx) = β(αx) = (αβ)x, α(x y) = (αx) y = x (αy), α(x + y) = αx+αy, 0+x = x, x x = 0, 0 x = 0, x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x y = y x, ve x (y + z) = x y + x z eşitlikleri gerçeklenir. Kanıt. Tanımların ve gerçel sayıların karşılık gelen özelliklerinin doğrudan sonuçlarıdır. Tanım x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. (i) x vektörünün sup-normu, skaleridir. x := max{ x 1,..., x n }

11 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 3 (ii) x vektörünün (Öklidyen) normu, skaleridir. x := (x x) (iii) x ve y vektörleri arasındaki (Öklidyen) uzaklık, x y skaleridir. Teorem (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği). Her x, y R n için eşitsizliği gerçeklenir. x y x y Kanıt. y = 0 için istenen eşitsizliğin doğru olduğu açıktır. y 0 olsun. Tanım gereğince, her t skaleri için 0 x ty 2 = (x ty) (x ty) = x 2 2t(x y) + t 2 y 2 (1.1.1) doğru olur; bu ise, (1.1.1) eşitsizliğinde t := (x y)/ y 2 konularak, 0 x 2 t(x y) = x 2 (x y)2 y 2, yani 0 x 2 (x y) 2 / y 2 sonucuna ulaştırır. Bu son eşitsizlik düzenlenip pozitif karekök alınarak da, istenen elde edilir. Teorem x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. Bu durumda, (i) eşitlik durumu sadece x = 0 için sağlanmak üzere, x 0; (ii) her α skaleri için αx = α x ; (iii) x y x + y x + y (üçgen eşitsizlikleri); (iv) x P n j=1 x j ; ve (v) her j = 1,..., n için x j x n x özellikleri gerçeklenir.

12 4 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. (i), (ii) ve (v) doğrudan gözlemlenebilir; (iii) için Teorem ve Cauchy- Schwarz eşitsizliği; (v) içinse, A := {(i, j) 1 i, j n ve i < j} olmak üzere, nx 2 x j! = j=1 özdeşliğini gözlemlemek yeterlidir. nx j=1 x j X (i,j) A x i x j Genel olarak, vektörler ve noktalar arasında bir ayırım yapılmayacaktır; ancak her durumda, o durum için en uygun olan yapı kullanılacaktır. Örneğin, R n uzayı orijinden çıkan vektörler ailesi olarak göz önüne alındığında, sıfırdan farklı bir a vektörünün yine sıfırdan farklı bir b vektörüne paralel olması, a = tb eşitliğini gerçekleyen bir t skalerinin var olması olarak tanımlanacaktır. Diğer taraftan, örneğin R n uzayı noktaların bir ailesi olarak göz önüne alındığında, a noktası ile b noktasını birleştiren doğru parçası L(a; b) := {x R n x := φ(t) := (1 t)a + tb, t [0, 1]} kümesi olarak tanımlanacaktır. Noktaların ve vektörlerin bu şekilde eşdeğer görülmeleri, geometrik kavramların analitik problemlerde kolaylık yaratacak şekilde kullanılmalarını sağlar. İkiboyutlu Öklidyen uzaydan bir örnek vermek gerekirse, R 2 içindeki a := (a 1, a 2 ) ve b := (b 1, b 2 ) noktaları vâsıtasıyla tanımlanan P := {(x, y) = u(a 1, a 2 ) + v(b 1, b 2 ) u, v [0, 1]} kümesi, a ve b tarafından belirlenen paralelkenar dır. İki-boyutlu Öklidyen uzay içinde göz önüne alınan sıfırdan farklı her a ve b vektörü için tek türlü belirli bir θ [0, π] gerçel sayısı, üçgenler için Kosinüs Teoremi nedeniyle, cos θ = a b (1.1.2) a b gerçeklenecek biçimde vardır. (1.1.2) eşitliğinden ilham alınarak, her n N için, sıfırdan farklı a, b R n vektörleri arasındaki açı, (1.1.2) eşitliğiyle tanımlanan tek türlü belirli θ [0, π] gerçel sayısı olarak tanımlanacaktır. R n uzayı içinde bir açık top, bir a R n ve bir r > 0 için, B r (a) := {x R n x a < r} yapısında bir kümedir; a noktası B r (a) açık topunun merkez i, r skaleri ise aynı açık topun yarıçapı olarak adlandırılır. B 1 (0) topuna bir birim top denir.

13 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 5 Merkez noktasının her bileşeni ve yarıçapı rasyonel sayılardan oluşan bir açık top, rasyonel olarak adlandırılacaktır. R n içindeki, bir a vektörü ve sıfırdan farklı bir b vektörü için Π b (a) := {x R n (x a) b = 0} olarak tanımlanan kümeye, R n içinde bir hiper-düzlem denir; b vektörü Π b (a) hiper-düzleminin normal vektörü olarak adlandırılır. x Π koşulunu sağlayan bir Π hiper-düzlemi için, x R n noktasından geçer, denir. F : R n R olmak üzere, bir Π hiper-düzleminin x R n noktasından geçmesi için F (x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğu F (x) = 0 formundaki bir ifadeye, Π hiperdüzleminin bir denklemi denir. Dolayısıyla bir Π b (a) hiper-düzleminin denklemi, b := (b 1,..., b n ) ve d := b 1 a 1 + b 2 a b n a n olmak üzere, olarak verilir. b 1 x 1 + b 2 x b n x n = d Tanım Her x, y R n ve her α skaleri için F(x + y) = F(x) + F(y) ve F(αx) = αf(x) koşullarını gerçekleyen bir F : R n R m fonksiyonu lineer olarak adlandırılır. Örnek Tek-değişkenli bir F : R R fonksiyonun lineer olması, ancak ve yalnız bir m skalerinin her x R için F (x) = mx gerçeklenecek biçimde var olmasıyla mümkündür. Çok-değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda Örnek dekine benzer bir gösteriliş elde etmek için, Lineer Cebir in standart araçları kullanılacaktır: (m n)-boyutlu ve girdileri b ij skalerlerinden ya da gerçel-değerli fonksiyonlarından oluşan bir B matrisi B := [b ij ] m n = b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 1n b m1 b m2 b mn olarak; bir x := (x 1, x 2,..., x n ) R n noktası ise, [x] = x 1 x 2 x n 3 7 5

14 6 1 Öklidyen uzaylar biçiminde (1 n)-boyutlu satır matrislerle ya da 2 T [x] = x 1 x 2 x n := 6 4 biçiminde (n 1)-boyutlu sütun matrislerle gösterilecektir. Notasyon zorlanarak, (m n)-boyutlu bir B matrisiyle (n 1)-boyutlu bir [x] sütun matrisinin çarpımı Bx olarak yazılacaktır. Tüm girdileri sıfır skalerlerinden oluşan (m n)-boyutlu bir matris bir sıfır matrisi olarak adlandırılacak ve O m n sembolüyle gösterilecektir. R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olmak üzere, her j = 1,..., n için, j inci satırı (ya da sütunu) e j vektörü olan (n n)-boyutlu kare matris n-boyutlu bir birim matris olarak isimlendirilecek ve I n ile gösterilecektir. B := [b ij ] m n ve C := [b νk ] p q olmak üzere, B matrisinin bir α skaleriyle çarpımı αb := [αb ij ] m n olarak; m = p ve n = q olduğunda B ve C matrislerinin toplamı B + C := [b ij + c ij ] m n x 1 x 2 olarak; ve n = p olduğunda B ve C matrislerinin çarpımı. x n BC = P n ν=1 b iνc νj m q olarak tanımlanan matrislerdir. Matris cebiriyle ilgili temel özellikler için, [2] ya da [5] kaynaklarına bakılabilir. Örnek x [x] fonksiyonu vektör toplamını matris toplamına, iç çarpımı matris çarpımına, ve skaler çarpımı skaler çarpıma taşır: yani, her x, y R n ve her α skaleri için gerçeklenir. [x + y] = [x] + [y], [x y] = [x] [y] T, ve [αx] = α[x] Aşağıdaki iki netice, Lineer Cebir in temel sonuçlarındandır. Teorem B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olsun. Eğer her x R n için F(x) := Bx (1.1.3)

15 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 7 ise, F fonksiyonu R n uzayından R m uzayına bir lineer fonksiyondur, ve her j = 1, 2,..., n için (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ) (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, eğer F : R n R m fonksiyonu lineer ise ve B = [b ij ] m n matrisinin girdileri (1.1.4) eşitliğini gerçekliyorsa, bu durumda F ve B, (1.1.3) eşitliğini sağlar. Özel olarak, her F : R n R m lineer fonksiyonu için, (1.1.3) eşitliğini sağlayan tek bir (m n)-boyutlu B matrisi vardır. Kanıt. Her x R n için (1.1.3) sağlansın. Bu durumda, Örnek ve matris çarpımının dağılma özelliğinden dolayı, F(x + y) = B[x + y] = B([x] + [y]) = B[x] + B[y] = F(x) + F(y) eşitlikleri her x, y R n için sağlanır. Benzer biçimde, her x R n ve her α R için, F(αx) = B[αx] = B(α[x]) = αb[x] = αf(x) olur. Dolayısıyla, F : R n R m fonksiyonu lineerdir. Diğer taraftan, matris çarpımının tanımından dolayı, her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, F : R n R m fonksiyonu lineer olsun, ve B matrisi, girdileri her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) eşitliğiyle verilen matris olarak tanımlansın. Böylece, F(x) = F = olarak elde edilir. nx j=1 nx j=1 x j e j! = x j b 1j, nx j=1 nx j=1 x j b 2j,..., x j F(e j ) = nx j=1 nx j=1 x j (b 1j, b 2j,..., b mj ) x j b mj! = Bx Açıklama Teorem ile verilen (1.1.3) eşitliğini sağlayan ve tek türlü belirli olan B matrisine, F lineer fonksiyonunu temsil eden matris denir. Diğer taraftan yine Teorem dan dolayı, R n içindeki bir hiper-düzlemin denklemi, bir lineer F : R n R fonksiyonu için, F (x) = d formundadır. Sonuç Eğer F : R n R m ve G : R m R p fonksiyonları lineer ise, G F : R n R p fonksiyonu da lineerdir. Bu durumda G F fonksiyonunu, F fonksiyonunu temsil eden (m n)-boyutlu matris B ve G fonksiyonunu temsil eden (p m)-boyutlu matris C olmak üzere, CB matrisi temsil eder.

16 8 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. G F fonksiyonunun lineer olduğu âşikârdır. {e 1,..., e n }, {u 1,..., u m }, ve {w 1,..., w p }, sırasıyla, R n, R m, ve R p uzaylarının doğal tabanları olsun. Eğer B := [b ij ] m n ve C := [c νk ] p m matrisleri, sırasıyla, F ve G lineer fonksiyonlarını temsil ediyorsa, Teorem dan, her j = 1, 2,..., n için mx k=1 ve her k = 1, 2,..., m için px ν=1 b kj u k = (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ), c νk w ν = (c 1k, c 2k,..., c pk ) = G(u k ) sağlanır. Dolayısıyla, her j {1,..., n} için, (G F)(e j ) = G(F(e j )) = G = mx px k=1 ν=1 mx k=1 b kj c νk w ν = b kj u k! = mx k=1 b kj c 1k, mx k=1 mx k=1 b kj G(u k ) b kj c 2k,..., mx k=1 b kj c pk! olur; bu ise, son eşitlikteki vektörün CB matrisinin j inci sütunu olmasından dolayı, CB matrisin G F fonksiyonunu temsil eden matris olması anlamına gelir. Matris çarpımı iç çarpımın bir genelleştirilmesi olarak görülebileceğinden, aşağıdaki sonuç Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir benzeridir. Teorem Eğer B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve ise, her x R n için eşitsizliği gerçeklenir. B := max{ b ij 1 i m, 1 j n} Bx (mn) B x Kanıt. Teorem (v) ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği nin sonucudur. Tanım R 3 içindeki iki x := (x 1, x 2, x 3 ) ve y := (y 1, y 2, y 3 ) vektörünün vektörel çarpımı, olarak tanımlanan vektördür. x y := (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )

17 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 9 R 3 uzayının doğal tabanı olarak i := e 1, j := e 2, ve k := e 3 yazıp determinant operatörünü kullanarak, 2 x y = det 4 i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 olduğunu gözlemlemek oldukça kolaydır. İç çarpım için olduğu gibi, vektörel çarpım için de cebir kuralları geçerlidir. Teorem x, y, z R 3 vektörler ve α bir skaler olsun. Bu durumda, (i) x x = 0 ve x y = y x; (ii) (αx) y = α(x y) = x (αy); (iii) x (y + z) = (x y) + (x z); (iv) (x y) z = x (y z) = det 4 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 5 ; z 1 z 2 z 3 (v) x (y z) = (x z)y (x y)z; ve (vi) x y 2 = (x x) (y y) (x y) 2 özellikleri gerçeklenir. Kanıt. Tüm özellikler, tanımların doğrudan sonuçlarıdır. 2 Sonuç x ve y, aralarındaki açı θ olan, R 3 içinde iki vektör ise, eşitliği sağlanır. 3 x y = x y sin θ Kanıt. Teorem (vi) ve (1.1.2) eşitliğinin sonucudur. Problemler 1. (a) z = x düzleminde olan ve (1, 1, 0) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. (b) Bileşenlerinin toplamı dört olan ve (3, 2, 5) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. 3 5

18 10 1 Öklidyen uzaylar (c) (1, 0, 1) noktasını içeren ve normali ( 1, 2, 1) olan düzlemin denklemini bulunuz. (d) ( 1, 1, 1) noktasından geçen ve 3x + 2y 5z = 0 düzlemine dik olan düzlemin denklemini bulunuz. 2. R 3 içinde, doğrusal olmayan ve bir Π düzlemi tarafından içerilen üç nokta a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) ve c = (c 1, c 2, c 3 ) olsun. Π düzleminin denkleminin x a1 y a 2 z a 3 det b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 = 0 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 olduğunu gösteriniz. 3. x, y R n ve x 0 olsun. x + y = x + y olması için, bir α 0 skalerinin y = αx gerçeklenecek biçimde bulunmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayınız. 4. C[a, b] := {f : [a, b] R f sürekli} ve f := sup x [a,b] f(x) olsun. (a) Her f C[a, b] için f büyüklüğünün, sonlu ve negatif-olmayan bir gerçel sayı olduğunu kanıtlayınız. (b) f = 0 olması için, her x [a, b] için f(x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğunu gösteriniz. (c) Her f C[a, b] ve α R için, αf = α f eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (d) Her f, g C[a, b] için, f + g f + g ve f g f g eşitsizliklerinin gerçeklendiğini ispatlayınız. 5. (a) a, b R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ua + vb R 3 u, v [0, 1]} paralelkenarının alanının a b olduğunu ispatlayınız. (b) a, b, c R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ta + ub + vc R 3 t, u, v [0, 1]} dörtyüzlüsünün hacminin (a b) c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir θ R için h cos θ sin θ i B := sin θ cos θ olsun. (a) Her (x, y) R 2 için, B(x, y) = (x, y) olduğunu ispatlayınız. (b) (x, y) R 2 sıfırdan farklı bir vektör ve B(x, y) ve (x, y) vektörleri arasındaki açı ϕ ise, cos ϕ = cos θ olduğunu kanıtlayınız. Bunu kullanarak, B matrisinin R 2 uzayını θ açısı kadar döndüren lineer fonksiyonu temsil eden matris olduğunu gösteriniz. 7. R 3 içinde, bir x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) noktasından bir Π düzlemine olan uzaklık, Π üzerindeki bir (x 1, y 1, z 1 ) noktası için v := (x 0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 ) ve v vektörü Π düzleminin normaline paralel olmak üzere, 0, x0 Π ise; dist(x 0, Π) := v, x 0 / Π ise;

19 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 11 olarak tanımlanır. x 0 noktasından ax + by + cz = d denklemiyle belirlenen Π düzlemine olan uzaklığın dist(x 0, Π) = ax 0 + by 0 + cz 0 d (a 2 + b 2 + c 2 ) olduğunu göstererek, yukarıda yapılan uzaklık tanımının v vektöründen bağımsız olduğunu ispatlayınız. 8. T : R n R m bir lineer fonksiyon, T := inf {C > 0 her x R n için T (x) C x } ve M := sup T (x) x =1 olsun. (a) Her x R n için T (x) T x olduğunu gösteriniz. (b) M T olduğunu kanıtlayınız. T (x) (c) Her x 0 için M olduğunu ispatlayınız. x (d) M = T eşitliğini kanıtlayınız. (e) Yukarıda gösterilenlerden faydalanarak, olduğunu ispatlayınız. T (x) T = sup x 0 x 9. X bir Öklidyen uzay; B, bu uzayın doğal tabanı; ve B kümesinin kendisine eşit olmayan boştan-farklı bir alt-kümesi S olsun. T : X X fonksiyonu, her x X için T x := X v B S (x v) v olarak tanımlansın. Ker T = span (S) olduğunu gösteriniz. 10. X bir Öklidyen uzay ve f : X R bir lineer fonksiyon olsun. Tek türlü belirli bir a X vektörünün, her x X için f(x) = a x gerçeklenecek biçimde var olduğunu ispatlayınız. 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler Öklidyen uzayların topolojilerinin inceleneceği bu ve bunu izleyen iki kısımda, bundan sonraki tüm kavramlar için temel teşkil edecek yapılar tanımlanacaktır. Klâsik analiz ve geometriden doğmuş olan Topoloji, açık küme kavramı üzerine kurulur ve aksiyomatik olarak tanımlanır. Gerçel sayılar kümesi içindeki bir (a, b) açık aralığına ait her x noktasının bu aralığın içinde kalan noktalar tarafından tamamen örtülebilmesi, aşağıdaki tanıma yol açar. Tanım V R n olsun. Her x V için bir ε > 0 sayısı B ε (x) açık topu V kümesinin içinde kalacak biçimde bulunabiliyorsa, V kümesi R n içinde açık olarak adlandırılır.

20 12 1 Öklidyen uzaylar Örnek R n içindeki her açık top açıktır: Gerçekten, eğer B r (a) R n bir açık top ve x B r (a) ise, ε := r x a > 0 yarıçaplı ve x noktası merkezli B ε (x) açık topuna ait her y noktası için y a y x + x a < ε + x a = r gerçekleneceğinden, B ε (x) B r (a) olur. Gerçel sayılar kümesinin yoğunluğu göz önüne alınarak yapılan açık küme tanımına dikkât edilirse, R kümesinin içindeki kapalı bir aralığın tümleyeninin de, tıpkı bir açık aralık gibi, kendisine ait her noktayı yine kendisinin içinde kalan noktalarla örtebildiği görülür. Bu temel gözlem, aşağıdaki tanımı anlamlı kılar. Tanım E R n olsun. Eğer E c := R n E kümesi açıksa, E kümesi R n içinde kapalı olarak adlandırılır. Örnek Her a R n ve r 0 için, {x R n kapalıdır. x a r} kümesi Örnek R n içindeki her sonlu küme kapalıdır. Bunu görmek için, R n içinde sonlu bir E := {x 1, x 2,..., x p } kümesi ve bir x E c noktası göz önüne alındığında, ε := min{ x x k k = 1, 2,..., p} olmak üzere, x k / B ε (x) özelliğinin her k = 1, 2,..., p için doğru olduğunu gözlemlemek yeterlidir. Örnek Açık ve kapalı küme tanımının doğal bir sonucu olarak, boş küme ve tüm uzay olan R n, hem açık hem kapalıdır. Açık kümelerden ve kapalı kümelerden müteşekkil aileler, birleşim ve kesişim işlemleri altında benzer davranışları sergilemezler. Teorem X bir Öklidyen uzay olsun. (i) X içinde açık olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, S α I V α kümesi açıktır. (ii) X içinde açık olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, T n k=1 V k kümesi açıktır. (iii) TX içinde kapalı olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, α I V α kümesi kapalıdır.

21 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 13 (iv) X içinde kapalı olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, S n k=1 V k kümesi kapalıdır. (v) Eğer V kümesi X içinde açık ve E kümesi X içinde kapalıysa, V E kümesi açık, E V kümesi kapalıdır. Kanıt. (i) x S α I V α olsun. Bu durumda bir α I için x V α olur. Hipotezden dolayı V α açıktır; yani bir ε > 0 sayısı, B ε (x) V α gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise B ε (x) V α S α I V α, yani S α I V α kümesinin açık olması demektir. T n (ii) x k=1 V k olsun. Bu durumda her k = 1, 2,..., n için x V k olur. Her V k açık olduğundan dolayı bir ε k > 0 sayısı, B εk (x) V k gerçeklenecek biçimde bulunur. O hâlde, ε := min 1 k n ε k denirse, T B ε (x) T V k içermesi her n k = 1, 2,..., n için doğru olur. Bu ise B ε (x) k=1 V n k, yani k=1 V k kümesinin açık olması demektir. (iii), (iv) ve (v) için, (i) ve (ii) özelliklerini ve De Morgan kuralları kullanmak yeterlidir. Açıklama Teorem deki (ii) ve (iv) numaralı özellikler, herhangi birleşim ve kesişimler için doğru değildir. X := R uzayında \ 1 k, 1 = {0} k kesişimi kapalı, birleşimi açıktır. k N [ k N 1 k + 1, k = (0, 1) k + 1 Öklidyen bir uzayın bir alt-kümesini örtebilmek için kaç tane açık kümeye ihtiyaç duyulacağı, bu tip uzayların yapılarıyla ilgili temel bilgilerdendir. Lindelöf Teoremi olarak adlandırılan bu önemli netice, iki yardımcı sonuç vâsıtasıyla kanıtlanacaktır. Lemma R n içindeki her B r (x) açık topu için bir rasyonel B q (a) açık topu, x B q (a) ve B q (a) B r (x) olacak biçimde vardır. Kanıt. x = (x 1, x 2,..., x n ) olmak üzere, B r (x) R n açık topu verilsin. Her j = 1, 2,..., n için, rasyonel sayılar kümesinin gerçel sayılar içinde yoğun olduğu kullanılarak bir a j Q sayısı, x j a j < r 4n

22 14 1 Öklidyen uzaylar olacak biçimde seçilsin, ve a := (a 1, a 2,..., a n ) olsun. Böylece, Teorem (iv) den, nx r x a x j a j n 4n = r 4 j=1 elde edilir. q Q sayısı r/4 < q < r/2 olacak biçimde seçilsin; bu, r/4 < q olması nedeniyle, x B q (a) olması demektir. Diğer taraftan, eğer y B q (a) ise, x y y a + a x < q + r 4 < r 2 + r 4 < r olur; bu ise B q (a) B r (x) içermesini gerektirir. Lemma R n içindeki rasyonel açık topların B ailesi sayılabilirdir. Kanıt. Sayılabilir [ kümelerin sayılabilir birleşimleri sayılabilir olduğundan, [ B = {B q (a) a = (a 1,..., a n ), q Q, q > 0} a 1 Q ailesi sayılabilirdir. a n Q Teorem (Lindelöf Teoremi). R n uzayının bir alt-kümesi E olsun. Eğer açık kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için E S α I V α ise, I kümesinin E [ α I 0 V α gerçeklenecek biçimde sayılabilir bir I 0 alt-kümesi vardır. Kanıt. x E olsun. Hipotezden dolayı, bir α I için x V α olur. Lemma dan dolayı sayılabilir olduğu bilinen R n içindeki rasyonel açık topların B ailesinin içinden bir B x topu, o hâlde, Lemma nedeniyle x B x V α (1.2.1) gerçeklenecek biçimde seçilebilir. B ailesinin sayılabilirliğinden, {U 1, U 2,...} := {B x x E} (1.2.2) alt-ailesinin de sayılabilir olduğu sonucuna ulaşılır. (1.2.1) den, her k N için, U k V αk gerçeklenecek biçimde en az bir α k I bulunduğu görülür; bu ise, (1.2.2) sebebiyle, [ E x E B x = [ k N U k [ k N V αk olması demektir. I 0 := {α k k N} alınarak ispat tamamlanır.

23 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 15 Tanım E R n olsun. (i) E kümesinin içi kümesidir. (ii) E kümesinin kapanışı kümesidir. (iii) E kümesinin sınır ı E := [ {V V E ve V kümesi R n içinde açık} E := \ {B B E ve B kümesi R n içinde kapalı} E := {x R n her r > 0 için, B r (x) E ve B r (x) E c } kümesidir. Açıklama Teorem (i) & (iii) den dolayı bir kümenin içi açık, kapanışı kapalıdır. Teorem E R n olsun. Bu durumda, (i) E E E; (ii) eğer V açık ve V E ise, V E ; (iii) eğer F kapalı ve F E ise, F E; (iv) E = E E olur. Kanıt. (i), (ii) ve (iii), iç ve kapanış tanımlarının doğrudan sonuçlarıdır. (iv) deki eşitliği görmek içinse, aşağıdaki iki denkliği gözlemlemek yeterlidir: ( ) x E olması, ancak ve yalnız her r > 0 için B r (x) E olmasıyla mümkündür; ( ) x / E olması için, r > 0 olduğunda B r (x) E c olması gerekli ve yeterlidir.

24 16 1 Öklidyen uzaylar ( ) denkliğini göstererek, benzer olan ( ) denkliğini göstermeyi okuyucuya bırakacağız. x E olsun ve bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = gerçeklensin. Bu durumda (B r0 (x)) c, E kümesini içeren kapalı bir küme olur ve (iii) den dolayı E (B r0 (x)) c gerçeklenir. Bu ise E B r0 (x) =, yani x / E çelişkisine ulaştırır. Tersine, x / E olsun. Bu durumda (E) c açık olduğundan bir r 0 > 0 sayısı, B r0 (x) (E) c gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise, (i) deki ikinci içermeden dolayı, = B r0 (x) E B r0 (x) E, yani bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = olması demektir. Açıklama Teorem (v) ve Teorem (iv) den dolayı, bir kümenin sınırı kapalıdır. Teorem (ii), E kümesinin içerdiği tüm açık kümeler içerme bağıntısıyla sıralanarak en büyük kavramı anlamlandırılırsa, E kümesinin E kümesinin içerdiği her açık kümeyi içermesi anlamında, E kümesinin içerdiği en büyük açık küme olduğunu gösterir. Benzer biçimde, Teorem (iii) kullanılarak E kümesinin E kümesini içeren her kapalı küme tarafından içerilmesi anlamında, E kümesini içeren en küçük kapalı küme olduğu sonucuna ulaşılır. Yukarıdaki gözlemler, basit fakat oldukça önemli olan, iç ve kapanış işlemlerinin içerme bağıntısı altında korunduğu gerçeğini de kanıtlar: eğer E F ise, açık olan E kümesi F kümesinin içinde kalacağından, E F gerçeklenir; kapalı olan F kümesi E kümesini içerdiğinden de, E F olur. Problemler 1. Her gerçel a < b sayı çifti için, (a, b), (a, ) ve (, b) kümelerinin açık; [a, b], [a, ) ve (, b] kümelerinin kapalı; ve [a, b) ve (a, b] kümelerinin ise ne açık ne de kapalı olduklarını gösteriniz. 2. Aşağıdaki E kümelerinin hangilerinin açık, kapalı, ya da ne açık ne de kapalı olduklarını belirleyiniz. Bunlara ek olarak, her durum için E kümesini çiziniz, ve E, E ve E kümelerini belirleyiniz. (a) E := {(x, y) R 2 x 2 + 4y 2 1}. (b) E := {(x, y) R 2 x 2 2x + y 2 = 0} {(x, 0) R 2 x [2, 3]}. (c) E := {(x, y) R 2 y x 2 ve 0 y < 1}. (d) E := {(x, y) R 2 x 2 y 2 < 1 ve 1 < y < 1}. 3. s < r gerçel sayılar, V := {x R n s < x < r}, ve E := {x R n s x r} ise, V kümesinin açık, E kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz. 4. E kümesi R n içinde kapalı ve a / E ise, olduğunu gösteriniz. inf x a > 0 x E

25 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler (a) R n uzayının açık ve boş-olmayan alt-kümelerinden müteşekkil bir {V α α I} ailesi I içindeki her α β elemanı için V α V β = olması koşulunu sağlıyorsa, I kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlayınız. (b) {V α α I} ailesinin elemanlarının açık olmaları koşulu kaldırıldığında, (a) kısmındaki sonucun yine geçerli olup olmayacağını araştırınız. 6. V kümesi R n içinde açıksa, V = gerçeklenecek biçimde B 1, B 2,... açık toplarının var olduklarını kanıtlayınız. 7. A, B R n ise, (a) (A B) A B ve (A B) = A B ; (b) A B = A B ve A B A B; (c) (A B) A B ve (A B) (A B) (B A) ( A B) olduğunu gösteriniz. [ j N 8. Teorem (iv) ün kanıtındaki ( ) denkliğini ispatlayınız. 9. E R n kapalı bir küme olsun. (a) E E olduğunu kanıtlayınız. (b) E = E olması için, E = olmasının gerekli ve yeterli olduğunu ispatlayınız. (c) E kümesi kapalı değilse, (b) kısmındaki önermenin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz. 10. f : R R bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun R üzerinde sürekli olmasının, her I açık aralığı için f 1 (I) kümesinin R içinde açık olmasına denk olduğunu gösteriniz. Yol gösterme: f fonksiyonunun bir ξ noktasında sürekli olduğunu gösterirken, ε > 0 olmak üzere, I := (f(ξ) ε, f(ξ) + ε) açık aralığını göz önüne alınız. B j 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler Bu kısımda, Öklidyen bir uzayın içindeki bir vektörler dizisinin sınırlı veya yakınsak olmasının ne anlama geldiği incelenecektir. Bu incelemeyi mümkün kılacak olan temel motivasyon, tek-değişkenli teorinin klâsik sonuçlarıdır. R n içinde bir dizi, bir x : N R n fonksiyonudur; fonksiyonel gösterilim yerine alt-indis notasyonu kullanılıp terimler numaralandırılarak, x dizisi (x k ) k N olarak gösterilir. Bir x : N R n dizisi ve kesin artan bir k : N N fonksiyonu için, x k : N R n fonksiyonuna x dizisinin bir alt-dizisi denir ve, yine alt-indis notasyonu kullanılarak, (x kj ) j N ile gösterilir. Tanım R n uzayı içindeki noktaların bir dizisi (x k ) k N ve x R n olsun. (i) Bir M > 0 sayısı her k N için x k M olacak biçimde bulunabiliyorsa, (x k ) k N dizisi sınırlı olarak adlandırılır.

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : ANALİZ I Ders No : 0310250035 : 4 Pratik : 2 Kredi : 5 ECTS : 8 Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim Tipi Zorunlu

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

a) BP = P H olmalıdır. b) BP = 2 P H olmalıdır. c) P H = 2 BP olmalıdır. d) Böyle bir P noktası yoktur. e) Hiçbiri

a) BP = P H olmalıdır. b) BP = 2 P H olmalıdır. c) P H = 2 BP olmalıdır. d) Böyle bir P noktası yoktur. e) Hiçbiri TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 7. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 00 Birinci Bölüm Soru kitapçığı türü A 1. Bir ikizkenar

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı