ANALİZ III. Mert Çağlar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANALİZ III. Mert Çağlar"

Transkript

1 ANALİZ III Mert Çağlar

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul

3 ey can hümâsı, bize bu ruzigârdan bir sayfa okur musun? HİLMİ YAVUZ Bedreddin Üzerine Şiirler

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Öklidyen uzaylar R n uzayının cebirsel yapısı Problemler R n içinde açık ve kapalı kümeler Problemler R n içinde diziler ve kompakt kümeler Problemler R n içinde konveks ve bağlantılı kümeler Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların limitleri Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği Problemler R n üzerinde diferansiyellenebilme Kısmî türevler ve integraller Problemler Diferansiyellenebilme Problemler Ortalama Değer Teoremi ve Taylor Formülü Problemler Ters Fonksiyon Teoremi Problemler Ekstremum değerler Problemler Kaynakça 113 Dizin 115 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Analiz III (MC 311) dersinin notlarından oluşan bu derleme, temel olarak, William R. Wade in An Introduction to Analysis [17] kitabının ilgili bölümleri kullanılarak oluşturulmuştur. Ders kitabı olarak kullanılan bu kaynağa ek olarak, kimi yerlerde, gerekli olduklarını düşündüğüm bâzı açıklama ve eklemeler yapılmıştır. Öklidyen uzayların yapısı ve bu uzaylar üzerinde tanımlı çokdeğişkenli fonksiyonların limit, süreklilik ve diferansiyellenebilme özelliklerinin incelendiği bu ders notları düzenlenirken, tek-değişkenli analizin temel kavramlarının ve sonuçlarının bilindiği varsayımıyla hareket edilmiştir. Okuyucunun ilgisini çok-değişkenli hesabın temel kavramlarına yönlendirebildiği oranda, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Dersin uygulamalarını yürüten ve notları dikkâtle okuyarak kimi yanlışları düzelten Uğur Gönüllü ye teşekkür ederim. Yine de gözden kaçan bâzı hatâlar varsa, sorumluluk tamâmen bana aittir. İstanbul, Ocak 2011 Mert Çağlar vii

8

9 1 Öklidyen uzaylar Tek gerçel-değişkenli fonksiyonlar, gerek teoride gerekse uygulamada karşılaşılan birçok problemin formüle edilebilmesinde yetersiz kalırlar; pek çok problem, birden fazla değişkenin kontrol edilmesini gerektirir. Bundan dolayı, değişken sayısı birden çok olan fonksiyonları analiz edebilmek için gerekli alt-yapıya ihtiyaç vardır. Her n N için R n := {(x 1, x 2,..., x n ) j = 1, 2,..., n için x j R} olsun. R n kümesinin x := (x 1, x 2,..., x n ) elemanları nokta ya da vektör veya sıralı n li olarak, her x j sayısı ise x vektörünün j inci koordinatı ya da bileşeni olarak adlandırılır. n = 1 olduğunda elde edilen R 1 := R kümesinin her elemanına bir skaler denir. 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı Tek-değişkenli hesabın analizindekine benzer biçimde, ilk olarak R n kümesinin cebirsel yapısını inceleyerek başlayacağız. Tanım x = (x 1,..., x n ) ve y = (y 1,..., y n ), R n içinde vektörler ve α R bir skaler olsun. (i) Her j = 1,..., n için x j = y j ise, yani bileşenleri eşitse, x ve y vektörleri eşit olarak adlandırılır. (ii) Tüm bileşenleri sıfır olan vektöre sıfır vektörü denir ve 0 olarak gösterilir. (iii) Her j = 1,..., n için, R n içinde, j inci koordinatı 1 diğerleri 0 olan e j vektörlerinden müteşekkil {e 1,..., e n } ailesine R n kümesinin doğal tabanı denir. (iv) x ve y vektörlerinin toplamı, olarak tanımlanan vektördür. x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 1

10 2 1 Öklidyen uzaylar (v) x ve y vektörlerinin farkı, olarak tanımlanan vektördür. (vi) α skaleriyle x vektörünün çarpımı, vektörüdür. x y := (x 1 y 1,..., x n y n ) α x := (αx 1,..., αx n ) (vii) x ve y vektörlerinin Öklidyen/skaler/iç çarpımı, olarak tanımlanan skalerdir. x y := x 1 y x n y n (viii) x y = 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı x ve y vektörleri ortogonal olarak adlandırılır. x = (x 1,..., x n ) R n olsun. Tanımdan dolayı, x = P n j=1 x je j gerçeklenir; diğer taraftan, i j olduğunda e i e j = 0 olur. Dolayısıyla, R n içindeki her vektör, ortogonal elemanlardan oluşan doğal taban vâsıtasıyla tek türlü ifade edilebilir. Üzerine, Tanım in (i)-(vi) özellikleriyle verilen toplama ve skalerle çarpma işlemi, ve Tanım (vii) ile verilen Öklidyen çarpım konulan bir R n kümesi bir Öklidyen uzay olarak adlandırılır. n sabitlendiğinde, R n kümesine n-boyutlu Öklidyen uzay denir. Teorem x, y, z R n ve α, β R olsun. Bu durumda; α0 = 0, 0x = 0, 1x = x, α(βx) = β(αx) = (αβ)x, α(x y) = (αx) y = x (αy), α(x + y) = αx+αy, 0+x = x, x x = 0, 0 x = 0, x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x y = y x, ve x (y + z) = x y + x z eşitlikleri gerçeklenir. Kanıt. Tanımların ve gerçel sayıların karşılık gelen özelliklerinin doğrudan sonuçlarıdır. Tanım x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. (i) x vektörünün sup-normu, skaleridir. x := max{ x 1,..., x n }

11 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 3 (ii) x vektörünün (Öklidyen) normu, skaleridir. x := (x x) (iii) x ve y vektörleri arasındaki (Öklidyen) uzaklık, x y skaleridir. Teorem (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği). Her x, y R n için eşitsizliği gerçeklenir. x y x y Kanıt. y = 0 için istenen eşitsizliğin doğru olduğu açıktır. y 0 olsun. Tanım gereğince, her t skaleri için 0 x ty 2 = (x ty) (x ty) = x 2 2t(x y) + t 2 y 2 (1.1.1) doğru olur; bu ise, (1.1.1) eşitsizliğinde t := (x y)/ y 2 konularak, 0 x 2 t(x y) = x 2 (x y)2 y 2, yani 0 x 2 (x y) 2 / y 2 sonucuna ulaştırır. Bu son eşitsizlik düzenlenip pozitif karekök alınarak da, istenen elde edilir. Teorem x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. Bu durumda, (i) eşitlik durumu sadece x = 0 için sağlanmak üzere, x 0; (ii) her α skaleri için αx = α x ; (iii) x y x + y x + y (üçgen eşitsizlikleri); (iv) x P n j=1 x j ; ve (v) her j = 1,..., n için x j x n x özellikleri gerçeklenir.

12 4 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. (i), (ii) ve (v) doğrudan gözlemlenebilir; (iii) için Teorem ve Cauchy- Schwarz eşitsizliği; (v) içinse, A := {(i, j) 1 i, j n ve i < j} olmak üzere, nx 2 x j! = j=1 özdeşliğini gözlemlemek yeterlidir. nx j=1 x j X (i,j) A x i x j Genel olarak, vektörler ve noktalar arasında bir ayırım yapılmayacaktır; ancak her durumda, o durum için en uygun olan yapı kullanılacaktır. Örneğin, R n uzayı orijinden çıkan vektörler ailesi olarak göz önüne alındığında, sıfırdan farklı bir a vektörünün yine sıfırdan farklı bir b vektörüne paralel olması, a = tb eşitliğini gerçekleyen bir t skalerinin var olması olarak tanımlanacaktır. Diğer taraftan, örneğin R n uzayı noktaların bir ailesi olarak göz önüne alındığında, a noktası ile b noktasını birleştiren doğru parçası L(a; b) := {x R n x := φ(t) := (1 t)a + tb, t [0, 1]} kümesi olarak tanımlanacaktır. Noktaların ve vektörlerin bu şekilde eşdeğer görülmeleri, geometrik kavramların analitik problemlerde kolaylık yaratacak şekilde kullanılmalarını sağlar. İkiboyutlu Öklidyen uzaydan bir örnek vermek gerekirse, R 2 içindeki a := (a 1, a 2 ) ve b := (b 1, b 2 ) noktaları vâsıtasıyla tanımlanan P := {(x, y) = u(a 1, a 2 ) + v(b 1, b 2 ) u, v [0, 1]} kümesi, a ve b tarafından belirlenen paralelkenar dır. İki-boyutlu Öklidyen uzay içinde göz önüne alınan sıfırdan farklı her a ve b vektörü için tek türlü belirli bir θ [0, π] gerçel sayısı, üçgenler için Kosinüs Teoremi nedeniyle, cos θ = a b (1.1.2) a b gerçeklenecek biçimde vardır. (1.1.2) eşitliğinden ilham alınarak, her n N için, sıfırdan farklı a, b R n vektörleri arasındaki açı, (1.1.2) eşitliğiyle tanımlanan tek türlü belirli θ [0, π] gerçel sayısı olarak tanımlanacaktır. R n uzayı içinde bir açık top, bir a R n ve bir r > 0 için, B r (a) := {x R n x a < r} yapısında bir kümedir; a noktası B r (a) açık topunun merkez i, r skaleri ise aynı açık topun yarıçapı olarak adlandırılır. B 1 (0) topuna bir birim top denir.

13 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 5 Merkez noktasının her bileşeni ve yarıçapı rasyonel sayılardan oluşan bir açık top, rasyonel olarak adlandırılacaktır. R n içindeki, bir a vektörü ve sıfırdan farklı bir b vektörü için Π b (a) := {x R n (x a) b = 0} olarak tanımlanan kümeye, R n içinde bir hiper-düzlem denir; b vektörü Π b (a) hiper-düzleminin normal vektörü olarak adlandırılır. x Π koşulunu sağlayan bir Π hiper-düzlemi için, x R n noktasından geçer, denir. F : R n R olmak üzere, bir Π hiper-düzleminin x R n noktasından geçmesi için F (x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğu F (x) = 0 formundaki bir ifadeye, Π hiperdüzleminin bir denklemi denir. Dolayısıyla bir Π b (a) hiper-düzleminin denklemi, b := (b 1,..., b n ) ve d := b 1 a 1 + b 2 a b n a n olmak üzere, olarak verilir. b 1 x 1 + b 2 x b n x n = d Tanım Her x, y R n ve her α skaleri için F(x + y) = F(x) + F(y) ve F(αx) = αf(x) koşullarını gerçekleyen bir F : R n R m fonksiyonu lineer olarak adlandırılır. Örnek Tek-değişkenli bir F : R R fonksiyonun lineer olması, ancak ve yalnız bir m skalerinin her x R için F (x) = mx gerçeklenecek biçimde var olmasıyla mümkündür. Çok-değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda Örnek dekine benzer bir gösteriliş elde etmek için, Lineer Cebir in standart araçları kullanılacaktır: (m n)-boyutlu ve girdileri b ij skalerlerinden ya da gerçel-değerli fonksiyonlarından oluşan bir B matrisi B := [b ij ] m n = b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 1n b m1 b m2 b mn olarak; bir x := (x 1, x 2,..., x n ) R n noktası ise, [x] = x 1 x 2 x n 3 7 5

14 6 1 Öklidyen uzaylar biçiminde (1 n)-boyutlu satır matrislerle ya da 2 T [x] = x 1 x 2 x n := 6 4 biçiminde (n 1)-boyutlu sütun matrislerle gösterilecektir. Notasyon zorlanarak, (m n)-boyutlu bir B matrisiyle (n 1)-boyutlu bir [x] sütun matrisinin çarpımı Bx olarak yazılacaktır. Tüm girdileri sıfır skalerlerinden oluşan (m n)-boyutlu bir matris bir sıfır matrisi olarak adlandırılacak ve O m n sembolüyle gösterilecektir. R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olmak üzere, her j = 1,..., n için, j inci satırı (ya da sütunu) e j vektörü olan (n n)-boyutlu kare matris n-boyutlu bir birim matris olarak isimlendirilecek ve I n ile gösterilecektir. B := [b ij ] m n ve C := [b νk ] p q olmak üzere, B matrisinin bir α skaleriyle çarpımı αb := [αb ij ] m n olarak; m = p ve n = q olduğunda B ve C matrislerinin toplamı B + C := [b ij + c ij ] m n x 1 x 2 olarak; ve n = p olduğunda B ve C matrislerinin çarpımı. x n BC = P n ν=1 b iνc νj m q olarak tanımlanan matrislerdir. Matris cebiriyle ilgili temel özellikler için, [2] ya da [5] kaynaklarına bakılabilir. Örnek x [x] fonksiyonu vektör toplamını matris toplamına, iç çarpımı matris çarpımına, ve skaler çarpımı skaler çarpıma taşır: yani, her x, y R n ve her α skaleri için gerçeklenir. [x + y] = [x] + [y], [x y] = [x] [y] T, ve [αx] = α[x] Aşağıdaki iki netice, Lineer Cebir in temel sonuçlarındandır. Teorem B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olsun. Eğer her x R n için F(x) := Bx (1.1.3)

15 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 7 ise, F fonksiyonu R n uzayından R m uzayına bir lineer fonksiyondur, ve her j = 1, 2,..., n için (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ) (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, eğer F : R n R m fonksiyonu lineer ise ve B = [b ij ] m n matrisinin girdileri (1.1.4) eşitliğini gerçekliyorsa, bu durumda F ve B, (1.1.3) eşitliğini sağlar. Özel olarak, her F : R n R m lineer fonksiyonu için, (1.1.3) eşitliğini sağlayan tek bir (m n)-boyutlu B matrisi vardır. Kanıt. Her x R n için (1.1.3) sağlansın. Bu durumda, Örnek ve matris çarpımının dağılma özelliğinden dolayı, F(x + y) = B[x + y] = B([x] + [y]) = B[x] + B[y] = F(x) + F(y) eşitlikleri her x, y R n için sağlanır. Benzer biçimde, her x R n ve her α R için, F(αx) = B[αx] = B(α[x]) = αb[x] = αf(x) olur. Dolayısıyla, F : R n R m fonksiyonu lineerdir. Diğer taraftan, matris çarpımının tanımından dolayı, her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, F : R n R m fonksiyonu lineer olsun, ve B matrisi, girdileri her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) eşitliğiyle verilen matris olarak tanımlansın. Böylece, F(x) = F = olarak elde edilir. nx j=1 nx j=1 x j e j! = x j b 1j, nx j=1 nx j=1 x j b 2j,..., x j F(e j ) = nx j=1 nx j=1 x j (b 1j, b 2j,..., b mj ) x j b mj! = Bx Açıklama Teorem ile verilen (1.1.3) eşitliğini sağlayan ve tek türlü belirli olan B matrisine, F lineer fonksiyonunu temsil eden matris denir. Diğer taraftan yine Teorem dan dolayı, R n içindeki bir hiper-düzlemin denklemi, bir lineer F : R n R fonksiyonu için, F (x) = d formundadır. Sonuç Eğer F : R n R m ve G : R m R p fonksiyonları lineer ise, G F : R n R p fonksiyonu da lineerdir. Bu durumda G F fonksiyonunu, F fonksiyonunu temsil eden (m n)-boyutlu matris B ve G fonksiyonunu temsil eden (p m)-boyutlu matris C olmak üzere, CB matrisi temsil eder.

16 8 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. G F fonksiyonunun lineer olduğu âşikârdır. {e 1,..., e n }, {u 1,..., u m }, ve {w 1,..., w p }, sırasıyla, R n, R m, ve R p uzaylarının doğal tabanları olsun. Eğer B := [b ij ] m n ve C := [c νk ] p m matrisleri, sırasıyla, F ve G lineer fonksiyonlarını temsil ediyorsa, Teorem dan, her j = 1, 2,..., n için mx k=1 ve her k = 1, 2,..., m için px ν=1 b kj u k = (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ), c νk w ν = (c 1k, c 2k,..., c pk ) = G(u k ) sağlanır. Dolayısıyla, her j {1,..., n} için, (G F)(e j ) = G(F(e j )) = G = mx px k=1 ν=1 mx k=1 b kj c νk w ν = b kj u k! = mx k=1 b kj c 1k, mx k=1 mx k=1 b kj G(u k ) b kj c 2k,..., mx k=1 b kj c pk! olur; bu ise, son eşitlikteki vektörün CB matrisinin j inci sütunu olmasından dolayı, CB matrisin G F fonksiyonunu temsil eden matris olması anlamına gelir. Matris çarpımı iç çarpımın bir genelleştirilmesi olarak görülebileceğinden, aşağıdaki sonuç Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir benzeridir. Teorem Eğer B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve ise, her x R n için eşitsizliği gerçeklenir. B := max{ b ij 1 i m, 1 j n} Bx (mn) B x Kanıt. Teorem (v) ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği nin sonucudur. Tanım R 3 içindeki iki x := (x 1, x 2, x 3 ) ve y := (y 1, y 2, y 3 ) vektörünün vektörel çarpımı, olarak tanımlanan vektördür. x y := (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )

17 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 9 R 3 uzayının doğal tabanı olarak i := e 1, j := e 2, ve k := e 3 yazıp determinant operatörünü kullanarak, 2 x y = det 4 i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 olduğunu gözlemlemek oldukça kolaydır. İç çarpım için olduğu gibi, vektörel çarpım için de cebir kuralları geçerlidir. Teorem x, y, z R 3 vektörler ve α bir skaler olsun. Bu durumda, (i) x x = 0 ve x y = y x; (ii) (αx) y = α(x y) = x (αy); (iii) x (y + z) = (x y) + (x z); (iv) (x y) z = x (y z) = det 4 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 5 ; z 1 z 2 z 3 (v) x (y z) = (x z)y (x y)z; ve (vi) x y 2 = (x x) (y y) (x y) 2 özellikleri gerçeklenir. Kanıt. Tüm özellikler, tanımların doğrudan sonuçlarıdır. 2 Sonuç x ve y, aralarındaki açı θ olan, R 3 içinde iki vektör ise, eşitliği sağlanır. 3 x y = x y sin θ Kanıt. Teorem (vi) ve (1.1.2) eşitliğinin sonucudur. Problemler 1. (a) z = x düzleminde olan ve (1, 1, 0) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. (b) Bileşenlerinin toplamı dört olan ve (3, 2, 5) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. 3 5

18 10 1 Öklidyen uzaylar (c) (1, 0, 1) noktasını içeren ve normali ( 1, 2, 1) olan düzlemin denklemini bulunuz. (d) ( 1, 1, 1) noktasından geçen ve 3x + 2y 5z = 0 düzlemine dik olan düzlemin denklemini bulunuz. 2. R 3 içinde, doğrusal olmayan ve bir Π düzlemi tarafından içerilen üç nokta a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) ve c = (c 1, c 2, c 3 ) olsun. Π düzleminin denkleminin x a1 y a 2 z a 3 det b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 = 0 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 olduğunu gösteriniz. 3. x, y R n ve x 0 olsun. x + y = x + y olması için, bir α 0 skalerinin y = αx gerçeklenecek biçimde bulunmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayınız. 4. C[a, b] := {f : [a, b] R f sürekli} ve f := sup x [a,b] f(x) olsun. (a) Her f C[a, b] için f büyüklüğünün, sonlu ve negatif-olmayan bir gerçel sayı olduğunu kanıtlayınız. (b) f = 0 olması için, her x [a, b] için f(x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğunu gösteriniz. (c) Her f C[a, b] ve α R için, αf = α f eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (d) Her f, g C[a, b] için, f + g f + g ve f g f g eşitsizliklerinin gerçeklendiğini ispatlayınız. 5. (a) a, b R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ua + vb R 3 u, v [0, 1]} paralelkenarının alanının a b olduğunu ispatlayınız. (b) a, b, c R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ta + ub + vc R 3 t, u, v [0, 1]} dörtyüzlüsünün hacminin (a b) c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir θ R için h cos θ sin θ i B := sin θ cos θ olsun. (a) Her (x, y) R 2 için, B(x, y) = (x, y) olduğunu ispatlayınız. (b) (x, y) R 2 sıfırdan farklı bir vektör ve B(x, y) ve (x, y) vektörleri arasındaki açı ϕ ise, cos ϕ = cos θ olduğunu kanıtlayınız. Bunu kullanarak, B matrisinin R 2 uzayını θ açısı kadar döndüren lineer fonksiyonu temsil eden matris olduğunu gösteriniz. 7. R 3 içinde, bir x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) noktasından bir Π düzlemine olan uzaklık, Π üzerindeki bir (x 1, y 1, z 1 ) noktası için v := (x 0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 ) ve v vektörü Π düzleminin normaline paralel olmak üzere, 0, x0 Π ise; dist(x 0, Π) := v, x 0 / Π ise;

19 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 11 olarak tanımlanır. x 0 noktasından ax + by + cz = d denklemiyle belirlenen Π düzlemine olan uzaklığın dist(x 0, Π) = ax 0 + by 0 + cz 0 d (a 2 + b 2 + c 2 ) olduğunu göstererek, yukarıda yapılan uzaklık tanımının v vektöründen bağımsız olduğunu ispatlayınız. 8. T : R n R m bir lineer fonksiyon, T := inf {C > 0 her x R n için T (x) C x } ve M := sup T (x) x =1 olsun. (a) Her x R n için T (x) T x olduğunu gösteriniz. (b) M T olduğunu kanıtlayınız. T (x) (c) Her x 0 için M olduğunu ispatlayınız. x (d) M = T eşitliğini kanıtlayınız. (e) Yukarıda gösterilenlerden faydalanarak, olduğunu ispatlayınız. T (x) T = sup x 0 x 9. X bir Öklidyen uzay; B, bu uzayın doğal tabanı; ve B kümesinin kendisine eşit olmayan boştan-farklı bir alt-kümesi S olsun. T : X X fonksiyonu, her x X için T x := X v B S (x v) v olarak tanımlansın. Ker T = span (S) olduğunu gösteriniz. 10. X bir Öklidyen uzay ve f : X R bir lineer fonksiyon olsun. Tek türlü belirli bir a X vektörünün, her x X için f(x) = a x gerçeklenecek biçimde var olduğunu ispatlayınız. 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler Öklidyen uzayların topolojilerinin inceleneceği bu ve bunu izleyen iki kısımda, bundan sonraki tüm kavramlar için temel teşkil edecek yapılar tanımlanacaktır. Klâsik analiz ve geometriden doğmuş olan Topoloji, açık küme kavramı üzerine kurulur ve aksiyomatik olarak tanımlanır. Gerçel sayılar kümesi içindeki bir (a, b) açık aralığına ait her x noktasının bu aralığın içinde kalan noktalar tarafından tamamen örtülebilmesi, aşağıdaki tanıma yol açar. Tanım V R n olsun. Her x V için bir ε > 0 sayısı B ε (x) açık topu V kümesinin içinde kalacak biçimde bulunabiliyorsa, V kümesi R n içinde açık olarak adlandırılır.

20 12 1 Öklidyen uzaylar Örnek R n içindeki her açık top açıktır: Gerçekten, eğer B r (a) R n bir açık top ve x B r (a) ise, ε := r x a > 0 yarıçaplı ve x noktası merkezli B ε (x) açık topuna ait her y noktası için y a y x + x a < ε + x a = r gerçekleneceğinden, B ε (x) B r (a) olur. Gerçel sayılar kümesinin yoğunluğu göz önüne alınarak yapılan açık küme tanımına dikkât edilirse, R kümesinin içindeki kapalı bir aralığın tümleyeninin de, tıpkı bir açık aralık gibi, kendisine ait her noktayı yine kendisinin içinde kalan noktalarla örtebildiği görülür. Bu temel gözlem, aşağıdaki tanımı anlamlı kılar. Tanım E R n olsun. Eğer E c := R n E kümesi açıksa, E kümesi R n içinde kapalı olarak adlandırılır. Örnek Her a R n ve r 0 için, {x R n kapalıdır. x a r} kümesi Örnek R n içindeki her sonlu küme kapalıdır. Bunu görmek için, R n içinde sonlu bir E := {x 1, x 2,..., x p } kümesi ve bir x E c noktası göz önüne alındığında, ε := min{ x x k k = 1, 2,..., p} olmak üzere, x k / B ε (x) özelliğinin her k = 1, 2,..., p için doğru olduğunu gözlemlemek yeterlidir. Örnek Açık ve kapalı küme tanımının doğal bir sonucu olarak, boş küme ve tüm uzay olan R n, hem açık hem kapalıdır. Açık kümelerden ve kapalı kümelerden müteşekkil aileler, birleşim ve kesişim işlemleri altında benzer davranışları sergilemezler. Teorem X bir Öklidyen uzay olsun. (i) X içinde açık olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, S α I V α kümesi açıktır. (ii) X içinde açık olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, T n k=1 V k kümesi açıktır. (iii) TX içinde kapalı olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, α I V α kümesi kapalıdır.

21 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 13 (iv) X içinde kapalı olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, S n k=1 V k kümesi kapalıdır. (v) Eğer V kümesi X içinde açık ve E kümesi X içinde kapalıysa, V E kümesi açık, E V kümesi kapalıdır. Kanıt. (i) x S α I V α olsun. Bu durumda bir α I için x V α olur. Hipotezden dolayı V α açıktır; yani bir ε > 0 sayısı, B ε (x) V α gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise B ε (x) V α S α I V α, yani S α I V α kümesinin açık olması demektir. T n (ii) x k=1 V k olsun. Bu durumda her k = 1, 2,..., n için x V k olur. Her V k açık olduğundan dolayı bir ε k > 0 sayısı, B εk (x) V k gerçeklenecek biçimde bulunur. O hâlde, ε := min 1 k n ε k denirse, T B ε (x) T V k içermesi her n k = 1, 2,..., n için doğru olur. Bu ise B ε (x) k=1 V n k, yani k=1 V k kümesinin açık olması demektir. (iii), (iv) ve (v) için, (i) ve (ii) özelliklerini ve De Morgan kuralları kullanmak yeterlidir. Açıklama Teorem deki (ii) ve (iv) numaralı özellikler, herhangi birleşim ve kesişimler için doğru değildir. X := R uzayında \ 1 k, 1 = {0} k kesişimi kapalı, birleşimi açıktır. k N [ k N 1 k + 1, k = (0, 1) k + 1 Öklidyen bir uzayın bir alt-kümesini örtebilmek için kaç tane açık kümeye ihtiyaç duyulacağı, bu tip uzayların yapılarıyla ilgili temel bilgilerdendir. Lindelöf Teoremi olarak adlandırılan bu önemli netice, iki yardımcı sonuç vâsıtasıyla kanıtlanacaktır. Lemma R n içindeki her B r (x) açık topu için bir rasyonel B q (a) açık topu, x B q (a) ve B q (a) B r (x) olacak biçimde vardır. Kanıt. x = (x 1, x 2,..., x n ) olmak üzere, B r (x) R n açık topu verilsin. Her j = 1, 2,..., n için, rasyonel sayılar kümesinin gerçel sayılar içinde yoğun olduğu kullanılarak bir a j Q sayısı, x j a j < r 4n

22 14 1 Öklidyen uzaylar olacak biçimde seçilsin, ve a := (a 1, a 2,..., a n ) olsun. Böylece, Teorem (iv) den, nx r x a x j a j n 4n = r 4 j=1 elde edilir. q Q sayısı r/4 < q < r/2 olacak biçimde seçilsin; bu, r/4 < q olması nedeniyle, x B q (a) olması demektir. Diğer taraftan, eğer y B q (a) ise, x y y a + a x < q + r 4 < r 2 + r 4 < r olur; bu ise B q (a) B r (x) içermesini gerektirir. Lemma R n içindeki rasyonel açık topların B ailesi sayılabilirdir. Kanıt. Sayılabilir [ kümelerin sayılabilir birleşimleri sayılabilir olduğundan, [ B = {B q (a) a = (a 1,..., a n ), q Q, q > 0} a 1 Q ailesi sayılabilirdir. a n Q Teorem (Lindelöf Teoremi). R n uzayının bir alt-kümesi E olsun. Eğer açık kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için E S α I V α ise, I kümesinin E [ α I 0 V α gerçeklenecek biçimde sayılabilir bir I 0 alt-kümesi vardır. Kanıt. x E olsun. Hipotezden dolayı, bir α I için x V α olur. Lemma dan dolayı sayılabilir olduğu bilinen R n içindeki rasyonel açık topların B ailesinin içinden bir B x topu, o hâlde, Lemma nedeniyle x B x V α (1.2.1) gerçeklenecek biçimde seçilebilir. B ailesinin sayılabilirliğinden, {U 1, U 2,...} := {B x x E} (1.2.2) alt-ailesinin de sayılabilir olduğu sonucuna ulaşılır. (1.2.1) den, her k N için, U k V αk gerçeklenecek biçimde en az bir α k I bulunduğu görülür; bu ise, (1.2.2) sebebiyle, [ E x E B x = [ k N U k [ k N V αk olması demektir. I 0 := {α k k N} alınarak ispat tamamlanır.

23 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 15 Tanım E R n olsun. (i) E kümesinin içi kümesidir. (ii) E kümesinin kapanışı kümesidir. (iii) E kümesinin sınır ı E := [ {V V E ve V kümesi R n içinde açık} E := \ {B B E ve B kümesi R n içinde kapalı} E := {x R n her r > 0 için, B r (x) E ve B r (x) E c } kümesidir. Açıklama Teorem (i) & (iii) den dolayı bir kümenin içi açık, kapanışı kapalıdır. Teorem E R n olsun. Bu durumda, (i) E E E; (ii) eğer V açık ve V E ise, V E ; (iii) eğer F kapalı ve F E ise, F E; (iv) E = E E olur. Kanıt. (i), (ii) ve (iii), iç ve kapanış tanımlarının doğrudan sonuçlarıdır. (iv) deki eşitliği görmek içinse, aşağıdaki iki denkliği gözlemlemek yeterlidir: ( ) x E olması, ancak ve yalnız her r > 0 için B r (x) E olmasıyla mümkündür; ( ) x / E olması için, r > 0 olduğunda B r (x) E c olması gerekli ve yeterlidir.

24 16 1 Öklidyen uzaylar ( ) denkliğini göstererek, benzer olan ( ) denkliğini göstermeyi okuyucuya bırakacağız. x E olsun ve bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = gerçeklensin. Bu durumda (B r0 (x)) c, E kümesini içeren kapalı bir küme olur ve (iii) den dolayı E (B r0 (x)) c gerçeklenir. Bu ise E B r0 (x) =, yani x / E çelişkisine ulaştırır. Tersine, x / E olsun. Bu durumda (E) c açık olduğundan bir r 0 > 0 sayısı, B r0 (x) (E) c gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise, (i) deki ikinci içermeden dolayı, = B r0 (x) E B r0 (x) E, yani bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = olması demektir. Açıklama Teorem (v) ve Teorem (iv) den dolayı, bir kümenin sınırı kapalıdır. Teorem (ii), E kümesinin içerdiği tüm açık kümeler içerme bağıntısıyla sıralanarak en büyük kavramı anlamlandırılırsa, E kümesinin E kümesinin içerdiği her açık kümeyi içermesi anlamında, E kümesinin içerdiği en büyük açık küme olduğunu gösterir. Benzer biçimde, Teorem (iii) kullanılarak E kümesinin E kümesini içeren her kapalı küme tarafından içerilmesi anlamında, E kümesini içeren en küçük kapalı küme olduğu sonucuna ulaşılır. Yukarıdaki gözlemler, basit fakat oldukça önemli olan, iç ve kapanış işlemlerinin içerme bağıntısı altında korunduğu gerçeğini de kanıtlar: eğer E F ise, açık olan E kümesi F kümesinin içinde kalacağından, E F gerçeklenir; kapalı olan F kümesi E kümesini içerdiğinden de, E F olur. Problemler 1. Her gerçel a < b sayı çifti için, (a, b), (a, ) ve (, b) kümelerinin açık; [a, b], [a, ) ve (, b] kümelerinin kapalı; ve [a, b) ve (a, b] kümelerinin ise ne açık ne de kapalı olduklarını gösteriniz. 2. Aşağıdaki E kümelerinin hangilerinin açık, kapalı, ya da ne açık ne de kapalı olduklarını belirleyiniz. Bunlara ek olarak, her durum için E kümesini çiziniz, ve E, E ve E kümelerini belirleyiniz. (a) E := {(x, y) R 2 x 2 + 4y 2 1}. (b) E := {(x, y) R 2 x 2 2x + y 2 = 0} {(x, 0) R 2 x [2, 3]}. (c) E := {(x, y) R 2 y x 2 ve 0 y < 1}. (d) E := {(x, y) R 2 x 2 y 2 < 1 ve 1 < y < 1}. 3. s < r gerçel sayılar, V := {x R n s < x < r}, ve E := {x R n s x r} ise, V kümesinin açık, E kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz. 4. E kümesi R n içinde kapalı ve a / E ise, olduğunu gösteriniz. inf x a > 0 x E

25 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler (a) R n uzayının açık ve boş-olmayan alt-kümelerinden müteşekkil bir {V α α I} ailesi I içindeki her α β elemanı için V α V β = olması koşulunu sağlıyorsa, I kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlayınız. (b) {V α α I} ailesinin elemanlarının açık olmaları koşulu kaldırıldığında, (a) kısmındaki sonucun yine geçerli olup olmayacağını araştırınız. 6. V kümesi R n içinde açıksa, V = gerçeklenecek biçimde B 1, B 2,... açık toplarının var olduklarını kanıtlayınız. 7. A, B R n ise, (a) (A B) A B ve (A B) = A B ; (b) A B = A B ve A B A B; (c) (A B) A B ve (A B) (A B) (B A) ( A B) olduğunu gösteriniz. [ j N 8. Teorem (iv) ün kanıtındaki ( ) denkliğini ispatlayınız. 9. E R n kapalı bir küme olsun. (a) E E olduğunu kanıtlayınız. (b) E = E olması için, E = olmasının gerekli ve yeterli olduğunu ispatlayınız. (c) E kümesi kapalı değilse, (b) kısmındaki önermenin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz. 10. f : R R bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun R üzerinde sürekli olmasının, her I açık aralığı için f 1 (I) kümesinin R içinde açık olmasına denk olduğunu gösteriniz. Yol gösterme: f fonksiyonunun bir ξ noktasında sürekli olduğunu gösterirken, ε > 0 olmak üzere, I := (f(ξ) ε, f(ξ) + ε) açık aralığını göz önüne alınız. B j 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler Bu kısımda, Öklidyen bir uzayın içindeki bir vektörler dizisinin sınırlı veya yakınsak olmasının ne anlama geldiği incelenecektir. Bu incelemeyi mümkün kılacak olan temel motivasyon, tek-değişkenli teorinin klâsik sonuçlarıdır. R n içinde bir dizi, bir x : N R n fonksiyonudur; fonksiyonel gösterilim yerine alt-indis notasyonu kullanılıp terimler numaralandırılarak, x dizisi (x k ) k N olarak gösterilir. Bir x : N R n dizisi ve kesin artan bir k : N N fonksiyonu için, x k : N R n fonksiyonuna x dizisinin bir alt-dizisi denir ve, yine alt-indis notasyonu kullanılarak, (x kj ) j N ile gösterilir. Tanım R n uzayı içindeki noktaların bir dizisi (x k ) k N ve x R n olsun. (i) Bir M > 0 sayısı her k N için x k M olacak biçimde bulunabiliyorsa, (x k ) k N dizisi sınırlı olarak adlandırılır.

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3 1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı