ANALİZ III. Mert Çağlar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANALİZ III. Mert Çağlar"

Transkript

1 ANALİZ III Mert Çağlar

2 Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy İstanbul

3 ey can hümâsı, bize bu ruzigârdan bir sayfa okur musun? HİLMİ YAVUZ Bedreddin Üzerine Şiirler

4

5 İçindekiler Önsöz vii 1 Öklidyen uzaylar R n uzayının cebirsel yapısı Problemler R n içinde açık ve kapalı kümeler Problemler R n içinde diziler ve kompakt kümeler Problemler R n içinde konveks ve bağlantılı kümeler Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların limitleri Problemler R n üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği Problemler R n üzerinde diferansiyellenebilme Kısmî türevler ve integraller Problemler Diferansiyellenebilme Problemler Ortalama Değer Teoremi ve Taylor Formülü Problemler Ters Fonksiyon Teoremi Problemler Ekstremum değerler Problemler Kaynakça 113 Dizin 115 v

6

7 Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi nin Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Analiz III (MC 311) dersinin notlarından oluşan bu derleme, temel olarak, William R. Wade in An Introduction to Analysis [17] kitabının ilgili bölümleri kullanılarak oluşturulmuştur. Ders kitabı olarak kullanılan bu kaynağa ek olarak, kimi yerlerde, gerekli olduklarını düşündüğüm bâzı açıklama ve eklemeler yapılmıştır. Öklidyen uzayların yapısı ve bu uzaylar üzerinde tanımlı çokdeğişkenli fonksiyonların limit, süreklilik ve diferansiyellenebilme özelliklerinin incelendiği bu ders notları düzenlenirken, tek-değişkenli analizin temel kavramlarının ve sonuçlarının bilindiği varsayımıyla hareket edilmiştir. Okuyucunun ilgisini çok-değişkenli hesabın temel kavramlarına yönlendirebildiği oranda, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Dersin uygulamalarını yürüten ve notları dikkâtle okuyarak kimi yanlışları düzelten Uğur Gönüllü ye teşekkür ederim. Yine de gözden kaçan bâzı hatâlar varsa, sorumluluk tamâmen bana aittir. İstanbul, Ocak 2011 Mert Çağlar vii

8

9 1 Öklidyen uzaylar Tek gerçel-değişkenli fonksiyonlar, gerek teoride gerekse uygulamada karşılaşılan birçok problemin formüle edilebilmesinde yetersiz kalırlar; pek çok problem, birden fazla değişkenin kontrol edilmesini gerektirir. Bundan dolayı, değişken sayısı birden çok olan fonksiyonları analiz edebilmek için gerekli alt-yapıya ihtiyaç vardır. Her n N için R n := {(x 1, x 2,..., x n ) j = 1, 2,..., n için x j R} olsun. R n kümesinin x := (x 1, x 2,..., x n ) elemanları nokta ya da vektör veya sıralı n li olarak, her x j sayısı ise x vektörünün j inci koordinatı ya da bileşeni olarak adlandırılır. n = 1 olduğunda elde edilen R 1 := R kümesinin her elemanına bir skaler denir. 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı Tek-değişkenli hesabın analizindekine benzer biçimde, ilk olarak R n kümesinin cebirsel yapısını inceleyerek başlayacağız. Tanım x = (x 1,..., x n ) ve y = (y 1,..., y n ), R n içinde vektörler ve α R bir skaler olsun. (i) Her j = 1,..., n için x j = y j ise, yani bileşenleri eşitse, x ve y vektörleri eşit olarak adlandırılır. (ii) Tüm bileşenleri sıfır olan vektöre sıfır vektörü denir ve 0 olarak gösterilir. (iii) Her j = 1,..., n için, R n içinde, j inci koordinatı 1 diğerleri 0 olan e j vektörlerinden müteşekkil {e 1,..., e n } ailesine R n kümesinin doğal tabanı denir. (iv) x ve y vektörlerinin toplamı, olarak tanımlanan vektördür. x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) 1

10 2 1 Öklidyen uzaylar (v) x ve y vektörlerinin farkı, olarak tanımlanan vektördür. (vi) α skaleriyle x vektörünün çarpımı, vektörüdür. x y := (x 1 y 1,..., x n y n ) α x := (αx 1,..., αx n ) (vii) x ve y vektörlerinin Öklidyen/skaler/iç çarpımı, olarak tanımlanan skalerdir. x y := x 1 y x n y n (viii) x y = 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı x ve y vektörleri ortogonal olarak adlandırılır. x = (x 1,..., x n ) R n olsun. Tanımdan dolayı, x = P n j=1 x je j gerçeklenir; diğer taraftan, i j olduğunda e i e j = 0 olur. Dolayısıyla, R n içindeki her vektör, ortogonal elemanlardan oluşan doğal taban vâsıtasıyla tek türlü ifade edilebilir. Üzerine, Tanım in (i)-(vi) özellikleriyle verilen toplama ve skalerle çarpma işlemi, ve Tanım (vii) ile verilen Öklidyen çarpım konulan bir R n kümesi bir Öklidyen uzay olarak adlandırılır. n sabitlendiğinde, R n kümesine n-boyutlu Öklidyen uzay denir. Teorem x, y, z R n ve α, β R olsun. Bu durumda; α0 = 0, 0x = 0, 1x = x, α(βx) = β(αx) = (αβ)x, α(x y) = (αx) y = x (αy), α(x + y) = αx+αy, 0+x = x, x x = 0, 0 x = 0, x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x y = y x, ve x (y + z) = x y + x z eşitlikleri gerçeklenir. Kanıt. Tanımların ve gerçel sayıların karşılık gelen özelliklerinin doğrudan sonuçlarıdır. Tanım x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. (i) x vektörünün sup-normu, skaleridir. x := max{ x 1,..., x n }

11 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 3 (ii) x vektörünün (Öklidyen) normu, skaleridir. x := (x x) (iii) x ve y vektörleri arasındaki (Öklidyen) uzaklık, x y skaleridir. Teorem (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği). Her x, y R n için eşitsizliği gerçeklenir. x y x y Kanıt. y = 0 için istenen eşitsizliğin doğru olduğu açıktır. y 0 olsun. Tanım gereğince, her t skaleri için 0 x ty 2 = (x ty) (x ty) = x 2 2t(x y) + t 2 y 2 (1.1.1) doğru olur; bu ise, (1.1.1) eşitsizliğinde t := (x y)/ y 2 konularak, 0 x 2 t(x y) = x 2 (x y)2 y 2, yani 0 x 2 (x y) 2 / y 2 sonucuna ulaştırır. Bu son eşitsizlik düzenlenip pozitif karekök alınarak da, istenen elde edilir. Teorem x := (x 1,..., x n ), y R n olsun. Bu durumda, (i) eşitlik durumu sadece x = 0 için sağlanmak üzere, x 0; (ii) her α skaleri için αx = α x ; (iii) x y x + y x + y (üçgen eşitsizlikleri); (iv) x P n j=1 x j ; ve (v) her j = 1,..., n için x j x n x özellikleri gerçeklenir.

12 4 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. (i), (ii) ve (v) doğrudan gözlemlenebilir; (iii) için Teorem ve Cauchy- Schwarz eşitsizliği; (v) içinse, A := {(i, j) 1 i, j n ve i < j} olmak üzere, nx 2 x j! = j=1 özdeşliğini gözlemlemek yeterlidir. nx j=1 x j X (i,j) A x i x j Genel olarak, vektörler ve noktalar arasında bir ayırım yapılmayacaktır; ancak her durumda, o durum için en uygun olan yapı kullanılacaktır. Örneğin, R n uzayı orijinden çıkan vektörler ailesi olarak göz önüne alındığında, sıfırdan farklı bir a vektörünün yine sıfırdan farklı bir b vektörüne paralel olması, a = tb eşitliğini gerçekleyen bir t skalerinin var olması olarak tanımlanacaktır. Diğer taraftan, örneğin R n uzayı noktaların bir ailesi olarak göz önüne alındığında, a noktası ile b noktasını birleştiren doğru parçası L(a; b) := {x R n x := φ(t) := (1 t)a + tb, t [0, 1]} kümesi olarak tanımlanacaktır. Noktaların ve vektörlerin bu şekilde eşdeğer görülmeleri, geometrik kavramların analitik problemlerde kolaylık yaratacak şekilde kullanılmalarını sağlar. İkiboyutlu Öklidyen uzaydan bir örnek vermek gerekirse, R 2 içindeki a := (a 1, a 2 ) ve b := (b 1, b 2 ) noktaları vâsıtasıyla tanımlanan P := {(x, y) = u(a 1, a 2 ) + v(b 1, b 2 ) u, v [0, 1]} kümesi, a ve b tarafından belirlenen paralelkenar dır. İki-boyutlu Öklidyen uzay içinde göz önüne alınan sıfırdan farklı her a ve b vektörü için tek türlü belirli bir θ [0, π] gerçel sayısı, üçgenler için Kosinüs Teoremi nedeniyle, cos θ = a b (1.1.2) a b gerçeklenecek biçimde vardır. (1.1.2) eşitliğinden ilham alınarak, her n N için, sıfırdan farklı a, b R n vektörleri arasındaki açı, (1.1.2) eşitliğiyle tanımlanan tek türlü belirli θ [0, π] gerçel sayısı olarak tanımlanacaktır. R n uzayı içinde bir açık top, bir a R n ve bir r > 0 için, B r (a) := {x R n x a < r} yapısında bir kümedir; a noktası B r (a) açık topunun merkez i, r skaleri ise aynı açık topun yarıçapı olarak adlandırılır. B 1 (0) topuna bir birim top denir.

13 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 5 Merkez noktasının her bileşeni ve yarıçapı rasyonel sayılardan oluşan bir açık top, rasyonel olarak adlandırılacaktır. R n içindeki, bir a vektörü ve sıfırdan farklı bir b vektörü için Π b (a) := {x R n (x a) b = 0} olarak tanımlanan kümeye, R n içinde bir hiper-düzlem denir; b vektörü Π b (a) hiper-düzleminin normal vektörü olarak adlandırılır. x Π koşulunu sağlayan bir Π hiper-düzlemi için, x R n noktasından geçer, denir. F : R n R olmak üzere, bir Π hiper-düzleminin x R n noktasından geçmesi için F (x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğu F (x) = 0 formundaki bir ifadeye, Π hiperdüzleminin bir denklemi denir. Dolayısıyla bir Π b (a) hiper-düzleminin denklemi, b := (b 1,..., b n ) ve d := b 1 a 1 + b 2 a b n a n olmak üzere, olarak verilir. b 1 x 1 + b 2 x b n x n = d Tanım Her x, y R n ve her α skaleri için F(x + y) = F(x) + F(y) ve F(αx) = αf(x) koşullarını gerçekleyen bir F : R n R m fonksiyonu lineer olarak adlandırılır. Örnek Tek-değişkenli bir F : R R fonksiyonun lineer olması, ancak ve yalnız bir m skalerinin her x R için F (x) = mx gerçeklenecek biçimde var olmasıyla mümkündür. Çok-değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda Örnek dekine benzer bir gösteriliş elde etmek için, Lineer Cebir in standart araçları kullanılacaktır: (m n)-boyutlu ve girdileri b ij skalerlerinden ya da gerçel-değerli fonksiyonlarından oluşan bir B matrisi B := [b ij ] m n = b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 1n b m1 b m2 b mn olarak; bir x := (x 1, x 2,..., x n ) R n noktası ise, [x] = x 1 x 2 x n 3 7 5

14 6 1 Öklidyen uzaylar biçiminde (1 n)-boyutlu satır matrislerle ya da 2 T [x] = x 1 x 2 x n := 6 4 biçiminde (n 1)-boyutlu sütun matrislerle gösterilecektir. Notasyon zorlanarak, (m n)-boyutlu bir B matrisiyle (n 1)-boyutlu bir [x] sütun matrisinin çarpımı Bx olarak yazılacaktır. Tüm girdileri sıfır skalerlerinden oluşan (m n)-boyutlu bir matris bir sıfır matrisi olarak adlandırılacak ve O m n sembolüyle gösterilecektir. R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olmak üzere, her j = 1,..., n için, j inci satırı (ya da sütunu) e j vektörü olan (n n)-boyutlu kare matris n-boyutlu bir birim matris olarak isimlendirilecek ve I n ile gösterilecektir. B := [b ij ] m n ve C := [b νk ] p q olmak üzere, B matrisinin bir α skaleriyle çarpımı αb := [αb ij ] m n olarak; m = p ve n = q olduğunda B ve C matrislerinin toplamı B + C := [b ij + c ij ] m n x 1 x 2 olarak; ve n = p olduğunda B ve C matrislerinin çarpımı. x n BC = P n ν=1 b iνc νj m q olarak tanımlanan matrislerdir. Matris cebiriyle ilgili temel özellikler için, [2] ya da [5] kaynaklarına bakılabilir. Örnek x [x] fonksiyonu vektör toplamını matris toplamına, iç çarpımı matris çarpımına, ve skaler çarpımı skaler çarpıma taşır: yani, her x, y R n ve her α skaleri için gerçeklenir. [x + y] = [x] + [y], [x y] = [x] [y] T, ve [αx] = α[x] Aşağıdaki iki netice, Lineer Cebir in temel sonuçlarındandır. Teorem B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve R n uzayının doğal tabanı {e 1,..., e n } olsun. Eğer her x R n için F(x) := Bx (1.1.3)

15 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 7 ise, F fonksiyonu R n uzayından R m uzayına bir lineer fonksiyondur, ve her j = 1, 2,..., n için (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ) (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, eğer F : R n R m fonksiyonu lineer ise ve B = [b ij ] m n matrisinin girdileri (1.1.4) eşitliğini gerçekliyorsa, bu durumda F ve B, (1.1.3) eşitliğini sağlar. Özel olarak, her F : R n R m lineer fonksiyonu için, (1.1.3) eşitliğini sağlayan tek bir (m n)-boyutlu B matrisi vardır. Kanıt. Her x R n için (1.1.3) sağlansın. Bu durumda, Örnek ve matris çarpımının dağılma özelliğinden dolayı, F(x + y) = B[x + y] = B([x] + [y]) = B[x] + B[y] = F(x) + F(y) eşitlikleri her x, y R n için sağlanır. Benzer biçimde, her x R n ve her α R için, F(αx) = B[αx] = B(α[x]) = αb[x] = αf(x) olur. Dolayısıyla, F : R n R m fonksiyonu lineerdir. Diğer taraftan, matris çarpımının tanımından dolayı, her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) gerçeklenir. Tersine, F : R n R m fonksiyonu lineer olsun, ve B matrisi, girdileri her j = 1, 2,..., n için (1.1.4) eşitliğiyle verilen matris olarak tanımlansın. Böylece, F(x) = F = olarak elde edilir. nx j=1 nx j=1 x j e j! = x j b 1j, nx j=1 nx j=1 x j b 2j,..., x j F(e j ) = nx j=1 nx j=1 x j (b 1j, b 2j,..., b mj ) x j b mj! = Bx Açıklama Teorem ile verilen (1.1.3) eşitliğini sağlayan ve tek türlü belirli olan B matrisine, F lineer fonksiyonunu temsil eden matris denir. Diğer taraftan yine Teorem dan dolayı, R n içindeki bir hiper-düzlemin denklemi, bir lineer F : R n R fonksiyonu için, F (x) = d formundadır. Sonuç Eğer F : R n R m ve G : R m R p fonksiyonları lineer ise, G F : R n R p fonksiyonu da lineerdir. Bu durumda G F fonksiyonunu, F fonksiyonunu temsil eden (m n)-boyutlu matris B ve G fonksiyonunu temsil eden (p m)-boyutlu matris C olmak üzere, CB matrisi temsil eder.

16 8 1 Öklidyen uzaylar Kanıt. G F fonksiyonunun lineer olduğu âşikârdır. {e 1,..., e n }, {u 1,..., u m }, ve {w 1,..., w p }, sırasıyla, R n, R m, ve R p uzaylarının doğal tabanları olsun. Eğer B := [b ij ] m n ve C := [c νk ] p m matrisleri, sırasıyla, F ve G lineer fonksiyonlarını temsil ediyorsa, Teorem dan, her j = 1, 2,..., n için mx k=1 ve her k = 1, 2,..., m için px ν=1 b kj u k = (b 1j, b 2j,..., b mj ) = F(e j ), c νk w ν = (c 1k, c 2k,..., c pk ) = G(u k ) sağlanır. Dolayısıyla, her j {1,..., n} için, (G F)(e j ) = G(F(e j )) = G = mx px k=1 ν=1 mx k=1 b kj c νk w ν = b kj u k! = mx k=1 b kj c 1k, mx k=1 mx k=1 b kj G(u k ) b kj c 2k,..., mx k=1 b kj c pk! olur; bu ise, son eşitlikteki vektörün CB matrisinin j inci sütunu olmasından dolayı, CB matrisin G F fonksiyonunu temsil eden matris olması anlamına gelir. Matris çarpımı iç çarpımın bir genelleştirilmesi olarak görülebileceğinden, aşağıdaki sonuç Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir benzeridir. Teorem Eğer B := [b ij ] m n, girdileri gerçel sayılar olan bir matris ve ise, her x R n için eşitsizliği gerçeklenir. B := max{ b ij 1 i m, 1 j n} Bx (mn) B x Kanıt. Teorem (v) ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği nin sonucudur. Tanım R 3 içindeki iki x := (x 1, x 2, x 3 ) ve y := (y 1, y 2, y 3 ) vektörünün vektörel çarpımı, olarak tanımlanan vektördür. x y := (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )

17 1.1 R n uzayının cebirsel yapısı 9 R 3 uzayının doğal tabanı olarak i := e 1, j := e 2, ve k := e 3 yazıp determinant operatörünü kullanarak, 2 x y = det 4 i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 olduğunu gözlemlemek oldukça kolaydır. İç çarpım için olduğu gibi, vektörel çarpım için de cebir kuralları geçerlidir. Teorem x, y, z R 3 vektörler ve α bir skaler olsun. Bu durumda, (i) x x = 0 ve x y = y x; (ii) (αx) y = α(x y) = x (αy); (iii) x (y + z) = (x y) + (x z); (iv) (x y) z = x (y z) = det 4 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 5 ; z 1 z 2 z 3 (v) x (y z) = (x z)y (x y)z; ve (vi) x y 2 = (x x) (y y) (x y) 2 özellikleri gerçeklenir. Kanıt. Tüm özellikler, tanımların doğrudan sonuçlarıdır. 2 Sonuç x ve y, aralarındaki açı θ olan, R 3 içinde iki vektör ise, eşitliği sağlanır. 3 x y = x y sin θ Kanıt. Teorem (vi) ve (1.1.2) eşitliğinin sonucudur. Problemler 1. (a) z = x düzleminde olan ve (1, 1, 0) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. (b) Bileşenlerinin toplamı dört olan ve (3, 2, 5) vektörüne dik olan sıfırdan farklı tüm vektörleri bulunuz. 3 5

18 10 1 Öklidyen uzaylar (c) (1, 0, 1) noktasını içeren ve normali ( 1, 2, 1) olan düzlemin denklemini bulunuz. (d) ( 1, 1, 1) noktasından geçen ve 3x + 2y 5z = 0 düzlemine dik olan düzlemin denklemini bulunuz. 2. R 3 içinde, doğrusal olmayan ve bir Π düzlemi tarafından içerilen üç nokta a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) ve c = (c 1, c 2, c 3 ) olsun. Π düzleminin denkleminin x a1 y a 2 z a 3 det b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 = 0 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 olduğunu gösteriniz. 3. x, y R n ve x 0 olsun. x + y = x + y olması için, bir α 0 skalerinin y = αx gerçeklenecek biçimde bulunmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayınız. 4. C[a, b] := {f : [a, b] R f sürekli} ve f := sup x [a,b] f(x) olsun. (a) Her f C[a, b] için f büyüklüğünün, sonlu ve negatif-olmayan bir gerçel sayı olduğunu kanıtlayınız. (b) f = 0 olması için, her x [a, b] için f(x) = 0 olmasının gerekli ve yeterli olduğunu gösteriniz. (c) Her f C[a, b] ve α R için, αf = α f eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (d) Her f, g C[a, b] için, f + g f + g ve f g f g eşitsizliklerinin gerçeklendiğini ispatlayınız. 5. (a) a, b R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ua + vb R 3 u, v [0, 1]} paralelkenarının alanının a b olduğunu ispatlayınız. (b) a, b, c R 3 sıfırdan farklı vektörler ise, P := {(x, y, z) = ta + ub + vc R 3 t, u, v [0, 1]} dörtyüzlüsünün hacminin (a b) c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir θ R için h cos θ sin θ i B := sin θ cos θ olsun. (a) Her (x, y) R 2 için, B(x, y) = (x, y) olduğunu ispatlayınız. (b) (x, y) R 2 sıfırdan farklı bir vektör ve B(x, y) ve (x, y) vektörleri arasındaki açı ϕ ise, cos ϕ = cos θ olduğunu kanıtlayınız. Bunu kullanarak, B matrisinin R 2 uzayını θ açısı kadar döndüren lineer fonksiyonu temsil eden matris olduğunu gösteriniz. 7. R 3 içinde, bir x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) noktasından bir Π düzlemine olan uzaklık, Π üzerindeki bir (x 1, y 1, z 1 ) noktası için v := (x 0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 ) ve v vektörü Π düzleminin normaline paralel olmak üzere, 0, x0 Π ise; dist(x 0, Π) := v, x 0 / Π ise;

19 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 11 olarak tanımlanır. x 0 noktasından ax + by + cz = d denklemiyle belirlenen Π düzlemine olan uzaklığın dist(x 0, Π) = ax 0 + by 0 + cz 0 d (a 2 + b 2 + c 2 ) olduğunu göstererek, yukarıda yapılan uzaklık tanımının v vektöründen bağımsız olduğunu ispatlayınız. 8. T : R n R m bir lineer fonksiyon, T := inf {C > 0 her x R n için T (x) C x } ve M := sup T (x) x =1 olsun. (a) Her x R n için T (x) T x olduğunu gösteriniz. (b) M T olduğunu kanıtlayınız. T (x) (c) Her x 0 için M olduğunu ispatlayınız. x (d) M = T eşitliğini kanıtlayınız. (e) Yukarıda gösterilenlerden faydalanarak, olduğunu ispatlayınız. T (x) T = sup x 0 x 9. X bir Öklidyen uzay; B, bu uzayın doğal tabanı; ve B kümesinin kendisine eşit olmayan boştan-farklı bir alt-kümesi S olsun. T : X X fonksiyonu, her x X için T x := X v B S (x v) v olarak tanımlansın. Ker T = span (S) olduğunu gösteriniz. 10. X bir Öklidyen uzay ve f : X R bir lineer fonksiyon olsun. Tek türlü belirli bir a X vektörünün, her x X için f(x) = a x gerçeklenecek biçimde var olduğunu ispatlayınız. 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler Öklidyen uzayların topolojilerinin inceleneceği bu ve bunu izleyen iki kısımda, bundan sonraki tüm kavramlar için temel teşkil edecek yapılar tanımlanacaktır. Klâsik analiz ve geometriden doğmuş olan Topoloji, açık küme kavramı üzerine kurulur ve aksiyomatik olarak tanımlanır. Gerçel sayılar kümesi içindeki bir (a, b) açık aralığına ait her x noktasının bu aralığın içinde kalan noktalar tarafından tamamen örtülebilmesi, aşağıdaki tanıma yol açar. Tanım V R n olsun. Her x V için bir ε > 0 sayısı B ε (x) açık topu V kümesinin içinde kalacak biçimde bulunabiliyorsa, V kümesi R n içinde açık olarak adlandırılır.

20 12 1 Öklidyen uzaylar Örnek R n içindeki her açık top açıktır: Gerçekten, eğer B r (a) R n bir açık top ve x B r (a) ise, ε := r x a > 0 yarıçaplı ve x noktası merkezli B ε (x) açık topuna ait her y noktası için y a y x + x a < ε + x a = r gerçekleneceğinden, B ε (x) B r (a) olur. Gerçel sayılar kümesinin yoğunluğu göz önüne alınarak yapılan açık küme tanımına dikkât edilirse, R kümesinin içindeki kapalı bir aralığın tümleyeninin de, tıpkı bir açık aralık gibi, kendisine ait her noktayı yine kendisinin içinde kalan noktalarla örtebildiği görülür. Bu temel gözlem, aşağıdaki tanımı anlamlı kılar. Tanım E R n olsun. Eğer E c := R n E kümesi açıksa, E kümesi R n içinde kapalı olarak adlandırılır. Örnek Her a R n ve r 0 için, {x R n kapalıdır. x a r} kümesi Örnek R n içindeki her sonlu küme kapalıdır. Bunu görmek için, R n içinde sonlu bir E := {x 1, x 2,..., x p } kümesi ve bir x E c noktası göz önüne alındığında, ε := min{ x x k k = 1, 2,..., p} olmak üzere, x k / B ε (x) özelliğinin her k = 1, 2,..., p için doğru olduğunu gözlemlemek yeterlidir. Örnek Açık ve kapalı küme tanımının doğal bir sonucu olarak, boş küme ve tüm uzay olan R n, hem açık hem kapalıdır. Açık kümelerden ve kapalı kümelerden müteşekkil aileler, birleşim ve kesişim işlemleri altında benzer davranışları sergilemezler. Teorem X bir Öklidyen uzay olsun. (i) X içinde açık olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, S α I V α kümesi açıktır. (ii) X içinde açık olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, T n k=1 V k kümesi açıktır. (iii) TX içinde kapalı olan kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için, α I V α kümesi kapalıdır.

21 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 13 (iv) X içinde kapalı olan kümelerden oluşan sonlu bir {V k k = 1, 2,..., n} ailesi için, S n k=1 V k kümesi kapalıdır. (v) Eğer V kümesi X içinde açık ve E kümesi X içinde kapalıysa, V E kümesi açık, E V kümesi kapalıdır. Kanıt. (i) x S α I V α olsun. Bu durumda bir α I için x V α olur. Hipotezden dolayı V α açıktır; yani bir ε > 0 sayısı, B ε (x) V α gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise B ε (x) V α S α I V α, yani S α I V α kümesinin açık olması demektir. T n (ii) x k=1 V k olsun. Bu durumda her k = 1, 2,..., n için x V k olur. Her V k açık olduğundan dolayı bir ε k > 0 sayısı, B εk (x) V k gerçeklenecek biçimde bulunur. O hâlde, ε := min 1 k n ε k denirse, T B ε (x) T V k içermesi her n k = 1, 2,..., n için doğru olur. Bu ise B ε (x) k=1 V n k, yani k=1 V k kümesinin açık olması demektir. (iii), (iv) ve (v) için, (i) ve (ii) özelliklerini ve De Morgan kuralları kullanmak yeterlidir. Açıklama Teorem deki (ii) ve (iv) numaralı özellikler, herhangi birleşim ve kesişimler için doğru değildir. X := R uzayında \ 1 k, 1 = {0} k kesişimi kapalı, birleşimi açıktır. k N [ k N 1 k + 1, k = (0, 1) k + 1 Öklidyen bir uzayın bir alt-kümesini örtebilmek için kaç tane açık kümeye ihtiyaç duyulacağı, bu tip uzayların yapılarıyla ilgili temel bilgilerdendir. Lindelöf Teoremi olarak adlandırılan bu önemli netice, iki yardımcı sonuç vâsıtasıyla kanıtlanacaktır. Lemma R n içindeki her B r (x) açık topu için bir rasyonel B q (a) açık topu, x B q (a) ve B q (a) B r (x) olacak biçimde vardır. Kanıt. x = (x 1, x 2,..., x n ) olmak üzere, B r (x) R n açık topu verilsin. Her j = 1, 2,..., n için, rasyonel sayılar kümesinin gerçel sayılar içinde yoğun olduğu kullanılarak bir a j Q sayısı, x j a j < r 4n

22 14 1 Öklidyen uzaylar olacak biçimde seçilsin, ve a := (a 1, a 2,..., a n ) olsun. Böylece, Teorem (iv) den, nx r x a x j a j n 4n = r 4 j=1 elde edilir. q Q sayısı r/4 < q < r/2 olacak biçimde seçilsin; bu, r/4 < q olması nedeniyle, x B q (a) olması demektir. Diğer taraftan, eğer y B q (a) ise, x y y a + a x < q + r 4 < r 2 + r 4 < r olur; bu ise B q (a) B r (x) içermesini gerektirir. Lemma R n içindeki rasyonel açık topların B ailesi sayılabilirdir. Kanıt. Sayılabilir [ kümelerin sayılabilir birleşimleri sayılabilir olduğundan, [ B = {B q (a) a = (a 1,..., a n ), q Q, q > 0} a 1 Q ailesi sayılabilirdir. a n Q Teorem (Lindelöf Teoremi). R n uzayının bir alt-kümesi E olsun. Eğer açık kümelerden oluşan bir {V α α I} ailesi için E S α I V α ise, I kümesinin E [ α I 0 V α gerçeklenecek biçimde sayılabilir bir I 0 alt-kümesi vardır. Kanıt. x E olsun. Hipotezden dolayı, bir α I için x V α olur. Lemma dan dolayı sayılabilir olduğu bilinen R n içindeki rasyonel açık topların B ailesinin içinden bir B x topu, o hâlde, Lemma nedeniyle x B x V α (1.2.1) gerçeklenecek biçimde seçilebilir. B ailesinin sayılabilirliğinden, {U 1, U 2,...} := {B x x E} (1.2.2) alt-ailesinin de sayılabilir olduğu sonucuna ulaşılır. (1.2.1) den, her k N için, U k V αk gerçeklenecek biçimde en az bir α k I bulunduğu görülür; bu ise, (1.2.2) sebebiyle, [ E x E B x = [ k N U k [ k N V αk olması demektir. I 0 := {α k k N} alınarak ispat tamamlanır.

23 1.2 R n içinde açık ve kapalı kümeler 15 Tanım E R n olsun. (i) E kümesinin içi kümesidir. (ii) E kümesinin kapanışı kümesidir. (iii) E kümesinin sınır ı E := [ {V V E ve V kümesi R n içinde açık} E := \ {B B E ve B kümesi R n içinde kapalı} E := {x R n her r > 0 için, B r (x) E ve B r (x) E c } kümesidir. Açıklama Teorem (i) & (iii) den dolayı bir kümenin içi açık, kapanışı kapalıdır. Teorem E R n olsun. Bu durumda, (i) E E E; (ii) eğer V açık ve V E ise, V E ; (iii) eğer F kapalı ve F E ise, F E; (iv) E = E E olur. Kanıt. (i), (ii) ve (iii), iç ve kapanış tanımlarının doğrudan sonuçlarıdır. (iv) deki eşitliği görmek içinse, aşağıdaki iki denkliği gözlemlemek yeterlidir: ( ) x E olması, ancak ve yalnız her r > 0 için B r (x) E olmasıyla mümkündür; ( ) x / E olması için, r > 0 olduğunda B r (x) E c olması gerekli ve yeterlidir.

24 16 1 Öklidyen uzaylar ( ) denkliğini göstererek, benzer olan ( ) denkliğini göstermeyi okuyucuya bırakacağız. x E olsun ve bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = gerçeklensin. Bu durumda (B r0 (x)) c, E kümesini içeren kapalı bir küme olur ve (iii) den dolayı E (B r0 (x)) c gerçeklenir. Bu ise E B r0 (x) =, yani x / E çelişkisine ulaştırır. Tersine, x / E olsun. Bu durumda (E) c açık olduğundan bir r 0 > 0 sayısı, B r0 (x) (E) c gerçeklenecek biçimde bulunur. Bu ise, (i) deki ikinci içermeden dolayı, = B r0 (x) E B r0 (x) E, yani bir r 0 > 0 için B r0 (x) E = olması demektir. Açıklama Teorem (v) ve Teorem (iv) den dolayı, bir kümenin sınırı kapalıdır. Teorem (ii), E kümesinin içerdiği tüm açık kümeler içerme bağıntısıyla sıralanarak en büyük kavramı anlamlandırılırsa, E kümesinin E kümesinin içerdiği her açık kümeyi içermesi anlamında, E kümesinin içerdiği en büyük açık küme olduğunu gösterir. Benzer biçimde, Teorem (iii) kullanılarak E kümesinin E kümesini içeren her kapalı küme tarafından içerilmesi anlamında, E kümesini içeren en küçük kapalı küme olduğu sonucuna ulaşılır. Yukarıdaki gözlemler, basit fakat oldukça önemli olan, iç ve kapanış işlemlerinin içerme bağıntısı altında korunduğu gerçeğini de kanıtlar: eğer E F ise, açık olan E kümesi F kümesinin içinde kalacağından, E F gerçeklenir; kapalı olan F kümesi E kümesini içerdiğinden de, E F olur. Problemler 1. Her gerçel a < b sayı çifti için, (a, b), (a, ) ve (, b) kümelerinin açık; [a, b], [a, ) ve (, b] kümelerinin kapalı; ve [a, b) ve (a, b] kümelerinin ise ne açık ne de kapalı olduklarını gösteriniz. 2. Aşağıdaki E kümelerinin hangilerinin açık, kapalı, ya da ne açık ne de kapalı olduklarını belirleyiniz. Bunlara ek olarak, her durum için E kümesini çiziniz, ve E, E ve E kümelerini belirleyiniz. (a) E := {(x, y) R 2 x 2 + 4y 2 1}. (b) E := {(x, y) R 2 x 2 2x + y 2 = 0} {(x, 0) R 2 x [2, 3]}. (c) E := {(x, y) R 2 y x 2 ve 0 y < 1}. (d) E := {(x, y) R 2 x 2 y 2 < 1 ve 1 < y < 1}. 3. s < r gerçel sayılar, V := {x R n s < x < r}, ve E := {x R n s x r} ise, V kümesinin açık, E kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz. 4. E kümesi R n içinde kapalı ve a / E ise, olduğunu gösteriniz. inf x a > 0 x E

25 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler (a) R n uzayının açık ve boş-olmayan alt-kümelerinden müteşekkil bir {V α α I} ailesi I içindeki her α β elemanı için V α V β = olması koşulunu sağlıyorsa, I kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlayınız. (b) {V α α I} ailesinin elemanlarının açık olmaları koşulu kaldırıldığında, (a) kısmındaki sonucun yine geçerli olup olmayacağını araştırınız. 6. V kümesi R n içinde açıksa, V = gerçeklenecek biçimde B 1, B 2,... açık toplarının var olduklarını kanıtlayınız. 7. A, B R n ise, (a) (A B) A B ve (A B) = A B ; (b) A B = A B ve A B A B; (c) (A B) A B ve (A B) (A B) (B A) ( A B) olduğunu gösteriniz. [ j N 8. Teorem (iv) ün kanıtındaki ( ) denkliğini ispatlayınız. 9. E R n kapalı bir küme olsun. (a) E E olduğunu kanıtlayınız. (b) E = E olması için, E = olmasının gerekli ve yeterli olduğunu ispatlayınız. (c) E kümesi kapalı değilse, (b) kısmındaki önermenin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz. 10. f : R R bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun R üzerinde sürekli olmasının, her I açık aralığı için f 1 (I) kümesinin R içinde açık olmasına denk olduğunu gösteriniz. Yol gösterme: f fonksiyonunun bir ξ noktasında sürekli olduğunu gösterirken, ε > 0 olmak üzere, I := (f(ξ) ε, f(ξ) + ε) açık aralığını göz önüne alınız. B j 1.3 R n içinde diziler ve kompakt kümeler Bu kısımda, Öklidyen bir uzayın içindeki bir vektörler dizisinin sınırlı veya yakınsak olmasının ne anlama geldiği incelenecektir. Bu incelemeyi mümkün kılacak olan temel motivasyon, tek-değişkenli teorinin klâsik sonuçlarıdır. R n içinde bir dizi, bir x : N R n fonksiyonudur; fonksiyonel gösterilim yerine alt-indis notasyonu kullanılıp terimler numaralandırılarak, x dizisi (x k ) k N olarak gösterilir. Bir x : N R n dizisi ve kesin artan bir k : N N fonksiyonu için, x k : N R n fonksiyonuna x dizisinin bir alt-dizisi denir ve, yine alt-indis notasyonu kullanılarak, (x kj ) j N ile gösterilir. Tanım R n uzayı içindeki noktaların bir dizisi (x k ) k N ve x R n olsun. (i) Bir M > 0 sayısı her k N için x k M olacak biçimde bulunabiliyorsa, (x k ) k N dizisi sınırlı olarak adlandırılır.

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER

MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için

X normlu bir uzay olsun.x üzerindeki tüm gerçel veya karmaşık değerli sürekli (sınırlı) fonksiyoneller,x deki x ve α sayıları için HAHN-BANACH TEOREMİ VE SONUÇLARI G.F.Simmons 1963 tarihli Introduction to Topology and Modern Analysis adlı mükemmel kitabında soyut bir matematisel yapıyı anlamanın en iyi yollarından biri olarak o matematiksel

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Matematik Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır.

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. Dizi Antenler Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. 1. Dizi antenin geometrik şekli (lineer, dairesel, küresel..vs.) 2. Dizi elemanları arasındaki

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1 Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 011-1 Ortak Akıl Adem ÇİL Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Kadir ALTINTAŞ Köksal YİĞİT

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı Ertuğrul US 01.09.2014 MATEMATİK PROGRAMIM Program 6 aylık (24 haftalık) bir programdır. Konuların veriliş sırasına uyularak çalışılması

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan;

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan; 7. FORMÜLLER SEKMESİ Excel in en çok kullanılan yönü hesaplama yönüdür. Hesaplamalar Formüller aracılığıyla yapılır. Formüller sekmesi anlatılırken sık kullanılan formüller ve formül yazımı da anlatılacaktır.

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır? Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı