ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KUATERNİYONLAR VE İNTERPOLASYONLAR. Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER MATEMATİK ANABİLİM DALI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KUATERNİYONLAR VE İNTERPOLASYONLAR. Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KUATERNİYONLAR VE İNTERPOLASYONLAR Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 013 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi KUATERNİYONLAR VE İNTERPOLASYON Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş ve temel kavramlara ayrıldı. İkinci bölümde, Öklid uzayında kuaterniyonları kullanarak küresel lineer interpolasıyonlar (Slerp) ve küresel spline interpolasyon (Squad) incelendi. Ayrıca kompleks sayılar ve De Moivre teoremi kullanılarak HızlıSlerp elde edildi. Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Minkowski uzayında Hiperbolik küresi üzerinde split kuaterniyonlarıkullanarak lineer interpolasıyonlar (MSlerp) ve spline interpolasyon (MSquad) eğrileri elde edildi. Ayrıca split kompleks sayılar ve De Moivre teoremi kullanılarak hızlımslerp elde edildi. Son bölümde, 3-boyutlu Minkowski uzayında Lorentz küresi üzerinde, spline split kuaterniyon interpolasyonu, dik izdüşüm ve kübik Bezier eğrisi kullanılarak gösterildi. Ocak 013, 49 sayfa Anahtar Kelimeler : Kuaterniyon, Split Kuaterniyon, İnterpolation, Lorentz- Minkowsi Uzay, Timelike Vektör, Slerp, Spline i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis QUATERNIONS AND INTERPOLATIONS Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis comprises four chapters. The first chapter is devoted to the introduction and basic concepts. In the second chapter, spherical linear interpolation (Slerp) and spherical spline interpolation using quaternions are investigated in the Euclidean space. Also, fast Slerp are obtained using complex numbers and De Moivre s theorem. In the third chapter, spherical linear interpolation (Slerp) and spherical spline interpolation (Msquad) using split quaternions and Lorentz metric are obtained on Hyperbolic sphere in Minkowski space. Also, fast MSlerp are obtained using split complex numbers and De Moivre s formula for a unit timelike split quaternion. In the last chapter, spline split kuaterniyon interpolasyon are displayed using orthogonal projection and cubic Bezier curve on Lorentz sphere in Minkowski space. January 013, 49 pages Key Words : Quaternions, Split Quaternions, Interpolation, Lorentz-Minkowsi Space, Timelike, Vector, Slerp, Spline ii

4 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanmasına verdiği destek için danışman hocam Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya, fikirleriyle ve sorularıyle yardımlarını benden esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Prof.Dr Mustafa ÇALIŞKAN (Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi) na, Sayın Doç.Dr Nejat EKMEKÇİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya teşekkürlerimi bir borç bilirim. Çalışmam sırasında ellerinden gelen her türlü desteği bana veren eşim Javad RAHEBİ ye ve ailemin fertlerine minnet ve şükranlarımısunarım. Raheleh GHADAMI GHOLIZADEH NASER Ankara, Ocak 013 iii

5 1. GİRİŞ Kuaterniyonlar, 1843 yılında William Rowan Hamilton tarafından tanımlanmıştır. Değişmeli olmayan reel cebir yapısına sahip olan kuaterniyonlar, kompleks sayıların özelliklerinin çoğunu taşıdığından kompleks sayılarla benzer bir yapıya sahiptir. Bu çalışmada kuaterniyonlar cebiri H ile gösterilmiştir. Günümüzde, kuaterniyonlar, özellikle fizik, kinematik, bilgisayar grafikleri, animasyon, katıcisim dönüşümlerini içeren optimizasyon problemlerinde kullanılmaktadır. Lineer kuaterniyon interpolasyonları(lerp), q 0, q 1 H ve h [0, 1] Lerp (q 0, q 1, h) = q 0 (1 h) + q 1 h şeklinde tanımlanan doğru parçaları yardımıyla yapılmaktadır. Küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa eğri geodezikler ile ölçülür. Kuaterniyonlar yardımıyla küre üzerinde iki nokta arasındaki geodezik eğri tanımlanabilmektedir, bu ise küre üzerinde küresel lineer interpolasyonu mümkün kılmaktadır. Slerp gösterimi ile bu konu robot kinematiğinde geniş bir şekilde işlenmektedir. Kinematikte, robot kareketlerinin moddellenmesinde küresel interpolasyonlar önemli bir yere sahiptir. Kol ve ayak hareketlerinde küresel model esastir. Kuaterniyonlar bu hareketlerin moddellenmesinde aktif bir şekilde kullanmaktadır. Kuaterniyonlara benzer şekilde, i = 1, j = k = 1 kabul edilerek oluşturulan split kuaterniyon cümlesi, kuaterniyonların Öklid uzayında kullanıldığı gibi, üç boyutlu Minkowski uzayında kullanılabilir. Split kuaterniyonlar cebiri H ile gösterilmiştir. Lorentz hareketleri, son yılların çalışma konularıiçerisinde önemli bir yere sahiptir. Lorentz küresi üzerinde hareketleri split kuaterniyonlar ile inceleyebiliriz dolayısıyla, Lorentz küresinde küresel interpolasyonlar düşünebiliriz. Bu tezde öncelikle kuaterniyonlar yardımıyla Öklid uzayında yapılan interpolasyonları incelendi ve bu interpolasyonların Lorentz küreleri üzerinde yapılabilmesi için hipotezleri araştirildi. Kuaterniyonlar kullanarak şimdiye kadar yapılan çalışmalar Öklid küresi üzerinde yapılmiştir. Bu tezde Lorentz metriği ve split kuaterniyonları kullanarak Lorentz ve Hiperbilic küreleri üzerinde interpolasyonlar yapıldi. 1

6 1.1 Temel Kavramlar Tanım : E 3 1 = (R 3,, ), olmak üzere Lorentz-Minkowski uzayıbir metrik uzayıdır. Burada, Lorentz iç çarpım fonksiyonu u, v = u 1 v 1 + u v u 3 v 3 u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) şekilde tanımlanır (O Neill 1983). Tanım 1.1. : v E1 3 bir vektör olmak üzere, (1) Eğer v, v > 0 ve v = 0 ise v ye spacelike vektör denir. () Eğer v, v = 0 ve v 0 ise v ye lightlike vektör denir. v = 0 sıfır vektörü v, v = 0 şartınısağlamasına rağmen spacelike vektör olarak düşünülür. (3) Eğer v, v < 0 ise v ye timelike vektör denir. Tanım : v E1 3 vektörünün normu, v = v, v şeklinde tanımlanır. Normu bir olan vektöre de birim vektör denir. Eğer v spacelike bir vektör ise normu, v = v, v olur. Eğer v timelike bir vektör ise normu, v = v, v olur (O Neill 1983). Tanım : u = (u1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) E1 3 vektörleri için, u ve v vektörlerinin Lorentziyen vektörel çarpımı u v i j k u v = u 1 u u 3 = ( (u v 3 u 3 v ), u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ) v 1 v v 3 biçiminde tanımlanır (O Neill 1983). Teorem : u ve v iki timelike vektörleri aynı timelike koni içinde yatar ancak ve ancak u, v < 0 (O Neill 1983).

7 Teorem 1.1.: (1) u ve v iki timelike vektör olsun. O zaman u, v u, u v, v dir. () u ve v nin aynıtimelike konide yatan vektörler olmasıdurumunda ise bir tek ϕ 0 sayısıvardır, öyle ki; u, v = u v cosh ϕ Bu ϕ sayısına u ile v arasındaki hiperbolik açıadıverilir (O Neill 1983). Teorem : Üç boyutlu Minkowski uzayında x, y, z, w vektörleri için, aşağıdaki özelikler sağlanır (Özdemir ve Ergin 006): (1) x y = y x, () x ( y z ) = x, y z x, z y, (3) x ve y timelike vektörleri için x y vektörü spacelike vektördür. Ayrıca x ve y arasındaki açıϕ olmak üzere x, y = x y cosh ϕ ve x y = x y sinh ϕ eşitlikleri sağlanır. (4) x ve y, x, y < x y eşitsizliğini sağlayan spacelike vektörler ise x y vektörü timelike vektördür. Ayrıca x ve y arasındaki açıϕ olmak üzere x, y = x y cos ϕ ve x y = x y sin ϕ eşitlikleri sağlanır. (5) x ve y, x, y > x y eşitsizliğini sağlayan spacelike vektörler ise x y vektörü spacelike vektördür ve x ve y arasındaki açıϕ olmak üzere x, y = x y cosh ϕ ve x y = x y sinh ϕ 3

8 eşitlikleri sağlanır. (6) x ve y, x, y = x y eşitliğini sağlayan spacelike vektörler ise x y vektörü lightlike vektördür. Tanım : E 3 1 üç boyutlu Minkowski uzayıolsun. H 0 = { a E 3 1 : a, a = 1 } cümlesine hiperbolik küre ve S 1 = { a E 3 1 : a, a = 1 } cümlesine Lorentziyen küre denir. H 0 nin (1, 0, 0) den geçen pozitif yarım küresi H + 0 ve ( 1, 0, 0) den geçen negatif yarım küresi H 0 ile gösterilir (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : Kuaterniyon cebri, i = j = k = 1 ij = ji = k, kj = jk = i, ki = ik = j. koşullarını taşıyan q = a a 1 i + a j + a 3 k (a i R) sayı dörtlülerinin oluşturduğu birleşimli fakat değişmeli ve bölmeli olmayan bir cebirdir. Bu sayı dörtlülerinin oluşturduğu cümle H ile gösterilir (Hamilton 1853). Tanım : H kuaterniyon her kümesi, q H için q = S q + V q şeklinde ifade edilir (Hamilton 1853). Tanım : q = a a 1 i + a j + a 3 k ve p = b b 1 i + b j + b 3 k reel kuaterniyonlarının toplamı ( Vq q + p = (S q + S p ) + + ) V p 4

9 şeklinde tanımlıdır (Hamilton 1853). Tanım : H kuaterniyon kümesi ve p, q H için q = (a 0, a 1, a, a 3 ) ve p = (b 0, b 1, b, b 3 ) kuaterniyonlarının, kuaterniyon çarpımı, : H H H q p = S q S p V q, V p + S q Vp + S p Vq + V q V p şeklinde ifade edilir. Burada ve sırasıyla iç çarpım ve vektörel çarpımıgöstermektedir (Hamilton 1853). Tanım : H kuaterniyon kümesi, q H ve q = S q + V q için, S q = 0 ise, bu durumda q ya saf kuaterniyon denir. İki saf kuaterniyonun çarpımı, q = a 1 i + a j + a 3 k ve p = b 1 i + b j + b 3 k olmak üzere; q p = V q, V p + V q V p = (a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 ) + i j k a 1 a a 3 b 1 b b 3 şeklinde ifade edilir (Hamilton 1853). Tanım : q = (a 0, a 1, a, a 3 ) = S q + V q bir kuaterniyon olmak üzere, kuaterniyonun eşleniği q ile gösterilir ve q = S q V q şeklinde tanımlanır (Hamilton 1853). Tanım Bir q kuaterniyonu için q q = ( ) a 0 + a 1 + a + a 3 şeklinde tanımlanır (Hamilton 1853). 5

10 Tanım : q = (a 0, a 1, a, a 3 ) kuaterniyonunun normu N q = a 0 + a 1 + a + a 3 şeklinde tanımlanır. N q = 1 olduğu zaman, q ya birim kuaterniyon denir. H 1 birim kuaternionlar kümesi olarak gösterelim. Ayrıca N q 0 olmak üzere, q 1 = q N q kuaterniyonunun tersini belirtir (Hamilton 1853). bir Tanım : Split kuaterniyon cebiri, i = 1, j = k = 1, ij = ji = k, kj = jk = i, ki = ik = j koşullarını taşıyan q = a a 1 i + a j + a 3 k (q i R) sayı dörtlülerinin oluşturduğu birleşimli fakat değişmeli ve bölmeli olmayan bir cebirdir. Bu sayı dörtlülerinin oluşturduğu cümle H ile gösterilir (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : H split kuaterniyon kümesi ve p, q H için q = (a 0, a 1, a, a 3 ) ve p = (b 0, b 1, b, b 3 ) split kuaterniyonlarının split kuaterniyon çarpımı, : H H H q p = S q S p + V q, V p L + S q Vp + S p Vq + V q L Vp şeklinde ifade edilir. Burada L ve L sırasıyla, Lorentzian iç çarpım ve Lorentzian vektörel çarpımıgöstermektedir (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : H split kuaterniyon kümesi, q H ve q = S q + V q için, S q = 0 ise, bu durumda q ya saf split kuaterniyon denir. İki saf split kuaterniyonun çarpımı, 6

11 q = a 1 i + a j + a 3 k ve p = b 1 i + b j + b 3 k olmak üzere; q p = V q, V p L + V q L Vp = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 + i j k a 1 a a 3 b 1 b b 3 şeklinde ifade edilir (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : q = (a 0, a 1, a, a 3 ) = S q + V q bir split kuaterniyon olmak üzere, split kuaterniyonun eşleniği q ile gösterilir ve q = S q V q şeklinde tanımlanır (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : Bir q split kuaterniyonu için q q = ( ) a 0 + a 1 a a 3 şeklinde tanımlanır (Özdemir ve Ergin 006). Tanım : q = (a 0, a 1, a, a 3 ) split kuaterniyonunun normu N q = a 0 + a 1 a a 3 şeklinde tanımlanır. N q = 1 olduğu zaman, q ya birim split kuaterniyon denir. H 1 birim split kuaternionlar kümesi olarak gösterelim. Ayrıca N q 0 olmak üzere, q 1 = q N q bir split kuaterniyonunun tersini belirtir (Özdemir ve Ergin 006). 7

12 Tanım : Kompleks sayılarda ve kuaterniyonlarda olduğu gibi split kuaterniyonlar da kutupsal formda ifade edilebilir. Fakat, split kuaterniyonlarda, split kuaterniyonun spacelike yada timelike olması, hatta timelike kuaterniyonlarda vektörel kısmın timelike ya da spacelike olması bu kutupsal formu değiştirir. Yani, split kuaterniyonlar için ayrıayrıkutupsal formlar belirtilecektır (Özdemir ve Ergin 006). (1) Her q = (q 1, q, q 3, q 4 ) H birim spacelike kuaterniyonu sinh ϕ = q 1 N q, cosh ϕ = q + q 3 + q 4 N q ve ε 0 = q i + q 3 j + q 4 k q + q 3 + q 4 olmak üzere, q = N q (sinh ϕ + ε 0 cosh ϕ) formunda yazılabilir. Burada, ε 0 vektörü E 3 1 uzayında spacelike birim vektördür. () Vektörel kısmıspacelike olan her q = (q 1, q, q 3, q 4 ) H timelike birim kuaterniyon, cosh ϕ = q 1 N q, sinh ϕ = q + q 3 + q 4 N q ve ε 0 = q i + q 3 j + q 4 k q + q 3 + q 4 olmak üzere, q = N q (cosh ϕ + ε 0 sinh ϕ) formunda yazılabilir. Burada, ε 0 vektörü E 3 1 uzayında spacelike birim vektördür. (3) Vektörel kısmıtimelike olan her q = (q 1, q, q 3, q 4 ) H timelike birim kuaterniyon, cos ϕ = q 1 N q, sin ϕ = q q 3 q 4 N q ve ε 0 = q i + q 3 j + q 4 k q q 3 q 4 olmak üzere, q = N q (cos ϕ + ε 0 sin ϕ) formunda yazılabilir. Burada, ε 0 vektörü E 3 1 uzayında timelike birim vektördür. 8

13 . ÖKLİD UZAYINDA KÜRESEL LİNEER İNTERPOLASYON: SLERP Slerp, birim küre üzerinde kuaterniyon yardımıyla interpolasyon yapmamızısağlar. Diferensiyel geometri açısından, büyük yaylar küre üzerinde jeodezik eğri parçalarıdır. Slerp, birim küre üzerinde sadece büyük yaylarıoluşturmuyor, ayrıca en kısa yayları oluşturuyor. Böylece Slerp, birim küre üzerindeki iki kuaterniyon arasında en kısa yayıkullanarak interpolasyon yolunu verir. Ayrıca Slerpin sabit açısal hızıvardır. Slerp iki dönme arasında optimum interpolasyon eğrisidir (Dam vd. 1998). Teorem.1.1 : q 0, q 1 H olsun. q 0, q 1 dört boyutlu vektörler olarak tanımlansın α, q 0, q 1 aralarındaki açıolsun. Bu durumda q 0 q 1 = q 0 q 1 cos α dır (Dam vd. 1998). Teorem.1. : H 1 birim kuaternionlar kümesini göstermek üzere q = [s, v] H 1 olsun. Bu durumda v R 3 ve θ ( π, π] mevcuttur öyle ki q = [cos θ, v sin θ] yazılabilir. Burada, v birim vektördür (Dam vd. 1998). Teorem.1.3 : q H 1, q = [cos θ, sin θn] olsun. r = (x, y, z) R 3 ve p = [0, r] H alalım. Bu durumda p bir vektör ise p = qpq 1 dönüşümü n ekseni etrafında θ kadar dönmeyi ifade etmektedir (Dam vd. 1998). Teorem.1.4 : q = [cos ϕ, sin ϕn (t)] H 1, t R alalım. Bu durumda dir (Dam vd. 1998). d dt qt = q t log (q) (.1) Teorem.1.4 : q C 1 (R, H 1 ), r C 1 (R, R) alalım. Bu durumda q (t) = [cos θ (t), sin θ (t) ε 0 (t)] dir. Böylece d dt q (t)r(t) = sin (r (t) θ (t)) (r (t) θ (t) + r (t) θ (t)), cos (r (t) θ (t)) (r (t) θ (t) + r (t) θ (t)) ε 0 (t) + sin (r (t) θ (t)) ε 0 (t) 9 (.)

14 dir (Dam vd. 1998). Tanım.1.1 : q 1 0 q 1 Kuaterniyon çarpımı, u = [cos θ, w sin θ] ve u t = [cos tθ, w sin tθ] birim kuaterniyonlar kullanımıile büyük ölçüde basitleştirilebilir (Dam vd. 1998). Tanım.1. : Başlangıçı q 0 tarafından belirtilen ve q 1 ile biten bir dönme için kullanılan kuaterniyon q 0, q 1 H 1, q = q 0 ( q 1 0 q 1 ) h şeklindedir. Buradan slerp (q 0, q 1, h) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) h, h [0, 1] şeklinde ifade edilir (Shoemake 1985, Dam vd. 1998). Teorem.1.5 : slerp (q 0, q 1, h) : H 1 H 1 [0, 1] H 1 eğrisi, q 0 ve q 1 kuaterniyonlarıarasındaki birim küre üzerinde büyük yay oluşturur. Slerpin yer vektörü fonksiyonunun açısal hızısabittir (Dam vd. 1998). İspat : Teoremin ispatıiçin, aşağıdaki dört koşulu kanıtlamak gerekir. slerp (q 0, q 1, 0) = q 0 (.3) slerp (q 0, q 1, 1) = q 1 (.4) slerp (q 0, q 1, h) = 1, (h [0, 1]) (.5) d dh slerp (q 0, q 1, h) = c slerp (q 0, q 1, h), c 0 R (.6) Koşullar (.3) ve (.4) exp ve log tanımları kullanılarak gösterilir. aşağıdaki gibi gösterilebilir (.5) koşulu slerp (q 0, q 1, h) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) h = 1 exp ( h log ( q 1 0 q 1 )) = 1 (.6) koşulunu göstermek için, slerpin ikinci türevi gerekir. d dh slerp (q 0, q 1, h) = d dh q ( ) 0 q 1 h 0 q 1 (.7) = slerp (q 0, q 1, h) log ( ) q0 1 q 1 10

15 d dh slerp (q 0, q 1, h) = slerp (q 0, q 1, h) log ( q 1 0 q 1 ) Eğer log ( q 1 0 q 1 ) nin pozitif olmayan bir reel sayıolduğunu gösterirsek (.6) koşulu geçerli olur.q 1 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda q 1 0 q 1 H 1 olur. O zaman θ R ve v R 3, v = 1 mevcuttur, öyle ki q = [cos θ, v sin θ] şeklinde yazılabilir. Buradan, log ( q 1 0 q 1 ) = [0, θv] = [ θ v v, θ v v ] = [ θ, 0 ] Böylece d dh slerp (q 0, q 1, h) = cslerp (q 0, q 1, h) ve c = θ 0. q 0 ve q 1 kuaterniyon arasındaki slerp (q 0, q 1, h), h [0, 1] büyük bir yay içerdiğini gösterdik. Lema.1.1 : q 0 = [s 0, v 0 ], q 1 = [s 1, v 1 ], q = [s, v ] H alalım. Böylece (q 0 q 1 ) (q 0 q ) = q 0 (q 1 q ) (.8) yazılabilir (Dam vd. 1998). Teorem.1.6 :q 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda slerp (q 0, q 1, h), h [0, 1], q 0 ve q 1 kuaterniyon arasındaki birim küre üzerinde en kısa uzunluğa sahip büyük bir yay oluşturur (Dam vd. 1998). İspat : q 1 = slerp ( q 0, q 1, 1 ) olsun ve α yıq0 ve q 1 arasındaki açıalalım. α ( π, ] π ancak ve ancak slerp en kısa yayıverir. Bu ise cos α [0, 1] olmasına eşdeğerdir. Bu nedenle cos α nın işaretini inceleyelim. cos α = q 0 q 1 = q 0 slerp ( q 0, q 1, 1 ) = q 0 (q 0 ( q 1 0 q 1 ) 1 ) q 1 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda q 1 0 q 1 H 1 olur. O zaman w R 3 ve ψ ( π, π], 11

16 w = 1 mevcuttur öyle ki q = [cos ψ, w sin ψ]. Bu yüzden (.8) denklemini kullanarak ( ) cos α = q 0 q 0 [cos ψ, w sin ψ] 1 ( (( ) )) 1 = q 0 q 0 exp log [cos ψ, w sin ψ] ( ([ ( ) ])) ψ = q 0 q 0 exp 0, w [ ( ) ( ) ]) ψ ψ = q 0 (q 0 cos, sin w [ ( ) ( ) ]) ψ ψ = (q 0 [1, 0]) (q 0 cos, sin w [ q 0 ([1, 0] cos ( ) ψ = q 0 cos ( ) ψ = cos ( ) ψ, sin ( ) ]) ψ w ψ ( π, π] ise cos ( ψ ) 0 sağlanır ve bu nedenle cos α 0 dir. Bu durumda slerp q 0 ve q 1 arasındaki en kısa büyük yayıoluşturur. Tanım.1.3 : Başlangıçı q 0 tarafından belirtilen ve q 1 ile biten bir dönme için kullanılan kuaterniyon q 0, q 1 H 1, q = q 0 ( q 1 0 q 1 ) h şeklindedir. Buradan slerp (q 0, q 1, h) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) h, h [0, 1] (.9) şeklinde ifade edilir. slerp için diğer bir eşitlik slerp (q 0, q 1, h) = q 0 sin ((1 h) θ) + q 1 sin (hθ) sin θ (.10) ile verilebilir. Burada, q 0 q 1 = cos θ dır. (.10) ifadesinin doğruluğu düzlemde 1

17 gösterilebilir. q 0 ve q 1 arasında interpolasyon q (h) = cos (v + ht) sin (v + ht) şeklindedır. (.10) ifadesinin doğruluğu için sinüs ve kosinus ek formülleri kullanma yoluyla yazılır. slerp (q 0, q 1, h) = q 0 sin ((1 h) t) + q 1 sin (ht) sin (t) = = = cos(v) sin((1 h)t)+cos(v+t) sin(ht) sin(t) sin(v) sin((1 h)t)+sin(v+t) sin(ht) sin(t) cos (v) cos (ht) sin (v) sin (ht) sin (v) cos (ht) + cos (v) sin (ht) cos (v + ht) sin (v + ht) = q (h) Böylece, (.10) ifadenin doğruluğu düzlemde kanıtlanmıştır. Bu sonuç, dört boyutta (.10) ifadesinin kanıtlamasi ile genelleştirilebilir (Dam vd. 1998)..1 Açısal hızın yaklaşık gösterimi Interpolasyon eğrisinin açısal hızınıgörselleştirmek istiyoruz. Örneğin bazıinterpolasyon eğrilernin sabit açısal hıza sahip olduklarınıgörmek ilginç olacaktır. Aşağıda, q i i-yinci kuaterniyonu gösterir yani ayrık kuaterniyonun interpolasyon eğrisinde i- yinci kuaterniyon olur. Açısal hız grafiğini üretmek için, yaklaşık açısal hızıveren bir fonksiyonu tanımlamak gerekir. Matematik tanımıesas alınır ve kuaterniyonlar normu kullanılır. q 0, q 1 iki kuaterniyonlar arasındaki uzaklık d (q 0, q 1 ) = q 0 q 1 şeklinde tanımlanır. Bu durumda q i i-yinci kuaterniyonun V açısal hızı 13

18 yaklaşık olarak V (q i ) = d (q i, q i 1 ) + d (q i, q i+1 ) = q i q i 1 + q i q i+1 alınabilir (Dam vd. 1998). (a) (b) Şekil.1 İnterpolasyon şekiller, MATLAB R010a kullanılarak simülasyon edilmiştir. a. Öklid uzayında iki kuaterniyon arasındakıinterpolasyon b. Kuaterniyon interpolasyonun açısal hız grafiği. Öklid Uzayında HızlıSlerp (.10) denkleminden q (h) = q 0 sin ((1 h) θ) sin θ + q 1 sin (hθ) sin θ q (h) = q 0 sin θ cos (hθ) cos θ sin (hθ) sin θ q (h) = q 0 cos (hθ) q 0 cos θ sin (hθ) sin θ + q 1 sin (hθ) sin θ + q 1 sin (hθ) sin θ (.11) (.1) (.13) yazılabilir. (.13) denkleminde cos θ = q 0 q 1 ve sin θ = 1 cos θ yazılırsa, q (h) = q 0 cos (hθ) + q 1 q 0 (q 0 q 1 ) 1 (q 0 q 1 ) sin (hθ) (.14) 14

19 elde edilir. (.14) denkleminin son terimi Gram-Schmidt ortogonalleştirme algoritmasından q 0 dik olan terimdir. Bu terimi q 0 = 1 olduğundan q r = q 1 (q 0 q 1 ) q 0 q 0 (.15) Şekil. Gram-Schmidt ortogonalleştirme q r = q 1 (q 0 q 1 ) q 0 (.16) şeklinde yazabiliriz. Dolayısıyla, (.11) denklemi q (h) = q 0 cos (hθ) + q r sin (hθ) (.17) dir. Böylece (.10) denklemi q (n) = q 0 cos (nk θ ) + q r sin (nk θ ) (.18) şeklinde yazılabilir. q r kuaterniyonu q 0 dik ve q 0 ve q 1 tarafından üretilen aynı hiperdüzlemde yatıyor. Ayrıca, iki kuaterniyon arasında seçilen nokta sayısı k olmak üzere iki kuaterniyon arasındaki açık θ = cos 1 (q 0 q 1 ) k dir. Böylece (.18) eşitliği yardımıyla yapılan Slerpin ifadesi (.10) eşitliği kullanılarak yapılan Slerpin ifadesinden daha basittir. (.18) ifadesinin paydasındakı terim yoktur. Bu bakımdan hesaplamalar daha hızlıyapılmaktadır (Barrera vd. 004). 15

20 Şekil.3 Öklid uzayında iki kuaterniyon arasındakıhızlıslerp.3 Öklid Uzayında De Moivre kullanarak Slerp üretimi Bu bölümde kompleks sayılar ve De Moivre teoremi kullanılarak Slerpin (.10) ile verilen denklemine göre daha basit hali gösterilecektir. Karmaşık sayılar, Z = a + ib (.19) şeklinde gösterilir. i = 1 özelliğini sağlayan sanal birime i denir. De Moivre formülü (cos θ + i sin θ) n = cos (nθ) + i sin (nθ) (.0) dir. Formülün sağ kısımı(.18) denklemine çok benzer. Bir birim kompleks sayı Z = cos (k θ ) + i sin (k θ ) (.1) yazılabilir. Ayrıca, kompleks sayılar boyutlu uzayda vektörlerin skaler çarpımını kullanarak tanımlanabilir. Bu yüzden (q 0, q r ) (R (z), I (z)) = q 0 R (z) + q r I (z) (.) şeklinde yazılabilir. Böylece, Slerp q (n) = (q 0, q r ) Z n (.3) 16

21 bulunur. (.0) denklemini kullanarak (.3) denklemini q (n) = (q 0, q r ) Z n (.4) = (q 0, q r ) (cos (nθ) + i sin (nθ)) şeklinde yeniden yazabiliriz. Burada (.) denklemini kullanarak, bu denklemi q (n) = q 0 cos (nk θ ) + q r sin (nk θ ) (.5) geliştirebiliriz (Barrera vd. 004). Şekil.4 Öklid uzayında De Moivre kullanarak iki kuaterniyon arasındakıslerp.4 Öklid Uzayında HızlıDe Moivre kullanarak Slerp üretimi Bu kesimde, kesim. yaklaşım için alternatif hızlıbir yaklaşım gösterilecektir. Bu yüzden (.10) denklemi q 0 = ( ) ( ) 1 1 q 0 and q 1 = q 1 (.6) sin θ sin θ ve q(t) = q 0 (sin θ cos (tθ) cos θ sin (tθ)) + q 1 (sin (tθ)) (.7) yazılabilir. Ancak (.7) denklemi q(t) = q 0 (sin θ cos (kθ N ) cos θ sin (kθ N )) + q 1 (sin (kθ N )) (.8) 17

22 şeklinde yazılabilir. Burada 0 k N, θ N = θ dir. N (.8) denkleminde K-ıncıinterpolasyonun hesaplanmasıiçin, q 0 ve q 1 lineer birleşimi hesaplamadan önce sin (kθ N ) ve cos (kθ N ) hesaplanmasıgerekir. Bu yüzden fazla trigonometrik fonksiyonlar kullanmak yerine De Moivre teoremi (cos θ N + i sin θ N ) k = cos (kθ N ) + i sin (kθ N ) (.9) kullanabilir. (.9) denklemini kullanarak Z = cos θ N + i sin θ N (.30) hesaplayabiliriz. Ayrıca cos[(n k)θ N ] = cos θ cos (kθ N ) + sin θ sin (kθ N ) (.31) ve sin[(n k)θ N ] = sin θ cos (kθ N ) cos θ sin (kθ N ) (.3) yazılabilir. Böylece (N-k) inci interpolasyon q 0 (sin θ cos((n k)θ N ) cos θ sin((n k)θ N ) + q 1 sin((n k)θ N ) (.33) bulunur. (.33) denklemi aşağıdaki formda q (N k) = q 0 (sin (kθ N )) + q 1 (sin θ cos (kθ N ) cos θ sin (kθ N )) (.34) bulunur. (.34) denkleminde q 0 katsayısı(.8) denkleminde q 1 nin katsayısına aynı ve (.34) denkleminde q 1 katsayısı(.8) denkleminde q 0 nin katsayısına aynıdır. Burada belirtilen yöntem, kesim. de belirtilen yöntemden daha hızlıdır. Sadece temel trigonometrik formüller daha basit olmuştur (Leeney 009). 18

23 Şekil.5 Öklid uzayında iki kuaterniyon arasındakıhızlıde Moivre kullanarak Slerp.5 Deneysel sonuçlar Kuaterniyon interpolasyonu için özetlenen çeşitli yöntemler Intel(R), Core(TM), Duo CPU.00 GHz,.00 GHz of RAM makine üzerinde test edilmiş ve aşağıdaki tabloda sonuçlar vermiştir. Değerler mili saniye de verilmiştir. interpolasyon 10 kez tekrarlanmıştır. Aşağıdaki Çizelge De Moivre. bölümunde belirtilen yöntemi ifade ediyor ve hızlıde Moivre bu bölümde özetlenen yöntemi ifade ediyor (Leeney 009). Çizelge.1 Zamanlama Yöntemleri Öklid uzayında N = 10 DeMoiver HDeMoiver HSlerp Slerp Ortalama Standart Sapma Basıklık Çarpıklık Öklid Uzayında Spline Kuaterniyon İnterpolasyon: Squad İki dönme arasında (slerp) interpolasyon optimaldir. Ama bir dizi dönmeler arasındakıinterpolasyonda aşağıdaki sorunlar ortaya çıkıyor: (a) Eğri kontrol noktalarında düzgün değildir. (b) Açısal hızısabit değil 19

24 (c) Açısal hızıkontrol noktalarında sürekli değildir. (a) (b) Şekil.6 a. Öklid uzayında dört kuaterniyon arasındakıinterpolasyon b. Kuaterniyon interpolasyonun açısal hız grafiği Bir reparametrizasyon ile kolayca tüm interpolasyon boyunca süreklilik sağlanabilir. Aslında interpolasyon parametresi her çift anahtar frame arasında bir dizi ayrık frame haline dönüştürülür ve böylece reparametrizasyon her aralıkta aralığının büyüklüğüne göre frame sayısıbelirlemesine karşılık gelir. Bir aralığın büyüklüğü iki çift anahtar frame q i, q i+1 arasındaki açıcos θ = q i q i+1 ile ölçülebilir. 0

25 (a) (b) Şekil.7 a. Öklid uzayında dört kuaterniyon arasındakıinterpolasyon b. Kuaterniyon interpolasyonun reparametrizasyondan sonra açısal hızı Bu düzgünlük sorununu gidermek kolay değildir. Benzer olarak interpolasyon iki nokta arasında düzlemde bir düz doğru ile kolaydır. Ama basit Öklid uzayında bile bir dizi noktalar arasında düzgün bir interpolasyon oluşturmak karmaşıktır. Kübik eğrileri düzleminde bir dizi kontrol noktaları arasındaki interpolasyonlarda farklı türde tipik olarak kullanılır. Örneğin bu eğriler inşası oldukça basit olan Bezier eğrileri ile yapılabilir. C eğri parçalarıarasında süreklilik elde etmek için, bir kübik interpolasyon yapılmalıdır. Kuaterniyon uzayında bu biraz karmaşıktır. Kullanılan yöntemde, bir kübik interpolasyon oluşturmak için üç lineer interpolasyon kullanılmalıdır. İlk veri noktalarıve diğer iki (özenle seçilmiş) noktalar arasında ve ardından lojistik denklem h (1 h) tarafından belirlenen bir miktarda kalan noktalar arasında interpolasyon yapılır.yardımcınoktalar düzgün bir şekilde seçilirse, daha sonra C nin sürekliliği sağlanabilir. Squad fonksiyonu veri noktalarıarasında bir kübik interpolasyon (birim kuaterniyon) q 1 and q noktaları ve h [0, 1] miktari ile aşağıdakıgibi squad (q i, q i+1, s i, s i+1, h) = slerp(slerp(q i, q i+1, h), slerp(s i, s i+1, h), h(1 h)) belirtilir. s i ve s i+1 inner quadrangle noktalarıdenir ve böylece bu sürekliliği seg- 1

26 mentlerinde garanti olmasıiçin dikkatle seçilmelidir. bir dizi {q n } N 1 n=0 birim kuaterniyon göz önüne alındığında türevleri sürekli ve kontrol noktalarıüzerinden geçmesi koşullarıkuaterniyon interpolasyon ile bir spline eğrisi inşa etmek istiyoruz. İdda s i ve s i+1 kuaterniyonların arasında spline segementlerinde uç noktaları türevlerinin kontrolüne izin vermek için bir seçim yapmaktır. Squad tanımıile kolayca S i 1 (1) = squad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) = slerp(slerp(q i 1, q i, 1), slerp(s i 1, s i, 1), 0) = q i S i (0) = squad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = slerp(slerp(q i, q i+1, 0), slerp(s i, s i+1, 0), 0) = q i S i 1 (1) = q i = S i (0) gösterilir. Böylece squad sürekli ve kontrol noktalarında doğru bir değeri vardır. Ardarda iki spline segmentleri türevleri eşleştirmek için uç noktalarısürekli türevleri elde etmek için S i 1 (1) = S i (0) (.35) Şimdi squadın kontrol noktalarında sürekli olarak türevlenebilir olmasını göstereceğiz d dt squad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = d dt squad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) Squadın türevini bulmak için, Slerpın türevi gerekiyor g i (h) = slerp(q i, q i+1, h) 1 slerp(s i, s i+1, h)

27 Şimdi S i (t) = squad (q i, q i+1, s i, s i+1, h) türevıini bulmak gerekir (.) denkleminden S i (t) = squad (q i, q i+1, s i, s i+1, h) = d dt slerp(slerp(q i, q i+1, h), slerp(s i, s i+1, h), h(1 h)) d ( slerp(qi, q i+1, h)g i (h) h(1 h)) dt d dt g i(h) h(1 h) = sin ( h(1 h)θ gi (h)) ( ( 4h) θgi (h) + h(1 h)θ g i (h) ), cos ( h(1 h)θ gi (h)) ( ( 4h) θgi (h) + h(1 h)θ g i (h) ) ε0gi (h) + sin ( h(1 h)θ gi (h)) hg i (h) Aşağıda d dt ( gi 1 (h) h(1 h)) (1) değeri 1 olarak uygulanan g i 1 (h) h(1 h) ifadesinin türevi yazılabilir. (.) denkleminden d dt squad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) = slerp(q i 1, q i, 1) log ( q 1 i 1, q ) i +slerp(q i 1, q i, 1) d ( gi 1 (h) h(1 h)) (1) dt = q i log( ( q 1 i 1, q i ) ( ) log q 1 i s i d dt squad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = slerp(q i, q i+1, 0) log ( ) q 1 i, q i+1 +slerp(q i, q i+1, 0) d ( gi (h) h(1 h)) (0) dt = q i log( ( ) ( ) q 1 i, q i+1 + log q 1 i s i yazılabilir. (.35) denkleminden yazilabilir. q i log( ( q 1 i 1, q i ) log ( q 1 i s i ) = qi log( ( q 1 i ) ( ), q i+1 + log q 1 i s i ( s i = q i exp log ( ) ( )) q i, q 1 i 1 + log q 1 i, q i+1 4 Böylece squad yukarıdaki gibi tanımlanan s i ile kontrol noktalarında sürekli türevlenebilirdir. Aslında squadın tüm segmentleri arasında sürekli ve sürekli 3

28 olarak türevlenebilir olduğunu göstermiş olduk (Dam vd. 1998). (a) (b) (c) (d) Şekil.8 a. Öklid uzayında dört kuaterniyon arasındakıinterpolasyonu b. Kuaterniyon ve inner quadrangle interpolasyonun kombinasyonu c.inner quadrangle noktalarınıkullanarak Düzleştirilmiş eğri d. Squad eğrisi 4

29 3. MİNKOWSKİ UZAYINDA HİPERBOLİK KÜRESİ ÜZERİNDE LİNEER İNTERPOLASYON Bu bölümde hiperbolic küre üzerinde interpolasyon hesaplanır. Bu interpolasyon Lorentz metriği ve split kuaterniyonlarıkullanarak yapılır. Bu interpolasyon eğrileri lineer split kuaterniyon interpolasyon Minkowski uzayında (M slerp) ve spline split kuaterniyon interpolasyon Minkowski uzayında (M squad) olarak tanımlanır. 3.1 Hiperbolik Küresi Üzerinde Lineer İnterpolasyon Teorem : q = cosh ϕ + ε 0 sinh ϕ timelike kuaterniyon ve vektörel kısmı spacelike olsun. ε, üç boyutlu Minkowski uzayında Lorentzian bir vektör ise, R q = q ε q 1 dönüşümü, ε 0 (Özdemir, Ergin 006). spacelike ekseni etrafında ϕ kadar hiperbolik dönmeyi ifade eder Teorem 3.1. : q = cos ϕ+ ε 0 sin ϕ timelike kuaterniyon ve vektörel kısmıtimelike olsun. ε, üç boyutlu Minkowski uzayında Lorentzian bir vektör ise, R q (ε) = q ε q 1 dönüşümü, ε 0 (Özdemir, Ergin 006). timelike ekseni etrafında ϕ kadar hiperbolik dönmeyi ifade eder Teorem : q = [cosh ϕ, sinh ϕn (t)] H 1, t R alalım. Bu durumda dir. d dt qt = q t log (q) (3.1) 5

30 Teorem : q C 1 (R, H 1), r C 1 (R, R) alalım. Bu durumda q (t) = [cosh ϕ (t), sinh ϕ (t) n (t)] dir. Böylece dir. d dt q (t)r(t) = sinh (r (t) ϕ (t)) (r (t) ϕ (t) + r (t) ϕ (t)), cosh (r (t) ϕ (t)) (r (t) ϕ (t) + r (t) ϕ (t)) n (t) + sinh (r (t) ϕ (t)) n (t) (3.) Tanım : q 1 0 q 1 split kuaterniyon çarpımı, u = [cosh ϕ, w sinh ϕ] ve u t = [cosh(tϕ), w sinh(tϕ)] birim split kuaterniyonlar kullanımıile büyük ölçüde basitleştirilebilir. Tanım 3.1. : Başlangıçı q 0 tarafından belirtilen ve q 1 ile biten bir dönme için kullanılan split kuaterniyon q 0, q 1 H 1, q = q 0 ( q 1 0 q 1 ) n şeklindedir. Buradan Mslerp (q 0, q 1, n) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) n, n [0, 1] şeklinde ifade edilir. Teorem : Mslerp (q 0, q 1, n) : H 1 H 1 [0, 1] H 1 eğrisi q 0 ve q 1 split kuaterniyon arasındaki birim hiperbolik küre üzerinde büyük yay, oluşturur. Slerpin yer vektörü fonksiyonunun açısal hızısabittir. İspat: Teoremin ispatıiçin aşağıdaki beş koşulu kanıtlamak gerekir. Mslerp (q 0, q 1, 0) = q 0 (3.3) Mslerp (q 0, q 1, 1) = q 1 (3.4) Mslerp (q 0, q 1, n) = 1, (n [0, 1]) (3.5) d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = c Mslerp (q 0, q 1, n), c > 0 R w w = 1 (3.6) d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = c Mslerp (q 0, q 1, n), c 0 R w w = 1 (3.7) Koşullar (3.3) ve (3.4) exp ve log tanımlarıkullanılarak gösterilir (3.5) koşulu aşağı- 6

31 daki gibi gösterilebilir. Mslerp (q 0, q 1, n) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) n = 1 exp ( n log ( q 1 0 q 1 )) = 1 (3.6) koşulunu göstermek için, (3.1) denkleminden MSlerpin ikinci türevi gerekir. d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = d dn q ( ) 0 q 1 n 0 q 1 (3.8) = Mslerp (q 0, q 1, n) log ( ) q0 1 q 1 d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = Mslerp (q 0, q 1, n) log ( q 1 0 q 1 ) Eğer log ( q 1 0 q 1 ) nın pozitif bir reel sayıolduğunu gösterirsek (3.6) koşulu geçerli olur.q 1 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda q 1 0 q 1 H 1 olur. O zaman ϕ R,ve w E 3 1, w w = 1 mevcuttur ve w bir spacelike birim vektördür öyle ki q 1 0 q 1 = [cosh ϕ, w sinh ϕ] şeklinde yazılabilir. Buradan, log ( q 1 0 q 1 ) = [0, hϕw] = [ h ϕ w w, h ϕ w w ] = [ h ϕ, 0 ] Böylece d dn Mslerp (p, q, n) = cmslerp (p, q, n) ve c = h ϕ > 0 olur. (3.7) koşulunu göstermek için, (3.1) denkleminden Mslerpin ikinci türevi gerekir. d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = d dn q ( ) 0 q 1 n 0 q 1 (3.9) = Mslerp (q 0, q 1, n) log ( ) q0 1 q 1 d dn slerp (q 0, q 1, n) = Mslerp (q 0, q 1, n) log ( q 1 0 q 1 ) Eğer log ( q 1 0 q 1 ) nın pozitif olmayan bir reel sayıolduğunu gösterirsek (3.7) koşulu geçerli olur. q 1 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda q 1 0 q 1 H 1olur. O zaman ϕ R,ve w E 3 1, w w = 1 mevcuttur ve w bir timelike birim vektördür öyle ki q 1 0 q 1 = 7

32 [cos ϕ, sin ϕw] şeklinde yazılabilir. Buradan, log ( p 1 q ) = [0, ϕw] = [ ϕ w w, ϕ w w ] = [ ϕ, 0 ] Böylece d dn Mslerp (q 0, q 1, n) = c Mslerp (q 0, q 1, n) ve c = ϕ 0 olur.q 0 ve q 1 split kuaterniyon arasındaki Mslerp (q 0, q 1, n), n [0, 1] büyük bir yay içerdiğini gösterdik. Teorem : q 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda Mslerp (q 0, q 1, n), n [0, 1], q 0 ve q 1 birim split kuaterniyon arasındaki hiperbolic küre üzerinde en kısa uzunluğa sahip büyük bir yay oluşturur. İspat: q 1 = Mslerp ( q 0, q 1, 1 ) olsun ve α yıq0 ve q 1 arasındaki hiperbolic açıalalım. α R +, cosh α 0 ve cosh α [0, ) ancak ve ancak slerp en kısa yayıverilsin. cosh α = q 0 q 1 = q 0 Mslerp ( q 0, q 1, 1 ) = q 0 (q 0 ( q 1 0, q 1 ) 1 ) q 1 0, q 1 H 1 olsun. Bu durumda q 1 0 q 1 H 1 olur. O zaman w E 3 1 ve w = 1 mevcuttur, öyle ki q 1 0 q 1 = [cosh ϕ, w sinh ϕ]. Bu yüzden 8

33 ( ) cosh α = q 0 q 0 [cosh ϕ, w sinh ϕ] 1 ( (( ) )) 1 = q 0 q 0 exp log [cosh ϕ, w sinh ϕ] ( ([ ( ϕ )] )) = q 0 q 0 exp 0, h w [ ( ϕ ) ( ϕ ) ]) = q 0 (q 0 cosh, sinh w [ ( ϕ ) ( ϕ ) ]) = (q 0 [1, 0]) (q 0 cosh, sinh w [ ( ϕ ) ( ϕ ) ]) = q 0 ([1, 0] cosh, sinh w ( ϕ ) = q 0 cosh ( ϕ ) = cosh cosh ( ψ ) 0 sağlanır ve bu nedenle cosh α 0 dir. Bu durumda slerp q0 ve q 1 birim split kuaterniyon arasındaki hiperbolic küresi üzerinde en kısa büyük yayıoluşturur. Tanım : Başlangıçı q 0 tarafından belirtilen ve q 1 ile biten bir dönme için kullanılan split kuaterniyon q 0, q 1 H 1, q = q 0 ( q 1 0 q 1 ) n şeklindedir. Buradan Mslerp (q 0, q 1, n) = q 0 ( q 1 0 q 1 ) n, n [0, 1] (3.10) şeklinde ifade edilir. MSlerp için diğer bir eşitlik Mslerp (q 0, q 1, n) = q 0 sinh ((1 n) ϕ) + q 1 sinh (nϕ) sinh ϕ (3.11) ile verilebilir. Burada, q 0, q 1 = cosh ϕ dır. (3.11) ifadesinin doğruluğu düzlemde gösterilebilir. q 0 ve q 1 arasında interpolasyon cosh (v + nt) q (n) = sinh (v + nt) şeklindedir. (3.11) ifadesinin doğruluğu sinüs hiperbolik ve kosinüs hiperbolik ek 9

34 formülleri kullanma yoluyla yazılır. (q 0, q 1, n) = q 0 sinh ((1 n) t) + q 1 sinh (nt) sinh (t) = = = cosh(v) sinh((1 n)t)+cosh(v+t) sinh(nt) sinh(t) sinh(v) sinh((1 n)t)+sinh(v+t) sinh(nt) sinh(t) cosh (v) cosh (nt) + sinh (v) sinh (nt) sinh (v) cosh (nt) + cosh (v) sinh (nt) cosh (v + nt) sinh (v + nt) = q (n) Böylece, (3.11) ifadenin doğruluğu düzlemde kanıtlanmıştır. Bu sonuç, dört boyutta (3.11) ifadesinin kanıtlamasi ile genelleştirilebilir. 3. Açısal hızın yaklaşık gösterimi Interpolasyon eğrisinin açısal hızını Minkowski uzayında görselleştirmek istiyoruz. Aşağıda, q i i-yinci split kuaterniyonu gösterir yani ayrık split kuaterniyonun interpolasyon eğrisinde i-yinci split kuaterniyon olur. Açısal hız grafiğini üretmek için, yaklaşık açısal hızıveren bir fonksiyonu tanımlamak gerekir. Matematik tanımıesas alınır ve split kuaterniyonlar normu kullanılır. q 0, q 1 iki split kuaterniyon arasındaki uzaklık d (q 0, q 1 ) = q 0 q 1 şeklinde tanımlanır. Bu durumda q i i-yinci split kuaterniyonun V açısal hızıyaklaşık olarak V (q i ) = d (q i, q i 1 ) + d (q i, q i+1 ) = q i q i 1 + q i q i+1 30

35 alınabilir. (a) (b) (c) Şekil 3.1 a. Minkowski uzayında iki spliıkuaterniyon arasındakıinterpolasyon b. İç tarafından gösterilen interpolasyon c. Split kuaterniyon interpolasyonun açısal hızı 3.3 HızlıMslerp Minkowski Uzayında (3.11) denkleminden q (n) = q 0 sinh ((1 n) ϕ) sinh ϕ + q 1 sinh (nϕ) sinh ϕ (3.1) 31

36 sinh ϕ cosh (nϕ) cosh ϕ sinh (nϕ) sinh (nϕ) q (n) = q 0 + q 1 sinh ϕ sinh ϕ q (n) = q 0 cosh (nϕ) q 0 cosh ϕ sinh (nϕ) sinh ϕ + q 1 sinh (nϕ) sinh ϕ (3.13) (3.14) yazılabilir. yazılırsa, (3.14) denkleminde cosh ϕ = (q 0 q 1 ) ve sinh ϕ = 1 + cosh ϕ q (t) = q 0 cosh (nϕ) + q 1 q 0 ( (q 0 q 1 )) sinh (nϕ) (3.15) 1 + ( (q0 q 1 )) elde edilir. (3.15) denkleminin son terimi Gram-Schmidt ortogonalleştirme algoritmasından q 0 dik olan terimdir. Bu terimi q 0 = 1 olduğundan bulunur. Böylece q p = q 1 ( (q 0 q 1 )) q 0 q 0 (3.16) q p = q 1 ( (q 0 q 1 ))q 0 (3.17) q (n) = q 0 cosh (nk ϕ ) + q p sinh (nk ϕ ) (3.18) şeklinde yazılabilir. q p split kuaterniyonu q 0 dik ve q 0 ve q 1 tarafından üretilen aynı hiperdüzlemde yatıyor. Ayrıca, iki split kuaterniyon arasında seçilen nokta sayısı k olmak üzere iki split kuaterniyon arasındaki açık θ = cosh 1 (q 0 q 1 ) k dir. Böylece (3.18) eşitliği yardımıyla yapılan MSlerpin ifadesi (3.11) eşitliği kullanılarak yapılan MSlerpin ifadesinden daha basittir. (3.18) ifadesinin paydasındakıterim yoktur. Bu bakımdan hesaplamalar daha hızlıyapılmaktadır. 3

37 Şekil 3. Hiperbolik küre üzerinde iki split kuaterniyon arasındakıhızlımslerp 3.4 De Moivre Kullanarak Minkowski Uzayında MSlerp Üretimi Bu bölümde split kompleks sayılar ve split kuaterniyonlar için De Moivre teoremi kullanılarak Mslerpin (3.11) ile verilen denklemine göre daha basit halıgösterilecektir. Split-kompleks (Mandic ve Lee 009) sayılar, kompleks sayılardan farklı reel sayılar üzerinde iki boyutlu bir değişmeli cebirdir. Her split kompleks sayı z = x + jy (3.19) şeklinde yazılabilir. Burada x ve y reel sayılar dır. Ancak kompleks sayılardan tek farkıhiperbolik birim denilen sayının j = 1 olarak tanımlanmasıdır. Vektörel kısmı spacelike olan bir birim timelike split kuaterniyon için De Moivre formülü (Özdemir 009) (cosh ϕ + j sinh ϕ) n = cosh (nϕ) + j sinh (nϕ) (3.0) dir. Formülün sağ kısmı (3.18) denklemine çok benzer. Bir birim split kompleks sayı Z = cosh (k ϕ ) + j sinh (k ϕ ) (3.1) yazılabilir. Ayrıca, kompleks sayılar boyutlu uzayda vektörlerin skaler çarpımını kullanarak tanımlanabilir. Bu yüzden (q 0, q p ) (R (z), I (z)) = q 0 R (z) + q p I (z) (3.) 33

38 yazılabilir. Böylece, Mslerp q (n) = (q 0, q p ) Z n (3.3) hesaplanır. (3.0) denklemini kullanarak (3.3) denklemini q (n) = (q 0, q p ) Z n (3.4) = (q 0, q p ) (cosh (nϕ) + j sinh (nϕ)) yeniden yazılabilir. (3.) denklemini kullanarak, bu denklemi q (n) = q 0 cosh (nk ϕ ) + q p sinh (nk ϕ ) (3.5) geliştirebiliriz. Şekil 3.3 Minkowski uzayında hiperbolik küre üzerinde iki split kuatrniyon arasındakıdemoivre kullanarak MSlerp üretimi 3.5 HızlıDe Moivre kullanarak Minkowski uzayında MSlerp üretimi Bu kesimde 3. kesimdeki yaklaşım için alternatif hızlıbir yaklaşım gösterilecektir. (3.11) denklemi q 0 = ( ) ( ) 1 1 q 0 and q 1 = q 1 (3.6) sinh ϕ sinh ϕ ve q(n) = q 0 (sinh ϕ cosh (nϕ) cosh ϕ sinh (nϕ)) + q 1 (sinh (nϕ)) (3.7) 34

39 yazılabilir. Ancak (3.7) denklemı q(m) = q 0 (sinh ϕ cosh (mk ϕ ) cosh ϕ sinh (mk ϕ )) + q 1 (sinh (mk ϕ )) (3.8) şeklinde yazılabilir. Burada 0 m k, k ϕ = ϕ dir. k (3.8) denkleminde m ıncıinterpolasyonun hesaplanmasıiçin, q 0 ve q 1 lineer birleşimi hesaplamadan önce sinh (mk ϕ ) ve cosh (mk ϕ ) hesaplanmasıgerekir. Bu yüzden fazla trigonometrik fonksiyonlar kullanmak yerine De Moivre teoremi (cosh ϕ + j sinh ϕ) m = cosh (mk ϕ ) + j sinh (mk ϕ ) (3.9) kullanabilir. (3.9) denklemini kullanarak Z = cosh (k ϕ ) + j sinh (k ϕ ) (3.30) hesaplayabiliriz. Böylece cosh[(k m)k ϕ ] = cosh ϕ cosh (mk ϕ ) sinh ϕ sinh (mk ϕ ) (3.31) ve sinh[(k m)k ϕ ] = sinh ϕ cosh (mk ϕ ) cosh ϕ sinh (mk ϕ ) (3.3) yazılabilir. Böylece (k-m) inci interpolasyonu q 0 (sinh ϕ cosh((k m)k ϕ ) cosh ϕ sinh((k m)k ϕ )) + q 1 sinh((k m)k ϕ ) (3.33) bulunur. (3.33) denklemi aşağıdaki formda q (k m) = q 0 (sinh (mk ϕ )) + q 1 (sinh ϕ cosh (mk ϕ ) cosh ϕ sinh (mk ϕ )) (3.34) yazılabilir. (3.34) denklemınde q 0 katsayısı (3.8) denkleminde q 1 nin katsayısına aynıve (3.34) denkleminde q 1 katsayısı(3.8) denkleminde q 0 nin katsayısına aynı dır. 35

40 Burada belirtilen yöntem, kesim 3. de belirtilen yöntemden, daha hızlıdır. Şekil 3.4 Minkowski uzayında hiperbolik küre üzerinde iki split kuaterniyon arasındakıhızlıde Moivre kullanarak MSlerp üretimi 3.6 Deneysel sonuçlar Split kuaterniyon interpolasyon için özetlenen çeşitli yöntemler Intel(R), Core(TM), Duo CPU.00 GHz,.00 GHz of RAM makine üzerinde test edilmiş ve aşağıdaki tabloda sonuçlar vermiştir. Değerler mili saniye de verilmiştir. İnterpolasyon 10 kez tekrarlanmıştır. Aşağıdaki Çizelge De Moivre 3. bölümunde belirtilen yöntemi ifade ediyor ve Minkowski uzayında hızlıde Moivre bu bölümde özetlenen yöntemi ifade ediyor. Çizelge 3.1 Zamanlama Yöntemleri Minkowski uzayında N = 10 MDeMoiver MHDeMoiver MHslerp Mslerp Ortalama Standart Sapma Basıklık Çarpıklık

41 3.7 Hiperbolik Küresi Üzerinde Spline Split Kuaterniyon İnterpolasyon : Msquad İki dönme arasında (Mslerp) interpolasyon Minkowski uzayında optimaldir. Ama bir dizi dönmeler arasındakıinterpolasyonda aşağıdakısorunlar ortaya çıkıyor: (a) Eğri kontrol noktalarında düzgün değildir (b) Açısal hızıkontrol noktalarında sürekli değildir. (a) (b) Şekil 3.5 a. Minkowski uzayında dört split kuaterniyon arasındaki interpolasyon b. İç tarafından gösterilen interpolasyon Bir reparametrizasyon ile kolayca tüm interpolasyon boyunca süreklilik sağlanabilir. Aslında interpolasyon parametresi her çift anahtar firame arasında bir dizi ayrık firame haline dönüştürülür ve böylece reparametrizasyon her aralıkta aralığının büyüklüğüne göre firame sayısıbelirlemesine karşılık gelir. Bir aralığın büyüklüğü iki çift anahtatr frame q i ve q i+1 arasındaki açıcosh ϕ = (q i q i+1 ) ile ölçülebilir. Bu düzgünlük sorununu gidermek kolay değildir. Benzer olarak interpolasyon iki nokta arasında düzlemde bir düz doğru ile kolaydır. Ama basit Minkowski uzayında bile bir dizi noktalar arasında düzgün bir interpolasyon oluşturmak karmaşıktır. Kübik eğrileri düzleminde bir dizi kontrol noktaları arasındaki interpolasyonlarda 37

42 farklıtürde tipik olarak kullanılabilir. Örneğin bu eğriler inşasıoldukça basit olan Bezier eğrileri ile yapılabilir. C eğri parçalarıarasında süreklilik elde etmek için, bir kübik interpolasyon yapılmalıdır. Split kuaterniyon uzayında bu biraz karmaşıktır. Kullanılan yöntemde, bir kübik interpolasyon oluşturmak için üç lineer interpolasyon kullanılmalıdır. İlk veri noktaları ve diğer iki (özenle seçilmiş) noktalar arasında ve ardından lojistik denklem n (1 n) tarafından belirlenen bir miktarda kalan noktalar arasında interpolasyon yapılır.yardımcınoktalar düzgün bir şekilde seçilirse, daha sonra C nin sürekliliği sağlanabilir. MSquad fonksiyonu veri noktalarıarasında bir kübik interpolasyon (birim split kuaterniyon) q 0 and q 1 noktalarıve n [0, 1] miktari ile aşağıdakıgibi Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, n) = Mslerp(Mslerp(q i, q i+1, n), Mslerp(s i, s i+1, n), n(1 n)) belirtilir. s i ve s i+1 inner quadrangle noktalarıdenir ve böylece bu sürekliliği segmentlerinde garanti olmasıiçin dikkatle seçilmelidir. bir dizi {q n } N 1 n=0 birim split kuaterniyon göz önüne alındığında türevleri sürekli ve kontrol noktalarıüzerinden geçmesi koşullarısplit kuaterniyon interpolasyon ile bir spline eğrisi inşa etmek istiyoruz. İdda s i ve s i+1 split kuaterniyonların arasında spline segementlerinde uç noktalarıtürevlerinin kontrolüne izin vermek için bir seçim yapmaktır. Msquad tanımıile kolayca Msquad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) = Mslerp(Mslerp(q i 1, q i, 1), Mslerp(s i 1, s i, 1), 0) = q i Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = Mslerp(Mslerp(q i, q i+1, 0), Mslerp(s i, s i+1, 0), 0) = q i S i 1 (1) = q i = S i (0) gösterilir. Böylece Msquad sürekli ve kontrol noktalarında doğru bir değeri vardır. 38

43 Ardarda iki spline segmentleri türevleri eşleştirmek için uç noktalarısürekli türevleri elde etmek için S i 1 (1) = S i (0) (3.35) Şimdi MSquadın kontrol noktalarında sürekli olarak türevlenebilir olmasınıgöstereceğiz. d dt Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = d dt Msquad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) MSquadın türevini bulmak için, (3.1) denkleminden Slerpın türevi gerekiyor g i (n) = Mslerp(q i, q i+1, n) 1 Mslerp(s i, s i+1, n) Şimdi S i (t) = Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, n) türevıini bulmak gerekir S i (t) = Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, n) = d dn Mslerp(Mslerp(q i, q i+1, n), Mslerp(s i, s i+1, n), n(1 n)) d ( Mslerp(qi, q i+1, n)g i (n) n(1 n)) dn (3.) denkleminden d dn g i(n) n(1 n) = sinh ( n(1 n)ϕ gi (n)) ( ( 4n) ϕ gi (n) + n(1 n)ϕ g i (n) ), cosh ( n(1 n)ϕ gi (n)) ( ( 4n) ϕ gi (n) + n(1 n)ϕ g i (n) ) ε gi (n) + sinh ( n(1 n)ϕ gi (n)) εg i (n) Aşağıda d dt ( gi 1 (n) n(1 n)) (1) değeri 1 olarak uygulanan g i 1 (n) n(1 n) ifadesinin türevi yazılabilir. (3.) denkleminden d dn Msquad (q i 1, q i, s i 1, s i, 1) = Mslerp(q i 1, q i, 1) log ( q 1 i 1, q ) i +Mslerp(q i 1, q i, 1) d ( gi 1 (n) n(1 n)) (1) dn = q i log( ( q 1 i 1, q ) ( ) i log q 1 i s i 39

44 d dn Msquad (q i, q i+1, s i, s i+1, 0) = Mslerp(q i, q i+1, 0) log ( ) q 1 i, q i+1 +Mslerp(q i, q i+1, 0) d ( gi (n) n(1 n)) (0) dn = q i log( ( ) ( ) q 1 i, q i+1 + log q 1 i s i yazılabilir. (3.35) denkleminden q i log( ( q 1 i 1, q i ) log ( q 1 i s i ) = qi log( ( q 1 i ) ( ), q i+1 + log q 1 i s i ( s i = q i exp log ( ) ( )) q i, q 1 i 1 + log q 1 i, q i+1 4 yazilabilir. Böylece Msquad yukarıdaki gibi tanımlanan s i ile kontrol noktalarında sürekli türevlenebilirdir. Aslında Msquadın tüm segmentleri arasında sürekli ve sürekli olarak türevlenebilir olduğunu göstermiş olduk. 40

45 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Şekil 3.6 a. Hiperbolik küre üzerinde dört split kuaterniyon arasındakı interpolasyonu b. Hiperbolik küre üzerinde dört innerquad rangle noktası arasındaki interpolasyonu c. Hiperbolik küre üzerinde split kuaterniyon ve inner quadrangle interpolasyonun kombinasyonu d. Hiperbolik küre üzerinde inner quadrangle noktalarınıkullanarak düzleştirilmiş eğri e. Msquad eğrisi f. Msquad için açısal hız grafiği 41

46 4. LORENTZIYEN KÜRESİ ÜZERİNDE SPLİNE SPLİT KUATER- NİYON İNTERPOLASYONU Bu bölüm Lorentz küresi üzerinde spline split kuaterniyon interpolasyonu gösterilecektir. Split kuaterniyonların Lorentz küresi üzerinde grup yapısı olmadığı için MSquad tanımlanmaz. Minkowski uzayında spline split kuaterniyon İnterpolasyonunu (Msquad) ile gösterilir. Bu bölümde, Lorentz küresi üzerinde düzgün interpolasyon için dik izdüşüm ve kübik Bezier eğrisi kullanılarak yeni bir yöntem önerilir. Ayrıca Hiperbolik küresi ve Öklid küresi üzerinde önerilen yöntem gösterilir. 4.1 Bezier Eğrilerini kullanılarak Lorentz Küresi üzerinde İnterpolasyon Bezier eğriler Fransız mühendis olan Pierre Bezier tarafından otomobil tasarımında kullanmak amacıyla geliştirilmiştir. Bezier eğrilerinin sahip olduğu özellikler, onları eğri ve yüzey tasarımında bir hayli kullanışlıve uygun hale getirmektedir. Ayrıca, Bezier eğrilerinin programlanmasıda oldukça kolaydır. Bu tür özelliklerinden dolayı, Bezier eğrileri bilgisayar grafiklerinde yaygın olarak kullanılır (Abbass ve Jamal 011) N inci dereceden bir Bezier polinomu N+1 kontrol noktasında aşağıdaki fonksiyon ile belirlenir. Bi n (t) = n i (1 t) n i t i i = 0, 1,...n (4.1) Burada n i = n! i! (n i)! (4.) dır. Bir Bezier eğrisinin denklemi R(t) = n n i i=0 (1 t) n i t i P i (4.3) dir. Burada P i (x i, y i ), i = 0, 1,...n Bezier eğrisinin kontrol noktalarıdır. Bu 4

47 bölümde kübik bezier polinomlarıkullanılır. kübik Bezier polinomlar R(t) = (1 t) 3 P 0 + 3t (1 t) P 1 + 3t (1 t) P + t 3 p 3, 0 t 1 (4.4) bulunur (Abbass ve Jamal 011). Önerilen yöntem aşağıdaki gibi açıklanbilir; (1) Lorentz küresi üzerindeki split kuaterniyonlar seçilir; () Kübik split kuaterniyon interpolasyon Lorentz küresi üzerinde (üç lineer interpolasyon kümesi olarak) çizilir; (3) Split kuaterniyon interpolasyon eğrisini düzleme bire bir dik izdüşüm yapılır; (4) Düzlemde kübik Bezier algoritmasınıkullanarak split kuaterniyon interpolasyon eğrisi Düzgünleştirilir; (5) Düzgünleştirilmiş eğrisi ters dönüşümü ile Lorentz küresi üzerine çizilir; 43

48 (a) (b) (c) Şekil 4.1 a. Lorentz küre üzerinde dört split kuaterniyon arasındakı interpolasyonu b. Split kuaterniyon interpolasyon eğrisini düzleme bire bir dikizdüşüm yapılmasıve düzlemde kübik Bezier algoritmasını kullanarak split kuaterniyon interpolasyon eğrisi düzgünleştiril olması c. Lorentz küresi üzerinde düzleştirilmiş eğrisi 44

49 (a) (b) (c) Şekil 4. a. Minkowski uzayında Hiperbolik küre üzerinde dört keyframe arasındakısplit kuaterniyon interpolasyon b. Split kuaterniyon interpolasyon eğrisini düzleme birebir dikizdüşüm yapılmasıve düzlemde kübik Bezier algoritmasınıkullanarak split kuaterniyon interpolasyon eğrisi düzgünleştiril olmasıc. Hiperbolik küresi üzerinde düzleştirilmiş eğrisi 45

50 (a) (b) (c) Şekil 7.3 a. Öklid küre üzerinde dört kuaterniyon arasındakıinterpolasyon b. Kuaterniyon interpolasyon eğrisini düzleme birebir dikizdüşüm yapılması ve düzlemde kübik Bezier algoritmasınıkullanarak kuaterniyon interpolasyon eğrisi düzgünleştiril olmasıc. Öklid küresi üzerinde düzleştirilmiş eğrisi 46

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04 Projenin Adı: Öklid

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Doç.Dr. MUSTAFA ÖZDEMİR

Doç.Dr. MUSTAFA ÖZDEMİR Doç.Dr. MUSTAFA ÖZDEMİR ÖZGEÇMİŞ DOSYASI KİŞİSEL BİLGİLER Doğum Yılı : Doğum Yeri : Sabit Telefon : Faks : E-Posta Adresi : Web Adresi : Posta Adresi : 1975 BOZKIR T: 2423102234 2423102386 F: mozdemir@akdeniz.edu.tr

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ DOÇ.DR. AYŞE FUNDA YALINIZ Adres : Dumlupınar Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Evliya Çelebi Yerleşkesi Tavşanlı Yolu 10.km. KÜTAHYA Telefon : 2742652031-3058

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: MUSTAFA KAZAZ 2. Doğum Tarihi: Unvanı: Doçent 4. Öğrenim Durumu:

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: MUSTAFA KAZAZ 2. Doğum Tarihi: Unvanı: Doçent 4. Öğrenim Durumu: . Adı Soyadı: MUSTAFA KAZAZ. Doğum Tarihi:..965. Unvanı: Doçent. Öğrenim Durumu: ÖZGEÇMİŞ Derece Alan Üniversite Yıl Lisans MATEMATİK KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ 987 Y. Lisans MATEMATİK KARADENİZ TEKNİK

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

DOÇ. DR. İSMAİL GÖK. : Matematik Bilim alanında Doçent ünvanı almıştır.

DOÇ. DR. İSMAİL GÖK. : Matematik Bilim alanında Doçent ünvanı almıştır. ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ DOÇ. DR. İSMAİL GÖK ÖZGEÇMİŞ Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Tel : +90312 2126720-1253 Matematik Bölümü Tando gan, 06100, ANKARA, TÜRKIYE e-mail: igok@science.ankara.edu.tr

Detaylı

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş:

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş: Etrafımızda oluşan değişmeleri iş, bu işi oluşturan yetenekleri de enerji olarak tanımlarız. Örneğin bir elektrik motorunun dönmesi ile bir iş yapılır ve bu işi yaparken de motor bir enerji kullanır. Mekanikte

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans

2 Ders Kodu: FZK Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans FİZİKSEL MATEMATİK II 1 Ders Adi: FİZİKSEL MATEMATİK II 2 Ders Kodu: FZK2004 3 Ders Türü: Zorunlu 4 Ders Seviyesi Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 2 6 Dersin Verildiği Yarıyıl 4 7 Dersin AKTS Kredisi: 8.00

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ Kenan KILIÇASLAN Okul No:1098107203 1. DESTEK VEKTÖR MAKİNELER

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları

Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Genel Matematik (MATH 103) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Genel Matematik MATH 103 Güz 3 2 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i - Dersin Dili Dersin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı